USLOVNE VEROVATNOĆE NEZAVISNOST DOGAĐAJA

2 LEKCIJA USLOVNE VEROVATNOĆE NEZAVISNOST DOGAĐAJA

USLOVNE VEROVATNOĆE NEZAVISNOST DOGAĐAJA Defiicia uslove verovatoće Nea u esperimetu posmatramo dva slučaa događaa A i B Ao e pozato da se eda od ih, a primer događa B, ostvario, treba odrediti verovatoću da se ostvario i drugi Tao se, a određe ači, meri povezaost događaa, odoso olio iformacia o realizacii događaa B mea šase za realizaciu događaa A ostavla se i pitae da li su te šase mae, veće ili edae u odosu a šasu ostvarivaa događaa A, ao ema dodatih iformacia Defiicia Uslova verovatoća Nea su A i B događai iz istog prostora verovatoća (Ω,F,) i ea e (B)>0 Tada e uslova verovatoća događaa A, ao se ostvario događa B, edaa: ( ) ( AB) A B = B ( ) Za uslovu verovatoću (A B) oristi se i ozaa B (A) Uslove verovatoće događaa iz istog prostora verovatoća, u odosu a ei događa iz tog prostora, imau sve osobie verovatoće, t zadovolavau asiome B, B 2, B : B ( A B) 0, B 2 (Ω B)=, B A B = ( A B) Stoga se i sve druge osobie verovatoće, avedee u Lecii, preose u aalogom obliu a uslove verovatoće Ao se posmatra više događaa iz istog prostora verovatoća, tada se pri određivau verovatoće ihovog presea mogu oristiti uslove verovatoće Naime, ea su A, A2,, A događai iz istog prostora elemetarih ishoda i ea e prese tih događaa epraza sup Tada e A A2 A Ø za svao =,2,- i važi: A A2 A = A A2 A A A A2 A A A2 A (astava a str ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2

Ostvarivae događaa B u posmatraom esperimetu ozačava da e rezultat esperimeta eda od elemetarih ishoda oi pripadau događau B U tom slučau se događa A može ostvariti samo ao e ostvarei elemetari ishod iz B pripadao i A Tavo obašee direto vodi do formule u defiicii, er e sad za ostvaree događaa A povolo samo oo što e u A B, a moguće samo oo što e u B Tu se zapravo primeue idea lasiče defiicie verovatoće Diagram može da oristi da se razume to obašee A B B A Sa diagrama se, međutim, e može zalučiti aav e međusobi odos verovatoća (A B) i (A) Tačie, može da bude ili (A B)>(A) ili (A B)<(A) ili (A B)=(A) Videti u rimeru 6 i zadatu posle tog primera rimer Uslova verovatoća Na slučaa ači se bira eda arta iz špila od 52 arte Ao e pozato da e izabraa arta herc, odrediti verovatoću da e ta arta deseta Rešee: Nea e A događa da e slučao izabraa arta deseta, a B događa da e slučao izabraa arta herc Treba odrediti (A B) Događa AB ozačava da e izabraa deseta herc Kao e (AB)=/52, (B) =/52, ( AB) / 52 dobia se da e ( A B) = = = B / 52 ( ) U rezultatu se prepozae lasiča defiicia verovatoće, er od arata oe su herc i oih ima, samo e eda deseta Stoga se u rešavau zadataa oi se odose a prostor elemetarih ishoda sa oačo mogo edaoverovatih ishoda može da primei lasiča defiicia verovatoće pri izračuava-u uslovih verovatoća ZADATAK Odrediti uslovu verovatoću događaa da e izabraa arta deseta, ao: a) ema dodatih iformacia, b) zamo da e izabraa arta cre boe i c) zamo da e izabraa arta sa vredošću većom od 8 (vredosti su,2,,0,2,,) S obzirom da uslova verovatoća ima osobie: eegativost, ormiraost i aditivost, zalučue se da će za uslove verovatoće događaa iz istog prostora verovatoća, važiti formule aaloge oima oe isazuu osobie A B = A B Uslova verovatoća ima i verovatoće Zato e, a primer, ( ) ( ) A A, oda e ( A B) ( A B) osobiu mootoosti, t ao e 2 2 ZADATAK 2 ogledate u Lecii ostale osobie verovatoće i zapišite ih za uslove verovatoće

Nezavisost događaa Nezavisost događaa e eda od bitih pomova u teorii verovatoće, a samim tim i u matematičo statistici, ao što će se asie i videti Uvodi se sledeća defiicia Defiicia 2 Nezavisost događaa Nea su događai A i B iz istog prostora verovatoća Ao važi (AB)=(A)(B), tada su događai A i B ezavisi Na osovu defiicie uslove verovatoće zalučue se da za ezavise događae A i B važi: A B = A B A = B ( ) ( ) i ( ) ( ) Ao su događai A i B ezavisi, tada realizacia događaa B e utiče a verovatoću događaa A, ali ao su događai A i B zavisi, tada e verovatoća (A B) različita od (A) i tada e moguće da bude (A B)>(A), ali taođe i da bude (A B)<(A) Ao se posmatra više događaa iz istog prostora elemetarih ishoda, oda se govori da su ezavisi u uuposti (ili se samo aže ezavisi) ao e verovatoća presea bilo oih događaa iz tog supa događaa edaa proizvodu verovatoća izdvoeih događaa Sledeće tvrđee dae vezu ezavisosti i operacia sa događaima Teorema Nea su događai A, B i C ezavisi i ea e B = B ili B = B, odoso C = C ili C = C Tada su ezavisi događai A i B, A i C, B i C 2 A i B, A i B, A i C, A i C, B i C, B i C A i B C, A i B C Data teorema se može uopštiti a sluča više događaa Suštia e u tome da će ovoformirai događai biti ezavisi ao su ihove ompoete iz različitih događaa Zači, ao su, pr A, B, C i D ezavisi u uuposti, oda su ezavisi, a primer, i događai A, BC i D itd (astava a str 6)

Ao su događai ezavisi, to e zači da su disuti Naime, važi sledeće: ao su događai A i B ezavisi i bar eda od ih emoguć događa, oda su oi disuti Ao su događai A i B disuti, a i eda od ih ie emoguć, tada su A i B zavisi događai Ao se posmatra više od dva događaa ihova ezavisost u uuposti, ozačava da verovatoća presea bilo oa dva od tih događaa edaa proizvodu verovatoća ta dva događaa (što se aziva ezavisost u parovima), zatim da e verovatoća presea bilo oa tri od tih događaa edaa proizvodu verovatoća ta tri događaa (što se aziva ezavisost u troama), itd Na primer, događai A, B i C su ezavisi ao i samo ao važe sve sledeće edaosti: (AB)=(A)(B), (AC)=(A)(C), (BC)=(B)(C) i (ABC)=(A)(B)(C) Da bi se potvrdila ezavisost događaa treba proveriti 2 edaosti Ao su sve tače, događai su ezavisi, a čim se aiđe a edu oa ie tača, događai su zavisi i ostale edaosti se e proveravau rimer 2 Nezavisost više događaa šarea piramida ravila trostraa piramida ima edu strau oboeu belom boom, edu strau oboeu crveom, edu strau oboeu crom, a četvrta straa e troboa: bela, crvea i cra iramida se baca i beleži se straa a ou piramida pada (osova piramide) Ispitati ezavisost događaa A, B i C, ao e događa A: a osovi ima bele boe, B: a osovi ima crvee boe i C: a osovi ima cre boe Rešee: rema ačiu a oi e piramida oboea zalučue se da e: (A)=(B)=(C)=2/=/2, (AB)=(BC)=(AC)=/, (ABC)=/ Događai A, B i C su ezavisi u parovima, ali e (ABC) (A)(B)(C), što zači da događai A, B i C isu ezavisi u uuposti Doaz Teoreme Sva tvrđea data u isazu Teoreme se aalogo doazuu, pa e dovolo da se detalo izloži doaz u edom od slučaeva Nea e to sledeće tvrđee: ao su A, B i C ezavisi događai, tada su ezavisi i A i C Dale, treba doazati da važi ( A C) = ( A) ( C) Događa A se može razložiti a uiu disutih događaa: A = ( A C) ( A C), pa e zato verovatoća događaa A: ( A) = ( A C) + ( A C) Zbog ezavisosti A i C e ( A) = ( A) ( C) + ( A C), pa e ( A C) = ( A) ( A) ( C) = ( A)( ( C)) = ( A) ( C ), što e i trebalo doazati (ao se običo u matematici aže a rau doaza ) Two evets A ad B are idepedet if (AB)=(A)(B) Three evets A, B ad C are said to be idepedet (or mutually idepedet) if each pair is idepedet ad if, i additio, (ABC)=(A)(B)(C) For a set of more tha three evets to be idepedet the multiplicatio rule must hold for all possible subsets 5

Formula potpue verovatoće i Baesova formula Nea su H, H 2,, H slučai događai oi čie potpu sistem događaa i ea e A ei događa iz istog prostora elemetarih ishoda Verovatoća događaa A se može izračuati po formuli: ( A) = ( H ) ( A H ) = (*) Slučai događai H, H 2,, H se azivau hipoteze, do se formula (*) aziva formula potpue verovatoće Doaz formule potpue verovatoće se zasiva a razlagau događaa A a disute delove, što proizilazi iz A = AΩ = A ( H + H 2 + + ) = H AH Kao su događai AH i i AH za i, disuti, dobia se da e verovatoća događaa A: ( A) = AH = ( AH ) = = Kad se verovatoće presea AH izraze preo uslovih verovatoća ( AH ) ( H ) ( A H ) verovatoće (*) = =, dobia se formula potpue Zači da se orišćeem uslovih verovatoća ( A H ) dobia verovatoća događaa A Stoga e ova formula primeliva ao se te uslove verovatoće mogu (relativo) lao a osovu uslova zadata i izračuati Verovatoće ( H ) se azivau apriore verovatoće hipoteza Ao se za da se realizovao događa A možemo odrediti H A, za svao =,2, Te verovatoće se verovatoće ( ) azivau aposteriore verovatoće hipoteza Koristeći formulu potpue verovatoće aposteriore verovatoće se račuau po formuli: ( H ) ( A H ) ( H A) = (**) H A H = ( ) ( ) Formula (**) se aziva Baesova formula (astava a str 8) 6

U opštem slučau važi: ( H A) = =, što se može primeiti pri rešavau zadataa: a) ao provera da e zbir svih izračuatih verovatoća eda, b) ao mogućost da se eda od tih uslovih verovatoća izračua pomoću ostalih (-) uslovih verovatoća Tomas Baes (702-76), eglesi matematičar, po profesii sveštei Kao matematičar e bio čla Lodosog ralevsog društva Osim formule ou e doazao i oa se aziva egovim imeom, ustaovio e i poseba pristup u teorii statističog zalučivaa rimer Klasiči primer za primeu formule potpue verovatoće U četiri istovete utie alaze se uglice istih dimezia, ali različitih boa: u prvo su 2 bele i žute, u drugo bele i 2 zelee, u trećo bele, žuta i zelea i u četvrto 2 žute i 2 zelee Na slučaa ači se iz ede od utia bira eda uglica Odrediti verovatoću da e žute boe Rešee I rešee U realizacii esperimeta prvo biramo utiu, pa oda uglicu iz e ošto e aglašeo da ima utie, to se, prirodo, poavlue potpu sistem od događaa H,,H oi redom ozačavau da e izabraa prva, druga, treća, odoso četvrta utia Rečeo e da su utie istovete, a to zači da će biti (H )=/,, (H )=/ Događa oi se posmatra u ovom esperimetu e izbor žute uglice Nea e to događa A Na osovu toga što e sadrža utia pozat, biće (A) = + 0 + + 2 5 5 6 Kad se izračua vredost izraza dobia se 9/60 II rešee Može se posmatrati i potpu sistem događaa oi čie događai G i G 2, gde e G događa da e izabraa utia u oo ema žutih uglica, a G 2 događa da e izabraa ea od utia u oo ima žutih uglica Oda e (G )=/, a (G 2 )=/ Uslova verovatoća događaa A pri prvo hipotezi e (A/G )=0 Ali se verovatoća izbora žute uglice pri drugo hipotezi mora da račua po formuli potpue verovatoće, er postoe raze mogućosti u zavisosti od sastava utia Zato e (A/G 2 )= 5 + + + 2 6 Kad se sve izračua po formuli potpue verovatoće dobia se da e verovatoća događaa A edaa 9/60 Rezultat e aravo isti ao u prvom rešeu rvo rešee e prirodie i direto vodi do rezultata Drugo rešee e dato da se vidi mogućost formiraa dručieg potpuog sistema događaa The geeral form of Bayes s theorem is ( H A) = = ( ) ( A H ) H ( ) ( A H ) H where the evets H,H 2,,H are mutually exclusive ad exhaustive 7

Bioma šema osmatra se opit u ome događa A može da se realizue sa verovatoćom (A)=p Nea se ta opit izvodi puta pod istim uslovima, t ea e u svaom opitu (A)=p, ( A) = p = q i ea su sva izvođea međusobo ezavisa Tada e verovatoća da se u opita događa A realizue tačo puta (a da se događa A realizue - puta) edaa:, = p q, =0,, Opisaa situacia se aziva bioma šema Koristi se i aziv Berulieva šema Kada se, za raze vredosti i p, račuau biome verovatoće, primećuu se sledeće mogućosti: a) da biome verovatoće, u početu (za =0,,) rastu, a zatim, počev od ee vredosti opadau, ili b) stalo opadau ili c) stalo rastu Zači, u slučau a), da će za eu vredost važiti,,, + Iz poslede eedaosti dobia se da bro, za oi e verovatoća poavlivaa događaa A aveća moguća, zadovolava, ' eedaosti: p + p ' p + p (*) Dale, u slučau da e bro (p+p) prirodi bro, postoaće dve vredosti za, a iače samo eda Za dobiei bro se aže da e averovatia vredost poavlivaa događaa A Dobiei rezultat se ulapa i u situacie b) i c) Sluča b) se avla ao e p+p mae od, a sluča c) ao e p+p veće od Na slici su date verovatoće iz biome šeme za sluča =5 i p=05, 02 i 08 (astava a str 0) 8

U formuli oom se račuau biome verovatoće poavluu se tzv! biomi oeficieti (čita se ad ), oi se račuau po formuli,!( )! gde e! ozaa za proizvod prirodih broeva od do, tzv fatoriel U ombiatorici se doazuu moge osobie biomih oeficieata, pr da su simetriči, t da e =, i da e ihov zbir = 2 Moge = 0 osobie proizilaze iz iterpretacie biomog oeficieta ao broa ačia da se iz supa od različitih elemeta izabere podsup od elemeata, što predstavla tzv ombiacie bez poavlaa rimer Bioma šema Dve ocice se bacau 0 puta Odrediti verovatoću da se tačo puta dobie zbir 8 Odrediti oi e averovatii bro poavlivaa zbira 8, i sa oom verovatoćom se ta događa dešava Rešee ri bacau dve ocice zbir će da bude 8, ao su rezultati (2,6), (6,2), (,5), (5,), (,) Kao e bro mogućih ishoda, oi su edaoverovati, eda 6, to e verovatoća da se dobie zbir 8 edaa 5/6 Da bi se od deset bacaa ocica puta dobio zbir 8, verovatoća e, po biomo šemi, edaa 0 0 7 7 0, = p q = 20 p q = 20 (5 / 6) (/ 6) 0 Naverovatii bro poavlivaa zbira 8 e, prema eedaosti (*) eda Odgovarauća verovatoća e 062 Uz digitroe i omputere ovo ie tešo račuati, ali ovavi zadaci su rešavai i raie, ad tave pomoći ie bilo Zato su izračuate vredosti verovatoća,, za raze vredosti i, bile zapisae u obliu tablica, da se olaša posao svima oima su te verovatoće bile potrebe u radu olazeći od,, dobia se iz prve eedaosti:, + + p q p q, odoso!! p q q p pq ( + ) ( )!( )! ( )!( )! osle sraćivaa se dobia: p p, + t p + p Na sliča ači iz druge eedaosti se dobia: p p, + t p + p 9

Bioma šema se, po svoo defiicii, vezue za poavlae esperimeta pod istim uslovima, a tome odgovara slučai izbor elemeata sa vraćaem Međutim, ao se aalizira slučai izbor bez vraćaa, ali iz populacie oa ima veoma velii bro elemeata, dobiau se verovatoće blise oima iz biome šeme Naime, ea u edo seriu od a artiala ima m artiala prve vrste, a ostalih (a-m) druge vrste Ao se uzima uupo puta sa vraćaem po eda artial, tada e verovatoća da će među ima biti tačo artiala prve vrste edaa: m a m m m, = =, = 0,,, a a a a Ao se uzima artiala odedom (ili puta po eda artial, ali bez vraćaa), verovatoća da će se dobiti uupo artiala prve vrste e * m a m =,, =0,,2, a * (za oe vredosti za oe biomi oeficieti u izrazu za, imau smisla) Verovatoće primećue se da e *, su hipergeometrise verovatoće i *,, Međutim, ao se m i a povećavau i teže besoačosti, ali tao da m p, 0 < p <, tada hipergeometrise verovatoće teže a biomim verovatoćama: *,, Zači, verovatoće iz biome šeme možemo primeivati i za alažee približe vredosti verovatoća od izbora bez vraćaa iz populacie vrlo veliog obima, pri čemu e aprosimacia bola uolio e euporedivo mae od m i od a-m ( astava a str 2) 0

rimer 5 Biome i hipergeometrise verovatoće Od 00 artiala e 80 prve, a 20 druge vrste Na slučaa ači se birau artila Odrediti verovatoću da su dva prve, a eda druge vrste, ao e izbor: a) sa vraćaem, b) bez vraćaa Kao se mea rezultat, ao se birau tri artila, ali e a raspolagau 800 artiala prve i 200 artiala druge vrste? Rešee Ao e izbor sa vraćaem, oda e u pitau model biome šeme, sa p=8/0, =, =2 i verovatoća e 2 2 2,2 = p q = p q = 08 2 Ao e izbor bez vraćaa oda su u pitau hipergeometrise verovatoće i dobia se da e verovatoća 80 20 * 2,2 = 09085 00 Ao e pa uupa bro artiala 000, a izbor sa vraćaem, verovatoća će biti ista, er e p isto, ali će u slučau izbora bez vraćaa sad biti 800 200 * 2,2 = 0867 000 Ova primer ilustrue prethodo avedeo tvrđee o overgecii hipergeometrisih verovatoća a verovatoćama iz biome šeme rimer 6 Biome verovatoće Verovatoća događaa A e 02 i e mea se u tou esperimeata, čii su ishodi međusobo ezavisi Kolio puta treba pooviti esperimet da bi se, sa verovatoćom većom od 09 događa A desio bar edom? Rešee Nea D ozačava da se događa A desio bar edom u esperimeata Oda e omplemet događaa D događa D oi ozačava da se A ie desio iedom u posmatraih esperimeata Stoga e ( D ) = 0 8 Kao e potrebo da bude ( D ) > 0 9, oda mora biti ( D ) < 0, odoso 0 8 < 0 Rešavaem te eedačie dobia se da e veće od 022, što zači da će za vredost = (a samim tim i za >) verovatoća da se A desi bar edom biti veća od 09

Sledeći zadaci su u vezi sa formulom potpue verovatoće i biomom šemom, ali isu sasvim edostavi Možete im poloiti pažu te ao ste siguro usvoili i razumeli leciu i primere oi su rešei i ao ste i samostalo rešili eolio zadataa, a primer 7, 8, 9 i 0 od zadataa datih a rau ove lecie rimer * Uslove verovatoće rate igre U vazdušo bici učestvuu lovac i bombarder rvo lovac gađa bombardera i obara ga sa verovatoćom 02 Ao bombarder ie obore, uzvraća palbu i obara lovca sa verovatoćom 0 Ao lovac pri tome ie obore, bliže e bombarderu i obara ga sa verovatoćom 0 Odrediti verovatoće događaa: A={ obore e bombarder}, B= { obore e lovac} i C= { i eda od avioa ie obore} Rešee: Događa A e uia disutih događaa A = { lovac obara bombardera pri prvom gađau} i A 2 = { lovac obara bombardera pri drugom gađau}, pa e ( A) = ( A A2 ) = ( A ) + ( A2 ) o uslovu zadata e ( A ) = 0 2 Događa A može se posmatrati ao prese događaa D ={ lovac e obara bombardera pri 2 prvom gađau}, E ={ bombarder e obara lovca pri prvom gađau} i F ={ lovac obara bombardera pri drugom gađau} Kao e A 2 = DEF, to e ( A2 ) = ( DEF) = ( D) ( E D) ( F DE) = ( 02)( 0)0 = 0 22 rema tome, verovatoća događaa A e 02 Događa B se može posmatrati ao prese događaa D i E B = DE = D E D = ( 02)0 = 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 Kao događai A, B i C čie potpu sistem događaa, to e ( C ) = 06 rimer X Formula potpue verovatoće (malo složeii primer) U edaih utia, oe su poređae eda do druge, alazi se po M edaih uglica Kuglice su raspoređee a slučaa ači, ali uz dopusi uslov: bro belih uglica u svao utii može, sa edaom verovatoćom biti 0,, 2 Na slučaa ači se iz ede od utia bira eda uglica Odrediti verovatoću događaa D da e izabraa uglica bele boe Rešee: ostoe dva potpua sistema događaa: (I) A - izbor iz prve utie, A2 - izbor iz druge utie,, A - izbor iz -te utie, (II) B - izbor iz ede od utia u oo ema belih uglica, B2 - izbor iz ede od utia u oo ima po eda bela uglica i B - izbor iz ede od utia u oo su po dve bele uglice a) Ao se oristi potpu sistem događaa A, A2,, A tada su apriore verovatoće međusobo edae ( A ) = /, i=,2,, do se uslove verovatoće i ( D A ) račuau po FV (formuli potpue verovatoće ) i edae su: ( ) D A 0 2 = + + = M M M M 2

Zato se dobia, po FV primeeo a događa D, da e egova verovatoća: ( ) = ( ) ( ) = = D A D A M M = b) Ao se oristi potpu sistem događaa B, B2, B tada su verovatoće hipoteza edae: ( B ) = ( B2 ) = ( B ) = /, a uslove verovatoće: ( D B ) = 0 / M, ( D B2 ) = / M, ( D B ) = 2 / M I po formuli potpue verovatoće se dobia: 0 2 ( D) = ( B ) ( D B ) = + + = M M M M = rimer X Formula potpue verovatoće (izmeei uslovi u odosu a rimer X) U edaih utia, oe su poređae eda do druge, alazi se po M edaih uglica Kuglice su raspoređee a slučaa ači, ali uz dopusi uslov: u eih p utia ema belih uglica, u eih q utia e po eda bela, a u eih r utia su po dve bele Na slučaa ači se iz ede od utia bira eda uglica Odrediti verovatoću događaa D da e izabraa uglica bele boe Rešee: ostoe dva potpua sistema događaa: (I) A - izbor iz prve utie, A2 - izbor iz druge utie,, A - izbor iz -te utie, (II) B - izbor iz ede od utia u oo ema belih uglica, B2 - izbor iz ede od utia u oo ima po eda bela uglica i B - izbor iz ede od utia u oo su po dve bele uglice Ao se oristi potpu sistem događaa A,, A A, pošto su apriore 2 verovatoće edae: ( A i ) = /, i=,2,, a verovatoće ( ) D A J su edae: p 0 q r 2 q + 2r ( D A ) = + + = M M M M Na osovu formule potpue verovatoće verovatoća događaa A e edaa: q + 2r q + 2r ( D) = ( A ) ( D A ) = = M M = Ao se oristi potpu sistem događaa B, B2, B tada su verovatoće hipoteza edae: p ( B ) =, q r ( B2 ) =, ( B ) = Kao su uslove verovatoće događaa D edae 0 ( D B ) =, ( D B2 ) =, 2 ( D B ) =, M M M poovo se, po formuli potpue verovatoće, dobia: p 0 q r 2 q + 2r ( D) = ( B ) ( D B ) = + + = M M M M =

rimer XX Speciali sluča vremese progoze U edo oblasti u tou daa može biti ili išovito ili sučao vreme Ao e da suča, verovatoća da će sledećeg daa padati iša e 02, a ao e da išovit, verovatoća da će sledećeg daa biti sučao e 0 a) Ao e u četvrta (marta) padala iša, odrediti verovatoću da u edelu (6marta) bude sučao vreme b) Ao e marta padala iša, oa e verovatoća da će aprila padati iša? Rešee: a) rema uslovima zadata, verovatoća da će u peta biti sučao e ( s ) = 0 a verovatoća da će u peta padati iša e ( ) = ( s ) = 0 6 Verovatoća da će u subotu biti sučao e, po formuli potpue verovatoće: ( Ss ) = ( Ss ) ( ) + ( Ss s ) ( s ) = 0 06 + 08 0 = 056 Verovatoća da će u subotu biti iša e ( S ) = ( S ) = 0 Koačo, verovatoća da u edelu bude sučao e: ( Ns ) = ( Ns S ) ( S ) + ( Ns Ss ) ( Ss ) = 0 0 + 08 056 = 062 b) ostupa, oim smo rešili zadata pod a) mogli bismo astaviti i tao doći do tražee verovatoće Međutim, pogodie e rešavati uazad Nea D ozačava da će - ti da posle uočeog marta biti išovit Tada D zači da će tog daa biti sučao o uslovima zadata imamo: ( ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) D = D D D + D D D = ( 0 ) ( ( 0 )) ( 0 ) Zači da e, za svao =,2, ( D ) = 02 + 0 ( D ) Zameuući redom vredosti za ( D ), =0,29, dobiamo, zaoružeo a tri decimale: ( ) 02 ( 0 0 2 0 29 ) 0 0 ( D ) D = + + + + + = = 06 D + 02 D = 02 + 0 D 0 0 Aalogo e ( ) 2 02( 0 0 0 D ) 0 ( D ) = + + + + + 0 0 02 + 0 06 0 Odatle se zalučue da e: lim ( D ) = što zači da e, pri uslovima avedeim a početu, verovatoća da eog daa, dugo vremea posle edog posmatraog daa, pada iša, edaa / i e zavisi od vremea oe bilo tog posmatraog daa rimer XXX Slučao retae u ravi U pravougaoom laviritu (videti sliu a sledećo strai) se alazi pas, oi a slučaa ači bira put, rećući se sa edaom verovatoćom u sva smera a) Za svau od ozačeih rasrsica odrediti verovatoću da će pas, polazeći sa te rasrsice, stići do edog od izlaza a užo strai lavirita

Slia 2 Lavirit Svi izlazi su obeležei strelicama a slici Smatra se da e retae završeo ao pas dođe do bilo og izlaza b) Ao se 0 puta poovi opisai esperimet, a polaza tača bude rasrsica 5, odrediti verovatoću da se od tih 0 esperimeata završe uspešo, t izlasom iz lavirita a ei od užih izlaza Rešee: a) Nea ozačava verovatoću da će polazeći sa rasrsice pas stići a ei uži izlaz rema uslovima zadata se dobiau, po formuli potpue verovatoće, edačie oe povezuu sve ove verovatoće: = ( 0 + 0 + 2 + ), 2 = ( + 0 + + 5 ), = ( 2 + 0 + 0 + 6 ), = ( 0 + + 5 + 7 ), 5 = ( + 2 + 6 + 8 ), 6 = ( 5 + + 0 + 9 ), 7 = ( 0 + + 8 + ), 8 = ( 7 + 5 + 9 + ), 9 = ( 8 + 6 + 0 + ) Rešavaem ovog sistema liearih edačia dobia se: = = 007, 2 = 0 098, = 6 = 0 87, 5 = 025, 7 = 9 = 0 28, 8 = 0 526 ri tome e 5 tača bro, a ostali su dati zaoružei a tri decimale b) rimeom biome šeme dobia se da e tražea verovatoća, zaoružea a pet decimala edaa : 0, 7 0 = 02028 5

Z A D A C I Nea e )=02, Odrediti uslovu verovatoću (A B) 2 Ao se bacau dve ocice odrediti verovatoću da e zbir 0, ao se za a) da e zbir veći od 8, b) da e zbir para bro, c) da e zbir deliv sa 5 Nea e (A)=02, (B)=0 i (A B)+(B A) = 06 Odrediti verovatoću istovremee realizacie događaa A i B Da li postoe vredosti za verovatoću događaa A pri oima zadata ema rešea ao se druge dve verovatoće ostave eizmeee? Nea e uslova verovatoća događaa A ao se desio događa B maa od verovatoće događaa A Odrediti odos verovatoće događaa B i uslove verovatoće događaa B ao se desio događa A 5 Ao e verovatoća događaa B pozitiva, poazati da važi 6 Ao e (A B)=02, (A)=0 i (, odrediti 7 Ao se bacau dve oce i dobie zbir 8, odrediti verovatoću: a) a prvo oci e dobie bro veći od, b) razlia broeva a prvo i drugo oci e edaa 2 8 U utii su bela i cra uglica Na slučaa ači izaberemo edu Ao e oa bele boe, vratimo e u utiu, a ao e cre boe, vratimo e u utiu, ali dodamo oš dve bele i tri cre U sledećem izvlačeu se primeue isti postupa Odrediti oa verovatoća e veća: da posle tri biraa imamo da su izabrae uglice bile cra, bela, cra ili bela, cra, bela 9Iz utie u oo su bile bele i crvee uglice a slučaa ači izaberemo edu i prebacimo u drugu utiu u oo su već bile crvee uglice i 5 belih Odrediti verovatoću da se posle toga iz druge utie izabere bela uglica 0 Bacamo ovčić Ao se dobie pismo, bacamo ocu, iače bacamo dve oce Odrediti verovatoću da se dobie (bro ili zbir) 6 Za vreme estaa strue ede večeri policia e privela 00 osumičeih i oda e a slučaa ači izabraa eda od tih osoba da prva bude ispitaa a detetoru laži Detetor u 90% slučaeva otriva ao eo este riv, a u 98% slučaeva potvrđue da eo este evi Ao e među privedeim osobama 2 zaista učiilo eo rvičo delo te večeri, odrediti verovatoću da e prvi ispitai proglaše rivim Ao este proglaše rivim, odrediti verovatoću da o zaista este riv 6

2 rema policisim statistiama u edom veliom gradu šasa da ečii sta bude obie e :5000 Alarmi uređa oi e abavio eda staovi tog grada e relamira ao sigura u 95% slučaeva (t ao e provali ušao u sta, alarm će se oglasiti u 95% slučaeva) Ali, ta isti alarm e u protelom periodu puta digao lažu uzbuu Ao se alarm sad opet oglasio, da li vlasi treba da zove policiu, ili e, t da li e veća šasa da lopov este u ući ego da e opet laža uzbua? (al e ovo ompliovao :)) U utii e eda ovčić oi a obe strae ima pismo i 7 ispravih ovčića Jeda ovčić e a slučaa ači izabra i bače 7 puta Ao e svih sedam puta dobieo pismo odrediti verovatoću da e izabrai ovčić isprava Bacamo crveu i zeleu ocu i posmatramo događae: A a crveo oci e dobie eda od broeva,,5, B a zeleo oci e dobie bro ili bro 2 i događa C zbir broeva dobieih a ocama e 7 Ispitati ezavisost događaa A, B i C 5 Bacamo crveu i zeleu ocu i posmatramo događae: A a crveo oci e dobie epara bro, B a zeleo oci e dobie epara bro i događa C zbir broeva dobieih a ocama e epara Ispitati da li su događai A, B i C ezavisi 6 Novogodiši uras za elu čii 25 sialica oe su redo povezae Verovatoća da eda sialica pregori pri prvom ulučivau e 00 Odrediti verovatoću da će ovogodiši uras zasiati pri prvom ulučivau 7 Kolio puta treba bacati četiri umerisae oce da bi verovatoća da se dobie bar eda par šestica bila veća od 05? 8 Obalsa straža e dobila poziv sa edog ribarsog broda oi se asuao, ali e veza preiuta pre ego što su saopštili oordiate mesta gde se alaze Nea e verovatoća da se alaze užo od lue edaa 0, a verovatoća da su severo e 056 U potragu se šale 28 helioptera, od oih svai, ezaviso od ostalih uočava asuai brod sa verovatoćom 055 Kolio helioptera treba poslati u ou oblast, da bi šase za proalažee broda bile aveće? 9 Na slučaa ači se formira iz od deadih cifara 0,,,9 Odrediti oa e amaa dužia iza da o sa verovatoćom većom od 08 sadrži bar edu cifru 9 20 Koristeći tablice slučaih cifara modelirati po 20 (odoso 00, ao se radi a račuaru) esperimeata opisaih u zadacima,, 8-20, a zatim empirisom freveciom oceiti verovatoće tražeih događaa 7

ITANJA UZ LEKCIJU 2 Defiicia uslove verovatoće 2 Osobie uslove verovatoće Defiicia ezavisosti dva događaa Osobie ezavisosti događaa 5 Nezavisost u parovima i ezavisost u uuposti 6 Nezavisost i disutost događaa 7 Doaz formule potpue verovatoće 8 Baesova formula aposteriorih verovatoća hipoteza 9 Bioma šema 0 Osobie biomih oeficieata Naveće verovatoće u biomo šemi 2 Hipergeometrise verovatoće i veza sa verovatoćama biome šeme Napraviti program za igru a račuaru (Mogući sceario: bacae ocica, birae arata iz špila, LOTO, BINGO, gađae porete mete) 8