LABORATORY 4 INFINITE IMPULSE RESPONSE FILTERS

Size: px
Start display at page:

Download "LABORATORY 4 INFINITE IMPULSE RESPONSE FILTERS"

Transcription

1 LABORATORY 4 IFIITE IMPULSE RESPOSE FILTERS 4.. Introduction (For more theoretical details, please see the lecture notes) Filtrele cu răspuns infinit la impuls (RII) se dovedesc în anumite aplicaţii mai avantajoase decât filtrele RFI datorită faptului că pot realiza caracteristici de selectivitate excelente cu un ordin mult mai mic al funcţiei de transfer. Spre deosebire de filtrele RFI, filtrele RII nu pot avea caracteristica de fază liniară. Imposibilitatea realizării unei faze liniare are implicaţii în ceea ce priveşte proiectarea filtrelor RII, în sensul că aceasta presupune fie aproximarea simultană atât a specificaţiilor pentru caracteristica de amplitudine cât şi a celor referitoare la fază, fie corecţia ulterioară a distorsiunilor de fază în ipoteza că proiectarea s-a bazat numai pe aproximarea caracteristicii de amplitudine. Există un singur tip de filtru RII la care una din cele două caracteristici este constantă (filtrului trece tot - FTT). Filtrul RII este descris în domeniul timp prin ecuaţia cu diferenţe finite: y[ n] M i0 b x[ n i] i i a y[ n i] i (4.) În această situaţie funcţia de transfer devine: M i i bi z i0 H ( z) (4.) i a z în care s-a presupus că a 0. Proiectarea unui filtru digital RII constă în determinarea coeficienţilor a i şi b i din expresia (4.) astfel încât răspunsul la impuls al acestuia, h [n], sau j răspunsul în frecvenţă, H ( e ), să aproximeze într-un anumit mod specificaţiile în timp discret sau în frecvenţă impuse la proiectare. Domeniul în care este rezolvată problema aproximării (timp sau frecvenţă) este determinat de aplicaţia specifică. Metodele de proiectare a filtrelor RII pot fi clasificate în două categorii: i

2 . Metode indirecte bazate pe proiectarea în prealabil a unui filtru analogic şi apoi transformarea acestuia într-unul digital;. Metode directe urmărind realizarea filtrelor digitale fără referire la un model analogic. Aceste metode se bazează pe utilizarea criteriilor de aproximare în domeniile timp sau frecvenţă. 4.. Indirect design of IIR filters (For more theoretical details, please see the lecture notes) Procedura cea mai frecvent utilizată de proiectare a unui filtru digital RII constă în transformarea unui filtru analogic într-unul digital, echivalent ca performanţe. Această abordare prezintă două avantaje: a) exploatează cunoştinţele şi metodele de proiectare a filtrelor analogice; b) există transformări care conservă proprietăţile de selectivitate ale modelului analogic. Pornind de la specificaţiile referitoare la performanţele filtrului digital, proiectarea acestuia necesită parcurgerea următoarelor etape:. Transformarea specificaţiilor dorite pentru filtrul digital în specificaţii impuse filtrului analogic prototip;. Obţinerea funcţiei de transfer a filtrului analogic prototip astfel încât să se realizeze specificaţiile deduse la punctul ; 3. Transformarea funcţiei de transfer a filtrului analogic în funcţia de transfer echivalentă ca performanţe a filtrului digital. După obţinerea funcţiei de transfer H a (s) a prototipului analogic trebuie găsită funcţia de transfer H (z) a filtrului digital, operaţie denumită frecvent discretizarea filtrului analogic. Aceasta necesită în domeniul timp trecerea de la variabila continuă t la cea discretă n, ceea ce implică pentru caracterizarea în frecvenţă o transformare de la planul s la planul Z. Orice astfel de transformare trebuie să satisfacă două cerinţe fundamentale: I. Să transforme un filtru analogic stabil într-unul digital de asemenea stabil; II. Să conserve caracteristicile de selectivitate (de modul şi eventual fază) ale filtrului analogic. Îndeplinirea primei cerinţe necesită transformarea semiplanului stâng al planului s în interiorul cercului de rază unitate din planul Z, în timp ce îndeplinirea celei de-a doua cerinţe pretinde conversia liniară a axei j a j planului s în conturul cercului de rază unitate ( z e ) al planului Z. Procedurile utilizate pentru discretizarea funcţiei de transfer H a (s) satisfac cele două cerinţe într-un mod mai mult sau mai puţin satisfăcător. Sunt cunoscute în literatura de specialitate 4 asemenea proceduri şi anume:. Metoda transformării ecuaţiei diferenţiale ce leagă semnalele de intrare şi ieşire ale prototipului analogic în ecuaţia cu diferenţe finite necesară pentru caracterizarea în domeniul timp a filtrului digital;

3 . Metoda invarianţei răspunsului la impuls; 3. Metoda transformării biliniare; 4. Metoda transformării în z adaptate. În continuare vor fi prezentate procedurile şi 3 care satisfac integral cerinţa I şi foarte bine (în anumite condiţii) cerinţa II. În schimb rezultatele obţinute cu metodele şi 4 sunt nesatisfăcătoare în ceea ce priveşte conservarea proprietăţilor de selectivitate pe un domeniu larg de frecvenţă The impulse response invariance method Această metodă se bazează pe conservarea răspunsului la impuls, în sensul că răspunsul la impuls al filtrului digital, notat h [n] este versiunea eşantionată a răspunsului la impuls al filtrului analogic, notat h a (t). În continuare vor fi utilizate notaţia F pentru a desemna domeniul frecvenţă al filtrului analogic şi notaţia f pentru a desemna domeniul frecvenţă normată al filtrului digital. Procedura de obţinere a filtrului digital prin metoda invarianţei răspunsului la impuls necesită parcurgerea următoarelor etape:. Se descompune H a (s) în fracţii elementare: H a Ak ( s) (4.3) s s k. Se determină răspunsul la impuls al filtrului analogic, h a (t) : k h ( L Ak e s sk k a t) A k k s t k u( t) (4.4) 3. Se determină funcţia pondere a filtrului digital: h[ n] Th a ( nt ) T k A k e s nt k u[ n] cu u[ n] u( nt ) (4.5) 4. Se calculează funcţia de transfer H (z) : H ( z) n n s knt n skt h[ n] z TAk e z TAk e z n0 n0 k k n0 k 3 TA e k s T k z

4 (4.6) Efectuând calculele se obţin coeficienţii a i, bi ai filtrului digital. Se demonstrează că filtrul digital reproduce răspunsul în frecvenţă al filtrului analogic pe intervalul de frecvenţă s, dacă şi numai dacă sunt îndeplinite condiţiile: H a s [, ] h[ n] Tha ( nt ) (4.7) T T (4.8) ( j) 0 la (4.9) Metoda dă rezultate bune pentru discretizarea filtrelor analogice al căror răspuns la impuls satisface (chiar aproximativ) condiţia de semnal de bandă limitată (relaţia (4.9)). Ca atare poate fi aplicată la proiectarea FTJ şi FTB dar nu şi la proiectarea FTS, FOB, FTT. Există totuşi FTS, FOB, FTT obţinute pe calea invarianţei răspunsului la impuls, prin proiectarea unui prototip analogic de tip trece jos, discretizarea acestuia conform relaţiei (4.7) şi apoi transformarea filtrului digital trece jos într-unul trece sus sau opreşte bandă, folosind transformări de frecvenţă adecvate. În realitate funcţiile de transfer ale filtrelor analogice nu satisfac decât cu aproximaţie condiţia (4.9), ele existând pe toată axa frecvenţelor, fapt care conduce la efecte de aliere spectrală. Uneori se utilizează un filtru analogic trece jos cu pantă abruptă a caracteristicii de atenuare (denumit filtru de gardă), conectat în cascadă cu filtrul analogic prototip pentru a realiza condiţia de răspuns în frecvenţă de bandă limitată al filtrului rezultant The bilinear transform method Transformarea biliniară este o transformare de la planul s la planul Z care conservă forma algebrică (funcţie raţională) a funcţiei de transfer. Este definită prin relaţia (T reprezintă perioada de eşantionare): M z st z s (4.0) T z z 4

5 Avantajele metodei transformării biliniare, care determină utilizarea cu precădere a acesteia pentru discretizarea prototipului analogic, constau în următoarele: a) Erorile de aliere inerente metodei invarianţei răspunsului la impuls sunt eliminate deoarece întreaga axă j a planului s este transformată în conturul cercului unitate din planul z; b) Transformă sisteme analogice stabile în sisteme discrete stabile (deci cerinţa I este îndeplinită); c) Este o transformare algebrică simplă, funcţia de transfer a filtrului digital obţinându-se din cea a filtrului analogic prin substituţia: H ( z ) H a ( s ) z (4.) s T z Există totuşi un neajuns al acestei metode constând în transformarea j neliniară a axei j a planului s în cercul de rază unitate z e al planului Z. Pentru a evalua natura şi mărimea neliniarităţii se consideră s j în relaţia j (4.0), fapt ce implică z, adică z e. Rezultă: jt e e j j j tan tan T tan T (4.) eliniaritatea implică restrângerea domeniului de aplicabilitate a metodei. Această metoda este indicată atunci când răspunsul sistemului analogic este constant în frecvenţă sau este format din porţiuni pe care este aproximativ constant. u poate fi aplicată deci pentru diferenţiatoare şi filtre Bessel, deoarece transformarea nu conservă liniaritatea caracteristicii de amplitudine, respectiv a celei de fază. Se aplică cu succes la proiectarea FTJ, FTS, FTB, FOB, FTT The indirect design of digital IIR filters using MATLAB functions (For more theoretical details, please see the lecture notes) I. Design of the analog filters Funcţia de transfer a unui filtru analogic de ordinul este: 5

6 H a ( s) C( s) D( s) M cis 0 M (4.3) i d s i ; i0 i i Răspunsul în frecvenţă (la frecvenţe fizice) este funcţia de sistem evaluată pe axa imaginară a planului s. Proiectarea unui filtru analogic constă în determinarea coeficienţilor c i, di, care conduc la optimizarea pătratului modulului funcţiei de transfer H a ( j), în conformitate cu un anumit criteriu de minimizare a erorii dintre funcţia dorită (funcţia de aproximat) şi cea realizată (funcţia aproximantă). Se lucrează cu H a ( j) (şi nu cu H a ( j) ) pentru că este o funcţie raţională. După determinarea lui H a ( j) se exprimă: H a C( s) C( s) E( s ) ( s) H a ( s) H a ( j) D( s) D( s) s G( s ) (4.4) şi apoi se separă H a (s) astfel: - polii lui H a (s) sunt zerourile lui G( s ) localizate în semiplanul stâng (determinare unică bazată pe stabilitatea filtrului); - zerourile lui H a (s) se obţin din zerourile lui E( s ) prin distribuirea acestora din urmă în mod egal între C (s) şi C( s), fără a separa perechile de zerouri complex conjugate, aceasta spre a obţine H a (s) cu coeficienţi reali. Determinarea lui C (s) nu este unică. Spre deosebire de poli, zerourile pot fi localizate şi pe axa j dar numai cu ordin de multiplicitate par în H a ( s) H a ( s). Se vor prezenta în continuare pe scurt funcţiile de transfer şi caracteristicile filtrele analogice de tip Butterworth, Cebîşev I, Cebîşev II şi eliptice (Cauer), ce vor fi folosite apoi în proiectarea indirectă a filtrelor digitale. - Filtre analogice de tip Butterworth Răspunsul în frecvenţă al unui filtru analogic trece jos de tip Butterworth de ordinul şi frecvenţă de tăiere este dat de expresia: t 6

7 (4.5) t H a ( j ) Acesta realizează o caracteristică de tip maxim plat la 0 în sensul că primele derivate sunt nule la 0. La t, indiferent de ordinul, pătratul modulului este /. Creşterea lui conduce însă la îngustarea zonei de tranziţie. Caracteristica H ( a j ) realizează o aproximare de tip maxim plat şi la, pentru aceasta frecvenţă toate derivatele fiind nule. - Filtre analogice de tip Cebîşev I Filtrele Cebîşev de tipul I sunt filtre polinomiale (de tipul numai cu poli), având o caracteristică de modul cu ripluri egale în banda de trecere şi monoton descrescătoare în banda de oprire. Dintre toate filtrele polinomiale de ordinul, filtrele Cebîşev de tipul I au zona de tranziţie cea mai îngustă. Pentru un filtru analogic trece jos de tip Cebîşev I de ordinul şi cu frecvenţa limită superioară a benzii de trecere e, pătratul modulului funcţiei de transfer este dat de relaţia: H a ( j) C e (4.6) în care C (x) este polinomul Cebîşev de ordinul : cos( cos x), pentru x C ( x) (4.7) cosh( cosh x), pentru x În banda de oprire, caracteristica monoton descrescătoare a modulului funcţiei de transfer realizează o aproximare de tip maxim plat a valorii ideale zero, deoarece toate derivatele sale se anulează pentru. Panta de cădere a caracteristicii este cu atât mai mare cu cât ordinul filtrului este mai mare, iar pentru două filtre de acelaşi ordin panta este mai abruptă pentru cel cu ripluri mai mari în banda de trecere. Performanţele filtrului sunt complet precizate de parametrul ce fixează mărimea riplului în banda de trecere şi de ordinul ce determină abruptitudinea caracteristicii de modul (sau atenuare). 7

8 - Filtre analogice de tip Cebîşev II Filtrele Cebîşev de tipul II realizează o aproximare în sens Cebîşev a modulului funcţiei de transfer în zona de oprire, modulul descrescând monoton în zona de trecere. Se mai numesc şi filtre invers Cebîşev deoarece, spre deosebire de filtrele Cebîşev de tipul I, inversează modul de aproximare a caracteristicii de modul (cu ripluri egale, respectiv maxim plat) în cele două benzi. Pentru un filtru analogic trece jos de tip Cebîşev II de ordinul şi cu frecvenţa limită inferioară a benzii de oprire b, pătratul modulului funcţiei de transfer este dat de relaţia: H a ( j) C b b C b C (4.8) în care C ( x) este polinomul Cebîşev de ordinul (vezi relaţia 4.7): - Filtre analogice de tip eliptic Filtrele eliptice (denumite şi filtre Cauer) au o caracteristică de modul cu ripluri egale în ambele benzi de trecere şi de oprire, motiv pentru care se mai numesc şi filtre echiriplu. Aproximarea în sens Cebîşev a cerinţelor filtrului trece jos ideal este extinsă la ambele benzi prin utilizarea funcţiei raţionale Cebîşev F ( ). Pentru un filtru analogic trece jos de tip eliptic, de ordinul, pătratul modulului funcţiei de transfer este dat de relaţia: H a ( j) F ( ) (4.9) unde funcţia raţională Cebîşev F ( ), introdusă pentru prima dată de Cauer în teoria circuitelor liniare, se exprimă astfel: 8

9 F C ( ) C i i i 4 0 i i 4 0 i, pentru, pentru par impar (4.0) După cum se vede din această relaţie, funcţia F () are polii în număr egal cu zerourile şi plasaţi simetric faţă de acestea în raport cu frecvenţa 0, definită ca medie geometrică a frecvenţelor limită de trecere şi de oprire : 0 e b. Filtrele eliptice sunt considerate optimale, în sensul că, pentru un acelaşi ordin şi aceleaşi frecvenţe limite e şi b, realizează cele mai mici ripluri în benzile de trecere şi de oprire comparativ cu toate celelalte tipuri de filtre. The design data for the analog filters (example a LPF) H a ( j) t / b e t b We consider that: - the effective pass area is between the maximum value and the minimum value t ; - the stop area is between 0 and b ; - e, b, t represent (in this order) the effective pass frequency, the effective stop frequency and the theoretical cut-off frequency, expressed in rad/second. Usually these parameters are given in db as the maximum attenuation in the effective pass band la, a M and the minimum attenuation in the effective stop band, a m : 9

10 am am 0lg( t ) (4.) 0lg( b ) (4.) Remark: The MATLAB functions buttord, chebord, chebord and ellipord allow to determine the minimum order and the cut-off frequency for the types of analog filters presented: Butterworth, Chebyshev I, Chebyshev II and elliptic, starting from the design specifications. General syntax: [n,wn]=function_name(wp,ws,rp,rs, s ) function_name can be any of the functions buttord, chebord, chebord and ellipord; Rp represents the ripple dimension (expressed in db) from the pass band (the maximum attenuation from the pass band) and Rs represents the ripple dimension (expressed in db) from the stop band (the minimum attenuation from the stop band); Wp and Ws are the limit frequencies of the pass and stop bands; they are expressed in rad/second and are greater than ; in the case of band-pass and stop-band filters, Wp and Ws are vectors with elements; s indicates the fact that it is an analog filter; it will return: ) the minimum order n (see (4.3)) of an analog filter of the corresponding type given by function_name, which satisfies the design conditions imposed by Wp, Ws, Rp, Rs; ) the cut-off frequency Wn (3 db frequency) of the same filter; in the case of band-pass and stop-band filters, Wn is a vector with elements, because these filters have two cut-off areas. The order n of the analog filter and its cut-off frequency Wn, which are the output arguments of the previously presented functions, will serve as input parameters for a new class of MATLAB functions butter, cheby, cheby and ellip which have as result the coefficients of the transfer function of the respective analog filter. In MATLAB, the transfer function of an analog IIR filter of n has the form: 0

11 Hs () Bs () As () n n b( ) s b( ) s... b( n) sb( n) (4.3) n n n s a( ) s a( 3) s... ans ( ) an ( ) butter Analog filters of type Butterworth Syntax: [b,a] = butter(n,wn, s ) designs an analog low-pass filter of order n with cut-off frequency Wn (the frequency is expressed in rad/second); it returns the line vectors linie b and a of length n + which contain the coefficients of the transfer function H()of s the filter ( b = [ b( ), b( ),..., b( n), b( n ) ], a = [, a( ),..., a( n), a( n ) ]; see (4.3) ); if Wn is a vector with two elements, Wn=[w,w], with w<w, it will design an analog band-pass filter of order n, with the pass band between frequencies w and w; s indicates the fact that it is an analog filter. [b,a] = butter(n,wn, high, s ) designs an analog high-pass filter of order n with cut-off frequency Wn; [b,a] = butter(n,wn, stop, s ) Wn is a vector with two elements, Wn=[w,w], with w<w, it will design an analog band-stop filter of order n, with the stop band between frequencies w and w. cheby - Analog filters of type Chebyshev I Syntax: [b,a] = cheby(n,rp,wn, s ) [b,a] = cheby(n,rp,wn, high, s ) [b,a] = cheby(n,rp,wn, stop, s ) the same meaning for the input and output parameters as for the syntax in the butter function; the input parameter Rp represents the ripple dimension (expressed in db) from the pass band (the maximum attenuation from the pass band).

12 cheby - Analog filters of type Chebyshev II Sintaxe: [b,a] = cheby(n,rs,wn, s ) [b,a] = cheby(n,rs,wn, high, s ) [b,a] = cheby(n,rs,wn, stop, s ) the same meaning for the input and output parameters as for the syntax in the butter function; the input parameter Rs represents the ripple dimension (expressed in db) from the stop band (the minimum attenuation from the stop band). ellip - Analog filters of type elliptic (Cauer filters) Syntax: [b,a] = ellip(n,rp,rs,wn, s ) [b,a] = ellip(n,rp,rs,wn, high, s ) [b,a] = ellip(n,rp,rs,wn, stop, s ) the same meaning for the input and output parameters as for the syntax in the butter function; the input parameters Rp and Rs have the same meaning as for the functions cheby and cheby. Remark: Once we found the coefficients of the transfer function of the analog filter we can consider that steps and from the filter design are finished (see 4.). The third step is to transform the transfer function of the analog filter into the equivalent transfer function of the digital filter. This last step is done according to the chosen design method. Two of the 4 existent methods were discussed here: the impulse response invariance method and the bilinear transform method. Corresponding to these two methods, in MATLAB we have the functions impinvar and bilinear which will be presented next. II. Transforming the transfer function of the analog filter into the equivalent transfer function of the digital filter Consider the following expressions for: - the transfer function of an analog filter:

13 b s b s b m s b m H() s m m () () ( ) ( ) n n a() s a() s a( n) sa( n) ( s z())( s z()) ( s z( m)) k ( s p())( s p()) ( s p( n)) (4.4) - the transfer function of a digital filter: H( z) ( m) m bd() bd() z bdmz ( ) bdm ( ) z ( n) n ad() ad() z adnz ( ) adn ( ) z kd ( zd() z )( zd() z ) ( zd( m) z ) ( pd() z )( pd() z ) ( pd( n) z ) (4.5) impinvar - The impulse response invariance method Remark: Using this method we can only design LPF and BPF (see the course for details)! Syntax: [bd,ad] = impinvar(b,a,fs) the vectors b and a conain the values of the coefficients for the numerator and the denominator of the transfer function of the analog filter: b = b( ), b(), b( m ), a = a( ), a(), a( n ) ; see (4.4); Fs is the sampling frequency expressed in Hz; if not specified, it is taken implicitly Fs = Hz; The order of the numerator cannot be higher than the order of the denominator for the transfer function of the analog filter ( m n ); It returns the line vectors bd and ad which contain the values of the coefficients for the numerator and the denominator of the transfer function of the digital filter: bd=bd( ), bd(), bd( m ), ad=ad( ), ad (), ad( n ) (see (4.5)). Remark: For the MATLAB 4 version The MATLAB function impinvar performs the transform from analog to discrete domain considering h[ n] ha ( nt ) which is different from the theoretical relation (4.7). Therefore, a multiplication by T = /Fs of the obtained bd vector is necessary. 3

14 bilinear - The bilinear transform method Syntax: [bd,ad] = bilinear(b,a,fs) the vectors b and a conain the values of the coefficients for the numerator and the denominator of the transfer function of the analog filter: b = b( ), b(), b( m ), a = a( ), a(), a( n ) ; see (4.4); Fs is the sampling frequency expressed in Hz; The order of the numerator cannot be higher than the order of the denominator for the transfer function of the analog filter ( m n ); It returns the line vectors bd and ad which contain the values of the coefficients for the numerator and the denominator of the transfer function of the digital filter: bd=bd( ), bd(), bd ( m ), ad=ad ( ), ad (), ad ( n ) (see (4.5)). [zd,pd,kd] = bilinear(z,p,k,fs) The column vectors z and p contain the values of the zeros and poles of the transfer function of the analog filter and the value k represents the gain (z = z(), z( ), z( m) p(), p( ), p( n) ; see (4.4));, p = Fs is the sampling frequency expressed in Hz; The order of the numerator cannot be higher than the order of the denominator for the transfer function of the analog filter ( m n ); It returns the column vectors zd and pd which contain the values of the zeros and poles of the transfer function of the digital filter and the value kd which represents the gain (zd= zd( ), zd (), zd ( m), pd = pd( ), pd(), pd( n) ; see (4.5)). Table presents a summary of the steps performed in order to indirectly design an IIR filter. Step Table 4 Matlab function

15 I) Design the analog filter: * find n and Wn buttord chebord n, Wn= (Wp, Ws, Rp, Rs, 's') chebord ellipord butter(n, Wn,'s') * design b, a= cheby(n, Rp, Wn, 's') chebyn, Rs, Wn,'s' ellip(n, Rp,Rs, Wn, 's') II) Transform H a (s) -> H(z) a) Impulse response invariance method T T or b) Bilinear transform method tan tan T T bd, ad=impinvar(b,a,fs) or bd, ad=bilinear(b,a,fs) Examples: c). Design using the impulse response invariance method a digital LPF of type Butterworth, knowing that: - at the frequency Fe khz the attenuation is smaller than db, i.e., a M db ; - at the frequency Fb 3kHz the attenuation is greater than 0 db, i.e., a m 0dB; - the sampling frequency is Fs 0kHz.. Solve the previous problem using the bilinear transform method. Solution. Determine the normalized limit frequencies of the pass and stop bands: Fe Fb e 0, and b 0,3 Fs Fs Taking into account the connection between the two frequency axes (see (4.8)) compute for the analog filter: e e efs 4000 radians/second T s 5

16 Fs=0000; we=*pi*/0; wb=*pi*3/0; Oe=we*Fs; Ob=wb*Fs; b b bfs 6000 radians/second T s ow we have all the input parameters for the buttord function, used to determine the order and the cut-off frequency of the analog filter (see its syntax): [n,wt]=buttord(oe,ob,,0, s ) n = 8 Wt =.444e+004 // the order of the analog filter is n = 8 and the cut-off frequency is 444 radians/second (it can be noticed that this value is indeed in the interval, ] ). [ e b The values n and Wt obtained represent the input parameters for the function butter which will return the coefficients of the transfer function of the analog filter (see its syntax and (4.3)): [bs,as]=butter(n,wt, s ) bs =.0e+033 * Columns through Columns 8 through as =.0e+033 * Columns through Columns 8 through

17 The amplitude-frequency and phase-frequency characteristics can be viewed using the function freqs (similar to freqz); see help freqs. figure(), freqs(bs,as) 0 0 Magnitude Frequency (radians) 00 Phase (degrees) The two vectors bs and as from before will be the input arguments for the function impinvar which will compute the values of the coefficients of the transfer function of the desired digital filter (see its syntax and (4.4) and (4.5)): [bd,ad]=impinvar(bs,as,fs) Frequency (radians) bd = Columns through Columns 5 through Column 9 0 ad = Columns through Columns 5 through Column The amplitude-frequency and phase-frequency characteristics of the digital filters can be viewed using the function freqz freqz (see..3. from laboratory ): figure(), freqz(bd,ad) 7 Magnitude Response (db) ormalized frequency (yquist == ) 0 hase (degrees)

18 The weight function of the filter can be viewed using the command impz (see... from laboratory ): figure(3),impz(bd,ad),grid In order to verify graphically the stability of the obtained digital filter (all poles must be inside the unit circle) we can use the function zplane (see..4. from laboratory ), by only plotting the values of the poles of the transfer function: figure(4),zplane(,ad) Imaginary part Solution. The bilinear transform method involves transforming the frequency axis according to (4.): tan e tan e e Fs T s Real part

19 tan b tan b b Fs T s The values for e and b are the same as for the previous problem. Fs=0000; we=*pi*/0; wb=*pi*3/0; Oe=*Fs*tan(we/); Ob=*Fs*tan(wb/); The same steps as in the case of the impulse response invariance method from the previous problem are followed: [n,wt]=buttord(oe,ob,,0, s ) [bs,as]=butter(n,wt, s ) [bd,ad]=bilinear(bs,as,fs) It can be seen that the order of the filter is now n = 7, so smaller with than for the impulse response invariance method. E. Exercises:. Design using the bilinear transform method a digital high-pass filter of type Butterworth, knowing that: - at the frequency Fb khz the attenuation is greater than 40 db; - at the frequency Fe 4kHz the attenuation is smaller than db; - the sampling frequency is Fs 4kHz. Represent graphically: - the amplitude-frequency and phase-frequency characteristics of the analog filter and of the obtained digital filter; - the impulse response of the digital filter; - the positioning in the Z plane of the poles of the digital filter transfer function. Can we also use for the design the impulse response invariance method?. Solve problem for the case of a Chebyshev I filter. Comment the differences. 9

20 3. Solve problem for the case of a Chebyshev II filter. Comment the differences. 4. Solve problem for the case of an elliptic filter. Comment the differences. 5. Consider a LPF of type Butterworth, of order 3, having the cut-off frequency F t 4kHz. Determine the transfer function H (z) of the obtained digital filter: a) using the impulse response invariance method; b) using the bilinear transform method. The sampling frequency is Fs 40kHz. Represent graphically: - the amplitude-frequency and phase-frequency characteristics of the analog filter and of the obtained digital filter; - the impulse response of the digital filter; - the positioning in the Z plane of the poles of the digital filter transfer function. 6. Solve problem 5 for the case of a Chebyshev I filter with a maximum attenuation in the pass band of db. Comment the results. 7. Solve problem 5 for the case of a Chebyshev II filter with a minimum attenuation in the stop band of 40dB. Comment the results. 8. Solve problem 5 for the case of an elliptic filter with a minimum attenuation in the stop band of 40dB and a maximum attenuation in the pass band of db. Comment the results. 9. Design using the impulse response invariance method a digital band-pass filter of type Butterworth, knowing that: - at the frequencies Fe 4kHz and Fe 6kHz the attenuation is smaller than db; - at the frequencies Fb 3kHz and Fb 7kHzthe attenuation is greater than 40 db; - the sampling frequency is Fs 0kHz. Represent graphically: - the amplitude-frequency and phase-frequency characteristics of the analog filter and of the obtained digital filter; - the impulse response of the digital filter; - the positioning in the Z plane of the poles of the digital filter transfer function. Solve the problem also using the bilinear transform method. 0

21 0. Solve problem 9 for the case of a Chebyshev I filter. Comment the results.. Solve problem 9 for the case of a Chebyshev II filter. Comment the results.. Solve problem 9 for the case of an elliptic filter. Comment the results. 3. Design using the bilinear transform method a digital stop-band filter of type Butterworth, knowing that: - at the frequencies Fe 3kHz and Fe 7kHzthe attenuation is smaller than db; - at the frequencies Fb 4kHz and Fb 6kHz the attenuation is greater than 40 db; - the sampling frequency is Fs 0kHz. Represent graphically: - the amplitude-frequency and phase-frequency characteristics of the analog filter and of the obtained digital filter; - the impulse response of the digital filter; - the positioning in the Z plane of the poles of the digital filter transfer function. - Can we also use for the design the impulse response invariance method? 4. Solve problem 3 for the case of a Chebyshev I filter. Comment the results. 5. Solve problem 3 for the case of a Chebyshev II filter. Comment the results. 6. Solve problem 3 for the case of an elliptic filter. Comment the results. 7. Design a digital LPF starting from an analog filter of type Butterwoth of order and cut-off frequency F t 5kHz. The sampling frequency is F s 40kHz. Use for the design: a) the impulse response invariance method; b) the bilinear transform method. Solve the same problem for the case of a HPF. What can you notice? 4.3. Direct design of IIR filters (For more theoretical details, please see the lecture notes) Metodele de proiectare din această categorie se bazează pe optimizare numerică şi permit obţinerea de filtre digitale ce aproximează un anumit răspuns în domeniul timp sau în domeniul frecvenţă. Aceste metode presupun alegerea

22 unui criteriu de minimizare a erorii de aproximare şi utilizarea unui algoritm pentru determinarea coeficienţilor funcţiei de transfer a filtrului (dacă se lucrează în domeniul frecvenţă) sau a răspunsului la impuls (în cazul în care se lucrează în domeniul timp). The MATLAB functions buttord, chebord, chebord and ellipord presented before allow to determine the minimum order and the cutoff frequency for the digital filters. In MATLAB, the transfer function of a digital IIR filter of order n has the form: H ( n) ( B( z) b() b() z... b( n) z b z) ( n ) A( z) a() z a(3) z... a( n) z ( n ) z n a( n ) z n (4.6) General syntax: [n,wn]=function_name(wp,ws,rp,rs) function_name can be any of the functions buttord, chebord, chebord and ellipord; Rp represents the ripple dimension (expressed in db) from the pass band (the maximum attenuation from the pass band) and Rs represents the ripple dimension (expressed in db) from the stop band (the minimum attenuation from the stop band); Wp and Ws are the limit frequencies of the pass and stop bands; they are between 0 and, where corresponds to half of the sampling frequency and they are computed as follows: Frequency[Hz] / (Fs[Hz]/); In the case of band-pass and stop-band filters, Wp and Ws are vectors with elements; it will return: ) the minimum order n (see (4.6)) of a digital filter of the corresponding type given by function_name, which satisfies the design conditions imposed by Wp, Ws, Rp, Rs; ) the cut-off frequency Wn (3 db frequency) of the same filter; in the case of band-pass and stop-band filters, Wn is a vector with elements, because these filters have two cut-off areas. Also, the MATLAB functions butter, cheby, cheby, ellip allow the direct design of digital IIR filters (based on Chebyshev approximation directly in the digital domain). The syntaxes are similar to the ones presented in the case of analog filters, with the difference that the input parameter s disappears (which specified that we design an analog filter) and the frequencies

23 Wn are between 0 and, where corresponds to half of the sampling frequency, computed as before: Frequency[Hz] / (Fs[Hz]/). Verify the syntaxed of these functions using the help command. Table presents a summary of the steps performed in order to directly design an IIR filter. Table Step Matlab function buttord chebord * find n and Wn n, Wn= (Wp, Ws, Rp, Rs chebord ellipord butter(n, Wn) cheby(n, Rp, Wn) * design b, a= chebyn, Rs, Wn ellip(n, Rp, Rs, Wn) E. Exercises:. Solve problems -4 and 9-6 from exercises E by direct design with the help of the presented MATLAB functions. 3

24 4

Sisteme cu logica fuzzy

Sisteme cu logica fuzzy Sisteme cu logica fuzzy 1/15 Sisteme cu logica fuzzy Mamdani Fie un sistem cu logică fuzzy Mamdani două intrări x şi y ieşire z x y SLF Structura z 2/15 Sisteme cu logica fuzzy Mamdani Baza de reguli R

More information

Teorema Reziduurilor şi Bucuria Integralelor Reale Prezentare de Alexandru Negrescu

Teorema Reziduurilor şi Bucuria Integralelor Reale Prezentare de Alexandru Negrescu Teorema Reiduurilor şi Bucuria Integralelor Reale Preentare de Alexandru Negrescu Integrale cu funcţii raţionale ce depind de sint şi cost u notaţia e it, avem: cost sint i ( + ( dt d i, iar integrarea

More information

Soluţii juniori., unde 1, 2

Soluţii juniori., unde 1, 2 Soluţii juniori Problema 1 Se consideră suma S x1x x3x4... x015 x016 Este posibil să avem S 016? Răspuns: Da., unde 1,,..., 016 3, 3 Termenii sumei sunt de forma 3 3 1, x x x. 3 5 6 sau Cristian Lazăr

More information

GENERATOARE DE SEMNAL DIGITALE

GENERATOARE DE SEMNAL DIGITALE Technical University of Iasi, Romania Faculty of Electronics and Telecommunications Signals, Circuits and Systems laboratory Prof. Victor Grigoras Cuprins Clasificarea generatoarelor Filtre reursive la

More information

O V E R V I E W. This study suggests grouping of numbers that do not divide the number

O V E R V I E W. This study suggests grouping of numbers that do not divide the number MSCN(2010) : 11A99 Author : Barar Stelian Liviu Adress : Israel e-mail : stelibarar@yahoo.com O V E R V I E W This study suggests grouping of numbers that do not divide the number 3 and/or 5 in eight collumns.

More information

Cristalul cu N atomi = un sistem de N oscilatori de amplitudini mici;

Cristalul cu N atomi = un sistem de N oscilatori de amplitudini mici; Curs 8 Caldura specifica a retelei Cristalul cu N atomi = un sistem de N oscilatori de amplitudini mici; pentru tratarea cuantica, se inlocuieste tratamentul clasic al oscilatorilor cuplati, cu cel cuantic

More information

Ecuatii si inecuatii de gradul al doilea si reductibile la gradul al doilea. Ecuatii de gradul al doilea

Ecuatii si inecuatii de gradul al doilea si reductibile la gradul al doilea. Ecuatii de gradul al doilea Ecuatii si inecuatii de gradul al doilea si reductibile la gradul al doilea Ecuatia de forma Ecuatii de gradul al doilea a + b + c = 0, (1) unde a, b, c R, a 0, - variabila, se numeste ecuatie de gradul

More information

1.3. OPERAŢII CU NUMERE NEZECIMALE

1.3. OPERAŢII CU NUMERE NEZECIMALE 1.3. OPERAŢII CU NUMERE NEZECIMALE 1.3.1 OPERAŢII CU NUMERE BINARE A. ADUNAREA NUMERELOR BINARE Reguli de bază: 0 + 0 = 0 transport 0 0 + 1 = 1 transport 0 1 + 0 = 1 transport 0 1 + 1 = 0 transport 1 Pentru

More information

ON THE QUATERNARY QUADRATIC DIOPHANTINE EQUATIONS (II) NICOLAE BRATU 1 ADINA CRETAN 2

ON THE QUATERNARY QUADRATIC DIOPHANTINE EQUATIONS (II) NICOLAE BRATU 1 ADINA CRETAN 2 ON THE QUATERNARY QUADRATIC DIOPHANTINE EQUATIONS (II) NICOLAE BRATU 1 ADINA CRETAN ABSTRACT This paper has been updated and completed thanks to suggestions and critics coming from Dr. Mike Hirschhorn,

More information

2. Finite Impulse Response Filters (FIR)

2. Finite Impulse Response Filters (FIR) ..3.3aximum error minimizing method. Finite Imule Reone Filter (FIR)..3 aximum error minimizing method he zero hae tranfer function N H a' n con tye n N H b n con n tye ' the lat relation can be exreed

More information

Divizibilitate în mulțimea numerelor naturale/întregi

Divizibilitate în mulțimea numerelor naturale/întregi Divizibilitate în mulțimea numerelor naturale/întregi Teorema îmărţirii cu rest în mulțimea numerelor naturale Fie a, b, b 0. Atunci există q, r astfel încât a=bq+r, cu 0 r < b. În lus, q şi r sunt unic

More information

Gradul de comutativitate al grupurilor finite 1

Gradul de comutativitate al grupurilor finite 1 Gradul de comutativitate al grupurilor finite Marius TĂRNĂUCEANU Abstract The commutativity degree of a group is one of the most important probabilistic aspects of finite group theory In this survey we

More information

Reactoare chimice cu curgere piston (ideala) cu amestecare completa de tip batch (autoclava)

Reactoare chimice cu curgere piston (ideala) cu amestecare completa de tip batch (autoclava) Reactoare chimice cu curgere piston (ideala) cu amestecare completa de tip batch (autoclava) Reactorul cu curgere ideala Toate particulele se deplaseaza intr-o directie de-a lungul reactorului, precum

More information

Rezolvarea ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii diferenţiale ordinare (II)

Rezolvarea ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii diferenţiale ordinare (II) Rezolvarea ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii diferenţiale ordinare (II) Metode multipas Prof.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică Suport didactic pentru disciplina

More information

UNITATEA DE ÎNVĂȚARE 3 Analiza algoritmilor

UNITATEA DE ÎNVĂȚARE 3 Analiza algoritmilor UNITATEA DE ÎNVĂȚARE 3 Analiza algoritmilor Obiective urmărite: La sfârşitul parcurgerii acestei UI, studenţii vor 1.1 cunoaște conceptul de eficienta a unui algoritm vor cunoaste si inţelege modalitatile

More information

LABORATORY 3 FINITE IMPULSE RESPONSE FILTERS

LABORATORY 3 FINITE IMPULSE RESPONSE FILTERS LABORATORY 3 FINITE IMPULSE RESPONSE FILTERS 3.. Introduction A digital filter is a discrete system, used with the purpose of changing the amplitude and/or phase spectrum of a signal. The systems (filters)

More information

Procedeu de demonstrare a unor inegalităţi bazat pe inegalitatea lui Schur

Procedeu de demonstrare a unor inegalităţi bazat pe inegalitatea lui Schur Procedeu de demonstrare a unor inegalităţi bazat pe inegalitatea lui Schur Andi Gabriel BROJBEANU Abstract. A method for establishing certain inequalities is proposed and applied. It is based upon inequalities

More information

COMPARATIVE DISCUSSION ABOUT THE DETERMINING METHODS OF THE STRESSES IN PLANE SLABS

COMPARATIVE DISCUSSION ABOUT THE DETERMINING METHODS OF THE STRESSES IN PLANE SLABS 74 COMPARATIVE DISCUSSION ABOUT THE DETERMINING METHODS OF THE STRESSES IN PLANE SLABS Codrin PRECUPANU 3, Dan PRECUPANU,, Ștefan OPREA Correspondent Member of Technical Sciences Academy Gh. Asachi Technical

More information

MATEMATICĂ 3 PROBLEME DE REFLECŢIE

MATEMATICĂ 3 PROBLEME DE REFLECŢIE Recapitulare din liceu MATEMATIĂ 3 ANALIZĂ OMPLEXĂ PROBLEME DE REFLEŢIE. Scrieţi numerele următoare sub forma a + bi, unde a, b R: a) 3i + i ; b) i + i ;. Reolvaţi în ecuaţiile: ( + i)( i) c) ( + i)(4

More information

Digital Signal Processing Lecture 8 - Filter Design - IIR

Digital Signal Processing Lecture 8 - Filter Design - IIR Digital Signal Processing - Filter Design - IIR Electrical Engineering and Computer Science University of Tennessee, Knoxville October 20, 2015 Overview 1 2 3 4 5 6 Roadmap Discrete-time signals and systems

More information

Reactoare chimice cu curgere piston (ideala) (Plug Flow Reactor PFR) cu amestecare completa (Mixed Flow Reactor MFR) de tip batch (autoclava)

Reactoare chimice cu curgere piston (ideala) (Plug Flow Reactor PFR) cu amestecare completa (Mixed Flow Reactor MFR) de tip batch (autoclava) Reactoare chimice cu curgere piston (ideala) (Plug Flow Reactor PFR) cu amestecare completa (Mied Flow Reactor MFR) de tip batch (autoclava) Reactorul cu curgere ideala Toate particulele se deplaseaza

More information

Subiecte geometrie licenta matematica-informatica 4 ani

Subiecte geometrie licenta matematica-informatica 4 ani Class: Date: Subiecte geometrie licenta matematica-informatica 4 ani Multiple Choice Identify the letter of the choice that best completes the statement or answers the question. 1. Complementara unui subspatiu

More information

Despre AGC cuasigrupuri V. Izbaș

Despre AGC cuasigrupuri V. Izbaș Despre AGC cuasigrupuri V Izbaș 1 Introducere Se ştie că grupurile au apărut în matematică ca grupuri de automorfisme Rolul automorfismelor este remarcabil şi bine cunoscut La studierea diverselor structuri

More information

Sisteme cu logica fuzzy cu mai multe intrari (MISO)

Sisteme cu logica fuzzy cu mai multe intrari (MISO) Sisteme cu logica fuzzy cu mai multe intrari (MISO) Structura unui sistem cu logică fuzzy MISO Structura unui SLF cu 2 intrari Fie un sistem cu logică fuzzy Mamdani două intrări x şi y ieşire z x y SLF

More information

A GENERALIZATION OF A CLASSICAL MONTE CARLO ALGORITHM TO ESTIMATE π

A GENERALIZATION OF A CLASSICAL MONTE CARLO ALGORITHM TO ESTIMATE π U.P.B. Sci. Bull., Series A, Vol. 68, No., 6 A GENERALIZATION OF A CLASSICAL MONTE CARLO ALGORITHM TO ESTIMATE π S.C. ŞTEFĂNESCU Algoritmul Monte Carlo clasic A1 estimeazează valoarea numărului π bazându-se

More information

Habilitation Thesis. Periodic solutions of differential systems: existence, stability and bifurcations

Habilitation Thesis. Periodic solutions of differential systems: existence, stability and bifurcations UNIVERSITATEA BABEŞ BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Habilitation Thesis Mathematics presented by Adriana Buică Periodic solutions of differential systems: existence, stability

More information

Modelling the Steady State Characteristic of ph Neutralization Process: a Neuro-Fuzzy Approach

Modelling the Steady State Characteristic of ph Neutralization Process: a Neuro-Fuzzy Approach BULETINUL Universităţii Petrol Gaze din Ploieşti Vol. LXVII No. 2/2015 79 84 Seria Tehnică Modelling the Steady State Characteristic of ph Neutralization Process: a Neuro-Fuzzy Approach Gabriel Rădulescu

More information

FORMULELE LUI STIRLING, WALLIS, GAUSS ŞI APLICAŢII

FORMULELE LUI STIRLING, WALLIS, GAUSS ŞI APLICAŢII DIDACTICA MATHEMATICA, Vol. 34), pp. 53 67 FORMULELE LUI STIRLING, WALLIS, GAUSS ŞI APLICAŢII Eugenia Duca, Emilia Copaciu şi Dorel I. Duca Abstract. In this paper are presented the Wallis, Stirling, Gauss

More information

Barem de notare clasa a V-a

Barem de notare clasa a V-a Barem de notare clasa a V-a Problema1. Determinați mulțimile A și B, formate din numere naturale, știind că îndeplinesc simultan condițiile: a) A B,5,6 ; b) B A 0,7 ; c) card AB 3; d) suma elementelor

More information

APLICAŢII ALE FORMULELOR LUI NEWTON PENTRU POLINOAME SIMETRICE

APLICAŢII ALE FORMULELOR LUI NEWTON PENTRU POLINOAME SIMETRICE DIDACTICA MATHEMATICA, Vol. 33(2015), pp. 27 37 APLICAŢII ALE FORMULELOR LUI NEWTON PENTRU POLINOAME SIMETRICE Cristina-Aida Coman Abstract. In this paper we present some applications of Newton s formulae

More information

SIMULAREA DECIZIEI FINANCIARE

SIMULAREA DECIZIEI FINANCIARE SIMULAREA DECIZIEI FINANCIARE Conf. univ. dr. Nicolae BÂRSAN-PIPU T5.1 TEMA 5 DISTRIBUŢII DISCRETE T5. Cuprins T5.3 5.1 Variabile aleatoare discrete 5. Distribuţia de probabilitate a unei variabile aleatoare

More information

PROPRIETĂŢI GEOMETRICE ŞI ANALITICE ALE UNOR CLASE DE FUNCŢII UNIVALENTE

PROPRIETĂŢI GEOMETRICE ŞI ANALITICE ALE UNOR CLASE DE FUNCŢII UNIVALENTE UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ GABRIELA ROXANA ŞENDRUŢIU PROPRIETĂŢI GEOMETRICE ŞI ANALITICE ALE UNOR CLASE DE FUNCŢII UNIVALENTE Rezumatul tezei de doctorat

More information

ALGORITMI DE OPTIMIZARE IN INGINERIE ELECTRICA. Sef lucrari ing. Alin-Iulian DOLAN

ALGORITMI DE OPTIMIZARE IN INGINERIE ELECTRICA. Sef lucrari ing. Alin-Iulian DOLAN ALGORITMI DE OPTIMIZARE IN INGINERIE ELECTRICA Sef lucrari ing. Alin-Iulian DOLAN PROBLEME DE OPTIMIZARE OPTIMIZAREA gasirea celei mai bune solutii ale unei probleme, constand in minimizarea (maximizarea)

More information

Teoreme de compresie-extensie de tip Krasnoselskii şi aplicaţii (Rezumatul tezei de doctorat)

Teoreme de compresie-extensie de tip Krasnoselskii şi aplicaţii (Rezumatul tezei de doctorat) Teoreme de compresie-extensie de tip Krasnoselskii şi aplicaţii (Rezumatul tezei de doctorat) Sorin Monel Budişan Coordonator ştiinţi c: Prof. dr. Radu Precup Cuprins Introducere 1 1 Generaliz¼ari ale

More information

GIDD PENTRU CALCULUL CONSUMULUI DE CA.LOURA AL CONSTRUCTIILOR DOTATE CU ' A SISTEME PASIVE DE INCALZIRE SO LARA INDICATIV GP

GIDD PENTRU CALCULUL CONSUMULUI DE CA.LOURA AL CONSTRUCTIILOR DOTATE CU ' A SISTEME PASIVE DE INCALZIRE SO LARA INDICATIV GP , GIDD PENTRU CALCULUL CONSUMULUI DE CA.LOURA AL CONSTRUCTIILOR DOTATE CU ' A SISTEME PASIVE DE INCALZIRE SO LARA INDICATIV GP 017-96 95 Ghid pentru calculul consumului de caldura al cladirilor dotate

More information

Acta Technica Napocensis: Civil Engineering & Architecture Vol. 54 No.1 (2011)

Acta Technica Napocensis: Civil Engineering & Architecture Vol. 54 No.1 (2011) 1 Technical University of Cluj-Napoca, Faculty of Civil Engineering. 15 C Daicoviciu Str., 400020, Cluj-Napoca, Romania Received 25 July 2011; Accepted 1 September 2011 The Generalised Beam Theory (GBT)

More information

Rădăcina pătrată a unei matrici reale de ordinul 2

Rădăcina pătrată a unei matrici reale de ordinul 2 Rădăcina pătrată a unei matrici reale de ordinul Mircea Crasmareanu Mai 19, 017 ( a c Actorii acestei poveşti: matricile A = M b d (R. PROBLEMA STUDIATĂ: Există B M (R aşa încât: B = A? O astfel de matrice

More information

Filter Analysis and Design

Filter Analysis and Design Filter Analysis and Design Butterworth Filters Butterworth filters have a transfer function whose squared magnitude has the form H a ( jω ) 2 = 1 ( ) 2n. 1+ ω / ω c * M. J. Roberts - All Rights Reserved

More information

INEGALITĂŢI DE TIP HARNACK ŞI SOLUŢII POZITIVE MULTIPLE PENTRU PROBLEME NELINIARE

INEGALITĂŢI DE TIP HARNACK ŞI SOLUŢII POZITIVE MULTIPLE PENTRU PROBLEME NELINIARE UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA ŞCOALA DOCTORALĂ DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ INEGALITĂŢI DE TIP HARNACK ŞI SOLUŢII POZITIVE MULTIPLE PENTRU PROBLEME NELINIARE Rezumatul tezei de doctorat Doctorand:

More information

DIGITAL SIGNAL PROCESSING. Chapter 6 IIR Filter Design

DIGITAL SIGNAL PROCESSING. Chapter 6 IIR Filter Design DIGITAL SIGNAL PROCESSING Chapter 6 IIR Filter Design OER Digital Signal Processing by Dr. Norizam Sulaiman work is under licensed Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivatives 4.0 International

More information

Mugur Acu OPERATORUL INTEGRAL LIBERA-PASCU ŞI PROPRIETĂŢILE ACESTUIA CU PRIVIRE LA FUNCŢIILE UNIFORM STELATE, CONVEXE, APROAPE CONVEXE ŞI

Mugur Acu OPERATORUL INTEGRAL LIBERA-PASCU ŞI PROPRIETĂŢILE ACESTUIA CU PRIVIRE LA FUNCŢIILE UNIFORM STELATE, CONVEXE, APROAPE CONVEXE ŞI Mugur Acu OPERATORUL INTEGRAL LIBERA-PASCU ŞI PROPRIETĂŢILE ACESTUIA CU PRIVIRE LA FUNCŢIILE UNIFORM STELATE, CONVEXE, APROAPE CONVEXE ŞI α-uniform CONVEXE Editura Universităţii Lucian Blaga din Sibiu

More information

TWO BOUNDARY ELEMENT APPROACHES FOR THE COMPRESSIBLE FLUID FLOW AROUND A NON-LIFTING BODY

TWO BOUNDARY ELEMENT APPROACHES FOR THE COMPRESSIBLE FLUID FLOW AROUND A NON-LIFTING BODY U.P.B. Sci. Bull., Series A, Vol. 7, Iss., 9 ISSN 3-77 TWO BOUNDARY ELEMENT APPROACHES FOR THE COMPRESSIBLE FLUID FLOW AROUND A NON-LIFTING BODY Luminiţa GRECU, Gabriela DEMIAN, Mihai DEMIAN 3 În lucrare

More information

Utilizarea claselor de echivalenta in analiza asistata de calculator a sistemelor cu evenimente discrete

Utilizarea claselor de echivalenta in analiza asistata de calculator a sistemelor cu evenimente discrete 72 Utilizarea claselor de echivalenta in analiza asistata de calculator a sistemelor cu evenimente discrete Conf.dr. Alexandru TERTISCO, ing. Alexandru BOICEA Facultatea de Automatica si Calculatoare,

More information

Design of IIR filters

Design of IIR filters Design of IIR filters Standard methods of design of digital infinite impulse response (IIR) filters usually consist of three steps, namely: 1 design of a continuous-time (CT) prototype low-pass filter;

More information

Utilizarea limbajului SQL pentru cereri OLAP. Mihaela Muntean 2015

Utilizarea limbajului SQL pentru cereri OLAP. Mihaela Muntean 2015 Utilizarea limbajului SQL pentru cereri OLAP Mihaela Muntean 2015 Cuprins Implementarea operatiilor OLAP de baza in SQL -traditional: Rollup Slice Dice Pivotare SQL-2008 Optiunea ROLLUP Optiunea CUBE,

More information

Cercet¼ari operaţionale

Cercet¼ari operaţionale Cercet¼ari operaţionale B¼arb¼acioru Iuliana Carmen CURSUL 9 Cursul 9 Cuprins Programare liniar¼a 5.1 Modelul matematic al unei probleme de programare liniar¼a.................... 5. Forme de prezentare

More information

Teoreme de Analiză Matematică - I (teorema Weierstrass-Bolzano) 1

Teoreme de Analiză Matematică - I (teorema Weierstrass-Bolzano) 1 Educaţia Matematică Vol. 3, Nr. 1-2 (2007), 79-84 Teoreme de Analiză Matematică - I (teorema Weierstrass-Bolzano) 1 Silviu Crăciunaş, Petrică Dicu, Mioara Boncuţ Abstract In this paper we propose a Weierstrass

More information

Legi de distribuţie (principalele distribuţii de probabilitate) Tudor Drugan

Legi de distribuţie (principalele distribuţii de probabilitate) Tudor Drugan Legi de distribuţie (principalele distribuţii de probabilitate) Tudor Drugan Introducere In general distribuţiile variabilelor aleatoare definite pe o populaţie, care face obiectul unui studiu, nu se cunosc.

More information

Universitatea Politehnica Bucureşti Facultatea de Automatică şi Calculatoare Departamentul de Automatică şi Ingineria Sistemelor

Universitatea Politehnica Bucureşti Facultatea de Automatică şi Calculatoare Departamentul de Automatică şi Ingineria Sistemelor Universitatea Politehnica Bucureşti Facultatea de Automatică şi Calculatoare Departamentul de Automatică şi Ingineria Sistemelor TEZĂ DE ABILITARE Metode de Descreştere pe Coordonate pentru Optimizare

More information

METODE DE PROIECTARE A REGULATOARELOR FUZZY CU DINAMICĂ DESTINATE REGLĂRII TENSIUNII GENERATOARELOR SINCRONE

METODE DE PROIECTARE A REGULATOARELOR FUZZY CU DINAMICĂ DESTINATE REGLĂRII TENSIUNII GENERATOARELOR SINCRONE METODE DE PROIECTARE A REGULATOARELOR FUZZY CU DINAMICĂ DESTINATE REGLĂRII TENSIUNII GENERATOARELOR SINCRONE DESIGN METHODS FOR FUZZY CONTROLLERS WITH DYNAMICS FOR SYNCHRONOUS GENERATORS VOLTAGE CONTROL

More information

Dynamic Response of Beams on Elastic Foundation with Axial Load

Dynamic Response of Beams on Elastic Foundation with Axial Load Acta Technica Napocensis: Civil Engineering & Architecture Vol. 56, No. 1, (2013) Journal homepage: http://constructii.utcluj.ro/actacivileng Dynamic Response of Beams on Elastic Foundation with Axial

More information

ELECTRONIC TECHNIQUES IN TIMING MEASUREMENTS FOR NUCLEAR STRUCTURE

ELECTRONIC TECHNIQUES IN TIMING MEASUREMENTS FOR NUCLEAR STRUCTURE U.P.B. Sci. Bull., Series A, Vol. 70, Iss. 4, 2008 ISSN 1223-7027 ELECTRONIC TECHNIQUES IN TIMING MEASUREMENTS FOR NUCLEAR STRUCTURE Dan Gabriel GHIŢĂ 1 Prezenta lucrare descrie în detaliu două metode

More information

METODE NUMERICE: Laborator #4 Eliminare gaussiană cu pivotare totală şi scalare. Algoritmul Thomas pentru rezolvarea sistemului 3-diagonal

METODE NUMERICE: Laborator #4 Eliminare gaussiană cu pivotare totală şi scalare. Algoritmul Thomas pentru rezolvarea sistemului 3-diagonal METODE NUMERICE: Laborator #4 Eliminare gaussiană cu pivotare totală şi scalare. Algoritmul Thomas pentru rezolvarea sistemului 3-diagonal Titulari curs: Florin Pop, George-Pantelimon Popescu Responsabil

More information

Inteligenta Artificiala

Inteligenta Artificiala Inteligenta Artificiala Universitatea Politehnica Bucuresti Anul universitar 2010-2011 Adina Magda Florea http://turing.cs.pub.ro/ia_10 si curs.cs.pub.ro 1 Curs nr. 4 Cautare cu actiuni nedeterministe

More information

Discrete Time Systems

Discrete Time Systems Discrete Time Systems Valentina Hubeika, Jan Černocký DCGM FIT BUT Brno, {ihubeika,cernocky}@fit.vutbr.cz 1 LTI systems In this course, we work only with linear and time-invariant systems. We talked about

More information

Controlul predictiv bazat pe modele intare-stare-iesire. Cuprins. 2. Modele intrare-stare-iesire :01

Controlul predictiv bazat pe modele intare-stare-iesire. Cuprins. 2. Modele intrare-stare-iesire :01 Modelare si control predictiv - proiect - Controlul predictiv bazat pe modele intrare-stare-iesire Asist. ing. Constantin Florin Caruntu 23:01 Cuprins Controlul predictiv bazat pe modele intare-stare-iesire

More information

Pentru clasa a X-a Ştiinţele naturii-sem II

Pentru clasa a X-a Ştiinţele naturii-sem II Pentru clasa a X-a Ştiinţele naturii-sem II Reprezentarea algoritmilor. Pseudocod. Principiile programării structurate. Structuri de bază: structura liniară structura alternativă structura repetitivă Algoritmi

More information

ECE 410 DIGITAL SIGNAL PROCESSING D. Munson University of Illinois Chapter 12

ECE 410 DIGITAL SIGNAL PROCESSING D. Munson University of Illinois Chapter 12 . ECE 40 DIGITAL SIGNAL PROCESSING D. Munson University of Illinois Chapter IIR Filter Design ) Based on Analog Prototype a) Impulse invariant design b) Bilinear transformation ( ) ~ widely used ) Computer-Aided

More information

SOI prin smart-cut. Caracterizarea TEM-HRTEM a defectelor structuale induse in Si prin hidrogenare in plasma.

SOI prin smart-cut. Caracterizarea TEM-HRTEM a defectelor structuale induse in Si prin hidrogenare in plasma. SOI prin smart-cut. Caracterizarea TEM-HRTEM a defectelor structuale induse in Si prin hidrogenare in plasma. Dr. Corneliu GHICA, Dr. Leona NISTOR Proiect IDEI, Contract Nr. 233/2007 1. C. Ghica, L. C.

More information

EE482: Digital Signal Processing Applications

EE482: Digital Signal Processing Applications Professor Brendan Morris, SEB 3216, brendan.morris@unlv.edu EE482: Digital Signal Processing Applications Spring 2014 TTh 14:30-15:45 CBC C222 Lecture 05 IIR Design 14/03/04 http://www.ee.unlv.edu/~b1morris/ee482/

More information

UNIT - III PART A. 2. Mention any two techniques for digitizing the transfer function of an analog filter?

UNIT - III PART A. 2. Mention any two techniques for digitizing the transfer function of an analog filter? UNIT - III PART A. Mention the important features of the IIR filters? i) The physically realizable IIR filters does not have linear phase. ii) The IIR filter specification includes the desired characteristics

More information

Câteva rezultate de algebră comutativă

Câteva rezultate de algebră comutativă Facultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Câteva rezultate de algebră comutativă Aceste note conţin noţiuni şi rezultate de algebră comutativă care sunt utilizate pe parcursul cursului.

More information

Chapter 7: Filter Design 7.1 Practical Filter Terminology

Chapter 7: Filter Design 7.1 Practical Filter Terminology hapter 7: Filter Design 7. Practical Filter Terminology Analog and digital filters and their designs constitute one of the major emphasis areas in signal processing and communication systems. This is due

More information

butter butter Purpose Syntax Description Digital Domain Analog Domain

butter butter Purpose Syntax Description Digital Domain Analog Domain butter butter 7butter Butterworth analog and digital filter design [b,a] = butter(n,wn) [b,a] = butter(n,wn,'ftype') [b,a] = butter(n,wn,'s') [b,a] = butter(n,wn,'ftype','s') [z,p,k] = butter(...) [A,B,C,D]

More information

Lecture 16: Filter Design: Impulse Invariance and Bilinear Transform

Lecture 16: Filter Design: Impulse Invariance and Bilinear Transform EE58 Digital Signal Processing University of Washington Autumn 2 Dept. of Electrical Engineering Lecture 6: Filter Design: Impulse Invariance and Bilinear Transform Nov 26, 2 Prof: J. Bilmes

More information

EE 354 Fall 2013 Lecture 10 The Sampling Process and Evaluation of Difference Equations

EE 354 Fall 2013 Lecture 10 The Sampling Process and Evaluation of Difference Equations EE 354 Fall 203 Lecture 0 The Sampling Process and Evaluation of Difference Equations Digital Signal Processing (DSP) is centered around the idea that you can convert an analog signal to a digital signal

More information

ELEG 305: Digital Signal Processing

ELEG 305: Digital Signal Processing ELEG 305: Digital Signal Processing Lecture : Design of Digital IIR Filters (Part I) Kenneth E. Barner Department of Electrical and Computer Engineering University of Delaware Fall 008 K. E. Barner (Univ.

More information

INFINITE-IMPULSE RESPONSE DIGITAL FILTERS Classical analog filters and their conversion to digital filters 4. THE BUTTERWORTH ANALOG FILTER

INFINITE-IMPULSE RESPONSE DIGITAL FILTERS Classical analog filters and their conversion to digital filters 4. THE BUTTERWORTH ANALOG FILTER INFINITE-IMPULSE RESPONSE DIGITAL FILTERS Classical analog filters and their conversion to digital filters. INTRODUCTION 2. IIR FILTER DESIGN 3. ANALOG FILTERS 4. THE BUTTERWORTH ANALOG FILTER 5. THE CHEBYSHEV-I

More information

Digital Control & Digital Filters. Lectures 21 & 22

Digital Control & Digital Filters. Lectures 21 & 22 Digital Controls & Digital Filters Lectures 2 & 22, Professor Department of Electrical and Computer Engineering Colorado State University Spring 205 Review of Analog Filters-Cont. Types of Analog Filters:

More information

PROBLEME DIVERSE lecţie susţinută la lotul de 13 de Andrei ECKSTEIN Bucureşti, 25 mai 2015

PROBLEME DIVERSE lecţie susţinută la lotul de 13 de Andrei ECKSTEIN Bucureşti, 25 mai 2015 PROBLEME DIVERSE lecţie susţinută la lotul de 13 de Andrei ECKSTEIN Bucureşti, 5 mai 015 I. SUBSTITUŢIA TAIWANEZĂ 1. Fie a, b, c > 0 astfel încât a bc, b ca şi c ab. Determinaţi valoarea maximă a expresiei

More information

FINDING THE TRACES OF A GIVEN PLANE: ANALYTICALLY AND THROUGH GRAPHICAL CONSTRUCTIONS

FINDING THE TRACES OF A GIVEN PLANE: ANALYTICALLY AND THROUGH GRAPHICAL CONSTRUCTIONS BULETINUL INSTITUTULUI POLITEHNI DIN IŞI Publicat de Universitatea Tehnică Gheorghe sachi din Iaşi Tomul LVII (LXI), Fasc. 3, 20 Secţia ONSTRUŢII DE MŞINI FINDING THE TRES OF GIVEN PLNE: NLYTILLY ND THROUGH

More information

Digital Signal Processing

Digital Signal Processing COMP ENG 4TL4: Digital Signal Processing Notes for Lecture #24 Tuesday, November 4, 2003 6.8 IIR Filter Design Properties of IIR Filters: IIR filters may be unstable Causal IIR filters with rational system

More information

EE Experiment 11 The Laplace Transform and Control System Characteristics

EE Experiment 11 The Laplace Transform and Control System Characteristics EE216:11 1 EE 216 - Experiment 11 The Laplace Transform and Control System Characteristics Objectives: To illustrate computer usage in determining inverse Laplace transforms. Also to determine useful signal

More information

2. Finite Impulse Response Filters (FIR)

2. Finite Impulse Response Filters (FIR) .. Mthos for FIR filtrs implmntation. Finit Impuls Rspons Filtrs (FIR. Th winow mtho.. Frquncy charactristic uniform sampling. 3. Maximum rror minimizing. 4. Last-squars rror minimizing.. Mthos for FIR

More information

PS403 - Digital Signal processing

PS403 - Digital Signal processing PS403 - Digital Signal processing 6. DSP - Recursive (IIR) Digital Filters Key Text: Digital Signal Processing with Computer Applications (2 nd Ed.) Paul A Lynn and Wolfgang Fuerst, (Publisher: John Wiley

More information

QUASI-ANALYTIC SOLUTIONS OF FIRST-ORDER PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS USING THE ACCURATE ELEMENT METHOD

QUASI-ANALYTIC SOLUTIONS OF FIRST-ORDER PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS USING THE ACCURATE ELEMENT METHOD U.P.B. Sci. Bull., Series A, Vol. 7, Iss., 010 ISSN 13-707 QUASI-ANALYTIC SOLUTIONS OF FIRST-ORDER PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS USING THE ACCURATE ELEMENT METHOD Maty BLUMENFELD 1 O ecuaţie diferenţială

More information

REZUMATUL TEZEI DE DOCTORAT

REZUMATUL TEZEI DE DOCTORAT UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CERCETĂRI DE TEORIE MORSE DISCRETĂ ŞI APLICAŢII REZUMATUL TEZEI DE DOCTORAT Conducător ştiinţific: Prof. univ. dr. DORIN ANDRICA Doctorand:

More information

Design IIR Butterworth Filters Using 12 Lines of Code

Design IIR Butterworth Filters Using 12 Lines of Code db Design IIR Butterworth Filters Using 12 Lines of Code While there are plenty of canned functions to design Butterworth IIR filters [1], it s instructive and not that complicated to design them from

More information

Programarea Dinamica. (si alte chestii adiacente) Andrei Olariu

Programarea Dinamica. (si alte chestii adiacente) Andrei Olariu Programarea Dinamica (si alte chestii adiacente) Andrei Olariu andrei@olariu.org Despre mine - Absolvent FMI UniBuc - Doctorand in prelucrarea limbajului natural, in special in mediul online (Twitter)

More information

INCLUZIUNI OPERATORIALE PRIN TEHNICA PUNCTULUI FIX ÎN SPAŢII METRICE VECTORIALE

INCLUZIUNI OPERATORIALE PRIN TEHNICA PUNCTULUI FIX ÎN SPAŢII METRICE VECTORIALE UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ INCLUZIUNI OPERATORIALE PRIN TEHNICA PUNCTULUI FIX ÎN SPAŢII METRICE VECTORIALE REZUMATUL TEZEI DE DOCTORAT Coordonator ştiinţific

More information

Rezultate în Teoria Punctului Fix şi Procese Iterative cu Aplicaţii

Rezultate în Teoria Punctului Fix şi Procese Iterative cu Aplicaţii Rezultate în Teoria Punctului Fix şi Procese Iterative cu Aplicaţii Asist. drd. Adrian Sorinel Ghiura Departamentul de Matematică & Informatică Universitatea Politehnica din Bucureşti REZUMATUL TEZEI DE

More information

Definiţie. Pr(X a) - probabilitatea ca X să ia valoarea a ; Pr(a X b) - probabilitatea ca X să ia o valoare în intervalul a,b.

Definiţie. Pr(X a) - probabilitatea ca X să ia valoarea a ; Pr(a X b) - probabilitatea ca X să ia o valoare în intervalul a,b. Variabile aleatoare Definiţie Se numeşte variabilă aleatoare pe un spaţiu fundamental E şi se notează prin X, o funcţie definită pe E cu valori în mulţimea numerelor reale. Unei variabile aleatoare X i

More information

ATTENUATION OF THE ACOUSTIC SCREENS IN CLOSED SPACES

ATTENUATION OF THE ACOUSTIC SCREENS IN CLOSED SPACES U.P.B. Sci. Bull., Series D, Vol. 69, No. 3, 007 ISSN 15-358 ATTENUATION OF THE ACOUSTIC SCREENS IN CLOSED SPACES Ioan MAGHEŢI 1, Mariana SAVU Lucrarea prezintă calculul atenuării acustice a unui ecran

More information

Ordin. pentru aprobarea structurii informaţiilor înscrise pe cardul naţional de asigurări sociale de sănătate

Ordin. pentru aprobarea structurii informaţiilor înscrise pe cardul naţional de asigurări sociale de sănătate CASA NATIONALA DE ASIGURARI DE SANATATE Ordin pentru aprobarea structurii informaţiilor înscrise pe cardul naţional de asigurări sociale de sănătate Având în vedere: Act publicat in Monitorul Oficial al

More information

BOOST CIRCUIT CONTROL IN TRANSIENT CONDITIONS

BOOST CIRCUIT CONTROL IN TRANSIENT CONDITIONS U.P.B. Sci. Bull., Series C, Vol. 68, No. 4, 2006 BOOST CIRCUIT CONTROL IN TRANSIENT CONDITIONS D. OLARU * Lucrarea îşi propune să abordeze câteva aspecte legate de modelarea şi comanda circuitului boost.

More information

Agricultural Engineering

Agricultural Engineering THE DETERMINATION OF QUALITY CHARACTERISTICS FOR THE WORKING PROCESS OF INDENTED CYLINDER SEPARATORS AS FUNCTIONS OF PROCESS PARAMETERS OF THESE EQUIPMENTS / DETERMINAREA CARACTERISTICILOR CALITATIVE ALE

More information

FINITE ELEMENT ANALYSIS OF FRICTIONAL CONTACTS

FINITE ELEMENT ANALYSIS OF FRICTIONAL CONTACTS BULETINUL INSTITUTULUI POLITEHNIC DIN IAŞI Publicat de Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi Tomul LIV (LVIII), Fasc. 3, 2011 Secţia CONSTRUCŢII. ARHITECTURĂ FINITE ELEMENT ANALYSIS OF FRICTIONAL

More information

IIR digital filter design for low pass filter based on impulse invariance and bilinear transformation methods using butterworth analog filter

IIR digital filter design for low pass filter based on impulse invariance and bilinear transformation methods using butterworth analog filter IIR digital filter design for low pass filter based on impulse invariance and bilinear transformation methods using butterworth analog filter Nasser M. Abbasi May 5, 0 compiled on hursday January, 07 at

More information

COMPARATIVE STUDY OF STRUCTURAL ANALYSIS APPLIED TO AGRICULTURAL MACHINES BODIES AND ACCOMPLISHED WITH SOLID WORKS AND AUTODESK INVENTOR PROGRAMS

COMPARATIVE STUDY OF STRUCTURAL ANALYSIS APPLIED TO AGRICULTURAL MACHINES BODIES AND ACCOMPLISHED WITH SOLID WORKS AND AUTODESK INVENTOR PROGRAMS COMPARATIVE STUDY OF STRUCTURAL ANALYSIS APPLIED TO AGRICULTURAL MACHINES BODIES AND ACCOMPLISHED WITH SOLID WORKS AND AUTODESK INVENTOR PROGRAMS / STUDIU COMPARATIV DE ANALIZA STRUCTURALA APLICATA LA

More information

TEOREME DE PUNCT FIX PENTRU OPERATORI CE NU INVARIAZĂ DOMENIUL DE DEFINIŢIE ŞI

TEOREME DE PUNCT FIX PENTRU OPERATORI CE NU INVARIAZĂ DOMENIUL DE DEFINIŢIE ŞI Universitatea Babeş-Bolyai, Cluj-Napoca Facultatea de Matematică şi Informatică Tania Angelica Lazăr TEOREME DE PUNCT FIX PENTRU OPERATORI CE NU INVARIAZĂ DOMENIUL DE DEFINIŢIE ŞI APLICAŢII Coordonator

More information

Laborator 4. Rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale în Matlab

Laborator 4. Rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale în Matlab Laborator 4. Rezolvarea ecuaţiilor difereţiale î Matlab Bibliografie. G. Aastassiou, I. Iata, Itelliget Routies: Solvig Mathematical Aalsis with Matlab, Mathcad, Mathematica ad Maple, Spriger, 03.. I.

More information

Probleme actuale în studiul funcţiei zeta Igusa

Probleme actuale în studiul funcţiei zeta Igusa Probleme actuale în studiul funcţiei zeta Igusa Denis Ibadula 1 1 This paper is supported by the Sectorial Operational Programme Human Resources Development (SOP HRD), financed from the European Social

More information

Graduări pe algebre de matrice

Graduări pe algebre de matrice UNIVERSITATEA DIN BUCUREŞTI FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ ŞCOALA DOCTORALĂ DE MATEMATICĂ Graduări pe algebre de matrice TEZĂ DE DOCTORAT REZUMAT Coordonator ştiinţific: Prof.univ.dr. Sorin Dăscălescu

More information

STUDIU PRIVIND VARIABILITATEA PROPRIETĂŢILOR CHIMICE ALE SOLULUI ÎN ROMÂNIA STUDY ON VARIABILITY OF SOIL CHEMICAL PROPERTIES IN ROMANIA

STUDIU PRIVIND VARIABILITATEA PROPRIETĂŢILOR CHIMICE ALE SOLULUI ÎN ROMÂNIA STUDY ON VARIABILITY OF SOIL CHEMICAL PROPERTIES IN ROMANIA Revista Română de Materiale / Romanian Journal of Materials 2014, 44 (4), 375 381 375 STUDIU PRIVIND VARIABILITATEA PROPRIETĂŢILOR CHIMICE ALE SOLULUI ÎN ROMÂNIA STUDY ON VARIABILITY OF SOIL CHEMICAL PROPERTIES

More information

Chapter 7: IIR Filter Design Techniques

Chapter 7: IIR Filter Design Techniques IUST-EE Chapter 7: IIR Filter Design Techniques Contents Performance Specifications Pole-Zero Placement Method Impulse Invariant Method Bilinear Transformation Classical Analog Filters DSP-Shokouhi Advantages

More information

STRUCTURAL INTENSITY METHOD APPLIED TO STUDY OF VIBRATIONS DAMPING / METODA INTENSIMETRIEI STUCTURALE APLICATĂ LA STUDIUL AMORTIZĂRII VIBRAŢIILOR

STRUCTURAL INTENSITY METHOD APPLIED TO STUDY OF VIBRATIONS DAMPING / METODA INTENSIMETRIEI STUCTURALE APLICATĂ LA STUDIUL AMORTIZĂRII VIBRAŢIILOR Vol.48, No. / 06 STRUCTURAL INTENSITY METHOD APPLIED TO STUDY OF VIBRATIONS DAMPING / METODA INTENSIMETRIEI STUCTURALE APLICATĂ LA STUDIUL AMORTIZĂRII VIBRAŢIILOR Assoc. Prof. Ph.D. Eng. Carp-Ciocârdia

More information

SYNCHRONIZATION AND CONTROL IN THE DYNAMICS OF DOUBLE LAYER CHARGE STRUCTURES. AUTONOMOUS STOCHASTIC RESONANCE

SYNCHRONIZATION AND CONTROL IN THE DYNAMICS OF DOUBLE LAYER CHARGE STRUCTURES. AUTONOMOUS STOCHASTIC RESONANCE U.P.B. Sci. Bull., Series A, Vol. 69, No. 3,2007 ISSN 1454-2331 SYNCHRONIZATION AND CONTROL IN THE DYNAMICS OF DOUBLE LAYER CHARGE STRUCTURES. AUTONOMOUS STOCHASTIC RESONANCE Cristina STAN 1, Constantin

More information

DIGITAL SIGNAL PROCESSING UNIT III INFINITE IMPULSE RESPONSE DIGITAL FILTERS. 3.6 Design of Digital Filter using Digital to Digital

DIGITAL SIGNAL PROCESSING UNIT III INFINITE IMPULSE RESPONSE DIGITAL FILTERS. 3.6 Design of Digital Filter using Digital to Digital DIGITAL SIGNAL PROCESSING UNIT III INFINITE IMPULSE RESPONSE DIGITAL FILTERS Contents: 3.1 Introduction IIR Filters 3.2 Transformation Function Derivation 3.3 Review of Analog IIR Filters 3.3.1 Butterworth

More information

ON THE ASYMPTOTIC BEHAVIOR OF DYNAMICAL SYSTEMS AND APPLICATIONS

ON THE ASYMPTOTIC BEHAVIOR OF DYNAMICAL SYSTEMS AND APPLICATIONS WEST UNIVERSITY OF TIMIŞOARA FACULTY OF MATHEMATICS AND COMPUTER SCIENCE ON THE ASYMPTOTIC BEHAVIOR OF DYNAMICAL SYSTEMS AND APPLICATIONS Habilitation Thesis Author: BOGDAN SASU Timişoara, 2013 Table of

More information

4/68. Mini-comutatoare cu came. Prezentare generalã a sistemului. Întreruptoare Pornit-Oprit TM. Comutatoare de comandã TM.

4/68. Mini-comutatoare cu came. Prezentare generalã a sistemului. Întreruptoare Pornit-Oprit TM. Comutatoare de comandã TM. / Mini-comutatoare cu came Prezentare generalã a sistemului Întreruptoare Pornit-Oprit Comutatoare de comandã HA ND AU TO HPL-de-DE O Mini-comutatoare cu came / Montaj pe ușã (.../E) Frontal IP Montaj

More information