Seminarski zadatak iz Kvantne fizike Vinko Šuria. velače 00. Fizički odsek Prirodoslovno - matematičkog fakulteta Sveučilišta u Zagrebu, Bienička, 0 000 Zagreb, Hrvatska Zadatak 7. Neka e potencialna energia V (x, y, z) homogena funkcia koordinata stupna homogenosti ν, t. V (λx, λy, λz) = λ ν V (x, y, z) Dokažite da e sredna vriednost kinetičke energie u stanu diskretnog spektra vezana sa srednom vriednošću potencialne energie relaciom T = ν V
Sažetak Izvodi se virialni teorem u klasično mehanici, te hipervirialni i virialni teorem u kvantno fizici. Pokazue se negova valanost na primeru harmoničkog oscilatora i vodikovog atoma. Uvod U fizici često e vrlo teško i komplicirano računati potencialne i kinetičke energie nekih sustava, pa se traže relacie koe povezuu te velične kako bi olakšale nihovo tražene, er e onda potrebno samo izračunati ednu. Jedna od tih relacia e i virialni teorem koi u klasično mehanici povezue vremensko usrednene kinetičke i potencialne energie, a u kvantno fizici očekivanu vriednost kinetičke i potencialne energie. Korisnost toga e posebno izražena u kvantno fizici er e često puno lakše računati očekivanu vriednost potencialne energie od kinetičke. Prvo ću izvesti virialni teorem u klasično mehanici, a potom i u kvantno kako bi pokazao da su istog oblika. Za izvod u kvanto fizici prvo ću izvesti hipervirialni teorem koi tvrdi da vremenska promena vremenski nezavisnih operatora u stacionarnom stanu e ednaka nuli. Na krau ću pokazati valanost virialnog teorema na energetskim stanima kvantnog harmoničkog oscilatora i vodikova atoma. Virialni teorem u klasično mehanici U izvodima se korisiti Eulerov teorem o homogenim funkciama reda homogenosti ν koi glasi: f x = νf () x Krećem od kinetičke energie i pokazuem da e ona proporcionalna potencialno T = m x () No, kinetička energia e homogena funkcia u brzini reda, pa možemo pisati T = ( ) x p = d x p p x () dt
Primenimo. Newtonov zakon i pretpostavku da e sila konzervativna pa silu možemo napisati kao gradient potenciala i dobiemo ( ) T = d x p + V x () dt x U slučau da e potencial homogena funkcia reda ν pišemo ( ) T = d x p + νv (5) dt Vremenskim usrednenem u slučau omedenih ili periodičnih putana središni član isčezava te dolazimo do izraza za virialni teorem u klasično mehanici T = ν V (6) Ova teorem e valan u slučau da e sila konzervativna i u slučau omedenih ili periodičkih putana, što nisu vrlo strogi zahtevi pa ova teorem ima široki spektar primene. U klasično mehanici e račun kinetičke i potencialne energie relativno ednostavan, pa se ova teorem ne primenue često. Virialni teorem u kvantno fizici Činenica da se nalazimo u stanu diskretnog spektra nam govori da imamo kvantizaciu energetskih stana, što e i prirodno u kvantno fizici. Nadale biti će promatrana stacionarna stana, odnosno stana koa ne ovise o vremenu. To ograničene e blago er podrazumeva da e Hamiltonian sustava neovisan o vremenu, što e čest sluča. U dalnem tekstu podrazumievati ću da e Hamiltonian oblika H = p m + V. Hipervirialni teorem Neka e Hamiltonian sustava dan s H te negova stacionarna stana s Ψ koa zadovolavau vremenski ovisnu Schrödingerovu ednadžbu: HΨ = i t Ψ (7) Vremenska promiena očekivane vriednosti operatora A = Ψ A Ψ dana s d dt A = i A [H, A] + (8) t
Uz pretpostavku da operator A ne ovisi eksplicitno o vremenu kao ni Hamiltionian sustava, pa svostvne energie stana možemo označiti s E n i sa ψ n svostvena stana sustava. Za stacionarno stane ukupnu valnu funkciu pišemo: Ψ n = ψ n e i Ent (9) U stacionarnom stanu očekivana vriednost vremenski neovisnog operatora A e Ψ n A Ψ n = ψ n A ψ n (0) Jednadžba (8) u stacionarnom stanu postae d dt A = i ψ n [H, A] ψ n () = i ψ n HA AH ψ n () = i (E n E n ) ψ n A ψ n = 0 () i vidimo da očekivana vriednost vremenski neovisnog operatora A se u stacionarnom stanu ne miena u vremenu. Hipervirialni teorem tvrdi da e promena očekivane vriednosti vremenski neovisnog operatora u stacionarnom stanu edanka nuli. Virialni teorem U klasično mehanici vremenska derivacia veličine r p isčezava za periodičke ili omedene putane. Analogno u kvantno mehanici vremenska derivacia očekivane vriednosti operatora r p isčezava u stacionarnom stanu, što e ranie dokazano hipervirialnim teoremom, er niedan operator ne ovisi eksplicitno o vremenu. d (r p) r p = [r p, H] + = 0 () dt i t
[r p, H] = i i x i [p i, H] + [x i, H] p i (5) = ( x i i V ) ( i i + i x i m p i + i ) m p i p i (6) V i = x i + p i (7) x i m p i V i = x i (8) m x i Primenimo Eulerov teorem T = ν V (9) Time e virialni teorem dokazan. On vriedi u stacionarnom stanu u slučau da operator r p ne ovisi eksplicitno o vremenu i da e potencial homogena funkcia u kordinatama reda homogenosti ν. U slučau da potencial nie homogena funkciia, izraz (8) se svodi na Rasprava T = i x i V i x i (0) Pokazati ću valnost virialnog teorema za sluča D harmoničkog oscilatora i elektrona u vodikovom atomu za prvih 5 stana. U harmoničkom oscilatoru potencial e homogena funkcia reda ν =, dok u vodikovom atomu Columbov potencial e reda ν =. Takoder pokazuem i zbro kinetičke i potencialne energie radi usporedbe. Iz tablice se vidi da e očekivana vriednost kinetičke energie ednaka potencialno za harmonički oscilator, dok za vodikov atom su suprotnog predznaka i po apsolutnom iznosu razlikuu za faktor, kao što predvida virialni teorem. Kao primer korištena pokazati ću kako se ednostavno može izračunati očekivana vriednost kinetičke i potencialne energie za vodikov atom u stanu n = : T = V V = T () T + V = E T = E () V = E () Ovde vidimo kako se pomoću ednostavnog računa mogu izračunati očekivane vriednosti kinetičke i potencialne energie pomoću virialnog teorema poznavaući samo energiu nekog stana. Inače bi energie računali preko izraza T = ψ n T ψ n (analogno i za potencialnu energiu), što dae složene integrale koe često nie ednostavno riešiti.
Harmonički oscilator Vodikov atom n T n V n E n 0 ω ω ω 9 ω 9 ω 9 ω 5 5 5 ω ω ω ω ω ω 7 7 7 ω ω ω n T n V n E n I h I h I h 5 I h I h I h 9 I h 9 I h 9 I h 6 I h 8 I h 6 I h 5 I h 5 I h 5 I h Tablica : Usporedbe potencialne i kinetičke energie u harmoničkom oscilatoru i vodikovom atomu Zaklučak Pokazano e da virialni teorem u klasično mehanici i u kvantno fizici imau ednak oblik, samo se razlikuu u tome što klasični ima energie usrednene u vremenu dok kvantni očekivane vriednosti. Takoder e pokazan i hipervirialni teorem za koeg e bilo i intuitivno očekivati da vriedi. Na krau e pokazana i primena virialnog teorema, te se pomoču nega vrlo lako mogu izračunati očekivane vriednosti kinetičke i potencialne energie ukoliko znamo samo ukupnu energiu tog stacionarnog stana. Literatura [] H. Goldstein, C. Poole, J. Safko, Classical Mechanics third edition, Addison Wesley, 00 [] Şakir Erkoç, Fundamentals of quantum mechanics, Taylor & Francis Group, 007 [] David J. Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics, Preatince Hall, 995 5