Zaključak. Dobro mišljenje, ciljevi obrazovanja i filozofska logika

Transcription

1 Zaključak Dobro mišljenje, ciljevi obrazovanja i filozofska logika

2 Sastav zaključka Zaključak se sastoji od: Premisa ili premise (pretpostavke) Konkluzije (zaključni sud)

3 Ţeljeno svojstvo Valjanost Ispravnost

4 Dobro mišljenje i obrazovanje Sedam slobodnih umijeća (lat. artes liberales, eng. Liberal arts) Osnova antičkog i srednjovjekovnog curriculum-a Trivium: gramatika, logika, retorika Quadrivium: geometrija, aritmetika, astronomija i muzika. Razlikovanje izmeďu slobodnih i stručnih umijeća poteklo je u Staroj Grčkoj: slobodna umijeća omogućuju razvoj intelektualnih i moralnih vrlina pa su ciljevi po sebi, stručna umijeća su korisna pa su sredstva za druge ciljeve. U srednjovjekovnom obrazovanju završetkom trivija stjecao se bakalaureatski stuapnj, završetkom kvadrivija magistarski.

5 Slobodna ili tehnička umijeća? U postindustrijskom društvu s njegovim gospodarstvom znanja i postmodernom kulturom ponovo u ţarište ulaze umijeća mišljenja. Pitanje: postaju li slobodna umijeća tehnička? Primjeri na različitim razinama obrazovanja Nastava mišljenja Metakognitivna nastava Kritičko mišljenje Filozofija za djecu Vještine mišljenja višega reda

6 Ispravno mišljenje? [Alice] A kako znaš da si luda? [Mačka] Kao prvo, pas nije lud, zar ne? [Alice] Mislim da je tako. [Mačka] E pa vidiš, pas reţi kad je ljut i maše repom kad je zadovoljan. A ja reţim kad sam zadovoljna i mašem repom kad sam ljuta. Dakle, ja sam luda. [Alice] Ja to zovem predenjem a ne reţanjem. [Mačka] Zovi kako hoćeš.

7 Bezvladavinski diskurs? «Molim Vas, biste li mi rekli» započne Alice, plaho gledajući Crvenu Kraljicu. «Govori samo kada ti se netko obrati!» oštro je presječe Kraljica. «Ali kada bi se svi pridrţavali toga pravila,» reče Alice, inače uvijek spremna za pokoji zaključak, «i kada biste govorili samo kada vam se netko obrati, i kada bi druga osoba čekala na vas da započnete, nitko ne bi nikada ništa rekao, zato je to-«(lewis Carroll, Through the Looking Glass, str. 146)

8 Kooperativno komuniciranje? Uzmi malo vina! Predloţio je plemeniti Oţujski- Zec. Ne vidim vino ovdje. Rekla je Alis. Pa naravno da ga ne vidiš, kad ga nema! Pokroviteljski odvrati plemeniti Ouţjski-Zec. Ali... Kako ste mi mogli ponuditi neto čega nema? To nije pristojno. Skoro ljutito kaza Alis. A zar je bilo pristojno kad si Ti sjela za ovaj stol iako Ti nitko nije rekao Izvoli sjesti? Sa smiješkom odvrati plemeniti Oţujski-Zec. Nisam znala da je to Tvoj stol, reče Alice,- postavljen je za puno više osoba od tri.

9 Podjela zaključaka Deduktivni zaključci. Strogo zaključivanje. Primjer: matematičko zaključivanje. Induktivno, analogijsko, kauzalno i abduktivno zaključivanje. Više ili manje prihvatljivo ali nikada posve pouzdano zaključivanje. Primjer: medicinska dijagnostika.

10 Logika prvog reda Izdvaja neke logičke riječi Veznici (nije slučaj da, i, ili, ako onda, ako i samo ako ) Logička konstanta (neistina, falsum) Predikat identiteta ( je isto ) Kvantifikatori (svi predmeti su takvi da, neki predmeti su takvi da )

11 Kako odrediti je li zaključak ispravan?

12 Pravila uvoďenja i uklanjanja Prirodna dedukcija

13 Prirodna dedukcija: logička teorija bez aksioma «Najprije, njemački je matematičar Gerhard Gentzen razvio metodu Sequenzen (pravila za konzekvente), koja je bila posebno korisna za izvoďenje metalogičkih rezultata o odlučivosti. Ovakvu je metodu inicirao Paul Hertz 1932, a sličnu je metodu opisao Stanislaw Jashkowski Sljedeća na redu bila je slična metoda bez aksioma metoda "prirodne dedukcije," koja koristi samo pravila zaključivanja; ta je metoda potekla iz sugestije Bertranda Russella iz 1925 a razvili su je Quine i logičari iz SAD-e Frederick Fitch i George David Wharton Berry. Tehnika prirodne dedukcije široko se koristi u nastavi logike, iako time demonstracija metalogičkih rezultata postaje ponešto teţa [ ]» Encyclopaedia Britannica '98

14 Logički račun

15 Tradicionalna i suvremena logika: neke razlike Pitanje: Trebamo li sastaviti iscrpan katalog pravilnih oblika zaključivanja? Tradicionalna logika: istraţivanje pravilnih oblika zaključivanja. Pokušaj izrade popis takvih pravila. Moţe li se ovakav poduhvat završiti? Kakav razvoj predviďate za takav poduhvat?

16 Osnovni zakoni mišljenja? Gottfried Wilhelm Leibniz, ( ), njemački filozof vjerojatno slavenskog podrijetla, matematičar i drţavnik. Spominje se kao vodeći europski intelekt u 17. stoljeću. Vizionarske ideje: Gradnja općeg znanstvenog jezika i ideografskog pisma. Otkrivanje općenitih mehanizama mišljenja. Osnovni principi (načela) mišljenja: Načelo identiteta Načelo neproturječnosti Načelo isključenja trećeg Načelo dostatnog razloga

17 Načelo isključenja trećega Tertium non (est) datur A A Je li riječ o osnovnom zakonu? Semantički? Protuprimjer. Trovrjednosna logika: 0+1=1; 1+0=1; ali ½+½= ½. Sintaktički? Ispitajmo!

18 Suvremena logika: dvije vrste jednostavnih koraka «Čini se da su najistaknutija svojstva Gentzenovih sistema prirodne dedukcije (i) analiza zaključivanja do atomarnih koraka, kojima su razdvojene deduktivne uloge logičkih konstanti, i (ii) otkriće dvovrsnosti ovih atomarnih koraka, tj. otkriće uvoďenja i uklanjanja, koja stoje u odreďenoj simetričnoj relaciji» Jednostavni koraci Dvije vrste jednostavnih koraka Nova rečenica uvodi neku logičku konstantu [koristeći prethodne rečenice ili prethodni dokaz]. Nova rečenica uklanja logičku konstantu ili se oslanja na prethodne dokaze u kojima se uklanja neka logička konstanta.

19 Primjer: kategorički silogizam Silogizam: zaključak s dvije premise. Kategorički: premise su bezuvjetne tvrdnje. Nekada središte logičke poduke. Danas?

20 Primjer: disjunktivni silogizam Jedna premisa je rastavna rečenica Osnovni ili izvedeni oblik zaključka?

21 Novi pogled na mišljenje u 20. stoljeću Mišljenje [spoznaja] je (barem jednim svojim dijelom) - računanje (kompjutacija) Računati ::= manipulirati sa simbolima Prirodna dedukcija Manipulacija s rečenicama Zaključak moţemo promatrati kao logički račun. Metafora se ne smije prenapregnuti. Osnovna logika, logika prvog reda nije odlučiva [neka pitanja su neizračunljiva ]

22 Pedagoške posljedice novijih rezultata u proučavanju spoznaje Suvremeno istraţivanje spoznaje oslanja se na: Logiku Informatiku Filozofiju Lingvistiku Matematiku Neuroznanost Psihologiju Vjerojatno je u tijeku nastanak nove znanosti Kognitivna znanost U tijeku je i pedagoško promišljanje novih rezultata u istraţivanju spoznaje. Je li moguća nastava filozofije?

23 Instituti za kognitivnu znanost na vodećim sveučilištima

24 Obiljeţja prirodne dedukcije «Čini se da su najistaknutija svojstva Gentzenovih sistema prirodne dedukcije (i) analiza zaključivanja do atomarnih koraka, kojima su razdvojene deduktivne uloge logičkih konstanti, i (ii) otkriće dvovrsnosti ovih atomarnih koraka, tj. otkriće uvoďenja i uklanjanja, koja stoje u odreďenoj simetričnoj relaciji» Dag Prawitz, Ideje i rezultati teorije dokaza. Jednostavni koraci Dvije vrste jednostavnih koraka Nova rečenica uvodi neku logičku konstantu koristeći prethodne rečenice Nova rečenica uklanja logičku konstantu iz prethodne

25 Modus tollens: osnovno pravilo zaključivanja ili niz primjena osnovnih koraka?

26 Ispravnost mišljenja Izvedivost i ispravnost Ispravnost zaključka s premisama P 1,,P n i konkluzijom C moţemo dokazati ako konkluziju C izvedemo iz premisa P 1,,P n Valjanost i ispravnost Neispravnost zaključka s premisama P 1,,P n i konkluzijom C moţemo dokazati ako pokaţemo na situaciju u kojoj su sve premise P 1,,P n istinite a konkluzija C neistinita. Takve okolnosti nazivamo protuprimjerom

27 Vjeţba: dokazivanje da konkluzija ne slijedi Otvorite Tarski s World i file Bill s Argument. U ovom zaključku se tvrdi da IzmeĎu(b,a,d) slijedi iz sljedeće tri premise: IzmeĎu(b,c,d), IzmeĎu(a,b,d) i Lijevo(a,c). Slaţete li se s time? Otvorite novi svijet i postavite četiri bloka koja ćete označiti imenima a, b, c, i d! Posloţite blokove tako da konkluzija bude neistinita. Provjerite premise. Ako je neka premisa neistinita, preuredite blokove tako da postane istinita. Je li konkluzija i dalje neistinita? Ako nije, nastavite s pokušajima. Ako ste uspjeli, vaš svijet je protuprimjer za ponuďeni zaključak. Time je dokazana neispravnost ovoga zaključka.

28 Boole-ovi konektivi ili istinitosno funkcionalni veznici Boole-ova se algebra koristi u logici i teoriji skupova. U formalnom smislu, ona je matematički sustav kojega tvori skup elemenata, B, i dvije binarne operacije koje moţemo označiti sa simbolima i. Te su operacije definirane na skupu B i one zadovoljavaju sljedeće aksiome: 1. i su komutativne operacije. Za svaki x, y iz B, vrijedi da x y = y x, te x y = y x. 2. Svaka meďu operacijama i distribuira se nad drugom. Za svaki x, y, z iz B, vrijedi da x (y z) = (x y) (x z), te x (y z) = (x y) (x z). 3. U skupu B postoji različiti identitetni element za svaku operaciju i. Ti se elementi obično označavaju sa simbolima 0 i 1 kod kojih vrijedi 0 1, te oni imaju svojstvo da 0 x = x, i 1 x = x za svaki x iz B. 4. Za svaki x iz B postoji različiti odgovarajući element kojeg nazivamo komplementom od x, obično označen s x'. S obzirom na operacije i, element x' je takav da x x' = 1 i x x' = 0.

29 Boole-ova algebra Boole-ova algebra moţe imati i drugi skup aksioma, no za njih se moţe pokazati da su ekvivalentni navedenima. Ovdje navedene aksiome izloţio je Edward Huntington u Postulates for the Algebra of Logic (1904). Prvo bavljenje s ovom algebrom dolazi iz 1854 iz pera George-a Boole-a. Operacije i moţemo označiti i s drukčijim simbolima. Kao primjer Booleove algebre razmotrimo skup L i neka (L) označava skup svih podskupova skupa L. Drugim riječima, neka je (L) partitivni skup ( power set) skupa L. (L) zajedno s operacijom unije skupova () i operacijom presjeka skupova (), tvori jednu Boole-ovu algebru. U tom su slučaju identitetni elementi prazan skup i skup L. Aksiom 3. postaje: x = x i L x =x. Aksiom 4. postaje: xx' = L i xx' =.

30 Booleova algebra propozicija U Booleovoj originalnoj algebri elementi su bile propozicije, operacije konjunkcija i disjunkcija. U tom su slučaju identitetni elementi neistina i istina, a operacija komplementa je negacija. Aksiom 3. postaje: x = x i x = x. Aksiom 4. postaje: x x = i x x =. Booleova algebra propozicija i Booleova algebra skupova usko su povezane. Neka je p iskaz Ova lopta je plava, a neka je P skup svih predmeta za koje vrijedi da p, naime, skup svih plavih lopti. P se naziva skupom istine (truth set) za propoziciju p. Ako su P i Q skupovi istine za p i q, onda je skup istine za pq očigledno PQ, a za p q skup istine je P Q.

31 Fitch stil dokaza: grafičkotekstualni dokaz Dokaz moţe uključivati druge dokaze kao svoje dijelove. Dokaz ugnijeţďen u drugom [dokazu] nazivamo njegovim pod-[dokazom]. Premise su pretpostavke koje su uvijek na snazi. Pretpostavke na snazi: pretpostavke koje se smiju koristiti. Zapis: iznad kratke vodoravne crte. U koraku i smiju se koristiti: Rečenice koje se javljaju u prethodnim koracima koje ili leţe na istoj dokaznoj crti ili leţe na dokaznim crtama koje su lijevo od i. Neka pretpostavke ne smije se koristiti ako

32 Dvije vrste pravila: prva podjela Ponavljanje: podjela [divisio] neku cjelinu [totum divisionis] po nekom načelu [principium divisionis] razdjeljuje na njezine članove [membra divisionis]. Pravila prijelaza s rečenice ili rečenica na rečenicu. Pravila prijelaza s zaključka na zaključak.

33 Dvije vrste pravila: druga podjela Pravila uklanjanja (eliminacije) pojava nekog logičkog simbola su pravila u kojima se : izvodi neka rečenica bez te pojave simbola rečenice iz rečenice u koja ima pojavu tog simbola, ili se pozivamo na dokaz koji koristi dijelove rečenice u kojoj se javlja taj simbol ili se pozivamo na dokaz koji koristi neku izravnu preinaku rečenice u kojoj se javlja taj simbol. Pravila uvoďenja (introdukcije) pojave nekog logičkog simbola su pravila koja rezultiraju s rečenicom koja ima pojavu tog simbola.

34 Pravila konjunkcije [ Itro] Moţemo tvrditi da P 1 P n ako smo dokazali svaki sastavni dio, od P 1 do P n [ Elim] Moţemo tvrditi bilo koji konjunkt P i ako smo već dokazali P 1 P n

35 Vjeţba Pokrenite Fitch i otvorite Conjunction 1. U traci na dnu naći ćete tri rečenice koje treba dokazati. Postupak: (i) dodajte novi korak (add new step), (ii) upišite zadanu rečenicu Tet(a), (iii) pritisnite pop-up Rule? meni i odaberite Elim i potom, (iv) provjerite korak. Na jednak način postupite i za sljedeće rečenice. Otvorite Conjunction 2. Dokaţite zadane rečenice! Pokrenite Velemanov applet i izradite dokaz za xa iz premise xab

36 Pravila disjunkcije [ Intro]Moţemo tvrditi P1 Pn ako smo dokazali Pi. Ako smo dokazali disjunkciju P1 Pn i ako smo dokazali da S slijedi iz svakog pojedinog disjunkta od P1 do Pn. Koristimo poddokaze: dokaze koji se javljaju unutar šireg dokaza. Kao i svaki dokaz i poddokaz započinje s pretpostavkom. No za razliku od pretpostavki dokaza koje su uvijek na snazi, pretpostavka poddokaza je samo privremeno prihvaćena i na snazi je samo unutar poddokaza. S završetkom poddokaza njegova pretpostavka više nije na snazi. Grafički: pretpostavka je na snazi u svim i samo u onim koracima koji su zdesna okomite crte uz koju je pretpostavka prislonjena i koracima koji leţe na toj crti.

37 Pravila disjunkcije

38 Vjeţba: pravila disjunkcije Otvorite Disjunction 1. Izradit ćemo dokaz na desnoj strani. Za primijeniti pravilo Elim trebat će nam dva poddokaza po jedan za svaki disjunkt. Za dodavanje poddokaza koristimo naredbu New Subproof. Dodajmo korak iza. Poddokaz zatvaramo s naredbom End Subproof. Započnimo novi poddokaz! Kad je struktura dokaza izgraďena, prijeďimo na ispunjavanje pojedinih koraka! Otvorite Disjunction 2. Nadopunite korake! Dokaţite b je ili malena ili velika kocka pomoću premisa b je ili veliki ili maleni predmet. i b je kocka. Proučite kako se pravilo uvoďenja disjunkcije koristi u dokazu tvrdnje aab.

39 Pravila za Pravilo uvoďenja omogućuje nam da uvedemo simbol kontradikcije (neistina, falsum), ako smo ustanovili izričitu kontradikciju tako što smo dokazali i rečenicu P i rečenicu P. U bilo kojem dokazu, te (što je vaţnije) u bilo kojem poddokazu, ustanovljenje kontradikcije nam omogućuje uvoďenje negacije bilo koje vrste rečenica. Dokaţite Ivica je student pomoću premisa Ivica je ili student ili učenik i Ivica nije učenik

40 Ex falso sequitur quodlibet Ako uspostavimo neistinu, bilo što vrijedi. Proučimo dokaz za b Pretpostavka a je element praznog skupa neistinita je (falsum), pa moţemo dodati bilo koju tvrdnju (quodlibet)

41 Pravila negacije Ako moţemo dokazati kontradikciju na osnovi dodatne pretpostavke P, onda moţemo zaključiti P na osnovi početnih premisa. Reductio ad absurdum (svoďenje na besmisleno) Eliminacija negacije je pravilo dvostruke negacije gledano samo u jednom smjeru.

42 Vjeţba Dokaţimo A iz pretpostavke A. Otvorimo Negation 1. Otvori Negation 3. Primjenimo pravilo Elim i dva pravila za. Započnimo dva poddokaza (jedan s P i jedan s Q). Itd. Primjenimo strategiju dokazivanja iz prethodnog primjera da bismo dokazali ab iz premisa abba i ab.

43 Ponavljanje Smijemo ponavljati premise, dokazane rečenice i pretpostavke koje su na snazi. Primjenimo reiteraciju u dokazu za aa.

44 Strategija i taktika 1. Proučimo što rečenice znače. 2. Prosudimo slijedi li konkluzija. 3. Ako mislimo da ne slijedi ili nismo sigurni, pokušajmo pronaći protuprimjer. 4. Ako mislimo da slijedi, pokušajmo izgraditi neformalni dokaz. 5. Ako trebamo dati formalni dokaz, oslonimo se na neformalni za njegovu izgradnju. 6. Moţemo primijeniti taktiku kretanja unatrag. 7. U kretanju unatrag, provjerimo jesu li posredni ciljevi posljedice dostupnih informacija.

45 Vjeţba: konstrukcija unatrag Otvorimo Strategy 1. Glavna metoda koja nas moţe dovesti do konkluzije je reductio ad absurdum. Dalje u poddokazu primjenimo eliminaciju disjunkcije.

46 Dokazi bez premisa Dokazi bez premisa pokazuju da je konkluzija logička istina. Primjer: (PP) Koristimo kalkulator:..\pilot\applet\kalkulator\pcal.html Tautologija Dokaţimo metodom reductio ad absurdum.

47 Kondicional Introdukcija: ako je dokaz za Q moguć pod pretpostavkom P, onda je dokazano P->Q. Eliminacija: modus (ponendo) ponens.

48 Vjeţba Otvorite Conditional 1. Dodajte korak i upišite ciljnu rečenicu. Započnite poddokaz ispred rečenice AC. Upišite A kao pretpostavku poddokaza. Dodajte drugi korak poddokazu i upišite C. Postavite klizač na korak koji sadrţi ciljnu rečenicu A C. Opravdajte ovaj korak pomoću pravila Intro citirajući poddokaz. Provjerite ovaj korak. Nadopunite poddokaz. Dodajte korak izmeďu dvaju koraka poddokaza. Upišite AB. opravdajte ovaj korak pomoću Intro citirajući pretpostavku poddokaza. Pomaknite klizač na posljednji korak poddokaza. Opravdajte ovaj korak koristeći pravilo Elim, citirajući premisu i prethodni korak. Provjerite cijeli dokaz. Primijenimo ovaj pristup u dokazu za abcac.

49 Vjeţba Otvorite Conditional 2 U sljedećoj vjeţbi treba razdijeliti valjane i nevaljane zaključke. Za svaki valjani zaključak izgradite formalni dokaz u Fitch-u. Za svaki nevaljanom zaključku izgradite protuprimjer koristeći Tarski World. Za izgradnju protuprimjera trebat će vam rečenice u jeziku blokova koje odgovaraju zadanim oblicima zaključka. U tom svijetu premise moraju biti istinite a konkluzija mora biti neistinita.?afirmacija konzekvensa. Iz AB i B, moţemo izvesti A.?Modus tollens: Iz AB i B, moţemo izvesti A.?Konstruktivna dilema: Iz AB, AC i BD, moţemo izvesti CD.

50 Zadatak 1 Odredite sastavne rečenice u tekstu! Pokušava li se tekstom iskazati koji zaključak? Ako da, utvrdite uloge rečenica i procijenite njegovu ispravnost! Ovisno o vašem odgovoru, ili izradite dokaz ili izgradite protuprimjer! [Gilbert Harman] Apsolutni pacifizam je dobro načelo ako ga slijede svi ljudi. Ali ne slijede ga svi pa zato nije. (1) Apsolutni pacifizam je dobro načelo. (2) Svi ljudi slijede apsolutni pacifizam. (3) Neki ljudi ne slijede apsolutni pacifizam. (4) Apsolutni pacifizam nije dobro načelo. Kako se odnose 1 i 4 te 2 i 3?

51 Slijed i jezične razine Neformalno: ono o čemu je riječ moţe biti i sama riječ. Miš ima tri slova. Miš gricka sir. Dakle, ono što ima tri slova gricka sir. Riječi dakle, prema tome itd. iskazuju metajezičnu tvrdnju o dijelovima teksta: tvrdnju da jedan dio teksta (premise) obrazlaţe (opravdava, ima za posljedicu ) drugi dio teksta.

52 Zadatak 2 Odredite sastavne rečenice u tekstu! Pokušava li se tekstom iskazati koji zaključak? Ako da utvrdite uloge rečenica i izradite dokaz ako je zaključak ispravan! Palme njišu grane ako puše vjetar. Palme njišu grane. Znači, puše vjetar.

53 Zadatak 3 Odredite sastavne rečenice u tekstu! Pokušava li e tekstom iskazati koji zaključak? Ako da utvrdite uloge rečenica i izradite dokaz(e)! [Jaegwon Kim] Ako je mentalno stanje identično fizičkom stanju, onda su im sva svojstva zajednička. Ali postoji jedno svojstvo, svojstvo smještenosti u prostoru, koje im nije zajedničko; naime, fizički dogaďaji i stanja smješteni su u prostoru a mentalni dogaďaji i stanja nisu. Stoga su mentalni dogaďaji i stanja različiti od fizičkih.

54 Pravila za kondicional Ako pod pretpostavkom P moţemo dokazati Q, onda moţemo ukloniti pretpostavku P i tvrditi PQ. Ako smo dokazali PQ i P, onda moţemo tvrditi Q

55 Bikondicional

56 Identitet Pravilo uvoďenja identiteta: Refleksivnost. Svaki je predmet identičan sebi samome.

57 Identitet Pravilo uklanjanja identiteta. Leibnizov zakon: nerazlučivost identičnog. Što vrijedi za predmet pod jednim njegovim imenom vrijedi i pod drugim.

58 Vjeţba: kritička analiza Dokaţite b nije c koristeći premise a je veće od b i a nije veće od c! Dokaţite Clark Kent nije Superman koristeći premise Lois Lane voli Supermena. Lois Lane ne voli Clarka Kenta! Nabacite hipotezu koja bi mogla objasniti rezultate vaše analize!

59 Vaţno otkriće filozofske logike Za Davidsona ( ) izuzeće od važenja Leibnizovog zakona predstavlja razlikovno obilježje psihičkog rječnika. "One glagole koji izražavaju sudne stavove kao što su vjerovanje, namjeravanje, željenje, nadanje, znanje, zapažanje, sjećanje i sl. možemo nazvati mentalnim. Takvi su glagoli obilježeni činjenicom da se javljaju u rečenicama čiji se gramatički subjekt odnosi na osobe, a upotpunjuju ih uklopljene rečenice u kojima izgleda da ne vrijede uobičajena pravila supstitucije."

60 Vjeţba: logička analiza i hermeneutika Predloţite načine rješavanja paradoksa identiteta! [LA] Pretpostavimo da Witggenstein griješi! [H] Što u bi u kontekstu Tractatus-a mogli značiti izrazi besmisleno i ne reći ništa? Grubo govoreći, reći za dvije stvari da su identične - besmisleno je, a reći za neku stvar da je sa sobom identična -- znači ne reći ništa. Ludwig Wittgenstein (1921) Tractatus Logico- Philosophicus

61 Vjeţba: tumačenje [ ] korisne su one tvrdnje o identičnosti u kojima su imenovani predmeti isti a njihova imena različita, pojam o identitetu potreban je samo zbog osobitog svojstva jezika. Kada bi naš jezik bio savršena kopija svog predmetnog područja tako da svaki predmet nema više od jednog imena, onda bi nam identitetne tvrdnje doista bile beskorisne. [Willard Van Orman Quine ( ). Methods of Logic, 1950.] Odnosi li se naziv naš jezik na formalni jezik (jezik logike prvog reda)? Kako biste odredili pojam korisnosti jezičnih izraza? Postoji li povezanost izmeďu gornjeg navoda i Wittgensteinovog paradoksa identiteta?

62 UvoĎenje i uklanjanje kvantifikatora Kvantifikatori u logici prvog reda Univerzalni, x Egzistencijalni,x Mogu se uzajamno definirati: xp(x)xp(x) xp(x)xp(x)

63 Objašnjenje Univerzalni kvantifikator je analogan konjunkciji. Neka je skup predmeta o kojima govorimo konačan, neka svaki predmet iz tog skupa ima ime i neka ima samo jedno ime. Ako je a 1,,a n popis imena, onda xp(x) znači isto što P(a 1 ) P(a n )

64 Objašnjenje Egzistencijalni kvantifikator je analogan disjunkciji. Neka je skup predmeta o kojima govorimo konačan, neka svaki predmet iz tog skupa ima ime i neka ima samo jedno ime. Ako je a 1,,a n popis imena, onda xp(x) znači isto što P(a 1 ) P(a n )

65 Uzajamno definiranje i DeMorganovi zakoni DeMorganovi zakoni (AB)AB (AB)AB Primjer: (Kocka(a)Kocka(b)Kocka(c)Kocka(d)Kocka(e)) Kocka(a)Kocka(b)Kocka(c)Kocka(d)Kocka(e) xkocka(x)xkocka(x)

66 Univerzalna eliminacija ili uklanjanje univerzalnog kvantifikatora Ako smo ustanovili da xs(x) i ako je c ime nekog predmeta iz domene na koju se odnose rečenice našeg jezika, onda moţemo zaključiti da S(c). Tradicionalni iskazi: što vrijedi za sve, vrijedi i za pojedine Uočimo da smo polazeći od rečenice u kojoj se javlja univerzalni kvantifikator došli do rečenice u kojoj je izostavljen.

67 Egzistencijalna introdukcija ili uvoďenje egzistencijalnog kvantifikatora Ako smo ustanovili da S(c), onda moţemo zaključiti da xs(x). Neformalno: ako predmet c ima svojstvo S, onda neki predmet ima svojstvo S. Primjer: tvrdnju xyz:x 2 +y 2 =z 2 moţemo dokazati pokazujući na instancu (pojedinačni slučaj) koji zadovoljava zadani uvjet: =5 2 itd.

68 Primjer

69 Uklanjanje egzistencijalnog kvantifikatora UvoĎenje novog, privremenog imena ( Neka je c predmet koji zadovoljava S(x) ) Ako pretpostavkom da predmet kojem smo dodijelili novo ime c zadovoljava uvjet S(x) moţemo dokazati Q (u kojem se ne javlja c), onda moţemo zaključiti da Q.

70 Primjer

71 UvoĎenje univerzalnog kvantifikatora Ako za proizvoljni predmet kojemu smo dodijelili ime c moţemo dokazati P(c), onda moţemo zaključiti xp(x). U varijanti kondicionalnog dokaza: ako pod pretpostavkom da P(c) vrijedi za proizvoljni predmet c moţemo dokazati da Q(c), onda moţemo zaključiti x(p(x)q(x)). Usporedimo uvoďenje novog imena kod egzistencijalne eliminacije i univerzalne introdukcije.

72 Pravila prijelaza sa zaključka na zaključak Egzistencijalna eliminacija i univerzalna introdukcija. UvoĎenje imena proizvoljnog predmeta. Ime c ne javlja se u izvedenim zaključcima.

73 Primjer

74 Zadatak Ispitajte tvrdnje na desnoj strani! Iskaţite ih na prirodnom jeziku! Jesu li neke meďu njima logičke istine? Ako da, pokaţite do dokazujućih bez premisa! x x x xy x y xy x y xy x y

75 Vjeţba Otvorite Quantifier Strategy 1 Koristeći Velleman-ov applet dokaţimo da niti jedan skup nema za elemente sve svoje podskupove.