Izbrana poglavja iz velikih omreºij 1. Zbornik seminarskih nalog iz velikih omreºij

Transcription

1 Izbrana poglavja iz velikih omreºij 1 Zbornik seminarskih nalog iz velikih omreºij Ljubljana, 2015

2 CIP Kataloºni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjiºnica, Ljubljana (678)( ) Izbrana poglavja iz velikih omreºij 1[Elektronski vir] : Zbornik seminarskih nalog iz velikih omreºij/ [urednika] Matjaº Krnc, Riste krekovski. - El. knjiga. - Ljubljana : samozal. R. krekovski, 2015 Na in dostopa (URL): Gradiva/Zborniki/IPVO1.pdf ISBN (pdf) 1. Krnc, Matjaº,

3 Seminarske naloge iz tega zbornika so nastale v okviru razli nih predmetov na Fakulteti za matematiko in ziko, v letih Zbornik je pedago²ke narave, namen je bralcu ponuditi nekatere zanimive teme iz velikih omreºij v slovenskem jeziku. Vsebina poglavij iz tega zbornika sledi priznanim objavljenim lankom ter knjigam v angle²kem jeziku. Nekatere seminarske naloge so z namenom ve je preglednosti urejene in/ali zdruºene. Za izdelavo seminarskih nalog se zahvaljujemo ²tudentom: Miha Erºen, Zala Herga, Ana pela Hodnik, Blaºka Hunski, Barbara Ikica, Teja Klemen i, Nina Klop i, Sabina Kramer, Leon Lampret, Jerneja Pikelj, Nika Smodi², Maja Smrke, Simon kerjanec, Nika u²teri, Petra Zupan in Nina Zupan i.

4 Izbrana poglavja iz velikih omreºij 1 Zbornik seminarskih nalog iz velikih omreºij Urednika: Samozaloºba: Oblikovanje: Matjaº Krnc, Riste krekovski Riste krekovski Matjaº Krnc ISBN: Ljubljana, September 2015

5 Kazalo 1 Samopodobni graf in Farey graf za kompleksna omreºja Omreºja in kompleksna omreºja Samopodobni gra za kompleksna omreºja Denicije uporabljenih izrazov Iterativni algoritem konstrukcije samopodobnega grafa H(t) Rekurzivni postopek konstrukcije samopodobnega grafa H(t) Nekatere lastnosti grafa H(t) Farey graf za kompleksna omreºja Denicije uporabljenih izrazov Iterativni algoritem konstrukcije Farey grafa F (t) Rekurzivni postopek konstrukcije Farey grafa F (t) Nekatere lastnosti grafa F (t) Zaklju ek Povezanost v omreºjih Osnovni izreki Uvod v minimalne prereze Minimalni prerezi vseh parov to k Lastnosti minimalnega prereza v neusmerjenih grah Predstavitev minimalnih prerezov s kaktusom Algoritmi na grah: povezanost na podlagi pretoka Algoritmi na grah: povezanost po to kah Algoritmi na grah: povezanost po povezavah Algoritmi, ki ne temeljijo na pretoku Algoritem: Minimalni prerez (Stoer in Wagner) povezane komponente Mo no povezane komponente povezane komponente Fenomen majhnega sveta algoritmi na perspektiva Uvod Model in algoritem ƒasi dospetja Zaklju ek Razvoj omreºij malih svetov z geografskimi preferencami Povzetek Uvod

6 6 KAZALO 4.3 Modela OHO in ZRG Razvoj modela omreºja majhnih svetov Strukturne lastnosti razvijajo ih se omreºij majhnih svetov Distribucije stopenj Koecient gru avosti Povpre na dolºina poti Premer deterministi nih omreºij Zaklju ek Razvijajo a psevdofraktalna omreºja Uvod Konstrukcija Topolo²ke lastnosti Porazdelitev stopnje Koecient gru avosti Povpre na dolºina poti Zaklju ek Fenomen majhnega sveta: Algoritmi na perspektiva Uvod Modeliranje fenomena Gra Naklju ni gra z dano stopnjo povezanosti Naklju ni gra s poten nim zakonom Lokalni gra Hibridni gra s poten nim zakonom Algoritmi na grah Ekstrakcija lokalnega grafa Ra unanje maksimalnega kratkega pretoka Model: omreºja in decentralizirani algoritmi Ostali rezultati Zaklju ek Hierarhi no gru enje na grah Particija mnoºice vozli² grafa Gru enje v splo²nem Gru enje z metodo k-srednjih vrednosti Hierarhi no gru enje Hierarhi no gru enje na vozli² ih grafa Risanje Zaklju ek Primerjava omreºij Izomorzem grafov Iskanje izomorzma Preprost algoritem sestopanja McKay-ev Nauty algoritem

7 KAZALO Zahtevnost iskanja izomorzmov oziroma kako prelisi iti nauty algoritem Podobnost grafov Urejevalna razdalja Razlika v dolºini poti Najve ji skupni podgra Hevristike za Identikacijo Grafov Naklju ni gra Nove grafovske statistike Spektralne lastnosti naklju nih grafov Omreºne strukture v resni nem svetu in njihovi mehani ni omreºni modeli Omreºne strukture v resni nem svetu Mali svetovi Brez-lestvi na omreºja Robustnost naklju nega in brez lestvi nega omreºja

8 8 KAZALO

9 Poglavje 1 Samopodobni graf in Farey graf za kompleksna omreºja Nina Klop i in Nika Smodi² 1.1 Omreºja in kompleksna omreºja Omreºje je nabor to k, imenovanih vozli² a, in rt, imenovanih povezave, ki te to ke povezujejo. V kontekstu teorije omreºij pa je kompleksno omreºje graf z netrivialnimi topolo²kimi zna ilnostmi, ki se ne pojavijo v enostavnih grah, vendar pogosto v realnih grah. To je mlado in aktivno podro je raziskovanja [12], [7]. Podro je kompleksnih omreºij povezuje teorijo grafov s statistiko, sociologijo in informatiko. Kompleksna omreºja se ne uporabljajo zgolj v matematiki in teoreti nem ra unalni²tvu, ampak tudi v sociologiji, biologiji in ziki, saj z njimi lahko predstavimo poljubno strukturo v naravi [4]. V nadaljevanju bova v lo enih razdelkih 1.2 in 1.3 opisali 2 obliki omreºij in njune glavne zna ilnosti. 1.2 Samopodobni gra za kompleksna omreºja Raziskave v zadnjih nekaj letih so pokazale, da ve ina omreºij kot na primer WWW, internet, telefonska mreºa, transportni sistem, elektri ni, vodovodni sistem, socialna in biolo²ka omreºja pripadajo razredu omreºij, znanim kot small world in scale free omreºja. Ta omreºja imajo majhen premer (diameter) in povpre no razdaljo v primerjavi z na primer slu ajnimi omreºji z istim ²tevilom vozli² in povezav. V veliko primerih imajo vozli² a veliko skupnih sosedov. Pomembna zna ilnost je tudi, da ²tevilo povezav pri vozli² ih sledi poten ni porazdelitvi. Prav tako je bilo ugotovljeno, da je veliko realnih omreºij tudi samopodobnih (angl. self-similar) (Denicija 1.4). Predstavljeni so bili nekateri deterministi ni modeli za omreºja, ki bazirajo na iterativni konstrukciji - tak²en postopek konstrukcije samopodobnega ravninskega grafa s koecientom gru enja enakim 0 bo predstavljen tudi tukaj [1]. 9

10 10POGLAVJE 1. SAMOPODOBNI GRAF IN FAREY GRAF ZA KOMPLEKSNA OMREšJA Denicije uporabljenih izrazov Kot vemo, je graf ravninski, e se ga da narisati v ravnini, ne da bi se povezave sekale. Small world omreºje je tip grafov, v katerih ve ina vozli² ni sosedna med seboj, vendar pa je ve ina vozli² dosegljiva iz vsakega drugega vozli² a preko malega ²tevila skokov oziroma korakov. Torej small world omreºje je omreºje, kjer je razdalja L med dvema naklju no izbranima vozli² ema proporcionalna logaritmu ²tevila vozli² v tem omreºju, torej L log n, kjer je n ²tevilo vozli² [10]. Denicija 1.1 Za graf G = (V, E) in k = 1, 2,... je porazdelitev stopenj grafa G dana z p k = deleº vozli² s stopnjo k. Torej je za v V, P [deg(v) = k] = p k. Omreºje pa je poimenovano scale free omreºje, e je porazdelitev stopenj tega omreºja P (k) asimptoti no za velike k preprosta poten na porazdelitev, torej kjer je γ > 0 [2], [5]. lim P (k) k k γ, Denicija 1.2 Diameter grafa G je deniran z diam(g) = max{d(a, b); a, b V (G)}, kjer je d(a, b) razdalja med vozli² ema a in b [6]. Denicija 1.3 Koecient gru enja vozli² a v v grafu G je verjetnost, da sta dve naklju no izbrani sosedni vozli² i od vozli² a v direktno povezani med seboj [3]. Graf G = (V, E) naj bo povezan, lokalno kon en, neskon en, brez zank in dvojnih ali ve ih povezav. Mejna vozli² a ali meja θc mnoºice vozli² C V (G) je mnoºica vozli² v V (G) \ C, ki imajo povezavo do nekega vozli² a v C. Zaprtje za C pa naj bo denirano kot C θc. Naj bo sedaj F mnoºica vozli² iz V (G), F V (G). Potem naj C G F ozna uje mnoºico povezanih komponent v G[V (G) \ F ]. Denirajmo reduciran graf G F preko lastnosti: naj bo V (G F ) = F ter poveºemo dve vozli² i x, y V (G F ) z povezavo, e obstaja C C G F, tako, da sta x in y mejni za C. Denicija 1.4 Graf G je samopodoben glede na F in Ψ : V (G) V (G F ), e: vozli² a v F niso sosedna v G, presek zaprtij dveh razli nih komponent v C G F vsebuje ne ve kot eno vozli² e, Ψ je homomorzem G in G F [8]. Samopodobnost lahko deniramo tudi na splo²nih objektih. Po tej deniciji je le-ta takoj razvidna v kasnej²i iterativni konstrukciji. V matematiki je samopodoben objekt tisti objekt, ki je to no ali pribliºno tak, kot del njega samega (to je, celoten objekt ima enako obliko kot en ali ve njegovih delov) [9].

11 1.2. SAMOPODOBNI GRAFI ZA KOMPLEKSNA OMREšJA Iterativni algoritem konstrukcije samopodobnega grafa H(t) Denicija 1.5 Naj bo generirajo cikel C 4 tisti cikel, katerega vozli² a niso vpeljana v istem iterativnem koraku, pasivni cikel C 4 pa tisti cikel, katerega vozli² a so vpeljana v istem iterativnem koraku. V koraku t 1 generirajo cikel v naslednjem koraku t ni ve generirajo. Zgled 1.6 Za t = 0 je H(0) cikel na ²tirih to kah, torej C 4 in naj bo generirajo. Za t 1 je graf H(t) dobljen iz H(t 1) tako, da v vsak generirajo cikel C 4 "vgradimo"nov cikel C 4 in poveºemo vozli² a tega novega cikla z vozli² i generirajo ega cikla glede na njihov poloºaj, kar je razvidno na Slikah 1.1 in 1.2. Slika 1.1: Graf H(t) v koraku t = 1, imamo 4 generirajo e cikle C 4 [1]. Slika 1.2: Graf H(t) v koraku t = 2 in t = 3 [1].

12 12POGLAVJE 1. SAMOPODOBNI GRAF IN FAREY GRAF ZA KOMPLEKSNA OMREšJA Rekurzivni postopek konstrukcije samopodobnega grafa H(t) Denicija 1.7 Graf H(t) lahko deniramo tudi kot: Za t = 0 je H(0) cikel na ²tirih to kah, C 4. Za t 1 je H(t) sestavljen iz ²tirih kopij grafa iz prej²njega koraka preko izena evanja vozli² za etnega pasivnega cikla od vsakega H(t 1) s ²tirimi cikli kocke Q 3, tako, da dva nasprotna si cikla na tej kocki Q 3 ostaneta prosta, kar je vidno na Sliki 1.3. Slika 1.3: Rekurzivna konstrukcija H(t) v t = 1, 2, 3 [1] Nekatere lastnosti grafa H(t) Velikost grafa Naj bo Ṽ (t) mo mnoºice vozli² vpeljanih v koraku t, Ẽ(t) pa mo mnoºice povezav vpeljanih v koraku t. C(t) pa naj bo ²tevilo generirajo ih ciklov C4 v koraku t (te cikli bodo potrebni za konstrukcijo grafa H(t + 1)). Trditev 1.8 V vsaki iteraciji je vsak generirajo cikel zamenjan z ²tirimi novimi generirajo imi cikli in enim pasivnim ciklom. Torej je zato za t 1, pri emer velja, da je C(0) = 1. To diferencialno ena bo re²i re²itev C(t + 1) = 4 C(t), C(t) = 4 t.

13 1.2. SAMOPODOBNI GRAFI ZA KOMPLEKSNA OMREšJA 13 Dokaz. Vemo, da velja C(t + 1) = 4 C(t) Namesto lena C(t) pi²emo a t, s imer diferen na ena ba preide v a t+1 4 a t = 0. Sedaj vzamemo nastavek za re²evanje homogene diferen ne ena be: a t = λ t, s imer dobimo λ t+1 4 λ t = 0, kar delimo z λ t in dobimo da je λ = 4. Torej je re²itev res kar re²i tudi za etni pogoj C(0) = 1. a t = C(t) = 4 t, Iz tega sledi ²e ve, saj vsak generirajo cikel v naslednjem koraku iteracije vpelje ²tiri nova vozli² a in osem novih povezav. Zato je Ṽ (t) = 4 C(t 1) = 4 4 t 1 in Ẽ(t) = 8 C(t 1) = 8 4 t 1 = 2 4 t, iz esar sledi naslednja trditev. Trditev 1.9 Mo mnoºice vozli² in mo mnoºice povezav je enaka in V (t) = t i=0 Ṽ (i) = 4t E(t) = t i=0 Ẽ(i) = 2 4t Dokaz. Dokaz gre z indukcijo na t. Velja, da je Ṽ (t) = 4t. 1) Pri t = 0 je S 0 = = 4 = Ṽ (0) in tako za t = 0 drºi. 3 2) Naredimo indukcijski korak t t + 1 in uporabimo indukcijsko predpostavko t S t+1 = S t + Ṽ (t + 1) = i=0 Ṽ (i) + Ṽ (t + 1) = = 4t t = 4t+1 (1 + 3) kar dokazuje trditev. Za E(t) dokaz te e podobno. = 4t t = 4t+2 + 8, 3 =

14 14POGLAVJE 1. SAMOPODOBNI GRAF IN FAREY GRAF ZA KOMPLEKSNA OMREšJA Korak Vozli² Povezav tevilo generirajo ih ciklov t 4 t t t Tabela 1.1: tevilo vozli² in povezav ter generirajo ih ciklov v grafu H(t) [1].. Porazdelitev stopenj V t = 0 je graf enak enemu generirajo emu ciklu C 4 in njegova ²tiri vozli² a imajo stopnjo enako 2. Ko je dodano novo vozli² e i v koraku iteracije t i (t i 1), ima to vozli² e stopnjo enako 3. Naj C(i, t) ozna uje ²tevilo generirajo ih ciklov v iteraciji t, v katerih bodo ustvarjena nova vozli² a, ki bodo povezana z vozli² em i v koraku t + 1. V koraku t i, ko je vozli² e i vpeljano, je vrednost C(i, t i ) enaka 2. Glede na konstrukcijo, v vsaki iteraciji vsak nov sosed vozli² a i pripada dvema generirajo ima cikloma, katerima je vozli² e tudi vozli² e i. ƒe z k(i, t) ozna imo stopnjo vozli² a i v koraku t, dobimo zvezo C(i, t) = k(i, t) 1. Ker vsak generirajo cikel, kateremu i pripada, porodi dva nova generirajo a cikla, ki prav tako vsebujeta vozli² e i, je C(i, t) = 2 C(i, t 1). Ker je C(i, t i ) = 2, dobimo C(i, t) = 2 t t i+1. Od tod lahko izra unamo tudi stopnjo to ke i v koraku t k(i, t) = 2 t t i Pri tem za etna ²tiri vozli² a (v koraku 0) sicer sledijo druga nemu procesu. V tem primeru je C(i, t) = 2 t in k(i, t) = 2 t + 1. V koraku t imajo za etna ²tiri vozli² a grafa enako stopnjo kot tista, vpeljana v koraku 1. Iz formule za stopnjo to ke lahko vidimo, da gre za diskretno porazdelitev stopenj. Enaka informacija kot porazdelitev stopenj je v asih predstavljena v obliki kumulativne porazdelitve stopenj, ki pomeni deleº vozli² s stopnjo ve jo ali enako k [11]. Potem je kumulativna porazdelitev stopenj (na primer preko Newmanove metode, kot navedeno v [1]) P cum (k) za vozli² e s stopnjo k enaka P cum (k) = 4t i t Namesto t i vstavimo t i = t+1 ln(k 1), in dobimo ln 2 P cum (k) = 16 kt (k 1) 2 + 8, 4 t + 8

15 1.2. SAMOPODOBNI GRAFI ZA KOMPLEKSNA OMREšJA 15 kar lahko za velike t zapi²emo kot P cum (k) k 1 γ k = k 2, torej za velike grafe (velik t) sledi poten ni porazdelitvi z eksponentom γ k = 3. Diameter V vsakem koraku so za vsak generirajo cikel vpeljana ²tiri nova vozli² a, ki tvorijo cikel C 4 (ta vozli² a so na najve ji razdalji enaki 2). Ko se ta ²tiri vozli² a zdruºijo z grafom iz prej²njega koraka diameter naraste za to no 2 enoti. ƒe D t ozna uje diameter v koraku t, je D t = D t 1 + 2, e t 2. Trditev 1.10 Ker je D 1 = 3, je diameter grafa H(t) enak e je t 1. diam(h(t)) = D t = 2 t + 1, Dokaz. Re²iti je potrebno diferencialno ena bo D t = D t Homogeni del: D t D t 1 = 0, Vstavimo noter nastevek D t = λ t, kraj²amo in dobimo λ 1 = 0, torej λ = 1, in homogeni del re²itve je enak D H t = A 1 t = A. Partikularni del: b n = 2, λ = 1, zato je nastavek za partikularno re²itev enak = C t 1 1 t = C t. To vstavimo v diferencialno ena bo in re²imo D P ART t Torej je re²itev enaka D t = D H t C t C (t 1) = 2, C = 2. + D P ART t = A + 2 t, kar vstavimo v za etni pogoj, da je D 1 = 3 in dobimo A = 1, torej je D t = 2 t + 1.

16 16POGLAVJE 1. SAMOPODOBNI GRAF IN FAREY GRAF ZA KOMPLEKSNA OMREšJA Povpre na razdalja Povpre na razdalja grafa H(t) je denirana kot d t = 2 n (n 1) 1 i<j n kjer je d i,j razdalja med vozli² ema i in j in n = V (t). Povpre na razdalja grafa H(t) se izra una kot d i,j, d t = t + 3(t + 1)16 t t t. Ko gre t, je d t t + 1 ln V (t), kar pomeni, da je graf tipa small world. 1.3 Farey graf za kompleksna omreºja Farey zaporedje reda n je urejeno zaporedje nespremenljivih ulomkov med 0 in 1, z imenovalcem manj²im ali enakim n. Vsako Farey zaporedje se za ne z 0, ozna imo z 0 in 1 kon a z 1, ozna imo z 1. Farey zaporedja reda od 1 do 4 so slede a: 1 F 1 = { 0, 1}, F = { 0, 1, 1}, F = { 0, 1, 1, 2, 1}, F = { 0, 1, 1, 1, 2, 3, 1} Farey zaporedje lahko konstruiramo z mediantami (medianta a in c a+c je ). Farey zaporedje reda n dobimo iz Farey zaporedja reda n 1 z izra unom mediant vsakih dveh b d b+d zaporednih vrednosti v zaporedju reda n 1, shranimo samo podmnoºico mediant, ki imajo imenovalec n in postavimo vsako medianto med 2 vrednosti iz katerih je bila izra- unana. Ker nas zanima povezava teh zaporedij s teorijo grafov, moramo najprej omeniti njihovo povezavo s Farey drevesi. Farey drevo je binarno drevo, ozna eno glede na Farey zaporedje in ima slede o strukturo: levi otrok kateregakoli ²tevila je medianta med tem ²tevilom in najbliºjim manj²im prednikom. Desni otrok pa je medianta z najbliºjim ve- jim prednikom. Za primer vzemimo 2. Njegov najbliºji manj²i prednik je 1, se pravi je 3 2 levi otrok enak 3. Njegov najbliºji ve ji prednik pa je 1, se pravi je desni otrok 3 [13] Slika 1.4: Farey drevo [13]. Na Sliki 1.4 je prikazana konstrukcija Farey drevesa.

17 1.3. FAREY GRAF ZA KOMPLEKSNA OMREšJA 17 Farey zaporedje je povezano s konstrukcijo grafov, znanih kot Farey gra. Farey graf F je graf z mnoºico vozli² z nespremenljivimi racionalnimi ²tevili med 0 in 1. Dve racionalni ²tevili p in r sta v grafu F med seboj povezani, natanko tedaj ko velja rq ps = 1 ali q s rq ps = 1. Farey graf lahko dobimo tudi iz Farey drevesa z dodajanjem novih povezav, kot je prikazano na Sliki 1.5. Slika 1.5: Dodajanje povezav Farey drevesu [13] Denicije uporabljenih izrazov Poglejmo si nekaj osnovnih denicij: Preslikava f : V (G) {1, 2,..., k} je k-barvanje, e velja, da nobeni dve sosednji vozli² i nista enako obarvani. ƒe ima G k-barvanje pravimo, da je G k-obarvljiv. Kromati no ²tevilo χ(h) je minimalni k tako, da je G k-obarvljiv [18]. Hamiltonova pot je v teoriji grafov pot v neusmerjenem grafu, ki gre skozi vsako vozli² e na grafu to no enkrat. ƒe sta za etno in kon no vozli² e poti enaka, jo imenujemo Hamiltonov cikel. Graf, ki vsebuje Hamiltonov cikel, se imenuje Hamiltonov graf [18]. Graf je ravninski, e se ga da narisati v ravnini, ne da bi se povezave sekale. Risbi ravninskega grafa v ravnini pravimo vloºitev. Vloºitev razdeli ravninski graf na obmo ja, ki jih omejujejo povezave. Pravimo jim lica. Med lica ²tejemo tudi zunanje, neomenjeno lice. Ravninski gra so zunanje-ravninski, e vsa vozli² a leºijo na nekem skupnem licu. Njihove vloºitve ponavadi predstavimo s ciklom, ki vsebuje vsa vozli² a, znotraj pa leºijo vse preostale povezave grafa [14], [16]. Podmnoºica vozli² grafa G, U V je klika grafa, e za poljubni razli ni vozli² i u, v U velja, da je uv E(G). Naj bo ω(g) red najve je klike grafa. Graf G je popoln, e za vsak induciran podgraf H grafa G velja χ(h) = ω(h) [15], [17].

18 18POGLAVJE 1. SAMOPODOBNI GRAF IN FAREY GRAF ZA KOMPLEKSNA OMREšJA Iterativni algoritem konstrukcije Farey grafa F (t) Denicija 1.11 Graf F (t) = (V (t), E(t)), t 0, z mnoºico vozli² V (t) in mnoºico povezav E(t) je deniran: za t = 0 ima F (0) dve vozli² i in povezavo med njima, za t 1 dobimo F (t) iz F (t 1), tako da vsaki povezavi, ki je bila dodana v koraku t 1, dodamo novo vozli² e in ga poveºemo s kraji² i povezave iz koraka t 1. Na Sliki 1.6 so prikazani Farey gra F (t), za t = 0, 1, 2, 3. Slika 1.6: Farey gra F (t), za t = 0, 1, 2, 3 [13]. Denicija 1.12 Povezave, ki jim v naslednjem koraku iterativnega algortima dodamo novo vozili² e, torej tiste povezave, ki so v teko em koraku nastale, imenujemo generirajo e povezave Rekurzivni postopek konstrukcije Farey grafa F (t) Graf F (t), t > 1 lahko skonstruiramo rekurzivno z dvema kopijama grafa F (t 1), tako da zdruºimo dve za etni vozli² i (iz vsake kopije F (t 1) eno) in dodamo novo povezavo med drugima dvema za etnima vozli² ema Nekatere lastnosti grafa F (t) Druºina Farey grafov ima nekaj zanimivih lastnosti. Gra so minimalno 3-obarvljivi, enoli no Hamiltonski, maksimalno zunanje - ravninski in popolni.

19 1.3. FAREY GRAF ZA KOMPLEKSNA OMREšJA 19 Velikost grafa Zaradi determinisiti ne narave grafa, lahko deniramo natan ne vrednosti za ustrezne topolo²ke lastnosti te druºine grafov in sicer velikost, porazdelitev stopenj, diameter, povpre no razdaljo in koecient gru avosti. Deniramo ²tevilo novih to k in ²tevilo novih povezav na koraku t z oznakama L V (t) in L E (t). Trditev 1.13 Za t = 0 velja: L V (0) = 2 in L E (0) = 1 Vsaka generirajo a povezava prinese novo vozli² e in dve novi generirajo i povezavi v naslednji iteraciji. Za t 1 veljata naslednji zvezi: L V (t) = L E (t 1) Ti dve diferencialni ena bi re²ita re²itvi: L E (t) = 2 L E (t 1) L E (t) = 2 t L V (t) = 2 t 1 Dokaz. Namesto lena L E (t) pi²emo a t. L E (t) = 2 L E (t 1) preide v a t 2 a t 1 = 0. Sedaj vzamemo nastavek za re²evanje homogene diferencialne ena be: a t = λ t, s imer dobimo λ t 2 λ t 1 = 0, to delimo z λ t 1 in dobimo da je λ = 2. Torej je re²itev res a t = L E (t) = 2 t kar re²i tudi za etni pogoj L E (0) = 1. Ker smo dokazali, da je za L E (t) = 2 L E (t 1) re²itev L E (t) = 2 t, potem velja tudi L V (t) = 2 t 1. Trditev 1.14 Velja ²e ve in sicer: V (t) = t L V (i) = 2 t + 1 in E(t) = i=0 t L E (i) = 2 t+1 1 i=0 Dokaz. Dokaz podobno kot v dokazu Trditve 1.9.

20 20POGLAVJE 1. SAMOPODOBNI GRAF IN FAREY GRAF ZA KOMPLEKSNA OMREšJA Porazdelitev stopenj Porazdelitev stopenj grafa F (t) je razvidna iz naslednjih dejstev. Pri t = 0 ima graf dve vozli² i stopnje 1. Ko dodamo novo vozli² e v na koraku t c,v, ima to novo vozli² e stopnjo 2 in je povezano z dvema generirajo ima povezavama. Vsa vozli² a v grafu, razen za etnih dveh, so vedno povezana z dvema generirajo ima povezavama in stopnja vozli² a se pove a za dve enoti v naslednjem koraku. Trditev 1.15 Kumulativna porazdelitvena stopnja grafa F (t) sledi eksponenti porazdelitvi P cum (δ) 2 δ 2 Dokaz. Ozna imo z δ v (t) stopnjo vozli² a v na koraku t. Vemo, da velja: δ v (t + 1) = δ v (t) + 2 za vsak v V (t), v 0 1, 1 1 δ 0 (t) = δ 1 (t) = t ƒe je t c,v (t c,v > 0) korak na katerem je vozli² e v dodano grafu, potem je δ v (t c,v ) = 2 in zato: δ v (t) = 2(t t c,v + 1) (1.1) Porazdelitev stopenj vozli² grafa F (t) je zato naslednja: ²tevilo vozli² stopnje 2 1, 2 2, 2 3,, 2 t je enako 2 t 1, 2 t 2,..., 2, 1, za etna vozli² a pa imata stopnjo t + 1. Porazdelitev stopenj P (δ) za omreºja nam da verjetnost, da ima naklju no izbrano vozli² e to no δ povezav. Iz analize porazdelitevnih stopenj omreºij v praksi vidimo, da obi ajno upo²tevamo njihovo kumulativno porazdelitev P cum (δ) = P (δ ), kar pa je verjetnost, da je stopnja vozli² a ve ja ali enaka δ. Omreºja, katerih porazdelitvena stopnja je eksponentna P (δ) e αδ imajo eksponentno kumulativno porazdelitev z istim eksponentom P cum (δ) = P (δ ) δ =δ δ =δ δ =δ ( ) e α e αδ = e αδ e α 1 Ker pa za etni dve vozli²ci prispevata zelo malo k porazdelitveni stopnji lahko uporabimo ena bo (1.1). Za graf F (t) potem velja, da je P cum (δ) P (t τ = t δ 2 ). Za velike t 2 zato velja τ L V (t ) P cum (δ) V (t) = 2 τ 2 t t 1 2 t + 1 δ 2 2 t =0 t =1

21 1.3. FAREY GRAF ZA KOMPLEKSNA OMREšJA 21 Diameter Trditev 1.16 Diameter grafa F (t) je enak diam(f (t)) = t, t 1, ter diam(f (0)) = 1. Dokaz. Predstavljena bo le ideja dokaza. Diameter za t = 0 in t = 1 je enak 1. Na vsakem koraku t 1 postopka konstrukcije grafa, je najdalj²a pot med pari vozli² pri to kah, ki so bile dodane na koraku t. Vozli² a dodana na koraku t 1 med seboj niso povezana in so vedno povezana z dvema vozli² ema, ki smo jih dodali na dveh razli nih korakih. Vzemimo sedaj vozli² i v t in w t, ki smo jih dodali na koraku t 2. Vozli² e v t je povezano z dvema vozli² ema, eno od njiju mora biti dodano na koraku t 1 eno pa na kateremkoli od t 2 do 0. Predpostavimo dva primera: 1. za t = 2m (za sode t), iz v t v m skokih doseºemo vozli² e grafa F (0), kar lahko doseºemo tudi iz vozli² a w t, po podobni poti. Zato je diameter diam(f (2m)) 2m. 2. t = 2m + 1 (za lihe t). V tem primeru se po m skokih ustavimo v F (1), za katerega vemo, da ima diameter 1 in naredimo m skokov po podobni poti da doseºemo w t. Zato je diam(f (2m + 1)) 2m + 1. Iz tega dokaz preprosto sledi in je diam(f (t)) = t za vse t 1 [13]. Povpre na razdalja Povpre na razdalja grafa G(t) je denirana kot d t = 2 n (n 1) 1 u<v n d(u, v), kjer je d(u, v) razdalja med vozli² ema u in v in n = V (t). Povpre na razdalja grafa F (t) se izra una kot d t = 2t (5 + ( 1) t + (6t + 17)2 t + (6t 5)4 t. 9(2 t + 1) Koecient gru avosti Za graf G = (V, E) je koecient gru avosti za vozli² e v s stopnjo δ v c(v) = 2 ɛv, kjer je ɛ δ v(δ v 1) v ²tevilo povezav med δ v vozli² i, ki so sosedni v. deniran kot Koecient gru avosti za graf G pa je deniran kot c(g) = 1 V (G) v V (G) c(v). Trditev 1.17 Koecient gru avosti za graf F (t) je enak c(f (t) = 1 [ t 1 V (G) i 2t i + 2 t + 1 2]. i=1

22 22POGLAVJE 1. SAMOPODOBNI GRAF IN FAREY GRAF ZA KOMPLEKSNA OMREšJA Dokaz. Ko je vozli² e v dodano v graf, je njegova stopnja δ v = 2 in ɛ v = 1. Vsaka naslednja dodana povezava k temu vozli² u zvi²a oba parametra za 1. Torej ɛ v = δ V 1 za vse v v vsakem koraku. Torej je za vozli² e v s stopnjo δ v, c(v) = 2 δ v. ƒe uporabimo ²e porazdelitev stopenj grafa F (t), pridemo do formule za koecient gru avosti. Koecient gru avosti pa gre za velike t k ln 2, kar je veliko. 1.4 Zaklju ek Predstavljeni obliki kompleksnih omreºij sta zaradi svojih zna ilnosti uporabni za veliko realnih omreºij. Prvo obliko, samopodobni graf, povezujejo predvsem s socialnimi, tehnolo²kimi omreºji in pa ºivimi organizmi (omreºjem interakcij protein-preotein) [1]. Drugo obliko, Farey grafe, pa poleg socialnih in tehnolo²kih omreºij povezujejo ²e z elektronskimi vezji in biolo²kimi sistemi kot so metaboli ne mreºe in beljakovine [13].

23 Literatura [1] L. Chen, F. Comellas in Z. Zhang, Self-similar planar graphs as models for complex networks, arxiv: v1, [2] A. Polynikis, Random Walks & Scale-Free Networks, 2006, [ogled ], dostopno na [3] M. Brautbar in M. Kearns A Clustering Coecient Network Formation Game, arxiv: , [4] R. krekovski, Modeli in mere kompleksnih mreº, 2012, [ogled ], dostopno na Omrezja/Prezntacija_Komplekse_Mreze.pdf. [5] G. Fairchild in J. Fries, Social Networks: Models, Algorithms, and Applications (Lecture notes), 2012, [ogled ], dostopno na edu/~sriram/196/spring12/lecturenotes/lecture3.pdf. [6] A. Witno, Graph theory, 2006, [ogled ], dostopno na philadelphia.edu.jo/math/witno/notes/won4.pdf. [7] Network Graphs, [ogled ], dostopno na bennett_nelson/conceptual/netgraphs/graphs.htm. [8] B. Krön, Growth of Self-Similar Graphs, arxiv: math/ , [9] Self-similarity, [ogled ], dostopno na Self-similarity. [10] Small-world network, [ogled ], dostopno na wiki/small-world_network. [11] Degree distribution, [ogled ], dostopno na Degree_distribution. [12] Complex network, [ogled ], dostopno na wiki/complex_network. [13] Z. Zhang, F. Comellas, Farey graphs as models for complex networks, arxiv: v1, [14] Outerplanar graph, [ogled ], dostopno na wiki/outerplanar_graph. [15] Perfect graph, [ogled ], dostopno na Perfect_graph. [16] R. krekovski, Teorija barvanj grafov, 2010, [ogled ], dostopno na http: // 23

24 24 LITERATURA [17] Clique (graph theory), [ogled ], dostopno na wiki/clique_(graph_theory). [18] Teorija grafov, [ogled ], dostopno na Barvanje.html.

25 Poglavje 2 Povezanost v omreºjih Miha Erºen, Zala Herga, Nika u²teri, Nina Zupan i Uvod V seminarski nalogi smo se osredoto ili predvsem na mo i povezav med to kami, z ozirom na ²tevilo po povezavah oz. to kah disjunktnih poti (vertex- or edge-disjoint paths). Kot bomo videli v nadaljevanju, je to ekvivalentno vpra²anju, koliko vozli² (nodes) oziroma povezav (edges) moramo odstraniti iz grafa, da uni imo vse poti med dvema to kama (vertices). Osnovna denicija povezanosti pravi, da je graf G = (V, E) povezan, e za vsak par to k u, v V obstaja pot v G med njima. Najve jemu povezanemu delu grafa pravimo komponenta. To ko v grafa G imenujemo prerezna to ka, e ima graf G v ve komponent kot G. Podobno imenujemo povezavo e grafa G prerezna povezava oziroma most, e z odstranitvijo te povezave dobimo graf z ve komponentami, kot jih je imel prvotni graf G. Graf G je (po to kah) k-povezan (k N, V (G) > k), e je G S povezan za vsako mnoºico to k S V, kjer je S < k; k-povezan graf ima vsaj k + 1 to k. ƒe je graf k-povezan, je tudi j-povezan za vsako ²tevilo j k. Najve je ²tevilo k, za katero je graf G k-povezan, imenujemo povezanost grafa G in ga ozna imo s κ(g). Graf G je po povezavah l-povezan, e je za vsako (prerezno mnoºico povezav) F E G F povezan, pri emer je F < l. Z λ(g) ozna imo najve ji l, za katerega je G ²e po povezavah l-povezan. Povezanost po povezavah lahko deniramo tudi takole: λ(g) grafa G je najmanj²e ²tevilo povezav, brez katerih postane graf G nepovezan. Blok grafa G je maksimalen povezan podgraf brez prereznih to k. Blok grafa je bodisi izolirana to ka v G, bodisi most v G ali pa maksimalen 2-povezan podgraf v G. Zato imata dva razli na bloka najve eno skupno to ko, ki je vedno prerezna to ka. Torej vsaka povezava leºi v enem bloku in je graf unija blokov. Najprej bomo predstavili nekaj splo²nih denicij in izrekov o osnovnih lastnostih povezanosti, ki bodo kasneje zadostovali za razumevanje obravnavanih algoritmov. Pokazali bomo algoritme, ki preverijo k-to kovno (k-povezavno) povezanost, 25

26 26 POGLAVJE 2. POVEZANOST V OMREšJIH izra unajo to kovno (povezavno) povezanost in izra unajo maksimum k-povezanih komponent danega grafa. Kot zgoraj, ozna imo povezanost grafa G s κ(g) in povezanost po povezavah z λ(g). Denirajmo ²e lokalno povezanost κ G (s, t) za dve dolo eni to ki s in t, kot minimalno ²tevilo to k, ki morajo biti odstranjene, da prekinemo vse poti med s in t. V primeru, da obstaja povezava iz s v t, deniramo κ G (s, t) = n 1, saj v nasprotnem primeru κ G ne more prese i n 2 ( e sta s in t povezana s povezavo, ju ni mogo e lo iti le z odstranitvijo to ke). Podobno sledi, da je λ G (s, t) najmanj²e ²tevilo povezav, ki jih moramo odstraniti, da med s in t ni ve nobene poti. Pri neusmerjenih grah o itno velja κ G (s, t) = κ G (t, s) in λ G (s, t) = λ G (t, s), medtem ko pri usmerjenih grah te funkcije v splo²nem niso simetri ne. Izrazi v literaturi se med seboj malo razlikujejo, zato velja ²e enkrat poudariti imena na²ih osnovnih izrazov, ki jih bomo uporabljaji v nadaljevanju (razlaga le-teh zgoraj): prerezna to ka, prerezna povezava oz. most, komponenta in blok. Blo ni graf B(G) grafa G sestavljajo po ena to ka iz vsakega bloka grafa G. Dve to ki blo nega grafa sta sosednji, e in samo, e si pripadajo a bloka delita skupno to ko (tj. prerezno to ko). Tako imenovani prerezni graf (cutpoint-graph) C(G) grafa G je sestavljen iz to ke za vsako prerezno to ko iz G, kjer so si to ke sosednje samo, e je pripadajo a prerezna to ka del istega bloka grafa G. Za blo ni in prerezni graf veljajo naslednje enakosti, in sicer: B(B(G)) = C(G) ter B(C(G)) = C(B(G)). Blo no-prerezni graf grafa G je dvodelen graf, sestavljen iz mnoºice prereznih to k grafa G in mnoºice to k, ki predstavljajo bloke grafa G. Prerezna to ka je sosednja blo ni-to ki, natanko takrat, ko prerezna to ka pripada prilegajo emu se bloku. Blo no-prerezni graf povezanega grafa je drevo. Maksimalen k-povezan (oz. po povezavah k-povezan) podgraf imenujemo k-komponentni podgraf (oz. po povezavah k-komponentni podgraf). Po povezavah k-komponentni graf, ki ne vsebuje nobene od (k+1)-komponent se imenuje segment oz. gru a (cluster). 2.1 Osnovni izreki Izrek 2.1 Za vse netrivialne grafe G velja: κ(g) λ(g) δ(g). Dokaz. Naj ima to ka v stopnjo δ(g) ter naj bo F mnoºica vseh inciden nih povezav to ke v. Graf G F je nepovezan. Torej velja λ(g) δ(g). Pokaºimo drugo neenakost. Naj bo S prerezna mnoºica povezav mo i λ(g). ƒe torej odstranimo te povezave, postane graf G S nepovezan. Te povezave pa lahko odstranimo tudi tako, da odstranimo po eno kraji² e vsake od teh povezav - pri odstranitvi to k pazimo, da ne odstranimo vseh to k bodisi v levi bodisi v desni mnoºici. Tak²nih to k je najve λ(g), zato velja κ(g) λ(g). Naslednji izrek je v svojem delu o splo²ni teoriji krivulj objavil Karl Menger [1]. Izrek 2.2 (Menger, 1927) Naj bo G = (V, E) neusmerjen graf in P, Q V podmnoºici to k grafa. Potem je najve je ²tevilo po to kah disjunktnih poti med P in Q (oz. (P, Q)- poti) enako najmanj²emu ²tevilu to k, ki lo ijo mnoºici P in Q tj. najmanj²i mo i (P, Q)- prereza v G.

27 2.1. OSNOVNI IZREKI 27 Od tod sledi eden pomembnej²ih izrekov v teoriji grafov: Posledica 2.3 (Mengerjev izrek) Naj bosta s, t V (s t) nesosednji to ki neusmerjenega grafa G = (V, E). Potem je najve je ²tevilo po to kah disjunktnih (s, t)-poti v G enako najmanj²i mo i mnoºice, ki lo i to ki s in t. Analogen pomen ima naslednji izrek. Izrek 2.4 Najve je ²tevilo po poteh disjunktnih (s, t)-poti v G je enako najmanj²emu ²tevilu povezav, ki lo ijo s in t v G. Zgornjemu izreku pogosto pravimo Mengerjev izrek za povezave, eprav je bil prvi objavljen ²ele tri desetletja po Mengerjevemu izreku (za to ke). Z njim je mo no povezan tudi Max-Flow-Min-Cut izrek Forda in Fulkersona [5], ki pravi, da je v vsakem omreºju vrednost maksimalnega (s, t)-pretoka enaka kapaciteti minimalnega (s, t)-prereza. Mengerjev izrek za povezave si lahko interpretiramo tudi kot poseben primer Max-Flow-Min- Cut izreka, kjer imajo kapacitete vseh povezav enotno vrednost. Tako imenovano Globalno verzijo Mengerjevega izreka je leta 1932 objavil Hassler Whitney [6], zato mu ponavadi pravimo kar Whitneyev izrek. Izrek 2.5 (Whitney, 1932) Naj bo G = (V, E) (netrivialen) graf in k, l pozitivni ²tevili. Graf G je k-povezan natanko takrat, ko vsebuje k po to kah disjunktnih poti med poljubnima dvema to kama. Graf G je po povezavah l-povezan natanko takrat, ko vsebuje l po povezavah disjunktnih poti med poljubnima dvema to kama. Beineke in Harary sta pri²la do podobne ugotovitve za sestavljeno (torej po povezavah in to kah) povezanost (glej [7]). Predpostavila sta tak²ne pare povezanosti (k, l), da obstaja mnoºica k to k in l povezav, za katere velja, da je graf nepovezan, e jih odstranimo. Izrek 2.6 (Beineke & Harary, 1967) Naj bo (k, l) par povezanosti za to ki s in t v grafu G. Potem obstaja k + l po povezavah disjunktnih poti med s in t, med katerimi se jih k zagotovo ne seka. Slede izrek govori o mejah povezanosti po to kah in po povezavah [8]. Izrek 2.7 Maksimum povezanosti (po to kah/povezavah) na grafu z n to kami in m povezavami je { 2m n, e m n 1 0, sicer. je Minimum povezanosti (po to kah/povezavah) na grafu z n to kami in m povezavami { ( m n 1 ) (, e n 1 ) ( < m n 2) 2 0, sicer. Naslednja izjava se nana²a na poseben primer povezanosti po povezavah, z njo pa se je ukvarjal Chartrand [9]: 2

28 28 POGLAVJE 2. POVEZANOST V OMREšJIH Izrek 2.8 Za vse grafe G = (V, E), z minimalno stopnjo δ(g) V / 2, je povezanost po povezavah enaka minimalni stopnji grafa: λ(g) = δ(g). Izreki v nadaljevanju se navezujejo na k-to kovne/povezavne komponente grafa. Dokaj o itni sta dejstvi, da dve razli ni komponenti grafa nimata nobene skupne to ke in si dva razli na bloka delita najve eno skupno to ko. O tem sta v svojem delu o n-povezanih grah pisala Harary in Kodama [2]. Izrek 2.9 Dve razli ni k-(to kovni-)komponenti imata najve k 1 skupnih to k. Velja omeniti, da k-povezavne-komponente ne morejo sovpadati, medtem ko k-to kovnekomponente lahko. Izrek 2.10 (Matula, 1968) Za katerokoli ksno naravno ²tevilo k 1 so k-povezavnekomponente grafa po to kah disjunktne [3]. Dokaz. Predpostavimo (sovpadajo o) dekompozicijo G = G 1 G 2 G t povezanega podgrafa G grafa G. Naj bo C = (A, Ā) prerez grafa G po povezavah na nepovezana dela A in Ā. Predpostavimo ²e, da ima G vsaj 2 to ki (v izogib dokazovanju trivialnega primera). Za vsak podgraf G i, ki vsebuje dolo eno povezavo e C iz minimalnega prereza, velja, da prerez vsebuje tudi prerez za G i (v nasprotnem bi bili dve to ki povezani v G i \C in v G\C, kar bi bilo v protislovju s predpostavko, da je C minimalni prerez). Sledi torej, da je G i tak, da λ( G) = C λ(g i ), od tod pa λ( G) min 1 i t {λ(g i )}, s imer smo dokazali izrek (glej [3]). ƒeprav iz Izreka 2.1 vidimo, da iz k-to kovne/povezavne-povezanosti sledi, da je minimalna stopnja vsaj k, obratno ne velja. V primeru visoke minimalne stopnje, obstaja tudi visoko povezan podgraf. Izrek 2.11 (Mader, 1972) Vsak graf s povpre no stopnjo vsaj 4k ima k-povezan podgraf. Na temo povezanosti usmerjenih grafov je bilo narejenih kar nekaj ²tudij - ena izmed njih se nana²a na usmerjena vpeta drevesa (vpeto drevo v G je vsak podgraf, ki je drevo), s korenom v vozli² u r, ki jim v angle² ini pravimo r-branchings. Izrek 2.12 (Edmondov izrek) V usmerjenem multigrafu G = (V, E), ki vsebuje to ko r, je maksimalna vrednost paroma po povezavah disjunktnih vpetih dreves s korenom v vozli² u r enaka κ G (r), kjer κ G (r) ozna uje minumum (med vsemi mnoºicami to k S V, ki vsebujejo r) ²tevila povezav, ki gre iz S. Povezavo med maksimalnim ²tevilom usmerjenih po povezavah disjunktnih poti in vhodno- ter izhodno- stopnjo to k, nam da Lovász-ev izrek [4]. Izrek 2.13 (Lovász, 1973) Naj bo v V to ka grafa G = (V, E). λ G (w, v) za vse to ke w V, potem d + (v) d (v). Ta izrek lahko uporabimo kot dokaz Kotzig-ove domneve. ƒe λ G (v, w) Izrek 2.14 (Kotzigov izrek) Za usmerjen graf G = (V, E), je λ G (v, w) enaka λ G (w, v) za vse v, w V samo v primeru, ko je graf pseudo-simetri en, to pomeni, da v vseh to kah velja, da je vhodna stopnja enaka izhodni: d + (v) = d (v).

29 2.2. UVOD V MINIMALNE PREREZE Uvod v minimalne prereze V neusmerjenem uteºenem grafu je vsota uteºi na povezavah s kraji² i v disjunktnih mnoºicah to k X in Y denirana z w(x, Y ). Za usmerjene grafe je w(x, Y ) denirana podobno, le da tu ²tejejo le uteºi povezav, ki vodijo iz X v Y. Prerez uteºenega grafa G = (V, E) je mnoºica to k S V, njegova teºa pa je w(s, V \ S). V neuteºenem grafu je teºa prereza enaka ²tevilu povezav iz S v V \ S. Denicija 2.15 Minimalen prerez je tak prerez S, da za vse ostale prereze T velja w(s, V \ S) w(t, V \ T ). Problem algoritma, ki izra una vse minimalne prereze je, da mora vse prereze tudi shraniti, vendar za to porabi veliko prostora. Predlog poceni algoritma je leta 1976 predstavil Dinitz (glej [10]), in sicer kot podatkovno strukturo imenovano kaktus. Ta zdruºuje vse minimalne prereze neusmerjenega (uteºenega) grafa. Velikost kaktusa je linearna s ²tevilom vhodnih to k, kaktus pa omogo a tudi ra unanje prereza v asu, lineranem z velikostjo prereza. Karzanov in Timofeev sta predstavila prvi na in za konstruiranje kaktusa za neuteºene, neusmerjene grafe (glej [11]). Njun algoritem sestavljata 2 dela: v podanem grafu G se v prvem delu poi² e niz vseh minimalnih prerezov grafa G, v drugem delu pa se skonstruira kaktus C G, sestavljen iz tega niza. Algoritem deluje tudi na uteºenih grah, vendar le v primeru pozitivnih uteºi. ƒe so dovoljene negativne uteºi, imamo opravka z N P-polnim problemom. Poleg tega, ni poznana niti pospro²itev iskanja minimalnega prereza za usmerjene grafe. Neuteºen graf lahko preoblikujemo v uteºenega z dodajanjem teºe velikosti 1, na vsako izmed povezav, od koder sledi, da bomo tak graf obravnavali kot v primeru neusmerjenega povezanega grafa s pozitivnimi uteºmi. Predpostavimo omreºje N, denirano z usmerjenim grafom G = (V, E), kapacitetno funkcijo u N, izvorom s, ponorom t in pretokom f. Residualno omreºje R f sestavljajo povezave, ki lahko nosijo ²e dodaten tok, poleg tistega, ki ga ºe nosijo v okviru pretoka f. R f je deniran z grafom G Rf = (V, {(u, v) ((u, v) E ali (v, u) E) in u Rf ((u, v)) > 0}), enakim izvorom s in ponorom t ter slede o kapacitetno funkcijo: c(a, b) f(a, b) + f(b, a), e (a, b) E in (b, a) E u Rf ((a, b)) = c(a, b) f(a, b), e (a, b) E in (b, a) / E f(b, a), e (a, b) / E in (b, a) E. Naj bo R fmax residualno omreºje omreºja N in f max maksimalen (s, t)-pretok v N. Maksimalen (s, t)-pretok je enak minimalnemu (s, t)-prerezu, od koder sledi, da je vsaka mnoºica to k S V \ t minimalen (s, t)-prerez, e je s S in nobena povezava v omreºju R fmax ne gre iz S. 2.3 Minimalni prerezi vseh parov to k Problem izra unavanja minimalnih prerezov med vsemi pari to k je lahko opravljen z izra- unom n(n 1)/2 preto nih problemov. Gomory in Hu [12] sta dokazala, da izra un n 1 maksimalnih pretokov zadostuje za dolo itev vrednosti maksimalnega pretoka oziroma

30 30 POGLAVJE 2. POVEZANOST V OMREšJIH minimalnega prereza za vse pare to k. Rezultat prikaºemo v tako imenovanem ekvivalentnem preto nem drevesu. To je uteºeno drevo na n to kah, minimalna teºa katerekoli povezave na (s, t)-poti pa je enaka maksimalnemu pretoku iz s v t. Poleg tega sta Gomory in Hu dokazala, da vedno obstaja ekvivalentno preto no drevo, kjer komponente, ki jih dobimo z odstranjevanjem minimalne teºe povezav iz (s, t)-poti, predstavljajo minimalen (s, t)-prerez. To drevo imenujemo Gomory-Hu prerezno drevo. Z izra unavanjem minimalnega prereza se je ukvarjalo (in se ²e vedno) kar nekaj matematikov. Med drugimi je poenostavljen izra un leta 1990 predstavil Guseld [13], v nadaljevanju pa bo podrobneje opisan algoritem, ki sta ga leta 1994 objavila Stoer in Wagner. 2.4 Lastnosti minimalnega prereza v neusmerjenih gra- h Imamo 2 V mnoºic in vsaka od teh bi bila lahko minimalni prerez, kljub temu pa je ²tevilo minimalnih prerezov v ksnem neusmerjenem grafu polinomsko v V. Da pridemo do tega, si moramo najprej pogledati nekaj ºe dobro znanih dejstev o minimalnih prerezih. Ta dejstva nam prav tako pomagajo denirati podatkovno strukturo, ki ji pravimo kaktus. Kaktus lahko predstavlja vse minimalne prereze in za to potrebuje samo prostor, ki je linearen v V. Na kratko, za graf G bo v tem poglavju λ G vedno ozna evala teºo minimalnega prereza. ƒe bo obravnavani graf G jasen iz konteksta, bo indeks G iz λ G izpu² en. Lema 2.16 Naj bo S minimalni prerez v G = (V, E). Potem za vse T S velja:. w(t, S \ T ) λ 2 Dokaz. Predpostavimo, da w(t, S \ T ) λ. Ker je w(t, V \ S) + w(s \ T, V \ S) = λ 2 lahko brez ²kode za splo²nost vzamemo: w(t, V \ S) λ (sicer deniramo T kot S \ T ). 2 Potem w(t, V \ T ) = w(t, S \ T ) + w(t, V \ S) λ, to je pa protislovje. Lema 2.17 Naj bosta A B dva taka minimalna prereza, da je tudi T := A B minimalni prerez. Potem. w(a, T ) = w(b, T ) = w(a \ B, B) = w(a, B \ A) = λ 2 Dokaz. Kot v sliki 2.1 naj bo a = w(a, T ), b = w(b, T ), α = w(a, B \ A) in β = w(b, A \ B). Potem je w(a, A) = a + α = λ, w(b, B) = b + β = λ in w(t, T ) = a + b = λ. Poleg tega vemo tudi, da je w(a\b, B T ) = a+β λ in w(b\a, A T ) = b+α λ. Ta sistem ena b in neena b ima enoli no re²itev: a = α = b = β = λ 2.

31 2.4. LASTNOSTI MINIMALNEGA PREREZA V NEUSMERJENIH GRAFIH 31 Slika 2.1: Presek dveh minimalnih prerezov A in B Denicija 2.18 Paru S 1, S 2 pravimo prekriºni prerez, e sta S 1, S 2 dva minimalna prereza in niso prazne niti S 1 S 2, S 1 \ S 2, S 2 \ S 1 niti S1 S 2. Lema 2.19 Naj bo par S 1, S 2 prekriºni prerez in A = S 1 S 2, B = S 1 \ S 2, C = S 2 \ S 1 in D = S 1 S 2. Potem: 1. A, B, C, in D so minimalni prerezi 2. w(a, D) = w(b, C) = 0 3. w(a, B) = w(b, D) = w(d, C) = w(c, A) = λ 2. Dokaz. Ker ºe vemo, da sta S 1 in S 2 minimalna prereza, lahko zaklju imo, da w(s 1, S 1 ) = w(a, C) + w(a, D) + w(b, C) + w(b, D) = λ w(s 2, S 2 ) = w(a, B) + w(a, D) + w(b, C) + w(c, D) = λ in ker ne obstaja prerez s teºo manj²o od λ, vemo da w(a, A) = w(a, B) + w(a, C) + w(a, D) λ w(b, B) = w(a, B) + w(b, C) + w(b, D) λ w(c, C) = w(a, C) + w(b, C) + w(c, D) λ w(d, D) = w(a, D) + w(b, D) + w(c, D) λ. ƒe mnoºimo prvi dve ena bi z dve in ju se²tejemo, dobimo 2w(A, B) + 2w(A, C) + 4w(A, D) + 4w(B, C) + 2w(B, D) + 2w(C, D) = 4λ in ko se²tejemo ²e obe strani vseh ²tirih neena b, imamo 2w(A, B) + 2w(A, C) + 2w(A, D) + 2w(B, C) + 2w(B, D) + 2w(C, D) 4λ. Sledi, da je w(a, D) = w(b, C) = 0. povezave v sliki 2.2. Z drugimi besedami, ne obstajajo diagonalne Slika 2.2: Prekriºni prerez S 1, S 2 s S 1 = A B in S 2 = A C

32 32 POGLAVJE 2. POVEZANOST V OMREšJIH Za bolj²o predstavo: predpostavimo, da je dolºina ²tirih notranjih rt, ki v sliki 2.2 lo ujejo A,B,C in D, sorazmerna z vsoto vseh uteºi povezav, ki sekajo te rte. Tako je skupna dolºina l obeh horizontalnih (ali pa obeh vertikalnih rt) sorazmerna s teºo λ. Predpostavimo, da so te ²tiri rte razli nih dolºin oz., da se rti, ki lo ujeta mnoºici S 1 od S 1 (oz. S 2 od S 2 ), ne sekata to no v sredi² u kvadrata; potem je celotna dolºina lo itvenih rt mnoºice to k = A, B, C ali D kraj²a od l. Torej w(δ, δ) λ. To je protislovje. Kot posledico dobimo, da w(a, B) = w(b, D) = w(d, C) = w(c, A) = λ in w(a, A) = 2 w(b, B) = w(c, C) = w(d, D) = λ. Prekriºni prerez v G = (V, E) razdeli mnoºico to k V na natan no ²tiri dele. Sledi bolj splo²na denicija, kjer lahko mnoºico to k razdelimo na 3 ali ve delov. Denicija 2.20 Kroºna particija je particija mnoºice V na k 3 disjunktnih mnoºic V 1, V 2,..., V k, tako da: { λ, i j = 1 mod k 1. w(v i, V j ) = 2 0, sicer; 2. ƒe je S minimalni prerez, potem: (a) S ali S je prava podmnoºica neke V i ali (b) Kroºna particija je dopolnjenje particije, denirane z minimalnim prerezom S. Z drugimi besedami: minimalni prerez je unija nekaterih mnoºic kroºne particije. ƒe so V 1, V 2,..., V k disjunktne mnoºice kroºne particije, potem je za vse 1 a b k, S = ( b i=av i ) minimalni prerez. Seveda je tudi komplement S, ki vsebuje V k, minimalni prerez. Denirajmo te minimalne prereze kot prereze kroºne particije. Vsak V i, 1 i k je minimalni prerez (lastnost 1. prej²nje denicije). Naj bo minimalni prerez S tak, da ni niti S niti njegov komplement vsebovan v mnoºici kroºne particije. Ker je S povezan (Opomba 1), sta S in njegov komplement enaka b i=av i za neke 1 a b k. e ve : za nobeno mnoºico V i kroºne particije ne obstaja minimalni prerez S, tako da bi bil V i, S prekriºni prerez (lastnost 2. zadnje denicije). Denicija 2.21 Dve razli ni kroºni particiji P = {U 1,..., U k } in Q = {V 1,..., V k } sta kompatibilni e obstajata enoli na r in s, 1 r, s k taka, da za vse i r : U i V s in za vse j s : V j U r. Lema 2.22 [14] Vse razli ne kroºne particije so paroma kompatibilne. Dokaz. Oglejmo si dve kroºni particiji P in Q v grafu G = (V, E). Vse mnoºice te particije so minimalni prerezi. Predpostavimo, da je mnoºica S P enaka uniji ve kot ene in ne vseh mnoºic Q. Natanko dve mnoºici A, B Q vsebovani v S sta povezani z najmanj eno povezavo z vozli iz V \ S. Vzemimo T iz S tako, da zamenjamo A S z elementom Q, ki je povezan z B in ni vsebovan v S. Potem je S, T prekriºni prerez in imamo protislovje.

33 2.4. LASTNOSTI MINIMALNEGA PREREZA V NEUSMERJENIH GRAFIH 33 Slika 2.3: Graf G = ({a 1,..., a r, b 1,..., b s }, E) prikazuje dve kompatibilni particiji P, Q denirani kot P = {{a 1 },..., {a r 1 }, {a r, b 1,..., b l }, {a r+1 },..., {a k }}, Q = {{b 1 },..., {b s 1 }, {b s, a 1,..., a k }, {b s+1 },..., {b l }} Slika 2.4: Trije paroma prekriºni prerezi S 1, S 2 in S 3 Torej je vsaka mnoºica P ali njen komplement vsebovana v neki mnoºici Q. Predpostavimo, da sta dve mnoºici iz P vsebovani v dveh razli nih mnoºicah Q. Ker vsak komplement preostalih mnoºic P ne more biti vsebovan v eni mnoºici Q, mora biti vsaka preostala mnoºica P vsebovana v eni podmnoºici Q. Zatorej, P = Q. To je protislovje. Predpostavimo zdaj, da so vse mnoºice P vsebovane v mnoºici Y iz Q. Potem je Y = V. Ponovno pridemo do protislovja. Ker je unija dveh komplementnih mnoºic iz P enaka V in Q vsebuje vsaj 3 mnoºice, je lahko samo en komplement vsebovan v eni mnoºici iz Q. Tako obstaja natanko ena mnoºica X iz P, ki ni vsebovana v Y iz Q, ampak X Y. Lema 2.23 ƒe so S 1, S 2 in S 3 paroma prekriºni prerezi, potem S 1 S 2 S 3 =. Dokaz. Predpostavimo, da lema ne drºi. Kot je prikazano v sliki 2.4, naj bodo a = w(s 3 \ (S 1 S 2 ), (S 1 S 2 S 3 )) b = w((s 2 S 3 ) \ S 1, S 2 \ (S 1 S 3 )) c = w(s 1 S 2 S 3, (S 1 S 2 ) \ S 3 ) d = w((s 1 S 3 ) \ S 2, S 1 \ (S 2 S 3 )). Po eni strani je S 1 S 2 minimalni prerez (po Lemi 2.19(1)), tako da c λ. Zatorej 2 b = d = 0 in (S 1 S 3 ) \ S 2 = (S 2 S 3 ) \ S 1 =.

34 34 POGLAVJE 2. POVEZANOST V OMREšJIH Slika 2.5: Presek treh minimalnih prerezov ƒe uporabimo Lemo 2.19 (2) na S 1 in S 2, potem S 1 S 2 S 3 in S 3 \ (S 1 S 2 ) niso povezani, kar je protislovje. Lema 2.24 ƒe so S 1, S 2 in T taki minimalni prerezi, da S 1 S 2, T S 2 in je S 1, T prekriºni prerez, potem so A = (S 2 \ S 1 ) \ T, B = S 1 \ T, C = S 1 T in D = (S 2 \ S 1 ) T minimalni prerezi in w(a, B) = w(b, C) = w(c, D) = λ in w(a, C) = w(a, D) = 2 w(b, D) = 0. Dokaz. Ker je S 1, T prekriºni prerez, je zato tudi S 2, T prekriºni prerez, w(a B, C D) = λ 2 w(b, C) = λ 2, w(a, B) + w(b, S 1 S 2 ) = w(b, A S1 S 2 ) = λ 2 in w(a, S 1 S 2 ) = w(a B, S 1 S 2 ) = λ 2. Vse enakosti sledijo iz Leme 2.19(3). e ve : w(a, T \ S 2 ) = 0, w(d, S 1 S 2 ) = 0 (po Lemi 2.19 (2)) in B, C sta minimalna prereza. Iz prvih dveh ena b in w(a B, C D) = w(a, C) + w(a, D) + w(b, C) + w(b, D) lahko sklepamo, da w(a, C) = w(a, D) = w(b, D) = 0. Posledica tretje in etrte ena be je, da w(a, S 1 S 2 ) = w(a, B). e ve : w(a, B) λ 2 (Lema 2.16) in w(a, S 1 S 2 ) w(a, S 1 S 2 ) = λ. Zatorej w(a, S 2 1 S 2 ) = w(a, B) = λ 2 in A je minimalni prerez. S podobnimi argumenti lahko vidimo, da w(c, D) = λ in da je D minimalni prerez. 2 Zato lahko spo²ni primer iz slike 2.5(a) vedno transformiramo v sliko 2.5(b). Na kratko, e imamo dane neke mnoºice S 1,...S k, naj bo k { } F α 1,...,α k Si if α S 1,...,S k = i = 1 in F S i if α i = 0 {S1,...,S k } = i=1 F α1,...,αk {S 1,...,S k } α 1,...,α k {0,1} k \ { }. Lema 2.25 Naj bo S 1, S 2 prekriºni prerez in A F S1,S 2. Izberimo tak B F S1,S 2 w(a, B) = λ. Za vse prekriºne prereze B, T velja: 2 w(a, B T ) = λ ali w(a, B T ) = λ. 2 2, da

35 2.4. LASTNOSTI MINIMALNEGA PREREZA V NEUSMERJENIH GRAFIH 35 Slika 2.6: Minimalni prerez T in prekriºni prerez S 1, S 2 Dokaz. Brez ²kode za splo²nost: A = S 1 S 2 (sicer zamenjamo S 1 in S 1 ali pa S 2 in S 2 ), B = S 1 \ S 2 (sicer zamenjamo S 1 in S 2 ). Naj bo S = S 2 \ S 1 in D = S 1 S 2. Potem: w(b, C) = 0 (Lema 2.19(2)). Oglejmo si naslednje ²tiri primere: Primer T (A B): w(a, B T ) = λ, glej sliko 2.6(a) (Lema 2.24). 2 Primer T D : Ker je S 1, T prekriºni prerez, sledi w(a \ T, A T ) + w(a \ T, B T ) + w(b \ T, A T ) + w(b \ T, B T ) = w((a \ T ) (B \ T ), (A T ) (B T )) = w(s 1 \ T, S 1 T ) = λ. 2 Skupaj z w(b \ T, B T ) λ 2 lahko zaklju imo, da w(a \ T, A T ) = 0 in zato A T = ali A \ T =, w(a \ T, B T ) = 0 in w(a T, B \ T ) = 0. Vemo, da w(a, B) = λ 2. ƒe A T =, potem w(a, B T ) = 0 in w(a, B \ T ) = λ 2. Sicer A \ T =, w(a, B \ T ) = 0 in w(a, B T ) = λ 2. Primer T (A B) in T D = in (A C) T: glej sliko 2.6(b) w(a, T B) = w(a C, T B) = w((a C) T, T \ (A C)) λ 2, ker je (A C) minimalni prerez (Lema 2.16). ƒe uporabimo dejstvo, da w(a, B) = λ 2, dobimo w(a, T B) = λ 2. Primer T (A B) in T D = in (A C) T: glej sliko 2.6(c) w(a, T B) = w(a C, T B) = w(a C, T \ (A C)) = λ 2, ker je A C, T prekriºni prerez.

36 36 POGLAVJE 2. POVEZANOST V OMREšJIH Posledica 2.26 Presek dveh prekriºnih prerezov razdeli to ke osnovnega grafa na ²tiri minimalne prereze. Lema 2.19 (3) nam zagotavlja, da za vsakega od ²tirih minimalnih prerezov A obstajajo dva ali trije preostali taki minimalni prerezi B,C, da w(a, B) = w(a, C) = λ. ƒeprav morda lahko mnoºici B in C ²e naprej razdelimo na manj²e dele s 2 prekriºnimi prerezi, obstajata vedno dva disjunktna minimalna prereza X B in Y C z w(a, X) = w(a, Y ) = λ. 2 Dokaz. Predpostavimo, da posledica ne drºi. Naj bo S, X 1,2 prvi prekriºni prerez, ki razdeli mnoºico X 1,2 z w(a, X 1,2 ) = λ 2 na dve disjunktni mnoºici X 1, X 2 z w(a, X 1 ), w(a, X 2 ) 0. Potem je tudi S, B ali pa S, B prekriºni prerez, ki razdeli B na B 1 in B 2 z X 1 B 1 in X 2 B 2. Tako sta w(a, B 1 ), w(a, B 2 ) 0. To je protislovno z lemo Izrek 2.27 [15, 10] V grafu G = (V, E) obstaja za vsako particijo P mnoºice V na 4 disjunktne mnoºice glede na prekriºni prerez v G kroºna particija v G, ki je izpopolnitev P. Dokaz. Glede na dan prekriºni prerez S 1, S 2, izberemo za etno mnoºico Λ := {S 1 S 2, S 1 \ S 2, S 2 \ S 1, S 1 S 2 }. Dokler obstaja prekriºni prerez S, T za kak²en T / Λ in S Λ, dodaj T v Λ. Ta proces se kon a, ker lahko dodamo vsak T P(V ) v Λ samo enkrat. Vse mnoºice v Λ so minimalni prerezi. Λ ustreza deniciji 3(b). Disjunktni minimalni prerezi F(Λ) nam dajo particijo grafa. Vse mnoºice v F(Λ) lahko generiramo s prekriºnimi prerezi minimalnih prerezov v Λ. Zato ima vsaka mnoºica v F(Λ) natanko dva soseda, t.j., za vsako mnoºico X F(Λ) obstajata natanko dve taki razli ni mnoºici Y, Z F(Λ), da w(x, Y ) = w(x, Z) = λ (Posledica 2.26). Za vse ostale 2 mnoºice Z F(Λ) je w(x, Z) = 0. Ker je G povezan graf, lahko vse mnoºice iz F(Λ) uredimo tako, da denicija 2.20(a) drºi. Opazimo, da tudi denicija 2.20(b) ²e vedno drºi, ker razbijanje mnoºic v Λ na manj²e mnoºice ²e vedno dovoljuje rekonstrukcijo mnoºic v Λ. Lema 2.28 Graf G = (V, E) ima O To pomeni, da ima graf lahko Ω ( ( V 2 ( ( V 2 ) ) minimalnih prerezov in ta meja je natan na. ) ) minimalnih prerezov. Dokaz. Zgornja meja je posledica zadnjega izreka. ƒe imamo dan graf G = (V, E), naslednja rekurzivna funkcija Z opi²e ²tevilo minimalnih prerezov v G: k i=1 (Z( V i )) + ( ) k obstaja kroºna particija V 2 1,..., V k v G Z( V ) = Z( S ) + Z( V S ) + 1 ni kroºne particije, obstaja minimalni prerez S v G 0 sicer Lahko je videti, da ta funkcija doseºe maksimum v primeru, ko kroºna particija ) ) W 1,..., W V obstaja. Zato Z( V ) = O. ( ( V 2 Spodnjo mejo doseºemo s preprostim ciklom n to k. Imamo Ω (( n 2)) parov povezav. Vsak par povezav denira nova dva minimalna prereza S in S. Ti dve mnoºici sta lo eni, e preprosto odstranimo par povezav.

37 2.5. PREDSTAVITEV MINIMALNIH PREREZOV S KAKTUSOM Predstavitev minimalnih prerezov s kaktusom V naslednjih vrsticah je podan opis kaktusa. Najprej si oglejmo graf G = (V, E) brez kroºnih particij. Ker ne obstaja prekriºni prerez, so vsi minimalni prerezi G laminarni. Mnoºica S se imenuje laminarna, e za vsak par mnoºic S 1, S 2 S velja, da sta ali S 1 in S 2 disjunktni ali pa je S 1 vsebovana v S 2 (oz. obratno). Tako ima vsaka mnoºica T S, ki je vsebovana v neki S 1, S 2,... S, enoli no najmanj²o nadmnoºico. Vsako laminarno mnoºico S lahko predstavimo kot drevo. Od tu dalje zaradi bolj²e preglednosti pravimo, da ima drevo vozle in liste, medtem ko ima graf to ke. Vsak vozel prestavlja eno mnoºico v S; listi predstavljajo mnoºice v S, ki ne vsebujejo nobene druge mnoºice iz S. O e vozla, ki predstavlja mnoºico T, predstavlja najmanj²o nadmnoºico T. Ta konstrukcija se kon a z mnoºico dreves, ki se ji re e gozd. Dodamo dodaten vozel r v gozd in poveºemo vse korene dreves gozda s tem novim vozlom r, ki je sedaj novi koren enega velikega drevesa. Zato vozli enega drevesa predstavljajo vse mnoºice S in koren drevesa predstavlja celotno osnovno mnoºico, t.j. unijo vseh elementov vseh S S. ƒe ima ta unija n elementov, potem ima tako drevo lahko najve n listov in zato najve 2n 1 vozlov. Ker so vsi minimalni prerezi G laminarni, lahko te predstavimo z drevesom T G slede e: vzemimo najmanj²o mnoºico to k vsakega minimalnega prereza. Ozna imo to mnoºico mnoºic z Λ. ƒe so mnoºice to k minimalnega prereza enake velikosti, vzamemo eno izmed teh mnoºic. Predstavimo vsako mnoºico iz Λ z enim samim vozlom. Dva vozla, ki pripadata minimalnim prerezom A in B v G, sta povezana s povezavo, e A B in ne obstaja noben drug C, da A C B. Koreni drevesa predstavljajo minimalne prereze v Λ, ki niso vsebovani v nobenem drugem minimalnem prerezu v Λ. Spet, poveºemo vse korene gozda s to ko, ki jo deniramo kot koren drevesa. Ker z odstranitvijo ene povezave v drevesu lo imo pod-drevo od ostalega drevesa, deniramo naslednjo preslikavo: vsako to ko grafa G preslikamo v vozel drevesa T G, ki pripada najmanj²emu prerezu, ki vsebuje to to ko. Vse to ke, ki niso vsebovane v nobenem vozlu T G, so preslikane v koren drevesa T G. Za vsak minimalni prerez S v G, to ke iz S potem preslikamo v tako mnoºico vozlov X, da obstaja povezava in e odstranimo to povezavo, lo imo vozle X od preostalega drevesa. Obratno, e odstranimo eno povezavo iz T G, s tem lo imo vozle drevesa na dva taka dela, da je mnoºica vseh to k, preslikanih v en del, minimalni prerez. ƒe G nima kroºne particije, je drevo T G kaktus C G za G. tevilo vozlov kaktusa je omejeno z 2 V 1. Oglejmo si graf G = (V, E), ki ima samo eno kroºno particijo V 1,... V k. Prereze kroºne particije lahko predstavimo s ciklom k vozlov. Za 1 i k so to ke vsakega dela V i predstavljene z enim vozlom N i iz cikla na tak na in, da sta dva dela V i in V i+1 predstavljena z dvema sosednjima vozloma. Zdaj uporabimo dejstvo, da je za vsak minimalni prerez S, ki ni prerez kroºne particije, ali S ali S prava podmnoºica V i. Zato lahko konstruiramo drevo T (Vt,E) za vse minimalne prereze, ki so podmnoºica V i, ampak tokrat z omejitvijo, da so samo to ke V i preslikane na to drevo. Koren drevesa T (Vt,E) pripada natanko mnoºici V i. Na ta na in lahko spojimo vozel N i iz cikla in koren T (Vt,E) za vse 1 i k. Ta cikel, povezan z vsemi drevesi, je kaktus C G za G. tevilo vozlov je enako vsoti vseh vozlov v drevesih T (Vt,E) z 1 i k.

38 38 POGLAVJE 2. POVEZANOST V OMREšJIH Slika 2.7: Kaktus, ki predstavlja prereze kroºne particije ²estih kroºnih particij. Zato je ²tevilo vozlov kaktusa omejeno z 2 V 1 in spet, obstaja 1 1 korespondenca med minimalnimi prerezi v G in lo itvijo C G na dva dela. Zdaj si oglejmo graf G = (V, E) s kroºnimi particijami P 1,..., P z. Vzamemo vse kro- ºne particije kot mnoºico mnoºic. Konstruiramo kaktus C G, ki predstavlja prereze kroºnih particij G na naslednji na in: to ke vsake mnoºice F F P1 P z preslikamo v en vozel in dva vozla sta povezana, e za njuni pripadajo i mnoºici F 1 in F 2 velja, da w(f 1, F 2 ) 0. Potem vsaka kroºna particija ustvari en cikel v C G. Ker so vse kroºne particije paroma kompatibilne, so cikli povezani s povezavami, ki niso del nobenega cikla. Kaktus C G je zdaj graf, ki je podoben drevesu (slika 2.7). Ko predstavimo preostale minimalne prereze, ki niso del kroºne particije, dobimo kaktus T C za G. Kot prej, ²tevilo vozlov kaktusa je omejeno z 2 V Algoritmi na grah: povezanost na podlagi pretoka Razlikujemo algoritme, ki preverjajo, e je graf G k-povezan (po to kah ali povezavah) za dolo en k N in algoritme, ki glede na dan graf izra unajo pripadajo o povezanost grafa κ(g) ali povezanost po povezavah grafa λ(g). Ve ina algoritmov, ki izra unavajo povezanost grafa po to kah ali povezavah temelji na izra unu maksimalnega pretoka skozi dano omreºje. Denicija 2.29 Omreºju pravimo omreºje z enotno kapaciteto (ali 0 1 omreºje), e imajo vse povezave kapaciteto 1. Omreºje z enotno kapaciteto je tipa 1, e ne vsebuje vzporednih povezav. Pravimo, da je tipa 2, kadar sta za vsako to ko v, (v s, v t) vhodna stopnja d (v) ali izhodna stopnja d + (v) enaki 1. Lema Za omreºja z enotno kapaciteto je asovna zahtevnost izra una maksimalnega pretoka z uporabo Dinitzovega algoritma enaka O(m 3/2 ). 2. Za omreºja z enotno kapaciteto tipa 1 je asovna zahtevnost izra una maksimalnega pretoka z uporabo Dinitzovega algoritma enaka O(mn 2/3 ). 3. Za omreºja z enotno kapaciteto tipa 2 je asovna zahtevnost izra una maksimalnega pretoka z uporabo Dinitzovega algoritma enaka O(mn 1/2 ). Za dokaz leme glej [16, 17, 18].

39 2.6. ALGORITMI NA GRAFIH: POVEZANOST NA PODLAGI PRETOKA Algoritmi na grah: povezanost po to kah Osnova vseh algoritmov na grah, ki preverjajo povezanost na podlagi pretoka, je funkcija, ki izra unava lokalno povezanost med dvema razli nima to kama s in t. Even je predstavil metodo za izra un κ G (s, t), ki temelji na naslednjem principu: Iz danega grafa G = (V, E), ki ima n to k in m povezav, konstruiramo usmerjen graf G = (V, E) z V = 2n in E = 2m + n tako, da vsako to ko v V zamenjamo z dvema to kama v, v V, povezanima z (notranjo) povezavo e v = (v, v ) E. Vsako povezavo e = (u, v) E zamenjamo z dvema (zunanjima) povezavama e = (u, v ), e = (v, u ) E. κ(s, t) sedaj izra unamo kot maksimalni pretok grafa G od izhodi² a s do konca t z enotnimi kapacitetami na vseh povezavah. Za vsak par v, v V, ki predstavlja to ko v V, je notranja povezava (v, v ) edina povezava, ki izvira iz v in edina, ki vstopa v v, zato je G omreºje tipa 2. Iz Leme 2.30 sledi, da je asovna zahtevnost izra una maksimalnega pretoka v tovrstnem grafu enaka O(m n). Trivialen algoritem za ra unanje κ(g) bi enostavno izra unal minimum lokalnih povezanosti po to kah za vse pare to k. Ker je κ G (s, t) = n 1 za vse pare (s, t), ki so direktno povezani, bi tak algoritem ( n(n 1) m ) -krat izvr²il fukncijo, ki preverja povezanost 2 na podlagi pretoka (MaxFlow funkcijo). V nadaljevanju bomo videli, da se da tak²no asovno zahtevnost ²e izbolj²ati. Naj bo S minimalna prerezna mnoºica to k, S V, ki lo uje levo podmnoºico to k L V od desne R V. Potem lahko izra unamo κ(g) tako, da eno izmed to k, na primer s, ksiramo v eno izmed podmnoºic L ali R, in izra unamo njeno lokalno povezanost κ G (s, t) z vsemi to kami t V \{s}, ki leºijo v nasprotni podmnoºici oziroma na drugi strani to kovnega prereza. Pri tem imamo naslednjo teºavo: kako izbrati to ko s, da ne bo pripadala vsaki minimalni prerezni mnoºici to k? Ker je κ(g) δ(g) (za vse netrivialne grafe G namre velja: κ(g) λ(g) δ(g)), lahko s izbiramo med δ(g) + 1 to kami in ena izmed njih ne sme biti del vseh minimalnih prereznih mnoºic to k. Tak algoritem bi imel asovno zahtevnost O((δ + 1)nm n) = O(δmn 3/2 ). Even in Tarjan sta predlagala Algoritem 1, ki preneha z ra unanjem lokalnih povezanosti, e velikost minimalnega prereza pade pod ²tevilo pregledanih to k. Tak algoritem v zanki, ki te e po spremenljivki i, ne pregleda ve kot κ + 1 to k. Vsaka to ka ima vsaj δ(g) sosedov, zato je asovna zahtevnost funkcije maksimalnega pretoka najve O((n δ 1)(κ + 1)). Ker je po izreku κ(g) 2m/n, dobimo minimalno kapaciteto najkasneje po 2m/n + 1 izvr²itvah funkcije. Od tod sledi, da je skupna asovna zahtevnost algoritma O(m 2 n). Esfahanian in Hakimi sta ta algoritem ²e izbolj²ala z uporabo naslednje leme [19]. Lema 2.31 ƒe to ka v pripada vsem minimalnim prereznim mnoºicam to k, potem obstajata za vsak minimalni prerez po to kah S dve to ki l L S in r R S, ki sta sosednji z v. Dokaz. Predpostavimo, da je v vsebovana v vseh minimalnih prereznih mnoºicah to k grafa G. Imejmo particijo mnoºice to k V, ki je inducirana z minimalno prerezno mnoºico to k S s komponentama L (leva stran) in pripadajo o desno stranjo R. Vsaka stran mora vsebovati vsaj enega od sosedov to ke v, sicer to ka v ne bi bila potrebna za razbitje grafa na dva dela. Pravzaprav mora vsaka stran, ki ima ve kot eno to ko, vsebovati dva

40 40 POGLAVJE 2. POVEZANOST V OMREšJIH Algorithm 1 Even & Tarjan: povezanost po to kah Require: (Neusmerjen) graf G = (V, E) Ensure: κ(g) κ min n 1 i 1 while i κ min do for j i + 1 TO n do if i > κ min then break else if {v i, v j } / E then izra unaj κ G (v i, v j ) z uporabo MaxFlow algoritma κ min min{κ min, κ G (v i, v j )} end if end for end whilereturn κ min soseda, sicer bi z zamenjavo to ke v z edinim sosedom dobili minimalni prerez brez v, kar pa je v protislovju s predpostavko. Z upo²tevanjem zgornjih premislekov dobimo Algoritem 2. Prva zanka ( n δ 1 ) -krat izvr²i MaxFlow funkcijo, drugo zanko algoritem izvr²i ( κ(2δ κ 3)/2 ) -krat. Skupna asovna zahtevnost algoritma je torej n δ 1 + κ(2δ κ 3)/ Algoritmi na grah: povezanost po povezavah Podobno kot pri ra unanju povezanosti po to kah je osnova za ra unanje povezanosti po povezavah algoritem maksimalnega pretoka, ki re²i lokalen problem povezanosti po povezavah, torej izra una λ G (s, t). Vse neusmerjene povezave zamenjamo s pari nevzporednih usmerjenih povezav s kapaciteto 1 in izra unamo maksimalni pretok od izhodi² a s do konca t. Dobimo omreºje tipa 1 (ker ne vsebuje vzporednih povezav), zato je po Lemi 2.30 asovna zahtevnost tega izra una O(min{m 3/2, mn 2/3 }). Trivialen algoritem za ra unanje λ(g) bi enostavno izra unal minimum lokalnih povezanosti po povezavah za vse pare to k. Tak algoritem bi ( n(n 1)/2 ) -krat izvr²il funkcijo MaxFlow. ƒasovno zahtevnost lahko izbolj²amo tako, da obravnavamo le lokalne povezanosti λ G (s, t) za neko ksno to ko s in vse ostale to ke t. Ker mora biti ena od to k t V \{s} lo ena od s z minimalnim prerezom po povezavah, je λ(g) enaka minimumu vseh teh vrednosti. Zato je ²tevilo izvr²itev funkcije MaxFlow enako n 1 in skupna asovna zahtevnost je enaka O(nm min{m 1/2, n 2/3 }). Prej omenjeni algoritem deluje tudi v primeru, e celo mnoºico to k zamenjamo s podmnoºico, ki vsebuje dve to ki, ki sta lo eni z minimalnim prerezom po povezavah. Naslednji algoritmi ºelijo posledi no zmanj- ²ati velikost zgornje mnoºice to k (ki se imenuje λ-pokritje). Pri tem izkori² ajo naslednjo lemo. Lema 2.32 Naj bo S minimalni prerez po povezavah grafa G = (V, E) in naj bo L, R V particija mnoºice to k, taka, da sta L in R lo eni s S. ƒe je λ(g) < δ(g), potem vsaka komponenta G S vsebuje ve kot δ(g) to k, t.j. L > δ(g) in R > δ(g).

41 2.6. ALGORITMI NA GRAFIH: POVEZANOST NA PODLAGI PRETOKA 41 Algorithm 2 Esfahanian & Hakimi: povezanost po to kah Require: (Neusmerjen) graf G = (V, E) Ensure: κ(g) κ min n 1 Izberi v V z najmanj²o stopnjo, d(v) = δ(g) Ozna i sosede N(v) z v 1, v 2,..., v δ for all nesosednji w V \(N(v) {v}) do izra unaj κ G (v, w) z uporabo MaxFlow algoritma κ min min{κ min, κ G (v, w)} end for i 1 while i κ min do for j i + 1 TO δ 1 do if i δ 2 OR i κ min then return κ min else if {v, w} / E then izra unaj κ G (v i, v j ) z uporabo MaxFlow algoritma κ min min{κ min, κ G (v i, v j )} end if end for i i + 1 end whilereturn κ min Dokaz. Elemente L ozna imo z {l 1, l 2,..., l k }, inducirane povezave pa z E[L] = E(G[L]). k δ(g) k d G (l i ) i=1 2 E[L] + S 2 k(k 1) 2 + S < k(k 1) + δ(g) Iz δ(g) (k 1) < k(k 1) sledi, da je L = k > 1 in L = k > δ(g) (prav tako tudi R > δ(g)). Posledica 2.33 ƒe je λ(g) < δ(g), potem vsaka komponenta G S vsebuje to ko, ki ni inciden na to ka nobene povezave v S. Lema 2.34 Spet predpostavimo, da je λ(g) < δ(g). ƒe je T vpeto drevo grafa G, potem vsaka komponenta G S vsebuje vsaj eno to ko, ki ni list drevesa T (t.j. to ke, vsebovane v T, ki niso listi, tvorijo λ-pokritje). Zgornja lema predlaga algoritem, ki najprej izra una vpeto drevo danega grafa, potem naklju no izbere neko notranjo to ko drevesa, v, in izra una lokalno povezanost λ(v, w)

42 42 POGLAVJE 2. POVEZANOST V OMREšJIH do vsake druge to ke w, ki ni list. Minimum teh vrednosti nam skupaj z δ(g) da to no povezanost po povezavah λ(g). Algorithm 3 Esfahanian & Hakimi: ra unanje vpetega drevesa Require: (Neusmerjen) graf G = (V, E) Ensure: Vpeto drevo T z listom in notranjo to ko v L in R Izberi v V T vse povezave, ki so inciden ne to ki v while E(T ) < n 1 do izberi list w v T, tako da je za vse liste r v T : N(w) (V V (T )) N(r) (V V (T )) T T G[w {N(w) (V V (T ))}] end whilereturn T Esfahanian in Hakimi [19] sta predlagala algoritem za ra unanje vpetega drevesa T grafa G, tako da obe strani, L in R, nekega minimalnega prereza po povezavah, vsebujeta vsaj en list drevesa T, in zaradi Leme 2.34 tudi vsaj eno notranjo to ko. Povezanost po povezavah grafa je potem izra unana s pomo jo Algoritma 4. Ker je P izbrana tako, da je manj²a izmed mnoºice listov in mnoºice ne-listov, mora algoritem vsaj ( n/2 ) -krat izvr²iti funkcijo, ki ra una lokalno povezanost. Skupna asovna zahtevnost zna²a O(λmn). Algorithm 4 Esfahanian & Hakimi: povezanost po povezavah Require: (Neusmerjen) graf G = (V, E) Ensure: λ(g) Konstruiraj vpeto drevo T z uporabo Algoritma 3 P naj ozna uje manj²o izmed obeh mnoºic, listov ali notranjih vozli² T Izberi to ko u P c min{λ G (u, v) : v P \{u}} λ min(δ(g), c) return λ Denicija 2.35 Naj bo G graf z mnoºico vozli² V (G) in mnoºico povezav E(G). Mno- ºica S V (G) je dominantna mnoºica, e je za vsako vozli² e v V (G) bodisi v S, bodisi obstaja tako vozli² e u S, da je vu E(G). Povedano druga e, vsako vozli² e je bodisi v dominantni mnoºici, bodisi ima soseda v dominantni mnoºici. Dominantna mnoºica z najmanj²o moºno mo jo je najmanj²a dominantna mnoºica. ƒasovno zahtevnost Algoritma 4 bi lahko izbolj²al Matula [20], ki je upo²teval naslednjo lemo. Lema 2.36 V primeru, da je λ(g) < δ(g), je vsaka dominantna mnoºica grafa G tudi njegovo λ-pokritje. Podobno kot pri vpetem drevesu, lahko povezanost po povezavah izra unamo tako, da izberemo mnoºico D, ki dominira G, naklju no izberemo to ko u D in izra unamo lokalne povezanosti po povezavah med to ko u in vsemi ostalimi to kami v D. Minimum

43 2.7. ALGORITMI, KI NE TEMELJIJO NA PRETOKU 43 vseh vrednosti skupaj z minimalno stopnjo δ(g) nam da rezultat. Problem iskanja najmanj²e dominantne mnoºice je sicer NP -teºak, da pa se pokazati, da je lahko asovna zahtevnost zgornjega algoritma enaka O(nm), e je dominantna mnoºica izbrana s pomo- jo Algoritma 5. Algorithm 5 Ra unanje dominantne mnoºice Require: (Neusmerjen) graf G = (V, E) Ensure: Dominantna mnoºica D Izberi v V D {v} while V \(D N(D)) do Izberi to ko w V \(D N(D)) D D {w} end whilereturn D 2.7 Algoritmi, ki ne temeljijo na pretoku V tem poglavju bomo obravnavali algoritme povezanosti, ki ne temeljijo na pretoku skozi omreºje Algoritem: Minimalni prerez (Stoer in Wagner) Je zelo preprost algoritem v primerjavi s prej omenjenimi. Podoben je Primovem algoritmu za iskanje minimalnega vpetega drevesa in Dijkstri, ki izra una najkraj²o pot v grafu. Zato je tudi asovna zahtevnost enaka - za vsako fazo algoritma zna²a O(m + n log n), kar vodi do skupne asovne zahtevnosti algoritma O(nm + n 2 log n). Po tem, ko naklju no izbere za etno to ko a, algoritem vzdrºuje podmnoºico to k A, ki na za etku vsebuje le za etno to ko in se pove uje, ko v njo na vsakem koraku doda to ko v / A, ki ima najve jo vsoto uteºi po vseh povezavah do to k v A. Ko so vse to ke dodane v A, zadnji dve to ki, s in t, zdruºi v eno. Medtem ko se povezave med s in t med kr enjem preprosto izbri²ejo, pa vse ostale povezave med s in t in ostalimi to kami zamenja s povezavo, uteºeno z vsoto uteºi prej²njih povezav. Prerez, ki lo uje to ko, ki je bila zadnja dodana, od preostalega grafa, se imenuje fazni prerez (cut-of-the-phase). Lema 2.37 Fazni prerez je minimalen s t-prerez v modiciranem grafu, kjer sta s in t zadnji to ki, ki ju dodamo v A. Izrek 2.38 Fazni prerez, ki ima minimalno teºo med vsemi faznimi prerezi, je prerez prvotnega grafa z minimalno kapaciteto. Dokaz. V primeru, ko graf vsebuje samo dve to ki, je dokaz trivialen. Zato predpostavimo, da je V > 2. Lo imo dva primera. 1. Graf ima prerez z minimalno kapaciteto, ki je hkrati minimalni s-t-prerez (kjer sta s in t to ki, ki ju zadnji dodamo v fazo). Potem iz Leme 2.37 sledi, da je to prerez z minimalno kapaciteto originalnega grafa.

44 44 POGLAVJE 2. POVEZANOST V OMREšJIH Algorithm 6 Stoer & Wagner: ra unanje minimalnega prereza Require: Neusmerjen graf G = (V, E) Ensure: Minimalni prerez C min, ki ustreza λ(g) Naklju no izberi za etno to ko a C min nedeniran V V while V > 1 do A {a} while A V do A dodaj to ko z najve jo stopnjo Prilagodi kapacitete med A in to kami V \A end while C := prerez V, ki lo uje zadnjo dodano to ko v A od preostalega grafa if C min = nedeniran OR w(c) < w(c min ) then C min C end if Zdruºi to ki, ki sta bili zadnji dodani v A end whilereturn C min Slika 2.8: Primer Stoer/Wagner algoritma. Minimalni prerez {ABDEG} {CF H} ima kapaciteto 3 in ga najdemo v to ki f).

45 POVEZANE KOMPONENTE Graf ima minimalni prerez, kjer sta s in t na isti strani prereza. ƒe torej zdruºimo to ki s in t, to ne vpliva na prerez z minimalno kapaciteto. Z indukcijo po to kah tako dokaºemo, da je prerez z minimalno kapaciteto fazni prerez z najmanj²o teºo povezane komponente Sre amo se z vpra²anjem katera vozli² a vedno ostanejo povezana v omreºju v primeru, da odstranimo poljubno vozli² e. Teºava je pravzaprav ra unanje 2-povezanih (ali nelo- ljivih) komponent grafa, ki jim pravimo tudi bloki. Najprej uporabimo metodo pregleda grafa v globino na neusmerjenem povezanem grafu G = (V, E). V metodi obiskane to ke zaporedno, kakor jih obiskujemo, o²tevil imo s ²tevilkami od 1 do n = V, to ²tevil enje oziroma vrsto, pa poimenujemo num. Opazimo, da lahko obi² emo dve razli ni vrsti to k, take ki vodijo do ²e ne ozna enih novih to k ter take do katerih povezave vodijo do ºe ozna enih to k. Slednjim povezavam, takim ki vodijo od novo obiskanih to k do ºe obiskanih in ozna enih to k bomo rekli nazaj²nja povezava. Za vsako to ko v ohranimo najmanj²o oznako neke to ke, ki je dosegljiva preko poljubne drevesne povezave in nima ve kot ene nazaj²nje povezave, na primer najmanj²a ²tevilka neke to ke, ki leºi na istem ciklu. Kadarkoli odkrijemo novo to ko z metodo pregleda v globino je oznaka low inicializirana z novo ²tevilko. ƒe se vrnemo od potomca do otroka w, na primer preko drevesne povezave (v, w), se vrednost low(v) spremeni na minimum vrednosti otroka (low[w]) ter prej²nje oznake (low[v]). V primeru, da najdemo nazaj²njo povezavo (v, w), spremenimo vrednost low[v] na minimum njene prej²nje vrednosti ter oznake od w. Za odkrivanje prese nih to k v grafu lahko sedaj uporabimo naslednjo lemo. Lema 2.39 Sledimo zgoraj opisani metodi za izra unavanje vrednosti low in num z metodo pregleda v globino po grafu G. To ka v je prerezna to ka natanko tedaj, ko velja eden izmed spodnjih pogojev: 1. e je v za etek drevesa, najdenega z metodo pregleda v globino in je vsebovan v vsaj dveh povezavah drevesa najdenega z metodo pregleda v globino, 2. e v ni za etek drevesa, vendar obstaja otrok w to ke v tak, da velja low[w] num[v]. Dokaz. 1. Predpostavimo, da je to ka v koren drevesa najdenega z metodo pregleda v globimo. ƒe imamo iz v ve drevesnih povezav, bi z odstranitvijo to ke v iz grafa G povezave med njenimi otroki razpadle. ƒe je v prerezna to ka potem obstajata to ki x, y V, ki postaneta z odstranitvijo to ke v nepovezani. To ka v na vsaki poti povezuje x in y. To ko y lahko pravzaprav odkrijemo ²e le ko se vrnemo nazaj v to ko v. Iz tega sledi, da ima to ka v vsaj dva otroka v DFS drevesu. 2. Predpostavimo, da to ka v ni koren DFS drevesa. Potem obstaja otrok w od to ke v in ni taka to ka, da velja low[w] > num[v]. To pomeni, da obstaja le ena pot, ki povezuje potomca w z vsemi predniki to ke v. Torej je v prerezna to ka.

46 46 POGLAVJE 2. POVEZANOST V OMREšJIH ƒe je v prerezna to ka potem obstajata to ki x, y V in za poti med njima velja, da vedno vsebujejo to ko v. ƒe bi imeli vsi otroci to ke v posredno povezavo (preko poljubnega drevesa) do nekega prednika to ke v bi bil graf povezan. Torej mora obstajati otrok za katerega velja low[w] num[v]. Da bi na²li 2-povezane komponente npr. mnoºico povezav, dodamo vsako novo povezavo na kup povezav. Kadarkoli pogoj low[w] num[v] velja tudi po vrnitvi rekurzivnega klica za otroka w od v sledi, da povezave na vrhu kupa vklju no z povezavo (v,w) tvorijo nov blok in jih zato odstarnimo s kupa povezav. Izra unanje 2-povezanih komponent v neusmerjenem grafu. Levo: neusmerjen za etni graf Sredina: DFS drevo s polnimi povezavami in rtastimi povratnimi povezavami Desno: bloki grafa 2.9 Mo no povezane komponente Sedaj premislimo kako bi izra unali mo ne komponente npr. najmo neje povezane podgrafe v usmerjenih grah. Podobno je tudi ra unanje 2-povezanih komponent v neusmerjenih grah. Tu uporabimo modicirano metodo pregleda v globino, ki ozna uje to ke z zaporednimi ²tevili od 1 do n. V primeru, da se pregled kon a ne da bi odkril vse to ke v grafu moramo postopek DFS na novo zagnati v eni od ²e neozna enih to k. Na² rezultat je v tem primeru gozd F. Povezave e = (v, w), ki jih odkrijemo z metodo pregleda v globino lahko razdelimo v naslednje kategorije: 1. Vse povezave, ki vodijo do neozna enih to k imenujemo drevesne povezave (vsebovane so v drevesih gozda odkritega z metodo pregleda v globino). 2. Povezave, ki vodijo do to ke w, ki je bila ºe ozna ena v prej²njem koraku metode lahko razdelimo v naslednje razrede: e je num[w] > num[v] re emo, da je povezava e naprej²nja povezava (forward edge), e je w sorodna od v v drevesu najdenem z pregledom v globino (metoda DFS) re emo povezavi e povratna povezava (backward edge), druga e pa povezavo e imenujemo kriºna povezava (cross edge), saj je usmerjena od enega poddrevesa k drugemu.

47 POVEZANE KOMPONENTE 47 DFS gozd za ra unanje mo no povezanih komponent v povezanih grah: drevo, naprej²nje, povratne in kriºne povezave. To ki v in w sta v isti mo ni komponenti natanko tedaj ko obstaja direktna pot od to ke v do to ke w ter direktna pot od w do v. To ozna uje enakovrednostno razmerje ter vsebovanost to ke v nizu (v primerjavi z 2-povezanostjo komponent, ker je povezava del ene komponente, medtem ko je ena to ka lahko del ve razli nih komponent). Med DFS (depth-rst search) sprehodom smo poiskali korene (roots) mo no povezanih komponent (v vsaki komponenti to ka, ki ima najmanj²o oznako). Kot v primeru 2- povezanih komponent moramo pogledati za vsakega potomca w to ke v ali obstaja tudi povezava v obratni smeri, torej od w do v. Sedaj lahko deniramo lowlink[v], ki naj bo najmanj²a oznaka neke to ke v isti mo ni komponenti, ki je lahko dosegljiva po poljubno mnogo povezavah med drevesi in ima najve eno povratna ali kriºno povezavo. Lema 2.40 To ka v je koren mo ne komponente natanko tedaj, ko veljata oba naslednja pogoja: 1. Ne obstaja povratna povezava od v ali potomca v do prednika to ke v. 2. Ne obstaja nobena kriºna povezava (v, w) od to ke v ali njenih potomcev do to ke w, da bi bil koren mo ne komponente to ke w prednik to ke v. To je ekvivalentno ko je lowlink[v] = num[v]. Dokaz. Predpostavimo, da enakost velja, vendar naj bo u koren od vjeve mo ne komponente in u v. Obstajati mora direktna pot od v do u. Prva povezava na poti, ki vodi do to ke w in ni potomec v v DFS grevesu je povratna ali kriºna povezava. To pomeni, da je lowlink[v] num[w] < num[v], saj je skupni prednik to k v in w z najve jo oznako tudi v tej mo ni komponenti. ƒe je v koren neke mo ne komponente iz nekega gozda lahko re emo, da velja lowlink[v] = num[v]. ƒe sedaj predpostavimo na primer, da je lowlink[v] < num[v], bi to pomenilo, da je v tej mo ni komponenti tudi neki pravi prednik to ke v. To pa bi pomenilo, da v ni koren te mo ne komponente povezane komponente Denicija 2.41 Naj bo G = (V, E) 2-povezan (multi)graf. To ki a, b V imenujemo lo evalni par (separation pair) grafa G, e podgraf iz to k V \ {a, b} ni povezan.

48 48 POGLAVJE 2. POVEZANOST V OMREšJIH Par (a, b) deli povezave grafa G v ekvivalen ne razrede E 1,..., E k (lo evalni razredi separation classes). Dve povezavi sta iz istega razreda natanko tedaj, ko obe leºita na isti poti p, ki ne vsebuje niti a niti b kot ene izmed notranjih to k poti. ƒe vsebuje to ko a ali b je ta to ka robna to ka poti p. Par (a, b) je lo evalni par e imamo vsaj dva lo ena razreda razen v naslednjih posebnih primerih: imamo natanko dva lo na razreda in eden izmed njiju je sestavljen natanko iz ene povezave imamo tri lo ene razrede in vsak izmed njih je sestavljen iz natanko ene povezave. Graf G je 3-povezan e ne vsebuje nobenega lo evalnega para. Denicija 2.42 Naj bo (a, b) lo evalni par dvojno povezanega multi grafa G in naj bodo lo evalni razredi E 1,...,k razdeljeni v dve skupini E = l i=1e i in E = k i=l+1 E i ter naj vsebujejo vsaj dve povezavi. Grafa G = (V (E e), E e) in G = (V (E e), E e), ki sta posledica razdelitve grafa na dve skupini povezav [E, E ] in dodatne nove izmi²ljene povezave e = (a, b), ki jo dodamo vsakemu novemu grafu, imenujemo razdeljena grafa (split graphs) in sta ponovno dvojno povezana. ƒe je operacijo razbitje grafov uporabimo rekurzivno na razdeljenih grah lahko tako sestavimo graf G (ni nujno enoli na re²itev). Vsaka povezava iz E je vsebovana natanko enkrat in vsaka virtualna povezava je vsebovana natanko dvakrat v dveh komponentah razdelitve. Lema 2.43 Naj bo G = (V, E) 2-povezan multi graf z E 3. Potem je celotno ²tevilo povezav vsebovanih v vseh komponentah razdelitev omejeno z 3 E 6. Dokaz. Dokazali bomo z indukcijo po povezavah grafa G: ƒe je E = 3, G ni razcepni graf torej lema velja. Sedaj predpostavimo, da lema velja za grafe, ki imajo do m 1 povezav. ƒe ima graf G m to k lema velja, e ga ni mo razcepiti. ƒe pa ga lahko razcepimo, graf tako razpade na dva dela, ki imata k + 1 in m k + 1 povezav pri emer je 2 k m 2. S to predpostavko je torej ²tevilo povezav omejeno na 3(k + 1) 6 + 3(m k + 1) 6 = 3m 6 Lema povezane komponente (multi) grafa so enoli no dolo ene. Sedaj si poglejmo denicijo SPQR dreves. Razdeljen par (split pair) 2-povezanega grafa G je ali par razdelitve (separation pair) ali pa par sosednjih to k. Razdeljena komponenta razdeljenega para {u, v} je ali (u, v)-povezava ali pa vsebovan v maksimalnem podgrafu G, kjer {u, v} ni razdeljen par. Razdeljen par {u, v} iz grafa G imenujemo maksimalni par razdelitve za razdeljen par {s, t} grafa G, e za kak²no razdelitev {u, v }, e so to ke u, v, t in s v isti razdelitveni komponenti. Denicija 2.45 Naj bo e = (s, t) povezava iz grafa G. SPQR-drevo T grafa G za neko referen no povezavo je drevo z korenom sestavljeno iz ²tirih razli nih tipov vozli² (S.P.Q.R.). T je rekurzivno denirano kot: (Q) Trivialni primer (Simple Case): ƒe je G iz natanko dveh vzporednih povezav s t, potem je T edino Q-vozli² e s skeletom G.

49 POVEZANE KOMPONENTE 49 (P) Vzporedni primer (Parallel Case): ƒe ima razdeljen par {s, t} ve kot dve razdeljeni komponenti G 1,...,k, je koren T P -vozli² e s skeleton iz k vzporednih s t-povezav e 1,...,k in e 1 = e. (S) Primer serije (Series Case) ƒe ima razdeljen par {s, t} natanko dve razdeljeni komponenti in je ena e, drugo ozna imo z G. ƒe ima G prerezne to ke c 1,...,k (k 2), ki razdelijo particijo G na bloke G 1,...,k (urejene od s do t), je koren od T S-vozli² e, igar skelet je cikel sestavljen iz povezav e 0,...,k, pri emer je e 0 = e in e i = (c i 1, c i ) za i = 1,..., k, c 0 = s in c k = t. (R) Tog primer (Rigid Case)V vseh ostalih primerih naj bo {s 1, t 1 },..., {s k, t k } maksimalni razdeljeni pari G za {s, t}. Nadalje naj bo G i za i = 1,..., k ozna uje unijo vseh razdeljenih komponent {s i, t i } razen za tistega, ki vsebuje e. Koren T je R- vozli² e, kjer je skelet sestavljen iz G z zamenjavo vsakega podgrafa G i z povezavo e i = (s i, t i ). Za ne trivialne primere so otroci µ 1,...,k vozli² a koreni SPQR dreves G i e i za e i. To ke, ki so povezane z vsako povezavo e i so poli vozli² a µ i. Virtualna povezava vozli² a µ i je povezava e i skeleta vozli² a. SPQR drevo T je zaklju eno, ko dodamo Q-vozli² e kot star²a vozli² a in tako postane nov koren. Vsaka povezava iz G se povezuje z nekim Q-vozli² em drevesa T in vsaka povezava e i iz skeleta vozli² a se povezuje z njenim otrokom µ i. Za koren T lahko vzamemo neko Q-vozli² e in tako dobimo SPQR drevo za pripadajo o povezavo. Izrek 2.46 Naj bo G 2-povezan multi graf z SPQR drevesom T. 1. skeletni gra drevesa T so 3-povezane komponente grafa G. P-vozli² a ustrezajo vezem, S-vozli² a poligonom in R-vozli² a 3-povezanim enostavnim grafom 2. med dvema vozli² ema µ, ν T obstaja povezava natanko tedaj, ko si pripadajo i 3-povezani komponenti delita skupno virtualno povezavo 3. velikost T, skupaj z vsemi skeletnimi gra je linearna v z velikostjo G. Denicija 2.47 Palma P je usmerjen multi graf, ki je sestavljen iz take mnoºice drevesnih lokov v w in take mnoºice listov v w, da drevesni loki tvorijo vpeto drevo P (tako da koren nima vhodnih povezav, vse ostale to ke pa imajo natanko enega star²a)in e je v w je list, potem obstaja usmerjena pot od w do v. Pa recimo sedaj, da je P palma za pripadajo enostaven 2-povezan graf G = (V, E ) (z oznakami na to kah 1,..., V ). Ra unanje razdelitvenih parov temelji na naslednjih spremenljivkah: lowpt1(v) = min({v} ({w v w}) lowpt2(v) = min({v} ({w v w}{lowpt1(v)}) To sta to ki z najmanj²o oznako, ki sta dosegljivi iz v s pre kanjem poljubnega ²tevila (vklju no z ni ) drevesnih lokov in enega lista palme P (ali pa je to v, v primeru, da taka to ka ne obstaja).

50 50 POGLAVJE 2. POVEZANOST V OMREšJIH

51 Literatura [1] Karl Menger, Zur allgemeinen Kurventheorie, Fundamenta Mathematicae (1927), 10: [2] Frank Harary and Yukihiro Kodama, On the genus of an nconnected graph, Fundamenta Mathematicae (1964), 54:713. [3] David W. Matula, The cohesive strength of graphs, Iz The Many Facets of Graph Theory, Proc., volume 110 of Lecture Notes in Mathematics (1969), SpringerVerlag, [4] László Lovász, Connectivity in digraphs, Journal of Combinatorial Theory Series B (1973), 15(2): [5] Lester R. Ford, Jr. and Delbert R. Fulkerson, Maximal ow through a network, Canadian Journal of Mathematics (1956), 8: [6] Hassler Whitney, Congruent graphs and the connectivity of graphs, American Journal of Mathematics (1931), 54: [7] Lowell W. Beineke and Frank Harary, The connectivity function of a graph, Mathematika (1967), 14: [8] Frank Harary, The maximum connectivity of a graph, Proceedings of the National Academy of Science of the United States of America (1962), 48(7): [9] Gary Chartrand, A graphtheoretic approach to a communications problem, SIAM Journal on Applied Mathematics (1966), 14(5): [10] Yem Dinitz, Alexander V. Karzanov, and M. V. Lomonosov, On the structure of the system of minimum edge cuts in a graph, Iz A. A. Fridman, Studies in Discrete Optimization (1976), Nauka, [11] Alexander V. Karzanov and Eugeniy A. Timofeev, Ecient algorithm for nding all minimal edge cuts of a nonoriented graph, Cybernetics (1986), 22(2): [12] Ralph E. Gomory and T.C. Hu, Multiterminal network ows, Journal of SIAM (December 1961), 9(4): [13] Dan Guseld, Very simple methods for all pairs network ow analysis, SIAM Journal on Computing (1990), 19(1): [14] Lisa Fleischer, Building chain and cactus representations of all minimum cuts from HaoOrlin in the same asymptotic run time, Journal of Algorithms, (October 1999), 33(1):5172. [15] Robert E. Bixby, The minimum number of edges and vertices in a graph with edge connectivity n and m nbonds, Networks, (1981),5:

52 52 LITERATURA [16] Shimon Even and Robert E. Tarjan, Network ow and testing graph connectivity, SIAM Journal on Computing, (December 1975), 4(4): [17] Shimon Even, Graph Algorithms, (1979), Computer Science Press. [18] Alexander V. Karzanov, On nding maximum ows in networks with special structure and some applications, Matematicheskie Voprosy Upravleniya Proizvodstvom, volume 5, (1973), pages 6670, Moscow State University Press. (In Russian). [19] Abdol-Hossein Esfahanian and S. Louis Hakimi, On computing the connectivities of graphs and digraphs, (1984), 14(2):355366, Networks. [20] David W. Matula, Determining edge connectivity in O(nm), Proceedings of the 28th Annual IEEE Symposium on Foundations of Computer Science (FOCS'87), (October 1987), pages

53 Poglavje 3 Fenomen majhnega sveta algoritmi na perspektiva Petra Zupan 3.1 Uvod Fenomen majhnega sveta temelji na ideji, da smo vsi ljudje povezani preko kratke verige poznanstev. Ta princip se je pri el raziskovati v ²estdesetih letih, ko so po ²tevilnih poskusih ugotovili, da lahko v povpre ju do katerekoli osebe pridemo preko znancev v ²estih korakih ali manj, za kar se je uveljavil izraz ²eststopenjskega lo evanja [4]. Od takrat je bilo predlaganih mnogo modelov za analizo problema, ki pa niso zadostni za razlago izvorne ugotovitve: z uporabo lokalne informacije so posamezniki skupaj zelo u inkoviti pri dejanski konstrukciji kratkih poti med dvema to kama (dvema posameznikoma) v socialnem omreºju. Obstoje i decentralizirani algoritmi, ki delujejo le na podlagi lokalnih informacij, namre ne morejo konstruirati kratkih poti z nezanemarljivo verjetnostjo v teh modelih. Kleinberg [1] denira druºino modelov omreºij in pokaºe, da obstaja enoli en model znotraj druºine u inkovitih decentraliziranih algoritmov. V seminarski nalogi je opisan model za iskanje najkraj²ih poti med dvema vozli² ema, pri emer poznamo bliºnje sosede vsakega vozli² a ter daljne sosede vozli², ki smo jih ºe obiskali. Dokazane so tri trditve, ki nam dolo ajo spodnjo in zgornjo mejo pri akovanega asa dospetja decentraliziranega algoritma za iskanje najkraj²ih poti. 3.2 Model in algoritem Za osnovno strukturo modela vzamemo dvodimenzionalno mreºo velikosti n n z usmerjenimi robovi. Mnoºica vozli² {(i, j) : i {1, 2,..., n}, j {1, 2,..., n}} predstavlja mno- ºico posameznikov v socialnem omreºju. Denirajmo razdaljo med dvema vozli² ema: d((i, j), (k, l)) = k i + l j Za neko konstano p 1 je vozli² e u povezano z vsemi vozli² i, ki so od u oddaljena najve p. To so bliºnji znanci. Za neki konstanti q 0 in r 0 konstruiramo z neodvi- 53

54 54POGLAVJE 3. FENOMEN MAJHNEGA SVETA ALGORITMIƒNA PERSPEKTIVA Slika 3.1: Znanci vozli² a u za p = 1 in q = 2 (v in w sta dva daljna znanca). snimi naklju nimi poskusi usmerjene povezave od u do q drugih vozli² (daljni znanci); posamezna usmerjena povezava od u se kon a v vozli² u v u z verjetnostjo proporcionalno [d(u, v)] r (da dobimo verjetnostno porazdelitev, delimo to koli ino s konstanto v [d(u, v)] r ). Primer tako konstruiranih sosedov vozli² a prikazuje slika 3.1. V algoritmu najprej dolo imo za etno in ciljno vozli² e (ozna imo ju s s in t). Cilj algoritma je najti pot od s do t z najmanj povezavami. Vozli² e u, v katerem se algoritem trenutno nahaja, ima informacijo o mnoºici bliºnjih znancev vseh vozli² na mreºi, lokacijo vozli² a t in lokacijo ter daljne znance vseh ºe obiskanih vozli², ne pozna pa daljnih znancev vozli², ki jih ²e nismo obiskali. Na podlagi teh informacij mora algoritem v vozli² u u izbrati znanca v, v katerem nadaljuje pot. Pri akovan as dospetja decentraliziranega algoritma je enak pri akovanim ²tevilom korakov algoritma in mora biti najmanj²i moºen. 3.3 ƒasi dospetja Analiziramo algoritem, predstavljen v prej²njem poglavju. Za laºjo analizo decentraliziranega algoritma v model vpeljemo Princip odloºenih odlo itev [5]: predpostavimo, da so daljna poznanstva vozli² a v generirana samo, ko sporo ilo prvi doseºe v in ne na za- etku. Ker pri decentraliziranem algoritmu daljna poznanstva vozli² a v niso pomembna dokler vozli² a v ne obi² emo, je tak²na formulacija modela ekvivalentna prej²nji. Trditev 3.1 Obstaja konstanta α 0, odvisna od p in q in neodvisna od n, da je za r = 0 pri akovan as dospetja kateregakoli decentraliziranega algoritma vsaj α 0 n 2/3. Dokaz sledi iz trditve 1.3 pri r = 0. Trditev 3.2 Obstajata decentraliziran algoritem A in konstanta α 2 neodvisna od n, tako da je za r = 2 in p = q = 1 pri akovan as dospetja algoritma A najve α 2 (log(n)) 2. Dokaz. Ker je p = 1, je vsako vozli² e v omreºju povezano s ²tirimi najbliºjimi sosedi (oziroma dvema ali tremi v primeru vozli² a na robu mreºe). Ker je q = 1, je vsako vozli² e

55 3.3. ƒasi DOSPETJA 55 povezano z enim naklju no generiranim daljnim vozli² em. Verjetnost, da vozli² e u izbere v za svojega daljnega soseda je p uv = d(u, v) 2 / v u d(u, v) 2. Ocenimo: 2n 2 d(u, v) 2 (4j)(j 2 ) = 4 v u j=1 2n 2 j=1 j ln(2n 2) 4 ln(6n). Torej je p uv [4 ln(6n)d(u, v) 2 ] 1. Decentraliziran algoritem je deniran na naslednji na in: na vsakem koraku trenutno vozli² e u izbere tistega soseda (daljnega ali bliºnjega), ki je vozli²cu t (cilj) najbliºji. Za j > 0 pravimo, da je algoritem v fazi j, e je razdalja med trenutnim vozli² em in vozli² em t ve ja od 2 j in najve 2 j+1. Algoritem je v fazi 0, e je razdalja med trenutnim vozli² em in vozli² em t najve 2. Torej je za etna vrednost j log(n). Ker se razdalja od trenutnega vozli² a do t na vsakem koraku algoritma strogo zmanj²a, se v vsakem vozli² u nahajamo najve enkrat in lahko predpostavimo, da so daljni znanci vozli² a generirani ²ele, ko pridemo v vozli² e. Recimo, da je algoritem v fazi j, log(log(n)) j < log(n), in se nahajamo v vozli² u u. Faza j se bo kon ala, ko bomo vstopili v mnoºico vozli², ki so od t oddaljeni najve 2 j (mnoºico ozna imo z B j ). Mo te mnoºice je vsaj 2j 1 + i = j j + 1 > 2 2j 1, i=1 za vsako vozli² e v te mnoºice pa velja: d(v, u) d(v, t) + d(t, u) 2 j + 2 j+1 < 2 j+2, torej je p u,v (4 ln(6n)2 2j+4 ) 1. ƒe je katerokoli izmed teh vozli² daljni sosed vozli² a u, je to tisti sosed, ki je vozli² u t najbliºji. Torej je verjetnost, da se faza j kon a v naslednjim koraku enaka 2 2j 1 B j p uv 4 ln(6n)2 = 1 2j ln(6n). Ozna imo z X j ²tevilo korakov, ki jih algoritem preºivi v fazi j, log(log(n)) j < log(n). Dobimo 1 E(X j ) = Pr[X j i] (1 128 ln(6n) )i 1 = 128 ln(6n). i=1 i=1 Analogen nabor vozli² pokaºe, da ocena velja tudi za j = log(n). Ocena velja tudi za 0 j log(log(n)), saj lahko algoritem preºivi v fazi j najve log(n) korakov, etudi gremo iz vsakega vozli² a v vozli² e, ki je bliºnji sosed. Ozna imo z X skupno ²tevilo korakov algoritma, torej X = log(n) j=0 Zaradi linearnosti matemati nega upanja velja E(X) (1+log(n))(128 ln(6n)) α 2 (log(n)) 2, za primerno izbiro konstante α 2. Decentraliziran algoritem ²e nekoliko nadgradimo. S S i ozna imo mnoºico vozli², ki smo jih ºe obiskali do (vklju no) koraka i. Na tem koraku ºe poznamo vse daljne sosede vozli² iz S i. Glede na to informacijo, algoritem na naslednjem koraku izbere kateregakoli soseda kateregakoli vozli² a iz S i, ki ga ²e nismo obiskali (tudi e to vozli² e ni sosed trenutnega vozli² a). V tako formuliranem modelu bo spodnja meja pri akovanega asa X j.

56 56POGLAVJE 3. FENOMEN MAJHNEGA SVETA ALGORITMIƒNA PERSPEKTIVA dospetja kve jemu niºja, torej bo ocena ustrezala tudi prvotnemu modelu. Mnoºica S i+1 torej vsebuje en element ve kot S i. Algoritmu dodamo ²e en estetski popravek: algoritem naredi neskon no mnogo korakov ko enkrat doseºe vozli² e t, tam tudi ostane v vseh nadaljnih korakih. Torej nam na nekem koraku algoritma ni treba skrbeti, da se je algoritem na tem koraku ºe zaklju il. Zanima nas spodnja meja pri akovanega asa dospetja algoritma (slika 3.2). Trditev 3.3 (a) Naj bo 0 r < 2. Obstaja konstanta α r odvisna od p, q, r in neodvisna od n, tako da je pri akovan as dospetja kateregakoli decentraliziranega algoritma vsaj α r n (2 r)/3. (b) Naj bo r > 2. Obstaja konstanta α r odvisna od p, q, r in neodvisna od n, tako da je pri akovan as dospetja kateregakoli decentraliziranega algoritma vsaj α r n (r 2)/(r 1) Slika 3.2: Spodnja meja pri akovanega asa dospetja. Dokaz. (a) Naj bo A zgoraj opisan decentraliziran algoritem, pri katerem sta za etno in kon no vozli² e izbrani naklju no enakomerno izmed vozli² v mreºi. Ocenimo p uv = d(u, v) r / u v d(u, v) r, tako, da upo²tevamo oceno: n/2 n/2 d(u, v) r (j)(j r ) = j 1 r v u j=1 j=1 (2 r) 1 ((n/2) 2 r 1) n/2 1 (2 r)2 3 r n2 r, 1 x 1 r dx kjer pri zadnji neenakosti upo²tevamo n 2 r 2 3 r. To lahko predpostavimo, ker imamo dovolj svobode pri izbiri konstante α r, torej lahko predpostavimo, da je n n 0, za neko konstanto n 0. Ozna imo δ = (2 r)/3, U = {u, d(u, t) pn δ }. Velja ocena U 1 + pn δ j=1 4j 4p2 n 2δ, kjer predpostavimo, da je n dovolj velik, da velja pn δ 2.

57 3.3. ƒasi DOSPETJA 57 Denirajmo λ = (2 8 r qp 2 ) 1. Naj bo ε dogodek, da v λn δ korakih pridemo v vozli² e v, v t, ki ima daljnega soseda v U. Naj bo ε i dogodek, da v koraku i pridemo v vozli² e v, v t, ki ima daljnega soseda v U, torej ε = i λn δε i. Ker ima vsako vozli² e q naklju no generiranih daljnih sosedov, velja ocena Dobimo Pr[ε i] 1 (2 r)2 3 r Pr[ε ] q U n (2 r)23 r q 2 r n 2 r i λn δ Pr[ε i] 4p2 n2δ = (2 r)25 r qp 2 n 2δ n 2 r. (2 r)25 r λqp2 n3δ n 2 r = (2 r)2 5 r λqp Denirajmo ²e dva dogodka: F naj bo dogodek, da sta za etno vozli² e s in cilj t izbrana tako, da velja d(s, t) n/4. Velja Pr[F ] 1/2. Ker je Pr[F ε ] in 2 4 Pr[F ε ] 1. 4 Ozna imo z X ²tevilo korakov, potrebnih da pridemo od s do t in z ε dogodek, da sporo ilo doseºe t v kve jemu λn δ korakih. Trdimo, da je Pr[ε F ε ] = 0. Dokazujemo s protislovjem: predpostavimo Pr[ε F ε ] > 0. Zaradi F velja d(s, t) n/4 > pλn δ λn δ. Zaradi ε velja X λn δ. Torej mora biti sporo ilo vsaj enkrat poslano daljnemu sosedu. Ko se to zadnji zgodi, mora daljni sosed leºati v U. To je v nasprotju s predpostavko, da se ε ne zgodi. Iz Pr[ε F ε ] = 0 sledi E[X F ε ] λn δ. Torej E(X) E[X F ε ] Pr[F ε ] 1 4 λnδ = 1 4 (28 r qp 2 ) 1 n (2 r)/3 = α r n (2 r)/3 za nek α r, odvisen od p, q, r in neodvisen od n. (b) Vzamemo enak model kot v prvem delu trditve in r > 0. Ponovno predpostavimo, da je n ve ji od neke ksirane konstante n 0. Deniramo ε = r 2. Naj bo u vozli² e, v katerem se trenutno nahajamo, v pa naj bo naklju no generiran daljni sosed vozli² a u. Ker je u v d(u, v) r 1, velja ocena Pr[d(u, v) > m] 2n 2 j=m+1 (4j)(j r ) = 4 2n 2 j=m+1 = ε 1 m ε. j 1 r m x 1 r dx (r 2) 1 m 2 r = Ozna imo β = ε, γ = 1 in 1+ε 1+ε λ = min(ε,1). Predpostavimo, da je n γ p. Naj bo E 8q i dogodek, da smo v koraku i v vozli² u u t, ki ima daljnega soseda v, za katerega velja d(u, v) > n γ. Naj bo E = i λ n βe i. Dobimo Pr[E ] Pr[E i ] λ n β qε 1 n εγ = λ qε i λ n β Denirajmo F in X kot v delu a) Trditve 1.3. Torej Pr[F E ] 1/4. Naj bo E dogodek, da pridemo v t v najve λ n β korakih. Trdimo, da e je zgodi F in se E ne zgodi, se E ne more zgoditi. ƒe se E ne zgodi, se lahko vsakem od prvih λ n β korakov premaknemo za najve n γ. Torej je skupna prepotovana razdalja najve λ n β+γ = λ n < n/4, torej ne doseºemo t, e se zgodi F. Sledi, da je E[X F E ] λ n β in E(X) E[X F E ] P r[f E ] 1 4 λ n β = za nek α r, odvisen od p, q, r in neodvisen od n. min(ε, 1) n r 2 r 1 4 8q = αr n r 2 r 1

58 58POGLAVJE 3. FENOMEN MAJHNEGA SVETA ALGORITMIƒNA PERSPEKTIVA 3.4 Zaklju ek S pomo jo analize zgornjega modela lahko pridemo do bolj splo²nih zaklju kov za majhna omreºja. Navedeni rezultati pojasnujejo vpliv strukture omreºja na zmoºnost decentraliziranega algoritma da konstruira kratke poti. Za u inkovito iskanje poti v omreºju sta bistveni lokalna struktura (torej gostota bliºnjih znancev) in porazdelitev daljnih znancev. Ko je korelacija med njima blizu kriti ne meje, struktura daljnih znancev omogo a u inkovito generiranje poti od za etnega do kon nega vozli² a. Ko korelacija pade pod kriti no mejo in postane omreºje bolj homogeno, sledi pri nejo izginjati in v limiti, ko so daljni znanci generirani naklju no enakomerno (neodvisno od strukture mreºe), opisani model opisuje svet, v katerem kratke verige z veliko verjetnostjo obstajajo, vendar jih posamezniki niso sposobni najti. Tak²ne primere sta raziskovala Killworth in Bernard [6], ki sta v eksperimentu iskanja kratkih poti med posamezniki od sodelujo ih v eksperimentu zahtevala pojasnilo, zakaj so izbranega znanca izbrali za naslednji kontakt. S pove evanjem koecienta r (torej spreminjanjem porazdelitve daljnih znancev) decentraliziran algoritem izkoristi prednost poloºajev daljnih znancev, kar zmanj²a pri akovan as dospetja. Hkrati pa se pove a potreben as za doseganje bolj oddaljenih vozli², kar pove a pri akovan as dospetja. Najbolj²e rezultate dobimo pri inverzni kvadratni porazdelitvi ( r = 2), saj so le v tem primeru daljni znanci posameznega vozli² a skoraj enakomerno porazdeljeni po vseh distan nih razredih. Pri r < 2 obstaja teºnja po izbiri bolj oddaljenih vozli², pri r > 2 pa teºnja po izbiri bliºnjih vozli². Razli ne modikacije opisanega algoritma obravnavajo problem lokalnih informacij, kot na primer konstrukcija kompaktnih usmerjevalnih tabel za komunikacijska omreºja [2] in robotska navigacija v neznanem okolju [3]. Rezultati, navedeni v seminarski nalogi, se precej razlikujejo od teh, a imajo skupen cilj prepoznavanja kvalitativnih lastnosti omreºij, ki omogo ajo u inkovito usmerjevanje lokalnih informacij.

59 Literatura [1] J. Kleinberg, The SmallWorld Phenomenon: An Algorithmic Perspective, Cornell Computer Science Technical Report [2] D. Peleg, E. Upfal, A trade-o between size and eciency for routing tables, Journal of the ACM [3] R. Albert, H. Jeong, A. L. Barabasi The diameter of the World Wide Web, Nature 401, [4] J. Guare Six Degrees of Separation: A Play, Vintage Books, [5] R. Motwani, P. Raghavan Randomized Algorithms, Cambridge University Press, [6] P. Killworth, H. Bernard Reverse small world experiment, Social Networks 1,

60 60 LITERATURA

61 Poglavje 4 Razvoj omreºij malih svetov z geografskimi preferencami Miha Erºen Besedilo je povzeto po lanku Evolving small-world networks with geographical attachment preference avtorjev Zhongzhi Zhang, Lili Rong in Francesc Comellas in je namenjeno predstavitvi pri predmetu Uporabna diskretna matematika. 4.1 Povzetek Predstavil bom najmanj²i razvijajo i se model omreºja majhnih svetov, ki je odvisen od parametra. V tem modelu je rast omreºja odvisna od povezav novih vozli² z vozli² i, ki so ºe vsebovana in geografsko gledano blizu novim vozli² em. Analiti no in preko numeri nih simulacij bomo preverili ve topolo²kih lastnosti na²ega modela. Na koncu bomo potegnili vzporednice med na²im modelom omreºja ter realno-ºivljenjskimi omreºji. Videli bomo, da za model velja efekt majhnih svetov in lastnost gru avosti. 4.2 Uvod V mnogih sistemih, ki jih sre ujemo v vsakdanjem ºivljenju opazimo visoko stopnjo lokalne gru avosti in lastnost majhnih svetov [1, 2, 3, 4]. Lokalno povezovanje ozna uje gru avost skupin vozli² med seboj. Pod lastnostjo majhnih svetov si predstavljamo, da obstaja med poljubnima dvema vozli² ema opazovanega sistema relativno kratka pot. Za omreºja v katerih veljata obe lastnosti re emo, da so omreºja malega sveta. V zadnjih letih je bilo predlaganih precej modelov majhnih svetov s katerimi so posku²ali opisati delovanje sistemov realnega sveta. Prvi in najbolj raz²irjen tak model je enostavni model majhnih svetov, ki sta ga predlagala Watts in Strogatz (WS model) [5]. Ta model je vzbudil precej zanimanja za nadaljnje prou evanje razli nih lastnosti omreºij majhnih svetov [1, 2, 3, 4]. Barthélémy in Amaral sta preu evala obna²anje majhnih svetov v [6]. Barrat in Weigt sta v svoji raziskavi analiti no in numeri no preverjala 61

62 62POGLAVJE 4. RAZVOJ OMREšIJ MALIH SVETOV Z GEOGRAFSKIMI PREFERENCAMI strukturne lastnosti WS modela [7]. Amaral je raziskoval statisti ne karakteristike mno- ºice razli nih omreºij, ki jih najdemo v vsakdanjem ºivljenju [8]. Latora in Marchiori sta predstavila koncept u inkovitosti omreºja ter odkrila, da so omreºja majhnih svetov lokalno in globalno u inkovita [9]. V lankih [10, 12, 13, 22] lahko najdemo ve o ²irjenju in ltracijah. Opisano je predvsem ²irjenje informacij in bolezni po najkraj²ih poteh v grafu ali ²irjenje po vpetem drevesu. e ve drugih lastnostih omreºij majhnih svetov pa lahko najdemo v lankih [14, 15, 16, 17, 18, 19, 20]. Poleg zgoraj omenjenih lankov in raziskav se v zadnjem asu precej zanimanja pojavlja tudi za razne izpeljave WS modela. Hkrati so enako varianto modela predstavili Monasson [21] ter Newman in Watts [11]. Model je podrobneje predstavljen in razloºen v lankih [22, 23]. Leta 1999 je Kasturirangan predstavil alternativno verzijo WS modela [24]. Gre za poseben primer modela za katerega obstaja to na re²itev [25]. Leto kasneje je Kleinberg predstavil posplo²itev WS modela, ki temelji na dvodimenzionalni mreºi [26, 27]. Za vse zgoraj omenjene modela velja, da so naklju ni. Pravzaprav omreºja majhnih svetov lahko kreiramo z deterministi nimi tehnikami, kot je modikacija nekaterih regularnih grafov [28] ali se²tevanje in mnoºenje grafov [29]. Ve o omreºjih generiranih z deterministi nimi tehnikami je mo najti v lankih [30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40]. 4.3 Modela OHO in ZRG Vsi modeli omreºij, ki sem jih omenil zgoraj v vsaj nekaterih lastnostih posnemajo realno ºivljenjska omreºja majhnih svetov. Nadalje nam lahko taki modeli dobro prikaºejo kako naj bi nekatera omreºja izgledala. Vsekakor pa je efekt majhnih svetov precej splo²na lastnost. Omreºje lahko kreiramo na veliko na inov da ima le to ²e vedno lastnost majhnih svetov. Ne dolgo nazaj so Ozik, Hunt in Ott predstavili enostaven evolucijski model (OHO model), kjer se omreºje majhnih svetov razvija, razvoj omreºja pa upo²teva tudi geografske preference. Za omreºje velja, da so vse povezave med mesti lokalne in so si geografsko blizu [41]. Zhang Rong in Guo so predstavili deterministi ni model majhnih svetov (ZRG model), ki je ustvarjen z iteracijami na povezavah [42] in je deterministi na verzija posebnega primera OHO modela ter varianta psevdofraktalnega brez-lestvi nega omreºja (pseudofractal scale-free network) [32]. OHO in ZRG modela nam tako omogo ata vpogled v nekatere obstoje e realno ºivljenjske sisteme. Tu se nam porodi vpra²anje ali obstaja shema, ki bi na²a speci na modela raz²irila na neko bolj splo²no perspektivo. V nadaljevanju seminarja bom predlagal bolj splo²en scenarij za kreiranje razvijajo ih se omreºij majhnih svetov. Na² model bo na nek na in podoben modeloma OHO in ZRG. Ko dodamo novo vozli² e v omreºje, le to poveºemo le z ºe obstoje imi vozli² i, ki so geografsko blizu novemu. Na² model temelji na eksponentni stopnji porazdelitve, ima velik koecient gru avosti in kratko povpre no razdaljo poti (average path length - APL), ki ima vrednosti podobne modelom naklju nih omreºij majhnih svetov [5, 11, 22, 24, 25, 26, 27, 41]. Kot zanimivost, na² model vsebuje parameter q, preko katerega je mo spreminjati strukturne lastnosti na²ega razvijajo ega se omreºja majhnih svetov. V kolikor nastavimo parameter q pravilno lahko iz na²ega modela dobimo tako model OHO kot ZRG, ki tako postaneta le posebna primera na²ega modela.

63 4.4. RAZVOJ MODELA OMREšJA MAJHNIH SVETOV 63 Slika 4.1: Slika rasto ega omreºja majhnih svetov za m = 2 in q = 1. iterativnega procesa. Trije koraki 4.4 Razvoj modela omreºja majhnih svetov V tem delu bom predstavil model iterativno rasto ega omreºja. Omreºje po t iterativnih korakih ozna imo s N(t). Na²e omreºje je sestavljeno na naslednji na in. Za nemo v za etnem stanju (t = 0), ki vsebuje m + 1, (m je sodo ²tevilo) vozli². Vozli² a leºijo na krogu in so med seboj vsa povezana. Za t 1, N(t) dobimo iz N(t 1) na naslednji na in: za vsak interval med vozli² ema na omreºju N(t 1) dodamo novo vozli² e na krog z verjetnostjo q in ga poveºemo z m najbliºjimi vozli² i ( m na vsaki strani). Razdalja v 2 tem primeru pomeni ²tevilo intervalov na krogu. Omreºje tako iterativno raste dokler ne doseºe ºelene velikosti. Slika 4.1 prikazuje proces rasti omreºja v posebnem primeru kje je m = 2 in q = 1. Ko je q = 1 in m = 2, je omreºje poenostavljeno v deterministi ni model ZRG omreºja [42]. Ko je q 1 re emo, da omreºje raste naklju no. V primeru, ko se q pribliºuje 0, vendar je ne doseºe, na² model postane OHO model [41]. Na vsakem koraku je dodano le eno novo vozli² e, le to pa povezano z m najbliºjimi sosedinimi vozli² i. Verjetnost da izberemo nek interval je enaka za vse intervale (za dalj²o interpretacijo glej [43]). Spreminjanje parametra q nam omogo a, da lahko preu ujemo razlike med modeloma OHO in ZRG [42]. Omeniti velja, da je q realno ²tevilo z intervala [0, 1]. V nadaljevanju bomo predpostavili, da se vse spremenljivke povezane s q spreminjajo zvezno. Podobna predpostavka je bila uporabljena tudi v lankih [1, 2, 3] in velja v limiti za dovolj velik t. Sedaj lahko pogledamo kako se izra una ²tevilo vozli² in povezav omreºja N(t). Z L v (t) in L e (t) ozna imo ²tevilo novo dodanih vozli² in povezav na koraku t. Na za etku (t = 0) imamo L v (0) = m + 1 vozli² in L e (0) = m(m + 1)/2 povezav omreºja N(0). Naj nam N c (t) predstavlja ²tevilo intervalov med vozli² i na krogu na koraku t, torej je N c (0) = m + 1. Sedaj lahko re emo, da velja L v (t) = N c (t 1)q za poljuben t 1. Tukaj naj opozorim, da ko dodamo omreºju novo vozli² e, stari interval izpade, nadomestita pa ga dva nova intervala. Iz tega sledi, da se z novim vozli² em ²tevilo intervalov pove a za ena. Iz tega sledi naslednja formula N c (t) = N c (t 1) + L v (t). Na drugi strani pa novo vozli² e vodi tudi do tega da imamo m novih povezav v omreºju. Po kraj²em izra unu dobimo naslednji ena bi za t i (t i 1), L v (t i ) = (m + 1)(1 + q) ti 1 q in L e (t i ) = m(m + 1)(1 + q) ti 1 q. Iz teh dveh ena b lahko nato izra unamo ²tevilo vozli² N t in ²tevilo vseh povezav E t v omreºju N(t). N t = t L v (t j ) = (m + 1)(1 + q) t (4.1) t j =0

64 64POGLAVJE 4. RAZVOJ OMREšIJ MALIH SVETOV Z GEOGRAFSKIMI PREFERENCAMI in E t = t t j =0 [ L e (t j ) = m(m + 1) (1 + q) t 1 ]. (4.2) 2 Iz esar nato sledi, da je povpre na stopnja vozli² a enaka k t = 2E [ ] t 1 = 2m 1. (4.3) N t 2(1 + q) t Za velike t in vsak q 0 je to majhno in pribliºno enako 2m. Opazimo, da ima veliko realno ºivljenjskih omreºij izredno malo povezav, e pomislimo, da je vseh moºnih povezav kar N t (N t 1)/2, [1, 2, 3]. 4.5 Strukturne lastnosti razvijajo ih se omreºij majhnih svetov Strukturne lastnosti omreºij so temeljne zna ilnosti pri razumevanju kompleksnih dinami nih realno ºivljenjskih sistemov. Tu se bomo osredoto ili na ²tiri pomembne zna ilnosti: distribucija stopnje, koecient gru avosti, povpre na razdalja poti in premer Distribucije stopenj Stopnja je najenostavnej²a in najbolj preu evana lastnost posami nega vozli² a. Stopnja vozli² a i je ²tevilo povezav v celotnem omreºju, ki je povezano z vozli² em i. Stopnja distribucije P (k) je denirana kot verjetnost, da ima naklju no izbrano vozli² e natan no k povezav. S k i (t) ozna imo stopnjo vozli² a i na koraku t. ƒe je vozli² e i dodano omreºju v koraku t i, potem velja k i (t i ) = m. V vseh poznej²ih asovnih korakih imamo m intervalov, m/2 na vsaki strani i. Za vsak tak interval velja, da lahko z verjetnostjo q tam nastane novo vozli² e, ki bo povezano z i. Potem je stopnja k i (t) vozli² a i enaka e upo²tevamo za etni pogoj k i (t) = m dobimo k i (t) = k i (t 1) + mq (4.4) k i (t) = m + mq(t t i ). (4.5) Stopnjo lahko tako za vsako vozli² e izra unamo po ena bi 4.5. Vidimo, da ta stopnja pove a z vsako novo iteracijo, zato je smiselno izra unati kumulativno porazdelitev [3] P cum (k) = P (k ), (4.6) ki je verjetnost, da je stopnja vozli² a ve ja ali enako k. Pomembna prednost kumulativne porazdelitve je v tem, da lahko zmanj²a ²um na repih verjetnostne porazdelitve. e ve, za nekatera omreºja katerih porazdelitve stopnje imajo eksponentne repe, P ( k) e k κ, velja za kumulativno porazdelitev, da je tudi eksponentni izraz z enakim eksponentom: k =k P cum ( k) = P ( k) k = k k = k e k κ e k κ. (4.7)

65 4.5. STRUKTURNE LASTNOSTI RAZVIJAJOƒIH SE OMREšIJ MAJHNIH SVETOV 65 Slika 4.2: Semilogaritemski graf kumulativne stopnje porazdelitve za razvijajo a se omreºja, za m = 2 in razli ne vrednosti q. Vsi podatki so dobljeni kot povpre je desetih neodvisnih simulacij. Ta lastnost eksponentne distribucije omogo a, da jo je izredno enostavno opaziti e nari²emo kumulativno porazdelitev na semilogaritmsko skalo. ƒe upo²tevamo ena bo 4.5 dobimo P cum (k) = k =k P (k) = P (t τ = t ( k m)). mq Sledi P cum (k) = τ t =0 L v (t ) N t = m + 1 τ (m + 1)(1 + q) + t t =1 (m + 1)(1 + q) t +1 q = (1 + q) k m (m + 1)(1 + q) t mq (4.8) Kumulativna porazdelitev pada eksponentno s k. Kot rezultat tako dobimo eksponentno omreºje. Ve ina omreºij majhnih svetov, vklju no z WS modelom, spada v to skupino. V sliki 4.2 je prikazana simulacija rezultatov kumulativne stopnje porazdelitve za razli ne vrednosti q pri m = 2. Razen v deterministi nem primeru, q = 1, je stopnja spektra (degree spectrum) omreºja zvezna. Iz slike 4.2 lahko vidimo, da kumulativna stopnja porazdelitve pada eksponentno za visoke vrednosti stopenj. Ve o potrditvi analiti nih domnevanj najdemo v lankih [5, 11, 22, 24, 25, 26, 27, 41]. Za druga ne vrednosti m bi morali dobiti kvalitativno podobne rezultate kot pri m = Koecient gru avosti Ve ina realno ºivljenjskih omreºij ima gru avo strukturo, ki jo lahko kvanticiramo s koecientom gru avosti [1, 2, 3, 4]. Gru avost na vozli² u nam pove razmerje povezav sosednjih vozli² do izbranega vozli² a. Po deniciji je gru avost vozli² a i s k i sosednjimi vozli² i podana kot C i = 2e i /[k i (k i 1)], kjer je e i ²tevilo povezav med njegovimi sosedi. Koecient gru avosti C omreºja je dobljen kot povpre je C i po vseh to kah v omreºju. V na²em posebnem primeru, kjer je m = 2, e upo²tevamo pravila povezovanja, je enostavno izra unati natan no vrednost koecienta gru avosti za poljubno to ko in povpre no vrednost za omreºje. Ko to ko i dodamo v omreºje sta vrednosti k i in e i enaki 2 in 1. ƒe se stopnja k i pove a za ena, potem se more njen nov sosed povezati z enim

66 66POGLAVJE 4. RAZVOJ OMREšIJ MALIH SVETOV Z GEOGRAFSKIMI PREFERENCAMI Slika 4.3: Povpre en koecient gu avosti C v odvisnosti od q za m = 2. Vsaka to ka je povpre je desetih neodvisnih simulacij. od njenih prej²njih sosedov, e i se hkrati pove a za ena. Zato lahko re emo, da je e i enak k i 1 za vsa vozli² a v vsakem koraku. Tako obstaja premo sorazmerje med stopnjo vozli² a in njeno gru avostjo. Za vozli² e v, ki je stopnje k, je izraz za njen koecient gru avosti enak 2/k, kar je tudi dokazano v [32, 42, 44]. Ta izraz za izra unavanje lokalne gru avosti nam pokaºe enako inverzno sorazmernost s stopnjo kot jih opazimo v ²tevilnih realno ºivljenjskih omreºjih [34]. V kolikor imamo visoke koeciente gru avosti na vozli² ih, to pomeni, da bomo imeli tudi visok koecient gru avosti C omreºja. Na² C je odvisen od q in se pribliºuje asimptoti ni vrednosti ko postaja omreºje veliko. Na sliki 4.3 lahko vidimo C kot funkcijo q za primer, ko je m = 2. Iz slike 4.3 lahko vidimo tudi neskon no limito omreºja, C pribliºuje ne-ni elni vrednosti. V simulacijah smo dobili, da je C enak 0, 6482, 0, 6500, 0, 6640 in 0, 6828 pri q = 0, 005, 0, 2, 0, 6 in 0, 8. Slika 4.3 prikazuje odvisnost koecienta gru avosti omreºja C od q. O itno je, da se C pove uje zvezno, ko pove ujemo q. Ko pove ujemo q od 0 proti 1, C raste od 3 ln 3 1 [41] proti ln 2 [42], (od 0, 6479 proti 0, 6931). Razlog o odvisnostni relaciji bi 2 bilo dobro pogledati bolj podrobno, saj je mogo e povezana s pristransko izbiro povezav za vsako iteracijo, ve v o tem je napisano v [45]. Kljub temu, da smo se v tem seminarju osredoto ili le na primer, ko je m = 2, bi pri akovali, da bo tudi za druge vrednosti m, C skonvergiral k neki ne negativni vrednosti za vsako razli no vrednost q (glej tudi [41] za poseben primer) Povpre na dolºina poti Vsekakor je najpomembnej²a lastnost omreºij majhnih svetov logaritemska povpre na dolºina poti - PDP(logarithmic average path length - APL), poleg ²tevila vozli² seveda. Vsekakor lahko re emo, da ima vpliv na dinamiko procesov, ki potekajo v omreºjih. Zato njeno preu evanje vedno pritegne precej pozornosti. Tukaj PDP pomeni povpre je najmanj²ega ²tevila povezav povezav med vsakim parom vozli² v omreºju. V nadaljevanju bomo uporabili podoben pristop kot je opisan v lanku [46]. Pogledali si bomo PDP za na²e omreºje v primeru ko je m = 2.

67 4.5. STRUKTURNE LASTNOSTI RAZVIJAJOƒIH SE OMREšIJ MAJHNIH SVETOV 67 Slika 4.4: Semilogaritemski graf, ki prikazuje odvisnost povpre ne dolºine poti od omreºja reda N za primer m = 2 in q = 0, 5. Vse vrednosti so povpre je desetih neodvisnih realizacij. Vrednosti leºijo skoraj na premici. Vsako vozli² e bomo ozna ili glede na to, kdaj je bila dodana omreºju, v = 1, 2, 3,..., N 1, N. Z L(N) bomo ozna ili povpre no dolºino poti na²ega omreºja reda N, v asih pa bomo z N ozna ili kar omreºje samo. Sledi, da je L(N) = 2ɛ(N), kjer je ɛ(n) = N(N+1) 1 i j N (l i,j) je celotna razdalja in l i,j je najmanj²a razdalja med vozli² ema i in j. Za poseben primer, m = 2, je vsako novo kreirano vozli² e povezano z obema koncema povezave. Razdalja med ºe obstoje ima vozli² ema tako ostaja enaka, tudi e dodamo novo vozli² e. Iz tega slede naslednja ena ba: L(N + 1) = L(N) + N l i,n+1. (4.9) Podobno kot v analizi iz lankov [46, 47], lahko ena bo 4.9 zapi²emo kot pribliºek: i=1 L(N + 1) L(N) + N + (N 2)L(N 1). (4.10) Po nekaj odvajanjih, lahko podamo zgornjo mejo za spremembo ɛ(n) kot: kar nas pripelje do dɛ(n) dn = N + 2ɛ(N) N (4.11) ɛ(n) = N 2 ln N + β, (4.12) kjer je β konstanta. Za ɛ(n) N 2 ln N imamo L(N) ln N. Tako smo dokazali, da za na² poseben primer modela, m = 2, obstaja majhna rast PDP z rastjo velikosti omreºja N. Na sliki 4.4 je prikazano sedanja PDP proti velikosti omreºja N za primer, ko je m = 2 in q = 0, 5. Vidimo, da se PDP obna²a kot logaritmi na funkcija N. Predvidevamo, da bi se PDP obna²al za druga ne vrednosti q podobno kot v opazovanem primeru. Za primer, ko je q = 1, znamo natan no izra unati tudi premer omreºja, maksimalna razdalja med vsemi vozli² i omreºja. Po analiti nem dokazu vidimo, da tudi premer raste logaritemsko s ²tevilom vozli² omreºja [42]. Tukaj velja omeniti, da za na² model, ko je m ve ji kot 2,

68 68POGLAVJE 4. RAZVOJ OMREšIJ MALIH SVETOV Z GEOGRAFSKIMI PREFERENCAMI PDP raste po asneje kot v primeru, ko je m = 2. V teh primerih ve ji kot je m bolj bo na²e omreºje gosto. Podobno interpretacijo po asne rasti PDP najdemo tudi v lankih [41, 42]. Starej²a vozli² a, ki so bila neko proksimalno na krogu so potisnjena narazen, ko dodajamo nova vozli² a na intervale med njimi. Iz slike 4.1 lahko vidimo, da ko novo vozli² e vstopi v omreºje, se za etna razmikajo, ko mednje vrivamo nova vozli² a Premer deterministi nih omreºij Kot sem ºe omenil je premer omreºja maksimum razdalj med vsemi pari vozli² omreºja in ozna uje, na nek na in, najdalj²o zamudo pri komunikaciji v omreºju. Majhen premer je skladen s konceptom majhnih svetov. V deterministi nem primeru q = 1, ozna imo N(t) kot N q=1 (t) in diam(n q=1 (t)) kot premer N q=1 (t) in ga je mogo e natan no izra unati. Toda tukaj vedno podamo le zgornjo mejo premera. Dobljena meja je logaritemsko odvisna od reda omreºja. Sedaj bom predstavil glavno idejo za analizo. O itno je, da je pri t = 0, diam(n q=1 (0)) enako 1. Na vsakem koraku, za t 1, pravimo novo dodanim vozli² em aktivna vozli² a trenutnega koraka. Ker so vsa aktivna vozli² a povezana z ºe obstoje imi vozli² i iz N q=1 (t 1), je enostavno videti, da je maksimalna razdalja med poljubnim aktivnim vozli² em in vozli² i iz N q=1 (t 1) ni ve ja kot diam(n q=1 (t 1)) + 1. Najve ja razdalja med poljubnim parom aktivnih vozli² a je najve diam(n q=1 (t 1))+2. Na vsakem koraku se tako premer pove a za najve 2. Tako dobimo zgornjo mejo 2(t + 1) za premer diam(n(t)). ƒe N q=1 (t) logaritmiramo dobimo ln((m + 1)2 t ) = t ln 2 + ln(m + 1) kar v limiti za velike t je pribliºno enako (t + 1) ln 2. Premer tako nara² a najve logaritemsko glede na stopnjo omreºja. Na² namen tukaj je bil pokazati, da je premer omreºja majhen, tako da smo pokazali kako dolo iti zgornjo mejo, ve pa je napisano v lanku [42]. 4.6 Zaklju ek V seminarju je predstavljen enostaven model omreºja majhnih svetov. Med rastjo omreºja, novo dodana vozli² a ne poznajo lastnosti vozli², ki so ºe vsebovana v omreºju. Nova vozli² a nastanejo na v naprej dolo enih mestih, ki pa so geografsko blizu starim vozli² em omreºja. Pokazal sem analiti ne in numeri ne re²itve za nekatere pomembne parametre omreºja. Prav tako pa je v seminarju pokazano, da na² model omreºja zado² a karakteristikam omreºij majhnih svetov: velika gru avost in majhna povpre na dolºina poti. Za model lahko re emo, da je nastavljiva posplo²itev, ki zajema tudi ekstremne primere kot so opisani v lankih [41, 42]. Omreºja, ki jih tvori prikazujejo razli na realno ºivljenjska omreºja, katerih topologije so odvisne od geografskih omejitev.

69 Literatura [1] R. Albert, A.-L. Barab si, Rev. Mod. Phys. 74 (2002), 47. [2] S. N. Dorogovtsev, J.F.F. Mendes, Mendes, Adv. Phys. 51 (2002) [3] M. E.J. Newman, SIAM Review 45 (2003) 167. [4] M. E.J. Newman, J. Stat. Phys. 101 (2000) 819. [5] D. J. Watts, S.H. Strogatz, Nature 393 (1998) 440. [6] M. Barth c l c my and L.A.N. Amaral, Phys. Rev. Lett. 82 (1999) [7] A. Barrat, M. Weigt, Eur. Phys. J. B 13 (2000) 547. [8] L. A.N. Amaral, A. Scala, M. Barth c l c my and H.E. Stanley, PNAS, 97 (2000) [9] V. Latora, M. Marchiori, Phys. Rev. Lett. 87 (2001) [10] S. A. Pandit, R.E. Amritkar, Phys. Rev. E 60 (1999) R1119. [11] M. E.J. Newman, D.J. Watts, Phys. Lett. A 263 (1999) 341. [12] C. F. Moukarzel, Phys. Rev. E 60 (1999) [13] S. A. Pandit R.E. Amritkar, Phys. Rev. E 63 (2001) [14] T. Nishikawa, A.E. Motter, Y.C. Lai, F.C. Hoppensteadt, Phys. Rev. E 66 (2002) [15] K. Medvedyeva, P. Holme, P. Minnhagen, B.J. Kim, Phys. Rev. E 67 (2003) [16] S. Y. Huang, X.W. Zou, Z.J. Tan, Z.G. Shao, Z.Z. Jin, Phys. Rev. E 68 (2003) [17] C. P. Herrero, M. Saboy a, Phys. Rev. E 68 (2003) [18] L. A. Braunstein, S.V. Buldyrev, R. Cohen, S. Havlin, H.E. Stanley, Phys. Rev. Lett. 91 (2003) [19] H. Guclu, G. Korniss, Phys. Rev. E 69 (2004) [20] P. Blanchard, T. Krueger, Phys. Rev. E 71 (2005) [21] R. Monasson, Eur. Phys. J. B, 12 (1999) 555. [22] M. E.J. Newman, D.J. Watts, Phys. Rev. E 60 (1999) [23] M. E.J. Newman, C. Moore, D.J. Watts, Phys. Rev. Lett. 84 (2000) [24] R. Kasturirangan, [ ]. [25] S. N. Dorogovtsev, J.F.F. Mendes, Europhys. Lett. 50 (2000) 1. 69

70 70 LITERATURA [26] J. Kleinberg, Nature 406 (2000) 845. [27] J. Kleinberg, Proceeding of the 32nd ACM Symposium on Theory of Computing (2000) 163. [28] F. Comellas, J. Oz ªn, J.G. Peters, Inf. Process. Lett. 76 (2000) 83. [29] F. Comellas, M. Sampels, Physica A 309 (2002) 231. [30] A. L. Barab si, E. Ravasz, T. Vicsek, Physica A 299 (2001) 559. [31] K. Iguchi, H. Yamada, Phys. Rev. E 71 (2005) [32] S. N. Dorogovtsev, A.V. Goltsev, J.F.F. Mendes, Phys. Rev. E 65 (2002) [33] S. Jung, S. Kim, B. Kahng, Phys. Rev. E 65 (2002) [34] E. Ravasz, A.-L. Barab si, Phys. Rev. E 67 (2003) [35] J. D. Noh, Phys. Rev. E 67 (2003) [36] F. Comellas, G. Fertin, A. Raspaud, Phys. Rev. E 69 (2004) [37] T. Zhou, B.H. Wang, P.M. Hui and K.P. Chan, [ ]. [38] J.S. Andrade Jr., H.J. Herrmann, R.F.S. Andrade, L.R. da Silva, Phys. Rev. Lett. 94 (2005) [39] J. P.K. Doye, C.P. Massen, Phys. Rev. E 71 (2005) [40] Z. Z. Zhang, F. Comellas, G. Fertin, L.L. Rong, [ ]. [41] J. Ozik, B.-R. Hunt, E. Ott, Phys. Rev. E 69 (2004) [42] Z. Z. Zhang, L.L Rong and C.H. Guo, [ ]. [43] S. N. Dorogovtsev, Phys. Rev. E 67 (2003) [44] S. N. Dorogovtsev, J.F.F. Mendes, A.N. Samukhin, Phys. Rev. E 63 (2001) [45] F. Comellas, H. D. Rozenfeld, D. ben-avraham, [ ]. [46] T. Zhou, G. Yan, B.H. Wang, Phys. Rev. E 71 (2005) [47] Z. Z. Zhang, L.L. Rong, F. Comellas, [ ].

71 Poglavje 5 Razvijajo a psevdofraktalna omreºja Ana pela Hodnik, Blaºka Hunski Predstavimo druºino brezlestvi nih omreºji, ki so sestavljena iz klik in se konstruirajo s preprostim rekurzivnim algoritmom. Izkaºe se, da bodo dobljena omreºja imela poten no porazdelitev stopnje, kjer se eksponent giblje med 2 in 3. Pogledali bomo kako se izra una koecient gru avosti. Pri preu evanju povpre ne dolºine poti pa se bo izkazalo, da lahko omreºju predpi²emo lastnost majhnega sveta. 5.1 Uvod Podro je kompleksnih mreº povezuje teorijo grafov s statistiko, informatiko in sociologijo. Mreºe se ne pojavljajo le v matematiki in teoreti nem ra unalnistvu, z njimi lahko predstavimo strukture, ki jih najdemo v naravi. Med kompleksnimi mreºami sta najbolj znana Watts in Strogatzov model majhnega svata ter Barabási in Albertovo brezlestvi no omreºje. Na modelih mreº se lahko raziskuje razli ne topolo²ke lastnosti. Med osnovne lastnosti spadajo porazdelitev stopnje, koecient gru avosti in povpre na dolºina poti. Pri porazdelitvi stopnje gre za verjetnost porazdelitve stopnje v celotnem omreºju. Za brezlestvi na omreºja je zna ilno, da imajo poten no porazdeljeno stopnjo, torej da je porazdelitev stopnje vozli² P (k) sorazmerna potenci stopnje, t.j. P (k) ck γ, kjer je c neka konstanta in γ parameter, ki ima vrednost med 2 in 3. Za omreºja z lastnostjo brezlestvi nosti velja, da imajo le nekaj vozli² z velikim ²tevilom sosedov. Koecient gru avosti v grobem ozna uje prisotnost ciklov dolºine 3. ƒe je koecient velik, pomeni da vozli² i, ki imata veliko skupnih sosedov, imata ve jo verjetnost, da sta povezani med seboj, kot pa dve naklju no izbrani vozli² i. Majhna povpre na dolºina poti pove, da je pri akovano ²tevilo povezav, ki jih moramo prehoditi iz ene poljubno izbrane to ke do druge, majhno. To pomeni, da povpre na dolºina poti raste logaritemsko glede na ²tevilo vozli² v omreºju. Temu pravimo tudi pojav majhnega sveta. Danes se ²e vedno veliko govori o modeliranju mreº z lastnostjo majhnega sveta in brezlestvi nosti. Dorogovtsev, Goltsev in Mendes so pokazali, da se lahko brezlestvi nost 71

72 72 POGLAVJE 5. RAZVIJAJOƒA PSEVDOFRAKTALNA OMREšJA in pojav majhnega sveta dobro modelira z uporabo matemati nih objektov in metodami za konstrukcijo deterministi nih grafov, ki jih imenujemo psevdofraktalna brezlestvi na omreºja (PSFN). V [30] so predstavljena tudi naklju no rasto a omreºja, ki jih imenujemo naklju na psevdofraktalna brezlestvi na omreºja (RPSFN). Oba modela PSFN in RPSFN se veliko uporabljata pri modeliranju realnih omreºji. Mi se bomo posvetili bolj splo²nim modelom, to so razvijajo a psevdofraktalna omreºja(epn), kamor spadata tudi PSFN in RPSFN. Konstrukcija EPN je odvisna od treh parametrov m p in q, od katerih so odvisne tudi lastnosti dobljenega omreºja. Razto a EPN so sestavljena iz klik in rezultat je poten na porazdelitev stopnje, velik koecient gru avosti ter pojav majhnega sveta. 5.2 Konstrukcija Kot smo ºe zgoraj omenili, je konstrukcija EPN odvisna od treh parametrov za katere velja: m > 0 g 2 0 < p 1. Omreºje konstruiramo rekurzivno in na koraku t ga ozna imo s Q(q, t). Koraki konstrukcije so naslednji: t = 0: Q(q, 0) = K q+1, polni graf na q + 1 to kah, t 1: Q(q, t) dobimo iz Q(q, t 1) tako, da za vsak podgraf v Q(q, t 1), ki je izomorfen q-kliki, z verjetnostjo p dodamo m vozli². Vsako na novo dodano vozli² e poveºemo z vsemi vozli² i pripadajo e q-klike. Postopek ponavljamo dokler ne pridemo do ºeljene velikosti omreºja. Na spodnji sliki vidimo kako izgleda razvijajo e psevdofraktalno omreºje za parametre m = 2, p = 1 in q = 2 do koraka t = 2. Slika 5.1: Primer omreºja za m = 2, p = 1 in q = 2. Obstaja nekja posebnih primerov na²ega modela. To so na primer: Ko so parametri enaki m = 1, p = 1 in q = 2 dobimo ravno psevdofraktalna brezlestvi na omreºja (PSFN) [24].

73 5.3. TOPOLO KE LASTNOSTI 73 Ko m = 1, p 0 (p 0) in q = 2 je model ravno naklju no psevdofraktalno brezlestvi no omreºje (RPSFN). Ko so m = 1, 0 < p 1 in q = 2 je omreºje stohasti no rasto e brezlestvi no omreºje, ki je opisano v [31]. V [25] so bolj podrobno opisana omreºja, ki jih dobimo s parametri m = 1, p = 1 in q 2. Izra unajmo pri akovano ²tevilo vozli² in povezav v Q(q, t). Naj bo L v (t), L e (t) in K q,t zaporedoma ²tevilo vozli², povezav in q-klik dodanih na koraku t. Ko dodamo novo to ko v graf s tem dodamo tudi q novih povezav ter q novih q-klik, zato velja: L e (t) = K q,t = ql v (t) za t 1. Torej za t = 1 pri akujemo L v (1) = mp(q + 1) novih vozli², saj za vasko q-kliko, teh je q + 1, dodamo pm novih vozli². Od tod sledi, da je pri akovano ²tevilo novih povezav v Q(q, 1) enako L e (1) = mpq(q + 1). Za korak t = 0 pa velja L v (0) = q + 1, L e (0) = ( ) q+1 2 = (q+1)q in K 2 q,0 = ( ) q+1 q = q + 1. Za ti > 1 se hitro z indukcijo preveri, da je pri akovano ²tevilo vozli² L v (t i ) = pm(q + 1)(1 + pmq) ti 1 in od tod sledi, da je pri akovano ²tevilo povezav na koraku t i enako L e (t i ) = qpm(q + 1)(1 + pmq) ti 1. Povpre no ²tevilo vseh vozli² N t in povezav E t na koraku t je: N t = t t i =0 L v(t i ) = q t t i =1 L v(t i ) = q t t i =1 pm(q + 1)(1 + mpq)t i 1 = q pm(q + 1) t t i =1 (1 + mpq)t i 1 = q pm(q + 1) (1+mpq)t 1 1+mpq 1 = q (q + 1) (1+mpq)t 1 ( q ) = (q + 1) (1+mpq) t 1+q q (5.1) in podobno dobimo E t = t ( ) 2(1 + mpq) t + q 2 L E (t i ) = (q + 1). (5.2) 2 t i =0 Za velike t je povpre nja stopnja k t = 2Et N t. 5.3 Topolo²ke lastnosti Osredoto ili se bomo na tri najbolj pomembne lastnosti: porazdelitev stopnje, koecient gru avosti in povpre na dolºina poti, ki so odvisne od parametrov m, p in q Porazdelitev stopnje Porazdelitev stopnje je ena pomembnej²a statisti na zna ilnost omreºji. Najprej bomo uporabili metodo opisano v [20, 23] za izra un porazdelitve stopnje za splo²en primer, nato si bomo pa pogledali kaj velja v posebnih primerih.

74 74 POGLAVJE 5. RAZVIJAJOƒA PSEVDOFRAKTALNA OMREšJA Splo²ni primer Ko dodamo novo vozli² e i v omreºje na koraku t i, je njena stopnja enaka q in je vsebovana v q q-klikah. Naj bo L q (i, t) ²tevilo q-klik na koraku t, ki bodo verjetno generirale nova vozli² a na koraku t + 1, povezana z vozli² em i. Na koraku t i, to je korak na katerem dodamo vozli² e i, je L q (i, t i ) = q. Glede na konstrukcijo omreºja vidimo, da na koraku t > t i vsak novi sosed vozli² a i generira q 1 novih q-klik v katerih je vsebovano tudi vozli² e i. Na koraku t i + 1 dodamo pmq novih vozli², ki generirajo mpq(q 1) novih q-klik v katerih je vsebovano vozli² e i. Ozna imo s k i (t) stopnjo to ko i na koraku t in velja k i (t i ) = q. Hitro se vidi da veljata naslednji relaciji za t > t i+1 : in Iz zgornjih dveh enakosti izpeljemo naslednje: k i (t) = k i (t) k i (t 1) = mpl q (i, t 1) (5.3) L q (i, t) = L q (i, t 1) + (q 1) k i (t). (5.4) L q (i, t) = L q (i, t 1) + (q 1)pmL q (i, t 1) = L q (i, t 1)(1 + (q 1)pm) in ker vemo L q (i, t i ) = q, velja naslednje Od tod sledi L q (i, t) = q(1 + (q 1)pm) t t i. k i (t) = pml q (i, t 1) = pmq(1 + (q 1)pm) t t i 1. Torej stopnja vozli² a i na koraku t je k i (t) = k i (t i ) + t t h =t i +1 k i(t h ) = q + pmq t t h =t i +1 (1 + (q 1)pm)t h t i 1 ( ) = q + q (1+(q 1)pm) t t i 1. q 1 (5.5) Sedaj imamo eksplicitno formulo za izra un stopnje kateregakoli vozli² a in s pomo jo tega lahko dobimo porazdelitev stopnje preko kumulativne porazdelitve [3] P cum (k) = 1 N(k, t) k 1 γ, N t k k kjer je N(k, t) ²tevilo vozli² stopnje k na koraku t. Vozli², ki so bila dodana na koraku s, stopnje k ( ) (1 + mp(q 1)) t s + q 2 k = q (5.6) q 1 je L v (s) = mp(q + 1)(1 + mpq) s 1. Vsa vozli² a dodana ob asu s ali prej imajo stopnjo k ali pa ve. Torej velja k k N(k, t) = s a=0 L v(a) = (q+1)((mpq+1)s +q 1) q. Na za etku smo izpeljali koliko je vseh vozli² na koraku t in to ozna ili z N t. ƒe to uporabimo, dobimo naslednje ( ) (1 + mp(q 1)) t s 1 γ + q 2 = 1 1/q (q+1)((mpq+1) s +q 1) q. (q+1)((mpq+1) t +q 1) q

75 5.3. TOPOLO KE LASTNOSTI 75 Za velike t lahko zgornje zapi²emo kot in dobimo ((1 + mp(q 1)) t s ) 1 γ = (1 + mpq) s t (5.7) γ 1 + ln(1 + mpq) ln(1 + mp(q 1)). (5.8) Kot vidimo je γ zvezna funkcija parametrov m, p in q in zaloga vrednosti je interval [2, 3]. Na naslednji sliki je, v logaritemski skali, prikazano obna²anje kumulativne porazdelitve stopnje P cum (k) za razli ne vrednosti p, kjer sta m = 1 in q = 2. Slika 5.2: Kumulativna porazdelitev stopnje P cum (k) za razli ne vrednosti p v primeru ko sta m = 1 in q = 2. Krogci (a), kvadratki (b), zvezdice (c) in trikotniki (d) zaporedoma prikazujejo rezultate za omreºja pri korakih t = 1350, t = 25, t = 16 in t = 13. Vse ²tiri ravne rte so teoreticni rezultat γ(m, p, q), ki jo dolo a ena ba (5.8). Vsi podatki so povpre je 50 neodvisnih ponovitev. Posebni primeri Ko sta m = 1 in p 0 (p 0), je to graf, ki ga imenujemo raz²irjeno naklju no psevdofraktalno brezlestvi no omreºje (ERPSFN), ki ga gradimo na naslednji na in: za nemo s (q + 1)-kliko (t = 0) in na vsakem naslednjem koraku izberemo neko q-kliko v grafu ter dodamo vozli² e, ki ga poveºemo z vsemi vozli² i izbrane q-klike. Ko je q = 2 je ta model ravno naklju no psevdofraktalno brezlestvi no omreºje (RPSFN)[30]. ERPSFN se lahko preprosto predstavi z Yuleovim procesom [33, 34], ki je nastal na podlagi opazovanja statistike biolo²kih taksonov. Yuleov proces lahko matemati no opi²emo takole: merimo pretekli as gleden na ²tevilo rodov. Na vsakem asovnem koraku nova vrsta ustvari nov rod, kar pomeni, da se ²tevilo rodov pove a za ena in q ostalih vrst se doda na razli ne ºe obstoje e rodove, ki so izbrani sorazmerno ²tevilu vrst, ki ºe obstajajo. Torej vozli² a in q-klike v ERPSFN ustrezajo rodovom in vrstam v tem vrstnem redu. Iz tega vidika bi lahko na² model povezali s kak²nim biolo²kim sistemom. Pokazali bomo, da je porazdelitvena stopnja ERPSFN poten na. Ker se velikost ERPSFN na vsakem koraku pove a za ena, bomo s t ozna ili vozli² e, ki nastane na koraku t. Ko dodamo novo vozli² e v omreºje, se ²tevilo q-klik pove a za q. Hitro vidimo, da je na koraku t omreºje sestavljeno iz N = t + q + 1 vozli² in N q = qn q q-klik.

76 76 POGLAVJE 5. RAZVIJAJOƒA PSEVDOFRAKTALNA OMREšJA Analizirajmo porazdelitev stopnje. Ko vozli² e dodamo v omreºje ima stopnjo enako q in ²tevilo q-klik, ki to vozli² e vsebujejo, je tudi q. Ko se stopnja pove a za ena se ²tevilo q-klik, del katerih je tudi to vozli² e, pove a za q 1, torej ²tevilo q-klik, ki vsebujejo neki to no izbrano vozli² e stopnje k je (q 1)k q 2 +2q. S P k,n ozna imo deleº vozli² stopnje k, ko je velikost omreºja N. Torej je ²tevilo takih vozli² enako NP k,n. Verjetnost, da se pojavi nova to ka, ki bo povezana to no z vozli² em i, ki ima stopnjo k i, je sorazmerna z (q 1)k i q 2 + 2q in e ustrezno normiramo dobimo (q 1)k i q 2 + 2q. qn q Med pojavom N-te in (N + 1)-ve to ke je skupno pri akovano ²tevilo vozli² stopnje k, ki lahko v tem asu dobijo novo povezavo enako (q 1)k i q 2 + 2q qn q NP k,n q 1 kp k, N. (5.9) q Zgornje velja za velike N. Opazimo, da se ²tevilo vozli² stopnje k, na vsakem koraku zmanj²a ravno za toliko. A hkrati se ²tevilo pove a zaradi vozli², ki so pred tem imele stopnjo k 1 in se jim sedaj pove a za ena. Tako lahko zapi²emo stopenjsko ena bo (rate equation) [32] za novo ²tevilo (N + 1)P k,n+1 to k stopnje k (N + 1)P k,n+1 = NP k,n + q 1 ((k 1)P k 1,N kp k,n ). (5.10) q Vozli² a stopnje q so edina izjema za zgornjo ena bo in za njih velja naslednja ena ba (N + 1)P q,n+1 = NP q,n + 1 q 1 qp q,n, (5.11) q ker konstrukcija poteka tako, da na vsakem koraku dodamo natanko eno novo vozli² e. Ko gre N proti neskon nosti predpostavimo, da se porazdelitev stopnje pribliºuje nekiksni vrednosti P k = lim N. Potem iz zgornje ena be dobimo in ena ba (5.10) se preoblikuje v iz katere dobimo naslednjo rekurzivno formulo P q = 1/q (5.12) P k = q 1 ((k 1)P k 1 kp k ) (5.13) q P k = Z ve kratno uporabo zgornje rekurzije dobimo naslednje P k = k 1 k P k 1. (5.14) q 1 (k 1)(k 2)... q (k 1)(k 2)... (q + 1) (k q 1 )(k + 1 q 1 )... (q q 1 )P q = (k q 1 )(k + 1 q 1 )... (q (5.15) q 1 ), kjer upo²tevamo koliko je P q (5.12). To lahko poenostavimo z uporabo Γ-funkcije, za katero velja Γ(a) = (a 1)Γ(a 1). Γ-funkcija je denirana kot Γ(a) = 0 x a 1 e x dx. (5.16)

77 5.3. TOPOLO KE LASTNOSTI 77 S temi lastnostmi Γ-funkcije in Γ(1) = 1 dobimo naslednje P k = (q+1+ 1 q 1 )(q+ 1 q 1 )...(2+ 1 q(q 1)...1 q 1 ) Γ(k)Γ(2+ 1 q 1 ) Γ(k+2+ 1 q 1 ) = (q+1+ 1 q 1 )(q+ 1 q 1 )...(2+ 1 q 1 ) q(q 1)...1 B(k, q 1 ), (5.17) kjer je B(a, b) Legendrova beta-funkcija, ki je denirana kot Koecient gru avosti B(a, b) = Γ(a)Γ(b) Γ(a + b). (5.18) Koecient gru avosti za vozli² e i, stopnje k i, je v danem omreºju deniran kot C i = 2l i k i (k i 1), kjer je l i ²tevilo povezav med sosedi vozli² a i, k i(k i 1) 2 pa je najve je mogo e ²tevilo teh povezav. Koecient gru avosti celotnega omreºja je povpre je teh koecientov glede na vsa vozli² a v omreºju: C = 1 V (G) i V (G) V primeru na²ega omreºja lahko izra unamo koecient gru avosti C(k) za vozli² e stopnje k. Namre, ko vozli² e dodamo v omreºje, ga takoj poveºemo z vsemi vozli² i q klike, znotraj katere so vsa vozli² a med sabo popolnoma povezana. Torej je stopnja dodanega vozli² a k, njegov koecient gru avosti pa 1. V naslednjem koraku se stopnja dodanega vozli² a bodisi pove a bodisi ne. ƒe se stopnja vozli² a pove a za 1 zaradi novega vozli² a, ki smo ga dodali v graf, potem mora v omreºju ºe obstajati q 1 sosednjih vozli² na²ega opazovanega vozli² a, ki so prav tako povezana z dodanim vozli² em. Zato je koecient gru avosti za vozli² e stopnje k: C i. C(k) = q(q 1) 2 + (q 1)(k q) k(k 1) 2 = 2(q 1)(k q ) 2. (5.19) k(k 1) Kot vidimo, je C(k) odvisen od k in q. Za k q je C(k) k 1. Tak²en koecient gru avosti lahko najdemo v mnogih modelih mreº in v omreºjih iz realnega ºivljenja. S pomo jo ena be (5.19) dobimo koecient gru avosti celotnega omreºja C t v koraku t: C t = 1 N t t r=0 2(q 1)(D r q )L 2 v(r), (5.20) D r (D r 1) kjer te e vsota po vseh korakih in je D r stopnja vozli², ki so nastala v koraku r, L v (r) pa njihovo ²tevilo. Formuli za D r in L v (r) smo izpeljali ºe na za etku. V neskon nih omreºjih, (N t ), vrednost v (5.20) konvergira k neni elni vrednosti

78 78 POGLAVJE 5. RAZVIJAJOƒA PSEVDOFRAKTALNA OMREšJA C. O itno je koecient gru avosti omreºja v asu t, Ct, funkcija parametrov m, p, in q. ƒe bi ksirali poljubna dva parametra, bi Ct nara² ala s preostalim prostim parametrom. Analiti ni izra uni pokaºejo, da v primeru, ko: m = 1, q = 2 in p te e od 0 do 1, C zraste od [38] do 0.8 [24] ; p = 1, q = 2 in m te e od 1 do, C zraste od 0.8 [24] do 1; m = 1, p = 1 in q te e od 2 do, C zraste od 0.8 do 1, pri tem pri q = 3 doseºe vrednost C = in C = pri q = 4; Slika 5.3: Prikazana je odvisnost koecienta gru avosti C od parametrov m, p, in q. Rezultati so povpre eni na 10 realizacij omreºja. Opazimo lahko, da je povpre en koecient gru avosti zelo velik, kar nam pove, da so razvijajo a psevdofraktalna omreºja zelo gru asta. Slika 5.3 kaºe odvisnost koecienta gru avosti C od parametrov m, p in q, kar tudi potrdi na²e zgornje zaklju ke, s slik 5.2 in 5.3 in iz ena b (5.8) in (5.20) pa lahko vidimo, da sta tako eksponent γ kot tudi koecient gru avosti C odvisna od parametrov m, p in q Povpre na dolºina poti Najpoembnej²a lastnost omreºij majhnega sveta je logaritemska povpre na dolºina poti (angl. Average Path Length - APL) glede na ²tevilo vozli², saj zelo vpliva na dinamiko procesov v omreºjih. APL pomeni minimalno ²tevilo povezav, ki povezuje par vozli², povpre eno na vse pare vozli². V tem razdelku bomo najprej izra unali zgornjo mejo APL za splo²en primer, potem pa bomo izra unali APL za posamezna deterministi na omreºja. Ugotovili bomo, da APL raste logaritemsko glede na velikost omreºja. Zgronja meja APL za splo²en primer razvijajo ih psevdofraktalnih omreºij Vozli² a omreºja ozna imo po vrsti s ²tevili od 1 do N (tista, ki so nastala v za etnih korakih imajo niºji indeks kot tista, ki so nastala v kon nih). Z L(N) ozna imo APL za na²e omreºje velikosti N. Vemo, da se L(N) izra una kot L(N) = σ(n) N(N 1) 2 = 2σ(N) N(N 1),

79 5.3. TOPOLO KE LASTNOSTI 79 kjer je σ(n) = 1 i<j N in d i,j pomeni razdaljo med vozli² ema i in j. ƒe uporabimo podobni pristop kot v [17, 21, 22, 23], lahko izra unamo APL za na² primer. Imamo torej: d i,j σ(n + 1) = σ(n) + Ena bo (5.21) lahko aproksimiramo z N d i,n+1. (5.21) i=1 σ(n + 1) = σ(n) + N + (N q)l(n q + 1), (5.22) kjer je (N q)l(n q + 1) = 2σ(N q + 1) N q + 1 Ena bi (5.22) in (5.23) nam podata zgornjo mejo za σn kot < 2σ(N) N. (5.23) od koder sledi dσ(n) dn = N + 2σ(N) N, (5.24) σ(n) = N 2 (ln N + ω), (5.25) kjer je ω konstanta. Ker je σ(n) N 2 ln N, velja L(N) ln N. Zapomnimo si, da je bila ena ba (5.24) izpeljana iz neenakosti, kar pomeni, da L(N) nara² a najve z ln(n) glede na N. Torej ima na² model lastnost majhnega sveta. Na sliki lahko vidimo odvisnost APL od velikosti sistema za razli ne p in q pri ksnem m = 1. S slike 5.4 lahko vidimo, da pri ksnem q, APL pada z nara² ajo im p, pri ksnem p pa je APL padajo a funkcija q. Ko je velikost omreºja N majhna, je APL linearna funkcija ln N, ko pa N postaja velik, APL nara² a malce po asneje kot ln N. Torej so preizku²eni rezultati skladni z aniliti no napovedjo. Opomniti moramo, da e ksiramo p in q, za m pa vzamemo vrednosti ve je od 1, bo APL nara² ala po asneje kot v primeru m = 1, saj ve ji ko je m, gostej²e postaja omreºje. Natan ni rezultati za povpre no dolºino poti v posebnem primeru V primeru p = 1 so omreºja deterministi na, zato lahko APL analiti no izra unamo. Tukaj bomo obravnavali le primer za m = 1, p = 1 in q = 2. Omreºje v asu t pri teh parametrih ozna imo s Q t. Povpre na dolºina poti omreºja Q t se izra una kot: d t = D t N t(n t 1) 2, (5.26)

80 80 POGLAVJE 5. RAZVIJAJOƒA PSEVDOFRAKTALNA OMREšJA Slika 5.4: Semilogaritmi en graf APL v odvisnosti od velikosti omreºja N v primeru m = 1. Vsaka to ka je dobljena kot povpre je petdesetih realizacij omreºja. Premice so linearne funkcije ln N. kjer je D t = i,j Q t d i,j. (5.27) Slika 5.5: Omreºje po t + 1 korakih Q t+1 dobimo z zdruºitvijo treh kopij omreºij iz koraka t, (Q (1) t, Q (2) t, Q (3) t ) v treh vozli² ih z najvi²jo stopnjo, ozna enih z A, B in C. Deterministi na rekurzivna konstrukcija tega omreºja ima sebi podobno strukturo, kar nam, e sledimo pristopu, predstavljenem v [40], omogo a natan en izra un d t. Kot lahko vidimo na sliki 5.5 lahko omreºje Q t+1 dobimo tako, da v najbolj povezanih vozli² ih (vozli² ih najvi²je stopnje) zdruºimo tri kopije Q t, ki jih bomo ozna ili z Q (α) t, α = 1, 2, 3 [28]. Potem lahko vsoto vseh najkraj²ih poti D t+1 zapi²emo kot D t+1 = 3D t + t, (5.28) kjer je t vsota vseh najkraj²ih poti, katerih konci niso v isti veji Q t. Re²itev ena be (5.28) je t 1 D t = 3 t 1 D t r 1 r. (5.29) r=1

81 5.3. TOPOLO KE LASTNOSTI 81 Vse poti, ki prispevajo k r, morajo potekati skozi vsaj eno izmed treh vozli² (A, B, C), kjer so zdruºene tri razli ne veje Q t. Spodaj je zapisan analiti en izraz za t, ki ga imenujemo kriºne poti, podan kot: kjer α,β t t = 1,2 t + 2,3 t + 1,3 t, (5.30) ozna uje vsoto sveh najkraj²ih poti s kon nimi to kami v Q (α) t in Q (β) izklju uje poti, kjer je katero koli kon no vozli² e Seveda moramo pripomniti, da α,β t ravno skupno vozli² e vej Q (α) t vozli² a v veji Q t (npr. Q (α) t in Q (β) t in vklju uje samo eno izmed poti, ki vodijo od ), ki ni sti i² e vej, do vseh vozli² v drugih vejah Q t (npr. Q (β) t ), ki niso sti i² a vej. Zaradi simetrije 1,2 t = 2,3 t = 1,3 t imamo t. t = 3 1,2 t, (5.31) kjer je 1,2 t podan z vsoto 1,2 t = i Q (1) t,j Q (2) t i A,C,j A Da bomo lahko izra unali 1,2 t, deniramo d tot t Z Q (1) t d Z,A, d i,j. (5.32) d near t Z Q (1) t d Z,A <d Z,C d mid t Z Q (1) t d Z,A =d Z,C d far t Z Q (1) t d Z,A >d Z,C d Z,A, d Z,A, d Z,A, N near t Z Q (1) t d Z,A <d Z,C N near t Z Q (1) t d Z,A =d Z,C N far t Z Q (1) t d Z,A >d Z,C 1, 1, 1, (5.33) kjer velja Z A in Z C. Od tod zlahka vidimo d tot t = d near t + d mid t + d far t in Zaradi simetrije sledi N near t N t = N near t + N mid t + N far t + 2. = N far t. Torej, s konstrukcijo dobimo:

82 82 POGLAVJE 5. RAZVIJAJOƒA PSEVDOFRAKTALNA OMREšJA N t = 2N near t Nt+1 mid = Nt mid + Nt mid + 2, + 2Nt near + 1. (5.34) Z uporabo zgornjih relacij in z upo²tevanjem za etnih vrednosti, dobimo delne vrednosti iz ena be (5.33): N far t = N near t = 1 6 ( 3 + 3t+1 ), Sedaj se vrnimo k vrednosti 1,2 t 1,2 t = = + i Q (1) t,j Q (2) t i A,C,j A d i,j i Q (1) t, j Q (2) t, i A,C, j A,B d i,a >d i,c, d j,a >d j,b i Q (1) t, j Q (2) t, i A,C, j A,B d i,a >d i,c, d j,a d j,b = 2Nt near d near t + (N near t N mid t = 1 6 (3 + 3t+1 ). (5.35), ki jo lahko razbijemo na vsoto ²tirih koli in kot: (d i,c + d j,b + 1) + (d i,a + d A,j ) + ) 2 + ( Nt near ) ( + N near + (N t 2) ( d near t + d mid t + Nt near ( d near t + d mid ) t + d near t t + d mid t i Q (1) t, j Q (2) t i A,C, j A,B d i,a d i,c i Q (1) t,i A,C, j=b + Nt mid ) ( d near t ) d far + N mid t t + d far t + N t 2. + d mid t (d i,a + 1) ) + d far t (d i,a + d A,j ) Izraz 1,2 n imamo sedaj zapisan z izrazi iz (5.33), zato bomo v naslednjih korakih eksplicitno izra unali te koli ine. Ker sta vozli² i A in C povezani z eno povezavo, za vsako vozli² e i v omreºju velja, da se d i,a in d i,c razlikujeta za najve 1. ƒe pa upo²tevamo ²e sebi - podobno strukturo omreºja, zlahka ugotovimo, da se v koraku t + 1 koli ine d mid t+1, d near t+1 in d far t+1 izraºajo kot: Iz teh rekurzivnih ena b dobimo d mid t+1 = d mid t + 2d far d near t+1 = d mid t t + 1, + 2d near t, d far t+1 = d mid t + 2d far t + Nt mid. (5.36) d mid t = 3 t 2 (t + 5), d near t = 3 t 2 (t + 2), d far t = 1 ( 2 (t + 1) 3 t t+1 27 ). 54 (5.37) S substitucijo izrazov v ena bah (5.36) in (5.31) z izrazi, dobljenimi v ena bah (5.35) in (5.37), dobimo

83 5.4. ZAKLJUƒEK 83 t = 1 12 [ (4t + 13) 9 t 9 ]. (5.38) Ko vstavimo rezultate iz ena be (5.38) v ena bo (5.29) in uporabimo D 1 = 21, dobimo D t = 1 8 ( 4t 9 t t t + 3 ). (5.39) Vstavimo izraza (5.1) in (5.39) v (5.26) in dobimo natan nen izraz za povpre no dolºino poti: d t = 4t 9t t t t t+1. (5.40) V neskon no velikem omreºju (t ), velja: d t 4 9 t ln N t, (5.41) kar pomeni, da je povpre na dolºina poti logaritemsko odvisna od velikosti omreºja. Omeniti moramo, da so se kon ni izrazi v ena bah (5.40) in (5.41) pojavili v [24] (ena bi (5.6) in (5.7) v tem delu), vendar pa v delu [24] niso bile podane podrobnosti izpeljave, zato je ekspliciten izra un, predstavljen v tem delu, pedago²ko koristen. Seveda pa lahko podana analiti na metoda pomaga pri ²tudiju drugih deterministi nih modelov omreºij. 5.4 Zaklju ek V delu smo predstavili in preu evali razred razvijajo ih omreºij, sestavljenih iz klik. Izpeljali smo analiti ne in numeri ne rezultate za porazdelitev stopnje, koecient gru avosti in povpre no dolºino poti, ki so dolo ene s parametri in so v skladu s ²tevilnimi opazovanji v ºivo. Opazovana omreºja so brezlestvi na, s stopnjo med 2 in 3. Koecient gru avosti za posamezna vozli² a je poten no porazdeljen, koecient gru avosti celotnega omreºja pa je zelo velik in in neodvisen od velikosti omreºja. Znotrajto kovna lo enost je majhna, in nara² a najeve logaritemsko glede na velikost omreºja. V realnem svetu veliko omreºij sestoji iz klik. Na primer, v omreºju sodelujo ih v lmski industriji [6] in v omreºju sodelujo ih v znanosti [41] igralci, ki igrajo v istem lmu oz. avtorji istega dela, tvorijo kliko. V omreºju direktorjev koorporacij, direktorji kot lani istega odbora, tvorijo kliko. Analogno je tudi v omreºjih javnega transporta avtobusne (oz. ºelezni²ke, podzemne) postaje tvorijo klike, e so zaporedne postaje na neki poti, pa tudi v omreºju pojmov v besedilih so besede v vsakem stavku besedila dodane v celotno besedilo kot klike. Vse to nam postavlja zelo zanimivo in pomembno vpra²anje, kako zgraditi evolucijske modele, ki bi temeljili na teh posebnih delih omreºja-klikah. Zanimivo je, da so na²a omreºja, pa eprav razli na od realnega sveta, sestavljena iz klik, zna ilnost teh sestavnih enot pa nam lahko pomaga pri razumevanju nekaterih omreºij iz resni nega ºivljenja. V prihodnosti bi bilo bolj zanimivo ustvariti model, ki bi opisoval sisteme iz resni nega ºivljenja, sestavljen iz klik, kot npr. v omreºju lmske industrije, kjer klike nastanejo pri medsebojnem sodelovanju. [45, 46]

84 84 POGLAVJE 5. RAZVIJAJOƒA PSEVDOFRAKTALNA OMREšJA

85 Literatura [1] R. Albert, A.-L. Barabási,Rev. Mod. Phys. 74, 47 (2002). [2] S.N. Dorogvtsev, J.F.F. Mendes, Adv.Phys. 51, 1079 (2002). [3] M.E.J. Newman, SIAM Rev. 45, 167 (2003). [4] S. Boccaletti, V. Latora, Y. Moreno, M. Chavez, D.-U. Hwanga,Phys.Rep. 424, 175 (2006). [5] A.-L. Barabási, R. Albert, Science 286, 509 (1999). [6] D.J. Watts, H. Strogatz, Nature(London) 393, 440 (1998). [7] P.L. Krapivsky, S. Redner, F. Leyvraz, Phys.Rev. Lett. 85, 4629 (2000). [8] S.N. Dorogovtsev, J.F.F. Mendes, A.N. Samukhin,Phys. Rev. Lett. 85, 4633 (2000). [9] R. Albert, A.-L.Barabási, Phys. Rev. Lett. 85, 5234 (2000). [10] S.N. Dorogovtsev, J.F.F. Mendes, Europhys. Lett. 52, 33 (2000). [11] L.A.N. Amaral, A. Scala, M. Barthélémy, H.E. Stanley, Proc.Natl. Acad. Sci. U.S.A. 97, (2000). [12] G.Bianconi, A.-L. Barabási, Europhys. Lett. 54, 436 (2001). [13] F. Chung, L.Y. Lu, T.G. Dewey, D.J. Galas, Biology 10, 677 (2003). [14] W.X. Wang, B.H. Wang, B. Hu, G. Yan, Q. Ou, Phys. Rev. Lett. 94, (2005). [15] Z.Z. Zhang, S.G. Zhou, L.J. Fang, J.H. Guan, Y.C. Zhang, EPL 79, (2007). [16] A.F. Rosenfeld,R. Cohen, D. ben-avraham, S. Havlin Phys. Rev. Lett. 89, (2002). [17] Z.Z. Zhang, L.L. Rong, F. Comellas J.Phys. A 39, 3253 (2006). [18] J.S. Andrade Jr., H.J. Herrmann, R.F.S. Andrade, L.R. da Silva, Phys.Rev. Lett. 94, (2005). [19] J.P.K. Doye, C.P. Massen, Phys.Rev. E 71, (2005). [20] Z.Z. Zhang, F. Comellas, G. Fertin,L.L. Rong, J. Phys. A 39, 1811 (2006). [21] T. Zhou, G. Yan, B.H. Wang Phys. Rev. E 71, (2005). [22] Z.Z. Zhang, L.l. Rong, F. Comellas, Physica A 364, 610 (2006). [23] Z.Z. Zhang, L.L. Rong, S.G. Zhou, Phys.Rev. E 74, (2006). [24] S.N. Dorogovtsev, A.V. Goltsev, J.F.F. Mendes, Phys. Rev. E 65, (2002). [25] F. Comellas, G. Fertin, A. Raspaud Phys. Rev. E 69, (2002). [26] Z.Z. Zhang, L.L. Rong, S.G. Zhou Physica A 377, 329 (2007). 85

86 86 LITERATURA [27] P.G. Lind, J.A.C. Gallas, H.J. Herrmann Phys. Rev. E 70, (2004). [28] E. Bollt, D. ben-avraham, New J. Phys. 7, 26 (2005). [29] M.C. González, A.O. Sousa, H.J.Herrmann, Eur. Phys. J. B 49, 253 (2006). [30] S.N. Dorogovtsev, J.F.F. Mendes, A.N. Samukhin Phys. Rev. E 63, (2001). [31] S.N. Dorogovtsev, Phys. Rev. E 67, (R) (2003). [32] P.L. Krapivsky, S. Redner, Phys. Rev. E 63, (2001). [33] J.C. Willis, G.U. Yule Nature 109, 177 (1922). [34] G.U. Yule, Phil. Trans. R. Soc.(london) B 213, 21 (1925). [35] M.E.J. Newman, Contemp. Phys. 46, 323 (2005). [36] H.A. Simon, Biometrika 42, 425 (1955). [37] E. Ravasz, A.L. Barabási, Phys. Rev. E 67, (2003). [38] A. Barrat, R. Pastor-Satorras, Phys. Rev. E 71, (2005). [39] F. Comellas, H.D. Rosenfeld, D. ben-avraham, Phys. Rev. E 72, (2005). [40] M. Hinczewski, A.N. Berker, Phys. Rev. E 73, (2006). [41] M.E.J. Newman, Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A., 97, 404 (2001). [42] S. Battiston, M. Catanzaro, Eur. Phys. J. B 38, 345 (2004). [43] J. Sienkiewicz, J.A. Holyst, Phys. Rev. E 72, (2005). [44] S.M.G Caldeira, T.C.P. Lobão, R.F.S.Ë Andrade, A. Neme, J.G.V. Mirandal, Eur. Phys. J. B 49, 523 (2006). [45] J.-L. Guillaume, M. Latapy, Inf. Process. Lett. 90, 215 (2004). [46] J.L. Guillaume, M. Latapy, Physica A 371, 795 (2006). [47] A. Erbas, A. Tuncer, B. Y ücesoy, A.N. Berker Phys. Rev. E 72, (2005). [48] M. Hinczewski, Phys. Rev. E 75, (2007). [49] Z. Zhang, S. Zhou, L. Chen, Eur. Phys. J. B 58, 337 (2007).

87 Poglavje 6 Fenomen majhnega sveta: Algoritmi na perspektiva Sabina Kramer 6.1 Uvod ƒe za neko socialno omreºje velja, da sta poljubno izbrana posameznika zelo verjetno povezana preko kratkega zaporedja vmesnih poznanstev, potem govorimo o fenomenu majhnega sveta. Fenomen je v ²estdesetih letih postal v socialnih znanostih zelo priljubljena tema za preu evanje. Najbolj znani so bili eksperimenti Stanleya Milgrama in njegovih sodelavcev [2]. Milgramov osnovni eksperiment majhnega sveta ²e vedno ostaja najbolj prepri ljiv na tem podro ju (Slika 6.1). Glavni cilj eksperimenta je bil najti im kraj²e verige poznanstev med ljudmi v ZDA, ki se niso poznali med seboj. Za primer, za etni osebi v Nebraski so dali pismo, da ga dostavi ciljni osebi v Massachusettsu. Za etna oseba je dobila osnovne podatke o ciljni osebi, nato je morala pismo poslati nekomu, ki ga pozna, tako da bi bilo pismo kasneje im u inkoviteje dostavljeno ciljni osebi. Vsakemu v verigi so dali enaka navodila. Po ²tevilnih poskusih so ugotovili, da je bilo povpre no ²tevilo vmesnih korakov v uspe²ni verigi med 5 in 6, za kar se je uveljevil izraz na elo ²eststopinjskega lo evanja (six degree of separation principle, Slika 6.2). To pomeni, da lahko do katerega koli posameznika v omreºju pridemo v ²estih korakih ali manj. 6.2 Modeliranje fenomena Cilj empiri nega preverjanja fenomena je bil odgovoriti na naslednje vpra²anje, zakaj bi obstajale kratke verige poznanstev med naklju no izbranimi neznanci. Ena prvih razlag tega problema je bila naslednja (Pool in Kochen [1]): Naklju na omreºja imajo nizek premer, kar pomeni, da je razdalja med izbranima to kama majhna. 87

88 88POGLAVJE 6. FENOMEN MAJHNEGA SVETA: ALGORITMIƒNA PERSPEKTIVA Slika 6.1: Primer Milgramovega eksperimenta Slika 6.2: Six degrees of separation model V tem primeru lahko premer omreºja oziroma grafa ocenimo: z D = N oz. D = log N log z kjer je D premer grafa, z povpre no stevilo poznanstev, N pa velikost populacije. ƒe ima vsak posameznik v ZDA nekaj poznanstev, ki so med populacijo izbrana enakomerno in naklju no, in e so poznanstva tudi simetri na, potem sta naklju no izbrana posameznika zelo verjetno povezana preko kratke verige. Ta enotni naklju ni model je imel omejitve, saj ni upo²teval dejstva, da se posamezniki, ki imajo skupnega znanca, zelo verjetno poznajo med seboj. Omreºja imajo lokalno ureditev. V takem omreºju sta vozli² i, ki imata skupnega soseda, bolj verjetno povezani, kot vozli² i, ki nimata skupnega soseda. Poznanstva med populacijo torej niso izbrana naklju no in enakomerno, zato preve gru asto omreºje ne more imeti nizkega premera.

89 6.3. GRAFI Gra Preden postavimo model, si poglejmo kak²ne lastnosti imajo razli ni tipi grafov. Za model bi radi izbrali graf, ki dobro opisuje relacije med posamezniki in ima hkrati tudi nizek premer Naklju ni gra z dano stopnjo povezanosti Imamo razred grafov z danim zaporedjem pri akovanih stopenj to k: w = (w 1, w 2,..., w n ). Verjetnost, da sta vozli² i povezani je p ij = w i w j ρ, kjer je ρ = ( w i ) 1. Predpostavimo ²e, da je max i w 2 i < k w k in tako velja p ij < 1 za vse i in j. Vozli² e v i ima pri akovano stopnjo w i, pri akovano ²tevilo zank pa je majhno v primerjavi s ²tevilom vseh povezav v grafu. Naklju en graf z danimi stopnjami to k w ozna imo z G(w). Za primer, tipi ni naklju ni graf G(n, p) z n vozli² i in verjetnostmi p je naklju ni graf z zaporedjem pri akovanih stopenj w = (pn, pn,..., pn). Za podmnoºico vozli² S deniramo Vol(S) = w i S w i in Vol(G) = w i. Za k 1 deniramo ²e Vol k (S) = w i S w k i. Deniramo pri akovano povpre no stopnjo in povpre no stopnjo drugega reda d = Vol(G) n d = Vol 2(G) Vol(G) Naklju ni gra s poten nim zakonom Naklju ni graf s poten nim zakonom, ozna imo z M(n, β, d, m), je naklju en graf G(w), katerega pri akovano zaporedje stopenj povezanosti podamo z naslednjimi parametri: n je ²tevilo vozli², β > 2 je eksponent poten nega zakona, d je pri akovana povpre na stopnja povezanosti, m je maksimalna pri akovana stopnja in m 2 o(nd). Vozli² a grafa G(w) ozna imo: v 1, v 2,..., v n. Vozli² e v i ima pri akovano stopnjo povezanosti w i = ci 1 β 1

90 90POGLAVJE 6. FENOMEN MAJHNEGA SVETA: ALGORITMIƒNA PERSPEKTIVA za i i 0, za nek c in i 0, ki jih izberemo kasneje. tevilo vozli², ki ima pri akovano stopnjo med k in k + 1 je reda c β 1 (β 1)k β, saj k < ci 1 β 1 < k + 1 ( ) β+1 ( k + 1 k < i < c c ( ) β+1 ( ) β+1 k k + 1 i =. c c ) β+1 Vemo, da mora biti i celo ²tevilo in tako reda c β 1 (β 1)k β. Zdaj moramo oceniti ²e c: Vol(G) = n w i = ci 1 β 1 1 β 1 c β 2 n1 β 1. i i=i 0 Predpostavili smo ºe, da je β > 2. Ker je nd = Vol(G), dobimo: c = β 2 β 1 dn 1 β 1 ( ) β 1 d(β 2) i 0 = n. m(β 1) Imamo funkcijo f(x) = cx 1 β 1, pri akovane stopnje so torej f(i) za i0 i n. Pri akovane stopnje so porazdeljene po poten nem zakonu Lokalni gra Denirali bomo lokalno povezanost vozli² u in v. Pogledali si bomo maksimalno ²tevilo a(u, v) kratkih disjunktnih poti med vozli² ema u in v. Kratka pot je pot dolºine najve l, disjunktne poti pa so v tem primeru poti, ki nimajo nobene skupne to ke. Lahko si tudi pogledamo minimalno velikost c(u, v) mnoºice povezav, brez katerih ne bi bilo kratkih poti med u in v. Imamo relacijo a(u, v) c(u, v) l a(u, v). Relacija vedno drºi, saj je a(u, v) mnoºica kratkih poti med u in v in te poti nimajo nobene skupne povezave. Odstraniti moramo vsaj toliko povezav, kot je kratkih poti, da med u in v ne bo nobene poti dolºine najve l. Oba, a in c je teºko izra unati, zato bomo kot merilo za lokalno povezanost vzeli maksimalni kratki pretok. Kratek pretok je kombinacija kratkih poti, kjer vsaka povezava nosi najve eno enoto pretoka. tevilo teh poti pa je vrednost kratkega petoka. Iskanje maksimalnega kratkega pretoka zapi²emo kot linearni program. Naj bo L graf, e povezava v grafu L, u in v pa poljubni vozli² i v grafu L. Naj bo P l mnoºica kratkih (u, v)-poti in naj bo P e mnoºica kratkih (u, v)-poti, ki vsebujejo povezavo e. Denicija 6.1 (Pretok povezanosti) Pretok povezanosti f(u, v) med vozli² ema u in v je vrednost tistega kratkega pretoka, ki je re²itev linearnega programa: maksimiziraj p P l f p kjer je f p vrednost toka kratke poti p, velja f p 1 za vsak e L, p P e f p 0 za vsak p P l.

91 6.4. ALGORITMI NA GRAFIH 91 Opisani linearni program torej poi² e maksimalno ²tevilo enot pretoka, ki jih lahko peljemo iz vozli² a u v vozli² e v po kratkih poteh. Ker imamo na vsaki povezava najve enoto pretoka, za rezultat dobimo maksimalno ²tevilo kratkih disjunktnih poti med danima vozli² ema. Dual linearnega programa: poiskati minimalno mnoºico povezav, ki jih odstranimo, tako, da vsaki kratki poti med vozli² ema u in v odstranimo eno povezavo. To nam da naslednjo relacijo med ²tevilom kratkih disjunktnih poti dolºine najve l, a(u, v), in pretokom povezanosti f(u, v): a(u, v) f(u, v) a(u, v) l. Pravimo, da sta vozli² i (f, l)-povezani, e obstaja kratek pretok med njima velikosti vsaj f. Denicija 6.2 (Lokalni gra) Graf L je (f, l)-lokalni graf, e za vsako povezavo e = uv v L velja, da sta vozli² i u in v (f, l)-povezani v L \ {e} Hibridni gra s poten nim zakonom Hibridni graf H je unija povezav (f, l)-lokalnega grafa L in globalnega grafa G na isti mnoºici vozli². Tukaj se bomo ukvarjali s primerom, ko je globalni graf G(w) graf s poten nim zakonom M(n, β, d, m). Izrek 6.3 Za hibridni graf H z G = M(n, β, d, m, L) in β > 3 skoraj gotovo, je povpre na razdalja (1 + o(1)) log n, premer pa je O(log n). log d Izrek 6.4 Za hibridni graf H z G = M(n, β, d, m, L) in 2 < β < 3 skoraj gotovo, je povpre na razdalja O(log log n) premer pa O(log n). V primeru, ko je β = 3 skoraj gotovo, je povpre na razdalja O( log n ), premer pa O(log n). log log n Dokaza zgornjih dveh izrekov najdemo v lanku Chung in Lu [6]. Najve realnih mreº obstaja za parameter 2 < β < 3. Premer grafa lahko ²e dodatno zmanj²amo. Pravimo, da ima lokalni graf L izoperimetri no dimenzijo δ, e za vsako vozli² e v iz L in za vsako ²tevilo k < (log log n) 1 δ obstaja vsaj k δ vozli² v L z razdaljo k do v. Za primer, mreºa v ravnini ima izoperimetri no dimenzijo 2, d-dimenzionalna mreºa pa ima izoperimetri no dimenzijo d. 6.4 Algoritmi na grah Spoznali in analizirali bomo nekaj algoritmov, ki jih uporabljamo na grah Ekstrakcija lokalnega grafa Za dani graf imamo naslednji problem: radi bi dobili ven najve ji (f, l)-lokalni podgraf. Deniramo: L f,l (G) naj bo unija vseh (f, l)-lokalnih podgrafov v H. Po deniciji je unija dveh (f, l)-lokalnih podgrafov spet (f, l)-lokalni podgraf in tako je L f,l (G) enoli en in najve ji (f, l)-lokalni podgraf v G, L f,l (G) pa ni nujno povezan. Obstaja preprost algoritem, ki izra una L f,l (G) za vsak graf G.

92 92POGLAVJE 6. FENOMEN MAJHNEGA SVETA: ALGORITMIƒNA PERSPEKTIVA Algorithm 7 Ekstrakcija lokalnega grafa Imamo: graf G, parametra (f, l). ƒe v H obstaja e = (u, v), da velja: u in v nista (f, l)-povezana v H \ {e}: odstranimo e, dobimo H = H \ e. Ponavljamo, dokler ne moremo izlo iti nobene povezave ve. Vrnemo H. Izrek 6.5 Za vsak graf G in vsaka (f, l) algoritem vrne L f,l (G). Dokaz. Imamo graf G in naj algoritem vrne L. Vidimo, da nobena povezava, ki jo odstranimo, ne more biti del (f, l)-lokalnega podgrafa v G, saj bi bilo to v nasprotju z Denicijo 2 (Lokalni gra), zato velja L f,l (G) L. Ko ne moremo ve odstraniti nobene povezave iz L, je L (f, l)-lokalen in zato L L f,l (G). In dobimo L = L f,l (G). Algoritem zahteva O( E 2 ) izra unov maksimalnega kratkega pretoka Ra unanje maksimalnega kratkega pretoka Problem iskanja maksimalnega kratkega pretoka med vozli² ema u in v ima obliko: max{c T x Ax b, x 0}. Naj bo G(u, v) podgraf, ki vsebuje vse kratke poti iz u v v. Lahko bi vzeli G(u, v) = N l (u) N l (v), 2 2 kjer sta N l 2 (u) in N l (v) podgrafa, ki vsebujeta vse kratke polpoti med u in v. Naj bo 2 A inciden na matrika, kjer vsaka vrstica prestavlja povezavo v G(u, v), vsak stolpec pa predstavlja kratko pot iz u v v in naj bo b = c = 1. BFS (Breadth-rst search) oziroma iskanje v ²irino je algoritem na grah, ki sistemati no pregleda vse, kar je dosegljivo iz neke za etne to ke. Algoritem torej za ne v neki to ki in pregleda vse njene sosednje to ke. Potem za vsako sosednjo to ko pregleda spet vse nepregledane sosednje to ke. Postopek se nadaljuje, dokler ne najde cilja.

93 6.5. MODEL: OMREšJA IN DECENTRALIZIRANI ALGORITMI 93 Algorithm 8 Maksimalni kratki pretok Izra unaj: E(u, v) = N l (u) N l (v) z uporabo iskanja v ²irino 2 2 w(e) := 1 za vsak e G(u, v) % w(e) je uteº na povezavi Ponavljaj dokler e w(e) (1 + ɛ) 1 ((1 + ɛ)m) 1 ɛ : Naj bo p kratka pot, ki minimizira e p w(e) % uporabi algoritem Minimalne uteºi α(p) := α(p) + 1 % na za etku je α(p) = 0 f := f + 1 Za vsak e p: w(e) := w(e)(1 + ɛ) % pove amo uteºi na povezavah c(e) := c(e) + 1 Potem zaklju imo: Naj bo C = max e c(e) % C je maksimalen as ustavljanja α(p) := 1 α(p) za vse p % poi² emo ustrezen pretok C Vrni {α(p)} in f % pretok in njegova vrednost C Algorithm 9 Minimalne uteºi Naj bo S 0 = {u} in naj bo φ 0 (u) = 0 Ponavljaj za k [1, l]: Naj bo S k = S k 1 Γ(S k 1 v G(u, v) Za vsak x S k : Naj bo φ k (x) = min y Γ(x) (w(xy) + φ k 1 (y)) Naj bo ψ(v) neko vozli² e, ki minimizira to vrednost za v na koraku k % rekonstruiramo pot minimalnih uteºi Poi² i indeks k, ki ustreza najmanj²emu med φ 0 (v)...φ l (v) Naj bo v = v k Za j = k...1 Naj bo v j 1 = ψ(v j ) Vrni v 0...v k ƒasovna zahtevnost algoritma je O(ml), kjer je m ²tevilo povezav v G(u, v). Izrek 6.6 Maksimalni kratki pretok izvede (1 ɛ) 2 aproksimacij maksimalnega kratkega pretoka s asovno zahtevnostjo O(m 1 ɛ log 1+ɛ m ), kjer je m ²tevilo povezav v G(u, v). Dokaz v lanku Garg, Konemann [7]. 6.5 Model: omreºja in decentralizirani algoritmi Denirali bomo na² omreºni model in pojem decentraliziran algoritem. Uporabili bomo dvodimenzionalno mreºo, kjer so lahko povezave usmerjene. Imamo mnoºico vozli², ki predstavljajo posameznike v socialnem omreºju in so enakomerno razporejene na n n kvadratu: {(i, j) : i {1, 2,..., n}, j {1, 2,..., n}}.

94 94POGLAVJE 6. FENOMEN MAJHNEGA SVETA: ALGORITMIƒNA PERSPEKTIVA Razdalja med dvema vozli² ema (i, j) in (k, l) je denirana kot ²tevilo korakov, ki ju lo uje: d((i, j), (k, l)) = k i + l j. Slika 6.3: Dvodimenzionalna mreºa Za vsako konstanto p 1 ima vozli² e u usmerjene povezave do vozli² z razdaljo p, kar predstavlja njegove lokalne kontakte. Za vsak q 0 in r 0 naklju no izberemo usmerjene povezave od u do q vozli² in dobimo ²e daljne kontakte. i-ta usmerjena povezava ima kon no to ko v v z verjetnostjo proporcionalno [d(u, v)] r. Verjetnostno porazdelitev dobimo tako, da koli ino delimo z v [d(u, v)] r in dobimo inverzno r-to poten no porazdelitev. P [u ima v za daljni kontakt] = [d(u, v)] r. [d(u, v)] r v:v u Model ima preprosto geografsko interpretacijo: posamezniki ºivijo na mreºi in poznajo sosede za nekaj korakov v vse smeri. Imajo pa tudi nekaj poznanstev, ki so razporejena ²ir²e po mreºi. Deniramo problem: Imamo: mreºa G(V, E), kjer je V mnoºica vozli², E pa mnoºica povezav, in naklju no izbrani vozli² i s in t. Cilj: Poslati sporo ilo od s do t v im manj korakih, pri emer uporabimo le lokalne informacije. Predpostavke: V vsakem koraku ima nosilec sporo ila u informacijo o: razponu lokalnih kontaktov za vsa vozli² a, lokaciji vozli² a t in o lokaciji ter daljnih kontaktih vseh vozli², ki so ºe bila v stiku s sporo ilom. Nosilec sporo ila u nima informacije o daljnih kontaktih vozli², ki ²e niso bila v stiku s sporo ilom. Poglejmo si primer, ko je r = 2: V vsakem koraku trenutni nosilec sporo ila preda sporo ilo kontaktu, ki je izmed vseh najbliºje cilju. Potovanje sporo ila razdelimo v faze. Vi²ja kot je faza, bolj je sporo ilo oddaljeno od cilja.

95 6.5. MODEL: OMREšJA IN DECENTRALIZIRANI ALGORITMI pt Slika 6.4: Razdalja med sosednjimi vozli² i 200pt Slika 6.5: Daljni kontakti V fazi j velja: ƒe je j = 0: 2 j < d(u, t) 2 j+1. d(u, t) 2. Sporo ilo je najve dva koraka stran od cilja. Za vsako fazo velja: Postavimo si naslednja vpra²anja: j log 2 n. Koliko korakov bo potreboval algoritem? Koliko korakov bomo naredili v fazi j? Kak²na je verjetnost, da se faza j kon a za dan korak? Kak²na je verjetnost, da ima u v naslednji fazi v za daljni kontakt? Za nimo z zadnjim vpra²anjem: Kak²na je verjetnost, da ima u v naslednji fazi v za daljni kontakt? Spodnja slika kaºe, da ima vozli² e u ²tiri vozli² a oddaljena za 1, osem

96 96POGLAVJE 6. FENOMEN MAJHNEGA SVETA: ALGORITMIƒNA PERSPEKTIVA Slika 6.6: Daljni kontakti za majhen in velik r Slika 6.7: Razdalja do cilja za dano fazo vozli² oddaljenih za 2, dvanajst vozli² oddaljenih za 3 in tako naprej. P [u ima v za daljni kontakt] = v:v u [d(u, v)] 2 v:v u [d(u, v)] 2 1 = n 2 4j +... d[(u, v)] j 2 2n 2 1 = 4 j Torej u ima daljni kontakt v z verjetnostjo: P j=1 [d(u, v)] 2 4 ln(6n). j=1 4[1 + ln(2n 2)] 4 ln(6n). Kak²na je verjetnost, da se faza j kon a za dan korak? Za vsak korak velja: faza j se kon a v danem koraku, e sporo ilo vstopi v mnoºico B j tistih vozli², ki so od t oddaljene za najve 2 j. Naj bo v f vozli² e v B j, ki je najbolj oddaljeno od u. P [faza j se kon a v danem koraku] = v B j P [u ima kontakt v B j ] ( B j 1 4 ln(6n) [d(u, v f )] 2 ).

97 6.5. MODEL: OMREšJA IN DECENTRALIZIRANI ALGORITMI 97 Slika 6.8: Razdalje Kot kaºe spodnja slika, za razdaljo med u in v f velja: d[(u, v f )] 2 j + 2 j+1 < 2 j+2. Torej Slika 6.9: Razdalja med u in v f ( P [faza j se kon a v danem koraku] B j 1 4 ln(6n) 2 2j+4 Oceniti moramo ²e spodnjo mejo za ²tevilo vozli² v B j. Mnoºica B j bo najmanj²a takrat, ko bo na² cilj t na robu mreºe, kot kaºe spodnja slika. Vozli² a so od t oddaljena za najve 2 j. V tem primeru velja: ). B j = 2 j i=0 2 j + 1 i = (2 j + 1)2 j + (2 j + 1) 1 2 2j (2 j + 1) = 2 2j + 2 j j 1 2 j 1 = 2 j 1 (2 j+1 2 j + 3) j 1.

98 98POGLAVJE 6. FENOMEN MAJHNEGA SVETA: ALGORITMIƒNA PERSPEKTIVA Slika 6.10: Vozli² a mnoºice B j tevilo vozli² v B j je vsaj 2 2j 1. Kon en rezultat: P [faza j se kon a v danem koraku] ²t. vozli² v B j P [u ima kontakt v B j ] ( ) 2 2j ln(6n) 2 2j+4 = 2 2j 1 4 ln(6n) 2 2j+4 = ln(6n). Koliko korakov bomo naredili v fazi j? Naj bo X j slu ajna spremenljivka, katere vrednost je ²tevilo korakov, ki jih naredimo v fazi j. X j je geometrijska slu ajna spremenljivka s parametrom p. Izra unamo njeno pri akovano vrednost: ln(6n) E[X j ] = 1 p 128 ln(6n). Koliko korakov bo potreboval algoritem? Naj bo X slu ajna spremenljivka, katere vrednost je ²tevilo korakov v algoritmu. tevilo faz je 1 + log n. Zaradi linearnosti matemati nega upanja imamo: Primer: r 2 E[X] (1 + log n) 128 ln(6n) = O(log n) 2. 0 r < 2: Pri akovano ²tevilo korakov katerega koli decentraliziranega algoritma je Ω(n 2 r 3 ). r > 2: Pri akovano ²tevilo korakov katerega koli decentraliziranega algoritma je Ω(n r 2 r 1 ). Intuicija, ko spreminjamo vrednost r: r = 0: ne zagotavlja geografskih sledi, ki bi pomagale pri pospe²itvi dostave sporo ila. 0 r < 2: zagotavlja nekaj sledi, vendar ne dovolj, da bi u inkovito pomagale po²iljatelju.

99 6.5. MODEL: OMREšJA IN DECENTRALIZIRANI ALGORITMI 99 r > 2: ko r raste, omreºje postane bolj lokalizirano. To postane previsok faktor. r = 2: zagotavlja pravo kombinacijo geografske informacije brez prevelike lokalizacije Ostali rezultati ƒe je r = 0, lahko z rezultati teorije naklju nih grafov pokaºemo, da z veliko verjetnostjo obstajajo kratke poti med vozli² i. Vendar obstajajo izjeme. Izrek 6.7 Naj bo konstanta α 0 odvisna od p in q ter neodvisna od n. ƒe je r = 0, je pri akovan as dostave katerega koli decentraliziranega algoritma vsaj α 0 n 2 3. Izrek je dokazan v [1]. Ko ve amo r, daljna poznanstva vse manj vplivajo na hitrost premikanja sporo ila pri ve jih razdaljah. Izrek 6.8 Obstaja decentraliziran algoritem A in konstanta α 2, neodvisna od n. ƒe je r = 2 in p = q = 1, je pri akovan as dostave algoritma A najve α 2 (log n) 2. Zgornja izreka izraºata temeljno posledico na²ega modela. ƒe so daljni kontakti oblikovani neodvisno od oblike mreºe, potem kratke verige obstajajo, vendar jih vozli² a ne bodo na²la, saj delujejo na lokalni ravni. ƒe pa so daljni kontakti oblikovani v skladu z obliko mreºe, potem bodo vozli² a na²la kratke verige. Ideja dokaza: Decentraliziran algoritem A, ki doseºe mejo iz izreka 1.8, ima naslednje pravilo: V vsakem koraku trenutni imetnik sporo ila izbere kontakt, ki je najbliºje ciljni osebi, pri tem trenutni imetnik ne ve ni o prej²njih imetnikih sporo ila (v modelu smo sicer predpostavili, da ima vse informacije o tem, kdo je pri²el v stik s sporo ilom). Algoritem je v fazi j, e je razdalja med trenutnim imetnikom in ciljno osebo med 2 j in 2 j+1 Pokaºemo, da je v fazi j pri akovan as, preden ima trenutni imetnik daljni kontakt, ki je od t oddaljen za najve 2 j, omejen z log n. Ker imamo najve 1 + log n faz, sledi da je omejitev proporcionalna (log n) 2. To se ujema tudi z Milgramovim opisom, kako najti kratko verigo v realnem ºivljenju. Celoten dokaz je v [1]. Rezultat v izreku 1.7 je posledica dejstva, da enakomerna porazdelitev prepre uje algoritmu, da bi uporabil sledi, dobljene iz oblike mreºe. Naj bo U mnoºica vseh vozli², ki so od t oddaljene za najve n 2 3. Zelo verjetno s ne bo leºal v U in e sporo ilo ne bo pri²lo v U preko daljnega kontakta, potem bo ²tevilo korakov vsaj n 2 3. Verjetnost, da ima katerikoli imetnik sporo ila daljni kontakt v U, je le n 2 3, zato je pri akovano ²tevilo korakov, preden najdemo daljni kontakt v U, prav tako n 2 3. Izrek Naj bo 0 r < 2. Konstanta α r je odvisna od p, q in r ter neodvisna od n, pri akovan as dostave katerega koli decentraliziranega modela je potem vsaj α r n 2 r Naj bo r > 2. Konstanta α r je odvisna od p, q in r ter neodvisna od n, pri akovan as dostave katerega koli decentraliziranega modela je vsaj α r n 2 r r 1. Dokaz v [1].

100 100POGLAVJE 6. FENOMEN MAJHNEGA SVETA: ALGORITMIƒNA PERSPEKTIVA 6.6 Zaklju ek Fenomen majhnega sveta je ²e vedno zanimiva tema za preu evanje. Najbolj prepri ljiv na tem podro ju seveda ostaja Milgramov eksperiment v ²estdesetih letih prej²njega stoletja, ko se je razvila teorija ²estih stopenj oddaljenosti. To tezo je potrdila tudi raziskava Microsofta, kjer so s pomo jo Microsoft messengerja prav tako ugotovili, da so uporabniki oddaljeni za povpre no 6 korakov. Ti rezultati temeljijo na poskusih, zato so se razvili algoritmi, ki lahko ocenijo, koliko korakov je potrebnih, da pridemo od prve naklju no izbrane osebe do druge naklju no izbrane osebe. Mi smo za model vzeli hibridni graf, ki je kombinacija naklju nega in lokalnega grafa. Obravnavali smo algoritem, kjer smo problem modelirali z dvodimenzionalno mreºo velikosti n n. Vozli² a na tej mreºi so predstavljala posameznike, ki imajo z najbliºjimi sosedi lokalne kontakte, imajo pa tudi nekaj daljnih kontaktov, ki so porazdeljena naklju no po mreºi. S pomo jo algoritma smo ugotovili, da je bilo ²tevilo korakov odvisno od parametra r. Rezultati, so vsekakor uporabni v praksi. So pa to bolj pribliºne vrednosti, saj je v praksi teºko dolo iti vrednost parametra r, ki je klju nega pomena pri izra unih. Tudi, e bi nam uspelo, vemo, da se druºbena omreºja na razli nih delih sveta precej razlikujejo med seboj, zato ne moremo najti neke univerzalne oblike. Je pa res, da se svet zaradi ²tevilnih socialnih omreºij vse bolj globalizira in zato lahko v prihodnje pri akujemo ²e manj²e razdalje, ki bi lo evale naklju no izbrane ljudi.

101 Literatura [1] J. Kleinberg, The Small World Phenomenon: An Algorithmic perspective, Cornell Computer Science Technical Report (1999). [2] Small-world experiment, [3] R. Andersen, F. Chung, L. Lu Modeling the Small-World Phenomenon with Local Network Flow, Internet Mathematics. [4] R. Andersen, F. Chung, L. Lu Analyzing the Small World Phenomenon Using a Hybrid Model with Local Network Flow, Internet Mathematics. [5] B. Greenig The Small World Phenomenon: An Algorithmic Perspective, Rutgers University-Camden. [6] F. Chung, L. Lu The small world phenomenon in hybrid power law graphs, University of California, San diego. [7] N. Garg, J. Konemann Faster and simpler algorithms for multicommodity ow and other fractional packing problems, SIAM Journal on Computing. 101

102 102 LITERATURA

103 Poglavje 7 Hierarhi no gru enje na grah Barbara Ikica Za etek teorije grafov sega dale nazaj v leto 1736, ko je ²vicarski matematik Leonhard Euler formuliral (in tudi re²il) slavni problem Sedmih mostov Königsberga. Od takrat naprej je razvoj omenjene teorije v strmem porastu. Eno izmed ²tevilnih podro ij, ki jih pokriva, se ukvarja z risanjem grafov. Le-to je vsekakor nepogre²ljivo, saj, kot pravi ºe znani rek, slika pove ve kot tiso besed. Za enega izmed pomembnej²ih mejnikov v risanju grafov velja algoritem za risanje 3-povezanih ravninskih grafov, ki ga je leta 1963 objavil William Thomas Tutte. Prvi tovrstni algoritmi so nastali preteºno iz radovednosti in ºelje po odkrivanju novih matemati nih obzorij. Razvoju kasnej²im algoritmom, predvsem tistim po letu 1980, pa je v veliki meri botroval napredek v ra unalni²tvu. Omenimo nekaj znanih raziskovalcev, ki so se s tematiko ukvarjali v za etku tega obdobja Peter Eades, Tomihisa Kamada, Satoru Kawai, Thomas M. J. Fruchterman in Edward M. Reingold. V 21. stoletju pa potrebe po novih algoritmih za risanje grafov izhajajo predvsem iz tega, kako im u inkoviteje, im lep²e in im pregledneje prikazati ve je grafe, ki v sebi hranijo velike koli ine podatkov. Primeri tak²nih grafov so gra socialnih omreºij, prometnih povezav, trgovskih poti itd. V seminarski nalogi si bomo pogledali, kako si lahko pri risanju neusmerjenih grafov pomagamo z algoritmom hierarhi nega gru enja. Z njegovo implementacijo sem se ukvarjala v okviru ²tudentske prakse, ki sem jo med in opravljala na Institutu Joºef Stefan". Omenjeni algoritem je bolj pisan na koºo velikim grafom (z ve kot vozli² i), v katerih je mo prepoznati gru asto strukturo vozli² a grafa so razdeljena v mnoºice tako, da ve ina povezav grafa poteka znotraj teh mnoºic, le malo povezav pa povezuje vozli² a iz disjunktnih mnoºic. Opisanim mnoºicam pravimo gru e. Vozli² a znotraj iste gru e tako povezuje veliko ²tevilo povezav in so medsebojno dosegljiva po velikem ²tevilu kraj²ih poti, torej so si kot tak²na intuitivno zelo blizu. Pri risanju grafov si obi ajno ºelimo, da bodo vozli² a, ki so si blizu, blizu tudi v smislu evklidske razdalje na ravninski sliki. Teºava pa je v tem, da lahko upodobitve velikih grafov kaj hitro postanejo precej nepregledne, ²e posebej, e vsako vozli² e tovrstnega grafa ponazorimo s svojo to ko v 103

104 104 POGLAVJE 7. HIERARHIƒNO GRUƒENJE NA GRAFIH ravnini. Ideja, ki stoji za uporabo algoritma hierarhi nega gru enja na mnoºici vozli² V (G) grafa G = ( V (G), E(G) ), je v tem, da namesto grafa G nari²emo nov graf G, ki bo predstavljal strukturo G. V ta namen vozli² a G identiciramo z gru ami grafa G vsako vozli² e naj ponazarja natanko eno gru o. Dve tak²ni vozli² i u, v G poveºemo, e med pripadajo ima gru ama v G obstaja vsaj kak²na povezava. Idejo algoritma skicirajmo ²e na manj²em zgledu. Na sliki 7.1 (spodaj levo) je prikazan primer grafa G z gru asto strukturo doti ni primer sestoji iz treh gru (ena je obarvana z rde o, druga z zeleno, tretja pa z modro barvo). Slika 7.2 (spodaj desno) pa predstavlja graf G, ki sestoji iz treh vozli² in s tem ponazarja strukturo G. Do G ºelimo priti z uporabo hierarhi nega gru enja Slika 7.1: Graf G. Slika 7.2: Graf G, dobljen iz G. Posvetimo se za hip ²e sami strukturi seminarske naloge. Na za etku se bomo posvetili hierarhi nemu gru enju na grah najprej bomo denirali particijo mnoºice in se podrobneje seznanili z gru enjem z metodo k-srednjih vrednosti in hierarhi nim gru enjem v splo²nem, nato pa slednje uporabili na mnoºici vozli² grafa. Sledi kraj²e podpoglavje, v katerem bomo na kratko predstavili, kako iz dobljenih gru pridemo do slike grafa G. Sedaj pa si oglejmo podrobneje, kako nam pri opisanem postopku koristi hierarhi no gru enje (angle²ko hierarchical clustering). Kot ºe pove ime, nam bo le-to dolo ilo particijo V (G) na gru e, ki zado² ajo omenjenim lastnostim. S tem, ko dobimo ustrezno particijo, pa nas do slike grafa lo i le ²e nekaj preprostih korakov. 7.1 Particija mnoºice vozli² grafa Kot smo ºe omenili, bi radi poiskali razdelitev mnoºice V (G) v gru e na podlagi njihove bliºine vozli² i bomo v nadaljevanju smatrali za bliºnji, e sta na majhni razdalji, oziroma e ju povezuje veliko ²tevilo im kraj²ih sprehodov. Preden si pogledamo, kako poiskati particijo, ki bo zadostila omenjenemu kriteriju, denirajmo, kaj je v splo²nem particija mnoºice. Denicija 7.1 Naj bo M poljubna mnoºica. Particija (razbitje) mnoºice M, ozna imo jo s P, je mnoºica podmnoºic mnoºice M, t.j. P = {M 1, M 2,..., M m }, za katero velja 1. m i=1 M i = M in 2. M i so paroma disjunktne, torej M i M j = za vse i, j, 1 i, j m, i j. Mo i mnoºice P, torej m, pravimo mo particije P.

105 7.2. GRUƒENJE V SPLO NEM Gru enje v splo²nem Najprej si oglejmo klju no sestavno komponento hierarhi nega gru enja gru enje z metodo k-srednjih vrednosti (angle²ko k-means clustering) Gru enje z metodo k-srednjih vrednosti Ideja metode je v tem, da bi radi n d-razseºnih vektorjev razdelili v k mnoºic tako, da bo vsak vektor dodeljen tisti mnoºici, za katero doseºe najmanj²o razdaljo do povpre ja njenih vektorjev po komponentah. Pri tem imamo z razdaljo v mislih kvadrat obi ajne evklidske razdalje v d-razseºnem prostoru. Tak²nim k mnoºicam pravimo gru e od tod izhaja ime metode. Denicija 7.2 (Gru enje z metodo k-srednjih vrednosti) I² emo delitev mnoºice M = {v 1, v 2,..., v n }, v i R d, na tak²nih k mnoºic (gru ) S 1, S 2,..., S k, da doseºemo minimum min P k i=1 v j S i v j µ i 2 (7.1) po vseh moºnih particijah P = {S 1, S 2,..., S k }. Pri tem je µ i := 1 S i ( v j S i v j ) centroidni vektor (kraj²e centroid) gru e S i za vsak i, 1 i k. Minimum (7.1) je doseºen, saj je ²tevilo vseh moºnih particij P poljubne kon ne mnoºice M kon no. Problem je torej dobro deniran. Ker pa je vseh moºnih particij (²e posebej za mnoºice ve jih mo i) ogromno, je za pri akovati, da re²evanje omenjenega problema z grobo silo ne bi bilo u inkovito. e ve, kar se ti e asovne zahtevnosti, je omenjeni problem za poljuben evklidski prostor razseºnosti d NP-poln. NP-poln je celo, e se omejimo na iskanje delitve na zgolj dve gru i, torej za k = 2. Tudi omejitev problema na ravnino (d = 2) ostane NP-poln, e i² emo particijo na poljubno ²tevilo gru k. Konkretneje za ksna k in d lahko problem re²imo eksaktno v ²tevilu korakov reda O(n dk+1 log n) (povzeto po [5]). Zaradi velike asovne zahtevnosti se gru enja z metodo k-srednjih vrednosti lotimo raje z iterativno metodo. Le-ta hitro konvergira k lokalno optimalni re²itvi, kar bo dokazano v nadaljevanju. Poglejmo si, kako poteka iteracija.

106 106 POGLAVJE HIERARHIČNO HIERARHIƒNOGRUČENJE GRUƒENJENA NAGRAFIH Algorithm 1: Iterativna metoda za gručenje z metodo k-srednjih vrednosti Vhod: Množica M = {v 1, v 2,..., v n }, v i R d, in želeno število gruč k N. Izhod: Particija množice M na k gruč, t.j. P = {S 1, S 2,..., S k }. Za µ (0) 1, µ (0) 2,..., µ (0) k naključno izberemo k različnih vektorjev iz M. za vsak i = 1, 2,..., k naredi S (0) i = {v p : vp µ (0) 2 i vp µ (0) 2 j j, 1 j k} do sem za vsak i = 1, 2,..., k naredi µ (1) i = 1 v S (0) j i v j S (0) i do sem za vsak i = 1, 2,..., k naredi S (1) i = {v p : vp µ (1) 2 i vp µ (1) 2 j j, 1 j k} do sem t := 2 {trenutni korak iteracije} ponavljaj za vsak i = 1, 2,..., k naredi S (t) i = {v p : vp µ (t) 2 i vp µ (t) 2 j j, 1 j k} do sem za vsak i = 1, 2,..., k naredi µ (t+1) i = 1 v S (t) j do sem t := t ( + 1 dokler i j : S (t 1) j v j S (t) i ) S (t 2) j V praksi prva zanka poteka tako, da se na vsakem koraku iteracije sprehodimo po vseh vektorjih V praksi v p inprva vsakemu zanka poteka izmed njih tako, dolo imo da se na gru o, vsakemki koraku ji pripada. iteracije Prisprehodimo tem velja opomniti, vseh da vektorjih vsak vektor v p in vsakemu v p na trenutnem izmed njihkoraku določimo iteracije gručo, tki umestimo ji pripada. v Pri natanko tem velja eno opomniti, gru o S (t) da vsak vektor v p na trenutnem koraku iteracije t umestimo v natanko eno gručo S (t) j, eprav morda doseºe minimum j, čeprav morda doseže minimum vp µ (t) 2 vp µ (t) i za ve indeksov gru i, 1 i k, in bi ga posledi no lahko umestili tudi vanje. 2 i za več indeksov gruč i, 1 i k, in bi ga posledično Izra un centroidnih lahko umestili vektorjev tudi vanje. µ (t+1) i je dobro deniran, ker vsaka izmed gru S (t) Izračun centroidnih vektorjev µ (t+1) i je dobro definiran, ker vsaka izmed gruč S (t) i na vsakem koraku iteracije vsebuje vsaj trenutni centroidni vektor (njegova razdalja do i pripadajo e vsakem koraku gru e iteracije 0, torejvsebuje minimalna) vsaj trenutni tako do centroidni deljenjavektor z 0 ne (njegova more priti. razdalja do pri- na padajoče Opazimo gruče ²e, je da0, iteracija torej minimalna) skonvergira, tako e do se particije deljenja zvektorjev 0 ne moreizpriti. koraka v korak ne spreminjajo Opazimove še, da eiteracija na novemskonvergira, koraku iteracije če se particije vse mnoºice vektorjev iz particije iz koraka ostanejo v korak nespremenjene spreminjajo od mnoºic več če izna particije novemskoraku prej²njega iteracije koraka. vse množice iz particije ostanejo nespremenjene Predenod simnožic pogledamo iz particije formalen s prejšnjega dokaz, zakaj koraka. iterativna metoda skonvergira k lokalno optimalni Predenre²itvi, si pogledamo si poglejmo formalen ²e spodnjo dokaz, lemo, zakaj ki iterativna jo bomometoda potrebovali skonvergira v samemk lokalno dokazu. Lema optimalni nam rešitvi, poleg tega si poglejmo tudi osmisli, še spodnjo zakaj lemo, v gru enju ki jo bomo z metodo potrebovali k-srednjih v samem vrednosti dokazu. v izrazu Lema (7.1), namki poleg ga minimiziramo, tega tudi osmisli, v vsotah zakajnastopajo v gručenjuravno z metodo kvadrati k-srednjih razdaljvrednosti do centroidnih v izrazu (1.1), (torej ki gado minimiziramo, povpre ij vektorjev v vsotahpo nastopajo to kah) in ravno ne razdalje kvadratido razdalj kak²nih do centroidnih drugih vek- vektorjev torjev. vektorjev Sicer (torej se zdi doizbira povprečij intuitivno vektorjev povsem točkah) jasna, vendar in ne razdalje si vseeno dopoglejmo, kakšnih drugih kako lahko vek- na kratko Sicerutemeljimo. se zdi izbira Vse intuitivno spodajpovsem navedene jasna, leme vendar so iz si [1]. vseeno poglejmo, kako lahko totorjev. to na kratko utemeljimo. Vse spodaj navedene leme so iz [1]. Lema 7.3 Za poljubno mnoºico S R d in poljuben vektor z R d velja v z 2 = v µ 2 + S z µ 2. v S v S

107 7.2. GRUƒENJE V SPLO NEM 107 Pri tem je µ centroidni vektor S, t.j. µ = 1 S v S v. Hitro vidimo, da je izbira centroidnih vektorjev res ustrezna, kar smo zgoraj domnevali. Iz leme o itno sledi v µ 2 v µ 2 + S z µ 2 = v z 2 v S v S v S za vsak z R d. Vsak len vsote (7.1) oblike v j S i v j z 2 pri ksnem i torej res doseºe svoj minimum natanko z izbiro z = µ i. Za dokaz leme 7.3 si oglejmo ²e eno pomoºno lemo. Lema 7.4 Naj bo X poljubna slu ajna spremenljivka z zalogo vrednosti v R d. Za poljuben z R d velja naslednja enakost E( X z 2 ) = E( X E(X) 2 ) + z E(X) 2. ƒe razpi²emo kvadrate norm in upo²tevamo linearnost matemati nega upanja, lema neposredno sledi. Dokaºimo sedaj lemo 7.3. Dokaz. Za slu ajno spremenljivko X izberimo enakomerni ºreb vektorjev iz gru e S R d. S tem je zaloga vrednosti X res v R d. Vsi izidi imajo enako verjetnost, t.j. P (X = v) = 1 S. Naj bo z poljuben vektor iz Rd. Sledijo spodnje enakosti E(X) = v S E( X z 2 ) = v S E( X E(X) 2 ) = v S v 1 S = µ, v z 2 1 S = 1 S v µ 2 1 S = 1 S v z 2, v S v µ 2. Pri tem se²tevamo in mnoºimo s skalarjem po komponentah. Na tem mestu uporabimo lemo 7.4, ki nam da 1 S v S v z 2 = 1 S v S v µ 2 + z µ 2. v S ƒe mnoºimo dobljeno z obeh strani s S, dobimo ravno enakost, ki smo jo dokazovali. Sedaj pa si poglejmo, zakaj iterativna metoda res skonvergira k lokalno optimalni re²itvi. V ta namen dokaºimo lemo Lema 7.5 Tekom iterativne metode za gru enje z metodo k-srednjih vrednosti vrednost izraza monotono pada. k i=1 v j S (t) i vj µ (t) 2 (7.2) i

108 108 POGLAVJE 7. HIERARHIƒNO GRUƒENJE NA GRAFIH Iz leme seveda sledi, da metoda skonvergira, saj je izraz (7.2) od spodaj omejen z 0. ƒim se s koraki iteracije ne spreminja ve, je metoda skonvergirala. Ker se izraz ujema z izrazom, ki ga minimiziramo v gru enju z metodo k-srednjih vrednosti, t.j. (7.1), tako res dobimo neko lokalno optimalno re²itev prvotnega problema. Dokaz. Lema 7.5 bo dokazana, e pokaºemo, da je izraz (7.2) na koraku iteracije t + 1 manj²i kot na koraku iteracije t. Oglejmo si torej poljuben, a ksen korak iteracije t. Vsak korak iteracije sestoji iz dveh zank. Prva nam da naslednjo neenakost k i=1 v j S (t) i vj µ (t) 2 i k i=1 v j S (t 1) i vj µ (t) 2, (7.3) i saj na koraku t vsak vektor v j razporedimo v tisto gru o S (t) i, katere centroidni vektor mu leºi najbliºe. Torej je razdalja v j do centroidnega vektorja na koraku t za gru o, µ (t) i v katero je bil razporejen na prej²njem koraku, kve jemu ve ja. Ker to velja za vse v j, sledi neenakost (7.3). Po izteku druge zanke pa velja slede e k i=1 v j S (t) i vj µ (t+1) 2 i k i=1 v j S (t) i vj µ (t) 2. (7.4) i Ta neenakost pa drºi, ker v drugi zanki na novo izra unamo centroidne vektorje gru S (t) i, t.j. µ (t+1) i, za katere je po direktni posledici leme 7.3 doseºen minimum v j v S (t) j z 2 i po vseh vektorjih z R d. Ker neenakost (7.3) velja za poljuben t, velja tudi za t + 1, torej k i=1 v j S (t+1) i vj µ (t+1) 2 i k i=1 v j S (t) i vj µ (t+1) 2 i. (7.5) Iz neenakosti (7.4) in (7.5) sedaj sledi k i=1 v j S (t+1) i v j µ (t+1) 2 i k i=1 v j S (t) i v j µ (t) 2 i, torej je izraz (7.2) na koraku iteracije t + 1 res kve jemu manj²i kot na prej²njem koraku t, kar pa je to no to, kar smo ºeleli pokazati. Oglejmo si ²e pobliºe hierarhi no gru enje, s katerim bomo v nadaljevanju dolo ili particijo mnoºice vozli² grafa na gru e Hierarhi no gru enje Hierarhi no gru enje ne pomeni ni drugega, kot to, da rekurzivno izvajamo metodo k- srednjih vrednosti za k = 2 po nivojih hierarhije.

109 7.3. HIERARHIƒNO GRUƒENJE NA VOZLI ƒih GRAFA 109 Poglejmo si natan neje, kaj to pomeni. Ozna imo s P j particijo na nivoju hierarhije j. Kot vhodni argument za algoritem hierarhi nega gru enja dobimo mnoºico M, ki vsebuje kon no mnogo vektorjev. Na za etnem nivoju hierarhije, t.j. 0, particija P 0 sestoji le iz mnoºice M. Na prvem nivoju razdelimo z gru enjem z metodo 2-srednjih vrednosti M na dve novi gru i M 1 in M 2, kar nam da P 1 = {M 1, M 2 }. Na j-tem nivoju hierarhije dobimo particijo P j tako, da na vsaki mnoºici iz particije s prej²njega nivoja P j 1 izvedemo gru enje z metodo 2-srednjih vrednosti in za P j vzamemo unijo dobljenih particij. ƒe se tekom hierarhije zgodi, da v kak²ni gru i pristane en sam vektor, je seveda ne delimo ve naprej tak²na gru a ostaja sama po sebi del particije na vseh nadaljnjih nivojih hierarhije. O itno je, da dobimo na j-tem nivoju hierarhije particijo mo i kve jemu 2 j, vendar vsaki manj kot M. Za particijo mo i M namre velja, da vsak vektor zase tvori po eno mnoºico iz particije. Primer hierarhi ne delitve si lahko ogledamo na spodnji sliki. Upodobljena je z binarnim drevesom tako, da vozli² a drevesa (pravokotniki) predstavljajo mnoºice iz particije po nivojih hierarhije, ti pa nara² ajo skupaj z globino drevesa. Velikost posameznega pravokotnika nakazuje na ²tevilo vozli², ki so vsebovana v pripadajo i mnoºici particije. Od tod vidimo, da se velikost mnoºice M 12 ob prehodu z drugega na tretji nivo ni spremenila, torej se je na drugem nivoju hierarhije vanjo razvrstil en sam vektor. M M 1 M 2 M 11 M 12 M 21 M 22 M 111 M 112 M 12 M 211 M 212 M 221 M 222 Slika 7.3: Shematski prikaz hierarhi ne particije mnoºice M. 7.3 Hierarhi no gru enje na vozli² ih grafa Osredoto imo se ²e na to, kako s hierarhi nim gru enjem poiskati particijo mnoºice vozli² grafa V (G) = {v 1, v 2,..., v n } na gru e, ki bo zado² ala lastnostim, omenjenim na za etku naloge. Radi bi torej, da posamezne gru e tvorijo vozli² a, ki so si blizu na grafu. Najprej graf razdelimo na povezane komponente, kar se zdi povsem smiselno glede na to, da vozli² iz disjunktnih komponent ne povezuje niti ena pot. Pravzaprav smo ºe v izhodi² u, ko smo si zadali, kak²nim lastnostim naj zado² a iskana particija, implicitno povedali, da ºelimo povezane komponente obravnavati lo eno. Za primer risanja grafov nas v skladu z motivacijo z za etka naloge bolj zanimajo particije na niºjih nivojih hierarhije. Z upodobitvijo particije mo i M bi namre dobili sliko prvotnega grafa na nivoju vozli², saj bi vsako vozli² e novega grafa G predstavljalo natanko eno vozli² e prvotnega grafa G. Da se lahko sploh lotimo dolo anja particije vozli² grafa s hierarhi nem gru enjem, moramo najprej vsem vozli² em prirediti vektorje iz nekega kon no razseºnega evlidskega prostora. Prvi pristop, ki se zdi ustrezen, je, da graf G predstavimo z matriko sosednosti,

110 110 POGLAVJE 7. HIERARHIƒNO GRUƒENJE NA GRAFIH ozna imo jo z A(G). Vsak vrsti ni vektor A(G) pripada natanko enemu vozli² u grafa ²e ve, opisuje njegovo sose² ino, kar se zdi pisano na koºo na²emu problemu. Velja namre slede e e imata dve vozli² i podobno sose² ino, imata njuna vrsti na vektorja v A(G) v veliki meri na istoleºnih mestih enice, torej sta si tudi po evklidski normi blizu. Zato se najprej lotimo iskanja particije V (G) s hierarhi nim gru enjem na mnoºici vrsti nih vektorjev A(G). Izkaºe se pa, da obstajajo primeri grafov, ko se izbira A(G) ne bo primerno obnesla. S primernostjo ciljamo na intuitivno predstavo, ki jo imamo o bliºini. Lahko se namre zgodi, da bosta vozli² i, ki ju ne povezuje nobena povezava, njuni sose² ini pa se ujemata, pristali v skupni gru i, eprav bi bilo morda ustrezneje, da bi vsaj eno izmed njiju pristalo v gru i skupaj s kak²nim od sosednjih vozli². Primer tak²nega grafa je prikazan na spodnjih dveh slikah. Pri tem so z modro barvo obarvana vozli² a, ki so bila na prvem nivoju hierarhije razvr² ena v prvo gru o, z rde o barvo pa vozli² a, ki so bila razvr² ena v drugo. Slika 7.4 prikazuje rezultat gru enja, dobljen z uporabo matrike A(G), slika 7.5 pa rezultat, ki bi bil v skladu z intuicijo in bi ga ºeleli dose i Slika 7.4: Vozli² i 0 in 3 sta bili z uporabo matrike A(G) razvr² eni v skupno gru o, eprav ju ne povezuje nobena povezava. Slika 7.5: Raje pa bi videli, da nam gru enje vrne particijo, ki bo lo ila vozli² i 0 in 3. Zato matriko sosednosti zamenjamo z ustreznej²o matriko, za katero bo prav tako veljalo, da vsak njen vrsti ni vektor opisuje natanko eno vozli² e grafa, obenem pa bo vsebovala informacije ²e o ²ir²i okolici vozli² a, ne le o neposredni sose² ini. Ustrezna izbira bi bila na primer matrika, katere elementi bodo ²tevila, ki bodo izraºala naslednjo lastnost: ve kot bo sprehodov med vozli² ema v i in v j in kraj²i kot bodo, ve ja bo vrednost (i, j)-tega elementa v matriki. S tem bi dve vozli² i smatrali kot bliºnji, e bi ju povezovalo veliko ²tevilo kratkih sprehodov. Do tak²ne matrike lahko pridemo brez ve jih teºav, in sicer tako, da izkoristimo lepo lastnost matrike sosednosti, da je (i, j)-ti element k-te potence matrike sosednosti enak ²tevilu sprehodov dolºine k med vozli² i v i in v j. Zato particijo V (G) raje dolo imo tako, da izvedemo hierarhi no gru enje na matriki K G := α k( A(G) ) k k=0 k! = exp(αa(g)). S tem, ko v vsoti ²tevilo sprehodov dolºine k delimo s k!, dodelimo ve jo uteº kraj²im sprehodom in manj²o dalj²im. α v zgornji vsoti je parameter, ki ga lahko izberemo tako, da ²e izraziteje pove amo vpliv kraj²ih sprehodov in ga zmanj²amo dalj²im.

111 7.4. RISANJE 111 Izkaºe se, da z izbiro K G res dobimo particije, ki zado² ajo ºelenim lastnostim in so skladnej²e z na²im intuitivnim dojemanjem bliºine med vozli² i na grafu. Tako npr. na zgornjem primeru z uporabo matrike K G res dobimo ºeleno particijo, ki jo prikazuje slika 7.5. Za konec ²e opi²imo, kako iz dobljene particije P n za poljubni nivo hierarhije n do slike novega grafa G, ki je opisan v uvodu seminarske naloge. 7.4 Risanje V omenjeni implementaciji algoritma izgleda kon na slika nekako tako: vsaka povezana komponenta se izri²e na svojem prikaznem oknu z obema stranicama enake dolºine. Ta dolºina pa je premosorazmerna z deleºem vozli² grafa G, ki pripadajo komponenti. Zato zado² a, da opi²emo, na kak²en na in se generira slika na vsakem prikaznem oknu posebej. Izris je seveda v prvi vrsti odvisen od uporabnikove izbire nivoja risanja (nivo risanja se natanko ujema s prej omenjenimi nivoji hierarhije). V kolikor slednji torej izbere prvi sloj, je na sliki mo videti dve vozli² i z vmesno povezavo (v kolikor ima povezana komponenta ve kot dve vozli² i in vsaj kak²no povezavo vmes). Zato si poglejmo, na kak²en na in se na sliki ponazori particija posami ne povezane komponente grafa G i na poljubnem nivoju n. Particija vsake povezane komponente G i na nivoju hierarhije n je prikazana kot slika novega grafa G n i, ki je dobljen na naslednji na in. Vozli² a novega grafa G n i predstavljajo mnoºice iz particije P n mnoºice vozli² V (G i ). Vizualno so upodobljene s pikami, radij posami ne pike pa je proporcionalen razmerju mo i mnoºice, ki jo pripadajo e vozli² e ponazarja, s ²tevilom vseh vozli² G i. Ve je pike torej predstavljajo ve je mnoºice vozli² prvotnega grafa, manj²e pa le po nekaj njegovih vozli² skupaj. Za korektno denicijo grafa G n i pa moramo dolo iti ²e, med katerimi pari vozli² grafa G n i nastopi povezava. Ker so vozli² a novega grafa V ( G n i ) = {ṽ i } m i=1 identicirana z mnoºicami iz particije mnoºice vozli² za etnega grafa P n = {M i } m i=1, torej ṽ i M i za vse 1 i m, sta dve vozli² i novega grafa ṽ i, ṽ j povezani s povezavo, e v originalnem grafu nastopi vsaj med kak²nim parom vozli² u M i, w M j povezava. Debelina, s katero je izrisana povezava, pa je dolo ena sorazmerno z razmerjem ²tevila vseh tovrstnih parov glede na ²tevilo vseh povezav v G i. Za hip se posvetimo ²e postopku, s katerim so vozli² a razvr² ena po prikaznem oknu. Ob izbiri nivoja delitve n se, kot smo ºe omenili, na vsakem oknu izri²e graf Gn i pripadajo e povezane komponente G i. Tudi razvr² anje vozli² sloni na procesu hierarhi ne delitve. Pozicija vozli² a je dobljena tako, da se podobno kot se hierarhi no delijo podmnoºice mnoºice vozli² na dve podmnoºici deli obmo je risanja (ki je na za etku kvadratne oblike) na dve manj²i, pravokotni obmo ji. Ta delitev je usklajena z delitvijo mnoºice vozli² - na vsakem nivoju hierarhije se ²tevilo dobljenih obmo ij ujema s ²tevilom mnoºic v particiji mnoºice vozli². Ker je na vsakem obmo ju narisana natanko ena mnoºica iz particije, je, kot je mo pri akovati, velikost posameznega obmo ja sorazmerna z razmerjem mo i pripadajo e mnoºice iz particije glede na mo mnoºice vseh vozli² v G i. Zaradi lep²ega prikaza delitev obmo ja poteka v dveh smereh na lihih nivojih v horizontalni smeri, na sodih nivojih pa v vertikalni smeri. Poglejmo si na preprostem primeru, kako risanje izgleda v praksi. Na levi strani je skiciran vhodni graf G, s katerim operiramo, na desni pa graf G, ki ga dobimo na drugem

112 112 POGLAVJE 7. HIERARHIƒNO GRUƒENJE NA GRAFIH nivoju hierarhi nega gru enja. Slika 7.6: Za etni graf G. Slika 7.7: Graf G za n = Zaklju ek V sestavku smo se osredoto ili predvsem na matemati no teorijo, ki stoji v ozadju hierarhi nega gru enja, in na kratko orisali, kako jo lahko (med drugim) v prid izkoristimo pri risanju velikih grafov. Hierarhi no gru enje je sicer v splo²nem vsestransko uporabna metoda, vendar je standardni algoritmi za risanje grafov v glavnem ne vklju ujejo. Tako je moja praksa na Insitutu Joºef Stefan"preteºno predstavljala eksperiment, kako bi se uporaba omenjene metode obnesla pri risanju velikih grafov. Glavna ideja je slonela na tem, da bi hierarhi no gru enje omogo ilo ve plasten pogled na velik graf in s tem lep²i pregled nad njegovo strukturo. Izkazalo pa se je, da se postopek najbolje odreºe na grah z visokim koecientom gru avosti, slab²e pa na grah brez te lastnosti. Za primer preizkus programa na grafu cestnega omreºja v Kaliforniji ni izgledal ni kaj obetavno. Program je vra al particije, v katerih je bila ena izmed gru izrazito velika. Z ve anjem nivoja hierarhije se je od te velike gru e vsaki odcepil le relativno majhen del vozli². Opisani rezultat je bil pri akovan, kajti struktura doti nega grafa ni prav ni spominjala na gru asto strukturo. Z uporabo hierarhi nega gru enja na tovrstnih grah je torej o njihovi strukturi moºno razbrati le odsotnost gru. ƒe bi ºeleli o njej izvedeti kaj ve, bi morali najprej dobro opredeliti, kak²ni pojavi nas zanimajo, in se posluºiti kak²ne druge metode, ki bi vra ala ustrezne rezultate, skladne z na²imi pri akovanji.