SEMINARSKI RAD iz Verovatnoće i Statistike Izračunavanje približne vrednosti broja π
|
|
- Erik Scott
- 5 years ago
- Views:
Transcription
1 SEMINARSKI RAD iz Verovatnoće i Statistike Izračunavanje približne vrednosti broja π Aleksandar Nedeljković 36/2009 Matematički fakultet Univerzitet u Beogradu January 18,
2 SADRŽAJ 2 Sadržaj 1 Uvod Istorija Monte Karlo metode Aproksimacija π odabirom tačaka unutar kruga koji je upisan u kvadrat Postavka problema Statistička homogenost Realizacija algoritma Kod programa Rezultati testiranja programa Aproksimacija π odabirom tačaka unutar lopte koja je upisana u kocku Postavka problema Kod programa Rezultati testiranja programa Aproksimacija π zasnovana na problemu Bufonove igle Postavka problema Modelovanje problema Opis programa Kod programa Rezultati testiranja programa Poredjenje brzine konvergencije u sva 3 slučaja 25 6 Zaključak 26 7 Literatura 27 2
3 3 1 Uvod Monte Karlo metoda je često korišćena numerička metoda za rešavanje raznorodnih problema upotrebom računarskih mogućnosti. Primenjuje se na probleme koji se mogu svesti na aproksimiranje integrala. U osnovi Monte Karlo metode analize je jednostavan princip aproksimacije, ali može biti računarski zahtevan za izračunavanje. Nije teško napisati računarski program koji će koristiti Monte Karlo metodu analize, nego je problem što se mnogi tako napisani programi mogu izvršavati danima. Medjutim, postoje načini da se ubrza Monte Karlo metoda analize. U tim slučajevima koriste se različite tehnike smanjivanja varijance. Takve tehnike nisu intuitivne i zahtevaju detaljnije razumevanje. 3
4 1.1 Istorija Monte Karlo metode Istorija Monte Karlo metode Zasluge za osmišljavanje Monte Karlo metode pripisuju se Stanislavu Ulamu, poljskom matematičaru koji je tokom Drugog svetskog rata radio u Sjedinjenim Američkim Državama s Johnom von Neumannom na Manhattan projektu. Ulam je prvenstveno poznat po dizajniranju hidrogenske bombe zajedno s Edwardom Tellerom godine. Osmislio je Monte Karlo metodu godine, dok se oporavljao od bolesti igrajući solitaire - popularnu igra karata. Ulam je pokušavao odgonetnuti pitanje: Kolike su šanse da se 52 karte podele tako da je igru moguće završiti? Nakon mnogo vremena potrošenog na propitivanja kombinatoričkih rešenja, počeo se pitati postoji li praktičnije rješenje tog problema. Uočio je da bi bilo mnogo jednostavnije naprosto podeliti karte stotinu puta i pobrojati koliko je bilo uspešnih ishoda. Taj postupak čoveku bi oduzeo puno vremena, ali računar bi do rezultata došao relativno brzo. Zahvaljujući razvoju sve bržih računara, moglo se predvideti da će slični takvi, samo mnogo komplikovaniji proračuni postati izvodljivi u prihvatljivom vremenu. Ulam je odmah uočio i druge probleme na koje je mogao primeniti istu metodu izračunavanja (npr. problem neutronske difuzije i drugi problemi matematičke fizike). Kasnije je opisao ideju svom kolegi John von Neumannu i počeli su planirati stvarne proračune na toj ideji. Monte Karlo metoda, kako se danas shvata, podrazumijeva bilo koju tehniku statističkog uzorkovanja primenjenu za aproksimiranje rešenja. Ulam nije smislio statističko uzorkovanje koje je postojalo još i pre njegove ideje. Bacanje novčića i izvlačenje karata bili su do tada najčešći načini za stvaranje slučajnih uzoraka. Ulamov je doprinos što je prepoznao potencijal novoizmišljenih elektroničkih računara za automatizovano stvaranje statističkih uzoraka. Radeći sa Johnom von Neumannom i Nicolasom Metropolisom, smislio je algoritme za programsku implementaciju, te je pronašao način da se problemi koji nemaju karakter slučajnih odabira pretvore u oblik pogodan za statističko uzorkovanje. Tako je statističko uzorkovanje prestalo biti samo matematička radoznalost i postalo je formalna metodologija primjenjiva na velik broj problema. Metropolis je imenovao novu metodologiju prema lancu kasina Monte Karlo. Ulam i Metropolis objavili su prvi članak o Monte Karlo metodi godine. 4
5 5 2 Aproksimacija π odabirom tačaka unutar kruga koji je upisan u kvadrat 2.1 Postavka problema Neophodno je odrediti verovatnoću da slučajno izabrana tačka iz kvadrata bude u krugu upisanom u kvadrat. P (Ω) = (a 2 )2 π a 2 = π 4 Kada se izvede n eksperimenata, posmatrani dogadjaj će se ostvariti k puta, gde je k broj imedju 0 i n. Količnik k/n se naziva relativna frekvencija posmatranog dogadjaja. U našem slučaju k n π Statistička homogenost Kad se povećava broj izvedenih eksperimenata, vrednosti relativne frekvencije će se menjati, ali ta promena nije predvidljiva (jer onda ni ishodi ne bi bili slučajni). Pa ipak zapaža se izvesna pravilnost u koju se svako može uveriti sprovodjenjem jednostavnog eksperimenta - bacanjem numerisane kockice za igru i beleženjem pojavljivanja odredjenog broja. Ta pravilnost se ogleda u sve manjoj razlici izmedju frekvencije i stvarne (teorijske) verovatnoce, računate pod predpostavkom da je kockica fer. Ta specifična konvergencija ka verovatnoći dogadjaja naziva se statistička homogenost. Ako se pak stvarna verovatnoća ne zna, ili je složena za izračunavanje, onda se za dovoljno veliko n nepoznata verovatnoća aproksimira relativnom frekvencijom k/n. 5
6 2.3 Realizacija algoritma Realizacija algoritma Kako je ovde u pitanju aproksimacija, logično je da će više bacanja davati bolje rezultate, i poništiti negativan efekat kompjuterski generisanih random brojeva koji nisu zaista nasumični, već pseudo-nasumični. Računanje broja π na ovaj način se zasniva na tome da je podjednaka verovatnoća izbora bilo koje tačke u okviru kvadrata, pa ćemo mi pretpostaviti da nam naš program daje tačke sa uniformnom raspodelom. Iako radimo samo sa celobrojnim koordinatama, pa zapravo ne analiziramo kompletnu površinu kvadrata, zbog velikih vrednost brojeva rezultati bi trebalo da budu dovoljno precizni. Realizacija algoritma, sa druge strane, je veoma jednostavna. U svakoj iteraciji generišemo dve nasumične vrednosti koje nam predstavljaju X i Y koordinatu tačke, i njih koristimo da bismo izračunali da li ona pripada krugu ili ne. U svom kodu sam radio sa velikim nenegativnim brojevima da bih izbegao korišćenje manje preciznih realnih brojeva, odnosno ostavio ga za sam kraj. Kvadrat je postavljen u donji levi ćošak prvog kvadranta koordinatnog sistema, odnosno obuhvata tačke od (0, 0) do (a, a). Formula na kraju algoritma je dobijena preko odnosa površina kruga i kvadrata. ukupanbrojt acaka brojt acakaukrugu 4 π π 4 brojt acakaukrugu ukupanbrojt acaka Pošto koristimo random generator, a želimo što veću preciznost, ograničio sam stranicu kvadrata na najveći broj koji možemo dobiti od random generatora, što je u mom slučaju bilo , odnosno nešto preko dve milijarde. Takodje, da bi se centar kruga nalazio na celobrojnim koordinatama, stranicu kvadrata sam smanjivao na paran broj ukoliko je konstanta RAND MAX neparna, što bi uglavnom i trebalo da bude slučaj. Program se može pronaći na mojoj internet strani: mi09036/vis.html 6
7 2.4 Kod programa Kod programa 1 #i n c l u d e <s t d i o. h> 2 #i n c l u d e < s t d l i b. h> 3 #i n c l u d e <time. h> 4 i n t main ( ) 5 { 6 unsigned long long a = RAND_MAX ; // Duzina s t r a n i c e k v a d r a t a 7 8 if ( RAND_MAX & 1) // U k o l i k o j e A neparno smanjujemo ga 9 a ; // za 1 da b i c e n t a r kruga b i l a c e l o b r o j n a v r e d n o s t // P o l u p r e c n i k kruga 12 unsigned long long r = a / 2 ; // B r o j a c t a c a k a u krugu 15 unsigned long long pogodaka = 0 ; // B r o j i t e r a c i j a a l g o r i t m a, t j. ukupan b r o j t a c a k a 18 unsigned long long n ; // Seed za random g e n e r a t o r 21 srand ( time ( 0 ) ) ; // Ucitavamo b r o j i t e r a c i j a 24 printf ( U n e t i b r o j i t e r a c i j a : ) ; 25 scanf ( %l l d, &n ) ; // I z v r s a v a m o a l g o r i t a m 28 unsigned long long x, y ; 29 unsigned long long rr = r r ; unsigned long long i ; 32 for ( i = 1 ; i <= n ; i++) 33 { 34 x = rand ( ) ; 35 y = rand ( ) ; 36 if ( x > a y > a ) // Da ne b i d o b i j a l i t a c k e van k v a d r a t a 37 { 38 i ; // Ponavljamo i t e r a c i j u 39 continue ; 40 } 41 if ( ( x r ) ( x r ) + ( y r ) ( y r ) <= rr ) // J e d n a c i n a kruga 42 pogodaka++; 43 } 44 d o u b l e pi = 4 ( d o u b l e ) pogodaka / n ; 45 printf ( A p r o k s i m a c i j a b r o j a Pi : %l f \n, pi ) ; // I s p i s u j e m o d o b i j e n u v r e d n o s t 46 r e t u r n 0 ; 47 } 7
8 2.5 Rezultati testiranja programa Rezultati testiranja programa Broj iteracija Vreme izračunavanja Aproksimacija π Greška <1 sek 3, <1 sek 3, <1 sek 3, <1 sek 3, <1 sek 3, sekunde 3, sekundi 3, minuta 3, sat 3, sati 3,
9 9 3 Aproksimacija π odabirom tačaka unutar lopte koja je upisana u kocku 3.1 Postavka problema Ovaj problem je trodimenzionalan za razliku od prethodnog primera i razlikuje se jedino po tome što smo mu povećali dimenziju i u suštini nema bitnijih razlika. Statistički metod za procenjivanje vrednosti π u ovom primeru je generalizovan upotrebom trodimenzionalne implementacije. U ovom primeru neophodno je odrediti verovatnoću da slučajno izabrana tačka iz kocke bude unutar lopte koja je upisana u kocku kao na slici ispod. P (Ω) = 4 3 (a 2 )3 π a 3 = 4a3π 24 a 3 = 4a3 π 24a 3 = π 6 ukupanbrojt acaka brojt acakaulopti 6 π π 6 brojt acakaulopti ukupanbrojt acaka 9
10 3.2 Kod programa Kod programa 1 #i n c l u d e <s t d i o. h> 2 #i n c l u d e < s t d l i b. h> 3 #i n c l u d e <time. h> 4 v o i d main ( ) 5 { 6 unsigned long long n ; 7 unsigned long long r ; 8 unsigned long long a = RAND_MAX ; 9 unsigned long long x, y, z ; 10 unsigned long long rr ; 11 unsigned long long pogodaka = 0 ; 12 unsigned long long i ; 13 d o u b l e pi ; if ( RAND_MAX & 1) // U k o l i k o j e A neparno smanjujemo ga 16 a ; // za 1 da b i c e n t a r l o p t e b i l a c e l o b r o j n a v r e d n o s t // P o l u p r e c n i k l o p t e 19 r = a / 2 ; // B r o j a c t a c a k a u l o p t i 22 pogodaka = 0 ; srand ( time ( 0 ) ) ; 25 // Ucitavamo b r o j i t e r a c i j a 26 printf ( U n e t i b r o j i t e r a c i j a : ) ; 27 scanf ( %l l d, &n ) ; 28 // I z v r s a v a m o a l g o r i t a m rr = r r ; for ( i = 1 ; i <= n ; i++) 33 { 34 x = rand ( ) ; 35 y = rand ( ) ; 36 z = rand ( ) ; 37 if ( x > a y > a z > a ) // Da ne b i d o b i j a l i t a c k e van kocke 38 { 39 i ; // Ponavljamo i t e r a c i j u 40 continue ; 41 } 42 if ( ( x r ) ( x r ) + ( y r ) ( y r ) + ( z r ) ( z r ) <= rr ) // J e d n a c i n a l o p t e 43 pogodaka++; 44 } 45 pi = 6 ( d o u b l e ) pogodaka / n ; 46 printf ( A p r o k s i m a c i j a b r o j a Pi : %l f \n, pi ) ; // I s p i s u j e m o d o b i j e n u v r e d n o s t 47 } 10
11 3.3 Rezultati testiranja programa Rezultati testiranja programa Broj iteracija Vreme izračunavanja Aproksimacija π Greška <1 sek 3, <1 sek 3, <1 sek 3, <1 sek 3, <1 sek 3, sekunde 3, minut 3, minuta 3,
12 12 4 Aproksimacija π zasnovana na problemu Bufonove igle 4.1 Postavka problema Najoriginalniji i najneočekivaniji način približnog izračunavanja broja π jeste sledeći: Treba imati kratku šivaću iglu(od 2cm.), bolje sa zalomljenim vrhom, da bi igla bila svuda jednake debljine, i na listu hartije treba izvući paralelne prave tako da je odstojanje svakih dveju susednih pravih dvaput veće od dužine igle. Zatim se sa izvesne visine igla baca na hartiju i pazi se na to da li igla seče koju od paralelnih pravih ili ne seče nijednu. Da igla ne bi odskakala, pod hartiju se stavlja upijajuća hartija ili komad meke tkanine. Bacanje igle ponavlja se mnogo puta, na primer 100 puta ili, još bolje, 1000 puta, i svaki put se zapiše da li je ili nije bilo presecanja (presecanjem treba smatrati i onaj slučaj kad igla dodiruje jednu od nacrtanih paralelnih pravih). Ako se ukupan broj bacanja igle podeli brojem slučajeva kad je bilo zapaženo presecanje, tada se u količniku mora dobiti broj π, t.j. razume se, njegova više ili manje tačna približna vrednost. Objasnićemo zašto se dobija takav količnik. Neka je K najverovatniji broj presecanja neke od posmatranih pravih i igle, a dužina naše igle neka je 20mm. U slučaju presecanja tačka preseka (odnosno dodira) treba, razume se, da leži na nekoj od ovih milimetara i u tom pogledu ni bilo koji od njih ni bilo koji deo igle nema nikakve prednosti. Zato je najverovatniji broj preseka svakog milimetra k. Za deo igle od 3mm. taj broj 20 je 3k 11k, za deo od 11mm. on je jednak itd. Drugim rečima, najverovatniji broj preseka je direktno proporcionalan dužini igle. Ta se proporcionalnost zadržava i u slučaju kad je igla savijena. Neka je igla savijena, pri čemu je deo AB=11mm, a BC=9mm. Za deo AB najverovatniji broj preseka jednak je 11k 20 iglu je 11k + 9k k, za BC je, a za celu 20, tj. kao i ranije taj broj je K. Iglu možemo saviti na još neobičniji način - broj preseka se od toga neće promeniti (imajte u vidu da, kad je igla savijena, jednu istu pravu mogu presecati dva ili više delova igle. Takvo presecanje treba računati kao 2,3 itd., jer se prvo ubraja prilikom sračunavanja preseka za jedan deo igle, drugo za drugi deo igle itd.). Zamislite sada da bacamo iglu 12
13 4.1 Postavka problema 13 savijenu u obliku kruga s prečnikom jednakim rastojanju izmedju paralelnih pravih (ovo je dvaput veće od naše igle). Takav prsten će uvek dvaput seći neku liniju (ili odjednom dodirivati dve linije, tako da se u svakom slučaju dobijaju po dva presecanja).ako je ukupan broj bacanja N, onda je broj presecanja 2N. Naša prava igla je od tog prstena manja po dušini onoliko puta koliko je puta poluprečnik manji od obima kruga, tj.2π puta. Ali, mi smo već utvrdili da je najverovatniji broj presecanja proporcionalan dužini igle. Zato najverovatniji broj presecanja (K) naše igle mora biti 2π puta manji od 2N, tj. taj broj je N.Otuda je: π π brojbacanja brojp resecanja Ukoliko se posmatra veći broj bacanja, utoliko se dobija tačnija vrednost broja π. Švajcarski astronom R. Volf je sredinom prošlog veka posmatrao 5000 bacanja igle na hartiju sa izvučenim paralelnim pravim i za broj π je dobio vrednost 3,159..., koja je uostalom, manje tačna od Arhimedovog broja. Kao što vidite, odnos obima kruga prema prečniku nalazi se ovde eksperimentalnim putem, pri čemu se (i to je najzanimljivije) ne crta ni krug ni njegov prečnik, tj.radi se bez šestara. Čovek koji nema nikakvih predstava o geometriji, pa čak ni o krugu, može na taj način odrediti broj π, ako strpljivo izvrši veliki broj bacanja igle. 13
14 4.2 Modelovanje problema Modelovanje problema Modelovonje problema podelićemo u pet koraka: 1. Prepoznavanje slučajnih veličina koje su nam od interesa Bilo koji ishod eksperimenta je u potpunosti odredjen položajem igle u ravni. Zbog početnog uslova (l < d) igla ne može da seče više od jedne prave, pa je dovoljno posmatrati položaj u odnosu na najbližu pravu. U odnosu na ovu pravu položaj igle je u potpunosti oderedjen dvema slučajnih veličinana: X - ugao igle u odnosu na pravu meren u smeru suprotnom od smera kretanja kazaljke na satu Y - rastojanje središta igle od prave Za slučajne veličine definisane na ovaj način važi: 0 X π, 0 Y d 2 2. Definisanje prostora svih ishoda za prethodno uočene slučajne veličine Prostor svih ishoda (X,Y) odgovara pravougaoniku: Π = (X, Y ) = {(x, y) : 0 x π, 0 y d 2 } 14
15 4.2 Modelovanje problema Definisanje prostora povoljnih ishoda Da bi odredili prostor povoljnih ishoda moramo da prepoznamo one tačke prostora svih ishoda u kojima igla seče neku od pravih (tačke u kojima se eksperiment realizovao). Neformalno, igla seče pravu ukoliko je rastojanje središta igle od te prave dovoljno malo za neku fiksiranu ugaonu poziciju igle. Što znači da ako koordinatu donjeg kraja igle napišemo u obliku y 1 sin(x), zaključujemo da se 2 presek javlja ukoliko je ova vrednost negativna, tj. ako važi: y 1 2 sin(x) 4. Odredjivanje zajedničke raspodele verovatnoća na prethodno definisanom prostoru ishoda Zajednička raspodela verovatnoća slučajnih veličina X i Y je odredjena njihovom zajedničkom funkcijom gustine f (X,Y ) (x, y). Da bi odredili zajedni vcku gutinu moramo prvo utvrditi način na koji se eksperiment izvodi. Kako se igla baca na slučajan način, možemo uzeti da je raspodela slučajne veličine X uniformna na intervalu [0, π], tako da je njena marginalna gustina raspodele verovatnoća: f X (x) = 1 π 0 x π Analogno, možemo smatrati da slučajna veličina Y ima uniformnu raspodelu na intervalu [0, d ], tako da je njena marginalna 2 gustina raspodele verovatnoća data na sledeći način: f Y (y) = 2 d 0 y d 2 Uočimo da poznavanje ugaone pozicije igle ne može da utiče na njeno rastojanje od prave i obratno. Stoga, slučajne veličine X i Y 15
16 4.2 Modelovanje problema 16 možemo smatrati nezavisnim, pa je njihova zajednička funkcija gustine raspodele verovatnoća jednaka proizvodu njima odgovarajućih marginalnih: f (X,Y ) (x, y) = 2 πd 0 x π 0 y d 2 5. Rešavanje problema u prethodno postavljenim okvirima Da bi odredili verovatnoću preseka igle sa nekom od pravih moramo da integralimo prethodno utvrdjenu zajedničku gustinu na prostoru povoljnih ishoda: 2 πd 1 2 sin(x) P = π 0 0 π 0 dx 1 2 sin(x) 0 dy = 1 Posledica 2l πd 2 πd dxdy = π 0 sin(x)dx = Bifonov eksperiment nam daje mogućnost procene broja π. Naime, ako se igla baca veliki broj puta (n) na ravan podeljenu paralelnim pravama i ako m puta preseče neku pravu, tada se, prema statističkoj definiciji verovatnoće (posledica zakona velikih brojeva koji kaže da relativna frekvencija nekog dogadjaja u eksperimentu koji se ponavlja, konvergira skoro svuda ka stvarnoj vrednosti verovatnoće tog dogadjaja), može uzeti da je verovatnoća preseka igle sa nekom pravom približno jednaka m. Tako da na osnovu prethodno n dobijenog rezultata koji daje tačnu vrednost ove verovatnoće zaključujemo da važi: πd Zaključak 2l πd m n π 2ln md Bifonov eksperiment nije efikasan metod aproksimacije broja π. Za procenu broja π na četiri decimale potrebno je oko 100 miliona bacanja. 16
17 4.3 Opis programa Opis programa Korišćenje programa je veoma jednostavno. Kao što se vidi sa slike u gornjem levom uglu su četiri dugmeta. Prvo dugme pokreće simulaciju, drugo dugme usporava simulaciju, a treće dugme ubrzava simulaciju, dok poslednje četvto dugme zaustavlja simulaciju. Ispod dugmića se nalazi slika stola na kom se simulira bacanje iglica. Na sredini prozora može se videti trenutni broj pokušaja i trakasti grafikon koji ima vrednosti od 3.04 do 3.24 i on nam mnogo preciznije prikazuje konvergiranje ka broju π od plotera sa desne strane na kom je skup vrednosti na intervalu od 2 do 4. Iznad plotera sa gornje desne strane se nalazi trenutna aproksimirana vrenost broja π. Program se može pronaći na mojoj internet strani: mi09036/vis.html 17
18 4.4 Kod programa Kod programa 1 i m p o r t java. applet. ; 2 i m p o r t java. awt. ; 3 4 p u b l i c c l a s s appletbuffon e x t e n d s Applet implements Runnable 5 { 6 Dimension offdimension, d ; // p r o m e n l j i v e k o j e s e k o r i s t e 7 Image offimage ; // van s l i k e sa update ( ) 8 Graphics offgraphics ; // metod k o j i r e d u k u j e t r e p e r e n j e 9 10 i n t needlelength = 2 0 ; 11 i n t numrows = 1 0 ; i n t xborder = 1 5 ; // p r o m e n l j i v e za i v i c e p r o z o r a 14 i n t yborder = 4 5 ; 15 i n t margin = 5 0 ; i n t tableheight = needlelength numrows ; // 18 i n t tablewidth = ; // d e f i n i s e m o v e l i c i n u s t o l a 19 i n t tablexcorner = xborder ; // na k o j i s e b a c a j u i g l e 20 i n t tableycorner = yborder ; // i n t barwidth = 2 0 ; // d e f i n i s e m o v e l i c i n u t r a k a s t o g g r a f i k o n a 23 i n t barheight = tableheight ; 24 i n t barxcorner = xborder+tablexcorner+tablewidth+margin ; 25 i n t barycorner = tableycorner ; d o u b l e bartop = ; // d e f i n i s e m o l i m i t e za t r a k a s t i g r a f i k o n 28 d o u b l e barbot = ; // na v r e d n o s t i od do tako da j e p i u s r e d i n i 29 d o u b l e barmid = ( bartop+barbot ) / 2 ; i n t barvalue ; // d i n a m i c k a v r e d n o s t t r a k a s t o g g r a f i k o n a i n t plotwidth = ; // d e f i n i s e m o v e l i c i n u p l o t e r a 34 i n t plotheight = tableheight ; 35 i n t plotxcorner = barxcorner+margin+barwidth+xborder ; 36 i n t plotycorner = tableycorner ; d o u b l e plotmax = 4 ; // p o s t a v l j a m o l i m i t e za p l o t e r 39 d o u b l e plotmin = 2 ; 40 d o u b l e plotmid = ( plotmax+plotmin ) / 2 ; i n t barmaxplot = ( i n t ) ( plotheight ( plotmax bartop )/ 43 ( plotmax plotmin ) ) ; 44 i n t barminplot = ( i n t ) ( plotheight ( plotmax barbot )/ 45 ( plotmax plotmin ) ) ; 46 i n t barthick=( barmaxplot==barminplot? 1 : 47 barminplot barmaxplot ) ; i n t pointerwidth =30; // p o i n t e r za t r a k a s t i g r a f i k o n 50 i n t pointertop, pointerbot ; i n t power = 5 ; // v r e d n o s t a m p l i t u d e za x osu p l o t e r a i n t n = 0 ; // b r o j b a c e n i h i g l i 18
19 4.4 Kod programa i n t hit = 0 ; // b r o j i g l i k o j e su p o g o d i l e l i n i j u 56 i n t i = 1 ; // d o u b l e needlex1, needlex2, needley1, needley2 ; 59 d o u b l e deltax, deltay ; i n t ysign ; f i n a l d o u b l e pivalue =2.0 Math. atan ( 1. 0 ) ; i n t x1, x2, y1, y2 ; // p r o m e n l j i v e za c r t a n j e i g l i c a 66 i n t gx1, gx2, gy1, gy2 ; // p r o m e n l j i v e za p r a v l j e n j e p l o t e r a i n t speed = 2 0 ; // p o s t a v l j a n j e b r z i n e sa t r y c a t c h blokom d o u b l e h = 0 ; // r e a l n a v r e d n o s t p r o m e n l j i v e k o j a b r o j i pogotke 71 d o u b l e estpi, prevestpi ; // p r i b l i z n a v r e d n o s t p i 72 d o u b l e prob = 1 ; // odnos pogodaka i p o k u s a j a 73 d o u b l e prev = 1 ; // odnos po prethodnom s u d j e n j u b o o l e a n oldscreen = f a l s e ; 76 b o o l e a n begin = f a l s e ; Thread t ; 79 Button b1, b2, b3, b4 ; p u b l i c v o i d init ( ) 82 { 83 setlayout ( new FlowLayout ( FlowLayout. LEFT ) ) ; 84 b1 = new Button ( Pocni ) ; 85 b2 = new Button ( U s p o r i ) ; 86 b3 = new Button ( U b r z a j ) ; 87 b4 = new Button ( Z a u s t a v i ) ; add ( b1 ) ; 90 add ( b2 ) ; 91 add ( b3 ) ; 92 add ( b4 ) ; t = new Thread ( this ) ; 95 t. start ( ) ; 96 } p u b l i c b o o l e a n action ( Event e, Object o ) 99 { 100 if ( o. equals ( Pocni ) ) 101 { 102 n = 0 ; 103 hit = 0 ; 104 oldscreen = f a l s e ; 105 begin = t r u e ; 106 } 107 else if ( o. equals ( Z a u s t a v i ) ) 108 { 109 t. stop ( ) ; 110 } 111 else if ( o. equals ( U b r z a j ) ) 19
20 4.4 Kod programa { 113 speed = ( speed >10? speed 10 : 1 0 ) ; 114 } 115 else if ( o. equals ( U s p o r i ) ) 116 { 117 speed = speed +10; 118 } 119 r e t u r n t r u e ; 120 } p u b l i c v o i d run ( ) 123 { 124 while ( t r u e ) 125 { 126 if ( begin ) 127 { 128 // i z r a c u n a v a n j e p o z i c i j e k r a j a i g l e needlex1 = tablewidth Math. random ( ) ; 131 needley1 = tableheight Math. random ( ) ; 132 deltax = needlelength Math. sin ( 2 pivalue Math. random () pivalue ) ; 133 deltay = Math. sqrt ( needlelength needlelength deltax deltax ) ; 134 needlex2 = needlex1+deltax ; 135 ysign = ( Math. random () <0.5? 1 : 1 ) ; 136 needley2 = needley1+ysign deltay ; // p r o v e r a v a n j e da l i i g l a p r e l a z i l i n i j u for ( i n t yline =0; yline<=needlelength numrows ; yline+=needlelength ) 141 { 142 if ( ( needley1<=yline && needley2>=yline ) 143 ( needley1>=yline && needley2<=yline ) ) 144 { 145 hit++; 146 b r e a k ; 147 } 148 } 149 n++; 150 prev = prob ; 151 h = hit ; 152 prob = h/ n ; 153 prevestpi = 2/ prev ; 154 estpi = 2/ prob ; // i z r a c u n a v a n j a za p l o t e r gx1 = ( i n t ) ( plotxcorner+math. log ( n ) plotwidth /( power Math. log ( 1 0 ) ) ) ; 159 gx2 = ( i n t ) ( plotxcorner+math. log ( n+1) plotwidth /( power Math. log ( 1 0 ) ) ) ; 160 gy1 = ( i n t ) ( plotycorner+(plotheight /( plotmin plotmax ) ) 161 ( prevestpi plotmax ) ) ; 162 if ( gy1<=plotycorner ) gy1 = plotycorner +1; 163 if ( gy1==plotycorner+plotheight ) gy1=gy1 1; 164 gy2 = ( i n t ) ( plotycorner+(plotheight /( plotmin plotmax ) ) 165 ( estpi plotmax ) ) ; 166 if ( gy2<=plotycorner ) gy2 = plotycorner +1; 167 if ( gy2==plotycorner+plotheight ) gy2=gy2 1;
21 4.4 Kod programa // i z r a c u n a v a n j a za c r t a n j e i g l i c a x1 = ( i n t ) ( xborder+needlex1 ) ; 172 x2 = ( i n t ) ( xborder+needlex2 ) ; 173 y1 = ( i n t ) ( yborder+needley1 ) ; 174 y2 = ( i n t ) ( yborder+needley2 ) ; 175 repaint ( ) ; 176 } 177 try 178 { 179 Thread. currentthread ( ). sleep ( speed ) ; 180 } 181 catch ( InterruptedException e ) 182 { 183 } 184 } 185 } p u b l i c v o i d paint ( Graphics g ) 188 { 189 d = size ( ) ; 190 update ( g ) ; 191 } p u b l i c v o i d update ( Graphics g ) 194 { 195 if ( ( offgraphics==null ) 196 ( d. width!= offdimension. width ) 197 ( d. height!= offdimension. height ) ) 198 { 199 offdimension = d ; 200 offimage = createimage ( d. width, d. height ) ; 201 offgraphics = offimage. getgraphics ( ) ; 202 } if (! oldscreen ) 205 { 206 offgraphics. setcolor ( getbackground ( ) ) ; 207 offgraphics. fillrect ( 0, 0, d. width, d. height ) ; 208 offgraphics. setcolor ( Color. gray ) ; 209 offgraphics. fillrect ( plotxcorner, plotycorner+barmaxplot, 210 plotwidth, barminplot barmaxplot ) ; 211 offgraphics. drawstring ( +barmid+, barxcorner 45, 212 barycorner+barheight / 2 ) ; 213 offgraphics. drawstring ( +bartop+, barxcorner 45, 214 barycorner +5); 215 offgraphics. drawstring ( +barbot+, barxcorner 45, 216 barycorner+3+barheight ) ; 217 offgraphics. drawstring ( +plotmax, plotxcorner+plotwidth +2, 218 plotycorner +5); 219 offgraphics. drawstring ( +plotmin, plotxcorner+plotwidth +2, 220 plotycorner+plotheight +5); 221 offgraphics. drawstring ( +plotmid, plotxcorner+plotwidth +2, 222 plotycorner+plotheight /2+5); 223 offgraphics. drawstring ( G r a f i k a p r o k s i m a c i j e b r o j a p i, 224 plotxcorner +5, plotycorner+plotheight +20);
22 4.4 Kod programa // c r t a n j e l i n i j a k o j e s e odnose na t r a k a s t i g r a f i k o n i p l o t e r offgraphics. drawline ( barxcorner+barwidth +5, barycorner, 229 plotxcorner 5, barmaxplot+plotycorner ) ; 230 offgraphics. drawline ( barxcorner+barwidth +5, barycorner+barheight, 231 plotxcorner 5, barminplot+plotycorner ) ; // c r t a n j e s t o l a na k o j i p a d a j u i g l e i o s e p l o t e r a offgraphics. setcolor ( Color. blue ) ; 236 offgraphics. drawrect ( tablexcorner, tableycorner, tablewidth, tableheight ) ; 237 offgraphics. drawrect ( plotxcorner, plotycorner, plotwidth, plotheight ) ; for ( i=1; i<tableheight / needlelength ; i++) 240 { 241 offgraphics. drawline ( tablexcorner, tableycorner+needlelength i, 242 tablexcorner+tablewidth, tableycorner+needlelength i ) ; 243 } 244 oldscreen = t r u e ; 245 } else 248 { 249 offgraphics. setcolor ( getbackground ( ) ) ; 250 offgraphics. fillrect ( 0, 0, d. width, yborder 10); 251 } // i s p i s i v a n j e p r i b l i z n e v r e d n o s t i p i offgraphics. setcolor ( Color. black ) ; 256 offgraphics. drawstring ( Trenutna v r e d n o s t b r o j a p i : +estpi, 257 plotxcorner +10, 2 0 ) ; 258 offgraphics. drawstring ( Br. p o k u s a j a : +n, 240, 2 0 ) ; offgraphics. setcolor ( Color. black ) ; // vodimo racuna da s e n i j e d n a i g l a ne n a d j e i z v a n g r a n i c a s t o l a x1 = ( x1>tablexcorner+tablewidth? 265 tablexcorner+tablewidth : x1 ) ; 266 x2 = ( x2>tablexcorner+tablewidth? 267 tablexcorner+tablewidth : x2 ) ; 268 y1 = ( y1>tableycorner+tableheight? 269 tableycorner+tableheight : y1 ) ; 270 y2 = ( y2>tableycorner+tableheight? 271 tableycorner+tableheight : y2 ) ; x1 = ( x1<tablexcorner? tablexcorner : x1 ) ; 274 x2 = ( x2<tablexcorner? tablexcorner : x2 ) ; 275 y1 = ( y1<tableycorner? tableycorner : y1 ) ; 276 y2 = ( y2<tableycorner? tableycorner : y2 ) ; offgraphics. drawline ( x1, y1, x2, y2 ) ; // c r t a n j e t r a k a s t o g g r a f i k o n a offgraphics. setcolor ( Color. gray ) ; 22
23 4.4 Kod programa offgraphics. fillrect ( barxcorner, barycorner, 20, barheight ) ; offgraphics. setcolor ( Color. red ) ; barvalue = ( i n t ) ( barheight ( estpi bartop ) / ( barbot bartop ) ) ; 288 if ( barvalue<0 pointerwidth / 2) barvalue=0 pointerwidth / 2 ; 289 if ( barvalue>barheight+pointerwidth / 2) barvalue=barheight+ 290 pointerwidth / 2 ; pointertop = ( barvalue pointerwidth/2<0? : barvalue pointerwidth / 2 ) ; 294 pointerbot = ( barvalue+pointerwidth/2>barheight? 295 barheight : barvalue+pointerwidth / 2 ) ; offgraphics. fillrect ( barxcorner, barycorner+pointertop, 298 barwidth, pointerbot pointertop ) ; offgraphics. setcolor ( Color. gray ) ; 302 if ( barvalue <0) barvalue =0; 303 if ( barvalue>barheight ) barvalue=barheight ; 304 offgraphics. drawline ( barxcorner, barycorner+barvalue, 305 barxcorner+barwidth 1, barycorner+barvalue ) ; // c r t a n j e p l o t a offgraphics. setcolor ( Color. red ) ; offgraphics. drawline ( gx1, gy1, gx2, gy2 ) ; 312 g. drawimage ( offimage, 0, 0, this ) ; 313 } 314 } 23
24 4.5 Rezultati testiranja programa Rezultati testiranja programa Broj iteracija 1. eksperiment 2. eksperiment 3. eksperiment 4. eksperiment 500 3, , , , , , , , , , , , , , , , Broj iteracija 5. eksperiment 6. eksperiment 7. eksperiment 8. eksperiment 500 3, , , , , , , , , , , , , , , , Broj bacanja Standardna greška Histogram rezultata za eksperimenata u kojima je bačeno igli 24
25 25 5 Poredjenje brzine konvergencije u sva 3 slučaja π = Broj iteracija Krug upisan u kvadrat Lopta upisana u kocku Bufonova igla , , , , , , , , Greška Br. iteracija Krug upisan u kvadrat Lopta upisana u kocku Bufonova igla
26 26 6 Zaključak Monte Karlo metoda je numerički postupak za aproksimiranje (izračunavanje) integrala upotrebom računarskih mogućnosti i prosečne snage računara. Prednosti Monte Karlo metode su intuitivnost postupka aproksimacije, te jednostavno predstavljanje i primenjivanje u računarskim izračunavanjima. Još jedna značajna prednost ove metode je primena na višedimenzionalne integrale. Kad se podiže na više dimenzije, broj operacija koje treba izvesti raste eksponencijalno s dimenzionalnošću podintegralne funkcije integrala. Zbog tog nedostatka metode se uz odredjena ograničenja primjenjuju na integrale višedimenzionalnih funkcija. Monte Karlo metoda nema ograničenja po pitanju višedimenzionalnosti. Jednako se može primenjivati na 1000-dimenzionalni integral kao i na integral sa samo jednom dimenzijom. Iako je princip Monte Karlo metode jednostavan za programsko ostvarenje, za složene probleme računarsko izračunavanje može biti zahtevno čak i s najjačim računarom. Stoga postoje načini da se ubrza Monte Karlo metoda analize. U tim slučajevima mogu se koristiti različite tehnike smanjivanja varijance koje će smanjiti složenost izračunavanja. 26
27 27 7 Literatura [1] Jevremović Vesna, Verovatnoća i statistika, Matematički fakultet, Beograd [2] Richard J. Gonsalves, Monte Carlo Calculation of Pi, Physics Dept., SUNY, University at Buffalo, NY [3] http : //en.wikipedia.org/wiki/buffon s needle [4] Richard W. Hamming, T heartof P robability, Addison-Wesley, 1991 [5] Edwin Miles, Monte Carlo Integration: an Overview with Examples, 2004 [6] Harry Khamis, Statistical Consulting Center, Buffon s Needle Problem, Wright State University, Dayton OH [7] Eve Astrid Andersson, Calculation of Pi Using the Monte Carlo Method, Computer Science Dept., Northface University, Salt Lake City, UT [8] Ronald Mak, Monte Carlo and Buffon s Needles applet, Java Number Cruncher, Prentice Hall, Inc. 27
KLASIFIKACIJA NAIVNI BAJES. NIKOLA MILIKIĆ URL:
KLASIFIKACIJA NAIVNI BAJES NIKOLA MILIKIĆ EMAIL: nikola.milikic@fon.bg.ac.rs URL: http://nikola.milikic.info ŠTA JE KLASIFIKACIJA? Zadatak određivanja klase kojoj neka instanca pripada instanca je opisana
More informationAlgoritam za množenje ulančanih matrica. Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek
Algoritam za množenje ulančanih matrica Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek O problemu (1) Neka je A 1, A 2,, A n niz ulančanih matrica duljine n N, gdje su dimenzije matrice
More informationFajl koji je korišćen može se naći na
Machine learning Tumačenje matrice konfuzije i podataka Fajl koji je korišćen može se naći na http://www.technologyforge.net/datasets/. Fajl se odnosi na pečurke (Edible mushrooms). Svaka instanca je definisana
More informationProjektovanje paralelnih algoritama II
Projektovanje paralelnih algoritama II Primeri paralelnih algoritama, I deo Paralelni algoritmi za množenje matrica 1 Algoritmi za množenje matrica Ovde su data tri paralelna algoritma: Direktan algoritam
More informationRed veze za benzen. Slika 1.
Red veze za benzen Benzen C 6 H 6 je aromatično ciklično jedinjenje. Njegove dve rezonantne forme (ili Kekuléove structure), prema teoriji valentne veze (VB) prikazuju se uobičajeno kao na slici 1 a),
More informationPRIPADNOST RJEŠENJA KVADRATNE JEDNAČINE DANOM INTERVALU
MAT KOL Banja Luka) ISSN 0354 6969 p) ISSN 1986 58 o) Vol. XXI )015) 105 115 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm PRIPADNOST RJEŠENJA KVADRATNE JEDNAČINE DANOM INTERVALU Bernadin Ibrahimpašić 1 Senka Ibrahimpašić
More informationZANIMLJIV NAČIN IZRAČUNAVANJA NEKIH GRANIČNIH VRIJEDNOSTI FUNKCIJA. Šefket Arslanagić, Sarajevo, BiH
MAT-KOL (Banja Luka) XXIII ()(7), -7 http://wwwimviblorg/dmbl/dmblhtm DOI: 75/МК7A ISSN 5-6969 (o) ISSN 986-588 (o) ZANIMLJIV NAČIN IZRAČUNAVANJA NEKIH GRANIČNIH VRIJEDNOSTI FUNKCIJA Šefket Arslanagić,
More informationSlika 1. Slika 2. Da ne bismo stalno izbacivali elemente iz skupa, mi ćemo napraviti još jedan niz markirano, gde će
Permutacije Zadatak. U vreći se nalazi n loptica različitih boja. Iz vreće izvlačimo redom jednu po jednu lopticu i stavljamo jednu pored druge. Koliko različitih redosleda boja možemo da dobijemo? Primer
More informationTEORIJA SKUPOVA Zadaci
TEORIJA SKUPOVA Zadai LOGIKA 1 I. godina 1. Zapišite simbolima: ( x nije element skupa S (b) d je član skupa S () F je podskup slupa S (d) Skup S sadrži skup R 2. Neka je S { x;2x 6} = = i neka je b =
More informationMathcad sa algoritmima
P R I M J E R I P R I M J E R I Mathcad sa algoritmima NAREDBE - elementarne obrade - sekvence Primjer 1 Napraviti algoritam za sabiranje dva broja. NAREDBE - elementarne obrade - sekvence Primjer 1 POČETAK
More informationMetrički prostori i Riman-Stiltjesov integral
Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral Sadržaj 1 Metrički prostori 3 1.1 Primeri metričkih prostora................. 3 1.2 Konvergencija nizova i osobine skupova...................... 12 1.3 Kantorov
More informationUvod u relacione baze podataka
Uvod u relacione baze podataka Ana Spasić 2. čas 1 Mala studentska baza dosije (indeks, ime, prezime, datum rodjenja, mesto rodjenja, datum upisa) predmet (id predmeta, sifra, naziv, bodovi) ispitni rok
More informationMATHEMATICAL ANALYSIS OF PERFORMANCE OF A VIBRATORY BOWL FEEDER FOR FEEDING BOTTLE CAPS
http://doi.org/10.24867/jpe-2018-02-055 JPE (2018) Vol.21 (2) Choudhary, M., Narang, R., Khanna, P. Original Scientific Paper MATHEMATICAL ANALYSIS OF PERFORMANCE OF A VIBRATORY BOWL FEEDER FOR FEEDING
More informationIskazna logika 1. Matematička logika u računarstvu. oktobar 2012
Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia oktobar 2012 Iskazi, istinitost, veznici Intuitivno, iskaz je rečenica koja je ima tačno jednu jednu
More informationKonstrukcija i analiza algoritama
Konstrukcija i analiza algoritama 27. februar 207 Matematička indukcija Princip matematičke indukcije: Da bi za svako n N važilo tvrdjenje T (n) dovoljno je pokazati: bazu indukcije: tvrdjenje T () induktivni
More informationAsian Journal of Science and Technology Vol. 4, Issue 08, pp , August, 2013 RESEARCH ARTICLE
Available Online at http://www.journalajst.com ASIAN JOURNAL OF SCIENCE AND TECHNOLOGY ISSN: 0976-3376 Asian Journal of Science and Technology Vol. 4, Issue 08, pp.037-041, August, 2013 RESEARCH ARTICLE
More informationZadatci sa ciklusima. Zadatak1: Sastaviti progra koji određuje z ir prvih prirod ih rojeva.
Zadatci sa ciklusima Zadatak1: Sastaviti progra koji određuje z ir prvih prirod ih rojeva. StrToIntDef(tekst,broj) - funkcija kojom se tekst pretvara u ceo broj s tim da je uvedena automatska kontrola
More informationGeometrijski smisao rješenja sustava od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice
Osječki matematički list 6(2006), 79 84 79 Geometrijski smisao rješenja sustava od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice Zlatko Udovičić Sažetak. Geometrijski smisao rješenja sustava od dvije linearne
More informationpovezuju tačke na četiri različita načina (pravom linijom, splajnom,
Origin Zadatak 1. Otvoriti Origin i kreirati novi projekat; U datasheet-u dodati novu kolonu; U project exploreru kreirati nove podfoldere: Data i Graphs; Prebaciti trenutni datasheet u podfolder Data;
More informationBROJEVNE KONGRUENCIJE
UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Vojko Nestorović BROJEVNE KONGRUENCIJE - MASTER RAD - Mentor, dr Siniša Crvenković Novi Sad, 2011. Sadržaj Predgovor...............................
More informationZANIMLJIVI ALGEBARSKI ZADACI SA BROJEM 2013 (Interesting algebraic problems with number 2013)
MAT-KOL (Banja Luka) ISSN 0354-6969 (p), ISSN 1986-5228 (o) Vol. XIX (3)(2013), 35-44 ZANIMLJIVI ALGEBARSKI ZADACI SA BROJEM 2013 (Interesting algebraic problems with number 2013) Nenad O. Vesi 1 Du²an
More informationANALYTICAL AND NUMERICAL PREDICTION OF SPRINGBACK IN SHEET METAL BENDING
ANALYTICAL AND NUMERICAL PREDICTION OF SPRINGBACK IN SHEET METAL BENDING Slota Ján, Jurčišin Miroslav Department of Technologies and Materials, Faculty of Mechanical Engineering, Technical University of
More informationO homomorfizam-homogenim geometrijama ranga 2
UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODN0-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Eva Jungael O homomorfzam-homogenm geometrjama ranga 2 -završn rad- Nov Sad, oktoar 2009 Predgovor Za strukturu
More informationRešenja zadataka za vežbu na relacionoj algebri i relacionom računu
Rešenja zadataka za vežbu na relacionoj algebri i relacionom računu 1. Izdvojiti ime i prezime studenata koji su rođeni u Beogradu. (DOSIJE WHERE MESTO_RODJENJA='Beograd')[IME, PREZIME] where mesto_rodjenja='beograd'
More informationQuasi-Newtonove metode
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Milan Milinčević Quasi-Newtonove metode Završni rad Osijek, 2016. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Milan Milinčević
More informationMatematika 2, ZS 2016/2017
Matematika 2, ZS 2016/2017 smer: vaspitači Zadaci za samostalan rad Kombinatorika Zadatak 1. Koliko ima četvorocifrenih brojeva koji se zapisuju sa najviše dva znaka? 576 Zadatak 2. Koliko ima sedmocifrenih
More informationDISTRIBUIRANI ALGORITMI I SISTEMI
Postavka 7: međusobno isključivanje sa read/write promenljivama 1 DISTRIBUIRANI ALGORITMI I SISTEMI Iz kursa CSCE 668 Proleće 2014 Autor izvorne prezentacije: Prof. Jennifer Welch Read/Write deljene promenljive
More informationKonstrukcija i analiza algoritama
Konstrukcija i analiza algoritama 27. februar 2017 1 Pravila zaključivanja i tehnike dokazivanja u iskaznoj i predikatskoj logici 1 1.1 Iskazna logika Pravila zaključivanja za iskaznu logiku: 1. DODAVANJE
More informationJedna familija trokoračnih postupaka šestog reda za rešavanje nelinearnih jednačina
UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Ester Jambor Jedna familija trokoračnih postupaka šestog reda za rešavanje nelinearnih jednačina master rad
More information1.1 Algoritmi. 2 Uvod
GLAVA 1 Uvod Realizacija velikih računarskih sistema je vrlo složen zadatak iz mnogih razloga. Jedan od njih je da veliki programski projekti zahtevaju koordinisani trud timova stručnjaka različitog profila.
More informationKVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU 1
MAT KOL (Banja Luka) ISSN 0354 6969 (p), ISSN 1986 5228 (o) Vol. XXII (1)(2016), 5 19 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm KVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU
More informationFraktali - konačno u beskonačnom
Prirodno-Matematički fakultet, Niš. dexterofnis@gmail.com www.pmf.ni.ac.rs/dexter Nauk nije bauk, 2011 Sadržaj predavanja 1 Sadržaj predavanja 1 2 Sadržaj predavanja 1 2 3 Box-Counting dimenzija Hausdorfova
More informationFTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Drumska vozila Uputstvo za izradu vučnog proračuna motornog vozila. 1. Ulazni podaci IZVOR:
1. Ulazni podaci IZVOR: WWW.CARTODAY.COM 1. Ulazni podaci Masa / težina vozila Osovinske reakcije Raspodela težine napred / nazad Dimenzije pneumatika Čeona površina Koeficijent otpora vazduha Brzinska
More informationGeometrija (I smer) deo 3: Linije u ravni
Geometrija (I smer) deo 3: Linije u ravni Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd 30. oktobar 2012. Prava u ravni Prava p je zadata tačkom P(x 0, y 0 ) p i normalnim vektorom n p = (a, b). Odatle
More informationUvod u analizu (M3-02) 05., 07. i 12. XI dr Nenad Teofanov. principle) ili Dirihleov princip (engl. Dirichlet box principle).
Uvod u analizu (M-0) 0., 07. i. XI 0. dr Nenad Teofanov. Kardinalni broj skupa R U ovom predavanju se razmatra veličina skupa realnih brojeva. Jasno, taj skup ima beskonačno mnogo elemenata. Pokazaće se,
More informationOsobine metode rezolucije: zaustavlja se, pouzdanost i kompletnost. Iskazna logika 4
Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Rezolucija 1 Metod rezolucije je postupak za dokazivanje da li je neka iskazna (ili
More informationNAPREDNI FIZIČKI PRAKTIKUM 1 studij Matematika i fizika; smjer nastavnički MJERENJE MALIH OTPORA
NAPREDNI FIZIČKI PRAKTIKUM 1 studij Matematika i fizika; smjer nastavnički MJERENJE MALIH OTPORA studij Matematika i fizika; smjer nastavnički NFP 1 1 ZADACI 1. Mjerenjem geometrijskih dimenzija i otpora
More informationTeorem o reziduumima i primjene. Završni rad
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Matej Petrinović Teorem o reziduumima i primjene Završni rad Osijek, 207. Sveučilište J. J. Strossmayera
More informationANALYSIS OF THE RELIABILITY OF THE "ALTERNATOR- ALTERNATOR BELT" SYSTEM
I. Mavrin, D. Kovacevic, B. Makovic: Analysis of the Reliability of the "Alternator- Alternator Belt" System IVAN MAVRIN, D.Sc. DRAZEN KOVACEVIC, B.Eng. BRANKO MAKOVIC, B.Eng. Fakultet prometnih znanosti,
More informationDYNAMIC HEAT TRANSFER IN WALLS: LIMITATIONS OF HEAT FLUX METERS
DYNAMI EAT TRANFER IN WALL: LIMITATION OF EAT FLUX METER DINAMIČKI PRENO TOPLOTE U ZIDOVIMA: OGRANIČENJA MERAČA TOPLOTNOG PROTOKA (TOPLOTNOG FLUKA) 1 I. Naveros a, b,. Ghiaus a a ETIL UMR58, INA-Lyon,
More informationĐorđe Đorđević, Dušan Petković, Darko Živković. University of Niš, The Faculty of Civil Engineering and Architecture, Serbia
FACTA UNIVERSITATIS Series: Architecture and Civil Engineering Vol. 6, N o 2, 2008, pp. 207-220 DOI:10.2298/FUACE0802207D THE APPLIANCE OF INTERVAL CALCULUS IN ESTIMATION OF PLATE DEFLECTION BY SOLVING
More informationNON-SPECIFIC METHODS FOR DETECTING RESIDUES OF CLEANING AGENTS DURING CLEANING VALIDATION
Available on line at Association of the Chemical Engineers AChE www.ache.org.rs/ciceq Chemical Industry & Chemical Engineering Quarterly 17 (1) 39 44 (2011) CI&CEQ DRAGAN M. MILENOVIĆ 1 DRAGAN S. PEŠIĆ
More informationOracle Spatial Koordinatni sustavi, projekcije i transformacije. Dalibor Kušić, mag. ing. listopad 2010.
Oracle Spatial Koordinatni sustavi, projekcije i transformacije Dalibor Kušić, mag. ing. listopad 2010. Pregled Uvod Koordinatni sustavi Transformacije Projekcije Modeliranje 00:25 Oracle Spatial 2 Uvod
More informationUNSTABILITY OF FOOD PRODUCTION PER CAPITA AND POPULATION: ASIA. Vesna Jablanović 1
Journal of Agricultural Sciences Vol. 48, No, 003 Pages 7-3 UDC: 330.54:330.368 Original scientific paper UNSTABILITY OF FOOD PRODUCTION PER CAPITA AND POPULATION: ASIA Vesna Jablanović Abstract: The basic
More informationFIZIKALNA KOZMOLOGIJA VII. VRLO RANI SVEMIR & INFLACIJA
FIZIKALNA KOZMOLOGIJA VII. VRLO RANI SVEMIR & INFLACIJA KOZMIČKI SAT ranog svemira Ekstra zračenje u mjerenju CMB Usporedba s rezultatima LEP-a Usporedba CMB i neutrina Vj.: Pozadinsko zračenje neutrina
More informationKRITERIJI KOMPLEKSNOSTI ZA K-MEANS ALGORITAM
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Stela Šeperić KRITERIJI KOMPLEKSNOSTI ZA K-MEANS ALGORITAM Diplomski rad Voditelj rada: doc.dr.sc. Pavle Goldstein Zagreb, Srpanj
More informationKontinualni lokacijski modeli. Jelena Panić 748/15 Vidosava Antonović 819/15
Kontinualni lokacijski modeli Jelena Panić 748/15 Vidosava Antonović 819/15 O modelima Matematički modeli teorije lokacije daju nam odgovore na neka od sledećih pitanja : Koliko novih objekata treba otvoriti?
More informationProgramiranje u realnom vremenu Bojan Furlan
Programiranje u realnom vremenu Bojan Furlan Tri procesa sa D = T imaju sledeće karakteristike: Proces T C a 3 1 b 6 2 c 18 5 (a) Pokazati kako se može konstruisati ciklično izvršavanje ovih procesa. (b)
More informationPoložaj nultočaka polinoma
Osječki matematički list 4 (204), 05-6 Položaj nultočaka polinoma Mandalena Pranjić Rajna Rajić Sažetak Prema Rolleovom teoremu, bilo koji segment čiji su krajevi međusobno različite realne nultočke polinoma
More informationKsenija Doroslovački KOMBINATORIKA INTERPRETIRANA FUNKCIJAMA I NJIHOVIM OSOBINAMA MASTER RAD. NOVI SAD jun 2008
1 Ksenija Doroslovački KOMBINATORIKA INTERPRETIRANA FUNKCIJAMA I NJIHOVIM OSOBINAMA MASTER RAD NOVI SAD jun 2008 2 Sadržaj 1 UVOD 5 2 FUNKCIJE 11 3 KLASIČNI KOMBINATORNI OBJEKTI 17 4 NEKI NEKLASIČNI KOMBINATORNI
More informationAIR CURTAINS VAZDU[NE ZAVESE V H
AIR CURTAINS V 15.000 H 21.000 KLIMA Co. 2 KLIMA Co. Flow and system stress should be known factors in air flow. The flow is gas quantity flowing through the system during given time unit and is measured
More informationLINEARNI MODELI STATISTIČKI PRAKTIKUM 2 2. VJEŽBE
LINEARNI MODELI STATISTIČKI PRAKTIKUM 2 2. VJEŽBE Linearni model Promatramo jednodimenzionalni linearni model. Y = β 0 + p β k x k + ε k=1 x 1, x 2,..., x p - varijable poticaja (kontrolirane) ε - sl.
More informationVedska matematika. Marija Miloloža
Osječki matematički list 8(2008), 19 28 19 Vedska matematika Marija Miloloža Sažetak. Ovimčlankom, koji je gradivom i pristupom prilagod en prvim razredima srednjih škola prikazuju se drugačiji načini
More informationMetoda parcijalnih najmanjih kvadrata: Regresijski model
Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek Tamara Sente Metoda parcijalnih najmanjih kvadrata: Regresijski model Diplomski rad Voditelj rada: Izv.prof.dr.sc. Miljenko Huzak
More informationHRVATSKA MATEMATIČKA OLIMPIJADA
HRVATSKA MATEMATIČKA OLIMPIJADA prvi dan 5. svibnja 01. Zadatak 1. Dani su pozitivni realni brojevi x, y i z takvi da je x + y + z = 18xyz. nejednakost x x + yz + 1 + y y + xz + 1 + z z + xy + 1 1. Dokaži
More informationPitagorine trojke. Uvod
Pitagorine trojke Uvod Ivan Soldo 1, Ivana Vuksanović 2 Pitagora, grčki filozof i znanstvenik, često se prikazuje kao prvi pravi matematičar. Ro - den je na grčkom otoku Samosu, kao sin bogatog i zaslužnog
More informationINVESTIGATION OF UPSETTING OF CYLINDER BY CONICAL DIES
INVESTIGATION OF UPSETTING OF CYLINDER BY CONICAL DIES D. Vilotic 1, M. Plancak M 1, A. Bramley 2 and F. Osman 2 1 University of Novi Sad, Yugoslavia; 2 University of Bath, England ABSTRACT Process of
More informationŠta je to mašinsko učenje?
MAŠINSKO UČENJE Šta je to mašinsko učenje? Disciplina koja omogućava računarima da uče bez eksplicitnog programiranja (Arthur Samuel 1959). 1. Generalizacija znanja na osnovu prethodnog iskustva (podataka
More informationMetode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda
Osječki matematički list 10(2010), 31 42 31 STUDENTSKA RUBRIKA Metode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda Damira Keček Sažetak U članku su opisane metode izračunavanja determinanti matrica n-tog
More informationModified Zagreb M 2 Index Comparison with the Randi} Connectivity Index for Benzenoid Systems
CROATICA CHEMICA ACTA CCACAA 7 (2) 83 87 (2003) ISSN-00-3 CCA-2870 Note Modified Zagreb M 2 Index Comparison with the Randi} Connectivity Index for Benzenoid Systems Damir Vuki~evi} a, * and Nenad Trinajsti}
More information6 th INTERNATIONAL CONFERENCE
6 th INTERNATIONAL CONFERENCE Contemporary achievements in civil engineering 20. April 2018. Subotica, SERBIA ABSOLUTE MOVEMENTS OF LARGE DAMS ANALYSIS BY REGRESSION METHOD UTILIZATION Žarko Nestorović
More informationKrivulja središta i krivulja fokusa u pramenu konika. konika zadanom pomoću dviju dvostrukih točaka u izotropnoj ravnini
Stručni rad Prihvaćeno 18.02.2002. MILJENKO LAPAINE Krivulja središta i krivulja fokusa u pramenu konika zadanom pomoću dviju dvostrukih točaka u izotropnoj ravnini Krivulja središta i krivulja fokusa
More informationAndrea Rožnjik. VaR KAO MERA RIZIKA U OPTIMIZACIJI PORTFOLIA. - magistarska teza - Novi Sad, 2008.
UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Andrea Rožnjik VaR KAO MERA RIZIKA U OPTIMIZACIJI PORTFOLIA - magistarska teza - Novi Sad, 2008. Predgovor
More informationMaja Antolović Algoritmi u teoriji brojeva
Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Maja Antolović Algoritmi u teoriji brojeva Završni rad Osijek, 2017. Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel
More informationNeke primene teorije fazi skupova i fazi logike u procesiranju slika
Univerzitet u Beogradu Matematički fakultet Neke primene teorije fazi skupova i fazi logike u procesiranju slika - Master rad - Nebojša Perić 1024/2013 Beograd, 2014. 2 Mentor: Članovi komisije: Datum
More informationVREMENSKE SERIJE U FINANSIJAMA: ARCH I GARCH
UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Zoranka Desnica VREMENSKE SERIJE U FINANSIJAMA: ARCH I GARCH -završni rad - Novi Sad, oktobar 009. PREDGOVOR
More informationAN EXPERIMENTAL METHOD FOR DETERMINATION OF NATURAL CIRCULAR FREQUENCY OF HELICAL TORSIONAL SPRINGS UDC:
UNIVERSITY OF NIŠ The scientific journal FACTA UNIVERSITATIS Series: Mechanical Engineering Vol.1, N o 5, 1998 pp. 547-554 Editor of series: Nenad Radojković, e-mail: radojkovic@ni.ac.yu Address: Univerzitetski
More informationPhilippe Jodin. Original scientific paper UDC: :519.6 Paper received:
The paper was presented at the Tenth Meeting New Trends in Fatigue and Fracture (NTF0) Metz, France, 30 August September, 00 Philippe Jodin APPLICATION OF NUMERICAL METHODS TO MIXED MODES FRACTURE MECHANICS
More informationKarakterizacija problema zadovoljenja uslova širine 1
UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Aleksandar Prokić Karakterizacija problema zadovoljenja uslova širine 1 -master rad- Mentor: dr Petar Marković
More informationŠime Šuljić. Funkcije. Zadavanje funkcije i područje definicije. š2004š 1
Šime Šuljić Funkcije Zadavanje funkcije i područje definicije š2004š 1 Iz povijesti Dvojica Francuza, Pierre de Fermat i Rene Descartes, posebno su zadužila matematiku unijevši ideju koordinatne metode
More informationO aksiomu izbora, cipelama i čarapama
O aksiomu izbora, cipelama i čarapama Aksiom izbora može se izreći u raznim ekvivalentnim formama. Dokazi ekvivalencije aksioma izbora npr. sa Zornovom lemom, ili pak sa Zermelovim teoremom o dobrom uredaju,
More informationUNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU
UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Ivan Marinković Klasifikacija H-matrica metodom skaliranja i njena primena u odred ivanju oblasti konvergencije
More informationIMPROVEMENT OF HIPPARCOS PROPER MOTIONS IN DECLINATION
Serb. Astron. J. 172 (2006), 41-51 UDC 521.96 DOI: 10.2298/SAJ0672041D Preliminary report IMPROVEMENT OF HIPPARCOS PROPER MOTIONS IN DECLINATION G. Damljanović 1, N. Pejović 2 and B. Jovanović 1 1 Astronomical
More informationHarmonijski brojevi. Uvod
MATEMATIKA Harmonijski brojevi Darko Žubrinić, Zagreb Beskonačno! Niti koje drugo pitanje nije nikada toliko duboko dirnulo duh čovjeka. David Hilbert (862. 943.) Uvod U ovom članku opisat ćemo jedan pomalo
More informationUOPŠTENI INVERZI, FAKTORI USLOVLJENOSTI I PERTURBACIJE
UNIVERZITET U NIŠU PRIRODNO MATEMATIČKI FAKULTET ODSEK ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Dijana Mosić UOPŠTENI INVERZI, FAKTORI USLOVLJENOSTI I PERTURBACIJE Doktorska disertacija Mentor Prof. dr Dragan Djordjević
More informationVelimir Abramovic: KOLIKO IMA BESKONACNOSTI U MATEMATICI? (Iz Osnovi Nauke o Vremenu )
Velimir Abramovic: www.n01a.org KOLIKO IMA BESKONACNOSTI U MATEMATICI? (Iz Osnovi Nauke o Vremenu ) Citajuci Kantorov Argument dijagonalizacijom shvatio sam da se u njemu nista ne sme podrazumevati, vec
More informationMetode praćenja planova
Metode praćenja planova Klasična metoda praćenja Suvremene metode praćenja gantogram mrežni dijagram Metoda vrednovanja funkcionalnosti sustava Gantogram VREMENSKO TRAJANJE AKTIVNOSTI A K T I V N O S T
More informationKristina Popadić. Analiza preživljavanja sa primenama u zdravstvenom osiguranju - master rad -
UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Kristina Popadić Analiza preživljavanja sa primenama u zdravstvenom osiguranju - master rad - Mentor: prof.
More informationPRIMENA FAZI LOGIKE ZA REŠAVANJE NP-TEŠKIH PROBLEMA RUTIRANJA VOZILA I
UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIČKI FAKULTET Nina Radojičić PRIMENA FAZI LOGIKE ZA REŠAVANJE NP-TEŠKIH PROBLEMA RUTIRANJA VOZILA I METODAMA LOKACIJE RESURSA RAČUNARSKE INTELIGENCIJE doktorska disertacija
More informationTermodinamika. FIZIKA PSS-GRAD 29. studenog Copyright 2015 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
Termodinamika FIZIKA PSS-GRAD 29. studenog 2017. 15.1 Thermodynamic Systems and Their Surroundings Thermodynamics is the branch of physics that is built upon the fundamental laws that heat and work obey.
More informationDidaktički aspekti matematičkog modeliranja
Univerzitet u Novom Sadu Prirodno - matematički fakultet Departman za matematiku i informatiku Silvia Šoš Didaktički aspekti matematičkog modeliranja - master rad - Mentor: Prof. dr Arpad Takači Novi Sad,
More informationIvan Soldo. Sažetak. U članku se analiziraju različiti načini množenja matrica. Svaki od njih ilustriran je primjerom.
Osječki matematički list 5(005), 8 Različiti načini množenja matrica Ivan Soldo Sažetak U članku se analiziraju različiti načini množenja matrica Svaki od njih ilustriran je primjerom Ključne riječi: linearni
More informationPellova jednadžba. Pell s equation
Osječki matematički list 8(2008), 29 36 29 STUDENTSKA RUBRIKA Pellova jednadžba Ivona Mandić Ivan Soldo Sažetak. Članak sadrži riješene primjere i probleme koji se svode na analizu skupa rješenja Pellove
More informationYu.G. Matvienko. The paper was presented at the Twelfth Meeting New Trends in Fatigue and Fracture (NT2F12) Brasov, Romania, May, 2012
Yu.G. Matvienko The paper was presented at the Twelfth Meeting New Trends in Fatigue and Fracture (NTF1) Brasov, Romania, 7 30 May, 01 CRACK TP PLASTC ZONE UNDER MODE LOADNG AND THE NON-SNGULAR T zz STRESS
More informationNIZOVI I REDOVI FUNKCIJA
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Danijela Piškor NIZOVI I REDOVI FUNKCIJA Diplomski rad Voditelj rada: izv. prof. dr. sc. Ljiljana Arambašić Zagreb, rujan 206.
More informationNumerical Inverse Laplace Transform
UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Omalkhaer Salem Elmabruk Bleblou Numerical Inverse Laplace Transform - master thesis - Novi Sad, 2011. Ovaj
More informationPRELIMINARY COMMUNICATION Influence of chloride ions on the open circuit potentials of chromium in deaerated sulfuric acid solutions
J. Serb. Chem. Soc. 71 (11) 1187 1194 (2006) UDC 54 71'131:546.76:620.193:546.226 325 JSCS 3512 Preliminary communication PRELIMINARY COMMUNICATION Influence of chloride ions on the open circuit potentials
More informationJednočlani potpuni skupovi veznika za iskaznu logiku
Univerzitet u Beogradu Matematički fakultet Petar Maksimović Jednočlani potpuni skupovi veznika za iskaznu logiku Master teza mentor: dr Predrag Janičić Beograd 2008 2 Sadržaj 1 Uvod 7 1.1 Kratak istorijat
More informationODREĐIVANJE DINAMIČKOG ODZIVA MEHANIČKOG SUSTAVA METODOM RUNGE-KUTTA
Sveučilište u Zagrebu GraĎevinski faklultet Kolegij: Primjenjena matematika ODREĐIVANJE DINAMIČKOG ODZIVA MEHANIČKOG SUSTAVA METODOM RUNGE-KUTTA Seminarski rad Student: Marija Nikolić Mentor: prof.dr.sc.
More informationSveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku. Sveučilišni preddiplomski studij matematike
Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Lorena Škalac Fermatova metoda beskonačnog spusta Završni rad Osijek, 014. Sveučilište J.J.Strossmayera
More informationDESIGN AND CALCULATION OF RING SPRINGS AS SPRING ELEMENTS OF THE WAGON BUFFER UDC : Jovan Nešović
FACTA UNIVERSITATIS Series: Mechanical Engineering Vol.1, N o 9, 2002, pp. 1127-1133 DESIGN AND CALCULATION OF RING SPRINGS AS SPRING ELEMENTS OF THE WAGON BUFFER UDC 62-272.43:623.435 Jovan Nešović Faculty
More informationREVIEW OF GAMMA FUNCTIONS IN ACCUMULATED FATIGUE DAMAGE ASSESSMENT OF SHIP STRUCTURES
Joško PAUNOV, Faculty of Mechanical Engineering and Naval Architecture, University of Zagreb, Ivana Lučića 5, H-10000 Zagreb, Croatia, jparunov@fsb.hr Maro ĆOAK, Faculty of Mechanical Engineering and Naval
More informationKonstekstno slobodne gramatike
Konstekstno slobodne gramatike Vežbe 07 - PPJ Nemanja Mićović nemanja_micovic@matfbgacrs Matematički fakultet, Univerzitet u Beogradu 4 decembar 2017 Sadržaj Konstekstno slobodne gramatike Rečenična forma
More informationNeprekidan slučajan vektor
Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Ana Leko Neprekidan slučajan vektor Završni rad Osijek, 3 Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel
More informationVELOCITY PROFILES AT THE OUTLET OF THE DIFFERENT DESIGNED DIES FOR ALUMINIUM EXTRUSION
VELOCITY PROFILES AT THE OUTLET OF THE DIFFERENT DESIGNED DIES FOR ALUMINIUM EXTRUSION J.Caloska, J. Lazarev, Faculty of Mechanical Engineering, University Cyril and Methodius, Skopje, Republic of Macedonia
More informationFunkcijske jednadºbe
MEMO pripreme 2015. Marin Petkovi, 9. 6. 2015. Funkcijske jednadºbe Uvod i osnovne ideje U ovom predavanju obradit emo neke poznate funkcijske jednadºbe i osnovne ideje rje²avanja takvih jednadºbi. Uobi
More informationUvod u dinamičko programiranje
Uvod u dinamičko programiranje Andreja Ilić Aleksandar Ilić e-mail: ilic andrejko@yahoo.com e-mail: aleksandari@gmail.com Prirodno Matematički Fakultet u Nišu 1 Uvod Jedan od čestih algoritamskih problema
More informationMATEMATIČKA REZERVA ŽIVOTNIH OSIGURANJA
UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIČKI FAKULTET Master rad MATEMATIČKA REZERVA ŽIVOTNIH OSIGURANJA Mentor: Student: Prof. dr Slobodanka Janković Aleksandra Raičević Br. indeksa: 153/213 Beograd, jul 215. Sadržaj
More informationIV razred- matematika. U prvoj nedelji septembra planirano je obnavljanje gradiva druge godine (3 èasa), a 4-tog èasa radi se inicijalni test.
Profesor: Ivana Obrenoviã Termini za konsultacije: IV razred- matematika U prvoj nedelji septembra planirano je obnavljanje gradiva druge godine (3 èasa), a 4-tog èasa radi se inicijalni test. TEMA 1.
More information