Mathematical model for sounding rockets, using attitude and rotation angles

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Lewis Wilcox
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1 ssue Voue Me oe o sou oes us ue oo es eoo-voe eu * s Bbu bs - e e uose s o ese soe ses e e uus oe e souos o use sou oes use o es s eue se esuees. e uus eooo osss ue suo o sou oe evouo o ee s oos. e oe oe esee w be w s DOF vbe ss. s e s ove o e wo we w use sueous e oo es e ue es o esb e e euos o e ovee. e esus e w be e ees e bs eoes. e ousos w ous e ossbes o ee sou u-se oe e oe ees. ewos Mu-se Me oe Sou oe Suo Roo es NOMENLURE α - e e eo - Ses e e eo - u e - Geoe ue ψ - u e θ - o e φ - B e ρ - es - Bo u veo E s: B E - e oes - eo oees o oe e obe e - eo oees o oeu e obe e - us oees e obe e - us oeu oees e obe e. ξ η ζ - Roo es * Uves POLEHN o Bues Su eeee 33 Pos oe 63 Bues Ro. e-:.v.eu@o-.o M e e Buevu Geoe osbu Seo 5 os oe 54 Bues Ro e-: bbu@.o V F ρ S - Reeee eo oe H o F - Reeee eo oue - Reeee us oe H o Reeee oue us - Reeee e - Mss - ss - F ss - u veo ooes o e es o obe e S - Reeee e - us Σ - o use - e V - Veo u v w - Roe veo ooes obe e V V V Veo ooes E e OX YZ - No E-e e O Bo e obe e - Mobe ooes E-e e - e se bewee oe E ee: R - E us:. NRODUON s sube o e s o voves oe ves e e ess o eue uos. s we ow ose u ves suose ue e eo s eses e o os o se o. S o s e e e ooses eoo souo o e ess us s use sou oes b e oe ees. e sou oes e oo use o e es o sues o 5 o 5 bove e sue o e E e ue ee bewee wee boos sees. e eo bove e u ue o boos s bou 4 e u o sees s oe. oo sou oe osss o so-ue oe oo o. e ee o e s e eo NERNONL OURNL OF PPLED MHEMS ND NFORMS

2 ssue Voue w ve o s ow e o o e o ove e s oee. e vee e s ess 4 ues usu bewee 5 ues. e oe osues s ue o e s o e ev e o o oee e eu o e ou w ue. Sou oes e veous o soe ese ue o e ow os so e e soees ess s os e b o ou ese es essbe o ee boos o sees. e e so use s es bes o eue w be use oe eesve s ob se ssos. e se se o sou oe so es u o eo ses ossbe ow o e sues eoe oos eve e e o e oe e o s. F e ow us o ee subsses e oe ee w so oe. Sou oes e oo use o: - Rese eoo w eues s oo o su esuees e ue osee - Uvoe X-R soo w eue be bove e bu o e E's osee - Mov Rese w bee o ew ues o weessess o oes ue o ues o ew ue oees. o o ese obes ee o evu e u bes s eess o eboe oe e oe esues e oous u evuo o e bs ees. e e oe esee beow eveoe w u o u sees o swe ese ees. o sove s we use sueous e oo es w eses ube o ves w w be oue seo o e e e ue es Eue es. s oe ows us o evue wo e souos oe o e bse o ee ses sou oe us e ees o so oe. 4 e seo us ou booses so o so oe ou e bo obe o o oe. 5. ese wo e souos w be evue e ees bs eoes w be e. HE GRVY ELERON OMPLEMENRY ELERON ONNEON BEWEEN ERH FRME ND BODY FRME e be we w s b e uee o e seo ees e e vo o e v eeo w ue ue e uee o E se bou e sou oe eo. e v eeo oee eeo oe o we e ovee euos we w use eoes e [8] oee o e E. Due o u s bese o oe we us ose wo suee eeos: eeo ve b: oee eeo oos eeo ve b: V wee E s s e vue: 5 79 s. we ese - e se bewee oe E ee : R wee: e e oe ooes e E e e E us be oe b: R αs e e v eeo ooes e E e e: R ω ω ω wee e s o ooes o e v eeo [8] [3] e: ω ω s. 3 - e s ooes e ve b: os os s os s 4 wee e wo es use e: - u e eoe ue. O oe oee eeo s: - V 5 w e E e ooes ve b: V V V V V V 6 wee V V V e e E e veo ooes. e oeo bewee E e bo e e E e OX YZ s eoe e w e o e ss ee o e E w Y s oee uw.. e E be osee eso o evouo [][3] [8]. oe o ove E e ove bo e we e ss ou ee ee es. e s oe s e s e O s s s w s s s o o e e e e E s sue oee uw.. Bo es E oo e o e es. Bu we oue s oeos e E s uee b so oee eeo evous ee we ose e s e e. NERNONL OURNL OF PPLED MHEMS ND NFORMS

3 ssue Voue Q s γ O N s R P s α α / s γ. α α / os Obvous e s e o s o e Euo o o No o Sou Poe e e γ s u e bee u. e e ee e s e s e O X YZ w ove bove e s e e u oe.. e s e w s e o e E s o ou e o e ee o e s e osee w e eu w oo e o e E s e. γ G Q F. oeo bewee E e s e X s we eoe γ e e bewee eoes o eoe o: γ 7 e oeo bewee es s ve b: [ ] [ ] s s s γ. 8 Ove o e E e bove s e be oe b e oo : os s os γ s γ γ s γ os γ s os 9 os s s os w e eees: s os os γ os s os os γ s os s s s γ os s γ s γ s γ s os γ os os γ os γ oe o ob e e γ bewee eoe eoes o we us s o e eo [8]: b wee b e e E se-s. Fo eo: α b 98 5 w ees E e we ob e eo: Y Z F. oeo bewee s e s e e oeo bewee ese wo es s ve b: [ X ] [ ] Y Z s s s wee e oo s: os s os s s os s os os s os s P G s os s os os s w e eees: os os os os s s s os 3 os s os os s os s 3 s os os os s s os s os os s os s s os os 3 s s os os os os s NERNONL OURNL OF PPLED MHEMS ND NFORMS

4 ssue Voue s os os os s s 3 s s os os os os s 33 s os os os. Obvous e e s so e beoes u. F us Eue e ψ θ φ o Eue oe e θ ψ φ o Ho s ueo 3 4 o oo es ξ η ζ [] we ove e s e ove e bo e. e oo w es s soo w be sow ews. o su u oe o ss soe eees o E e o e bo e we ee ee oos w be oee se : γ 4 w s e oo bewee E e bo e.. GENERL MOVEMEN EQUONS e euos Ue e [4] w oves e eu bs oes wee e e euos use Eue es ou se we we ve os ve u eo e es [3] [5] [6] [7] [8] eoe oe Eue es w ve s oo ve e. Us e euos we w Eue es o o bees ee o e se o s esube ses e oow wb s vove: e use o ooe uos o os. ou oos ee o sove e e euos e oo es be use o eo oo s w be sow e. So us oo : os θ s θ osψ s ψ s θ os θ θ ψ s ψ osψ os φ s φ φ s φ os φ e oee oo beoes: 5 wee e eees e: os ψ os θ. os ψ s θ 3 3 s ψ os φ os φ s φ s θ os θ os ψ φ ψ θ s φ s φ s ψ s ψ φ ψ os θ s θ θ s φ s φ os φ s θ os θ os ψ os φ os φ s ψ s ψ os θ s θ oe o ob e oeo bewee e evves o Eue es ooes o oo veo e bo e s w eo: we we: φ ψ θ θ φ ψ θ ψ φ 6 ψ φ φ φ ψ φ θ. ψ Beuse e oo s: φ ψ φ ψ we ob: * [ ] U [ ] φ ψ θ. wee: s ψ U os φ s φ os ψ 7 s φ os φ os ψ Deo W e oeo : s φ ψ osφ ψ W U osφ s φ. 8 s φ / osψ osφ / osψ we we: [ ] [ ] φ ψ θ W 9 Beses e e eos w e ue es esbe bove e oe we use e oo es we w oue e. e [] ou o ee es e e oo es wee s oue. e ses wee use o esbe e ovee. es o oo ve e ve e be esue es o bo o e o oe. e e e ves o ueo eov su o e euos we w e ue es 9. so ow e oo eesso o e e euos o ve bu -see os es eee o we suo. es o oo e e ve o es Eue e o be ues e esube w oee s e. s we ow seuee o oos o bo w e o be ee b se oo ou s ou e e o. NERNONL OURNL OF PPLED MHEMS ND NFORMS

5 ssue Voue [ ] [ ] wee s e e oo : s s s s 5 s s w oes w ee b e eo 5 us ue es. F. 3 Se oo o e e o obe e oe o bu e euos we w use wo es: OX YZ - e e e w u veos: O e obe e e b bo w u veos We suose e bo s u veo w e ooes obe e O:. s E s e s ou w se oo s eess o ove e OX Y Z ove e O 3. U veo o s E s e : e e o ou e oos o ue 3 we we: e R B e e R R B. s se e eo bewee e oso veos o e o P e o P bee suessve: R B s os R e e R e R s [ R e e R ]os R R os e e R os e R s. 3 e o P s oe o e s X e o P w be o-s. Beuse e veos R R e eu oue we subsue eo 3: R R. S e o P s oe o e s o we subsue: R R R R. F we ob e sse: os os s os os s os os s. 4 we oe os s s we ob e eo: us e ove oo e be eesse b e sueoso o ee sueous oos o e obe e es: ξ η ζ 6 e ses e e e oo es: ξ - Roo e ou s η - Roo e ou s ζ - Roo e ou s. e es e e eo: ξ η ζ. 7 Us oo es o 5 e oo beoes: ξ ηξ bζ ζξ bη ξη bζ η ζη bξ ξζ bη ηζ bξ ζ 8 wee: s b os s s 9 Us e vese o s B 3 we ob e ooes o eeo e E e o ooes o eeo e bo e use euos. Le e e euos we we e eo: [ ] [ ] V V V 3 wee [ V ] V V e ooes o e veo e E e. Beuse e oo 5 8 s e se eess o e vbes use we ob e oow eoss bewee ee vbes Eue es oo es e ue es o e oo es e ve b:: ζη bξ φ 3 ζ 33 ηξ bζ ξ θ s ψ 3 ζξ bη 3 so we ob e oo es o ue es us e eos: ξ η ζ 33 b b b wee: NERNONL OURNL OF PPLED MHEMS ND NFORMS

6 s b os / Ne we w o ob e oeo bewee e evves o oo es ooes o oo veo e bo e. us s oo ou s E s euve soo es o e wo sses oows e veo e oeos e e: e. 35 s eos s eve w ese o e we obe: e 36 wee: e 37 us:. 38 we u suessve b esus: o oewse: [ ]. 39 ou e ve b 5 e e ebe o e eos beoes: s s s s s s 4 wee we oe / Se e oeos o u veo e ss e eos: 4 esus o eeo: 4 e s e o e evous eveoe o be u. O e oe evese o e s e o eo 4 s. 43 Mu b vese us ee eo 39 beoes: 44 w es o eb eos: / / / 45 wee: e. 46 B evo o e eo eos 6 we obe: ξ η ς 47 wee evves o e es o oo be u e o: [ ] [ ] R W ζ η ξ 48 w w oos: 49 oeo R W s ve b: W R ξ η ξ ζ η ζ ζ ηζ ξζ ζη η ξη ζξ ηξ ξ 5 o o o: ζ ηζ ξ ξζ η ζη ξ η ξη ζ ζξ η ηξ ζ ξ R W 5 Reo 3 oee w e eo 48 eeses e euos we us oo es. e eo 48 s euve w eo 8 w s we us ue es. D euos Deveo oss ous o e [3] w e suee oos o [3] [4] we ob eeseos o e euos: - Foe euos e E e F V V V B 5 - Moe euos e bo e B B H H 53 ssue Voue NERNONL OURNL OF PPLED MHEMS ND NFORMS

7 ssue Voue wee we eoe: / / B. 54 / e e oe vese wee e e oes e ve b: B. 55 e B s ve b eo 3. Fo e eo oees we use e eo e [4] [9] bse o oo sees e: 4 4 ˆ α 3 α 4α 3 3 b α b α b α b ˆ ˆ b b3α b4ˆ ˆ ˆ α α 3 5 α ˆ 3 3α 4ˆ 3 α α 3α 4ˆ b wee b eo [9] 55 α v / u w/ u. 56 e oow oos e use o e o eso u veoes: ˆ V ˆ V ˆ V 57 ou e us oees we se e os: δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ 58 V. GUDNE OMMND ou e sou sses o o eue ue we suose ue sse w e e o o ose o 9 eees ve eo e e evos. so s e o e esbe vue 45 e. ou e oe o uo use es o oo eos 3 we e s seo se e ue es w we use o bu e ue o. Resu [3] e ue os o e bs ue oe e e se o: * [ u ] U [ u u u ] u 59 wee e oo ss e: φ ψ θ Θ φ~ φ ~ u u u φ φ Φ u u θ~ θ ~ θ ψ ψ θ θ ψ ~ ψ ~ u u u u θ ψ u u u 6 e P U * wee e evous esee e so o s: 6 ~ ~ e ees eve ~ θ ψ φ e ve b: ~ ~ θ θ θ ψ ~ ψ ψ φ φ φ wee θ ψ φ e u eeee vues. e es e e ee eeb: ~ [ ] [ φ ~ θ * ψ ~ ] *. 6 φ θ e oeo bewee evves o Eue es e bo u veo ooes e ve b 9 wee e W s ve b 8 s vese b 7. O oe e use eo 59 be oe b w s ve e b eo 5. s se e eo 59 be we e s o: u u u s ψ φ θ u u osφ u s ξ osψ u osφ osψ 63 Ψ u u Θ θ osφ osψ u ψ ψ s φ u s φ osψ e ue os e e o e uos w e oe e e [3] b e o: [ δ δ δ ] Dδ [ δ δ δ ] Duu 64 e s o: u u u δ δ u δ δ u δ δ u δ δ δ. 65 u u u wee τ δ e e oss δ δ δ oss. e e e o e eseo us e suo esus we w sow e bee eoe o e ue sse oes o us e e eo o use su sse o sou sse. V. NPU D LULUS LGORHM ND RESULS u o e oe Fue 4 sows e s oe e VLS 3 ess e ue be. NERNONL OURNL OF PPLED MHEMS ND NFORMS

ssue Voue 3 9 4 BLE. VLS 3 HRERSS VLS 3 [] [] Le [] Se 96 85 4. Se 69 58 3. Se 4 3.8 F se 6 6.6 ee se ue us e ees o so oe. o use o e so ee:. 5Ns F. 4 VLS 3 ouo Σ F.

8 ssue Voue BLE. VLS 3 HRERSS VLS 3 [] [] Le [] Se Se Se F se ee se ue us e ees o so oe. o use o e so ee:. 5Ns F. 4 VLS 3 ouo Σ F. 5 sows e seo oe e VLS B4 ess e ue be. es uus Fo e es uus e oow oos wee use: Geo oeo: - u e 9 ows e Es - Geoe ue 45 Ro ue - ue: [ ] veo V 4[ / ] s o e θ 85 Resus Fs e osss oos bewee wo ossbe eo oes: s eos see eo o e se e seo eos ouu eo o ee eo. Fo e s oe e ov oos o e evous wo se bee oos o e e wo se. Fs o oves us bee oe o e ss vo e oe o se seo we e oe ss s ees u. o e seo oe ves us wo suo o e ss u s we see 6. Se be. VLS B4 ess VLS B4 [] [] Le [] Se w booses 64 4 Se [] Se oe oe F. 5 VLS B4 ouo F se e bo o o oe ou booses o so oe ou. o use o e o ee: 6. Ns uus o e uus o osss u-se eo s' eo-oeo w vbe se eo eo: [] [7]. bsoue ue eo ws.e- eve eo ws.e-. Σ [s] F. 6 Mss ee eo oe VLS3 Seo e osss e ve sve o us ue sse o oo. Fo e ue 7 we see oso bewee ue uue eo. We obseve e eee ue s s ee o e eo ue o eo oo. o e e eveoe we w use uue eo. NERNONL OURNL OF PPLED MHEMS ND NFORMS

9 ssue Voue [] 3 V[/s].8 VLS3 VLSB4 Gue eo Uue eo [] F. 7 oso bewee ue uue eo VLS B4 e ues 8- e ove sow e ees e bs eoes o e wo oes. F. 8 sows e ss vo e o e eo [s] F. 9 Veo oso bewee VLS3 VLSB4 oseue ue o e veo eee e eo o e seo s e.. F. we ve sow e o e e. be obseve eo e we ve ese sb ese o e seo oe w e e eo. 5 [] 5 VLS3 VLSB [s] [] 3 VLS3 VLSB4 F. 8 Mss oso bewee VLS3 VLSB4 We see u ss eese oowe b os eo e buou. 9 s esee e veo. be obseve e eee bewee e oes e veo o e seo be ee [] F. Bs eo NERNONL OURNL OF PPLED MHEMS ND NFORMS

ssue Voue 3 9 44 e [G] 9 6 3-3 -6-9 VLS3 VLSB4 5 5 5 [s] F. o e V. ONLUSONS e e eses sess ses o e suo oe eveoe o e uo o oeo oe - w w u eue w be ese w e o e e o oe s sses.

Se e o obeve o e sou oes osss o es souos o sseb ee o u-se oes o u e es o ee e o s w be use e oe oos ue ouo oee e o e souos w wee esee u e wo.

10 ssue Voue e [G] VLS3 VLSB [s] F. o e V. ONLUSONS e e eses sess ses o e suo oe eveoe o e uo o oeo oe - w w u eue w be ese w e o e e o oe s sses. e o s e o wo vs o e sou oes w w be ese e o oes. We osee oe ossbe souos we esee e e ees o wo sou oes be use. Se e o obeve o e sou oes osss o es souos o sseb ee o u-se oes o u e es o ee e o s w be use e oe oos ue ouo oee e o e souos w wee esee u e wo. ouso e sub-ssebes o e sou oes w be ove o ue ouo e ee be eveoe Ro be s ous eoss. sseb es o e ou w be e e wee usu su sses e uue e sou oes w be ese b e e B Se. REFERENES [] BHVLOV N. Meoes Nueues se ebe euos eeees oes E. M Mosou 976. [] BOFFER.L. e Ds o F e Euos o We Sos ese New Yo Wee Bsbe Soe ooo SBN [3] HELRU.V. D Zbouu Re ă Eţ -- evuă ş uă D ue sse - eo. E.Pe Buueş SBN [4] HELRU.V. D Zbouu Re eă D uue sse E. Pe Buueş SBN e 6. [5] HELRU.V. OMN Soe eoe ses e e e oe o u s see o ow ob - eo Woso o SMLL SELLES NEW MSSONS ND NEW EHNOLOGES sbu ue 5-7 ue 8. [6] HELRU.V. BRBU.HELRU. Me oe e souo o s use subob ues Poees o e 4 eo oeee o Ree ves Se eooes-rs9 SBN: sbu ue -3 u 9. [7] uovov N.. Sseî sbţ eeî ov bses eî e E. Vîsş Şo Mosv 976. [8] Lebeev.. Geso N.F. Bs e E. Mşosoee Mosv 97. [9] Nese.N. Msse eos MGw-H Boo o. New-Yo ooo Loo 96. [] Nţă M.M. eu.v. PÂRVU P. Soe oseos o oe vees ovee Revue Roue es Ses eues Meue uee oe 36 N 5-6 seebe-eebe - 99 Buueş [] e Se Resoe- Obsevb o 4 Oe D Sses Poees o e 8 WSES eo oeee o SMULON MODELLNG OPMZON SMO '8 Se b S Seebe [] o V. Doos - Sess o ue Moo o Vbe Mss o Boes WSES RNSONS o SYSEMS ND ONROL Voue 3 8 SSN: [3] Po u- Noe Eso o oo Eee Poees o e 4 WSES/SME eo oeee DYNML SYSEMS ONROL ONROL'8 ou Geee Oobe [4] Ze ewwe L Su Guo - Le oo o o Fo W Poees o e 8 WSES eo oeee o SMULON MODELLNG OPMZON SMO '8 Se b S Seebe [5] -Sou s - H ue Poso eue o UV WSES RNSONS o SYSEMS ND ONROL Voue 4 9 SSN: [6] SO 5 -:988 -:985-3:989 [7] SLE oo Me Lb Veso 4. u 993 eoo-voe HELRU ws bo Ro 956. He ue e P.D. sues 994 w e ess "e sues o e o e ue sses". Se 984 e s e o vous ube o oes o ue uue sses UV se o e No o o M eue. e se e e s ssoe Poesso POLEHN Uves o Bues. Hs esees e ouse e oo o ue sses UV. Du s v e ubse 3 boos su s: D uue sse E. Pe Bues 6 D ue sse E. Pee Poes D F e UV es. E. Pe. Bues 3. P.D..V. eu s ebe sou eou oee o e Dvso o Ro e. s BRBU s bo Ro o 959 Febu 7. e e bou ues: Beo eee su e oes e M e e Bues Ro 983 PD eee su e us us M e e Bues Ro 997 Posue eee su e ub suo ee e o Eoo Sues Bues Ro 8. He s bou s oee w sues No Deee Uves ouse: Newo e Oeos Wso D 6 Deee No oee ouse: Seu Goo so Bues 7. He s ue ob s e HNELLOR o M e e so PROFESSOR Meue vo ee Sses Dee M e e Bues Ro. Du s e v e ubse ove 3 boos es su s ouo eos M e e Pubs House Bues Ro 4 eo Eeo Bss o Uue Roes M e e Pubs House Bues Ro 4. Po. Bbu. s ebe seve oesso soees s: Ro Eee ssoo eoes Soe Deos Soe Vbo-uss Soe Ro eose Soe. NERNONL OURNL OF PPLED MHEMS ND NFORMS

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