2. Automate finite non - deterministe (AFN)

Transcription

1 Curul nr. 9 7 noiembrie 008. Automte finite non - determinite AN După cum m văzut funcţi de trnziţie unui utomt finit determinit : Σ ve propriette că Σ. În cdrul cetui prgrf vom conider chimbre cetei condiţii pentru permite non-determinimul în funcţi de trnziţie. Acet lucru înemnă că pote ă nu fie unic. Interpretre chimbre de l l P c şi codomeniu pentru re în mod clr implicţii forte mri upr modului de definire prelungirii funcţiei de trnziţie şi implicit upr modului de definire termenului limbj cceptt de un utomt finit non-determinit. Îninte înă de conider cete noţiuni vom decrie o interpretre fizică modului în cre ete privit non-determinimul în cet context. ă coniderăm trnziţi q 0 0 = { q q } pentru mşin următore: Vom privi cetă trnziţie c modelând firmţi: Dcă e citeşte 0 când untem în tre q 0 tunci u tre q u tre q pot păre c fiind tre următore. Ete importnt ă ne mintim că: Exct un dintre cete tări ete leă. b Nu e pote prezice cre dintre ele ete leă. Atfel dcă = R flt în tre şi citind următore tre utomtului v fi o tre necunocută din R.

2 Non-determinimul în enul utilizt ici nu trebuie gândit c un proce letor. Chir dcă metodele letore u probbilite definec un tip prticulr de non-determinim conceptul de legere non-determinită pe cre dorim ă-l utilizăm exclude orice poibilitte de modelre prin procee tohtice ă menţionăm totuşi că exită şi conceptul de utomt probbilitic u tohtic inten tudit înă în fr copului pe cre îl vem în cet moment. Revenind l exemplul implu pe cre l-m dt mi îninte tre iniţilă q 0 pote trnzit l tările q şi q în mbele czuri trnziţiile fiind etichette cu 0. În mod nlog q re trnziţii etichette cu şi l tre q 0 şi l tre q.. Definiţie. e numeşte utomt finit non-determinit AN un 5 uplu A = Σ 0 unde : i. ete o mulţime nevidă finită mulţime tărilor utomtului ii. Σ ete o mulţime nevidă finită lfbetul de intrre iii. iv. 0 ete un element ditin din numit tre iniţilă ete mulţime tărilor finle v. : Σ P ete funcţi de trnziţie non-determinită. Pentru exemplul dt nterior funcţi de trnziţie decriă tbelr ete: 0 q 0 {q q } q {q } {q 0 } q 0 {q 0 q } ă ne remintim că tunci când m vorbit depre limbjul recunocut de un utomt finit determinit m vut nevoie de prelungire funcţiei de trnziţie l cuvinte pete lfbetul de intrre pe cre m nott-o cu ceeşi literă înă : Σ*. Într-un utomt determinit complet pornind din tre iniţilă orice cuvânt wσ* pote fi gândit c trverând o ecvenţă drum unică de tări le utomtului. Într-un utomt non-determinit cetă ecvenţă pote ă nu mi fie unică: pot exit mi multe şiruri de tări cre ă corepundă unui ingur cuvânt w. De exemplu

3 . Exemplu. Coniderăm utomtul non-determinit vând următorul grf de trnziţie: Pentru cuvântul w = 00 pete lfbetul de intrre {0} rborele decrie următorele clcule poibile: 5 drumuri poibile indexte cu w; 3 drumuri cre cceptă cuvântul w e termină într-o tre finlă q ; drumuri cre reping cuvântul w întrucât e termină într-o tre ne-finlă q ; Şi tunci pre întrebre: Ete 00 cceptt u nu? Din punct de vedere informl fptul că w Σ* ete cceptt de utomtul finit non- determinit A e pote decrie tfel: w ete cceptt de A dcă exită măcr un drum în grful de trnziţie l lui A cre ă fie etichett cu w şi e termine într-o tre finlă q.. Definiţie. ie A = Σ 0 un utomt finit non-determinit. Prelungire funcţiei de trnziţie l * Σ nottă tot cu e defineşte inductiv tfel: ε = U * w = ' Σ w Σ ' w Putem în cet moment defini.3 Definiţie. limbj recunocut de un AN. ie A = Σ 0 un utomt finit non-determinit. Definim limbjul cceptt de A nott prin LA ete limbjul L A = { wσ* 0 w }. În cele ce urmeză vom încerc ă demontrăm că din punct de vedere l limbjului cceptt nu e câştigă nimic în enul că nu exită limbje cceptte de un AN cre ă nu fie cceptte de un AD.

4 . Teoremă. Pentru orice utomt finit non-determinit A = Σ 0 exită un utomt finit determinit A' = ' Σ ' ' ' 0 ' tfel încât LA = LA. ă ilutrăm idee din ptele demontrţiei printr-un exemplu. Coniderăm grful de trnziţie l AN-ului decri în exemplul.. putem grup tările după rcele cre intră şi ie din ele în modul următor: Obţinem tfel un utomt cre ete determinit şi ete echivlent cu cel non-determinit dică cceptă celşi limbj ă indicăm câtev etpe le demontrţiei teoremei: ie A nd = nd Σ nd 0nd nd un utomt non-determinit cre cceptă limbjul LA nd Σ*. Vom contrui un utomt finit determinit A d = d Σ d 0d d tfel încât LA nd = LA d. Idee ete de oci unei ingure tări din d o numită ubmulţime de tări din nd. Mi preci dcă R nd îi vom pune în corepondenţă o tre q R d dcă exită w Σ* tfel încât nd 0nd w = R. Odtă ce m definit tote tările din d în cet mod definim funcţi de trnziţie d : d Σ d tfel: pentru orice tre U nd q = R j nd. qri q i vem corepunzător o ubmulţime R i nd şi R d

5 Atunci vom pune d q R i = qr unde q j R îi corepunde lui R j j prin procedeul indict mi îninte. ingurul lucru cre r mi trebui demontrt şi ete propu c exerciţiu util cititorului r fi că d R T U w Σ * q w = q T = q w. Demontrţi e obţine uşor utilizând inducţi după lungime cuvântului w. qr nd 3. Expreii regulte În ecţiunile precedente m definit limbje cre unt recunocute cceptte de utomte finite non-determinite şi m conttt că AN-urile u ceeşi putere de cceptre cu AD-urilor. Acete limbje unt uşor de implementt în progrme pe clcultor. Totuşi nu ete întotdeun convenbil ă le pecificăm c ecvenţe drumuri în grful de trnziţie l unui utomt finit. De exemplu când vrem ă găim drumul rut pe cre fot cceptt un cuvânt din limbj u tunci când declrăm imboluri pentru numiţi identifictori ete pre complexă definire unui utomt finit în cet cop. Atunci ete mi bine ă legem o expreie în formă ecvenţilă definită uccint şi uşor de înţele. Atfel de intrumente e numec expreii regulte şi u fot introdue pentru prim dtă de Kleene *. În prctică expreiile regulte unt forte de utilizte c interfeţe utiliztor pentru pecific limbjele regulte. În chimb utomtele finite e foloec mi uşor c reprezentări interne pe clcultor pentru tocre limbjelor regulte. 3. Definiţie. O expreie regultă e pete un lfbet Σ şi limbjul L genert de cet e definec inductiv prin: e = ete o expreie regultă cre genereză L =. e = ε ete o expreie regultă cre genereză L = {ε}. 3 e = cu Σ ete o expreie regultă cre genereză L = {}. *.C.Kleene Repreenttion of event in nerve net nd finite utomt Automt tudieprinceton Univ. Pre Princeton New Jerey 996 pg. -4.

6 ie e şi e expreii regulte ir L şi L repectiv limbjele generte de cete. Atunci: 4 e = e + e ete o expreie regultă cre genereză L = L + L. 5 e = e e ete o expreie regultă cre genereză L = L L. 6 e = e * ete o expreie regultă cre genereză L = Le *. Preupunem că operţi * re întâiette fţă de şi + ir re întâiette fţă de +. Perechile de prnteze e pot omite tunci când nu creză confuzie. De emene omitem de obicei imbolul în expreiile regulte. Exemple:. ie Σ = {bc} şi L Σ * mulţime cuvintelor cre conţin bcc c ubcuvânt. Atunci L pote fi genert de exprei regultă + b+ c * bcc+ b+ c *.. ie L {0} * mulţime tuturor cuvintelor cre nu conţin două imboluri conecutive. Atunci L ete genert de * + ε. punem că două expreii regulte unt echivlente notăm e = e pete Σ dcă genereză celşi limbj. Din modul de definire l limbjelor generte de expreiile regulte ete evident că fmili limbjelor generte de expreiile regulte coincide cu fmili Reg Σ limbjelor regulte pete lfbetul Σ vezi şi Cp.I 3..C.Kleene demontrt în lucrre că cetă fmilie ete eglă cu fmili limbjelor cceptte de AD dică expreiile regulte unt echivlente cu utomtele finite în cee ce priveşte limbjele. Exită numeroşi lgoritmi de trnformre expreiilor regulte în utomte finite şi inver. Exită trei metode mjore de trnformre unei expreii regulte într-un utomt finit. Prim dintre ele fot elbortă de Thompon * şi contă în trnformre unei expreii regulte într-un AN cu trnziţii vide trnziţii etichette cu ε numite şi trnziţii pontne dică utomtul pote trece dintr-o tre în lt prent fără introduce un imbol de intrre; metod ete implă şi intuitivă dr pote gener multe ε - trnziţii ir utomtul rezultt pote deveni mult pre complex. În cet cz trnformre lui într-un AD pote lu mult timp. * K.Thompon Regulr Expreion erch Algorithm Communiction of the ACM :6968pg.40-4.

7 A dou metodă fot cretă de Berry şi ethi ** şi trnformă o expreie regultă într-un AN fără ε - trnziţii; lgoritmul e bzeză pe teori lui Brzozowki upr derivrilor şi pe lgoritmul de mrcre l lui McNughton şi Ymd. Acetă dou metodă fot îmbunătăţită poi de Brüggemnn Klein ***. A trei metodă ete cee de trnformre expreiei regulte direct într-un AD echivlent **** ; lgoritmul contă în: trnformre unei expreii regulte într-un AN cu metodele de mi u şi trnformre AN în AD. În continure vom d o decriere uccintă modului de trnformre unei expreii regulte într-un AN urmând-o pe cee dtă de A.Brüggemnn-Klein şi D.Wood *. ie e o expreie regultă pete Σ. Inductiv definim un AN M e după cum urmeză: 0 M = {}Σ unde = pentru toţi Σ. M ε = {}Σ{} unde = pentru toţi Σ. Pentru Σ M ={f}σ{f} unde = {f} ete ingur trnziţie. 3 Preupunem că M e = Σ M e = Σ. şi =. M e + e = Σ unde = { } şi vor reprezent ceeşi tre; = { } { } dcă ltfel; pentru şi Σ = dcă = dcă dcă ; ** G.Berry R.ethi rom Regulr Expreion to Determinitic Automt Theoreticl Computer cience pg *** A.Brüggemnn-Klein Regulr Expreion into inite Automt Theoreticl Computer cience pg **** J.A.Brzozowki Derivte of Regulr Expreion Jurnl of the ACM :4 964 pg * A.Brüggemnn-Klein D.Wood Detreminitic Regulr Lnguge Proceeding of TAC 9 Lecture Note in Computer cience 577 A.inkel & M.Jntzen ed. pringer-verlg Berlin 99 pg

8 M e e = Σ unde } { = ; - e fce o copie lui ir tările din vor fi intrări pentru utomtul nou formt; = ; dcă } { dcă = }; { dcă dcă dcă şi pentru Σ M e = Σ unde = } { =

9 =. dcă dcă şi pentru Σ Acete AN-uri e numec utomtele lui Gluhkov * după cel cre le- definit iniţil. O propriette mi deoebită cetor ete că nu exită trnziţii cre ă e întorcă l tre iniţilă. 3. Obervţie: O expreie regultă e e numeşte determinită dcă M e ete un AD. 3. Teoremă. Dcă e ete o expreie regultă pete Σ tunci Le = LM e. ** * V.M.Gluhkov The btrct theory of utomt Ruin Mthemtic urvey 6 96 pg ** G.Berry R.ethi rom Regulr Expreion to Determinitic Automt Theoreticl Computer cience pg. 7-6.