Teorija Arbitraže. Jelena Miletić. stipendista Ministarstva za nauku i zaštitu čivotne sredine 16. Decembar 2005.
|
|
- Bernard Webster
- 5 years ago
- Views:
Transcription
1 Seminar:Teorija Verovatnoća i Matematička Statistika 1 Teorija Arbitraže Jelena Miletić stipendista Ministarstva za nauku i zaštitu čivotne sredine jelenami@gmail.com 16. Decembar Abstrakt Koncept ne postojanja arbitraže u finansijskoj matematici generalno tvrdi da je nemoguće napraviti novac ni iz čega. Matematička interpretacija ovog koncepta pokazalo se da zahteva poznavanje teorije martingala i stohastičke analize. Ovaj rad daje samo jedan pregled najvažnijeg rezultata postignutog iz ove oblasti a to je Fundamentalna Teorema Kretanja Cena Akcija na Tržištu. 1 Uvod Sa ekonomske tačke gledišta stohastička Teorija Arbitraže treba da da kriterijume za postojanje arbitražnih mogućnosti, tj. mogućnosti dobijanja ne rizičnih profita na finansijskom tržištu gde cene imaju slučajni karakter. Neverovatno otkriće moderne stohastičke finansijske teorije jeste razumevanje da problemi ekonomskog karaktera dozvoljavaju čistu matematičku interpretaciju u formi: da bez-arbitražna finansijska tržišta imaju veoma specijalnu verovatnosnu strukturu, martingalsku strukturu u odnosu na tzv. martingalsku meru. Ideja o nalaženju formule za cene na finansijskom tržištu zapravo datira iz godine, kada je L.Bachelier (Théorie de la spéculation) napisao doktorsku tezu pod mentorstvom čuvenog H.Poincaré-a. Njegov cilj je bio da tačno odredi takvu formulu koja će se koristiti na berzi u Parizu. On je prvi došao na ideju da iskoristi stohastičke procese kao model za evoluciju cena akcija. Pokazao je da je Braunovsko kretanje u nekom smislu dobra aproksimacija ovih fluktuacija cena akcija što je bilo neverovatno oktriće u to doba. Nešto kasnije, tačnije tek godine, Samuelson je dobio Nobelovu nagradu za svoj rad u kome evoluciju cena akcija na tržištu modeluje sada ne sa običnim Braunoskim kretanjem već Geometrijskim Brunovskim kretanjem. Naravno ovde sve vreme govorimo o neprekidnim fluktuacijama cena akcija. Danas je ovo njegovo otkriće poznato kao: Black-Scholes model postalo referentno za bilo kakvu dalju analizu cena akcija na tržištu. Zapravo ovaj Samuelson-ov model su Black, Scholes, i Merton, 1970., detaljno razradili i za to dobili takodje Nobelovu nagradu u Ekonomiji. Zato se taj model danas i zove po njima. Posle tog njihovog neverovatnog otkrića mniogo je pažnje bilo posvećeno razumevanju, generalizovanju i primeni ovoj modela evolucije cena i njegovih varijanti. Njegove tehnike, koje se i danas koriste, uključivale su teoriju stohastičkih diferencijalnij jednačina, posebno se oslanjajući na Samuelson-ovo otkriće da se tržište cena (u neprekidnom vremenu) ponaša kao Geometrijsko Braunovsko kretanje. U tom okruzenju mogla je biti pronadjena jedinstven fer linearni model cena akcija. Sada kao već aktuelno pitanje za istraživanje, 1980-ih, Harrison, Pliska i Kreps su proučavali ovaj Black-Scholes model formulu i ponovo izveli rezultate ali sada u funkcionoj analizi uključujući i reprezentaciju preko martingala. Harrison i Kreps su primetili kako se ovi novoizraženi rezultati mogu generalizovati sa jednom veoma opštom pretpostavkom da su cene na tržištu kvadratno integrabilne. Iz ovog novog pristupa je proizašla i tema ovog rada: Fundamentalana Teorema Cena Aktiva (Akcija, Vrednosni Papira) na tržištu, koja se bazira na konceptu ne-arbitraže (tj. konceptu ne
2 Seminar:Teorija Verovatnoća i Matematička Statistika 2 garantovanog profita bez rizika). Ovaj uslov koji se ovde javlja kao neophodan i dovoljan jeste bio automastki zadovoljen kog Geometrijskog Braunovkog Kretanja. Ova teorema daje uslove pod kojima je tržiste esencijalno bez-arbitrače tj govori da je to zadovoljeno ako i samo ako postoji ekvivalentna martingalna mera u odnosu na koju je proces cena aktiva zapravo martingal. Ako je ta mera čak i jedinstvena, onda se može naći fer model cena tako što se uzme očekivanje u odnosu na tu cenu. Narrison i Pliska su pokazali da u Black-Scholes modelu postoji ovakva martinglana mera i da je ona jedinstvena tako dovodeći do rezultata koji su 1970-ih dobijeni. Ali uopšteno govoreći ovakva martingalna mera ne mora da postoji, već je za to potrebno da tržiste zadovoljava neke uslove. U ovom slučaju to je osobina bez-arbitraže. Sa ovom teoremom dozvoljeno nam je da pojednostavimo (skratimo) proces ocenjivanja cena na izračunavanje očekivanjih vrednosti, baš kao što se u teoriji osiguranja radilo godinama. Ključna razlika je sada što ovde ne uzimamo očekivanje u odnosu na originalnu verovatnosnu meru, već u odnosu na veštačku rizik-neutralnu verovatnosnu meru tj. u odosu na meru za koju je proces(model) cena akcija jedan martingal. Ove dve verovatnosne mere jesu naravno ekvivalentne medjusobno. 2 Finansijsko Tržište Pretpostavljamo da finansijsjo tržiste vrednosnih papira, koje mi posmatramo, funkcioniše u uslovima neizvesnosti, kolebljivosti. Za njegov potpun matematički opis uvodi se filtrirani verovatnosni prostor (stohastički bazis): (Ω, F, (F n ) n 1,P) gde su: Ω skup elementarnih dogadjaja za koji smo pretpostavili da je konačan, F algebra podskupova od Ω za koju smo takodje pretpostavili da je sačinjena od svih mogućih podskupova skupa Ω, (F n ) n 1 algebra filtracije i P verovatnosna mera ili verovatnoća. Algebru filracije (filtracijonu algebru )(F n ) n 1 možemo interpretirati kao potok informacija dostupnih svim učesnicima tržista zaključno sa vremenskim trenutkom n. Posmatraćemo takozvano (B,S) tržiste koje se sastoji od d + 1-ne aktive u sledećem smislu: B - račun u banci bezrizična aktiva, S =(S 1,,S d ) vrsta akcija rizične aktive. Kada se ovo kaže misli se pre svega da vektor cena na posmatranom tržištu, X =(X 0,X 1,,X d ), ima (B,S) oblik tj. ima sledeću formu: X 0 = B (X 1,,X d ) = (S 1,,S d ). Još, pretpostavimo da se dinamika ovog bankarskog računa može opisati stohastičkim nizom B =( ) n 0, koji ima osobinu da ( n) :( ) jeste F n 1 merljiva. To podrazumeva da je zadovoljeno sledeće: {ω Ω: (ω) =x} = { = x} F n 1. Početni trenutak na tržištu zauzima takodje posebno mesto. Za njega imamo osnovnu pretpostavku da je zadovoljeno: F 0 = {, Ω} trivijalnaalgebra Za različite vrste akcija pretpostavljamo da se njihova dinamika može opisati takodje jednim pozitivnim stohastičkim nizovima: S i =(S i n) n 0, ( i =1,,d) koji imaju osobinu da ( n) :S i n jeste F n merljiva tj. važi {ω Ω:S i n (ω) =x} = {Si n = x} F n.
3 Seminar:Teorija Verovatnoća i Matematička Statistika 3 Iz ovih pretpostavki i definicija jeste jasna principijelna razlika izmedju bankarskog računa i akcija. F n 1 merljivost veličina označava da vrednost bankarskog računa jeste poznata već u trenutku n 1. U tom smislu je vrednost predskazujuća (prognozirajuća). Sa druge strane nam F n merljivost veličina S i n označava da njihove vrednosti postaju poznate tek po spoznavanju svih informacija zaključno sa trenutkom n. Ovo objašnjava i zašto se bankarski račun naziva bezrizična aktiva a zašto se akcije nazivaju rizičnim aktivama. Posmatrajmo sada sledeće faktore: r n = 1, ρ i n = Si n S i n 1 Možemo odmah zaključiti da su r n : F n 1 merljive a da su ρ i n : F n merljive. Dalje ako uočimo da važi: = r n 1, S i n = ρ i ns i n 1 ( i) dobijamo jednu reprezentaciju posmatranog finansijskog tržista koja se naziva reprezentacija prostih procenata: S i n = Si 0 = B 0 n (1 + r k ) n (1 + ρ i k ) ( i). Sada bi trebali još samo da preciziramo uslove koje pretpostavljamo da važe na tržištu koje posmatramo. Prva pretpostavka je pretpostavka o idealnoj situaciji na tržištu u smislu da se operacioni troškovi povezani sa prenosom sredstava sa jedne aktive na drugu smatraju zanemarljivim. Čak se ide u tu krajnost da se pretpostavlja da oni i ne postoje. Druga važna pretpostavka se tiče akcija i njihovih osobina. Naime mi pretpostavljamo da su akcije beskonačno deljive u tom smislu da je moguće kupiti ili prodati bilo koliku malu količinu akcija. Definicija 1: Stohastički prognozirajući niz π =(β,γ) gde je γ =(γn(ω), 1,γn(ω)) d n 0 i( i) :γn i jesu F n 1 merljive a β =(β n (ω)) n 0 i β n jesu F n 1 i to za ( n) - naziva se portfolio investicije na (B,S) tržištu hartija od vrednosti. Primetimo da promenljive β =(β n (ω)) n 0 i γ =(γn(ω), 1,γn(ω)) d n 0 mogu biti pozitivne, jednake nuli ili negativne što zapravo znači da intestitor može da pozajmi sa bankarskog računa ili da proda akcije. Sa druge strane pretpostavka o F n 1 merljivosti znači da veličine β n (ω) iγn(ω) i koje opisuju poziciju investitora u trenutku n (količinu novca koju ima na bankarskom računu i količinu akcija koju poseduje) jesu odredjene informacijom dostupnom u trenutku n 1anen (sutrašnja pozicija je u potpunosti odredjena današnjom). Portfolio investicije se još naziva i investicionom strategijom kako bi se naglasila njegova dinamičnost. Definicija 2: Vrednost(kapital) portfolia investicije na (B,S) tržištu hartija od vrednosti jeste stohastički niz X π =(X π n ) n 0 gde je Xn π = β n + n i=1 γi nsn. i Da bi izbegli dugačke i komplikovane izraze od sada pa na dalje koristićemo sledeći kraći zapis: n i=1 γi n Si n =(γ n,s n )=γ n S n takozvani bezkoordinatni zapis. Tako sada ne moramo praviti razliku izmedju slučajeva d = 1id > 1 pa imamo: X π n = β n + γ n S n. (1)
4 Seminar:Teorija Verovatnoća i Matematička Statistika 4 Na osnovu svih ovih definicija zakljucujemo: Xn π = Xn π Xn 1 π (2) = β n + γ n S n β n 1 1 γ n 1 S n 1 (3) Ako sada u prethodnoj jednačini dodamo i oduzmemo β n 1 dobijamo sledeće: X π n = β n + γ n S n + β n 1 γ n 1 S n 1. (4) Ako na dalje postupamo po istoj analogiji dobijamo jednačinu: Xn π = β n + γ n S }{{ n } + { β }}{ n 1 + γ n S n 1. (5) Direktno analizirajući ovu jednakost vidimo da se promena kapitala portfolia sastoji iz dve veličine: β n + γ n S n - izmene bankovskog računa i izmene akcija i β n 1 + γ n S n 1 - izmene u sastavu samog portfolia. Prirodno se sada može zaključiti da se realna promena kapitala sastoji samo iz realnih promena veličina i S n a ne i od promena veličina β n i γ n. Definicija 3: Realna dobit(prihod) od posedovanja posmatranog portfolia hartija od vrednosti π, opisuje se pomoću stohastičkog niza takvog da za njega važi: G π =(G π n) n 0 n G π 0 =0,Gπ n = β k B k + γ k S k (6) tj. da je sastavljen od prihoda sa bankarskog računa i od prihoda od izmene akcija. Realni kapital u trenutku n jeste dakle: X π n = X π 0 + G π n. (7) Definicija 4: Portfelio π hartija od vrednosti se naziva samofinansirajući, π SF, ukoliko se njegov kapital može pretstaviti u sledećem obliku: X π n = X π 0 + n β k B k + γ k S k ( n 1) (8) Jasno je da je prethodna jednakost koja se zahtevala u definiciji ekvivalentna sledećoj jednakosti: 1 β n + S n 1 γ n =0 ( n 1). (9) Očigledan smisao prethodnog uslova jeste da se promena bankarskog računa (tj. njegovog stanja) dešava samo zbog promene strukture paketa akcija koje drži i obrnuto. Portfolii ovakvog oblika se još nazivaju i dopustivim. Potpuno je jasno da u delanju sa portfoliom π imamo i preveliki broj aktiva pa bi bilo dobro ili da mu pojednostavimo strukturu ili da smanjimo ovoliki broj aktiva. U tu svrhu pogledajmo medjusobni odnos ova dva posmatrana stohastička procesa i S n tj posmatrajmo njihov količnik: Sn i. Na ovaj količnik možemo da gledamo kao na udeo akcije Sn i u bankarskom računu, naravno pod pretpostavkom da smo za bazisnu veličinu uzeli isti ovaj bankarski račun. A još, ako smo imali apriori pretpostavku da je uvek zadovoljeno: > 0 (n 1)
5 Seminar:Teorija Verovatnoća i Matematička Statistika 5 tada možemo posmatrati ovo isto tržište i na jedan drugi način. Naime sada je ovo posmatrano tržište u potpunosti opisivo nešto drugačijim modelom ( B, S) gde su: B =( ) n 0, gde je B n = 1 (10) S =( S n ) n 0, gde je S n = S n. (11) Odgovarajući kapital, Xπ n =( X π n ) n 0 portfolia π =(β,γ) jeste jednak: π X n = β nbn + γ nsn = β n + γ nsn = β n + γ n S n (12) = Xπ n (13) Dodatno, ako je portfolio π samofinansirajući na tržištu (B,S) onda je samofinansirajući i na tržištu ( B, S), jer je zadovoljeno sledeće: 1 β n + S n 1 γ n = 1 β n + S n 1 γ n =0. (14) Kada je B n = 0 to za samofinansirajući portfolio π važi: π π n X n = X0 + γ k S k (15) ili u koordinatnom zapisu: π π n X n = X 0 + d i=1 Dakle, dobijamo da za samofinansirajući portfolio, normirani kapital Xπ B jednakost: γ i k S k i, S k i = S i k B k (16) =(Xπ n ) n 0 zadovoljava ( Xπ n )=γ n ( S n ) (17) Bez obzira na svoju jednostavnost ova jednačina igra ključnu ulogu u mnogim izračunavanjima koji se baziraju na konceptu tržista bez-arbitraže ili arbitražno-slobodnog tržišta. Primetimo da je ova jednakost (17) u odredjenom smislu više konzistentna (postojana) sa finansijskog pogleda nego li jednačina Xn π = β n + γ n S n. (18) Kada uporedjujemo cene nas više interesuju relativne cene od onih apsolutnih. Ovo objašnjava zašto dalje posmatramo umesto B i S njihove tzv. snižene promenljive B = B S 1i S =( S B ). Zbog jednostavnosti smo takodje pretpostavili da je u našem početnom (B,S) tržištu B 1 pa je onda tako i u ovom novoposmatranom ( B, S) tržištu. Napomenimo još samo par stvari na koje treba obratiti posebnu pažnju. Prethodna analiza kapitala portfolia π, Xn,na(B,S) π tržištu jeste dobra ukoliko uvažimo par pretpostavki. Prva je da na ovom tržištu nema uliva i izliva novca ili sredstava a druga da ne postoje troškovi prenosa ili da se oni mogu smatrati zanemarljivim (kao što smo već bili rekli na početku ali to je stvar na koju se ne sme zaboraviti). Sve ove pretpostavke se mogu naravno i skinuti ali će tada cela analiza kapitala izgledati mnogo komplikovanije. 3 Hedžing.Cena.Kompletnost. Pretpostavimo da tržiste (B, S) sada funkcioniše u konačnom diskretnom vremenu n = 0, 1,, N. Uvedimo još jednu funkciju f N (ω) koja će imati ulogu platežne obaveze (zavrsne isplate, contingent claim), a za koju tražimo da je F N merljiva.
6 Seminar:Teorija Verovatnoća i Matematička Statistika 6 Definicija 5: Portfolio hartija od vrednosti π =(β,γ) se naziva gornji-(x, f N ) hedž odnosno donji-(x, f N ) hedž ukoliko su zadovoljeni sledeći uslovi: 1. X π 0 x, x 0upočetnom trenutku 2. X π N f N (ω), tj. X π N f N (ω) za svako ω u konačnom trenutku N gde su β =(β n ) N n 0, γ =(γ n ) N n 0. Hedž se naziva savršenim ukoliko je: X0 π x i Xπ N = f N(ω) za svako ω. Shvatanje hedža igra u finansijskoj matematici veoma važnu ulogu. Hedž zapravo predstavlja neki zaštitni instrument, koji omogućava garantovanu dobit kapitala i ostvaruje cilj parcijalnog osiguranja na tržištu. Hedž jeste investicija koja se preduzima sa ciljem da se smanji poništi rizik u drugoj investiciji. Tipična takva investicija se odnosi na kupovinu akcija za koje se misli da će porasti pa se ova kupovina kombinuje sa prodajom akcija koje se još i ne poseduju za slučaj da tržištu celom opadne vrednost. Uvedimo sada za fiksirano x>0 sa: H (x, f N ; P )={π : X0 π = x, Xπ N f N} ( ω) klasu svih gornjih hedževa H (x, f N ; P )={π : X0 π = x, XN π f N } ( ω) klasu svih donjih hedževa Definicija 6: Neka je f N platežna obaveza. Veličina: C (f N ; P ) = inf{x 0:H (x, f N ; P ) } se naziva gornja cena (tražena cena) hedžinga platežne obaveze f N a veličina: C (f N ; P )=inf{x 0:H (x, f N ; P ) } donja cena (ponudjena cena) hedžinga f N. Kakva je suština ovih pojmova? Ukoliko mi prodajemo neki ugovor sa finalnom isplatom f N (ω) želeli bi ga prodati za najveću moguću cenu. U isto vreme trebamo razmišljati da li bi ga neko kupio za tu cenu koju mi nudimo. Tako mi ne možemo sa jedne strane staviti cenu manju od one za koju su ispunjeni uslovi ugovora ali i ne možemo staviti toliko veliku da imamo bezrizični prinos ( free-lunch ) jer kupac uopšteno govoreći neće to ni pogledati: = x [C,C ]. Sada i kupac i prodavac imaju rizik a cena jeste kompensacija za njega. Posebnu pažnju zaslužuje slučaj kada se gornja i donja cena poklapaju tj. kada je zadovoljeno: C = C. (19) Definicija 7: (B,S) tržiste hartija od vrednosti se naziva N-kompletnim (ili samo kompletnim ako N znamo), ukoliko svaku ograničenu platežnu obavezu izvodimo u tom smislu da postoji savršeni hedž tj. takav da je zadovoljeno: XN π = f N (ω), ( ω) 4 Arbitraža Odsustvo arbitraže na tržištu znači da je tržiste fer, racionalno, i da niko ne može da napravi bezrizični profit. Dakle arbitraža zapravo jeste proces iskorišćavanja neujednačenosti dva ili više tržišta: kombinacija odgovarajućih investicija koje iskorišćavaju ovu neravnotežu a profit koji se stiče ovim investicijama zapravo predstavlja razliku izmedju cena na ovim različitim tržištima. Definicija 8: Reći da samofinansirajuća strategija π realizuje arbitražnu mogućnost (u trenutku N) znači da važi:
7 Seminar:Teorija Verovatnoća i Matematička Statistika 7 X0 π =0,( ω) u početnom trenutku Xn π 0, ( ω) za n N XN π > 0 skoro sigurno tj. P (Xπ N > 0) > 0. Označimo sa SF arb klasu svih arbitražnih samofinansirajućih strategija. Sada vidimo da ako π SF arb i X0 π = 0 onda važi: P (X π N 0)=1= P (X π N > 0) > 0. (20) Definicija 9: Kažemo da ne postoje arbitražne mogućnosti na (B,S) tržištu ili da je tržište bez-arbitraže ako je : SF arb =. (21) Drugim rečima, ako je početni kapital X0 π, strategije π jednak nuli, tada je: P (X π N 0)=1= P (Xπ N > 0) > 0. (22) Sledeća teorema daje izvrstan kriterijum odsustva arbitražnih mogućnosti na (B,S) tržištu. Teorema 1: (Teorema Dalang-Morton-Willinger) Pretpostavimo da se (B,S) tržište na filtriranom verovatnosnom prostoru (Ω, F, (F n ) n N ) jeste formirano od, bankarskog računa B = ( ) n N, > 0 i konačno mnogo aktiva S =(S 1,S 2,,S d ), S i =(Sn). i Pretpostavimo još da ovo posmatrano tržište funkcioniše u sledećim vremenskim trenucima n = 1, 2,,N < i da važi F 0 =, Ω, F N = F. Tada je ovakvo (B,S) tržište bez-arbitražno ako i samo ako postoji (najmanje jedna) verovatnosna mera P ( martingalska mera ) ekvivalentna meri P, takva da je u odnosu na nju, snižena cena niza S B =(Sn ) n N jedan martingal, tj. E P ( Si n ) < E P ( Si n F n 1 )= Si n 1 1 i =1, 2,,d,in =0, 1,,N skoro sigurno, za n =1, 2,,N Dokaz dovoljnosti: Kao što smo već razmatrali možemo pretpostaviti da je 1. Setimo se formule za proizvoljni samofinansirajući portfolio π: ( X π n ) = γ n Uključujući i ovo pojednostavljenje sada imamo: ( Sn ). X π n = γ n S n (23) Iz prethodne jednačine možemo zaključiti da se kapital portfolia π može predstaviti kao: X π n = Xπ 0 + Gπ n,gπ n = Da bi pokazali samo trvrdjenje sada je dovoljno da pokažemo da važi: tj. G π n = n γ k S k. (24) π SF : X0 π =0,P(Xn π 0) 0 (25) n (γ k S k ) 0, ( (ω, n)) G π n =0, ( (ω, n)). (26)
8 Seminar:Teorija Verovatnoća i Matematička Statistika 8 No kako nizovi (G π n) n 0 i S =(S n ) n 0 jesu martingali u odnosu na meru P to imamo da važi: Ẽ(G π n F n 1) = Ẽ( = n (γ k S k ) F n 1 ) (27) n 1 (γ k S k )+γ n Ẽ( S n F n 1 ) (28) = G n (29) jer su S k : F n 1 merljive, za k n 1aγ k : F n 1 merljive za k n. Sada za martingal G π n imamo da važi: Ẽ(G π N) Ẽ(G π n) Ẽ(G π 0 )=0. (30) pa jedinstvena nenegativna veličina G π n 0 sa nultim matematičkim očekivanjem jeste slična nuli tj. G π n 0. Ostalo je još samo da pokažemo da su mere P i P ekvivalentne ali to sledi iz sledećih dveju relacija: P (G π n =0)=1= P(G π n = 0) = 1 (31) i P (G π n > 0)=1= P (G π n > 0)=1. (32) Dokaz neophodnosti: Sada trebamo pokazati, da odsustvo arbitražne mogučnosti dovodi do toga da na (Ω, F) postoji verovatnosna mera P ekvivalentna meri P, u odnosu na koju je niz S =(S n ) 0 n N martingal. Pretpostavimo za sada da je d = 1idokažimo sada sledeću lemu zasnovanu na transformaciji Esera (Esscher): Lema 1 Pretpostavimo da je X(ω) slučajna veličina na verovatnosnom prostoru (Ω, F, P) takva da važi: Tada postoji mera P ekvivalentna meri P takva da je: P (X >0) > 0,P(X <0) > 0 (33) Dokaz leme 1: Kako X(ω) uzima konačno mnogo vrednosti to postoji funkcija i ona jeste konačna za a R. To daje da važi: Ẽ(X) =0. (34) ϕ(a) =E(e ax ) ϕ (a) =E(X 2 e ax ) > 0 što znači da je ϕ strogo konveksna. Kako X uzima pozitivne vrednosti sa pozitivnom verovatnoćom to važi: ϕ(a),a. (35) No kako X uzima i negativne vrednosti sa pozitivnom verovatnoćom to imamo po analogiji da je: ϕ(a),a. (36)
9 Seminar:Teorija Verovatnoća i Matematička Statistika 9 Odavde sledi da postoji jedinstvena tačka a takva da funkcija ϕ u njoj postiže minimum tj da je: ϕ(a ) = min a ϕ(a),ϕ (a )=0. (37) Posmatrajmo sada sledeću veličinu: Z a (ω) = eax, ( ω) (38) ϕ(a) i definišimo novu meru P sa: P (dω) =Z a (ω)p (dω). (39) Iz ove definicije je jasno da su mere P i P ekvivalentne. Tada važi i: Ẽ(X) = Ẽ(XZ a = E( Xea X ϕ(a ) ) (40) = ϕ (a ) =0. (41) ϕ(a ) Ovim je lema pokazana. Primetimo da lema važi i kada skinemo pretpostavku o konačnosti skupa dogadjaja Ω. Pri tome je i Ẽ(e a X ) <. Dokaz je samo tehnički složen ali je ideja potpuno ista. Lako se vidi da iz ove leme lako sledi dokaz neophodnosti teoreme 1 za slučaj N = 1. U ovom slučaju odsustvo arbitraže označava da važi: P ( S 1 > 0) > 0,P( S 1 < 0) > 0 (42) (za trivijalan slučaj je S 1 = S 0 asjeveć martingal). Po ovome dakle postoji mera P takva da je Ẽ( S 1 F 0 )=Ẽ( S 1 )=0, F 0 = {, Ω}. Dakle da bi pokazali celu teoremu za N proizvoljno, potrebno je da lemu 1 uopštimo na slučaj vektora (X 0,X 1,,X N ) koji se sastoji iz odogvarajućih F n merljivih slučajnih veličina zadanih na verovatnosnom prostoru (Ω, F, (F n ) N n 0,P)tj. na jednom stohastičkom bazisu, sa graničnim uslovima F 0 = {, Ω} i F N = F. Lema 2 Neka za svako n :1 n N važi: P (X n > 0 F n 1 ) > 0,P(X n < 0) > 0 ( ω). (43) tada na prostoru (Ω, F) postoji martingalna mera P ekvivalentna meri P, u odnosu na koju je niz (X 0,X 1,,X N ) jedna martingalna razlika tj. važi: X n = M n M n 1 (44) za neki martingal M n. Dokaz leme 2: Posmatrajmo funkciju ϕ n (a; ω) =E(e axn F n 1 )(ω). ( ω) ova funkcija ima tačku minimuma a n po a i pri tome je : Definišimo niz gustina na sledeći način: ϕ n(a n; ω) =0( ω) (45) Z n (ω) =Z n 1 (ω) ea n Xn(ω) ϕ n (a n; ω), Z 0 1. (46)
10 Seminar:Teorija Verovatnoća i Matematička Statistika 10 ( ω) Z n (ω) jesu F n 1 merljive i obrazuju martingal E(a E(Z n F n 1 )=Z n(ω)x n (ω) F n 1 ) n 1 ϕ n (a )=Z n 1 (47) n; ω) Potrebnu meru P sada definišemo sa : P(dω) =ZN (ω)p (dω). što je i trebalo pokazati. Za dokaz teoreme sada trebamo staviti: Odsustvo arbitraže označava da za n iza ω je : Ẽ(X n Z N F n 1 ) = E[E(X n Z N F n ) F n 1 ] = (48) = E(X n E(Z N F n ) F n 1 ) (49) = E(X n Z N F n 1 ) (50) = ϕ n (a n ; ω) ϕ n (a n; ω) = 0 (51) X 0 = S 0 (52) X 1 = S 1 (53) (54) X N = S N (55) ili P ( S n > 0 F n 1 ) > 0iP ( S n < 0 F n 1 ) > 0 ili S n 0 Ukoliko je S n 0 to taj trenutak mozemo isključiti iz posmatranja jer se u tom trenutku ni u kom portfeliu kapital ne menja jer važi:g π N = N n=1 (γ n S n ). Dakle, možemo pretpostaviti da važi: Nadjimo ω takvo da važi: S n 0. P ( S n > 0 F n 1 )(ω ) > 0 (56) P ( S n < 0 F n 1 )(ω ) = 0 (57) Obe ove verovatnoće jesu merljive u odnosu na algebru F n 1, pa prema tome postoji razbijanje koje stvara (čini) algebru F n 1. Pretpostavimo zato da je A neki skup iz ovog razbijanja i pretpostavimo da ω A. Uzmimo sada γ k =0za( k, ω) a kada je k = n da γ n = I A (ω). Tada je: G π N = γ n S n = I A S n (58) = I A S n I Sn>0 + I A S n I Sn<0 + I A S n I Sn=0 (59) = I A S n I Sn>0 (60) zbog pretpostavki o samom skupu A i zbog pretpostavke da ω A. Iz ovih pretpostavki takodje imamo da važi: A { S n > 0}. = P (G π N > 0) = P (γ n S n > 0) > 0 ip(g π N 0) = 1 (61) = niz (γ n ) N n 0 realizuje arbitražu. Dobijanje suprotnog označava da za niz S k, S 0 =0,k =0, 1, jesu ipunjeni uslovi leme 2 odakle = niz (S n ) N n 0 jeste martingal razlike u odnosu na ovako definisanu meru P. Teorema je dakle dokazana.
11 Seminar:Teorija Verovatnoća i Matematička Statistika 11 5 Kompletnost Razmotrimo sada martingalni kriterijum kompletnosti (B,S) tržišta. Formulisaćemo drugu fundamentalnu teoremu o ceni finansijskih aktiva. Teorema 2: Pretpostavimo da je skup matringalnih mera za tržište (B,S) N <,d = 1 neprazan. Tada su sledeća tvrdjenja ekvivalentna: 1. (B,S) tržište jeste kompletno 2. skup martingalnih mera se sastoji od jedinstvenog elementa P 3. svaki martingal (M n, F n, P) dopušta predstavljanje: n M n (ω) =M 0 (ω)+ γ k (ω) m k (ω) (62) gde su γ k = γ k (ω) :F k 1 merljive i m k = Sk B k Sk 1 B k 1. Moze se pokazati da vazi: pa je sada: m k = S k 1 B k 1 (ρ k r k ) M n = M 0 + n γ k (ρ k r k ) S za γ k = γ k 1 k B k jeste F k 1 merljiva. Ovo razlaganje se kasnije koristi kod Binomnog tržišta. Setimo se samo da obe teoreme ovde navedene važe kod diskretnog vremena i sa veoma važnom pretpostavkom o konacnom broju aktiva prisutnih na tržištu. Obe ove teoreme padaju u vodu ako se zanemari ova pretpostavka. Zapravo Prva fundamentalna teorema još uvek nije proširena za ovaj slučaj a za Drugu fundamentalnu teoremu se zna da ne važi. Artzner i Heath (1995) su pokazali primer kompletne ekonomije gde postoji beskonačan broj aktiva ali sada i isto toliki broj ekvivalentnih matringalnih mera što naravno otežava kasnija konkretna izračunavanja. Delbaen i Schachermayer su produžili Prvu fundamentalnu teoremu u okriljima funkcionalne analize kako bi uključili nekompletna tržišta ali u uslovima kada se cene aktiva modeluju ne sada martingalom već semi-martingalom. Njihov rezultat ukazuje na to da se matringalna mera možda i ne može pronaći kod nekompletnih tržišta. A Dodatak U ovom delu ćemo dati nešto drugačiji pristup Prvoj Fundamentalnoj Teoremi prema samima Dalang, Morton i Willinger-u. Neka je (S t ) N t=0 R d -vrednostan diskretan stohastički proces, za koji pretpostavljamo da modeluje evoluciju (sniženih) vrednosti cena d aktiva. Postoji i nulti aktiv, keš, čija je cena u trenutku t uvek 1 i ovo uključujemo u notaciju tako što definizvsemo S T t (1,S T t ). Proces S jeste adaptiran na filtraciju F N t=0 definisanu na verovatnosnom prostoru (Ω, F,P). U toku dana n investitor ima portfolio θ n (θ 1 n,θ 2 n,,θ d n) T aktiva, θ n (θ 0 n,θ 1 n,,θ d n) T,ina kraju toga dana cene S n za taj dan se otkrivaju donoseći investitoru dobit od za taj dan. θ n (S n S n 1 )= θ n ( S n S n 1 ) (63)
12 Seminar:Teorija Verovatnoća i Matematička Statistika 12 Sada u svetlu onoga što se desilo toga dana investitor bira portfolio za sledeći dan, θ n+1 ali vodeći računa o ograničenju budžeta: ( θ n+1 θ n ) S n =0. (64) Primetivo da je ovo ograničenje ovde ekvivalentno uslovu samofinansiranja portfolia iz prethodnih paragrafa. Pošto nema restrikcija na short-selling strategije, ovo zapravo znači da investitor bira θ n+1 a zatim se θ 0 menja da bi se platilo za novi portfolio. Dakle dobit za celi vremenski period do trenutka N je N θ n (S n S n 1 ) ( θ S) N ( θ S) 0. (65) n=1 Jasno je da iz same interpretacije ovog procesa portfolia da su veličine θ n obavezno F n 1 merljive za ( n). Na dalje kada govorimo o portolio procesu θ uvek pretpostavljamo da su θ n F n 1 merljive za ( n) ida θ zadovoljava samofinansirajuće uslove. Portolio proces ( θ n ) N n=1 se naziva arbitražnom mogućnošću ako važi: ( θ S) N ( θ S) 0 0 s.s (66) tj. ako se ostvaruje skoro-sigurno dobit bez rizika i ako je P {( θ S) N ( θ S) 0 > 0} > 0. (67) Teorema 1: (Dalang-Morton-Willinger) Sledeće jeste ekvivalentno: 1. postoji verovatnosna mera P ekvivalentna meri P takva da je u odnosu na nju (S n, F n ) N n=0 martingal 2. ne postoje arbitražne mogućnosti Šta više, ako ovi ekvivalentni uslovi važe, onda je moguće izabrati P takvo da je d P dp ograničeno. Osnovna ideja u dokazu ove teoreme se lako može prikazati na primeru jednovremenskog perioda. Metod se sastoji u maksimizovanju ovekivane količine dobiti iz razmene preko svih mogućih strategija razmena. Neka je U : R (, 0) strogo konkavna, strogo rastuća funkcija sa neprekidnim izvodima i neka je X R d -vrednosna slučajna promenljiva. Definišimo sada Ũ : Rd (, 0) sa: Ako se Ũ maksimizuje u a inr d, tada po uslovu za prvi izvod važi: Ũ(a) EU(aX). (68) 0=EXU (a X), (69) pa će zato odgovarajući množitelj od U (a X) poslužiti kao promena mere koja pretvara X u slučajnu promenljivu sa nultim matematičkim očekivanjem. Sa druge strane, ako se sup a Ũ(a) ne postiže onda se može pokazati da: θ R d \{0} : Ũ(tθ) (70) ostaje ograničeno kako t. Ovo zapravo znači da je: P (θx < 0)=0. (71) Zbog učinjenih pretpostavki odavde direktno sledi da je: P (θx > 0) > 0 (72) tj. θ predstavlja arbitražnu mogućnost. Detaljniji dokaz postoji u radu Equivalent Martingale Measures and No-Arbitrage, L.C.G.Rogers,1994
13 Seminar:Teorija Verovatnoća i Matematička Statistika 13 B Dodatak Analiza nepostojanja ili postojanja arbitraže najčešće zanemaruje troškove u stanjima kojima je agent dodelio nultu verovatnoću. Ovde želimo prikazati produžetak Fundamentalne Teoreme na slučaj ne-praznih obećanja u kojima agent ne može da obeća proizvoljno veliku isplatu u nekim stanjima. Dogmatska neslaganja dovode do arbitražnih mogućnosti u takmičarskim tržištima koja sa svoje strane jesu dovoljno kompletna. Može da postoji neko u ekonomiji ko je siguran (sa ili bez osnova za to) da će cene zlata skočiti a sa druge strane neko ko veruje da će one pasti. Tada će u jendom trenutku neka od ovih dveju osoba imati arbitražnu mogućnost. Kao što smo već rekli tipična pretpostavka Fundamentalne Teoreme jeste da se troškovi u stanjima kojima je agent dodelio nultu verovatnoću mogu zanemariti. Linearni model cena koji dodeljuje pozitivnu verovatnoću stanju za koje agent veruje da je nemoguće, bio bi nepostojan u odnosu na očekivanu maksimizaciju dobita u takmičarskim tržištima jer selling-short akcije omogućava uzimanje sada sa verovatnoćom nula od budućeg gubitka. Sa druge strane, nulta ili negativna cena stanja bila bi nepostojana sa maksimizacijom dobiti ako agent veruje da je stanje mogućejer kupovinom akcija za neka stanja jeste arbitraža a marginalna kupovina stavlja agenta u bolju poziciju. Sprečavanje agenta da daje prazna obećanja može onemogućiti strategije koje iskorišćavaju pozitivne cene stanja kojima je agent dodelio nultu verovatnoću. Ovo se modelira kao ograničenje u bogatstvu koje se nameće svim stanjima koja se smatraju važnim od strane neke ovlašćene agencije. Osnovna Fundamentalna Teorema je glasila ovako. Teorema 1: (Dalang-Morton-Willinger Teorema) Sledeće jeste ekvivalentno: 1. ne postoji gruba-arbitraža 2. postoji pozitivni linearni model cena 3. postoji optimum kod tradicionalnog problema bez praznih obećanja za nekog hipotetičkog agenta koji preferira više nego manje za neku uplatu U ovako navedenim novim uslovima i sa novim nametnutim ograničenjima Fundamentalana Teorema će sada izgledati nekako ovako. Teorema 2: (Produzena Dalang-Morton-Willinger Teorema) Sledeće jeste ekvivalentno: 1. ne postoji gruba-arbitraža 2. postoji super pozitivni linearni model cena 3. postoji optimum kod tradicionalnog problema bez praznih obećanja za nekog hipotetičkog agenta koji preferira više nego manje za neku uplatu Naveli smo obe teoreme kako bi se mogle najbolje uporediti. Još samo dugujemo objašnjenja novouvedenih pojmova kao što su:gruba-arbitraža i super pozitivni linearni model cena. Grubaarbitraža nije niša drugo do standardna arbitraža sa još dodatim ogranicenjem da ne postoje prazna obećanja. Pozitivni linearni model cena dodeljuje pozitivne cene svim stanjima sa pozitivnom verovatnoćom a nulte cene svim ostalim stanjima. Za razliku od njega super pozitivni linearni model cena dodeljuje pozitivne cene svim stanjima sa pozitivnom verovatnoćom ali može dodeliti i pozitivnu cenu onim stanjima koje tržište smatra važnim. Detalji dokaza ovako proširene Fundamentalne teoreme se mogu naći u radu Empty Promises and Arbitrage, Willarg, Dybvig,1999.
14 Seminar:Teorija Verovatnoća i Matematička Statistika 14 C Reference [1] Elements of Finance Mathematics, Patrik Bulonj, V.I.Piterbarg, December [2] Essentials of the Arbitrage Theory, Lectures in Institute for Pure and Applied Mathematics, UCLA, Albert N.Shiryaev, 3-4 January [3] Equivalent Martingale Measures and No-Arbitrage, Stochastics and Stochastics Reports, L.C.G.Rogers, [4] Empty Promises and Arbitrage, The Review of Financial Studies 1999 Vol.12, No.4, pp , Willarg, Dybvig, The Society for Financial Studies, [5] Martingale Pricing Measures in Incomplete Markets via Stochastic Programming Duality in the Dual of L, AMS, Alan King, Lisa Kroft, 1 April [6] Applications to Mathematical Finance, Freddy Delbean, Walter Schachermayer, 22. November 1999.
ZANIMLJIV NAČIN IZRAČUNAVANJA NEKIH GRANIČNIH VRIJEDNOSTI FUNKCIJA. Šefket Arslanagić, Sarajevo, BiH
MAT-KOL (Banja Luka) XXIII ()(7), -7 http://wwwimviblorg/dmbl/dmblhtm DOI: 75/МК7A ISSN 5-6969 (o) ISSN 986-588 (o) ZANIMLJIV NAČIN IZRAČUNAVANJA NEKIH GRANIČNIH VRIJEDNOSTI FUNKCIJA Šefket Arslanagić,
More informationTEORIJA SKUPOVA Zadaci
TEORIJA SKUPOVA Zadai LOGIKA 1 I. godina 1. Zapišite simbolima: ( x nije element skupa S (b) d je član skupa S () F je podskup slupa S (d) Skup S sadrži skup R 2. Neka je S { x;2x 6} = = i neka je b =
More informationFajl koji je korišćen može se naći na
Machine learning Tumačenje matrice konfuzije i podataka Fajl koji je korišćen može se naći na http://www.technologyforge.net/datasets/. Fajl se odnosi na pečurke (Edible mushrooms). Svaka instanca je definisana
More informationProjektovanje paralelnih algoritama II
Projektovanje paralelnih algoritama II Primeri paralelnih algoritama, I deo Paralelni algoritmi za množenje matrica 1 Algoritmi za množenje matrica Ovde su data tri paralelna algoritma: Direktan algoritam
More informationMartingalska metoda u optimizaciji portfolija
UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Miloš Kovačević Martingalska metoda u optimizaciji portfolija -master rad- Mentor: prof. dr Danijela Rajter-Ćirić
More informationOsobine metode rezolucije: zaustavlja se, pouzdanost i kompletnost. Iskazna logika 4
Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Rezolucija 1 Metod rezolucije je postupak za dokazivanje da li je neka iskazna (ili
More informationRed veze za benzen. Slika 1.
Red veze za benzen Benzen C 6 H 6 je aromatično ciklično jedinjenje. Njegove dve rezonantne forme (ili Kekuléove structure), prema teoriji valentne veze (VB) prikazuju se uobičajeno kao na slici 1 a),
More informationKLASIFIKACIJA NAIVNI BAJES. NIKOLA MILIKIĆ URL:
KLASIFIKACIJA NAIVNI BAJES NIKOLA MILIKIĆ EMAIL: nikola.milikic@fon.bg.ac.rs URL: http://nikola.milikic.info ŠTA JE KLASIFIKACIJA? Zadatak određivanja klase kojoj neka instanca pripada instanca je opisana
More informationSlika 1. Slika 2. Da ne bismo stalno izbacivali elemente iz skupa, mi ćemo napraviti još jedan niz markirano, gde će
Permutacije Zadatak. U vreći se nalazi n loptica različitih boja. Iz vreće izvlačimo redom jednu po jednu lopticu i stavljamo jednu pored druge. Koliko različitih redosleda boja možemo da dobijemo? Primer
More informationIskazna logika 1. Matematička logika u računarstvu. oktobar 2012
Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia oktobar 2012 Iskazi, istinitost, veznici Intuitivno, iskaz je rečenica koja je ima tačno jednu jednu
More informationUOPŠTENI INVERZI, FAKTORI USLOVLJENOSTI I PERTURBACIJE
UNIVERZITET U NIŠU PRIRODNO MATEMATIČKI FAKULTET ODSEK ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Dijana Mosić UOPŠTENI INVERZI, FAKTORI USLOVLJENOSTI I PERTURBACIJE Doktorska disertacija Mentor Prof. dr Dragan Djordjević
More informationBROJEVNE KONGRUENCIJE
UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Vojko Nestorović BROJEVNE KONGRUENCIJE - MASTER RAD - Mentor, dr Siniša Crvenković Novi Sad, 2011. Sadržaj Predgovor...............................
More informationMetrički prostori i Riman-Stiltjesov integral
Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral Sadržaj 1 Metrički prostori 3 1.1 Primeri metričkih prostora................. 3 1.2 Konvergencija nizova i osobine skupova...................... 12 1.3 Kantorov
More informationVrednovanje unit-linked polisa u životnom osiguranju
UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Tamara Raičević Vrednovanje unit-linked polisa u životnom osiguranju -master rad- Novi Sad, 2017. 2 Predgovor
More informationPRIPADNOST RJEŠENJA KVADRATNE JEDNAČINE DANOM INTERVALU
MAT KOL Banja Luka) ISSN 0354 6969 p) ISSN 1986 58 o) Vol. XXI )015) 105 115 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm PRIPADNOST RJEŠENJA KVADRATNE JEDNAČINE DANOM INTERVALU Bernadin Ibrahimpašić 1 Senka Ibrahimpašić
More informationAlgoritam za množenje ulančanih matrica. Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek
Algoritam za množenje ulančanih matrica Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek O problemu (1) Neka je A 1, A 2,, A n niz ulančanih matrica duljine n N, gdje su dimenzije matrice
More informationProgramiranje u realnom vremenu Bojan Furlan
Programiranje u realnom vremenu Bojan Furlan Tri procesa sa D = T imaju sledeće karakteristike: Proces T C a 3 1 b 6 2 c 18 5 (a) Pokazati kako se može konstruisati ciklično izvršavanje ovih procesa. (b)
More informationAndrea Rožnjik. VaR KAO MERA RIZIKA U OPTIMIZACIJI PORTFOLIA. - magistarska teza - Novi Sad, 2008.
UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Andrea Rožnjik VaR KAO MERA RIZIKA U OPTIMIZACIJI PORTFOLIA - magistarska teza - Novi Sad, 2008. Predgovor
More informationMathcad sa algoritmima
P R I M J E R I P R I M J E R I Mathcad sa algoritmima NAREDBE - elementarne obrade - sekvence Primjer 1 Napraviti algoritam za sabiranje dva broja. NAREDBE - elementarne obrade - sekvence Primjer 1 POČETAK
More informationUNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU
UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Ivan Marinković Klasifikacija H-matrica metodom skaliranja i njena primena u odred ivanju oblasti konvergencije
More informationHamiltonov princip i parcijalne diferencijalne jednačine
UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Nikola Dukanović Hamiltonov princip i parcijalne diferencijalne jednačine -master rad- Novi Sad, 2014. Sadržaj
More informationUvod u analizu (M3-02) 05., 07. i 12. XI dr Nenad Teofanov. principle) ili Dirihleov princip (engl. Dirichlet box principle).
Uvod u analizu (M-0) 0., 07. i. XI 0. dr Nenad Teofanov. Kardinalni broj skupa R U ovom predavanju se razmatra veličina skupa realnih brojeva. Jasno, taj skup ima beskonačno mnogo elemenata. Pokazaće se,
More informationUvod u relacione baze podataka
Uvod u relacione baze podataka Ana Spasić 2. čas 1 Mala studentska baza dosije (indeks, ime, prezime, datum rodjenja, mesto rodjenja, datum upisa) predmet (id predmeta, sifra, naziv, bodovi) ispitni rok
More informationKonstrukcija i analiza algoritama
Konstrukcija i analiza algoritama 27. februar 207 Matematička indukcija Princip matematičke indukcije: Da bi za svako n N važilo tvrdjenje T (n) dovoljno je pokazati: bazu indukcije: tvrdjenje T () induktivni
More informationVREMENSKE SERIJE U FINANSIJAMA: ARCH I GARCH
UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Zoranka Desnica VREMENSKE SERIJE U FINANSIJAMA: ARCH I GARCH -završni rad - Novi Sad, oktobar 009. PREDGOVOR
More informationKlase neograničenih operatora
Univerzitet u Nišu Prirodno- matematički fakultet Departman za matematiku Klase neograničenih operatora Master rad Mentor: Prof. dr. Dragan Đorđević Student: Milena Nikolić Niš,. Sadržaj Predgovor...2
More informationZadatci sa ciklusima. Zadatak1: Sastaviti progra koji određuje z ir prvih prirod ih rojeva.
Zadatci sa ciklusima Zadatak1: Sastaviti progra koji određuje z ir prvih prirod ih rojeva. StrToIntDef(tekst,broj) - funkcija kojom se tekst pretvara u ceo broj s tim da je uvedena automatska kontrola
More informationZANIMLJIVI ALGEBARSKI ZADACI SA BROJEM 2013 (Interesting algebraic problems with number 2013)
MAT-KOL (Banja Luka) ISSN 0354-6969 (p), ISSN 1986-5228 (o) Vol. XIX (3)(2013), 35-44 ZANIMLJIVI ALGEBARSKI ZADACI SA BROJEM 2013 (Interesting algebraic problems with number 2013) Nenad O. Vesi 1 Du²an
More informationNilpotentni operatori i matrice
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Nikolina Romić Nilpotentni operatori i matrice Završni rad Osijek, 2016. Sveučilište J. J. Strossmayera
More informationUNIVERZITET U NIŠU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET. mr Dragan Stevanović NEKE KOMPOZICIJE GRAFOVA I GRAFOVI SA CELOBROJNIM SPEKTROM
UNIVERZITET U NIŠU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET mr Dragan Stevanović NEKE KOMPOZICIJE GRAFOVA I GRAFOVI SA CELOBROJNIM SPEKTROM doktorska disertacija Niš, 1999. Za Sanju Sadržaj Predgovor vii I NEPS
More informationO homomorfizam-homogenim geometrijama ranga 2
UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODN0-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Eva Jungael O homomorfzam-homogenm geometrjama ranga 2 -završn rad- Nov Sad, oktoar 2009 Predgovor Za strukturu
More informationBROWNOV MOST I KOLMOGOROV-SMIRNOVLJEVA STATISTIKA
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Nikolina Blažević BROWNOV MOST I KOLMOGOROV-SMIRNOVLJEVA STATISTIKA Diplomski rad Zagreb, veljača 2016. Voditelj rada: doc. dr.
More informationDYNAMIC HEAT TRANSFER IN WALLS: LIMITATIONS OF HEAT FLUX METERS
DYNAMI EAT TRANFER IN WALL: LIMITATION OF EAT FLUX METER DINAMIČKI PRENO TOPLOTE U ZIDOVIMA: OGRANIČENJA MERAČA TOPLOTNOG PROTOKA (TOPLOTNOG FLUKA) 1 I. Naveros a, b,. Ghiaus a a ETIL UMR58, INA-Lyon,
More informationMetode praćenja planova
Metode praćenja planova Klasična metoda praćenja Suvremene metode praćenja gantogram mrežni dijagram Metoda vrednovanja funkcionalnosti sustava Gantogram VREMENSKO TRAJANJE AKTIVNOSTI A K T I V N O S T
More informationKarakterizacija problema zadovoljenja uslova širine 1
UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Aleksandar Prokić Karakterizacija problema zadovoljenja uslova širine 1 -master rad- Mentor: dr Petar Marković
More informationNeke klase maksimalnih hiperklonova
UNIVERZITET U NOVOM SDU PRIRODNO-MTEMTIČKI FKULTET DERRTMN Z MTEMTIKU I INFORMTIKU Jelena Čolić Neke klase maksimalnih hiperklonova - završni rad - MENTOR: Prof. dr Rozalija Madaras-Siladi Novi Sad, 2012.
More informationFormule za udaljenost točke do pravca u ravnini, u smislu lp - udaljenosti math.e Vol 28.
1 math.e Hrvatski matematički elektronički časopis Formule za udaljenost točke do pravca u ravnini, u smislu lp - udaljenosti Banachovi prostori Funkcija udaljenosti obrada podataka optimizacija Aleksandra
More informationO aksiomu izbora, cipelama i čarapama
O aksiomu izbora, cipelama i čarapama Aksiom izbora može se izreći u raznim ekvivalentnim formama. Dokazi ekvivalencije aksioma izbora npr. sa Zornovom lemom, ili pak sa Zermelovim teoremom o dobrom uredaju,
More informationGeometrijski smisao rješenja sustava od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice
Osječki matematički list 6(2006), 79 84 79 Geometrijski smisao rješenja sustava od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice Zlatko Udovičić Sažetak. Geometrijski smisao rješenja sustava od dvije linearne
More informationKristina Popadić. Analiza preživljavanja sa primenama u zdravstvenom osiguranju - master rad -
UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Kristina Popadić Analiza preživljavanja sa primenama u zdravstvenom osiguranju - master rad - Mentor: prof.
More informationAriana Trstenjak Kvadratne forme
Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Ariana Trstenjak Kvadratne forme Završni rad Osijek, 014. Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera
More informationKsenija Doroslovački KOMBINATORIKA INTERPRETIRANA FUNKCIJAMA I NJIHOVIM OSOBINAMA MASTER RAD. NOVI SAD jun 2008
1 Ksenija Doroslovački KOMBINATORIKA INTERPRETIRANA FUNKCIJAMA I NJIHOVIM OSOBINAMA MASTER RAD NOVI SAD jun 2008 2 Sadržaj 1 UVOD 5 2 FUNKCIJE 11 3 KLASIČNI KOMBINATORNI OBJEKTI 17 4 NEKI NEKLASIČNI KOMBINATORNI
More informationPrimena teorije velikih devijacija u reosiguranju
UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Mirjana Veljković - master rad - Novi Sad, 2013. Sadržaj : Predgovor...4 Uvod... 5 Pojmovi iz verovatnoće i
More informationFunkcijske jednadºbe
MEMO pripreme 2015. Marin Petkovi, 9. 6. 2015. Funkcijske jednadºbe Uvod i osnovne ideje U ovom predavanju obradit emo neke poznate funkcijske jednadºbe i osnovne ideje rje²avanja takvih jednadºbi. Uobi
More informationDISTRIBUIRANI ALGORITMI I SISTEMI
Postavka 7: međusobno isključivanje sa read/write promenljivama 1 DISTRIBUIRANI ALGORITMI I SISTEMI Iz kursa CSCE 668 Proleće 2014 Autor izvorne prezentacije: Prof. Jennifer Welch Read/Write deljene promenljive
More informationKonstrukcija i analiza algoritama
Konstrukcija i analiza algoritama 27. februar 2017 1 Pravila zaključivanja i tehnike dokazivanja u iskaznoj i predikatskoj logici 1 1.1 Iskazna logika Pravila zaključivanja za iskaznu logiku: 1. DODAVANJE
More informationNIZOVI I REDOVI FUNKCIJA
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Danijela Piškor NIZOVI I REDOVI FUNKCIJA Diplomski rad Voditelj rada: izv. prof. dr. sc. Ljiljana Arambašić Zagreb, rujan 206.
More informationMATHEMATICAL ANALYSIS OF PERFORMANCE OF A VIBRATORY BOWL FEEDER FOR FEEDING BOTTLE CAPS
http://doi.org/10.24867/jpe-2018-02-055 JPE (2018) Vol.21 (2) Choudhary, M., Narang, R., Khanna, P. Original Scientific Paper MATHEMATICAL ANALYSIS OF PERFORMANCE OF A VIBRATORY BOWL FEEDER FOR FEEDING
More informationKarakteri konačnih Abelovih grupa
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Matija Klarić Karakteri konačnih Abelovih grupa Završni rad Osijek, 2015. Sveučilište J. J. Strossmayera
More informationPrsten cijelih brojeva
SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ODJEL ZA MATEMATIKU Marijana Pravdić Prsten cijelih brojeva Diplomski rad Osijek, 2017. SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ODJEL ZA MATEMATIKU
More informationAKSIOME TEORIJE SKUPOVA
MAT-KOL (Banja Luka) ISSN 0354/6969 XV(1)(2009), 17-25 AKSIOME TEORIJE SKUPOVA Duško Bogdanić 1, Bojan Nikolić 2 i Daniel A. Romano 2 Sažetak: Postoji više od jedne mogućnosti aksiomatizacije teorije skupova.
More informationKVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU 1
MAT KOL (Banja Luka) ISSN 0354 6969 (p), ISSN 1986 5228 (o) Vol. XXII (1)(2016), 5 19 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm KVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU
More informationAKSIOM IZBORA I EKVIVALENCIJE
Sveučilište J.J. Strossmayera Odjel za matematiku Preddiplomski sveučilišni studij matematike Igor Sušić AKSIOM IZBORA I EKVIVALENCIJE Završni rad Osijek, 2013. Sveučilište J.J. Strossmayera Odjel za matematiku
More informationKrive u prostoru Minkovskog
UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Maja Jolić Krive u prostoru Minkovskog - master rad - Mentor: dr Sanja Konjik Novi Sad, 2016 Predgovor Na vratima
More informationMATEMATIČKA REZERVA ŽIVOTNIH OSIGURANJA
UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIČKI FAKULTET Master rad MATEMATIČKA REZERVA ŽIVOTNIH OSIGURANJA Mentor: Student: Prof. dr Slobodanka Janković Aleksandra Raičević Br. indeksa: 153/213 Beograd, jul 215. Sadržaj
More informationAUTOMATSKE GRUPE I STRUKTURE PREDSTAVLJIVE KONAČNIM AUTOMATIMA
AUTOMATSKE GRUPE I STRUKTURE PREDSTAVLJIVE KONAČNIM AUTOMATIMA master teza Autor: Atila Fešiš Mentor: dr Igor Dolinka Novi Sad, 2013. Sadržaj Predgovor iii 1 Osnovni pojmovi 1 1.1 Konačni automati i regularni
More informationANALYSIS OF INFLUENCE OF PARAMETERS ON TRANSFER FUNCTIONS OF APERIODIC MECHANISMS UDC Života Živković, Miloš Milošević, Ivan Ivanov
UNIVERSITY OF NIŠ The scientific journal FACTA UNIVERSITATIS Series: Mechanical Engineering Vol.1, N o 6, 1999 pp. 675-681 Editor of series: Nenad Radojković, e-mail: radojkovic@ni.ac.yu Address: Univerzitetski
More informationRešenja zadataka za vežbu na relacionoj algebri i relacionom računu
Rešenja zadataka za vežbu na relacionoj algebri i relacionom računu 1. Izdvojiti ime i prezime studenata koji su rođeni u Beogradu. (DOSIJE WHERE MESTO_RODJENJA='Beograd')[IME, PREZIME] where mesto_rodjenja='beograd'
More informationLinearno uređena topologija
Univerzitet u Novom Sadu Prirodno-matematički fakultet Departman za matematiku i informatiku Aleksandar Janjoš Linearno uređena topologija Master rad Mentor: Dr Aleksandar Pavlović 2017, Novi Sad Sadržaj
More informationIntertemporalni izbor i optimalno upravljanje
UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO - MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Biljana Jovanovski Intertemporalni izbor i optimalno upravljanje Master rad Mentor: Prof. dr Nenad Teofanov
More informationBAZNI OKVIRI I RIESZOVE BAZE HILBERTOVIH PROSTORA
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Neven Trgovec BAZNI OKVIRI I RIESZOVE BAZE HILBERTOVIH PROSTORA Diplomski rad Voditelj rada: prof. dr. sc. Damir Bakić Zagreb,
More informationSveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku. Sveučilišni preddiplomski studij matematike
Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Lorena Škalac Fermatova metoda beskonačnog spusta Završni rad Osijek, 014. Sveučilište J.J.Strossmayera
More informationUNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU. Poljski prostori. Mentor: prof.
UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU -Dord e Vučković Poljski prostori -završni rad- Mentor: prof. dr Miloš Kurilić Novi Sad, 2011. Sadržaj Predgovor.................................
More informationAsian Journal of Science and Technology Vol. 4, Issue 08, pp , August, 2013 RESEARCH ARTICLE
Available Online at http://www.journalajst.com ASIAN JOURNAL OF SCIENCE AND TECHNOLOGY ISSN: 0976-3376 Asian Journal of Science and Technology Vol. 4, Issue 08, pp.037-041, August, 2013 RESEARCH ARTICLE
More informationMUSICAL COMPOSITION AND ELEMENTARY EXCITATIONS OF THE ENVIRONMENT
Interdisciplinary Description of Complex Systems (-2), 22-28, 2003 MUSICAL COMPOSITION AND ELEMENTARY EXCITATIONS OF THE ENVIRONMENT Mirna Grgec-Pajić, Josip Stepanić 2 and Damir Pajić 3, * c/o Institute
More informationŠime Šuljić. Funkcije. Zadavanje funkcije i područje definicije. š2004š 1
Šime Šuljić Funkcije Zadavanje funkcije i područje definicije š2004š 1 Iz povijesti Dvojica Francuza, Pierre de Fermat i Rene Descartes, posebno su zadužila matematiku unijevši ideju koordinatne metode
More informationVELOCITY PROFILES AT THE OUTLET OF THE DIFFERENT DESIGNED DIES FOR ALUMINIUM EXTRUSION
VELOCITY PROFILES AT THE OUTLET OF THE DIFFERENT DESIGNED DIES FOR ALUMINIUM EXTRUSION J.Caloska, J. Lazarev, Faculty of Mechanical Engineering, University Cyril and Methodius, Skopje, Republic of Macedonia
More informationIV razred- matematika. U prvoj nedelji septembra planirano je obnavljanje gradiva druge godine (3 èasa), a 4-tog èasa radi se inicijalni test.
Profesor: Ivana Obrenoviã Termini za konsultacije: IV razred- matematika U prvoj nedelji septembra planirano je obnavljanje gradiva druge godine (3 èasa), a 4-tog èasa radi se inicijalni test. TEMA 1.
More informationMatrice traga nula math.e Vol. 26. math.e. Hrvatski matematički elektronički časopis. Matrice traga nula. komutator linearna algebra. Sažetak.
1 math.e Hrvatski matematički elektronički časopis komutator linearna algebra Marijana Kožul i Rajna Rajić Matrice traga nula marijana55@gmail.com, rajna.rajic@rgn.hr Rudarsko-geološko-naftni fakultet,
More informationPoložaj nultočaka polinoma
Osječki matematički list 4 (204), 05-6 Položaj nultočaka polinoma Mandalena Pranjić Rajna Rajić Sažetak Prema Rolleovom teoremu, bilo koji segment čiji su krajevi međusobno različite realne nultočke polinoma
More informationFibonaccijev brojevni sustav
Fibonaccijev brojevni sustav Ljerka Jukić asistentica Odjela za matematiku Sveučilišta u Osijeku, ljukic@mathos.hr Helena Velić studentica Odjela za matematiku Sveučilišta u Osijeku, hvelic@mathos.hr Sažetak
More information1 Konveksni skupovi i konveksne funkcije
Nediferencijabilna optimizacija 1 Odjel za matematiku Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Nediferencijabilna optimizacija Poslijediplomski doktorski studij matematike 1 Konveksni skupovi i konveksne funkcije
More informationJedna familija trokoračnih postupaka šestog reda za rešavanje nelinearnih jednačina
UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Ester Jambor Jedna familija trokoračnih postupaka šestog reda za rešavanje nelinearnih jednačina master rad
More informationFraktali - konačno u beskonačnom
Prirodno-Matematički fakultet, Niš. dexterofnis@gmail.com www.pmf.ni.ac.rs/dexter Nauk nije bauk, 2011 Sadržaj predavanja 1 Sadržaj predavanja 1 2 Sadržaj predavanja 1 2 3 Box-Counting dimenzija Hausdorfova
More informationKRITERIJI KOMPLEKSNOSTI ZA K-MEANS ALGORITAM
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Stela Šeperić KRITERIJI KOMPLEKSNOSTI ZA K-MEANS ALGORITAM Diplomski rad Voditelj rada: doc.dr.sc. Pavle Goldstein Zagreb, Srpanj
More informationJednočlani potpuni skupovi veznika za iskaznu logiku
Univerzitet u Beogradu Matematički fakultet Petar Maksimović Jednočlani potpuni skupovi veznika za iskaznu logiku Master teza mentor: dr Predrag Janičić Beograd 2008 2 Sadržaj 1 Uvod 7 1.1 Kratak istorijat
More informationMetode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda
Osječki matematički list 10(2010), 31 42 31 STUDENTSKA RUBRIKA Metode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda Damira Keček Sažetak U članku su opisane metode izračunavanja determinanti matrica n-tog
More informationNumerical Inverse Laplace Transform
UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Omalkhaer Salem Elmabruk Bleblou Numerical Inverse Laplace Transform - master thesis - Novi Sad, 2011. Ovaj
More informationO GLATKIM GRAFOVIMA KOMPATIBILNIM SA TEJLOROVIM OPERACIJAMA
UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Vlado Uljarević O GLATKIM GRAFOVIMA KOMPATIBILNIM SA TEJLOROVIM OPERACIJAMA -master teza- Novi Sad, 2014 Sadržaj
More informationOSCILATORNOST NELINEARNIH DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA DRUGOG REDA
UNIVERZIE U BEOGRADU MAEMAIČKI FAKULE Jelena V. Manojlović OSCILAORNOS NELINEARNIH DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA DRUGOG REDA Doktorska disertacija Beograd, 999. Predgovor Ova doktorska disertacija posvećena
More informationTEORIJA SKUPOVA matematička teorija sti. Boban Veličković, Aleksandar Perović, Aleksandar Jovanović
TEORIJA SKUPOVA matematička teorija sti Boban Veličković, Aleksandar Perović, Aleksandar Jovanović 2 Sadržaj 1 Uvod 7 I Uvod u teoriju skupova 21 2 Logičke osnove 23 2.1 O formalnoj metodi....................
More informationVelimir Abramovic: KOLIKO IMA BESKONACNOSTI U MATEMATICI? (Iz Osnovi Nauke o Vremenu )
Velimir Abramovic: www.n01a.org KOLIKO IMA BESKONACNOSTI U MATEMATICI? (Iz Osnovi Nauke o Vremenu ) Citajuci Kantorov Argument dijagonalizacijom shvatio sam da se u njemu nista ne sme podrazumevati, vec
More informationDETERMINATION OF THE EFFECTIVE STRAIN FLOW IN COLD FORMED MATERIAL
DETERMINATION OF THE EFFECTIVE STRAIN FLOW IN COLD FORMED MATERIAL Leo Gusel University of Maribor, Faculty of Mechanical Engineering Smetanova 17, SI 000 Maribor, Slovenia ABSTRACT In the article the
More informationPRECIPITATION FORECAST USING STATISTICAL APPROACHES UDC 55:311.3
FACTA UNIVERSITATIS Series: Working and Living Environmental Protection Vol. 10, N o 1, 2013, pp. 79-91 PRECIPITATION FORECAST USING STATISTICAL APPROACHES UDC 55:311.3 Mladjen Ćurić 1, Stanimir Ţivanović
More informationSveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku
Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Valentina Volmut Ortogonalni polinomi Diplomski rad Osijek, 2016. Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku
More informationRepresentation theorems for connected compact Hausdorff spaces
Representation theorems for connected compact Hausdorff spaces Mirna Džamonja School of Mathematics University of East Anglia Norwich, NR4 7TJ UK February 22, 2008 Abstract We present two theorems which
More informationTeorem o reziduumima i primjene. Završni rad
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Matej Petrinović Teorem o reziduumima i primjene Završni rad Osijek, 207. Sveučilište J. J. Strossmayera
More informationANALYTICAL AND NUMERICAL PREDICTION OF SPRINGBACK IN SHEET METAL BENDING
ANALYTICAL AND NUMERICAL PREDICTION OF SPRINGBACK IN SHEET METAL BENDING Slota Ján, Jurčišin Miroslav Department of Technologies and Materials, Faculty of Mechanical Engineering, Technical University of
More information6 th INTERNATIONAL CONFERENCE
6 th INTERNATIONAL CONFERENCE Contemporary achievements in civil engineering 20. April 2018. Subotica, SERBIA ABSOLUTE MOVEMENTS OF LARGE DAMS ANALYSIS BY REGRESSION METHOD UTILIZATION Žarko Nestorović
More informationNIVO-SKUP METODE ZA SEGMENTACIJU SLIKA U BOJI
UNIVERZITET U BANJOJ LUCI ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET STUDIJSKI PROGRAM TELEKOMUNIKACIJE Vladimir Lekić NIVO-SKUP METODE ZA SEGMENTACIJU SLIKA U BOJI magistarski rad Banja Luka, novembar 2011. Tema: NIVO-SKUP
More informationBLAST-INDUCED DAMAGE AND ITS IMPACT ON STRUCTURAL STABILITY OF UNDERGROUND EXCAVATIONS UTICAJ MINIRANJA NA STRUKTURNU STABILNOST PODZEMNIH PROSTORIJA
UNDERGROUND MINING ENGINEERING 29 (2016) 33-42 UDK 62 UNIVERSITY OF BELGRADE - FACULTY OF MINING AND GEOLOGY YU ISSN 03542904 Original scientific paper BLAST-INDUCED DAMAGE AND ITS IMPACT ON STRUCTURAL
More informationU X. 1. Multivarijantna statistička analiza 1
. Multivarijantna statistička analiza Standardizovana (normalizovana) vrednost obeležja Normalizovano odstupanje je mera varijacije koja pokazuje algebarsko odstupanje jedne vrednosti obeležja od aritmetičke
More informationSITO POLJA BROJEVA. Dario Maltarski PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad. Voditelj rada: Doc. dr. sc.
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Dario Maltarski SITO POLJA BROJEVA Diplomski rad Voditelj rada: Doc. dr. sc. Filip Najman Zagreb, rujan 2014. Ovaj diplomski
More informationANALYSIS OF THE RELIABILITY OF THE "ALTERNATOR- ALTERNATOR BELT" SYSTEM
I. Mavrin, D. Kovacevic, B. Makovic: Analysis of the Reliability of the "Alternator- Alternator Belt" System IVAN MAVRIN, D.Sc. DRAZEN KOVACEVIC, B.Eng. BRANKO MAKOVIC, B.Eng. Fakultet prometnih znanosti,
More informationMirela Nogolica Norme Završni rad
Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Mirela Nogolica Norme Završni rad Osijek, 2014. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za
More informationNeprekidan slučajan vektor
Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Ana Leko Neprekidan slučajan vektor Završni rad Osijek, 3 Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel
More informationAPPROPRIATENESS OF GENETIC ALGORITHM USE FOR DISASSEMBLY SEQUENCE OPTIMIZATION
JPE (2015) Vol.18 (2) Šebo, J. Original Scientific Paper APPROPRIATENESS OF GENETIC ALGORITHM USE FOR DISASSEMBLY SEQUENCE OPTIMIZATION Received: 17 July 2015 / Accepted: 25 Septembre 2015 Abstract: One
More information4-POLITOPA. Prema Štajnicovom radu iz godine skup f vektora 3 politopa dat je sa:
NEKE NUMERIČKE KARAKTERISTIKE 4-POLITOPA VLADIMIR TELEBAK Prirodno-matematički fakultet Univerzitet u Banjoj Luci Ul. Mladena Stojanovića 2 Banja Luka, Republika Srpska e-pošta: vladotelebak@yahoo.com
More informationMetoda parcijalnih najmanjih kvadrata: Regresijski model
Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek Tamara Sente Metoda parcijalnih najmanjih kvadrata: Regresijski model Diplomski rad Voditelj rada: Izv.prof.dr.sc. Miljenko Huzak
More informationDekartov proizvod grafova
UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO - MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Marijana Petričević Jović Dekartov proizvod grafova Master rad Mentor: Prof. dr Ivica Bošnjak Novi Sad, 2017
More information