Linearni operatori u ravnini

Linearni operatori u prostoru 1 Linearni operatori u ravnini Rudolf Scitovski Ivana Kuzmanović, Zoran Tomljanović 1 Uvod Neka je (O; e 1, e, e 3 ) pravokutni koordinatne sustav u prostoru X 0 (E). Analogno kao i u ravnini M definira se i linearni operator u prostoru A : X 0 X 0 za kojeg vrijedi A(λx + µy) = λa(x) + µa(y) λ, µ R x, y X 0. (1) Slično kao što smo pokazali u slučaju linearnih operatora u ravnini i ovdje se može pokazati da je dovoljno linearni operator definirati samo na baznim vektorima i da se tada njegovo djelovanje može prikazati kvadratnom matricom a 11 a 1 a 13 A = a 1 a a 3, a 31 a 3 a 33 gdje i-ti stupac predstavlja djelovanje linearnog operatora A na i-ti bazni vektor. I obrnuto, ako je (e 1, e, e 3 ) baza u X 0, a v 1, v, v 3 bilo koja tri vektora iz X 0, onda postoji jedinstven linearni operator A : X 0 X 0, takav da je Ae 1 = v 1, Ae = v, Ae 3 = v 3. Primjer 1. (Centralna simetrija obzirom na ishodište koordinatnog sustava). Ako je P E proizvoljna točka s koordinatama (x 1, x, x 3 ), onda je njena centralno simetrična slika u odnosu na ishodište O koordinatnog sustava točka P s koordinatam ( x 1, x, x 3 ). Točki P pridružimo radijvektor x = x 1 e 1 +x e +x 3 e 3, a točki P radijvektor x = x 1 e 1 x e x 3 e 3. Sada možemo definirati operator centralne simetrije A : X 0 X 0 A(x 1 e 1 + x e + x 3 e 3 ) = x 1 e 1 x e x 3 e 3. Primijetite da je na taj način definirana vrijednost ovog operatora za svaki vektor x X 0, da je tako definirani operator linearan, tj. vrijedi (1) i da mu u bazi (e 1, e, e 3 ) pripada matrica A = 1 0 0 0 1 0 0 0 1.

Linearni operatori u prostoru Primjer. (Simetrija u odnosu na x 1 x ravninu). Ako je P E proizvoljna točka s koordinatama (x 1, x, x 3 ), onda je njena simetrična slika u odnosu na ravninu x 1 x točka P s koordinatam (x 1, x, x 3 ). Točki P pridružimo radijvektor x = x 1 e 1 + x e + x 3 e 3, a točki P radijvektor x = x 1 e 1 + x e x 3 e 3. Sada možemo definirati operator simetrije u odnosu na x 1 x ravninu A : X 0 X 0 A(x 1 e 1 + x e + x 3 e 3 ) = x 1 e 1 + x e x 3 e 3. Primijetite da je na taj način definirana vrijednost ovog operatora za svaki vektor x X 0, da je tako definirani operator linearan, tj. vrijedi (1) i da mu u bazi (e 1, e, e 3 ) pripada matrica A = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Naka je L (X 0 ) skup svih linearnih operatora na prostoru X 0. Također slično kao u slučaju linearnih operatora u ravnini i na skupu L (X 0 ) može se definirati množenje sa skalarom α R zbrajanje i kompozicija (množenje) dva linearna operatora A, B L (X 0 ): (αa) x = α (Ax),. (A + B) x = Ax + Bx, (AB) x = A (Bx), i da za ovako definirane operacije vrijede sva ona svojstva koja smo naveli u slučaju linearnih operatora u ravnini. Također, i za kvadratne matrice trećeg reda kojima prikazujemo djelovanje linearnog operatora u nekoj bazi, vrijede sve operacije i svojstva kao i u slučaju kvadratnih matrica drugog reda (detaljnije vidi primjerice u (13)). Analogno kao i u ravnini možemo definirati i svojstvene (karakteristične) vrijednosti i svojstvene (karakteristične) vektore linearnih operatora iz L (X 0 ) Definicija 1. Kažemo da je kompleksni broj λ C svojstvena (karakteristična) vrijednost linearnog operatora A : X 0 X 0 ako postoji nenul vektor x 0, takav da bude Ax = λx, () pri čemu vektor x nazivamo svojstveni (karakteristični) vektor koji pripada svojstvenoj vrijednosti λ. Može se pokazati da vrijedi (vidi (13)) Teorem 1. Za linearni operator A L (X 0 ) postoji realni broj λ 0 R i vektor x 0 takvi da je Ax = λ 0 x.

Linearni operatori u prostoru 3 Simetrični linearni operatori u prostoru Definicija. Kažemo da je linearni operator A : X 0 X 0 simetričan ako vrijedi Ax y = x Ay, x, y X 0. (3) Primjer 3. Neka je (e) = (e 1, e, e 3 ) baza u X 0 i neka je α 1, α, α 3 R. Definirajmo linearni operator propisivanjem njegova djelovanja na bazne vektore Ae 1 = α 1 e 1, Ae = α e, Ae 3 = α 3 e 3 Direktno se može provjeriti da je ovo simetrični linearni operator. Njegova matrica u bazi (e) je dijagonalna matrica D = diag (α 1, α, α 3 ). Djelovanje linearnog operatora A možemo shvatiti kao djelovanje kompozicije A 1 A A 3, gdje je A 1 x = α 1 x 1 e 1 + x e + x 3 e 3 A x = x 1 e 1 + α x e + x 3 e 3 A 3 x = x 1 e 1 + x e + α x 3 e 3 (kontrakcija u smjeru prve koordinatne osi) (kontrakcija u smjeru druge koordinatne osi) (kontrakcija u smjeru treće koordinatne osi) Ako je α 1, α, α 3 > 0, onda linearni operator A preslikava jediničnu sferu sa središem u ishodištu K(O, 1) = { (x 1, x x 3 ) E : x 1 + x + x 3 = 1 } u elipsoid s centromu ishodištu i poluosima α 1, α, α 3 { E(O; α 1, α, α 3 ) = (x 1, x x 3 ) E : x 1 α1 + x + x 3 α α3 = 1 } Naime, djelovanjem linearnog operatora A neka točka na sferi T (x 1, x x 3 ) K preslikava se u točku T (x 1, x x 3), pri čemu je Ax = x 1 Ae 1 + x Ae + x 3 Ae 3 = x 1 α 1 e 1 + x α e + x 3 α 3 e 3. Ako komponente novog vektora Ax označimo s (x 1, x, x 3), onda vrijedi: x 1 = x 1 α 1, x = x α, x 3 = x 3 α 3, pa iz x 1 + x + x 3 = 1 = x 1 α1 + x α + x 3 α3 Teorem. Ako je A : X 0 X 0 simetrični linearni operator na vektorskom prostoru X 0 = X 0 (E), onda postoje realni brojevi λ 1, λ, λ 3 R i ortonormirana baza (e 1, e, e 3) vektorskog prostora X 0, tako da bude = 1. Ae 1 = λ 1 e 1, Ae = λ e Ae 3 = λ 1 e 3.

Linearni operatori u prostoru 4 Drugim riječima za simetrični linearni operator možemo pronaći takvu desnu ortonormiranu bazu u kojoj tom operatoru pripada dijagonalna matrica. Primjer 4. Linearni operator A : X 0 X 0 u bazi (e) = (e 1, e, e 3 ) definiran je s: Ae 1 = e, Ae = e 1 + e 3, Ae 3 = e. 0 1 0 Matrica ovog linearnog operatora u bazi (e) je A = 1 0 1, a svojstveni polinom 0 1 0 prema (13) ili (14) možemo izračunati po formuli ( 3 ) P (λ) = λ 3 λ Tr A + λ M ii det A, (4) i=1 gdje su M ii glavni minori determinante det A. U našem slučaju dobivamo P (λ) = λ 3 0 λ + ( 1 + 0 1)λ 0 = λ 3 λ = λ(λ )(λ + ), pa dobivamo svojstvene vrijednosti λ 1 =, λ =, λ 3 = 0. Odgovarajuće svojstvene vektore dobivamo iz jednakosti (vidi (13)) P (A)e 1 = (A λ 1 I) (A λ I) (A λ 3 I) e 1 = 0 (što možemo pisati:) P (A)e 1 = (A λ 1 I) v 1, v 1 = (A λ I) (A λ 3 I) e 1 = ( A I ) Ae 1 = ( A I ) e = e 1 + e 3 e, P (A)e 1 = (A λ I) v, v = (A λ 1 I) (A λ 3 I) e 1 = ( A + I ) Ae 1 = ( A + I ) e = e 1 + e 3 + e, P (A)e 1 = (A λ 3 I) v 3, v 3 = (A λ 1 I) (A λ I) e 1 = ( A + I ) ( A I ) e 1 = (A I) e 1 = e 1 + e 3. Primijetite da je prilikom izračunavanja trećeg svojstvenog vektora bilo potrebno poznavati samo prvi stupac matrice A. Desnu ortonormiranu bazu sada lako dobivamo e 1 = v 1 v 1 = 1 ( e1 ) e + e 3, e = v v = 1 ( e1 + ) e + e 3, e 3 = v 3 v 3 = 1 ( e 1 + e 3 ). U bazi (e ) = (e 1, e, e 3) linearnom operatoru A pripada dijagonalna matrica D = diag(,, 0) jer je Ae 1 = a 1 e 1, Ae = e Ae 3 = 0 e 3. Sada možemo definirati i ortogonalni linearni operator U : X 0 X 0 koji staru bazu (e) prevodi u novu (e ) Ue 1 = e 1, Ue = e, Ue 3 = e 3,

Linearni operatori u prostoru 5 kome u bazi (e) pripada ortogonalna matrica U(e) = 1 1 1 0. 1 1 Primijetite da ako retke, odnosno stupce, ove matrice shvatimo kao komponente nekih vektora, onda lako možemo provjeriti da su ti vektori ortonormirani. Zadatak 1. Po definiciji provjerite da je operator U ortogonalan, tj. da vrijedi 3 Plohe drugog reda Ux Uy = x y x, y X 0, Ux = x. Plohe drugog reda u teoriji se obično definiraju kao skup svih nultočaka polinoma drugog reda triju varijabli P : R 3 R, P (x 1, x, x 3 ) = a 11 x 1 + a x + a 33 x 3 + a 1 x 1 x + a 13 x 1 x 3 + a 3 x x 3 + a 1 x 1 + a x + a 3 x 3 + a 0, a i,j, a i, a 0 R, i, j = 1,, 3 a 11 a 1 a 13 pri čemu matrica prisutne kvadratne forme A = a 1 a a 3 nije nul-matrica, što a 13 a 3 a 33 znači da je barem jedan od koeficijenata koji stoje uz potencije reda različit od nule. Točka T 0 = (x 0 1, x 0, x 0 3) E je nultočka polinoma P onda ako vrijedi P (x 0 1, x 0, x 0 3) = 0. Skup svih nultočaka S polinoma P je podskup u E. U pravokutnom koordinatnom sustavu (O; e 1, e, e 3 ) u prostoru E skup svih nultočaka polinoma P identificira se sa skupom svih rješenja jednadžbe a 11 x 1 + a x + a 33 x 3 + a 1 x 1 x + a 13 x 1 x 3 + a 3 x x 3 + a 1 x 1 + a x + a 3 x 3 + a 0 = 0, a i,j, a i, a 0 R, i, j = 1,, 3 (6) Neka je nadalje A simetrični linearni operator kome u bazi (e) = (e 1, e, e 3 ) pripada matrica A(e). Ako još označimo a = a 1 e 1 + a e + a 3 e 3 i x = x 1 e 1 + x e + x 3 e 3, tada prethodnu jednadžbu možemo zapisati u obliku (5) Ax x + a x + a 0. (7) Sukladno Teoremu postoje realni brojevi λ 1, λ, λ 3 R i nova ortonormirana baza (e ) = (e 1, e, e 3), tako da je Ae 1 = λ 1 e 1, Ae = λ e Ae 3 = λ 1 e 3.

Linearni operatori u prostoru 6 Ako još u toj novoj bazi prikažemo i vektore x i a, x = y 1 e 1 + y e + y 3 e 3, a = b 1 e 1 + b e + b 3 e 3, onda jednadžba (7), odnosno (6) postaje jednostavnija λ 1 y 1 + λ y + λ 3 y 3 + b 1 y 1 + b y + b 3 y 3 + a 0 = 0 (8) Primjer 5. Treba pronaći skup svih rješenja jednadžbe 7x 1 + 6x + 5x 3 4x 1 x 4x x 3 6x 1 4x + 18x 3 + 30 = 0. Matrica prisutne kvadratne forme je A = 7 0 6 0 5. Svojstveni polinom pridruženog linearnog operatora A prema (4) je P (λ) = λ 3 18λ + 99λ 16. Njegove nultočke su svojstvene vrijednosti linearnog operatora A Odgovarajući svojstveni vektori redom su λ 1 = 9, λ = 6, λ 3 = 3. v 1 = (A λ I) (A λ 3 I) e 1 = 4 (e 1 e + e 3 ), v = (A λ 1 I) (A λ 3 I) e 1 = ( e 1 e + e 3 ), v 3 = (A λ 1 I) (A λ I) e 1 = (e 1 + e + e 3 ), odakle dobivamo novu ortonormiranu bazu e 1 = 1 3 (e 1 e + e 3 ), e = 1 3 ( e 1 e + e 3 ), e 3 = 1 3 (e 1 + e + e 3 ). Vektor a u staroj bazi (e) glasi a = 6e 1 4e + 18e 3. Označimo njegove komponente u novoj bazi (e ) s b 1, b, b 3. Kako je b i = a e i, i = 1,, 3, dobivamo prikaz vektora a u novoj bazi (e ) a = (a e 1)e 1 + (a e )e + (a e 3)e 3 = 18e 1 + 4e 6e 3. Zato polazna jednadžba postaje što možemo zapisati u obliku 9y 1 + 6y + 3y 3 + 18y 1 + 4y 6y 3 + 30 = 0, (y 1 + 1) /3 + (y + ) 1 + (y 3 1) = 1, što predstavlja jednadžbu elipsoida s centrom u točki ( 1,, 1) s osima paralelnim koordinatnim osima i duljinom poluosi: 3, 1,.

Linearni operatori u prostoru 7 Primjenom programskog sustava Mathematica nacrtat ćemo plohu ovog elipsoida niže navedenim naredbama. Najprije napišimo njegovu jednadžbu u parametarskom obliku y 1 = 1 + /3 cos u cos v, y = + sin u cos v, y 3 = 1 + sin v, u [0, π], v [ π, π ] Naime, lako se vidi da odavde kvadriranjem slijedi (y 1 + 1) /3 + (y + ) 1 + (y 3 1) = cos u cos v + sin u cos v + sin v = 1. Nize navedenim Mathematica programom nacrtat ćemo odgovarajuću plohu ovog elipsoida. In[1]:= ParametricPlot3D[{-1 + Sqrt[/3]Cos[u]Cos[v], - + Sin[u]Cos[v], 1 + Sqrt[]Sin[v]}, {u, 0, Pi, Pi/0}, {v, -Pi/, Pi/, Pi/0}, Shading -> False].0 1.5 1.0 1.5 1.0 0.5.5 3.0 1 0 Slika 1: Elipsoid: (y 1+1) /3 + (y +) 1 + (y 3 1) = 1 Zadatak. Na sličan način uz primjenu Mathematica naredbe ContourPlot3D pokušajte nacrtati niže navedene plohe drugog reda

Linearni operatori u prostoru 8 1. Eliptički valjak x a + y + 0 z = 1, a, b > 0 (nastaje gibanjem elipse x b a. Hiperbolički valjak x a y b + 0 z = 1 (nastaje gibanjem hiperbole x a + y b = 1 uzduž osi z) y b = 1, a, b > 0 uzduž osi z) 3. Parabolički valjak y = px + 0 z, p 0 (nastaje gibanjem parabole y = px uzduž osi z) 4. Elipsoid + y + z = 1, a, b, c > 0 b c Specijalno, za a = b, to je rotacioni elipsoid, a za a = b = c, to je sfera. x a 5. Jednokrilni hiperboloid x + y z = 1, a, b, c > 0 a b c Specijalno, za a = b, to je rotacioni elipsoid, a za a = b = c, to je sfera. 6. Dvokrilni hiperboloid x a y b + z c = 1, a, b, c > 0 7. Eliptički stožac (konus) x + y z = 0, a, b, c > 0 a b c 8. Eliptički paraboloid x + y = cz, a, b, c 0 a b 9. Hiperbolički paraboloid x y = pz, a, b, p 0 a b 1 Literatura [1] D. Blanuša, Viša matematika I-1, I-, Tehnička knjiga, Zagreb, 1965. [] T. S. Blyth, E. F, Robertson, Basic Linear Algebra, Springer-Verlag, London, 00. [3] D. Butković, Kompleksni konačno dimenzionalni vektorski prostori, Odjel za matematiku, Sveučilište u Osijeku, Osijek, 004 [4] L. Čaklović, Zbirka zadataka iz linearne algebre, Školska knjiga, Zagreb, 199. 1 Naveden je nešto opsežniji popis literature, ali sve su to knjige pomoću kojih student može utvrditi ili proširiti svoje znanje, a dostupne su u biblioteci Odjela za matematiku

Linearni operatori u prostoru 9 [5] J. W. Demmel, Applied Numerical Linear Algebra, SIAM, Philadelphia, 1997. [6] N. Elezović, A. Aglić, Linearna algebra zbirka zadataka, Element, Zagreb, 003. [7] S. H. Friedberg, A. J. Insel, L. E. Spence, Linear algebra, Prentice Hall, New Jersey, 1997. [8] E. I. Gurskiĭ, Osnovy lineĭnoĭ algebry i analiticeskoĭ geometrii, Vyxeĭxa xkola, Minsk, 198. [9] K. Janich, Linear Algebra, Springer-Verlag, Berlin, 1994. [10] D. Jukić, R. Scitovski, Matematika I, Odjel za matematiku, Sveučilište u Osijeku, Osijek, 000. [11] D. Kincaid,W. Cheney, Numerical Analysis, Brooks/Cole Publishing Company, New York, 1996. [1] H. Kraljević, Vektorski prostori, Odjel za matematiku, Sveučilište u Osijeku, Osijek, 005 [13] S. Kurepa, Uvod u linearnu algebru, Školska knjiga, Zagreb, 1985. [14] S. Kurepa, Konačno dimenzionalni vektorski prostori i primjene, Tehnička knjiga, Zagreb, 1967. [15] A. G. Kurox, Kurs vysxeĭ algebry, Nauka, Moskva, 1968. [16] S. Lipschutz, Beginning Linear Algebra, McGraw Hill, New York, 1997. [17] S. Lipschutz, Linear Algebra, McGraw Hill, New York, 1991. [18] S. Lipschutz, 3000 Solved Problems in Linear Algebra, McGraw-Hill, New York, 1989. [19] E. D. Nering, Linear algebra and matrix theory, John Wiley & Sons, New York, 1963. [0] H. Neunzert, W. G. Eschmann, A. Blickensdörfer-Ehlers, Analysis. Mit einer Einführung in die Vektor- und Matrizenrechnung, Springer-Verlag, Berlin, 1991 [1] W. H. Press, B. P. Flannery, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling, Numerical Recipes, Cambridge University Press, Cambridge, 1989. [] I. V. Proskur kov, Problems in linear algebra, Mir, Moskva, 1978.

Linearni operatori u prostoru 10 [3] R. Scitovski, Numerička matematika, Odjel za matematiku, Sveučilište u Osijeku, Osijek, 000 [4] J. Stoer, Numerische Mathematik 1,, nd Ed., Springer Verlag, New York, 1993. [5] J. Stoer, R. Bulirsch, Introduction to Numerical Analysis, nd Ed., Springer Verlag, New York, 1993. [6] G. Strang, Introduction to Linear Algebra, Wellesley-Cambridge Press, Wellesley, 1998, 003. [7] Zhang, Fuzhen, Linear Algebra, The Johns Hopkins University Press, London, 1996.