UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY

UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY MOCNINOVÉ RADY A ICH VYUšITIE BAKALÁRSKA PRÁCA 04 Sára MINÁROVÁ

UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY MOCNINOVÉ RADY A ICH VYUšITIE BAKALÁRSKA PRÁCA tudijný program: tudijný odbor: koliace pracovisko: Vedúci práce: Ekonomická a nan ná matematika 4 Aplikovaná matematika Katedra aplikovanej matematiky a ²tatistiky RNDr. ubica Kossaczká, CSc. Bratislava 04 Sára MINÁROVÁ

65536357

Po akovanie Na tomto mieste sa chcem ve mi pekne po akova mojej ²kolite ke RNDr. ubici Kossaczkej, CSc. za priate ský prístup, ústretovos a odborné rady, ktoré mi ve mi pomohli k vypracovaniu tejto bakalárskej práce.

Abstrakt v ²tátnom jazyku MINÁROVÁ, Sára: Mocninové rady a ich vyuºitie [Bakalárska práca], Univerzita Komenského v Bratislave, Fakulta matematiky, fyziky a informatiky, Katedra aplikovanej matematiky a ²tatistiky, ²kolite : RNDr. ubica Kossaczká, CSc., Bratislava, 04, 39 strán. V na²ej práci sa zaoberáme problematikou mocninových radov a ich vyuºitím v praxi. Na²ím cie om je preh benie poznatkov z tejto oblasti a ich roz²írenie. Práca je rozdelená na pä kapitol. V prvej zavedieme pojmy, ktoré sú nevyhnutné pre al²iu prácu. Pomocou teórie z prvej kapitoly odvodzujeme vlastnosti exponenciálnych, logaritmických a trigonometrických funkcií, ktoré sa asto pouºívajú v praxi. Posledná kapitola ponúka nieko ko ukáºok pouºitia v praxi. Cie om práce je ponúknu dôkazy uvedených vlastností aj itate ovi, ktorý nemá vy²²ie matematické vzdelanie. K ú ové slová: mocninové rady, exponenciálna funkcia, logaritmická funkcia, trigonometrické funkcie

Abstract MINÁROVÁ, Sára: Power series and their application [Bachelor Thesis], Comenius University in Bratislava, Faculty of Mathematics, Physics and Informatics, Department of Applied Mathematics and Statistics; Supervisor: RNDr. ubica Kossaczká, CSc., Bratislava, 04, 39 p. In our thesis we deal with the theory and practical application of power series. Our goal is to broaden our knowledge in this topic. The thesis is divided into ve chapters. In the rst chapter we dene terms necessary for later understanding. Using power series, we derive all the well-known properties of exponential, logarhithmic and trigonometric functions. In the last chapter we present a few practical examples of use. Also, we want to oer the results of our work to a reader, who has no further education in mathematics. Keywords: power series, exponential function, logarhithmic function, trigonometric functions

OBSAH OBSAH Obsah Úvod 8 Mocninové rady 0 Exponenciálna a logaritmická funkcia 8 3 Trigonometrická funkcia 3 4 Algebraická úplnos komplexného po a 9 5 Rie²ené príklady 3 Záver 38 Zoznam pouºitej literatúry 39 7

ÚVOD ÚVOD Úvod Pojmom mocninový rad sa v matematike ozna uje rad funkcií vyjadrený v nasledovnom tvare: f(x) = a 0 +a (x p) +a (x p) +...+a n (x p) n +... = a n (x p) n. Pri výpo toch sa ve mi asto pouºíva ²peciálny tvar mocninového radu: ak v predchádzajúcom výraze poloºíme p=0, dostávame rad f(x) = a 0 +a x+a x +...+a n x n +... = a n x n, ktorý sa nazýva Maclaurinov. Moºno sa to na prvý poh ad nezdá, ale mocninové rady majú vo svete vedy významné postavenie. Sú ve mi dobrým výpo tovým nástrojom s vysokým stup om presnosti. Pomocou nich je moºné vyjadri mnohé fyzikálne veli iny, napríklad tlak, hustotu i rýchlos. Mocninové rady sú asto potrebné aj pri rie²ení diferenciálnych rovníc. Mnohé typy rovníc sú najjednoduch²ie rie²ite né práve generovaním rie²enia v tvare mocninového radu. Z matematického h adiska sú rady uºito né napríklad kvôli tomu, ºe sú diferencovate né a integrovate né, o vyuºívajú vo svoj prospech mnohé al²ie vedy, najmä fyzika. al²ie spôsoby vyuºitia uvádza napríklad práca [3]: Mocninové rady sa pouºívajú pri rozli ných typoch úloh, napríklad pribliºný výpo et funk ných hodnôt elementárnych funkcií, výpo et limit a integrálov a rie²enie diferenciálnych rovníc. V prvej kapitole práca oboznamuje itate a so základnými pojmami, ktoré je potrebné pozna pri ítaní al²ích kapitol, ktoré sa uº venujú konkrétnym typom funkcií. Druhá kapitola sa zaoberá exponenciálnymi a logaritmickými funkciami. Pomocou mocninových radov sa dajú pomerne jednoducho dokáza vlastnosti, ktoré sa beºne pouºívajú pri výpo toch. Tretia kapitola je venovaná trigonometrickým funkciám sínus a kosínus. Tieto funkcie sa dajú denova pomocou exponenciálnej funkcie komplexného ísla a z tejto denície dostaneme aj rozvoj do mocninového radu. Pouºitím vlastností exponenciálnej funkcie, ktoré odvodíme v druhej kapitole, dokáºeme aj známe vlastnosti trigonometrických funkcií. tvrtá kapitola sa zaoberá dôkazom úplnosti komplexného po a. Pole (vo v²eobecnosti) je mnoºina, na ktorej je denovaná operácia s ítania a násobenia. Platia tu komutatívny, distributívny a asociatívny zákon. Komplexné pole má navy²e nieko ko al²ích 8

ÚVOD ÚVOD vlastností. Tie uvedieme na za iatku kapitoly. Nieko ko ukáºok praktického pouºitia sa nachádza v poslednej kapitole. Zaoberáme sa najmä výpo tami limít, pri týchto výpo toch sú mocninové rady celkom uºito né, najmä ak si nie sme istí, ktorú metódu pouºi. alej vieme takto s ítava nekone né rady alebo dokazova existenciu derivácií do ur itého rádu. 9

MOCNINOVÉ RADY Mocninové rady V úvodnej kapitole denujeme základné pojmy, s ktorými budeme pracova vo v²etkých ostatných kapitolách. V²etky uvedené pojmy sa vz ahujú na mnoºinu reálnych aj komplexných ísel, my sa budeme venova prevaºne reálnym hodnotám. Denícia.. (pod a [8]) Pojmom mocninový rad sa v matematike ozna uje rad funkcií vyjadrený v nasledovnom tvare: f(x) = a 0 + a (x p) + a (x p) +... + a n (x p) n +... = a n (x p) n. () Pri výpo toch sa ve mi asto pouºíva ²peciálny tvar mocninového radu: ak v predchádzajúcom výraze poloºíme p = 0, dostávame rad f(x) = a 0 + a x + a x +... + a n x n +... = a n x n. () Tento rad sa nazýva Maclaurinov. Denícia.. (pod a [8]) Funkcia f(x) sa nazýva analytická, ak je moºné zapísa ju v tvare: f(x) = c n (x a) n (3) Ak () konverguje pre v²etky x ( R, R) pre R kladné (niekedy môºe nasta aj prípad R=+ ), hovoríme, ºe f sa dá rozvinú do mocninového radu v okolí bodu x = 0. Analogicky, ak () konverguje pre x a < R, povieme, ºe f je rozvinutá do mocninového radu v okolí bodu x = a. Bez ujmy na v²eobecnosti vä ²inou uvaºujeme prípad a = 0. O chví u sformulujeme a dokáºeme tvrdenie, ºe ak mocninový rad konverguje pre x < R, potom konverguje rovnomerne na intervale [ R + ε, R ε]. K tomu budeme potrebova vetu o rovnomernej konvergencii, ktorú uvedieme bez dôkazu. Veta.3. (o rovnomernej konvergencii)(pod a []) Predpokladajme, ºe {f n } je postupnos funkcií diferencovate ná na intervale [a, b] a {f n (x 0 )} konverguje na [a, b] pre nejaké x 0. Ak {f n} konverguje rovnomerne na [a, b], potom postupnos {f n } rovnomerne konverguje na [a, b] k funkcii f: 0

MOCNINOVÉ RADY f (x) = lim n f n(x) (a x b) Veta.4. (pod a [8]) Predpokladajme, ºe rad konverguje pre x < R. Denujme: c n x n (4) f(x) = c n x n (5) pre x < R. Potom (3) rovnomerne konverguje na intervale [ R + ε, R ε] pre kaºdé ε > 0. Funkcia f je spojitá a diferencovate ná na intervale ( R, R) a platí: pre x < R. Dôkaz. f (x) = nc n x n (6) Nech ε > 0. Pre x R ε máme: c n x n c n (R ε) n. Ke ºe rad c n (R ε) n konverguje absolútne (kaºdý mocninový rad konverguje absolútne vo vnútri intervalu konvergencie) a postupnos c n x n je ohrani ená, (3) konverguje rovnomerne na intervale [ R + ε, R ε] Vieme, ºe n n pre n. Potom platí: lim sup x n n cn = lim sup x n cn, teda rady (5) a (6) majú rovnaký interval konvergencie. Ke ºe (6) je mocninový rad, rovnomerne konverguje na intervale [ R + ε, R ε] pre kaºdé ε > 0, môºeme pouºi vetu.3 pre rady namiesto postupnosti funkcií. Z vety vyplýva, ºe (5) platí, ak x R ε. Ak v²ak máme dané x sp ajúce x < R, vieme nájs také ε > 0, ºe x R ε. Z toho vyplýva, ºe (6) platí pre x R ε. Spojitos f vyplýva z existencie prvej derivácie f. Dôsledok.5. (pod a [8]) Pod a predpokladov predchádzajúcej vety má f derivácie v²etkých rádov na intervale ( R, R), ktoré sú dané:

MOCNINOVÉ RADY f (k) (x) = n(n )...(n k + )c n x n k (7) n=k V bode 0 môºeme deriváciu ekvivalentne vyjadri v tvare Dôkaz. f (k) (0) = k!c k. (8) Rovnicu (7) dostaneme, ak aplikujeme predchádzajúcu vetu na funkcie f, f, f a al²ie derivácie. Ak poloºíme v (7) x = 0, dostaneme (8). Pozrime sa bliº²ie na (8). Ukazuje, ºe koecienty rozvoja funkcie f do mocninového radu sú dané funkciou f a jej hodnotami v potrebných bodoch. Koecienty sú v²ak dané, hodnoty f v strede intervalu konvergencie sa dajú vy íta priamo z mocninového radu. Je potrebné si v²imnú, ºe aj ke má funkcia f derivácie v²etkých rádov, výraz c n x n, kde c n vypo ítame z (8), nemusí nutne konvergova k f(x) pre kaºdé x 0. V tomto prípade funkciu nevieme rozvinú do mocninového radu v bode x = 0. Ak rad (4) konverguje v koncovom bode (ozna me ho R), potom funkcia f je spojitá nielen na intervale ( R, R), ale aj v bode x = R. Vyplýva to z Abelovej vety. Pre zjednodu²enie poloºme R =. Veta.6. (pod a [8]) Predpokladajme, ºe c n konverguje a c n x n konverguje na intervale (, ). Poloºme Potom platí: Dôkaz. = n= f(x) = c n x n ( < x < ). lim f(x) = c n. (9) x Poloºme s n = c 0 +... + c n, pri om s = 0. Potom platí: m c n x n = m (s n s n )x n = m s n x n m s n x n = m s n x n x m s n x n = m s n x n x m s n x n = ( x) m s n x n + s m x m.

MOCNINOVÉ RADY Pre x < nech m. Dostávame: c n x n = f(x) = ( x) s n x n. (0) Nech s = lim n s n a ε > 0 je dané. Zvolíme N také, aby pre kaºdé n > N platilo: Ke ºe z (0) dostávame: = ( x) s s n < ε. ( x) x n = ( x < ), f(x) s = c n x n s = ( x) s n x n s = = ( x)s n x n ( x) s x n = ( x) (s n s)x n = N s n s x n + ( x) s n s x n ( x) n=n ak x > δ (pre vhodne zvolené δ > 0). Ako zvoli δ? N s n s x n + ε < ε, Výraz s n s konverguje, to znamená, ºe sa dá zhora ohrani i nejakou kladnou kon- ²tantou K. H adáme δ tak, aby platilo: Z toho dostávame: Z toho vyplýva (9). Veta.7. (pod a [8]) ( x) ( x) N s n s x n < ε N (s n s) x n ( x)n K < ε x < ε NK x < δ < ε NK Majme dvojitú postupnos {a ij }, i =,,..., j =,,... Predpokladajme, ºe platí: a ij = b i, i =,,... () j= 3

MOCNINOVÉ RADY a nech b i konverguje. Potom platí: a ij = i= j= a ij () j= i= Dôkaz. Nech E je spo ítate ná mnoºina obsahujúca prvky x 0, x, x,... a predpokladajme, ºe x n x 0 pre n. Zavedieme nasledovné ozna enie: f i (x 0 ) = a ij (3) j= n f i (x n ) = a ij (4) j= g(x) = f i (x), x E (5) i= Vieme, ºe funkcia môºe by spojitá len v bodoch, ktoré sú sú as ou jej deni ného oboru. Pre v²etky body x n x 0 platí, ºe sú izolovanými bodmi deni ného oboru f i. Vieme, ºe x n x 0, o znamená, ºe po ínajúc nejakým bodom x t budú v²etky nasledujúce body leºa v okolí x 0. Z rovníc (3), (4) a () a z denície spojitosti potom vyplýva, ºe kaºdá z funkcií f i je spojitá. Môºeme poveda, ºe platí nerovnos f i (x) b i pre x E (f i je kone ným sú tom koecientov a ij, b i je nekone ným sú tom, takºe obsahuje najmenej to ko s ítancov ako f i ): n n f i (x n ) = a ij a ij b i j= j= f i (x 0 ) = a ij j= a ij = b i j= Z toho vyplýva, ºe (5) konverguje rovnomerne a g je spojitá v bode x 0. Teda máme: i= a ij = j= i= f i (x 0 ) = g(x 0 ) = lim g(x n ) = lim n n n = lim a ij = n j= i= j= i= i= a ij. f i (x n ) = lim n i= n a ij = Posledná rovnos platí, pretoºe rad a ij konverguje pre kaºdé j (indexov j je kone ne ve a). i= j= 4

MOCNINOVÉ RADY Veta.8. (Taylorova veta) (pod a [8]) Predpokladajme, ºe rad f(x) = c n x n konverguje pre x < R. Ak R < a < R, potom funkciu f vieme rozvinú do mocninového radu v okolí bodu x = a. Tento mocninový rad bude konvergova pre x a < R a a platí: f(x) = f (n) (a) (x a) n ( x a < R a ) (6) n! Dôkaz. Pouºijeme binomickú vetu: n ( ) n f(x) = c n [(x a) + a] n = c n a n m (x a) m = m [ m=0 = ] ) cn a n m (x a) m. m=0 n=m ( n m K poslednej rovnosti: kombina né íslo ( n m) je pre n < m denované ako 0, iºe sta í, ke v druhej sume s ítame leny s indexom m a vy²²ím - tie s niº²ím indexom jednoducho vypadnú. Potom môºeme pouºi vetu.7, ke ºe jej predpoklady sú splnené. Dostali sme poºadovaný rozvoj funkcie do mocninového radu okolo bodu a. E²te treba ukáza, ºe nezáleºí na tom, cez ktorý index budeme najprv s itova, i n alebo m. Pod a vety.7 je táto operácia v poriadku, ak rad m=0 n ( ) n c n a n m (x a) m (7) m konverguje. Výraz (7) je v²ak ekvivalentný s nasledujúcim: c n ( x a + a ) n, (8) a (8) koverguje, ak platí podmienka x a + a < R. Poºadovaný tvar koecientov v (6) dostávame z (8). Treba si v²imnú, ºe rad intervale danom podmienkou x a < R a. (6) môºe konvergova aj na ²ir²om intervale ako na Ak dva mocninové rady konvergujú na intervale ( R, R) k rovnakej funkcii, z (8) vyplýva, ºe sú identické, teda majú rovnaké koecienty. Toto tvrdenie hne dokáºeme. Veta.9. (pod a [8]) Predpokladajme, ºe rady a n x n a b n x n konvergujú na intervale S = ( R, R). 5

MOCNINOVÉ RADY Ozna me E mnoºinu v²etkých x S takých, ºe platí: a n x n = b n x n (9) Ak E má hromadný bod na intervale S, potom a n = b n pre n = 0,,..., teda (9) platí pre v²etky x S. (Bod p E nazývame hromadným bodom mnoºiny E, ak kaºdé jeho okolie obsahuje bod q p taký, ºe q E.) Dôkaz. Ozna me c n = a n b n a zave me funkciu f: f(x) = c n x n (x S). (0) Chceme dokáza, ºe f(x) = 0 na mnoºine E. Mnoºinu v²etkých hromadných bodov E na S ozna me A, mnoºina B nech pozostáva zo v²etkých ostatných bodov S. Mnoºina B je otvorená. Zdôvodníme to pomocou denície hromadného bodu. Otvorená mnoºina má tú vlastnos, ºe kaºdý jej bod je vnútorný - teda pre kaºdý bod existuje okolie, ktoré celé patrí do tejto mnoºiny. Nech existuje bod x 0 taký, ºe x 0 B. Z toho, ako sme ur ili mnoºinu B, vyplýva, ºe f(x 0 ) 0. Potom existuje okolie bodu x 0, kde f(x) 0 pre v²etky body x z tohto okolia - to vyplýva zo spojitosti funkcie f. Mnoºina B je teda otvorená. Predpokladajme, ºe aj A je otvorená. Potom A a B sú disjunktné otvorené mnoºiny, z oho vyplýva, ºe sú aj oddelené (mnoºiny sú oddelené práve vtedy, ak platí: Ā B = = A B). Ke ºe S = A B, jedna z mnoºín A, B musí by prázdna. Pod a predpokladov vety je A neprázdna. Z toho vyplýva, ºe B je prázdna a teda A = S. Funkcia f je spojitá na S, o znamená, ºe A E. Teda E = S a zo vz ahu (8) dostávame, ºe nutne platí c n = 0 pre v²etky n = 0,,..., o sme chceli dokáza. Dôkaz v²ak e²te nie je úplne dokon ený, vy²²ie sme predpokladali, ºe mnoºina A je otvorená, ale zatia sme to nepotvrdili. Ak x 0 A, z vety.8 máme: f(x) = d n (x x 0 ) n ( x x 0 < R x 0 ). () Tvrdíme, ºe d n = 0 pre kaºdé n. Pouºijeme dôkaz sporom: nech k je najmen²ie nezáporné celé íslo, pre ktoré d k 0. Potom platí: f(x) = (x x 0 ) k g(x) ( x x 0 < R x 0 ), () 6

MOCNINOVÉ RADY kde g(x) = d k+m (x x 0 ) m. (3) m=0 Ke ºe funkcia g je spojitá v bode x 0 a g(x 0 ) = d k 0, existuje také δ > 0, ºe g(x) 0, ak x x 0 < δ. Môºeme to tvrdi na základe vz ahu (): f(x) 0 za podmienky 0 < x x 0 < δ. Týmto sa v²ak dostávame do sporu s tvrdením, ºe x 0 je hromadný bod mnoºiny E. Dokázali sme, ºe d n = 0 pre v²etky n. To znamená, ºe f(x) = 0 v okolí bodu x 0 (resp. pre v²etky x, ktoré sp ajú ()). Z toho vyplýva, ºe mnoºina A je otvorená a tým je dôkaz ukon ený. 7

EXPONENCIÁLNA A LOGARITMICKÁ FUNKCIA Exponenciálna a logaritmická funkcia Na mnoºine komplexných ísel denujme E(z) = z n n! (4) Vypo ítame polomer konvergencie tohto radu pomocou Cauchy-Hadamardovej vety (pod a [4, str. 9], [7, str. 67]): lim sup n n an = lim sup n n zn n! = z n n! 0 pre dostato ne ve ké n Pod a tvrdenia vety môºeme poveda, ºe polomer konvergencie radu je R =. Tvrdenie o sú ine radov hovorí, ºe sú in dvoch konvergentných radov konverguje, ak aspo jeden z pôvodných radov (teda inite ov) konverguje absolútne (pod a [4]). Vynásobíme dva rady E(z), E(w), ktoré sp ajú (4): E(z)E(w) = z n n! m=0 w m m! = n k=0 = z k w n k k!(n k)! = (z+w) n n!, z oho dostávame vz ah, ktorý platí pre v²etky komplexné z, w: n! n k=0 ( ) n z k w n k = k E(z + w) = E(z)E(w) (5) Ak aplikujeme predchádzajúci vz ah na dvojicu komplexných ísel z, z, dostávame: E(z)E( z) = E(z z) = E(0) = (6) Tvrdenie.. (pod a [8]) Z (4) a (6) vyplývajú viaceré vlastnosti: (4): x > 0 : E(x) > 0; (6): E(x) > 0 pre v²etky reálne x (4): ak x +, potom aj E(x) + ; (6): ak x, potom E(x) 0 pre v²etky reálne x (4): z 0 < x < y vyplýva E(x) < E(y); (6): E( y) < E( x), teda E je rastúca funkcia na celej mnoºine R 8

EXPONENCIÁLNA A LOGARITMICKÁ FUNKCIA Dôsledkom vz ahu (5) sú nasledovné rovnosti: E (z) = lim h 0 E(z + h) E(z) h Posledná rovnos vyplýva priamo z (4). = E(z) lim h 0 E(h) h = E(z) (7) Ak vo vz ahu (5) nepouºijeme iba dve komplexné ísla, ale namiesto z, w zoberieme z, z,...,z n, dostaneme: E(z +... + z n ) = E(z )... E(z n ) (8) Zvo me z =... = z n =. Vieme, ºe E() = e. V aka predchádzajúcemu vz ahu môºeme tvrdi, ºe platí Ak p = n, kde n, m sú kladné celé ísla, potom platí: m E(n) = e n (n =,, 3,...). (9) [E(p)] m = E(mp) = E(n) = e n, (30) teda E(p) = e p (p > 0, p Q). (3) Zo vz ahu (6) vyplýva, ºe E( p) = e p. Môºeme teda tvrdi, ºe (3) platí pre kaºdé racionálne íslo p. Denujme x y = sup x p y R, x >, (3) p Q kde p je racionálne íslo ostro men²ie ako y. Potom z postupnosti x R : e x = sup e p (p < x, p Q), (33) spojitosti a monotónnosti funkcie E spolu s (3) vyplýva fakt, ºe E(x) = e x (34) pre v²etky reálne x. Z (34) vidíme, pre o sa E nazýva exponenciálna funkcia. V matematike sa pre funkciu e x pouºíva aj ekvivalentný zápis exp(x), najmä vtedy, ke je x zloºitej²ia funkcia. Vrátime sa k pôvodnému ozna eniu e x a pozrieme sa, o sme zatia dokázali. 9

EXPONENCIÁLNA A LOGARITMICKÁ FUNKCIA Veta.. (pod a [8]) Nech funkcia e x je denovaná na R vz ahmi (4) a (34). Potom platí: e x je spojitá a diferencovate ná pre v²etky x R (e x ) = e x e x > 0 pre v²etky x e x je rýdzo rastúca funkcia premennej x e x+y = e x e y lim x e x = +, lim x e x = 0 lim x x n e x = 0 pre kaºdé n - túto vlastnos interpretujeme tak, ºe e x sa pre x blíºi k nekone nu rýchlej²ie ako hociktorá mocnina x Dôkaz. pre kladné x: V²etky vlastnosti okrem poslednej sme uº dokázali. Zo vz ahu (4) máme e x > Po drobných úpravách dostávame výraz x n e x < xn+ (n + )!. (n + )!, x z ktorého uº vyplýva posledná vlastnos, teda veta je dokázaná. Funkcia E je rýdzo rastúca a diferencovate ná na R, existuje k nej teda inverzná funkcia, ozna me ju L. Funkcia L bude tieº rýdzo rastúca a diferencovate ná. Jej de- ni ný obor bude E(R), teda mnoºina v²etkých kladných ísel. Môºeme ju denova dvoma spôsobmi: E(L(y)) = y (y > 0), (35) alebo L(E(x)) = x (x R). (36) Po zderivovaní (36) dostaneme: L (E(x)) E(x) =. Ak ozna íme y = E(x), dostávame vz ah L (y) = (y > 0). (37) y 0

EXPONENCIÁLNA A LOGARITMICKÁ FUNKCIA Ke poloºíme v rovnici (36) x = 0, vidíme, ºe L() = 0. Potom z (37) vyplýva: L(y) = y dx x (38) Vz ah (38) je asto povaºovaný za základný kame teórie exponenciálnej a logaritmickej funkcie. Ozna me u = E(x), v = E(y). Dosadením do rovnice (5) dostávame vz ah L(uv) = L(E(x) E(y)) = L(E(x + y)) = x + y, teda platí L(uv) = L(u) + L(v). (39) Získali sme tak jednu zo známych vlastností logaritmickej funkcie, ktorá je ve mi praktická hlavne pri ru nom po ítaní. (Funkcia L(x) je vo v²eobecnosti ekvivalentná funkcii log x). Na základe vy²²ie uvedených vlastností a pomocou. môºeme kon²tatova : ln x + pre x, ln x pre x 0. Tvrdenie.3. (Vlastnosti logaritmu)(pod a [8]) Platí: x n = E(nL(x)), (40) nesmieme v²ak zabudnú na podmienky: x > 0 a n N. Nech m je prirodzené íslo, analogicky na základe predo²lého vz ahu platí: x m = E ( m L(x) ). (4) Dôkaz. za sebou: (40) dokáºeme ve mi jednoducho, sta í, ak vynásobíme n rovnakých lenov E(nL(x)) = E(L(x)) E(L(x))... E(L(x)) = x n Na základe predchádzajúceho vz ahu môºeme dokáza aj (4): ( ) m ( ( )) ( E m L(x) = E L(x)... E m m L(x) = E m L(x) +... + ) m L(x) = = E (L(x)) = x,

EXPONENCIÁLNA A LOGARITMICKÁ FUNKCIA z toho vyplýva: ( E( m L(x))) m = x, E( m L(x)) = x m. Tvrdenie je dokázané. Nech m n = α Q, m Z, n N. Spojením rovníc (40) a (4) dostávame al²iu známu rovnos, ktorá platí pre ubovo né α. )) ( ( ( ( )))) x m n = E (m (L(x n ) = E m L E n L(x) = E ( m ) = E n L(x) ( m ) n L(x) = x α = E(αL(x)) = e α ln x (4) Denujme pod a (4) x α pre kaºdé reálne α a x > 0. Vzh adom na to, ºe funkcie E aj L sú spojité a monotónne, môºeme poveda, ºe táto denícia je ekvivalentná s tou, ktorú sme zaviedli pôvodne. Po zderivovaní (4) dostávame: Vz ah x > 0 : (x α ) = E(αL(x)) α x = αxα (43) (43) sme zatia pouºívali iba pre celé ísla α. Problém by mohol nasta napríklad v prípade, ºe by sme (43) chceli dokáza priamo z denície derivácie, funkcia x α by bola denovaná pomocou (3) a α by bolo iracionálne íslo. Známy vzorec pre integrovanie funkcie x α dostaneme z (43) pre α a z (37) pre α =. Ukáºeme e²te jednu vlastnos funkcie logaritmus, ktorá bude plati pre kaºdé α > 0: lim x x α ln x = 0 (44) Táto rovnos nám hovorí, ºe logaritmus sa pre x blíºi k nekone nu pomal²ie ako hocijaká kladná mocnina x. Nech 0 < ε < α a x >. Potom platí: x x x α ln x = x α t dt < x α t ε dt = x α xε ε < xε α ε Priamo z toho uº vyplýva (44). Ako alternatívny dôkaz môºeme pouºi vetu., ke by sme pomocou poslednej vlastnosti derivovali (44).

3 TRIGONOMETRICKÁ FUNKCIA 3 Trigonometrická funkcia Pre komplexné x denujme: C(x) = [E(ix) + E( ix)], S(x) = [E(ix) E( ix)]. (45) i Ukáºeme, ºe funkcie C(x) a S(x) sú ekvivalentné s funkciami cos x a sin x, aj ke tieto funkcie sú vä ²inou denované geometricky pomocou strán v trojuholníku. Zo vz ahu (4) vieme, ºe E( z) = E(z). Okrem toho, zo vz ahu (45) vyplýva, ºe funkcie C(x) a S(x) dávajú pre reálne x reálne funk né hodnoty, o sa dá pomerne jednoducho ukáza. Kaºdé komplexné íslo z sa dá napísa v tvare z = a + bi, komplexne zdruºené íslo bude potom z = a bi, kde a, b sú reálne ísla. V na²om prípade máme ix = a + bi, ix = a bi. C(x) = (E(ix) + E( ix)) = Podobne pre funkciu S(x): S(x) = i (E(ix) E( ix)) = i ( ) E(ix) + E(ix) = (a + bi + a bi) = a ( ) E(ix) E(ix) = (a + bi (a bi)) = b i Ke ºe a, b sú reálne ísla, potom nutne platí, ºe hodnoty C(x) a S(x) budú reálne pre reálne x. Taktieº platí: E(ix) = C(x) + is(x). (46) Teda C(x) a S(x) tvorí reálnu, resp. imaginárnu as funkcie E(ix) pre x R. Z (6) máme: E(ix) = E(ix)E(ix) = E(ix)E(ix) = E(ix)E( ix) =, ix = ix práve pre reálne x. Teda E(ix) = x R. (47) Zo vz ahu (45) vidno, ºe C(0) =, S(0) = 0 a na základe (7) platí: C (x) = S(x), S (x) = C(x). (48) Platnos predchádzajúcich dvoch vz ahov za dá jednoducho ukáza. 3

3 TRIGONOMETRICKÁ FUNKCIA C (x) = (E (ix) i i E( ix)) = i (E(ix) E( ix)) = i = S(x) (E(ix) E( ix)) = S (x) = (i i E (ix) + i E ( ix)) = (i E(ix) + i E( ix)) = i = (E(ix) + E( ix)) = C(x) Tvrdenie 3.. (pod a [8]) Existujú také kladné ísla x, pre ktoré C(x) = 0. Dôkaz. Pouºijeme dôkaz sporom - predpokladajme, ºe také íslo neexistuje. Ke ºe C(0) =, z toho vyplýva, ºe C(x) > 0 pre v²etky x > 0. Potom zo spojitosti (48) vyplýva, ºe S (x) > 0, teda funkcia S je ostro rastúca. Okrem toho, ke ºe S(0) = 0, pre x > 0 musí plati, ºe S(x) > 0. Zvo me ísla x, y tak, aby platilo 0 < x < y. Potom: S(x)(y x) < y x S(t)dt = y x C (t)dt = C(x) C(y). (49) Posledná nerovnos vyplýva z (47) a (46) a z faktu, ºe C(t) pre ubovo né t. Ke ºe S(x) > 0, vz ah (49) nemôºe plati pre ve ké hodnoty y. Dostávame sa k sporu. Ozna me x 0 najmen²ie kladné íslo, pre ktoré C(x 0 ) = 0. Na základe tvrdenia dokázaného vy²²ie a faktu, ºe C(0) 0, môºeme tvrdi, ºe také íslo existuje. Pomocou x 0 denujeme íslo π: π := x 0 (50) Potom nutne C( π) = 0 a zo (47) vyplýva, ºe S( π ) = sa rovná jednému z ísel,. Ke ºe S (x) = C(x) > 0 na intervale (0, π ), to znamená, ºe S je na tomto intervale rastúca. Potom S( π ) =. Z toho vyplýva 0 = ( π ) C = 0 ( E (i π ) ( ) + E i π )) ( E i π ) ( = E i π ) Podobne pre funkciu S: ( π ) S = = i ( ( E i π ) ( E i π )) 4

i = ( ( E i π ) ( E i π )) 3 TRIGONOMETRICKÁ FUNKCIA Do posledného vz ahu, ktorý vznikol po rozpísaní S( π ), dosadíme výraz, ktorý vzni- kol pri práci s výrazom C( π ): i = ( ( E i π ) ( + E i π )) ( = E i π ) ( E i π ) = i Teda dostávame: a taktieº teda E ( i π ) = i, E(πi) =, E(πi) = ; (5) E(z + πi) = E(z) (z C). (5) Veta 3.. (pod a [8]) Platí:. Funkcia E je periodická s periódou πi.. Funkcie C a S sú periodické s periódou π. 3. Ak 0 < t < π, potom E(it). 4. Ak z je také komplexné íslo, ºe z =, na intervale [0, π) existuje práve jedno t také, ºe E(it) = z. Dôkaz. Pod a (5) platí vlastnos. Vlastnos vyplýva z a (45). Uvedommne si, ºe ak E(πi) =, potom aj E( πi) = - po vynásobení E(πi) a E( πi) dostaneme výsledok E(0) =. ƒiºe platí E(πi) = E( πi) =. Z toho vyplýva: C(x) = [E(ix) + E( ix)] C(x + π) = [E(i(x + π)) + E( i(x + π))] = [E(ix + πi) + E( ix πi)] = = [E(ix) E(πi) + E( ix) E( πi)] = [E(ix) + E( ix)] = C(x) Dokázali sme, ºe funkcia C(x) je periodická s periódou π. Analogický postup pouºijeme aj pri dôkaze pre funkciu S(x). 5

3 TRIGONOMETRICKÁ FUNKCIA S(x) = [E(ix) E( ix)] i S(x + π) = [E(i(x + π)) E( i(x + π))] = [E(ix + πi) E( ix πi)] = i i = [E(ix) E(πi) E( ix) E( πi)] = [E(ix) E( ix)] = S(x) i i Týmto sme dokázali vlastnos. Nech 0 < t < π, potom 4t (0, π) a E(it) = x + iy, kde x, y R. Vlastnos 3 dokáºeme sporom - budeme predpoklada, ºe E(4it) =. Na základe predchádzajúcich vz ahov môºeme tvrdi, ºe 0 < x <, resp. 0 < y <. V²imnime si nasledujúci výraz: E(4it) = (x + iy) 4 = x 4 6x y + y 4 + 4ixy(x y ) Ak je E(4it) reálne íslo, nutne musí plati, ºe x y = 0. Pod a (47) v²ak platí, ºe x + y =, z toho vyplývajú rovnosti x = y =. Dosadíme: Dokázali sme 3. E(4it) = (x + iy) 4 = ( + i) = 4 6 + 4 = Ak 0 t < t < π, potom pod a 3 platí: E(it )[E(it )] = E(it it ) Z toho vyplýva jednozna nos v asti 4. Potrebujeme teda dokáza e²te existenciu. Zvo me také z, ºe z =. Môºeme napísa z = x+iy, x, y R. Najprv predpokladajme, ºe x 0 a y 0. Funkcia C je na intervale [0, π ] klesajúca a dosahuje hodnoty od po 0. Preto existuje t [0, π ] také, ºe C(t) = x. Ke ºe C + S = a S 0 na [0, π ], znamená to, ºe z = E(it). Ak x < 0 a y 0, predchádzajúce podmienky sú splnené ( ) pre iz. Vieme, ºe existuje πi také t [0, π], pre ktoré iz = E(it) a ke ºe i = E, dostávame vz ah: ( ( z = E i t + π )). Ostáva nám e²te prípad y < 0. Z predchádzajúcich prípadov vieme, ºe existuje t [0, π] také, ºe z = E(it). Teda platí: z = E(it) = E(i(t + π)). Tým sme dokázali 4 a teda je aj celý dôkaz ukon ený. 6

3 TRIGONOMETRICKÁ FUNKCIA Denujeme krivku γ: γ(t) = E(it) (0 t π) (53) Z vlastnosti 4, vz ahu (47) a denície (53) vyplýva, ºe γ je jednoduchá uzavretá krivka, ktorej rozpätie je jednotková kruºnica v rovine. Ke ºe γ (t) = ie(it), d ºku krivky γ vypo ítame pod a nasledujúceho vz ahu: π 0 γ (t) dt = π. Takýto výsledok sa dal o akáva - π je obvod kruhu s polomerom. Môºeme teda poveda, ºe íslo π denované vz ahom (50) má presne ten geometrický význam, ktorý poznáme z praxe. Podobne, bod γ(t) ur uje kruºnicový oblúk d ºky t 0, ak t postupne narastá od 0 do t 0. Vezmime si trojuholník s vrcholmi z = 0, z = γ(t 0 ), z 3 = C(t 0 ). Môºeme si v²imnú, ºe funkcie C(t) a S(t) sú naozaj identické s funkciami cos t, resp. sin t, ak sú funkcie sin a cos denované ako pomer istých strán v pravouhlom trojuholníku. Rozvoj funkcií cos x a sin x do radov je známy a asto sa pouºíva v praxi. Nie je aºké získa tieto rady priamo z denície. Na to, aby sme získali rozvoj funkcií cos x a sin x, budeme ur ite potrebova vidie, ako vyzerajú funkcie E(ix), E( ix): E(ix) = (ix) n n! = + ix! + i x + i3 x 3 + i4 x 4 +... = + ix! 3! 4!! x! ix3 + x4 3! 4! +... ( ix) n E( ix) = n! = + ix + i x + i3 x 3 + i4 x 4 +... = ix!! 3! 4!! x! + ix3 3! + x4 4! +... Dosadíme do denície: = C(x) = [E(ix) + E( ix)] = ix3 + x4 + ix! 3! 4! ( ) = x + x4...! 4! ( + ix! x x + ix3 + x4!! 3! ) +... = 4! = x! + x4 4!... 7

3 TRIGONOMETRICKÁ FUNKCIA = i = i S(x) = [E(ix) E( ix)] = i ( x ix3 + x4... ix!! 3! 4! ( ) 0 + ix 0 ix3 + 0... =! 3! i ( + ix ( ix ix3 3! +... x + ix3 + x4!! 3! ))... = 4! ) = x x3 +... 3! Základné vlastnosti trigonometrických funkcií sme odvodili zo vz ahov (45) a (4), ale vôbec sme sa nezaoberali pojmom uhol. Z toho vyplýva, ºe k funkciám sínus a kosínus nemusíme nutne pouºi práve geometrický prístup. 8

4 ALGEBRAICKÁ ÚPLNOS KOMPLEXNÉHO PO A 4 Algebraická úplnos komplexného po a V poslednej teoretickej asti práce sa budeme zaobera faktom, ºe komplexné pole je algebraicky úplné - znamená to, ºe kaºdý nekon²tantný polynóm s komplexnými koecientami má aspo jeden komplexný kore (toto tvrdenie poznáme aj pod názvom základná veta algebry, viac napríklad v publikácii [6, str. ]). Po om nazývame mnoºinu, na ktorej sú denované operácie s ítania a násobenia, ku kaºdému nenulovému prvku existuje inverzný a na tejto mnoºine platí asociatívny, komutatívny a distributívny zákon. Komplexné pole (ozna me ho C) je navy²e determinované nasledovnými vlastnos ami (pod a [6]): obsahuje mnoºinu reálnych ísel (R) ako podpole, obsahuje prvok i, pre ktorý platí i = a je minimálne spomedzi v²etkých polí s týmito vlastnos ami ( iºe ak máme ubovo né pole P s predchádzajúcimi dvoma vlastnos ami, potom nutne P = C). Predtým, ako v²ak za neme dokazova samotný fakt algebraickej úplnosti komplexného po a, uvedieme jednu vetu, ktorú budeme v dôkaze potrebova. Veta 4.. (pod a [8, kapitola 4, str. 89]) Predpokladajme, ºe f je spojitá funkcia na kompaktnom metrickom priestore X. Ozna me: M = sup f(p), p X m = inf p X f(p). Potom existujú také body p, q X také, ºe f(p) = M a f(q) = m. Ekvivalentná formulácia vety by mohla znie napríklad takto: Existujú body p, q X také, ºe f(q) f(x) f(p) pre v²etky x X, teda f dosahuje svoje maximum (v bode p) a minimum (v bode q). Veta vlastne hovorí, ºe M je najlep²ia horná hranica pre v²etky ísla f(p) pre p X a m je najlep²ia dolná hranica pre tú istú mnoºinu ísel. Veta 4.. (pod a [8]) Nech a 0, a,..., a n sú komplexné ísla, n a a n 0. Uvaºujme polynóm: P (z) = n a k z k. Potom existuje komplexné íslo z, pre ktoré platí: P (z) = 0. 9 k=0

4 ALGEBRAICKÁ ÚPLNOS KOMPLEXNÉHO PO A Dôkaz. Bez ujmy na v²eobecnosti predpokladajme, ºe a n =. Ak by to neplatilo, v prípade potreby sta í polynóm íslom a n vydeli (dostaneme tak normovaný polynóm). Platí, ºe ak vynásobíme polynóm nenulovým íslom, jeho korene sa nezmenia (pod a [6, str. ]). Zave me ozna enie: Nech z = R. Potom platí: µ = inf P (z), (54) z C P (z) R n [ a n R... a 0 R n] (55) ahko vidno, ºe pravá strana (55) sa blíºi k nekone nu pre R. Teda existuje také R 0, ºe P (z) > µ pre z > R 0. Funkcia P je spojitá na kruhu so stredom v bode 0 a polomerom R 0. Na základe vety 4. môºeme tvrdi, ºe existuje z 0, pre ktoré platí, ºe P (z 0 ) = µ. Aby sme dokázali, ºe P (z) má komplexný kore, sta í, ak dokáºeme, ºe µ = 0. Tvrdenie dokáºeme sporom. Ak µ 0, denujme Q(z) = P (z + z 0). Potom Q je P (z 0 ) nekon²tantný polynóm, Q(0) = a Q(z) pre v²etky z. Existuje kladné celé íslo k ( k n) tak, ºe platí: Q(z) = + b k z k +... + b n z n (b k 0). (56) Pod a poslednej vlastnosti z vety 3. existuje také reálne íslo θ, ºe platí: e ikθ b k = b k. (57) Ak zvolíme r > 0 a r k b k <, z (57) vyplýva: + b k r k e ikθ = r k b k, teda platí Q(re iθ ) r { k b k r b k+... r n k b n }. Pre dostato né malé hodnoty r je výraz v zátvorke kladný, o si odporuje s nerovnos ou Q(re iθ ) <. Z toho vyplýva, ºe µ = 0 a P (z 0 ) = 0. 30

5 RIE ENÉ PRÍKLADY 5 Rie²ené príklady Ako sme uº spomínali v úvode, mocninové rady majú ve a rôznych vyuºití. V tejto kapitole sa zameriame na dôkaz existencie derivácií, výpo et limít a s ítavanie nekone ných radov. Vyrie²ime vybrané príklady z 8. kapitoly publikácie [8]. Príklad 5.. Denujme: e x x 0 f(x) = 0 x = 0 Ukáºte, ºe f má derivácie v²ekých rádov v bode x = 0 a f (n) (0) = 0 pre n =,, 3,... Rie²enie: = 0, o sa rovná funk - Najprv treba overi spojitos funkcie. ahko vidíme, ºe lim e x x 0 nej hodnote v bode 0. Existenciu derivácií v²etkých rádov dokáºeme pomocou matematickej indukcie. V²imnime si, ºe jednoduch²ie bude pouºi iný zápis funkcie, ktorý je ekvivalentný zápisu zo zadania: f(x) = e x Najprv budeme ru ne derivova a na základe odpozorovaného tvaru derivácií vyslovíme induk ný predpoklad. f (x) = e x x 3 = f(x) P (x ) f (x) = e x ( 6)x 4 + (x 3 ) e x = f(x) P (x ) (P, P sú polynómy, no ich explicitný tvar nie je pre nás v tejto chvíli dôleºitý.) Moºno teda predpoklada : f (n) (x) = e x P m (x ), (58) kde P m je nejaký polynóm. Vidíme, ºe pre n = rovnos platí. Pomocou matematickej indukcie ukáºeme, ºe ak rovnos platí pre n N, potom: f (n+) (x) = e x P m (x ). Po ítajme: f (n+) (x) = ( f (n) (x) ) = (e x (P m (x ))) = = e x x 3 P m (x ) + e x (P m (x )) 3

5 RIE ENÉ PRÍKLADY Teraz ozna me: Q m (x) = P m (x ) = a 0 + a x +... + a m x m Potom platí: Q m(x) = a x +... + ( m) a m x m = P m (x ) a teda môºeme tvrdi : kde P m f (n+) (x) = e x x 3 P m x + e x P m (x ) = = e x ( x 3 P m (x ) + P m (x )) = e x P m (x ), je nejaký polynóm. Teda sme dokázali (58). V²imnime si, ºe z (58) vyplýva: lim f (n) (x) = lim x 0 n N, ak poloºíme t = x. Posledná rovnos vyplýva z toho, ºe platí: a teda aj lim t + lim t t n e t = 0 t n e t = 0. x 0 e x P m (x P m (t) ) = lim = 0 t ± e t Na základe vy²²ie uvedeného teda platí, ºe lim x 0 f (n) (x) = 0. Teraz z denície spojitosti a pomocou matematickej indukcie dokáºeme, ºe ak f (n) (0) = 0, tak aj f (n+) (0) = 0. f (n+) (0) = lim x 0 f (n) (x) f (n) (0) x = lim x 0 f (n) (x) x = lim x 0 f (n+) (x) = 0 Predposledná rovnos vznikla v aka pouºitiu L'Hospitalovho pravidla. V príklade sme pracovali s funkciou, ktorá nie je analytická - síce má derivácie v²etkých rádov, ale jej Taylorov rozvoj v okolí bodu 0 dá nulovú funkciu. Nasledujúci príklad sa venuje s ítavaniu nekone ných radov. 0 0 0 0 0 Príklad 5.. Nech a ij je zloºka v i-tom riadku a j-tom st pci: 0 4 8 4....... a platí: 0 i < j a ij = i = j j i i > j 3

5 RIE ENÉ PRÍKLADY Dokáºte: (a) i (b) j a ij = j a ij = 0 i Rie²enie: (a) a ij = + i +... + ( ) i i + ( ) = j= ( ) i a ij = = = i j i= (b) S ítavame najprv prvky v st pcoch. Vyberme si jeden ubovo ný st pec (teda zvo me j pevné): ( a ij = + + 4 + ) 8 +... = + = 0 i Zistili ( sme, ºe ) sú et prvkov v kaºdom st pci je 0. Teda platí: a ij = 0 = 0 j i j al²ie dva príklady sa venujú výpo tu limít rôznych funkcií. Zistili sme, ºe by sa dali jednoducho vyrie²i pouºitím L'Hospitalovho pravidla, ale to nie je na²ím zámerom. Príklad 5.3. Dokáºte platnos nasledujúcich vz ahov: (a) lim x 0 b x b (b) lim x 0 log( + x) x = ln b (b > 0), =, (c) lim x 0 ( + x) /x = e, (d) lim n ( + x n) n = e x. Rie²enie: (a) b x = E(xL(b)) = e x ln b b x e x ln b lim = lim ln b x 0 x x 0 x ln b = lim ln b e x ln b ln b x 0 x ln b Aplikujeme na posledný zlomok L'Hospitalovo pravidlo a dostávame: ln b e x ln b ln b lim = lim ln b e x ln b = lnb x 0 ln b x 0 33

5 RIE ENÉ PRÍKLADY (b) Pouºijeme substitúciu: ln( + x) = t x = e t ln( + x) t lim = lim x 0 x t 0 e t = lim t t 0 E(t) Opä aplikujeme L'Hospitalovo pravidlo. Dostávame: lim t 0 E(t) = ( ) = lim exp ln( + x) x 0 x (c) lim x 0 ( + x) x Pod a (b): výraz ( ln( + x) x ) sa blíºi k íslu, teda lim x 0 e = e (d) Pôvodný výraz prepí²eme do ekvivalentného tvaru: ( lim + x [ n ( = lim + n n) x ) ] n x x n n Pod a (c) sa výraz v hranatej zátvorke blíºi k íslu e. Teda limita pôvodnej funkcie bude e x. V nasledujúcom príklade budeme potrebova pouºi rozvoj funkcií tg x a ln(+x) do Maclaurinovho radu. Tvary mocninových radov nie je aºké získa priamo z Taylorovej vety (.8), ak poloºíme a = 0: f(x) = f(0) + f (0) x + f (0)! x + f (3) (0) 3! x + tg (3) (0) 3! x 3 +... + f (n) (0) n! x 3 +... + tg (n) (0) n! x n +... tg x = tg (0) + tg (0) x + tg (0) x n +... =! sin(0) cos(0) 0 + x x 6 sin (0) + cos (0) +... = x + x3 cos (0)! cos 4 (0) 3! cos 4 (0) 3 + O(x3 ) Podobne pre ln( + x): f(x) = f(0) + f (0) x + f (0)! x + f (0) 3! x 3 + O(x 3 ) ln( + x) = ln( + 0) + +0 x!(+0) x + 3!(+0) 3 x 3 + O(x 3 ) = x x + x3 3 + O(x3 ) Rozvoj v takomto tvare bude pre na²e výpo ty sta i. Príklad 5.4. Nájdite nasledujúce limity: e ( + x) x (a) lim x 0 x 34

5 RIE ENÉ PRÍKLADY n ) (b) lim (n n n ln n tg x x (c) lim x 0 x( cos x) (d) lim x 0 x sin x tg x x Rie²enie: (a) Funkciu prepí²eme do iného tvaru: e ( + x) x e e ln( x) x ln(+x) lim = lim = lim x 0 x x 0 x x Následne pouºijeme L'Hospitalovo pravidlo. Dostávame: x x 0 e e ( lim e x ln(+x) x 0 x + x ) ln( + x) x Pre vä ²iu preh adnos zave me ozna enie: A = e x ln(+x), B = x +x x ln( + x) Pod a 5.3(b): lim e x ln(+x) = lim e ln(+x) x = e x 0 x 0 B = x + x x ln( + x) = ( x + x ( ) x = ( x3 3 +O(x3 ) x +x + x+ x = x(+x) x + x 3 + O(x) = x = x Teda môºeme ( kon²tatova : lim B = lim x 0 x 0 + x + x ) 3 + O(x) e ( + x) Z toho vyplýva: lim x 0 x (b) lim n x +x + x x ) ln( + x) = ) 3 + O(x ) = x + x + O(x) = + x + O(x) x(+x) 3 +x 3 = + = = lim A lim B = e x 0 x 0 ) ( n ] n n [n n n n = lim = lim ln n n ln n n ln n V tejto chvíli je vhodné pouºi substitúciu: ln n = x n Ke ºe n, potom x 0, pretoºe n ide do nuly rýchlej²ie ako ln n do nekone na. Pod a 5.3(a) máme: e x lim = ln e = x 0 x ( ) e n ln n ( ) = e e n ln n = lim n ln n n 35

5 RIE ENÉ PRÍKLADY (c) lim x 0 tg x x x( cos x) = lim x 0 x + x3 x + 3 O(x3 ) x ( ( x )) + O(x3 ) = lim x 0 x 3 3 + O(x3 ) x 3 + O(x3 ) = + O(x3 ) 3 x 3 + = O(x3 ) x 3 = 3 x sin x x (d) lim x 0 tg x x = ( x x3 6 ) + O(x 3 ) x + x3 3 x + O(x3 ) = x 3 6 + O(x3 ) x 3 3 + O(x3 ) = + O(x3 ) 6 x 3 + = O(x3 ) 3 x 3 Príklad 5.5. Nech f(x) f(y) = f(x + y) x, y R. (a) Ak predpokladáme, ºe f je diferencovate ná a nenulová, dokáºte: f(x) = e cx, kde c je kon²tanta. (b) Dokáºte rovnaký výsledok iba za predpokadu, ºe f je spojitá. Rie²enie: (a) Najprv si uvedomme, ºe platí: f(x) = f(x + 0) = f(x) f(0) Vieme, ºe f je diferencovate ná. Môºeme teda z denície vypo íta jej deriváciu: f f(x + y) f(x) f(x) f(y) f(x) f(0) f(y) f(0) (x) = lim = lim = f(x) lim = y 0 y y 0 y y 0 y = f(x) f (0) Dostali sme diferenciálnu rovnicu: f = f (0) f, ktorú môºeme prepísa do tvaru: f = k f. Ak f (0) = 0, potom f (x) = 0 Ak f (0) 0, môºeme poveda : x, teda f je kon²tantná funkcia. f = f (0) f Vznikla nám diferenciálna rovnica. rádu a môºeme ju rie²i metódou separácie premenných: f (t) f(t) = f (0) x 0 f (t) f(t) dt = f (0) x ln f(x) f(0) = f (0) x 36

5 RIE ENÉ PRÍKLADY Dostávame výsledok: f(x) = f(0) e f (0) x Vieme, ºe f(x) = f(x) f(0), teda f(0) =. Získaný výsledok môºeme teda prepísa do ekvivalentného tvaru: f(x) = e f (0) x, pri om f (0) je kon²tanta. Tým je dôkaz ukon ený. (b) Kaºdé reálne íslo má tú vlastnos, ºe v jeho ubovo ne malom okolí sa nachádza nejaké racionálne íslo. Túto skuto nos vyuºijeme pri dôkaze druhého tvrdenia. Môºeme tvrdi : f( + +... + ) = f() f()... f() = f( n ) Taktieº vidíme, ºe f() > 0: f( + 0) = f() f(0) f(0) =, f() = f ( + ( ) = f ) > 0 ( ) Chceme dokáza nasledovnú rovnos : f = f() m Platí: m f() = f ( m + m +... + ) ( ) ( ) ( ) ( ) m = f f... f = f m m m m m ( n f = f m) f() = f ( ) m ( ) f = f() m m m ( m +... + ) ( ) n ( ) n = f = f() n m = f() m m m Teda f(x) = f() x pre x Q. al²ia vlastnos reálnych ísel je tá, ºe existujú racionálne ísla, ktoré k nemu konvergujú. Nech q n je racionálne, potom môºeme tvrdi : f(x) = lim qn x f(q n) = lim qn x f()qn = f() x Ozna me f() := e c. Tento výraz je kladný, takºe ozna enie je korektné. Teda platí: f(x) = f() x = e cx 37

ZÁVER ZÁVER Záver Cie om bakalárskej práce bolo preh adne spracova teóriu mocninových radov a pomocou základných poznatkov odvodi vlastnosti al²ích funkcií. Vychádzali sme prevaºne z publikácie [8]. V prvej asti sme uviedli základné pojmy, ktoré by si mal prípadný itate osvoji, aby porozumel, odkia pochádzajú známe vlastnosti exponenciálnej funkcie, logaritmickej funkcie a trigonometrických funkcií. V poslednej kapitole práca ponúka aj nieko ko príkladov, ktoré môºu by uºito né ako ukáºka vyuºitia problematiky mocninových radov v praxi. Prínosom pre autora bolo najmä osvojenie si vedomostí známych z predchádzajúcich rokov ²túdia, ale taktieº nadobudnutie nových poznatkov a lep²ie pochopenie vlastností uvedených funkcií, ktoré sa v praxi asto vyuºívajú, ale asi len málo udí vie, ºe sa dajú dokáza práve pomocou mocninových radov. Uº v úvode sme zdôraznili, ºe mocninové rady sú ve mi vhodným nástrojom pre mnohé al²ie vedy. Majú v²ak aj svoje úskalia. Prípady, ºe sa s radmi aºko pracuje, v praxi nie sú vôbec ojedinelé - existujú funkcie, ktorých rozvoj do radu je ve mi aºké nájs, prípadne konvergujú na ve mi malej mnoºine. O nevýhodách a odchýlkach vznikajúcich pouºívaním radov hovorí napríklad lánok [5]. 38

ZOZNAM POUšITEJ LITERATÚRY ZOZNAM POUšITEJ LITERATÚRY Zoznam pouºitej literatúry [] Kollár, M.: Predná²ky z matematickej analýzy, FMFI UK, Bratislava, 0 [] Kossaczká, : Osobná komunikácia, FMFI UK, Bratislava, 03 [3] Ko²ut, L.: Postupnosti a rady funkcií, bakalárska práca, P F MUNI, Brno, 006, 34-38, dostupné na internete (..03): http://is.muni.cz/th/06807/prif_b/b.pdf [4] Kubá ek, Z., Valá²ek, J.: Matematická analýza II., dostupné na internete (.5.04): http://www.iam.fmph.uniba.sk/skripta/kubacek/zbynek4.pdf [5] Leavitt, J. A.: Methods and Applications of Power Series, dostupný na internete (..03): http://www.ams.org/journals/mcom/966-0-093/s005-578-966-08740- 4/S005-578-966-08740-4.pdf [6] Mac Lane, S., Birkho, G.: Algebra, ALFA, vydavate stvo technickej a ekonomickej literatúry, Bratislava 974 [7] Privalov, I. I.: Analytické funkce, ƒeskoslovenské akademie v d, Praha 955 [8] Rudin, W.: Principles of mathematical analysis, McGraw-Hill, Inc., 953 39