MAHOV PRINCIP. Bojan Arbutina student astrofizike Matematičkog fakulteta u Beogradu

Size: px
Start display at page:

Download "MAHOV PRINCIP. Bojan Arbutina student astrofizike Matematičkog fakulteta u Beogradu"

Transcription

1 MAHOV PRINCIP Bojan Arbutina student astrofizike Matematičkog fakulteta u Beogradu ISTORIJA Fizika, i nauka uopšte, dostigla je danas takve razmere da je običnom čoveku nemoguće da prati njene savremene tokove, izazivajući s jedne strane, možda, odbojnost, a sa druge inferiornost ljudi u odnosu na one koji razumeju naučnike. Stvari, med utim, ne stoje baš sasvim tako. Nauka uglavnom funkcioniše na način koji bi se, u skladu sa filozofijom kvantne teorije polja, mogao izraziti kao: gurnuti krupne konceptualne probleme pod tepih i nastaviti sa računanjem. Većina će se tako, verovatno složiti da postoji još dosta stvari koje treba objasniti; fizika iza sebe vuče mnoge repove. Jedan od tih repova jeste i problem inercije. Poznato je da Aristotel (Aristoteles) prvi postavio dinamiku u skladu sa zakonom da slobodna tela (tela na koja ne deluju nikakve sile) ostaju u stanju apsolutnog mirovanja. Galilej (Galilei) je, med utim, pobio ovo Aristotelovo učenje o sili kao uzroku kretanja, i pokazao da ce telo, ukoliko nema uzajamnog delovanja sa drugim telima (sile) ostati u stanju ravnomernog kretanja (ili u specijalnom slučaju mirovanja, v = 0) i ovu pojavu nazvao je inercijom. Poslednje tvrd enje poznato je u fizici kao I Njutnov (Newton) zakon. Klasična, Njutnova dinamika omogućavala je tako da se definiše jedna klasa idealizovanih fizičkih sistema inercijalni sistemi, vezani za materijalne objekte (kruta tela), u odnosu na koje vršimo sva merenja, i koji se kreću ravnomerno i pravolinijski jedan u odnosu na drugi. Galilejev princip relativnosti tvrdi da su svi inercijalni sistemi med usobno ekvivalentni (fizički zakoni su invarijantni u odnosu na Galilejeve transformacije) tako da pojam apsolutnog kretanja i apsolutnog prostora gubi smisao vec u klasičnoj mehanici. Njutn, med utim, zadržava ovaj pojam, zajedno sa predstavom o apsolutnom vremenu. Zašto? Znamo da II Njutnov zakon važi upravo za inercijalne sisteme. U neinercijalnim sistemima takod er možemo da namestimo da važi F = m a ukoliko uvedemo neke fiktivne sile koje nemaju izvor u drugim telima i koje nazivamo inercijalnim silama (centrifugalna, Koriolisova i sl.). Njutn je svakako 1

2 bio svestan principa relativnosti u mehanici, ali zbog postojanja ovih sila, ipak je morao da zadrži pojam apsolutnog kretanja. Zamislimo, na primer, Zemlju koja rotira u inače praznom univerzumu. Budući da ne vidimo zvezde, ne možemo utvrditi da Zemlja rotira na osnovu astronomskih posmatranja, ali prema Njutnovom stajalištu i dalje bi osećali dejstvo Koriolisove sile i mogli bi da odredimo ugaonu brzinu Zemlje, na primer, u eksperimentu sa Fukoovim (Foucault) klatnom. Njutnovi originalni argumenti za apsolutni prostor odnose se na njegov čuveni misaoni eksperiment sa kofom vode (Bradley 1971). Ukoliko zarotiramo kofu oko vertikalne ose površina vode neće više ostati horizontalna, već će usled dejstva centrifugalne sile doći do viskoznog trenja izmed u vode i zidova suda i površina će imati oblik paraboloida. Kada ovog trenja ne bi bilo, iako kofa i dalje rotira tj. voda rotira u odnosu na kofu, površina će ostati horizontalna što znači da nema rotacije vode u odnosu na okolni (apsolutni) prostor. Na ovaj način, Njutn je verovao da može razlikovati relativnu (prividnu) od apsolutne (stvarne) rotacije - kod apsolutne rotacije javljaju se inercijalne sile. Njutnovo stanovište prvi je kritikovao još biskup Berkli (Berkeley), Prema Berkliju svako kretanje je kretanje u odnosu na nešto (neko drugo referentno telo), pa je i Njutnova rotacija u odnosu na apsolutni prostor, zapravo kretanje u odnosu na sistem nepokretnih zvezda:...za odred ivanje stvarnog kretanja i stvarnog mirovanja, na način koji će ukloniti dvosmislenost i služiti svrsi filozofima mehaničarima, koji mnogo šire sagledavaju stvari, bilo bi dovoljno pretpostaviti, umesto apsolutnog prostora, relativni prostor omed en sferom zvezda nekretnica, za koje ćemo smatrati da se nalaze u mirovanju 1 (Bradley 1971). Konačno, austrijski fizičar i filozof Ernst Mah (Ernst Mach, ), u svom delu Die Mechanik prvi put objavljenom godine, ponavlja Berklijeve stavove vezane za sistem nepokretnih zvezda, ali ide još dalje: Pokušajte da ne vrtite Njutnovu kofu, već zarotirajte nebesku sferu sa zvezdama nekretnicama, i tada dokažite odsustvo centrifugalnih sila....ne bi trebalo preuranjeno zaključiti da je univerzum bez uticaja na fenomen ovde u pitanju (Bradley 1971). Uzeti zajedno, stavovi Berklija i Maha predstavljaju osnovu za ono što 1...for the determination of true motion and true rest in a way that would remove ambiguity and serve the purpose of mechanical philosophers, who view the system of things more broadly, it would be enough to suppose, instead of an absolute space, relative space bounded by the heaven of the fixed stars, this being regarded as at rest. 2

3 se danas naziva Mahovim principom. Mah, med utim nije sam postavio ovaj princip i nadenuo mu svoje ime, već je to učinio Ajnštajn (Einstein). Najčešće se citiraju njegove reči da u doslednoj teoriji relativnosti ne može biti inercije materije u odnosu na prostor, već samo inercije materije u odnosu na materiju. Ako, dakle, neko telo udaljimo dovoljno daleko od svih ostalih masa u univerzumu, njegova inercija mora se svesti na nulu (Bondi 1952). Postoji zapravo mnogo različitih formulacija Mahovog principa. Za sve njih zajedničko je, med utim, da materijalni sastav univerzuma na neki način odred uje inercijalne osobine svakog tela u njemu. POREKLO INERCIJALNIH SILA Mahov princip najčešće se dovodi u vezu sa pokušajem objašnjenja inercijalnih sila. Kako se inercijalne sile javljaju u neinercijalnim sistemima moramo prvo odrediti koji su to inercijalni, a koji neinercijalni sistemi. U tom smislu mogli bi smo definisati ovaj princip kao: inercijalni sistemi su oni koji se kreću neubrzano u odnosu na sistem nepokretnih zvezda, kako se to kaže kod Berklija i Maha. Mi, naravno, znamo da i zvezde imaju neka svoja, sopstvena kretanja, ali ništa nas ne sprečava da umesto zvezda uzmemo galaksije, jata, superjata, kvazare ili uopšte, bilo koje kosmološke objekte koji se praktično ne kreću (ako izuzmemo Hablovo širenje koje je izotropno). Pod sistemom nepokretnih zvezda misli se, dakle, na neki referentni sistem u kojem se celokupna masa svemira, u srednjem, nalazi u mirovanju! Ukoliko sad imamo neinercijalni sistem (npr. Zemlju koja rotira), i prihvatimo Mahovo gledište, univerzum nekako utiče na pojavu centrifugalne i Koriolisove sile, a jedini relevantni uticaj univerzuma na Zemlju jeste gravitacioni. Ako se još, u duhu Mahovog opšteg relativizma (Mah je, u neku ruku, apsolutni relativista), složimo da slučaj Zemlje koja rotira i univerzuma koji rotira oko Zemlje koja miruje moraju biti dinamički ekvivalentni, dolazimo do zaključka da inercijalne sile nastaju usled gravitacionog uticaja na Zemlju univerzuma koji rotira. Pionirske pokušaje u ovom pravcu, učinio je Šama (Sciama), pedesetih godina prošlog veka (Sciama 1953). Ideja da su inercijalne sile gravitacionog porekla, zapravo je još starija i vuče korene iz principa ekvivalencije, gde su stvari, zapravo, postavljene obrnuto (Peacock 1999). Prema slabom principu ekvivalencije inercijalna i gravitaciona masa tela su ekvivalentne, i nijedan eksperiment još nije uspeo da detektuje razliku izmed u ovih masa (prvi 3

4 su bili Etvešovi (Eötvös) eksperimenti krajem XIX veka). Ovim principom rukovodio se Ajnštajn gradeći opštu teoriju relativnosti. Generalizacija ovog principa, tzv. jaki princip ekvivalencije, tvrdi da za posmatrača u slobodnom padu svi fizički zakoni imaju isti oblik kao što bi imali u odsustvu gravitacije (u specijalnoj teoriji relativnosti). Odavde sledi da se gravitacione sile, lokalno, ne razlikuju od inercijalnih. Najpoznatiji je, svakako, primer sa Ajnštajnovom kutijom. Pretpostavimo da negde u vasioni van dejstava gravitacionih polja imamo posmatrača u zatvorenoj kutiji i da je kutija na neki način dovedena u stanje ubrzanog kretanja sa ubrzanjem a. Posmatrač u kutiji oseća dejstvo inercijalnih sila, ali kako ne zna da je podvrgnut ubrzanju, može sasvim legitimno zaključiti da on u stvari miruje, tj. nalazi se u inercijalnom sistemu, ali u homogenom gravitacionom polju g = a. Sličnom logikom koristi se i Šama. U njegovoj kasnijoj čuvenoj interpretaciji iz 1961, inercijalne sile možemo pripisati efektima gravitacione radijacije (Peacock 1999). Ako se poslužimo analogijom iz elektrodinamike gde ubrzana naelektrisana čestica u elektromagnetnom polju zrači, možemo pretpostaviti da se nešto slično dešava i kod gravitacije, tj. da ubrzana masivna čestica u gravitacionom polju emituje gravitaciono zračenje i tako gubi energiju, što se manifestuje kao delovanje inercijalne sile. Primenjeno na kosmos kao celinu, to objašnjava zašto uopšte postoje inercijalni sistemi i baca svetlo na sam Mahov princip. U sistemu koji se kreće neubrzano u odnosu na nepokretne zvezde ne javljaju se inercijalne sile, jer čestica koja se kreće ravnomerno pravolinijski ne zrači (baš kako kažu zakoni elektromagnetizma). Inercija je, dakle posledica zakona gravitacije! MAHOV PRINCIP I OPŠTA TEORIJA RELATIVNOSTI Da li je opšta teorija relativnosti (OTR) prava teorija inercije, odnosno gravitacije, pitanje je koje se postavlja u naučnim krugovima tokom čitavog prošlog veka. Ukoliko prihvatimo Mahov princip, onda se ovo pitanje svodi na sledeće: da li je Mahov princip inkorporiran u opštu teoriju relativnosti? Već smo napomenuli da postoje različite formulacije ovog principa, koje se u osnovi svode na skup povezanih ideja. Prema Ajnštajnu ovaj princip znači da su inercijalne osobine materije odred ene drugom materijom; telo samo u inače praznom univerzumu neće posedovati inerciju. Da je OTR zakazala u pokušaju uključenja u sebe Mahovog principa istakao je, med utim, 4

5 sam Ajnštajn pokazavši da će probna čestica u praznom univerzumu ipak posedovati inercijalne osobine. Naime, OTR je geometrizirana teorija u kojoj gravitacija više nije sila već unutrašnje svojstvo (zakrivljenost) prostorvremena. Ipak raspodela materije u prostoru odred uje osobine samog prostora; materija je ono primarno, dok prostorvreme postoji kao posledica postojanja materije (mada možemo usvojiti i Edingtonovu (Eddington) interpretaciju prema kojoj je primarno prostorvreme, a materija sekundarna zakrivljenost prostorvremena). Ovo se najbolje vidi kroz Ajnštajnove jednačine polja R µν 1 2 Rgµν + λg µν = 8πG c 4 T µν. Leva strana odred uje geometriju prostorvremena: g µν je metrički tenzor, R µν i R, Ričijev (Ricci) tenzor i skalar, respektivno, dok desna predstavlja tenzor energije impulsa T µν, tj. odred uje materijalni sastav (c je brzina svetlosti, a G gravitaciona konstanta). Lambda u jednačinama predstavlja kosmološku konstantu. Ajnštajnove originalne jednačine bile su bez λ-člana, ali ga je on dodao pokušavajući da dobije statičko rešenje (gde odbojno dejstvo λ-člana uravnotežava privlačno dejstvo gravitacije) u kojem će univerzum biti zatvoren (konačan, ali bez granica) i tako zadovoljavati Mahov princip. Kada je Habl (Hubble) pokazao da se univerzum širi, Ajnštajn je ponovo odbacio kosmološku konstantu. U med uvremenu, Fridman (Fridman) je dobio rešenja Ajnštajnovih jednačina sa λ = 0, koja zadovoljavaju kosmološki princip (da je prostor homogen i izotropan) i u kojima se svemir širi, i koja su tako postala teorijska osnova za model velikog praska. Kosmološka konstanta, ipak, nije zaboravljena i danas vlada uverenje (potkrepljeno posmatranjima da se širenje univerzuma ubrzava) da energija koja potiče od kosmološke konstante (neka nenulta energija vakuuma) predstavlja dominantni oblik energije u univerzumu. Pitanje Mahovog principa je, med utim, ostalo otvoreno. Sadržaj i forma jednačina polja: da materija odred uje osobine prostorvremena i da su jednačine u tenzorskom obliku, tj. da je teorija kovarijantno formulisana (fizički zakoni uzimaju isti oblik u svim sistemima reference), u saglasnosti je sa Mahovim principom. Problem je u tome što ove jednačine, kako smo već istakli, dozvoljavaju i vakuumska rešenja rešenja u kojima je prostor prazan, a probne čestice i dalje poseduju inercijalna svojstva. Tada je desna strana gornje jednačine jednaka nuli i leva strana (ako je λ = 0) 5

6 može da se transformiše u ekvivalentni oblik R µν = 0, koji predstavlja Ajnštajnove jednačine za vakuum 2. Neka najpoznatija rešenja OTR, med u kojima i Švarcšildovo (Schwarzschild), dobijena su iz ove jednačine. Na njima je teorija i eksperimentalno verifikovana. Rešenje problema ugradnje Mahovog principa u OTR moguće je, možda, tražiti preko graničnih uslova, kako je sugerisao Džon Viler (John Wheeler). Jednačine polja predstavljaju parcijalne diferencijalne jednačine i da bi našli njihovo jednoznačno rešenje (što je inače teško budući da su jednačine nelinearne) potrebno je zadati granične uslove, tj. raspodelu mase u proizvoljno dalekoj tački. To znači da se uticaj dalekih kosmoloških objekata, tj. univerzuma kao celine ne moze isključiti. Savremeni pokušaji idu preko integralnog oblika jednačina polja i nastojanja da se Mahov princip definiše kao neka vrsta selekcionog pravila kojim će se izabrati sva fizički prihvatljiva rešenja Ajnštajnovih jednačina (svi relativistički kosmološki modeli koji zadovoljavaju ovaj princip 3 ) (Raine 1975). Na kraju, postoje i alternativne teorije; od pokušaja Hojla (Hoyle) i Narlikara (Narlikar) da formulišu teoriju u kojoj za razliku od OTR, masa više nije invarijanta, do Brans Dikeove (Brans, Dicke) teorije u kojoj gravitaciona konstanta G postaje dinamičko polje (Raine 1981). Kako bilo, ekperimentalni testovi su ti koji odlučuju o sudbini teorija, a oni su na strani opšte relativnosti. UMESTO ZAKLJUČKA Mahov princip kao pokušaj objašnjenja inercije predstavlja jednu od najsmelijih naučnih hipoteza, uopšte. Problem ponikao u okvirima klasične, Njutnove fizike nastavio je da živi u opštoj teoriji relativnosti (i šire) sve do današnjih dana, delom i zbog velikog uticaja koji su Mahove ideje imale na samog Ajnštajna, izazivajući i dalje brojne rasprave. Različita mišljenja možda nam ukazuju da nam i dalje nedostaje dublje razumevanje mase i inercije. Kao što je istaknuto na početku, postoji još 2 U slučaju λ > 0 jednačine polja postaju R µν = λg µν odakle imamo poznato de Siterovo (de Sitter) vakuumsko rešenje u kosmologiji. Univerzum sa dominantnom energijom vakuuma će težiti ovom modelu. 3 Fridmanovi modeli (homogeni i izotropni) su u tom smislu zadovoljavajuća rešenja. 6

7 dosta stvari koje treba objasniti (ili razjasniti). Na tom putu samo iskustvo može nam reći šta odgovara konačnoj istini. Ali, ako ćemo sebi dozvoliti, na trenutak, da o teorijama i hipotezama sudimo po lepoti i smelosti onda bi Mahov princip bio u samom vrhu naučne misli. Možda najveća lepota ovde iznesenih ideja leži u činjenici da one, na neki način, povezuju kosmologiju, i Zemaljsku (laboratorijsku) fiziku, univerzum kao celinu sa svakim svojim pojedinačnim delom. Literatura Bondi, H. Cosmology, Cambridge, Bondi, H. Samuel, J The Lense-Thirring Effect and Mach s Principle (gr-qc/ ) Bradley, J. Mach s Philosophy of Science, London, Davidson, W Mon. Not. R. astr. Soc Lynden-Bell, D Mon. Not. R. astr. Soc Peacock, J. A. Cosmological Physics, Cambridge, Raine, D. J Mon. Not. R. astr. Soc Raine, D. J Rep. Prog. Phys Sciama D. W Mon. Not. R. astr. Soc Horák, Z General Relativity and Gravitation 4, Ovaj rad pisan je u okviru predmeta Metodika nastave i istorija astronomije, pod rukovodstvom prof. dr Jelene Milogradov-Turin, po ideji i uz konsultacije dr Milana M. Ćirkovića. MACH S PRINCIPLE Mach s principle as an attempt to explain inertia is one of the boldest scientific hypothesis, in general. The problem arisen in the framework of classical, Newtonian physics has continued to live in the domain of general relativity (and elsewhere) up to these days, partly because of the large influence of Mach s ideas on Einstein himself, still spurring disscusions. 7

TEORIJA SKUPOVA Zadaci

TEORIJA SKUPOVA Zadaci TEORIJA SKUPOVA Zadai LOGIKA 1 I. godina 1. Zapišite simbolima: ( x nije element skupa S (b) d je član skupa S () F je podskup slupa S (d) Skup S sadrži skup R 2. Neka je S { x;2x 6} = = i neka je b =

More information

ZANIMLJIV NAČIN IZRAČUNAVANJA NEKIH GRANIČNIH VRIJEDNOSTI FUNKCIJA. Šefket Arslanagić, Sarajevo, BiH

ZANIMLJIV NAČIN IZRAČUNAVANJA NEKIH GRANIČNIH VRIJEDNOSTI FUNKCIJA. Šefket Arslanagić, Sarajevo, BiH MAT-KOL (Banja Luka) XXIII ()(7), -7 http://wwwimviblorg/dmbl/dmblhtm DOI: 75/МК7A ISSN 5-6969 (o) ISSN 986-588 (o) ZANIMLJIV NAČIN IZRAČUNAVANJA NEKIH GRANIČNIH VRIJEDNOSTI FUNKCIJA Šefket Arslanagić,

More information

Red veze za benzen. Slika 1.

Red veze za benzen. Slika 1. Red veze za benzen Benzen C 6 H 6 je aromatično ciklično jedinjenje. Njegove dve rezonantne forme (ili Kekuléove structure), prema teoriji valentne veze (VB) prikazuju se uobičajeno kao na slici 1 a),

More information

Projektovanje paralelnih algoritama II

Projektovanje paralelnih algoritama II Projektovanje paralelnih algoritama II Primeri paralelnih algoritama, I deo Paralelni algoritmi za množenje matrica 1 Algoritmi za množenje matrica Ovde su data tri paralelna algoritma: Direktan algoritam

More information

Slika 1. Slika 2. Da ne bismo stalno izbacivali elemente iz skupa, mi ćemo napraviti još jedan niz markirano, gde će

Slika 1. Slika 2. Da ne bismo stalno izbacivali elemente iz skupa, mi ćemo napraviti još jedan niz markirano, gde će Permutacije Zadatak. U vreći se nalazi n loptica različitih boja. Iz vreće izvlačimo redom jednu po jednu lopticu i stavljamo jednu pored druge. Koliko različitih redosleda boja možemo da dobijemo? Primer

More information

Geometrijski smisao rješenja sustava od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice

Geometrijski smisao rješenja sustava od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice Osječki matematički list 6(2006), 79 84 79 Geometrijski smisao rješenja sustava od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice Zlatko Udovičić Sažetak. Geometrijski smisao rješenja sustava od dvije linearne

More information

Algoritam za množenje ulančanih matrica. Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek

Algoritam za množenje ulančanih matrica. Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek Algoritam za množenje ulančanih matrica Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek O problemu (1) Neka je A 1, A 2,, A n niz ulančanih matrica duljine n N, gdje su dimenzije matrice

More information

Uvod u relacione baze podataka

Uvod u relacione baze podataka Uvod u relacione baze podataka Ana Spasić 2. čas 1 Mala studentska baza dosije (indeks, ime, prezime, datum rodjenja, mesto rodjenja, datum upisa) predmet (id predmeta, sifra, naziv, bodovi) ispitni rok

More information

Rešenja zadataka za vežbu na relacionoj algebri i relacionom računu

Rešenja zadataka za vežbu na relacionoj algebri i relacionom računu Rešenja zadataka za vežbu na relacionoj algebri i relacionom računu 1. Izdvojiti ime i prezime studenata koji su rođeni u Beogradu. (DOSIJE WHERE MESTO_RODJENJA='Beograd')[IME, PREZIME] where mesto_rodjenja='beograd'

More information

Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral

Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral Sadržaj 1 Metrički prostori 3 1.1 Primeri metričkih prostora................. 3 1.2 Konvergencija nizova i osobine skupova...................... 12 1.3 Kantorov

More information

PRIPADNOST RJEŠENJA KVADRATNE JEDNAČINE DANOM INTERVALU

PRIPADNOST RJEŠENJA KVADRATNE JEDNAČINE DANOM INTERVALU MAT KOL Banja Luka) ISSN 0354 6969 p) ISSN 1986 58 o) Vol. XXI )015) 105 115 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm PRIPADNOST RJEŠENJA KVADRATNE JEDNAČINE DANOM INTERVALU Bernadin Ibrahimpašić 1 Senka Ibrahimpašić

More information

Virtual Library of Faculty of Mathematics - University of Belgrade

Virtual Library of Faculty of Mathematics - University of Belgrade Marko D. Leko BORNOVO RELLtTIVISTICKI 6VRSTO TELO (doktorska disertacija) OMBRA 07 3M4M1JA IWY44Err PAAA 3A MATEMATW, MEXAHW H AUPOHOMMY ii B J1 U u T i & A EPoi:,i1, a T ym: elnci-i...q) V SADRZAJ Gleva

More information

ON SPACE AND TIME IN QUANTUM COSMOLOGY UDC

ON SPACE AND TIME IN QUANTUM COSMOLOGY UDC FACTA UNIVERSITATIS Series: Physics, Chemistry and Technology Vol. 2, N o 4, 2002, pp. 173-182 ON SPACE AND TIME IN QUANTUM COSMOLOGY UDC 530.1.140.8 Ljubiša Nešić 1, Stojan Obradović 2 1 Department of

More information

ON THE TWO BODY PROBLEM UDC (045)=20. Veljko A. Vujičić

ON THE TWO BODY PROBLEM UDC (045)=20. Veljko A. Vujičić FACTA UNIVERSITATIS Series: Mechanics, Automatic Control and Robotics Vol. 4, N o 7, 005, pp. 03-07 ON THE TWO BODY PROBLEM UDC 53.5(045)0 Veljko A. Vujičić Mathematical Institute, JANN, 00 Belgrade, p.p.

More information

BROJEVNE KONGRUENCIJE

BROJEVNE KONGRUENCIJE UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Vojko Nestorović BROJEVNE KONGRUENCIJE - MASTER RAD - Mentor, dr Siniša Crvenković Novi Sad, 2011. Sadržaj Predgovor...............................

More information

KLASIFIKACIJA NAIVNI BAJES. NIKOLA MILIKIĆ URL:

KLASIFIKACIJA NAIVNI BAJES. NIKOLA MILIKIĆ   URL: KLASIFIKACIJA NAIVNI BAJES NIKOLA MILIKIĆ EMAIL: nikola.milikic@fon.bg.ac.rs URL: http://nikola.milikic.info ŠTA JE KLASIFIKACIJA? Zadatak određivanja klase kojoj neka instanca pripada instanca je opisana

More information

Iskazna logika 1. Matematička logika u računarstvu. oktobar 2012

Iskazna logika 1. Matematička logika u računarstvu. oktobar 2012 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia oktobar 2012 Iskazi, istinitost, veznici Intuitivno, iskaz je rečenica koja je ima tačno jednu jednu

More information

FIZIKALNA KOZMOLOGIJA VII. VRLO RANI SVEMIR & INFLACIJA

FIZIKALNA KOZMOLOGIJA VII. VRLO RANI SVEMIR & INFLACIJA FIZIKALNA KOZMOLOGIJA VII. VRLO RANI SVEMIR & INFLACIJA KOZMIČKI SAT ranog svemira Ekstra zračenje u mjerenju CMB Usporedba s rezultatima LEP-a Usporedba CMB i neutrina Vj.: Pozadinsko zračenje neutrina

More information

Eksperimentalne potvrde specijalne teorije relativnosti ZAVRŠNI RAD

Eksperimentalne potvrde specijalne teorije relativnosti ZAVRŠNI RAD Univerzitet u Sarajevu Prirodno-matematički fakultet Odsjek za fiziku I ciklus studija Opći smjer/teorijska fizika Eksperimentalne potvrde specijalne teorije relativnosti ZAVRŠNI RAD Mentor: doc. dr. Elvedin

More information

Osobine metode rezolucije: zaustavlja se, pouzdanost i kompletnost. Iskazna logika 4

Osobine metode rezolucije: zaustavlja se, pouzdanost i kompletnost. Iskazna logika 4 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Rezolucija 1 Metod rezolucije je postupak za dokazivanje da li je neka iskazna (ili

More information

Mehanika - dinamika Rad i energija

Mehanika - dinamika Rad i energija Mehanika - dinamika Rad i energija IV 1. i 2. nov. 2016. Rad i energija Pojam energije je jedan od najvažnijih u nauci i tehnici ali se koristi i u svakodnevnom životu. U našoj svakodnevnici taj pojam

More information

Fajl koji je korišćen može se naći na

Fajl koji je korišćen može se naći na Machine learning Tumačenje matrice konfuzije i podataka Fajl koji je korišćen može se naći na http://www.technologyforge.net/datasets/. Fajl se odnosi na pečurke (Edible mushrooms). Svaka instanca je definisana

More information

Uvod u analizu (M3-02) 05., 07. i 12. XI dr Nenad Teofanov. principle) ili Dirihleov princip (engl. Dirichlet box principle).

Uvod u analizu (M3-02) 05., 07. i 12. XI dr Nenad Teofanov. principle) ili Dirihleov princip (engl. Dirichlet box principle). Uvod u analizu (M-0) 0., 07. i. XI 0. dr Nenad Teofanov. Kardinalni broj skupa R U ovom predavanju se razmatra veličina skupa realnih brojeva. Jasno, taj skup ima beskonačno mnogo elemenata. Pokazaće se,

More information

UNSTABILITY OF FOOD PRODUCTION PER CAPITA AND POPULATION: ASIA. Vesna Jablanović 1

UNSTABILITY OF FOOD PRODUCTION PER CAPITA AND POPULATION: ASIA. Vesna Jablanović 1 Journal of Agricultural Sciences Vol. 48, No, 003 Pages 7-3 UDC: 330.54:330.368 Original scientific paper UNSTABILITY OF FOOD PRODUCTION PER CAPITA AND POPULATION: ASIA Vesna Jablanović Abstract: The basic

More information

MULTIVERZUM I TOPOLOGIJA VREMENA

MULTIVERZUM I TOPOLOGIJA VREMENA THEORIA 1 BIBLID 0351 2274 : (2013) : 56 : p. 47 57 DOI: 10.2298/THEO1301045J Originalni naučni rad Original Scientific Paper Vladimir Jevtić MULTIVERZUM I TOPOLOGIJA VREMENA APSTRAKT: Savremene kosmološke

More information

Neke klase maksimalnih hiperklonova

Neke klase maksimalnih hiperklonova UNIVERZITET U NOVOM SDU PRIRODNO-MTEMTIČKI FKULTET DERRTMN Z MTEMTIKU I INFORMTIKU Jelena Čolić Neke klase maksimalnih hiperklonova - završni rad - MENTOR: Prof. dr Rozalija Madaras-Siladi Novi Sad, 2012.

More information

Asian Journal of Science and Technology Vol. 4, Issue 08, pp , August, 2013 RESEARCH ARTICLE

Asian Journal of Science and Technology Vol. 4, Issue 08, pp , August, 2013 RESEARCH ARTICLE Available Online at http://www.journalajst.com ASIAN JOURNAL OF SCIENCE AND TECHNOLOGY ISSN: 0976-3376 Asian Journal of Science and Technology Vol. 4, Issue 08, pp.037-041, August, 2013 RESEARCH ARTICLE

More information

Tamna Strana Vasione. Nemanja Kaloper, UC Davis

Tamna Strana Vasione. Nemanja Kaloper, UC Davis Tamna Strana Vasione Nemanja Kaloper, UC Davis Tema ove diskusije Problem nedostajuce materije Tamna strana svemira: stisljivi i nestisljivi energetski fluidi Kratka i sretna (?) istorija kosmoloske konstante

More information

Početni uslovi: kosmološka inflacija, 2. deo

Početni uslovi: kosmološka inflacija, 2. deo Početni uslovi: kosmološka inflacija, 2. deo 25. 09.. Problemi klasične kosmologije Zašto je univerzum na velikoj skali homogen i izotropan? (problem horizonta) Zašto je univerzum na velikoj skali toliko

More information

Mathcad sa algoritmima

Mathcad sa algoritmima P R I M J E R I P R I M J E R I Mathcad sa algoritmima NAREDBE - elementarne obrade - sekvence Primjer 1 Napraviti algoritam za sabiranje dva broja. NAREDBE - elementarne obrade - sekvence Primjer 1 POČETAK

More information

O homomorfizam-homogenim geometrijama ranga 2

O homomorfizam-homogenim geometrijama ranga 2 UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODN0-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Eva Jungael O homomorfzam-homogenm geometrjama ranga 2 -završn rad- Nov Sad, oktoar 2009 Predgovor Za strukturu

More information

Konstrukcija i analiza algoritama

Konstrukcija i analiza algoritama Konstrukcija i analiza algoritama 27. februar 2017 1 Pravila zaključivanja i tehnike dokazivanja u iskaznoj i predikatskoj logici 1 1.1 Iskazna logika Pravila zaključivanja za iskaznu logiku: 1. DODAVANJE

More information

AIR CURTAINS VAZDU[NE ZAVESE V H

AIR CURTAINS VAZDU[NE ZAVESE V H AIR CURTAINS V 15.000 H 21.000 KLIMA Co. 2 KLIMA Co. Flow and system stress should be known factors in air flow. The flow is gas quantity flowing through the system during given time unit and is measured

More information

IMPROVEMENT OF HIPPARCOS PROPER MOTIONS IN DECLINATION

IMPROVEMENT OF HIPPARCOS PROPER MOTIONS IN DECLINATION Serb. Astron. J. 172 (2006), 41-51 UDC 521.96 DOI: 10.2298/SAJ0672041D Preliminary report IMPROVEMENT OF HIPPARCOS PROPER MOTIONS IN DECLINATION G. Damljanović 1, N. Pejović 2 and B. Jovanović 1 1 Astronomical

More information

Oracle Spatial Koordinatni sustavi, projekcije i transformacije. Dalibor Kušić, mag. ing. listopad 2010.

Oracle Spatial Koordinatni sustavi, projekcije i transformacije. Dalibor Kušić, mag. ing. listopad 2010. Oracle Spatial Koordinatni sustavi, projekcije i transformacije Dalibor Kušić, mag. ing. listopad 2010. Pregled Uvod Koordinatni sustavi Transformacije Projekcije Modeliranje 00:25 Oracle Spatial 2 Uvod

More information

Krive u prostoru Minkovskog

Krive u prostoru Minkovskog UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Maja Jolić Krive u prostoru Minkovskog - master rad - Mentor: dr Sanja Konjik Novi Sad, 2016 Predgovor Na vratima

More information

UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU

UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Ivan Marinković Klasifikacija H-matrica metodom skaliranja i njena primena u odred ivanju oblasti konvergencije

More information

INVESTIGATION OF UPSETTING OF CYLINDER BY CONICAL DIES

INVESTIGATION OF UPSETTING OF CYLINDER BY CONICAL DIES INVESTIGATION OF UPSETTING OF CYLINDER BY CONICAL DIES D. Vilotic 1, M. Plancak M 1, A. Bramley 2 and F. Osman 2 1 University of Novi Sad, Yugoslavia; 2 University of Bath, England ABSTRACT Process of

More information

Konstrukcija i analiza algoritama

Konstrukcija i analiza algoritama Konstrukcija i analiza algoritama 27. februar 207 Matematička indukcija Princip matematičke indukcije: Da bi za svako n N važilo tvrdjenje T (n) dovoljno je pokazati: bazu indukcije: tvrdjenje T () induktivni

More information

Ariana Trstenjak Kvadratne forme

Ariana Trstenjak Kvadratne forme Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Ariana Trstenjak Kvadratne forme Završni rad Osijek, 014. Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera

More information

Ksenija Doroslovački KOMBINATORIKA INTERPRETIRANA FUNKCIJAMA I NJIHOVIM OSOBINAMA MASTER RAD. NOVI SAD jun 2008

Ksenija Doroslovački KOMBINATORIKA INTERPRETIRANA FUNKCIJAMA I NJIHOVIM OSOBINAMA MASTER RAD. NOVI SAD jun 2008 1 Ksenija Doroslovački KOMBINATORIKA INTERPRETIRANA FUNKCIJAMA I NJIHOVIM OSOBINAMA MASTER RAD NOVI SAD jun 2008 2 Sadržaj 1 UVOD 5 2 FUNKCIJE 11 3 KLASIČNI KOMBINATORNI OBJEKTI 17 4 NEKI NEKLASIČNI KOMBINATORNI

More information

Metode praćenja planova

Metode praćenja planova Metode praćenja planova Klasična metoda praćenja Suvremene metode praćenja gantogram mrežni dijagram Metoda vrednovanja funkcionalnosti sustava Gantogram VREMENSKO TRAJANJE AKTIVNOSTI A K T I V N O S T

More information

AKSIOME TEORIJE SKUPOVA

AKSIOME TEORIJE SKUPOVA MAT-KOL (Banja Luka) ISSN 0354/6969 XV(1)(2009), 17-25 AKSIOME TEORIJE SKUPOVA Duško Bogdanić 1, Bojan Nikolić 2 i Daniel A. Romano 2 Sažetak: Postoji više od jedne mogućnosti aksiomatizacije teorije skupova.

More information

Programiranje u realnom vremenu Bojan Furlan

Programiranje u realnom vremenu Bojan Furlan Programiranje u realnom vremenu Bojan Furlan Tri procesa sa D = T imaju sledeće karakteristike: Proces T C a 3 1 b 6 2 c 18 5 (a) Pokazati kako se može konstruisati ciklično izvršavanje ovih procesa. (b)

More information

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Drumska vozila Uputstvo za izradu vučnog proračuna motornog vozila. 1. Ulazni podaci IZVOR:

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Drumska vozila Uputstvo za izradu vučnog proračuna motornog vozila. 1. Ulazni podaci IZVOR: 1. Ulazni podaci IZVOR: WWW.CARTODAY.COM 1. Ulazni podaci Masa / težina vozila Osovinske reakcije Raspodela težine napred / nazad Dimenzije pneumatika Čeona površina Koeficijent otpora vazduha Brzinska

More information

ON THE CAUSE OF RESONANT MOTIONS OF CELESTIAL BODIES UDC : : (045)=20. Milutin Marjanov

ON THE CAUSE OF RESONANT MOTIONS OF CELESTIAL BODIES UDC : : (045)=20. Milutin Marjanov FACTA UNIVERSITATIS Series: Mechanics, Automatic Control and Robotics Vol. 4, N o 17, 005, pp. 65-77 ON THE CAUSE OF RESONANT MOTIONS OF CELESTIAL BODIES UDC 531.51:550.31:69.7.067.8(045)=0 Milutin Marjanov

More information

ZANIMLJIVI ALGEBARSKI ZADACI SA BROJEM 2013 (Interesting algebraic problems with number 2013)

ZANIMLJIVI ALGEBARSKI ZADACI SA BROJEM 2013 (Interesting algebraic problems with number 2013) MAT-KOL (Banja Luka) ISSN 0354-6969 (p), ISSN 1986-5228 (o) Vol. XIX (3)(2013), 35-44 ZANIMLJIVI ALGEBARSKI ZADACI SA BROJEM 2013 (Interesting algebraic problems with number 2013) Nenad O. Vesi 1 Du²an

More information

Elastic - plastic analysis of crack on bimaterial interface

Elastic - plastic analysis of crack on bimaterial interface Theoret. Appl. Mech., Vol.32, No.3, pp. 193 207, Belgrade 2005 Elastic - plastic analysis of crack on bimaterial interface Ruzica R. Nikolic Jelena M. Veljkovic Abstract In this paper are presented solutions

More information

Klase neograničenih operatora

Klase neograničenih operatora Univerzitet u Nišu Prirodno- matematički fakultet Departman za matematiku Klase neograničenih operatora Master rad Mentor: Prof. dr. Dragan Đorđević Student: Milena Nikolić Niš,. Sadržaj Predgovor...2

More information

BLAST-INDUCED DAMAGE AND ITS IMPACT ON STRUCTURAL STABILITY OF UNDERGROUND EXCAVATIONS UTICAJ MINIRANJA NA STRUKTURNU STABILNOST PODZEMNIH PROSTORIJA

BLAST-INDUCED DAMAGE AND ITS IMPACT ON STRUCTURAL STABILITY OF UNDERGROUND EXCAVATIONS UTICAJ MINIRANJA NA STRUKTURNU STABILNOST PODZEMNIH PROSTORIJA UNDERGROUND MINING ENGINEERING 29 (2016) 33-42 UDK 62 UNIVERSITY OF BELGRADE - FACULTY OF MINING AND GEOLOGY YU ISSN 03542904 Original scientific paper BLAST-INDUCED DAMAGE AND ITS IMPACT ON STRUCTURAL

More information

Termodinamika. FIZIKA PSS-GRAD 29. studenog Copyright 2015 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

Termodinamika. FIZIKA PSS-GRAD 29. studenog Copyright 2015 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved. Termodinamika FIZIKA PSS-GRAD 29. studenog 2017. 15.1 Thermodynamic Systems and Their Surroundings Thermodynamics is the branch of physics that is built upon the fundamental laws that heat and work obey.

More information

Jedan metod za automatsko dokazivanje teorema geometrije

Jedan metod za automatsko dokazivanje teorema geometrije Univerzitet u Beogradu Matematički fakultet Predrag Janičić Jedan metod za automatsko dokazivanje teorema geometrije magistarska teza Mentor: dr Zoran Lučić Beograd 1996 i U ovom radu izložen je sistem

More information

Primena kvalitativnih metoda u fizici u osnovnoj školi

Primena kvalitativnih metoda u fizici u osnovnoj školi UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA FIZIKU Primena kvalitativnih metoda u fizici u osnovnoj školi - master rad - Mentor: prof. dr Maja Stojanović Kandidat: Tatjana Cvejović

More information

Signal s(t) ima spektar S(f) ograničen na opseg učestanosti (0 f m ). Odabiranjem signala s(t) dobijaju se 4 signala odbiraka: δ(t kt s τ 2 ),

Signal s(t) ima spektar S(f) ograničen na opseg učestanosti (0 f m ). Odabiranjem signala s(t) dobijaju se 4 signala odbiraka: δ(t kt s τ 2 ), Signali i sistemi Signal st ima spektar Sf ograničen na opseg učestanosti 0 f m. Odabiranjem signala st dobijaju se signala odbiraka: s t = st s t = st s t = st s t = st δt k, δt k τ 0, δt k τ i δt k τ,

More information

Karakterizacija problema zadovoljenja uslova širine 1

Karakterizacija problema zadovoljenja uslova širine 1 UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Aleksandar Prokić Karakterizacija problema zadovoljenja uslova širine 1 -master rad- Mentor: dr Petar Marković

More information

NAPREDNI FIZIČKI PRAKTIKUM II studij Geofizika POLARIZACIJA SVJETLOSTI

NAPREDNI FIZIČKI PRAKTIKUM II studij Geofizika POLARIZACIJA SVJETLOSTI NAPREDNI FIZIČKI PRAKTIKUM II studij Geofizika POLARIZACIJA SVJETLOSTI studij Geofizika NFP II 1 ZADACI 1. Izmjerite ovisnost intenziteta linearno polarizirane svjetlosti o kutu jednog analizatora. Na

More information

THEORIA 3 UDK 1 TRI PARADOKSA

THEORIA 3 UDK 1 TRI PARADOKSA THEORIA 3 UDK 1 BIBLID 0351 2274 : (2009) : 52 : p. 5-16 Originalni naučni rad Original Scientific Paper Vladan Đorđević TRI PARADOKSA APSTRAKT: Mada na prvi pogled izgleda da tri paradoksa kojima ću se

More information

NIPP. Implementing rules for metadata. Ivica Skender NSDI Working group for technical standards.

NIPP. Implementing rules for metadata. Ivica Skender NSDI Working group for technical standards. Implementing rules for metadata Ivica Skender NSDI Working group for technical standards ivica.skender@gisdata.com Content Working group for technical standards INSPIRE Metadata implementing rule Review

More information

Prsten cijelih brojeva

Prsten cijelih brojeva SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ODJEL ZA MATEMATIKU Marijana Pravdić Prsten cijelih brojeva Diplomski rad Osijek, 2017. SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ODJEL ZA MATEMATIKU

More information

UOPŠTENI INVERZI, FAKTORI USLOVLJENOSTI I PERTURBACIJE

UOPŠTENI INVERZI, FAKTORI USLOVLJENOSTI I PERTURBACIJE UNIVERZITET U NIŠU PRIRODNO MATEMATIČKI FAKULTET ODSEK ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Dijana Mosić UOPŠTENI INVERZI, FAKTORI USLOVLJENOSTI I PERTURBACIJE Doktorska disertacija Mentor Prof. dr Dragan Djordjević

More information

DYNAMIC HEAT TRANSFER IN WALLS: LIMITATIONS OF HEAT FLUX METERS

DYNAMIC HEAT TRANSFER IN WALLS: LIMITATIONS OF HEAT FLUX METERS DYNAMI EAT TRANFER IN WALL: LIMITATION OF EAT FLUX METER DINAMIČKI PRENO TOPLOTE U ZIDOVIMA: OGRANIČENJA MERAČA TOPLOTNOG PROTOKA (TOPLOTNOG FLUKA) 1 I. Naveros a, b,. Ghiaus a a ETIL UMR58, INA-Lyon,

More information

Funkcijske jednadºbe

Funkcijske jednadºbe MEMO pripreme 2015. Marin Petkovi, 9. 6. 2015. Funkcijske jednadºbe Uvod i osnovne ideje U ovom predavanju obradit emo neke poznate funkcijske jednadºbe i osnovne ideje rje²avanja takvih jednadºbi. Uobi

More information

Hamiltonov princip i parcijalne diferencijalne jednačine

Hamiltonov princip i parcijalne diferencijalne jednačine UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Nikola Dukanović Hamiltonov princip i parcijalne diferencijalne jednačine -master rad- Novi Sad, 2014. Sadržaj

More information

O aksiomu izbora, cipelama i čarapama

O aksiomu izbora, cipelama i čarapama O aksiomu izbora, cipelama i čarapama Aksiom izbora može se izreći u raznim ekvivalentnim formama. Dokazi ekvivalencije aksioma izbora npr. sa Zornovom lemom, ili pak sa Zermelovim teoremom o dobrom uredaju,

More information

MAGNETIC FIELD OF ELECTRICAL RADIANT HEATING SYSTEM

MAGNETIC FIELD OF ELECTRICAL RADIANT HEATING SYSTEM UDK 537.612:697.27 DOI: 10.7562/SE2017.7.02.03 Original article www.safety.ni.ac.rs MIODRAG MILUTINOV 1 ANAMARIJA JUHAS 2 NEDA PEKARIĆ-NAĐ 3 1,2,3 University of Novi Sad, Faculty of Technical Sciences,

More information

Dynamic analysis of 2-D and 3-D quasi-brittle solids and structures by D/BEM

Dynamic analysis of 2-D and 3-D quasi-brittle solids and structures by D/BEM THEORETICAL AND APPLIED MECHANICS vol. 27, pp. 39-48, 2002 Dynamic analysis of 2-D and 3-D quasi-brittle solids and structures by D/BEM George D.Hatzigeorgiou and Dimitri E.Beskos Submitted 12 February,

More information

NAPREDNI FIZIČKI PRAKTIKUM 1 studij Matematika i fizika; smjer nastavnički MJERENJE MALIH OTPORA

NAPREDNI FIZIČKI PRAKTIKUM 1 studij Matematika i fizika; smjer nastavnički MJERENJE MALIH OTPORA NAPREDNI FIZIČKI PRAKTIKUM 1 studij Matematika i fizika; smjer nastavnički MJERENJE MALIH OTPORA studij Matematika i fizika; smjer nastavnički NFP 1 1 ZADACI 1. Mjerenjem geometrijskih dimenzija i otpora

More information

IV razred- matematika. U prvoj nedelji septembra planirano je obnavljanje gradiva druge godine (3 èasa), a 4-tog èasa radi se inicijalni test.

IV razred- matematika. U prvoj nedelji septembra planirano je obnavljanje gradiva druge godine (3 èasa), a 4-tog èasa radi se inicijalni test. Profesor: Ivana Obrenoviã Termini za konsultacije: IV razred- matematika U prvoj nedelji septembra planirano je obnavljanje gradiva druge godine (3 èasa), a 4-tog èasa radi se inicijalni test. TEMA 1.

More information

Astronomija gravitacionih talasa

Astronomija gravitacionih talasa Bojan Arbutina Katedra za astronomiju, Matematički fakultet, Univerzitet u Beogradu, Studentski trg 16, Beograd, Srbija e-mail: arbo@matf.bg.ac.rs Seminar Katedre za astronomiju, 12. decembar 2017. Rainer

More information

Uvod u dinamičko programiranje

Uvod u dinamičko programiranje Uvod u dinamičko programiranje Andreja Ilić Aleksandar Ilić e-mail: ilic andrejko@yahoo.com e-mail: aleksandari@gmail.com Prirodno Matematički Fakultet u Nišu 1 Uvod Jedan od čestih algoritamskih problema

More information

PRELIMINARY COMMUNICATION Influence of chloride ions on the open circuit potentials of chromium in deaerated sulfuric acid solutions

PRELIMINARY COMMUNICATION Influence of chloride ions on the open circuit potentials of chromium in deaerated sulfuric acid solutions J. Serb. Chem. Soc. 71 (11) 1187 1194 (2006) UDC 54 71'131:546.76:620.193:546.226 325 JSCS 3512 Preliminary communication PRELIMINARY COMMUNICATION Influence of chloride ions on the open circuit potentials

More information

Branislav Boričić ORIGINALNI NAUČNI RADOVI / SCIENTIFIC PAPERS. Klasifikacija prema JEL: D70, D71, I31

Branislav Boričić ORIGINALNI NAUČNI RADOVI / SCIENTIFIC PAPERS. Klasifikacija prema JEL: D70, D71, I31 ORIGINALNI NAUČNI RADOVI / SCIENTIFIC PAPERS Branislav Boričić DOI:10.2298/EKA0772007B Logičko i istorijsko određenje teorema nemogućnosti Eroua i Sena Logical And Historical Determination Of The Arrow

More information

OSCILATORNOST NELINEARNIH DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA DRUGOG REDA

OSCILATORNOST NELINEARNIH DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA DRUGOG REDA UNIVERZIE U BEOGRADU MAEMAIČKI FAKULE Jelena V. Manojlović OSCILAORNOS NELINEARNIH DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA DRUGOG REDA Doktorska disertacija Beograd, 999. Predgovor Ova doktorska disertacija posvećena

More information

VELOCITY PROFILES AT THE OUTLET OF THE DIFFERENT DESIGNED DIES FOR ALUMINIUM EXTRUSION

VELOCITY PROFILES AT THE OUTLET OF THE DIFFERENT DESIGNED DIES FOR ALUMINIUM EXTRUSION VELOCITY PROFILES AT THE OUTLET OF THE DIFFERENT DESIGNED DIES FOR ALUMINIUM EXTRUSION J.Caloska, J. Lazarev, Faculty of Mechanical Engineering, University Cyril and Methodius, Skopje, Republic of Macedonia

More information

Nilpotentni operatori i matrice

Nilpotentni operatori i matrice Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Nikolina Romić Nilpotentni operatori i matrice Završni rad Osijek, 2016. Sveučilište J. J. Strossmayera

More information

Banach Tarskijev paradoks

Banach Tarskijev paradoks Banach Tarskijev paradoks Matija Bašić Sažetak Banach Tarskijev paradoks je teorem koji kaže da su bilo koje dvije kugle u R 3 jednakorastavljive, u smislu da postoje particije tih kugli u jednak broj

More information

Virtual Library of Faculty of Mathematics - University of Belgrade

Virtual Library of Faculty of Mathematics - University of Belgrade BEOGRADSKI UNIVERZITET PRIRODNO MATEMATItKI FAKULTET Tetiair I. BRANIOVIC ORWIrVIPN717MW11:1AYAiMMMTNMA 34 NA -I-EP/VF, 110,(NY ACTPOHOCIJY 21 El 0 T k A p o j bat*. Ba 1 / AG. IQ 4-5 Z4*-- itatym:. STABILNOST

More information

Jednočlani potpuni skupovi veznika za iskaznu logiku

Jednočlani potpuni skupovi veznika za iskaznu logiku Univerzitet u Beogradu Matematički fakultet Petar Maksimović Jednočlani potpuni skupovi veznika za iskaznu logiku Master teza mentor: dr Predrag Janičić Beograd 2008 2 Sadržaj 1 Uvod 7 1.1 Kratak istorijat

More information

UNIVERZITET U NIŠU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET. mr Dragan Stevanović NEKE KOMPOZICIJE GRAFOVA I GRAFOVI SA CELOBROJNIM SPEKTROM

UNIVERZITET U NIŠU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET. mr Dragan Stevanović NEKE KOMPOZICIJE GRAFOVA I GRAFOVI SA CELOBROJNIM SPEKTROM UNIVERZITET U NIŠU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET mr Dragan Stevanović NEKE KOMPOZICIJE GRAFOVA I GRAFOVI SA CELOBROJNIM SPEKTROM doktorska disertacija Niš, 1999. Za Sanju Sadržaj Predgovor vii I NEPS

More information

Quasi-Newtonove metode

Quasi-Newtonove metode Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Milan Milinčević Quasi-Newtonove metode Završni rad Osijek, 2016. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Milan Milinčević

More information

The temperature dependence of the disproportionation reaction of iodous acid in aqueous sulfuric acid solutions

The temperature dependence of the disproportionation reaction of iodous acid in aqueous sulfuric acid solutions J. Serb. Chem. Soc. 67(5)347 351(2002) UDC 542.9:546.155+535.243:536.5 JSCS-2955 Original scientific paper The temperature dependence of the disproportionation reaction of iodous acid in aqueous sulfuric

More information

BREEDING AND GENETIC PROPERTIES OF THE MAIZE VARIETY UZBEKSKA BELA

BREEDING AND GENETIC PROPERTIES OF THE MAIZE VARIETY UZBEKSKA BELA UDC 575: 633.15 Original scientific paper BREEDING AND GENETIC PROPERTIES OF THE MAIZE VARIETY UZBEKSKA BELA Lazar KOJIC 1 and Dillyara AJGOZINA 2 1 Maize Research Institute, Zemun Polje, Belgrade, Serbia

More information

Impuls sile i količina gibanja

Impuls sile i količina gibanja Impuls sile i količina gibanja FIZIKA PSS-GRAD 25. listopada 2017. 7.1 Teorem impulsa sile i količine gibanja sila vrijeme U mnogim slučajevima sila na tijelo NIJE konstantna. 7.1 Teorem impulsa sile i

More information

Karakteri konačnih Abelovih grupa

Karakteri konačnih Abelovih grupa Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Matija Klarić Karakteri konačnih Abelovih grupa Završni rad Osijek, 2015. Sveučilište J. J. Strossmayera

More information

Lecture 13 Friedmann Model

Lecture 13 Friedmann Model Lecture 13 Friedmann Model FRW Model for the Einstein Equations First Solutions Einstein (Static Universe) de Sitter (Empty Universe) and H(t) Steady-State Solution (Continuous Creation of Matter) Friedmann-Lemaître

More information

MEHANIKA VOšNJE Odsek za puteve, ºeleznice i aerodrome

MEHANIKA VOšNJE Odsek za puteve, ºeleznice i aerodrome MEHANIKA VOšNJE Odsek za puteve, ºeleznice i aerodrome Prof dr Stanko Br i Doc dr Stanko ori Doc dr Anina Glumac Graževinski fakultet Univerzitet u Beogradu k. god. 2016/17 Sadrºaj 1 Poduºna dinamika ²inskih

More information

O GLATKIM GRAFOVIMA KOMPATIBILNIM SA TEJLOROVIM OPERACIJAMA

O GLATKIM GRAFOVIMA KOMPATIBILNIM SA TEJLOROVIM OPERACIJAMA UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Vlado Uljarević O GLATKIM GRAFOVIMA KOMPATIBILNIM SA TEJLOROVIM OPERACIJAMA -master teza- Novi Sad, 2014 Sadržaj

More information

Rayleigh-Bénard convection with magnetic field

Rayleigh-Bénard convection with magnetic field Theoret. Appl. Mech., Vol. 30, No. 1, pp. 29-40, Belgrade 2003 Rayleigh-Bénard convection with magnetic field Jürgen Zierep Abstract We discuss the solution of the small perturbation equations for a horizontal

More information

Temeljni koncepti u mehanici

Temeljni koncepti u mehanici Temeljni koncepti u mehanici Prof. dr. sc. Mile Dželalija Sveučilište u Splitu, Fakultet prirodoslovno-matematičkih znanosti i kineziologije Teslina 1, HR-1000 Split, e-mail: mile@pmfst.hr Uvodno Riječ

More information

Matematika (PITUP) Prof.dr.sc. Blaženka Divjak. Matematika (PITUP) FOI, Varaždin

Matematika (PITUP) Prof.dr.sc. Blaženka Divjak. Matematika (PITUP) FOI, Varaždin Matematika (PITUP) FOI, Varaždin Dio II Bez obzira kako nam se neki teorem činio korektnim, ne možemo biti sigurni da ne krije neku nesavršenost sve dok se nam ne čini prekrasnim G. Boole The moving power

More information

Formule za udaljenost točke do pravca u ravnini, u smislu lp - udaljenosti math.e Vol 28.

Formule za udaljenost točke do pravca u ravnini, u smislu lp - udaljenosti math.e Vol 28. 1 math.e Hrvatski matematički elektronički časopis Formule za udaljenost točke do pravca u ravnini, u smislu lp - udaljenosti Banachovi prostori Funkcija udaljenosti obrada podataka optimizacija Aleksandra

More information

4-POLITOPA. Prema Štajnicovom radu iz godine skup f vektora 3 politopa dat je sa:

4-POLITOPA. Prema Štajnicovom radu iz godine skup f vektora 3 politopa dat je sa: NEKE NUMERIČKE KARAKTERISTIKE 4-POLITOPA VLADIMIR TELEBAK Prirodno-matematički fakultet Univerzitet u Banjoj Luci Ul. Mladena Stojanovića 2 Banja Luka, Republika Srpska e-pošta: vladotelebak@yahoo.com

More information

A SPECTRAL ATLAS OF λ BOOTIS STARS

A SPECTRAL ATLAS OF λ BOOTIS STARS Serb. Astron. J. 188 (2014), 75-84 UDC 524.3 355.3 DOI: 10.2298/SAJ1488075P Professional paper A SPECTRAL ATLAS OF λ BOOTIS STARS E. Paunzen 1 and U. Heiter 2 1 Department of Theoretical Physics and Astrophysics,

More information

Dr. Željko Jurić: Matematička logika i teorija izračunljivosti Radna skripta za istoimeni kurs na Elektrotehničkom fakultetu u Sarajevu.

Dr. Željko Jurić: Matematička logika i teorija izračunljivosti Radna skripta za istoimeni kurs na Elektrotehničkom fakultetu u Sarajevu. Dr. Željko Jurić: Matematička logika i teorija izračunljivosti Radna skripta za istoimeni kurs na Elektrotehničkom fakultetu u Sarajevu (akademska godina 2015/16) Funkcijske relacije i funkcije (preslikavanja)

More information

Fraktali - konačno u beskonačnom

Fraktali - konačno u beskonačnom Prirodno-Matematički fakultet, Niš. dexterofnis@gmail.com www.pmf.ni.ac.rs/dexter Nauk nije bauk, 2011 Sadržaj predavanja 1 Sadržaj predavanja 1 2 Sadržaj predavanja 1 2 3 Box-Counting dimenzija Hausdorfova

More information

Mirela Nogolica Norme Završni rad

Mirela Nogolica Norme Završni rad Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Mirela Nogolica Norme Završni rad Osijek, 2014. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za

More information

Volim te mama. Hrvatska škola Presvetog Trojstva, Oakville, ON

Volim te mama. Hrvatska škola Presvetog Trojstva, Oakville, ON Volim te mama From the list of words below, fill in the blank boxes below each picture. aranžman cvijeće kasica-prasica ormarić ruže sunce usisavač bombon dar mama parfem sladoled svibanj vaza čestitka

More information

Teorija Arbitraže. Jelena Miletić. stipendista Ministarstva za nauku i zaštitu čivotne sredine 16. Decembar 2005.

Teorija Arbitraže. Jelena Miletić. stipendista Ministarstva za nauku i zaštitu čivotne sredine 16. Decembar 2005. Seminar:Teorija Verovatnoća i Matematička Statistika 1 Teorija Arbitraže Jelena Miletić stipendista Ministarstva za nauku i zaštitu čivotne sredine jelenami@gmail.com 16. Decembar 2005. Abstrakt Koncept

More information

Danijela Popović PRIMENA DIFERENCIJALNE GEOMETRIJE U TEORIJI RELATIVNOSTI -master rad-

Danijela Popović PRIMENA DIFERENCIJALNE GEOMETRIJE U TEORIJI RELATIVNOSTI -master rad- UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Danijela Popović PRIMENA DIFERENCIJALNE GEOMETRIJE U TEORIJI RELATIVNOSTI -master rad- Mentor: dr Nevena Pušić

More information