Neprekidan slučajan vektor

Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Ana Leko Neprekidan slučajan vektor Završni rad Osijek, 3

Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Ana Leko Neprekidan slučajan vektor Završni rad Mentor: doc.dr.sc. Nenad Šuvak Osijek, 3

Sažetak Kako su matematičke jednadžbe i problemi izraženi u terminima nekih numeričkih vrijednosti, potrebno je definirati funkciju, koju nazivamo slučajna varijabla, a koja povezuje svaki ishod pokusa s nekim realnim brojem. Od tipova slučajnih varijabli najčešće se usmjeravamo na proučavanje diskretnih i neprekidnih slučajnih varijabli, te takoder u n-dimenzionalnom slučaju na diskretne i neprekidne slučajne vektore. Neprekidne slučajne varijable i neprekidni slučajni vektori primjenjuju se u složenim problemima u vjerojatnosti i statistici, te ekonomiji i financijama. Normalna ili Gaussova distribucija neprekidnog slučajnog vektora pronalazi velike primjenjuje u statistici, te prirodnim i društvenim znanostima. Ključne riječi Slučajna varijabla, slučajan vektor, funkcija gustoće, funkcija distribucije, normalna distribucija Abstract Because mathematical equations and problems are expressed in some terms of numerical values,we must define a function, known as a random variable, that associates each outcome in the experiment with a real number. When considering types od random variables, we most often study the discrete and continuous ones, and also in n-dimensional case we are based on discrete and continuous random vectors. Continuous random variables and continuous random vectors are applied to complex probability and statistics problems, and economics or finances. Normal or Gaussian distribution of continuous random vector are often applied in statistics, and also in the natural and social sciences. Key words Random variable, random vector, probability distribution function, cumulative distribution function, normal distribution

Sadržaj Uvod 5 Slučajna varijabla 6. Uvod pojma slučajna varijabla.................. 6. Diskretna slučajna varijabla................... 7.. Elementarni pojmovi................... 7.. Klasičan pristup u odredivanju vjerojatnosti...... 8..3 Vjerojatnost na diskretnom Ω i diskretna slučajna varijabla........................... 8..4 Funkcija distribucije i numeričke karakteristike diskretne slučajne varijable......................3 Neprekidna slučajna varijabla...................3. Neprekidna slučajna varijabla i funkcija gustoće.....3. Funkcija distribucije neprekidne slučajne varijable... 5.3.3 Očekivanje i varijanca neprekidne slučajne varijable.. 8.3.4 Nezavisnost slučajnih varijabli.............. 3 Diskretan slučajan vektor 3. Definicija dvodimenzionalnog diskretnog slučajnog vektora. Tablica distribucije.......................... 3. Uvjetne distribucije i nezavisnost komponenti dvodimenzionalnog diskretnog slučajnog vektora................ 3 3.3 Kovarijanca i koeficijent korelacije................ 5 4 Neprekidan slučajan vektor 7 4. Funkcija gustoće i funkcija distribucije neprekidnog slučajnog vektora............................... 7 4. Marginalne funkcije distribucija i gustoća............ 9 4.3 Uvjetne funkcije gustoća..................... 33 4.4 Numeričke karakteristike neprekidnog slučajnog vektora.... 35 4.4. Očekivanje i varijanca neprekidnog slučajnog vektora. 35 4.4. Kovarijanca i matrica kovarijanci............ 37 4.4.3 Koeficijent korelacije i korelacijska matrica....... 39 4.5 Nezavisnost komponenti neprekidnog slučajnog vektora.... 4 4.6 Funkcije slučajnog vektora.................... 43 4.7 Normalan slučajan vektor.................... 46 4.7. Dvodimenzionalan normalan slučajan vektor...... 46 4.7. n-dimenzionalan normalan slučajan vektor....... 49 4

Uvod Primarni cilj ovog završnog rada je upoznavanje čitatelja s osnovnim pojmovima i rezultatima teorije vjerojatnosti na primjerima iz svakodnevnog života, baziranje na matematičku podlogu istih, te rezultate koji se iz njih vežu. Rad je podijeljen u tri osnovne cjeline: slučajna varijabla, diskretan slučajan vektor i n-dimenzionalan neprekidan slučajan vektor. U prvoj cjelini definiramo čitatelju osnovne pojmove koji se koriste u teoriji vjerojatnosti. Upoznajemo čitatelja kroz primjere sa svojstvima slučajnih varijabli, te razvijamo osjećaj za razlikovanje diskretnih i neprekidnih slučajnih varijabli. Takoder, teoremima i njihovim dokazima potkrepljujemo slutnje koje se prirodno nameću promatranjem tih slučajnih varijabli. Prva cjelina podijeljena je na dva dijela: diskretne slučajne varijable i neprekidne slučajne varijable. Veća pozornost posvećena je neprekidnim slučajnim varijablama, te sve navedene definicije, primjeri i teoremi služe kao podloga za zadnje poglavlje kojim se najviše bavimo. U drugoj cjelini proširujemo pojmove definirane u prvoj cjelini na dvije dimenzije, te upoznajemo čitatelja s pojmom dvodimenzionalnog diskretnog slučajnog vektora. Kroz teoreme i propozicije potkrepljene primjerima stvaramo čitatelju predodžbu slučajnog vektora, te medusobni utjecaj njegovih komponenti. U zadnjoj cjelini bazirani smo na n-dimenzionalan neprekidan slučajan vektor. Kako smo čitatelja već upoznali s neprekidnom slučajnom varijablom, sve definicije i svojstva proširujemo na R n. Posebno se bavimo i rezultatima koji povezuju nezavisnost komponenti slučajnog vektora i njegove numeričke karakteristike. Osim teorijske podloge, priložen je i primjer normalne ili Gaussove distribucije slučajnog vektora, kao najznačajnije distribucije u statističkoj teoriji i primjeni. 5

Slučajna varijabla. Uvod pojma slučajna varijabla Za početak navedimo jedan primjer koji smo sigurno barem jednom svi napravili, bilo da nam je to bila pomoć pri odlučivanju tko će započeti kartašku igru ili tko će povući prvi potez pri nekoj drugoj društvenoj igri, a da nismo ni bili svjesni da se iza toga krije matematička interpretacija i sam uvod u definiranje važnih matematičkih pojmova vezanih za vjerojatnost. Primjer.. Dvojica prijatelja igraju kartašku igru, ali se ne mogu odlučiti tko će prvi baciti kartu. Dolaze na ideju da svaki od njih baci pravilno izradenu igraću kockicu, te da onaj od njih kojem se pri bacanju okrene veći broj prvi baca kartu na stol, a ukoliko se obojici okrene isti broj, onda će smisliti neki drugi način odluke o prvom bacanju karte. Analizom ovog primjera utvrdujemo da je sve moguće ishode ovog pokusa moguće zapisati u obliku uredenih parova (x,x ) gdje je x broj koji se okrenuo na igraćoj kockici prilikom prvog bacanja, tj. prvom igraču, a x broj koji se okrenuo prilikom drugog bacanja, odnosno drugom igraču. No, nas zanima samo veći od rezultata koji se okrenuo prilikom oba bacanja, točnije, je li se veći broj okrenuo prilikom prvog bacanja kojeg je izveo prvi igrač - označimo taj ishod s, ili prilikom drugog bacanja kojeg je izveo drugi igrač - taj ishod označimo s, ili se obojici igrača okrenuo isti broj - označimo taj ishod s. Primijetimo da ovaj primjer možemo opisati funkcijom koja prima dva prirodna broja, u ovom našem konkretnom primjeru iz skupa {,,3,4,5,6}, a kao rezultat vraća jedan od brojeva iz skupa {,,}, ovisno o tome koja od gore odredenih situacija se dogodila. Dakle, navedeni primjer možemo opisati funkcijom:, ako je x > x f(x, x ) =, ako je x = x x, x {,, 3, 4, 5, 6}, ako je x < x Vidimo da je funkcija f definirana na skupu {,, 3, 4, 5, 6} {,, 3, 4, 5, 6}, a vrijednosti poprima u ovisnosti o ishodu koji se realizirao. Upravo to dovodi nas do slutnje o definiciji slučajne varijable kao funkcije kojoj je domena skup elemenarnih dogadaja izvodenja slučajnog pokusa, a kodomena neki podskup skupa realnih brojeva. 6

. Diskretna slučajna varijabla.. Elementarni pojmovi Prije same definicije diskretne slučajne varijable, precizirajmo pojmove iz prethodnog primjera. U Primjeru. proučavali smo bacanje pravilno izradene igraće kockice dva puta za redom. Uočimo da ishod ovog pokusa nije jednoznačno odreden uvjetima u kojima se pokus odvija, odnosno da ne možemo sa sigurnošću tvrditi koji će biti rezultat bacanja, no imamo konačno mnogo mogućih situacija koje se mogu dogoditi. Takav pokus gdje ishod nije jedinstven, tj. imamo barem dvije moguće realizacije, naziva se slučajan pokus. Izvodenjem ovog slučajnog pokusa, kao rezultat dobivamo ureden par kojem su oba elementa iz skupa {,,3,4,5,6} i nazivamo ga elementarni dogadaj te označavamo s ω, a skup svih mogućih uredenih parova naziva se skup svih mogućih ishoda ili prostor elementarnih dogadaja slučajnog pokusa i označavamo ga sa Ω. U našem primjeru lako se vidi da je Ω = {(, ), (, ), (, 3), (, 4), (, 5), (, 6), (, ), (, ), (, 3), (, 4), (, 5), (, 6), (3, ), (3, ), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, ), (4, ), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, ), (5, ), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, ), (6, ), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}. Neka se nakon odredenog vremena igri pridružuje i treći igrač kojeg zanima tko je od dvojice igrača prvi započeo igru, te mu je u žaru igre samo kratko odgovoreno da je igru odmah nakon prvog bacanja igraće kockice započeo drugi igrač. Koje su sve moguće ralizacije tako da bude ispoštovan navedeni ishod? Zaključujemo da je broj koji se okrenuo drugom igraču prilikom bacanja igraće kockice bio veći od broja koji se okrenuo prvom igraču, tj. realizirao se jedan od elementanih dogadaja iz skupa kojeg ćemo označiti sa A = {(, ), (, 3), (, 4), (, 5), (, 6), (, 3), (, 4), (, 5), (, 6), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 5), (4, 6), (5, 6)} Vidimo da je A jedan od podskupova skupa Ω. Svaki podskup skupa Ω naziva se dogadaj na Ω. Prisjetimo se funkcije kojom smo opisali izvodenje pokusa iz primjera.. Vidimo da u našem primjeru dani dogadaj A govori o tome da funkcija f za svaki element skupa A poprima vrijednost jedan. 7

.. Klasičan pristup u odredivanju vjerojatnosti Neka je trećem igraču poznata informacija da je drugi igrač započeo bacanje. Prirodno je pitati se i kolika je bila vjerojatnost da je igru započeo baš drugi igrač uz zadane uvjete odlučivanja o bacanju prve karte. Definicija.. Ako su svi ishodi u konačnom nepraznom skupu elementarnih dogadaja Ω jednako mogući ishodi, vjerojatnost da se realizira dogadaj A Ω jednaka je kvocijentu kardinalnog broja skupa A i kardinalnog broja skupa Ω, tj. broj P (A) = k(a) k(ω) naziva se vjerojatnost dogadaja A...3 Vjerojatnost na diskretnom Ω i diskretna slučajna varijabla Navedeni klasični pristup u odredivanju vjerojatnosti ima veliku ulogu u primjeni rezultata teorije vjerojatnosti u praksi, no on ne daje općenitu definiciju vjerojatnosti. U tu svrhu trebamo definirati dovoljno bogatu familiju podskupova od Ω koja će činiti temelj za definiciju vjerojatnosti. Definicija.3. Neka je dan neprazan skup Ω. Familija F podskupova od Ω je σ-algebra skupova na Ω ako za nju vrijedi:. F. ako je A F, onda je i komplement tog skupa A C F tj. σ-algebra je zatvorena s obzirom na komplementiranje 3. ako je dana prebrojiva familija skupova (A n, n N) F, onda F sadrži i njihovu uniju A n F, tj. zatvorenost σ-algebre u odnosu na prebrojivu uniju. n= Uočimo da je partitivni skup zapravo najbogatija σ- algebra danog skupa Ω. Sada kada raspolažemo sa skupom elementarnih dogadaja Ω i σ-algebrom na njemu, uvedimo i definiciju vjerojatnosti na njemu: Definicija.4. Neka je Ω neprazan skup elementarnih dogadaja i F σ algebra dogadaja na njemu. Funkciju P : F R zovemo vjerojatnost na Ω ako zadovoljava sljedeće zahtjeve: 8

. nenegativnost vjerojatnosti: P(A), A F. normiranost vjerojatnosti: P (Ω) = 3. σ - aditivnost vjerojatnosti: ako je dana prebrojiva familija medusobno disjunktnih skupova (A i, i I) F, I N, tj. A i A j = čim je i j, tada vrijedi ( ) P A i = P (A i ) i I i I Zahtijeve nenegativnosti, normiranosti i σ- aditivnosti nazivamo aksiomima vjerojatnosti. Uredenu trojku (Ω, F, P) zovemo vjerojatnosni prostor. Neka je Ω konačan ili prebrojiv prostor elementarnih dogadaja. U tom slučaju pretpostavit ćemo da je pridružena σ algebra točno jednaka partitvnom skupu od Ω, tj. F = P(Ω). Vjerojatnosni prostor kod kojeg je Ω konačan ili prebrojiv skup, a pridružena σ algebra je P(Ω), zvat ćemo diskretan vjerojatnosni prostor. Definicija.5. Vjerojatnost na diskretnom Ω zadaje se pomoću niza brojeva (p i, i I Ω N) za koje vrijedi p i i p i =. i I Ω Definirajmo sada diskretnu slučajnu varijablu i pojmove vezane za nju. Definicija.6. X je diskretna slučajna varijabla na vjerojatnosnom prostoru (Ω, F, P ) ako postoji diskretan skup D R takav da je P ({ω Ω : X(ω) D}) = P (X D) =, odnosno da je skup svih vrijednosti koje slučajna varijabla X može primiti (označavamo ga sa R(X) i nazivamo ga slika slučajne varijable X) diskretan skup. Neka je R(X)={x i : i I N}. Kao što je već rečeno, na diskretnom skupu R(X) vjerojatnost definiramo nizom brojeva (p i : i I N) takvih da je p i i p i =. To zapisujemo u obliku tablice i I ( ) x x X = x n p p p n 9

i tu tablicu zovemo tablica distribucije diskretne slučajne varijable X. Općenito, uredenu trojku (R(X), P(R(X)), P x ) gdje je R(X) slika slučajne varijable X, P(R(X)) skup svih podskupova skupa R(X), odnosno partitivni skup skupa R(X) i P X : R(X) [, ] vjerojatnost definirana formulom P X (x i ) = p i, i I, naziva se diskretan vjerojatnosni prostor induciran slučajnom varijablom X...4 Funkcija distribucije i numeričke karakteristike diskretne slučajne varijable Primjer.7. Bacamo pravilno izradenu igraću kockicu i bilježimo broj koji se okrenuo pri bacanju. U ovom primjeru skup elementarnih dogadaja je Ω={,,3,4,5,6}. Kako je kockica pravilno izradena, svi ishodi su jednako mogući pa je vjerojatnost realizacije svakog od tih elementarnih dogadaja jednaka / 6. Označimo sa A = {} {} {3} = {,, 3}. To će nam olakšati shvaćanje sljedeće definicije: Definicija.8. Neka je X diskretna slučajna varijabla na vjerojatnosnom prostoru (Ω, P(Ω), P ). Funkciju F : R [, ] koja realnom broju x pridružuje vjerojatnost da dana slučajna varijabla bude manja ili jednaka tom broju tj. F (x) = P (X x) = P ({ω Ω : X(ω) x}) zovemo funkcija distribucije slučajne varijable X i za dani realni broj x računamo ju prema formuli: F (x) = P ({x i }) x i R(X) x Vratimo se sada na naš dogadaj A={,,3} iz Primjera.7. Vidimo da je vjerojatnost dogadaja A upravo jednaka vrijednosti funkcije f u točki tri. Dogadaj smo namjerno tako konstruirali kako bismo pokazali da je vjerojatnost da se pri bacanju igraće kockice okrenuo broj koji je manji ili jednak od 3 jednak upravo vrijednosti funkcije distribucije za tako modeliranu slučajnu varijablu X. Osim što se funkcija distribucije po definiciji koristi za izračunavanje vjerojatnosti da dana slučajna varijabla bude manja ili jednaka nekom broju, vidimo da se ona može primjenjivati i u rješavanju zadataka

ovakvoga tipa. Osnovne numeričke karakteristike diskretne slučajne varijable su njeno matematičko očekivanje i varijanca. Definicija.9. Neka je (Ω, F, P) diskretan vjerojatnosni prostor i X slučajna varijabla na njemu. Ako red ω Ω X(ω)P (ω) apsolutno konvergira, onda kažemo da slučajna varijabla X ima matematičko očekivanje i broj EX = ω Ω X(ω)P (ω) zovemo matematičko očekivanje slučajne varijable X. Lako se pokaže primjenom teorije ponovljenih redova da se matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable računa kao EX = ω Ω X(ω)P (ω) = EX = i I x i p i. Mi se detaljnim dokazom nećemo baviti (pogledati u M.Benšić, N.Šuvak: Uvod u vjerojatnost i statistiku, str.5.-6., Teorem..), nego ćemo uvesti sljedeću definiciju: Definicija.. Neka je X slučajna varijabla na diskretnom vjerojatnosnom prostoru (Ω, P(Ω), P ). Ako postoji očekivanje E(X EX), onda taj nenegativni broj nazivamo varijanca slučajne varijable X i označavamo ga sa VarX. Varijancu interpretiramo kao očekivano kvadratno odstupanje slučajne varijable X od njenog očekivanja..3 Neprekidna slučajna varijabla.3. Neprekidna slučajna varijabla i funkcija gustoće Do sada smo promatrali samo slučajeve kada imamo diskretan vjerojatnosni prostor, no što ako slika slučajne varijable nije diskretan skup? Primjer.. Na slučajan način odabiremo broj iz segmenta [, ]. Možemo li ispisati sve članove tog segmenta odnosno sve brojeve koji mogu biti odabrani?

Sada se pojavio problem jer više ne možemo u cijelosti primijeniti svojstva i pojmove koje smo definirali kod diskretne slučajne varijable, jer više nemamo diskretan prostor elementarnih dogadaja. Stoga uvodimo sljedeću definiciju: Definicija.. Neka je zadan vjerojatnosni prostor (Ω, F, P) i funkcija X : Ω R za koju vrijedi:. {ω Ω : X(ω) x} = {X x}, x R. postoji nenegativna realna funkcija f realne varijable takva da vrijedi P ({ω Ω : X(ω) x}) = P ({X x}) = x f(t)dt, x R. Funkciju X zovemo neprekidna slučajna varijabla na Ω, a funkciju f funkcija gustoće slučajne varijable X. Navedimo i dokažimo osnovna svojstva funkcije gustoće neprekidne slučajne varijable:. Nenegativnost: f(x), x R Slijedi iz same definicije funkcije gustoće kao nenegativne realne funkcije realne varijable.. Normiranost: f(x)dx = Svojstvo se pokaže primjenom svojstva neprekidnosti vjerojatnosti u odnosu na monotono rastuću familiju skupova:. n f(x)dx = lim f(x)dx = lim P {X, n]} = P {Ω} = n n 3. Vjerojatnost da slučajna varijabla X, čija je funkcija gustoće f(x), primi vrijednost iz intervala a,b] može se izračunati korištenjem funkcije gustoće na slijedeći način: P {a < X b} = P {X a, b]} = b a f(x)dx. Korištenjem svojstava vjerojatnosti i integrala lako se pokaže da je: P {a < X b} = P {X b} P {X < a} = = b b a f(x)dx f(x)dx. a f(x)dx

Ako je zadana funkcija f koja zadovoljava svojstvo normiranosti i nenegativnosti, može se pokazati da postoji vjerojatnosni prostor (Ω, F, P) i slučajna varijabla X na njemu tako da f bude funkcija gustoće. Primjer.3. Pokažimo da je sa f(x) = σ (x µ) π e σ, x R, gdje su σ i µ realni brojevi, σ >, definirana funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable X Provjerimo zadovoljava li ovako definirana funkcija svojstva koja su potrebna da bi ona bila funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable X:. Nenegativnost: kako su σ i µ realni brojevi i σ >, izraz σ je uvijek π pozitivan, a po definiciji eksponencijalne funkcije ona je nenegativna funkcija pa je stoga i umnožak dva nenegativna broja opet nenegativan broj, te je time osigurano svojstvo nenegativnosti.. Normiranost: izračunajmo σ (x µ) π e σ dx = σ π = t= x µ σ dt= σ dx = σ π = σ σ π = π e (x µ) σ dx σe t dt e t dt e t dt. Integral e t dt 3

naziva se Gaussov integral i pokazat ćemo jedan od načina njegovog rješavanja. Uzimajući u obzir da funkciju e t koju integriramo po skupu R možemo supstituirati funkcijom e (x +y ) koju ćemo onda integrirati po R, rješavanju integrala pristupamo na sljedeći način, gdje s jedne strane imamo R e (x+y) dxdy = = = e (x +y ) dxdy e x dx e x dx, e y dy dok s druge strane koristeći zapis u polarnim koordinatama imamo: R e (x+y) dxdy = π = π = π e r drdθ re r dr = es ds = π(e e ) = π. Izjednačavajući dobivene izraze vidimo da je stoga σ (x µ) π e σ dx = π s= r ds= rdr e t dt = π, pa je e t dt = π π =, čime smo pokazali da ova funkcija zadovoljava svojstvo normiranosti, pa je ona funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable X. Stoga uvedimo sljedeću definiciju: 4

Definicija.4. Za neprekidnu slučajnu varijablu kažemo da ima Gaussovu ili normalnu distribuciju s parametrima µ i σ ako je njena funkcija gustoće dana izrazom f(x) = σ (x µ) π e σ, x R, gdje su µ i σ realni brojevi i σ >. Ako slučajna varijabla X ima normalnu distribuciju s parametrim µ i σ koristimo oznaku X N (µ, σ )..3. Funkcija distribucije neprekidne slučajne varijable Definicija.5. Neka je X neprekidna slučajna varijabla s funkcijom gustoće f. Funkciju F : R [, ] koja realnom broju x pridružuje vjerojatnost da dana slučajna varijabla bude manja ili jednaka tom broju tj. F (x) = P (X x) = P ({ω Ω : X(Ω) x}) zovemo funkcija distribucije slučajne varijable X. Tada vrijednost funkcije distribucije slučajne varijable X za proizvoljan realan broj x računamo na sljedeći način F (x ) = P {X x } = x f(x)dx. Kako je funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable neprekidna funkcija, iz svojstava integrala lako se zaključi da je i funkcija distribucije slučajne neprekidne varijable neprekidna funkcija. Promotrimo poseban slučaj, ukoliko imamo neprekidnu slučajnu varijablu X s pripadnim funkcijama gustoće i distribucije, zanima nas kolika je vjerojatnost da slučajna varijabla poprimi vrijednost x : ( ) P {X = x } = P {x n < X < x } = lim n =. n= ( F (x ) F ( x )) n 5

Primjer.6. Odredimo funkciju distribucije neprekidne slučajne varijable s funkcijom gustoće zadanom sa: { sin x, x, π f(x) = ], x /, π]. Ako je x, ] tada je F (x) = P {X x} = x f(x)dx =, za x, π ] je F (x) = P {X x} = x x f(t)dt + f(t)dt = sin tdt = cos t, a za x > π je očigledno ( π ) F (x) = F =. Slijedi da je funkcija distribucije neprekidne slučajne varijable X definirana formulom, x, ] F (x) = cos x, x, π ]., x > π Teorem.7. Neka je F funkcija distribucije slučajne varijable X. Tada ona posjeduje sljedeća svojstva:. P (x X x ) = F (x ) F (x ). F je rastuća funkcija: x < x F (x ) < F (x ) 3. lim F (x) =, lim x F (x) = x 4. F je neprekidna slijeva: F (x ) := lim ε F (x ε) = F (x), x R. Dokaz: 6

. Neka je x x.onda vrijedi: F (x ) = P ({X < x }) = P ({X < x } {x X < x }) = P ({X < x }) + P ({x X < x }) = F (x ) + P ({x X < x }). Neka je x < x.tada vrijedi: F (x ) = F (x ) + P ({x X < x }) > F (x ) 3. Neka je (x n ) po volji odabran padajući niz realnih brojeva, odnosno lim x n =. Označimo s A n = {X < x n, n N}. Onda je A n n padajuća familija skupova A A... i vrijedi A n =. Zato je zbog svojstva neprekidnosti vjerojatnosti u odnosu na padajuću familiju dogadaja n= lim F (x) = lim F (x n) = lim P (A n ) =. x n n Druga tvrdnja se dokazuje na sličan način. 4. Tvrdnja ponovo slijedi iz neprekidnosti vjerojatnosti u odnosu na padajuću familiju dogadaja. Naime, ako je (ε n ) niz pozitivnih brojeva koji opada prema nuli, onda je s A n = {X < x ε} definiran rastući niz skupova za koje vrijedi A n = pa tvrdnja slijedi zbog neprekidnosti vjerojatnosti: čime je teorem dokazan. n= F (x ) = lim ε F (x ε) = lim n F (x ε n ) = lim n P (A n ) = P (A) = F (x), x R 7

.3.3 Očekivanje i varijanca neprekidne slučajne varijable Za neprekidnu slučajnu varijablu X očekivanje se definira uz pomoć pripadne funkcije gustoće slučajne varijable X. Definicija.8. Neka je X neprekidna slučajna varijabla s funkcijom gustoće f. Ako je integral x f(x)dx konačan, onda kažemo da neprekidna slučajna varijabla X ima očekivanje i broj µ = EX = xf(x)dx zovemo matematičko očekivanje neprekidne slučajne varijable X. Bitna osvojstva matematičkog očekivanja su:. Neka su a i b realni brojevi, a X slučajna varijabla koja ima očekivanje. Tada i slučajna varijabla ax+b ima očekivanje i vrijedi: E(aX + b) = aex + b.. Ako su X i Y dvije slučajne varijable koje imaju očekivanje i ako vrijedi X(ω) Y (ω) za sve ω Ω onda je i EX EY. 3. Ako je X slučajna varijabla koja ima svojstvo da je X(ω), ω Ω i ako je red ω Ω X(ω)P (ω) konvergentan, tada je i EX. 4. Ako su X i Y dvije slučajne varijable koje imaju očekivanja EX, odnosno EY, tada za proizvoljne realne brojeve a i b slučajna varijabla ax+by takoder ima očekivanje i vrijedi E(aX + by ) = aex + bey. 5. Ako je dana realna funkcija realne varijable g, onda očekivanje slučajne varijable g(x) računamo na sljedeći način Eg(x) = g(x)f(x)dx. 8

Definicija.9. Neka je X neprekidna slučajna varijabla s očekivanjem EX. Tada broj V arx = (x EX) f(x)dx zovemo varijanca neprekidne slučajne varijable X. Navedimo i najbitnija svojstva varijance slučajne varijable X:. Neka je X slučajna varijabla koja ima varijancu, te a i b proizvoljni realni brojevi. Tada vrijedi: V ar(ax + b) = a V arx. Ako za slučajnu varijablu X vrijedi V arx=, onda ona zapravo nema karakter slučajnosti, tj. P{X=konst.}=. Vrijedi i obrat ove tvrdnje, tj. ako za slučajnu varijablu X vrijedi P {X = konst.}=, onda je V arx=. 3. Varijancu možemo računati pomoću formule V arx = EX (EX). Primjer.. Neka je X N (µ, σ ) tj. f(x) = σ (x µ) π e σ, x R. Izračunajmo varijancu i očekivanje slučajne varijable X. Uočimo prvo da je funkcija g(x) = x e x π neparna, na R integrabilna funkcija, pa je g(x)dx = Osim toga, zbog normiranosti funkcije gustoće neprekidne slučajne varijable znamo da je π e x dx = 9

Primjenom supstitucije t = x µ σ EX = πσ = πσ = π slijedi: xe (x µ) σ dx (σt + µ)e t dt σte t dt + µ π e t dt = µ EX = πσ = σ π = σ π x e (x µ) σ dx = π t e t dt + σµ π t e t dt + µ = σ π (σt + µ) e t dt te t dt + µ π t e t dt + µ e t dt Gornji integral rješavamo parcijalnom integracijom, te se pokaže da je σ π t e t dt = σ π e t dt = σ. Dakle, V arx = σ. Pokazalo se da je parametar µ normalne distribucije upravo njezino matematičko očekivanje i parametar σ njezina varijanca..3.4 Nezavisnost slučajnih varijabli Općenito, za proizvoljnu familiju dogadaja (A x, x I R) vrijedi sljedeća definicija:

Definicija.. Neka je (Ω, F, P ) vjerojatnosni prostor. Kažemo da je proizvoljna familija dogadaja (A x, x I) F nezavisna ako za svaki skup različitih indeksa {i,..., i n } I vrijedi ( n ) n P A ij = P (A ij ). j= j= Stoga, uvedimo i definiciju nezavisnosti za neprekidne slučajne varijable: Definicija.. Kažemo da su slučajne varijable X i Y nezavisne, ukoliko za sve intervale A, B iz skupa R vrijedi P (X A, Y B) = P (X A)P (Y B). O ostalim definicijama i kriterijima nezavisnosti ćemo više reći u poglavlju o slučajnim vektorima.

3 Diskretan slučajan vektor U ovom poglavlju navest ćemo osnovne definicije i svojstva vezana za dvodimenzionalan diskretan slučajni vektor. Lako se pokaže da sve što vrijedi za n-dimenzionalan, vrijedi i za dvodimenzionalan diskretan slučajan vektor, pa se mi n-dimenzionalnim diskretnim slučajnim vektorom nećemo baviti nego ćemo navesti samo neke osnove na primjeru dvodimenzionalnog diskretnog slučajnog vektora, kako bismo uveli pojmove koji će nam trebati u sljedećem poglavlju. 3. Definicija dvodimenzionalnog diskretnog slučajnog vektora. Tablica distribucije. Definicija 3.. Neka je (Ω, F, P ) diskretan vjerojatnosni prostor. Funkcija (X, Y ) : Ω R, pri čemu su X i Y diskretne slučajne varijable, naziva se dvodimenzionalan diskretan slučajan vektor. Skup R(X, Y ) = {(x i, y j ) : x i R(X), y j R(Y ), i, j N} zove se slika slučajnog vektora (X, Y ). Distribuciju dvodimenzionalnog diskretnog slučajnog vektora zadajemo tablicom brojeva p ij = P (X = x i, Y = y j ) koji imaju sljedeća svojstva:. p ij [, ], i, j N. p ij =. i,j N Neka je R(X, Y ) = {(x i, y i ) : i {,..., m}, j {,..., n}}. Distribucija slučajnog vektora (X,Y) je tada zadana tablicom X\Y y y y n x p p p n p x x p p p n....... p x. x m p m p m p mn p xm p y p y p yn gdje su p = P (X = x, Y = y ),..., p mn = P (X = x m, Y = y n ), te p xi = P (X = x i ) = P {(X = x i, Y = y ) (X = x i, Y = y n )} = n p yj p ij j= = P (Y = y j ) = P {(X = x, Y = y j ) (X = x m, Y = y j )} = m p ij. i=

Tada su distribucije slučajnih varijabli X i Y zadane tablicama ( ) ( ) x x X = x m y y Y = y n p x p x p xm p y p y p yn i nazivaju se marginalnim distribucijama diskretnog slučajnog vektora (X,Y). Definicija 3.. Neka je (Ω, F, P ) vjerojatnosni prostor pridružen slučajnom pokusu i (X, Y ) slučajan vektor. Funkciju F : R [, ] definiranu sa F (X, Y ) = P {X x, Y y} zovemo funkcija distribucije slučajnog vektora (X, Y ). 3. Uvjetne distribucije i nezavisnost komponenti dvodimenzionalnog diskretnog slučajnog vektora Definicija 3.3. Neka je dan vjerojatnosni prostor (Ω, F, P ) i dogadaj B F za kojeg vrijedi P (B) >. Funkcija P ( B ) definirana na F izrazom P (A B) = P (A B), A F, P (B) je uvjetna vjerojatnost uz uvjet da se dogodio dogadaj B. Budući da raspolažemo dvodimenzionalnim diskretnim slučajnim vektorom (X, Y ) koji je zadan tablicom distribucije uz oznake X\Y y y y n x p p p n p x x p p p n....... p x. x m p m p m p mn p xm p y p y p yn A = {ω Ω : X(ω) = x i } B = {ω Ω : Y (ω) = y j } 3

vidimo da je prema definiciji P (A B) = P (A B) P (B) = P ({X = x i} {Y = y j }) P ({Y = y j }) = p ij p yj. Sada možemo općenito zadati uvjetnu distribuciju komponente X uz zadani uvjet Y = y j, j {,..., n}, tablicom distribucije: ( ) x x x m p(x y j ) p(x y j ) p(x m y j ) pri čemu je p(x i y j ) = P (X = x i, Y = y j ) P (Y = y j ) = p ij p yj, te isto tako uvjetnu distribuciju komponente Y uz zadani uvjet X = x i, i {,..., m} sljedećom tablicom distribucije: ( ) y y y n p(y x i ) p(y x i ) p(y n x i ) pri čemu je p(y j x i ) = P (Y = y j, X = x i ) P (X = x i ) = p ij p xi. Teorem 3.4. Neka je (X,Y) diskretan slučajan vektor na vjerojatnosnom prostoru (Ω, P(Ω), P ) čija je distribucija zadana tablicom X\Y y y y n x p p p n p x x p p p n....... p x. x m p m p m p mn p xm p y p y p yn Slučajne varijable X i Y su nezavisne onda i samo onda ako vrijedi P (x i, y j ) = p xi p yj, x i R(X), y j R(Y ). Takoder, vrijedi i sljedeća korisna činjenica vezana za matematičko očekivanje: 4

Teorem 3.5. Neka su X i Y nezavisne diskretne slučajne varijable na vjerojatnosnom prostoru (Ω, P(Ω), P ) takve da postoje EX i EY. Tada postoji i matematičko očekivanje slučajne varijable XY i vrijedi da je E(XY ) = EXEY. 3.3 Kovarijanca i koeficijent korelacije Definicija 3.6. Očekivanje E ( (X EX) k (Y EY ) l) zove se centralni moment reda (k,l) slučajnog vektora (X,Y). Pišemo m kl = E ( (X EX) k (Y EY ) l). Centralni moment reda (,) tj. m = E ((X EX)(Y EY )) zove se kovarijanca ili korelacijski moment slučajnog vektora (X,Y) i označava se oznakom Cov(X, Y ). Vidimo da kovarijancu možemo računati kao: Cov(X, Y ) = E((X EX)(Y EY )) = E(XY XEY Y EX + EXEY ) = E(XY ) EY EX EXEY + EXEY = E(XY ) EXEY. Teorem 3.7. Neka je (X,Y) dvodimenzionalan slučajan vektor takav da EX i EY postoje. Ako su varijable X i Y nezavisne slučajne varijable, onda je Cov(X,Y)=. Dokaz: što je i trebalo pokazati. Cov(X, Y ) = E(XY ) EXEY = EXEY EXEY =. Definicija 3.8. Neka je (X,Y) slučajan vektor za koji je Cov(X,Y)=. Tada kažemo da su njegove komponente X i Y nekorelirane. 5

Za računanje koeficijenta korelacije radimo sljedeći postupak standardizacije uz pretpostavke da su X i Y slučajne varijable koje imaju varijancu, (X,Y) slučajni vektor te σ x i σ y : X s = X µ x σ x Y s = Y µ y σ y. Kako su sada X s i Y s standardizirane, znamo da vrijedi EX s = EY s = i σ x = σ y =. Definiramo koeficijent korelacije kao broj: ρ xy := Cov(X s, Y s ) = E(X s Y s ) EX s EY s = E(X s Y s ) ( (X µx ) = E (Y µ ) y) σ x σ y = E((X µ x )(Y µ y )) σ x σ y = Cov(X, Y ) V arx V ary. 6

4 Neprekidan slučajan vektor Budući da smo se u prethodnom poglavlju bavili pretežito dvodimenzionalnim diskretnim slučajnim vektorom, uvedimo sada definiciju slučajnog vektora koji nije ograničen samo na dvije dimenzije, tj. n-dimenzionalnog slučajnog vektora. Neka je R skup realnih brojeva. Sa B označimo σ-algebru generiranu familijom svih otvorenih skupova na R. B zovemo Borelova σ-algebra na skupu R, a elemente σ-algebre B zovemo Borelovi skupovi. Jasno je da je svaki otvoreni interval iz R Borelov skup. Zbog svojstava σ-algebre u Borelove skupove ubrajamo i zatvorene intervale, poluotvorene (odnosno poluzatvorene intervale), neograničene intervale, jednočlane skupove i prebrojive podskupove skupa R. Sa B n označimo σ-algebru na R n generiranu familijom svih otvorenih podskupova od R n. B n zovemo σ-algebra Borelovih skupova na R n, a elemente od B n zovemo Borelovi skupovi iz R n. Definicija 4.. Neka je (Ω, F, P ) vjerojatnosni prostor i B n σ-algebra Borelovih skupova na R n. Funkcija X : Ω R n za koju vrijedi X (B) F, B B n je n-dimenzionalan slučajan vektor na (Ω, F, P ) 4. Funkcija gustoće i funkcija distribucije neprekidnog slučajnog vektora Definicija 4.. Neka je (Ω, F, P ) vjerojatnosni prostor i X : Ω R n slučajan vektor na njemu. Funkciju F : R n [, ] definiranu izrazom ( n ) F X (x) = F X (x,..., x n ) = P (X (x,..., x n )) = P {X i x i } zovemo funkcija distribucije slučajnog vektora X. i= Definicija 4.3. Slučajan vektor X = (X, X,..., X n ) je neprekidan ako postoji funkcija f : R n R sa svojstvima: 7

. f(x, x,..., x n ), (x, x,..., x n ) R n (nenegativnost). f(x, x,..., x n )dx dx... dx n = (normiranost) R n takva da je F X (x, x,..., x n ) = x n x n x... f(t, t,..., t n )dt dt... dt n. Funkciju f zovemo funkcija gustoće neprekidnog slučajnog vektora X. Primjer 4.4. Neka je X = (X, Y, Z) neprekidan slučajan vektor s funkcijom gustuće zadanom izrazom { c, < x < y < z < f X (x, y, z) =., inače Odredimo vrijednost konstante c. Budući da mora vrijediti svojstvo normiranosti provodimo sljedeći račun: = z y f X (x, y, z)dxdydz = cdxdydz = c = c = c R R R z = c 6, ( z 3 ( x ( y 3 iz čega je očigledno c = 6. y z ) ) dydz = c z ) dz = c z dz = c ( ) 6 ydydz 8

U slučaju da promatramo n-dimenzionalan neprekidan slučajan vektor, funkciju gustoće možemo dobiti parcijalnim deriviranjem funkcije distribucije, tj. f(x, x,..., x k ) = ukoliko sve parcijalne derivacije postoje. k x x... x k F (x, x,..., x k ), Takoder, za k-dimenzionalan slučajan vektor X = (x,..., x k ) i k-dimenzionalan dogadaj A vjerojatnost računamo na sljedeći način: P (X A) = f(x,..., x k )dx... dx k. A 4. Marginalne funkcije distribucija i gustoća Ukoliko imamo dvodimenzionalan neprekidan slučajan vektor X = (X, X ) s definiranom funkcijom distribucije F X (x, x ), pogledajmo kako onda možemo izraziti funkciju distribucije slučajne varijable X F X (x ) = P (X x ) = P (X x, X < ) = F X (X, ) = = Takoder, lako pokažemo da je f X (x ) = x x f X (t )dt. d F X (x ) dx = d dx = x f X (t, t )dt dt f X (x, x )dx f X (t, x )dt dx 9

Analogno se pokaže da isti račun možemo provesti i za slučajnu varijablu X, pa isti postupak možemo provesti i općenito: Definicija 4.5. Neka je X = (X,..., X n ) slučajan vektor s funkcijom gustoće f X (x,..., x n ). Marginalne funkcije gustoća, odnosno funkcije gustoća slučajnih varijabli X,..., X n definiramo na sljedeći način: f Xi (x) = R n f X (x,..., x n )dx... dx i dx i+... dx n, i {,..., n}. Primjer 4.6. Odredimo sada jednodimenzionalne i dvodimenzionalne marfinalne funkcije gustoća slučajnog vektora X iz prethodnog primjera čija je funkcija gustoće bila zadana sa { 6, < x < y < z < f X (x, y, z) =, inače. Za x, je: f X (x) = pa je f X (x) = R R f X (x, y, z)dydz = z x x 6dydz = 6 x ( y ( ) z = 6 (z x)dz = 6 xz x x ( x = 6 x + ) = 3(x x + ) = 3(x ), { 3(x ), < x <, inače. z x ) dz ( = 6 x x + x ) 3

Za y, je: f X (y) = pa je f X (y) = = 6 R R y f X (x, y, z)dxdz = y ydz = 6yz = 6y( y), y { 6y( y), < y <, inače. y 6dxdz = 6 y ( x y ) dz Za z, je: f X3 (z) = pa je f X3 (z) = = 6 Za < x < y < je: R R z f X (x, y, z)dxdy = ydy = 6 y { 3z, < z <, inače. z y z = 3z, z 6dxdy = 6 ( x y ) dy f (X,X )(x, y) = R f X (x, y, z)dz = y 6dz = 6z = 6( y), y pa je f X,X (x, y) = { 6( y), < x < y <, inače. 3

Za < x < z < je: f (X,X 3 )(x, z) = R f X (x, y, z)dy = z x 6dy = 6y z = 6(z x), x pa je f X,X 3 (x, z) = Za < y < z < je: { 6(z x), < x < z <, inače. f (X,X 3 )(y, z) = { pa je f X,X 3 (y, z) = R f X (x, y, z)dx = y 6y, < y < z <, inače. 6dx = 6x y = 6y, Definicija 4.7. Marginalne funkcije distribucija n-dimenzionalnog slučajnog vektora X = (X,..., X n ) s funkcijom distribucije F X definirane su na sljedeći način: F Xj (x) = lim x i i j F X (x,..., x j,..., x n ) Navedimo neka od svojstava funkcije distribucije neprekidnog slučajnog vektora (radi jednostavnosti) na primjeru dvodimenzionalnog neprekidnog slučajnog vektora X = (X, Y ):. F X (x, y). ako je x x i y y tada je F X (x, y ) F X (x, y ) F X (x, y ) F X (x, y ) F X (x, y ) F X (x, y ) 3. lim x y F X (x, y) = F X (, ) = 3

4. lim F X(x, y) = F X (, y) = x lim F X(x, y) = F X (x, ) = y 5. lim F X(x, y) = F X (a, y) = x a + lim F X(x, y) = F X (x, b) = y b + 6. P (x X x, Y y) = F X (x, y) F X (x, y) P (X x, y Y y ) = F X (x, y ) F X (x, y ) 7. ako je x x i y y tada je F X (x, y ) F X (x, y ) F X (x, y ) + F X (x, y ). 4.3 Uvjetne funkcije gustoća Definicija 4.8. Neka je X = (X, X ) neprekidan slučajan vektor zadan funkcijom gustoće f X (x, x ). Uvjetna funkcija gustoće slučajne varijable X za zadanu vjerojatnost Y=y definirana je izrazom f (x y) (x y) = f X(x, y) f Y (y) za vrijednosti y za koje je f Y (y) >, gdje je f Y (y) funkcija gustoće slučajne varijable Y. Analogno, uvjetna funkcija gustoće slučajne varijable Y za zadanu vrijednost X=x definirana je izrazom f (y x) (y x) = f X(x, y) f X (x) za vrijednosti x za koje je f X (x) >, gdje je f X (x) funkcija gustoće slučajne varijable X. Funkcije f (x y) i f (y x) zadovoljavaju sljedeća svojstva: 33

. f (x y) (x y). f (y x) (y x) 3. 4. f (x y) (x y)dx = f (y x) (y x)dy =. Sada uvjetnu funkciju gustoće možemo definirati i za n-dimenzionalni neprekidan slučajan vektor: Definicija 4.9. Neka je X = (X,..., X n ) n-dimenzionalan slučajan vektor s funkcijom gustoće f X (x,..., x n ) i neka je m < n. Zajednička uvjetna funkcija gustoće slučajnih varijabli X,..., X m za zadane vrijednosti X m+ = x m+,..., X n = x n definirana je izrazom f(x,..., x m x m+,..., x n ) = f X (x,..., x n ) f xm+,...,x n (x m+,..., x n ) za one x m+,..., x n za koje je f xm+,...,x n (x m+,..., x n ) >. Primjer 4.. Odredimo uvjetnu funkciju gustoće f(z x, y) iz Primjera 4.6. U primjeru smo izračunali da je f X (x, y, z) = 6 te f (X,X )(x, y) = 6( y), za < x < y < z <. Prema definiciji, za dani (X, X ) = (x, y), takav da je < x < y < je pa je prema tome f(z x, y) = f X(x, y, z) f (X,X )(x, y) = 6 6( y) = y f(z x, y) = { y < x < y < z <, inače. 34

4.4 Numeričke karakteristike neprekidnog slučajnog vektora 4.4. Očekivanje i varijanca neprekidnog slučajnog vektora Definicija 4.. Neka je X = (X,..., X n ) neprekidan slučajan vektor na vjerojatnosnom prostoru (Ω, F, P ). Ukoliko postoji matematičko očekivanje slučajne varijable X i, i {,..., n}, tada je matematičko očekivanje slučajnog vektora X definirano na sljedeći način: E[X ] x f X (x)dx E[X] =. =.. E[X n ] x n f Xn (x)dx Teorem 4.. Neka je zadan slučajan vektor X = (X,..., X n ) s funkcijom gustoće f X (x,..., x n ), te neka je Y = u(x,..., X n ) dana funkcija od X, tada je E(Y ) = E[u(X,..., X n )] =... u(x,..., x n )f X (x,..., x n )dx... dx n. Napomena 4.3. Lako se može provjeriti da vrijede sva do sada navedena svojstva za matematičko očekivanje. Teorem 4.4. Za slučajne varijable X,..., X n : Ω R vrijedi E(X + + X n ) = EX + + EX n. Dokaz: Neka je f X (x,..., x n ) funkcija gustoće slučajnog vektora X = (X,..., X n ). 35

Tada vrijedi: E(X + + X n ) = (x + + x n )f X (x,..., x n )dx... dx n = x dx f X (x,..., y)dx... dx n + + x n dx n f X (x,..., x n )dx... dx n = x f X (x )dx + + x n f Xn (x n )dx n = EX + + EX n. Napomena 4.5. Svojstvo očekivanja iz prethodnog teorema vrijedi i za bilo koje funkcije slučajnih varijabli, a dokazuje se na isti način. Primjer 4.6. Funkcija gustoće slučajnog vektora X = (X, Y ) zadana je izrazom { 4xy, (x, y),, f X (x, y) =, inače, gdje su { x, x, f X (x) =, inače { y, y, f Y (y) =, inače. Odredite matematičko očekivanje slučajnog vektora X. EX = R EY = R xf X (x)dx = yf Y (y)dy = EX = x xdx = y ydy = [ ] EX = EY [ ] / 3 / 3 x dx = x3 3 y dy = y3 3 = 3 = 3 36

Definicija 4.7. Neka je X = (X, Y ) neprekidan slučajan vektor. Uvjetno očekivanje slučajne varijable Y, ako postoji, uz zadan X=x definiramo kao broj E(Y x) = yf(y x)dy. Neka je X = (X,..., X n ) n-dimenzionalan neprekidan slučajan vektor. Očekivanje svake komponente, odnosno slučajne varijable X i računamo kao EX i = x i f Xi (x)dx, pa je stoga varijanca i-te komponente vektora X jednaka: V arx i = (x i EX i ) f Xi (x)dx. Definicija 4.8. Neka je X = (X, Y ) neprekidan dvodimenzionalan slučajan vektor. Uvjetna varijanca varijable Y za zadani X=x definirana je izrazom V ar(y x) = E{[Y E(Y x)] x} 4.4. Kovarijanca i matrica kovarijanci Definicija 4.9. Neka su X i i X j komponente slučajnog vektora (X,..., X n ) takve da postoji E[X i ], E[X j ] i E[X i X j ], i, j {,,..., n}. Tada kovarijancu slučajnih varijabli X i i X j definiramo na sljedeći način: σ ij = Cov(X i, X j ) = E[X i X j ] E[X i ]E[X j ]. Ako su X i Y dvije slučajne varijable, a c konstanta, tada općenito vrijedi:. Cov(X, X) = V ar(x). Cov(X, Y ) = Cov(Y, X) 3. Cov(cX, Y ) = ccov(x, Y ) 4. Cov(X, Y + Z) = Cov(X, Y ) + Cov(X, Z) 37

Prva tri svojstva slijede direktno, a zadnje svojstvo se dokaže na slijedeći način: Cov(X, Y + Z) = E[X(Y + Z)] E[X]E[Y + Z] = E[XY ] E[X]E[Y ] + E[XZ] E[X]E[Z] = Cov(X, Y ) + Cov(X, Z). Teorem 4.. Ako su X i Y slučajne varijable, te a i b konstante, tada vrijedi. Cov(aX,bY)=abCov(X,Y). Cov(X+a,Y+b)=Cov(X,Y) 3. Cov(X,aX+b)=aVar(X). Dokaz:.. 3. Cov(aX, by ) = E[(aX E(aX))(bY E(bY ))] = E[(aX aex)(by bey )] = E[abXY abxey aby EX + abexey ] = abe(xy ) abexey abexey + abexey = abe(xy ) abexey = ab[e(xy ) EXEY ] = abcov(x, Y ) Cov(X + a, Y + b) = E[(X + a E(X + a))(y + b E(Y + b))] = E[(X + a EX a)(y + b EY b)] = E[XY XEY Y EX + EXEY ] = E(XY ) EXEY EXEY + EXEY = Cov(X, Y ) Cov(X, ax + b) = E[(X EX)(aX + b E(aX + b))] = E[(X EX)(aX + b aex b)] = E[aX axex axex + a(ex) ] = aex a(ex) a(ex) + a(ex) = av arx. 38

Primijetimo kako smo kod dvodimenzionalnog diskretnog slučajnog vektora kovarijancu definirali kao centralni moment reda (, ) odnosno korelacijski moment. Analogno, kovarijanca dvije neprekidne varijable je takoder centralni moment, tj. korelacijski moment dvije varijable slučajnog vektora. Kako kod slučajnog vektora općenito imamo n varijabli, i znamo da ukoliko postoje tražena očekivanja, kovarijancu možemo definirati i izračunati za svake dvije komponente tj. slučajne varijable iz tog slučajnog vektora. Dakle, ukoliko vektor ima n komponenti, tada imamo n korelacijskih momenata što zapisujemo u obliku matrice. Uvedimo sada preciznu definiciju: Definicija 4.. Realnu simetričnu matricu V = [Cov(X i, X j )], i, j {,..., n} zovemo matricom kovarijanci slučajnog vektora X = (X,..., X n ). Ako je X = (X,..., X n ) n-dimenzionalan neprekidan slučajan vektor, primjenjujući svojstva kovarijance, pokaže se da je: Cov(X, X ) Cov(X, X ) Cov(X, X n ) Cov(X, X n ) Cov(X, X ) Cov(X, X ) Cov(X, X n ) Cov(X, X n ) V =....... Cov(X n, X ) Cov(X n, X ) Cov(X n, X n ) Cov(X n, X n ) Cov(X n, X ) Cov(X n, X ) Cov(X n, X n ) Cov(X n, X n ) V arx Cov(X, X ) Cov(X, X n ) Cov(X, X n ) Cov(X, X ) V arx Cov(X, X n ) Cov(X, X n ) =....... Cov(X, X n ) Cov(X, X n ) V arx n Cov(X n, X n ) Cov(X, X n ) Cov(X, X n ) Cov(X n, X n ) V arx n V arx σ σ (n ) σ n σ V arx σ (n ) σ n =....... σ (n ) σ (n ) V arx n σ (n )n σ n σ n σ (n )n V arx n 4.4.3 Koeficijent korelacije i korelacijska matrica Definicija 4.. Neka je X = (X,..., X n ) neprekidan slučajan vektor. Komponente X i i X j su nekorelirane ako je Cov(X i, X j ) =. U suprot- 39

nom kažemo da su slučajne varijable X i i X j korelirane. Broj ρ i,j = Cov(X i, X j ) V arxi V arx j nazivamo koeficijent korelacije slučajnih varijabli X i i X j, i, j {,..., n} te vrijedi da je ρ [, ] Pokažimo da zaista vijedi da je ρ [, ]. Neka je µ i = EX i, µ j = EX j, σ i = V arx i, σ j = V arx j, te σ ij = Cov(X i, X j ). Neka je tada je jer je V ar(w ). ( V ar(w ) = W = X j σ ρ X i σ, σ j ) ( ) ρ σj + σi ρ σ ij σ i σ i σ j = + ρ ρ = ρ Takoder, kao što smo kod n-dimenzionalnog neprekidnog slučajnog vektora imali n kovarijanci, očigledno je da ćemo imati i n koeficijenata korelacije, koje opet zapisujemo matrično. Definicija 4.3. Realnu simetričnu matricu R = [ρ i,j ], i, j {,,..., n} zovemo korelacijska matrica slučajnog vektora X = (X,..., X n ). Analogno kao kod matrice kovarijanci, primjenjujući svojstva kovarijance i komutativnost množenja na skupu R, dobijemo sljedeći rezultat čime potkrepljujemo svojstva matrice R: ρ, ρ, ρ,n ρ,n ρ, ρ, ρ,n ρ,n R =....... ρ,n ρ,n ρ n,n ρ n,n ρ,n ρ,n ρ n,n ρ n,n 4

4.5 Nezavisnost komponenti neprekidnog slučajnog vektora Komponente X,..., X n slučajnog vektora X = (X,..., X n ) su slučajne varijable koje mogu, ali i ne moraju biti medusobno nezavisne. Prisjetimo se, slučajne vrijable X,..., X n su nezavisne ako vrijedi P (X A,..., X n A n ) = P (X A )... P (X n A n ) za izmjerive skupove A,..., A n. Izaberimo skupove A i =, x i. Onda je P (X i A i ) = P (X i < x i ) = F Xi (x i ). Ako su X,..., X n nezavisne, zaključujemo da vrijedi F X (x,..., x n ) = F X (x ) F Xn (x n ), (x,..., x n ) R n. Preko funkcija gustoća kriterij za nezavisnost možemo iskazati ovako: Teorem 4.4. Komponente X,..., X n slučajnog vektora X = (X,..., X n ) su nezavisne onda i samo onda ako vrijedi f X (x,..., x n ) = f X (x ) f Xn (x n ), (x,..., x n ) R n. Dokaz: Jedan smjer slijedi iz F X (x,..., x n ) = F X (x ) F Xn (x n ), deriviranjem te jednakosti po varijablama x,..., x n. Obrat ćemo, zbog jednostavnosti zapisivanja, dokazati za dvodimenzionalan vektor. Neka su A i B intervali u R, te G=A B pravokutnik. Onda vrijedi P (X A, Y B) = P ((X, Y ) G) = f X (x, y)dxdy. Prema pretpostavci teorema vrijedi f X (x, y) = f X (x)f Y (y), pa je ovaj integral jednak f X (x)f Y (y)dxdy = f X (x)dx f Y (y)dy = P (X A)P (Y B). G A B Dakle, X i Y su nezavisne. Propozicija 4.5. Ukoliko su komponente X i Y neprekidnog slučajnog vektora X = (X, Y ) nezavisne, tada za svake dvije funkcije g i h, ukoliko postoje očekivanja E[g(X)], E[h(Y )], E[g(X)]E[h(Y )], vrijedi E[g(X)h(Y )] = E[g(X)]E[h(Y )]. G 4

Dokaz: E[g(X)h(Y )] = g(x)h(x)f X (x, y)dxdy = g(x)h(x)f X (x)f Y (y)dxdy = h(y)f Y (y)dy g(x)f X (x)dx = E[h(Y )]E[g(X)] = E[g(X)]E[h(Y )]. Napomena 4.6. Kako prethodna propozicija vrijedi za svake dvije funkcije g i h, specijalno vrijedi i ako su funkcije identitete pa u tom slučaju imamo: E[XY ] = E[X]E[Y ]. Teorem 4.7. Ukoliko su komponente X i Y neprekidnog slučajnog vektora X = (X, Y ) nezavisne, tada je E[Y X = x] = EY, x R(X), te E[X Y = y] = EX, y R(Y ). Dokaz: Kako su X i Y nezavisne, tako je f X (x, y) = f X (x)f Y (y), pa je f X (y x) = f Y (y) i f X (x y) = f X (x), te vrijedi: E[Y X = x] = yf X (y x)dy = yf Y (y)dy = E(Y ). 4

Teorem 4.8. Ukoliko su komponente X i Y neprekidnog slučajnog vektora X = (X, Y ) nezavisne, tada je Cov(X,Y)=. Dokaz: Prema definiciji je Cov(X,Y)=E[XY] EXEY, a kako su slučajne varijable X i Y nezavisne tada je prema prethodnom teoremu: Cov(X, Y ) = E[XY ] EXEY = EXEY EXEY =. Teorem 4.9. Ukoliko su komponente X,..., X n neprekidnog slučajnog vetora X = (X,..., X n ) nezavisne, EX = µ,..., EX n = µ n tada je V ar(x + + X n ) = V arx + + V arx n. Dokaz: V ar(x + + X n ) = E[(X + + X n ) (µ + + µ n )] = E[(X µ ) + + (x n µ n )] = E[(X µ ) ] + + E[(X n µ n ) ] n n + E[(X i µ i )(X j µ j )] i= j= j i = V arx + + V arx n + = V arx + + V arx n. n i= n Cov(X i, X j ) j= j i 4.6 Funkcije slučajnog vektora Teorem 4.3. Neka je X = (X,..., X n ) neprekidan slučajan vektor s funkcijom gustoće f X (x,..., x n ) > na A, i f X (x,..., x n ) = na A C. Nadalje, neka je Y = (Y,..., Y n ) slučajan vekor takav da je svaka njegova komponenta injektivna transformacija slučajnog vektora X, tj. Y i = u i (X,..., X n ) = u i (X), u i injekcija i {,..., n}. 43

Ako je Jacobijan J = x x y x x y. x n y x y... y n x y... y n..... x n x y... n neprekidan i različit od nule na slici funkcije u, tada je funkcija gustoće slučajnog vektora Y dana izrazom y n f Y (y,..., y n ) = f X (x,..., x n ) J gdje je (x,..., x n ) = x rješenje sustava jednadžbi y=g(x). Dokaz: Neka je skup B slika transformacije y=u(x) s inverznom transformacijom x=w(y). Pretpostavimo da je D B, te C skup svih točaka x = (x,..., x n ) koje se preslikaju u skup D pri transformaciji. Tada je prema osnovnom teoremu o zamjenama varijabli: P (Y D) = f Y (y,..., y n )dy... dy n = = D C D f X (x,..., x n )dx... dx n f Y (w (y,..., y n ),..., w k (y,..., y n )) J dy... dy n Kako tvrdnja vrijedi za proizvoljni D B, time je tvrdnja teorema dokazana. Primjer 4.3. Neka je X = (X, X ) neprekidan slučajan vektor. Odredite funkcije gustoće slučajnih varijabli:. X X. X X pri čemu je X. Rješenje: 44

. Promatramo slučajan vektor Y = (Y, Y ) = (X, X X ) = u(x) gdje je u(x, x ) = (x, x x ). Riješimo sustav jednadžbi Y = u(x) i odredimo Jacobijan funkcije v(y, y ). y = x x = y x = y y = x x x = x y x = y y v(y, y ) = (y, y y ) = (v (y, y ), v (y, y )) J = v v y y v v y y = = =, pa slijedi da je f Y (y, y ) = f X (y, y y ) = f X (y, y y ), a odavde je funkcija gustoće slučajne varijable Y = X X : f Y (y ) = f X (y, y y )dy.. Trebamo odrediti funkciju gustoće slučajne varijable Y = X X je X. ( ) Y = (Y, Y ) = X, X X = u(x), X = (X, X ), X ( ) u(x, X ) = X, X X, u : R \ {} R je injekcija. pri čemu Riješimo sustav jednadžbi Y = u(x) y = x x = y x = y y = x x x = y x x = y y. Odredimo Jacobijan funkcije v(y, y ) = (y, y y ) J = y y = y, 45

pa odatle slijedi da je f Y (y, y ) = f X (y, y y ) J = y f X (y, y y ), tj. funkcija gustoće slučajne varijable X X je prema tome: f Y (y ) = f X (y, y y ) y dy. 4.7 Normalan slučajan vektor U radu smo se već upoznali sa normalnom distribucijom. U ovom poglavlju ćemo pokazati kako ona izgleda ukoliko imamo dvije ili n N slučajnih neprekidnih varijabli sa zajedničkom funkcijom gustoće, odnosno slučajan vektor. 4.7. Dvodimenzionalan normalan slučajan vektor Definicija 4.3. Slučajan vektor X = (X, Y ) ima dvodimenzionalnu normalnu distribuciju ako je njegova gustoća dana sa f X (x, y) = ( [ πσ σ e ( r ) r (x µ ) Tada pišemo (X,Y) N (µ, µ, σ, σ, r). σ ]) r (x µ )(y µ ) + (y µ ) σ σ σ, (x, y) R Neka vektor X = (X, Y ) ima normalnu distribuciju N (µ, µ, σ, σ, r). Tada je µ =EX, µ =EY, σ = V arx, σ = V ary, te parametar r je koeficijent korelacije slučajnih varijbli X i Y, što ćemo detaljno pokazati. Provjerimo najprije da li funkcija f ima svojstva funkcije gustoće slučajne varijable. Ona je svakako pozitivna pa je to svojstvo zadovoljeno, potrebno je provjeriti još da je njezin integral jednak. Uvedimo supstituciju u = x µ σ, v = y µ σ 46

pri čemu je dxdy = σ σ dudv. Dobivamo: I = f X (x, y)dxdy = = π ρ ( ) π ρ e ( ρ ) (u ρuv+v ) dudv Uvodimo još jednu supstituciju, w = ( ) e ( ρ ) [(u ρv) +( ρ )v ] dudv. u ρv ρ, z = v s Jacobijanom tako dobivamo J = (u, v) (w, z) = I = π ρ ρ = ρ, e w dw e z dz =. Neka vektor X = (X, Y ) ima normalnu distribuciju N (µ, µ, σ, σ, r). Pokažimo da tada varijable X i Y imaju normalnu distribuciju N (µ, σ ), odnosno N (µ, σ ). Funkcija gustoće vektora X može se napisati na sljedeći način: f X (x, y) = = ( [ πσ σ e ( r ) r (x µ ) ( [ e y µ ( r r x µ ) σ πσ r = f X (x, y) e πσ ( (x µ ) σ ), σ ]) r (x µ )(y µ ) + (y µ ) σ σ σ σ ] ) e πσ ( [ ( r ) (x µ ) σ ] ) r (x µ ) σ 47