Groupe de travail d analyse ultramétrique
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1 Groupe de travail d analyse ultramétrique LUCIEN VAN HAMME The p-adic gamma function and the congruences of Atkin and Swinnerton-Dyer Groupe de travail d analyse ultramétrique, tome 9, n o 3 ( ), exp. n o J17, p. J1-J6 < 9_3_A18_0> Groupe de travail d analyse ultramétrique (Secrétariat mathématique, Paris), , tous droits réservés. L accès aux archives de la collection «Groupe de travail d analyse ultramétrique» implique l accord avec les conditions générales d utilisation ( Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques
2 ~ ~ - Groupe dl étude d.analyse ultramétrique (Y. AMICE G. CHRISTOL, P. ROBBA) 9e année, 1981/82, fasc. 3~ no J17, 6 p. Journée d Analyse p-adique [1982. Marseille-Luminy] J17-01 septembre 1982 THE p-adic GAMMA FUNCTION AND THE CONGRUENCES OF ATKIN AND SWINNERTON-DYER by Lucien VAN HAMME [Vrije Universiteit Brussel] 1. Introduction. The p-adic gamma fonction is defined as follows. Whri te The séquence ri 2014> r (n) is the restriction of a continuons function * P r : Z 2014> Z which is, by définition, the p-adic gamma function. ~ ~ y ~ p p We will need the following properties of this fonction [5J : We will discuss the following two formulas. FORMULA 1. - I f p i s a prime number of t he form p = 1 + 3m, m ~ N ~ then where a and b are integers defined 0/ the. conditions 4p = a2 + 3 b2, b = 0 (mod 3), a ~ + 1 (mod 3) and a = -3 b p) If p is a prime number of the p = 1 + 4m, then - _ (p - 1 2) i where i = - 1 y i ~ (sod p), and a and b are integers defined by the conditions p a = + b2, a = i (mod 4) and a == ib (mod p). Thé formulas (F. l) and (F. 2) can be proved in several ways. They are both spécial ( ) Lucien VAN Faculty of applied Sciences, Vrije Universiteit Brussel, 2 Pleinlean, B-1050 BRUSSEL (Belgique).
3 cases of the formula of Gross-Kobli tz ([ 3], [ 5]), and they J17-02 can also be deduced from the p-adic version of the formula of Chowla-Selberg (formala (4.12) of [ 3] and (3.10) of [4]). The purpose of this note is to prove the formulas by means of the congruences of Atkin and Swinnerton-Dyer. The fact that the values of the p-adic gamma function are related to certain elliptic curves is hardly suprising since the (complex) formula of Chowlar-Selberg shows that there is a relation between ganma function and elliptic fonctions. We will only give the detailed proof of (F. l). The proof of (F. 2) is similar. 2. The congruences of Atkin and Swinnerton-Dyer. THEOREM 1]. - Let p ~ 2 or 3 and let y2 = x3 - Bx - C be an eliptic curve over Fp, thé field of p éléments. Let x = -2 +,,"00 t be any expansion, with y=t +... ~ and write Then A = Np = the number a f points on the affine curve. 3. Proof o f ( F.1 ~. We now apply the theorem of Atkin and Swinnerton-Dyer to the curve In order to simplify the calculations, we replace y by y + 1 2, équation in the form and write the If ve put t = x (the local parameter at y 0) and s = 1., the equation (2) gives y
4 - dx J Since y = -:r and x = 2, ve know the expansions or % ad4 Y. t t However, what we really need are the coe:fficients in the expansion of da ds 3t 2 Now xs = t, dt S + x dt = 1 and from (3) ve have de =.. Since the constant term of w is + 1, we must take the + sign. and Let p be a prime number, p = 1 (mod 3). Put 1 + 3m. r If we apply the theorem of Atkin and Swinnerton-Dyer with n = pr we get, for r~ 1, Since m is even this simplifies to For r = 0, we simply get We now turnte thé calculation of A = p - N. We will détermine P N*. o 3 ~ P points, over Fp, on thé projective curve zy = x + -r-. thé number of
5 point at 3 Since this curve bas one point at infinity N* = Np + 1. But N* is la also thé the number of points on the projective curve u + v3 = w. This follows from the birational transformation N P3 N p J17-04 which transforms (1) in u3 + v3 = 1. Note that j- 3 E F. A well-known theorem of Gauss ([ 2], [61) states that fhr p = 1 (mod 3), the number of points on the projective u w curve + is equal to p a, where the integer a in determined by the décomposition 4p a 2 3b 2 = + congruences a = - 1 3), b = 0 (mod 3). N ~ p - a and the number in (5) and (6) is equal to a. and the Observe that (6) is a classical congruence of Jacobi and Stem. We now to calculate r (-3). Let g be a positive integer, and put h = [g p]. Suppose that [2g p] = 2[g p], then ao ue use this with g = m 1. From (4), ve see that h = m and = 2[g p]. r+1 r p P From the définition of m r+ 1, it is clear that mnl :"" -., (mod p ). Using the properties of the p-adic gamma functinn stated in the introduction, we deduce from (7) Substituting in (5), ve obtain
6 J17-05 If r 2014> oo ~ we conclude is a root of th] équation The discri;ninant of this équation is a - 4p = - 3b ~ and hence Note that one of the roots of (8) is a p-adic unit the other root is in p Z. If we fix the sign of b - 3 by thé congruence - a == b /- 3 (nod p), thé root ~ ~ Y2014 is a p-adic unit. This where a has been replaced by - a. 4. The The proof is simular but uses the curve y = we f ind x - x. Putting x = ty as before, Putting pr = 1 + 4m r and reasoning in the same way as in section 3, we obtain a congruence which has the same form as (5), but where the meaning of A is different. Formula (F. 2) can be deduced from this congruence as befnre. The cnngruence (6) is now a classical congruence due to Gauss. [1] ATKIN (A.) and SWINNERTON-DYER (H.). - Modular forms on noncongruence subgroups, "Combinatorics", p Providence, American mathematical Society, 1979 (Proceedings of Symposia in pure Mathematics, 19). [2] GAUSS (C. F.). - Disquisitiones arithmeticae. - New Haven, London, Yale university Press, [3] GROSS (B.) and KOBLITZ (N.). - Gauss sums and the p-adic 0393-function, Annals of Math., Series 2, t. 109, 1979, p
7 J17-06 [4] GROSS (B.). - On the factorization of p-adic L-series, Invent. Math., Berlin, t. 57, 1980, p [5] LANG (S.). - Cyclotomic fislds, II. - New York, Heidelberg, Berlin, Springer- Verlag, 1980 (Graduate texts in Mathematics, 69). [6] TATE (J.). - Rational Points on elliptic curves, Philips Lectures, Haverford College, 1961.
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