FG. MECANICA CUANTICA

Size: px
Start display at page:

Download "FG. MECANICA CUANTICA"

Transcription

1 FG. MECANICA CUANTICA II 55

2 CUPRINS I Introducere 5 Capitolul FG.0. Baele eperimentale ale mecanicii cuantice 6 FG.0.. Radiatia termica. Ipotea cuantelor 6 FG.0.. Efectul fotoelectric. Ipotea fotonilor 5 FG.0.3. Efectul Compton FG.0.4. Presiunea luminii 6 FG.0.5. Eperimentul lui Franck si Hert 7 FG.0.6. Modelul atomic al lui Bohr. 9 FG.0.7. Dualismul unda corpuscul. Ipotea lui de Broglie. Eperimentul Davisson-Germer 39 FG.0.8. Ecuatia lui Schrodinger. Functia de unda (pachetul de unde) 4 FG.0.9. Relatiile de incertitudine ale lui Heisenberg 44 Capitolul FG.0. Descrierea matematica a mecanicii cuantice 48 FG.0.. Spatii vectoriale 48 FG.0.. Spaţii Hilbert 5 FG.0.3. Operatori liniari 54 FG.0.4. Operatori hermitici 55 FG.0.5. Repreentarea vectorilor şi a operatorilor 6 Capitolul FG.03. Fundamentele mecanicii cuantice 64 FG.03.. Descrierea starii in mecanica cuantica 64 FG.03.. Variabilele dinamice in mecanica cuantica 80 FG Observabile si repreentari in mecanica cuantica 87 FG Procesul de masura in mecanica cuantica 93 FG Postulatele mecanicii cuantice 96 FG Repreentarile Schrodinger si Heisenberg 00 FG Descrierea evolutiei cauale. Ecuatia lui Schrodinger 07 FG Alte descreri ale mecanicii cuantice 0 Capitolul FG.04. Sisteme cuantice simple 5 FG.04.. Introducere 5 FG.04.. Particula in groapa de potenţial unidimensionala 5 FG Particula in groapa de potential tridimensionala 6 FG Particula în groapa de potenţial cu pereţi finiţi 7 FG Bariera de potenţial 9 FG Efectul tunel FG Oscilatorul armonic 3 Capitolul FG.05. Atomul de hidrogen 8 FG.05.. Ecuatia lui Schrodinger pentru miscarea in camp central 8 FG.05.. Reolvarea ecuatiilor momentului cinetic 9 FG Solutia ecuatiei Schrödinger pentru partea radiala a functiei de unda 3 FG Orbitali atomici 38 FG Proprietăţi magnetice ale atomului. Magnetonul Procopiu - Bohr 4 FG Definirea cuantica a momentului magnetic 43 FG Efectul Zeeman 44 II Capitolul FG.06. Spinul si momentul magnetic de spin 5 56

3 FG.06.. Momentul cinetic de spin 5 FG.06.. Eperimentul Stern si Gerlach. Momentul magnetic de spin 53 FG Teoria lui Pauli a spinului electronic 58 FG Modelul vectorial al momentului cinetic 63 FG Sisteme de particule identice 64 Capitolul FG.07. Spectre atomice 69 FG.07.. Nivelele de energie şi stările electronilor în atom 69 FG.07.. Sistemele hidrogenoide 7 FG Considerarea efectelor relativiste. Structura fină 74 FG Procese radiative. Reguli de selecţie 77 FG Clasificarea periodică a elementelor 86 FG Atomii metalelor alcaline 89 Capitolul FG.08. Informatica cuantica 93 FG.08.. Informatia cuantica 93 FG.08.. Unitatea de informatie cuantica. Qubitul 93 FG Entanglementul cuantic 95 FG Teleportarea informatiei cuantice. Modelare fiica 98 FG Modelarea matematica a procesului de teleportare cuantica 99 FG Eperimente de teleportare 0 FG Comunicatii cuantice. Criptografia cuantica 06 FG Informatica cuantica. Calculatorul cuantic 07 FG Bibliografie specifica informaticii cuantice 07 Capitolul FG.09. Aplicaţii de laborator şi simulare numerică (ALBSN) FG Baele eperimentale ale mecanicii cuantice FG Descrierea matematica a mecanicii cuantice 4 FG Fundamentele mecanicii cuantice 4 FG Sisteme cuantice simple 5 FG Atomul de hidrogen 6 FG Spinul si momentul magnetic de spin 6 FG Spectre atomice 6 FG Informatica cuantica 6 FG Devoltari si aplicatii ale mecanicii cuantice 7 Capitolul FG.0. Autoevaluare (AEV) Capitolul FG.0.0. Baele eperimentale ale mecanicii cuantice Eerciții și probleme reolvate... Eerciții și probleme propuse.. Întrebări/ chestiuni recapitulative... Capitolul FG.0.0. Descrierea matematica a mecanicii cuantice Eerciții și probleme reolvate... Eerciții și probleme propuse.. Întrebări/ chestiuni recapitulative... Capitolul FG.03. Fundamentele mecanicii cuantice Eerciții și probleme reolvate... Eerciții și probleme propuse Întrebări/ chestiuni recapitulative... Capitolul FG.04. Sisteme cuantice simple Eerciții și probleme reolvate... Eerciții și probleme propuse... Întrebări/ chestiuni recapitulative... Capitolul FG.05.. Atomul de hidrogen Eerciții și probleme reolvate... Eerciții și probleme propuse... Întrebări/ chestiuni recapitulative... Capitolul FG.06. Spinul si momentul magnetic de spin Eerciții și probleme reolvate... Eerciții și probleme propuse... 57

4 Întrebări/ chestiuni recapitulative... Capitolul FG.07. Spectre atomice Eerciții și probleme reolvate... Eerciții și probleme propuse.. Întrebări/ chestiuni recapitulative... Capitolul FG.08. Informatica cuantica Eerciții și probleme reolvate... Eerciții și probleme propuse... Întrebări/ chestiuni recapitulative... F_Glosar cuvinte cheie Cuvânt-cheie Cod capitol Aplicatie Atomul de hidrogen Bariera de potenţial Boson Calculator cuantic Camp central Clasificarea periodică a elementelor Comunicatie cuantica Criptografie cuantica Distributia cuantica a cheilor Dualismul unda corpuscul Ecuatia radiala Ecuatia Schrodinger Ecuatia Schrodinger atempotala Efect Compton Efect fotoelectric Efect relativist Efectul tunel Efect Zeeman Element chimic Emisie stimulata Entanglementul cuantic Evolutie cauala Eperimentul Davisson si Germer Eperimentul Franck - Hert Eperimentul Stern - Gerlach Eperiment teleportare Fermion Functia de unda Groapa de potenţial Holografie Informatica cuantica Informatie cuantica Ipotea-de Broglie Ipotea cuantelor Ipotea fotonilor Laser Magnetonul Procopiu - Bohr Mecanica cuantica Metal alcalin Modelul atomic Bohr, Modelare fiica 58 FG.07 FG.0 FG.04 FG.06 FG.08 FG.05 FG.07 FG.08 FG.08 FG.08 FG.0 FG.05 FG.0 FG.04 FG.0 FG.0 FG.07 FG.04 FG.05 FG.07 FG.07 FG.08 FG.03 FG.0 FG.0 FG.06 FG.08 FG.06 FG.0 FG.04 FG.07 FG.08 FG.08 FG.0 FG.0 FG.0 FG.07 FG.05 FG.03 FG.07 FG.0 FG.08

5 Modelare matematica Model vectorial Moment cinetic Moment cinetic de spin Moment magnetic Moment magnetic de spin Nivel energetc Observabila Operator hermitic Operator liniar Orbital atomic Oscilatorul armonic Pachetul de unde Paradoul EPR Particule identice Particula libera Postulatele mecanicii cuantice Perechea EPR Presiunea luminii Proces de masura cuantic Proces radiativ Proces de teleportare Proprietate magnetica Qubit Qubit sursa Qubit tinta Qubit auiliar Radiatie termica Regula de selecţie Relatiile de incertitudine Heisenberg Repreentarea Heisenberg Repreentare operator Repreentarea Schrodinger Repreentare vector Sistem hidrogenoid Spatiu Hilbert Spatiu vectorial Spectru atomic Spectru energetic discret Spin electronic Stari Bell Stare cuantica Stare ecitata Stare fundamentala Stare legata Statistica Bose-Einstein Statistica Fermi-Dirac Structura fină Teleportare cuantica Teleportare informatie cuantica Teoria lui Pauli Transmisia cuantica a informatiei Unitatea de informatie Unitatea cuantica de informatie 59 FG.08 FG.06 FG.06 FG.06 FG.05 FG.06 FG.07 FG.03 FG.0 FG.0 FG.05 FG.04 FG.0 FG.08 FG.06 FG.04 FG.03 FG.08 FG.0 FG.03 FG.07 FG.08 FG.05 FG.08 FG.08 FG.08 FG.08 FG.0 FG.07 FG.0 FG.03 FG.03 FG.03 FG.0 FG.07 FG.0 FG.0 FG.0 FG.07 FG.06 FG.08 FG.03 FG.07 FG.07 FG.07 FG.06 FG.06 FG.07 FG.08 FG.08 FG.06 FG.08 FG.08 FG.08

6 Variabila dinamica Vector de stare FG.03 FG.0 Bibliografie

7 Capitolul FG.06. Spinul si momentul magnetic de spin Cuvinte-cheie: spinul electronic, momentul magnetic de spin, eperimentul Stern - Gerlach, teoria lui Pauli, model vectorial, particule identice, boson, fermion, statistica Fermi-Dirac,statistica Bose-Einstein FG.06.. Momentul cinetic de spin Numeroase date spectroscopice legate de spectrele de dublet ale metalelor alcaline, de cele de triplet, ale elementelor alcaline - pământoase, şi de cele de multiplet ale elementelor cu mai mulţi electroni pe ultima orbită care nu puteau fi eplicate satisfăcător de teoria cu elemente cuantice a lui Bohr, li s-au alăturat alte fapte eperimentale legate de proprietăţile magnetice ale atomului, a căror preentare se va face în paragraful următor. Este vorba în primul rând de fenomenele de cuantificare spaţială din eperienţele de tip Stern - Gerlach, în coordonanţă cu structura de dublet a liniilor spectrale şi de despicarea nivelelor energetice în câmp magnetic prin efect Zeeman. Încercările de eplicare în cadrul limitat al teoriei cu elemente cuantice a lui Bohr, a faptelor eperimentale de mai sus, au condus în cele din urmă, la o nouă ipoteă asupra electronului, formulată în anul 95 de către G.E. Uhlenbeck şi S.A. Goudsmit [S.04] numită ipotea spinului. Conform acestei ipotee electronul posedă pe lângă gradele de libertate de translaţie şi grade de libertate "de rotaţie în jurul unor ae proprii", această proprietate fiind denumită spin. Ca urmare, electronul va poseda un moment cinetic propriu, numit spin, a cărui valoare este cuantificată sub forma: l s = s h, (FG.06..) de numărul cuantic de spin s, care ia numai valoarea. În raport cu momentul cinetic orbital l, de asemenea cuantificat, spinul poate fi paralel sau antiparalel, celor două orientări diferite ale spinului corespunându-le două valori diferite ale energiei atomului, de unde structura de dublet a liniilor spectrale. Valoarea, a numărului cuantic de spin reultă eperimental din date nespectroscopice, studiinduse comportarea atomului în câmp magnetic (ep. Stern - Gerlach). 6

8 Din punct de vedere spectroscopic momentul cinetic de spin la fel ca şi cel orbital trebuie să fie cuantificat spaţial având s + valori, astfel că structura de dublet a liniilor spectrale ale sodiului, conduce la valoarea s + = deci s =. Introducerea spinului face posibilă definirea unui nou număr cuantic j, numit număr cuantic intern care cuantifică momentul cinetic total al atomului astfel că este definit de relaţia: j = l ± (FG.06..) întrucât cei doi vectori l şi l s nu pot fi decât paraleli sau antiparaleli. Ca urmare, structura de multiplet a liniilor spectrale pentru metalele alcaline, apare în mod natural prin considerarea spinului. Astfel: termenul S, având l = 0, s =, j =, este de singlet şi se noteaă S /, valoarea lui j apărând ca indice; 3 termenul P, având l =, s =, j =,, este de dublet şi se noteaă P /, P3 / ; 3 5 termenul D, având l =, s =, j =,, este de asemenea de dublet şi se noteaă D 3 /, D5 / etc. Regulile de selecţie asupra lui l se pot transmite în acest ca asupra lui j, după cum se va vedea la studiul cuantic al acestora. S-a arătat anterior că ordinul de multiplicitate al unei linii spectrale este dat de mărimea χ = s +, s fiind numărul cuantic de spin. Ca urmare, notarea spectroscopică completă a termenilor χ spectrali se face sub forma n S( P, D,... ) j adică numărul cuantic principal urmat de simbolul termenului spectral având ordinul de multiplicitate ca indice superior şi numărul cuantic intern ca indice inferior. Eemple: / 3 S, D / etc. Eplicaţia intensităţilor relative a liniilor spectrale de multiplet constituie o altă dificultate a teoriei cu elemente cuantice a lui Bohr, care va fi înlăturată de mecanica cuantică. FG.06.. Eperimentul lui Stern si Gerlach. Momentul magnetic de spin Eplicarea structurii de multiplet a liniilor spectrale cu ajutorul ipoteei spinului a necesitat introducerea numărului cuantic semiîntreg s =, care cuantifică momentul cinetic de spin al electronului. Prin analogie cu momentul magnetic orbital care corespunde momentului cinetic orbital al mişcării electronului, momentului cinetic de spin îi corespunde un moment magnetic propriu, numit "de spin" care 6

9 determină în eclusivitate proprietăţile magnetice ale atomului în stare fundamentală ( l = 0 ). Este de aşteptat, conform teoriei momentului magnetic orbital preentată anterior, ca acest moment magnetic să se poată eprima cu ajutorul momentului magnetic elementar (magnetonul lui Bohr) fiind cuantificat, probabil în mod analog. Unul dintre faptele eperimentale cele mai importante care au condus la ipotea spinului îl constituie după cum s-a mai arătat, eperienţa lui Stern şi Gerlach, efectuate în anul 9. Această eperienţă baată pe interacţia dintre momentul magnetic al atomului şi un câmp magnetic eterior, a evidenţiat unele proprietăţi magnetice ale atomului care nu au putut fi eplicate decât mai târiu, cu ajutorul ipoteei spinului, permiţând totodată calculul momentelor magnetice pentru atomii individuali şi verificarea cuantificării spaţiale a sistemelor atomice. Fie B un câmp magnetic neomogen aplicat după aa şi fie M momentul magnetic al atomului. Datorită mişcării de precesie în jurul câmpului B, componenta M a momentului magnetic se menţine constantă pe când componentele M şi M y, oscileaă în jurul valorii nule. Prin urmare, atomul va fi supus unei forţe după direcţia dată de relaţia: d B d B f = M = M cos ( M, B ) (FG.06..) d d care determină devierea atomului de la direcţia sa iniţială. Această deviere, este după cum se va arăta o măsură a momentului magnetic al atomului, în toate eperimentele de tip Stern - Gerlach. Dispoitivul eperimental utiliat în eperienţa lui Stern - Gerlach este preentat schematic în figura FG.06...a. Un jet atomic obţinut prin încălirea atomilor studiaţi într-un cuptor şi diafragmare multiplă este trecut printr-un câmp magnetic neomogen creat de polii unui electromagnet aşeat într-o incintă vidată. Pentru a avea loc o interacţie măsurabilă în conformitate cu formula (FG.06..) forma pieselor polare a fost aleasă ca în figura FG.06...b., încât să se asigure un grad suficient de ridicat de neuniformitate al câmpului, pe distanţe de ordinul dimensiunilor atomice. (Se observă concentrarea puternică a liniilor de câmp în muchia ascuţită care constituie polul nord al electromagnetului.) 63

10 Fig. FG.06.. Devierea atomilor din jet sub acţiunea forţei magnetice direcţia momentelor magnetice ale acestora. Întrucât din punct de vedere clasic, ( M, B ) 64 f, este corelată direct cu mărimea şi cos ia toate valorile posibile cuprinse între ( + ) şi ( ) ca urmarea a faptului că momentele magnetice ale atomilor care trec prin câmp pot avea orice direcţie în raport cu cea a câmpului, pe ecran ar trebui să se observe conform teoriei clasice o lărgire a spotului constituit de fasciculul de atomi (Fig. FG.06...c). Dacă se ţine seama însă de cuantificarea spaţială, fiind posibil numai un număr discret de orientări ale momentelor magnetice în raport cu câmpul, fasciculul atomic trebuie să se despice în ( k +) fascicule care să determine tot atâtea pete pe ecran, fiecare pată corespunând unei valori determinate a proiecţiei momentului magnetic μ. Dacă jetul atomic este format din atomi monovalenţi (argint, alcaline, hidrogen etc.) care posedă un singur electron optic şi dacă temperatura cuptorului este suficient de scăută pentru a nu produce ecitarea atomilor din jet, atunci interacţia dintre câmpul magnetic eterior şi momentul magnetic al atomilor care străbat acest câmp este cea mai simplă, posibilă astfel că poate fi uşor interpretată. În acest ca în loc să se constate absenţa interacţiei magnetice atomii fiind în stare fundamentală ( l = 0, m = 0) se observă o despicare a fasciculului în două componente simetrice în raport cu direcţia de propagare, în absenţa câmpului. Eistenţa interacţiei în acest ca nu poate fi pusă decât pe seama eistenţei unui moment magnetic propriu al electronului determinat de un moment cinetic corespunător, conform interpretării lui Uhlenbeck şi Goudsmit care au introdus, după cum se ştie, în 95 ipotea spinului. Cuantificarea spaţială evidenţiată de eperienţă constituie, de asemenea, un fapt dificil de interpretat.

11 Pentru a fi în concordanţă cu teoria cunoscută a lui Bohr - Sommerfeld, care prevede pentru mişcarea orbitală o multiplicitate de ordinul k + a orientărilor spectrale posibile ale momentului magnetic, corelate cu cele ale momentului cinetic corespunător, trebuia să se admită eistenţa unor numere cuantice semiîntregi. Această interpretare a constituit, de asemenea, un element esenţial de fundamentare a ipoteei spinului. Într-adevăr, întrucât eistenţa momentului magnetic propriu, trebuia să fie determinată de eistenţa unui moment cinetic propriu, era evidenţiată necesitatea introducerii unui nou număr cuantic care să eplice dinamica compleă a electronului şi aceasta a fost numărul cuantic de spin, s =. Calculându-se deviaţia pe ecran a spotului atomic în preenţa câmpului magnetic s-a obţinut relaţia: B ed M mv = (FG.06..) care a fost utiliată pentru calculul componentei momentului magnetic al electronului după aa. Din calcul reultă M = μ 0 (FG.06..3) unde μ 0 este magnetonul Procopiu - Bohr, cele două pete de pe ecran corespunând la valori egale şi de semne opuse ale momentelor magnetice ale electronului. Prin urmare proiecţia după aa a momentului magnetic de spin este cuantificată prin două valori M s = + μ 0 μ 0 (FG.06..4) numărului cuantic de spin s = corespunându-i două valori pentru numărul cuantic de spin m s = + (FG.06..5) introdus prin analogie cu numărul cuantic magnetic orbital. Observaţii: Tehnica jeturilor atomice a fost pusă la punct şi utiliată în anul 9 de franceul Dunayer pentru verificarea teoriei cinetice a gaelor. Printre eperienţele de tip Stern - Gerlach amintim: eperienţa lui Stern (939) pentru determinarea momentului magnetic al protonului, eperienţele lui Rabi (începând din 936) pentru studiul momentelor magnetice nucleare, combinând metoda clasică cu cea a reonanţei magnetice etc. Raportul giromagnetic. Eperienţa Einstein - de Haas. Calculând raportul magneto - mecanic pentru mişcarea de spin, conform ipoteei spinului se obţine: 65

12 M s s eh m0 e e = = = g = gsγ h m0 m0 (FG.06..6) unde mărimea al mişcării orbitale. e m 0 numită raport giromagnetic de spin este dublul raportului magneto - mecanic γ Factorul g s = evidenţiaă "anomalia" magnetică a spinului, şi eplică reultatele unor eperienţe, privind magnetiarea corpurilor, cum ar fi cea a lui Einstein şi de Haas. Magnetiarea corpurilor se eplică pe baa momentelor magnetice atomice prin orientarea acestora în câmp magnetic eterior astfel că reultă un moment magnetic total M t nenul al acestora. inducţie B unde L m Scriind teorema momentului cinetic total pentru un astfel de corp situat într-un câmp magnetic de d dt său de greutate iar ( L + L ) = M B = 0 m M t (FG.06..7) este dat de suma momentelor cinetice atomice calculate pentru fiecare atom în raport cu centrul conservarea momentului cinetic total L M este momentul cinetic corespunător mişcării macroscopice a corpului, reultă L + L m M = ct. (FG.06..8) Ca urmare, orice variaţie a unuia dintre termenii sumei de mai sus, va determina o variaţie corespunătoare a celuilalt. Principiul eperienţei Einstein - de Haas, constă tocmai în modificarea termenului L m în câmp magnetic eterior şi evidenţierea modificărilor corespunătoare ale termenului L M prin rotirea macroscopică a corpului. Eperienţa efectuată în anul 95 de Einstein şi de Haas, a fost repetată cu o preciie mai ridicată de către Beck şi Arvidson. În eperienţele de acest tip un corp cilindric dintr-un material feromagnetic a fost suspendat de un fir de cuarţ într-o bobină, parcursă de curent, care magnetieaă corpul la saturaţie (Fig. FG.06..). 66

13 Fig. FG.06.. De firul de cuarţ este fiată o oglindă astfel că o raă de lumină reflectată pe aceasta evidenţiaă orice mişcare de torsiune a firului. La schimbarea bruscă a polarităţii curentului prin bobină se observă o rotire a corpului cilindric prin devierea spotului luminos reflectat pe oglindă. Eplicaţia fenomenului nu se poate face decât cu ajutorul momentului magnetic de spin. La inversarea sensului curentului are loc o inversare simultană a orientării vectorului moment magnetic de spin M s al fiecărui electron, reultând o variaţie M s care determină o variaţie corespunătoare a momentului cinetic L m. Această variaţie trebuie compensată de variaţia momentului cinetic al întregului corp conform relaţiei (7.6.9) astfel că are loc rotirea acestuia cu frecvenţa unghiulară: L M ω = ϕ & =, (FG.06..9) I I fiind momentul de inerţie al barei. Relaţia (FG.06..9) poate fi scrisă pentru ansamblul corpului, considerând variaţiile simultane ale momentelor cinetice, respectiv magnetice ale tuturor electronilor din corp, sub forma: I ϕ & = M t. (FG.06..0) g γ s Pentru singura mărime necunoscută gs se obţine eperimental valoarea aproimativă g s =, în concordanţă cu reultatele teoretice obţinute pe baa ipoteei spinului pe care astfel această eperienţă o confirmă. În plus, ipotea iniţială conform căreia proprietăţile feromagnetice ale unui corp se datoresc momentului magnetic de spin este de asemenea, confirmată. FG Teoria lui Pauli a spinului electronic Pauli a spinului electronic este generală pentru toate particulele având spinul : electronul, protonul, neutronul, miuonii Λ, Σ, Ξ etc. Necesitatea descrierii variabilei de spin pentru astfel de particule, implică considerarea unor postulate suplimentare ale teoriei cuantice care se pot formula astfel: 67

14 a) Descrierea spinului se face cu ajutorul operatorilor moment cinetic sˆ, sˆ, sˆ y, sˆ, care satisfac relaţiile de comutare: [ sˆ, sˆ ] ih sˆ ; [ sˆ, sˆ ] = ihsˆ ; [ sˆ, sˆ ] = ihsˆ. y = y y (FG.06.3.) Aceşti operatori acţioneaă în spaţiul stărilor de spin corespunători operatorilor Es, definit de vectorii proprii ŝ şi ŝ, care alcătuiesc un sistem complet astfel incat se poate scrie: s, ms ( s + ) h s ms s ˆ s, ms = s, (FG.06.3.) s ˆ s, ms = mh s, ms, (FG ) unde numărul cuantic de spin s = /, iar numărul cuantic magnetic de spin m s = ±/, deci dimensiunea spaţiului E s al stărilor de spin ale electronului este egală cu. b) Spaţiul stărilor particulei cuantice este determinat de produsul tensorial al spaţiului E r, al stărilor orbitale (infinit dimensional, indicele r fiind continuu) cu spaţiul E s al stărilor de spin (format dintr-un număr finit de puncte, în caul electronului fiind bidimensional) E = E r E s. (FG.06..4) În consecinţă spinul va comuta cu toate variabile orbitale. In spaţiul E se pot considera ansamblele echivalente de observabile comutative { pˆ pˆ pˆ sˆ,,,, sˆ } sau { H ˆ, L, Lˆ, s, ˆ } y s în caul simetriei sferice. { ˆ y sˆ, ˆ, ˆ,, ˆ } s, În cele ce urmeaă ne vom referi la primul ansamblu indicat mai sus, astfel că vectorii proprii corespunători au forma: r, χ =, y,, s, ms = r χ. (FG ) (Întrucât vectorilor proprii r, χ le corespunde aceeaşi valoare proprie a operatorului ansamblului de observabile comutative, se poate omite observabila ŝ.) ŝ, în notaţia Se poate arăta că, în repreentarea { r,χ } repreentanţii vectorilor de stare ψ sunt matricile cu o coloană şi două componente: ( ψ ψ = ψ + ( r ) = r, χ+ ψ ψ + = ( r ) = r, χ ψ ψ (FG ) care din punct de vedere matematic repreintă spinori. Funcţiile ψ + şi ψ pot fi privite ca fiind componentele complee ale unui vector într-un spaţiu bidimensional liniar astfel că 68 ψ + şi repreintă probabilitatea de a găsi particula cuantică cu spinul "în sus" ( + ) respectiv "în jos" ( ) consecinţă: ψ. În

15 ψ + + =. (FG ) ψ Matricile lui Pauli În teoria lui Pauli a spinului electronic este util să se introducă vectorul σ definit prin relaţia s = h σ (FG ) astfel că valorile proprii ale operatorilor σˆ, σˆ y, σˆ sunt egale cu ± : σ = σ y = σ = (FG ) iar operatorul ˆσ are o singură valoare proprie egală cu 3. cinetic: De asemenea, se poate arăta că operatorii σˆ, σˆ y, σˆ satisfac relaţiile de comutare ale momentului [ σ ˆ, σˆ y ] = iσˆ, [ σ ] y, σˆ = iσˆ ˆ ; [ σ, σ ] = iσ y ˆ ˆ ˆ. (FG ) Formulele de comutare (FG ) implică relaţiile de anticomutare: σ ˆ σˆ + σˆ σˆ = δ ; i, k =, y. (FG.06.3.) i k k i ik, Într-adevăr se poate scrie, de eemplu: i ( σˆ σˆ + σˆ σˆ ) = σˆ iσˆ + iσˆ σˆ = y y ( σˆ σˆ σˆ σˆ ) + ( σˆ σˆ σˆ σˆ ) σˆ = σˆ σˆ σˆ σˆ + σˆ σˆ σˆ σˆ σˆ = = σˆ σˆ σˆ σˆ σˆ + σˆ σˆ σˆ σˆ = 0 (FG.06.3.) = în concordanţă cu (FG ). Din ecuaţiile (FG )şi (FG.06.3.)reultă totodată şi relaţii importante: σ ˆ, σˆ y = iσˆ ; σ ˆ y, σˆ = iσˆ ; σˆ, σˆ = iσˆ. (FG ) Din analia relaţiilor (FG ) şi (FG.06.3.) reultă posibilitatea repreentării operatorilor ( i =, y, ) prin matrici pătrate, având un număr par de linii şi coloane. y y σˆ i Intr-adevăr, întrucât σˆ, σˆ y şi σˆ pot fi eprimate prin comutatori finiţi de forma: σˆ = σˆ σˆ y σˆ y σˆ y σˆ σˆ y (FG ) având urma egală cu ero, anularea urmei neputandu-se obţine decât dacă matricile corespunătoare (care au pe diagonală valorile proprii ± ale operatorilor σˆ, σˆ y, σˆ ) au un număr par de linii şi coloane. 69

16 bidimensionale. În plus multiplicitatea egală cu a spinului indică faptul că matricile Fie de eemplu, o repreentare în care matricea σ ( este diagonală: σ ( i trebuie să fie ( σ = 0 0 (FG ) pe diagonală fiind valorile proprii corespunătoare. În această repreentare matricile σ ( şi σ ( y au forma generală: a c b d (FG ) a şi d fiind mărimi reale, iar b şi c mărimi comple conjugate ( σˆ, σˆ y şi σˆ fiind operatori hermitici). Întrucât σ ( σ ( ( = σ σ (, a = d = 0 şi deoarece σ =, reultă: ( ( σ 0 = i e γ iγ e 0 (FG ) şi analog ( σ y 0 = i e θ iθ e 0 (FG ) iγ iθ factorii de faă e şi e fiind arbitrari pentru moment. În continuare, din relaţia de anticomutare σ ( σ ( y = σ ( y σ ( reultă condiţia: ( θ) 0 cos γ = (FG ) astfel incat se consideră în mod convenabil γ = 0 şi Se obţine: π θ =. ( σ 0 = 0 şi ( σ y 0 = i i 0 (FG ) la care se adaugă epresia (FG ) a lui σ (. Corespunător se poate calcula repreentanta operatorului 70 ŝ, σ ( 0 : ( ( ( 0 ( σ + σ + σ ) =. (FG.06.3.) ( σ0 = y 0

17 ( ( ( Matricile σ, σ y, σ şi σ ( 0 poartă numele de matricile lui Pauli, fiind deosebit de utile pentru descrierea stărilor cu spinul semiîntreg. Epresiile de mai sus ale matricilor lui Pauli au fost stabilite anterior pe baa teoriei generale a momentului cinetic, pentru caul particular j = /, ceea ce atestă corelaţia teoriei devoltate şi posibilitatea studierii stărilor cu spinul mai mare decât / cu ajutorul teoriei generale a momentului cinetic. Funcţiile proprii ale operatoriului σˆ Descrierea stărilor de spin prin spinori conform epresiei (FG ) a funcţiei de undă, poate fi direct corelată cu matricile lui Pauli. Ecuaţia cu valori proprii a operatorului σˆ se poate scrie sub forma: 0 0 c c = λ c c (FG.06.3.) unde χ c = c repreintă forma generală a vectorilor proprii ai lui σˆ, λ = ± fiind valorile proprii. Ţinând seama că pentru λ = reultă c = 0, iar pentru λ = reultă c = 0, din condiţiile de * * normare c c = respectiv c c = reultă în final matricile asociate vectorilor proprii ai operatorului σˆ : χ + = 0 şi 0 χ =. (FG ) Dacă se separă partea orbitală de cea de spin în epresia vectorului de stare ψ al unui sistem cuantic sub forma: ( r ) ψ( s ) ψ = ψ (FG ) atunci în repreentarea { r χ } matricea ψ are forma (FG ): ( ψ ( r, s ) = r χ+ ψ r χ ψ ( r ) ψ( s ) ( r ) ψ( s ) ψ = ψ Într-o astfel de descriere adjuncta matricii ( r, ) + ψ ( = * ( ψ ψ ) * +, ψ ( s ( r ) χ+ ψ( s ) ψ+ = ( r ) χ ψ( s ) ψ este aşa încât densitatea de probabilitate de localiare a particulei are epresia:. (FG ) (FG ) ( + ( * * P = ψ ψ = ψ+ ψ+ + ψ ψ. (FG ) 7

18 FG Modelul vectorial al momentului cinetic Studiul sistemelor de particule cuantice ridică problema cunoaşterii momentului cinetic total al acestora, momentele cinetice orbitale şi de spin ale particulelor componente fiind presupuse cunoscute. Reolvarea acestei probleme constă în stabilirea legii de adiţie a momentelor cinetice, care poate fi indusă atât pe baa teoriei generale a momentului cinetic cât şi cu ajutorul modelului vectorial al momentului cinetic. De eemplu, pentru o particulă cuantică având momentul cinetic orbital l şi momentul cinetic de spin s, momentul cinetic total j = l + s satisface regulile generale de comutare ale momentului cinetic, indiferent de originea fiică a momentelor cinetice componente l şi s. Acest lucru este valabil şi pentru un sistem de particule, pentru care eistă mai multe posibilităţi de cuplaj. a) Cuplajul Russell - Saunders sau cuplajul normal (L - S). Este întâlnit în caul unei interacţii slabe între vectorii l şi s pentru particula individuală, astfel că pentru întreg sistemul se poate scrie: J = L + S ; L ; si (FG.06.4.) i i = li S = J fiind momentul cinetic total, L - momentul cinetic orbital total, iar S momentul cinetic de spin total al sistemului studiat. Cuplajul normal corespunde aproimaţiei nerelativiste în care momentele cinetice orbitale şi de spin, pot fi tratate separat. b) Cuplajul j - i sau cuplajul spin - orbită. Este caracteristic caului relativist, momentele cinetice orbital şi de spin ale particulei nemaiputând fi tratate separat astfel încât: J = ji ; ji = li + si. (FG.06.4.) i În caul general, nu se va face distincţie între momentele cinetice l, s şi j, oricare dintre relaţiile (FG.06.4.) sau (FG.06.4.) fiind supuse de fapt aceleiaşi legi de adiţie a momentelor cinetice. De asemenea, pentru simplificare se consideră caul a două momente cinetice J şi J, reultatele putând fi etinse pentru un număr oarecare de momente cinetice. Modelul vectorial pentru compunerea momentelor cinetice J şi J este preentate în figura FG Fig. FG

19 FG Sisteme de particule identice Identitatea particulelor în fiica clasică şi în cea cuantică Se numesc particule identice particulele care au aceleaşi proprietăţi intrinseci (masă, sarcină, spin etc.) astfel că prin nici o eperienţă nu se poate face distincţie între ele. Echivalent, particulele sunt identice dacă pot fi înlocuite una cu alta (permutate) fără a se modifica situaţia fiică determinată de acestea. Pentru a putea fi distinse între ele, particulele trebuie să aibă o individualitate bine definită şi măsurabilă în timpul evoluţiei dinamice a sistemului. Toate particulele neidentice pot fi individualiate atât în fiica clasică cât şi în cea cuantică. În caul particulelor identice însă, problema individualiării se pune în mod diferit în fiica cuantică în raport cu fiica clasică. Astfel, în fiica clasică, datorită caracterului complet determinist al evoluţiei, fiecare particulă se deplaseaă pe o traiectorie bine definită. Prin urmare, dacă sunt cunoscute condiţiile iniţiale şi se consideră numerotate particulele, acestea se pot individualia şi urmări la orice moment ulterior de timp. Stabilirea soluţiei problemei în caul permutării particulelor identice clasice, implică asocierea unor condiţii iniţiale adecvate situaţiei fiice. Spre deosebire de fiica clasică, în fiica cuantică noţiunea de traiectorie îşi pierde sensul, sistemul de particule identice fiind caracteriat de un vector de stare unic care depinde de variabilele de poiţie ale tuturor particulelor din sistem. În raport cu permutarea particulelor între ele, situaţiile fiice sunt identice, astfel că problema dinamică fiind nemodificată, acestora trebuie să le corespundă acelaşi vector de stare în spaţiul Hilbert. Din punct de vedere matematic însă, prin permutarea particulelor se obţine un vector de stare diferit de cel iniţial, în contradicţie cu situaţia fiică. Pentru a se pune în concordanţă descrierea matematică cu situaţia fiică, trebuie impusă condiţia ca vectorii de stare ai sistemului iniţial şi cu particulele permutate să fie identici. Se va arăta în cele ce urmeaă că această condiţie restrânge stările admisibile ale sistemului, acestea putând fi, fie simetrice, fie antisimetrice. Concordanţa cu datele eperimentale ridică această condiţie la rangul de postulat al teoriei cuantice. Postulatul supraselecţiei stărilor sistemelor de particule identice În paragrafele anterioare s-a enunţat acest postulat astfel: "Stările sistemelor de particule identice sunt descrise prin vectori de stare care sunt complet simetrici sau antisimetrici în raport cu permutarea variabilelor particulelor.",...,k spin), Pentru a se evidenţia conţinutul acestui postulat se consideră un sistem de N particule identice,, a căror interacţie se neglijeaă, descrise de seturile complete de variabile compatibile (coordonate şi ξ, ξ,... astfel că orice observabilă este simetrică în raport cu aceste variabile: Aˆ ( ξ ) ˆ, ξ... ξk, ξl... = A( ξ, ξ... ξl, ξk...). (FG.06.5.) 73

20 Dacă funcţiile proprii ψ ( ξ ) ψ ( )... b ξ a specifică în repreentarea { } posibile ale celor N particule,, 3... stări desemnate prin proprii ale sistemului de particule au forma: ψ ( ξ ξ... ξ...) = ψ ( ξ ) ψ ( )... a, b, c,... q stările proprii individuale ( fiind presupus finit) atunci funcţiile abcd..., k a b ξ (FG.06.5.) Din punct de vedere matematic operaţia de permutare a variabilelor a două particule din sistem este descrisă de operatorul permutare sau de schimb Pˆ, astfel încât în raport cu permutarea particulelor şi, de eemplu, se poate scrie: ( ξ, ξ... ξ...) = p ψ ( ξ, ξ... ξ...) Pˆ ψ abcd... k bacd... k (FG ) mărimea p desemnând valorile proprii ale operatorului Pˆ. Întrucât funcţiile proprii ψ abcd... şi ψ bacd... descriu aceeaşi stare reultă că acestea trebuie să fie proporţionale. Aplicând de două ori operatorul permutare ˆP asupra funcţiei de stare ψ abcd... se obţine funcţia de stare iniţială Pˆ ψ abcd... = p ψ abcd... = ψ abcd... (FG ) deci valorile proprii ale operatorului permutare sunt p = ±. ψ S Cele două valori proprii ± ale operatorului permutare corespund unor funcţii de undă simetrice respectiv antisimetrice ψ A definite de relaţiile: Pˆψ S = ψ S ; ˆ ψ A = ψ A. (FG ) P Sub forma cea mai generală funcţia de stare a sistemului de N particule identice este determinată de superpoiţia de stări: ψ' ( ξ, ξ... ξ...) = Γ ψ ( ξ ) ψ ( ξ ) ψ ( ξ )... k ερσ ε ρ σ 3 (FG ) ε, ρ, σ= a unde Γ ε, ρ, σ repreintă probabilitatea ca particula să fie în starea ε, particula în starea ρ, etc. Aplicând operatorul permutare P funcţiei de stare ψ ( ξ, ξ... ξk...) se obţine o altă funcţie de stare ψ' Funcţiile de stare este îndeplinită condiţia: ( ξ, ξ... ξ...) = Γ ψ ( ξ ) ψ ( ξ ) ψ ( ξ )... k ρεσ.. ρ ε σ 3. (FG ) ε, ρ, σ= a ψ ( ξ, ξ... ξk...) şi ψ '( ξ, ξ... ξk...) sunt identice conform situaţiei reale, dacă Γ ερσ... = Γρεσ... (FG ) 74

21 adică Condiţia Γ ερσ... = Γρεσ... sau Γ ερσ... = Γρεσ.... (FG ) Γερσ... = Γρεσ... corespunde unei funcţii de stare ψ simetrică în raport cu variabilele ξ, ξ,... iar condiţia Γ ερσ... = Γρεσ... corespunde unei funcţii de stare antisimetrică în raport cu variabilele ξ, ξ,.... În concluie, un sistem de particule identice poate fi descris de funcţii de stare care sunt complet simetrice sau antisimetrice în raport cu permutarea variabilelor particulelor. Această constatare repreintă o regulă de supraselecţie pentru stările sistemului, care a fost ridicată la rangul de postulat. Observaţii:. Din faptul că măsurarea energiei nu este afectată de permutarea particulelor identice, reultă că: Pˆ Hˆ ψ = Hˆ Pˆ ψ, (FG ) sau: [ ˆ, Pˆ ] = 0 H, (FG.06.5.) adică operatorul permutare este o constantă a mişcării. Întrucât valorile sale proprii nu se schimbă în timp, reultă conservarea caracterului simetric sau antisimetric al vectorilor de stare ai sistemului în timpul evoluţiei acestuia, superpoiţia stărilor simetrice şi antisimetrice fiind interisă.. Operatorul P ˆ nu are sens pentru o singură particulă, nerepreentând o observabilă fiică, comutarea sa cu toate observabilele sistemului evidenţiind caracterul simetric al acestora în raport cu variabilele ξ k. 3. Dacă se neglijeaă interacţia dintre particulele sistemului de particule identice, energia sistemului va fi determinată de suma energiilor individuale ale particulelor: E = E E E N (FG.06.5.) rămanând neschimbată în raport cu permutarea particulelor. Întrucât numărul de stări identice obţinute prin permutarea particulelor este dat de relaţia: N! χ =, (FG ) N! N!... N!... a b p N p fiind numărul de particule din sistem în starea p, reultă că sistemul preintă o degenerescenţă de ordinul χ numită "de schimb". Postulatul supraselecţiei stărilor înlătură această degenerescenţă, încât eistă o singură funcţie de stare simetrică şi o singură funcţie de stare antisimetrică susceptibile de a descrie o stare fiică. 75

22 4. Studiul complet al sistemelor de particule identice presupune considerarea separată a următoarelor aspecte: absenţa sau preenţa interacţiei dintre particule; absenţa sau preenţa spinului; eistenţa unor integrale de acoperire ale funcţiilor de stare ale particulelor din sistem, nule sau diferite de ero. 5. Funcţiile de undă sunt simetrice sau antisimetrice pentru permutarea oricăror particule din sistem. Tipuri de particule cuantice. Bosonii şi fermionii. Principiul de ecluiune al lui Pauli Superpoiţia stărilor simetrice şi antisimetrice fiind interisă de postulatul supraselecţiei stărilor, reultă că în natură trebuie să eiste două tipuri de particule cuantice. Particulele ale căror sisteme sunt descrise de funcţii de stare simetrice se numesc bosoni, iar particulele ale căror sisteme sunt descrise de funcţii de undă antisimetrice se numesc fermioni. Fie un sistem de N particule identice între care nu se eercita interacţii. Pentru un sistem de bosoni, funcţia de stare (FG ) capătă forma (combinaţie simetrică unică): ψ S = N! { ψ ( ξ ) ψ ( ξ )... ψ ( ξ ) + ψ ( ξ ) ψ.( ξ ).. ψ ( ξ ) + } a b N a b N, (FG ) factorul de normare particulă. N! fiind determinat pentru caul în care în fiecare stare a, b, c... se află o singură În caul în care mai multe marticile se află în aceeaşi stare, factorul de normare are forma, N p fiind numărul de particule în starea p. În general, o funcţie de stare N! Na! Nb!... N p!... N! simetrică va fi o superpoiţie de funcţii de stare simetrice. Pentru un sistem de fermioni, funcţia de stare (FG ) se scrie sub forma determinantului lui J.C. Slater (combinaţie antisimetrică unică) ψ A = ψa ψb N! ψ ( ξ) ψa ( ξ )... ψa ( ξ N ) ( ξ ) ψ ( ξ )... ψ ( ξ ) b ( ξ ) ψ ( ξ )... ψ ( ξ ) M b N N. (FG ) Proprietăţile de antisimetrie ale funcţiei de undă reultă din schimbarea semnului determinantului de mai sus, atunci când se schimbă între ele două coloane, corespunător a două particule. 76

23 Întrucât determinantul (FG ) se anuleaă dacă două linii sunt identice, reultă că într-un sistem de fermioni, două sau mai multe particule nu se pot găsi simultan în aceeaşi stare individuală. Această constatare eprimă conţinutul principiului de ecluiune al lui Pauli. Fiind o consecinţă a postulatului supraselecţiei stărilor, acest principiu (devenit teoremă) preintă o importanţă deosebită în studiul agregatelor de fermioni - atomi. Din cele preentate reultă că bosonii nu se supun nici unui principiu de ecluiune. Pe de altă parte, funcţiile de stare simetrică şi antisimetrică fiind unice, reultă că degenerescenţa de schimb este înlăturată. Pe baa datelor eperimentale s-a stabilit că eistă o strânsă legătură între spinul particulei cuantice şi simetria funcţiei de undă: particule cu spinul întreg sunt bosoni, iar particulele cu spinul semiîntreg sunt fermioni. Fundamentarea teoretică a acestui criteriu de clasificare a particulelor cuantice este posibilă numai în mecanica cuantică relativistă. Astfel, particulele ca: fotonul (spinul ), meonii π, K (spinul 0) sunt bosoni. Alte particule ca: leptonii (electronul, meonul μ, neutrino), barionii (protonul, neutronul, hiperonii) sunt fermioni având spinul / sau 3/ (hiperonul Ω ). Trebuie evidenţiată, de asemenea, corelaţia care eistă între spin şi statisticile cuantice (paragraful???): bosonii se supun statisticii Bose - Einstein stările individuale putând fi ocupate de un număr oricât de mare de particule) pe când fermionii se supun statisticii Fermi - Dirac (stările individuale putând fi ocupate de cel mult o singură particulă). În comparaţie cu statistica Mawell - Boltmann care implică discernabilitate, statistica Bose - Einstein presupune indiscernabilitate, iar statistica Fermi - Dirac presupune pe lângă indiscernabilitate şi ecluiune. 77

24 Capitolul FG.07. Spectre atomice Cuvinte-cheie: spectru atomic, nivel energetic, stare fundamentala, stare ecitata, sistem hidrogenoid, efect relativist, structura fină, regula de selecţie, clasificarea periodică a elementelor, metal alcalin, laser, emisie stimulata FG.07.. Nivelele de energie şi stările electronilor în atom Fiica atomului şi a moleculei constituie domeniul cel mai strâns legat de apariţia şi devoltarea teoriei cuantice ca urmare a legităţilor specifice de natură cuantică, care acţioneaă la acest nivel de structură şi organiare a materiei. Studiul sistemelor cuantice va fi continuat, în acest capitol, printr-o tratare sistematică coerentă şi unitară a principalelor probleme de fiica atomului şi a moleculei, pe baa faptelor eperimentale şi a formalismelor teoriei cuantice. Studiul mişcării particulei cuantice în câmp central corelat cu teoria momentului cinetic, cu teoria relativistă a lui Dirac a electronului şi cu alte aspecte ale teoriei cuantice cum ar fi comportarea sistemelor de particule identice oferă o baă suficient de riguroasă pentru caracteriarea atomului ca sistem cuantic. Ordinul de mărime al parametrilor atomici poate fi evidenţiat prin eprimarea energiei de ioniare a atomului de hidrogen şi a raei primei orbite a lui Bohr, cu ajutorul constantei structurii fine α, definită prin: 0 e α = kc = e 4πε0 kc = 37 (FG.07..) utiliându-se epresia valorilor proprii ale energiei atomilor hidrogenoii. respectiv: unde Reultă pentru atomul de hidrogen: E i = α m0c = 3,5eV (FG.07..) r0 = Λc = 0,59 Å, (FG.07..3) α h 3 Λc = = 3,8 0 Å este lungimea de undă Compton a electronului. m0c 4 5 Din relaţiile de mai sus reultă că r0 este mult mai mare decât Λ c, iar E i ( 0 0 ) m0c, 6 unde m0c = 0,5 0 ev este energia de repaus a electronului. Ca urmare atomul de hidrogen este un sistem slab relativist, astfel că studiul său cu ajutorul ecuaţiei lui Schrödinger este, într-o primă aproimaţie, corect, deşi după cum se ştie, efectele relativiste conduc la concluii importante, în concordanţă cu faptele eperimentale. Astfel de efecte relativiste care vor fi discutate ulterior sunt variaţia mesei cu vitea, interacţiunea spin-orbită etc. 78

25 Se ştie că starea staţionară a electronului în atom este caracteriată de numerele cuantice n, l, m, s, primele trei fiind introduse o dată cu reolvarea ecuaţiei lui Schrödinger pentru mişcarea în câmp coulombian, iar al patrulea reultând din teoria cuantică relativistă a electronului sau din teoria generală a momentului cinetic. Se stie ca, valorile proprii ale energiei atomului aflat într-o stare caracteriată de numerele cuantice orbital l şi de spin s, sau L şi S pentru atomul cu mai mulţi electroni, nu depind de orientările în spaţiu ale vectorilor L r şi S r fiind de ordinul ( L + )( S + ) degenerate. Dacă se ţine însă seama de efectele relativiste se constată că nivelele energetice se scindeaă într-un număr de nivele foarte apropiate între ele, a căror energie este specificată de numărul cuantic intern J, astfel că degenerarea este parţial ridicată. O astfel de structură alcătuită din S + valori ale energiei pentru S L şi L + pentru L S, se numeşte structură de multiplet sau structură fină. Analia structurii fine a liniilor spectrale se va face în paragrafele urmatoare. În spectroscopie, stările de moment cinetic determinat sunt desemnate, din motive istoric, cu ajutorul literelor, conform corespondenţei: L = 0, S, P, D 3, F 4, G 5, H În general, pentru specificarea stării unui atom se utilieaă notaţia S + i( p L ) J L J ( ) ( ) simbolurile, S + şi i p indicând momentul cinetic orbital, momentul cinetic total, multiplicitatea termenului spectral, care determină structura fină a nivelului numai pentru L > S, respectiv paritatea stării 4 p (uneori paritatea stării nu se indică). De eemplu, starea fundamentală a aotului este specificat prin S 3 /. Descrierea completă a stării atomului, presupune menţionarea stării totale şi a stării fiecărui electron. Astfel, starea atomului de heliu, având L =, S =, J = 0 şi doi electroni în stările s şi p, este 3 specificată prin notaţia s p P0, cifrele din faţa literelor s şi p indicând numărul cuantic principal n corespunător stărilor celor doi electroni. În general, se poate scrie, k k S ( n l ) ( n l ) +... LJ (FG.07..4) unde ki repreintă numerele de electroni în starea specificată de numerele cuantice ( n i li ). complet. n l ( + ) Pentru şi daţi, în atom eistă l stări distincte echivalente. Cei ( l + ) electroni aflaţi în stări având acelaşi n şi l, alcătuiesc un înveliş (strat electronic) Învelişurile electronice sunt desemnate prin literele K, L, M,... fiind alcătuite la rândul lor din sub învelişuri (pături) caracteriate de diferite valori ale lui l. De eemplu, învelişul M cuprinde învelişurile 3s, 3p şi 3d. În caul aceloraşi configuraţii electronice, între nivelele de energie atomice specificate de L şi S diferiţi, apare o diferenţă cauată de interacţiunea electrostatică a electronilor. În acest ca, dispunerea nivelelor energetice se face după regula empirică a lui Hund: pentru o configuraţie electronică dată, energia 79

26 cea mai mică corespunde termenului cu cea mai ridicată valoare a lui S şi pentru acelaşi S, celei mai ridicate valori a lui L. FG.07.. Sistemele hidrogenoide Reultatele obţinute prin reolvarea eactă a ecuaţiei lui Schrödinger pentru atomii hidrogenoii, în particular pentru atomul de hidrogen în subcapitolul FG.05 pot fi etinse pentru studiul tuturor sistemelor hidrogenoide, care sunt sisteme alcătuite din două particule, având sarcini electrice opuse, a căror energie de interacţiune mutuală este couloumbiană. poitronice; Astfel de sisteme sunt: - ionii hidrogenoii: He + ( =, Li ++ - iotopii grei ai hidrogenului: deuteriul şi tritiul; Z ) ( Z = 3), Be +++ ( Z = 4), B 4+ ( = 5) Z, C 5+ ( Z = 6) etc.; - sistemele electron-miuon ( e, μ + ) numite miuonice şi electron-poitron ( e + ) - atomi donori şi ecitonii în semiconductori; - atomii miuonici (nucleu-miuon) şi hadronici (nucleu-hadron) etc. e, numite Întrucât aceste sisteme sunt alcătuite din particule, având mase şi sarcini diferite de cele ale electronului şi protonului, în calcul trebuie modificate corespunător acestor constante. De eemplu, în caul ionilor hidrogenoii reultă pentru energia de ioniare şi raa primei orbite Bohr formulele: respectiv ( Z ) Z E H E i i (FG.07..) r ( ) 0 H r0 Z, (FG.07..) Z astfel încât pot fi obţinute funcţiile de undă asociate stărilor staţionare ale acestora şi valorile proprii ale energiei, utiliându-se epresiile stabilite pentru atomul de hidrogen. Dacă se ţine seama de mişcarea ambelor particule din sistemul hidrogenoid (antrenarea nucleului) formula energiei starilor stationare devine: E n 4 mz e = m h + n M (FG.07..3) unde m şi M sunt masele celor două particule. Formula (FG.07..3) poate fi utiliată pentru stabilirea epresiei Rydberg utiliându-se definiţia termenilor spectrali scrisă pentru atomii hidrogenoii sub forma: T cr Z = H n n = Reultă: E h n. (FG.07..4) 80

27 4 me 7 R H = =, m. (FG.07..5) 3 m 8 ε 0ch + M 7 Pentru diferiţi ioni hidrogenoii se obţin valorile R =, m, He +, m R ++ =, etc., variaţiile neînsemnate în raport cu R fiind datorita modificării Li H masei reduse a sistemului în aceste cauri. Reultatele obţinute mai sus pot fi utiliate pentru studiul spectrelor obţinute eperimental ale atomilor hidrogenoii. În subcapitolele anterioare s-a arătat că sub acţiunea unei perturbaţii dependente de timp Wˆ ( t) un sistem cuantic poate suferi traniţii dintr-o stare staţionară în alta. Din punct de vedere fiic, traniţiile atomice însoţesc fenomenele de ecitare, deecitare şi ioniare care au loc în atom sub influenţa diferiţilor factori perturbatori, cum ar fi: agitaţie termică, încălire, iluminare, ciocniri, preenţa unor câmpuri electrice şi magnetice, preenţa unor radiaţii nucleare etc. Eprimarea frecvenţei liniilor spectrale emise de atom în procesele de traniţie, ca diferenţă a doi termeni spectrali conform principiului combinării Rit-Rydberg permite o interpretare elegantă a seriilor spectrale pe baa teoriei cuantice, utiliându-se relaţia care arată că termenii spectrali corespund unor stări energetice staţionare bine definite ale atomului, astfel incat: Em En νm n = = Tm Tn. (FG.07..6) h Concordanţa deplină între reultatele obţinute eperimental şi cele calculate cu formula lui Balmer este preentată în tabelul FG Tabelul FG Linia spectrală n Eperimentală (Balmer) Lungimea de undă (nm) Calculată (Balmer) Eperimentală (W.E. Curtis, 94) H α 3 656,0 656,08 656,79 H β 4 486, , ,33 H γ 5 434,00 434,0 434,047 H δ 6 40,30 40,0 40,74 Prin particulariare, pentru celelalte serii spectrale ale hidrogenului se obţine Tabelul FG

28 ) Lyman ) Balmer 3) Paschen 4) Brackett 5) Pfund Tabelul FG Seria Formula de calcul ( ~ ν) 6) Humphreys Numărul generator al seriei Domeniul spectral R H nl n Ly =,3, 4, K ultravioletul îndepărtat R H n Ba = 3, 4,5, K nb viibil R H n Pa = 4,5, 6, K 3 np infraroşu R H n Br = 5, 6, 7, K 4 nb infraroşu R H 5 np n Pf = 6, 7,8, K infraroşu R H n Hu = 7,8,9, K 6 nh infraroşu Termenii limită pentru fiecare serie spectrală se obţin pentru valori ale numărului generator al seriei Balmer tinând către infinit (de eemplu, ν% lim = 7,40 cm ). Repreentarea grafică a nivelelor de energie ale atomului de hidrogen şi a traniţiilor corespunătoare seriilor spectrale ale acestuia este cunoscută sub numele de diagrama nivelelor de energie sau diagrama termenilor spectrali (Fig. FG.07..). Fig. FG Studiul seriilor spectrale ale hidrogenului poate fi etins pentru spectrele tuturor atomilor hidrogenoii. Eperimental s-a observat o structură mai compleă a liniilor spectrale numită structură fină. De eemplu, toate liniile hidrogenului au structuri de dublet. Eplicarea structurii fine se va face în subcapitolul următor, prin luarea în considerare a efectelor relativiste, astfel că apare dependenţa energiei de numărul cuantic orbital l care determină despicarea nivelelor energetice. 8

29 FG Considerarea efectelor relativiste. Structura fină Dacă se reolvă ecuaţia lui Dirac pentru atomul de hidrogen considerat sistem slab relativist [M.03] se obţine pentru hamiltonianul unui astfel de sistem, devoltarea: 4 r r p p du H = m0 c + + U () r + L S + L (FG.07.3.) m 3 0 8m c m c r d r 0 0 În epresia de mai sus, primul termen repreintă energia de repaus a electronului, p H 0 = + U () r - hamiltonianul neperturbat corespunător neglijării efectelor relativiste iar termenii m0 următori numiţi de structură fină repreintă perturbaţia relativistă W f a sistemului, a cărei semnificaţie trebuie stabilită. Fie r r 4 r p p E = c p + m0 c = m0c + + L (FG.07.3.) m 3 8m c energia relativistă a unei particule clasice. Termenul r 4 p W mv = 3 8m0c 0 0 repreintă prima corecţie a energiei nerelativiste datorită variaţiei relativiste a masei cu vitea şi are mărimea W mv H r p 0 4m 4 0c v = c unde α este constanta structurii fine. = α Pentru a găsi semnificaţia termenului următor care se noteaă cu W LS se consideră mişcarea r r electronului cu vitea v = p / m, în câmpul electrostatic al protonului, 0 ( r) (FG ) r r du () r e E = unde () 0 U r =. (FG ) q d r r r r r qs În referenţialul propriu al electronului având momentul magnetic de spin M S = apare o energie m 0 r r de interacţiune egală cu M S B, unde B r este câmpul magnetic corespunător câmpului electric E r : r r r v E B =. (FG ) c r r M S B are până la o constantă, epresia termenului W LS Se constată că energia de interacţiune ( ) din ecuaţia (FG.07.3.): 83

30 W LS e r r = L S 3 m0c r (FG ) şi constituie energia de interacţiune spin - orbită a atomului. Din calculul raportului W LS H 0 α (FG ) reultă că energia spion - orbită este acelaşi ordin de mărimea cu W mv. În concluie, perturbaţia W f a lui H0 se poate scrie sub forma: W f = Wmv + WLS +L (FG ) (În epresia de mai sus s-a neglijat "termenul Darwin", care ia în considerare corecţia de câmp local.) Se poate arăta că H diferă de H0 printr-o cantitate W = W f + Wh, unde W h determină structura hiperfină a nivelelor energetice, perturbaţia corespunătoare fiind datorată interacţiunii cu spinul nucleului. 3 Din calcul reultă că acest hamiltonian hiperfin este de 0 ori mai mic decât WLS şi determină o structură hiperfină în interiorul fiecărui nivel al structurii fine, ridicând la rândul său degenerescenţa reiduală a nivelelor de structură fină. Reolvarea ecuaţiei lui Dirac, cu considerarea perturbaţiei de structură fină W f următoarea epresie a termenilor spectrali (FG.07..4) pentru atomii hidrogenoii:, conduce la Tnf crh Z = n 4 α crh Z + 3 n j + unde α este constanta structurii fine. 3 = T n n 4 + ΔTn, (FG ) Corecţia ΔT n poate fi pusă sub forma: Δ Tn = ΔTn( mv) + ΔTn( LS) (FG.07.3.) termenii T n(mv şi ΔT n(ls putând fi calculaţi şi separat cu teoria perturbaţiilor. Reultă Δ ) ) cr α Z ΔT ( ) = H n mv 3 n l + 3 4n astfel că degenerescenţa după numărul cuantic l De asemenea, se obţine: este ridicată. (FG.07.3.) 84

31 4 crh α Z, pentru j = l + 3 n l l + + ΔT n ( LS ) = (FG ) 4 crh α Z =, pentru j. 3 n l l + O altă tratare generală a interacţiunii spin-orbită se baeaă pe concluiile stabilite anterior privind compunerea momentelor cinetice. forma: Să considerăm în caul cuplajului Russell-Saunders (L-S), operatorul de interacţiune WˆLS sub rˆ rˆ Wˆ LS = ALS, (FG ) unde A este o constantă caracteristică termenului spectral şi să arătăm că diferiţi termeni spectrali au o structură de multiplet, corespunător diferitelor valori ale lui J. Dacă se calculeaă în aproimaţia de ordinul ero valoarea medie a operatorului (FG ), astfel incat se înlocuieşte operatorul L rˆ S rˆ cu valoarea sa proprie: r r h L S = [ J ( J + ) L( L + ) S( S + )] 85 (FG ) şi se ţine seama că L şi S sunt ficşi pentru un anumit termen spectral, se obţine pentru energia relativă a componentelor de multiplet dependenţa: W LS = A' J ( J + ) (FG ) astfel incat reulta: ΔE, J AJ, (FG ) J = epresie numită regula intervalelor a lui A. Landé. Pentru A > 0 termenul cu energia cea mai mică este J = L S şi multipletul se numeşte normal. Dacă A < 0, termenul cu energia cea mai mică corespunde lui J = L + S şi multipletul se numeşte invers (De eemplu, separarea între nivelele succesive D, D şi D 3 este in raportul /3.) În caul atomilor cu număr atomic ridicat sau pentru atomii puternic ecitaţi, interacţiunile relativiste devin importante în raport cu cele electrostatice dintre electroni. Prin urmare, în analia interacţiunii spin-orbită, în locul cuplajului (L - S) trebuie considerat cuplajul (j - j). De remarcat că numărul termenilor obţinuţi în cele două tipuri de cuplare este acelaşi, însă poiţia lor relativă diferă mult de la un tip de cuplaj la altul. În realitate pentru cele mai multe sisteme atomice, cuplajul este intermediar între cele două cauri limită studiate. Pe lângă interacţiunea spin-orbită mai trebuie luată în considerare interacţiunea spin-spin, care corespunde interacţiunii dintre spinii electronilor şi este ca şi interacţiunea spin-orbită de ordinul al doilea în ˆ raport cu v / c. Operatorul corespunător acestui tip de interacţiune este de forma S r sau rˆ rˆ SL. Dintre aceştia, structura fină o influenţeaă numai operatorul ˆ rˆ rˆ W SS = B SL al cărui efect asupra termenilor

32 spectrali este dat de modificarea constantei A' în epresia (FG ) şi de un termen pătratic aditiv în J J +, B fiind o constanta. ( ) Reultatele eperimentale asupra spectrelor diferitelor sisteme atomice (H, He +, atomii alcalinelor, ionii ioelectronici) privind structura de multiplet sunt în bună concordanţă cu previiunile teoretice. Unele nepotriviri eistente sunt eplicabile într-o abordare mai compleă a problemei, care face obiectul electrodinamicii cuantice. În ceea ce priveşte structura hiperfină a termenilor spectrali pusă în evidenţă cu ajutorul unor aparate cu putere de reoluţie foarte ridicată (reţele de difracţie, spectrografe interferenţiale), aceasta poate fi eplicată pe baa eistenţei spinului nuclear, care se noteaă cu I r astfel că momentul cinetic total al atomului este r r r r r r F = L + S + I = J + I, (FG ) numărul cuantic total F putând lua valori între J I şi ( J + I ). Pentru un atom având L =, S =, I = 3, termenul având J = are o structură hiperfină formată 3 din doi termeni, care corespunde valorilor 5 / şi 7 / ale lui F. De asemenea, lui J = corespund patru termeni de structură hiperfină F =,,,. De eemplu, linia λ = 4 Å a bismutului este compusă din patru componente de structură hiperfină, care sunt dispuse pe un interval spectral de 0,44Å. În preenţa câmpului magnetic eterior are loc şi o despicare a nivelelor de structură hiperfină, adică un efect Zeeman al structurii hiperfine). FG Procese radiative. Reguli de selecţie a) Probabilitatea de traniţie în caul perturbaţiilor armonice Studiul perturbaţiilor dependente de timp permite stabilirea epresiilor generale ale probabilităţilor de traniţie. Astfel de epresii vor fi utiliate în continuare pentru evaluarea probabilităţilor de traniţie în caul perturbaţiilor armonice care preintă o importanţa deosebită în studiul interacţiunii radiaţiei cu substanţa. Fie Wˆ r ( r, t) ˆ r W = 0, ( r ) cosωt, t > 0 t < 0 (FG.07.4.) Fig. FG

33 operatorul perturbaţie armonică de frecvenţă ω, ( ) Fig. FG W ˆ r fiind independent de timp. Conform metodei perturbatiilor dependente de timp [S.05] perturbatia Wˆ ( t ) starile stationare m si n ale sistemului neperturbat cu probabilitatea: poate induce tranitii intre P mn = ( ) ( ) W i ω ω t i ω ω t mn e mn e mn + 4h ω ω ω + ω mn mn (FG.07.4.) fiind funcţie de variabila ω. Epresia (FG.07.4.) are polii ω = ±ωmn, astfel incat preintă maime dacă este îndeplinită una din condiţiile de reonanţă ω = ωmn, dacă E m > E n sau antireonanţă ω = ωmn dacă E m < E n, cei doi termeni neputând fi simultan semnificativi cu ecepţia caului limită ω mn 0. Prima condiţie este îndeplinită în caul absorbţiei, iar cea de-a doua în caul emisiei spontane (Fig. FG.07.4.). În consecinţă, dacă se neglijeaă efectele de interferenţă dintre termenul reonant şi cel antireonant, se obţine: P mn = W mn sin 4h η ηt, unde ω η = mn ± ω (FG ) dependenţa de frecvenţă a probabilităţii de traniţie la un moment dat de timp t fiind repreentată în figura FG Daca se defineşte lărgimea de reonanţă prin epresia 4 π Δω =, (FG ) t incertitudinea Δ E asupra măsurării valorii Em En utiliându-se o perturbaţie armonică cu frecvenţă variabilă este aproimativ: h Δ E = hδω (FG ) t în concordanţă cu relaţia de incertitudine energie-timp. Reultă că, pentru perturbaţii dependente de timp, nivelele de energie nu mai sunt arbitrar de înguste, reultatele obţinute prin măsurări efectuate asupra energiei fiind funcţie de momentul efectuării măsurării. Ca urmare a "modulării" de către perturbaţie a valorilor proprii ale hamiltonianului, fiecărei stări proprii a sistemului i se asociaă o lărgime finită a valorii proprii corespunătoare a energiei. 87

34 In consecinta trebuie calculată probabilitatea totală de traniţie din starea iniţială limităm la termenul reonant) într-un grup de stări finale centrate în jurul lui densitatea sin ( ηt) epresia: P f mn ( E) + =. Prin integrarea epresiei (FG ) reultă W mn h Dacă mărimile sin ( ω ω) ( ω ω) mn mn ( ) t f ( E) de m E n ( E E ) E > m n (dacă ne având. (FG ) W mn şi f E au o dependenţă "lentă" de starea finală în comparaţie cu funcţia ηt rapid variabilă de η, atunci acestea pot fi scoase în faţa integralei (FG ) care conduce la Wmn P mn = f ( Em = En + hω) πt. (FG ) h Prin urmare se poate evalua rata probabilităţii de traniţie: wn m = dpmn dt = Wmn h f ( Em = En + hω) π (FG ) cunoscută ca regula de aur" a lui Fermi (se aplică numai la reonanţă, adică pentru stări în jurul lui E m ). Pentru calculul ratei de traniţie într-o stare preciată m, operaţia de eşantionare este asigurată de funcţia δ a lui Dirac dată de corespondenţa: sin ( ω ω) ( ω ω) mn mn t πt δ( ωmn ω). (FG ) Reultă: wn m Wmn = δ( Em = En + hω) π. (FG ) h Prin multiplicarea epresiei (FG ) cu f ( E) şi integrare se obţine, de asemenea, rata de traniţie (FG ). unde Epresia (FG ) se scrie în domeniul frecvenţă sub forma: Wmn wn m = g 4h g( ν) ( ν), (FG.07.4.) este funcţia de formă a liniei spectrale naturale. Linia spectrală poate fi lărgită omogen (atunci când se referă la un singur atom, datorită, de eemplu, timpului de viaţă finit al nivelelor implicate) sau neomogen (atunci când se referă la un mare număr de atomi cu frecvenţe de reonanţă diferite datorită, de eemplu, efectului Doppler care afecteaă atomii în mişcare sau câmpului local al atomului în cristal). În concluie, trebuie accentuat faptul ca teoria devoltată este valabilă în condiţiile: 88

35 W mn h t Δ ν, (FG.07.4.) impuse da cerinţele de aplicabilitate ale teoriei perturbaţilor (prima) şi de integrabilitatea epresiei (FG ) (a doua), în alte cauri fiind utiliate alte metode. b) Interacţiunea atomilor cu radiaţia. Hamiltonianul de interacţiune Aplicarea reultatelor obţinute mai sus la studiul interacţiuni atomilor cu o undă electromagnetică monocromatică permite obţinerea unor reultate importante privind regulile de selecţie, absorbţia şi emisia indusă, tăria oscilatorilor şi altele. r Fie o undă electromagnetică plană de frecvenţă ω şi vector de undă k, polariată după aa, care se propagă în direcţia y, fiind descrisă de potenţialul vector: r r r r r A, t = A0 cos kr ωt (FG ) ( ) ( ) astfel incat: r r r A ( ) (, t) r r r r E, t = şi B (, t) = A(, t), (FG ) t potenţialul scalar al undei V ( r, t ) fiind presupus nul (sunt absente sarcinile şi curenţii). Structura hamiltonianului de interacţiune al acestei unde cu un electron atomic de masă m şi sarcină q, situat într-un potenţial central U r are forma: () r r r q r r [ p qa(, t) ] + U () r sb( r t H = r m m, ), (FG ) ultimul termen descriind interacţiunea momentului magnetic de spin al electronului cu câmpul r r B, t. ( ) obţine: Dacă se separă în epresia (FG ) hamiltonianul de interacţiune W () t pa( r, t) sb( r, t) + A( r, t) ( W = H = ) q r r r q r r r q r r = [ ]. (FG ) m m m Întrucât pentru câmpuri slabe se poate neglija ultimul termen, se poate scrie: () t W '() t + W () t W = " (FG ) H 0 se unde iar q r r W '() t = pa(, t) m (FG ) q r r W "() t = sb(, t). m (FG ) Întrucât: 89

36 " W ( t) r 0 ' W ( t) λ într-o primă aproimaţie W" () t se poate, de asemenea, neglija ( r0 50 pm). (FG ) ) Aproimaţia de dipol electric Traniţiile de dipol electric se produc datorită efectului perturbator al câmpului electric al undei electromagnetice, întrucât din epresia forţei Lorent eercitată de undă asupra electronului reultă în caul atomului: r F r F E B = r qe r r ( qv B) = c v 3 0 adică efectul câmpului magnetic se poate neglija., (FG.07.4.) r Întrucât pentru λoptic, 0, câmpul electric se poate considera omogen pe distanţe comparabile cu λ r r iωt dimensiunile atomului, astfel încât perturbaţia armonică a undei E() t = E 0 e determină o energie de interacţiune: W DE r r r r = ( q)( E ) = Ed, (FG.07.4.) r r unde d = q este momentul de dipol electric. În raport cu funcţiile proprii ale hamiltonianului neperturbat ψ ( r n, t) şi ψ ( r m, t), elementele de matrice ale perturbaţiei pentru ω = ω mn au forma generală: r DE r r r r r Wmn () t = E() t < ψm ( 0 ) d ψn ( ) = E() t dmn, (FG ) d r mn fiind elementele matricei asociate operatorului de dipol electric. Reultă pentru probabilitatea de traniţie de dipol electric epresia: P mn r r = E() t dmn t. (FG ) 4h Aceleaşi reultate se obţin dacă se pune în evidenţă termenul de interacţiune de dipol electric al hamiltonianului. 3) Termenii de dipol magnetic şi de cuadrupol ai hamiltonianului de interacţiune Se obţin sub forma [S.06] : W DM q 4m () t = ( l + s ) B cosωt pentru interacţiunea de dipol magnetic si QE W q 4m () t = ( yp + p ) E cosωt y 0, (FG ) 0 (FG ) 90

37 pentru interacţiunea de cuadrupol electric, E r 0 şi B r 0 fiind amplitudinile câmpurilor electric, respectiv magnetic ale undei. Perturbaţia de dipol magnetic ia în considerare influenţa câmpului magnetic al undei asupra electronului, iar perturbaţia de cuadrupol electric ţine seama de neomogenitatea câmpului electric în atom, ambele fiind mult mai puţin intense decât cele de dipol electric (cam de 0 5 ori cele de dipol magnetic şi cam de 8 0 ori cele de cuadrupol electric). c) Reguli de selecţie. Polariarea radiaţiei emise. Stări metastabile Odată cu studiul momentului cinetic orbital au fost stabilite regulile de selecţie pentru numerele cuantice l şi m, din calculul elementelor de matrice ale operatorului rˆr. În acest paragraf se vor precia lucrurile arătându-se că aceste reguli corespund traniţiilor de dipol electric. Într-adevăr studiul se reduce la calculul elementelor de matrice pentru operatorul momentului de dipol electric d r mn, fiind permise traniţiile pentru care d r mn 0, unde: r r ( ) r ( y) r ( ) dmn = dmn i + dmn j + dmn k. (FG ) Ţinându-se seama de funcţiile de undă ale particulei cuantice pentru mişcarea în câmp central se obţine [M.03]: m ( ) i [ ( m m + ) ϕ i + ( m m ) ϕ d mn ~ e m n e m n ] d ϕ 0 i( m [ m mn + ) ϕ i + ( mm m ) ϕ e e ] d ϕ (FG ) π ( y) d mn ~ i n (FG ) 0 π ( ) ( ) ϕ d ~ m m n mn e i m d ϕ, (FG ) 0 ( ) m m şi mn fiind numerele cuantice magnetice ale stărilor m respectiv n. Reultă că d mn 0 şi ( y) ( ) dmn 0, pentru Δm = ± şi dmn 0 pentru Δm = 0. Prin urmare regulile de selecţie generale pentru numărul cuantic magnetic m sunt: Δm = 0, ±. (FG ) deci: Întrucât m maim este egal cu l, reultă că regula de selecţie Δm = ± se transmite şi asupra lui l, Δl = ±. (FG ) 9

38 Să arătăm că traniţia Δl = 0 este interisă. Într-adevăr întrucât pentru Δl = 0 paritatea funcţiei de undă nu se schimbă reultă că integrala funcţiei impare ( ) mψ m ( y) ( ) analog dmn = 0 şi d mn = 0. ψ * ( ) pe toată aa este nulă, deci d mn = 0 şi Polariarea liniilor spectrale reultă pe baa regulilor de selecţie de mai sus. Pentru ( ) ( ) ( y) Δm = 0, dmn 0 ( d mn = dmn = 0 ), (FG ) deci radiaţia este polariată liniar după direcţia. Pentru ( ) ( y) ( ) Δm = ±, d mn = ±i dmn, ( d mn = 0 ), (FG ) deci radiaţia emisă este polariată circular dreapta ( = +) Δm sau circular stânga ( Δm = ) după cum reultă din compunerea celor două oscilaţii de dipol după direcţii perpendiculare. Regulile de selecţie sunt o consecinţă a proprietăţii de simetrie privind paritatea stărilor, funcţiile de undă staţionare (de coordonate) putând fi pare pentru momente cinetice pare şi impare pentru momente cinetice impare, întrucât transformarea prin inversie ( r r,θ π θ şi ϕ π + ϕ ) multiplică funcţiile proprii cu ( ) l. Conservarea parităţii a fost studiată în lucrarea [S.05]. Elementele de matrice d mn sunt diferite de ero numai dacă funcţiile de undă implicate în calcul au parităţi diferite, traniţiile de dipol electric între stări cu aceeaşi paritate fiind interise. Aceste concluii sunt eprimate prin regula lui Laporte: "Traniţiile de dipol electric se produc între stări cu parităţi diferite, fiind interise între stări cu aceeaşi paritate". În caul în care stările staţionare ale electronului sunt specificate cu ajutorul numerelor cuantice l, s, j, m j din calculul elementelor de matrice se obţin regulile de selecţie echivalente: Δj = 0, ± ; Δm j = 0, ± ; Δl = ± (FG ) traniţia Δj = 0, unde j m = j n = 0 fiind interisă întrucât fotonul emis prin traniţie nu poate căpăta moment cinetic de spin. În caul traniţiilor de dipol magnetic, din calculul elementelor de matrice corespunătoare DM hamiltonianului W, reultă regulile de selecţie: Δl = 0 ; Δm l = ±,0; Δm = ±, 0. (FG ) s QE Analog în caul traniţiilor de cuadrapol electric, calculul elementelor de matrice ale lui W, conduce la regulile de selecţie Δl = 0, ± ; Δm = 0, ±, ±. (FG ) Regula lui Laporte poate fi generaliată şi pentru aceste tipuri de traniţii care nu pot avea loc decât între stări de aceeaşi paritate, neintrând astfel în competiţie cu cele de dipol electric. În studiul spectrelor optice intervin aproape în eclusivitate traniţiile de dipol electric. În domeniul microundelor joacă un rol important traniţiile de dipol magnetic ca şi în radio-frecvenţă, de eemplu, în 9

39 reonanţa magnetică. Traniţia verde a oigenului atomic (5577 Å) repreintă un eemplu tipic de traniţie de cuadrupol electric. Corelat cu regulile de selecţie generale pot fi stabilite reguli de selecţie speciale. O astfel de regulă care se aplică numai în caul cuplajului normal, permite traniţii numai între termeni de aceeaşi multiplicitate, cum ar fi cele singlet-singlet, dublet-dublet etc. Ca urmare, traniţiile de intercombinaţie, cum ar fi cele singlet-triplet sunt interise (de regula de selecţie ΔS = 0 ). Ca şi pentru alte reguli de selecţie speciale, s-au observat abateri de la această regulă, în special pentru atomii grei (de eemplu, linia având λ = 536, 5 Å a mercurului este de intercombinaţie 3 între stările 6 P 6 S0. Caua o constituie modul aproimativ în care este realiat cuplajul normal, sau amorsarea traniţiei pe alte căi decât prin radiaţie sau spontan, de eemplu, prin ciocniri sau câmpuri eterne. Dacă radiaţia de dipol electric este interisă printr-o regulă de selecţie oarecare, stările ecitate corespunătoare având un timp de viaţă lung, fiind relativ stabile, se numesc metastabile. Pentru stările 5 8 metastabile probabilitatea de traniţie este de 0 0 ori mai mică decât pentru stările supuse la traniţii dipolare, atomii în stări metastabile fiind adevărate reervoare de energie (cu aplicaţii la realiarea laserilor 3 sau în diferite reacţii fotochimice). Astfel de stări metastabile sunt, de eemplu, stările ss S şi ss S0 ale heliului. Deşi în condiţii normale traniţiile radiative ale stărilor metastabile au o probabilitate etrem de mică (aceste stări deecitându-se în mod uual prin ciocniri) totuşi în anumite condiţii, cum ar fi substanţa puternic rarefiată (nebuloase etc.) intensitatea radiaţiei "interise" emisă prin deecitarea nivelelor metastabile poate fi foarte puternică (de eemplu, linia λ = 5577 Å a oigenului, datorată traniţiei cuadrupolare S D, observată în aurora polară, este foarte intensă). d) Teoria lui Einstein asupra emisiei şi absorbţiei radiaţiei Teoria devoltată până în preent privind interacţiunea radiaţiei cu sistemele atomice este o teorie semicuantică, sistemele atomice fiind cuantificate, iar câmpul electromagnetic fiind descris clasic (necuantificat). Datorită asimetriei acestei tratări, o serie de fenomene cum sunt emisia spontană, fluctuaţiile etc., nu pot fi abordate în mod riguros, făcând obiectul electrodinamicii cuantice. Alte procese de interacţiune, cum ar fi emisia stimulată sau absorbţia sunt însă descrise satisfăcător în cadrul teoriei semicuantice, după cum s-a arătat anterior. O primă teorie (elementară) privind aceste procese de interacţiune a fost elaborată de Einstein în anul 97. Conform acestei teorii între stările n şi m ale unui sistem cuantic cu două nivele (fig. FG ) se pot produce trei tipuri de traniţii: emisie indusă sau stimulată prin trecerea sistemului din starea m în E starea n, sub acţiunea unui foton reonant de frecvenţă m E ω n mn =, cu emisia si a unui alt foton cu h aceeaşi frecvenţă; absorbţie, prin trecerea sistemului din starea n în starea m, astfel că energia sistemului creşte cu hω mn, unde ωmn este frecvenţa cuantei absorbite; emisie spontană, prin trecerea sistemului din starea m în starea n în mod spontan fără acţiunea unui foton eterior, cu emisia unui foton de frecvenţă ω mn. 93

40 Fig. FG Dacă se noteaă cu ρ E ( ν) densitatea spectrală de energie a unui câmp de radiaţie de bandă largă care interacţioneaă cu sistemul atomic cu două nivele având populaţiile Nm respectiv Nn, astfel că numărul total de atomi aflat în interacţiune este ( ) B ρ (ν) N = N n + N 0 m, se pot defini ratele de traniţie astfel: P mn st = mn E, (FG ) ( ) C ρ (ν) P mn ab = nm E, (FG ) ( mn ) Amn P sp =, (FG ) unde mărimile B mn, C nm şi Amn poartă numele de coeficienţii lui Einstein de emisie stimulată, de absorbţie, respectiv de emisie spontană. bilanţ: Evident că pentru regimul staţionar, între procesele de emisie şi cele de absorbţie eistă relaţia de ( Bmn E ( ν) + Amn ) Nm = CnmρE ( ν) Nn ρ. (FG ) Pentru a găsi relaţiile dintre coeficienţii lui Einstein, este necesar ca mărimile ρ E ( ν) şi populaţiile celor două nivele să poată fi determinate apriori. O astfel de posibilitate este oferită de radiaţia termică de echilibru aflată la temperatura T, pentru ρ E ν este dat de legea lui Planck : care ( ) ρe ( ν) 3 8πhν = 3 c hν e kt iar populaţiile nivelelor se stabilesc pe baa legii lui Boltmann: (FG ) N N = g g e hν kt (FG ) unde g şi g sunt degenerescenţele nivelelor implicate. Din ecuaţiile (FG ) şi (FG ), la temperatura T, în absenţa degenerescenţei se poate scrie: A mn Bmn hν mn / kt + = e. (FG ) CnmρE ( ν) Cnm Pentru ρ ( ν) T, E astfel că din (FG ) se obţine: 94

41 C nm = B mn, (FG ) adică egalitatea coeficienţilor lui Einstein de emisie stimulată şi de absorbţie. Ca urmare (FG ) devine: ρe ( ν) = Amn B hν mn mn e kt. (FG ) Comparând epresiile (FG ) şi (FG ) reultă relaţia: Amn Bmn 3 8πhν =, (FG ) 3 c care stabileşte legătura dintre coeficienţii lui Einstein de emisie spontană şi stimulată. Reultatele obţinute sunt valabile şi pentru alte tipuri de radiaţii de spectru larg. Se poate arata că Amn este corelat cu timpul mediu de viaţă al stării ecitate τmn astfel: τ mn =, (FG ) Amn 7 τ mn, putând lua valori între 0 şi s. Într-adevăr din relaţia: 0 d N = A N dt, (FG ) m mn m pentru numărul mediu de atomi care efectueaă traniţii spontane în intervalul dt şi din relaţia de definiţie a timpului mediu τ mn : N m () t = N ( ) reultă dependenţa (FG ). n t ( τmn ) ( ) = n 0 e τ N m 0 e mn, (FG ) N În teoria cuantică generală se obţine pentru coeficientul A mn epresia: A mn 3 8π ν r mn = d 3 3 mn, (FG ) ε h c utilă pentru calculul elementelor de matrice coeficienţilor B mn. Calculul coeficienţilor B mn mărimea E () t cu ajutorul densităţii de energie ρ E. dmn, dacă se măsoară 95 τ mn eperimental şi pentru evaluarea se poate face şi direct eprimându-se în relaţia probabilităţii de traniţie Intensităţile radiaţiilor emise stimulat, spontan sau absorbită se pot calcula astfel: I st = NmBmnρE ( ν) h νmn, (FG ) I sp = Nm Amnh νmn, (FG )

42 I ab = NnBnmρE ( ν) h νmn, (FG ) epresiile de mai sus fiind utile pentru studiul condiţiilor de amplificare a radiaţiei în laseri. De eemplu, conditia de inversie de populatie in laseri se obtine din conditia de amplificare a radiatiei in astfel de dispoitive scrisa pe baa ecuatiilor de mai sus sub forma : I I, st ab (FG ) tinandu-se seama ca I sp I st. Reulta: N m N n, (FG ) conditie necesara dar nu si suficienta, intrucat in realiarea laserului ca oscilator cuantic trebuie luate in considerare si pierderile sistemului, care intervin in ecuatia (FG ) sub forma unei inversii de populatie de prag de oscilatie N p, sub forma: Nm Nn N p. (FG ) Studiul riguros si complet al interactiei radiatiei cu substanta in laseri este preentat in lucrarea [S.04]. FG Clasificarea periodică a elementelor Clasificarea periodică a elementelor pe baa relaţiei dintre proprietăţile chimice ale acestora şi greutatea lor atomică a fost făcută de către Mendeleev, în anul 869, care a reuşit să prevadă şi eistenţa mai multor elemente chimice necunoscute, cum ar fi galiul şi germaniul. Ulterior Moseley a aranjat elementele chimice în ordinea creşterii numărului atomic Z, pe baa măsurărilor efectuate utiliând raele X, iar Bohr în 9, a elaborat o schemă a sistemului periodic al elementelor, cu preentarea modului de formare a învelişurilor electronice pornind de la hidrogen a cărui configuraţie era cunoscută şi adăugind învelişului atomic câte un electron pe măsura creşterii cu o unitate a sarcinii poitive a nucleului. Bohr însă nu putea eplica, de eemplu, de ce pe a n-a orbită se află numai 96 n electroni. Ulterior pe baa principiului de ecluiune al lui Pauli s-a ajuns la o clasificare a elementelor "ideală" ţinându-se seama de numerele cuantice ale electronului în atom. Întrucât doi electroni în atom nu pot avea aceleaşi valori ale celor patru numere cuantice (de eemplu: n, l, m, m s ), reultă că numărul maim de electroni având acelaşi număr cuantic principal este n. Din studiul datelor spectroscopice privind energiile de cuplaj ale electronilor succesivi adăugaţi învelişului atomic (potenţialele de ioniare) reultă că elementele chimice pot fi împărţite în perioade, astfel că pe măsura completării cu electroni a învelişurilor elementelor diferitelor perioade energia de cuplaj în general, creste dar la trecerea de la o perioadă la alta aceasta scade brusc. Diferitele perioade ale unei astfel de clarificări se termină cu un ga inert, gaele inerte fiind caracteriate de învelişuri electronice complete, având n electroni. Numărul de elemente diferă de la o perioadă la alta, succesiunea numerelor de electroni din învelişurile complete succesive fiind ( s,he) 8( 3s3p, Ne) 8( 3s3p, Ar) 8( 4s3d 4 p, Kr) 8( 5s4d5 p,xe) 3( 6s4 f5d6 p,rn) ( 7s6d5 f,...incomplete),

43 deosebindu-se astfel de clasificarea ideală. Tabelul periodic complet preentat mai jos (Tabelul FG ), în care perioadele sunt indicate pe oriontală, pune în evidenţă şi eistenţa a opt grupe de elemente cu proprietăţi chimice similare (pe verticală), cum ar fi gaele inerte, metalele alcaline, elementele alcalino-pământoase, halogenii etc., dar şi a unor subgrupe mai mici (Cu - Ag - Au sau Zn - Cd - Hg), corelate prin diferite proprietăţi cum ar fi valenţa, cu grupele principale (în tabel se indică prin săgeţi punctate). Modul de completare a subnivelelor electronice conform clasificării de mai sus, se datoreaă particularităţilor stărilor d şi f în raport cu stările s şi p, reultate din analia curbelor energiei potenţiale a electronilor în atomii grei. În cadrul diferitelor perioade pot fi evidenţiate grupe de elemente principale (care au straturile d şi f complete) şi grupe intermediare, în cadrul cărora are loc completarea acestor straturi (d şi f) interioare. Configuraţia electronică a elementelor grupelor principale este evidenţiată în tabelul FG , care poate fi analiat în corelaţie cu tabelul FG în ultima coloană a tabelului sunt indicate straturile atomice complete. Dacă în cadrul grupelor principale, completarea straturilor electronice se face regulat (întâi stările s, apoi cele p,...) în caul grupelor intermediare, această completare se face mai puţin regulat, apărând competiţia între diferite stări. O primă abatere de la completarea normală a straturilor electronice o preintă potasiul, care din punct de vedere chimic trebuie să aibă un electron de valenţă 4s deşi numărul său de ordine corespunde unui electron 3d. Întrucât starea 3d corespunde unei energii mai ridicate decât aceea a stării 4s electronul său suplimentar în raport cu argonul va ocupa starea 4s. Grupele intermediare ale tabelului periodic sunt următoarele: grupa fierului ( Sc 8 Ni ; se completeaă stratul 3d); grupa paladiului ( 39 Y 46 Pd ; se completeaă stratul 4d); grupa platinei [ 57 La (fără elementele pământuri rare 58 70), plus 7 Lu 78 Pt ; se completeaă stratul 5d] ; pământurile rare ( 58 Ca 70 Yb ; se completeaă stratul 4f); actinidele ( 89 Ac ; se completeaă stratul 5f). 97

44 Tabelul FG Tabelul periodic al elementelor 98

45 99

46 Tabelul FG Configuraţia electronică a elementelor grupelor principale n Stări electronice Starea normală a atomului s s s p s p s p 3 s p 4 s p 5 s p 6 electronice Straturi complete 3 Li Na 9 K 9 Cu 37 Rb 47 Ag 55 Cs 79 Au 87 Fr 4 Be Mg 0 Ca 30 Zn 38 Sr 48 Cd 56 Ba 80 Hg 88 Ra 5 B 3 Al 3 Ga 49 In 8 Te 6 C 4 Si 3 Ge 50 Sn 8 Pb 7 N 5 P 33 As 5 Sb 83 Bi 8 O 6 S 34 Se 5 Te 84 Po 9 F 7 Cl 35 Br 53 I 85 At 0 Ne 8 Ar 36 Kr 54 Xe 86 Rn S / S 0 P 3 / P 4 0 S 3 3/ P P 3/ S 0 s s s p 6 s s p 6 3s 3p 6 - " - " - 3d 0 - " - " - 3d 0 4s 4p 6 - " - " - 4d 0 - " - " - 4d 0 5s 5p 6 - " - " - 4 f 4 5d 0 - " - " - 6s 6p 6 Particularităţile completării straturilor d şi f ale grupelor intermediare au implicaţii asupra proprietăţilor chimice ale elementelor, care depind în principal de electronii eteriori ai atomului. De eemplu, pământurile rare par că ocupă acelaşi loc în tabelul periodic, electronii 4f caracteristici neintervenind în determinarea proprietăţilor chimice. Spectrele optice ale celor mai multe elemente chimice se obţin ca urmare a ecitării electronilor din straturile eterioare pe nivele energetice mai înalte. Ecitarea electronilor de pe orbitele interioare se face cu energii ridicate, conducând la obţinerea spectrelor de rae X. FG Atomii metalelor alcaline Metalele alcaline Li, Na, K, Rb, Cs, aparţin primei grupe a tabelului periodic al elementelor, astfel că au configuraţia stabilă a gaelor inerte (învelişuri complete) la care se adaugă un singur electron (ns) de valenţă sau optic, încât starea fundamentală a acestora este S/. După cum s-a arătat în paragraful anterior, în caul alcalinelor apar următoarele inversări în completarea normală a învelişurilor electronice: la K (4s înaintea lui 3d), la Rb (5s înaintea lui 4d), la Cs (6s înaintea lui 4f şi 5d). Mişcarea electronului optic se face în câmpul efectiv cu simetria sferică, dar necoulombian al restului atomic, alcătuit din cei ( Z ) electroni din structura stabilă a unui ga inert şi nucleul cu sarcina + Ze. Cei ( Z ) electroni interiori eercită asupra electronului optic un efect de ecranare imperfectă, care face ca atomii metalelor alcaline să 00

47 difere de atomii hidrogenoii. Într-adevăr energiile de ioniare ale atomilor metalelor alcaline eperimentale, sunt mult mai mari decât cele calculate după modelul atomilor hidrogenoii (5,39 ev în loc de 3,39 ev la Li, 4,38 ev în loc de 0,85 ev la K, etc), ceea ce arată că electronul optic "străpunge" ecranul păturilor complete, situându-se o parte din timp în apropierea nucleului. Energia de legătură mai mare decât cea corespunătoare unei ecranări perfecte are o influenţă puternică asupra poiţiei nivelelor energetice în comparaţie cu cele ale hidrogenului. în plus, degenerescenţa nivelelor caracteristică câmpului coulombian este ridicată datorită câmpului creat de sistemul comple de sarcini în care se mişcă electronul optic, astfel că structura termenilor spectrali va fi mai complicată decât în caul hidrogenului, deşi schema generală de studiu se păstreaă. Ca urmare se considera că epresia energiei nivelelor energetice ale hidrogenului îşi păstreaă valabilitatea şi în caul metalelor alcaline, dacă se introduce o corecţie pentru efectul de ecranare, sub forma constantei de ecranare σ, astfel că Z Z* = Z σ sau echivalent, prin intermediul defectului cuantic Δ, astfel că n n* = n Δ. Corecţiile σ sau Δ, se pot determina eperimental sau se obţin teoretic din reolvarea ecuaţiei lui Schrödinger, admiţând pentru potenţialul restului atomic, în prima aproimaţie, o epresie de forma: U () r e e = c, (FG.07.6.) r r termenul al doilea repreentând o corecţie de dipol ( c are dimensiunea de lungime). Ca urmare, ecuaţia funcţiei de undă radiale ( l ) d R dr m e e h l E + + c R = 0, (FG.07.6.) dr r dr h r r m r diferă de ecuaţia studiata in caul atomului de hidragen, prin termenul suplimentar de dipol Cu notaţia e. c r astfel că l' = l l me + ), (FG ) h ( l + ) c = l' ( l' h me c l +, (FG ) se poate defini numărul cuantic principal efectiv, n* prin epresia: n* = n + l' + = n Δ (FG ) unde: Δ = c h me l + (FG ) se numeşte defect cuantic fiind o mărime poitivă. 0

48 Ca urmare valorile proprii ale energiei sunt date de relaţia: En*, l 4 m0zef e = h Δ ( n ), (FG ) având asociaţi termenii spectrali: En*, l Tn*, l = (FG ) h (pentru atomii neutri ai metalelor alcaline Z ef = ). Datorită dependenţei lui Δ de l, degenerescenţa după l a stărilor proprii este ridicată. Pentru stările fundamentale ale alcalinelor, valorile eperimentale ale defectului cuantic sunt preentate mai jos: Li Δ = 0,4, Na ( Δ =, 37), K ( =, 3), Rb = 3, Δ = 4,3, fiind maime pentru aceste stări. ( ) Δ ( Δ ), Cs ( ) Formula (FG ) poate fi aplicata şi ionilor cu un singur electron, de valenţă, de eemplu Mg + ( Z ef = ), Al ( ) ++ Z ef = 3 etc. b) Serii spectrale. Structura de multiplet Studiile spectroscopice au stabilit eistenţa a patru serii spectrale ale metalelor alcaline, denumite astfel: seria principală, seria fină sau a doua serie secundară, seria difuă sau prima serie secundară şi seria fundamentală sau seria Bergmann. Notând cu S, P, D, F termenii spectrali corespunători diferitelor valori ale numărului cuantic orbital l, respectiv l = 0,,... n, şi ţinând seama de regula de selecţie Δl = ±, reultă că nu se pot combina între ei decât termenii S cu termenii P, termenii P cu termenii S sau D etc. Prin urmare, conform regulii de selecţie enunţate, seria principală are formula simbolică S mp pentru litiu, 3S mp pentru sodiu, 4 S mp pentru potasiu, 5 S mp pentru rubidiu etc., deci se obţine prin traniţii de pe nivelele P pe nivelul S cel mai de jos al elementului. Seria fină - se obţine prin traniţii pe nivelele S pe nivelele P cel mai de jos al elementului astfel că are formula simbolică P ms pentru litiu, 3 P ms pentru sodiu etc. Seria difuă - se obţine prin traniţii de pe nivelele D tot pe nivelul P cel de jos al elementului. Formula seriei difue pentru litiu va fi P md, iar pentru sodiu 3 P md. Seria fundamentală - apare prin traniţii de pe nivelele F pe nivelul D cel de jos al elementului studiat. Prin urmare, pentru litiu şi pentru sodiu, formulele simbolice ale seriei fundamentale vor fi 3 D mf respectiv 4 D mf. În figura FG se preintă schematic diagrama nivelelor de energie pentru atomul de sodiu, punându-se în evidenţă principalele linii ale seriilor spectrale caracteristice. 0

49 Fig. FG S-a constatat că interdicţiile cerute de regulile de selecţie nu sunt absolute, însă probabilităţile de producere a unor astfel de traniţii sunt foarte scăute (de eemplu, linia λ = 39,56 nm a Li apare în traniţia interisă s 3d ). Cercetarea spectrelor metalelor alcaline cu aparate având putere de reoluţie ridicată a evidenţiat structura de multiplet a liniilor spectrale, ca urmare a efectelor relativiste studiate în paragraful FG Formula (FG ) poate fi generaliată în caul metalelor alcaline prin considerarea numărului cuantic efectiv n * în locul lui n sau a sarcinii Z* = Z σ, σ fiind constanta de ecranare. Ca urmare a faptului că pentru j sunt posibile două valori distincte metalelor alcaline au o structură de dublet ca şi în caul hidrogenului. j = l ± reultă că liniile Astfel, dacă termenii S nu se despică, având o singură componentă S /, termenii P au componentele P / şi P 3 /, fiind valabilă regula de selecţie Δ J = 0, ±, (Fig. FG.07.6.). Fig. FG De eemplu, în spectrul sodiului, prima linie din serie principală (linie numită D) este compusă din două linii apropiate, D, (589,6 nm) şi D, (589,0 nm), D fiind de două ori mai intensă decât D. Măsurările dau pentru ecartul dintre componentele de dublet ale primei linii din seria principală valorile: 0,05 nm pentru Li (670,8 nm), 0,6 nm pentru Na (589,6 589,0) nm, 3,4 nm pentru K (769,9 766,5) nm, 4,8 nm pentru Rb (794,8 780,0) nm şi 44, nm pentru Cs (894,3 85,) nm. stările Componentele dubleţilor seriei fine sunt echidistante pentru toate liniile, ca urmare a traniţiilor din S în stările aceluiaşi dublet P. 03

50 Capitolul FG.08. Informatica cuantică Cuvinte-cheie: informaţie cuantică, unitatea cuantica de informaţie, qubitul, entanglementul cuantic, paradoul EPR, teleportarea informaţiei cuantice, perechea EPR, proces de teleportare, Qubit sursă, Qubit auiliar, Qubit tinta, stări Bell, eperiment de teleportare, transmisia cuantică a informaţiei, distribuţia cuantică a cheilor, calculator cuantic. FG.08.. Informatia cuantică Se ştie că informaţia cuantică este înmagainată în stările cuantice ale sistemelor fiice, fiind astfel radical diferită de informaţia clasică. Deşi este încorporată tot în stările unor sisteme fiice, stările sistemelor clasice sunt diferite de cele ale sistemelor cuantice fiind complet determinate variabilele dinamice care descriu aceste stări, nefiind supuse relaţiilor de incertitudine ale lui Heisenberg. Stările sistemelor cuantice sunt descrise de funcţii de undă a căror semnificaţie, corelată cu procesul de evoluţie şi măsură este evidenţiată de principiile fiicii cuantice. FG.08.. Unitatea de informatie cuantica. Qubitul a. Concept Un bit cuantic sau un qubit este o unitate cuantică de informaţie şi repreintă cantitatea de informaţie care poate fi înmagainata în starea celui mai simplu sistem cuantic, de eemplu, starea de polariare a unui foton. Termenul a fost introdus de către Shumacher în 995. Qubitul este analogul cuantic al bitului clasic. Qubitul se defineşte pentru un sistem cuantic cu două nivele şi este descris printr-un vector de stare care aparţine spaţiului vectorial bidimensional al numerelor complee. Spre deosebire de bit care trebuie sa fie 0 sau, Qubitul poate fi 0,, sau superpoitia cuantică acestora.stările de Qubit trebuie măsurate în raport cu stările baei, notate cu 0 şi. O stare pură de Qubit este o superpoiţie liniară a acestor două stări: ψ >= α 0 + β, (FG.08..) unde amplitudinile de probabilitate α şi β sunt în general numere complee şi α + β =. Spaţiul stărilor pentru un singur Qubit este repreentat geometric prin sfera Bloch. O pereche de Qubiţi poate fi în oricare superpoiţie cuantică de patru stări iar trei Qubiţi în orice superpoiţie de opt stări. Generaliând, cu n Qubiţi un calculator cuantic poate fi într-o superpoiţie arbitrară de până la n stări diferite simultan, în comparaţie cu un calculator clasic care poate fi numai în una dintre aceste n stări, la un anumit moment de timp. b. Implementări fiice posibile ale Qubiţilor şi o alegere convenţională a baelor Cateva implementări fiice posibile ale Qubiţilor şi o alegere convenţionala a baelor sunt preentate in tabelul FG Tabelul FG.08..

51 Suportul fiic Numele Suportul informaţiei Starea 0 Starea Foton unic (stări Fock) Stare coerentă a luminii Codarea polariării Lumină comprimată Polariarea luminii Oriontală Verticală Cuadratură Stare de amplitudine comprimată Stare de faă comprimată Electroni Spin electronic Spin în sus în jos Nucleu Spinul nuclear adresat prin RMN c. Formalismul matematic spin Qubit. Spin în sus în jos Se utilieaă formalismul cuantic al spinului. Se ştie că spinul este un grad de libertate al electronului asociat cu un spaţiu Hilbert bidimensional H, fiecărei stări cuantice corespunându-i un vector al acestui spaţiu.operatorii de spin, corespunători direcţiilor, y,, se noteaă cu S, S y şi S, fiind repreentaţi cu ajutorul matricelor lui Pauli: (FG.08..) unde este constanta lui Planck redusă. Stările proprii ale lui S sunt repreentate astfel: (FG.08..3) Cu ajutorul Qubiţilor acestea se scriu sub forma : (FG.08..4) Analog, stările proprii ale lui S sunt: sau cu Qubiţi:, (FG.08..5) (FG.08..6) Spaţiul Hilbert al unei perechi de electroni este desemnat prin, adică prin produsul tensorial al spatiilor Hilbert pentru cei doi electroni. Starea de spin de singlet se scrie sub forma: sau cu Qubiţi: (FG.08..7) sau echivalent: (FG.08..8) deoarece: 05 (FG.08..9)

52 (FG.08..0) Din principiile procesului cuantic de măsură se ştie că atunci când este măsurat S, starea sistemului ψ trece într-o stare proprie a lui S. De eemplu, dacă se obţine +, sistemul trece în proiecţia ortogonală a lui φ pe spaţiul stărilor sub forma: Cu Qubiţi se scrie: Pentru starea de spin de singlet se obţine: Cu Qubiţi devine: Similar, dacă prin măsurătoare se obţine : (FG.08..) (FG.08..) (FG.08..3) (FG.08..4) (FG.08..5) sau, cu Qubiţi, (FG.08..6) care înseamnă că noua stare este: (FG.08..7) sau, (FG.08..8) adică: (FG.08..9) sau. (FG.08..0) FG Entanglementul cuantic Spre deosebire de biţii clasici, Qubiţii pot avea proprietatea de entanglement. Entanglementul cuantic este o proprietate nelocală care eprimă o corelaţie între două sau mai multe sisteme cuantice, mai puternică decât aceea posibilă în caul sistemelor clasice. Fiind asociat cu corelaţii neclasice între sisteme cuantice separate, entanglementul este o resursă fiică care poate fi măsurată sau transferată. Două sisteme cuantice aflate în starea de entanglement pot fi utiliate ca un canal cuantic de transmis informaţia, cu aplicaţii în comunicaţii şi calculatoare. 06

53 a. Originea entanglementului. Paradoul Einstein-Podolski-Rossen (EPR) A. Lucrarea originală care sta la originea entanglementului: Einstein, B. Podolsky, N. Rosen: "Can quantum-mechanical description of physical reality be considered complete?" Physical Review 4, 777 (5 May 935)./ B. Interpretări Paradoul EPR se refera la un fenomen preis de mecanica cuantică cunoscut sub numele de entanglement cuantic, pentru a arata că măsurătorile efectuate asupra parţilor separate ale unui sistem cuantic se pot influenţa reciproc în mod instantaneu. Paradoul EPR este denumit astfel după numele autorilor articolului de mai sus. Este considerat parado în sensul următor: dacă vom considera că mecanica cuantica are caracter local şi complet, atunci se ajunge la o contradicţie. Cum mecanica cuantică este autoconsistentă şi nu contraice teoria relativităţii, trebuie să admitem că paradoul EPR ilustreaă numai faptul ca mecanica cuantică violeaă intuiţia noastră clasică, care nu corespunde realităţii fiice. Cei mai mulţi fiicieni consideră astăi că principiul localităţii nu este aplicabil. În anii 935 şi 936, Schrödinger a analiat într-un articol în două părţi, publicat în the Proceedings of the Cambridge Philosofhical Society, paradoul EPR. Schrödinger a inventat termenul entanglement pentru a descrie aceasta corelaţie aparent stranie dintre două sisteme cuantice, care constituie astfel o pereche EPR. Acest efect cunoscut acum ca nelocalitate, a mai fost denumit colocvial: stranietate cuantică, acţiune la distanţă fantomatica sau stafie cuantică. C. Eperimentul EPR O pereche electron-poitron este emisă, de eemplu, prin deintegrarea pionului, particulele se îndepărteaă şi apoi sunt efectuate măsurători asupra spinului acestora. Indiferent de aa după care este măsurat spinul acestora, se obţin valori opuse ale spinului. Aceste reultate sunt posibile numai dacă particulele sunt corelate într-un mod oarecare numit entanglement. Deşi, în particular, ne-am referit la spin, eistă mai multe categorii de observabile ale mecanicii cuantice care se pot găsi în stare de entanglement. Articolul original EPR se referea la observabila impuls însă eperimentele au arătat ca polariarea fotonului este o alegere mai potrivită pentru că polariarea fotonilor poate fi mai uşor preparată şi măsurată. X A Z A Sursă X B 45 φ Z B Alice Bob Fig. FG Eperimentul EPR cu o pereche electron-poitron. O sursă centrală trimite particule cu spinul opus către doi observatori, Alice şi Bob care pot efectua măsurători de spin ( Fig. FG.08.3.) Să ne imaginăm că Bob doreşte să măsoare spinul poitronului după aa. Întrucât el nu a perturbat anterior starea poitronului se ştie că va obţine cu o probabilitate de 50% valoarea + şi cu o probabilitate de 50% valoarea. 07

54 Pe de altă parte, dacă Alice a făcut anterior o măsurătoare asupra spinului electronului după aa, poitronul lui Bob ştie acest lucru şi capătă, pentru spinul după aa, valoarea opusă (+ sau ) astfel încât spinul său în direcţia este nedeterminabil, spinii după cele două ae fiind două observabile incompatibile, situaţie paradoală. D. Starea de singlet, eemplu de entanglement Să presupunem că sursa care emite perechea electron-poitron poate fi controlată astfel încât această pereche să fie în stare de singlet, adică o superpoiţie de două stări pe care le specificăm cu I şi II. În starea I electronul are spinul orientat în directia + (sau ) iar poitronul în starea (sau +). În starea II orientările spinilor sunt inverse. Prin urmare este imposibil să asociem oricare particulă în starea de singlet cu o stare de spin definit. În astfel de situaţii se spune că particulele sunt corelate maimal, adică în stare de entanglement. b. Starile Bell (964) Orice stare -Qubit se poate eprima utiliând patru stări ortogonale corelate maimal, numite stări Bell, care alcătuiesc o baă numită baa stărilor Bell corelate (Bell entangled states). Stările acestei bae sunt următoarele: ψ± >= φ± > = ( 0> ± 0> (FG.08.3.) ( 00> ± >. (FG.08.3.) Se observă că, o stare din cele patru stări Bell ortogonale se codeaă, folosindu-se doi biţi, un sistem de doi Qubiţi scriind, de eemplu, bitul corespunător particulei la stânga, iar pe cel al particulei la dreapta. (Pentru stări necorelate, o baă asemănătoare este: 00>, 0>, 0>, >). Prin aplicarea unor transformări unitare baa corelată Bell se poate roti astfel încât să se obţină baa pentru stări necorelate de mai sus în raport cu care Qubiţii şi se pot măsura separat. Investigaţiile lui Bell au confirmat totodată ca entanglementul poate persista la mare distanţă, proprietate esenţială pentru teleportare. Din anul 980, oamenii de ştiinţă au început să privească corelaţiile nelocale ale stărilor cuantice de entanglement ca un nou tip de resursă neclasică, care poate fi utiliată, în loc de a încerca în continuare să nege obiectivitatea acestor corelaţii. 08

55 FG Teleportarea informaţiei cuantice. Modelare fiică a. Schema generală a teleportării (Fig. FG.08.4.). TELEPORTAREA CUANTICĂ Prepararea stării Etapa Etapa Generarea entanglementului A B C Măsurătoare în baa Bell A B Etapa 3 C A B C Transformare unitară Etapa 4 A B C Etapa 5 Stare teleportată A B C Fig. FG Schema generală a teleportării. Etapa : O pereche de particule B şi C sunt create în stare de entanglement. Etapa : Se prepară particula A în starea care trebuie teleportată. Etapa 3: Se efectueaă măsurători în baa Bell asupra particulelor A şi B. Etapa 4: Reultatul măsurătorii este comunicat lui C asupra căruia se fac transformări unitare. Etapa 5: Starea particulei C este acum starea în care a fost preparată particula A pentru teleportare. b. Primul articol despre teleportarea cuantică: Publicat în: Phys. Rev. Lett. A 70, , March, 993 Teleporting an Unknown Quantum State via Dual Classical and Einstein_Podolsky_Rosen Channels Autori: Charle H. Bennett, Gilles Brassard, Claude Crepeau, Richard Josa, Asher Peres, and William K. Wootters Instituţii implicate: IBM Research Division, Watson Research Center, Yorktown Heights, NY,USA Departement IRO, Universite de Montreal, Quebec, Canada Laboratoire d Informatique de l École Normale Superieure, Paris, CEDEX, France Department of Physics, Technion Israel Institute of Technology, Haifa, Israel Department of Physics, Williams College, Williamstown, USA c. Concept şi descriere 09

56 Teleportarea informatiei cuantice, adica teleportarea unei stări cuantice înseamnă transferul complet al informaţiei de la o particulă la alta, independent de realiarea fiică a fiecărui Qubit pe care dorim să-l transmitem, repreentând cea mai spectaculoasă formă de transmisie a informaţiei din natură. Procesul de teleportare depinde crucial de doi factori: entanglementul şi analia stărilor Bell. Entanglementul este o noţiune a fiicii cuantice care descrie stările inseparabile ale unor sisteme separate. Analia stărilor Bell se referă la abilitatea de a analia starea a două particule într-o baă de stări corelate maimal (Bell entangled states). Teleportarea unei stări de la Qubitul sursă la Qubitul ţintă necesită trei Qubiţi: Qubitul sursă şi un Qubit auiliar în punctul de emisie şi Qubitul ţintă în punctul de recepţie (la distanţă) care este preparat în stare de entanglement cu Qubitul auiliar de la emisie. Măsurarea împreună a celor doi Qubiţi de la emisie (sursă şi auiliar) proiecteaă cei doi Qubiţi pe o baă de patru stări corelate maimal (Bell state measurement) cu egală probabilitate. Simultan, proprietăţile nelocale ale fiicii cuantice determina proiecţia Qubitului ţintă pe una din patru stări corelate fiecare cu starea originală a Qubitul sursă, chiar dacă asupra Qubitul ţintă nu s-a făcut nicio măsurătoare. Dacă reultatul măsurării de la emisie este transmis la recepţie pe un canal clasic, printr-o operaţie simplă corespunătoare acestui reultat, efectuată asupra Qbitului ţintă se reconstituie starea originală care a fost teleportată. Întrucât pentru a reconstitui starea la recepţie este necesară transmisia clasică a reultatului măsurătorii de la emisie reultă ca teleportarea nu se face mai repede decât cu vitea luminii. Întrucât prin măsurătoarea stărilor Bell, starea particulei sursă este distrusă, se constată că prin teleportare nu se realieaă şi clonarea stării (teorema no-cloning). FG Modelarea matematica a procesului de teleportare cuantică Să presupunem că Qbitul C pe care Alice doreşte să-l teleportee lui Bob are forma: ψ α 0 + β. (FG.08.5.) Schema cuantică de teleportare impune ca Alice şi Bob să-şi distribuie în prealabil o stare de entanglement maim, adică o pereche de stări corelate EPR, de eemplu, una dintre cele patru stări Bell scrise sub forma: φ + ( 0 A 0 B + A B ) (FG.08.5.) - φ ( 0 A 0 B - A B ) (FG ) ψ + ( 0 A B + A 0 B ) (FG ) - ψ ( 0 A B - A 0 B ). (FG ) Alice a luat particula A din perechea de particule (A, B) aflată în una din stările de entanglement preentate mai sus, de eemplu, starea φ + iar lui Bob, aflat la distanţă i-a revenit particula B. Ca urmare, 0

57 Alice are două particule: particula C a cărei stare cuantică doreşte să o teleportee şi particula A a stării de entanglement considerate, iar Bob o singură particula B. Starea sistemului total constituit din cele trei particule A, B şi C, adică particula EPR şi particula necunoscută este descrisă de epresia: ψ ψ + ( α 0 + β ) ( ). (FG ) În continuare, Alice efectueaă o măsurătoare parţială, în baa Bell, asupra celor doi Qubiţi aflaţi în posesia sa. Pentru a evidenţia reultatul acestei măsurători scriem cei doi Qubiţi în baa Bell utiliând următoarele identităţi: 0 0 ( + - φ + φ ) ; 0 ( ψ + + ψ - ) (FG ) 0 ( + ψ ψ - ) ; ( φ + φ - ). (FG ) Se observă că starea celor trei particule descrisă de epresia (FG ) se poate scrie ca o superpoiţie a următorilor patru termeni: Alice. ( φ + ( α 0 + β ) + φ - ( α 0 - β ) + + ψ + ( β 0 + α ) + ψ - (-β 0 + α ) (FG ) Prin urmare, nu am făcut altceva decât să schimbăm baa pentru partea sistemului care se află la Teleportarea începe propriu-is în momentul în care Alice măsoară Qubiţi săi în baa Bell. Reultatul acestei măsurători locale va fi o stare (în care va trece sistemul tri-particulă) dintre următoarele patru stări, care au aceeaşi probabilitate: φ + ( α 0 +β ) (FG ) - φ ( α 0 -β ) (FG.08.5.) + ψ (β 0 + α ) (FG.08.5.) - ψ (-β 0 + α (FG ) Se observă că particulele care se afla la Alice trec într-o stare de entanglement, care este una din cele patru stări Bell, iar entanglementul care eista iniţial între particulele A şi B este distrus. Particula lui Bob trece în una dintre cele patru superpoiţii de stări de mai sus a căror formă seamănă cu starea care trebuie teleportată. Măsurătoarea în baa Bell presupune aplicarea unor porţi CNOT şi Hadamard urmate de porţi de măsură, astfel încât stările ortogonale din starea Bell devin: ψ + 0 (FG ) - ψ (FG ) φ + 00 (FG ) - φ 0. (FG )

58 Prin urmare, prin măsurătoarea în baa Bell, cei doi Qubiţi ai emiţătorului sunt cu probabilităţi egale în una din stările posibile: (FG ) Cunoscând cei doi biţi care caracterieaă starea obţinută, Alice transmite acest reultat lui Bob pe un canal clasic. Prin aplicarea unei transformări unitare asupra Qubitului propriu, care se realieaă de către Bob prin trimiterea Qubitului B printr-o poartă unitară se obţine starea teleportată: α 0 + β. - Dacă mesajul pe canalul clasic indică starea φ +, starea particulei B este identică cu starea teleportată, iar transformarea unitară este dată de operatorul identitate, adică Qubitul lui Bob este în starea dorită, deci acesta nu are nimic de făcut. - Dacă mesajul pe canalul clasic indică starea φ -, Bob supune Qubitul propriu transformării unitare date de matricea lui Pauli σ 3: 0 σ3 =, astfel încât: 0 - Dacă mesajul pe canalul clasic indică starea ψ + date de matricea lui Pauli σ : 0 α α = 0 β β. (FG ), Bob supune Qubitul său transformării unitare σ = 0 0, astfel încât: 0 β α = 0 α β. (FG ) - În sfârşit, dacă mesajul pe canalul clasic indică starea ψ _, Bob supune Qubitul său transformării unitare date de matricea lui Pauli σ : 0 σ = σ 3 σ = 0 astfel încât: Prin urmare, teleportarea a fost realiată complet. 0 β α = 0 α β. (FG.08.5.) FG Eperimente de teleportare a. Primele trei eperimente de teleportare cuantică sunt descrise în lucrările: [] D. Bouwmeester et al., Nature (London) 390, 575 (997). [] D. Boschi et al., Phys. Rev. Lett. 80, (998). [3] A. Furusawa et al., Science 8, 706 (998) b. Eperiment cuantic de teleportare cu măsurarea stărilor Bell prin interacţiuni neliniare Sursa: VOLUME 86, NUMBER 7, PHYSICAL REVIEW LETTERS, FEBRUARY 00. Quantum Teleportation of a Polariation State with a Complete Bell State Measurement Yoon-Ho Kim, Sergei P. Kulik, and Yanhua Shih Department of Physics, University of Maryland, Baltimore County, Baltimore, Maryland 50

59 Transformare unitară Sursa EPR tip I tip II Canal clasic Starea de intrare Fig. FG Măsurare în baa Bell Principii Un eperiment de teleportare trebuie să îndeplinească următoarele condiţii: - starea cuantică de intrare să fie arbitrară; - să se obţină la ieşire o stare cuantică identică cu starea de intrare; - măsurătoarea în starea Bell (BSM) trebuie să poată distinge stările setului ortogonal complet de stări Bell, pentru ca starea de intrare să poată fi teleportată cu certitudine; - pentru orice stare cuantică de intrare teleportarea trebuie să fie deterministă şi nu statistică. În eperimentul care se preintă în continuare, măsurătoarea BSM este baată pe interacţiuni neliniare care sunt procese fiice necesare şi netriviale pentru corelarea stării de intrare cu perechea EPR. I. Starea de intrare Este descrisă prin funcţia de undă ψ : ψ α 0 + β, (FG ) care are o polariare arbitrară, unde 0 şi repreintă două polariări ortogonale liniare ale baei H (oriontal) şi V (vertical). În eperiment, starea de polariare a funcţiei de undă ψ este aceea a fotonilor unui impuls laser de 00 fs, având lungimea de undă centrală λ = 800 nm. Impulsul laser provine de la un laser cu Ti:safir, cu rata de repetiţie a impulsurilor de 8 MH. Nu se utilieaă Qubitul asociat unui singur foton ca stare de intrare deoarece ar dura prea mult procesul de teleportare. Numai unul din cei 0 0 fotoni ai impulsului laser are şansa să participe în procesul SFG (sum frequency generation sau "upconversion") cu fotonul de la intrare din perechea EPR (fotonul carei revine lui Alice) acesta fiind "single state photon". II. Prepararea perechii EPR Perechea EPR, distribuită între Alice şi Bob este preparată în stare de entanglement prin interacţiuni de tip SPDC (spontaneous parametric down conversion) sub forma: 3

60 ψ 3 ( ) (FG.08.6.) (Se poate utilia oricare dintre stările Bell). Conform figurii Fig. FG.08.6., cristalele pentru SPCD sunt de tip BBO ( β -BaB O 4 ), cu adaptare de faă coliniară nedegenerata, aele optice ale celor două cristale fiind orientate oriontal ( ) respectiv vertical (b ). Grosimea cristalelor este de 3,4 mm. Cristalele SPCD sunt pompate în mod egal cu impulsuri laser de 00 fs, polariate la 45 o, având λ = 400 nm, tot de la un laser Ti:safir şi cu aceeaşi frecvenţă de repetiţie de 8 MH. Perechea EPR sub forma,3> este generată fie în primul cristal BBO (starea V885> V730> 3, ψ adică starea 3 > fie în al doilea (starea /H885> H730> 3, adică starea >, cu aceeaşi probabilitate şi este formată din fotonii având lungimile de undă λ = 885 nm şi λ = 730 nm. Pentru a prepara o stare EPR (stare Bell), cele două amplitudini trebuie sa fie cuantic indiscernabile. Acest lucru este asigurat de un compensator C, care compenseaă întârierile dintre cele doua amplitudini 3 > şi > şi ajusteaă diferenţa de faă relativă dintre acestea. Cu ajutorul unui beam splitter dicroic, DBS, aşeat în montajul eperimental după cristalele SPCD, fotonii şi 3 sunt separaţi şi trimişi către Alice (fotonul având λ = 885 nm) şi Bob (fotonul avand λ = 730 nm). Pentru a cerceta starea EPR se foloseşte o oglinda FM (flipper mirror), pentru a transmite fotonul, de 885 nm, către un detector de fotoni D, pentru măsurarea corelaţiilor EPR, atât cele spaţio-temporale cât şi cele de polariare, pentru a fi siguri că eistă un grad ridicat de entanglement înainte de teleportare. După înlăturarea oglinii FM, fotonul este gata pentru BSM cu fotonul, care trebuie teleportat. III. Starea completă a sistemului de trei particule, inaintea măsurătorii în baa Bell Aceasta stare este descrisa de funcţia: ψ 3 α ( ) + β ( ) (FG ) Cele patru stări Bell care formeaă o baă ortonormată completă pentru particulele şi se repreintă astfel: φ ( ± ) ( 0 0 ± ), (FG ) ψ ( ± ) ( 0 ± 0 ). Funcţie de stările Bell, ecuaţia (FG ) se scrie astfel: ψ 3 ( (+) (-) φ ( α β 3 ) + φ ( α β 3 ) + (+) (-) ψ (- α 3 + β 0 3 ) + ψ (- α 3 - β 0 3 )). (FG ) IV. Măsurătoarea în baa Bell Conform ecuaţiei (FG ), Alice trebuie să fie capabilă să distingă între cele patru stări Bell printr-o măsurătoare în baa Bell, efectuată asupra particulelor şi şi să comunice reultatul lui Bob. Configuraţia eperimentală utiliată este aceea din figurile Fig. FG şi Fig. FG şi este baată pe interacţiuni neliniare şi anume generarea sumei de frecvenţe optice (SFG) sau upconversion. Este alcătuită 4

61 din patru cristale neliniare SFG două de tip I şi două de tip II ), doi proiectori (la 45 o ) G şi G, patru detectori de fotoni unici (D 4 I, D 4 II, D 4 III, D 4 IV ), două compensatoare şi alte componente optice. Lentilele L au rolul de a focalia fasciculele optice şi pe cristale, după ce oglinda dicroică M a reflectat fotonii de 800 nm şi i-a transmis pe cei de 885 nm. Fotonii de intrare şi (cu λ = 800 nm, respectiv 885 nm) pot interacţiona fie în cristalele SFG de tip-i, fie în cele de tip-ii, generând astfel fotonul 4, cu frecvenţa mai ridicată: λ = 40 nm. Măsurarea proiecţiilor fotonului 4 (după direcţiile de 45 o sau 35 o ), corespund celor patru stări Bell ale fotonilor şi, descrise de ecuaţiile (6.4). Eplicitarea procesului de măsură Fig. FG Cei doi fotoni, polariaţi V> incidenţi pe primul SFG de tip I sunt convertiţi într-un singur foton 4, polariat H 4 >. în mod analog, cei doi fotoni 0 0, polariaţi H> incidenţi pe al doilea SFG de tip I sunt convertiţi într-un singur foton 4, polariat V 4 >. Se observă că primul şi ultimul termen în ecuaţia (FG ) se pot grupa astfel: ψ 43 α V β H 4 3. (FG ) Fotonii SFG astfel obţinuţi sunt reflectaţi de beam-splitterul dicroic M către proiectorul (la 45 o ) G, care are ca porţi de ieşire detectorii de fotoni unici D I 4 şi D II 4, orientaţi respectiv la 45 şi la 35. Dacă notăm vectorii baei astfel obţinute prin 45 > respectiv 35 >, starea (FG ) se poate eprima astfel: ψ 43 = ( 45 >4 ( α 0 3 β 3 ) + 35 > 4 ( α β 3 )). (FG ) Reultă că dacă detectorul D 4 I este activ, starea fotonului 3 (al lui Bob) este 5

62 ψ 3 = α 0 3 β 3, (FG ) iar dacă detectorul D 4 II este activ, starea fotonului 3 (al lui Bob) este ψ 3 = α β 3, (FG ) ( corespunator starilor Bell, φ ± ) care descriu superpoiţia stărilor 0 0 şi. ( În mod asemănător, celelalte două stări Bell, ψ ± ) pot fi evidenţiate distinct cu ajutorul interacţiunilor SFG de tipul II, în care stările 0 şi 0 interacţioneaă generând fotonul 4, fie cu polariare oriontală, în primul SFG tip II, fie cu polariare verticală, în al doilea SFG tip II. Fotonii SFG astfel obţinuţi sunt dirijaţi către proiectorul (la 45 o ) G, care are ca porţi de ieşire detectorii de fotoni unici D 4 III şi D 4 IV, orientaţi respectiv la 45 şi 35. eprima astfel: Dacă din nou notăm vectorii baei astfel obţinute prin 45 > respectiv 35 >, starea ψ 43 se poate ψ 43 = ( 45 >4 ( α 3 + β 0 3 ) + 35 > 4 ( α 3 β 0 3 )) (FG ) Reultă că, dacă detectorul D 4 III este activ, starea fotonului 3 (al lui Bob) este ψ 3 = α 3 + β 0 3, (FG.08.6.) iar dacă detectorul D 4 IV este activ, starea fotonului 3 (al lui Bob) este ψ 3 = α 3 β 0 3, (FG.08.6.) ( corespunător stărilor Bell, ψ ± ), care descriu superpoiţia stărilor 0 > şi 0 >. Rolul compensatorilor C şi C 3 este de a corecta componentele oriontale şi verticale ale fotonului 4, având λ = 40 nm, pentru a le face cuantic indiscernabile. Interacţiunile SGH au intensitate maimă atunci când fotonii şi se suprapun perfect în interiorul cristalelor SFG. V. Finaliarea procesului de teleportare Pentru a obţine eact replica stării teleportate, după aflarea de la Alice pe canalul clasic care din cei patru detectori a fost activat, Bob efectueaă transformarea unitară corespunătoare FG Comunicaţii cuantice. Criptografia cuantică În domeniul comunicaţiilor, transmisia cuantică a informaţiei are aplicaţii în curs de implementare tehnologică. Cea mai avansată aplicaţie o repreintă distribuţia cuantică a cheilor (QKD- quantum key distribution). Cheile criptografice utiliate în preent nu sunt 00% sigure. Tehnologiile baate pe teleportare se aplică cu succes în criptologie deoarece în caul interceptării informaţiei de către un intrus mesajul este instantaneu distrus. Protocolul BB84 pentru QKD, inventat de către Bennet şi Brassard în 984, este baat pe transmisia Qubiţilor iolaţi (de eemplu, starea de polariare a fotonilor), dintr-o parte în alta, în timp ce protocolul lui Ekert, descoperit în 99 este baat pe faptul ca atât emiţătorul cât şi receptorul posedă câte un Qubit al unei stări de entanglement. Codarea superdensă este un alt eemplu de aplicaţie în comunicaţii a stărilor de entanglement. 6

63 Astfel de comunicaţii impenetrabile au mari implicaţii în sistemele de apărare naţionale şi internaţionale. Aşa cum afirmă Laflamme, cu criptarea cuantică, transmisia informaţiei devine 00% sigură. (Raymond Laflamme, a staff scientist at Los Alamos National Laboratory). Concluii. Prin teleportare nu se copiaă Qubiţii, în concordanţă cu teorema no cloning. Starea iniţială este distrusă.. Teleportarea nu implică transfer de substanţă sau energie. Particula sursă nu s-a deplasat fiic în poiţia particulei ţintă. Numai starea sa a fost transferată. stare. 3. Teleportarea stării se face fără ca particulele implicate la emisie şi recepţie să cunoască această 4. Teleportarea este în deplină concordanţă cu indiscernabilitatea particulelor cuantice. 5. Teleportarea nu se face cu viteă mai mare decât vitea luminii în vid. 6. Teleportarea asigură securiarea informaţiei teleportate. O interceptare a biţilor pe canalul clasic nu este suficientă pentru recuperarea stării teleportate. 7. O alternativă complet echivalentă la protocolul preentat pentru descrierea teleportării o repreintă utiliarea porţilor cuantice, care permit schimbarea baei de la forma standard în baa Bell. FG Informatica cuantica. Calculatorul cuantic Tot Laflamme afirmă că teleportarea repreintă un pas important în realiarea calculatoarelor cuantice, în urmatorii 0 de ani. Deja eistă un prototip de calculator cuantic la Los Alamos, care este capabil să transmită informaţie la 48 de kilometri. Realiarea pe scară largă a calculatoarelor cuantice va face posibilă reolvarea unor probleme mult mai rapid decât permit calculatoarele clasice. De eemplu, daca factoriarea unui număr cu 00 de cifre cu algoritmul Shor necesita acelaşi timp pentru ambele tipuri de calculatoare (circa o ora), factoriarea unui număr de 000 de cifre presupune o săptămână de lucru pentru un calculator cuantic (lege de tip putere) şi 0 ani pentru un calculator clasic (lege de tip eponenţial). Acest lucru nu este posibil fără utiliarea unor resurse ale mecanicii cuantice cum ar fi entanglementul. Aşa se eplică de ce numeroase agenţii guvernamentale şi militare alocă fonduri uriaşe pentru realiarea calculatoarelor cuantice în scopuri civile şi de apărare. FG Bibliografie specifica informaticii cuantice. Diverse [] A. Einstein, B. Podolsky, and N. Rosen: Can quantum-mechanical description of physical reality be considered complete? Physical review 47, 777 (935). [] Bell, J.S.: On the Einstein-Poldolsky-Rosen parado. Physics, pp (965) [3] C. H. Bennett, G. Brassard, C. Cre'peau, R. Josa, A. Peres, and W. K. Wootters: Phys. Rev. Lett. 70 (993) 895[APS]. [4] D. Bouwmeester, J. Pan, K. Mattle, M. Eibl, H. Weinfurter, and A. Zeilinger: Nature 390 (997) 575[CrossRef]; D. Boschi, S. Branca, F. De Martini, L. Hardy, and S. Popescu: Phys. Rev. Lett. 80 7

64 (998) [APS]; A. Furusawa, J. L. Sørensen, S. L. Braunstein, C. A. Fuchs, H. J. Kimble, and E. S. Polik: Science 8 (998) 706[Science]; I. Marcikic, H. de Riedmatten, W. Tittel, H. Zbinden, and N. Gisin: Nature 4 (003) 509[CrossRef]; M. Riebe, H. Häffner, C. F. Roos, W. Hänsel, J. Benhelm, G. P. T. Lancaster, T. W. Körber, C. Becher, F. Schmidt-Kaler, D. F. V. James, and R. Blatt: Nature 49 (004) 734[CrossRef]; M. D. Barrett, J. Chiaverini, T. Schaet, J. Britton, W. M. Itano, J. D. Jost, E. Knill, C. Langer, D. Leibfried, R. Oeri, and D. J. Wineland: Nature 49 (004) 737[CrossRef]; R. Ursin, T. Jennewein, M. Aspelmeyer, R. Kaltenbaek, M. Lindenthal, P. Walther, and A. Zeilinger: Nature 430 (004) 849[CrossRef]. [5] M.A. Nielsen, E. Knill, and R. Laflamme: Nature 396 (998) 5[CrossRef]. [6] S.L. Braunstein: Phys. Rev. A 53 (996) 900[APS]. [7] M.A. Nielsen and C. M. Caves: Phys. Rev. A 55 (997) 547[APS]. [8] M. Nakahara, Y. Kondo, K. Hata, and S. Tanimura: Phys. Rev. A 70 (004) 0539[APS]; M. Nakahara, J.J. Vartiainen, Y. Kondo, S. Tanimura, and K. Hata: Phys. Lett. A 350 (006) 7[CrossRef]. [9] Y. Kondo, M. Nakahara, S. Tanimura, S. Kitajima, C. Uchiyama, and F. Shibata: J. Phys. Soc. Jpn. 76 (007) 07400[IPAP]. [0] H. Barnum, M. A. Nielsen, and B. Schumacher: Phys. Rev. A 57 (998) 453[APS]. [] M.A. Nielsen and I.L. Chuang: Quantum Computation andquantuminformation (Cambridge University Press, 000) Sect. 8. [] G. Brassard, S.L. Braunstein, and R. Cleve: Physica D 0 (998) 43[CrossRef]. [3] R.B. Griffiths and C.-S. Niu: Phys. Rev. Lett. 76 (996) 38[APS]; Note that a control-u gate, if its control qubit is to be measured în the standard basis, leads the same final outcome regardless whether its control qubit is measured either before or after the gate is eecuted. [4] W.H. Zurek: Rev. Mod. Phys. 75 (003) 75[APS]. [5] R. Freeman: Spin Choreography (Oford University Press, Oford, U.K., 998). [6] L.M.K. Vandersypen and I. L. Chuang: Rev. Mod. Phys. 76 (004) 037[APS]. [7] Y. Kondo, M. Nakahara, and S. Tanimura: Quantum Computing: Are the DiVinceno Criteria Fulfilled în 004? (World Scientific, Singapore, 006) p. 7. [8] F. Bloch and A. Siegert: Phys. Rev. 57 (940) 5[APS]; N. F. Ramsey: Phys. Rev. 00 (955) 9[APS]. Prioritatea în domeniu. Phys. Rev. Lett. 80, - 5 (998) Eperimental Realiation of Teleporting an Unknown Pure Quantum State via Dual Classical and Einstein-Podolsky-Rosen Channels D. Boschi, S. Branca, F. De Martini, L. Hardy,, and S. Popescu 3,4 Dipartimento di Fisica, Istituto Naionale di Fisica Nucleare, Istituto Naionale di Fisica della Materia, Università La Sapiena, Roma 0085, Italy Clarendon Laboratory, University of Oford, Oford OX 3PU, United Kingdom 3 Isaac Newton Institute, University of Cambridge, Cambridge CB3 0EH, United Kingdom 4 BRIMS, Hewlett-Packard Laboratories, Bristol BS SQZ, United Kingdom 8

65 Received 8 July 997 We report on a quantum optical eperimental implementation of teleportation of unknown pure quantum states. This realies all of the nonlocal aspects of the original scheme proposed by Bennett et al. and is equivalent to it up to a local operation. We ehibit results for the teleportation of a linearly polaried state and of an elliptically polaried state. We show that the eperimental results cannot be eplained in terms of a classical channel alone. The Bell measurement in our eperiment can distinguish between all four Bell states simultaneously allowing, in the ideal case, a 00% success rate of teleportation.. Article Nature 390, ( December 997) doi: 0.038/37539; Received 6 October 997; Accepted 8 November 997 Eperimental quantum teleportation Dik Bouwmeester, Jian-Wei Pan, Klaus Mattle, Manfred Eibl, Harald Weinfurter & Anton Zeilinger Institut für Eperimentalphysik, Universität Innsbruck, Technikerstr. 5, A-600 Innsbruck, Austria: Dik.Bouwmeester@uibk.ac.at). Quantum teleportation the transmission and reconstruction over arbitrary distances of the state of a quantum system is demonstrated eperimentally. During teleportation, an initial photon which carries the polariation that is to be transferred and one of a pair of entangled photons are subjected to a measurement such that the second photon of the entangled pair acquires the polariation of the initial photon. This latter photon can be arbitrarily far away from the initial one. Quantum teleportation will be a critical ingredient for quantum computation networks. 3.Teleportation: Recent Eperiments 3.. In 998, physicists at the California Institute of Technology (Caltech), along with two European groups, turned the IBM ideas into reality by successfully teleporting a photon, a particle of energy that carries light. The Caltech group was able to read the atomic structure of a photon, send this information across 3.8 feet (about meter) of coaial cable and create a replica of the photon. As predicted, the original photon no longer eisted once the replica was made. 3.. In 00, researchers at the Australian National University successfully teleported a laser beam The most recent successful teleportation eperiment took place on October 4, 006 at the Niels Bohr Institute in Copenhagen, Denmark. Dr. Eugene Polik and his team teleported information stored in a laser beam into a cloud of atoms. According to Polik, "It is one step further because for the first time it involves teleportation between light and matter, two different objects. One is the carrier of information and the other one is the storage medium". The information was teleported about.6 feet (half a meter). Quantum teleportation holds promise for quantum computing. These eperiments are important in developing networks that can distribute quantum information. Professor Samuel Braunstein, of the University of Wales, Bangor, called such a network a "quantum Internet." This technology may be used one day to build a quantum computer that has data transmission rates many times faster than today's most powerful computers. In the past, teleportation has only been possible with particles of light Scientists have performed successful teleportation on atoms for the first time, the journal Nature reports. 9

66 The feat was achieved by two teams of researchers working independently on the problem in the US and Austria. The ability to transfer key properties of one particle to another without using any physical link has until now only been achieved with laser light. Eperts say being able to do the same with massive particles like atoms could lead to new superfast computers. This development is a long way from the transporters used by Jean-Luc Picard and Captain Kirk in the famous Star Trek TV series. We are able to teleport in a deliberate way - that is, at the push of a button Professor Rainer Blatt, University of Innsbruck When physicists talk about "teleportation", they are describing the transfer of "quantum states" between separate atoms. These would be such things as an atom's energy, motion, magnetic field and other physical properties. And in the computers of tomorrow, this information would form the qubits (the quantum form of the digital bits and 0) of data processing through the machines. Atomic dance What the teams at the University of Innsbruck and the US National Institute of Standards and Technology (Nist) did was teleport qubits from one atom to another with the help of a third auiliary atom. It relies on a strange behaviour that eists at the atomic scale known as "entanglement", whereby two particles can have related properties even when they are far apart. Einstein called it a "spooky action". The two groups used different techniques for achieving teleportation, but both followed the same basic protocol. First, a pair of highly entangled, charged atoms (or ions) is created: B and C. Net, the state to be teleported is created in a third ion, A. Then, one ion from the pair - let's say B - is entangled with A. The internal state of both these is then measured and the result sent to ion C. This transforms the quantum state of ion C into that created for A, destroying the original quantum state of A. The teleportation took place in milliseconds and at the push of a button, the first time such a deterministic mechanism has been developed for the process. 'Great potential' The landmark eperiments are being viewed as a major advance in the quest to achieve ultra-fast computers, inside which teleportation could provide a form of invisible "quantum wiring". These machines would be able to handle far bigger and more comple loads than today's supercomputers, and at many times their speed. "In a quantum computer it's straightforward enough to move quantum information around by simply moving the qubits, but you might want to do things very quickly, so you could use teleportation instead," said Nist's Dr David Wineland. Professor Rainer Blatt, of the University of Innsbruck, told BBC News Online: "This is a milestone. "We are able to teleport in a deliberate way - that is, at the push of a button. This has been done before, but not in such a way that you can keep the information there at the end." 0

67 Professor Blatt's team, an Austrian-US group, performed the teleportation on calcium ions. The Nist team in Boulder, Colorado, used ions of the element beryllium. Despite this and some differences in the eperimental methods used by the two groups, both teams reached similar values of fidelity - around Fidelity is a measure of how well the quantum state of the second ion after teleportation resembles the original quantum state. Commenting in an article published in Nature, physicists H Jeff Kimble and Steven Van Enk said: "These two eperiments represent a magnificent confluence of eperimental advances, ranging from precision spectroscopy and laser cooling. "The fact that such diverse procedures performed so superbly in two separate laboratories attests to the fleibility and great potential of ion trapping for processing quantum information." Pieter Kok * and Samuel L. Braunstein, SEECS, University of Wales, Bangor LL57 UT, United Kingdom Hewlett-Packard Labs, Mail Bo M48, Bristol BS34 8QZ, United Kingdom Received 3 March 999; published 7 March 000 We study the eperimental realiation of quantum teleportation as performed by Bouwmeester et al. [Nature (London) 390, 575 (997)] and the adjustments to it suggested by Braunstein and Kimble [Nature (London) 394, 84 (998)]. These suggestions include the employment of a detector cascade and a relative slow-down of one of the two down-converters. We show that coincidences between photon pairs from parametric down-conversion automatically probe the non-poissonian structure of these sources. Furthermore, we find that detector cascading is of limited use, and that modifying the relative strengths of the downconversion efficiencies will increase the time of the eperiment to the order of weeks. Our analysis therefore points to the benefits of single-photon detectors in non post selected-type eperiments, a technology currently requiring roughly 6 K operating conditions.

68 Capitolul FG.09. Aplicaţii de laborator şi simulare numerică. (ALBSN) (de cod FG.09) Cuvinte-cheie Simulari interactive,surse, Site-uri pe Internet, link-uri, Radiatia de corp negru, Efectul fotoelectric, Efectul Compton, Difuia Rutherford, Modelul atomic al lui Bohr, Eperimentul Davisson-Germer, Interferenta undelor cuantice, Efectul tunel, Stari legate, Structura de beni, Solutii numerice ale ecuatiei Schrodinger, Eperimentul Stern-Gerlach, Laserul, Spini in stare de entanglement, Operatii cuantice cu Qubiti, Beni energetice Surse: SITE uri pe INTERNET Trebuie observat ca, pe fiecare pagina, un fenomen este simulat in mai multe feluri, este descris in mai multe limbi (pentru cei care nu stiu englea) si simularea poate fi download-ata de student sau de instructor, asa incit sa poata fi preentata fara nevoia unei legaturi la Internet (offline) Eemple: Quantum Phenomena - PhET Simulations Alte site-uri: KCVS -Modern Physics FG Baele eperimentale ale mecanicii cuantice (de cod FG.09.0) FG Distributia spectrala a radiatiei de corp negru Light & Radiation - PhET Simulations Esantion (300K)

69 FG Efectul fotoelectric Photoelectric Effect - Light, Quantum Mechanics, Photons - PhET esantion FG Efectul Compton Compton Scattering n.html Physics Simulation Applet (Compton Scattering Effect - Self-running version) jhu/phys_sim/compton/compton.htm Physics Simulation Applet (Compton Scattering Effect - Interactive version) jhu/phys_sim/compton/compton.htm FG Difuia Rutherford Rutherford Scattering - Quantum Mechanics, Atomic Nuclei, Rutherford Scattering - PhET 3

70 esantion FG Modelul atomic al lui Bohr FG Eperimentul Davisson-Germer Davisson-Germer: Electron Diffraction - Electron Diffraction, Energy Levels, Atomic Structure - PhET esantion Capitolul FG Descrierea matematica a mecanicii cuantice (de cod FG.09.0) FG Fundamentele mecanicii cuantice (de cod FG.09.03) FG Interferenta undelor cuantice Quantum Wave Interference - Quantum Mechanics, Photons, Electrons - PhET 4

71 esantion FG Sisteme cuantice simple (de cod FG.09.04) FG Efectul tunel Quantum Tunneling and Wave Packets - Quantum Mechanics, Wave Function, Potential Energy - PhET esantion FG Stari legate Double Wells and Covalent Bonds - Quantum Mechanics, Energy Levels, Wave Function - PhET esantion FG Structura de beni Band Structure - Quantum Mechanics, Energy Levels, Probability Density - PhET esantion 5

Cristalul cu N atomi = un sistem de N oscilatori de amplitudini mici;

Cristalul cu N atomi = un sistem de N oscilatori de amplitudini mici; Curs 8 Caldura specifica a retelei Cristalul cu N atomi = un sistem de N oscilatori de amplitudini mici; pentru tratarea cuantica, se inlocuieste tratamentul clasic al oscilatorilor cuplati, cu cel cuantic

More information

Sisteme cu logica fuzzy

Sisteme cu logica fuzzy Sisteme cu logica fuzzy 1/15 Sisteme cu logica fuzzy Mamdani Fie un sistem cu logică fuzzy Mamdani două intrări x şi y ieşire z x y SLF Structura z 2/15 Sisteme cu logica fuzzy Mamdani Baza de reguli R

More information

O V E R V I E W. This study suggests grouping of numbers that do not divide the number

O V E R V I E W. This study suggests grouping of numbers that do not divide the number MSCN(2010) : 11A99 Author : Barar Stelian Liviu Adress : Israel e-mail : stelibarar@yahoo.com O V E R V I E W This study suggests grouping of numbers that do not divide the number 3 and/or 5 in eight collumns.

More information

Ecuatii si inecuatii de gradul al doilea si reductibile la gradul al doilea. Ecuatii de gradul al doilea

Ecuatii si inecuatii de gradul al doilea si reductibile la gradul al doilea. Ecuatii de gradul al doilea Ecuatii si inecuatii de gradul al doilea si reductibile la gradul al doilea Ecuatia de forma Ecuatii de gradul al doilea a + b + c = 0, (1) unde a, b, c R, a 0, - variabila, se numeste ecuatie de gradul

More information

Teorema Reziduurilor şi Bucuria Integralelor Reale Prezentare de Alexandru Negrescu

Teorema Reziduurilor şi Bucuria Integralelor Reale Prezentare de Alexandru Negrescu Teorema Reiduurilor şi Bucuria Integralelor Reale Preentare de Alexandru Negrescu Integrale cu funcţii raţionale ce depind de sint şi cost u notaţia e it, avem: cost sint i ( + ( dt d i, iar integrarea

More information

Soluţii juniori., unde 1, 2

Soluţii juniori., unde 1, 2 Soluţii juniori Problema 1 Se consideră suma S x1x x3x4... x015 x016 Este posibil să avem S 016? Răspuns: Da., unde 1,,..., 016 3, 3 Termenii sumei sunt de forma 3 3 1, x x x. 3 5 6 sau Cristian Lazăr

More information

1.3. OPERAŢII CU NUMERE NEZECIMALE

1.3. OPERAŢII CU NUMERE NEZECIMALE 1.3. OPERAŢII CU NUMERE NEZECIMALE 1.3.1 OPERAŢII CU NUMERE BINARE A. ADUNAREA NUMERELOR BINARE Reguli de bază: 0 + 0 = 0 transport 0 0 + 1 = 1 transport 0 1 + 0 = 1 transport 0 1 + 1 = 0 transport 1 Pentru

More information

Divizibilitate în mulțimea numerelor naturale/întregi

Divizibilitate în mulțimea numerelor naturale/întregi Divizibilitate în mulțimea numerelor naturale/întregi Teorema îmărţirii cu rest în mulțimea numerelor naturale Fie a, b, b 0. Atunci există q, r astfel încât a=bq+r, cu 0 r < b. În lus, q şi r sunt unic

More information

Legi de distribuţie (principalele distribuţii de probabilitate) Tudor Drugan

Legi de distribuţie (principalele distribuţii de probabilitate) Tudor Drugan Legi de distribuţie (principalele distribuţii de probabilitate) Tudor Drugan Introducere In general distribuţiile variabilelor aleatoare definite pe o populaţie, care face obiectul unui studiu, nu se cunosc.

More information

Cercet¼ari operaţionale

Cercet¼ari operaţionale Cercet¼ari operaţionale B¼arb¼acioru Iuliana Carmen CURSUL 9 Cursul 9 Cuprins Programare liniar¼a 5.1 Modelul matematic al unei probleme de programare liniar¼a.................... 5. Forme de prezentare

More information

Reactoare chimice cu curgere piston (ideala) cu amestecare completa de tip batch (autoclava)

Reactoare chimice cu curgere piston (ideala) cu amestecare completa de tip batch (autoclava) Reactoare chimice cu curgere piston (ideala) cu amestecare completa de tip batch (autoclava) Reactorul cu curgere ideala Toate particulele se deplaseaza intr-o directie de-a lungul reactorului, precum

More information

FORMULELE LUI STIRLING, WALLIS, GAUSS ŞI APLICAŢII

FORMULELE LUI STIRLING, WALLIS, GAUSS ŞI APLICAŢII DIDACTICA MATHEMATICA, Vol. 34), pp. 53 67 FORMULELE LUI STIRLING, WALLIS, GAUSS ŞI APLICAŢII Eugenia Duca, Emilia Copaciu şi Dorel I. Duca Abstract. In this paper are presented the Wallis, Stirling, Gauss

More information

Habilitation Thesis. Periodic solutions of differential systems: existence, stability and bifurcations

Habilitation Thesis. Periodic solutions of differential systems: existence, stability and bifurcations UNIVERSITATEA BABEŞ BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Habilitation Thesis Mathematics presented by Adriana Buică Periodic solutions of differential systems: existence, stability

More information

GENERATOARE DE SEMNAL DIGITALE

GENERATOARE DE SEMNAL DIGITALE Technical University of Iasi, Romania Faculty of Electronics and Telecommunications Signals, Circuits and Systems laboratory Prof. Victor Grigoras Cuprins Clasificarea generatoarelor Filtre reursive la

More information

Subiecte geometrie licenta matematica-informatica 4 ani

Subiecte geometrie licenta matematica-informatica 4 ani Class: Date: Subiecte geometrie licenta matematica-informatica 4 ani Multiple Choice Identify the letter of the choice that best completes the statement or answers the question. 1. Complementara unui subspatiu

More information

Rădăcina pătrată a unei matrici reale de ordinul 2

Rădăcina pătrată a unei matrici reale de ordinul 2 Rădăcina pătrată a unei matrici reale de ordinul Mircea Crasmareanu Mai 19, 017 ( a c Actorii acestei poveşti: matricile A = M b d (R. PROBLEMA STUDIATĂ: Există B M (R aşa încât: B = A? O astfel de matrice

More information

Cautand originea masei (Cautand bosonul Higgs) Adrian Buzatu. Departmentul de Fizica & Astronomie Universitatea din Glagsow, Regatul Unit

Cautand originea masei (Cautand bosonul Higgs) Adrian Buzatu. Departmentul de Fizica & Astronomie Universitatea din Glagsow, Regatul Unit Cautand originea masei (Cautand bosonul Higgs) Adrian Buzatu Departmentul de Fizica & Astronomie Universitatea din Glagsow, Regatul Unit De la mare la mic 2 Universul ca o prajitura Tava: spatiu-timp Ingrediente:

More information

Utilizarea claselor de echivalenta in analiza asistata de calculator a sistemelor cu evenimente discrete

Utilizarea claselor de echivalenta in analiza asistata de calculator a sistemelor cu evenimente discrete 72 Utilizarea claselor de echivalenta in analiza asistata de calculator a sistemelor cu evenimente discrete Conf.dr. Alexandru TERTISCO, ing. Alexandru BOICEA Facultatea de Automatica si Calculatoare,

More information

Scanning tunneling microscope. STM: Looking to atoms atomic resolution. STM tip. 1981: Gerld Binnig, Heinrich Röhrer. Nobel Prize 1986 IBM - Zurich

Scanning tunneling microscope. STM: Looking to atoms atomic resolution. STM tip. 1981: Gerld Binnig, Heinrich Röhrer. Nobel Prize 1986 IBM - Zurich Scanning tunneling microscope 1nA STM tip 0.001nA 0.1nm 1nm Tip-surface distance 1981: Gerld Binnig, Heinrich Röhrer Si surface Cu surface Nobel Prize 1986 IBM - Zurich STM: Looking to atoms atomic resolution

More information

APLICAŢII ALE FORMULELOR LUI NEWTON PENTRU POLINOAME SIMETRICE

APLICAŢII ALE FORMULELOR LUI NEWTON PENTRU POLINOAME SIMETRICE DIDACTICA MATHEMATICA, Vol. 33(2015), pp. 27 37 APLICAŢII ALE FORMULELOR LUI NEWTON PENTRU POLINOAME SIMETRICE Cristina-Aida Coman Abstract. In this paper we present some applications of Newton s formulae

More information

Inteligenta Artificiala

Inteligenta Artificiala Inteligenta Artificiala Universitatea Politehnica Bucuresti Anul universitar 2010-2011 Adina Magda Florea http://turing.cs.pub.ro/ia_10 si curs.cs.pub.ro 1 Curs nr. 4 Cautare cu actiuni nedeterministe

More information

UNITATEA DE ÎNVĂȚARE 3 Analiza algoritmilor

UNITATEA DE ÎNVĂȚARE 3 Analiza algoritmilor UNITATEA DE ÎNVĂȚARE 3 Analiza algoritmilor Obiective urmărite: La sfârşitul parcurgerii acestei UI, studenţii vor 1.1 cunoaște conceptul de eficienta a unui algoritm vor cunoaste si inţelege modalitatile

More information

Barem de notare clasa a V-a

Barem de notare clasa a V-a Barem de notare clasa a V-a Problema1. Determinați mulțimile A și B, formate din numere naturale, știind că îndeplinesc simultan condițiile: a) A B,5,6 ; b) B A 0,7 ; c) card AB 3; d) suma elementelor

More information

Sisteme cu logica fuzzy cu mai multe intrari (MISO)

Sisteme cu logica fuzzy cu mai multe intrari (MISO) Sisteme cu logica fuzzy cu mai multe intrari (MISO) Structura unui sistem cu logică fuzzy MISO Structura unui SLF cu 2 intrari Fie un sistem cu logică fuzzy Mamdani două intrări x şi y ieşire z x y SLF

More information

ON THE QUATERNARY QUADRATIC DIOPHANTINE EQUATIONS (II) NICOLAE BRATU 1 ADINA CRETAN 2

ON THE QUATERNARY QUADRATIC DIOPHANTINE EQUATIONS (II) NICOLAE BRATU 1 ADINA CRETAN 2 ON THE QUATERNARY QUADRATIC DIOPHANTINE EQUATIONS (II) NICOLAE BRATU 1 ADINA CRETAN ABSTRACT This paper has been updated and completed thanks to suggestions and critics coming from Dr. Mike Hirschhorn,

More information

Gradul de comutativitate al grupurilor finite 1

Gradul de comutativitate al grupurilor finite 1 Gradul de comutativitate al grupurilor finite Marius TĂRNĂUCEANU Abstract The commutativity degree of a group is one of the most important probabilistic aspects of finite group theory In this survey we

More information

SIMULAREA DECIZIEI FINANCIARE

SIMULAREA DECIZIEI FINANCIARE SIMULAREA DECIZIEI FINANCIARE Conf. univ. dr. Nicolae BÂRSAN-PIPU T5.1 TEMA 5 DISTRIBUŢII DISCRETE T5. Cuprins T5.3 5.1 Variabile aleatoare discrete 5. Distribuţia de probabilitate a unei variabile aleatoare

More information

Reactoare chimice cu curgere piston (ideala) (Plug Flow Reactor PFR) cu amestecare completa (Mixed Flow Reactor MFR) de tip batch (autoclava)

Reactoare chimice cu curgere piston (ideala) (Plug Flow Reactor PFR) cu amestecare completa (Mixed Flow Reactor MFR) de tip batch (autoclava) Reactoare chimice cu curgere piston (ideala) (Plug Flow Reactor PFR) cu amestecare completa (Mied Flow Reactor MFR) de tip batch (autoclava) Reactorul cu curgere ideala Toate particulele se deplaseaza

More information

GIDD PENTRU CALCULUL CONSUMULUI DE CA.LOURA AL CONSTRUCTIILOR DOTATE CU ' A SISTEME PASIVE DE INCALZIRE SO LARA INDICATIV GP

GIDD PENTRU CALCULUL CONSUMULUI DE CA.LOURA AL CONSTRUCTIILOR DOTATE CU ' A SISTEME PASIVE DE INCALZIRE SO LARA INDICATIV GP , GIDD PENTRU CALCULUL CONSUMULUI DE CA.LOURA AL CONSTRUCTIILOR DOTATE CU ' A SISTEME PASIVE DE INCALZIRE SO LARA INDICATIV GP 017-96 95 Ghid pentru calculul consumului de caldura al cladirilor dotate

More information

COMPARATIVE DISCUSSION ABOUT THE DETERMINING METHODS OF THE STRESSES IN PLANE SLABS

COMPARATIVE DISCUSSION ABOUT THE DETERMINING METHODS OF THE STRESSES IN PLANE SLABS 74 COMPARATIVE DISCUSSION ABOUT THE DETERMINING METHODS OF THE STRESSES IN PLANE SLABS Codrin PRECUPANU 3, Dan PRECUPANU,, Ștefan OPREA Correspondent Member of Technical Sciences Academy Gh. Asachi Technical

More information

Utilizarea limbajului SQL pentru cereri OLAP. Mihaela Muntean 2015

Utilizarea limbajului SQL pentru cereri OLAP. Mihaela Muntean 2015 Utilizarea limbajului SQL pentru cereri OLAP Mihaela Muntean 2015 Cuprins Implementarea operatiilor OLAP de baza in SQL -traditional: Rollup Slice Dice Pivotare SQL-2008 Optiunea ROLLUP Optiunea CUBE,

More information

Pentru clasa a X-a Ştiinţele naturii-sem II

Pentru clasa a X-a Ştiinţele naturii-sem II Pentru clasa a X-a Ştiinţele naturii-sem II Reprezentarea algoritmilor. Pseudocod. Principiile programării structurate. Structuri de bază: structura liniară structura alternativă structura repetitivă Algoritmi

More information

Definiţie. Pr(X a) - probabilitatea ca X să ia valoarea a ; Pr(a X b) - probabilitatea ca X să ia o valoare în intervalul a,b.

Definiţie. Pr(X a) - probabilitatea ca X să ia valoarea a ; Pr(a X b) - probabilitatea ca X să ia o valoare în intervalul a,b. Variabile aleatoare Definiţie Se numeşte variabilă aleatoare pe un spaţiu fundamental E şi se notează prin X, o funcţie definită pe E cu valori în mulţimea numerelor reale. Unei variabile aleatoare X i

More information

Arhivele Electronice Los Alamos arxiv:physics/ v2 [physics.ed-ph] 30 Apr 2000

Arhivele Electronice Los Alamos  arxiv:physics/ v2 [physics.ed-ph] 30 Apr 2000 arxiv:physics/0003106v2 [physics.ed-ph] 30 Apr 2000 Arhivele Electronice Los Alamos http://xxx.lanl.gov/physics/0003106 ELEMENTE DE MECANICĂ CUANTICĂ HARET C. ROSU e-mail: rosu@ifug3.ugto.mx fax: 0052-47187611

More information

Despre AGC cuasigrupuri V. Izbaș

Despre AGC cuasigrupuri V. Izbaș Despre AGC cuasigrupuri V Izbaș 1 Introducere Se ştie că grupurile au apărut în matematică ca grupuri de automorfisme Rolul automorfismelor este remarcabil şi bine cunoscut La studierea diverselor structuri

More information

Teoreme de Analiză Matematică - I (teorema Weierstrass-Bolzano) 1

Teoreme de Analiză Matematică - I (teorema Weierstrass-Bolzano) 1 Educaţia Matematică Vol. 3, Nr. 1-2 (2007), 79-84 Teoreme de Analiză Matematică - I (teorema Weierstrass-Bolzano) 1 Silviu Crăciunaş, Petrică Dicu, Mioara Boncuţ Abstract In this paper we propose a Weierstrass

More information

MATEMATICĂ 3 PROBLEME DE REFLECŢIE

MATEMATICĂ 3 PROBLEME DE REFLECŢIE Recapitulare din liceu MATEMATIĂ 3 ANALIZĂ OMPLEXĂ PROBLEME DE REFLEŢIE. Scrieţi numerele următoare sub forma a + bi, unde a, b R: a) 3i + i ; b) i + i ;. Reolvaţi în ecuaţiile: ( + i)( i) c) ( + i)(4

More information

METODE NUMERICE: Laborator #4 Eliminare gaussiană cu pivotare totală şi scalare. Algoritmul Thomas pentru rezolvarea sistemului 3-diagonal

METODE NUMERICE: Laborator #4 Eliminare gaussiană cu pivotare totală şi scalare. Algoritmul Thomas pentru rezolvarea sistemului 3-diagonal METODE NUMERICE: Laborator #4 Eliminare gaussiană cu pivotare totală şi scalare. Algoritmul Thomas pentru rezolvarea sistemului 3-diagonal Titulari curs: Florin Pop, George-Pantelimon Popescu Responsabil

More information

Procedeu de demonstrare a unor inegalităţi bazat pe inegalitatea lui Schur

Procedeu de demonstrare a unor inegalităţi bazat pe inegalitatea lui Schur Procedeu de demonstrare a unor inegalităţi bazat pe inegalitatea lui Schur Andi Gabriel BROJBEANU Abstract. A method for establishing certain inequalities is proposed and applied. It is based upon inequalities

More information

A GENERALIZATION OF A CLASSICAL MONTE CARLO ALGORITHM TO ESTIMATE π

A GENERALIZATION OF A CLASSICAL MONTE CARLO ALGORITHM TO ESTIMATE π U.P.B. Sci. Bull., Series A, Vol. 68, No., 6 A GENERALIZATION OF A CLASSICAL MONTE CARLO ALGORITHM TO ESTIMATE π S.C. ŞTEFĂNESCU Algoritmul Monte Carlo clasic A1 estimeazează valoarea numărului π bazându-se

More information

Curs 5 ELEMENTE STRUCTURALE SOLICITATE LA RASUCIRE

Curs 5 ELEMENTE STRUCTURALE SOLICITATE LA RASUCIRE Curs 5 ELEENTE STRUCTURALE SOLICITATE LA RASUCIRE Rasucirea (torsiunea), ca stare de solicitare nu apare in mod independent, ci in combinatie cu alte solicitari (ex. incovoiere cu rasucire, compresiune

More information

INEGALITĂŢI DE TIP HARNACK ŞI SOLUŢII POZITIVE MULTIPLE PENTRU PROBLEME NELINIARE

INEGALITĂŢI DE TIP HARNACK ŞI SOLUŢII POZITIVE MULTIPLE PENTRU PROBLEME NELINIARE UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA ŞCOALA DOCTORALĂ DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ INEGALITĂŢI DE TIP HARNACK ŞI SOLUŢII POZITIVE MULTIPLE PENTRU PROBLEME NELINIARE Rezumatul tezei de doctorat Doctorand:

More information

Ordin. pentru aprobarea structurii informaţiilor înscrise pe cardul naţional de asigurări sociale de sănătate

Ordin. pentru aprobarea structurii informaţiilor înscrise pe cardul naţional de asigurări sociale de sănătate CASA NATIONALA DE ASIGURARI DE SANATATE Ordin pentru aprobarea structurii informaţiilor înscrise pe cardul naţional de asigurări sociale de sănătate Având în vedere: Act publicat in Monitorul Oficial al

More information

Modelarea traficului in cadrul retelelor de radiotelefonie mobila

Modelarea traficului in cadrul retelelor de radiotelefonie mobila Modelarea traficului in cadrul retelelor de radiotelefonie mobila Alocarea resurselor radio in cadrul retelelor GSM/GPRS este importanta intrucat acestea sunt proiectate sa transmita trafic mixt: oce ate:

More information

Rezolvarea ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii diferenţiale ordinare (II)

Rezolvarea ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii diferenţiale ordinare (II) Rezolvarea ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii diferenţiale ordinare (II) Metode multipas Prof.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică Suport didactic pentru disciplina

More information

2D AND 3D PROCESSING OF THE INTERDEPENDENCE BETWEEN THE COMFORT MAIN INDICATORS

2D AND 3D PROCESSING OF THE INTERDEPENDENCE BETWEEN THE COMFORT MAIN INDICATORS BULETINUL INSTITUTULUI POLITEHNIC DIN IAŞI Publicat de Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi Tomul LVII (LXI), Fasc. 1, 2011 SecŃia TEXTILE. PIELĂRIE 2D AND 3D PROCESSING OF THE INTERDEPENDENCE

More information

ALGORITMI DE OPTIMIZARE IN INGINERIE ELECTRICA. Sef lucrari ing. Alin-Iulian DOLAN

ALGORITMI DE OPTIMIZARE IN INGINERIE ELECTRICA. Sef lucrari ing. Alin-Iulian DOLAN ALGORITMI DE OPTIMIZARE IN INGINERIE ELECTRICA Sef lucrari ing. Alin-Iulian DOLAN PROBLEME DE OPTIMIZARE OPTIMIZAREA gasirea celei mai bune solutii ale unei probleme, constand in minimizarea (maximizarea)

More information

Arhitectura sistemelor de calcul

Arhitectura sistemelor de calcul Arhitectura sistemelor de calcul - Prelegerea 1 - Evoluția sistemelor de calcul Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Istoricul evolutiei calculatoarelor

More information

Teoreme de compresie-extensie de tip Krasnoselskii şi aplicaţii (Rezumatul tezei de doctorat)

Teoreme de compresie-extensie de tip Krasnoselskii şi aplicaţii (Rezumatul tezei de doctorat) Teoreme de compresie-extensie de tip Krasnoselskii şi aplicaţii (Rezumatul tezei de doctorat) Sorin Monel Budişan Coordonator ştiinţi c: Prof. dr. Radu Precup Cuprins Introducere 1 1 Generaliz¼ari ale

More information

1 Generarea suprafeţelor

1 Generarea suprafeţelor Motto: Cu vesele glasuri de tinere firi, Cuprinşi de-amintirea străbunei măriri, Spre soare ni-e gândul şi mergem spre el, Lumina ni-e ţinta şi binele ţel - Traiască-ne ţara şi neamul! Coşbuc - Imnul studenţilor

More information

Câteva rezultate de algebră comutativă

Câteva rezultate de algebră comutativă Facultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Câteva rezultate de algebră comutativă Aceste note conţin noţiuni şi rezultate de algebră comutativă care sunt utilizate pe parcursul cursului.

More information

Teoria probabilit¼aţilor şi statistic¼a matematic¼a

Teoria probabilit¼aţilor şi statistic¼a matematic¼a Teoria probabilit¼aţilor şi statistic¼a matematic¼a B¼arb¼acioru Iuliaa Carme CURSUL 7 Cursul 7 2 Cupris 1 Legea umerelor mari 5 1.1 Geeralit¼aţi............................... 5 1.2 Iegalitatea lui Cebîşev........................

More information

VINDECAREA BOLILOR INCURABILE PRIN METODE NATURALE BY MIKHAIL TOMBAK

VINDECAREA BOLILOR INCURABILE PRIN METODE NATURALE BY MIKHAIL TOMBAK VINDECAREA BOLILOR INCURABILE PRIN METODE NATURALE BY MIKHAIL TOMBAK DOWNLOAD EBOOK : VINDECAREA BOLILOR INCURABILE PRIN METODE Click link bellow and free register to download ebook: VINDECAREA BOLILOR

More information

ELEMENTE DE DINAMICĂ ŞI GEOMETRIE PE SPAŢII VECTORIALE POISSON

ELEMENTE DE DINAMICĂ ŞI GEOMETRIE PE SPAŢII VECTORIALE POISSON UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ ELEMENTE DE DINAMICĂ ŞI GEOMETRIE PE SPAŢII VECTORIALE POISSON REZUMATUL TEZEI DE DOCTORAT Conducător ştiinţific: Prof. univ.

More information

INCLUZIUNI OPERATORIALE PRIN TEHNICA PUNCTULUI FIX ÎN SPAŢII METRICE VECTORIALE

INCLUZIUNI OPERATORIALE PRIN TEHNICA PUNCTULUI FIX ÎN SPAŢII METRICE VECTORIALE UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ INCLUZIUNI OPERATORIALE PRIN TEHNICA PUNCTULUI FIX ÎN SPAŢII METRICE VECTORIALE REZUMATUL TEZEI DE DOCTORAT Coordonator ştiinţific

More information

Mugur Acu OPERATORUL INTEGRAL LIBERA-PASCU ŞI PROPRIETĂŢILE ACESTUIA CU PRIVIRE LA FUNCŢIILE UNIFORM STELATE, CONVEXE, APROAPE CONVEXE ŞI

Mugur Acu OPERATORUL INTEGRAL LIBERA-PASCU ŞI PROPRIETĂŢILE ACESTUIA CU PRIVIRE LA FUNCŢIILE UNIFORM STELATE, CONVEXE, APROAPE CONVEXE ŞI Mugur Acu OPERATORUL INTEGRAL LIBERA-PASCU ŞI PROPRIETĂŢILE ACESTUIA CU PRIVIRE LA FUNCŢIILE UNIFORM STELATE, CONVEXE, APROAPE CONVEXE ŞI α-uniform CONVEXE Editura Universităţii Lucian Blaga din Sibiu

More information

DETERMINAREA CONSTANTEI LUI PLANCK DIN STUDIUL EFECTULUI FOTOELECTRIC

DETERMINAREA CONSTANTEI LUI PLANCK DIN STUDIUL EFECTULUI FOTOELECTRIC UNIVERSITATEA "POLITEHNICA" DIN BUCUREŞTI CATEDRA DE FIZICĂ LABORATORUL DE FIZICA ATOMICA SI NUCLEARA BN - 3 DETERMINAREA CONSTANTEI LUI PLANCK DIN STUDIUL EFECTULUI FOTOELECTRIC 1 DETERMINAREA CONSTANTEI

More information

Controlul predictiv bazat pe modele intare-stare-iesire. Cuprins. 2. Modele intrare-stare-iesire :01

Controlul predictiv bazat pe modele intare-stare-iesire. Cuprins. 2. Modele intrare-stare-iesire :01 Modelare si control predictiv - proiect - Controlul predictiv bazat pe modele intrare-stare-iesire Asist. ing. Constantin Florin Caruntu 23:01 Cuprins Controlul predictiv bazat pe modele intare-stare-iesire

More information

Agricultural Engineering

Agricultural Engineering THE DETERMINATION OF QUALITY CHARACTERISTICS FOR THE WORKING PROCESS OF INDENTED CYLINDER SEPARATORS AS FUNCTIONS OF PROCESS PARAMETERS OF THESE EQUIPMENTS / DETERMINAREA CARACTERISTICILOR CALITATIVE ALE

More information

PROPRIETĂŢI GEOMETRICE ŞI ANALITICE ALE UNOR CLASE DE FUNCŢII UNIVALENTE

PROPRIETĂŢI GEOMETRICE ŞI ANALITICE ALE UNOR CLASE DE FUNCŢII UNIVALENTE UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ GABRIELA ROXANA ŞENDRUŢIU PROPRIETĂŢI GEOMETRICE ŞI ANALITICE ALE UNOR CLASE DE FUNCŢII UNIVALENTE Rezumatul tezei de doctorat

More information

Avem 6 tipuri de simboluri in logica predicatelor:

Avem 6 tipuri de simboluri in logica predicatelor: Semantica Avem 6 tipuri de simboluri in logica predicatelor: Predicate: p, q, r,, p1, q2 etc. Constante: a, b, c,, z, a1, b4,, ion, mihai, labus etc. Variabile: x, y, z, x1, y1, z4 etc. Conective:,,,,

More information

Laborator 4. Rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale în Matlab

Laborator 4. Rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale în Matlab Laborator 4. Rezolvarea ecuaţiilor difereţiale î Matlab Bibliografie. G. Aastassiou, I. Iata, Itelliget Routies: Solvig Mathematical Aalsis with Matlab, Mathcad, Mathematica ad Maple, Spriger, 03.. I.

More information

POLAR CHARACTERISTIC OF ENERGETIC INTENSITY EMITTED BY AN ANISOTROPIC THERMAL SOURCE IRREGULARLY SHAPED

POLAR CHARACTERISTIC OF ENERGETIC INTENSITY EMITTED BY AN ANISOTROPIC THERMAL SOURCE IRREGULARLY SHAPED Annals of the Academ of Romanian Scientists Series on Science and Technolog of nformation SSN 066-856 Volume 1, Number 1/008 43 POLAR CHARACTERSTC OF ENERGETC NTENSTY EMTTED BY AN ANSOTROPC THERMAL SOURCE

More information

TEOREME DE PUNCT FIX PENTRU OPERATORI CE NU INVARIAZĂ DOMENIUL DE DEFINIŢIE ŞI

TEOREME DE PUNCT FIX PENTRU OPERATORI CE NU INVARIAZĂ DOMENIUL DE DEFINIŢIE ŞI Universitatea Babeş-Bolyai, Cluj-Napoca Facultatea de Matematică şi Informatică Tania Angelica Lazăr TEOREME DE PUNCT FIX PENTRU OPERATORI CE NU INVARIAZĂ DOMENIUL DE DEFINIŢIE ŞI APLICAŢII Coordonator

More information

Modelling the Steady State Characteristic of ph Neutralization Process: a Neuro-Fuzzy Approach

Modelling the Steady State Characteristic of ph Neutralization Process: a Neuro-Fuzzy Approach BULETINUL Universităţii Petrol Gaze din Ploieşti Vol. LXVII No. 2/2015 79 84 Seria Tehnică Modelling the Steady State Characteristic of ph Neutralization Process: a Neuro-Fuzzy Approach Gabriel Rădulescu

More information

2. Finite Impulse Response Filters (FIR)

2. Finite Impulse Response Filters (FIR) ..3.3aximum error minimizing method. Finite Imule Reone Filter (FIR)..3 aximum error minimizing method he zero hae tranfer function N H a' n con tye n N H b n con n tye ' the lat relation can be exreed

More information

Curs 6. Discrete Event Simulation

Curs 6. Discrete Event Simulation Curs 6 Discrete Event Simulation C6 ~ 12.04.2017 1/43 In discrete-event simulation, the operation of a system is represented as a chronological sequence of events. Each event occurs at an instant in time

More information

ȘIRURI (TABLOURI UNIDIMENSIONALE)

ȘIRURI (TABLOURI UNIDIMENSIONALE) Problema 1 Enunț ȘIRURI (TABLOURI UNIDIMENSIONALE) Se citesc mai multe numere naturale, până la introducerea numărului 0 şi se memorează într-un şir. Să se găsească toate numerele perfecte din şir. Un

More information

LIGHTNING MVP System

LIGHTNING MVP System LIGHTNING MVP System Lightning MVP System Control (HACCP+SSOP) Swab-uri pentru lichide si pentru Suprafete Accesorii ph Temperatura Condutivitate Monitorizare ATP Prin Bioluminescenta Cel mai complet si

More information

QUASI-ANALYTIC SOLUTIONS OF FIRST-ORDER PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS USING THE ACCURATE ELEMENT METHOD

QUASI-ANALYTIC SOLUTIONS OF FIRST-ORDER PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS USING THE ACCURATE ELEMENT METHOD U.P.B. Sci. Bull., Series A, Vol. 7, Iss., 010 ISSN 13-707 QUASI-ANALYTIC SOLUTIONS OF FIRST-ORDER PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS USING THE ACCURATE ELEMENT METHOD Maty BLUMENFELD 1 O ecuaţie diferenţială

More information

Graduări pe algebre de matrice

Graduări pe algebre de matrice UNIVERSITATEA DIN BUCUREŞTI FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ ŞCOALA DOCTORALĂ DE MATEMATICĂ Graduări pe algebre de matrice TEZĂ DE DOCTORAT REZUMAT Coordonator ştiinţific: Prof.univ.dr. Sorin Dăscălescu

More information

Programarea Dinamica. (si alte chestii adiacente) Andrei Olariu

Programarea Dinamica. (si alte chestii adiacente) Andrei Olariu Programarea Dinamica (si alte chestii adiacente) Andrei Olariu andrei@olariu.org Despre mine - Absolvent FMI UniBuc - Doctorand in prelucrarea limbajului natural, in special in mediul online (Twitter)

More information

ECUAŢII CU DERIVATE PARŢIALE ŞI EVALUAREA OPŢIUNILOR CU VOLATILITATE STOHASTICĂ

ECUAŢII CU DERIVATE PARŢIALE ŞI EVALUAREA OPŢIUNILOR CU VOLATILITATE STOHASTICĂ Universitatea Babeş-Bolyai, Cluj-Napoca Facultatea de Matematică şi Informatică Vasile Lucian Lazăr ECUAŢII CU DERIVATE PARŢIALE ŞI EVALUAREA OPŢIUNILOR CU VOLATILITATE STOHASTICĂ Coordonator ştiinţific

More information

TEORIA RELATIVITĂŢII. Gheorghe Munteanu, Vladimir Bălan

TEORIA RELATIVITĂŢII. Gheorghe Munteanu, Vladimir Bălan Lecţii de TEORIA RELATIVITĂŢII Gheorghe Munteanu, Vladimir Bălan 2000 2 Cuprins PREFAŢĂ 7 I Elemente de teoria relativităţii restrânse 9 1 Universul spaţio-temporal Minkowski 11 1.1 Introducere............................

More information

Laborator 5. Instructiuni de control logic : FOR, IF, WHILE. - Staţii de lucru care au instalat Orcad9.2. si MatLab 7.1

Laborator 5. Instructiuni de control logic : FOR, IF, WHILE. - Staţii de lucru care au instalat Orcad9.2. si MatLab 7.1 Laborator 5. Instructiuni de control logic : FOR, IF, WHILE. Scopul lucrarii: Scopul acestei lucrari este de a invata si intelege instructiunile de control logic, pe care, le vom folosi in realizarea unui

More information

CURS 11: Programare dinamică - II - Algoritmica - Curs 12 1

CURS 11: Programare dinamică - II - Algoritmica - Curs 12 1 CURS 11: Programare dinamică - II - Algoritmica - Curs 12 1 Structura Ce este programarea dinamică? Aplicație: problema discretă a rucsacului Funcții de memorie (memoizare) Aplicație: înmulțirea optimală

More information

PROBLEME DIVERSE lecţie susţinută la lotul de 13 de Andrei ECKSTEIN Bucureşti, 25 mai 2015

PROBLEME DIVERSE lecţie susţinută la lotul de 13 de Andrei ECKSTEIN Bucureşti, 25 mai 2015 PROBLEME DIVERSE lecţie susţinută la lotul de 13 de Andrei ECKSTEIN Bucureşti, 5 mai 015 I. SUBSTITUŢIA TAIWANEZĂ 1. Fie a, b, c > 0 astfel încât a bc, b ca şi c ab. Determinaţi valoarea maximă a expresiei

More information

SOI prin smart-cut. Caracterizarea TEM-HRTEM a defectelor structuale induse in Si prin hidrogenare in plasma.

SOI prin smart-cut. Caracterizarea TEM-HRTEM a defectelor structuale induse in Si prin hidrogenare in plasma. SOI prin smart-cut. Caracterizarea TEM-HRTEM a defectelor structuale induse in Si prin hidrogenare in plasma. Dr. Corneliu GHICA, Dr. Leona NISTOR Proiect IDEI, Contract Nr. 233/2007 1. C. Ghica, L. C.

More information

PLANIFICAREA TEMELOR LA GRUPELE DE EXCELENȚĂ DISCIPLINA MATEMATICĂ AN ȘCOLAR

PLANIFICAREA TEMELOR LA GRUPELE DE EXCELENȚĂ DISCIPLINA MATEMATICĂ AN ȘCOLAR PLANIFICAREA TEMELOR LA GRUPELE DE EXCELENȚĂ DISCIPLINA MATEMATICĂ AN ȘCOLAR 0-0 Grupa V. Matematică Profesor coordonator: Aldescu Alina.0.0 Operatii in N-Teorema impartirii cu rest 0..0 Patrate perfecte,cuburi

More information

COMPARATIVE STUDY OF STRUCTURAL ANALYSIS APPLIED TO AGRICULTURAL MACHINES BODIES AND ACCOMPLISHED WITH SOLID WORKS AND AUTODESK INVENTOR PROGRAMS

COMPARATIVE STUDY OF STRUCTURAL ANALYSIS APPLIED TO AGRICULTURAL MACHINES BODIES AND ACCOMPLISHED WITH SOLID WORKS AND AUTODESK INVENTOR PROGRAMS COMPARATIVE STUDY OF STRUCTURAL ANALYSIS APPLIED TO AGRICULTURAL MACHINES BODIES AND ACCOMPLISHED WITH SOLID WORKS AND AUTODESK INVENTOR PROGRAMS / STUDIU COMPARATIV DE ANALIZA STRUCTURALA APLICATA LA

More information

UNIVERSITATEA "POLITEHNICA" DIN BUCUREŞTI DEPARTAMENTUL DE FIZICĂ LABORATORUL DE TERMODINAMICA SI FIZICA STATISTICA

UNIVERSITATEA POLITEHNICA DIN BUCUREŞTI DEPARTAMENTUL DE FIZICĂ LABORATORUL DE TERMODINAMICA SI FIZICA STATISTICA UNIVERSITATEA "POLITEHNICA" DIN BUCUREŞTI DEPARTAMENTUL DE FIZICĂ LABORATORUL DE TERMODINAMICA SI FIZICA STATISTICA BN 2 TERMISTORUL TERMISTORUL. Scopul lucrării a. Verificarea legii dependenţei rezistenţei

More information

ON THE ASYMPTOTIC BEHAVIOR OF DYNAMICAL SYSTEMS AND APPLICATIONS

ON THE ASYMPTOTIC BEHAVIOR OF DYNAMICAL SYSTEMS AND APPLICATIONS WEST UNIVERSITY OF TIMIŞOARA FACULTY OF MATHEMATICS AND COMPUTER SCIENCE ON THE ASYMPTOTIC BEHAVIOR OF DYNAMICAL SYSTEMS AND APPLICATIONS Habilitation Thesis Author: BOGDAN SASU Timişoara, 2013 Table of

More information

Rezultate în Teoria Punctului Fix şi Procese Iterative cu Aplicaţii

Rezultate în Teoria Punctului Fix şi Procese Iterative cu Aplicaţii Rezultate în Teoria Punctului Fix şi Procese Iterative cu Aplicaţii Asist. drd. Adrian Sorinel Ghiura Departamentul de Matematică & Informatică Universitatea Politehnica din Bucureşti REZUMATUL TEZEI DE

More information

Liste. Stive. Cozi SD 2017/2018

Liste. Stive. Cozi SD 2017/2018 Liste. Stive. Cozi SD 2017/2018 Conţinut Tipurile abstracte LLin, LLinOrd, Stiva, Coada Liste liniare Implementarea cu tablouri Implementarea cu liste simplu înlănțuite Liste liniare ordonate Stive Cozi

More information

Clasa a 10-a. Review of preview

Clasa a 10-a. Review of preview 1 of 12 2/1/2016 11:10 AM PHI 2016 You are logged in as Admin User (Logout) edesc PHI2016 Quizzes Clasa a 10-a Review of preview Info Results Preview Edit Clasa a 10-a Review of preview Started on Monday,

More information

Universitatea Politehnica Bucureşti Facultatea de Automatică şi Calculatoare Departamentul de Automatică şi Ingineria Sistemelor

Universitatea Politehnica Bucureşti Facultatea de Automatică şi Calculatoare Departamentul de Automatică şi Ingineria Sistemelor Universitatea Politehnica Bucureşti Facultatea de Automatică şi Calculatoare Departamentul de Automatică şi Ingineria Sistemelor TEZĂ DE ABILITARE Metode de Descreştere pe Coordonate pentru Optimizare

More information

Lecture #13 1. Incorporating a vector potential into the Hamiltonian 2. Spin postulates 3. Description of spin states 4. Identical particles in

Lecture #13 1. Incorporating a vector potential into the Hamiltonian 2. Spin postulates 3. Description of spin states 4. Identical particles in Lecture #3. Incorporating a vector potential into the Hamiltonian. Spin postulates 3. Description of spin states 4. Identical particles in classical and QM 5. Exchange degeneracy - the fundamental problem

More information

QUASIGRUPURI AUTOORTOGONALE: CONEXIUNI CU PARATOPIILE UNOR SISTEME ORTOGONALE

QUASIGRUPURI AUTOORTOGONALE: CONEXIUNI CU PARATOPIILE UNOR SISTEME ORTOGONALE INSTITUTUL DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ AL ACADEMIEI DE ŞTIINŢE A MOLDOVEI Cu titlu de manuscris C.Z.U.: 512.548 CEBAN DINA QUASIGRUPURI AUTOORTOGONALE: CONEXIUNI CU PARATOPIILE UNOR SISTEME ORTOGONALE

More information

Nonlinear Vibrations of Elastic Beams

Nonlinear Vibrations of Elastic Beams Acta Technica Napocensis: Civil Engineering & Architecture Vol. 56, No. 1, (2013) Journal homepage: http://constructii.utcluj.ro/actacivileng Nonlinear Vibrations of Elastic Beams Iacob Borş 1, Tudor Milchiş

More information

COMPARATIVE STUDY ON DETERMINING THE INTERNAL FRICTION ANGLE FOR SAND

COMPARATIVE STUDY ON DETERMINING THE INTERNAL FRICTION ANGLE FOR SAND BULETINUL INSTITUTULUI POLITEHNIC DIN IAŞI Publicat de Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi Tomul LX (LXIV), Fasc. 2, 214 Secţia CONSTRUCŢII. ARHITECTURĂ COMPARATIVE STUDY ON DETERMINING THE

More information

Siguranţa structurilor la acţiuni seismice şi climatice

Siguranţa structurilor la acţiuni seismice şi climatice Universitatea Tehnică de Construcţii Bucureşti Facultatea de Construcţii Civile, Industriale şi Agricole Catedra de Constructii de Beton Armat Grinda b.a., 5 ani expunere, VQ,an =,6 6. Indice de fiabilitate,

More information

Calcul Numeric. Cursul Anca Ignat

Calcul Numeric. Cursul Anca Ignat Calcul Numeric Cursul 1 2011-2012 Anca Ignat ancai@infoiasi.ro, olariu@info.uaic.ro cn@fenrir.infoiasi.ro pentru temele de laborator http://www.infoiasi.ro/~ancai/cn/ Consultaţii: prin e-mail la adresa

More information

STRUCTURAL PARASITIC CAPACITANCE REDUCTION TECHNIQUES IN PLANAR MAGNETIC INTEGRATED STRUCTURES

STRUCTURAL PARASITIC CAPACITANCE REDUCTION TECHNIQUES IN PLANAR MAGNETIC INTEGRATED STRUCTURES STRUCTURAL PARASITIC CAPACITANCE REDUCTION TECHNIQUES IN PLANAR MAGNETIC INTEGRATED STRUCTURES STRUCTURAL PARASITIC CAPACITANCE REDUCTION TECHNIQUES IN PLANAR MAGNETIC INTEGRATED STRUCTURES Lecturer Eng.

More information

Alte rezultate din teoria codurilor

Alte rezultate din teoria codurilor Prelegerea 20 Alte rezultate din teoria codurilor 20.1 Coduri aritmetice Construcţiile oferite de teoria codurilor pot fi utilizate şi în alte domenii decât în cele clasice, de transmitere şi recepţie

More information

GAZETA MATEMATICĂ SERIA A. ANUL XXXVI (CXV) Nr. 1 2/ 2018 ARTICOLE. Computing exponential and trigonometric functions of matrices in M 2 (C)

GAZETA MATEMATICĂ SERIA A. ANUL XXXVI (CXV) Nr. 1 2/ 2018 ARTICOLE. Computing exponential and trigonometric functions of matrices in M 2 (C) GAZETA MATEMATICĂ SERIA A ANUL XXXVI CXV) Nr. 1 / 18 ARTICOLE Computing exponential and trigonometric functions of matrices in M C) Ovidiu Furdui 1) Abstract. In this paper we give a new technique for

More information

ATTENUATION OF THE ACOUSTIC SCREENS IN CLOSED SPACES

ATTENUATION OF THE ACOUSTIC SCREENS IN CLOSED SPACES U.P.B. Sci. Bull., Series D, Vol. 69, No. 3, 007 ISSN 15-358 ATTENUATION OF THE ACOUSTIC SCREENS IN CLOSED SPACES Ioan MAGHEŢI 1, Mariana SAVU Lucrarea prezintă calculul atenuării acustice a unui ecran

More information

Metode numerice de aproximare. a zerourilor unor operatori. şi de rezolvare a inegalităţilor variaţionale. cu aplicaţii

Metode numerice de aproximare. a zerourilor unor operatori. şi de rezolvare a inegalităţilor variaţionale. cu aplicaţii Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea Babeş-Bolyai Erika Nagy Metode numerice de aproximare a zerourilor unor operatori şi de rezolvare a inegalităţilor variaţionale cu aplicaţii Rezumatul

More information

REZUMATUL TEZEI DE DOCTORAT

REZUMATUL TEZEI DE DOCTORAT UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CERCETĂRI DE TEORIE MORSE DISCRETĂ ŞI APLICAŢII REZUMATUL TEZEI DE DOCTORAT Conducător ştiinţific: Prof. univ. dr. DORIN ANDRICA Doctorand:

More information

THE INFLUENCE OF SOME CHARACTERISTICS OF RANITIDINE HYDROCHLORIDE ON THE FORMING AND PREPARATION OF THE TABLETS

THE INFLUENCE OF SOME CHARACTERISTICS OF RANITIDINE HYDROCHLORIDE ON THE FORMING AND PREPARATION OF THE TABLETS FARMACIA, 2012, Vol. 60, 4 517 THE INFLUENCE OF SOME CHARACTERISTICS OF RANITIDINE HYDROCHLORIDE ON THE FORMING AND PREPARATION OF THE TABLETS POSTOLACHE LILIANA* 1,2, ONUŢĂ ALEXANDRU-EVLAMPIE 2,3 1 Faculty

More information

FINITE ELEMENT ANALYSIS OF FRICTIONAL CONTACTS

FINITE ELEMENT ANALYSIS OF FRICTIONAL CONTACTS BULETINUL INSTITUTULUI POLITEHNIC DIN IAŞI Publicat de Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi Tomul LIV (LVIII), Fasc. 3, 2011 Secţia CONSTRUCŢII. ARHITECTURĂ FINITE ELEMENT ANALYSIS OF FRICTIONAL

More information