Curs Teorema Limită Centrală Enunţ

Size: px
Start display at page:

Download "Curs Teorema Limită Centrală Enunţ"

Transcription

1 Curs 9 Teorema Limiă Cerală 9 Teorema Limiă Cerală 9 Euţ Teorema Limiă Cerală TLC) ese ua dire cele mai imporae eoreme di eoria probabiliăţilor Iuiiv, orema afirmă că suma uui umăr mare de v a idepedee, ideic disribuie, sadardizae poae fi aproximaă de o disribuţie ormală Rezulă imporaţa acesei disribuţii, deşi desiaea sa de probabiliae are o formă care pare complicaă Teorema limiă cerală mai poară deumirea de miracolul lui Gauss Peru a realiza aces lucru, să cosiderăm desiaea de probabiliae a sumei a variabile idepedee, de ipul Uif [ 05, 05] Obţiem urmăoarele: = = = 3 = 0 If we compare hese graphs o he desiy of a sadard ormally disribued radom variable, we ca see remarkable similariies eve for small

2 = 3 = 0 If we compare Dacă vom hese compara graphs acese o grafice he desiy cu graficul of uei a sadard desiăţi de ormally probabiliae disribued a uei va radom variable, ormal we ca disribuie, see remarkable vom observa similariies asemăareaeve remarcabilă for small chiar peru desul de mic Desiy of a sadard ormally disribued radom variable Figura 9: Disribuţia ormală sadard This resul Aces leads lucru us e o coduce suspeciuiiv ha sums la ideea of radom că suma variabilelor variables somehow aleaoare sebehave comporă, ormally The CLT îr-u frames aumi his ses, fac ormal Exac Teorema Limiă Cerală formalizează aces lucru Fie X, X,, X, u şir de v a idepedee şi ideic disribuie cu M [X i ] = m şi D [X i ] = σ, i Fie S = X + X + + X şi M = S Teorema limiă cerală dă iformaţii asupra v a Z = S m σ = M m) σ = M m σ = M m σ Deoarece M [M ] = m, D [M ] = σ, deducem că M [Z ] = 0 şi D [Z ] = Aceaă v a se umeşe sadardizaă, deci şirul Z ese versiuea sadardizaă a şirului M Îaie de a demosra Teorema Limiă Cerală, avem evoie de urmăoarele prelimiarii, ce rezulă di dezvolările Taylor ale fucţiei expoeţiale: Dacă u 0, auci Dacă R, auci e i i şi De asemeea, vom folosi urmăorul rezula: 0 e u + u u 9) ei i i) 3 6 9) Teorema 9 Teorema covergeţei domiae) Fie f ) u şir de fucţii, covergee pucual la o fucţie f, f coiue cu excepţia uui umăr fii de puce şi domiae de o fucţie iegrabilă g : f x) gx), gx)dx <

3 Auci f ese iegrabilă şi lim f x)dx = fx)dx Îaie de a formula TLC, avem evoie de defiiţia covergeţei î disribuţie Defiiţia 9 Spuem că şirul X ) de va coverge î disribuţie la va X şi oăm d X dacă X lim F X x) = F X x), peru orice puc x R de coiuiae a lui F X Formulăm acum u al rezula uil, ce permie simplificarea demosraţiei TLC Teorema 93 Teorema de coiuiae a lui Lévy) Fie X ) u şir de va asfel îcâ şirul fucţiilor caracerisice corespuzăoare ϕ X coverge pucual la o fucţie ϕ Auci X d X ϕ = ϕ X Teorema 94 Teorema Limiă Cerală) Fie X ) u şir de va idepedee, ideic disribuie, sadardizae M[X i ] = 0 şi D[X i ] = ) Auci, peru orice x R, ) lim P X + + X x = x e u du, π adică X ++X d Z, ude Z N[0, ] Demosraţie Noăm cu S = X + + X Fie ϕ Xk fucţia caracerisică a lui X k, care ese aceeaşi peru fiecare k iid), deci o puem oa cu ϕ Auci, peru orice R, ] i S ϕ S ) = M [e = lim M k= ] [ )] [e i X k = ϕ Rămâe de arăa, folosid Teorema de coiuiae a lui Levy, că [ ϕ )] = e, deoarece am arăa mai sus că fucţia caracerisică a va ormale sadard ese de ipul e Dacă = 0, u avem imic de demosra Presupuem 0 Avem [ )] )] ϕ e ] [ϕ = [e ) ϕ e, 93) ) deoarece ϕ şi 0 e Urmează ) ) ) ) ϕ e ϕ + e 3

4 Folosid 9) peru u =, obţiem ) e 4 8 = peru 94) Peru primul modul, ) ) [ ϕ = M M e i X [ e i X deoarece M [X] = 0 şi M [X ] = D [X] = Pe de o pare, folosid prima relaţie di 9), obţiem ei X + i X + i X ei X X + X = X Pe de ală pare, folosid a doua relaţie di 9), obţiem ei X Peru orice δ > 0 şi N, defiim şi fucţia caracerisică a mulţimii A, Auci + i X)] X + i + i ) ] X + i X, 95) + i X + i X + i X 3 X 3 6 3/ A := Aδ, ) := { X > δ } I A x) = {, dacă x A 0, î res + X ei X + i X + i X X I A + 3 X 3 I 6 3/ A c Rezulă [ M e i X + i ) ] X + i X M [ ] X 3 I A + 6 M [ X 3 ] I 3/ A c = M [ ] X 3 I A + 6 M [ X 3 ] I / A c 96) Cum X δ pe A c, rezulă M [ X I A c] δ I A c f X x)dx, } {{ } de ude M [ X 3 I A c] M [ X ] M [ X I A c] δ 4

5 Deci, De asemeea, 3 6 M [ X 3 ] 3 δ I / A c 6 M [ X I A ] = M [ X I { X δ } ] Cum şirul de fucţii f := X I { X δ } f X ese crescăor, cu limia pucuală f = X f X, care ese [ iegrabilă M ] [X ] = ), rezulă aplicâd Teorema covergeţei domiae că lim M X I { X δ } = M [X ] = Fie acum ε > 0 Fie δ > 0 asfel îcâ 3 δ < ε Alegem de asemeea 6 4 ε N asfel îcâ, peru orice ε, să avem 4 < ε şi 8 4 M [X I A ] < ε Va rezula, combiâd relaţiile 93)-96), că peru orice ε > 0, exisă ε N asfel îcâ, peru orice ε, [ )] ϕ e < ε, ceea ce era de demosra Ale variae ale eoremei limiă cerală su urmăoarele: Teorema 95 TLC) Fie X ) N u şir de v a idepedee şi ideic disribuie iid) cu M [X i ] = m şi D [X i ] = σ, i Auci peru orice umere reale a < b, avem lim P {a Z b}) = b e x dx 97) π Teorema 96 TLC) Fie X ) N u şir de v a idepedee disribuie cu M [X i ] = şi D [X i ] = σ i, i şi lim σ = σ Auci peru orice umere reale a < b, avem lim P {a Z b}) = b e x dx π 9 Aplicaţii ale Teoremei Limiă Cerală Aplicaţie la sodaje de opiie Exerciţiul Presupuem că se realizează experimee de ip Beroulli î care u eveime A se produce cu probabiliaea p Noăm cu X k variabila aleaoare care ia valoarea dacă la experieţa cu umărul de ordie k se produce eveimeu A şi 0 dacă u se produce A Variabilele aleaoare X k ) k su idepedee Auci S = X + X + + X repreziă umărul oal de apariţii ale lui A, deci umărul de succese ale lui A î urma efecuării a experieţe S ese o v a reparizaă biomial, S Bi, p) V a X ) N au aceeaşi repariţie biomială) Noăm cu Z = S p pq Coform eoremei limiă cerală rezulă că peru orice a < b şi suficie de mare, P {a Z b}) = b e x dx = Φb) Φa) π a 5 a a

6 Peru orice α < β, avem α S β dacă şi umai dacă α p pq Noâd α p = a, β p = b, rezulă că pq pq Z β p pq ) ) β p α p P {α S β}) = Φ Φ pq pq şi deci P p + a pq S p + b pq) = Φb) Φa) Î paricular, peru a = b b > 0) rezulă formula P {p b pq S p + b pq}) = Φb), 98) peru >> uii saisiciei recomadă pq 0 ) Aceasă formuă ese uilizaă î sodaje asfel: cosiderăm o populaţie saisică umaă căreia îi cerem opiia îr-o aumiă chesiue: ce echipă de fobal, ce parid, ce eleviziue ec preferă Nu oaă lumea poae fi cosulaă şi auci se realizează u sodaj pe eşaioae resrâse, alese cu obieciviae Să presupuem că se cosulă persoae şi oăm cu S umărul de persoae care se prouţă peru succes); se deermiă paramerul p ca fiid frecveţa de succes Peru b = 7 avem Φb) = 0985 deci Φb) = 097 şi coform 98), se realizează cu eroare sub 3% eveimeul S [ p 7 pq S p + 7 pq ] ; apoi peru b = 96 avem Φb) = 095 şi coform 98), se realizează cu eroare sub 5% eveimeul S [p 96 pq S p + 96 pq] Exerciţiul Dir-u sodaj realiza îr-u oraş a rezula că dir-u eşaio de 000 voaţi 600 ar voa cu paridul X Cu o eroare de sub 3% să se esimeze câi dire cei, milioae de voaţi ar voa peru X Soluţie Avem p = 600 = 06 şi q = 04, = şi luăm b = 7, deci umărul ceru 000 ese cuprims îre p 7 pq şi p + 7 pq deci îre = şi = 760 Aproximarea legii biomiale prir-o lege ormală Fie X o v a discreă reparizaă biomial cu paramerii p şi deci M [X] = p, D [X] = pq şi k N, k Să se calculeze P {X = k}) şi P {X k}) folosid eorema limiă cerală peru suficie de mare şi pq u foare mic) Coform eoremei limiă cerală X N p, pq) şi deci { [ P {X = k}) = P X k, k + ]}) k + = Φ p ) k Φ p ) pq pq 6

7 Adăugarea lui 05 la k se umeşe corecţie pri coiuiae A fos peru îmbuăăţirea aproximaţiei La fel { P {X k}) = P X k + }) k + = Φ p ) pq Exerciţiul 3 Se arucă o moedă şi probabiliaea de a obţie baul ese 06 Se arucă moeda de 000 ori Care ese probabiliaea de a obţie baul de 650 de ori? Soluţie Fie X v a care ia ca valori umărul de apariţii ale baului î cele 000 de arucări Evide X Biomial [0000; 06] Coform eoremei limiă cerală X N 600, 40) { [ P {X = 650}) = P X 650, ]}) = Φ 600 ) 650 Φ 600 ) = Φ 35) Φ 39) = = O v a disribuiă biomial se aproximează cu o v a disribuiă ormal dacă p > 5, q > 5 Aproximarea legii Poisso prir-o lege ormală Fie X o v a discreă reparizaă Poisso cu parameru λ Auci M [X] = λ, D [X] = λ Coform eoremei limiă cerală X N λ, λ) Să se calculeze P {X = k}) şi P {X k}) peru k umăr aural P {X = k}) = P { [ X k, k + ]}) = Φ k + λ λ ) Φ k λ ) λ La fel, P {X k}) = P { X k + }) k + = Φ λ ) λ Aproximarea ese buă dacă λ > 5 Exerciţiul 4 Saisica araă că la o uiae de asigurări se primesc î medie 300 de reclamaţii pe a Fie X umărul de reclamaţii pe a, presupus repariza Poisso Să se deermie probabiliaea ca să primească cel puţi 35 de reclamaţii pe a Soluţie Avem P {X 35}) = P {X 35}) = Φ ) = Φ 9734) = =

Derivarea integralei şi integrarea derivatei

Derivarea integralei şi integrarea derivatei Derivre iegrlei şi iegrre erivei Dorim să evieţiem ici fpul că iegrre şi erivre fucţiilor rele su operţii iverse, îr-u ses cre urmeză fi preciz. Icepem pri remii formul Leibiz-Newo peru fucţii f : I R

More information

Teoria probabilit¼aţilor şi statistic¼a matematic¼a

Teoria probabilit¼aţilor şi statistic¼a matematic¼a Teoria probabilit¼aţilor şi statistic¼a matematic¼a B¼arb¼acioru Iuliaa Carme CURSUL 7 Cursul 7 2 Cupris 1 Legea umerelor mari 5 1.1 Geeralit¼aţi............................... 5 1.2 Iegalitatea lui Cebîşev........................

More information

Teorema Reziduurilor şi Bucuria Integralelor Reale Prezentare de Alexandru Negrescu

Teorema Reziduurilor şi Bucuria Integralelor Reale Prezentare de Alexandru Negrescu Teorema Reiduurilor şi Bucuria Integralelor Reale Preentare de Alexandru Negrescu Integrale cu funcţii raţionale ce depind de sint şi cost u notaţia e it, avem: cost sint i ( + ( dt d i, iar integrarea

More information

Soluţii juniori., unde 1, 2

Soluţii juniori., unde 1, 2 Soluţii juniori Problema 1 Se consideră suma S x1x x3x4... x015 x016 Este posibil să avem S 016? Răspuns: Da., unde 1,,..., 016 3, 3 Termenii sumei sunt de forma 3 3 1, x x x. 3 5 6 sau Cristian Lazăr

More information

Test de Departajare pentru MofM 2014 (Bucureşti) Enunţuri & Soluţii

Test de Departajare pentru MofM 2014 (Bucureşti) Enunţuri & Soluţii Test de Departajare petru MofM 04 Bucureşti Euţuri & Soluţii Problem. Give + distict real umbers i the iterval [0,], prove there exist two of them a b, such that ab a b < Solutio. Idex the umbers 0 a 0

More information

Numere prime. O selecţie de probleme pentru gimnaziu

Numere prime. O selecţie de probleme pentru gimnaziu Numere prime O selecţie de probleme petru gimaziu Adria Zaoschi Colegiul Natioal "Costache Negruzzi" Iasi (Clasa a V-a) Determiați submulțimea B a mulțimii A 0,,,, 49, 50, formată di toate elemetele lui

More information

Laborator 4. Rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale în Matlab

Laborator 4. Rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale în Matlab Laborator 4. Rezolvarea ecuaţiilor difereţiale î Matlab Bibliografie. G. Aastassiou, I. Iata, Itelliget Routies: Solvig Mathematical Aalsis with Matlab, Mathcad, Mathematica ad Maple, Spriger, 03.. I.

More information

Divizibilitate în mulțimea numerelor naturale/întregi

Divizibilitate în mulțimea numerelor naturale/întregi Divizibilitate în mulțimea numerelor naturale/întregi Teorema îmărţirii cu rest în mulțimea numerelor naturale Fie a, b, b 0. Atunci există q, r astfel încât a=bq+r, cu 0 r < b. În lus, q şi r sunt unic

More information

Barem de notare clasa a V-a

Barem de notare clasa a V-a Barem de notare clasa a V-a Problema1. Determinați mulțimile A și B, formate din numere naturale, știind că îndeplinesc simultan condițiile: a) A B,5,6 ; b) B A 0,7 ; c) card AB 3; d) suma elementelor

More information

1.3. OPERAŢII CU NUMERE NEZECIMALE

1.3. OPERAŢII CU NUMERE NEZECIMALE 1.3. OPERAŢII CU NUMERE NEZECIMALE 1.3.1 OPERAŢII CU NUMERE BINARE A. ADUNAREA NUMERELOR BINARE Reguli de bază: 0 + 0 = 0 transport 0 0 + 1 = 1 transport 0 1 + 0 = 1 transport 0 1 + 1 = 0 transport 1 Pentru

More information

FORMULELE LUI STIRLING, WALLIS, GAUSS ŞI APLICAŢII

FORMULELE LUI STIRLING, WALLIS, GAUSS ŞI APLICAŢII DIDACTICA MATHEMATICA, Vol. 34), pp. 53 67 FORMULELE LUI STIRLING, WALLIS, GAUSS ŞI APLICAŢII Eugenia Duca, Emilia Copaciu şi Dorel I. Duca Abstract. In this paper are presented the Wallis, Stirling, Gauss

More information

ON THE QUATERNARY QUADRATIC DIOPHANTINE EQUATIONS (II) NICOLAE BRATU 1 ADINA CRETAN 2

ON THE QUATERNARY QUADRATIC DIOPHANTINE EQUATIONS (II) NICOLAE BRATU 1 ADINA CRETAN 2 ON THE QUATERNARY QUADRATIC DIOPHANTINE EQUATIONS (II) NICOLAE BRATU 1 ADINA CRETAN ABSTRACT This paper has been updated and completed thanks to suggestions and critics coming from Dr. Mike Hirschhorn,

More information

S.S.M.ROMÂNIA - Filiala Mehedinți 2016 SOCIETATEA DE ȘTIINȚE MATEMATICE DIN ROMÂNIA. Filiala Mehedinți REVISTA DE MATEMATICĂ MEHEDINȚEANĂ R.M.M.

S.S.M.ROMÂNIA - Filiala Mehedinți 2016 SOCIETATEA DE ȘTIINȚE MATEMATICE DIN ROMÂNIA. Filiala Mehedinți REVISTA DE MATEMATICĂ MEHEDINȚEANĂ R.M.M. SOCIETATEA DE ȘTIINȚE MATEMATICE DIN ROMÂNIA Filiala Mehediți REVISTA DE MATEMATICĂ MEHEDINȚEANĂ R.M.M. Nr.6-06 REVISTA DE MATEMATICĂ MEHEDINȚEANĂ NR. 6 SOCIETATEA DE ȘTIINȚE MATEMATICE DIN ROMÂNIA Filiala

More information

SIMULAREA DECIZIEI FINANCIARE

SIMULAREA DECIZIEI FINANCIARE SIMULAREA DECIZIEI FINANCIARE Conf. univ. dr. Nicolae BÂRSAN-PIPU T5.1 TEMA 5 DISTRIBUŢII DISCRETE T5. Cuprins T5.3 5.1 Variabile aleatoare discrete 5. Distribuţia de probabilitate a unei variabile aleatoare

More information

P a g e 5 1 of R e p o r t P B 4 / 0 9

P a g e 5 1 of R e p o r t P B 4 / 0 9 P a g e 5 1 of R e p o r t P B 4 / 0 9 J A R T a l s o c o n c l u d e d t h a t a l t h o u g h t h e i n t e n t o f N e l s o n s r e h a b i l i t a t i o n p l a n i s t o e n h a n c e c o n n e

More information

Solution by Nicuşor Zlota, Traian Vuia Technical College, Focşani, Romania

Solution by Nicuşor Zlota, Traian Vuia Technical College, Focşani, Romania Revista Virtuala Ifo MateTehic ISSN 069-7988 ISSN-L 069-7988 Probleme rouse sre rezolvare Nicusor Zlota, Focsai 08.Prove that C, j N,where the fiboacci, F F F 0 F F, F 0, F + = + + = = = 0 + j + j 09.Let

More information

Sisteme cu logica fuzzy

Sisteme cu logica fuzzy Sisteme cu logica fuzzy 1/15 Sisteme cu logica fuzzy Mamdani Fie un sistem cu logică fuzzy Mamdani două intrări x şi y ieşire z x y SLF Structura z 2/15 Sisteme cu logica fuzzy Mamdani Baza de reguli R

More information

Raport Stiintific Grant CEEX-MENER Nr.717/ , Etapa II Universitatea: Dunărea de Jos din Galaţi

Raport Stiintific Grant CEEX-MENER Nr.717/ , Etapa II Universitatea: Dunărea de Jos din Galaţi Rapor Siiific Gra CEEX-MENER Nr.77/4.7.6, Eapa II Uiversiaea: Duărea de Jos di Galaţi Obiecivul VI: Sudiul si implemearea de observere de sare i vederea uilizarii lor i algorimii de reglare a proceselor

More information

Prof univ dr. Sever Spânulescu - LUCRARI DE LABORATOR

Prof univ dr. Sever Spânulescu - LUCRARI DE LABORATOR UNIVERSITATEA HYPERION Facultatea de Stiițe Exacte și Igierești Prof uiv dr. Sever Spâulescu CALCUL NUMERIC - LUCRARI DE LABORATOR Lucrarea de laborator. Rezolvarea sistemelor de ecuatii liiare pri metode

More information

Statistică Aplicată. Iulian Stoleriu

Statistică Aplicată. Iulian Stoleriu 32 Statistică Aplicată Iulia Stoleriu Copyright 2017 Iulia Stoleriu Cupris 1 Elemete itroductive de Statistică............................ 11 1.1 Populaţie statistică 11 1.2 Variabile aleatoare 13 1.3

More information

OH BOY! Story. N a r r a t iv e a n d o bj e c t s th ea t e r Fo r a l l a g e s, fr o m th e a ge of 9

OH BOY! Story. N a r r a t iv e a n d o bj e c t s th ea t e r Fo r a l l a g e s, fr o m th e a ge of 9 OH BOY! O h Boy!, was or igin a lly cr eat ed in F r en ch an d was a m a jor s u cc ess on t h e Fr en ch st a ge f or young au di enc es. It h a s b een s een by ap pr ox i ma t ely 175,000 sp ect at

More information

A L A BA M A L A W R E V IE W

A L A BA M A L A W R E V IE W A L A BA M A L A W R E V IE W Volume 52 Fall 2000 Number 1 B E F O R E D I S A B I L I T Y C I V I L R I G HT S : C I V I L W A R P E N S I O N S A N D TH E P O L I T I C S O F D I S A B I L I T Y I N

More information

Mathematical Statistics. 1 Introduction to the materials to be covered in this course

Mathematical Statistics. 1 Introduction to the materials to be covered in this course Mahemaical Saisics Iroducio o he maerials o be covered i his course. Uivariae & Mulivariae r.v s 2. Borl-Caelli Lemma Large Deviaios. e.g. X,, X are iid r.v s, P ( X + + X where I(A) is a umber depedig

More information

Probleme rezolvate. Lăcrimioara GRAMA, Corneliu RUSU, Prelucrarea numerică a semnalelor aplicații și probleme, Ed. U.T.PRESS, Cluj-Napoca, 2008.

Probleme rezolvate. Lăcrimioara GRAMA, Corneliu RUSU, Prelucrarea numerică a semnalelor aplicații și probleme, Ed. U.T.PRESS, Cluj-Napoca, 2008. Probleme reolvate Lăcrimioara GRAMA, Coreliu RUSU, Prelucrarea umerică a semalelor aplicații și probleme, Ed UTPRESS, Clu-Napoca, 008 Capitolul Semale și secvețe Problema Geerarea uei expoețiale complexe:

More information

LUCRAREA NR Reprezentarea sistemelor liniare și invariante în timp 2. Răspunsul sistemelor la semnale de intrare

LUCRAREA NR Reprezentarea sistemelor liniare și invariante în timp 2. Răspunsul sistemelor la semnale de intrare Semale și iteme eoria itemelor LUCRAREA NR. 3. Reprezetarea itemelor liiare și ivariate î timp. Răpuul itemelor la emale de itrare. Reprezetarea itemelor liiare și ivariate î timp U item cotiuu, diamic,

More information

IMAR Problema 1. Fie P un punct situat în interiorul unui triunghi ABC. Dreapta AP intersectează

IMAR Problema 1. Fie P un punct situat în interiorul unui triunghi ABC. Dreapta AP intersectează IMAR 017 Problema 1 Fie P u puct situat î iteriorul uui triughi ABC Dreapta AP itersectează latura BC î puctul D ; dreapta BP itersectează latura CA î puctul E ; iar dreapta CP itersectează latura AB î

More information

I M P O R T A N T S A F E T Y I N S T R U C T I O N S W h e n u s i n g t h i s e l e c t r o n i c d e v i c e, b a s i c p r e c a u t i o n s s h o

I M P O R T A N T S A F E T Y I N S T R U C T I O N S W h e n u s i n g t h i s e l e c t r o n i c d e v i c e, b a s i c p r e c a u t i o n s s h o I M P O R T A N T S A F E T Y I N S T R U C T I O N S W h e n u s i n g t h i s e l e c t r o n i c d e v i c e, b a s i c p r e c a u t i o n s s h o u l d a l w a y s b e t a k e n, i n c l u d f o l

More information

Lucrarea de laborator nr. 8

Lucrarea de laborator nr. 8 Metode Numerice Lucrarea de laborator r. 8 I. Scopul lucrării Metoda Newto II. Coţiutul lucrării 1. Metoda tagetei 2. Metoda Newto cazul m-dimesioal III. Prezetarea lucrării III.1. Metoda tagetei Metoda

More information

CATAVASII LA NAȘTEREA DOMNULUI DUMNEZEU ȘI MÂNTUITORULUI NOSTRU, IISUS HRISTOS. CÂNTAREA I-A. Ήχος Πα. to os se e e na aș te e e slă ă ă vi i i i i

CATAVASII LA NAȘTEREA DOMNULUI DUMNEZEU ȘI MÂNTUITORULUI NOSTRU, IISUS HRISTOS. CÂNTAREA I-A. Ήχος Πα. to os se e e na aș te e e slă ă ă vi i i i i CATAVASII LA NAȘTEREA DOMNULUI DUMNEZEU ȘI MÂNTUITORULUI NOSTRU, IISUS HRISTOS. CÂNTAREA I-A Ήχος α H ris to os s n ș t slă ă ă vi i i i i ți'l Hris to o os di in c ru u uri, în tâm pi i n ți i'l Hris

More information

T h e C S E T I P r o j e c t

T h e C S E T I P r o j e c t T h e P r o j e c t T H E P R O J E C T T A B L E O F C O N T E N T S A r t i c l e P a g e C o m p r e h e n s i v e A s s es s m e n t o f t h e U F O / E T I P h e n o m e n o n M a y 1 9 9 1 1 E T

More information

Inegalităţi de tip Chebyshev-Grüss pentru operatorii Bernstein-Euler-Jacobi

Inegalităţi de tip Chebyshev-Grüss pentru operatorii Bernstein-Euler-Jacobi Iegalităţi de tip Chebyshev-Grüss petru operatorii Berstei-Euler-Jacobi arxiv:1506.08166v1 [math.ca] 26 Ju 2015 Heier Goska, Maria-Daiela Rusu, Elea-Doria Stăilă Abstract The classical form of Grüss iequality

More information

Lecture 20: Multivariate convergence and the Central Limit Theorem

Lecture 20: Multivariate convergence and the Central Limit Theorem Lecture 20: Multivariate covergece ad the Cetral Limit Theorem Covergece i distributio for radom vectors Let Z,Z 1,Z 2,... be radom vectors o R k. If the cdf of Z is cotiuous, the we ca defie covergece

More information

A Perceptron is a binary classifier that maps its input x (a real-valued vector) to an output value y (y single binary value, 0 or 1; -1 or 1)

A Perceptron is a binary classifier that maps its input x (a real-valued vector) to an output value y (y single binary value, 0 or 1; -1 or 1) Percepron A Percepron i a inary claifier ha map i inpu (a real-valued vecor) o an oupu value y (y ingle inary value 0 or ; - or ) Roenla [Roe6] creaed many variaion of he percepron. One of he imple: ingle-layer

More information

This section is optional.

This section is optional. 4 Momet Geeratig Fuctios* This sectio is optioal. The momet geeratig fuctio g : R R of a radom variable X is defied as g(t) = E[e tx ]. Propositio 1. We have g () (0) = E[X ] for = 1, 2,... Proof. Therefore

More information

Le classeur à tampons

Le classeur à tampons Le classeur à tampons P a s à pa s Le matériel 1 gr a n d cla s s e u r 3 pa pi e r s co o r d o n n é s. P o u r le m o d è l e pr é s e n t é P a p i e r ble u D ai s y D s, pa pi e r bor d e a u x,

More information

MIT Spring 2016

MIT Spring 2016 MIT 18.655 Dr. Kempthore Sprig 2016 1 MIT 18.655 Outlie 1 2 MIT 18.655 Beroulli s Weak Law of Large Numbers X 1, X 2,... iid Beroulli(θ). S i=1 = X i Biomial(, θ). S P θ. Proof: Apply Chebychev s Iequality,

More information

OBJECTIVES Use the area under a graph to find total cost. Use rectangles to approximate the area under a graph.

OBJECTIVES Use the area under a graph to find total cost. Use rectangles to approximate the area under a graph. 4.1 The Area under a Graph OBJECTIVES Use the area under a graph to find total cost. Use rectangles to approximate the area under a graph. 4.1 The Area Under a Graph Riemann Sums (continued): In the following

More information

7.1 Convergence of sequences of random variables

7.1 Convergence of sequences of random variables Chapter 7 Limit theorems Throughout this sectio we will assume a probability space (Ω, F, P), i which is defied a ifiite sequece of radom variables (X ) ad a radom variable X. The fact that for every ifiite

More information

DE LA TEOREMA FAN MINIMAX LA ECHILIBRUL NASH FROM FAN MINIMAX THEOREM TO NASH EQUILIBRIUM

DE LA TEOREMA FAN MINIMAX LA ECHILIBRUL NASH FROM FAN MINIMAX THEOREM TO NASH EQUILIBRIUM Doctorad Bogda-Coreliu BIOLAN Uiversitatea di Bucureşti DE LA TEOREMA FAN MINIMAX LA ECHILIBRUL NASH FROM FAN MINIMAX THEOREM TO NASH EQUILIBRIUM Abstract. We show that i a abstract covex space (E, D;

More information

e2- THE FRANKLIN INSTITUTE We" D4rL E; 77.e //SY" Laboratories for Research and Development ceizrrra L , Ps" /.7.5-evr ge)/+.

e2- THE FRANKLIN INSTITUTE We D4rL E; 77.e //SY Laboratories for Research and Development ceizrrra L , Ps /.7.5-evr ge)/+. ozr/-6-7-aw We" 0 Ze12, DrL E; 77.e //SY" ceizrrra L s, Ps" e2- j 1 /1/ -tv /.7.5-evr ge)/+.,v) c7-/er-vi 0, I tr9 1 If,t) e" '*? /:7010 1, 7!, re, /7 1' 8c / 771 ;.7..) t) - or, Tin E ei:e1licir '.e.

More information

MATEMATICI SPECIALE PENTRU INGINERI

MATEMATICI SPECIALE PENTRU INGINERI DAN LASCU MATEMATICI SPECIALE PENTRU INGINERI TEORIE CUPRINS PREFAÞÃ 4 FUNCÞII COMPLEXE 5 Numere complee 5 Itroducere Forma algebricã Forma trigoometricã a umerelor complee 5 7 Elemete de topologie î corpul

More information

7.1 Convergence of sequences of random variables

7.1 Convergence of sequences of random variables Chapter 7 Limit Theorems Throughout this sectio we will assume a probability space (, F, P), i which is defied a ifiite sequece of radom variables (X ) ad a radom variable X. The fact that for every ifiite

More information

UNITATEA DE ÎNVĂȚARE 3 Analiza algoritmilor

UNITATEA DE ÎNVĂȚARE 3 Analiza algoritmilor UNITATEA DE ÎNVĂȚARE 3 Analiza algoritmilor Obiective urmărite: La sfârşitul parcurgerii acestei UI, studenţii vor 1.1 cunoaște conceptul de eficienta a unui algoritm vor cunoaste si inţelege modalitatile

More information

APLICAŢII ALE FORMULELOR LUI NEWTON PENTRU POLINOAME SIMETRICE

APLICAŢII ALE FORMULELOR LUI NEWTON PENTRU POLINOAME SIMETRICE DIDACTICA MATHEMATICA, Vol. 33(2015), pp. 27 37 APLICAŢII ALE FORMULELOR LUI NEWTON PENTRU POLINOAME SIMETRICE Cristina-Aida Coman Abstract. In this paper we present some applications of Newton s formulae

More information

F.Y. Diploma : Sem. II [AE/CH/FG/ME/PT/PG] Applied Mathematics

F.Y. Diploma : Sem. II [AE/CH/FG/ME/PT/PG] Applied Mathematics F.Y. Diploma : Sem. II [AE/CH/FG/ME/PT/PG] Applied Mahemaics Prelim Quesio Paper Soluio Q. Aemp ay FIVE of he followig : [0] Q.(a) Defie Eve ad odd fucios. [] As.: A fucio f() is said o be eve fucio if

More information

O V E R V I E W. This study suggests grouping of numbers that do not divide the number

O V E R V I E W. This study suggests grouping of numbers that do not divide the number MSCN(2010) : 11A99 Author : Barar Stelian Liviu Adress : Israel e-mail : stelibarar@yahoo.com O V E R V I E W This study suggests grouping of numbers that do not divide the number 3 and/or 5 in eight collumns.

More information

"IIITO-TEC 'NIKI" & EQUIPME

IIITO-TEC 'NIKI & EQUIPME LIGHTING "IIITO-TEC 'NIKI" & EQUIPME T FOR CITIES 6 MAKEDONOMAHON STR.,ZIPCaDE:67009,KALO ORI,THESSALONIKI, GREECE TEL / FAX: 0030 2310761824/751626,8 mall: hito@otenet.qi' Webslte:www.hlto..techkl.gr

More information

STATISTICAL METHODS FOR BUSINESS

STATISTICAL METHODS FOR BUSINESS STATISTICAL METHODS FOR BUSINESS UNIT 5. Joit aalysis ad limit theorems. 5.1.- -dimesio distributios. Margial ad coditioal distributios 5.2.- Sequeces of idepedet radom variables. Properties 5.3.- Sums

More information

LECTURE 16 GAUSS QUADRATURE In general for Newton-Cotes (equispaced interpolation points/ data points/ integration points/ nodes).

LECTURE 16 GAUSS QUADRATURE In general for Newton-Cotes (equispaced interpolation points/ data points/ integration points/ nodes). CE 025 - Lecture 6 LECTURE 6 GAUSS QUADRATURE In general for ewton-cotes (equispaced interpolation points/ data points/ integration points/ nodes). x E x S fx dx hw' o f o + w' f + + w' f + E 84 f 0 f

More information

Software Process Models there are many process model s in th e li t e ra t u re, s om e a r e prescriptions and some are descriptions you need to mode

Software Process Models there are many process model s in th e li t e ra t u re, s om e a r e prescriptions and some are descriptions you need to mode Unit 2 : Software Process O b j ec t i ve This unit introduces software systems engineering through a discussion of software processes and their principal characteristics. In order to achieve the desireable

More information

Parameter, Statistic and Random Samples

Parameter, Statistic and Random Samples Parameter, Statistic ad Radom Samples A parameter is a umber that describes the populatio. It is a fixed umber, but i practice we do ot kow its value. A statistic is a fuctio of the sample data, i.e.,

More information

û s L u t 0 s a ; i.e., û s 0

û s L u t 0 s a ; i.e., û s 0 Te Hille-Yosida Teorem We ave seen a wen e absrac IVP is uniquely solvable en e soluion operaor defines a semigroup of bounded operaors. We ave no ye discussed e condiions under wic e IVP is uniquely solvable.

More information

National Sun Yat-Sen University CSE Course: Information Theory. Maximum Entropy and Spectral Estimation

National Sun Yat-Sen University CSE Course: Information Theory. Maximum Entropy and Spectral Estimation Maximum Entropy and Spectral Estimation 1 Introduction What is the distribution of velocities in the gas at a given temperature? It is the Maxwell-Boltzmann distribution. The maximum entropy distribution

More information

5. Limit Theorems, Part II: Central Limit Theorem. ECE 302 Fall 2009 TR 3 4:15pm Purdue University, School of ECE Prof.

5. Limit Theorems, Part II: Central Limit Theorem. ECE 302 Fall 2009 TR 3 4:15pm Purdue University, School of ECE Prof. 5. Limit Theorems, Part II: Cetral Limit Theorem ECE 302 Fall 2009 TR 3 4:15pm Purdue Uiversity, School of ECE Prof. Ilya Pollak WLLN ad CLT X 1,, X i.i.d. with fiite mea μ ad variace σ 2 WLLN ad CLT X

More information

LUCRAREA nr. 5: Analiza în domeniul timp a elementelor unui sistem de reglare automată. Sistemul de ordinul 2

LUCRAREA nr. 5: Analiza în domeniul timp a elementelor unui sistem de reglare automată. Sistemul de ordinul 2 LUCRAREA r. 5: Aaliza î domiul timp a lmtlor uui sim d rglar automată. Simul d ordiul. Scopul lucrării S va fac aaliza comportării î timp a simului liiar d ordiul pri dtrmiara variaţii mărimii d işir a

More information

Convergence theorems. Chapter Sampling

Convergence theorems. Chapter Sampling Chaper Covergece heorems We ve already discussed he difficuly i defiig he probabiliy measure i erms of a experimeal frequecy measureme. The hear of he problem lies i he defiiio of he limi, ad his was se

More information

Definiţie. Pr(X a) - probabilitatea ca X să ia valoarea a ; Pr(a X b) - probabilitatea ca X să ia o valoare în intervalul a,b.

Definiţie. Pr(X a) - probabilitatea ca X să ia valoarea a ; Pr(a X b) - probabilitatea ca X să ia o valoare în intervalul a,b. Variabile aleatoare Definiţie Se numeşte variabilă aleatoare pe un spaţiu fundamental E şi se notează prin X, o funcţie definită pe E cu valori în mulţimea numerelor reale. Unei variabile aleatoare X i

More information

2.1. Convergence in distribution and characteristic functions.

2.1. Convergence in distribution and characteristic functions. 3 Chapter 2. Cetral Limit Theorem. Cetral limit theorem, or DeMoivre-Laplace Theorem, which also implies the wea law of large umbers, is the most importat theorem i probability theory ad statistics. For

More information

A = (a + 1) 2 = a 2 + 2a + 1

A = (a + 1) 2 = a 2 + 2a + 1 A = (a + 1) 2 = a 2 + 2a + 1 1 A = ( (a + b) + 1 ) 2 = (a + b) 2 + 2(a + b) + 1 = a 2 + 2ab + b 2 + 2a + 2b + 1 A = ( (a + b) + 1 ) 2 = (a + b) 2 + 2(a + b) + 1 = a 2 + 2ab + b 2 + 2a + 2b + 1 3 A = (

More information

Teoreme de Analiză Matematică - I (teorema Weierstrass-Bolzano) 1

Teoreme de Analiză Matematică - I (teorema Weierstrass-Bolzano) 1 Educaţia Matematică Vol. 3, Nr. 1-2 (2007), 79-84 Teoreme de Analiză Matematică - I (teorema Weierstrass-Bolzano) 1 Silviu Crăciunaş, Petrică Dicu, Mioara Boncuţ Abstract In this paper we propose a Weierstrass

More information

BAYESIAN ESTIMATION METHOD FOR PARAMETER OF EPIDEMIC SIR REED-FROST MODEL. Puji Kurniawan M

BAYESIAN ESTIMATION METHOD FOR PARAMETER OF EPIDEMIC SIR REED-FROST MODEL. Puji Kurniawan M BAYESAN ESTMATON METHOD FOR PARAMETER OF EPDEMC SR REED-FROST MODEL Puji Kuriawa M447 ABSTRACT. fecious diseases is a impora healh problem i he mos of couries, belogig o doesia. Some of ifecious diseases

More information

EFFECTIVE WLLN, SLLN, AND CLT IN STATISTICAL MODELS

EFFECTIVE WLLN, SLLN, AND CLT IN STATISTICAL MODELS EFFECTIVE WLLN, SLLN, AND CLT IN STATISTICAL MODELS Ryszard Zieliński Ist Math Polish Acad Sc POBox 21, 00-956 Warszawa 10, Polad e-mail: rziel@impagovpl ABSTRACT Weak laws of large umbers (W LLN), strog

More information

Math 1310 Lab 10. (Sections )

Math 1310 Lab 10. (Sections ) Math 131 Lab 1. (Sections 5.1-5.3) Name/Unid: Lab section: 1. (Properties of the integral) Use the properties of the integral in section 5.2 for answering the following question. (a) Knowing that 2 2f(x)

More information

Legi de distribuţie (principalele distribuţii de probabilitate) Tudor Drugan

Legi de distribuţie (principalele distribuţii de probabilitate) Tudor Drugan Legi de distribuţie (principalele distribuţii de probabilitate) Tudor Drugan Introducere In general distribuţiile variabilelor aleatoare definite pe o populaţie, care face obiectul unui studiu, nu se cunosc.

More information

Exercise 3 Stochastic Models of Manufacturing Systems 4T400, 6 May

Exercise 3 Stochastic Models of Manufacturing Systems 4T400, 6 May Exercise 3 Sochasic Models of Maufacurig Sysems 4T4, 6 May. Each week a very popular loery i Adorra pris 4 ickes. Each ickes has wo 4-digi umbers o i, oe visible ad he oher covered. The umbers are radomly

More information

REVIEW 1, MATH n=1 is convergent. (b) Determine whether a n is convergent.

REVIEW 1, MATH n=1 is convergent. (b) Determine whether a n is convergent. REVIEW, MATH 00. Let a = +. a) Determie whether the sequece a ) is coverget. b) Determie whether a is coverget.. Determie whether the series is coverget or diverget. If it is coverget, fid its sum. a)

More information

ACS AKK R0125 REV B 3AKK R0125 REV B 3AKK R0125 REV C KR Effective : Asea Brown Boveri Ltd.

ACS AKK R0125 REV B 3AKK R0125 REV B 3AKK R0125 REV C KR Effective : Asea Brown Boveri Ltd. ACS 100 Í ACS 100 Í 3AKK R0125 REV B 3AKK R0125 REV B 3AKK R0125 REV C KR Effective : 1999.9 1999 Asea Brown Boveri Ltd. 2 ! ACS100 { { ä ~.! ACS100 i{ ~. Õ 5 ˆ Ã ACS100 À Ãåä.! ˆ [ U1, V1, W1(L,N), U2,

More information

Solutions to Homework 2 - Probability Review

Solutions to Homework 2 - Probability Review Solutios to Homework 2 - Probability Review Beroulli, biomial, Poisso ad ormal distributios. A Biomial distributio. Sice X is a biomial RV with parameters, p), it ca be writte as X = B i ) where B,...,

More information

B. Maddah INDE 504 Simulation 09/02/17

B. Maddah INDE 504 Simulation 09/02/17 B. Maddah INDE 54 Simulaio 9/2/7 Queueig Primer Wha is a queueig sysem? A queueig sysem cosiss of servers (resources) ha provide service o cusomers (eiies). A Cusomer requesig service will sar service

More information

Mathematical Statistics - MS

Mathematical Statistics - MS Paper Specific Istructios. The examiatio is of hours duratio. There are a total of 60 questios carryig 00 marks. The etire paper is divided ito three sectios, A, B ad C. All sectios are compulsory. Questios

More information

Moment Generating Function

Moment Generating Function 1 Mome Geeraig Fucio m h mome m m m E[ ] x f ( x) dx m h ceral mome m m m E[( ) ] ( ) ( x ) f ( x) dx Mome Geeraig Fucio For a real, M () E[ e ] e k x k e p ( x ) discree x k e f ( x) dx coiuous Example

More information

Assignment 1 : Real Numbers, Sequences. for n 1. Show that (x n ) converges. Further, by observing that x n+2 + x n+1

Assignment 1 : Real Numbers, Sequences. for n 1. Show that (x n ) converges. Further, by observing that x n+2 + x n+1 Assigmet : Real Numbers, Sequeces. Let A be a o-empty subset of R ad α R. Show that α = supa if ad oly if α is ot a upper boud of A but α + is a upper boud of A for every N. 2. Let y (, ) ad x (, ). Evaluate

More information

The integral test and estimates of sums

The integral test and estimates of sums The integral test Suppose f is a continuous, positive, decreasing function on [, ) and let a n = f (n). Then the series n= a n is convergent if and only if the improper integral f (x)dx is convergent.

More information

2. Write your full name and section on the space provided at the top of each odd numbered page.

2. Write your full name and section on the space provided at the top of each odd numbered page. I NAME: E - SECTION: Page 1 MATH 152 - COMMON FINAL Spring 2005 General Instructions: 1. The exam consists of 10 pages, including this cover; the test is printed on both sides of the page, and contains

More information

2. METODA GRADIENTULUI CONJUGAT PENTRU REZOLVAREA SISTEMELOR ALGEBRICE LINIARE

2. METODA GRADIENTULUI CONJUGAT PENTRU REZOLVAREA SISTEMELOR ALGEBRICE LINIARE MEOD GRDIENULUI CONJUG PENRU REZOLVRE SISEMELOR LGEBRICE LINIRE Neculai drei Research Istitute for Iformatics Ceter for dvaced Modelig ad Optimizatio 8- verescu veue Bucharest Romaia E-mail: adrei@iciro

More information

GENERATOARE DE SEMNAL DIGITALE

GENERATOARE DE SEMNAL DIGITALE Technical University of Iasi, Romania Faculty of Electronics and Telecommunications Signals, Circuits and Systems laboratory Prof. Victor Grigoras Cuprins Clasificarea generatoarelor Filtre reursive la

More information

NO CALCULATORS. NO BOOKS. NO NOTES. TURN OFF YOUR CELL PHONES AND PUT THEM AWAY.

NO CALCULATORS. NO BOOKS. NO NOTES. TURN OFF YOUR CELL PHONES AND PUT THEM AWAY. FINAL EXAM-MATH 3 FALL TERM, R. Blute & A. Novruzi Name(Print LEGIBLY) I.D. Number Instructions- This final examination consists of multiple choice questions worth 3 points each. Your answers to the multiple

More information

Probability review (week 2) Solutions

Probability review (week 2) Solutions Probability review (week 2) Solutios A. Biomial distributio. BERNOULLI, BINOMIAL, POISSON AND NORMAL DISTRIBUTIONS. X is a biomial RV with parameters,p. Let u i be a Beroulli RV with probability of success

More information

4. Basic probability theory

4. Basic probability theory Cotets Basic cocepts Discrete radom variables Discrete distributios (br distributios) Cotiuous radom variables Cotiuous distributios (time distributios) Other radom variables Lect04.ppt S-38.45 - Itroductio

More information

Economics 8723 Macroeconomic Theory Problem Set 2 Professor Sanjay Chugh Spring 2017

Economics 8723 Macroeconomic Theory Problem Set 2 Professor Sanjay Chugh Spring 2017 Deparme of Ecoomics The Ohio Sae Uiversiy Ecoomics 8723 Macroecoomic Theory Problem Se 2 Professor Sajay Chugh Sprig 207 Labor Icome Taxes, Nash-Bargaied Wages, ad Proporioally-Bargaied Wages. I a ecoomy

More information

P a g e 3 6 of R e p o r t P B 4 / 0 9

P a g e 3 6 of R e p o r t P B 4 / 0 9 P a g e 3 6 of R e p o r t P B 4 / 0 9 p r o t e c t h um a n h e a l t h a n d p r o p e r t y fr om t h e d a n g e rs i n h e r e n t i n m i n i n g o p e r a t i o n s s u c h a s a q u a r r y. J

More information

Towards Healthy Environments for Children Frequently asked questions (FAQ) about breastfeeding in a contaminated environment

Towards Healthy Environments for Children Frequently asked questions (FAQ) about breastfeeding in a contaminated environment Ta a i f i Fu a ui (FQ) abu bafi i a aia i Su b i abu i ia i i? Y; u b i. ia aia a aui a u i; ia aii, bafi u a a aa i a ai f iiai f i ia i i. If ifa b a, a i, u fi i a b bu f iuia i iui ii, PB, u, aa,

More information

Kernel Density Estimation

Kernel Density Estimation EECS 598: Statistical Learning Theory, Winter 2014 Topic 19 Kernel Density Estimation Lecturer: Clayton Scott Scribe: Yun Wei, Yanzhen Deng Disclaimer: These notes have not been subjected to the usual

More information

The Central Limit Theorem

The Central Limit Theorem Chapter The Cetral Limit Theorem Deote by Z the stadard ormal radom variable with desity 2π e x2 /2. Lemma.. Ee itz = e t2 /2 Proof. We use the same calculatio as for the momet geeratig fuctio: exp(itx

More information

ECE 330:541, Stochastic Signals and Systems Lecture Notes on Limit Theorems from Probability Fall 2002

ECE 330:541, Stochastic Signals and Systems Lecture Notes on Limit Theorems from Probability Fall 2002 ECE 330:541, Stochastic Sigals ad Systems Lecture Notes o Limit Theorems from robability Fall 00 I practice, there are two ways we ca costruct a ew sequece of radom variables from a old sequece of radom

More information

MASSACHUSETTS INSTITUTE OF TECHNOLOGY 6.265/15.070J Fall 2013 Lecture 4 9/16/2013. Applications of the large deviation technique

MASSACHUSETTS INSTITUTE OF TECHNOLOGY 6.265/15.070J Fall 2013 Lecture 4 9/16/2013. Applications of the large deviation technique MASSACHUSETTS ISTITUTE OF TECHOLOGY 6.265/5.070J Fall 203 Lecure 4 9/6/203 Applicaios of he large deviaio echique Coe.. Isurace problem 2. Queueig problem 3. Buffer overflow probabiliy Safey capial for

More information

Mathematics 170B Selected HW Solutions.

Mathematics 170B Selected HW Solutions. Mathematics 17B Selected HW Solutios. F 4. Suppose X is B(,p). (a)fidthemometgeeratigfuctiom (s)of(x p)/ p(1 p). Write q = 1 p. The MGF of X is (pe s + q), sice X ca be writte as the sum of idepedet Beroulli

More information

1 = δ2 (0, ), Y Y n nδ. , T n = Y Y n n. ( U n,k + X ) ( f U n,k + Y ) n 2n f U n,k + θ Y ) 2 E X1 2 X1

1 = δ2 (0, ), Y Y n nδ. , T n = Y Y n n. ( U n,k + X ) ( f U n,k + Y ) n 2n f U n,k + θ Y ) 2 E X1 2 X1 8. The cetral limit theorems 8.1. The cetral limit theorem for i.i.d. sequeces. ecall that C ( is N -separatig. Theorem 8.1. Let X 1, X,... be i.i.d. radom variables with EX 1 = ad EX 1 = σ (,. Suppose

More information

Gradul de comutativitate al grupurilor finite 1

Gradul de comutativitate al grupurilor finite 1 Gradul de comutativitate al grupurilor finite Marius TĂRNĂUCEANU Abstract The commutativity degree of a group is one of the most important probabilistic aspects of finite group theory In this survey we

More information

Exam 3 review for Math 1190

Exam 3 review for Math 1190 Exam 3 review for Math 9 Be sure to be familiar with the following : Extreme Value Theorem Optimization The antiderivative u-substitution as a method for finding antiderivatives Reimann sums (e.g. L 6

More information

Generating and characteristic functions. Generating and Characteristic Functions. Probability generating function. Probability generating function

Generating and characteristic functions. Generating and Characteristic Functions. Probability generating function. Probability generating function Generating and characteristic functions Generating and Characteristic Functions September 3, 03 Probability generating function Moment generating function Power series expansion Characteristic function

More information

Material for review. By Lei. May, 2011

Material for review. By Lei. May, 2011 Material for review. By Lei. May, 20 You shouldn t only use this to do the review. Read your book and do the example problems. Do the problems in Midterms and homework once again to have a review. Some

More information

Partial match queries: a limit process

Partial match queries: a limit process Partial match queries: a limit process Nicolas Brouti Ralph Neiiger Heig Sulzbach Partial match queries: a limit process 1 / 17 Searchig geometric data ad quadtrees 1 Partial match queries: a limit process

More information

th m m m m central moment : E[( X X) ] ( X X) ( x X) f ( x)

th m m m m central moment : E[( X X) ] ( X X) ( x X) f ( x) 1 Trasform Techiques h m m m m mome : E[ ] x f ( x) dx h m m m m ceral mome : E[( ) ] ( ) ( x) f ( x) dx A coveie wa of fidig he momes of a radom variable is he mome geeraig fucio (MGF). Oher rasform echiques

More information

MATH LECTURE NOTES FIRST ORDER SEPARABLE DIFFERENTIAL EQUATIONS OVERVIEW

MATH LECTURE NOTES FIRST ORDER SEPARABLE DIFFERENTIAL EQUATIONS OVERVIEW MATH 234 - LECTURE NOTES FIRST ORDER SEPARABLE DIFFERENTIAL EQUATIONS OVERVIEW Now will will begin with the process of learning how to solve differential equations. We will learn different techniques for

More information

TEOREME DE PUNCT FIX PENTRU OPERATORI CE NU INVARIAZĂ DOMENIUL DE DEFINIŢIE ŞI

TEOREME DE PUNCT FIX PENTRU OPERATORI CE NU INVARIAZĂ DOMENIUL DE DEFINIŢIE ŞI Universitatea Babeş-Bolyai, Cluj-Napoca Facultatea de Matematică şi Informatică Tania Angelica Lazăr TEOREME DE PUNCT FIX PENTRU OPERATORI CE NU INVARIAZĂ DOMENIUL DE DEFINIŢIE ŞI APLICAŢII Coordonator

More information

Cristalul cu N atomi = un sistem de N oscilatori de amplitudini mici;

Cristalul cu N atomi = un sistem de N oscilatori de amplitudini mici; Curs 8 Caldura specifica a retelei Cristalul cu N atomi = un sistem de N oscilatori de amplitudini mici; pentru tratarea cuantica, se inlocuieste tratamentul clasic al oscilatorilor cuplati, cu cel cuantic

More information

f(f 1 (B)) B f(f 1 (B)) = B B f(s) f 1 (f(a)) A f 1 (f(a)) = A f : S T 若敘述為真則證明之, 反之則必須給反例 (Q, ) y > 1 y 1/n y t > 1 n > (y 1)/(t 1) y 1/n < t

f(f 1 (B)) B f(f 1 (B)) = B B f(s) f 1 (f(a)) A f 1 (f(a)) = A f : S T 若敘述為真則證明之, 反之則必須給反例 (Q, ) y > 1 y 1/n y t > 1 n > (y 1)/(t 1) y 1/n < t S T A S B T f : S T f(f 1 (B)) B f(f 1 (B)) = B B f(s) f 1 (f(a)) A f 1 (f(a)) = A f : S T f : S T S T f y T f 1 ({y) f(d 1 D 2 ) = f(d 1 ) f(d 2 ) D 1 D 2 S F x 0 x F x = 0 x = 0 x y = x y x, y F x +

More information

Northwestern University Department of Electrical Engineering and Computer Science

Northwestern University Department of Electrical Engineering and Computer Science Northwestern University Department of Electrical Engineering and Computer Science EECS 454: Modeling and Analysis of Communication Networks Spring 2008 Probability Review As discussed in Lecture 1, probability

More information

0.1. Geometric Series Formula. This is in your book, but I thought it might be helpful to include here. If you have a geometric series

0.1. Geometric Series Formula. This is in your book, but I thought it might be helpful to include here. If you have a geometric series Covergece tests These otes discuss a umer of tests for determiig whether a series coverges or 0.. Geometric Series Formula. This is i your oo, ut I thought it might e helpful to iclude here. If you have

More information