Mini cours sur les mesures de Gibbs I

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1 25 octobre 2013

2 Documents de références (1972) M. Keane, Strongly mixing g-measures, Invent. Math. (1974) R. Bowen, Equilibrium states and the ergodic theory of Anosov diffeomorphisms, Lecture Notes in Maths (ré-édité par J. R. Chazottes ). (1974) F. Ledrappier, Principe variationnel et systèmes dynamiques symboliques, Z. Wahrscheinlichkeitstheorie. (1978) D. Ruelle, Thermodynamic formalism, Addison-Wesley. (1982) P. Walters, An introduction to ergodic theory, Springer. (1991) W. Parry & M. Pollicott, Zeta functions and the periodic orbit structure of hyperbolic dynamics, SMF. (1996) M. Zinsmeiters, Formalisme thermodynamique et systèmes dynamiques holomorphes, SMF. (1998) G. Keller, Equilibrium States in Ergodic Theory, LMS. (2000) V. Baladi, Positive Transfer Operators and Decay of Correlations, World. Sc. Pub.

3 CHAP 0 Transformations markoviennes conformes

4 Transformations markoviennes conformes X métrique compact et T : X X continue ; T homéomorphisme local : il existe un horizon d injectivité r 0 > 0 : pour tout x X et pour tout 0 < r < r 0 T : B (x, r/2) T ( B (x, r/2) ) est un homéomorphisme. T est expansive lorsqu il existe deux coefficients de contraction 0 < α α < 1 tels que A < r 0 = α A α. (1) T (A) En particulier, (1) entraîne que r 0 α n 1 est un horizon d injectivité de T n (n 1).

5 Transformations markoviennes conformes Définition Une Partition de Markov de T : X X est un recouvrement fini R 0 : {R 0,..., R p } de X (formé de rectangles) t.q. (M1) : R i = R i (R i est fermé à frontière d intérieur vide) ; (M2) : R i R j =, for i j ; (M3) : chaque image directe T (R i ) est réunion de R j. On dira que T est markovienne s il existe une partition de Markov R 0 = {R 1,..., R M } avec R i r 0 et pour tout n 0 R n = n T k (R 0 ) ; k=0 de plus R n (x) est l atome de R n contenant x.

6 Transformations markoviennes conformes Définition Soit T : M M une transformation régulière (C 1+α ) sur une surface de Riemann et J un sous ensemble compact de M t.q. (i) : T (J) = J (ii) : T n (x)(v) T n (x) Cα n v x (C > 0, α > 1). (iii) : T is topologiquement mélangeant sur J ; La transformation expansive T : J J est un répulseur (repeller), s il existe un voisinage (ouvert = bassin) V de J t.q. J = { x V ; x, T (x), T 2 (x),... V }, Si de plus T (x) = a(x)d x, pour x a(x) R régulier et D x Isom ( T x (M), T T (x) (M) ), alors T : J J est appelé un répulseur (expansif) conforme.

7 Répulseur expansif conforme : exemple 1

8 Répulseur expansif conforme : exemple 2

9 Répulseur expansif conforme : exemple 3

10 Répulseur expansif conforme : exemple 4

11 Transformations markoviennes conformes Théorème (Bowen) Un répulseur expansif conforme est toujours une application markovienne. Théorème (Bowen) Soit T : J J un répulseur expansif conforme et R = {R 1,..., R M } une partition de Markov. Alors pour toute fonction φ : J R Hölder continue, il existe une unique mesure de probabilité T -invariante µ φ, pour laquelle il existe deux constantes P R et K > 0 telles que 1 K ( µ φ Rn (x) ) exp ( np + n 1 k=0 φ(t k (x)) ) K ; de plus µ φ est fortement mélangeante.

12 CHAP I Mesures doublantes

13 Mesures doublantes Définition Soit (X, d) un espace métrique : une mesure de probabilité µ est dite doublante s il existe K > 0 tel que pour tout r > 0 (suffisamment petit si X n est pas compact) et tout x X µ(b(x, 2r) Kµ(B(x, r)). (D) Soit D le disque unité du plan complexe ; l homéomorphisme T : D D est dit quasi-conforme, si n importe quel disque est transformé en une ellipse dont le rapport grand axe sur petit axe est uniformément borné. Alors les homéomorphismes f : D D induits sur le bord du disque par un tel T quasi-conforme sont caractérisés par le fait que l image directe λ = λ f de la mesure de Lebesgue λ sur D est doublante (Beurling & Ahlfors 1956).

14 Mesures doublantes Exemple. Soit Ω := {0, 1} N le full shift binaire : pour tout mot binaire w on note [w] le cylindre des suites de Ω dont le préfixe est w) ; la topologie produit de Ω est donnée par la distance binaire (ξ, ξ ) d bin (ξ, ξ ) := 2 min{k 0 ; ξ k ξ k }. Soient 0 p 0, p 1 1 avec p 0 + p 1 = 1 et ν la mesure de Bernoulli (on Ω) de paramètre (p 0, p 1 ), i.e. pour tout ξ 0 ξ n 1 {0, 1} N, ν[ξ 0 ξ n 1 ] = p ξ0 p ξn 1

15 Mesures doublantes Proposition Si 0 < p 0, p 1 < 1, alors ν est doublante sur Ω. Preuve. Si 1/2 n+1 < r 1/2 n, alors B(ξ, r) = [ξ 0 ξ n 1 ] et B(ξ, 2r) = [ξ 0 ξ n 2 ] et donc µ ( B(ξ, 2r) ) = 1 µ ( B(ξ, r) ) { 1 max p ξn 1 p 0, 1 p 1 } µ ( B(ξ, r) ).

16 Mesures doublantes Contre-exemple. Soit T = R/Z = [0 ; 1[ ; tout mot binaire w est associé à un intervalle dyadique I (w) (semi semi-ouvert à droite) : ainsi, I ( /) = [0 ; 1[ avec l induction I (εw) = I (w)/2 + ε/2. On considère maintenant que ν est le modèle euclidien de la mesure de Bernoulli (p 0, p 1 ) sur T, i.e. Proposition ν ( I (ξ 0 ξ n 1 ) ) = p ξ0 p ξn 1. Si 0 < p 0 < p 1 alors ν n est pas doublante sur T.

17 Mesures doublantes w n w n w n w n w n w n x = w n w n+1= w n Preuve (sketch). On définit une suite binaire ξ = ξ 0 ξ 1 {0, 1} N par induction : w 0 = 0 ; si w n = ξ 0 ξ an 1 (a n := w n ) alors w n+1 = w n 10 an 1 an! Soit x T de développement binaire ξ : alors, pour on a B(x, r n ) I (w n 10 an ) r n := 1/2 2an+1 I (w n 01 an 1) I (w n 10 an ) I (w n 10 an 1 10) B(x, 2r n )

18 Mesures doublantes w n w n w n w n w n w n x = w n w n+1= w n En notant simplement µ(m) = µ(i (m)), il vient : ν ( B(x, 2r n ) ν ( B(x, r n ) ) µ(w n01 an 1) + µ(w n 10 an ) + µ(w n 10 an 1 10) µ(w n 10 an ) = p 0µ(w n 1)p1 an + µ(w n1)p0 an + µ(w n1)p0 an p 1 µ(w n 1)p0 an ( ) an p1 = p p 1. p 0 Si p 1 > p 0 > 0 alors ν n est pas doublante.

19 CHAP II Mesures self-conformes

20 Mesures self-conformes Définition Soit T : X X une transformation expansive et r 0 son horizon d injectivité : µ P(X ) est dite T -conforme (i.e. self-conforme pour T ) s il existe une fonction continue φ : X R t.q. A < r 0 = µ(t (A)) = on dira aussi que µ est (T, exp(φ))-conforme. A µ(dx) exp(φ(x)). (2) Rq. Le cas typique de T : X X est un répulseur conforme T : J J, mais pas seulement : en particulier T n est pas forcément conforme... (ambiguïté de dénomination).

21 Propriété d échelle des mesures self-conformes Maintenant on considère : r 0 l horizon d injectivité de T ; µ une mesure (T, exp(φ))-conforme ; R := {R 1,..., R M } (avec R i r 0 ) une partition de Markov ; la matrice d incidence (i, j) A(i, j) {0, 1} t.q. A(i, j) = 1 R j T (R i ) ; Σ A est le sous-shift de {1,..., M} N, associé à A, i.e. ξ 0 ξ 1 Σ A A(ξ k, ξ k+1 ) = 1, k 0. Pour tout i = 1,..., M, U i R i est un ouvert pour lequel T i : U i T (U i ) réalise un difféomorphisme et t i : T (U i ) U i dénote la branche contractive inverse de T i

22 Propriété d échelle des mesures self-conformes On peut toujours supposer U i suffisamment petit t.q. A(i, j) = 1 = U j T (U i ) ; (3) si ξ = ξ 0 ξ 1 Σ A alors A(ξ n 1, ξ n ) = 1 et U ξn T (U ξn 1 ). Proposition Sous les conditions précédentes, on a les enchainements T (U ξn ) t ξn U ξn T (U ξn 1 ) t ξ n 1 U ξn 1 T (U ξn 2 ) t ξ n 2 t ξ1 Uξ1 T (U ξ0 ) t ξ 0 Uξ0

23 Propriété d échelle des mesures self-conformes Proposition Pour tout ξ 0 ξ 1 Σ A et tout entier n 1 R[ξ 0 ξ n 1 ] := t ξ0 t ξn 1 ( T (Rξn 1 ) ) et U[ξ 0 ξ n 1 ] := t ξ0 t ξn 1 ( T (Uξn 1 ) ) est un voisinage ouvert de R[ξ 0 ξ n 1 ] et le difféomorphisme t ξ0 t ξn 1 : T (U ξn 1 ) U[ξ 0 ξ n 1 ] est la branche locale inverse de T n.

24 Propriété d échelle des mesures self-conformes Proposition Soit T : X X une transformation expansive possédant une partition de Markov R = {R 1,..., R M } (et R i < r 0 ) ; alors µ est (T, exp(φ))-conforme si et seulement si i = 1,..., M, A R i = µ(t (A)) = A µ(dx) exp(φ(x)) Preuve (sketch). La (T, exp(φ))-conformité de µ implique ( ), car R i < r 0. Réciproquement, si ( ) est satisfaite alors, A < r 0 µ(t (A)) = p µ( T (A R i ) ) i=1 = p i=0 A R i µ(dt) exp(t) = (Rq. Le fait que µ( R i ) = 0 n a rien d évident!) A ( ) µ(dt) exp(φ(t)).

25 Propriété d échelle des mesures self-conformes Définition Soit R = {R 1,..., R M } (et R i < r 0 ) une partition de Markov pour T : X X et pour i = 1,..., M soit U i un petit voisinage ouvert de R i et t i : T (U i ) U i = U[i] la branche inverse de T correspondante ; alors pour f : X R borelienne et ξ Σ A, { f ( t ξ0 t ξn 1 (x) ) si x T (U[ξ n 1 ]) f (ξ 0 ξ n 1 x) = 0 si non. Lemme Étant donnés w et m deux mots tels que wm soit Σ A -admissible, f (wm x) = f (w (m x)).

26 Propriété d échelle des mesures self-conformes Comme pour A U i on a 1 T (A) (x) = 1 A (i x), la caractérisation de la conformité devient : µ(dx) A U i = 1 A (i x)µ(dx) = 1 A (x) exp(φ(x)) ce qu on peut étendre aux fonctions f : X R par µ(dx) Supp(f ) U i = f (i x)µ(dx) = f (x) exp(φ(x)) et en remplaçant x f (x) par x f (x) exp(φ(x)), il vient : Supp(f ) U i = f (i x) exp ( φ(i x) ) µ(dx) = f (x)µ(dx). Soient 1 i, j M t.q. A(i, j) = 1 et f : X R continue de support dans U[ij] ; comme U[ij] U[i]) la fonction x f (i x) a son support dans U[j] et

27 Propriété d échelle des mesures self-conformes = = = ( ) f (ij x) exp φ(ij x) + φ T (ij x) µ(dx) ( ) ( ) f (i (j x)) exp φ(i (j x)) exp φ(j x) µ(dx) ( ) f (i x) exp φ(i x) µ(dx) f (x)µ(dx) ; par induction on obtient :

28 Propriété d échelle des mesures self-conformes Proposition (propriété d échelle des mesures self-conformes) Soit T : X X une transformation markovienne expansive d horizon d injectivité r 0 et dont le taux de contraction maximal est α ; alors les propositions suivantes sont équivalentes : (i) : µ est (T, exp(φ))-conformal ; (ii) : µ est (T n, exp(s n φ))-conforme, pour tout n 1, i.e. A r 0 α n 1 = µ(t n (A)) = A µ(dx) exp(s n φ(x)) où par définition n 1 S n φ(x) = φ ( T n (x) ). k=0

29 Propriété d échelle des mesures self-conformes Pour φ : X R continue on pose : Var n (φ) := max { φ(x) φ(y) ; x y r 0 α n} Soient x, y t.q. x y r 0 α n : alors, 0 k n T k (x) T k (y) r 0 α n k et par suite : Var n (φ) φ(x) φ(y) Var n (φ) Var n 1 (φ) φ(t (x)) φ(t (y)) Var n 1 (φ) Var 1 (φ) φ(t n 1 (x)) φ(t n 1 (y)) Var 1 (φ).

30 Propriété d échelle des mesures self-conformes Pour φ : X R continue on pose : Var n (φ) := max { φ(x) φ(y) ; x y r 0 α n} Soient x, y t.q. x y r 0 α n : alors, et par suite : 0 k n T k (x) T k (y) r 0 α n k 1 exp ( Var n (φ) ) 1 exp ( Var n 1 (φ) ) ( exp φ(x) exp ( φ(y) ) exp ( Var n (φ) ) ( ) exp φ(t (x)) exp ( φ(t (y)) ) exp ( Var n 1 (φ) ) 1 exp ( Var 1 (φ) ). exp ( φ(t n 1 (x)) ) exp ( φ(t n 1 (y)) ) exp ( Var 1 (φ) )

31 Propriété d échelle des mesures self-conformes d où (en multipliant les inégalités) on déduit 1 1 K φ K φ (n) exp(s nφ(x)) exp(s n φ(y)) K φ(n) K φ avec ( n ) K φ (n) = exp k=1 Var k(φ) ( ) exp k=1 Var k(φ) =: K φ La continuité de φ : X ] ; 0[ entraîne que Var n (φ) 0, pour n + et par suite (Lemme de Cesàro), Définition 1 lim n + n log K φ(n) = 0 φ est à variations sommables ssi k=1 Var k(φ) < +.

32 Propriété d échelle des mesures self-conformes Corollaire Si φ est à variation sommable et µ est (T, exp(φ))-conforme, alors (i) : pour A < r 0 α n 1 et x A µ ( T n (A) ) µ(a) exp(s n φ(x)) µ( T n (A) ) K φ K φ (ii) : Si R = {R 1,..., R M } est une partition de Markov (avec R i < r 0 ), alors µ est de support plein sur X et min{µ(r i )} µ ( Rn (x) ) K φ exp ( S n φ(x) ) max{µ(r i)}k φ.

33 Opérateur de Ruelle Soit P := {P 1,..., P M } une partition de l unité continue, avec P i : X [0 ; 1] et Supp(P i ) U i. Si µ est (T, exp(φ))-conforme, alors pour tout f C(X ) P i (i x)f (i x) exp ( φ(i x) ) µ(dx)= P i (x)f (x)µ(dx) ( ) Définition (opérateur de Ruelle) L opérateur de Ruelle L φ : C(X ) C(X ) (relativement à P) est L φ [f ](x) := M P i(i x)f (i x) exp ( φ(i x) ). i=1 En sommant ( ) pour i = 1,..., M, M L φ [f ](x)µ(dx) = P i(x)f (x)µ(dx) = f (x)µ(dx). i=1

34 Opérateur de Ruelle Grâce au Théorème de représentation de Riesz, l adjoint de L φ est l opérateur L φ : F(X ) F(X ) (agissant sur l espace F(X ) des mesures boreliennes signées finies) et défini en posant : f C(X ), f (x)l φ [µ](dx) = L φ [f ](x)µ(dx), Proposition µ est (T, exp(φ))-conforme ssi L φ [µ] = µ.

35 Retour sur les mesures doublantes Théorème Soit T : X X un répulseur conforme, d horizon d injectivité r 0 et de coefficient de contraction minimal α et µ une mesure (T, exp(φ))-conforme, pour φ : X R continue ; si φ est à variation sommable alors µ est doublante. Nous adapterons la preuve de Pesin et Weiss donnée dans [PW97] Y. Pesin & H. Weiss (1997), A multifractal analysis for equilibrium measures for conformal expanding maps and Moran-like geometric construction, J. Stat. Phys. en utilisant leur construction de partition de Markov spéciale.

36 Retour sur les mesures doublantes Preuve (sketch). Soit µ une mesure de probabilité sur X, t.q. µ est (T, exp(φ))-conforme pour φ : T R continue ; φ est à variations sommable (= 0 < K φ < + ) ; Nous utilisons [PW97 Theorem A2] assurant { l existence de constantes C = C 1 0 < C 2 < 1 1/2 avec C 2 0 < C 1 C 2 /2 d un entier κ 1 ; et pour lesquels x 0 X et 0 < ρ C 2 r 0 ( r 0 ), il existe une partition de Markov R 0 = {R 1,..., R M } pour T κ t.q. (i) : i = 1,..., M, R i ρ (ii) : B(x 0, Cρ) R 0 (x 0 )

37 Retour sur les mesures doublantes Soient x 0 X ; 0 < r C 1 r 0 /2 (< r 0 ) ; R 0, partition de Markov pour x 0 et ρ = 2r/C (< C 2 r 0 < r 0 ) ; alors on a R i ρ ( i = 1,, M) et x 0 est approximativement centré dans R 0 (x 0 ), i.e. B(x 0, Cρ) = B(x 0, 2r) R 0 (x 0 ) Rappelons que R n := n k=0 T k (R 0 ) ce qui permet d écrire R 0 (x 0 ) ρ = 2r/C = R n (x 0 ) 2rα n /C 2rα n /C r n log(2c) log α := N 0 Ainsi, il est toujours vrai que R N0 (x 0 ) r : finalement R N0 (x 0 ) B(x 0, r) B(x 0, 2r) R 0 (x 0 )

38 Retour sur les mesures doublantes

39 Retour sur les mesures doublantes Par suite µ ( B(x 0, 2r) ) µ ( R 0 (x 0 ) ) entraîne que µ ( B(x 0, 2r) ) µ( R 0 (x 0 ) ) e Sκφ(x 0) e Sκφ(x 0) e S κ+n 0 φ(x 0 ) e S κ+n 0 φ(x 0 ) µ ( R N0 (x 0 ) ) µ( R N0 (x 0 ) ) soit encore (puisque µ ( R N0 (x 0 ) ) µ ( B(x 0, r) ) ) µ ( B(x 0, 2r) ) µ( R 0 (x 0 ) ) 1 e Sκφ(x 0) e S N 0 φ(t κ (x 0 )) e S κ+n 0 φ(x 0 ) µ ( R N0 (x 0 ) ) µ( B(x 0, r) ) ( Par self-conformité de µ, il vient d une part µ ( T κ (R 0 (x 0 )) ) µ(dx) = e Sκφ(x) 1 µ ( R0 (x 0 ) ) K φ e Sκφ(x 0) soit µ ( R 0 (x 0 ) ) e Sκφ(x 0) R 0 (x 0 ) K φ µ ( T κ (R 0 (x 0 )) ) ( )

40 Retour sur les mesures doublantes et d autre part, d où µ ( T κ (R 0 (x 0 )) ) = µ ( T κ+n 0 (R N0 (x 0 )) ) µ(dx) = e S κ+n 0 φ(x) K φ µ ( RN0 (x 0 ) ) e S κ+n 0 φ(x 0 ) R N0 (x 0 ) e S κ+n 0 φ(x 0 ) µ ( R N0 (x 0 ) ) K 1 φ µ ( ) T κ ( ) (R 0 (x 0 )) et par ( ), ( ) et ( ) on conclut que µ ( B(x 0, 2r) ) K 2 φ exp ( N 0 inf(φ) )µ( B(x 0, r) ) (φ étant continue, 0 < e N 0 inf(φ) e S N 0 φ(x 0 ) )