1. zadatak. Stupcasti dijagram podataka: F:\STATISTICKI_PRAKTIKUM\1.KOLOKVIJ. . l_od_theta.m poisson.m test.doc.. podaci.dat rjesenja.

Transcription

1 1. zadatak cd F:\STATISTICKI_PRAKTIKUM\1.KOLOKVIJ cd F:\STATISTICKI_PRAKTIKUM\1.KOLOKVIJ ls. l_od_theta.m poisson.m test.doc.. podaci.dat rjesenja.doc clear podaci; podaci=csvread('podaci.dat') podaci = Stupcasti dijagram podataka: xi=podaci(:,1); xi=xi' xi = Columns 1 through Column fi=podaci(:,2); fi=fi' fi = Columns 1 through Column 13 2

2 bar(xi,fi) ylabel('broj INTERVALA'); xlabel('broj ALPHA-CESTICA'); title('dijagram apsolutnih frekvencija')

3 6 Dijagram apsolutnih frekvencija 5 4 BROJ INTERVALA BROJ ALPHA-CESTICA Nacrtajmo sad graf relativnih frekvencija uzorka: n=sum(fi) rfi=fi*1/n rfi = Columns 8 through bar(xi,rfi) ylabel('broj INTERVALA'); xlabel('broj ALPHA-CESTICA');

4 .25.2 BROJ INTERVALA BROJ ALPHA-CESTICA title('dijagram relativnih frekvencija');

5 .25 Dijagram relativnih frekvencija.2 BROJ INTERVALA BROJ ALPHA-CESTICA Testiranje pripadnosti Poissonovoj razdiobi: X~P(λ) P(X=k) = λ k * 1/k! * e - λ ; k N U {} Sa (x 1, x n ) označimo realizaciju slucajnog uzorka. Tada je fja maximalne vjerodostojnosti dana sa: L(θ) = θ x1 * θ x2 * * θ xn * 1/x 1! * *1/x n! * e -θ * *e -θ = = θ xi * 1/(x 1! * * x n!) * e -n* θ,tj. prema nasim oznakama (vektor xi i fi ) i dobivenim podacima, to je zapravo: L(θ) = θ xi(i) * fi(i) * 1/( xi(1)! fi(1) * * xi(m)! fi(m) ) * e -n*θ, gdje je m broj razreda, tj. m=13. Traženje maximuma ove funkcije ekvivalentno je traženju maximuma fje: l(θ) = ln L(θ) = x i * ln(θ) + ln(xi(1)! -fi(1) ) + + ln(xi(m)! -fi(m) ) n*θ = x i * ln(θ) fi(1)*ln(xi(1)!) - fi(m)*ln(xi(m)!) n*θ suma=dot(xi,fi)

6 suma = 1126 Izračunamo potrebne faktorijele: for i=1:13 faktpom(i)=prod( 1:xi(i) ); end faktpom=[log(faktpom)] faktpom = Columns 8 through fakt=dot(faktpom,fi) fakt = e+3 U editoru definiramo funkciju l_od_theta to je fja l(θ): { function fmaxvj=l_od_theta(lam,n,suma,fakt) fmaxvj=suma*log(lam) fakt n*lam; } Deriviramo je po parametru θ, (tj. lam): syms lam; diff(l_od_theta(lam,n,suma,fakt)) ans = 1126/lam-2612 i nađemo njen maximum: lamkapa=solve(diff(l_od_theta(lam,n,suma,fakt))) lamkapa = 563/136 format short lamkapa=563/136 lamkapa =

7 Sada nacrtamo stupčasti dijagram Poissonove razdiobe s procijenjenim parametrom λ' i usporedimo ga sa dijagramom empirijske razdiobe. Funkcija poisson(k,lam) daje vjerojatnost poprimanja vrijednosti k za Poissonovu distribuciju s parametrom lam,tj. P(X=k) = λ k * 1/k! * e -λ : { function f=poisson(k,lam) f=lam^k * 1/factorial(k) * exp(-lam); } clear pfi for k=1:13 pfi(k)=poisson(k-1,lamkapa); end pfi pfi = Columns 8 through rfi rfi = Columns 8 through lista=[rfi ; pfi] lista = Columns 8 through bar(xi,lista')

8 Preostaje nam jos pretpostavku o Poissonovoj distribuiranosti od X testirati pomoću Pearsonovog hi-kvadrat testa. Preostaje nam jos pretpostavku o Poissonovoj distribuiranosti od X testirati pomoću Pearsonovog hi-kvadrat testa. Očekivane frekvencije uz pretpostavku pripadnosti podataka Poissonovoj distirbuciji su clear pfi for k=1:13 pfi(k)=poisson(k-1,lamkapa); end pfi pfi = Columns 8 through zadnji=1-sum(pfi) zadnji = 2.375e-4

9 pfi(14)=zadnji pfi = Columns 8 through ofi=n*pfi ofi = Columns 8 through zadnji=n-sum(fi) zadnji = fi(14)=zadnji fi = Columns 1 through Columns 13 through 14 2 Uz odgovarajuce grupiranje razreda(akoje u nekom razredu očekivana frekvencija <5,grupiramo susjedne razrede dok očekivana frekvenvija novog razreda ne bude barem 5), test statistika H ima sljedecu vrijednost: finova=[fi(:,1:11),fi(12)+fi(13)+fi(14)] finova = ofinova=[ofi(:,1:11),ofi(12)+ofi(13)+ofi(14)] ofinova = Columns 8 through l=finova-ofinova l = Columns 8 through for k=1:12 z(k)=l(k)*l(k)/ofinova(k);

10 end z z = Columns 8 through h=sum(z) h = Treba izracunati p-vrijednost za taj test. Trebat ce nam hi-kvadrat distribucija s stupnjeva slobode. df=1 df = 1 P-vrijednost izracunat cemo koristeci funkciju distribucije chi2cdf za hi-kvadrat(1)- distribuiranu slucajnu varijablu h: pv=1-chi2cdf(h, df) pv = je maksimalni nivo znacajnosti na kojem necemo odbaciti pretpostavku o pripadnosti podataka Poissonovoj distribuciji. 2. zadatak clear x; data=[1 49;2-67;3 8;4 16;5 6;6 23;7 28;8 41;9 14;1 29;11 56;12 24;13 75;14 6;15-48] data =

11 datat=data' datat = Columns 1 through Columns 13 through c=[datat(2,:)] c = Columns 1 through Columns 13 through x=sort(c) x = Columns 1 through Columns 13 through Karakteristična petorka: medijan=x(1/2*(length(x)+1)) raspon_uzorka=x(length(x))-x(1) gornji_kvartil=x(3/4*(length(x)+1)) donji_kvartil=x(1/4*(length(x)+1)) interkvartil=gornji_kvartil-donji_kvartil medijan = 24 raspon_uzorka = 142 gornji_kvartil = 49 donji_kvartil = 8 interkvartil = 41 Dijagram pravokutnika: boxplot(x)

12 grid on title('dijagram pravokutnika') legend('razlike visina') 8 dijagram pravokutnika razlike visina Values Column Number Normalni vjerojatnosni graf: Funkcija mean računa aritmetičku sredinu, a funkcija var uzoračku varijancu. mi=mean(c) mi = sigma_kvadrat=var(c) sigma_kvadrat = e+3 format rat, sigma_kvadrat sigma_kvadrat = 66958/47

13 n=length(x) i=1:n; t=[(i-3/8)/(n+1/4)] n = 15 t = Columns 1 through 5 5/122 13/122 21/122 29/122 37/122 Columns 6 through 1 45/122 53/122 1/2 69/122 77/122 Columns 11 through 15 85/122 93/122 11/122 19/ /122 Točke t su točke na apscisi u kojima inverzna funkcija distribucije normalne jedinične razdiobe postiže vrijednosti i/n, gdje je i {1,,n}. y=norminv(t) y = Columns 1 through / /555-97/ / /767 Columns 6 through / /43 71/ /5339 Columns 11 through / /737 97/ / /683 Funkcija norminv je inverzna funkcija distribucije jedinične normalne razdiobe. sigma=sqrt(sigma_kvadrat) sigma = 52/133 plot(y,x,'rd') title('graf normalnih vjerojatnosti'); hold on plot(y,sigma*y+mi)

14 1 graf normalnih vjerojatnosti hold off Iz grafa je očito da u lijevom repu postoji poveće odstupanje od normalne razdiobe. Međutim, kako se radi o procijeni relativno malog uzorka, duljine 15, i od toga su svega dvije vrijednosti iz tog uzorka negativne, mi još uvijek na temelju grafičkog kriterija ne možemo odbaciti hipotezu da uzorak dolazi iz normalne distribucije. Još jedan način provođenja grafičkog testa, koristeći naredbu normplot: normplot(x); grid on; title('graf normalnih vjerojatnosti'); hold off

15 .98 graf normalnih vjerojatnosti Probability Data LILLIEFORSOVA INAČICA K-S TESTA: z=[(1/sigma)*(x-mi)] z = Columns 1 through / / / / /1116 Columns 6 through 1-169/ / / / /1385 Columns 11 through / / / /314 37/2583 Ho: F ~ AN(,1) Dn=sup Fn(z)-F(z) =max{ (i-1)/n F(z(i)), i/n F(z(i)) }; supremum po z iz R, i maksimum za 1 i n, gdje je n=15 tj. length(z). Fn je empirijska funkcija distribucije. Dn=; for i=1:n d1=abs(normcdf(z(i),,1)-(i-1)/n); d2=abs(i/n-normcdf(z(i),,1)); m=max(d1,d2); if m>dn Dn=m; end end

16 Dn Dn =.2129 Normcdf je funkcija distribucije normalne jedinične slučajne varijable. Lilliefosov test se može provesti direktno naredbom lillietest: [H,P,LSTAT] = lillietest(x) H = P =.688 LSTAT =.2129 U našem slučaju je: H= što znači da ne odbacujemo našu nul hipotezu da z~n(,1,) tj. x~n(µ,σ^2), gdje je µ=mi=2.9333, σ^2=sigma_kvadrat=82629/58. P=.688 i to je p-vrijednost dobivena interpolacijom iz Lillieforsove tablice. LSTAT=.2129, što je vrijednost test-statistike dn i ovaj Lillietest je proveden uz značajnostod od 5%. ZAKLJUČAK: uz značajnost od 5% ne odbacujemo Ho, točnije za značajnosti.688 ne odbacujemo nul-hipotezu (Dn=.2129, Dn<.219, gdje je.219 broj iz Lillieforsove tablice za size=15 i nivo značajnosti alfa=.5. Pa za nivoe značajnosti.688 ne odbacujemo pretpostavku o pripadnosti slučajnog uzorka x normalnoj distribuciji s parametrima koji su procijenjeni s vrijednostima mi= i sigma_kvadrat=82629/58). for i=1:2 u(i)=2*randn+2; end u u = Columns 8 through Columns 15 through Columns 22 through Columns 29 through Columns 36 through Columns 43 through 49

17 Columns 5 through Columns 57 through Columns 64 through Columns 71 through Columns 78 through Columns 85 through Columns 92 through Columns 99 through Columns 16 through Columns 113 through Columns 12 through Columns 127 through Columns 134 through Columns 141 through Columns 148 through Columns 155 through Columns 162 through Columns 169 through Columns 176 through Columns 183 through Columns 19 through Columns 197 through Dobivene podatke prikazat cemo pomocu histograma na sljedeci nacin: hist(u)

18 Izracunajmo ukupnu povrsinu stapica na histogramu: [frekv,sredina_razreda]=hist(u) frekv = sredina_razreda = Columns 8 through sirina =sredina_razreda(2)-sredina_razreda(1) sirina =.9643 povrsina=sum(frekv*sirina) povrsina =

19 Popravimo histogram tako da ukupna povrsina stapica bude 1 i usporedimo ga s grafom normalne jedinicne razdiobe: frekv_rel=frekv/sum(frekv); visina_pruga=frekv_rel/sirina; bar(sredina_razreda,visina_pruga,1) hold on f=inline('(1/(2*sqrt(2*pi)))*exp(-((x-2)^2)/(2*4))') f = Inline function: f(x) = (1/(2*sqrt(2*pi)))*exp(-((x-2)^2)/(2*4)) ezplot(f)

20 (1/(2 sqrt(2 π))) exp(-((x-2) 2 )/(2 4)) x hold off 3. zadatak syms x m Matematičko očekivanje dobijem integriranjem funkcije x*f(x) od do 3m: Ex=int((2*x/(3*m))*(1-(x/(3*m))),x,,3*m) Ex = m Varijanca je E(x) 2 -(Ex) 2 : Var_x=int((2*x*x/(3*m))*(1-(x/(3*m))),x,,3*m)-mˆ2 Var_x = 1/2*m^2 Prvo radim procjenu parametra m za trokutastu razdiobu: a) Procjena parametra m točkovno:

21 m_arit=mean(podaci1) m_arit = 4.24 b) Procjena parametra m pomoću MLE procjenitelja Procjenitelj najveće vjerodostojnosti pod pretpostavkom da je uzorak iz trokutaste razdiobe, MLE, za parametar m se dobiva ovako: Formiram funkciju maksimalne vjerodostojnosti za uzorak duljine 5: 5 L(X1, X5; m)=π i=1 f(xi; m) L(X1,.., X5) = (2/3m)^5*(1-x1/(3*m))*..*(1-x5/(3*m)) produkt=prod(1-(podaci1/(3*m))) produkt =(1-5/3/m)^6*(1-8/3/m)^3*(1-2/3/m)^11*(1-1/3/m)^9*(1-1/m)^7*(1-7/3/ m)^2*(1-4/3/m)^4*(1-1/3/m)*(1-2/m)^4*(1-14/3/m)*(1-4/m)*(1-16/3/m) l=log((((2/(3*m))ˆ5)*produkt)) l = log( / /m^5*(1-5/3/m)^6*(1-8/3/m)^3* (1-2/3/m)^11*(1-1/3/m)^9*(1-1/m)^7*(1-7/3/m)^2*(1-4/3/m)^4*(1-1/3/m)*(1-2/ m)^4*(1-14/3/m)*(1-4/m)*(1-16/3/m)) Tražim ekstreme te funkcije, tj. nultočke derivacije od l: m_kapa=solve(diff(l)) m_kapa = Sad ubacujem svih 12 vrijednosti od m_kapa da vidim za koju vrijednost se postiže maksimum funkcije L: for j=1:12 produkt=1;

22 for i=1:5 produkt=produkt*(1-podaci1(i)/(3*m_kapa(j))); end L(j)=((2/(3*m_kapa(j)))^5)*produkt; end L L = , e-13, e-26, e-34, e-41, e-44, e-45, e-46, e-48, e-5, e-52, e-54] for i=1:12 L_1(i)=double(L(i)); end L_1 L_1 = 1.e+19 * L_maks=max(L_1) L_maks = e-14 To je maksimum funkcije maksimalne vjerodostojnosti, koji se postiže za m_kapa(2) =.7353 Crtam trokutastu razdiobu za m =.7353 bar(sred_razreda,visina,1) grid on title('h I S T O G R A M') ylabel('frekvencije međudolaznih vremena') xlabel('intervali međudolaznih vremena') hold on x = :.1:3 y = (2/(3*m))*(1-(x/(3*m))) plot(x,y,'-m')

23 1 H I S T O G R A M.8 frekvencije meðudolaznih vremena intervali meðudolaznih vremena hold off Za m_arit crtam trokutastu razdiobu na grafu s histogramom: bar(sred_razreda,visina,1) grid on title('h I S T O G R A M') ylabel('frekvencije međudolaznih vremena') xlabel('intervali međudolaznih vremena') hold on.3.25 frekvencije meðudolaznih vremena intervali meðudolaznih vremena hold off