FOURIEROVE PREOBRAZBE- PRIMJENA U FIZICI
|
|
- Aron Armstrong
- 5 years ago
- Views:
Transcription
1 SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ODJEL ZA FIZIKU Preddiplomski sveučilišni studij fizike FOURIEROVE PREOBRAZBE- PRIMJENA U FIZICI Završni rad Anton Aladenić Osijek, 2014.
2 SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ODJEL ZA FIZIKU Preddiplomski sveučilišni studij fizike FOURIEROVE PREOBRAZBE- PRIMJENA U FIZICI Završni rad Anton Aladenić Mentor: doc.dr.sc. Zvonko Glumac Osijek, 2014.
3 Sadržaj 1.UVOD Zadatak završnog rada FOURIEROV RED Motivacija za nastanak Fourierove transformacije Fourierov red Uvjeti na funkciju Određivanje Fourierovih koeficijenata Konvergencija Fourierovog reda FOURIEROVA PREOBRAZBA Integralne preobrazbe- uvod Razvoj Fourierovog integrala Fourierova preobrazba- teorem inverzije Fourierova preobrazba derivacije Teorem konvolucije reprezentacija Funkcija transfera Zaključak Literatura... 32
4
5 1.UVOD 1.1. Zadatak završnog rada U ovome radu upoznati ćemo se sa Fourierovom preobrazbom, jednom od integralnih preobrazbi. Integralne preobrazbe imaju šitoku primjenu u raznim matematičkim i fizikalnim problemima. Upoznati ćemo se sa svojstvima Fourierove preobrazbe i njenom primjenom, a osobito u fizici. Vidjeti ćemo na koje funkcije se Fourierova preobrazba može primjeniti i na koji način odrediti Fourierovu preobrazbu određenih funkcija. Također ćemo proučiti i inverznu Fourierovu preobrazbu, čije je određivanje glavni problem pri rješavanju problema u kojima se koriste općenito integralne preobrazbe. Poseban naglasak ovoga rada staviti ćemo na primjene Fourierove preobrazbe na fizikalne probleme, te ćemo riješiti nekoliko karakterističnih primjera i zadataka gdje Fourierova preobrazba nezaobilazan alat,te donosi najveću primjenu i pomoć pri rješavanju. 1
6 2.FOURIEROV RED 2.1. Motivacija za nastanak Fourierove transformacije U većini literatura sam pojam Fourierove transformacije se prezentrira čitateljima kao samosatalan i cjelovit izraz, bez nekog pojašnjenja i motivacije da se shvati kako je sam izraz nastao. U ovom dijelu ćemo objasniti kako je uopće došlo do potrebe za razvojem Fourierovog reda, te kako iz toga proizlazi nastanak Fourierovih transformacija. Fourierova analiza proizlazi iz generalne ideje da se svaka periodična funkcija može zapisati kao suma (ne mora nužno biti konačna) sinusa različitih amplituda, frekvekcija i faza. Ta suma naziva se Fourierovim redom. Motivacija koju je Jean Baptiste Joseph Fourier (Slika 1.) postavio je problem rješavanja parcijalne diferencijalne jednadžbe širenja topline. Teoriju o širenju topline i sam pojam Fourierovog reda razvio je u razdoblju od do godine, a kasnije je to objavio u svom velikom radu O širenju topline čvrstim tijelima godine. Taj rad, a i sam pojam Fourierovog reda naišao je na otpor među određenim ljudima, najviše među matematičarima među kojima su bili Lagrange i Laplace. Razlog protivljenju je bila Fourierova tvrdnja da se sve (čak i nederivabilne) funkcije mogu razviti u trigonometrijski red. Iako derivabilnost nije nužan uvjet za zapisivanje funkcije kao sume trigonometrijskih funkcija, kasnije ćemo ipak pokazati da je Fourier bio preambiciozan u svojoj tvrdnji. Slika 1. Jean Baptiste Joseph Fourier 2
7 Iako je Fourierova tranformacija proizašla kao rezultat proučavanja Fourierovog reda, danas se to često servira kao gotov alat i teško je iz same formule Fourierove transformacije shvatiti motivaciju za njen nastanak Fourierov red Kod razvoja funkcije u Fourierov red, uvjet je taj da je funkcija periodična. Ono što se prirodno postavlja je pitanje može li se to napraviti i za neperiodične funkcije na nekom intervalu? Odgovor je : da, ali ako te neperiodične funkcije učinimo periodičnima. Tada taj interval postaje period te funkcije i ponavlja se beskonačno mnogo puta. Pretpostavimo da je promatrana funkcija periodična na nekom intervalu [-π, π]. Dakle za danu funkciju f : R R, periodičnu na intervalu [-π, π], želimo pronaći koeficijente,, R, za k=1,..., n tako da vrijedi U ovom izrazu ima ulogu amplitude, a ulogu faze za sinus funkciju frekvencije. Član je poseban i on translatira funkciju duž - osi. Ako u gornjem izrazu upotrijebimo adicijsku formulu za sinus funkciju, vidimo da Fourierov red možemo napisati i drugačije: Valja primjetiti da u ovoj formuli i ne ovise ni o varijabli ni o to su brojevi koji su dio koeficijenata uz. Stoga definiramo nove brojeve i R u kojima će implicitno biti uključeni i. Sada nova formula izgleda kao: Traženje Fourierovog reda se sada svodi na određivanje koeficijenata i. Također valja primijetiti da više ne moramo eksplicitno promatrati fazu pojedine sinus funkcije, nego je dovoljno tražiti samo koeficijente (amplitude) uz sinus i kosinus. 3
8 2.3. Uvjeti na funkciju Sada se postavlja pitanje da li vrijedi jednakost (2.2.1) za svaku periodičnu funkciju i može li se zaista svaka periodička funkcija zapisati kao konačna suma sinusa i kosinusa različitih amplituda i frenkvencija? Da bismo mogli dati odgovor na ovo pitanje treba se prisjetiti nekih od elementarnih tvrdnji iz diferencijalnog računa kao što su : Zbroj svakih dviju neprekidnih funkcija opet mora biti neprekidna funkcija ili zbroj dvije derivabilne funkcije je opet derivabilna funkcija ili još jače tvrdnje zbroj svakih dviju m-puta derivabilnih funkcija, m N, mora opet biti m-puta derivabilna funkcija. I kosinus i sinus su neprekidne i m-puta derivabilne funkcije pa vrijedi da je i njihova suma takva. Uzevši ovo u obzir ove činjenice čini se kao da je nemoguće razviti nederivabilnu funkciju u ovako definiran Fourierov red. No stvar prima drugačiju perspektivu kada iskoristimo činjenicu da veće frekvencije trigonometrijskih funkcija u sumi (2.2.1) uzrokuju oštrije rubove u rezultantnoj krivulji. Primjer toga možemo vidjeti na slici 2 gdje vidimo funkciju rectangle koja je definirana kao { Stoga, kada bismo dodavali sve više i više funkcija, brojač k bio bi sve veći i naša rezultantna krivulja bi sve bolje aproksimirala vrhove u kojima funkcija nije derivabilna. Slika 2. Rectangle funkcija- aproksimacija uz pomoć Fourierova reda na intervalu [ brojač : a) k=2, b) k=4, c) k=8, d) k=16 ],za 4
9 Ovu činjenicu možemo iskoristiti za motivaciju da sumu (2.2.1) preoblikujemo tako da ide u beskonačnost i to na sljedeći način: No ova suma se može bolje zapisati ako se prisjetimo Eulerove formule: Uvođenjem novih koeficijenata, formulu (2.3.1) možemo zapisati na novi način. Međutim, moramo biti sigurni da ćemo na kraju dobiti realne koeficijente. Stoga ćemo iskoristiti svojstvo da je, gdje je z,a oznaka za konjugirano kompleksan broj. Valja primjetiti da s pomoću Eulerove formule, ako želimo dobiti konjugirano kompleksan broj, dovoljno je za uzeti (neparnost sinusne funkcije). Imajući to na umu, želimo pronaći koeficijente takve da vrijedi št je ekv vale t : ( ) ( ) Nadalje vrijedi da je : Valja primjetiti da je =. Sada iz gornjeg izraza dobijemo dvije jed adžbe : Ako prvu jednadžbu pomnožimo sa imaginarnom jedinicom, tj. dodamo drugu jednadžbu, dobivamo : te joj 5
10 Gore smo se koristili jednakošću Sada je lako odrediti samu vrijednost. Ako uvedemo oznaku općenitiji razvoj u Fourierov red možemo zapisati sljedećom formulom : gdje su : Nulti član u ovom slučaju je 2.4. Određivanje Fourierovih koeficijenata U ovom odjeljku ćemo pokazati kako za danu periodičnu funkciju koeficijent. Budući da je funkcija: izračunati -ti djeleći ovu jednadžbu sa, dobivamo : ( ) za. Sada iskoristimo činjenicu da je konstanta, tako da pri integraciji obje strane po varijabli [ ] dobivamo: ( ) za Čini se kao da je izraz postao još kompliciraniji,no međutim ako primjetimo da je po Eulerovoj formuli, te jer je 6
11 Vidimo da se cijela suma poništava, te sada samo trebamo podijeliti jednadžbu sa dobivamo formulu za -ti koeficijent Fourierova reda:, te Slično se može pokazati da vrijedi i za općenitiji period [ red: ], te da je tada Fourierov sa pridruženim koeficijentima: gdje je Valja primjetiti da koeficijent služi da bismo sveli sinus i kosinus funkcije na interval [ ] s periodom. Time je možemo promatrati i na [ ] s periodom Konvergencija Fourierovog reda Problem konvergencije Fourierovog reda bilo je jedno od nerazjašnjenih pitanja stoljećima. Razlog tome je alternirajuća perioda sinus i kosinus funkcija. Tim svojstvom je otežano promatranje konvergencije ovako definiranog reda. No stvar otežava i razmatranje Fourierove tvrdnje da se ovako može razviti svaka,pa čak i nederivabilna funkcija. Rezultati razmatranja ovakvog reda govore da je najbitniji uvjet zapravo integrabilnost funkcije koju razvijamo u red. Što se tiče same konvergencije navesti ćemo jedan važan teorem koji govori o konvergenciji po normi: (Riesz-Fischer teorem): ([ ]) ako i samo ako je Fourierov red te funkcije - konvergentan,tj. ako kada n. 7
12 Dakle kvadrat razlike funkcije f(x) i njene konačne aprosksimacije na nekom intervalu teži u nulu. Ovakve rezultate o konvergenciji Fourierova reda dobijemo ako se koristimo općenitijim, Lebesgueovim integralom. Pri analizi signala integral funkcije predstavlja energiju signala. Ako je taj signal konačan, kaže se da signal ima konačnu energiju. To rješenje je postignuto čak prije više od sto godina, davne godine. 3. FOURIEROVA PREOBRAZBA 3.1. Integralne preobrazbe- uvod U matematičkoj fizici često se susrećemo sa parovima funkcija povezanih izrazom oblika: Funkcija je integralna transformacija funkcije, sa jezgrom preobrazbe. Preobrazba se također može shvatiti kao preslikavanje funkcije zadane u t prostoru, u funkciju zadanu u prostoru: To su primjerice preslikavanja između prostora ili Integralne preobrazbe imaju puno fizičkih primjena i značenja koje ćemo vidjeti u nastavku. Najčešća opća primjena je skicirana na slici 3. Pretpostavka je da se zadani problem može riješiti vrlo teško, uz puno koraka i poteškoća (ako je uopće rješiv) u orginalnom prostoru. Često se događa da se preobrazbom iz orginalnog prostora problem lakše riješi ako ga se preslika u neki drugi prostor. Zatim se inverznom preobrazbom rješenje problema preobrazi natrag u orginalni prostor. 8
13 Slika 3. Shematski prikaz rješavanja problema integralnom preobrazbom Jedna od mnogobrojnih, ali i jedna od najbitnijih integralnih preobrazbi je i Fourierova preobrazba, definirana izrazom: Jezgra Fourierove preobrazbe je : čiji su realni i imaginarni dijelovi dani sa kosinusom i sinusom. To ih čini vrlo pogodnima za proučavanje valnih pojava. Postoje dvije modifikacije gornje preobrazbe, a to su Fourierova kosinusna i sinusna preobrazba: Linearnost : Jedna od karakteristika koja je zajednička svim preobrazbama je njihova linearnost. Pod time se misli na svojstvo da je preobrazba linearne kombinacije jednaka linearnoj kombinaciji preobrazbi: [ ] 9
14 [ ] gdje su konstante, a, i funkcije za koje je preobrazba definirana. Ako prikažemo ovu preobrazbu linearnim operatorom može se napisati: [ ] Za očekivati je da postoji i inverni operator sa svojstvom : [ ] Određivanje inverzne preobrazbe je glavni problem kod integralnih preobrazbi Razvoj Fourierovog integrala U odjeljku 2.4 pokazali smo prednosti korištenja Fourierovih redova pri predstavljanju funkcija koje su : (1) Ograničene na području [ ] (2) Ili su definirane na intervalu (- ), ali su periodične No sada ćemo proučiti prikaz neperiodične funkcije na intervalu (- ). Fizički to znači rastavljanje jednog pulsa ili valnog paketa na sinusoidalne valove. U odjeljku 2.4 vidjeli smo da se na intervalu [ ], koeficijenti iz razvoja Fourierova reda računaju kao: No ako promjenimo interval na [ ] te ako umjesto eksponencijalne funkcije prebacimo jezgru preobrazbe na trigonometrijske funkcije i ako zamjenimo varijablu, dobivamo dva izraza za izračun koeficijenata s kojima ćemo moći lakše provoditi račun: što rezultira Fourierovim redom oblika: 10
15 Ili skraćeno: Sada pustimo da grainca L neizmjerno raste : L. Uvedemo još i oznake: Ako : postoji i konačan je, tada prvi član iz prethodnog izraza nestaje, a drugi postaje : Sada se zamjenom beskonačne sume po integralom po, konačno dobiva: Međutim treba naglasiti da je gornji rezultat čisto formalne naravi. Njegov izvod nije strogi matematički izvod. Ta relacija se naziva FOURIEROV INTEGRAL, te vrijedi za funkcije koje su : (1) Po dijelovima kontinuirane; (2) Derivabilne; (3) Apsolutno integrabilne, odnosno je konačan. 11
16 Fourierov integral- eksponencijalni oblik: Izraz za Fourierov integral koji smo iskazali posljednom formulom parne funkcije F može se iskazati i u eksponencijalnom obliku, ako primjetimo da se, zbot parnosti kosinusa kao funkcije, može napisati: a zbog neparnosti sinusa kao funkcije imamo: Ako sada drugu od gornjih jednadžbi pomnožimo sa i te se doda prvoj, dobiva se: ( ) Zbog kasnije usporededbe gornje relacije sa samim izrazom za Fourierovu transformaciju, izvest ćemo zamjenu u gornjoj relaciji, čime gornji izraz postaje: Ovdje smo uveli varijablu kao nijemu varijablu integracije, no u većini fizikalnih problema ona ima značenje kutne brzine. Uz ovakvo tumačenje zadnje dvije relacije se mogu protumačiti prikaz funkcije kao neprekidnim prijelazom neprekidnih harmonijskih funkcija čije frekvencije neprekidno poprimaju sve realne vrijednosti na intervalu (0, ), dakle ovo nije rastav funkcije na diskretni spektar,nego na KONTINUIRANI spektar. IZVOD DIRACOVE DELTA FUNKCIJE: Ako u posljednjem izrazu zamjenimo redosljed integracije,dobivamo : { } No, usporedbom gornjeg izraza i definicije Diracove delta funkcije: Zaključujemo da je izraz u vitičastoj zagradi upravo : 12
17 3.3. Fourierova preobrazba- teorem inverzije Definirajmo funkciju Fourierovu preobrazbu od, definiranu sa : EKSPONENCIJALNA PREOBRAZBA: Usporedimo li gornji izraz sa (3.2.1) : Uočavamo dio srazmjeran s, tako da je sada lako očitati inverznu preobrazbu: Valja primjetiti da su relacije (3.3.1) i (3.3.2) simetrične do na predznak. Ako par funkcija (3.3.2) postaju: i, iz Fourierove preobrazbe prevede u 3-D prostor, tada relacije (3.3.1) i ( ) ( ) Integracija se vrši po cijelom prostoru. Te dvije relacije predstavljaju razvoj funkcija ( ) po funkcijama, slično kao što se funkcija može razviti u red potencija i Razlika je ta što potpun skup funkcija po kojima se razvoj radi nije DISKRETAN skup potencija, nego je to sad kontinuirani skup ravnih valova 13
18 a umjesto koeficijenata dolazi ( ) koja se zove i AMPLITUDA VALA, te dakako zbog toga što je kontinuirana varijabla, umjesto sume dolazi integral. KOSINUSNA PREOBRAZBA: Ako je funkcija parna ili neparna, gornje preobrazbe možemo izraziti u drugačijem obliku. Promotrimo prvo slučaj kad je funkcija parna: Tada iz izraza (3.3.1) slijedi: Dio sa sinusom isčezava zbog neparnosti podintegralne funkcije. Iz gornjeg izraza je funkcija, pa sličnim postupkom iz (3.3.2) dolazimo do : parna Ove dvije relacije zovu se kosinusne Fourierove preobrazbe. SINUSNA PREOBRAZBA: Sada ćemo pretpostaviti da je preobrazbi: neparna funkcija kako bi dobili par sinusnih Fourierovih Iz jednadžbe (3.3.1) slijedi: Sada isčezava dio sa kosinusom zbog neparnosti podintegralne funkcije. Sličnim postupkom se iz (3.3.2) dobiva inverz: 14
19 Ove dvije relacije zovu se sinusne Fourierove preobrazbe. U posljednoj relaciji se može izvesti fizički smisao kao razvoja po kontinuiranim sinusnim valovima. Amplituda vala je dana sa, gdje je sinusna Fourierova preobrazba od. Također može se primjetiti da Fourierova sinusna i kosinusna preobrazba sadrže samo nenegativne vrijednosti argumenta. Da bi došli do tih relacija, koristili smo se svojstvima parnosti funkcije. No sada kad smo preobrazbe već postavili, ponašanje funkcija i za negativne vrijednosti argumenta je posve nebitno. Konačno, preobrazbe svaka za sebe posjeduje određenu parnost; parne su za Fourierovu kosinusnu preobrazbu,a neparne za sinusnu. Rješimo sada jedan zadatak u kojem ćemo koristiti Fourierove preobrazbe za rastav konačnog pulsa u sinusne valove. Zadatak 3.1 Zamislimo beskonačni sinusoidalni val, koji je pomoću Kerrove ćelije ili nekako drukčije, narezan na manje komade, tako da je : { Zadatak je pronaći Fourierovu preobrazbu od. Rješenje: Pošto je (3.3.7): neparna funkcija, to znači da moramo koristiti Fourierovu sinusnu preobrazbu Trigonometrijskim identitetom: [ ] se gornji integral svede na tablični integral sa rješenjem za amplitudnu funkciju 15
20 { [ ] [ ] } Proučimo sad kako ovisi o. Za veliki i, prvi član desne strane je mnogo veći od drugoga, kojeg stoga možemo cijelog izostaviti. Dobivena krivulja je ista kao i ona koja se dobije pri ogibu na jednoj pukotini. Njene nule se nalaze u točkama : Amplituda se može tumačiti i kao Diracova delta raspodjela. Budući da je raspodjela vrlo malena izvan središnjeg maksimuma, uzimamo : Udaljenost do prve nultočke, kao mjeru frekventne širine ulaznog pulsa. Ako je N velik onda je jasno da će frekventna širina biti mala. Naprotiv, ako je puls kraći,tj. manjem N odgovarati će veća frekventna širina. Slika 4. A) konačni dio sinusnog vala za i N=10 gore, N=100 dolje; B) njegova Fourierova preobrazba 16
21 NAČELO NEODREĐENOSTI: Ovdje ćemo navesti klasični analog poznatog načela neodređenosti ili Heisebnergovog načela iz kvantne mehanike. Ako radimo s elektromagnetskim valovima, tada je energija valnog pulsa ili fotona i dana je sa izrazima: Sa smo označili Planckovu konstantu, koja je mjera neodređenosti u energiji ulaznog pulsa. Budući da valu od ciklusa za prolaz treba : sekundi, također postoji i neodređenost u tom vremenu iznosa: Za umnožak ove dvije neodređenosti dobiva se : Orginalno Heisenbergovo načelo neodređenosti kaže da je : što je očito zadovoljeno prethodnom relacijom koju smo izračunali. 3.4 Fourierova preobrazba derivacije U prošlim odlomcima pokazali smo kako izvesti Fourierovu preobrazbu neke funkcije, a sada ćemo pokazati i kako se izvodi Fourierova preobrazba derivacije funkcije, od koje ćemo imati podosta koristi u rješavanju nekih karakterističnih problema koje ćemo u nastavku također prikazati. Koristeći eksponencijalni oblik, Fourierova preobrazba od je dana sa Budući da je i derivacija opet nekakva funkcija od, pa stoga imamo: 17
22 izraz za Fourierovu preobrazbu derivacije. Ako parcijalno integriramo gornji izraz,dobivamo sljedeći izraz: Da bi Fourierova preobrazba od uopće postojala, mora iščezavati u (jer bi inače cijeli integral za divergirao), pa je prvi član s desne strane gornjeg izraza jednak nuli,te nam preostaje : Fourierova preobrazba derivacije srazmjerna je samoj Fourierovoj preobrazbi funkcije, tj. umjesto deriviranja, dobivamo samo množenje sa. Gornji izraz je lako poopćiti za preobrazbu -te derivacije : Ovo svojstvo će nam biti od velike koristi pri rješavanju diferencijalnih jednadžbi. Rješimo sada nekoliko karakterističnih primjera uz pomoć gore navedenih izraza. Zadatak 3.2 Valna jednadžba Neka je 1-D valna jednadžba koja opisuje male titraje beskonačno duge žice sa slobodnim krajevima : U početnom trenutku,, položaj žice opisan je funkcijom Primjernom Fourierove preobrazbe riješite gornju jednadžbu! Rješenje: Ovaj zadatak riješiti ćemo tako da ćemo iz prostora Fourierovom preobrazbom prijeći u prostor. U tom prostoru će se jednadžba riješiti,a zatim ćemo inverznom Fourierovom preobrazbom rješenje prebaciti nazad u prostor. 18
23 Pomnožimo obje strane valne jednadžbe s, te prointegrirajmo po na intervalu jer je žica beskonačna. Primjernom pravila za preobrazbu derivacije (3.4.1) na lijevu stranu gornjeg izraza slijedi: gdje je y(k,t) Fourierova preobrazba od Y(x,t): Možemo primjetiti da smo već znatno olakšali posao, umjesto početne parcijalne diferencijalne jednadžbe, dobili smo običnu diferencijalnu jednadžbu, koju prepoznajemo kao jednadžbu harmonijskog oscilatora: Kao što znamo, dva opća rješenja jednadžbe harmonijskog oscilatora su dana u trigonometrijskom ili eksponencijalnom obliku. Mi ćemo proučiti rješenje u obliku eksponencijalne funkcije: U gornja rješenja treba uračunati i početni uvjet Jednadžba za y u t=0 glasi: Budući da je jednadžba harmonijskog oscilatora homogena, množenje rješenja konstantom (u )je također rješenje. Ako se za tu konstantnu (u ) odabere koja zadovoljavaju i jednadžbu oscilatora i početni uvjet izgledaju kao: s, tada rješenja To je dakle rješenje u prostoru. Sada ćemo primjenom inverzne Fourierove preobrazbe ovo rješenje prebaciti u početni prostor: 19
24 Funkcija F poznata je iz početnog uvjeta. Rješenje s predznakom + opisuje val koji se širi u smjeru (onda je faza ), a rješenje sa predznakom opisuje val koji se širi smjeru (onda je faza ). Valja također primjetiti da smo u ovom zadatku primjenili postupak koji je skiciran na slici 3. Prvo smo Fourierovom preobrazbom problem iz prostora prebacili u prostor i riješili ga u tom prostoru, a zatim smo inverznom Fourierovom preobrazbom vratili rješenje u prostor. Zadatak 3.3 Parcijalna diferencijalna jednadžba širenja topline (toplinski tok) Kako bi prikazali još jednu preobrazbu parcijalne diferencijalne jednadžbe u običnu, napravimo Fourierovu preobrazbu parcijalne diferencijalne jednadžbe toplinskog toka: čije je rješenje temperatura u prostoru kao funkcija vremena. Radeći Fourierovu preobrazbu obje strane ove jednadžbe (primjetimo da je ovdje varijabla zamjenjena sa, jer je vrijeme u PDJ toplinskog toka ), dobivamo : što vodi na Običnu diferencijalnu jednadžbu za Fourierovu transformaciju funkcije u vremenskoj varijabli, Integriranjem dobivamo tj. : l Gdje je konstanta integracije i ovisi o varijabli, te je općenito određena početnim uvjetima. Međutim, je početna prostorna raspodjela funkcije, stoga nam je dana preobrazbom (u ) početne raspodjele funkcije označene sa Prebacujući ovo rješenje nazad inverznom Fourierovom transformacijom, dobivamo: Radi jednostavnosti, uzmimo smo da je - neovisna i integrirajmo sa nadopunom na potpuni kvadrat u, te napravimo prigodne promjene varijabli i parametara ( ). To nas vodi na partikularno rješenje PDJ toplinskog toka : 20
25 Efektivno,pokazali smo da je inverzna Fourierova preobrazba od 3.5. Teorem konvolucije Promotrimo dvije funkcije i, čije su Fourierove preobrazbe i. Nazovimo KONVOLUCIJOM funkcija i na intervalu s oznakom integral: Pošto se u gornjem itegralu i pojavljuju s različitim argumentima, uvodimo zamjenu varijable integracije varijablom tada gornji integral prelazi u: Budući da je nijema varijabla, njenom zamjenom u gornjem integralu zaključujemo da je : Primjerice, rješenje Poissonove jednadžbe : se može prepoznati kao konvolucija gustoće naboja i težinske funkcije 21
26 U literaturi se često za ovakav postupak koristi njemači naziv faltung ili engleski naziv folding (što bi značilo slaganje ili preklapanje), a smisao ovih naziva može se isčitati sa slike 5. Slika 5. Primjer foldinga uz teorem konvolucije Ako je zadana funkcija na slici Tad sa slike vidimo da su prikazane funkcije i Sada je lako primjetiti da su one zrcalne jedna drugoj u odnosu na pravac odnosno, funkcija može se konstruirati preklopom funkcije oko pravca. Sada u integral (3.5.1) uvrstimo Fourierovu preobrazbu za [ ] 22
27 Ovaj rezultat možemo protumačiti ovako: inverzna Fourierova preobrazba od UMNOŠKA Fourierovih preobrazbi je konvolucija početnih funkcija. U posebnom slučaju kada je, gornja relacija postaje : PARSEVALOVA RELACIJA: Relacije slične zadnjim dvijema koje smo izveli se također mogu izvesti i za Fourierovu sinusnu i kosinusnu preobrazbu. Jednadžba (3.5.3) i odgvorajuće sinusne i kosinusne preobrazbe često se nazivaju i Parsevalovim relacijama. Krenimo sa : te umjesto i uvrstimo njihove Fourierove preobrazbe: Time je izvedena PARSEVALOVA RELACIJA: Parsevalova relacija osigurava da,ako je normirana na jedinicu i njena Fourierova preobrazba će također biti normirana na jedinicu. Ovo svojstvo ima jako veliki značaj u kvantnoj mehanici. Primjerice u Fraunhoferovoj difrakciji, difrakcijski uzorak (amplituda) se pojavljuje u obliku funkcije koja opisuje pukotinu. Sa intenzitetom koji je proporcionalan kvadratu amplitude, Parsevalova relacija vodi na činjenicu da se energija koja prođe pukotinom čini kao da se nalazi negdje u difrakcijskom uzorku- to je zakon o sačuvanju energije. 23
28 3.6 reprezentacija U složenijim dinamičkim problemima i u kvantnoj mehanici, količina gibanja i prostorni položaj, se u jednadžbama pojavljuju u nekom smislu ravnopravno i ponegdje simetrično. Ovdje ćemo proučiti i pokazati kako se sa kvantnomehaničke valne funkcije u koordinati, može prijeći na kvantnomehaničku valnu funkciju u koordinati. To se naziva reprezentacijom. Proučimo 1-D valnu funkciju koja je rješenje valne jednadžbe, Ona ima sljedeća svojstva: (1) je diferencijal vjerojatnosti nalaženja kvantnog objekta u dijelu prostora između točaka i ; (2) Budući da se radi o 1-D slučaju, kvantni objekt sigurno mora biti negdje na osi, a ta vjerojatnost da se on nalazi bilo gdje na osi je jednaka jedinici : (3) Srednja vrijednost položaja kvantnog objekta se računa kao: Naš cilj je : Pronaći funkciju koja ima svojstva analogna sa (1), (2) i (3), ali koja se odnosi na količinu gibanja, a ne na položaj. Ponovno, pošto se ovdje radi o 1-D slučaju, znači komponentu količine gibanja (1) je diferencijal vjerojatnosti nalaženja kvantnog objekta u dijelu - prostora između točaka i ; (2) Budući da u jednodimenzionalnom slučaju objekt sigurno mora biti negdje na osi, tada je vejrojatnost da se ona nalazi na toj osi jednaka jedinici: (3) Srednja vrijednost količine gibanja kvantnog objekta se računa kao : Pokažimo sada da je funkcija Fourierova preobrazba funkcije, tj. da je 24
29 Ili trodimenzijski: Svojstvo (1) je definicija vjerojatnosti. Svojstvo (2) je normiranje, a zadovoljeno je zbog Parsevalove relacije; ako je normirana na jedinicu, tada je i normirana na jedinicu. Kako bismo provjerili svojstvo (3) moramo pokazati da je: Gdje je operator količine gibanja u prostornoj, tj. - reprezentaciji. Na mjesto i u gornjoj relaciji uvrstimo njihove Fourierove preobrazbe: gdje je: Tako da je sada: [ ] Ako sada parcijalno integriramo gornji izraz po y, dobivamo : [ ] [ ] Član u uglatoj zagradi je jednak nuli jer je : Ovo nam daje : 25
30 U gornjem izrazu možemo preopoznati reprezentaciju Diracove delta funkcije: te sada izraz postaje : ( ) što smo i trebali pokazati. Pokažimo sada korisnost ovih relacija na jednom zadatku! Zadatak 3.4. Vodikov atom Vodikov atom u osnovnom stanju je opisan prostornom valnom funkcijom gdje je Bohrov polumjer Pronađite valnu funkciju osnovnog stanja vodikovog atoma u reprezentaciji! Rješenje: Ovaj problem je u 3-D, pa koristimo izraz: pri čemu znamo da se u izrazu radi o trostrukom integralu,no označili smo ga kao jednostruki,to je čista simbolika označavanja. Uz prepoznavanje tabličnog integrala: 26
31 dobivamo traženu valnu funkciju: Ovakav oblik valne funkcije pokazao se iznimno korisnim u objašnjavanju pojava kao što je Comptonovo raspršenje od atomskih elektrona. Vezu među prostornom i reprezentacijom možemo još detaljnije razjasniti pomoću KOMUTATORA, odnosno osnovnih komutacijskih relacija kvantne mehanike. Moguć je prijelaz sa klasičnog hamiltonijana na valnu jednadžbu pomoću zahtjeva da količina gibanja (mislimo na no u daljnjem računu ćemo pisati samo ) i koordinata položaja NE KOMUTIRAJU: [ ] U slučaju više čestica prethodni izraz postaje: [ ] ili prostornu reprezentaciju dobivamo izborom: zamjenjujući količinu gibanja prostornom parcijalnom derivacijom. Uz ove zamjene lako se vidi da je : [ ] Međutim jednadžbu komutatora (3.6.1) isto tako možemo zadovoljiti i izborom: koji se naziva p reprezentacija. Opet lako vidimo da vrijedi: [ ] 27
32 reprezentacija je općenito šire prihvaćena jer je potencijalna energija koja se pojavljuje u hamiltonijanu većinom zadana u prostornim koordinatama, dok reprezentacija momenta uglavnom vodi na integralne jednadžbe. Za primjer, promotriti ćemo slučaj harmonijskog oscilatora. Zadatak 3.5. Harmonijski oscilator Klasični hamiltonijan slobodnog harmonijskog oscilatora je: Prijeđite u kvantnu mehaniku i nađite valnu funkciju najnižeg energijskog stanja u reprezentaciji. Rješenje: U reprezentaciji, zamjenama (3.6.2) u jednadžbi: dobivamo : Znamo da je valna funkcija koja odgovara energiji: jednaka : ( ) U reprezentaciji, u skladu sa zamjenama (3.6.3) jednadžba glasi: Za istu vrijednost energije E=, gornja jednadžba postaje: ( ) 28
33 Rješenje ove jednadžbe možemo potražiti u eksponencijalnom obliku: s rješenjem: I prostorna i momentna reprezentacija mogu se koristiti ovisno o problemima koji se rješavaju. 3.7 Funkcija transfera Zamislimo vremenski ovisni električn puls koji je izgrađen pridodavanjem mnoštva ravnih valova različitih frekvencija. Svaka kutna frekvencija doprinosi članom: U tom slučaju cijelu se puls može zapisati u obliku: Množitelj 1/2 u ovom integralu potječe od veze kutne frekvencije i linearne frekvencije. No međutim, ako je frekvencija onda, kako onda protumačiti njene negativne vrijednosti u integralu od do 0? To možemo protumačiti kao jedan od načina da bi se izbjegao zapis preko dviju funkcija: sinus i kosinus. Budući da (3.7.1) ima oblik Fourierove preobrazbe, njena inverzna preobrazba je : Ova jednadžba predstavlja rastav pulsa po komponentama frekvencije. S druge strane, jednadžba (3.7.1) predstavlja sintezu (sjedinjenje) pulsa iz njegovih komponenti. Promotrimo sada jedna elektronički uređaj kao što je stereo pojačalo, čiji je način rada prikazan na slici 6. Ulazni signal opisati ćemo funkcijom, dok ćemo izlazni signal opisati funkcijom. Ako ulazni signal ima samo jednu frekvenciju, odnosno ako ima oblik pojačalo će promjeniti njegovu amplitudu, a također moguće je da promjeni i njegovu fazu. Te promjene najviše ovise o frekvenciji ulaznog signala, stoga je izlazni signal oblika : 29
34 Funkcija opisuje promjenu amplitude i faze izlaznog signala u odnosu na ulazni signal i ona se zove FUNKCIJA TRANSFERA. To je najčešće kompleksna funkcija s realnim dijelom i imaginarnim dijelom : Slika 6. Mehanizam stereo pojačala- uz funkciju transfera U jednadžbi (3.7.3) smo pretpostavili da funkcija transfera ovisi o samo jednoj frekvenciji, ali ne i o ulanzoj amplitudi ili o drugim frekvencijama. Znači da smo pretpostavili linearno preslikavanje na. U tom slučaju se ukupni izlazni signal dobiva integracijom po cijelom ulaznom signalu: Svaki takav uređaj,tj. pojačalo, ima svoju karakterističnu funkciju transfera. Ako znamo tu funkciju, tada izlazni signal možemo lagano izračunati za svaki ulaz. Ako sada shvatimo kao inverznu Fourierovu preobrazbu funkcije tada imamo: Uvrstimo sad (3.7.5) i (3.7.2) u (3.7.4), te dobivamo: 30
35 Ovaj rezultat možemo protumačiti tako da ulaz,odnosno UZROK-, modificiran s proizvodi izlaz, odnosno POSLJEDICU -. Kao što znamo, uzrok prethodi posljedici, tako onda moramo zahtjevati da je. To postižemo zahtjevom: Uz ovaj zahtjev jednadžba (3.7.6) postaje : 4. Zaključak Kao što smo vidjeli u proteklim poglavljima, Fourierov red, a naročito Fourierova preobrazba imaju jako velik značaj kako u matematici, tako i u fizici, te pri analizi raznih signala. Vidjeli smo da posebnu korisnost imamo od Fourierove preobrazbe derivacije s kojom smo riješili valnu jednadžbu titranja beskonačne žice, te problem širenja topline, odnosno jednadžbu toplinskog toka. Najveća primjena Fourierove preobrazbe u tim problemima je ta što nam omogućuje prijelaz sa parcijalne diferencijalne jednadžbe u običnu, što je daleko lakši problem za rješavanje. Veliku primjenu i korisnost također imamo i od teorema konvolucije te Parsevalove relacije, osobito u kvantnomehaničkim problemima. Rješili smo slučaj atoma vodika, našli smo valnu jednadžbu osnovnog stanja atoma vodika u reprezentaciji, te smo riješili problem 1-D harmonijskog oscilatora, također u momentnoj reprezentaciji i to sve uz pomoć Fourierove preobrazbe te smo tako olakšali rješavanje problema iz prostorne reprezentacije. Također smo proučili i funkciju transfera koja igra veliku ulogu kod analize raznih signala uređaja kao što su stereo pojačalo i slični uređaji. Možemo slobodno reći i zaključiti da bi bez postojanja Fourierovih preobrazbi rješavanje mnogih matematičkih, fizikalnih, te inženjerskih problema bilo znatno otežano, pa čak i jedva rješivo, te da danas u znanosti i tehnici Fourierove preobrazbe igraju jednu od vodećih uloga u primjeni matematičkog alata pri rješavanju velikog broja realnih prirodoslovnih i tehničkih problema. 31
36 5. Literatura (1) Zvonko Glumac; Matematičke metode fizike- uvod ; Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku, Odjel za fiziku ; Osijek, g. (2) George B. Arfken, Hans J. Weber ; Mathematical methods for physicists-sixth edition; Miami University Oxford,OH; University of Virginia Charlottesville, VA; 2005.g. (3) Eugene Butkov; Mathematical physics; St. John's University New York; New York; 1973.g. (4) Domagoj Matijević i Stjepan Poljak; Fourierov red i Fourierova transformacija ; 32
ZANIMLJIV NAČIN IZRAČUNAVANJA NEKIH GRANIČNIH VRIJEDNOSTI FUNKCIJA. Šefket Arslanagić, Sarajevo, BiH
MAT-KOL (Banja Luka) XXIII ()(7), -7 http://wwwimviblorg/dmbl/dmblhtm DOI: 75/МК7A ISSN 5-6969 (o) ISSN 986-588 (o) ZANIMLJIV NAČIN IZRAČUNAVANJA NEKIH GRANIČNIH VRIJEDNOSTI FUNKCIJA Šefket Arslanagić,
More informationPRIPADNOST RJEŠENJA KVADRATNE JEDNAČINE DANOM INTERVALU
MAT KOL Banja Luka) ISSN 0354 6969 p) ISSN 1986 58 o) Vol. XXI )015) 105 115 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm PRIPADNOST RJEŠENJA KVADRATNE JEDNAČINE DANOM INTERVALU Bernadin Ibrahimpašić 1 Senka Ibrahimpašić
More informationTEORIJA SKUPOVA Zadaci
TEORIJA SKUPOVA Zadai LOGIKA 1 I. godina 1. Zapišite simbolima: ( x nije element skupa S (b) d je član skupa S () F je podskup slupa S (d) Skup S sadrži skup R 2. Neka je S { x;2x 6} = = i neka je b =
More informationNIZOVI I REDOVI FUNKCIJA
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Danijela Piškor NIZOVI I REDOVI FUNKCIJA Diplomski rad Voditelj rada: izv. prof. dr. sc. Ljiljana Arambašić Zagreb, rujan 206.
More informationFormule za udaljenost točke do pravca u ravnini, u smislu lp - udaljenosti math.e Vol 28.
1 math.e Hrvatski matematički elektronički časopis Formule za udaljenost točke do pravca u ravnini, u smislu lp - udaljenosti Banachovi prostori Funkcija udaljenosti obrada podataka optimizacija Aleksandra
More informationSveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku
Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Valentina Volmut Ortogonalni polinomi Diplomski rad Osijek, 2016. Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku
More informationAlgoritam za množenje ulančanih matrica. Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek
Algoritam za množenje ulančanih matrica Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek O problemu (1) Neka je A 1, A 2,, A n niz ulančanih matrica duljine n N, gdje su dimenzije matrice
More informationŠime Šuljić. Funkcije. Zadavanje funkcije i područje definicije. š2004š 1
Šime Šuljić Funkcije Zadavanje funkcije i područje definicije š2004š 1 Iz povijesti Dvojica Francuza, Pierre de Fermat i Rene Descartes, posebno su zadužila matematiku unijevši ideju koordinatne metode
More informationQuasi-Newtonove metode
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Milan Milinčević Quasi-Newtonove metode Završni rad Osijek, 2016. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Milan Milinčević
More informationFunkcijske jednadºbe
MEMO pripreme 2015. Marin Petkovi, 9. 6. 2015. Funkcijske jednadºbe Uvod i osnovne ideje U ovom predavanju obradit emo neke poznate funkcijske jednadºbe i osnovne ideje rje²avanja takvih jednadºbi. Uobi
More informationTeorem o reziduumima i primjene. Završni rad
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Matej Petrinović Teorem o reziduumima i primjene Završni rad Osijek, 207. Sveučilište J. J. Strossmayera
More informationMetode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda
Osječki matematički list 10(2010), 31 42 31 STUDENTSKA RUBRIKA Metode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda Damira Keček Sažetak U članku su opisane metode izračunavanja determinanti matrica n-tog
More informationRed veze za benzen. Slika 1.
Red veze za benzen Benzen C 6 H 6 je aromatično ciklično jedinjenje. Njegove dve rezonantne forme (ili Kekuléove structure), prema teoriji valentne veze (VB) prikazuju se uobičajeno kao na slici 1 a),
More informationKVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU 1
MAT KOL (Banja Luka) ISSN 0354 6969 (p), ISSN 1986 5228 (o) Vol. XXII (1)(2016), 5 19 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm KVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU
More informationHamilton Jacobijeva formulacija klasične mehanike
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Vedran Šimošić Hamilton Jacobijeva formulacija klasične mehanike Diplomski rad Osijek, 2010. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel
More informationHornerov algoritam i primjene
Osječki matematički list 7(2007), 99 106 99 STUDENTSKA RUBRIKA Hornerov algoritam i primjene Zoran Tomljanović Sažetak. U ovom članku obrad uje se Hornerov algoritam za efikasno računanje vrijednosti polinoma
More informationSveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku DIOFANTSKE JEDNADŽBE
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Violeta Ivšić DIOFANTSKE JEDNADŽBE Završni rad Osijek, 2016. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Violeta Ivšić DIOFANTSKE
More informationGeometrijski smisao rješenja sustava od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice
Osječki matematički list 6(2006), 79 84 79 Geometrijski smisao rješenja sustava od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice Zlatko Udovičić Sažetak. Geometrijski smisao rješenja sustava od dvije linearne
More informationMirela Nogolica Norme Završni rad
Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Mirela Nogolica Norme Završni rad Osijek, 2014. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za
More informationKonformno preslikavanje i Möbiusova transformacija. Završni rad
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Lucija Rupčić Konformno preslikavanje i Möbiusova transformacija Završni rad Osijek, 2017. Sveučilište
More informationKarakteri konačnih Abelovih grupa
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Matija Klarić Karakteri konačnih Abelovih grupa Završni rad Osijek, 2015. Sveučilište J. J. Strossmayera
More informationAriana Trstenjak Kvadratne forme
Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Ariana Trstenjak Kvadratne forme Završni rad Osijek, 014. Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera
More informationPoložaj nultočaka polinoma
Osječki matematički list 4 (204), 05-6 Položaj nultočaka polinoma Mandalena Pranjić Rajna Rajić Sažetak Prema Rolleovom teoremu, bilo koji segment čiji su krajevi međusobno različite realne nultočke polinoma
More informationPellova jednadžba. Pell s equation
Osječki matematički list 8(2008), 29 36 29 STUDENTSKA RUBRIKA Pellova jednadžba Ivona Mandić Ivan Soldo Sažetak. Članak sadrži riješene primjere i probleme koji se svode na analizu skupa rješenja Pellove
More informationMaja Antolović Algoritmi u teoriji brojeva
Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Maja Antolović Algoritmi u teoriji brojeva Završni rad Osijek, 2017. Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel
More informationMathcad sa algoritmima
P R I M J E R I P R I M J E R I Mathcad sa algoritmima NAREDBE - elementarne obrade - sekvence Primjer 1 Napraviti algoritam za sabiranje dva broja. NAREDBE - elementarne obrade - sekvence Primjer 1 POČETAK
More informationPrimjena numeričke metode Runge-Kutta na rješavanje problema početnih i rubnih uvjeta
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO-MATEMATIČKI FAKULTET FIZIČKI ODSJEK SMJER: PROFESOR FIZIKE I INFORMATIKE Ivan Banić Diplomski rad Primjena numeričke metode Runge-Kutta na rješavanje problema početnih
More informationSlika 1. Slika 2. Da ne bismo stalno izbacivali elemente iz skupa, mi ćemo napraviti još jedan niz markirano, gde će
Permutacije Zadatak. U vreći se nalazi n loptica različitih boja. Iz vreće izvlačimo redom jednu po jednu lopticu i stavljamo jednu pored druge. Koliko različitih redosleda boja možemo da dobijemo? Primer
More informationMetode praćenja planova
Metode praćenja planova Klasična metoda praćenja Suvremene metode praćenja gantogram mrežni dijagram Metoda vrednovanja funkcionalnosti sustava Gantogram VREMENSKO TRAJANJE AKTIVNOSTI A K T I V N O S T
More informationODREĐIVANJE DINAMIČKOG ODZIVA MEHANIČKOG SUSTAVA METODOM RUNGE-KUTTA
Sveučilište u Zagrebu GraĎevinski faklultet Kolegij: Primjenjena matematika ODREĐIVANJE DINAMIČKOG ODZIVA MEHANIČKOG SUSTAVA METODOM RUNGE-KUTTA Seminarski rad Student: Marija Nikolić Mentor: prof.dr.sc.
More informationNelder Meadova metoda: lokalna metoda direktne bezuvjetne optimizacije
Osječki matematički list (2), 131-143 Nelder Meadova metoda: lokalna metoda direktne bezuvjetne optimizacije Lucijana Grgić, Kristian Sabo Sažetak U radu je opisana poznata Nelder Meadova metoda, koja
More informationProjektovanje paralelnih algoritama II
Projektovanje paralelnih algoritama II Primeri paralelnih algoritama, I deo Paralelni algoritmi za množenje matrica 1 Algoritmi za množenje matrica Ovde su data tri paralelna algoritma: Direktan algoritam
More informationKrivulja središta i krivulja fokusa u pramenu konika. konika zadanom pomoću dviju dvostrukih točaka u izotropnoj ravnini
Stručni rad Prihvaćeno 18.02.2002. MILJENKO LAPAINE Krivulja središta i krivulja fokusa u pramenu konika zadanom pomoću dviju dvostrukih točaka u izotropnoj ravnini Krivulja središta i krivulja fokusa
More informationpretraživanje teksta Knuth-Morris-Pratt algoritam
pretraživanje teksta Knuth-Morris-Pratt algoritam Jelena Držaić Oblikovanje i analiza algoritama Mentor: Prof.dr.sc Saša Singer 18. siječnja 2016. 18. siječnja 2016. 1 / 48 Sadržaj 1 Uvod 2 Pretraživanje
More informationLINEARNI MODELI STATISTIČKI PRAKTIKUM 2 2. VJEŽBE
LINEARNI MODELI STATISTIČKI PRAKTIKUM 2 2. VJEŽBE Linearni model Promatramo jednodimenzionalni linearni model. Y = β 0 + p β k x k + ε k=1 x 1, x 2,..., x p - varijable poticaja (kontrolirane) ε - sl.
More informationFibonaccijev brojevni sustav
Fibonaccijev brojevni sustav Ljerka Jukić asistentica Odjela za matematiku Sveučilišta u Osijeku, ljukic@mathos.hr Helena Velić studentica Odjela za matematiku Sveučilišta u Osijeku, hvelic@mathos.hr Sažetak
More informationFajl koji je korišćen može se naći na
Machine learning Tumačenje matrice konfuzije i podataka Fajl koji je korišćen može se naći na http://www.technologyforge.net/datasets/. Fajl se odnosi na pečurke (Edible mushrooms). Svaka instanca je definisana
More informationSeminarski zadatak iz Kvantne fizike
Seminarski zadatak iz Kvantne fizike Vinko Šuria. velače 00. Fizički odsek Prirodoslovno - matematičkog fakulteta Sveučilišta u Zagrebu, Bienička, 0 000 Zagreb, Hrvatska Zadatak 7. Neka e potencialna energia
More informationMatrice traga nula math.e Vol. 26. math.e. Hrvatski matematički elektronički časopis. Matrice traga nula. komutator linearna algebra. Sažetak.
1 math.e Hrvatski matematički elektronički časopis komutator linearna algebra Marijana Kožul i Rajna Rajić Matrice traga nula marijana55@gmail.com, rajna.rajic@rgn.hr Rudarsko-geološko-naftni fakultet,
More informationPrsten cijelih brojeva
SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ODJEL ZA MATEMATIKU Marijana Pravdić Prsten cijelih brojeva Diplomski rad Osijek, 2017. SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ODJEL ZA MATEMATIKU
More informationO aksiomu izbora, cipelama i čarapama
O aksiomu izbora, cipelama i čarapama Aksiom izbora može se izreći u raznim ekvivalentnim formama. Dokazi ekvivalencije aksioma izbora npr. sa Zornovom lemom, ili pak sa Zermelovim teoremom o dobrom uredaju,
More informationNilpotentni operatori i matrice
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Nikolina Romić Nilpotentni operatori i matrice Završni rad Osijek, 2016. Sveučilište J. J. Strossmayera
More informationSveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku. Sveučilišni preddiplomski studij matematike
Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Lorena Škalac Fermatova metoda beskonačnog spusta Završni rad Osijek, 014. Sveučilište J.J.Strossmayera
More informationOptimizacija Niza Čerenkovljevih teleskopa (CTA) pomoću Monte Carlo simulacija
1 / 21 Optimizacija Niza Čerenkovljevih teleskopa (CTA) pomoću Monte Carlo simulacija Mario Petričević Fizički odsjek, PMF Sveučilište u Zagrebu 30. siječnja 2016. 2 / 21 Izvori Spektar Detekcija Gama-astronomija
More informationHRVATSKA MATEMATIČKA OLIMPIJADA
HRVATSKA MATEMATIČKA OLIMPIJADA prvi dan 5. svibnja 01. Zadatak 1. Dani su pozitivni realni brojevi x, y i z takvi da je x + y + z = 18xyz. nejednakost x x + yz + 1 + y y + xz + 1 + z z + xy + 1 1. Dokaži
More informationPitagorine trojke. Uvod
Pitagorine trojke Uvod Ivan Soldo 1, Ivana Vuksanović 2 Pitagora, grčki filozof i znanstvenik, često se prikazuje kao prvi pravi matematičar. Ro - den je na grčkom otoku Samosu, kao sin bogatog i zaslužnog
More informationVektori u ravnini i prostoru. Rudolf Scitovski, Ivan Vazler. 10. svibnja Uvod 1
Ekonomski fakultet Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Vektori u ravnini i prostoru Rudolf Scitovski, Ivan Vazler 10. svibnja 2012. Sadržaj 1 Uvod 1 2 Operacije s vektorima 2 2.1 Zbrajanje vektora................................
More informationU čemu je snaga suvremene algebre?
1 / 33 U čemu je snaga suvremene algebre? Dr Ivan Tomašić Queen Mary, University of London SŠ Mate Blažina Labin 2014 2 / 33 Pitagorine trojke Teorem Postoje cijeli brojevi x, y i z koji zadovoljavaju:
More informationDiskretna Fourierova transformacija
Elektrotehnički fakultet Sveučilište u Osijeku Kneza Trpimira 2b Osijek, 14 siječnja 2008 Seminarski rad iz predmeta Matematičko programiranje Diskretna Fourierova transformacija Željko Mihaljčić 1, Držislav
More informationNeprekidan slučajan vektor
Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Ana Leko Neprekidan slučajan vektor Završni rad Osijek, 3 Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel
More informationBROWNOV MOST I KOLMOGOROV-SMIRNOVLJEVA STATISTIKA
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Nikolina Blažević BROWNOV MOST I KOLMOGOROV-SMIRNOVLJEVA STATISTIKA Diplomski rad Zagreb, veljača 2016. Voditelj rada: doc. dr.
More informationFIZIKALNA KOZMOLOGIJA VII. VRLO RANI SVEMIR & INFLACIJA
FIZIKALNA KOZMOLOGIJA VII. VRLO RANI SVEMIR & INFLACIJA KOZMIČKI SAT ranog svemira Ekstra zračenje u mjerenju CMB Usporedba s rezultatima LEP-a Usporedba CMB i neutrina Vj.: Pozadinsko zračenje neutrina
More informationIvan Soldo. Sažetak. U članku se analiziraju različiti načini množenja matrica. Svaki od njih ilustriran je primjerom.
Osječki matematički list 5(005), 8 Različiti načini množenja matrica Ivan Soldo Sažetak U članku se analiziraju različiti načini množenja matrica Svaki od njih ilustriran je primjerom Ključne riječi: linearni
More informationALGORITAM FAKTORIZACIJE GNFS
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET ELEKTROTEHNIKE I RAČUNARSTVA ALGORITAM FAKTORIZACIJE GNFS Ivan Fratrić Seminar iz predmeta Sigurnost računalnih sustava ZAGREB, Sažetak Faktorizacija brojeva jedan je od
More informationPOOPĆENJE KLASIČNIH TEOREMA ZATVARANJA PONCELETOVOG TIPA
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Petra Zubak POOPĆENJE KLASIČNIH TEOREMA ZATVARANJA PONCELETOVOG TIPA Diplomski rad Voditelj rada: prof. dr. sc. Juraj Šiftar
More informationCauchy-Schwarz-Buniakowskyjeva nejednakost
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Neda Krička Cauchy-Schwarz-Buniakowskyjeva nejednakost Diplomski rad Osijek, 2012. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku
More informationSimetrične matrice, kvadratne forme i matrične norme
Sveučilište JJStrossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Martina Dorić Simetrične matrice, kvadratne forme i matrične norme Završni rad Osijek, 2014 Sveučilište
More informationTina Drašinac. Cramerovo pravilo. Završni rad
Sveučilište JJStrossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Tina Drašinac Cramerovo pravilo Završni rad U Osijeku, 19 listopada 2010 Sveučilište JJStrossmayera u Osijeku Odjel
More informationKvaternioni i kvaternionsko rješenje kvadratne jednadžbe
Kvaternioni i kvaternionsko rješenje 1 Uvod Kvaternioni i kvaternionsko rješenje kvadratne jednadžbe Željko Zrno 1 i Neven Jurić Što je matematika? Na što prvo čovjeka asocira riječ matematika? Matematika
More informationOsnove telekomunikacija Osnove obrade signala potrebne za analizu modulacijskih tehnika prof. dr. Nermin Suljanović
Osnove telekomunikacija Osnove obrade signala potrebne za analizu modulacijskih tehnika prof. dr. Nermin Suljanović Osnovni pojmovi Kontinualna modulacija je sistematična promjena signala nosioca u skladu
More informationMetoda parcijalnih najmanjih kvadrata: Regresijski model
Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek Tamara Sente Metoda parcijalnih najmanjih kvadrata: Regresijski model Diplomski rad Voditelj rada: Izv.prof.dr.sc. Miljenko Huzak
More informationAKSIOM IZBORA I EKVIVALENCIJE
Sveučilište J.J. Strossmayera Odjel za matematiku Preddiplomski sveučilišni studij matematike Igor Sušić AKSIOM IZBORA I EKVIVALENCIJE Završni rad Osijek, 2013. Sveučilište J.J. Strossmayera Odjel za matematiku
More informationZadatci sa ciklusima. Zadatak1: Sastaviti progra koji određuje z ir prvih prirod ih rojeva.
Zadatci sa ciklusima Zadatak1: Sastaviti progra koji određuje z ir prvih prirod ih rojeva. StrToIntDef(tekst,broj) - funkcija kojom se tekst pretvara u ceo broj s tim da je uvedena automatska kontrola
More informationSITO POLJA BROJEVA. Dario Maltarski PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad. Voditelj rada: Doc. dr. sc.
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Dario Maltarski SITO POLJA BROJEVA Diplomski rad Voditelj rada: Doc. dr. sc. Filip Najman Zagreb, rujan 2014. Ovaj diplomski
More informationKRITERIJI KOMPLEKSNOSTI ZA K-MEANS ALGORITAM
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Stela Šeperić KRITERIJI KOMPLEKSNOSTI ZA K-MEANS ALGORITAM Diplomski rad Voditelj rada: doc.dr.sc. Pavle Goldstein Zagreb, Srpanj
More informationMatrice u Maple-u. Upisivanje matrica
Matrice u Maple-u Tvrtko Tadić U prošlom broju upoznali ste se s matricama, a u ovom broju vidjeli ste neke njihove primjene. Mnoge je vjerojatno prepalo računanje s matricama. Pa tko će raditi svo to
More informationOsobine metode rezolucije: zaustavlja se, pouzdanost i kompletnost. Iskazna logika 4
Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Rezolucija 1 Metod rezolucije je postupak za dokazivanje da li je neka iskazna (ili
More informationZlatko Mihalić MOLEKULARNO MODELIRANJE (2+1, 0+0)
Zlatko Mihalić MOLEKULARNO MODELIRANJE (2+1, 0+0) Asistenti doc. dr. sc. Ivan Kodrin dr. sc. Igor Rončević Literatura A. R. Leach, Molecular Modelling, Principles and Applications, 2. izdanje, Longman,
More informationAfine transformacije ravnine
1/ 7 Hrvatski matematički elektronski časopis mathe Broj 12 http://emathhr/ Afine transformacije ravnine Harun Šiljak Sadržaj: 1 Uvod 2 Primjeri riješenih zadataka 3 Zadaci za samostalan rad Literatura
More informationUvod. Rezonantno raspršenje atomskim jezgrama Veoma precizna mjerenja na energetskoj skali Komplikacije Primjena
Mössbouerov efekt Uvod Rezonantno raspršenje γ-zračenja na atomskim jezgrama Veoma precizna mjerenja na energetskoj skali Komplikacije Primjena Udarni presjek za raspršenje (apsorpciju) elektromagnetskog
More informationFraktalno Brownovo gibanje
Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Ivana Brkić Fraktalno Brownovo gibanje Diplomski rad Osijek, 2018. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Ivana Brkić Fraktalno
More informationA COMPARATIVE EVALUATION OF SOME SOLUTION METHODS IN FREE VIBRATION ANALYSIS OF ELASTICALLY SUPPORTED BEAMS 5
Goranka Štimac Rončević 1 Original scientific paper Branimir Rončević 2 UDC 534-16 Ante Skoblar 3 Sanjin Braut 4 A COMPARATIVE EVALUATION OF SOME SOLUTION METHODS IN FREE VIBRATION ANALYSIS OF ELASTICALLY
More informationDr. Željko Jurić: Matematička logika i teorija izračunljivosti Radna skripta za istoimeni kurs na Elektrotehničkom fakultetu u Sarajevu.
Dr. Željko Jurić: Matematička logika i teorija izračunljivosti Radna skripta za istoimeni kurs na Elektrotehničkom fakultetu u Sarajevu (akademska godina 2015/16) Funkcijske relacije i funkcije (preslikavanja)
More informationNAPREDNI FIZIČKI PRAKTIKUM 1 studij Matematika i fizika; smjer nastavnički MJERENJE MALIH OTPORA
NAPREDNI FIZIČKI PRAKTIKUM 1 studij Matematika i fizika; smjer nastavnički MJERENJE MALIH OTPORA studij Matematika i fizika; smjer nastavnički NFP 1 1 ZADACI 1. Mjerenjem geometrijskih dimenzija i otpora
More informationUvod u relacione baze podataka
Uvod u relacione baze podataka Ana Spasić 2. čas 1 Mala studentska baza dosije (indeks, ime, prezime, datum rodjenja, mesto rodjenja, datum upisa) predmet (id predmeta, sifra, naziv, bodovi) ispitni rok
More informationSveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike. Mirjana Mikec.
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike Mirjana Mikec Broj e Diplomski rad Osijek, 20. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku
More informationZanimljive rekurzije
Zanimljive rekurzije Dragana Jankov Maširević i Jelena Jankov Riječ dvije o rekurzijama Rekurzija je metoda definiranja funkcije na način da se najprije definira nekoliko jednostavnih, osnovnih slučajeva,
More informationLinearno programiranje i primjene
Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Rebeka Čordaš Linearno programiranje i primjene Diplomski rad Osijek, 2014. Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Rebeka
More informationSveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike. Ivana Oreški REKURZIJE.
Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Ivana Oreški REKURZIJE Završni rad Osijek, 2011. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za
More informationMatematika (PITUP) Prof.dr.sc. Blaženka Divjak. Matematika (PITUP) FOI, Varaždin
Matematika (PITUP) FOI, Varaždin Dio II Bez obzira kako nam se neki teorem činio korektnim, ne možemo biti sigurni da ne krije neku nesavršenost sve dok se nam ne čini prekrasnim G. Boole The moving power
More informationSveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike. Sortiranje u linearnom vremenu
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike Tibor Pejić Sortiranje u linearnom vremenu Diplomski rad Osijek, 2011. Sveučilište J.
More informationELIPTIČKE KRIVULJE I KRIPTIRANJE. Zdravko Musulin PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Zdravko Musulin ELIPTIČKE KRIVULJE I KRIPTIRANJE Diplomski rad Voditelj rada: izv. prof. dr. sc. Zrinka Franušić Zagreb, lipanj,
More informationRacionalne Diofantove šestorke
Racionalne Diofantove šestorke Andrej Dujella http://web.math.pmf.unizg.hr/~duje/dtuples.html Diofant: Naći četiri (pozitivna racionalna) broja sa svojstvom da produkt bilo koja dva medu njima, uvećan
More informationBAZNI OKVIRI I RIESZOVE BAZE HILBERTOVIH PROSTORA
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Neven Trgovec BAZNI OKVIRI I RIESZOVE BAZE HILBERTOVIH PROSTORA Diplomski rad Voditelj rada: prof. dr. sc. Damir Bakić Zagreb,
More informationImpuls sile i količina gibanja
Impuls sile i količina gibanja FIZIKA PSS-GRAD 25. listopada 2017. 7.1 Teorem impulsa sile i količine gibanja sila vrijeme U mnogim slučajevima sila na tijelo NIJE konstantna. 7.1 Teorem impulsa sile i
More informationPropozicijska logika, FOL, λ-calculus - kako formalizirati logos?
Predavanje XII. : Propozicijska logika, FOL, λ-calculus - kako formalizirati logos? Prof.dr.sc. Mario Essert (messert@fsb.hr) Fakultet strojarstva i brodogradnje, Zagreb Osijek, 8. siječnja 2018. M.Essert
More informationMatrične dekompozicije i primjene
Sveučilište JJ Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Goran Pavić Matrične dekompozicije i primjene Diplomski rad Osijek, 2012 Sveučilište JJ Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Goran Pavić
More informationTermodinamika. FIZIKA PSS-GRAD 29. studenog Copyright 2015 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
Termodinamika FIZIKA PSS-GRAD 29. studenog 2017. 15.1 Thermodynamic Systems and Their Surroundings Thermodynamics is the branch of physics that is built upon the fundamental laws that heat and work obey.
More informationVedska matematika. Marija Miloloža
Osječki matematički list 8(2008), 19 28 19 Vedska matematika Marija Miloloža Sažetak. Ovimčlankom, koji je gradivom i pristupom prilagod en prvim razredima srednjih škola prikazuju se drugačiji načini
More informationMersenneovi i savršeni brojevi
Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Diplomski studij matematike Ana Maslać Mersenneovi i savršeni brojevi Diplomski rad Osijek, 2012. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel
More informationKLASIFIKACIJA NAIVNI BAJES. NIKOLA MILIKIĆ URL:
KLASIFIKACIJA NAIVNI BAJES NIKOLA MILIKIĆ EMAIL: nikola.milikic@fon.bg.ac.rs URL: http://nikola.milikic.info ŠTA JE KLASIFIKACIJA? Zadatak određivanja klase kojoj neka instanca pripada instanca je opisana
More informationSveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski sveučilišni studij matematike. Završni rad. Tema : Vedska matematika
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski sveučilišni studij matematike Završni rad Tema : Vedska matematika Student : Vedrana Babić Broj indeksa: 919 Osijek, 2016. 1 Sveučilište
More informationHarmonijski brojevi. Uvod
MATEMATIKA Harmonijski brojevi Darko Žubrinić, Zagreb Beskonačno! Niti koje drugo pitanje nije nikada toliko duboko dirnulo duh čovjeka. David Hilbert (862. 943.) Uvod U ovom članku opisat ćemo jedan pomalo
More informationOracle Spatial Koordinatni sustavi, projekcije i transformacije. Dalibor Kušić, mag. ing. listopad 2010.
Oracle Spatial Koordinatni sustavi, projekcije i transformacije Dalibor Kušić, mag. ing. listopad 2010. Pregled Uvod Koordinatni sustavi Transformacije Projekcije Modeliranje 00:25 Oracle Spatial 2 Uvod
More informationO dvjema metodama integriranja nekih iracionalnih funkcija
ACTA MATHEMATICA SPALATENSIA Series didactica O dvjema metodama integriranja nekih iracionalnih funkcija Denis Benčec, Bojan Kovačić Sažetak U nastavi matematičkih predmeta na veleučilištima, samostalnim
More informationAKSIOME TEORIJE SKUPOVA
MAT-KOL (Banja Luka) ISSN 0354/6969 XV(1)(2009), 17-25 AKSIOME TEORIJE SKUPOVA Duško Bogdanić 1, Bojan Nikolić 2 i Daniel A. Romano 2 Sažetak: Postoji više od jedne mogućnosti aksiomatizacije teorije skupova.
More informationUvod u analizu (M3-02) 05., 07. i 12. XI dr Nenad Teofanov. principle) ili Dirihleov princip (engl. Dirichlet box principle).
Uvod u analizu (M-0) 0., 07. i. XI 0. dr Nenad Teofanov. Kardinalni broj skupa R U ovom predavanju se razmatra veličina skupa realnih brojeva. Jasno, taj skup ima beskonačno mnogo elemenata. Pokazaće se,
More informationMiloš Brajović REKURZIVNO IZRAČUNAVANJE VREMENSKO-FREKVENCIJSKIH REPREZENTACIJA. magistarski rad
UNIVERZITET CRNE GORE ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET Miloš Brajović REKURZIVNO IZRAČUNAVANJE VREMENSKO-FREKVENCIJSKIH REPREZENTACIJA magistarski rad Podgorica, 23. UNIVERZITET CRNE GORE ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET
More informationLinearni operatori u ravnini
Linearni operatori u prostoru 1 Linearni operatori u ravnini Rudolf Scitovski Ivana Kuzmanović, Zoran Tomljanović 1 Uvod Neka je (O; e 1, e, e 3 ) pravokutni koordinatne sustav u prostoru X 0 (E). Analogno
More information