INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN PRAHOVA ŞCOALA GIMNAZIALĂ RAREŞ VODĂ PLOIEŞTI

Size: px
Start display at page:

Download "INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN PRAHOVA ŞCOALA GIMNAZIALĂ RAREŞ VODĂ PLOIEŞTI"

Transcription

1

2 INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN PRAHOVA ŞCOALA GIMNAZIALĂ RAREŞ VODĂ PLOIEŞTI Publicaţie periodică a lucrărilor prezetate de elevi la CONCURSUL NAŢIONAL Matematică ştiiţă şi limbă uiversală Ediţia a VIII-a - 07 PLOIEŞTI Nr.6 septembrie 07

3

4 Cupris. Puteri de matrice pătratice de ordi trei - Aplicații cu soluții multiple... 0 Gaficu Raluca - Adreea Liceul Regia Maria Dorohoi Prof. îdrumător, Rotariu Aișoara. Aplicaţii ale determiaţilor î geometria aalitică... 4 Rareș Bogda, Adrei Pău Colegiul Naţioal Mihai Emiescu, București Profesor îdrumător Săvulescu Dumitru. Aritmetica aturii...curiozități... 7 Cozma Gabriela Colegiul Aleadru cel Bu,Gura Humorului Prof. îdrumător Sofia Boca Floarea-Nicoleta 4. Teorema lui Pitagora... 0 Blahuta Aro Tudor Liceul Teoretic Lucia Blaga Oradea Aa-Ruada Loricz- Profesor Idrumător 5. O viaţă î slujba ştiiţei... Bud Viorel Liceul Tehologic Trasporturi Auto Timişoara Profesor coordoator Proda Simoa 6. Pitagora și muzica... 4 Căli Raluca Liceul Tehologic Petrache Poearu, Bălcești,Vâlcea Profesor îdrumător: Mihai Cristia 7. Cei mai mari matematiciei ai lumii... 6 Dragomir Floretia Școala Gimazială Scurtești, com. Vadu Pașii, jud. Buzău, Prof. îdrumător: Găiă Veroica - Gabriela 8. Cocureţă Teorema lui Ceva... 8 Stoia George, Leahu Adrei Şcoala Gimazială Nr Bicaz, Profesor îdrumător: Leahu Roaa 9. TEOREMA LUI PITAGORA- demostrații... Grigore Dăuț Ștefa 4

5 Școala Gimazială Nr. Valea Mare-Pravăț Prof. Țețu Isabela 0. Costati Gogu... 8 Micliuc Floria&Popescu Adrei Colegiul Națioal Mihai Emiescu Prof. îdrumător: Dumitru Săvulescu. Cotiuitate și derivabilitate pe Q și R-Q. Aaliza uui eemplu Purav Mădălia Isabela Lic.,,Regia Maria Dorohoi, prof. îdrumător: Hură Gabriel. Ala Mathiso Turig... 4 Cristea Matei Colegiul de artă:carme Sylva-Ploiești Profesor coordoator:butac Ecateria. Șahul și Matematica - legătura ditre știiță și joc Dalidis Dimitrie Semiarul Teologic Ortodo,,Veiaim Costachi Măăstirea Neamț Profesor: Asaftei Roaa-Floretia 4. De la Spirala lui Fiboacci la Geometria sacră Cigolia Eliza Estera Colegiul de Știițe G.Atipa Brașov Prof.îdrumător:Adriaa Gaszpor 5. Dimitrie Pompeiu - Biografie Ailoaie Emauele Liceul Regia Maria Dorohoi Prof. îdrumător: Rotariu Aișoara 6. ALBERT EINSTEIN... 5 Tudor Luiza & Cîrla Maria Școala Gimazială,,Sfâtul Vasile Ploiești Prof. coordoator: Iacu Valetia Moa 7. EROII MATEMATICII Mari Bogda Gabriel şi Stăescu Rareş Adrei Şcoala Gimazială Sfâtul Vasile Ploieşti Profesor îdrumător: Iacu Valetia Moa 8. SECRETUL CIOBANULUI Drăghici Mihaela Școala Gimazială Corbasca, Județul Bacău Profesor Olaru Soria 5

6 9. Ala Turig Drăghici Flavia Colegiul Naţioal Aleadru Ioa Cuza Profesor Cătălia Aca Isofache 0. Emaoil Davidescu... 6 Rădulescu Răzva-Cristia Colegiul Națioal Mihai Emiescu, București Profesor îdrumător Săvulescu Dumitru. Eemple şi cotraeemple ȋ geometrie... 6 Peşa Carla Liceul Teoretic Tudor Arghezi, Craiova Prof. ȋdrumător: Popa Adreea Mihaela. Faimosul matematicia Pitagora Codiță Maria-Aleadra și Bolova Mălia-Aleadra Școala: Gimazială Sfâtul Nicolae Profesor îdrumător: Giorgi Victoria. Formule petru trasformarea sumei î produs și ivers Dragomir Cosmi Colegiul Națioal Mihai Emiescu Bucureşti Profesor îdrumător: Săvulescu Dumitru 4. Gheorghe Vrăceau fodatorul geometriei modere î Româia, uul ditre marii matematiciei ai lumii... 7 Gîrbă Daria Elea Colegiul Naţioal Pedagogic Ştefa cel Mare Bacău Profesor Heisu Acuţa 5. ION IONESCU-BIZET ( ) Simio Vaessa si Aleadru Șerba Profesor idrumator Butac Ecateria Colegiul de Artă Carme Sylva, Ploiești 6. Îvățarea asistată de calculator î orele de matematică Vlad Sebastia Liceul Teoretic Murfatlar, jud.costața Prof. Cragă Cleopatra Georgeta 7. Iubire, geometrie şi literatură... 8 Maea Adrei Liceul: Teoretic Traia, Bucureşti Profesor îdrumător: Amăricuţei Livia 6

7 8. Ioescu-Nesbitt type iequalities - Geeralizatios of problem 94 from Cru Mathematicorum... 8 Chivoiu Gabriel Şcoala Gimazială G. E. Palade Buzău Profesor: Staciu Neculai 9. LEGILE MATEMATICE ALE UNIVERSULUI LEGILE LUI KEPLER Erdoş Robert Colegiul Tehic Eergetic Regele Ferdiad I Timişoara Coordoator: prof. Saizescu Cristia-Aleadra 0. MATEMATICA ȘI TAINELE UNIVERSULUI... 9 Olaru Ale Laurețiu Liceul Tehologic Răchitoasa Profesor îdrumător Ivașc Liliaa. MATEMATICA ÎN ARTĂ Maea Cristaa Isabela C.T.A.L.P. I.N Socolescu Bucuresti Profesor Îdrumător Dobrică-Văsi Laviia. Matematica i viata de zi cu zi Salcieau Deisa & Cora Adrei Colegiu Spiru Haret Ploiești Profesor coordoator: Beșleaga Ramoa. MATEMATICI FINANCIARE - PROCENTE... 0 Corma Valeti, Liceul Tehologic Pamfil Șeicaru Ciorogârla, Jud. Ilfov Prof. Îdrumător Pricope-Sfetcu Ruadra 4. NUMERELE FRIEDMAN Mega Sarah Școala Gimazială Aleadru Depărățeau Roșiorii De Vede Profesor Îdrumător: Rotaru Carme 5. Numerele lui Fiboacci Opriță Ștefa Simio & Strătiau Biaca Ioela Liceul Regia Maria, Dorohoi Profesor îdrumător:mihoc Elisabeta 6. Teorema lui Pitagora ieri şi azi... Mal Aamaria și Mercea Adelia Liceul Teoretic Adam Muller Guttebru(Arad) Profesor coordoator: Borlea Maria 7. PROBLEME CARE SE REZOLVĂ CU AJUTORUL ECUAŢIILOR

8 Potoroacă Aleis Şcoala Nr.. Io Heliade Rădulescu, Bucureşti 8. Despre umerele complee-o problemă cu umere complee... 7 Vlăduţ Valeti, Iacob Mihai Liceul Tehologic Special r, Bucureşti Prof. coordoator: Voiculescu Carme-Elea 9. PROPRIETĂŢILE PROGRESIEI GEOMETRICE ARHIMEDE... 4 Puiu Diaa-Mihaela Colegiul Națioal Mihai Emiescu Bucuresti Prof. îdrumător: Săvulescu Dumitru 4. Puct... şi de la capăt!... 6 Rotaru Adreea Școala Gimazială Sfâtul Nicolae București. Sector Profesor îdrumător: Cozma Gabriela 4. Ragul uei matrice... 8 Irimia Adrei Colegiul Națioal Mihai Emiescu București Profesor îdrumător: Dumitru Savulescu 4. Numărul de aur... Ilie Adrei, Vlad Ştefa Dragoş Liceul Tehologic Ecoomic Admiistrativ Piatra Neamţ Prof. Ioa Humă 44. Augusteumul Templul Diaei şi matematica elemetară... 5 Tăăsoiu Flori Scoala Gimaziala Mihai Emiescu prof. Maria BEER 45. Proporția de aur... 8 Haizs Attila Prof.Hoffma-Broț Viorica Corelia Liceul Tehologic Ioa Bococi Oradea 46. Simbolistica matematică Martiovici Atoia Liceul Tehologic Clisura Duării Moldova Nouă Prof. Zima Lăcrimioara 47. SIMBOLURI... 4 Dirlea Raluca Aa Maria Colegiul Natioal Mihai Emiescu Bucuresti 8

9 Profesor: Dumitru Savulescu 48. SIMETRIA ÎN NATURĂ Costati Mihaela Școala Gimazială Nr. Popești, jud. Giurgiu Profesor coordoator: Voicilă Elea 49. Astroomia și matematica Simio Dragoș, Liceul Tehologic Petrache Poearu, Bălcești,Vâlcea Profesor îdrumător: Mihai Cristia 50. Rezolvarea uor ecuaţii cu ajutorul Teoremei lui Lagrage... 5 Apostol Iuliaa, Cioagă Laura Colegiul Spiru Haret Ploieşti Îdrumător:Profesor Io Badea 5. Teorema lui Pitagora Mihai Georgiaa, Școala Gimazială Tichilești, prof. Moraru Aa Luiza 5. Triughiul lui Pascal Buză Ada-Mihaela & Pașcalău Adelia Valetia Colegiul Tehic Io Micu Profesor coordoator: Badea Brigitte 9

10 Puteri de matrice pătratice de ordi trei - Aplicații cu soluții multiple Gaficu Raluca - Adreea Liceul Regia Maria Dorohoi Prof. îdrumător, Rotariu Aișoara Problema, A *?, ude A=( ) Soluție. Metoda (metoda șirurilor recurete) Obțiem imediat A =( ) A =( ) A 4 =( ). Observăm că am putea presupue că ( ). Atuci ( ). () Dar ( ) () Di () și (), obțiem, de ude. Particularizăm această relație: (+) ( ) ( ) Di ( ) rezultă că și deci ( ). 0

11 Metoda (metoda biomului lui Newto) Scriem A=( )= ( )+( ) =I + B. Se știe căi B = B I = B și I = I, ( ) Observăm că B =( ), B =O, B k = O Coform biomului lui Newto, avem A = (I + B) = + - B + - B + + B Folosid rezultatele aterioare, obțiem A = (I + B) = + B+ B, Deci, A = ( ( ) ), rezultat ce se poate demostra pri iducție matematică. *** Prezetăm î cotiuare o metodă cu caracter geeral - metoda ecuației caracteristice- petru aflarea puterilor matricelor pătratice de ordi trei. AM, A a, i, j,. Fie Ecuaţia A I det 0 () ij se umeşte ecuaţie caracteristică a matricei A; rădăciile ecuaţiei caracteristice se umesc rădăcii caracteristice sau valori proprii. sau ude Este cuoscută teorema lui Cayley-Hamilto: Orice matrice pătratică satisface propria sa ecuaţie caracteristică. Ecuaţia caracteristică a matricei A se mai poate scrie sub forma: a a a a a a a a a 0 (4) TrA S A det A 0 (5) TrA a a a este urma matricei, S A a a a a a a a a a a a a,

12 iar det A este determiatul matricei A. Ţiâd seama de teorema lui Cayley-Hamilto se obţie relaţia: A TrA A S A A det A I O (6) Vom demostra proprietatea : :,, astfel îcât P y z Petru = proprietatea este adevărată cu 0, y, z 0. Petru = proprietatea este adevărată cu, y 0, z 0. A, A y A zi (7) TrA, y S A, z det A. Petru = ţiâd seama de ecuaţia caracteristică avem Presupuâd Pk adevărată petru k, adică k A, k A yk A zk I avem: A A A A y A z I A y A y z A z I Notâd k k. k k k k k k k k y y y z zk zk k k k k k k obţiem, A A y A z I (8) k k k k * deci Pk Pk, k, deci P adevărată *. Di (8) rezultă relaţia de recureţă, y z căreia i se asociază ecuaţia caracteristică care este totua cu ecuaţia caracteristică (5). r r y r z (9) *** Folosid teoria de mai sus putem obție î cotiuare o a treia metodă de rezlovare a eercițiului precedet. Fie 0 A 0. Să se calculeze 0 0 Metoda (metoda ecuației caracteristice) devie: Tr A, * A,. 0 S A, det A, deci ecuaţia caracteristică a matricei A A A A I Ecuaţia caracteristică (9) devie: r r r,, y, z., rezultă r r r. Ţiâd seama că 0,,, obţiem

13 , a b c * şi sistemul şirul, are termeul geeral Di Deci a b c 0 4a b c cu soluţia 9a b c,. şi y y z y z z z A, A y A zi. devie : de ude se obţie a, b, c 0 deci A A A I A 0, 0 0 * Bibliografie. Țea M., Adroache M., Șerbăescu D. Matematică M, maual petru clasa a XI a, Ed. Art, București, Haivas M., Maftei I.V., Chirilă C., Nicolăescu C.P. Eerciții și probleme de algebră și aaliză matematică EDP, 008. Petrică I., Lazăr I. Probleme de algebră petru liceu Ed. Petrio, București, Colecția Gazeta Matematică

14 Aplicaţii ale determiaţilor î geometria aalitică Rareș Bogda, Adrei Pău Colegiul Naţioal Mihai Emiescu, București Profesor îdrumător Săvulescu Dumitru Î acest referat e propuem să prezetăm trei aplicaţii importate ale determiaţilor î geometria aalitică, codiţia de coliiaritate a trei pucte, ecuaţia dreptei determiate de două pucte şi aria uui triughi, şi să le eemplificăm pri probleme rezolvate. Î fial se propu spre rezolvare u set de câteva probleme. Referatul se îcheie cu o bibliografie. Codiţia de coliiaritate a trei pucte Fiăm î pla u reper cartezia (O, i, j ) şi cosiderăm puctele A(, y ), B(, y ), C(, y ). a Aceste pucte sut toate situate pe o dreaptă dacă şi umai dacă eistă (a, b, c) R cu b 0 astfel îcât coordoatele lor verifică ecuaţia a by c 0. Î cocluzie, puctele A, B, C sut coliiare, dacă şi umai dacă sistemul a by c 0 omoge a by c 0 cu ecuoscutele a, b, c are şi soluţii eule, ceea ce este echivalet cu a by c 0 y y = 0. Am demostrat astfel, următoarea propoziţie. y Propoziţie. Puctele A(, y ), B(, y ), C(, y ) sut coliiare dacă şi umai dacă Observaţii. Sistemul omoge aterior u poate avea soluţia (0, 0, c) cu c 0, deci petru orice soluţie eulă (a, b, c) avem a 0 sau b 0.. Codiţia di propoziţie este î mod baal îdepliită dacă două ditre pucte (sau toate trei) coicid. y y y = 0. Ecuaţia dreptei ce trece pri două pucte Cosiderăm puctele disticte A(, y ) şi B(, y ). U puct M(, y), di pla, aparţie dreptei AB dacă şi umai dacă puctele M, A şi B sut coliiare, ceea ce este echivalet cu y y = 0. y Î cocluzie, ecuaţia dreptei determiată de puctele A şi B este 4

15 y AB : y 0. y Dezvoltâd determiatul di membrul stâg al ecuaţiei după prima liie obţiem: y 0 ( y y ) + ( )y + y y = 0 (). Aria triughiului Cosiderăm puctele ecoliiare A(, y ), B(, y ), C(, y ). Ştim di clasa a X-a că a0 by0 c distaţa de la u puct M( 0, y 0 ) la dreapta de ecuaţie a by c 0 este a b (). y Deoarece ecuaţia dreptei AB este y = 0, di formulele () şi () deducem că lugimea y îălţimii di C este h c = y y y ( y y ) ( ) y y y AB, ude AB reprezită distaţa de la A la B. Notăm = y y y. Dacă S ABC este aria triughiului ABC, atuci S ABC hc AB AB. AB Reţiem: Aria triughiului ABC cu A(, y ), B(, y ), C(, y ) este determiatul defiit aterior. S, ude este EXEMPLE: ) Fie A(, ), B(, ) şi C(, ). Puctele A, B, C sut coliiare = 0 0 = 0 0 = 0 = 0 =. ) Ecuaţia dreptei AB ude A(, ) şi B(, ) este: y y 0 y = 0 0 = 0 = 0 ( ) ( y) 0 y 7 0. ) Aria triughiului ABC cu A(, ), B(0, ) şi C(, ) este ude 5

16 = 0 = =. Deci S ABC. Eerciţii propuse. Cosiderăm puctele A(, 0), B(0, 5), C(, 0). Arătaţi că puctele u sut coliiare şi calculaţi aria triughiului ABC.. Să se afle aria paralelogramului cu vârfurile (0, ), (, ), (4, ), (, ).. Să se afle aria patrulaterului cu vârfurile (, ), (, ), (, 5), (6, 0). 4. Cosiderăm dreptele de ecuaţii y, y 5 şi y. Să se arate că dreptele u sut cocurete şi să se afle aria triughiului determiat de acestea. 5. Fie A, B, C pucte ecoliiare î pla avâd coordoate îtregi. Să se arate că aria triughiului ABC este mai mare sau egală cu. BIBLIOGRAFIE. D. Drăcea, L. Niculescu, I. Pătraşcu, D. Seclăma, M. Moţăţeau, EXERCIŢII ŞI PROBLEME DE MATEMATICĂ, Clasa a X-a, Editura CARDINAL,Craiova, N. Dragomir, T. Deacou, C. Dragomir, I. Pistrilă, A. Madreşi, D. Săvulescu, TRIGONOMETRIE.Eerciţii şi probleme petru clasele a IX-a şi a X-a. Editura METEOR PRESS, Bucureşti, P. Simio, V. Niculae, M. Popescu, A. Negulescu, T. Dăeţ, V. Dilimoţ-Niţă, G. Dăeţ, S. Dilimoţ-Niţă, MATEMATICĂ. Eerciţii şi probleme. Clasa a X-a, Editura Niculescu, I. V. Maftei, D. Oros, F. Voricescu, M-G. Nicolescu, C-P. Nicolescu, Geometrie şi trigoometrie. Eerciţii şi probleme de matematică petru elevii claselor a IX-a şi a X-a, Editura UNIVERSAL PAN, Bucureşti, D. Brâzei, M. Chirciu, M. Praja, O. Stroe, GEOMETRIE CLASA A -A, Editura TIPARG, Piteşti, N. Dragomir, T. Deacou, C. Dragomir, A. Madreşi, D. Săvulescu, GEOMETRIE, Eerciţii şi probleme petru clasa a IX-a Editura METEOR PRESS, Bucureşti,

17 Aritmetica aturii...curiozități Cozma Gabriela Colegiul Aleadru cel Bu,Gura Humorului Prof. îdrumător Sofia Boca Floarea-Nicoleta Motto: Matematica este u mod de eprimare a legilor aturale, este cel mai simplu şi cel mai potrivit chip de a îfăţişa o lege geerală sau curgerea uui feome, este cea mai perfectă limbă î care se poate povesti u feome atural. (Gheorghe Ţiţeica) Formele și frumusețile aturii i-au ispirat mereu,î aceeași măsură,pe artiști și pe savați.mitea umaă a ivetat u set de rațioamete care coduc la recuoașterea,clasificarea și utilizarea formelor și umerelor și aume Matematica. Coform lui Pascal, "tot uiversul este coțiut î Uu". Numărul uu este simbolul îtregului, al completitudiii, al uui uivers de o uitate perfectă. El reprezită Sigularitatea, o lume î care u eistă diferețieri și u se poate face disticție ître obiecte sau ître sie și ceilalți. Î iterioritatea umărului, totul este accesibil de pretutidei. simbolizează origiile, îceputurile, este u umăr care u poate fi divizat î atură. El u poate decât să-și reproducă propria-i imagie (îtrucât î atură, totul este dual). Petru pitagoreei, uu era moada, sursa celorlalte umere, o sursă beefică, aspirată, esețială și ivizibilă. Pitagora a eercitat o mare iflueță asupra uor filozofi di Evul Mediu precum Thomas Aquias, care defiește umărul uu, ca sursă, î felul următor: "De vreme ce sufletul este uu, iar puterile sut multe; deoarece u umăr de lucruri care provi di uul trebuie să fie ordoate de o aumită succesiue; de aceea trebuie să eiste o aumită ordie ître puterile sufletului. Di acest motiv, umărul uu u mai reprezită o cauză primă abstractă, așa cum o defieau pitagoreeii, ci este uicul Dumezeu." Nici umărul u e face de rușie. sut stările apei î atură: solidă, lichidă şi gazoasă. De la atici, cei care cosiderau că patru sut compoetele uiversului (pămât,apă,aer şi foc) şi pâă la vremurile modere, câd au fost idetificate 4 forţe fudametale, 4 particule stabile (electro, proto, eutro, foto), umărul 4 e îmbogățește eisteţa. Florile de câmp precum sâzieele dar şi cele de grădiă precum liliacul au câte 4 petale iar biologii au idetificat, grupat şi clasat, î lumea aimală, tetrapodele. Structura materiei di uivers este eplicată de Plato, î Timaios, cu ajutorul celor 5 solide regulate: tetraedrul este asociat cu focul, cubul este asociat cu pămâtul, octogoul este asociat cu aerul, dodecaedrul asociat cu uiversul sferic umit cosmos şi icosaedrul asociat cu apa. 7

18 Au fost umite petadactile de către biologi vertebratele cu câte 5 degete la membrele superioare sau iferioare şi s-au umit petapetale florile care au 5 petale precum viorelele şi tradafirii sălbatici. De asemeea, puţiă lume cuoaşte sesibilitatea viespilor la umărul 5. Ouăle di care vor ieşi masculii sut depuse î formaţie de câte 5 iar cele di care vor ieşi femelele sut dispuse î formaţii de câte 0. Ajus-am și la umărul 6.Căsuţele fagurilor de albie au formă heagoală, iar o parte di florile primăverii au câte 6 petale: aemoele de pădure, arcisele, ghioceii, criii albi. Nici de 7 u am uitat! Cifră a Uiversului, al treilea umăr Mersee, 7 este ua ditre cele mai complee umere aturale. Rigel este a şaptea stea ca strălucire,de pe cerul octur, fiid o super gigată albastră, compoetă a costelaţiei Orio. De asemeea, cifra 7 se află şi î lumiă sub forma curcubeului format di cele 7 culori ROGVAIV (roşu, oraj, galbe, verde,albastru, idigo şi violet). Cerul este împărțit î 7 straturi; atmosferă - eosferă - ioosferă - termosferă - mezosferă - stratosferă troposferă iar pe suprafaţa pămâtului eistă 7 cotiete: Europa,America de Nord, America de Sud, Asia,Africa, Australia şi Atarctida. Tot 7 sut miuile aturale ale lumii: Mutele Everest,Cascada Victoria, Marele Caio, Marele recif de corali,aurora Boreală, Vulcaul Paricuti și Portul Rio de Jaeiro. 7 zile ale săptămâii, deumite după cei 7 zei romai care, la râdul lor, au fost umiţi după cele 7 plaete ce se puteau observa cu ochiul liber: Lui-lua, marţi-marte miercuri-mercur, joi- Jupiter, vieri-veus, sâmbătă-satur, dumiică-soarele. Cosiderat de pitagoreei u simbol al iubirii şi amiciţiei umărul 8 este umărul de petale pe care îl are emțișorul, floarea de portocal şi uele specii de bujor de stepă. Tot 8 sut şi umărul alveolelor de aaas şi umărul de picioare ale păiajeilor şi a scorpioilor. Iteresată este şi micuţa floare japoeză deumită Paris Japoica cu 8 petale, floarea al cărei laţ ADN este de 50 de ori mai lug decât al omului. Numărul favorit al Școlii lui Pitagora, 0 amiteşte de ordiul decapodelor di care fac parte creveţii, crabii, homarii - crustacee cu câte 5 perechi de picioare; amiteşte şi de umărul de petale ale florii aşa umită a pasiuii. Natura, î compleitatea ei, e mai uimeşte şi cu alte umere: fazele luii parcurg u ciclu complet de la lua ouă pâă la lua pliă şi ivers î 8 de zile. Stelele de mare au 5 braţe,sau 0, şi chiar 7 braţe î fucţie de specie. Io,Europa și Gaymede sut trei ditre satelițiimai mari ai lui Jupiter.Ei orbitează î jurul plaetei respectiv î,77;,55 și 7,6 zile; fiecare ditre aceste umere este dublul celui precedet. Numărul petalelor petru majoritatea florilor formează secveţa următoare:,5,8,,,4,55,89. Astfel gălbeelele au petale, crizatemele, iar cele mai multe soiuri de margarete au 4, 55 sau 89 de petale. Această secveţă de umere prezită regularităţii matematice şi costituie aproape îceputul şirului lui Fiboacci, î care fiecare umăr este suma celor două umere precedete.(+5=8; 5+8=; +=4; 4+55=89). Avem,,,5,8,,,4,55,87,4,8. - acea succesiue care coție umai umere aturale mai mari sau egale cu uu.acest detaliu u e este de ajus ca să putem defii bie succesiuea, așa că voi spue că fiecare umăr di succesiue mai mare decât uu, este rezultatul sumei celor mai apropiate două umere precedete, cum se vede di formula F := F- + F- umai cu > Numărul de petale al florilor u costituie sigurul eemplu di atură care poate fi asociat cu şirul lui Fiboacci.Privid discul florii-soarelui vom observa spirala pe care o urmează alveolele, ude se află floricele mici care vor devei semiţe. Acestea sut așezate î două familii de spirale care se itersectează, uele răsucite î sesul 8

19 acelor de ceasoric î umăr de 4, iar celelalte î sesul ivers al acelor de ceasoric, î umăr de 55. Avem astfel umere Fiboacci cosecutive. Dupa cum am văzut, aritmetica Naturii este bogată și totusi u trebuie să uităm ici de formele ei.formele matematice se pot îtotdeaua reduce la iște umere-aceasta este modul î care computerele tratează grafica. Formele care i-au atras,la îceput, pe matematiciei au fost cele foarte simple : triughiuri, pătrate, petagrame, heagoae, cercuri, elipse, spirale, sfere. Acestea sut peste tot î atură, deşi uele ditre ele sut de departe mai obişuite decât altele. Spre eemplu curcubeul este o suprapuere de cercuri, câte uul petru fiecare culoare a sa;deși u tot timpul le percepem așa, ele sut cercuri complete. Cercuri se pot observa î udele ce apar la suprafaţa uui iaz, pe aripile fluturilor, î ochiul uma.curgerea fluidelor, de asemeea, oferă o varietate de forme ale aturii. Dar de departe cele mai fasciate forme matematice de peisaj de pe Terra se regăsesc î oceaele de isip di deşertul Arabiei şi Saharei.Se pot forma,de eemplu,grupuri de due ca iște stele,fiecare avâd brațe eregulate așezate radial fața de u vârf cetral. Pe lâgă forme, preferiţa aturii petru dugi şi pete costituie, de asemeea, u bogat material de studiu petru matematiciei î căutare de iedit. Astfel, Matematica s-a dezvoltat o dată cu îțelegerea aturii; îţelegere care e oferă o viziue mai profudă a uiversului î care trăim şi al propriului ostru loc î uivers. Bibliografie: Ia Stewart- Numerele aturii, Ed. Humaitas,006 E. Dăcilă,I. Dăcilă-,,,, Show, Ed. Adreas,04 Iteret 9

20 Teorema lui Pitagora Blahuta Aro Tudor Liceul Teoretic Lucia Blaga Oradea Aa-Ruada Loricz- Profesor Idrumător Teorema lui Pitagora este ua ditre cele mai cuoscute teoreme di geometria plaă (euclidiaă). Teorema lui Pitagora afirmă că "î orice triughi dreptughic, suma pătratelor catetelor este egală cu pătratul ipoteuzei". Reciproca este adevărată: Oricare ar fi trei umere pozitive a, b, c astfel îcât a + b = c, eistă u triughi cu laturi de lugimi a, b, c, iar ughiul ditre laturile de lugimi a și b va fi drept. Ipoteuza la patrat= cateta la patrat + cateta la patrat. Aceasta este o teorema care face legatura itre laturile uui triughi dreptughic. Teorema lui Pitagora este ua ditre cele mai cuoscute teoreme di geometria euclidiaă, costituid o relație ître cele trei laturi ale uui triughi dreptughic. Teorema lui Pitagora afirmă că î orice triughi dreptughic, suma pătratelor catetelor este egală cu pătratul ipoteuzei (latura opusă ughiului drept). Î ceea ce privește eperieța proprie referitoare la mometul î care mi-am îșușit această teoremă, pot să spu că am fost impresioat, emoțioat și am cosiderat ca fiid foarte iteresat faptul că u om de știiță a descoperit aceasta teoremă, care este de atură să fie etrem de utilă si folositoare î îvățarea, aplicarea și rezolvarea problemelor matematice. Ca urmare a descoperirii acestei teoreme, problemele matematice care implică rezolvarea uor triughiuri se rezolvă mult mai ușor, fiid de u real ajutor petru mie si totodata petru orice persoaa implicata î rezolvarea acestor tipuri de probleme. Faptul că am aflat că cel care a elaborat și determiat această teoremă a fost omul de știiță Pitagora, m-a determiat să citesc și să aprofudez cuoștiitele mele referitoare la acest om de știiță, referitoare la viața sa, dar mai ales referitoare la activitatea sa știițifică, care este de-a dreptul impresioată și care a fost de atură să mă impresioeze și să mă determie să mă preocupe și pe mie idetificarea celor mai bue si utile soluții petru rezolvarea problemelor de matematică. De asemeea, după ce am îvățat aceasta teoremă, pot să spu că am fost impulsioat să îvăț cât mai multe despre aplicabilitatea acestei teoreme, precum și despre orice aspecte pe care le implica folosirea acesteia i matematică. Am aflat umeroase lucruri oi, pritre care și faptul că, deși este î discuție faptul că teorema putea fi cuoscută diaitea lui, aceasta a fost totuși deumită după matematiciaul di Grecia Atică, Pitagora (cca. 570 cca. 495 î.hr.) di momet ce el este cel care, î mod tradițioal, a fost recuoscut petru prima demostrație a sa. Eistă uele dovezi cum că matematicieii babiloiei ar fi îțeles formula, dar foarte puție idică o aplicație îtr-u cadru de lucru matematic. Matematicieii di Mesopotamia, Idia și Chia au descoperit teorema idepedet și, î uele cazuri, au oferit demostrații î cazuri speciale. Această teoremă a primit umeroase demostrații probabil cele mai multe ditre toate teoremele di matematică. Acestea sut foarte diversificate, icluzâd dovezi atât geometrice cât și algebrice, cele mai vechi datâd de acum mii de ai. Teorema lui Pitagora este cosiderată u puct de iteres î afara matematicii, costituid u simbol al matematicii; abudă referițele populare di literatură, muzică, teatru, sau artă. Cu toate acestea, cercetătorii u se pot pue de acord ici î privița îtrebării dacă a fost descoperită o sigură dată, ori idepedet î istorie de către mai multe civilizații. Ca urmare a studierii mai multor tipuri de cărți referitoare atât la viața lui Pitagora, cât și la modul î care diferite miți lumiate ale știiței au elogiat această descoperire și au validat marea sa iflueță î ceea ce privește rezolvarea problemelor matematice care se pretează a fi rezolvate pri 0

21 itermediul si cu ajutorul acestei teoreme, am ajus la cocluzia ca utilitatea aceste descoperiri (respectiv Teorema lui Pitagora) este itr-adevar uriașă. Mi se pare foarte importat faptul că această teoremă a fost redactată de către Pitagora cu atât de mult timp iaite și totuși și la ora actuală, î ciuda umeroaselor descoperiri care s-au făcut de-a lugul veacurilor, este aplicabilă și utilă petru rezolvarea problemelor de matematică pe care le implică. Am aflat, porid de la studierea uor cărți referitoare la viața lui Pitagora, după ce am ivățat la școală despre Teorema lui Pitagora, că acesta a fost u adevărat îțelept, fiid u filosof, matematicia, om politic, scriitor, muzicolog, teoreticia al muzicii, origiar di isula Samos. Acesta a fost îtemeietorul pitagorismului, care puea la baza îtregii realități teoria umerelor și a armoiei. A fost și coducătorul partidului aristocratic di Crotoe (sudul Italiei). Di păcate, așa cum reiese di diverse iformații, scrierile sale u s-au păstrat. Tradiția îi atribuie descoperirea teoremei geometrice și a tablei de îmulțire, care îi poartă umele. Ideile și descoperirile lui u pot fi deosebite cu certitudie de cele ale discipolilor apropiați. Pitagora a fost u mare educator și îvățător al spiritului grecesc și se spue că a fost și u atlet puteric, așa cum stătea bie atuci poeților, filosofilor (de eemplu, Plato îsuși) și comadaților militari. Pitagora vedea matematica ca o teorie abstractă, dedicată atreării miții cu deducții logice, cu eactitatea proporțiilor și cu demostrațiile. Doar după ce îi aducea la u astfel de ivel pe elevi trecea la geometrie care petru el se compuea di elemete clasice: aioma, teorema și demostrația. Fără să-l cuoscă pe Thales di Milet, a stabilit o serie de teoreme: suma ughiurilor ditr-u triughi este egală cu două ughiuri drepte și pătratul ipoteuzei îtr-u triughi dreptughic este egal cu suma pătratelor celorlalte două laturi. Poate ar mai fi spus și alte adevăruri, dar el disprețuia astfel de aplicații, cosiderâdu-le prea mici petru geiul său. Apollodor povestește că atuci câd a descoperit teorema cu ipoteuza, Pitagora a sacrificat 00 de aimale ca să le muțumească zeilor. Știrea trebuie să fie falsă deoarece Pitagora s-a mâdrit cu faptul că u făcea rău aimalelor, impuâdu-le același lucru și discipolilor. Sigurul eercițiu care îi aducea bucurie u era fomularea î sie a teoremelor, ci speculațiile îalte și abstracte ale teoriei. Chiar și artimetica el u o vedea ca pe u istrumet de cotabilitate, ci ca pe u studiu al proporțiilor. Așa a descoperit legătura ditre umăr și muzică. Trecâd îtr-o zi pri fața atelierului uui fierar, a fost surpris de ritmicitatea loviturilor de cioca pe icovală. Îtors acasă a îceput să facă eperimete puâd să vibreze corzi de aceeași grosime și la fel de tesioate, dar de lugimi diferite. A ajus la cocuzia că suetele depid de umărul de vibrații. Le-a calculat și a stabilit că muzica u este altceva decât o relație umerică ître aceste vibrații, măsurată după itervalul ditre ele. Chiar și tăcerea spuea el u este decât o muzică pe care urechea omeească u o percepe, fiică e cotiuă, deci u are itervale. Toate acestea cosider că îl fac pe Pitagora o persoaă aparte. Așadar, î ceea ce mă privește, cosider că datorită Teoremei lui Pitagora am îvățat umeroase lucruri, am fost iteresat să aprofudez iformațiile referitoare la viața și activitatea știițifică a lui Pitagora, acest lucru fiid beefic petru dezvoltarea mea di toate puctele de vedere. Bibliografie:

22 O viaţă î slujba ştiiţei Bud Viorel Liceul Tehologic Trasporturi Auto Timişoara Profesor coordoator Proda Simoa Sir Isaac Newto, fizicia şi matematicia eglez este cosiderat uul ditre cei mai mari oamei de ştiiţă itrat î istorie pri cotribuţiile sale î diferite ştiiţe. Descoperirile şi teoriile lui au pus bazele ştiiţei di timpul lui pâă î zilele oastre. Newto a fost uul ditre ivetatorii uei ramuri a matematicii umită aritmetica (celalalt a fost matematiciaul germa Gottfried Wilhelm Leibiz). El, de asemeea, a rezolvat misterele lumiii şi opticii, a formulat cele trei pricipii ale mecaicii şi plecâd de la acestea a formulat legea atracţiei uiversale. Isaac Newto s-a ăscut î ziua de 4 iauarie 64 la Woolsthorpe, lâgă Gratham î Licolshire.Tatăl său a murit cu trei lui îaitea aşterii lui. Câd avea trei ai, mama sa s-a recăsătorit şi l-a lăsat î grija buicii, timp î care a fost educat la şcoala Kig s. Î sfârşit mama sa, a doua oară văduvă (soţul a murit câd Newto avea ai), este covisă să-l trimită la şcoala secudară di Gratham. Mai târziu î vara aului 66, a fost trimis la şcoala superioară Triity di uiversitatea Cambridge. Aici profesorul de matematică Isaac Barrow l-a îcurajat. Newto şi-a primit liceţa î 665. Şcoala a fost îchisă doi ai, timp î care Newto a studiat atura lumiii şi costrucţia telescoaopelor. După o varietate de eperimete pe lumia soarelui refractată pritr-o prismă, el a ajus la cocluzia că razele de lumiă care diferă î culoare difeă de asemeea î refractabilitate aceasta descoperire i-a sugerat că imagiile pot fi deformate dacă razele de lumiă trec pri mai multe letile depărtate, şi a costruit telescopul cu oglizi reflectorizate. Î acelaşi timp el a studiat şi mişcarea plaetelor. La îtoarcerea la Cambridge (667), Newto a deveit membru al colegiului Triity şi î 668 şi-a luat masteratul. Î aii următori Isaac Newto este reumit petru descoperirea legii atracţiei uiversale (porid de la pricipiile mişcării orbitale ale lui Johaes Keppler), ispirat de u măr care i-a căzut î cap. Acest măr l-a pus pe Newto să se gâdească la forţa care atrage mărul spre Pămât. Aceasta forţă este aceaşi cu cea care meţie Lua î orbita sa î jurul Pămâtului. Dar î 684, după u schimb de scrisori cu Robert Hooke şi o vizită a lui Edmud Halley (astroom şi matematicia) a descoperit că şi Soarele acţioează cu aceaşi forţă asupra plaetelor şi a dedus şi formula matematică. Ître Newto şi Hooke a eistat o dispută petru creditul descoperirii legii. Halley l-a covis pe Newto să scrie o carte, şi acesta a scris-o î 687, umele ei fiid Philosophiae aturalis pricipia mathematica. Aceasta lucrare l-a făcut pe Newto să fie cel mai mare fizicia al acelor vremuri. Isaac Newto a descoperit şi scris toată diamica corpurilor. Cele trei pricipii ale diamicii au reprezetat bazele viitoarelor descoperiri ale lui. Nemulţumit de telescopul lui Galilei, Isaac Newto a ivetat telescopul reflector. Spre deosebire de telescoapele refractare costruite de Galilei, care foloseau doar letile petru a mări imagiea, telescopul reflector al lui Newto folosea şi oglizi petru a mări claritatea imagiilor.

23 Tot el a descoperit legea atracţiei uiversale. A demostrat că atracţia Pămâtului se etide şi mai departe, micşorâdu-se cu pătratul distaţei de la cetrul Pămâtului.Aceasta îseamă că forţa de atracţie a Pămâtului se eercită şi asupra satelitului său, Lua. De două ori î decursul a 4 de ore ivelul apei creşte, vorbim astfel de flu şi tot de doua ori scade şi vorbim de reflu. Ître flu şi reflu este u iterval de 6 ore. Oscilaţia ritmică a ivelului apei Oceaului Plaetar, materializată pri flu şi reflu poartă deumirea de maree. Newto a arătat că fluurile şi refluurile sut cauzate de atracţia Luii şi a Soarelui. Ître aii Isaac Newto a ocupat fucţii de coducere î parlamet şi la uiversitate. Î acest timp s-a arătat u bu admiistrator. Î 704 Newto a publicat Optics î egleză, carte pe care a refuzat să o publice pâă la moartea lui Hooke, vechiul său iamic. Bibliografie:. Ştefa Airiei, Pămâtul ca plaetă, Editura Albatros, Bucureşti, 98. Adria C.Albu, Istoria matematicii, Editura Mirto, Timişoara,997

24 Pitagora și muzica Căli Raluca Liceul Tehologic Petrache Poearu, Bălcești,Vâlcea Profesor îdrumător: Mihai Cristia Muzica, arta care eprimă cu ajutorul suetelor setimete și stări psihice, suete combiate melodios și armoic spre a fi plăcute auzului, a apărut de timpuriu î istoria culturii; de muzică a dispus omul îaite de a articula cuvite, poate di paleolitic, sigur di eolitic. Ea se bazează pe sutete produse de vibrațiile regulate ale corpurilor elastice, adică pe suete muzicale (muzica electroică moderă folosește îsă, ueori, pe lagă suete muzicale, si zgomote, adica vibrații eregulate; iar așa-umita muzică abstractă utilizează cu precădere zgomote). Acum 500 de ai, Pitagora s-a servit de u istrumet umit moocord (o sigură coardă vibrată), care este aalog cu soometrul utilizat astăzi petru studiul vibrațiilor coardelor. Utilizâd acest moocord, Pitagora și-a dat seama, cel ditâi, că suetul muzical (sau cel vorbit) este rezultatul vibrațiilor regulate ale corpurilor elastice. De asemeea, Pitagora a costat că atuci câd vibrează împreuă doua coarde, ditre care ua este de două ori mai lugă decât cealaltă, se aud două suete, coarda mai scurtă dâd suetul cel mai îalt. Suetul cel mai îalt produs de coarda scurtă este î octavă față de suetul cel mai jos produs de coarda dublă. Pri urmare, dacă cele două coadre au raportul lugimilor lor ½, raportul frecvețelor suetelor emise este /, adică rapoartele lugimilor și ale frecvețelor sut iverse uul altuia. Tot Pitagora a costatat că dacă lugimile coardelor sut î raportul /4, suetele ce se aud formează itervalul muzical umit cvită; iar raportul 4/ dă itervalul umit cvartă. Î felul acesta evaluarea simpla și precisă î rapoarte de umere îtregi ale celor trei itervale cosiderate cosoate perfecte, octava, cvita si cvarta, perfecte, a costituit baza sistemului muzical. Precizâdu-se aceste trei itervale de bază de catre Pitagora și discipolii săi, s-a putut fia ulterior gama (scara) 4

25 diatoică greaca (scara lui Pitagora), ale cărei suete (ote) au fost umite ulterior do, re, mi, fa, sol, la,si, do. Pri urmare, Pitagora și discipolii săi și-au dat seama că î succesiuea suetelor (otelor) muzicale itervi rapoarte costate di umere îtregi ca,,,4. Mai târziu, s-a văzut că dacă vom cosidera egală cu uitatea lugimea soometrului care produce pe do, lugimile petru celelalte ote sut mai mici decât, dar totdeaua eprimate pri umere rațioale ca rapoarte de umere îtregi. Această scară muzicală a lui Pitagora este coveabilă petru scrierea melodică a uei lucrări muzicale, dar u-i satisfăcătoare petru scrierea armoică; de aceea, ea u a fost folosită decât pâă la sfârșitul evului mediu, mai ales de către compozitorii câtecelor bisericesti. Apărâd ecesitatea polifoiei și dezvoltâdu-se scrierea armoică s-a găsit că dacă î scara lui Pitagora, itervalele de la do la mi, fa la la si sol la si se vor restrâge, se va obție o itoație mult mai placută, mult mai satisfăcătoare. Î acest fel, toate tețele majore fa -la -do, sol- si - re, do - mi -sol devi terțe majore perfecte î raportul 4 : 5 : 6. Noua scară, dâdu-se seria suetelor armoice, a fost umită, de aceea, scara (gama) majoră cu itoție justă sau scara muzicală aturală. Bibliografie:

26 Cei mai mari matematiciei ai lumii Dragomir Floretia Școala Gimazială Scurtești, com. Vadu Pașii, jud. Buzău, Prof. îdrumător: Găiă Veroica - Gabriela Îcă di cele mai vechi timpuri, matematica s-a facut remarcată pri etraordiarii săi maeştri care e-au lăsat moşteire fasciatele lor teoreme, cocluzii, descoperiri... Pritre ei amitim: Reé Descartes - Î timpul campaiilor sale, și-a cocretizat ideile de bază pe care s - au bazat marile sale descoperiri. A fodat liiile mari ale știiței oi sub forma matematicii uiversale, a reformat algebra, a fodat o ouă geometrie, umită "geometrie aalitică". Î 60 îcepe descrierea meteoriților după obervațiile făcute la Roma cu u a îaite. A descoperit ovalele care îi poartă umele. Descartes este primul matematicia care a itrodus utilizarea calculului algebric petru studiul proprietăților geometrice ale figurilor, ceea ce a codus la apariția geometriei aalitice. A găsit aplicația umerelor complee î geometria aalitică. A itrodus utilizarea umerelor egative. Î ceea ce privește teoria umerelor, a studiat umerele perfecte și a descoperit aumite proprietăți ale acestora. De asemeea, a elaborat metoda de determiare a rădăciilor îtregi ale uei ecuații, pri descompuerea î factori a termeului liber. O altă descoperire importată a lui Descartes o costituie regula semelor la ecuațiile algebrice. Î 68 a dedus cuadratura cicloidei și a studiat reprezetarea fucției ^ +y^ = ay, umită foliul lui Descartes. Euclid - Sistemul geometric descris î Elemete, cosiderat primul maual de matematică, a fost cuoscut petru mult timp ca simplă geometrie, cosiderată sigura geometrie posibilă. Totuși astăzi sistemul este deseori deumit geometrie euclidiaă, petru a o difereția de așa umita geometrie eeuclidiaă, descoperită î secolul al XIX-lea. Jho Machi - Profesor de astroomie la Gresham College di Lodra, cuoscut mai ales petru descoperirea, î 706, a uei serii rapid covergete avâd ca limită umărul pi și cu care a calculat acest umăr cu 00 de zecimale. James Mawell - matematicia scoţia, care a elaborat teoria electromagetică clasică, ce a combiat secole de cercetări î magetism, electricitate şi optica. Mawell este primul care a demostrat că electricitatea călătoreşte pri spaţiu cu viteza lumiii şi este primul care a realizat o fotografie color. Eistei ţiea pe 6

27 birou o poză cu el, îrămată, alături de ua cu Michael Faraday şi alta cu Issac Newto. Legarea lumiii de electromagetism este cosiderată a fi ua ditre cele mai mari realizări ale fizicii modere. Ala Turig - matematicia britaic, care este cosiderat uul ditre cei mai importaţi oamei î stabilirea tehicilor ecesare spargerii cifrului germa Eigma, pri care Aliaţii au reuşit să descifreze comuicaţiile germae. Turig este uul ditre fodatorii criptaalizei modere şi a jucat u rol crucial î câştigarea Bataliei Atlaticului de către Aliaţi î Al Doilea Război Modial. Pierre-Simo Laplace - Marchizul de Laplace a avut o cotribuţie eseţială î dezvoltarea astroomiei matematice şi a statisticii. El a fost uul ditre primii oamei care au vorbit despre eisteţa găurilor egre şi a jucat de asemeea u rol importat î sistematizarea teoriei probabilităţilor, creâd bazele petru statistica bayesiaă. Î plus, este uul ditre primii oamei care au studiat viteza suetului. Isaac Newto - a elaborat teorii care au revoluţioat optica, matematica şi mecaica. Este autorul teoriei gravitaţiei şi al calculului difereţial şi itegral. Legile lui Newto sut astăzi cuoscute chiar şi de oamei care u fac parte di comuitatea ştiiţifică, cotribuţia lui la fizica moderă fiid remarcabilă. Blaise Pascal-matematicia şi fizicia di secolul al XVIIlea, a rămas î istorie pri mai multe realizări, pritre acestea umărâdu-se ivetarea presei hidraulice, a roţii de ruletă, a serigii şi a primului calculator mecaic. BIBLIOGRAFIE:. 7

28 Cocureţă Teorema lui Ceva Stoia George, Leahu Adrei Şcoala Gimazială Nr Bicaz, Profesor îdrumător: Leahu Roaa Teoremă: Se cosideră u triughi oarecare ABC şi puctele A, B, C pe laturile BC, AC respective AB ale triughiului. Dacă dreptele AA, BB, CC sut cocurete, atuci A' B B'C C' A A' C B' A C' B Demostraţie: Cosiderăm triughiul ABA. Aplicăm teorema lui Meelau petru puctele coliiare C, P, C' A CB PA' PA' CA' C' B C () C' B CA' PA PA CB C' A Cosiderăm triughiul ACA, cu puctele coliiare B, P, B. Aplicăm teorema lui Meelau B'C PA BA' PA BC B' A şi obţiem () B' A PA' BC PA' BA' B'C A' B A' C CA' C' B BC B' A CA' C' B B' A Îmulţim relaţiile () şi () şi obţiem CB C' A BA' B'C C' A BA' B'C B'C C' A B' A C' B Reciproca teoremei lui Ceva: Fie ABC u triughi oarecare şi puctele A (BC), B A' B B'C C' A (AC), C (AB). Dacă, atuci AA, BB, CC sut cocurete. A' C B' A C' B Demostraţie: 8

29 Presupuem că AA, BB şi CC u sut cocurete. Dacă BB CC = {P}, cosiderăm AA astfel îcât AA BB CC = {P}, ude (BC). Aplicăm teorema directă petru triughiul ABC şi dreptele cocurete AA, BB, CC şi A' ' B B'C C' A obţiem. A' 'C B' A C' B A' ' B A' 'C A' B B'C C' A Dar di ipoteză avem că. Di cele două relaţii, obţiem că A' C B' A C' B A' B, de ude rezultă că A = A. A' C A Aplicaţii - Cocureţa liiilor importate î triughi. Liiile importate îtr-u triughi sut: Mediaa = segmetul ce ueşte u vârf al triughiului cu mijlocul laturii opuse; Mediatoarea = dreapta care trece pri mijlocul uui segmet şi este perpedicular pe acesta; Bisectoarea = semidreapta cu origiea î vârful ughiului şi care formează cu laturile acestuia două ughiuri cogruete; Îălţimea = perpediculara costruită ditr-u vârf al triughiului pe latura opusă; Teorema : Mediaele uui triughi sut cocurete îtr-u puct otat cu G şi umit cetrul de greutate al triughiului. Demostraţie: 9

30 Fie mijloacele laturilor triughiului M, N şi P. MB Dacă M mijlocul lui [BC] atuci MB = MC MC NC Dacă N mijlocul lui [AC] atuci NA = NC NA PA Dacă P mijlocul lui [AB] atuci PA = PB PB MB NC PA De aici avem că. Aplicăm reciproca teoremei lui Ceva şi MC NA PB obţiem că dreptele AM, BN şi CP sut cocurete. Teorema : Bisectoarele uui triughi sut cocurete îtr-u puct otat I şi umit cetrul cercului îscris triughiului. Demostraţie: Fie [AD bisectoarea ughiului A, [BE bisectoarea ughiului B şi [CF bisectoarea ughiului C. Aplicăm teorema bisectoarei petru fiecare di cele trei bisectoare şi obţiem: 0

31 AB DB [AD bisectoarea ughiului A () AC DC BC EC [BE bisectoarea ughiului B () BA EA CA FA [CF bisectoarea ughiului C () CB FB DB EC FA Îmulţim relaţiile (), () şi () obţiâd. Aplicăm reciproca DC EA FB teoremei lui Ceva şi obţiem că dreptele AD, BE şi CF sut cocurete. Teorema : Îălţimile îtr-u triughi sut cocurete îtr-u puct otat H şi umit ortocetrul triughiului. Demostraţie: Cosiderăm AA BC, BB AC şi CC AB Luăm triughiurile dreptughice AHC şi CHA î C respectiv A, î care avem şi AHC CHA (opuse la vârf). De aici coform criteriului U.U. avem că AH AC' AHC' ΔCHA' () CH CA' Luăm triughiurile dreptughice BHA şi AHB î A respectiv B, î care avem şi BHA AHB (opuse la vârf). De aici coform criteriului U.U. avem că BH BA' BHA' ΔAHB' () AH AB' Luăm triughiurile dreptughice CHB şi BHC î B respectiv C, î care avem şi CHB BHC (opuse la vârf). De aici coform criteriului U.U. avem că CH CB' CHB' ΔBHC' () BH BC'

32 Îmulţid relaţiile (), () şi () obţiem că AH CH BH AH CH BH AC' CA' BA' AB' CB' BC' C' A A' B B'C. Aplicâd reciproca teoremei lui Ceva obţiem că dreptele AA, C' B A' C B' A BB şi CC sut cocurete. Bibliografie: D. Scheider, Matematică Eerciţii şi probleme petru clasa a VII-a, Editura Valeriu, Craiova, 04

33 TEOREMA LUI PITAGORA- demostrații Grigore Dăuț Ștefa Școala Gimazială Nr. Valea Mare-Pravăț Prof. Țețu Isabela,,Î orice triughi dreptughic, pătratul lugimii ipoteuzei este egal cu suma pătratelor lugimilor catetelor. I. Demostrația folosid teorema catetei Γ ABC, m(<a)=90º, AD BC cof. T.C =>AB² = BC BD AC² = BC CD, aduâd membru cu membru obțiem AB² + AC² = BC ( BD + DC) = BC BC = BC² Deci, BC² = AB² + AC². II. Demostraţie pe baza de arii ale pătratelor Aria pătratului ABFJ = c² = ²u.a. = 9 u.a. Aria pătratului ACLK = b² = 4²u.a.= 6 u.a.

34 Aria pătratului BCDE = a² = 5² u.a. = 5 u.a. Observam ca: 5²= 4² + ², deci Aria BCDE = Aria ACLK + Aria ABFJ Î cocluzie: a² = b² + c² III. Demostraţia lui Leoardo da Vici Î triughiul dreptughic ABC, m<(bac)=90º,ab=c, BC=a, AC=b, pe ipoteuza BC costruim patratul BCDE si ducem DB AC, EC DB, AA EC. Pătratul BCDE se descompue î 4 triughiuri dreptughice egale cu triughiul dreptughic ABC de catete b si c si pătratul AA C B de latura AB =AC-B C = b-c, deci Aria AB C A = AB ² - (b-c)² Aria ABC=aria CDB =aria DC E=aria EA B=bc/ Avem aria BCDE = aria AB C A + 4 aria ABC sau a² = (b-c)² +4 bc/ = b² -bc + c² +bc Adica, a² = b ²+ c². IV. Demostraţie folosid descompuerea uui trapez dreptughic Î trapezul dreptughic ABDE avem m(<a)=m(<e)=90º, AB=CE=c, DE=AC=b, AC+CE=b+c (m(<bcd) =90º) Aria ABDE = ½ (AB+DE) AE=½ (b+c)(b+c)= ½ (b+c)² Aria ABDE = aria ABC +aria CDE+ariaBCD= bc/ + bc/ + ½ a²/ = ½ (bc + a²) 4

35 Deci (b+c)²= bc + a² sau b²+bc+c² = bc + a² Deci, a² = b² + c². V. Demostrație pe baza triughiurilor asemeea ΓABC ~ ΓDBA (cof. caz UU) => / c = c / a => c² = a () ΓABC ~ΓDAC (cof. caz UU) =>(a-) / b = b / a => b²= a(a-)=a²- a () Aduad membru cu mebru () + () obtiem: b²+c² = a²+a a Deci, a² = b² + c² c.c.t.d VI. Demostrație folosid rotația a doua triughiuri BCDI pătrat i care CE AB si DE CE apoi ducem DE CG; DF CG si KF AB Di costrucții Γ Γ [(IU),<ABC <KBI, BI BC] si Γ Γ [(IU), <CDE <FDI, DI DC] Γ se va suprapue peste Γ dupa o rotație de 90º î jurul puctului B,iar Γ se va suprapue peste Γ dupa o rotație de 90º î jurul puctului D. Î acest mod, pătratul BCDI costruit pe ipoteuza BC, a fost acoperit de pătratele ABKG costruit pe cateta AB si DFEG costruit pe latura DE egala cu cateta AC. Deci, BC² = AC² + AB² VII. Demostrație folosid trei rotații și trei traslații 5

36 Costruim pătratul BJLC pe ipoteuza Γ ABC dreptughic î A, pătratul ADIC pe cateta AC peste acest triughi, pătratul GCEF de latură CG=AB, uim BF, ducem KM DI, rezultâd urmatoarele cogruețe de triughiuri Γ Γ ; Γ Γ ; ΓABC ΓLKM ΓCLI Petru acoperirea pătratului BCLK: Γ se traslează NH apoi o rotație de 90º î jurul lui H i Γ ; Γ dupa o rotatie de 90º i jurul lui B coicide cu Γ; ΓABC va acoperi ΓKLM dupa o traslație BK; ΓCBE di pătratul ACID ajuge î ΓCIL dupa o traslație CL și o rotație de 90º î jurul lui L; Trapezul BEIH este comu pătratelor BCLK si ACID Deci, pătratul BCLK de latura BC a fost acoperit de pătratele ACID de latura AC si CGFE de latura AB=CG Deci BC² = AC² + AB² VIII. Demostrație cu triughiuri asemeea 6

37 Pe ipoteuza și catetele triughiului dreptughic ABC, m(<bac) = 90º, costruim triughiurile ΓFAB ΓECA ΓDCB ΓABC (cof.caz UU) apoi AA BC, A B AC, A C AB => A /BC= A B /AC = A C /AB îmulțid cu ½ obțiem A /(BC)= A B /(AC) = A C /(AB)=k Sa = (BC AA )/ = (BC² AA )/(BC) = BC² k k Sb = ( AC A B )/ = (AC² A B )AC = AC² Sc = (AB A C )/ = (AB² A C )/(AB) = AB² k cum Sa = Sb + Sc k BC² = k AC² + k AB² împărțid pri k obțiem: BC² = AC² + AB² 7

38 Micliuc Floria&Popescu Adrei Colegiul Națioal Mihai Emiescu Prof. îdrumător: Dumitru Săvulescu Costati Gogu Iformatii Geerale Costati Gogu ( ) Date persoale Născut 0 mai 854 Câmpulug, Țara Româească Decedat Națioalitate Ocupație 0 iauarie 897, (4 de ai) Craiova, Regatul Româiei Româia matematicia, astroom Costati Gogu a fost u matematicia româ, astroom, membru corespodet (889) al Academiei Activitate Cuoscut petru Membru fodator al Societății Româe de Știițe Româe. A avut lucrări privid mișcarea Luii; studii asupra variației gravitației cu latitudiea; s-a umărat pritre membrii fodatori ai Societătii Româe de Știițe, al cărei prim președite a fost, î 897; membru corespodet al Academiei Româe. A aparțiut uei familii de cărturari, după mamă fiid îrudit cu Mitropolitul Nifo. Costati Gogu a adus gâdirii matematice româești o cotribuție memorabilă, cu otabile prezețe î aria iterațioală î care apariția umelui său a fost o prestigioasă afirmare a iteligeței româești î epocă.. Doctor î matematică la Sorboa După ce a absolvit liceul la București, argeșeaul a plecat la Sorboa, ude și-a pregătit și doctoratul, fiid î același timp studet eîcadrat î programul zilic la Școală de astroomi de pe lagă Observatorul di Paris. Doctor î matematică de la Sorboa, Costati Gogu a fost umit pri cocurs profesor de geometrie aalitică la Facultatea de Știițe a Uiversitătii di București. Petru meritele sale deosebite ca matematicia și pedagog, campulugeaul a fost ales președite al celei ditâi Societăti a amicilor știițelor matematice. Fiid solicitat, Costati Gogu a mai ocupat posturi de profesor, pe lagă cel de titular de la Uiversitate, la Școală de ofițeri de artilerie, geiu și mariă, la Școala de poduri și șosele, la Școala de arhitectură și chiar la Semiarul Nifo di București. A avut lucrări privid mișcarea Luii, studii asupra variației gravitației cu latitudiea, s-a umărat pritre membrii fodatori ai Societătii Româe de Știițe, al cărei prim președite a fost, î 897, și a fost membru corespodet al Academiei Româe. 8

39 O boală de piept l-a istovit, părăsidu-și preocupările, ca și studiile matematice și astroomice. Țituit de boală, a murit la 0 iauarie 897, câd ică u împliise vârsta de 4 de ai. A fost îmormâtat la Câmpulug. Clasele primare î orașul atal, Liceul Matei Basarab (87) di București (bacalaureat 87); Facultatea de Știițe Matematice ( ai), studii la Sorboa (877), licețiat î matematică (878), elev al Observatorului di Paris. Doctor î știițe la Paris (88). Reveit de la Paris a fost profesor la Școală Specială de Artilerie și Geiu (88), la Facultatea de Știițe di București (88), ude a predat geometrie aalitică. Di 889, membru corespodet al Academiei Româe. Fodatorul Societății Amicii știițelor matematice (894),președite al Societătii de Știițe di București (897). A avut mari cotribuții la teoria miscării Luii pe baza perturbațiilor produse de plaeta Marte și de Soare. A colaborat la Recreații știițifice, Aales de l Observatoires de Paris, Memoirs of the Royal Astroomical Society. Operă: Scrisoare asupra regulelor îtrebuițate petru găsirea zilelor Paștelor (889); Sur u iégalité luaire à logue période due à l actio perturbatrice de Mars et dépedete de l argumet W+L-4L +L (Paris, 88); Sur ue iégalité luaire à logue période (Lodo, 885); Sur ue objéctio présetée par M.Stockwell cotre la théorie du mouvemet de la Lue de Delauay (88...). Biografie A urmat cursurile primare î orașul atal și obție bacalaureatul î 87 și apoi se îscrie la Facultatea de Știițe di București. Î 877 pleacă la Paris, ca bursier, ude, î aul următor, obție liceța î matematică. Î perioada urmează cursuri de astroomie î capitala fraceză, iar î 88 obție doctoratul î matematică. Î perioada este profesor de geometrie aalitică la Uiversitatea di București și la Școală de Poduri și Șosele. Apoi este profesor la Școala de Ofițeri de Artilerie și Geiu, la Școala de Arhitectură și la Semiarul Nifo.. Activitate știițifică Î teza de doctorat di 88 a prevăzut studiul iegalitătilor de lugă perioadă î mișcarea Luii, datorită acțiuilor perturbatoare ale lui Marte. A arătat cauzele erorii lui Joh N. Stockwell î calculul coeficietului de iegalitate luară și corectitudiea calculelor lui Boris Delauay, teză citată î mai multe lucrări de mecaică cerească. Bazat pe calcule laborioase, determiă cu precizie coeficietul de perturbare a miscărilor Luii, cocluzii care ulterior au fost omologate de comuitatea stiițifică. 4. Teza de doctorat Subiectul tezei de doctorat este Sur ue iegalite luaire a logue periode due a l attractio perturbatrice de Mars, et depedat de l argumet ω^- + 4l + 0l.Teza a fost publicată î Aales de l Observatoire de Paris,p. A_- A_0 î 88. Rezultatele tezei care privesc, precum se vede di titlu, studiul iegalităților de lugă perioadă î mișcarea Luii datorită atracției pertubatoare a lui Marte au fost cosemate î multe mecaici cerești și eciclopedii matematice. De eemplu, teza lui Costati Gogu este citată î Cours de Mecaique celeste de Feli Tisse-râd, vol., 894,pag 79. 9

40 Iată de ude a plecat Costati Gogu î tratarea subiectului tezei sale: Î revista Mothly otice of the royal Astroomy Society, Lodo, tomurile 7 și 8 di aul 878, Neiso arătase că se observă î logitudiea medie a Luii iegalități pe o perioadă lugă. Î calculele sale, îsă, Neiso a cosiderat costate elemetele orbitei lui Marte pe ecliptică. Costati Gogu, î teza sa, u cosideră elemetele orbitei Luii costat și ție seamă și de acțiuea lui Marte ( îcliarea orbitei acestuia), precum și de acțiuea perturbatoare a Soarelui. Petru calculul acțiuii perturbatoare a Soarelui a porit de la Theorie du movemet de la lue a lui Delauay, di aul 860. Petru calculele di teza sa, i-au trebuit lui Costati Gogu u mai puți de 497 de operații. La sfârșit, după ce se termiă cu aceste calcule lugi și obositoare ( a lucrat la teză doi ai; pe atuci u eistau mașii de calculat), Costati arată că coeficietul de 7,5 di iegalitatea luar ape care Neiso îl atribuia lui Marte, este eîsemat. El determiă eact această iegalitate, țiâd seamă de toate ifluețele perturbatoare arătate mai sus. 5. Reitoarcerea i tara Reîtors î țară, Costati Gogu a fost umit chiar î aul 88, î urma uui cocurs la care a cadidat alături de David Emmauel (î comisie l-a avut pe Haret care era favorabil lui Emmauel), profesor de geometrie aalitică la Facultatea de știițe a Uiversității di București. La această catedră Costati Gogu a fost u bu profesor. Pritre elevii săi se umăra și Gheorghe Țițeică care, după moartea lui Gogu, i-a fost succesor la catedră. După cum a povestit ulterior Țițeică, Costati Gogu a fost u profesor uiversitar care a predate atractiv matematica. Se cobora la ivelul îțelegerii studeților și ispira ordie și discipliă itelectuală. 6. Scrieri 88: Sur ue iégalité luaire période due à l'attractio perturatrice de Mars et dépedet de l'argumet..., teza sa de doctorat, publicată î "Aales de l'observatoire de Paris"; Curs de geometrie aalitică; 844: O the umerical value of the coefficiet due to the actio of Mars, lucrare apărută î "Mothly of the Royal Astroomy Society", Lodra. Lucrările lui Costati Gogu sut citate î: Cours de Mécaique céleste al lui Féli Tisserad (894) și î Ecyclopedie der mathematische Wisseschafte. Bibliografie: Istoria Matematicii i Romaia Vol., George ST. Adoie,Editura Stiitifica, Bucuresti 965 Wikiepedia.ro Ziarobiectiv.ro Ama.ro 40

41 Cotiuitate și derivabilitate pe Q și R-Q. Aaliza uui eemplu. Purav Mădălia Isabela Lic.,,Regia Maria Dorohoi, prof. îdrumător: Hură Gabriel Fie fucția f :, ( ) {. Să se studieze puctele de cotiuitate și derivabilitate ale fucției f. Soluție. Ne ocupăm, mai îtâi, de cotiuitate. Folosim teorema de caracterizare cu șiruri. Dacă f :, D puct de acumulare petru D, atuci f este cotiuă î dacă și umai dacă ( ) avem ( ) ( ). Deoarece itervie ( ) vom cosidera două cazuri: și \. Fie deci. Î acest caz ( ) = și u șir arbitrar ( ) coverget la. Ne ocupăm de ( ). Este clar că se impu mai multe situații de aalizat. Dacă ( ) atuci ( ) și deci ( ) ( ). Dacă ( ) atuci ( ) și deci ( ). Î cazul î care ( ) u este cotiuă î. Așadar ditre toate umerele rațioale eistă șasa ca să fie cotiuă doar î sau. Mai avem de aalizat situația î care șirul ( ) este format atât di elemete rațioale cât și irațioale. Cazul iteresat este atuci câd ( ) este format ditr-o ifiitate de termei rațioali cât și ditr-o ifiitate de termii irațioali petru că, altfel, î studiul șirului ( ( )) elimiăm u umăr fiit de termii și ajugem î ua di cele două situații epuse mai sus. Cosiderăm idicii ai elemetelor rațioale di șirul ( ) pe care îi ordoăm strict crescător și idicii ai elemetelor irațioale pe care îi ordoăm de asemeea strict crescător. Se obți astfel două subșiruri. ( )/ și. ( )/ ale șirului ( ( )) care epuizează șirul ( ( )) (adică verifică ipoteza (i) di Propoziția 4.). Deoarece. ( )/ și ( ), î cazul î care atuci ( ) ( ). Am demostrat deci că este cotiuă î puctele 0 și și u este cotiuă î celelalte pucte rațioale. Fie acum și fie. Î acest caz ( ). Ca mai sus cosiderăm mai îtâi ( ). Î acest caz ( ). Cum ( ) rezultă că u este cotiuă î. Așadar sigurele pucte de cotiuitate ale lui sut 0 și. Deoarece o fucție derivabilă îtr-u puct este și cotiuă î acel puct, rămâe să studiem derivabilitatea fucției doar î puctele 0 și. Avem de aalizat dacă eistă și sut fiite. ( ) ( ) și ( ) ( ). Petru aceasta folosim teorema de caracterizare cu șiruri a limitelor de fucții: 4

42 Dacă și este puct de acumulare petru atuci ( ) dacă și umai dacă ( ) și avem ( ). Ne ocupăm de prima limită. Fie deci u șir ( ) și studiăm eisteța limitei petru șirul ( ). Procedâd ca mai sus vom cosidera mai îtâi ( ). Avem ( ) și deci ( ). Dacă ( ) avem ( ). Pri urmare u eistă ( ) ( ). Deci u este derivabilă î 0. Procedâd aalog și petru deducem că u este derivabilă î ici u puct di. Observație! Trebuie remarcat că problema cotiuității uei fucții se pue petru pucte Caracterizarea cu șiruri se face petru pucte di care sut pucte de acumulare petru. Î celelalte pucte di (pucte izolate) este automat cotiuă. Problema limitei uei fucții îtr-u puct se pue petru pucte de acumulare ale mulțimii de defiiție (care pot să u aparțiă mulțimii). Î caracterizarea cu șiruri a limitelor de fucții apare codiția care trebuie îțeleasă ca cu ecepția evetuală a uui umăr fiit de termei. Această restricție u apare la cotiuitate. Este clar că îtr-u puct de acumulare cotiuitatea este echivaletă cu faptul că eistă limita fucției î puctul * + și este egală cu ( ). Deci faptul că fucția u este cotiuă î apare î două situații : (i) Nu eistă ( ); (ii) Eistă ( ) ( ). Se poate cosidera cu ușuriță că î cazul fucției cosiderate î problemă î puctele de discotiuitate de fapt u eistă limită. La râdul său faptul că u eistă limita uei fucții îtr-u puct se poate bifurca î situațiile: u eistă cel puți ua di limitele laterale sau eistă ambele limite laterale dar u sut egale ître ele. Atrag ateția că studiul limitelor laterale se impue umai î aumite situații. Reamitim că, î literatura matematică, s-au impus două categorii de pucte de discotiuitate: de prima speță câd eistă limitele laterale și de speța a doua î celelalte cazuri. Petru fucția di problemă puctele de discotiuitate sut de speța a doua, mai precis u eistă ici ua di limitele laterale. 4

43 Cristea Matei Colegiul de artă:carme Sylva-Ploiești Profesor coordoator:butac Ecateria Ala Mathiso Turig U matematicia este u dispozitiv petru trasformarea cafelelor î teoreme Ala Mathiso Turig, (. iuie 9, Lodra, Regatul Uit d. 7 iuie 954, Wilmslow, Cheshire, Regatul Uit) a fost u iformaticia, matematicia, logicia, criptaalist, filosof și maratoist britaic. A fost o persoalitate deosebit de ifluetă î dezvoltarea iformaticii, aducâd o formalizare a coceptelor de algoritm și computație cu mașia Turig, care poate fi cosiderată u model de calculator geeric. Turig este cosiderat a fi păritele iformaticii și iteligeței artificiale teoretice. Î timpul celui de al Doilea Război Modial, Turig a lucrat petru Govermet Code ad Cypher School la Bletchley Park, cetrul de criptaaliză al Regatului Uit. O vreme, a codus secțiuea resposabilă de criptaaliza mesajelor codificate ale Mariei Germae. Rolul-cheie jucat de Turig î spargerea mesajelor codificate iterceptate le-a permis aliaților să-i îvigă pe aziști î mai multe lupte cruciale, iclusiv î Bătălia Atlaticului; se estimează că activitatea echipei de la Bletchley Park a scurtat războiul î Europa cu doi pâă la patru ai. Î 95, Turig a fost judecat petru homoseualitate, pe câd acest comportamet seual era îcă crimializat î Regatul Uit. A acceptat u tratamet cu ijecții de estroge drept alterativă la îchisoare. Turig a murit î 954, cu 6 zile îaite de a împlii 4 de ai, î urma otrăvirii cu ciaură. O achetă a determiat drept cauză a morții siuciderea; mama sa și alții cred că a fost u accidet. Î 009, î urma uei campaii desfășurate pe iteret, primul miistru britaic Gordo Brow a prezetat scuze publice î umele guverului britaic petru modul îgrozitor î care a fost tratat. Regia Elisabeta a II-a l-a grațiat postum î 0. THE IMITATION GAME(Jocul Codurilor)- este u film istoric america (categoria:dramă-thriller ) regizat de Morte Tyldum și scris de Graham Moore bazat pe larg pe biografia lui Ala Turig: Eigma de Adrew Hodges; The imitatio game a avut u succes critic și comercial etraordiar:filmul a câștigat Premiile Oscar î 05,dobâdid ulterior multe alte premii iterațioale. Î iara lui 95,autoritățile britaice au itrat î casa matematiciaului,criptaalistului și eroului de război: Ala Turig petru a verifica semalarea uui furt. L-au arestat îsă pe Turig î baza acuzațiilor de acte obscee,rechizitoriu ce ar fi dus la o devastatoare codamare petru ifracțiuea de homoseualitate. Autoritățiile u știau că-l arestau pe îsuși pioierul iformaticii modere. Cuoscutul lider al uui grup eteroge de savați,ligviști,campioi de șah și ageți ai serviciilor secrete ce a avut meritul de a descifra codurile mașiii germae Eigma,î timpul celui de-al doilea Război Modial. Bibliografie:

44 Șahul și Matematica - legătura ditre știiță și joc Dalidis Dimitrie Semiarul Teologic Ortodo,,Veiaim Costachi Măăstirea Neamț Profesor: Asaftei Roaa-Floretia Îaite de a prezeta legătura ditre șah și matematică, vom vedea ce îseamă fiecare î parte. Șahul este cosiderat cel mai popular joc al miţii di lume, îsă origiea eactă a sa u a putut fi stabilită, cu eactitate, pâă acum. Mai multe țări s-au declarat ivetatoarele jocului, îsă pricipalele țări sut Idia, Chia, Persia. El scoate la iveală artistul di oi. Vom picta tablouri cu poziții ideale și mutări perfecte ale pieselor oastre. Șahul este u foarte importat factor î dezvoltarea gâdirii logice. Matematica este cea mai veche știiță, istoria sa îtizâdu-se pe mai multe mileii și î mai multe spații geografice, simulta, di Orietul îdepărtat pâă î America Cetrală, și di Asia Mică și Africa pâă î Europa. La u momet dat lumea s-a schimbat brusc, a apărut calculatorul de buzuar; de eemplu logaritmii au rămas doar o fucție matematica, iar rolul lor î efectuarea calculelor a fost pierdut. Este o adevărată provocare să e imagiăm, la mometul actual, viitorul matematicii. Voi îcepe să eplic această legătură strâsă pritr-o scurtă istorioară despre matematiciaul Sissa be Dahir și regele idia Shirham: Maiestate, u vreau cie ştie ce bogaţii lumeşti, daţi-mi doar u bob de grâu petru prima pătrăţică a tablei de şah, două boabe petru a doua, 4 boabe petru a treia, 8 petru a patra pătrăţică şi tot aşa, pâă ce toate cele 64 de pătrate ale tablei vor fi acoperite de grâu. Regele, mirat şi îcâtat că i se cere atât de puţi, a bătut di palme şi a porucit să i se aducă u sac de grâu, petru a îdeplii cererea vicleaului matematicia. Dar, spre mirarea regelui, sacul s-a termiat repede, iar tabla u era ici pe sfert acoperită. La fel s-a îtâmplat şi cu sacii care au fost aduşi pe urmă, au fost goliţi tot mai repede. Şi îtr-adevăr, abia atuci şi-a dat seama regele că Sissa be Dahir i-a cerut u umăr eîchipuit de mare de boabe de grâu, rezultatul progresiei geometrice - fragmet di Legeda şahului. Șahul este u joc cu u umăr ifiit de calcule, de la umărarea pieselor atacatoare pâă la lugile combiații. Eistă multe lucruri iteresate privite di mai multe ughiuri,care ilustrează legătura ditre șah și matematică. Am cercetat puți despre calcularea tuturor posibilităților de mutare a pieselor ditr-o doar o sigură partidă de șah. Am făcut aceasta, bieîțeles cu ajutorul calculelor matematicii. La prima mutare sut posibile 0 de mutări, la a doua mutare sut posibile 9 de mutări. După primele 4 mutări sut peste de posibilităţi iar după primele 0 mutări sut posibile aproimativ 7 0 opţiui. Numărul poziţiilor posibile pe tabla de şah este u umăr imes: 040. Acest umăr poate fi aproimat pri următorul calcul: îtr-o poziţie oarecare sut posibile, î medie, mutări şi deci poziţii de răspus, adică aproimativ 0 poziţii. Îtr-o partidă de 50 mutări (50 petru alb şi 50 petru egru) vor rezulta 0 50=050 poziţii. Cosiderâd că uele poziţii se repetă, rezultă 040 poziţii. U umăr imes ce caracterizează posibilităţile fatastice ale acestui joc şi importaţa dezvoltării uei gâdirii creatoare î studiul şahului! 44

45 Regulile,,matematice ale jocului de şah, ţiâd de geometria spaţiului de joc, de posibilităţile legale de a se deplasa ale pieselor pe acest spaţiu de joc, format di 64 de pătrate (câmpuri), se îmbiă armoios cu proporţiile stabilite valoric ître piese. De eemplu, raportul valoric tur/ebu: 5/=,66, la fel ca raportul ditre damă şi perechea de cai (sau de ebui), acest umăr,66 fiid foarte apropiat de umărul de aur,,68, care se regăseşte î dimesioarea multor proporţii ale elemetelor di atură (aele de coordoate ale majorităţii fruzelor de eemplu), î arhitectură (la piramida lui Keops î Egiptul atic, piramida cu baza u pătrat şi cu feţele laterale î formă de triughiuri isoscele, aria triughiului uei feţe laterale este egală cu aria pătratului care are drept latură îălţimea piramidei) sau î domeiul religios (crucea creştiă are raportul lugimilor aelor egal cu umărul de aur:,68!!). Î ceea ce priveşte,,viteza de deplasare a pieselor pe tabla de joc, se poate spue că sigurele piese care au modulul vitezei de deplasare costat sut calul şi regele, celelalte piese putâd să se deplaseze şi uiform accelerat. Dacă am sta bie și e-am gâdi, șahul a împrumutat di matematică și sistemul de coordoate. Râdurile sut otate cu cifre, iar coloaele cu litere, astfel o partidă de șah poate fi scrisă cu ajutorul acestui sistem (e. Cal la C și 6= Cc6). Î cocluzie,ître cele două u este doar o legătură, matematica este î șah. După aprecierea mea, aș umi șahul o,,matematică practică petru că ceea ce îvățăm la matematică, puem î aplicare î acest joc. Bibliografie:

46 De la Spirala lui Fiboacci la Geometria sacră Cigolia Eliza Estera Colegiul de Știițe G.Atipa Brașov Prof.îdrumător:Adriaa Gaszpor Se zice că Matematica este limba î care Dumezeu a scris Uiversul.Trăim îtr-u Uivers î care totul are o formă. Pe forme se bazează și geometria sacră. Ea este cheia petru a îțelege modul î care Uiversul este modelat, este limbajul uiversal al uor adevăruri matematice pure. Imagiile și formele ei sut icorporate î AND-ul ostru,î atomi, celule și cristale.de la atomi la spirala galaiilor,fiecare tip de mișcare sau creștere este guverată de aceleași legi,rapoarte și forme care se repetă la esfârșit. Este miraculos,impresioat cum umerele di Șirul lui Fiboacci, umărul de aur,apar ca modele,atât de frecvet î atură.spirala lui Fiboacci o regăsim i vârtejul apelor și uragaelor,î forma cochiliilor melcilor. Calea Lactee are câteva brațe spiralate, fiecare ditre ele avâd o spirală logaritmică. Aliierea petalelor florilor, a fruzelor și semițelor uor plate urmează forma acestei spirale.secțiuea diviă este omiprezetă î proporțiile corpului uma, cea mai mare creație a aturii.omul Vitruvia al lui Leoardo Da Vici este ilustrativ îaceastă priviță.se observă că raportul ditre lugimile părții de jos a corpului omeesc și partea de la ombilic î sus este egal cu umărul de aur. Și acesta este doar u eemplu.î aceeași proporție se află segmetele brațului și ale palmei.mâa umaă are 5 degete, fiecare avâd falage separate pri îcheieturi.media lugimilor falagelor este, respectiv 5cm. Numărul de aur este cosiderat ca o adevărată mască a frumuseții,aplicată petru chipuri di toate timpurile: de la Nefertiti la actrițele de succes di zilele oastre. Secțiueade aur se regăsește de asemeea î activitatea iimii,î raportul ditre presiuea sistolică și cea diastolică a sâgelui,care este apropiat de,6. Nu î ultimul râd, molecula de AND măsoară 4 agstromi î lugime și îlățime, petrufiecareciclucomplet al eliceiduble a spiralei sale.numerele și 4 fac parte di șirul lui Fiboacci. Putem spue că Șirul lui Fiboacci este u argumet că imic u este creat la îtâmplare și toate se leagă. Arhitectura Uiversului se bazează pe geometria sacră ce folosește simboluri, umere,modele matematice petru a defii tot ce eistă î Cosmos, iclusiv pe Pămât.Această știiță e îvață cum microcosmosul reprezită o oglidă a macrocosmosului.spirala uei scoici de mare,elemet aparțiâd microcosmosului, poate fi regăsită î forma uei îdepărtate galaiimacrocosmos. Semele se află peste tot. Numai să știi să le vezi, spuea Costati Brâcuși. Dar cum îcepe geometria sacră? Privid așezarea semițelor de Floarea soarelui observăm o multitudie de cercuri care se itersectează.totul pleacă de la u puct î jurul căruia se deseează u cerc.ditr-u puct oarecare al cercului trasăm u al doilea cerc cu aceeași rază.ditr-u puct de itersecție al celor două cercuri se trasează al treilea cerc, apoi al patrulea și așa mai departe la esfârșit.totuși îțelepții atici s-au oprit la al 9 lea. Modelului obțiut i-au dat deumirea de Floarea Vieții. Ea este cea mai cuoscută formă a geometriei sacre și reprezită simbolul uiversal al vieții. Acest simbol este prezet î toate marile filozofii și religii, fiid gravat pe moumete,pe vitraliile bisericilor di toată lumea, îsuși Leoardo Da Vici preocupâdu-se de aceste desee. Nici țara oastră u face ecepție. Reîtâlim modelul î multe locuri di țară: Mâăstirea Cozia di JudețulVâlcea, îtr-o biserică di Sălaj sau pe porțile maramureșee, acestea fiid doar câteva eemple. Floarea vieții coție u simbol secret care apare deseâd cercuri. Deseâd acest lucru, obțiem u alt model, care este deumit Fructul Vieții. Structura aceastuia e dă iformații cu privire la tot ceea ce eistă, de la corpul uma, la galaii. Porid de la această structură, putem să creăm orice structură moleculară și orice structură celulară care eistă î Uivers. 46

47 Floarea vieții Fructul vieții Trasâd liii drepte di cetral fiecărui cerc către toate cercurile alăturate, obțiem figura de mai jos, care poartă umele de "CubulMetatro": Acest cub cotie toate cele 5 forme pricipale, umite matematic cele 5 solide platoice(după umele lui Plato), eistete atât î geometria simplă, cât și cea sacră. Toate aceste solide au următoarele caracteristici: au fețele, muchiile si ughiurile de aceeași măsură, iar câd sut itroduce îtr-o sferă,toate puctele le atig perfect.pitagora le cosidera puctul 0 al alchimiei și le-a atribuit fiecăruia u elemet:tetraedru focul, Cub (heaedru ) pămâtul, Octaedru aerul, Icosaedru apa, Dodecaedru cosmosul. Icosaedru Cubul Octaedru Tetraedru Dodecaedru Cubul, tetraedrul si octaedrul se regăsesc î structuri cristalie,î tot regul mieral. Dodecaedrul si icosaedrul apar la uele forme de plakto mari, viruși, compusi mierali precum grafitul. Toate structurile celulare și moleculare de bază au ua ditre formele geometrice.toate elemetele di tabelul periodic al lui Medeleev au o relație geometrică cu ua ditre solidele platoice. Oriude, î fizică, chimie sau biologie regăsim aceste forme sacre și abia acum sut redescoperite de cercetătorii moderi. Dacă observăm atet Floarea Vieții vedem o foarte mare asemăare cu madalele,simbol origiar di Hiduism și Budism.Costruirea acestor simboluri, care desemează variate forme de mesaj, se bazează de asemeea pe Șirul lui Fiboacci. 47

48 Leoardo Pisao Bogollo, cuoscut şi sub umele de Leoardo di Pisa a fost u matematicia italia cosiderat de uii drept cel mai taletat matematicia di Evului Mediu care vede prezeţa Şirului matematic u doar î atură ca u vârtej al apelor sau î forma cochiliilor melcilor, î aliierea petalelor de tradafir, a fruzelor şi semiţelor uor plate, pare-se că îtreaga creaţie diviă păstrează aceeaşi formulă matematică fiboacciaă, umită şi formula fericirii.putem spue deci, că Șirul lui Fiboacci poate reprezeta acordul metafizic al Uiversului ostru. Oare câte taie are lumea î care trăim și îcă u le-am descoperit? Bibliografie Druvalo Melchizedek, FloareaVieții 48

49 Ailoaie Emauele Liceul Regia Maria Dorohoi Prof. îdrumător: Rotariu Aișoara Dimitrie Pompeiu - Biografie Regulile gâdirii știițifice sut petru D. Pompeiu regulile sale de viață. Pe la sfârșitul secolul trecut, Dorohoiul era u sat mare și curat, cu căsuțe albe acoperite cu șidrilă și îcojurate de livezi. Pe ici pe colo, răsărea di verdeața pomilor câte o casă mai mare, acoperită cu tablă vopsită î roșu. Cam la cici kilometri spre răsărit de Dorohoi se află satul Broscăuți, așezat ître colie domoale, străbătut de pâraie subțiri și leeșe. De câțiva ai, locuia aici Dimitrie Pompeiu, ce se trăgea ditr-o familie de dicolo de Prut, cu soția sa, Maria, fiică a preotului cărturar Leote, mai târziu Leoescu. Era îtr-o lui, septembrie 87, câd văzu lumia zilei fiul lor care primi umele Dimitrie - viitorul celebru matematicia, după umele tatălui său. Mai târziu, cam la vreo doi-trei ai de la așterea lui Dimitrie, s-au mutat la Dimăchei, u sat mai mare, aproape de Prut. Î satul liiștit al Dimăcheilor, copilăria lui Dimitrie ar fi fost ca oricare alta, dacă familia lui ar fi rămas îtreagă. Tatăl său îsă, era u om î sufletul căruia se cioceau setimete cotradictorii și îțelegea lumea îtr-u fel cu totul aparte. Și, îtr-o buă zi, covis că va găsi u făgaș mai bu, părăsi satul și familia stabilidu-se la Dorohoi, ude dădu u alt îțeles vieții sale. Câd a împliit șapte ai a itrat î școala primară. O vreme Iacu -fratele său mai mare cu doi ai - i-a fost u fel de protector. Cât a urmat cursul elemetar, Dimitrie și-a împărțit timpul ître o îvățătură fără preteții și joacă. La toate materiile avea ote mari, dar a maifestat îcă de timpuriu o preferiță petru matematică. La îtâi iuie 885, Dimitrie absolvi școala primară. Petru că era atât de bu la îvățătură, uchii săi îl îdrumară să îvețe mai departe la Gimaziul di Dorohoi ude, cu doi ai mai îaite, itrase și fratele său mai mare, Iacu. La îceput, Dimitrie Pompeiu u s-a distis prea mult pritre elevii ce frecvetau clasa îtâi a Gimaziului di Dorohoi î aul 885. Îcă de la sfârșitul claselor primare, el îcepuse să cerceteze biblioteca rămasă de la tatăl său, î care erau aduate tot felul de cărți. Î sufletul său se ăscuse o ouă pasiue, puterică, aceea a cititului, căreia i-a rămas credicios pâă î ultimele clipe ale vieții. Gimaziul di Dorohoi era o școală clasică ude predomiau studiile umaistice. Deși aceste știițe u răspudeau îtru totul iteresului pe care Dimitrie îl maifesta petru cuoașterea aturii, el dovedi și petru aceste studii o aplicație deosebită, fără a slăbi îsă îcliarea petru știițele eacte. Pritre puțiii rezolvitori de probleme îl îtâlim pe D. Pompeiu, elev î clasa a treia. Problema de aritmetică cu r. 79 a fost prima problemă dezlegată de el, și îcepâd cu aceasta, umele său este îtâlit foarte des î pagiile revistei ca rezolvitor al uor probleme care depășeau pregătirea uui elev de gimaziu. Ultimele lui de școală au trecut repede. Î dumiica de iuie a aului 889 a absolvit școala cu cuuă. Dimitrie Pompeiu, ascultâd îdemul uchiului său și molipsidu-se de etuziasmul lui Iacu, se hotărî să urmeze Școala ormală de istitutori de la București care pe toată durata studiilor îi asigura idepedeță materială, și după absolvire umirea î îvățămât. Datorită mucii sistematice, Pompeiu reuși cu mult îaite de eameul de admitere să-și termie pregătirea și aștepta cu erăbdare să treacă și această îcercare. Eameul oral a cofirmat bua sa pregătire. Î 889 au fost admiși î aul îtâi douăzeci de elevi. Cei doi profesori de matematică, Otescu și 49

50 Cosăcescu, l-au prețuit î mod deosebit, iar severul Cosăcescu utrea petru tâărul său elev o stimă ce u se sfia să o arate chiar și î fața colegilor săi. Î 89 termiă școala luâd premiu și diplomă de istitutor. Nu împliise ici douăzeci de ai câd, pe data de septembrie 89, tâărul istitutor D. Pompeiu se prezită la postul său de la Școala primară r. 5 di Galați, ca mai apoi să se trasfere după o luă la Școala primară r. di Ploiești. Și-a dezvoltat o relație foarte profudă cu elevii săi, de toate vârstele. La această școală a fucțioat pâă î toama aului 898, cu o leafă luară de 5 lei. Î urma publicării uui studiu asupra idicilor de refracție toți - chiar și cei mai sceptici di prieteii săi - au îțeles valoarea sa. După ce a îcercat să itre la Facultatea de știițe a scris Uiversități di Paris, arătâd studiile care le avea, precum și ce dorea să urmeze. Sub pretetul uui cocediu medical de doi ai se îdreptă către Frața. Î aceste codiții se pregăti petru primul eame și la îceputul verii aului 899, după u a de studiu, trecu bacalaureatul la uiversitate ca elev al clasei de matematică specială. Tâărul Pompeiu u umai că a pătrus pâă î adâcuri taiele teoriei fucțiilor, dar chiar subiectul său de doctorat a fost lămurirea uei probleme fudametale a acestei teorii. După o abseță de aproape șapte ai, Pompeiu se reîtoarse î țară și ajuse la Ploiești pe la mijlocul luii aprilie 905. A trecut jumătate de a pâă câd Miisterul îl umi pe tâărul doctor î matematică profesor la Uiversitatea di Iași. Petru a-și îdema studeții la u studiu riguros, Pompeiu a trebuit să folosească toată puterea de covigere și de seducție spirituală. Blaji di fire, cumpătat î vorbe și î gesturi, u rostea cuvite tari și mai cu seama u iroiza eîdemâările studeților săi. De aceea ei se apropiau cu îcredere de profesorul lor. Î cursul aului publicase șapte lucrări î revistele de specialitate fraceze, italiee și româe. Cum î toama aului următor devei vacată la Uiversitatea di Iași catedra de mecaică rațioală și aplicată, Dimitrie se îscrise petru a o ocupa și alcătui î acest scop u Memoriu asupra calităților și lucrărilor știițifice. Fu admis î aul 907. Dacă s-ar putea spue că aul 908 a fost u a de odihă, deoarece u a lăsat ici o urmă despre activitatea sa, î schimb aii care au urmat au fost plii de rezultate. Astfel, î 909 a publicat trei ote privitoare la fucțiile aalitice, iar î 90 a publicat șapte ote ditre care î trei se ocupa de oile cercetări ale lui Dejoy. Tot i 90 a publicat î Aalele știițifice ale Uiversității di Iași. După moartea lui Spiru Haret, Uiversitatea di București a declarat catedra vacată și a chemat petru ocuparea ei pe profesorul Dimitrie Pompeiu. Î toama aului 9, Dimitrie țiu prima sa prelegere de mecaică rațioală la Uiversitatea di București. Aul 9 a fost u a de viață pliă. Publicase pâă atuci 5 de ote î diverse buletie, aale și reviste străie, iar î acel a mai publicase cici ote, di care trei î Buletiul secției știițifice a Academiei Româe și câte ua î Germaia și Italia. Ître aii 9 și 96 a publicat de studii, ote și memorii. Î uele di ele, Pompeiu dădea la lumiă multe metode oi, ca și î studiul asupra pricipiului lui D Alembert. Activitatea desfășurată ître aii 9-96 este îceputul epocii sale de maturitate știițifică. Avea atuci vârsta de 9 de ai și timpul u făcu altceva decât să îi defiitiveze trăsăturile pe fața-i frumoasă. Cu o frute frumos boltită, cu liia mailarelor bie coturată, cu o privire dreaptă și pliă de viață, era u bărbat pli de vigoare. Reprezeta figura omului petru care viața era lămurită. După uirea Trasilvaiei cu vechiul teritoriu al patriei, pritre alte probleme importate era și orgaizarea Uiversității di Cluj. Lui Dimitrie Pompeiu îi căzu sarcia de a pue temelia îvățămâtului matematic î orașul trasilvăea de veche cultură. Î 99, pri străduița lui D. Pompeiu și a celorlalți profesori ai secției matematice a Uiversității apăruse periodicul Mathematica, cu structură iterațioală sub coducerea a doi directori: D. Pompeiu și Gh. 50

51 Țițeica, doi mari specialiști î două ramuri deosebite. Î lua mai ai aceluiași a, Pompeiu orgaiză la Cluj primul Cogres ațioal al matematicieilor româi, î care prezetâd o coferiță trata o problemă fudametală di teoria fucțiilor (Sigularitățile fucțiilor aalitice uiforme). Tot î această vreme, Pompeiu fu ivitat să țiă u umăr de cursuri la Uiversitatea di Paris. De asemeea, Pompeiu este cel care etide celebra formulă a lui Cauchy și iițializează teoria fucțiilor poligee, itroducâd oțiuea de derivată aerolară. Di tot ce a dat știița oastră matematică pâă la epoca câd a trăit taletatul și liiștitul moldovea di țiutul Dorohoiului, imic -a stârit mai mult iteres. Deși apreciat î toată lumea si deși faima sa depăși hotarele Româiei, abia î 94 a fost ales membru al Academiei Româe. Ședița î care a fost propus s-a țiut la 5 martie. Discursul de recepție, î care s-a făcut elogiul lui Petre Poi, a fost țiut î ședița di 5 mai 96, cu doi ai mai târziu. Î toama aului 94, ca urmare a presiuilor făcute de guverul lui Atoescu, Dimitrie Pompeiu a fost evoit să se retragă î pesie. Împliise 68 de ai și avea destulă vigoare petru a-și cotiua cariera cu pasiue. Câd regimul democrat-popular a reorgaizat Academia, Dimitrie Pompeiu a fost ales membru titular activ. Avea 75 de ai. Deoarece acest regim prețuia știița și muca legată de progres, Dimitrie a fost distis cu Steaua Republicii populare româe și cu Ordiul mucii. Tot î această perioadă, au îceput să apară primele seme ale bolii care avea să-i curme firul vieții. Î 95, î lua septembrie împliise opt deceii de viață. Gâdurile tuturor oameilor s-au îtors spre viața acestui geiu, care se stigea îcetul cu îcetul ca o lumiiță, ce odată a lumiat Uiversul cu știița sa. Toți au îțeles că îvățătura și îțelepciuea au fost mai presus de curajul său. Di câd î câd ota î caietul său soluțiile uor probleme pe care le gâdise î patul de suferiță, și deseori spuea că are î mite cercetări îdrăzețe, care îsă u au mai văzut lumia tiparului. Î toama aului 954, la 7 octombrie, marele savat româ a îcetat di viață. Dispariția marelui profesor a îsemat u umai o durere petru familie și prietei, ci și o îsemată pierdere petru știița matematicii î țara oastră. Numele său va rămâe petru fiecare om o bogăție, și va rămâe î veci legat de descoperirile pe care le-a dăruit cu atâta pasiue lumii. Pri moartea lui Dimitrie Pompeiu scriau ziarele care auțau trista veste poporul ostru pierde pe u strălucit reprezetat al culturii sale, iar știița româească pe uul di marii săi creatori și aimatori. Bibliografie: D. Pompeiu - Mihail Șt. Botez 5

52 ALBERT EINSTEIN Tudor Luiza & Cîrla Maria Școala Gimazială,,Sfâtul Vasile Ploiești Prof. coordoator: Iacu Valetia Moa MIRACOLUL NUMIT ALBERT EINSTEIN S-a ăscut î Ulm, u oraș mic, di Germaia, tatăl său, Herma, era fiul cel mai mare al familiei Eistei. Se spue că mama lui Albert, câd l-a văzut prima dată pe ou-ăscut, era să leșie. El câtărea mai mult decât u copil ormal și avea capul umflat și pătrățos. Câd Albert a ajus la vârsta de ai, fără să articuleze u cuvât, păriții săi au crezut că este retardat și și-au pierdut orice sperață. Îsă mare le-a fost uimirea, câd, îtr-ua di zile, micuțul a deschis gura și a îceput să vorbească cu flueța și vocabularul uui adult. Ce se îtâmplase? Copilul aalizase pâă atuci utilizarea cuvâtului, iar apoi a eteriorizat ceea ce îvățase. FAMILIA După așterea lui Albert, familia s-a mutat la Muche, iar Herma, împreuă cu fratele său Jacob au pus bazele uui atelier de producere a echipametelor electrice. Mama lui Eistei, Paulia, iubea mult muzica, era o piaistă remarcabilă, iar casa familiei răsua îtotdeaua de muzică. Datorită isisteței acesteia, micuțul Albert a îceput lecțiile de vioară, deveid ulterior u bu violoist. COPILĂRIA LUI EINSTEIN Era u copil retras, fapt petru care era adesea batjocorit de către colegii de școală. Deși u era u elev strălucit îi plăcea să citească tot felul de popularizare a știiței. Îi plăcea să aalizeze detaliat orice gâd, idee sau iformație pe care o avea, păstrâd îsă tăcerea pâă câd cosidera că mitea sa a epuizat acest subiect, lucru ce îi determia pe cei di jurul său să creadă că este retardat și să îl disprețuiască. Putea observa lucruri pe care alți copii de vârsta sa ici u putea să le coceapă. Această capacitate a sa va fi reumită î viitor, îsă, î copilărie, micuțul Albert era cosiderat "îdărătic" și diferit. FUGA DIN GERMANIA La vârsta de ai, Albert Eistei a îceput să frecveteze u gimaziu di Muche, care oferea o educație de elită. Profesorii făceau abuzuri de putere și pretideau elevilor respect și supuere absolută. Albert ura disciplia și activitățile colective, iar profesorii care îi așezau pe elevi î râduri, i-au provocat repulsie și desigur u s-a putut adapta cerițelor mediului școlar. La vârsta de 5 ai afacerile tatălui său u mergeau prea bie acesta hotărâd să-și caute orocul î altă parte. Famila s-a plecat î Italia, lăsâdu-l pe Albert sigur, î Muche petru a-și cotiua studiile, îtr-o școală pe care el o detesta. Î Germaia, serviciul militar era obligatoriu după vârsta de 6 ai, iar Albert era hotărât să facă orice petru a evita aceasta obligație. L-a rugat pe u medic pe care îl cuoștea, să elibereze o adeveriță pri care susțiea că rămâerea sa î acea școală era riscată petru săătatea sa mitală. Î acest fel, el pleacă di Germaia la familia lui î Italia. 5

53 ELVEȚIA, ȚARA LIBERTĂȚII Deși au fost dezamăgiți că fiul lor fusese respis de la școală și își părăsise țara, păriții săi l-au sprijiit. Astfel, cum a împliit 6 ai, Albert a dat eame de admitere la Politehică di Zurich, î Elveția. Deși u a fost acceptat, el a fost remarcat de uii profesori și i-au promis că va fi admis la facultate î următorul a. Astfel, Albert s-a îscris la liceul di Aarau, petru a- și putea lua diploma ecesară. Î 896, Albert s-a îscris la facultate petru a obție diploma de profesor de fizică. După termiarea facultății, s-a agajat ca profesor de fizică la Istitutul Politehic di Zurich. Î același timp a dezvoltat o pasiue petru avigație. Acesta obișuia deseori să meargă cu barca pe lac ude se relaa, medita și își lua otițe. Chiar dacă u a îvățat iciodată să îoate, a avigat ori de câte ori a avut ocazia î viața sa. DESCOPERIRILE LUI EINSTEIN Meritul lui Eistei costă î aceea ce lui i se datorează formularea defiitivă î domeiul coeptului de timp si spațiu. Eistei voia u pricipiu geeral, asemăător celui di termodiamică: legile aturii sut î așa fel alcătuite îcât este imposibil să costruiești u pereptuum mobil. RELATIVITATEA Petru a etide eemplul vitezei relative, itrodus odată cu eperimetul lui Michelso- Morely, situații pot fi puse față î față. Ua costă îtr-o persoaă A mergâd cu o viteza v, îtru tre care se deplasează cu viteza u. Viteza persoaei A î raport cu u observator stațioar B, este V=u+v. MILEVA U cuplu efericit. Mileva era o fată iteligetă. Di cauza uei boli di copilărie şchiopăta cu u picior, lucru care u a împiedicat-o să obţiă o bursă şi să creeze u ou model de femeie, diamică şi idepedetă. Cu acest gâd a ales Politehica di Zurich, care era domiată de bărbaţi. Câd Albert discuta cu aceasta despre subiectul său preferat, adică fizica, simţea că vorbeşte cu u om care îi seamăă şi care îl îţelege, fapt care l-a făcut să se simtă atras de această femeie. Î paralel cu recuoaşterea sa ştiiţifică, s-au produs şi schimbări î viaţa sa persoală. Î februarie 99, a fost prouţat divorţul de Mileva Maric. Ca tieri îdrăgostiţi, îşi promiseseră uul altuia că vor alcătui u cuplu u umai î viaţă, ci şi î cercetare. Dar după căsătorie și după aşterea copiilor, rolul Milevei s-a limitat la acela de simplă gospodiă, mamă şi soţie. Îgrijidu-se de copii, Mileva rămâea îchisă î casă şi urmărea cu amărăciue evoluţia lui Eistei. Căsătoria a îceput să se clatie di 9, câd Eistei a fost acceptat ca profesor la Uiversitatea Germaă de la Praga. Mileva, efiid obişuită cu viaţa î străiătate, l-a lăsat pe Albert la Berli şi s-a îtors la Zurich împreuă cu cei doi copii. Î perioada şederii sale la Berli, Eistei a cuoscut-o pe verişoara sa văduvă, Elsa, care locuia î acelaşi oraş. Era o femeie foarte diferită de Mileva, care cosidera faima lui Eistei u lucru atural. MOARTEA UNUI GENIU 5

54 După ce a murit, î 955, trupul lui Eistei a fost icierat, iar ceuşa a fost împrăştiată, aşa cum şi-a dorit savatul. Îaite de a fi icierat, patologul Thomas Harvey de la spitalul Priceto a făcut autopsia cadavrului şi a scos creierul lui Eistei! Acesta a decis să păstreze creierul petru studiu. Deşi u avea permisiuea petru a face acest lucru, Harvey l-a covis pe fiul lui Albert Eistei că studierea creierului va ajuta ştiiţa să progreseze. La scurt timp, Harvey a fost cocediat petru că a refuzat să retureze creierul lui Eistei. CONCLUZIE Î cocluzie, u trebuie să e aștem geii și u trebuie să iubim școala, dar e trebuie ambiție și răbdare petru a ajuge ceea ce e propuem. Așa cum Albert Eistei a făcut! BIBLIOGRAFIE

55 EROII MATEMATICII Mari Bogda Gabriel şi Stăescu Rareş Adrei Şcoala Gimazială Sfâtul Vasile Ploieşti Profesor îdrumător: Iacu Valetia Moa Îceputurile matematicii u se cuosc foarte bie, îsă apariția acesteia are o strâsă legatură cu evoluția omului. Eistă scrieri coform cărora oameii şi-ar fi dezvoltat aumite abilități matematice îcă de diaite de apariția scrierii. Osul di Ishago, descoperit de arheologul belgia Jea de Heizeli de Braucourt î regiuea Ishago di Republica Democrată Cogo, care datează de 000 de ai, este cel mai vechi obiect care dovedește eisteța uei metode de calcul. Dezvoltarea matematicii ca bagaj de cuoștițe trasmise de-a lugul geerațiilor î primele ere ale civilizațiilor este legată strict de aplicațiile sale cocrete: comerțul, gestiuea recoltelor, măsurarea suprafețelor, predicția eveimetelor astroomice și, câteodată, de ritualurile religioase. De-a lugul istoriei matematicii s-au elaborat multe teoreme matematice. Acestea sut doar câteva ditre teoremele potrivite vârstei oastre: - Teorema puctelor de pe mediatoarea segmetului - orice puct de pe mediatoarea uui segmet este egal depărtat de capetele segmetului. - Teorema puctelor de pe bisectoarea ughiului orice puct de pe bisectoarea uui ughi este egal depărtat de capetele ughiului. - Teorema ughiurilor î jurul uui puct dacă două sau mai multe ughiuri sut î jurul uui puct, atuci suma lor este egală cu 60 de grade. - Teorema sumei ughiurilor uui triughi orice triughi are suma ughiurilor egală cu 80 de grade. - Teorema ughiurilor de la baza triughiului isoscel îtr-u triughi isoscel, ughiurile opuse laturilor cogruete sut cogruete. - Teorema ughiurilor triughiului echilateral îtr-u triughi echilateral, toate ughiurile acestuia au măsura egală cu 60 de grade. Uele ditre cele mai importate ume di istoria matematicii sut: - Erest Abaso ( ) a fost matematicia și igier costructor româ. El a adus cotribuții î domeiul fucțiilor periodice, î mecaică și î electricitate. - Thomas Abbt (78-766) a fost u matematicia, filozof și teolog germa. - Nicolae Abramescu a fost u matematicia româ. Abramescu preda geometrie descriptivă. Cotribuțiile sale au vizat domeiul algebrei (ecuații algebrice), al geometriei, al aalizei matematice (serii de polioame de variabilă compleă) și al mecaicii. A fost și autor de mauale. - Jack Edmods este u matematicia caadia, cosiderat a fi uul di cei mai importați specialiști î optimizare combiatorie. - George Gree a fost u matematicia și fizicia eglez. Este cuoscut petru cotribuțiile pe care le-a adus î domeiul teoriei electromagetismului. - Galileo Galilei a fost u fizicia, matematicia, astroom și filosof italia care a jucat u rol importat î Revoluția Știițifică. 55

56 - Rudolf Otto Sigismud Lipschitz a fost u matematicia germa, cuoscut mai ales petru codiția de cotiuitate di aaliza matematică ce îi poartă umele. - Aleadru Myller (. decembrie 879, București - d. 4 iulie 965, Iași) a fost u matematicia româ, membru de ooare al Academiei Româe. - Georg Friedrich Berhard Riema (7 septembrie 86 0 iulie 866) a fost u matematicia germa cu importate cotribuții î aaliza matematică și geometria diferețială. - Nicolae-Victor Teodorescu a fost u matematicia româ, membru titular al Academiei Româe, care și-a dedicat cei peste peste 65 de ai de activitate Societății de Știițe Matematice di Româia. Am dori să vă prezetăm uele ditre matematicii: cele mai iteresate curiozităţi di lumea. Cuvâtul matematică vie di grecescul mathema care îseamă a îvăța, studiu sau știiță.. Eistă șase mai mari de jumătate ca îtr-u grup cu persoae, să eiste cel puți două persoae ăscute î aceeași zi.. Poți tăia o plăcită î 8 felii di doar mișcări. 4. Majoritatea oameilor au ca cifră preferată Zero e sigurul umăr care u poate fi scris î umerale romae. Petru a-l scrie, romaii foloseau cuvâtul latiesc ulla. 6. O pizza care are raza z si îaltimea a, va avea volumul Pi z z a. 7. Cicadele folosesc umerele prime ca o strategie de supravieţuire. 8. Îtr-o listă oarecare, reprezetâd orice de la preţul uor produse la populaţia uui oraş, aproimativ 0% di umere vor îcepe cu. Mai puţie vor îcepe cu si chiar mai puţie cu şi tot aşa. Cu cât mai mare este lista şi cu cât umerele cresc, cu atât acest pater devie evidet. 9. La fel ca î lumea oameilor, î lumea matematică eistă umere iraţioale, umere perfecte si umere complee. Mai departe, la fel ca î filosofie, si î matematică eistă umere trascedetale şi, la fel ca arta, matematica îşi are şi ea umerele ei imagiare şi suprarealiste. 0. Triughiul lui Pascal îşi are rădăciile î Chia aului 00, câd Jia Xie a realizat primele studii de acest ge. Matematica îşi dovedeşte importaţa deosebită participâd cu mijloace proprii la dezvoltarea persoalităţii u umai sub aspect itelectual, ci şi sub aspect estetic şi moral, motiv petru care se completează foarte bie cu alte disciplie cum ar fi : literatura, muzica, arta, etc. Matematica este u umai iteresată şi frumoasă, ea u oferă umai bucurie, ci este şi utilă. Oricie ştie că fără matematică, tehica oastră moderă -ar fi posibilă, că ea a pătrus ca aerul î toate domeiile vieţii modere, iar viitorul depide de matematică, după cum bie a spus matematiciaul Grigore Moisil: Matematica va fi limba latiă a viitorului, obligatorie petru toţi oameii de ştiiţă. Tocmai petru că matematica permite accelerarea maimă a circulaţiei ideilor ştiiţifice. Carl Friederich Gauss: MATEMATICA ESTE REGINA ŞTIINŢELOR 56

57 SECRETUL CIOBANULUI Drăghici Mihaela Școala Gimazială Corbasca, Județul Bacău Profesor Olaru Soria Mai demult ciobaii u știau carte și ici să umere.dacă l-ai fi îtrebat pe uul ditre ei câte oi are î seama lui, ar fi ridicat edumerit di umeri sau ar fi răspus: - Numărele dumeata, că eu -am evoie de asta ca să le păzesc! El u putea spue câte oi i-au fost îcredițate, dat de îcurcat u le îcurca și ici u le pierdea. Avea u sistem al lui de a ție mite fiecare miel, berbec și oaie care aparțiea uui aumit gospodar. Dacă se rătăcea vreua, îaite de a o căuta îl vedeai că-și ridica cușma, se scărpia î cap și se îtreba: ude-o mioara cea șută a lui Bădița Toader?. De altfel cam tot așa trebuie să fi privit primii ciobai și stele de pe cer, câd le-au grupat î costelații și le-au dat ume, ca să le țiă mite. Poate că le-a vâdut și mai ușor să idetifice puctele lumioase de pe câmtul cerului, fiid majoritatea lor păstrau aceleași poziții uele fașă de altele. Uitâdu-se la ele, coturau cu mitea familiare lor: berbecul, taurul, peștii, ursamare, ursa mică, scorpioul....după aceste miui, trasmise di geerații î geerații, cuoștem și azi stelele. Dar îcepâd cu veacul al XVI-lea, umerația pozițioală scrisă a îlocuit abacul cu cifrele romae, î toate țările di Europa. Deși pri oul sistem umărul semelor a crescut de la 7 la 0, urele se scriau mai ușor, mai repede și ocupau u spațiu cu mult mai mic decât cel cerut petru același umăr, de cifrele romae. Mai mult oul sistem pozițioal permite efectuarea rapidă a calculelor pe hârtie, fără iterveția abacului u umai a aduărilor ci și a imulțirilor și împărțirilor, operații cosiderate pâă atuci imposibil de efectuat petru omul e râd. Noul sistem stârise etuziasm pri sistematizarea itrodusă la scrierea umerelor mari căci, pri împărțirea lor î clase de uități, de diferite ordie, ele puteau fi citite cu ușuriță. Cuvâtul milio, creat de Marco Polo î secolul al XIII-lea superlativ al lui Mile (000), ca să eprime pri el imesitatea oameilor și a bogățiilor di Chia, părea u umăr destul de modest față de umerele ce se puteau scrie de acum îaite cu umiri ce veeau de la sie, adăugâd termiația ilio la umele latiesc al ordiului clasei respective: bilio, trillio, catralio.... Oameilor di acele timpuri li se părea că ici o problemă u mai stă î calea umerelor, umărul cifrelor uui umăr fiid limitat doar de codițiile de ordi practic. Pâă î veacul al XIXlea umerele cu adevărat foarte mari iterveeau mai mult î imagiații decât î realitatea imediată și de aceea imic u tulbura starea de euforie și îcredere î atotputericia oului sistem pozițoal. Dar de îdată ce umerele uriașe și-au făcut apariția, î uele capitole modere ale matematicii, fizicii sau astroomiei, etuziasmul cu privire la sistemul pozițioal a îceput să se mai răcească. Câd au îceput să se repete umerele di clasa milioaelor sau a miliardelor s-a observat că u-i tocmai ușor de a scrie mereu: și cu atât mai mult ; Acestui eajus, matematicieii i-au găsit u leac, itroducâd otația epoețială. Deși vă emai bie cuoscută, am să o amitesc. Î loc de 00=0 umărul fiid epoetul lui 0. se poate scrie 57

58 El arată că după urmează zerouri. La fel 000 se poate îlocui cu, iar 000= =. Î același scrie mod u milio se poate, iar =. Trebuie să recuoaștem că otația epoețială a itrodus o foarte mare simplificare, dar ea u poate fi folosită decât atuci câd cifrele de la sfârțitul umărului sut zerouri și u cifre îsemătoare. Iată îsă o problemă care u se mai poate rezolva așa de ușor, deși, la prima vedere u pare de loc fioroasă!să presupumem că scriem u umăr compus di 50 de cifre pe u râd îtreg ditr-o carte. Fie de eemplu: BIBLIOGRAFIE: Cum au apărut umerele Florica T. Câmpa Editura Io Creagă 97 58

59 Ala Turig Drăghici Flavia Colegiul Naţioal Aleadru Ioa Cuza Profesor Cătălia Aca Isofache Ala Turig este cosiderat u Eistei al matematicii și omul care a gâdit ce ar trebui să facă u computer, iar datorită ideii sale, cel de-al Doilea Război Modial ar fi fost scurtat cu doi ai și 4 milioae de vieți. Ala Turig a fost u matematicia și criptograf britaic ăscut pe iuie 9. El este cosiderat păritele computerelor și al iteligeței artificiale, precoizâd că mașiile vor putea gâdi, chiar dacă u o vor face idetic oameilor. Î fapt, eistă și u test care îi poartă umele petru a verifica dacă u computer poate fi cosiderat om. Computerul trebuie să covigă trei judecători, iar aul trecut u algoritm a reușit să treacă drept u băiat de ai î ochii uui judecător, dar eperții u s-au grăbit să afirme că acesta e îceputul oii ere a iteligeței artificiale. Viața lui a fost țiută secretă timp de aproape șase deceii, deoarece a fost cel mai importat om pe care l-a avut Marea Britaie, și chiar lumea, î lupta cu Germaia azistă. Alături de o echipă de matematiciei și criptografi, Turig a îcercat și a reușit să spargă codul Eigma folosit de germai, creâd u computer special petru acest scop. Cum fucţioează ENIGMA Eigma a fost coșmarul Aliaților î Al Doilea Război Modial, iar Turig s-a gâdit că doar o mașiă poate bate o mașiă și u cod crezut imposibil de spart. Eigma fucțioa după u pricipiu simplu, î apareță. Este dotată cu o tastatură pri care se itroduce tetul, literă cu literă, dar iese u alt mesaj și doar cie are cheia potrivită îl poate citi. Cheia se schimba î fiecare zi, de aceea Aliații au avut mult de mucă pâă să spargă codul. Mașia Eigma cotrolează fiecare simbol pri rotoare, iar germaii au ales să schimbe codul zilic ca iamicii să u aibă timp să găsească cheia potrivită. 59

60 Mașia creată de Turig petru a descifra codurile Eigma s-a umit Bombe și Victory. Mai mult, ce a reușit Turig să facă a fost să eficietizeze o creație a uei echipe poloeze care a reușit să spargă codul Eigma î aii 0. Ala Turig a pus fudametele iformaticii modere, a defiit criteriile iteligeței artificiale și a descifrat codurile folosite de armata germaă. Mulți istorici cofirmă că acest lucru ar fi salvat viețile a milioae de oamei, pri scurtarea duratei războiului, și a fost foarte aproape de a rezolva o eigmă biologică care îi pasioează și î zilele oastre pe oameii de știiță. Î 96, Ala Turig, care auțase că vrea să costruiască u creier, a publicat u articol î care a descris mașia uiversală Turig. El a fost astfel primul om de știiță care dorea să creeze programe petru o mașiă, sub formă uor date, care îi permiteau acesteia să îdepliească mai multe sarcii î același timp, așa cum o fac computerele di zilele oastre. Atuci câd mașia lui a fost costruită efectiv de alți savați î 950, prima versiue a modelului Automatic Computig Egie (ACE) creat de Turig era cel mai rapid calculator di lume Petru marele public, cea mai mare reușită a lui Turig rămâe îtr-adevăr spargerea codurilor folosite de mașia Eigma, utilizată de submariele germae di Atlaticul de Nord petru a comuica ître ele. Aumiți istorici cosideră că această realizare de geiu a grăbit căderea lui Adolf Hitler, care altfel ar mai fi rezistat la putere îcă u a sau doi După Al Doilea Război Modial, Turig a eplorat domeiul iteligeței artificiale, defiidu-i criteriile logice, aflate îcă î vigoare și î zilele oastre, cocepâd celebrul test Turig, care se bazează pe capacitatea uei mașii de a susție o coversație. Altfel zis, u computer este cu adevărat iteliget doar atuci câd oameii u vor mai putea să facă difereță ître răspusurile oferite de mașiă și cele oferite de o fiiță umaă Pasioat de biologie, Turig și-a folosit taletele sale de matematicia și î domeiul morfogeezei, îcercâd să descifreze motivul petru care aimalele și platele dezvoltă aumite modele î ceea ce privește forma sau culoarea. U eemplu ar fi dugile zebrelor sau petele vacilor de lapte, teorii care îi preocupă îcă și î zilele oastre pe oameii de știiță 60

61 Emaoil Davidescu Rădulescu Răzva-Cristia Colegiul Națioal Mihai Emiescu, București Profesor îdrumător Săvulescu Dumitru Emaoil Davidescu ( martie 87-8 august 905) era fiul uui coductor tehic clasa I, Io Davidescu, care a lucrat pe timpul lui Cuza Vodă la șoseaua Popiești-Predeal. A avut alți trei frați, toți igieri distiși: Nicolae Davidescu care a lucrat la costrucția podului de la Ceravodă; Costati Davidescu fost director al Serviciului hidrauluic și Aleadru Davidescu, fost secretar geeral al Miisterului Lucrărilor Publice, șeful serviciilor tehice ale Capitalei și uul di distișii profesori de la Școala de poduri și șosele și apoi de la Școala politehică di București. Ca și frații săi, Emaoil Davidescu a fost u valoros tehicia. Imediad după ce a ieșit igier, a realizat alimetarea cu apă a orașului Siaia și a costruit toate podurile boltite de pe șoseaua Siaia-Morei-Târgoviște. Pe urmă a făcut recepții de poduri metalice di Italia. A murit tâăr, la 4 de ai. U articol despre viața și activitatea lui a apărut î Gazeta matematică. Gazeta Matematică este o revistă de matematică di Româia, prima de acest ge apărută î limba româă. A fost fodată de zece igieri româi: Io Ioescu-Bizeț, Vasile Cristescu, Victor Balaba, Mihail Roco și Io Zottu, cărora li s-au alăturat Emaoil Davidescu, Mauriciu Kibaum, Nicolae Niculescu, Tacred Costatiescu și Adrei Ioachimescu. Revista a fost fiațată de fodatori, fiecare cotribuid cu câte douăzeci de lei aur. Primul umăr al gazetei a apărut la data de 5 septembrie 895, la o zi după iaugurarea festivă a Podului "Regele Carol I" de la Ceravodă, avâd deviza: etuziasm, armoie, sacrificii cotiue, mucă deziteresată. Î august 909 redactorii au decis îfiițarea Societății Gazeta Matematică, societate care a fost recuoscută pri lege de Aduarea Deputaților la data de 5 aprilie 90. Numele societății a fost schimbat ulterior î Societatea de Matematică și Fizică, iar apoi î Societatea de Știițe Matematice di Româia (cuoscută și pri acroimul SSMR). SSMR a orgaizat și prima Olimpiadă Iterațioală de Matematică, î 959 la Brașov. Î aul 988 tirajul Gazetei Matematice a ajus la de eemplare, ca după 990 să scadă dramatic. Bibliografie Istoria Matematicii î Româia, Vol. I de George St. Adoie, București Pagia web oficială a Gazetei Matematice Pagia web a Societății de știițe Matematice di Româia coție iformații despre seriile Gazetei Matematice Gazeta Matematică 5 ai de apariție, 7 aprilie 00, Cof. Uiv. Dr. Mari Vlada, Descoperă Softwi a lasat îtreaga colecție de 0 ai a Gazetei Matematice, î format electroic, 8 octombrie 005, Amos News - Pagia web oficială a Olimpiadei Iterațioale de Matematică (î egleză, fraceză, germaă, rusă și spaiolă) 6

62 Eemple şi cotraeemple ȋ geometrie Peşa Carla Liceul Teoretic Tudor Arghezi, Craiova Prof. ȋdrumător: Popa Adreea Mihaela Tezaurul ştiiţific al uei ştiiţe se formează şi se păstrează de la o geeraţie la alta pri itermediul teoriilor, eperimetelor, limbajelor şi mediilor de stocare a cuoaşterii. De asemeea, evoluţia cuoşterii este determiată de atura şi performaţa reprezetării şi stocării. Astăzi, se poate afirma că piloii CUNOAŞTERII sut reprezetaţi de : limbaje, teorii, metode şi tehici, medii de reprezetare şi stocare, de procesul îvăţării. Cuvâtul matematică vie di grecescul μάθημα (máthema) care îseamă "ştiiţă, cuoaştere sau îvăţare"; μαθηματικός (mathematikós) îseamă "cel care îdrăgeşte îvăţarea". Astăzi, Matematica este ua di cele patru ştiiţe eacte: matematică, fizică, chimia şi iformatică. Aceste ştiiţe eacte sut importate î dezvoltarea cuoaşterii, deoarece la baza ivestigaţiilor şi studiilor, au metode ştiiţifice, observaţia, eperimetul, raţioametul, gâdirea ştiiţifică şi cea algoritmică. Grigore C. Moisil (906-97) spuea că Tot ce e gâdire corectă, e matematică sau modelare matematică. Î schimb Filosofia (di greacă - υιλοσουια: dragoste de îţelepciue) descrie oţiui şi idei petru cuoaşterea formelor şi proceselor gâdirii. Studiile filosofice u se bazează pe eperimet, observaţii şi metode ştiiţifice, ci pe formularea problemelor şi defiirea uor soluţii şi pricipii. Primii filosofi au fost matematiciei, fiziciei şi practiciei ai ştiiţelor aturale. Ştiiţele au apărut şi s-au dezvoltat di doriţa şi pri capacitatea oameilor privid acumulare de CUNOŞTINŢE, ABILITATE şi COMPETENŢE î rezolvarea problemelor ce apar î competiţie cu atura, î adaptarea la u mediu de viaţă, î îţelegerea feomeelor şi proceselor, î dezvoltarea propriei persoalităţi. Aceste deziderate ale oameilor au fost posibile pri MODELARE şi REPREZENTARE, pri observaţii, cercetări şi siteze, pri eperimet şi ordoare a cuoaşterii. Să mai remarcăm petru îceput că,după părerea şi a oastră,problemele de matematică icitate sut mai ales acelea care coţi o afirmaţie A clar formulată şi despre care se cere să stabilim dacă e adevărată sau falsă;sutem aşadar î dubiu avem de demostrat sau de ifirmat A. Petru a demostra A trebuie să căutăm propoziţii di care,sau strategii pri care,am putea deduce afirmaţia A;petru a ifirma A,trebuie să căutăm u cotraeemplu.să mai adăugăm aici că eistă afirmaţii plauzibile,dar îcă edemostrate şi ici ifirmate:aşa-umitele cojecturi. Î ziua de azi, î discutiile sau discursurile legate de studiul matematicii î şcoală, apar î pricipal două tipuri de opiii: pe de o parte discursul de tipul competeta matematică este ua di cele opt competete-cheie defiite la ivel europea, aşa că evoia de studiu al cotiuturilor matematice este evidetă şi idiscutabilă,iar pe de altă parte discursul de tipul deja u se mai poate vorbi doar de matematică şi ştiite, sut opt competete-cheie la ivel europea şi ele u pot fi obtiute dacă se pue accet pe aceeaşi discipliă, pe acelaşi tip de predare bazată pe cotiut, pe ceea ce elevul trebuie să ştie sau, mai rău, să memoreze. Î mod clar, ambele tabere au partea lor de dreptate şi poate că î ratioametul fiecăreia se pot idetifica mai greu greşeli. Dar multi ditre oi ştim, e drept de la fizică, faptul că studiul evolutiei uui proces depide de sistemul de referită, adică de u sistem de coordoate, de ae ortogoale sau u. Ceea ce îseamă matematică. Reitrâd îtr-u registru mai serios, e putem gâdi la acea parabolă care prezită descrierile pe care doi oamei legati la ochi le fac uui elefat (u văzuseră pâă atuci u asemeea aimal), uul atigâd piciorul şi uul atigâd urechea. Aşa cum era de aşteptat, fiecare ditre ei a făcut o descriere etrem de diferită şi 6

63 amăutită, ambii fiid etrem de covişi de dreptatea lor petru că se bazau pe acuratetea cu care făcuseră observatiile. Etrapolâd, putem afirma că studiul matematicii î şcoală are foarte multe fatete. Şi trebuie să u fim legati la ochi şi să le vedem pe cât mai multe. Partiza fiid, cred că studiul matematicii î şcoală este esetial. Dar, atuci câd mă refer la studiul matematicii, mă refer atât la frumusetea uor probleme, a uor idei accesibile î primul râd celor pasioati şi celor care aprofudează pri mucă acest studiu, dar mai ales, şi aici mă refer la majoritatea elevilor, este vorba de studiul care u pleacă de la o problemă formulată î termei matematici. Este vorba de studiul uei situatii reale (chiar dacă matematizată), la evaluarea corectă şi completă a uei situatii, la etragerea uei idei de urmărit sau a uui rezultat care trebuie obtiut, la argumetarea pri eemple şi cotraeemple a alegerii ideii şi la rigoarea ratioametului făcut. Atuci cad avem ȋ faţă u subiect şi dorim să facem u studiu asupra lui, vom atige scopul puȃdu-se mereu ȋtrebări şi găsid răspusuri pȃă cȃd rezultatele obţiute se costutuie ȋtr-u sistem/teorie ce epuizează subiectul. Pe parcus, vom fi mereu ȋ situaţia de a vedea dacă o afirmaţie pe care o formulăm este adevarată sau falsă. Petru a demostra că o afirmaţie este adevarată, deseori folosim diverse metode şi procedee cuoscute, iar ueori trebuie să e descurcăm cu,,forţe proprii. Pe de altă parte, petru a dovedi ca o afirmaţie este falsă, adesea se idic u cotraeemplu, fară ca acesta să fie sigurul mod de a proceda. Scopul propus este de a vedea cum se costruieşte u cotraeemplu. Faptul u este lipsit de iteres, căci obţierea uui cotraeemplu poate fi etrem de dificilă. Defiiția poligoului regulat, eemple și cotraeemple Clasa a 7-a Defiiție: U poligo regulat este u poligo cu toate laturile şi toate ughiurile respectiv cogruete. Triughiul regulat este triughiul echilateral. Eemplu Patrulaterul regulat este pătratul. Eemplu 6

64 Poligoul regulat cu 6 laturi se umește heago regulat. Ateție: Rombul are laturile cogruete dar u eapărat și ughiurile, deci u este poligo regulat. Dreptughiul are ughiurile cogruete dar u eapărat și laturile, deci u este poligo regulat. Bibliografie: CT Da, ST Chiosa, Didactica matematicii, Ed UivCraiova,

65 Faimosul matematicia Pitagora Codiță Maria-Aleadra și Bolova Mălia-Aleadra Școala: Gimazială Sfâtul Nicolae Profesor îdrumător: Giorgi Victoria Pitagora a fost u filosof și matematicia grec, origiar di isula Samos, îtemeietorul pitagorismului, care puea la baza îtregii realități teoria umerelor și a armoiei. Î afară de plăcerea de a lucra si de a pue bazele matematicii, acesta mai era și coducătorul Partidului Aristocratic di Crotee (î sudul Italiei). Di păcate, scrierile sale u s-au păstrat. Tradiția îi atribuie descoperirea teoremei geometrice și a tablei de îmulțire, care îi poartă umele. Ideile și descoperirile lui, u pot fi deosebite cu certitudie de cele ale discipolilor apropiați. Pitagora a fost u mare educator și îvățător al spirutului grecesc și se spue că a fost și u atlet puteric, așa cum stătea bie atuci poeților, filosofilor și comadaților militari. Pitagora a preluat diferite teoreme pe care le-a îmbuătățit și le-a redeumit după el îsuși. Pitagora pare să u fi scris imic. Doctria filosofică a pitagorismului e este totuși destul de bie cuoscută di lucrările lui, precum și di lucrări ale pitagoricieilor de mai târziu. Totuși u se poate stabili cu precizie ce aparție lui Pitagora si ce adaugă pitagoricieii lui ulteriori. Prezetarea filosofiei lui Pitagora Ideea filosofică pricipală a pitagorismului este că umerele reprezită eseța lucrurilor, iar uiversul este u sistem ordoat și armoios de umere și raporturi umerice. Doctria despre umăr: -Moada Puctul de plecare al teoriei pitagoreice despre pricipiul umeric al lumii este uitatea sau moada. 65

66 Moada este pricipiul, eseță a lucrurilor, deoarece orice lucru este uu (este o uitate). Î acest ses Uitatea u este umăr, ci geeratoare a umerelor. -Doimea edefiită: Al doilea pricipiu cosmologic este doimea sau diada edetermiată. Ea este edetermiată fiidcă are o atură pură. Teorema lui Pitagora Defiiție: -Itr-u triughi dreptughic suma pătratelor catetelor este egal cu ipoteuza la pătrat (pătratul ipoteuzei). Fie triughiul ABC dreptughic, m (<A) = 90 o Cosecițe: BC =AC +AB ; AB=BC -AC ; AC=BC -AB ; Teorema lui Pitagora geeralizată: Î orice triughi, pătratul uei laturi este egală cu suma pătratelor celorlalte două mius dublul produsului ditre cele două laturi și cosiusul ughiului cupris ître ele. 66

67 BC =AC +AB -AC AB cosa Bibliografie: Cosma, D., Socrate, Bruo, Galilei î fața justiției, Editura Sport-Turism, București, 98 Beral, J. D., Știița î istoria societății, Editura Politică, București, 964 Egleză o Bell, Joh L. (999). The Art of the Itelligible: A Elemetary Survey of Mathematics i its Coceptual Developmet. Kluwer. ISBN o Euclid (956). Traslated by Joha Ludvig Heiberg with a itroductio ad commetary by Sir Thomas L. Heath. ed. The Elemets ( vols.). Vol. (Books I ad II) (ed. Reprit of 908). Dover. ISBN O-lie tet at Euclid o Heath, Sir Thomas (9). The 'Theorem of Pythagoras'. A History of Greek Mathematics ( Vols.) (ed. Dover Publicatios, Ic. (98)). Claredo Press, Oford. p. 44 ff. ISBN o Libeskid, Shlomo (008). Euclidea ad trasformatioal geometry: a deductive iquiry. Joes & Bartlett Learig. ISBN This high-school geometry tet covers may of the topics i this WP article. o Loomis, Elisha Scott (968). The Pythagorea propositio (ed. d). The Natioal Coucil of Teachers of Mathematics. ISBN For full tet of d editio of 940, see Elisha Scott Loomis. The Pythagorea propositio: its demostratios aalyzed ad classified, ad bibliography of sources for data of the four kids of proofs. Educatio Resources Iformatio Ceter. Istitute of Educatio Scieces (IES) of the U.S. Departmet of Educatio. Accesat la 4 mai 00. Origially published i 940 ad reprited i 968 by Natioal Coucil of Teachers of Mathematics, isb= o Maor, Eli (007). The Pythagorea Theorem: A 4,000-Year History. Priceto, New Jersey: Priceto Uiversity Press. ISBN o Stillwell, Joh (989). Mathematics ad Its History. Spriger-Verlag. ISBN Also ISBN o Swetz, Frak; Kao, T. I. (977). Was Pythagoras Chiese?: A Eamiatio of Right Triagle Theory i Aciet Chia. Pesylvaia State Uiversity Press. ISBN o va der Waerde, Bartel Leedert (98). Geometry ad Algebra i Aciet Civilizatios. Spriger. ISBN o Alfred S. Posametier: The Pythagorea Theorem: The Story of Its Power ad Beauty. Prometheus Books 00, ISBN

68 Formule petru trasformarea sumei î produs și ivers Dragomir Cosmi Colegiul Națioal Mihai Emiescu Bucureşti Profesor îdrumător: Săvulescu Dumitru Î acest referat dorim să ilustrăm formulele trigoometrice care trasformă sume î produse și apoi formulele care trasformă produsele î sume sau diferețe. Urmează rezolvarea a mai multor eerciții, iar î ultima parte propuem o listă cu probleme propuse petru cei care sut iteresați de aceast tip de eerciții. Î fial se află bibliografia. Formule petru trasformarea sumei î produs a b a b a b a b si asi b si cos ; si asi b si cos ; a b a b a b a b cos acosb cos cos ; cos a cosb si si ; tg a + tg b = tg( a b ) ; tg a tg b = tg( a b ) ; cosacosb cosacosb ctg a + ctg b = si( a b ) ; ctg a ctg b = siasib si( ab). siasib Eerciţii rezolvate. Scrieţi sub formă de produs: a) si 75 + si 5 ; b) si 05 + si Soluţie. a) si 75 si5 si cos si 45cos0 6 = ; b) si05 si5 si cos si 45 cos 60.. Trasformaţi î produs: a) 7 cos cos ; b) cos cos. Soluţie. a) cos cos = cos cos cos cos ; b) cos cos = si si si si Trasformaţi î produs: a) 9 tg tg ; b) ctg 8 ctg

69 Soluţie. 9 si si5 si5 tg tg ; cos cos cos cos cos cos b) ctg 8 ctg 4 = si 6 si8si 4. Formule petru trasformarea produselor de fucţii trigoometrice î sume sau difereţe si a cosb si( a b) si( a b) ; ; cos a cosb cos( a b) cos( a b) si asi b cos( a b) cos( a b). Eerciţii rezolvate. Calculaţi: a) 8cos cos cos ; b) si cos si Soluţie. a) Notăm = si si cos 4cos cos cos cos cos şi îmulţim ambii membri cu si 0. Avem si si 4cos cos si si cos cos si si cos. Dar si si = si şi atuci si si cos si si. Avem si si = si. Deci si si şi cum 0, rezultă si 0 şi atuci =. 7 7 b) Se procedează aalog: otăm m = cos 0 4. Avem mcos si cos cos si mcos si si si cos si pe care o îmulţim cu cos4, mcos si cos si mcos cos cos mcos cos Verificaţi idetităţile următoare (pe domeiul lor de defiiţie): tg tg y ctg ctg y a) tg tg y = ; ctg ctg y =. ctg ctg y tg tg y m. 8

70 tg tg y Soluţie. tg tg y = se îmulţeşte cu ctg + ctg y care este eulă şi avem: tg ctg ctg y tg y(ctg + ctg y) = tg + tg y tg ctg tg y + tg tg y ctg y = tg + + tg y tg y + tg = tg + tg y (A). b) Procedăm aalog ca la a) şi avem: ctg ctg y(tg + tg y) = ctg + ctg y ctg tg ctg y + ctg ctg y tg y = = ctg + ctg y ctg y + ctg = ctg + ctg y (A).. Calculaţi sumele trasformâd î produse: a) si 45 + si 5 ; b) 7 si si ; c) cos 60 + cos 0 ; d) cos cos ; e) tg 05 tg 75 ; f) tg ctg ; g) si cos ; h) cos 0 cos Soluţie. a) si 45 + si 5 = si cos si 0 cos5 cos5 cos5. cos5 =cos(45 0 )=cos 45 cos 0 si 45 si0 = ; b). Deci si 45 +si5 = 7 cos si si = si si ; 6 c) cos 60 + cos 0 = cos 45 cos 5 = ; 4 d) cos cos = si si si. Dar 6 6 e) tg 05 tg 75 = si(05 75 ) si 0 cos05 cos 75 cos05 cos 75 cos05 cos 75 ; 6 si si si cos si cos ; f) g) si si tg tg ctg = tg tg tg tg ; cos cos cos cos cos si cos = 7 7 si si si si si ; (cos 0 40 ) cos(40 0 ) (cos60 cos 0 ) cos 0. h) cos 0 cos 40 = 4. Calculaţi: a) 5 5 si cos 5 5 si cos ; b) tg ctg. 5 5 cos si Soluţie. a) 5 5 si cos 5 5 si cos si 0 cos0 si cos = si 0 cos0 si cos 70

71 5 5 si si si cos = 4 6 ; b) 5 5 si si si cos 6 4 tg ctg tg ctg = 5 5 cos si cos si 5 si 5 5 tg tg cos cos = 5 5 si si si cos cos cos cos si 4 5. Scrieţi sub formă de produse: a) E si si si 5 ; b) E si si si5 si 7 ; 4. si 6 c) E si si y si z si( y z) ; d) E4 si( y) si( y z) si( z ). Soluţie. a) E (si si 5 ) si si cos si si ( cos ) = si cos 4si 4 cos ; b) E (si si 7 ) (si si5 ) = si 4 cos si 4 cos si 4 (cos cos ) si 4 si si = 4 si si si 4 ; c) E y z y z (si si ) si si( ) y y y y z y y y z = si cos si cos si cos cos y z y z = 4si si si ; d) E4 si( y) si( y z) si( z ) z y z 7 z z y z z = si cos si cos si cos cos y y z z = 4si si si. 6. Arătaţi că: (cos a cos a ) (si a si a ) 4 ctg a. (cos a cos a) (si a si a) Soluţie. Avem: a a a a cos cos si cos (cos a cos a) (si a si a) (cos a cos a) (si a si a) a a a a si si si cos = a a a 4cos cos si a 4 ctg a a a si cos si. 7

72 EXERCIŢII PROPUSE. Calculaţi: a) si si ; b) si 45 si 5 ; c) cos cos ; 6 6 d) cos 45 + cos 5; e) tg tg ; f) tg 45 tg Trasformaţi î produs următoarele epresii: a) si + tg ; b) si cos + si y cos y; c) si cos si y cos y.. Aduceţi la forma cea mai simplă epresiile: a) E y y (cos cos ) (si si ) ; si 5 si b) E si ( y) si ( y) ; c) E. cos cos 4 si sicos (tg tg ) 4. Arătaţi că epresia E. cos( ) cossi 5. Verificaţi următoarele idetităţi: a) si a si b si a si b cos( a b) ctg( ba) ; b) ; cos a cos b cos( a b) cos( a b) cos 5 cos 4 si si 6a c) ; d) si 5a si 4a si a si a. si 7 si si 5 cos a 6. Demostraţi că petru valorile admisibile ale lui a avem: a) si a si a si a tg a ; b) cos a cos a cos5 a cos7 a tg a. cos a cos a cosa si a si a si 5a si 7a 7. Arătaţi că: a) ctg 0 ctg 0 cos7 si 7 cos8 si8 cos0, b) ctg 0 ctg40 cos7 si 7 cos8 si Arătaţi că: si cos si 6 a b b c c a 9. Demostraţi idetitatea: si a si b si c si( a b c) 4si si si. 0. Scrieţi epresia următoare sub o formă mai simplă: E( ) cos cos cos cos 4 cos5 cos6. Deduceţi egalitatea: cos0 cos40 si0 4 cos0 si 0. BIBLIOGRAFIE. L. Niculescu, I. Pătrașcu, D. Seclăma, M. Gălăteau, EXERCIȚII ȘI PROBLEME DE MATEMATICĂ petu clasa a IX-a, Editura CARDINAL, Craiova, N. Dragomir, O. Blag, C. Dragomir, TRIGONOMETRIE, EXERCIȚII ȘI PROBLEME petru clasele IX-X, Editura UNIVERSAL PAN, București, Colecția GAZETA MATEMATICĂ I. V. Maftei, D. Oros, F. Voricescu, M. Nicolescu, C. Nicolescu, Geometrie și trigoometrie, eerciții și probleme petru clasele a IX-a și a X-a, Editura UNIVERSAL PAN, București,

73 Gheorghe Vrăceau fodatorul geometriei modere î Româia, uul ditre marii matematiciei ai lumii Gîrbă Daria Elea Colegiul Naţioal Pedagogic Ştefa cel Mare Bacău Profesor Heisu Acuţa Motto: Geometria este ştiiţa spaţiului î care trăim Gheorghe Vrăceau Gheorghe Vrăceau, fiul Aicăi şi al lui Costache Vrăceau, s-a ăscut la 0 iuie 900, î satul Valea Hogei, comua Lipova, judeţul Vaslui (astăzi, localitatea ţie de judeţul Bacău). Aici şi-a petrecut copilăria şi a îvăţat, aproape sigur, să citească de pe abecedarul lui Io Creagă. Valea Hogei.Comua Lipova. Judetul Bacău. Locul ude s-a ăscut Demiurgul spaţiilor eoloome (după cum frumos spue prof. Georgeta Simio Potâga), marele matematicia al lumii - Gheorghe Vrăceau. Puţii ştiu asta. Mulţi habar u au că pe uliţa î jos, mai la vale de primărie, după cum spu localicii, la colţ cu şcoala ce-i poartă umele e casaî care s-a ăscut cel care a dat o altă orietare Geometriei difereţiate.o casă mică, modestă, cu o curte iterioară igustă, icojurată de o gradiă de flori. Mometele importate care i-au direcţioat îtreaga carieră au fost î umăr de trei. Primul este costituit de timpul petrecut î şcoala primară, avâdu-l că îvăţător pe Gh. Arautescu. Cel de-al doilea momet îcepe î aul 9, după promovarea eameului de îcheiere a ciclului primar, care se ţiea î comu cu toate şcolile di jur şi ude tâărul Gheorghe Vrăceau a rezolvat o problemă pritr-o metodă etrem de simplă, stârid uimirea îtregii comisii. Î 96, devie elevul Liceului Vaslui î cursul superior, pe care îl termiă î 99, promovâd două clase îtr-u a. La bacalaureat a impresioat atât de tare comisia, îcât uul ditre membri a spus: Dacă Vrăceau ar fi răspus primul, ceilalţi ar fi trebuit să cadă aproape toţi. Al treilea momet importat, îceput î 99, îl costituie Facultatea de Matematică a Uiversităţii Aleadru Ioa Cuza di Iaşi, ude i-a avut alături pe profesorii Aleadru Myller şi Simeo Saielevici. Eameele aului îtâi i-au determiat pe profesorii studetului Gheorghe Vrăceau să-i aducă umai laude. Î cel de-al doilea a, este socotit, deja, cel mai bu studet di uiversitate, iar profesorul Simeo Saielevici îl umeşte preparator la catedra de aaliză. Î aul următor, acelaşi profesor îl umeşte asistetul său. Pe profesorul Simeo Saielevici, Gheorghe Vrăceau l-a veerat î permaeţă, cosiderâdu-l metorul sau spiritual. La maturitate, va face următoarea mărturisire: La Uiversitatea di Iaşi, profesorii Aleadru Myller şi Simeo Saielevici au iflueţat hotărâtor cel de-al treilea momet de răscruce al legăturilor mele cu ştiiţa matematicii; ei m-au determiat să aleg calea cercetării ştiiţifice, îmbiată strâs cu muca didactică (Georgeta Simio-Potaga Gheorghe Vrăceau. Demiurgul spaţiilor eoloome, Editura Orio, Bucureşti, 998). Opera sa matematică îsumează peste trei sute de memorii, lucrări și articole publicate î reviste de mare circulație și cupride toate ramurile geometriei modere, de la teoria clasică a suprafețelor, la oțiuea de spațiu fibrat, la care a descoperit domeii oi, a creat modele eficiete și a rezolvat probleme importate. S-a ocupat de: spații eoloome, calculul diferețial absolut al cogruețelor, mecaică aalitică, geometrizarea ecuațiilor cu derivate parțiale de ordiul al doilea, teoria uitară 7

74 eoloomă, spații cu coeiue coformă, spații parțial proiective, grupuri Lie, geometrie globală, grupuri de mișcări ale spațiilor cu dimesiue afiă, spații cu coeiue local euclidiaă, tesori armoici, spații Riema cu coeiue costată, curbura uei varietăți diferețiabile, scufudarea spațiilor curbe î spațiul euclidia, subvarietăți pe sferă, metoda de echivaleță, spații cu coeiue eliiară și geometrizarea sistemelor mecaice. Rezultatele sale au ifluețat opera uor matematiciei ca: T. Y. Thomas, V. V. Wager, K. Yao, A. G. Walker, K. Nomizu, S. Kobayashi. A fost ales membru corespodet al Academei Româe î 948 şi titular î 955. Î 964 este ales preşedite al Secţiei de Ştiiţe Matematice a Academiei Româe, fucţie deţiută pâă la sfârşitul vieţii. Meritele sale didactice şi ştiiţifice au fost recuoscute î multe feluri. A fost membru al Academiei Peloritaă dei Pericolati di Messia, membru al Academiei de Ştiiţe di Belgia, membru al Academiei Regale di Liege. Uiversităţile di Bologa şi Iaşi i-au acordat titlul de Doctor Hooris Causa. A cofereţiat î mari cetre matematice di lume şi a colaborat cu mari geometrii ai timpului său (E. Carta, S.S. Cher, M. Morse ş.a.). Opera matematică a lui Gheorghe Vrăceau cupride, î special, lucrări de geometrie difereţială cu aplicaţii î mecaică aaliticăși fizică teoretică. Pe baza uei cocepții proprii și a uor metode origiale legate de folosirea teoriei cogruețelor, a obțiut rezultate de mare importață î spatiile eoloome, Riema, cu coeiue, grupurile Lie și î geometria diferețială globală. Cotribuțiile sale știițifice au fost sitetizate î lucrarea fudametala ititulată Lecții de geometrie diferețială, î patru volume, tradusă î limbile fraceză si germaă. Creația care i-a adus celebritatea î domeiul geometriei diferețiale, o costitue spatiile eoloome, descoperite î perioada ieșeaă a activității sale. Îtreaga operă a profesorului Gh. Vrăceau este străbătută de ideile de eoloomie, de etiderea programei de la Erlage, de metoda cogruețelor și de geometrizarea sistemelor mecaice. Ispirat de școala de geometrie de la Iași, el a creat și la București o scoală de geometrie diferețială, care a dat țării umeroase geerații de profesori și cercetători. A coferețiat î marile uiversități di Roma, Bologa, Geeva, Paris, Nice, Berli, Praga, Varsovia, Budapesta, Moscova, Kiev, Beijig, Stockholm, Harvard, Priceto. S-a stis di viata la 7 aprilie 979, lasâd î urma o operă moumetală, cuprizâd moografii, tratate, mauale, articole și memorii publicate î reviste de prestigiu. Aprecierile privid viaţa, activitatea şi opera matematiciaului Gheorghe Vrăceau sut umeroase. Vastitatea problemelor abordate, diversitatea lor, soluţiile igeioase, metodele fecude, spiritul ovator şi strădaia eobosită de promovare a ideilor modere îl caracterizează pe Gheorghe Vrăceau ca pe uul ditre marii geometri ai lumii Radu Miro, Gazeta Matematică r. 0/979; A fost, cum se spue î popor, u om bu la suflet, cu o porire aturală de a-i ajuta pe semeii săi. Ştiiţa u l-a îfumurat, ci l-a îobilat. Cel mai mare geometru al Româiei î îtreaga perioadă scursă de la moartea lui Ţiţeica şi uul ditre marii şefi de şcoală ai ştiiţei româeşti va stimula multe geeraţii de aici îaite academicia Solomo Marcus, Di Valea Hogei la Priceto. "Sut mâdru ca mă umăr pritre profesorii Colegiului Natioal «Gh. Vrăceau», care poartă umele uui mare matematicia cu o cotribuție remarcabilă la știița uiversală. El a creat o scoală puterică de Geometrie moderă, de aceea este socotit drept îtemeietorul geometriei modere româești."prof. Gabriel Adrei, director Colegiul Natioal "Gh.Vrăceau" Bacău "Gheorghe Vrăceau u este doar matematiciaul de avergură modială, ci și omul de cultură autetic, iteresat de spiritualitatea locală, ca parte a spiritualității ațioale. Fără ici o eagerare, așa cum se vorbește despre «spatiile eoloome» ale lui Gheorghe Vrăceau, tot astfel se pot recuoaste spatiile spirituale di zoa Lipovei, dispre Valea Hogei cătreașezările di jur."cof.uiv.dr. Ioa Dăilă, Uiversitatea "Vasile Alecsadri" Bacău 74

75 ION IONESCU-BIZET ( ) Simio Vaessa si Aleadru Șerba Profesor idrumator Butac Ecateria Colegiul de Artă Carme Sylva, Ploiești Fodatorul Gazetei matematice, costructor de poduri metalice, uul ditre ctitorii ivatamatului igieresc di tara oastra ION IONESCU- BIZET a fost u savat matematicia si igier, profesor la Uiversitatea Politehică di Bucuresti, itemeietorul Gazetei Matematice si fodatorul Societații de Știițe Matematice di Româia, membru corespodet al Academiei Romae si costructorul podului metalic curb de cale ferată și șosea de la Giurgiu, la acea vreme, i 905, sigurul de acel ge di lume. Dupa termiarea scolii primare, a urmat ca bursier cursurile Liceului Comercial si lucra cotabilitatea uor mici firme, petru a-si ajuta paritii si fratii mai mici. Ecelet matematicia, atras de igierie, i aul 889 a dat cocurs de admitere la Scoala Natioala de Poduri si Sosele di Bucuresti, reusid sa fie admis pe primul loc. I aul 894 a obtiut diploma de igier. Imediat a fost umit igier asistet la Directia Geerala a Cailor Ferate si i aceeasi zi admis ca membru i Corpul Tehic. Ca studet, dadea meditatii la matematica. Astfel, el a observat slaba pregatire a elevilor de liceu si a colegilor sai de la facultate, la matematica. Acest fapt l-a determiat sa ifiiteze Gazeta matematica, impreua cu alti colegi igieri tieri. Fodatorii acestei reviste au fost Io Ioescu- Bizet, Victor Balaba, Vasile Cristescu, Mihail Roco, Io G. Zotta, Emaoil Davidescu, Mauriciu Kibaum, Nicolae Nicolescu, Tacred Costatiescu si Adrei Ioachimescu. Io Ioescu a fuctioat timp de 44 de ai ca redactor activ la aceasta publicatie. Cariera didactica si-a iceput-o i aul 897, ca profesor de matematica la Scoala de Telegrafie di Bucuresti. I aul urmator a fost umit supliitor la Catedra de mecaica aplicata la stabilitatea costructiilor si rezisteta materialelor de la Scoala Natioala de Poduri si Sosele, i 90 a fost umit profesor de lucrari grafice si i 94, profesor titular la Catedra de poduri, ca urmas al lui Aghel Saligy, la care a predat paa la pesioare. Este autorul uui studiu de deviere spre Prut a apelor Siretului î vederea costrucției uei cetrale hidrorelectrice și a trasformării Prutului îtr-u caal avigabil ître Galați și Iași. A eecutat harta hidrografică a baziului Duării. A elaborat proiectul petru Șatierul aval de la Turu-Severi. Io Ioescu a desfășurat o activitate bogată î Societatea Politehica, îfiițată î 88, cu ocazia iaugurării căii ferate Buzău- Mărășesti. A fost secretarul Societății Politehica timp de ai, apoi timp de ouă ai, ître 9 și 9, a fost vicepreședite, iar ître 9 și 94 a fost președitele acestei societăți profesioale. A codus lucrările de costrucție a umeroase poduri, pritre care podul peste Borcea (prima porțiue a podului peste Duăre), podul 75

76 de la Bobolia pe Valea Prahovei, podul metalic curb de cale ferată și șosea peste baziul de la Giurgiu. Ca igier specialist î poduri metalice, Io Ioescu a fost dirigite de satier si a participat alături de Aghel Saligy la costrucția podului Carol I de la Ceravoda, pod pe care se circulă di 4 septembrie 895. A doua zi dupa iaugurare, pe 5 septembrie 895, aparea primul umar al Gazetei Matematice. Sigura publicatie de acest ge di lume care apare fără îtrerupere de peste 0 de ai, iclusiv î timpul celor două războaie modiale, Gazeta Matematică a fost creată la iițiativa lui Io Ioescu- Bizet. Di 895, de la apariția primului umăr și pâă la moartea sa î 946, Io Ioescu și-a sacrificat totul- familia și averea- petru ca Gazeta Matematică să răspudă cerițelor îvățămâtului, fapt petru care î istoria știiței el este umit Stâlpul Gazetei Matematice. De-a lugul ailor, mii de elevi di Româia s-au pregătit petru cocursuri, olimpiade, îtreceri aţioale şi iteraţioale, avâd u priete de ădejde î Gazeta Matematică. Io Ioescu a fost atașat de zoa Prahovei si a cotribuit la recostrucția tuturor podurilor de cale ferată distruse î Primul Razboi Modial pe distața Ploiești- Predeal. Tatăl său, Nicolae Ioescu, podgorea di Valea Călugărească, era admiistratorul moşiei Stoieoaia, proprietatea fraţilor Darvari, iar mama sa, Atia, ăscută Diamadescu, era o femeie casica recuoscuta petru haricia sa. I 909, Io Ioescu a ivitat la mosia sa di Valea Calugareasca u grup de colaboratori si pe cei mai mari savati ai vremii, hotaradu-se atuci si acolo ifiitarea uei societati cu persoalitate juridica, al carei ume sa fie Societatea Gazeta Matematica. Cofirmarea oficiala, i baza uui decret regal, s-a primit i aprilie 90, societatea deveid ulterior Societatea de Stiite Matematice, societate care dăiuie și astăzi. A icetat di viata la 7 septembrie 946, dupa o luga si grea suferita. Setimetele sale si cuostitele stiitifice s-au idreptat spre educatia tieretului roma petru progresul tarii. Alaturi de Gh. Lazar, Gh. Asachi, Io Heliade Radulescu, Spiru Haret, Petrache Poearu si Gh. Duca, a fost uul ditre ctitorii ivatamatului tehic romaesc. Îcepâd cu aul 0, școala gimaziala di comua Valea Calugareasca poartă umele ION IONESCU si cistește î fiecare a, i lua octombrie, memoria celebrului om de știiță pri orgaizarea Cocursului judetea de matematică Io Ioescu petru elevii claselor III- VIII. Fotografie de la iaugurarea statuii di fata Scolii Gimaziale Io Ioescu, Comua Valea Calugareasca, oiembrie 00- Aul Matematicii i Scoala Romaeasca - 5 ai de la aparitia primului umar al Gazetei Matematice. 76

77 Bizet%C+costructorul+podului+curb+de+la+Giurgiu/ 77

78 Îvățarea asistată de calculator î orele de matematică Vlad Sebastia Liceul Teoretic Murfatlar, jud.costața Prof. Cragă Cleopatra Georgeta Folosirea îvăţării asistate de calculator sau a softurilor educaţioale ajută elevul să îveţe îtr-u mod creativ, creşte motivaţia şi eficietizarea îvăţării. Calculatorul a deveit u istrumet petru toţi aceia care doresc să dezlege misterele matematicii, u istrumet util elevului şi profesorului. Dezvoltarea tehologiei a dus și la diversificarea softurilor educațioale ce facilitează îlocuirea uui tip de demers didactic clasic cu uul moder î care profesorul u este decât u coordoator al activității și u pricipala sursă de iformare. Folosirea îvăţării asistate de calculator sau a diferitelor softuri educaţioale ajută elevul să îveţe îtr-u mod creativ, creşte motivaţia şi eficietizarea îvăţării. Elevul participă activ î toate etapele procesului de predare, îvăţare, evaluare, este îcurajat să eploreze coţiuturi oi, să îşi dezvolte imagiaţia. Calculatorul este foarte util atât elevului cât şi profesorului îsă folosirea acestuia trebuie realizată astfel îcât să îmbuătăţească calitativ procesul istructiv-educativ, u sa îl îgreueze. Calculatorul trebuie folosit astfel îcât să urmărească achiziţioarea uor cuoştiţe şi formarea uor deprideri care să permită elevului să se adapteze ceriţelor uei societăţi aflată îtr-o permaetă evoluţie. Tehologia iformaţiei şi a comuicaţiilor (TIC) joacă u rol deosebit de importat î pregătirea tierei geeraţii, petru a se putea adapta ceriţelor sociale şi uui ou tip de istruire şi îvăţare ecesar pe tot parcursul vieţii. Utilizarea calculatorului u reprezită umai o formă de trasmitere atractivă a cuoştiţelor ci, mai ales, u mijloc de producere şi evaluare a acestora, î cadrul uui proces costructiv, bazat pe descoperire şi creativitate. Computerul poate itervei direct î procesul de îvățare sau îtr-u mod idirect. Iterveția directă a calculatorului se realizează îtr-u mod cocret preluâd pricipala sarciă a profesorului: predarea îtr-u soft educațioal. Iterveția idirectă costă î utilizarea calculatorului petru cotrolul și plaificarea istruirii, adică, acesta preia o parte di sarciile profesorului. Iată şi câteva eemple de softuri utilizate î procesul de predare-îvăţare la matematică:.utilizarea softului Geogebra petru realizare de grafice de fucții și iterpretarea acestora porid de la reprezetarea grafică. Utilizarea softului Geogebra petru realizare de figuri geometrice, secțiui î pla. Eemple:. Realizarea cercului circumsris îtr-u triughi 78

79 . Reprezetarea fucției si=a si a fucției arcsi. Reprezetarea fucției cos=a si a fucției arccos 79

80 . Utilizarea sistemului educațioal iformatizat AEL oferit î școlile di Româia î 006, furizat de Siveco Romaia Eemplu: Aria suprafeței plae. Utilizarea softurilor Ituite Geometrie ître joc și ota 0 Acestea sut uele ditre cele mai utilizate softuri educațioale, bieîțeles că eemplele pot cotiua. U alt eemplu: cu ajutorul calculatorului pot fi cocepute teste grilă care presupu vizualizarea îtrebării, a variatelor de răspus, (evetual tetul este îsoţit de imagii sugestive). Avatajul costă î iteracţiuea ditre calculator şi răspusul selectat de elev (vizual şi auditiv). Pri utilizarea uui soft elevul dobâdeşte u grad mai mare de idepedeţă faţă de profesor, avâd posibilitatea uui feedback rapid şi persoalizat. De asemeea, utilizâd calculatorul, elevul poate îvăţa î ritm propriu. Folosirea îvăţării asistate de calculator sau a diferitelor softuri educaţioale ajută elevul să îveţe îtr-u mod creativ, creşte motivaţia şi eficietizarea îvăţării. Elevul participă activ î toate etapele procesului de predare, îvăţare, evaluare, este îcurajat să eploreze coţiuturi oi, să îşi dezvolte imagiaţia. Bibliografie:.Istrate O., Modalităţi de utilizare a TIC petru evaluarea elevilor.predarea iteractivă cetrată pe elev (modul petru dezvoltarea profesioală a persoalului didactic), Editura Educaţia 000+, Bucureşti,

81 Maea Adrei Liceul: Teoretic Traia, Bucureşti Profesor îdrumător: Amăricuţei Livia Iubire, geometrie şi literatură Cum am ajus aici? Eu, cel care mă cosideram piatra de căpătâi, mai sus de soare, u fel de creator cu mâiile- ţărâă?... Am ajus o liie frâtă, rob al propriului meu gâd. M-am pierdut î ale ei liii şerpuite perfect, scăldate-tr-o băutură pe care u o cuosc... De ce cotiui să citeşti? Nu îţeleg... Cred că m-am pierdut... sau m-am găsit?!... Eu sut u şir esfârşit de zerouri, dar ea este u uic uu. Eu plus ea u are ses, avem origii diferite, dar, dacă logica-mi permite să adu umere pozitive şi egative, atuci speraţa î mie îcă u a murit. Mai ştiu că rece plus cald rezultă abur, adică, viaţa mea zburâd spre uivers... Credeai că doar aştrii pot să atragă corpuri? Nu ai îtâlit îcă persoaa ce, î viaţa-mi, îtro clipă, mi-a adus u ughi drept! Eu ştiu toate aceste lucruri, dar ea u le ştie... De-al ei magetism magific e atrasă şi tiicheaua ce îmi bate- piept î ritmuri stise, ce se aud tooot mai îcet... O liie frâtă îmi e fiiţa îtreagă, iar mitea mi-a rămas îchisă î aria limitată a aturii mele umae. Rămâ aici, î perimetrul meu lipsit de culoare, lipsit de ritm, lipsit de ea... Doar ochii ei albaştri mă mai dezgheaţă, iar eisteţa simplă a ei mă face să respir. Aşa simt eu, dar ea u simte... Sut eu şi ea, căci oi u eistă. De ce? Fiidcă eu ştiu că cel ce a sculptat-o î curbe perfecte a sculptat, udeva, î lume u alt eu, care va ţie la ea mai mult decât pot eu... iar eu rămâ aici: la fel de rece, la fel de sigur, la fel de sfâşiat, la fel de eu. Şi totuşi, ce sut eu? U abur ce se ridică-spre soare. Iar ea? Ea pue uiversul î mişcare! Şi cum să cred că Raiul u eistă? Doar am văzut u îger î persoaă! Trăiesc îtr-u fel de vid, î care timpul, spaţiul şi tot ce mă îcojoară u eistă. Sut doar eu cu mie, fără ea... Ai trecut, cumva, pe aici? Căci viaţa pare fără ses, iar eu mi-am ales sigur setiţa, câd am ales să îmi ridic privirea di pămât, îtâlid perfecţiuea îtrupată. Acum sut rob, îmbrăcat î simplitatea-mi groazică, legat î laţurile uui setimet pri care lumea îtreagă a luat fiiţă. Am aripi frâte, plie de praf, iar tot ce-mi doresc este să mai văd o dată cerul pli de stele. Este ceva mai miuat? N-am să mai cer să o mai văd o dată, căci puritatea şi pata u au cum să stea-mpreuă. E tot ce vreau: u momet cu mie şi cu cerul care petru mie-a fost creat. O privire care îmi va amiti cât de mult voiam să fiu ua ditre stele. Dar ea u-i doar atât. Ea este soare! Căci tot ce a fost al meu odată: culoare, muzică, ideal, viaţă orbitează acum î jurul ei. Echilibrul este fals, căci eu fără cerul meu alături cred că mă voi prăbuşi. Este u joc periculos, aşa-i? Să o privesc î ochi, câd eu ici măcar u ştiu să îot... să caut să mă joc cu flacăra ce părului ei i-a dat culoare... să îdrăzesc să cred că eu sut cel ce petru ea a fost creat... să cred că totul e real... să cred că Tata u a creat u alt eu petru ea.. să cred că o pot lua de la capăt... 8

82 8 Ioescu-Nesbitt type iequalities - Geeralizatios of problem 94 from Cru Mathematicorum Chivoiu Gabriel Şcoala Gimazială G. E. Palade Buzău Profesor: Staciu Neculai I the et we use the followig elemetary iequalities The iequality of Ioescu-Nesbitt is If *,, R, the:, (Nesbitt,90 ad Ioescu, 96). The iequality of H. Bergström is If,,,, * * N k R y R k k, the k k k k k k k y y. The iequality of J. Rado is If,,,, * * * N k R y R k k, R m, the m k k m k k k m k m k y y. 94. Proposed by Ovidiu Gabriel Diu, Bălceşti, Vâlcea, Romaia Prove that , where,,,...,, ,, N i R i i i i i. Geeralizatio. If, N *,,, * R d c k, k k X k k d cx ma the:

83 k Solutio. By Bergström s iequality yields S k cx k d Solutio. We have ds k k k cx cx d k k k d d k k cx cx k ad by Bergström s iequality we deduce that ds cx k cx d k k d k d cx cx d k k k k. c d d k cx k MPMA c cx cx cx X dx X d X k d S. c d c d Remark. For c ad d we obtai the iequality from problem 94. The iequalities from above are Nesbitt-Ioescu type iequalities.. c d cx d c c d k, Now, we will do a retrospective of our results o Nesbitt-Ioescu iequality:. ON NESBITT - IONESCU INEQUALITY FOR TWO VARIABLES.. If R, *, the: A (, ), (see for e.g. [7, ]) ad ax bma.. If a, b,, R, X,, the: B(, ), (see [7, ]). ax b ax b a b. ON NESBITT - IONESCU INEQUALITY FOR THREE VARIABLES.. If *,, R, the: C (,, ), (Nesbitt,90, see [6, ]). 8

84 84.. If *,,,, R b a, the: b a b a b a b a D ),, (, (see [4, ])... If,,,, * k R b a k k k ad t b a b a b a, the: t b a b a b a E ),, (, (see [4, ])..4. If *,,,, R b a, X ad,, ma b ax, the: b a b ax b ax b ax F ),, (, (see [4, ])..5. If *,,,, R b a, X, such that,, ma b ax, ad,, p m, the: p m p p m p m p m p m X b a b ax b ax b ax G ) ( ) ( ) ( ) ( ),, (, (see [4, ])..6. If *,,,, R b a, X ad R m, the: ) ( ) ( ) ( ) ( ),, ( m m m m m m X b a b ax b ax b ax H, (see [4])..7. If *,,,,, z R y c b a, the: z a c yz c b y b a cz by a y cz z by z y a z y I ) ( ) ( ) ( ),, ( z a c yz c b y b a caz bcyz aby ) ( ) ( ) ( ) (, (see [, 5])..8. If *,,,, z R y b a ad R m, the: m m m m m m m m m z y b a by a z b az y bz ay z y J ),, (, (see []).

85 . ON NESBITT - IONESCU INEQUALITY FOR VARIABLES.. If * k R, k,, X k N k k k X k, the:, (see for e.g [6], the case 4 ad also [])... If N *,,, p, ax bma, the: k k * m, a, b, k R, k,, X k k, ad K k m p p ax b a b k k p X m p, (see []). * *.. If a, b, R, c, y R, k,, N k k, X k k ad ax bma k, yk 0,, k X k, ad m R, the:, (see []). m m k L k k k m m m ax b cy a b c X *, a R, b, c, d, k R, k,, X k.4. If N *, cx d ma, the: k k M ax cx k b k d k k ( a b), (see [6]). c d, ad *.5. If a R, b, c, d, k R, k,, X k k, m, ad cx m d ma k m k, the: U k ax cx m b d k m k m a b m c m d X, (see [8] ad also []). *.6. If a, m R, b, c, d, k R, k,, X k k, p, ad cx m d ma, the: k m k 85

86 V ax b mp a b mp k m m p m p k ( cx dk ) ( c d) X, (see [9])..7. If N * *, a R, b, c, d, k R, k,, X k, m, p, r, s,, such that cx W.8. If N * k ax cx r m *, m p R, Y, p m d d ma b r k m k k s p m k a c m k X k X, X, the: r m b d s p mprs k X rsmp, (see [0, ]). * m p k R, k,, ad we deotes X, m k, X, p k, the: p k, m, p, ( see [5]). k k *, a R, b, c, d, m, p R,.9. If N * that c X p, d ma k, the p k * m p k R, k,, X, m k, X, p k, such k k Z a X c X b m, m k ) d ( a b c d X X, m p k, p k, p, (see [5])., a, v R,.0. If N * p X, p k, such that c X k p b, *, c, d, m, p R p, d ma k, the k m, k, k * k R, k,, t [, ), X m ( a X ( c X b m t vt t, m k ( a b) d ) ) c d X X t, m p v v k, p k, p, (see [4]). REFERENCES [] Bătieţu-Giurgiu, D.M., Staciu, N., Iegalităţi de tip Ioescu-Weitzeböck, Gazeta Matematică, 8(), 0. [] Bătieţu-Giurgiu, D.M., Staciu, N., O etidere şi o rafiare a iegalităţii lui Nesbitt, Articole și Note Matematice, 4(), 0. [] Bătieţu-Giurgiu, D.M., Staciu, N., Noi geeralizări ale iegalității lui Nesbitt Articole și Note Matematice, 4(), 0. [4] Bătieţu-Giurgiu, D.M., Becze, M., Staciu, N., New geeralizatios ad ew approaches for Nesbitt s iequality, Mathematical Educatio i the Curret Europea Cotet, (), 0. 86

87 [5] Bătieţu-Giurgiu, D.M., Staciu, N.,O etidere şi o rafiare a iegalităţii lui Nesbitt, R.M.T., 9(), 0. [6] Bătieţu-Giurgiu, D.M., Staciu, N., Îcă patru demostraţii ale problemei L:55 di Sclipirea miţii r. VII 0, Sclipirea Miţii, 5(9), 6, 0. [7] Bătieţu-Giurgiu, D.M., Staciu, N., Iegalitatea lui Nesbitt, Didactica Matematică, (), 0. [8] Bătieţu-Giurgiu, D.M., Staciu, N., A geeralizatio of some remarkable iequalities, Eperieţe Utile î Predarea-Îvăţarea Matematicii, (), 0. [9] Bătieţu-Giurgiu, D.M., Staciu, N., Problem 64, The America Mathematical Mothly, 9(), 0. [0] Bătieţu-Giurgiu, D.M., Staciu, N., Nuevas geeralizacioes y aplicacioes de la desigualdad de Nesbitt, Revista Escolar de la Olimpiada Iberoamericaa de Matematicá, (47), 0. [] Bătieţu-Giurgiu, D.M., Staciu, N., Geeralizatios of some remarkable iequalities, The Teachig of Mathematics, 6(), 0. [] Bătieţu-Giurgiu, D.M., Staciu, N., About Nesbitt s iequality, Octogo Mathematical Magazie, 0(), 0. [] Bătieţu-Giurgiu, D.M., Staciu, N., New geeralizatios ad ew applicatios for Nesbitt s iequality, Joural of Sciece ad Arts, (4), 0. [4] Bătieţu-Giurgiu, D.M., Staciu, N., A New geeralizatio of Nesbitt s iequality, Joural of Sciece ad Arts, (), 0. [5] Bătieţu-Giurgiu, D.M., Staciu, N., Zvoaru, T., Geeralizarea problemei VIII. 69 di RecMat r. /0, Recreaţii Matematice, 5(), 04. [6] Nesbitt, A.M., Problem 54, Educatioal Times, (), 90. [7] Zvoaru, T., Staciu, N., Şase soluţii petru problema L:55 di Sclipirea Miţii, r. VII, 0, Sclipirea Miţii, 4(8), 0. 87

88 LEGILE MATEMATICE ALE UNIVERSULUI LEGILE LUI KEPLER Erdoş Robert Colegiul Tehic Eergetic Regele Ferdiad I Timişoara Coordoator: prof. Saizescu Cristia-Aleadra Europeii secolului al XVI-lea itrau î cotact cu cometele îcercâd u amestec de teamă şi admiraţie petru forţele uiversului, care ofereau u spectacol gradios pe cer. Impactul asupra lor a cometei, deveită faimoasă datorită astroomului daez Tycho Brahe, a avut u efect maim, iar cercetările marelui matematicia Tycho Brahe au costituit u reper petru cei care aveau să-l urmeze î domeiul astroomiei. După ce acesta s-a stis di viaţă, împăratul Rudolf II avea să-l umească matematicia la curtea sa pe Johaes Kepler, care astfel, la doar 9 de ai ajuge matematiciaul Sfâtului Imperiu Roma, poziţie pe care o va ocupa pâă la moarte. Lecturâd lucrarea Mysterium cosmographicum, Thyco Brahe a descoperi cât de adâcă e îţelegerea lui Kepler î ceea ce priveşte taiele matematicii şi ale astroomiei şi l-a ivitat la el, la Beátky, î apropierea Pragăi, pe teritoriul actualei Republici Cehe. Deveit ţita itoleraţei religioase, Kepler s-a văzut obligat să părăsească Graz-ul, dâd curs ivitaţiei lui Brahe, iar, după cum s-a arătat la îceput, la moartea lui Brahe, Kepler a deveit realmete succesorul său direct. Curtea imperială pierduse u cercetător meticulos, dar a câştigat u geiu al matematicii. Johaes Kepler s-a ăscut î aul 57 î Weil der Stadt, u orăşel aflat la poalele muţilor Pădurea Neagră, di Germaia. Familia sa, desi săraci ca şi codiţie materială, aveau titlu obiliar şi l-au susţiut fiaciar cât au putut petru a dobâdi o educaţie aleasă. Astfel, el a studiat teologia la Uiversitatea di Tübige, dorid să deviă pastor lutera, îsă s-a remarcat pri competeţele sale matematice deosebite. Câd, î aul 594, u profesor de matematică de la liceul lutera di Graz a murit, Kepler l-a îlocuit, iar î această perioadă a publicat prima ditre lucrările sale reprezetative Mysterium cosmographicum, adică Taia cosmografică. Ulterior, Kepler a deveit o persoalitate de referiţă u doar î matematică, ci şi î optică şi î astroomie, era dotat cu o mite sclipitoare şi o fire deosebit de hotărâtă, iar câd a refuzat categoric, î repetate râduri să se covertească la religia romao-catolică, a deveit ţita discrimiării. Marte a fost primul corp ceresc care l-a atras pe Kepler. Î urma studierii foarte atete a tabelelor cu date astroomice rămase de la Brahe, el a cocluzioat că Marte se îvârte î jurul Soarelui, dar u pe o orbită circulară, iar pri ecludere, forma orbitei care se potrivea observaţiilor sale era cea eliptică, cu Soarele aflat îtr-uul di focare. Îsă Kepler a îţeles că u Marte, ci plaeta Pămât putea costitui cetrul adecvat al preocupărilor sale, recosiderâd lucrurile ditr-o ouă optică. Î acest ses, a utilizat iformaţiile cuprise î tabelele eistete deja îtr-u mod cu totul iedit: î loc să le folosească petru cercetarea plaetei Marte, Kepler a cosiderat că se află deja pe Marte şi că poate avea o vedere către Pămât. Coform calculelor efectuate, viteza de mişcare a Pămâtului este ivers proporţioală cu distaţa sa pâă la Soare. 88

89 Studii mai amăuţite l-au codus pe Kepler la cocluzia că Soarele se află î cetrul sistemului ostru solar, acţioâd ca u maget, rotidu-se î jurul aei sale şi determiâd plaetele să se rotească î jurul lui. Petru Kepler, plaetele sut corpuri cereşti guverate de u set de legi eschimbătoare. Aceste legi, valabile î cazul plaetei Marte sau al Terrei puteau fi valabile şi î cazul celorlalte plaete ale sistemului ostrum solar. Kepler a cocluzioat şi că fiecare plaetă se deplasează î jurul Soarelui pe o orbită eliptică, cu o viteză care variază î fucţie de distaţa plaetei respective faţă de Soare. Î aul 609, Kepler a publicat lucrarea Astroomia ova, cuoscută drept prima carte de astroomie moderă şi ua ditre cele mai importate lucrări scrise pe această temă. Capodopera cupride primele două legi de mecaică cerească ale lui Kepler. Cea de-a treia lege a fost publicată î lucrarea Harmoice mudi libri V Cici cărţi despre armoia lumii, î aul 69, î timp ce era î Liz, Austria. Aceste trei legi defiesc pricipiile de bază ale mişcării plaetelor: forma orbitei pe care o descrie plaeta î jurul Soarelui, viteza de mişcare a plaetei şi relaţia ditre distaţa plaetă-soare, respectiv timpul î care astrul eecută o rotaţie completă î jurul lui. Majoritatea astroomilor di vremea sa u au reuşit să îţeleagă importaţa acestor legi de mecaică cerească. Uii chiar u au putut pătrude mesajul cocluziilor la care ajusese, cu atât mai mult cu cât era uul deosebit de cosistet di puct de vedere ştiiţific, iar redactarea lucrărilor a fost realizată îtr-o limbă latiă la fel de greu de pătrus ca atmosfera desă di jurul plaetei Veus. Îsă, î cele di urmă, legile lui Kepler au primit recuoaşterea bie meritată: după 70 de ai, Isaac Newto şi-a elaborat legile de mişcare şi legea gravitaţiei avâd ca bază tocmai legile lui Kepler. Actualmete, Kepler este cosiderat uul ditre cei mai mari oamei de ştiiţă di toate timpurile cel care a reuşit să smulgă astroomia di ghearele prejudecăţilor evului mediu îtuecat şi s-o aducă î epoca moderă. Euțul primei legi a lui Kepler este următorul: Plaeta se mișcă î jurul stelei pe o orbită eliptică, î care steaua reprezită uul di focare. Ea a revoluţioat modul cercetătorilor cotemporai lui de a se raporta la tot ce îsema mişcare de mecaică cerească. Astroomii, îcepâd de la Ptolemeu pâă la Nicolaus Coperic, credeau că plaetele se mișcă pe traiectorii circulare sau traiectorii care pot fi obțiute di suprapuerea mai multor traiectorii circulare. Johaes Kepler, î 609, a ifirmat această presupuere. După studiul materialelor rezultate di observațiile miuțioase ale lui Tycho Brahe, acesta a cocluzioat că plaetele se mișcă pe traiectorii eliptice. Se ştie că î toate abordările calculelor astroomice de mecaică cerească, orbitele plaetelor studiate sut parcurse î acelasi ses, adică î sesul astroomic direct, iar privite î mod 89

90 coveţioal, adică de sus, toate plaetele se rotesc î ses opus acelor de ceasoric, adică î ses trigoometric. A doua lege a lui Kepler se euță astfel: Liia dreaptă care uește plaeta cu steaua, care î termei de mecaică cerească se euţă «raza vectoare a plaetei», «mătură» arii egale î perioade de timp egale sau formulat echivalet: viteza areolară a razei vectoare este costată. Di această lege, umită legea ariilor egale, rezultă că o plaetă se deplasează cu atât mai repede cu cât este mai aproape de stea. Î cazul plaetei Terra, raza vectoare mătură î timpul t= s (secudă) o arie A de peste miliarde km cuprisă î iteriorul elipsei pe care o descrie. Î geeral, raza vectoare Soare plaetă, cu origiea î focarul î care este cosiderat a fi situate Soarele, descrie sau mătură î perioade de timp egale t, suprafeţe egale A, ca î figura de mai sus. Distaţa medie ditre Pămât şi Soare este de aproimativ 50 milioae kilometri, mai eact, de 49,6 milioae km. Această distaţă este defiită ca uitate astroomică, otată î mod coveţioal ca UA şi este egala cu aproimativ 8, miute lumiă, petru că lumiii de la Soare îi sut ecesare aproimativ 8 miute petru a ajuge pe Terra, iar uitatea de măsură a cărei subdiviziue este se umeşte u a lumiă. Coceptul de a-lumiă, utilizat prescurtat a-l sau a.l. se folosește la măsurarea distațelor, chiar dacă aul este o uitate de măsură a timpului. Aul-lumiă este o uitate de măsură a lugimii, defiită ca distața parcursă de o rază de lumiă pri vid, î timp de u a iulia - o distață uriașă de circa 9500 miliarde de km. Aalog se defieşte și secuda-lumiă. Termeii de periheliu şi afeliu sut eseţiali petru aplicarea celei de a doua legi a lui Kepler plaetei Pămât, astfel periheliul reprezită puctul î care este distaţa cea mai mică la care Pămâtul se poate afla faţă de Soare şi are loc î jurul datei de 4 iauarie a fiecărui a, iar afeliul reprezită puctul cel mai îdepărtat de Soare la care se poate afla Terra, şi are loc î jurul datei de 4 iulie a fiecărui a. Cum orbita terestră este eliptică, distaţa ditre Pămât şi Soare variază de-a lugul aului, de la u miim de km, la periheliu, la u maim de km, la afeliu. Deci, semi-aa mare a orbiteieliptice terestre este de ,5 kilometri sau,0 UA, iar semi-aa mică este de km sau 0,98 UA. La cel mai îdepărtat puct fata de Soare sau afeliu, este la 5,097,70 km sau,0 UA. Astfel, sutem cel mai îdepărtaţi de Soare î 90

91 timpul verii î emisfera ordică î, jurul datei de 4 iulie, şi cel mai apropiaţi de Soare î jurul datei de 4 iauarie, câd este de vară î emisfera sudică. Aplicâd Terrei cea de a doua lege a lui Kepler se poate determia că viteza plaetei oastre la periheliu este mai mare decat viteza plaetei la afeliu. Mai eact, viteza Pămâtului este 9, km/s la afeliu, î jurul datei de 4 iulie, respectiv de 0, km/s la periheliu, î jurul datei de 4 iauarie. A treia lege a mișcării plaetelor a lui Kepler este euţată astfel: Pătratul perioadei de revoluție a plaetei este proporțioal cu cubul semiaei mari a orbitei. Adică, pătratele perioadelor T, T siderale de revoluţie ale plaetelor î jurul Soarelui sut direct proporţioale cu cuburile semiaelor mari a, a ale orbitelor lor eliptice, deci: T T a a Legile lui Kepler au costituit baza petru formularea legilor gravitației de către Isaac Newto, care le-a descoperit îtrebâdu-se ce caracteristici ar trebui să posede forţa de atracţie ditre Soare şi plaete petru a avea o orbită eliptică, care să respecte legile kepleriee. Toate aceste legi de mecaică cerească au avut o deosebită importață petru îțelegerea mișcării corpurilor cerești, a Luii și a sateliților artificiali î jurul Pămâtului, costituid bazele cercetărilor ştiiţifice ale lui Albert Eistei şi ale altor astroomi moderi, impulsioâd dezvoltarea acestui domeiu. Î cistea lui Johaes Kepler, oameii de ştiiţă au deumit telescopul spaţial operat actualmete de NASA şi lasat î spaţiu î aul 009, cu ajutorul căruia au descoperite câteva sute de plaete aflate î afara sistemului ostru solar. Recet, oameii de ştiiţă de la NASA au descoperit cu ajutorul telescopului spaţial Kepler u ou sistem solar, asemăător Căii Lactee. Aalizâd datele culese de telescop, cercetătorii de la Uiversitatea Birmigham di Marea Britaie au idetificat o stea î jurul căreia orbitează cici plaete, asemăătoare ca mărime cu Terra. Acel sistem stelar, aflat la o distaţă de 7 ai-lumiă, este cel mai vechi di categoria sa, fiid format î urmă cu, miliarde de ai. 9

92 Bibliografie. Albu, Ioa, Istoria matematicii, Editura Eurobit, Timişoara, 999. Iacob, Caius, Mecaică teoretică, Editura Didactică și Pedagogică, București, Mercheș, Ioa și Burlacu, Lucia, Mecaică aalitică și a mediilor deformabile, Editura Tehică, București, 98. 9

93 MATEMATICA ȘI TAINELE UNIVERSULUI Olaru Ale Laurețiu Liceul Tehologic Răchitoasa Profesor îdrumător Ivașc Liliaa,, MOTO Sutem coectaţi cu Uiversul pri itermediul matematicii Pe parcursul acestei dezbateri e vom covige că matematica u este o ştiiţă arbitrară, iutilă, ci costituie u limbaj pe care îl folosim petru a comuica cu stelele.petru a aprecia cât de importată este matematica, vom face u pas îapoi privid către îceputurile sale și la modul pri care aceasta este atât de strâs legată de eisteța oastră. Îaite de Galileo, care a utilizat telescopul spre a studia cerul, de Kepler, care a descoperit că traiectoria plaetelor î jurul Soarelui este o elipsă, sau de Newto, care a descoperit costata gravitațioală, matematica pe care o cuoșteam era oarecum limitată, iar îțelegerea oastră asupra Uiversului era destul de ifimă. Mai mult ca sigur, matematica a apărut de timpuriu î cadrul triburilor umae care au utilizat-o ca pe o modalitate de a ție evideța ciclurilor luare sau solare și petru îregistrarea umărului de aimale, alimete, etc. La fel de atural este că atuci câd, copii fiid, am putut avea o jucărie î plus faţă de o altă jucărie, îsema că aveam mai mult de o jucărie. Pe măsură ce am crescut, am îţeles că + = și că această aritmetică simplă pare a fi îtrețesută î îsăşi atura oastră. Greșesc cei care pretid că u au abilităţi matematice, deoarece aşa cum toți putem respira sau clipi di ochi, cu toții avem această capacitate îăscută de a îțelege aritmetica. Matematica este atât o prezeță aturală, cât şi o ştiiţă umaă. Se pare că atura e oferă această capacitate de a recuoaşte modele îtr-o formă aritmetică, iar oi am costruit sistematic mai multe sisteme matematice complee care u sut evidete î atură, dar care e permit să comuicăm î cotiuare cu atura. Matematica s-a dezvoltat odată cu evoluţia umaă îtr-u mod similar î cadrul fiecărei culturi. Este uimitor să costatăm că deşi uele culturi umae u s-au aflat î cotact uele cu altele, matematica s-a dezvoltat î iteriorul acestora, aproape idetic. Îsă, doar atuci câd omeirea a utlizat matematica petru a studia cerul, putem spue că aceasta a îceput cu adevărat să se dezvolte îtr-u mod uimitor. Nu este o simplă coicideță faptul că revoluția știițifică a fost impulsioată de dezvoltarea matematicii care a fost aplicată petru a ajuta la îțelegerea locului ostru î Uivers. Di mometul î care Galileo a măsurat viteza cu care cad obiectele, îtr-o îcercare de a arăta matematic că masa uui obiect u ifluețează această viteză, viitorul omeirii s-a schimbat petru totdeaua, acesta fiid mometul î care perspectiva oastră cosmică asupra Uiversului s-a schimbat cu ajutorul matematicii.această idee asupra Uiversului e motivează să îțelegem mai multe despre matematica utilizată de Johaes Kepler atuci câd a observat miscarea plaetelor, această matematică aplicată permiţâdu-i acestuia să dezvolte u model destul de precis a Sistemului Solar și o metodă petru estimarea mișcării plaetelor. Aceasta este ua ditre umeroasele demostrații care ilustrează importața matematicii î istoria oastră, î special î cadrul astroomiei și a fizicii. Povestea matematicii devie și mai uimitoare odată cu uul ditre cei mai importaţi oamei de ştiiţă ai umaităţii, Sir Isaac Newto care a studiat mişcarea cometei Halley, și a îțeles că matematica care a fost utilizată pâă atuci petru a descrie mișcarea obiectelor masive, pur și 9

94 simplu u este suficietă petru a îțelege vreodată ceva ce se află dicolo de orizotul ostru limitat.pritr-o geială ituiție, Newto a dezvoltat o metodă de calcul pri care a fost capabil să descrie cu eactitate mișcarea u doar a cometei Halley, dar, de asemeea, a oricărui alt corp ceresc care se deplasează pe bolta cerească. Îtr-o sigură clipă îtregul Uivers s-a deschis î fața oastră, oferidu-e posibilităţi aproape elimitate de a coversa cu acesta. Newto a dezvoltat î cotiuare lucrările îcepute de Kepler. El și-a dat seama că ecuația matematică a lui Kepler petru mișcarea plaetelor, a treia lege a lui Kepler (p^ = A^), s-a bazat eclusiv pe observația empirică și că aceasta a fost meită doar petru a descrie ceea ce s-a observat î Sistemul Solar. Newto a îţeles că această ecuație de bază ar putea fi geeralizată pri aplicarea uei costate gravitațioale, ceea ce a dat aștere, probabil, ueia ditre cele mai importate ecuații care a fost obţiută vreodată de omeire: versiuea lui Newto petru cea de-a treia lege a lui Kepler Totodată Newto a îţeles și că atuci câd corpurile se mişcă îtr-u mod eliiar, dacă vom folosi algebra de bază u vom obţie o descriere corectă a mişcării. Algebra e permite să găsim pata (rata schimbării) î cazul uor liii drepte (rată costată de schimbare), î timp ce calculul difereţial e permite să găsim pata liiilor curbe (rată variabilă de schimbare). Ditr-o dată, mișcările plaetelor și a altor obiecte care orbitează Soarele au putut fi determiate mai precis și astfel s-a putut îțelege puți mai profud Uiversul. Reveid la versiuea lui Netwo petru cea de-a treia lege a lui Kepler, am avut astfel posibilitatea de a aplica (și îcă o facem) această ecuație icredibilă î cazul oricărui obiect aflat î mişcare de rotaţie î jurul altui obiect. Di această ecuație putem determia masa obiectelor, distața ditre acestea, forța de gravitație care se eercită ître cele două corpuri și alte mărimi fizice. Newto a reușit să obțiă astfel valoarea costatei gravitațioale petru toate obiectele di Uivers (G = 6,67 0^- Nm^ kg^-). Această costată i-a permis să uifice astroomia şi fizica şi să poată prezice mişcarea corpurilor î Uivers. S-au putut astfel determia (și a Soarelui) cu o mai mare precizie, masele plaetelor aplicâd pur și simplu fizica ewtoiaă (umită astfel petru a oora importaţa lui Newto di fizică și matematică), iar oi am putut aplica Cosmosului acest ou limbaj petru a îcerca să-i îţelegem secretele, acesta fiid u momet defiitoriu petru omeire, deoarece, lucruri care îaite u puteau fi cuoscute au deveit accesibile îţelegerii oastre pri utilizarea oilor metode matematice ; am putut îţelege limbajul stelelor. Dar, probabil cea mai buă ilustrare a puterii pe care matematica a dat-o este descoperirea plaetei Neptu. Pâă la acel momet, plaetele au fost descoperite doar pri observarea uor stele care se mişcau îtr-u mod ciudat î raport cu stelele de pe bolta cerească.descoperirea lui Neptu a fost deosebită tocmai pri modul î care a avut loc. Newto a fost cel ce a descoperit u limbaj mai profud al Cosmosului, pri care Uiversul i s-a dezvăluit mai mult. Și eact acest lucru s-a îtâmplat atuci câd am aplicat acest limbaj î cazul orbitei lui Uraus. După ce Newto şi-a prezetat ecuațiile sale, matematicieii au fost îcâtați să le aplice î studiul mişcării corpurilor cereşti. S-a îceput cu determiarea mișcărilor plaetelor și s-au obţiut modele mai eacte petru traiectoriile acestora. S-au folosit aceste ecuații petru a aproima masa Soarelui. S-au putut face previziui remarcabile care au fost validate î timp pri oi observaţii. Era ceva fără precedet, folosid matematica se puteau face predicții la care imei u s-ar fi gâdit iciodată, iar apoi folosid observaţiile reale se putea verifica corectitudiea calculelor matematice. 94

95 Cu toate acestea, s-au observat uele discrepațe ciudate î legătură cu aumite lucruri. Uraus, de eemplu, u se mişca aşa cum ar trebui, coform legilor lui Newto.Modul ciudat î care Uraus orbita î jurul Soarelui u se potrivea cu ceea ce ar fi trebuit să observăm, dacă aceasta era sigura plaetă aflată la acea distață de Soare. Privid la umere, trebuia să mai fie altceva acolo care-i perturba orbita. Îaite de ituiția și legile matematice ale lui Newto -am fi avut iciu motiv să suspectăm că ceva era greşit î ceea ce observam. Uraus orbita î jurul Soarelui, aşa cum a făcut-o şi î trecut. Pri recuoaşterea faptului că matematica este u dialog cu Uiversul, odată ce am formulat îtrebarea î mod corect e-am dat seama că eistă îtr-adevăr ceva dicolo de ceea ce puteam vedea î mod direct. Aceasta este frumuseţea matematicii, o coversație cu Uiversul pri care putem cuoaște mai multe decât e așteptăm. Matematiciaul fracez Urbai Le Verrier a fost cel care a lucrat cu migală la ecuaţiile matematice ale orbitei lui Uraus. Folosid ecuațiile matematice ale lui Newto, acesta a îţeles că trebuie să eiste u alt obiect cosmic aflat dicolo de orbita lui Uraus şi care, de asemeea, orbitează î jurul Soarelui. El a îcercat să determie ce masă ar trebui să aibă acel corp ceresc şi la ce distaţă trebuie să se afle faţă de Soare petru a perturba orbita lui Uraus aşa cum s-a observat. Acest lucru a fost feomeal, di momet ce s-a idetificat o plaetă pe care imei u a observat-o vreodată, utilizâd doar pergamet şi cereală. El a îţeles că trebuie să eiste o plaetă, deumită Neptu, care orbitează la o aumită distață de Soare şi care are o aumită masă ce perturbă orbita lui Uraus. Îcrezător î calculele sale matematice el s-a deplasat la New Berli Observatory acolo ude astroomul Joha Gottfried Galle a privit către locul de pe bolta cerească idicat de calculele lui Verrier și a reuşit să observe cea de-a opta plaetă a sistemului ostru solar, aflată la mai puți de grad difereţă faţă de poziţia rezultată di calculele lui Verrier. Aceasta a fost o cofirmare icredibilă a teoriei gravitațioale a lui Newto și a dovedit că matematica utilizată de acesta a fost corectă. Aceste descoperiri matematice au cotiuat mult timp după Newto. Am putut îvăţa mai multe despre Uivers odată cu oile progrese di matematică. Î secolul 0 teoria cuatică a îceput să pridă cotur și î curâd oameii au îțeles că fizica ewtoiaă și matematica sa par să u aibă icio putere asupra a ceea ce s-a observat la ivel cuatic. U ou progres importat î matematică a avut loc odată cu Albert Eistei. Acesta a prezetat teoria relativităţii restrâse şi teoria geerală a relativităţii care au stabilit u ou mod de a îţelege u umai gravitația, dar, de asemeea, eergia și Uiversul î geeral. Matematica lui Eistei e-a permis să descoperim u dialog mai profud cu Uiversul pri care am îceput să îțelegem origiile sale.î prezet am îţeles că eistă două ramuri ale fizicii care u se potrivesc î totalitate. Fizica ewtoiaă sau fizica clasică care se poate aplica etraordiar de bie la o scară dimesioală foarte mare (mișcarea plaetelor, galaiilor, etc ) şi fizica cuatică, cea care se poate aplica la o scară dimesioală foarte mică şi care eplică iteracțiuile particulelor subatomice, lumia, etc Aceste două domeii ale fizicii sut irecociliabile, la fel ca două dialecte diferite ale uei limbi. Ele sut similare și ambele fucţioează, dar u se potrivesc ître ele. Ua ditre cele mai mari provocări cu care e cofrutăm î prezet este reprezetată de îcercarea de realizare a uei teorii a totului care să uească legile di lumea cuatică cu legile di lumea macroscopică. Aceasta ar urma să eplice tot ce eistă î Uivers doar î termeii mecaicii cuatice. Nu este o sarciă ușoară, dar se îcearcă rezolvarea acestei probleme. După cum se poate vedea, matematica este mai mult decât u set de ecuații vagi și reguli complee pe care trebuie să le memorăm. Matematica este limbajul Uiversului și î procesul de îvățare acest limbaj e permite să îţelegem mecaismele de bază pri care fucţioează 95

96 Cosmosul. Acest demers matematic este cel ce e permite să eplorăm adâcurile Uiversului. Fiid o specie legată de sistemul ostru solar u avem icio posibilitate să călătorim pâă î cetrul galaiei oastre petru a cofirma vizual că eistă acolo o gaură eagră supermasivă. Nu avem posibilitatea să e aveturăm îtr-o ebuloasă stelară petru a urmări î timp real aşterea uei stele. Cu toate acestea, cu ajutorul matematicii, putem să îțelegem toate aceste caracteristici ale Uiversului. Atuci câd îvăţaţi matematica, u doar vă îmbogăţiţi cuoștițele, dar vă şi coectați cu Uiversul la u ivel fudametal. Marea poveste a Uiversului este scrisă î limbajul matematicii și capacitatea oastră de a traduce aceste valori umerice î eveimete despre care tuturor e place să îvăţăm este uimitoare. Î cocluzie, ceea ce simțim este că atuci căd îvățăm matematica, aceasta e coectează la stele. 96

97 MATEMATICA ÎN ARTĂ Maea Cristaa Isabela C.T.A.L.P. I.N Socolescu Bucuresti Profesor Îdrumător Dobrică-Văsi Laviia Matematica u este u limbaj, este o avetură. (Paul Lockhart). Pe parcursul ailor de școală am descoperit că matematica este u limbaj cu adevărat, deoarece tot ce e îcojoară este pur matematic. Aș putea spue că matematica este coloaa vertebrală a lumii, deoarece fără ea, lumea u ar mai sta î picioare.ea este regia știițelor, dar este regăsită si i arhitectură, ciematografie, pictură, teatru, muzică, etc. Aidoma lucurilor care e îcojoară este si pasiuea mea, descoperită î școala geerală, fotografia, ude ai cu adevărat evoie de matematică; petru a ieși o poză buă trebuie respectate regulile de compoziție, cum ar fi : secțiuea de aur, umărul de aur, regula treimilor, liii și pucte de forță, iclusiv îcadrarea; cui i-ar plăcea o poză strâmbă? Asel Adams spuea că Fotografia u este u accidet, este u cocept. Am căutat armoie ispirată de proporția diviă și de îmbiarea formelor geometrice. 97

98 Căutâd iformații despre fotografie, petru a obție o poză cât mai buă și corectă, am găsit date despre proporția diviă. Am văzut că este des îtâlită î atură, dar apare și î artă și arhitectură, totul avâd o corectitudie și o logică matematică. Fiid elevă la u profil ude u se face foarte multă matematică u am studiat imic despre șiruri, dar am căutat iformații după ce am citit î opera lui Da Brow, Codul lui Da Vici, cum u persoaj s-a folosit de șirul lui Fiboacci petru a codifica u mesaj vital poveștii. Secțiuea sau umărul de aur, sau proporția diviă, este folosită îcă di atichitate. Leoardo Fiboacci (70-50) a fost preocupat de șirul cuoscut drept Șirul lui Fiboacci : u șir, î care primii termei sut 0 și, apoi fiecare terme este suma celor doi ateriori lui. Limita acestui șir este umărul de aur,, u umăr irațioal, ca și e și π.el are o ifiitate de zecimale eperiodice, de forma, Numărul de aur se poate regăsi î pictura Moa Lisa, celebra creație a lui DaVici, compoziția făcâd-o ua ditre cele mai cuoscute opere de artă. Proporția di tablou se găsește ître distața ditre baza gâtului și pupila ochiului cu partea de sus a fruții; distața ditre partea dreaptă a obrazului și partea dreaptă a asului cu lațimea feței; distața ditre bărbie și partea de jos a buzelor cu distața ditre bărbie si baza asului. 98

99 Probabil Costati Brâcuși( ) este cel mai familiar ume romăesc petru operele de artă cuoscute atât ațioal cât și iterațioal.acesta a avut u umăr mare de sculpturi moderiste care a itrodus îtr-u mod sofisticat dar simplu forme umae i operele lui.câteva ditre lucrările sale celebre sut Coloaa Ifiitului și Poarta Sărutului. Coloaa Ifiitului preia î costrucția sa proporția diviă. Numărul π este o costată matematică a cărei valoare este raportul ditre circumferița și diametrul oricărui cerc îtr-u spațiu euclidia; este aceeași valoare ca și raportul ditre aria uui cerc și pătratul razei sale. De curâd u muzicia a folosit o cifră petru fiecare otă muzicală, obţiâd astfel u câtec care coţie toate cifrele lui pi, Sog from. Idiferet cât de grea pare, matematica este esețială petru susțierea îtregii lumi. Surse : - primele două poze sut făcute de mie, cu u cao 00 - pozele cu secțiue, tablourile și cele cu coloaa Ifiitului sut luate de pe google image wikipedia 4c-matematica-si-fotografia/ 99

100 Matematica i viata de zi cu zi Salcieau Deisa & Cora Adrei Colegiu Spiru Haret Ploiești Profesor coordoator: Beșleaga Ramoa Daca te uiti suficiet de atet, vei vedea ca matematica apare i mai toate lucrurile care e icojoara de la cladiri, drumuri sau trasport si paa la tehologia atat de idragita de copii. Cert este ca toti folosim matematica i diverse aplicatii practice de zi cu zi, fie ca e dam seama, fie ca u. Matematica este limbajul uiversal al mediului ostru, ce a ajutat omeirea sa eplice feomee si sa creeze obiecte timp de mii de ai. De la jocuri simple, la gestioarea timpului, matematica este vitala petru a ajuta elevii sa isi dezvolte creativitatea si sa isi trasforme doritele i realitate. Itrebarea italita cel mai adesea i radul elevilor este: La ce o sa-mi foloseasca atata matematica?. Bieiteles, cel mai importat beeficiu al matematicii este dezvoltarea gadirii si capacitatii de a procesa iformatii si a etrage cocluzii. Ei bie, iata alte cici aplicatii practice ale matematicii i viata de zi cu zi, care raspud acestei itrebari:. Matematica te ajuta sa costruiesti obiecte Daca itrebi orice costructor sau proiectat, iti va spue cat de importata este matematica i costruirea oricarui lucru. Petru a crea ceva ce va rezista i timp si va adauga valoare casei tale ai evoie de creativitate, ueltele potrivite, dar, cel mai importat, de o gama larga de cuostite matematice.. Matematica face gatitul distractiv I bucatarie gasesti mai multa matematica decat oriude altudeva i casa. La urma urmelor, retetele sut doar iste algoritmi matematici sau operatii de realizat pas cu pas. Bucataritul ecesita diverse cuostite matematice, precum: Masurarea igredietelor petru a urmari o reteta; Imultirea/ impartirea fractiilor petru a determia catitatile ecesare petru mai mult sau mai puti de u aumit umar de portii; Covertirea uei retete di grade Fahreheit i Celsius; 00

101 . Matematica scoate riscul di calatorit Matematica devie foarte utila atuci cad calatoresti, de la calcularea combustibilului petru masia i fuctie de kilometri parcursi, la orietarea i spatiu, folosirea uei harti si calcularea bailor i diverse valute. Petru a folosi orice harta, mai itai trebuie sa iti poti localiza pozitia cureta 4. Matematica te ajuta sa ecoomisesti bai Multi eperti sut de acord ca fara aumite abilitati matematice oameii tid sa ivesteasca, sa ecoomiseasca si sa cheltuie bai i fuctie de emotii. De obicei, persoaele care u stapaesc foarte bie aumite fudamete matematice fac greseli fiaciare mai mari. U elev care itelege cocepte precum cresterea epoetiala, va stii sa maagerieze mult mai bie, spre eemplu, u credit bacar. 0

102 5. Matematica iti permite sa iti gestioezi mai bie timpul Cea mai importata resursa pe care o avem este timpul. I ritmul de trai di ce i ce mai alert te poti simti usor depasit de atatea lucruri ce trebuie facute si obiective ce trebuie atise. Respectarea programului catareste i viata oastra de zi cu zi mai mult decat a catarit vreodata i istorie, dar este evoie de mai mult decat a citi u ceas sau u caledar petru a putea ramae i top. Ua ditre cele mai simple si bue metode de a gestioa timpul este crearea uor liste cu sarcii de facut. Iata ude itra matematica i joc! Citate Matematica este limba cu care Dumezeu a scris Uiversul. Galileo Galilei Cea mai îaltă formă a gâdirii pure eistă î matematică. Plato Matematiciaul este îmblâzitorul ce a domesticit ifiitul. Lucia Blaga Matematica este și va rămâe î viața oastră cât vom trăi. Ea e va ajuta mereu, î orice domeiu va fi evoie de ea. Sper că spusele oastre au fost pe placul dumeavoastră și vă vor facepe uii să vă schimbați modul de a gâdi! Vă mulțumesc petru ateția acordată! 0

103 MATEMATICI FINANCIARE - PROCENTE Corma Valeti, Liceul Tehologic Pamfil Șeicaru Ciorogârla, Jud. Ilfov Prof. Îdrumător Pricope-Sfetcu Ruadra De multe ori elevii își pu îtrebarea La ce mi folosește mie matematica? Aplicabilitatea matematicii are ramificații multiple î multe domeii ale vieții oastre de la fizică, chimie, costrucții,arhitectură,ecoomie. Apropierea matematicii de problematica atât de variată și de diamică a vieții ecoomice a îsemat pe de o parte dezvoltarea ei și apariția uor oi ramuri ale matematicii aplicate, iar pe de lta parte itroducerea rigurozității și preciziei matematicii î aaliza uor situații cocrete și î luarea uor decizii optime ecesitate de practica ecoomică. Rezultatele obțiute î ambele domeii stau mărturie afirmației că matematica și știițele ecoomice s au dezvoltat cocomitet puâdu-și reciproc probleme,căutâd împreuă soluții și furizâdu-și apoi suficiete argumete care să susțiă și să etidă diverse teorii idividuale sau comue ale acestora. PROCENTE Procetul- reprezita a suta parte ditr-o catitate data. p%= Tipuri de probleme:.-calcularea uui procet ditr-u umăr. De e: 0% di 50 =. 50 =59.-găsirea uui procet: De e: cât la sută reprezită 40 di 50? 50 =40 p=6%.-găsirea uui umăr câd se cuoaște procetul De e: umarul 5 este 40% di ce umar? 40%٠ = 5 = 5 ٠ 00 : 40 = 7,5 Eemple de utilizarea a procetelor.comisioul di vâzări- -plătit de agajator reprezetaților care lucrează î vazari directe petru a-i motiva să vâdă mai mult. Comisioul este î geeral î jur de 0% di vâzări. De eemplu,dacă u aget de vâzări.,are îcasari de 50 RONi îtr-o zi atuci el va primi 5 RONi comisio..discout - reducere de preț. Magaziele ofera deseori discout-uri la diferite produse. De eemplu,dacă u produs costă 00 RONi si i se aplică u discout de 5 % atuci el va fi vâdut cu 00-00٠5%=50 (RONi)..Adaosul comercial - difereța ditre prețul de vâzare către cosumator si prețul de achizițioare.de eemplu:u produs a fost achizițioat de la furizor cu 00RONi.Prețul de vazare 0

104 di magazi (stiid ca acesta practica u adaos comercial de 5%) este de 00+ 5%٠00=45 RONi. 4.Dobazi bacare-bacile comerciale atrag bai de la clieții sai pri coturi bacare, depozitele clieților reprezetid o sursa majora de foduri. Pricipalele coturi pe care băcile comerciale le pu la dispoziția clieților săi sut: -coturi curete (umite și coturi la vedere sau coturi de dispoibilități) î care titularii coturilor pot efectua operațiui de îcasări și plăți curete -coturi de depozit (depozite la terme) î care depuerile se fac pt. o perioadă de timp prestabilită (î geeral,, 6 sau lui) Î fucție de modalitatea de plată a dobâzii pot fi: -depozite cu capitalizare: periodic, dobâda se adaugă la suma depusă iițial. -depozite fără capitalizare: luar, dobâda se costituie îtr-u cot curet care-i asigură titularului acces la aceasta; î cazul î care clietul iși retrage suma depusă îaite de scadeța depozitului, dobada aplicată va fi mai mica (dobâda petru coturile curete) Taa pe Valoare Adaugată Defiiții T.V.A. este mai îtâi u impozit idirect, adică u impozit geeral de cosum, care se stabilește asupra operațiuilor privid trasferul buurilor și prestărilor de servicii cu plată sau asimilat acesteia. Are, deci,u caracter uiversal, deoarece se aplică asupra tuturor buurilor și serviciilor di ecoomic, rezultate atât di activitatea curetă de eploatare, cât și di activitatea fiaciară de fructificare a capitalurilor dispoibile. Î al doilea râd, T.V.A. este u impozit eutru uic, dar cu plata fracțioată. Este elimiată discrimiarea, deoarece cotele sale se aplica asupra tuturor activitaților ecoomice. Faptul ca plata este fracțioata rezulta di aceea ca se calculeaza pe fiecare veriga (stadiu) care itervie î realizarea și valorificarea produsului. Î al treilea râd T.V.A. se caracterizează pri traspareța, îtrucât asigura fiecarui subiect impozabil posibilitatea de a cuoaste eact și cocret care este marimea impozitului și a obligației de plata ce-i revie. 0 altă caracteristică este uicitatea, costâd î faptul ca idiferet de circuitul pe care îl parcurge materia prima paa la realizarea produsului fiit, adica deși trece pri doua sau mai multe societăți, este același ca ivel al cotei și ca marime. Ca atare, T.V.A. u este depedetă de îtiderea circuitului ecoomic. Î sfârșit, o altă trasatură este aceea că aplicarea T.VA. se face umai î țara î care produsul se cosuma; deci u ude se realizează produsul, ci acolo ude se cosumă. î coseciță, tot ce se eportă este degrevat complet de plata acestui impozit, dar ceea ce se importă se impue î mod corespuzător.. Modul de calculare și achitare a T.V.A. Cota T.V.A. se stabilește î mărime de 9% di valoarea impozabilă a livrărilor impozabile, cu ecepția livrarilor care se impozitează coform art.04 la cota zero. () Valoarea impozabila a livrarii impozabile, iclusiv costul trasportarii, reprezită valoarea livrări achitate sau care urmează a fi achitata (fără T.V.A.). () Daca plata petru livrare este, î totalitate sau parțial, achitata î epresie aturala, valoarea impozabili a ivrkrii impozabile costituie valoarea ei de piața. () Valoarea impozabiă a livrarii impozabile iclude suma țotală a tuturor impozitelor și taelor care urmează a fi achitate, cu ecepția T.V.A. Livrarile scutite de T.V.A. T.V.A. u se aplica pe urmatoarele livrări: l) locuița, pamâtul și tereul pe care se gasește locuița, areda acestora, dreptul de livrare și aredare a acestora, cu ecepția plăților de comisio aferete trazacțiilor respective; 04

105 ) produsele alimetare și ealimetare petru copii, coform listei aprobate î legea bugetului pe: aul respectiv; ) proprietatea de stat, răscumparată î procesul privatizării; 4) istituțiile preșcolare, cluburile, saatoriile și alte obiective cu destiație social-cultural și de locuit, precum și drumurile, și istalațiile petru etragerea apelor subterae și alte obiecte similare trasferate gratuit autorităților publice (sau, î baza deciziei lor, îtrepriderilor specializate care folosesc și eploatează obiectele respective coform deciziei), 5) mărfurile, serviciile istituțiilor de îvațamât, legate de procesul de producție și educativ, cu codiția alocarii mijloacelor obțiute di livrarea acestor mărfuri, servicii î scopuri de istruire geeral; serviciile de pregătire și perfecțioare a cadrelor; serviciile de istruire a copiilor și adolesceților î cercuri, secții, serviciile prestate copiilor și adolesceților sau folosirea istituțiilor sportive; 6) serviciile (acțiuile) îtreprise de către autoritațile abilitate, petru care se aplică taa de stat; toate tipurile de activități legate de taele și plățile îcasate de stat petru acordare de liceță, îregistrare și eiberare de brevete, precum taele și plățile îcasate de autoritățile admiistrației publice cetrale și locale și de alte autorități abilitate, de catre persoaele cu fucții de răspudere î cazul acordarii aumitor drepturi persoaelor juridice și fizice; serviciile acordate de catre membrii colegiului de avocați serviciile legate de eploatarea subsolului; aredarea fodului forestier și serviciile legate de folosirea resurselor aturae, petru care se efectueaza plățile la buget și î fodurile etrabugetare; 7) serviciile legate de operațiuile de acordare de licețe și eliberare de brevete (ca ecepția celor de itermediere), referitoare la obiectele proprietății idustriale, precum și obțierea drepturilor de autor; 8) proprietatea cofiscată, proprietatea fără stapâ, proprietatea trecută î posesiuea statului cu drept de succesiue; comorile; 9) serviciile legate de pază efectuate de Serviciul de Stat Pază al Miisterului Afacerilor Itere; 0) serviciile legate de îgrijirea bolavilor și a batrîilor; BIBLIOGRAFIE. Maual de matematică de clasa a X-a Autori Marius Burtea, Georgeta Burtea Editura Carmiis 00. Io Purcaru, Oaa Gabriela Purcaru Matematici fiaciare- Teorie și aplicații,editura Ecoomică

106 NUMERELE FRIEDMAN Mega Sarah Școala Gimazială Aleadru Depărățeau Roșiorii De Vede Profesor Îdrumător: Rotaru Carme Numere Friedma sut umerele îtregi ce se pot eprima folosid doar cifrele lor şi ua ditre următoarele operaţii aritmetice de bază: aduarea, îmulţirea, scăderea, împărţirea, ridicarea la putere şi cocatearea. Aceste umere poartă umele matematiciaului america Erich Friedma. El susție site-ul popular Math Magic dedicat matematicii recreative. Eemple: - 5= 5 - = - 5= = 6-8 = = = (4 ) 0. Primele 6 umere Friedma (secveţa A06057 î OEIS): 5,, 5, 6, 7, 8, 5, 6, 89, 4, 47, 65, 688, 76, 0, 04. Numărul Friedma petru care cifrele se pot scrie î epresie î aceeaşi ordie ca î umărul îsuşi se umeşte umăr Friedma ordoat ( orderly Friedma umber ). Primele 6 umere Friedma ordoate (secveţa A08005 î OEIS): 7, 4, 76, 85, 87, 50, 59, 77, 5, 685, 864, 97, 4096, 6455, 64, 664. Eemple: - 7 = = (+4) - 76 = = 5 9 BIBLIOGRAFIE: Eduard Dăcilă, Ioa Dăcilă- Matematică petru perfomață- clasa a V-a, Clubul matematicieilor, 04,

107 Numerele lui Fiboacci Opriță Ștefa Simio & Strătiau Biaca Ioela Liceul Regia Maria, Dorohoi Profesor îdrumător:mihoc Elisabeta.Cie a fost Fiboacci? Fiboacci, sau pe umele său real, Leoardo Pisao Bogollo ( sau Leoardo di Pisa ), a fost u matematicia care a trait itre 70 si 50, cosiderat de uii ca fiid cel mai taletat matematicia di Occidetul Evului Mediu. Î 0 a publicat cartea Liber Abaci ( Cartea abacului ), ude a folosit umele de fillius Boacci (fiul lui Boacio), di a cărui prescurtare s-a obtiut umele de Fiboacci..Ce sut umerele lui Fiboacci? Numerele lui Fiboacci sut umerele di șirul cu epresia de recureță de gradul doi = +, cu = și =. Astfel, se formează șirul,,,,5,8,,,4,55,89,44,,77,60,987,597,. O altă varietate a umerelor lui Fiboacci este șirul lui Lucas, care urmează aceeași formulă de recureță dar are = și =, obțiâdu-se șirul,,,4,7,,8,9,47,76,,99,,5,84,64,. Chiar dacă la prima vedere, umerele lui Fiboacci par a fi doar iște umere ditr-u șir ormal cu o epresie de recureță foarte simplă, acestea au iște proprietăți foarte iteresate, aplicații î matematică și iformatică, fiid chiar observabile î atură! 4.Propietăti și aplicații î matematică Probabil cea mai remarcabilă proprietate este relația lor cu raportul de aur, Φ (fi). Se observă că odată cu creșterea lui, raportul se apropie de Φ. Φ De asemeea, folosid pătrate cu laturi egale cu umere di șirul lui Fiboacci, se obție spirala de aur, o spirală cu factorul de creștere Φ 07

108 Numerele lui Fiboacci apar î următoarele idetități: -Idetitatea lui Cassii: -Idetitatea lui Catala (geeralizare la idetitatea lui Cassii): ( ) -Idetitatea lui d Ocage: ( ) Î geometrie, umerele lui Fiboacci sut folosite î geerarea de triplete Pitagoreice. Îcepâd cu al patrulea terme, fiecare al doilea terme di șir reprezită lugimea ipoteuzei ditru triughi dreptughic cu catetele de lugime îtreagă,,, Îtregul triplet de umere pitagoreice poate fi geerat cu ajutorul umerelor lui Fiboacci: Oricare 4 termei cosecutivi pot fi folosiți petru geerarea de umere pitagoreice: 4.Aplicații î iformatică Numerele lui Fiboacci sut folosite la geerarea de coduri și criptare, datorită uicității codului pe care îl formează. 5.Numerele lui Fiboacci î atură La o primă vedere, am putea spue că e imposibil ca ceva așa de abstract să fie prezet î jurul ostru, îsă, la o aaliză mai apropiată, e vie greu sa găsim abseța umerelor lui Fiboacci î lumea platelor. 08

109 Numărul de spirale ale uui co de pi, î ambele direcții, e aproape mereu două umere cosecutive di șirul lui Fiboacci. Numerele celor trei seturi de spirale de pe u aaas este, di ou, trei umere cosecutive di șirul lui Fiboacci. Pâă si graulele de pole de pe flori formează două seturi de spirale, umerele lor fiid umere cosecutive. Chiar și umărul petalelor se leagă de umerele lui Fiboacci! Dar cum se produce această arajare? Ei bie, răspusul se afla î modul cel mai eficiet de așezare al părților compoete î jurul platei. Să luăm de eemplu așezarea fruzelor. O plată dorește să utilizeze la maim suprafața fruzelor petru a produce fotositeză, și să ocupe cât mai eficiet spațiul. Petru asta, trebuie să își aleagă ughiul cel mai bu ditre fruze cosecutive. Dacă de eemplu ar crește fruzele la, deja după trei fruze, a treia fruză se va afla direct deasupra primei fruze, acoperid-o î umbră. De fapt, orice ughi de forma, la fiecare a k-a fruză, va acoperi complet fruza de jos. Asta daca k este u umăr rațioal, dar dacă este uul 09

110 irațioal? Aici itră î ecuație umărul Φ. Dacă o plată își crește fruzele la ughiuri de ( î ses trigoometric și î ses ivers trigoometric), va ocupa spațiul eficiet, fără a se produce acoperiri totale ale fruzelor. La fel se cresc și graulele de pole, petalele etc, fiid ievitbilă formarea de spirale cu propietățile eumerate mai sus. 6.Cocluzie Chiar dacă la o primă vedere, șirul lui Fiboacci pare u șir foarte simplu, fără utilizare, acesta se dovedește a fi foarte folositor și prezet î structura compleă a platelor. Păă la urmă, asta îseamă matematică: reguli simple, rezultate complee. Bibliografie:

111 Teorema lui Pitagora ieri şi azi Mal Aamaria și Mercea Adelia Liceul Teoretic Adam Muller Guttebru(Arad) Profesor coordoator: Borlea Maria Biografie: Pitagora s-a ăscut î aul 580 î.hr. î isula Samos. Îcă de tâăr a călătorit mult vizitâd Orietul Apropiat pâă î Idia. Câd s-a îtors î Samos, a dat peste Polycrates care a fost tira al Samosului î perioada 58-5 î.hr. Pitagora, el îsuși u mic dictator, s-a mutat la Crotoa, azi Crotoe î Italia, ude a îtemeiat cel mai totalitar colegiu posibil.pitagora și elevii săi s-au dedicat studiului matematicii,astroomiei și filozofiei.ei au descoperit teorema lui Pitagora si eistet umerelor irațioale.î astoomie ei au aflat ca Pămâtul este rotud și că se îvârte î jurul Soarelui,dar u eistă ici o urmă scrisă a operei lor. Teorema lui Pitagora: Îtr-u triughi dreptughic suma pătratelor catetelor este egală cu pătratul ipoteuzei. Ude: c reprezită lugimea ipoteuzei şi a,b lugimile celorlalte două laturi ale triughiului,catetelor Această teoremă a primit umeroase demostrații probabil cele mai multe ditre toate teoremele di matematică. Acestea sut foarte diversificate, icluzâd dovezi atât geometrice cât și algebrice, cele mai vechi datâd de acum mii de ai. Teorema lui Pitagora a fasciat de-a lugul mileiilor u umai geometrii de profesie ci și persoele cu cele mai variate ocupații.la îceputul secolului ostru erau ivetate,deja,70 de demostrații diferite. Aplicaţie: Aflați îălțimea uui trapez ABCD (AB CD) se cuosc:ad=bc= cm, AB=8 cm și CD=8 cm.

112 m(>e)=90 0 și AD= AE= AE= AE= AE=5 AD =AE +DE =5 +DE 69=5+DE DE =69-5 DE =44 DE= 44 DE=cm Reciproca teoremei lui Piagora:Îtr-u triughi, dacă pătratul lugimii uei laturi este egal cu suma pătratelor lugimilor celorlalte două laturi, atuci triughiul este dreptughi. Aplicaţie: Fie umerele 90,86,48 laturile uui triughi.stabiliţi ce fel de triughi este. 90 = = =8400=>triughiul este dreptughic cu ipoteuza egală cu 90 şi catetele 86 respectiv 48. Știați că... Î tetele babiloiee de acum 5000 de ai sut prezetate 5 triughiuri dreptughice, pritre care cele cu laturile: (5,,), (7,4,5), (8,5,7), (9,40,4)? Vechii costructori egiptei realizau ughiuri drepte destul de precise cu ajutorul fuiei cu oduri(echerul egiptea)? Petru a obţie o tripletă de umere pitagorice(umerele aturale care pot eprima lugimilor laturilor uui triughi dreptughic) este suficiet să îlocuim pe m şi, m>, cu umere aturale î epresiile: a=m +, b=m -, c=m? Îtradevăr: (m + ) =(m - ) +(m).

113 Dacă î locul pătratelor di reprezetarea cu care e-am obişuit petru teorema lui Pitagora am pue: -semicercuri de diametre egale cu laturile triughiului dreptugic, sau triughiuri echilaterale de laturi egale cu laturile triughiului dreptughic sau chiar triughiuri asemeea avem de fiecare dată aceeaşi relaţie: aria =aria +aria? Bibliografie:. Geometrie,Edwi E. Moise și Floyd L. Dows, Jr. Editura: Didactică și Pedagocică București- 98. Matematica gimaziului ître professor și elev,ioa Dăcilă. Editura: Corit București ahukewjvjtm64juahvikpokhdsddl0qfggkmaa&url=https%a%f%fro.wikipedia.org %Fwiki%FTeorema_lui_Pitagora&usg=AFQjCNHD7XKE7izKtLJDUZah_6h5er-g

114 PROBLEME CARE SE REZOLVĂ CU AJUTORUL ECUAŢIILOR Potoroacă Aleis Şcoala Nr.. Io Heliade Rădulescu, Bucureşti Î acest referat e propuem să prezetăm rezolvarea problemelor de aritmetică folosid ecuaţiile. La îceput sut descrise etapele (algoritmul) de rezolvare, iar apoi acestea se eemplifică pri rezolvarea a patru probleme. Î partea a doua este dată o listă cu probleme propuse petru cie este iteresat de metoda prezetată şi vrea să eerseze. Multe ditre problemele cu coţiut practic sau aplicativ se pot rezolva atât aritmetic, cât şi itroducâd o ecuoscută şi obţiâd o ecuaţie a cărei soluţie coduce la soluţia problemei. Ecuaţia ataşată problemei poartă umele de model matematic al problemei. Etapele de rezolvare a problemelor folosid modelul matematic a. Evideţierea datelor cuoscute şi a datelor ecuoscute şi otarea cu o literă a ecuoscutei (de obicei ); b. Stabilirea mulţimii î care poate lua valori ecuoscuta; c. Scrierea, cu ajutorul ecuoscutei, a relaţiilor date î euţul problemei şi obţierea uui model matematic (ecuaţie); d. Rezolvarea modelului matematic (iclusiv proba rezolvării); e. Iterpretarea rezultatului, formularea şi probarea răspusului la problemă. Eemple..Îtr-o curte sut 7 porci şi câteva păsări. Aflaţi umărul de păsări ştiid că umărul total de picioare ale porcilor şi păsărilor este 0. Rezolvare a. Datele cuoscute: umărul de porci: 7 şi umărul total de picioare: 0. Datele ecuoscute: umărul de păsări, pe care îl otăm cu. b. Cum umărul de păsări este atural, rezultă N. c. Modelul matematic este relaţia care dă umărul total de picioare, şi aume: d. Rezolvarea modelului matematic: N. Proba: (A). e. Î curte sut 4 de păsări. Proba: (A), deci problema este corect rezolvată.. Adrei are î bibliotecă 06 cărţi, aşezate pe trei rafturi. Pe raftul di sus sut cu 0 cărţi mai mult decât pe cel de jos şi cu 6 mai puţi decât pe cel di mijloc. Aflaţi câte cărţi sut pe fiecare raft. Rezolvare 4

115 a. Datele cuoscute: umărul total de cărţi: 06. Datele ecuoscute: umărul de cărţi de pe raftul de sus, pe care îl otăm cu. Pe raftul de jos sut 0 cărţi, iar pe cel di mijloc sut +6 cărţi. b. Cum umărul de cărţi este atural, rezultă N. c. Modelul matematic este relaţia care dă umărul total de cărţi, şi aume: ( 6) ( 0) 06. d. Rezolvarea modelului matematic: Proba: 00 (00 6) (00 0) (A). e. Adrei are 00 de cărţi pe raftul de sus, 00 0=90 de cărţi pe raftul de jos şi 00+6=6 cărţi pe raftul di mijloc. Proba: (A), deci problema este corect rezolvată.. Î trei cutii sut creioae: î prima cutie sut cu 8 creioae mai multe decât î celelalte la u loc, iar î a doua cu 8 mai puţie decât î a treia cutie. Dacă î a doua cutie ar fi cu 9 creioae mai puţi, atuci î aceasta ar fi de 6 ori mai puţie creioae decât î celelalte două la u loc. Câte creioae sut î fiecare cutie? Rezolvare a. Datele cuoscute: umărul total de cutii. Datele ecuoscute: umărul de creioae di cele trei cutii. b. Notam cu umarul de creioae di a doua cutie. Î a treia cutie sut 8 creioae, iar i prima 8 0 creioae. c. Modelul matematic este relaţia d. Rezolvarea modelului matematic: =78 6 Proba:6(6-9)=(6+8)+(. 6+6) (A) e. Răspus: Î a doua cutie sut 6 creioae, î a treia sut 6+8=4, iar î prima sut 4+6=60 de creioae. 4. O catitate de peşte a fost repartizată la trei magazie astfel: primul magazi a primit di îtreaga catitate, al doilea a primit 0, di ce a rămas, iar al treilea restul. Aflaţi catităţile repartizate la fiecare magazi, ştiid că primul a primit cu 4 kg de peşte mai mult decât al treilea. Rezolvare. Notăm cu catitatea totală de peşte. Primul magazi primeşte, al doilea primeşte Al treilea a primit 0, =:0. 0, 0 0 =7:0. Modelul matematic: -7:0=4. Se obţie =0. Primul magazie a primit 0kg, al doilea kg, iar al treilea 77kg. 5

116 PROBLEME PROPUSE. Determiaţi u umăr atural ştiid că dacă îl îmulţim cu şi apoi îl îmulţim cu 5, pri aduarea rezultatelor obţiem umărul 70.. Î trei lăzi sut 458 de cărţi. Î prima ladă sut cu 60 de cărţi mai mult decât î a doua, iar î a treia sut de două ori mai multe cărţi decât î a doua. Aflaţi umărul de cărţi di fiecare ladă.. Cristia, Răzva şi Oaa au împreuă 64 de lei. Dacă Răzva ar mai avea 4 lei, el ar avea jumătate di cât au Oaa şi Cristia împreuă. Dacă Răzva ar mai avea 6 lei, ar avea de două ori difereţa ditre sumele Oaei şi Cristiei. Câţi lei are fiecare? 4. Î ograda buicului sut găii, raţe şi purceluşi, î total 00 de capete. Dacă ar avea umai găii şi purceluşi, ar avea 0 picioare, dacă ar avea umai raţe şi purceluşi, ar avea 0 picioare, iar dacă ar avea raţe şi găii ar avea 0 picioare. Câte raţe, găii şi purceluşi are buicul? 5. Distaţa ditre casa lui Răzva şi şcoala la care îvaţă este de 500 metri. Îtr-o săptămâă Răzva se îmbolăveşte şi trebuie să abseteze de la şcoală. Aflaţi câte zile a absetat Răzva de la şcoală, dacă î săptămâa respectivă a parcurs kilometri. 6. O pereche de patofi costă cât două ghiozdae, iar două ghiozdae costă cât trei tricouri. Determiaţi costul uei perechi de patofi, al uui tricou şi al uui ghiozda, dacă tricouri, ghiozdae şi o pereche de patofi costă 8 de lei. BIBLIOGRAFIE. Gh. Turcitu, N. Ghiciu, C. Basarab, I. Rizea, D, Mic, M. Basarab, MATEMATICĂ MANUAL 7, Editura RADICAL, Craiova, Daa Radu, Euge Radu, Matematică, Maual petru clasa a VII-a, Editura TEORA, Bucureşti, C. Chiteş, D. Chiteş, I. Cicu, S. Moldoveau, Complemete de matematică petru clasa a VII-a, Editura Corit, 009 6

117 Despre umerele complee-o problemă cu umere complee Vlăduţ Valeti, Iacob Mihai Liceul Tehologic Special r, Bucureşti Prof. coordoator: Voiculescu Carme-Elea Numerele complee au apărut î perioada Reaşterii, sub umele de catităţi imposibile, di evoia de a rezolva ecuaţia timp, umerele imagiare s-au dovedit ecesare î geometria plaului euclidia: u umăr comple se poate reprezeta ca u puct î pla, îmulţirea umerelor complee corespude uei rotaţii î jurul origiii plaului, legile trigoometriei elemetare se pot eprima şi ele cu ajutorul umerelor complee. Orice igier ştie că umerele complee sut utile î studiul circuitelor electrice şi că mulţimimile fractale se defiesc porid de la trasformări cu umere complee. Cel care a reprezetat petru prima oară geometric umerele complee, ca pucte î pla, a fost sir William Rowa Hamilto, igier di Dubli. Ai de zile după aceea a îcercat să costruiască u sistem de umere asemăător, reprezetabil pri puctele spaţiului tridimesioal. Pâă î ziua de 6 octombrie 84 câd, trecâd podul Broome di Dubli, a îţeles că u î spaţiul tridimesioal, ci î cel patru-dimesioal trebuie să lucreze. Şi a ivetat cuaterioii, umere î care itră patru uităţi imagiare, i, j, k, sau, dacă vreţi perechi de umere complee, aşa cum şi acestea sut perechi de umere reale. Algebra cuaterioilor e mai complicată decât cea a umerelor complee, dar e şi ea legată de geometrie: îmulţirea cuaterioilor corespude produsului vectorial di spaţiul euclidia. Iar azi, ştim că oţiui fizice ca spiul particulelor de eemplu, se pot modela cu ajutorul cuaterioilor şi chiar cu ajutorul uor umere şi mai complicate. Pe acelaşi model al trecerii de la real la comple şi de la comple la cuaterioic, pri dublare, adică pri formarea de perechi, se poate trece de la cuaterioi la octoioi. Pas făcut de Cayley, tot î secolul al 9-lea. Octoioii au şapte uităţi imagiare, si- ca şi cuaterioii, sut utili petru modelarea aumitor feomee fizice, sut folosiţi î teoriile de câmp şi î teoriile de strig. Atât despre îceputurile umerelor complee şi despre utilităţile lor. Prezetăm, î cotiuare, o problemă cu umere complee şi rezolvarea ei. Problema Fie poliomul P(z)=, ude z este u umăr comple. ) Determiaţi două umere reale a şi b petru care poliomul se descompue î forma: P(z)=( )( ). ) Rezolvaţi î mulţimea umerelor complee ecuaţia P(z)=0. ) Fiaţi imagiile M,N,P,Q ale umerelor complee m=-+4i, =--4i, p=+i, q=-i, î reperul cartezia Oy. 4) a) Determiaţi umărul comple z petru care = i şi fiaţi imagiea lui K. b) Demostraţi că triughiul MPK este u triughi dreptughic isoscel. 5) a) Determiaţi afiul puctului L, al patrulea vârf al pătratului MKPL. 7

118 Rezolvare b) Găsiţi abscisa puctului R aflat la itersecţia aei absciselor cu dreapta KL. c) Arătaţi că puctele M,N,P,Q aparţi cercului de cetru R. ) ( )( )= ( ) ( ) ( ). Egalâd cele două polioame, obţiem sistemul de ecuaţii cu ecuoscutele a şi b ( se verifică toate egalităţile): { de ude a=-4 si b=, deci obţiem descompuerea poliomului : P(z)=( )( ) ) P(z)=0 dacă şi umai dacă cel puţi u factor al produsului este zero. Egalăm cele două parateze cu zero şi rezolvăm ecuaţiile de grad folosid algoritmul îvăţat. Vom avea două cazuri: a=,b=-4,c= si de ude = +i si = -i a=,b=4,c=0 si de ude = -+4i si = --4i ) Se reprezită puctele M(-,4), N(-,-4), P(,), Q(,-) î sistem de ae. 4) a) = i = i z--i=zi+i-4, ude z(-i)=6+5i z=, deci K(, ). b) = = = PK=MK, deci triughiul este isoscel. Cum (PK, MK) = arg( )+k = arg(i) +k = +k, triughiul MPK este şi dreptughic. 5) a) Petru că MPKL este pătrat, trebuie să avem PK=LM, ude L(l). Cum l=m-k+p=-+4i- - ++i, deci l= b) det(kl,kr)= = + 4= 0, =-. c) Calculăm RM,RN,RP,RQ şi verificăm dacă au aceeaşi valoare, de aici rezultâd că sut pe cercul de cetru R. Se foloseşte formula petru distaţa ditre două pucte cu coordoatele cuoscute. 8

119 Bibliografie ) ) 9

120 PROGRESII GEOMETRICE Elev: Briba Elea Aleadra & Crăciu-Io Floretia Şcoala: Colegiul Naţioal Mihai Emiescu, Bucureşti Profesor îdrumător: Dumitru Săvulescu Î acest referat e propuem să prezetăm oţiuea de progresie geometrică pe care o eemplificăm cu o serie de eerciţii rezolvate. Partea a doua coţie u umăr de probleme propuse petru cei iteresaţi şi o listă bibliografică. Defiiţie: U şir de umere, cu primul terme eul, avâd proprietatea că fiecare terme al său, îcepâd cu al doilea, se obţie di termeul precedet îmulţit cu acelaşi umăr real eul, se umeşte progresie geometrică. Reformulare: U şir de umere b cu b 0 se umeşte progresie geometrică dacă petru orice are loc relaţia: b b q, ude q 0 este u umăr costat dat. Observaţii Numărul eul q se umeşte raţia progresiei geometrice.. Îtr-o progresie geometrică, raportul ditre orice terme şi predecesorul său este egal cu acelaşi umăr, şi aume, raţia q: b q b,.. Progresia geometrică b, este bie determiată, atuci câd se cuosc primul terme b şi raţia q: b = b q; b = b q = b q q = b q ; b 4 = b q = b q q = b q ;... b = b q.. Spuem că umerele b, b,, b sut î progresie geometrică dacă ele sut termeii cosecutivi ai uei progresii geometrice. 4. Evidet, dacă raţia q > 0 şi b > 0 progresia geometrică este şir crescător, dacă raţia 0 < q < şi b > 0 o progresie geometrică este u şir descrescător, iar dacă raţia q = progresia geometrică este u şir costat. Petru q < 0, progresia geometrică u este mootoă. 0

121 PROPRIETĂŢILE PROGRESIEI GEOMETRICE P : Dacă :: b, b,, b, b, b, este o progresie geometrică cu termei pozitivi, atuci petru orice are loc relaţia: b b b. P : Fie şirul de umere b, b,, b, b, b, cu proprietatea că petru orice are loc relaţia: b b b. Atuci şirul dat este o progresie geometrică. Termeul de rag al uei progresii geometrice b este dat de formula: b b q,. Suma primilor termei ai progresiei geometrice b este dată de formula: S ( b ) q, q,. q Propoziţie. Îtr-o progresie geometrică, produsul oricăror două umere egal depărtat de umerele etreme este egal cu produsul umerelor etreme. Reformulare. Dacă umerele reale b, b,, b, b sut î progresie geometrică atuci: b b b b, k N, k. k k EXERCIŢII REZOLVATE. Fie progresia geometrică b cu b = şi q =. Calculaţi: Rezolvare. Ţiâd seama că b b q, () obţiem: b, b 0, b 8. b b q ; b q 8 b ; b q 6 b.. Fie progresia geometrică b cu b =, q =. Calculaţi S, S 0 Rezolvare. Cu formula ( b q S ), q, obţiem: q S 0 0 ( ) 0 ( ) ; S ( ) ( ), S,. S, N*. ( ) 7 4 ;. a) Să se găsească suma primilor 0 termei ai progresiei geometrice:,, 4, 8, 6, b) Fiid date b =, = 5, b 6 = 96, se cer q şi S.

122 c) Fiid date = 5, q =, S5, se cer b şi b 5. 7 d) Fiid date b6 b 4 = 7, b b = 9, S = 45, se cer b, q şi. Rezolvare. a) Avem: b =, q =, = 0. Folosid formula ( b q S ), obţiem q 0 S b) Di b 6 = b q 5, avem: S 6 bb 6q q q b b 6 6. Deci S 6 = q c) Folosid formula ( b q ) S( q) S, rezultă b q q b q 4, obţiem b 5 = 7. d) Di primele două codiţii rezultă b q ( q ) 7 b ( q ) 9 4. Să se calculeze Soluţie. Petru =, avem Scăzâdu-le obţiem: de ude avem succesiv: b q 5 q 0, cu soluţia uică reală q =, de ude 5 bq 7, q 8 0, cu soluţia uică reală q =. S ( )..., R, N*., iar după îlocuire obţiem b =. Di b 5 = b q b 9. Împărţidu-le rezultă: ( ) S().... Petru, cosiderăm: S ( )... ( ) S ( )... ( ) 4 ( ) ( ) (... ) S, ( ) S( ) ( ), S ( ) ( ), ( ) ( ) S( ) PROBLEME PROPUSE, adică. Determiaţi o progresie geometrică, ştiid că: b + b + b + b 4 + b 5 = a şi bk bk bk bk 4 bk 5 a, k N, k, a > 0.. Fie b o progresie geometrică: a) Dacă S 40 şi S6 60, calculaţi S 9 ;

123 b) Dacă S6 0 şi S 40, calculaţi S 4 şi S 6.. Suma primilor patru termei ai uei progresii geometrice este 0, iar suma următorilor patru termei este 60. Determiaţi primul terme şi raţia progresiei geometrice. 4. Determiaţi progresia geometrică a, ştiid că a + a + a =4 şi că a a a Primul terme al uei progresii geometrice crescătoare este, primul terme al uei progresii aritmetice este tot. Termeii de ragul al doilea di cele două progresii sut de asemeea egali ître ei. Termeul al treilea di progresia geometrică şi termeul al treilea di progresia aritmetică sut î raportul. Să se afle cele două progresii Determiaţi umerele reale a, a, a, ştiid că ele sut termei cosecutivi ai uei progresii aritmetice, şi că, a 8, a 6, a sut termei cosecutivi ai uei progresii geometrice şi că a + a + a = Determiaţi umerele îtregi a, a, a, a 4, ştiid că a, a, a sut umere î progresie aritmetică, a, a, a 4 sut umere î progresie geometrică, a + a 4 = şi a + a =0. 8. Determiaţi,y,z R, ştiid că: ), y, z sut umere î progresie geometrică; ), y + 4, z + sut umere î progresie geometrică. 9. Să se calculeze suma: S a a 5 a... ( ) a Se cosideră şirurile a şi b defiite pri: a =, a = a a, a b = a,. Demostraţi că şirul ( b ) este o progresie geometrică.. Să se demostreze că şirul b este o progresie geometrică, dacă şi umai dacă are loc relaţia: S b b b b b, N,, ude S = b + b + + b, b b. BIBLIOGRAFIE:. C. Dragomir, N. Dragomir, M. Yupari, T. Deacou, D. Săvulescu, I. Roşu, C Mari, M. Buzilă, C. P. Nicolescu, ALGEBRĂ. Eerciţii şi probleme petru elevii claselor a IX-a şi a X-a. Editura şi tipografia ICAR, Bucureşti,. C. Coşiţă, F. Turtoiu, Probleme de algebră, Editura Tehică, Bucureşti, D. Adrica, D. i. Duca, I. Purdea, I. Pop, Matematica de bază, Editura Studium, Cluj-Napoca, C. Năstăsescu, C. Niţă şi colectiv, Probleme de algebră petru clasele IX-XII, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, Gh. Adrei, C. Caragea, I. Cucurezeau, Gh. Bordea, Probleme de algebrăpetru cocursuri de admitere şi olimpiade şcolare, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 99.

124 ARHIMEDE Puiu Diaa-Mihaela Colegiul Națioal Mihai Emiescu Bucuresti Prof. îdrumător: Săvulescu Dumitru Arhimede a fost u îvățat al lumii atice. El a fost u mare savat grec, pricipalele lui iterese fiid matematica, fizica, astroomia şi igieria. Se cuosc puție detalii despre viața lui, dar este cosiderat drept uul di pricipalii oamei de știiță di atichitate. El s-a ăscut î Siracuza, Sicilia, î aul 87 î. Hr., data aşterii fiid aproimativă, bazată pe raţioametul uui savat bizati, Joh Tzetzes. Fiul al astroomului pe ume Phidias de la care se pare că a moșteit pasiuea petru știiță, păritele epresiei Evrika a studiat î Aleadria la școala îtemeiată de Euclid ude i-a cuoscut pe marii matematiciei Coo di Samos, Dositheos di Pelusio şi Eratostee. Toată viața sa Arhimede a urmat eemplul oferit de Euclid, om care u avea u ba, ici u urmărea să-l câștige și a fost profesor al multor elevi care au ajus mari îvățați ai Atichității. A murit î aul î.hr, î timpul celui de-al Doilea Război Puic, câd oraşul Siracuza a fost capturat de romaii coduşi de Geeralul Marcus Claudius Marcellus. Se spue că Arhimede studia o diagramă matematică atuci câd u soldat a veit la el să îl ducă î faţa Geeralului, îsă acesta a refuzat, spuâd că trebuie mai îtâi să îşi termie treaba. Soldatul s-a îfuriat şi l-a ucis pe Arhimede, ale cărui ultime cuvite ar fi fost: Nu-mi deraja cercurile", făcâd referire la diagrama sa. Coform doriţei sale, mormâtul coțiea o scupltură care ilustra demostrația lui matematică favorită, costâd ditr-o sferă și u cilidru cu același diametru și îălțime. Arhimede a arătat că volumul și aria laterală a sferei sut egale cu / di volumul și aria cilidrului iclusiv bazele. Acest mormât a fost descoperit de Cicero, chestor roma, î aul 76 î.hr. Arhimede era u om distrat, ca de altfel toți oameii de știiță, care deseori petru a desea sfere și cilidri pe isip, cum se obișuia pe atuci, uita chiar să măâce sau să se spele. Cercetările sale poreau de la o observare atetă a feomeelor aturale. Îtr-o zi, de eemplu, Hiero i-a dat să cotroleze o coroaă, pusă la socoteală de către bijutier ca fiid î îtregime di aur, dar cu rugămitea să u o scrijelească. Săptămâi îtregi a căutat î zadar Arhimede u sistem. Îtr-o dimieață îsă, i s-a îtâmplat să observe că ivelul apei se ridica pe măsură ce corpul i se cufuda î cadă și că î același timp câtărea parcă mai puți. Așa a ajus să formuleze faimosul pricipiu că u corp cufudat î apă pierde î greutate echivaletul apei pe care o dislocuiește. Și imediat i-a fulgerat pri mite ideea că odată cufudat, u corp îlocuiește o catitate de apă proporțioală cu propiul volum. Aducâdu-și amite că u obiect di aur are u volum mai mic decât uul di argit de aceeași greutate, a făcut eperimetul cu coroaa și a costatat că dislocuia mai multă apă decât dacă ar fi fost făcută doar di aur, deci era u fals. Arhimede a adus multe cotribuţii î matematica teoretică. Este cosiderat de uii chiar cel mai bu matematicia di toată perioada atichităţii. De eemplu, el a folosit calculul ifiitezimal îtr-u mod similar folosirii itegralelor - deşi acestea u erau cuoscute pe atuci - petru a aproima valoarea lui π, rezultatul fiid u umăr cupris ître,408 şi.49. A avut dreptate, valoarea lui π fiid,45 Cea mai cuoscută lucrare a sa este Măsurarea cercului, ea coţiâd trei teoreme, îsă fiid doar îceputul uei muci lugi şi aevoioase. Propoziția îtâi: Aria uui cerc este egală cu aria uui triughi dreptughic care are lugimea uei laturi adiacete ughiului drept egală cu raza cercului, iar cealaltă latură egală cu circumferița cercului. Orice cerc care are circumferița c și raza r are aria egală cu aria uui triughi dreptughic ale cărui catete sut egale cu c și r. Această propoziție este demostrată pri metoda epuizării. 4

125 Propoziția a doua: Aria uui cerc este egală cu pătratul diametrului său multiplicată cu pe 4. Această propoziție u putea fi scrisă de Arhimede, deoarece aproimația depide de Propoziția a treia. Propoziția a treia: Raportul ditre circumferița oricărui cerc la diametrul său este mai mare decât și mai mic decât. Această aproimație este ceea ce oi umim costata matematică π. Arhimede a găsit limitele umărului π pri îscrierea și circumscrierea uui cerc cu două poligoae regulate similare avâd 96 de laturi. U alt tratat importat este Cuadratura parabolei ( Tetragoismos paraboles ), scris de Arhimede î secolul III î.hr. sub forma uei scrisori adresate prieteului său, Dositheus, cuprizâd douăzeci şi patru de teoreme despre parabole. El a folosit metoda epuizării complete petru a calcula aria uui arc de parabolă pri sumarea uei serii ifiite O altă carte iteresată şi chiar îdrăzeaţă este Calculul firelor de isip. Arhimede doreşte să calculeze câte fire de isip îcap î Uiversul cuoscut pâă atuci. Petru a face asta, Arhimede a fost evoit să estimeze dimesiuea Uiversului, bazâdu-se pe modelele eistete î acea perioadă, aceasta efiid îsă sigura problemă. El trebuia de asemeea să găsească o metodă de a lucra cu umere etrem de mari. Reuşeşte î cele di urmă să euţe u umăr egal cu urmat de 800 de milioae de zerouri, u umăr mult mai mare decât firele de isip ce ar îcăpea î uivers, pe care le-a estimat la 0 5. O altă lucrare de care Arhimede era foarte mâdru este Despre sferă şi cilidru, motiv petru care a cerut ca î mormâtul lui să fie deseate cele două figuri geometrice. Arhimede demostrează că raportul ditre aria uei sfere şi cea a cilidrului circumscris este egală cu raportul ditre volumele celor două corpuri (şi aume eact /). Față de ivețiile sale, scrierile matematice ale lui Arhimede au fost puți cuoscute î atichitate. Matematicieii di Aleadria îl cuoșteau și l-au citat, dar prima compilație cuprizătoare despre el u a fost dată pâă î jurul aului 50 d.hr. de Isidore di Milet, î timp ce cometariile lui Eutocius di Ascalo di secolul VI d.hr. au deschis larg porțile cuoașterii lucrărilor lui Arhimede. Câteva copii ale lucrărilor lui Arhimede care au supraviețuit pâă î Evul Mediu, au fost o sursă de ispirație petru oameii de știiță di timpul Reașterii, cum ar fi Fermat, Pascal, Galileo Galilei, iar descoperirea î 906 a uor lucrări ecuoscute ale lui Arhimede, au oferit oi perspective de îțelegere a modului î care a obțiut rezultatele matematice Bibliografie Arhimede, S.I. Luria, editura Știițifica

126 Puct... şi de la capăt! ( eseu argumetativ) Rotaru Adreea Școala Gimazială Sfâtul Nicolae București. Sector. Profesor îdrumător: Cozma Gabriela Ai îtregi, lui eumărate, săptămâi fără sfârşit, zile greu de dus la fial, ore fără oimă, miute palpitate, clipe de euitat... Mai e ecesar să cotiui?! Ei,bie, eu cred că u! Totul... ca acestea să se rezume la poze, amitiri şi u simplu,,nu o să vă uit!,,. Mi-am trăit aii copilăriei îtr-o astfel de lume, chiuidu-mă să îţeleg tot ce se itâmplă, ce eram, ce am deveit, memorâd formulele succesului, preparâd leacul vieţii ifiite, puâdu-mi des îtrebarea,,de ce?,,... ca să realizez că mai am u sigur pas şi se termiă! Nici măcar u am avut timp să vizualizez asamblul sau măcar să îţeleg spre ce mă îdrept! Căd? Căd s-au îtâmplat toate? Cââââd?,,... Şi! Şi ce? Asta a fost tot? Câtă frămâtare petru o simplă eplicaţie,,soarta!,,. Dar oare chiar soarta a furat o bucată a vieţii? S-a scurs timp, s-au parcurs distaţe, s-au umplut suprafeţe, s-au zărit ecuoscute, s-au găsit soluţii, s-au făcut mulţimi cu mii de fucţii, aflate î grafic. Toate acestea sut oţiui ale matematicii, cea care mi-a scos peri albi, mi-a făcut capul caledar, mi-a mâcat timp preţios, doar petru u rezultat baal. Poate că ea iflueţează viaţa. Trasformă oţiui relative î eactitate, îcadrâd fericirea î limitele uui iterval îchis. De eemplu, timpul, oţiue eclară, edefiită, edescoperită î profuzime, î matematică este fragmetat î ore, miute, secude etc, putâd fi scrise ua î fucţie de alta. Lucru ecesar? Nu prea cred! Ar vrea oare cieva să ştie că a îmbătrâit sau cu cât?!... Aşa credeam şi eu! Apoi, mulţimea, grup îchis de matematică ître acolade, lucru efiresc. Elemetele mulţimii au evoie de comuicare cu mediul eterior, dar u pri operaţii precum reuiuea, o simplă etidere umerică, itersecţia, ciocirea rău iteţioată ce are î vedere majoritatea şi discrimiarea mioritaţii sau, cea mai rea ditre toate, difereţa. Îi spue şi umele cât de malefică este. Îtr-o lume î care toţi ar fi trebuit să fim egali, difereţa favorizeaza elemetele care sut î A, dar u sut î B. Şi câd îmi amitesc de proiecţie.... Proiecţia uei drepte pe pla se reflectă î viaţă ca lipsa uicităţii, care dezvoltă feomeul umit,,efect De Turmă,,, ce e aduce pe toţi la titlul de proiecţii. Dar după această descarcare, parcă, pliă de ură, mi-a veit î gâd vorba doamei profesoare de matematică,,variaţiui pe aceeaşi temă...,, şi mi-am dat seama că u doar matematica mi-a umplut aceşti ai, ci şi româa, chimia, fizica, biologia şi toate acestea. Dar cea de pe urma căreia am realizat valoarea timpului este matematica, cea care mi-a deschis ochii spre viaţă. Dacă am îcadra viaţa şi matematica î două triughiuri, am observa că ughiurile di care le privim sut aceleaşi, îsă lugimea laturilor diferă î fucţie de fiecare. Astfel, am demostrat asemăarea celor două oţiui,viaţa şi MATEMATICA. 6

127 Şi ca u ultim argumet î acest sistem de ecuaţii, vreau să deschid ochii tuturor spre STRUCTURA lor: Vie profesoara î clasă şi scrie pe tablă umele uui ou capitol. La îceput e greu, apoi te acomodezi îcetul cu îcetul, îtelegi, dezvolţi, (îţi) apar problemele, apoi, rezolvările, soluţiile, apoi, te desprizi uşor, uşor de orice ajutor şi îcepi să te descurci sigur. Câd ai impresia că d-abia ai îceput, capitolul ia sfârşit, îsă efectele lui sut de lugă durată, deoarece, la capitolul următor ai evoie de iformaţiile aterioare, pe pricipiul,,cărămidă peste cărămidă,,... La fel este şi î viaţă! Patru ai am îcercat să eprim matematica pri viziuile altora, precum citatele marilor matematiciei, eperimetele oameilor de ştiiţă, pri corelarea cu alte disciplie, iar acum, la sfârşitul uei etape a vieţii, mi-am dat seama că pot eprima matematica î fucţie de ce ştiu eu, ce-am trăit şi ceea ce simt. Matematica este desfătarea uei miţi puterice! 7

128 Ragul uei matrice Irimia Adrei Colegiul Națioal Mihai Emiescu București Profesor îdrumător: Dumitru Savulescu Defiiţie : O matrice m este o serie de m itrări, umite elemete, arajate î m liii şi coloae. Î cazul î care o matrice se otează cu A, elemetul di râdul i şi coloaa j se otează cu a ij şi matricea se scrie : O matrice pătratică este o matrice î care umărul de liii m este egal cu umărul de coloae. Egalitatea a două matrice. Egalitatea a două matrice îseamă că, dacă A şi B sut egale, atuci fiecare este o copie idetică a celeilalte. Aduarea a două matrice. Aduarea de matrice A şi B este defiită umai î cazul matricele au acelaşi umăr de râduri şi cu acelaşi umăr de coloae. Să cosiderăm A = [ a ij ] și B = [b ij ] să fie matrice m. Matricea m formată îcât elemetul di liia i şi coloaa j este petru fiecare i şi j este a ij + b ij petru I și j este matricea A+B. 8

129 Îmulţirea matricelor. Este importat să observaţi că, atuci câd produsul AB este defiit, produsul BA este î geeral diferit sau poate să ici u fie defiit.se pot îmulţi matrice de tip m cu matrice p, iar rezultatul este o matrice de tip mp. Traspusa uei matrice.. Să cosiderăm matricea m, A [a ij ]. Atuci traspusa lui A, otată de A T este matricea obţiută schimbâd liiile î coloae petru a produce o matrice m, A T [a ij ] Eemplu: A=. /, A T =. / A=. /, A T =( ) Determiatul uei matrice. Fiecare matrice pătratică, are ca elemet asociat u sigur umăr determiat al lui A. Dacă A este o matrice, determiatul lui A este idicat pri afişarea elemetelor lui A ître două bare verticale, după cum urmează: E. Determiat de ordiul. = ( ) Determiat de ordiul = ( ) ( ) Ragul uei matrice. Fie A, ( ), o matrice eulă. Spuem că matricea A are ragul r şi otăm rag A r, dacă A are u mior eul de ordi r, iar toţi miorii lui A de ordi mai mare decât r (dacă eistă) sut uli. Eemplu: Să se determie ragul matricii: ( ) 9

130 Alegem ca mior de ordiul îtâi elemetul: îcât să-l coțiă și pe =. = 0.Apoi, alegem miorul de ordial doi astfel Mai departe, alegem miorul de ordi trei astfel îcât să coțiă și pe =0; Deoarece toți miorii de ordi sut uli, iar cel mai mare mior eul este de ragul, rezultă ca ragul lui A este egal cu. Eerciții propuse spre rezolvare: ) Calculați ragul matricelor. A( ) =. /. / ( ) )Să se determie ragul matricei A î fucţie de valoarea parametrului a. ( ) )Să se calculeze ragul urmatoarelor matrice: a). / ; b). / ; c). / ; d). / ; 4) a) Matricea A Є M(R) verifică relatia A =. /. Aflați ragul matricei A. b) Matricea A Є M(R) verifică relația A =. /. Determiați ragul matricei A. 5) Se cosidera matricele A,B Є M(C) astfel îcât AB=BA si A = B =I.Să se arate că (A+B)=. 6) Fie sistemul { }.Să se determie a, b astfel îcât determiatul pricipal al sistemului să fie de ordi. 7) Determiați a Є R, astfel îcât rag(a)=, ude A=( ). 8) Petru ce valori reale al lui a ragul matricei A= este egal cu? 0

131 9) Eistă a Є R astfel îcât rag(a)=, ude A= 0) Aflați valorile lui a,b,c petru care raga=, ude Bibliografie: Maual Matematica Clasa a XI-a Editura Cardial

132 Numărul de aur Ilie Adrei, Vlad Ştefa Dragoş Liceul Tehologic Ecoomic Admiistrativ Piatra Neamţ Prof. Ioa Humă Secțiuea de aur (umită ueori și Raportul de aur, Proporția de aur, Numărul de aur), otată cu litera greacă Φ sau și cu υ, care se citesc "fi", este primul umăr irațioal descoperit și defiit î istorie. El este aproimativ egal cu,680 și poate fi îtâlit î cele mai surprizătoare împrejurări. Euclid l-a deumit pe Φ ca fiid simpla împărțire a uui segmet de dreaptă î ceea ce el a umit "medie" și "etremă rație". Iată cuvitele lui: "Spuem că u segmet de dreaptă a fost împărțit î medie și etremă rație atuci câd segmetul îtreg se raportează la segmetul mai mare precum se raportează segmetul cel mare la cel mai mic". Raportulde aur este u umăr iraţioal care poate fi calculat cu ecuaţia coduce la., care Î literatura matematică de specialitate secțiuea de aur mai are ca simbol și litera grecească τ (tau), luată de la cuvâtul grecesc τομη, to-mi, care îseamă "tăietură" sau "secțiue". Abia la îceputul secolului XX, matematiciaul america Mark Barr i-a dat raportului umele de Φ, proveid de la prima literă di umele celebrului sculptor Phidias, care a trăit aproimativ ître î.hr. Cele mai mari realizări ale lui Phidias au fost statuile "Athea Parteos" di Atea și Statuia lui Zeus di Olympia. Barr a decis să-l ooreze cu acest gest, deoarece mulți istorici ai artei au susțiut că acesta a folosit de multe ori secțiuea de aur î lucrările sale. Î literatura dedicată matematicii distractive cele mai folosite ume sut: Secțiuea de Aur, Raportul de Aur, Numărul de Aur și Φ. Dat fiid etuziasmul geerat de acest umăr îcă di atichitate, am putea crede că umele de "Secțiuea de Aur" are origii vechi. Totuși, aumite cărți prestigioase di istoria matematicii, precum Natura Matematicii î Epoca lui Plato de Fraçois Lasserre, sau O Istorie a Matematicii de Charles B. Boyer, plasează origiea acestui ume î secolele XV respectiv XVI. Numărul Φ a fost cuoscut îcă di atichitate, iar di secolul XIX a primit umele de "Secțiuea de Aur", "Numărul de Aur" sau "Raportul de Aur". Prima defiiție clară a umărului a fost datată pri jurul aului 00 î.hr. de către Euclid di Aleadria, păritele geometriei ca sistem deductiv formalizat. Asemeea umere esfârșite i-au itrigat pe oamei îcă di atichitate. Se spue că atuci câd Hippasus di Metapotum a descoperit, î secolul V î.hr., că Φ este u umăr care u este ici îtreg (e:;;...), ici raportul ditre două umere îtregi (precum fracțiile:/,7/6,45/90,etc., care sut cuoscute î asamblu drept umere rațioale), adepții faimosului matematicia grec Pitagora și aume, pitagoreicii au fost etrem de șocați. Cocepția pitagoreică despre lume se baza pe o etremă față de arithmos - adică proprietățile itriseci ale umerelor îtregi și ale fracțiilor lor - și presupusul lor rol î cosmos. Îțelegerea faptului că eistă umere care precum Φ se repetă la ifiit fără a prezeta ici o repetiție sau regularitate a priciuit o adevărată criză filozofică. Uele surse susți chiar că pitagoreicii au sacrificat 00 de boi di cauza umărului. Totuși acest lucru pare etrem de improbabil deoarece ei erau vegetariei stricți. Pitagoreicii erau eîdoielic coviși că eisteța uor umere precum Φ era atât de îfricoșătoare îcât ea trebuia să reprezite u fel de eroare cosmică, o iformație care ar trebui suprimată și țiută secret.

133 Numărul de aur u este prezet doar î artă, ci mai ales î atură. Aproape peste tot î jurul ostru îl găsim:.plate Putem observa ca petalele acestui tradafir sut dispuse folosid raportul de aur.aimale Toate elemetele esetiale faciale ale tigrului sut proportioate folosid umarul sau raportul de aur Raportul ditre umarul albielor si cel al bodarilor di orice coloie foloseste raportul phi. Spre eemplu la 000 de albie gasim 68 bodari, astfel icat raportul 000/68 =.68 = umarul de aur Cochilia melcului Nautilius este cea mai bua reprezetare i lumea aimalelor a proportiei de aur, descriid fidel spirala logaritmic. Corpul uma- Putem observa spirala logaritmica si i cazul urechii umae

134 4. Arta Reasterea a adus o semificativa schimbare dedirectie i istoria Sectiuii de Aur. Coceptul -a mai fost limitat doar la domeiul matematicii,creadu-si drum spre eplicatii ale feomeelor aturale si spre arte. Sectiuea de Aur este folosita de Leoadro DaVici i foarte multe lucrari ale sale. Dar si alti pictori reascetisti au folosit acest umar. Putem lua ca eemplu si pictura Moa Lisa sau Giocoda Isa i fial, dar u cea di urma ca si importata,precizam ca si Calea Lactee foloseste tot acest raport de aur Biografie :. Wikipedia. Google photos 4

135 Augusteumul Templul Diaei şi matematica elemetară Tăăsoiu Flori Scoala Gimaziala Mihai Emiescu prof. Maria BEER I vacaţa trecută, am mers cu pariţii la sora mamei care s-a stabilit i Fraţa i orasul Nimes. Acesta era cuoscut i atichitate de catre romai ca Nemausus şi este uul ditre cele mai impresioate locuri atice ale Fratei. Zoa atică- La Source, se afla i Jardies de la Fotaie şi este sursa reţelei de apă care se imprastie i tot orasul. Aceasta era dedicată zeului celtic Nemausus cel care era veerat petru aducea apei catre oraş. Mai tarziu romaii au itegrat acest loc i Augusteum, loc de cult imperial roma, di care face parte şi templul Diaei u templu etrem de eigmatic, a carei fuctie eactă u se cuoaste ici astazi. Dar si origiea umelui ramae ică ecuoascută. I spatele itrarii oficiale, acolo ude fâtaile, imfele si copacii ceremoiali icadrează Templul Diaei, treptele urcă spre pata impadurită. Acolo se afla Turul de treizecisidoi de metri, ramas di zidurile costruite de Augustus. Di acest tur se văd paorame superbe ale zoei rurale icojuratoare, paa la margiea Pirieilor. La poalele patei curge Caal de la Fotaie, costruit petru a aprovizioa cu apa fataa, apa proveita di izvorul Nemausus, a carui prezeta i acest decor uscat, calcaros, a permis ifiitarea Nimes. I a doua saptămâă di vacaţa de Paşte, la, doama profesoara a propus u proiect cu titlul de mai sus la Capitolul Poligoae regulate. Problema Rozetei di Templul Diaei (Nîmes) şi matematica elemetară: Pe frotispiciul Templului zeitei Diaa este o rozeta, formata di poligoae regulate cu laturile de aceeasi lugime si douasprezece triughuiri isoscele. Puctele eterioare ale acestei cofiguratii geometrice fiid practic situate pe u cerc. Poate fi luată distața OA, ca valoare petru raza implicită aproimativă a acestui cerc. Sursa: Lycée Fraçais de Caracas - Veezuela, cours de mathématique, classe de secode. 5

136 Petru calcule, se presupue că valoarea comuă a laturilor poligoaelor regulate este de cm. Petru a calcula aria uui triughi isoscel, se va calcula masura ughiului de la vârf, apoi calculul îălţimii și bazei sale.. Calculaţi aria rozetei.. Calculaţi aria discului de raza OA, determiâd o valoare aproimativă a π.. Calculaţi perimetrul rozetei. 4. Utilizați perimetrul ca valoarea circumferițe cercului de raza OA, determiă o valoare aproimativă π. AAA Aria patrat=l =cm Aalizad rozeta, di calcule simple, tiad cot ca suma ughiurilor i jurul uui puct este de 60 0 obtiem: a. m( NMP)= 50 0 b. m(mnp)=m(mpn)=5 0 c. Costructie ajutatoare sim M [NP]=Q, atuci MNQP romb, cu m(mnq)=0 0. d. Aria MNP=/Aria MNQP= l s MNQ s e. Di teorema cosiusului i triughiul MNQ, se obtie MH=/( cos Aria echlateral= l Aria heago regulat= l Aria romb= l MH Di teorema lui Pitagora rezulta Aria isoscel MNP= MH NH NH deci NP Aria rozetei =7Aria heago regulat+0aria patrat+ 4Aria echlateral + 6Aria romb+ Aria isoscel ( ) 6

137 ( ) ( ) ( ) 7

138 Haizs Attila Prof.Hoffma-Broț Viorica Corelia Liceul Tehologic Ioa Bococi Oradea Proporția de aur Proporția de Aur este peste tot, dar icăieri u este la fel de impresioată și la fel de importată decât cea ce descoperim î corpul uma, mai importat ca ADN-ul ostru.. Fiecare ciclu al moleculei de ADN măsoară 4 agstromi lugime și de agstromi lățime. Precum știm deja, 4 și sut umere Fiboacci, așa cum s a mețioat mai sus, 4/ este î raport cu Phi =.69. Jea-Claude Perez sugerează di 99 că eistă o legătură puterică ître ADN și raportul de aur, același lucru spuâd și î 997, î cartea sa l ADN décrypté. Î această lucrare, el arată că proporțiile relative ale ucleotidelor î secvețele de codificare ADN, cum ar fi geele sau șiruri de caractere ARN sut guverate de aumite seturi de umere Fiboacci și Lucas. Această descoperire a fost validată î special pe toate testele cuoscute HIV și SIV (virusul imuodeficieței Simia) retrovirusuri de gee îtregi, efectuate de profesorul Luc Motagier (descoperitorul virusului HIV), care a umit descoperirea u supracod al ADNului.. Dacă împărțim itervalul 0 C 00 C corespuzător puctului de solidificare, respectiv puctului de fierbere a apei î secțiuea de aur, obțiem valoarea de aproimativ 8, C, aceasta fiid temperatura orgaelor itere di corp, cu alte cuvite temperatura la care se află apa î iteriorul uui orgaism uma viu.. Î multe ditre ampretele umae apar curbe asemăătoare spiralei logaritmice, de ude și metafora deseori vehiculată referitoare la secțiuea de aur ca fiid semătura a lui Dumezeu î creație. 4. Secțiue de aur se regăsește î activitatea iimii, î raportul ditre presiuea sistolică și cea diastolică a sâgelui, care este apropiat de,6. 5. Ciclurile udelor îregistrate electrocardiografic ascud, se pare, si ele umărul de aur. Electrocardiograma reprezită îregistrarea grafică a activității electrice a iimii, diferețele de potețial geereate de miocard ajugâd la suprafața corpului, ude pot fi masurate cu ajutorul uor electrozi plasati la suprafata pielii. Î starea de repaus, membraa celulelor miocardului este polarizată electric pozitiv la eterior și egativ î iteriorul celulelor. Pri depolarizare se îțelege iversarea îcărcării electrice a membraei (datorată uor schimburi ioice), îsoțită de apariția așaumitelor potețiale de acțiue (mușchiul se cotractă). Reveirea di starea de depolarizare î starea polarizată electric di repaus se umește repolarizare. Fiecare ciclu cardiac produce trei ude electrice disticte, umite P, QRS și T. Uda P corespude activării atriale (propagarea depolarizării pri miocardul atrial), udele Q, R, S formează compleul de activare vetriculară (propagarea depolarizării pri miocardul vetricular), iar uda T reprezită repolarizarea vetriculelor. Repolarizarea atriilor are loc simulta cu QRS, dar este mascată de amplitudiea depolarizării vetriculare. Aspectul electrocardiogramei variază cosiderabil, î fuție de o gamă de factori. Uii cardiologi susți că pozițioarea udei T î secțiuea de aur a ciclului cardiac deotă o stare de săătate și armoie. 8

139 6. Secțiuea diviă este omiprezetă î proporțiile corpului uma. Omul vitruvia al lui Leoardo da Vici care îl are ca model pe arhitectul Vitruviu, el îsuși autorul uui amplu tratat despre proporție este ilustrativ î această priviță. Astfel, ombilicul împarte corpul î secțiuea de aur, care se regăsește, de asemeea, și î rapoartele ditre: distața de la ombilic la geuchi și distața de la geuchi la sol distața de la ombilic la sol și distața de la ombilic la geuchi îălțimea corpului și distața de la umăr la degetul mijlociu (măsurată cu brațul paralel cu solul) distața de la liia umerilor la vârful capului și lugimea capului De asemeea, segmetele brațului și ale palmei sut proporțioate î secțiuea de aur, care apare î rapoartele ditre: distața de la vârful degetului mijlociu la umăr și distața de la vârful degetului mijlociu la cot distața de la vârful degetului mijlociu la cot și distața de la îcheietură la cot oasele metacarpiee. 7. Numărul de aur este cosiderat ca o adevărată mască a frumuseții, aplicată petru chipuri di toate timpurile, de la Nefertiti, la actrițele de succes ale zilelor oastre. Câteva eemple î care se regăsește secțiuea de aur sut raporturile ditre: lugimea și lățimea feței distața ditre buze și liia ude sprâceele se îtâlesc, și lugimea asului lugimea gurii și lățimea asului distața ditre pupile și distața ditre sprâce. Detiția respectă și ea Proportia de Aur, care, î geeral, se regăsește î raportul ditre lătimea icisivului cetral și lățimea icisivului lateral. De asemeea, dreptughiul care îcadrează cei doi icisivi cetrali este u Dreptughi de Aur. Triughiul divi Omu Babele Sfiul Î Romaia, cel mai cuoscut triughi eergetic este Omu Babele Sfiul, de o putere icalculabila. Î jurul acestuia apar, la aumite itervale, couri de lumia alb-laptoasă, care se rotesc ca u vorte de ori, amplificad percepția etrasezoriala. Tot atuci se îregistrează semale radio veite dispre iteriorul mutelui. U alt loc geoeergetic este Polovragi, Târgu Jiu, cu a sa peștera fără capăt, ude se crede ca Zamolis îi îvăța pe vraci tehici de tămăduire a sufletului și trupului (poli-vraci). Bioeergoterapeuții de azi spu ca Polovragiul este cea mai bua zoă petru toifierea geerală a orgaismului. Sarmizegetusa era u adevărat pateo al cuoașterii spirituale. Acolo, pe u platou aproape iaccesibil, împrejmuit pe trei părți de prăpastii adâci, se afla u altar megalitic pe care sut iscripții îtr o limbă edescifrata. Petru bioeergoterapeuți, Sarmizegetusa este o zoă ce activează creativitatea și aptitudiile petru educație. Sursa: empoweredutritio.com, scribd.com, jwilso.coe.uga.edu, oulpamat.ro, descopera.org, se ctiueadeaur.wikispaces.com 9

140 Simbolistica matematică Martiovici Atoia Liceul Tehologic Clisura Duării Moldova Nouă Prof. Zima Lăcrimioara De fiecare dată câd vie vorba de matematică, gâdul e poartă spre lumea cifrelor şi a simbolurilor. Simbolistica folosită petru redarea operaţiilor aritmetice are o istorie iteresată, strâs legată de dezvoltarea societăţii omeeşti. Haideţi să o descoperim împreuă! Simbolurile + şi - au apărut petru prima oară tipărite î Mercatile Arithmetic (Aritmetica comercială) a lui Joha Widma, publicată î Leipzig î 489. Origiea semului + se eplică pri coeiuea lui cu latiescul et,adică şi, fiid o abreviere a acestuia. Î matematica româească acestea au fost itroduse de T.Iacovici(777), fiid frecvet folosite de G. Obradovici (805), Gh. Şicai (906),Gh. Lazăr (8) etc., datorită cărora s-au impus sub această formă. Matematiciaul fracez Nicholas Chuquet ota, î484, aduarea pri pe de la plus şi scăderea cu me de la mius. Ditre simbolurile petru îmulţire a fost folosit de William Oughtred( ) î Clavis Mathematicae (Cheia matematicii) scrisă î 68 şi publicată la Lodra î 6. Aceasta era deumită Crucea Sfâtului Adrei. Simbolul actual petru împărţire : a fost propus de Leibiz î ActaEruditorum (Juralul savaților) 684, cartea î care pue bazele logisticii. Etragerea rădăciii pătratice şi cubice o găsim descrisă î Matematica îouă cărţi (8 î.e..); apoi la Leoardo di Pisa (Fiboacci) î 0 î Practica geometricae. Simbolul actual petru radical a apărut î 55 î lucările lui Christoff Rudolff ( ) ude era otat asemăător lui. Evoluția simbolisticii utilizate petru redarea cifrelor zecimale este strâs legată de dezvoltarea societății umae. Cifrele au ajus la forma actuală i sec. XV-XVI, odată cu primele cărți. Î aul 75, î Chia și Idia se ota pri ; 0 la arabi, la greci și la chiezi Pâă î sec. XVII cifra zero marca doar u loc gol. Î sec. al XVII-lea a fost îtrebuițată ca cifră și petru a marca difereța ître două umere egale. Cifra uu este otată prim diferite seme: Liie verticală (I) imagiea simplificată a uui deget ( sumeriei, babiloiei,egiptei,hiduși,romai,arabi) Imagiea uui bețișor așezat pe pămât (-) de către japoezi și chiezi Cu u puct (.)-imagiea pietricelei la mayași Cuvâtul doi este de origie sascrită: dva î latiă a trecut î duo. La iceput a fost otat pri repetarea uuia di semele lui uu (II) sau (=) sau (..). otație egipteaă care a trecut la perși.perșii folosesc și astăzi această cifră petru doi. Z dâd aștere actualei cifre Di Evul mediu sut frecvete următoarele otații: 40

141 Cifra trei a fost reprezetată pri : adăugarea uei uități lui doi : (III) sau (=-) sau (...) Pri legarea celor trei bare orizotale s-a ajus la actuala cifră, iar la cifrele romae trei provie di legarea barelor verticale. Cifra patru a fost fiat pri multe di moumetele de atuci : turul Babel, piramidele di Egipt aveau baza pătrată.grecii cosiderau că lumea este fomată umai di 4 elemete : apă, aer,pămât și foc. Chiar azi e lovim la tot pasul de cifra patru : camera are 4 pereți,pereții au câte 4 laturi, ferestrele, cărțile, tablourile,ora e împărțită î 4 sferturi,lua are 4 faze, aul are 4 aotimpuri. Î limba sascrită patru se ume catur =a repartiza î grupe de câte două Ca seme primitive avem repetare uității: (IIII)sau Hidișii îl otau pri simbolul Arabii pri Î Europa î Evul mediu se foloseau toate aceste seme. Forma actuală s-a fiat după apariția cărților tipărite. Cifra 5 Fiid otată pri cici uități puse ua lâgă cealaltă, a fost greu de deosebit ditr-o privire fără a le umăra; egipteii și babiloieii care scriau umerele de la la 9 pri repetarea uității,câd otau pe 5 așezau uitățile pe două râduri : Hidușii otau pe cici cu sau pri Arabii pri : Î mauscriesele europee medievale apar diverse forme ale r. cici: Forma actuală a cifrei 5 este de origie europeaă și a apărut odată cu tipărirea aritmeticilor Semul folosit de romai petru a-l scrie pe 6 (VI) arată clar proveieța: dupa ce s-au termiat degetele uei maii (V) se adauga u deget(i) de la cealaltă mâă. Cifra 6 a fost reprezetată pri diverse seme: -Hidușii -Arabii -Î mauscrisele europee 6 sau Atichitatea greacă preamărea șapte ițelepți pritre care era şi matematiciaul Thales. Eroul ateia Teseu a răpus Miotaurul îchis i labiritul di Creta fiidcă devora î fiecare a câte 7 fete și 7 băieți di orașul său. Numele luii septembrie vie de la septem =7 șapte (latiă). Numărul 7 a fost otat de către: 4

142 Hiduși pri,sau 6 ; Arabi pri V sau 7 ; Î Europa medievală: Î muzică opt suete cosecutive sut la baza uei game formâd octava. octo î latiă îseamă opt și are la origie tot u cuvât sascrit:ashto. Hidushii au otat 8, Arabii pri Î Europa îtâleau : Atichitatea greacă pomeește de cele ouă muze,iar Date împarte Iferul și Paradisul î câte ouă cercuri. proveit di eva =ouă,poate fi cosiderat ca ultimul umăr diaitea lui 0,bariera uitățlor simple. Semele lui au fost: La hidushi şi S La arabi şi 9 Î Europa medievală 9 și. Cifra zece: are rădăcia î limba sascrită. Î latiă deom este îrudit cu digiti (degete). Î limba germaă zeh,care îseamă tot zece provie de la zeha (degete). Î grecește cuvâtul deca,corespuzator lui 0, a dat aștere la multe cuvite care par străie de această origie pur umerică (deca). Bibliografie:

143 SIMBOLURI Dirlea Raluca Aa Maria Colegiul Natioal Mihai Emiescu Bucuresti Profesor: Dumitru Savulescu Simbol Sem, obiect, imagie etc. care reprezită idirect (î mod covețioal sau î virtutea uei corespodețe aalogice) u obiect, o fiiță, o oțiue, o idee, o îsușire, u setimet etc. (Î literatură și î artă) Procedeu epresiv pri care se sugerează o idee sau o stare sufletească și care îlocuiește o serie de reprezetări. Simbolismul si omul primitive Probabil că cele mai timpurii dovezi ale folosirii simbolismului de către om se pot descifra î picturile şi gravurile rupestre paleolitice şi eolitice care datează de aproape de ai. Î aceste prezetări pictografice, omul primitiv u a descris doar portretele vâătorilor şi ale bestiilor, ci a creat simboluri geometrice, iclusiv cercuri, spirale şi liii forme care păstrează işte semificaţii simbolice ale acelor timpuri. Di puct de vedere etimologic, umele literelor alfabetului grec, î ebraică semifică diferite obiecte sau aimale. De eemplu: alfa (Α, α) < gr. alfa < ebr. aleph (א) (cap de) corută ; beta (Β, β) di gr. beta < ebr. beth casă (cuvâtul iitial se regăseste î Bethlehem casa pâiii ); gama (Γ, γ) gamma: di gr. gamma < ebr. gimel (ג) cămilă ; delta (Γ, δ) delta < ebr. daleth (ד) usă ; Numaul PI Cel ditîi matematicia care l-a folosit pe PI petru a-l ota pe,4 a fost W. Joes ( ), î aul 706, apoi Cristia Goldbach ( ), î aul 74. Celebrul matematicie elveția Leohard Euler (707-78), membru al Academiei de Știițe di Petersburg, mai îtrebuița pri 74 litera p petru a ota raportul ditre lugimea cercului și diametrul său,apoi cațiva ai mai târziu litera c, petru că î lucrarea Itroducere î aaliza ifiiților, publicată î 748, să adopte defiitiv litera grecească PI, și, datorită lui, acest simbol a itrat defiitiv î uzul geeral al matematicieilor. Noi cuoaștem azi drept valoare petru Pi umărul, , dar, î decursul istoriei, valoarea lui u a fost îtotdeaua aceeași, ci a variat față de acest umăr, î fucție de epocă, zoă geografică și popoare. Vechile valori ale lui Pi au fost calculate empiric, mai mult deduse pe cale de îcercări. Astfel, se lua pur și simplu o sfoară și se îcojura cu ea u cilidru, după care se măsurau lugimea ei și diametrul cercului. Ceea ce ieșea di această împărțire era valoarea lui Pi, deși î aceea vreme, așa cum am arătat, acest raport u se ota cu această literă. Radicalul Etragerea r ad aciii p atratice si cubice o g asim descris a ˆı Matematica ˆı ou a c art i (8 ˆı.e..); apoi la Leoardo di Pisa (Fiboacci) ˆı 0 ˆı Practica geometricae. Primul care a utilizat u simbol petru radical a fost matematiciaul Luca Paccioli (487). El reda radicalul pri R (radi - radice) si scria R, R, R4 sau RR. Simbolul actual petru radical a aparut ı 55 ˆı lucrile lui Christoff Rudolff ( ) ude era otat asemaator lui ; ıfat i sarea simbolurilor fiid modificat a petru fiecare ditre radacii. De eemplu, radacia cubica se ota astfel:. Ree Descartes a 4

144 folosit acest simbol ( La Geometrie, 67) adaugad ısa liia de deasupra, iar idicele a fost plasat la ıceputul semului radical de Michel Rolle ( Traite d,algebre, 690). ˆI 57 se ıtalesc otat iile: R.q petru radacia patrata si R.c petru radacia cubica; astfel p se scria: R.c L7.p.R.q 088 y. Symbol Semificatie Se citeste Categorie Eplicatie + Adueare Plus Aritmetica 4+6 este sua lui Scadere Opus Mius Negative mius Aritmetica Aritmetica 6-este direreta ditre 6 si 4 - este opusul lui = Egalitate Egal cu Oriude = y îseamă şi y reprezită acelaşi lucru sau au aceeaşi valoare. Neegalitate Nu este egal cu Oriude y îseamă că şi y u reprezită acelaşi lucru sau u au aceeaşi valoare. Sua Suma di paa la Imultire Produs peste.. de.la. di produsul. Oriude oriude i... Ifiit Ifiitate Numar este u elemet al mulţimii reale etise şi este mai mare ca orice alt umăr real, fii deseori îtalit î limite matematice. k i i i... k Aproimativ Aporimativ egal cu Oride Egal cu y Biografie: eciclopedialuicoma/istoria-lui-pi Depmath.ulbsibiu.ro 44

145 SIMETRIA ÎN NATURĂ Costati Mihaela Școala Gimazială Nr. Popești, jud. Giurgiu Profesor coordoator: Voicilă Elea Simetria se găsește peste tot î jurul ostru!. Aa de simetrie a uui fluture a) Folosid computerul, scaerul și imprimata, pritați imagiea de mai jos. b) Trasați aa de simetrie a fluturelui pe imagiea imprimată. c) Folosid culori diferite, marcați perechi de pucte de pe future simetrice față de aa de simetrie trasată.. Aele de simetrie ale uui fulg de zăpadă a) Folosid computerul, scaerul și imprimata, pritați imagiea de mai jos. b) Numărați aele de simetrie și pueți-le î evideță pe imagiea imprimată, folosid culori diferite.. Urme, simetrice și traslație a) Scaați și imprimați imagiile de mai jos. 45

146 Drepți! Urme de pași după o plimbare b) Prima imagie reprezită urmele lăsate pe sol î poziția de drepți, ordoată de profesorul de educație fizică. Marcați aa de simetrie pe imagiea scaată și pritată. c) A doua imagie reprezită urme de pași pe sol după o plimbare. Fiecare urmă a piciorului drept, îcepâd cu a doua, se obție di precedet pritr-o traslație după u vector AB. d) Măsurați lugimea vectorului AB deseat. Elimiați cât este lugimea acestuia î realitate. SIMETRIA ÎN ARHITECTURĂ ȘI ÎN ARTA DECORATIVĂ Di cele mai vechi timpuri, oameii au utilizat simetria î reprezetările lor artistice și î arhitectură. 4. Imagiea de mai jos reprezită fațada catedralei Notre-Dame de Paris. Aalizați elemetele de simetrie. Catedrala Notre-Dame 5. Motiv decorative simetric a) Scaați și pritați imagiea decorului. b) Pe imagiea imprimată trasați aa de simetrie. c) Îscrieți îtr-u pătrățel al uei foi de matematică cifra. Obțiem o figură pe care o umim F. d) Deseați simetricul figurii F față de baza pătratului. Obțiem o figură ouă, F, îscrisă îtr-u dreptughi. e) Costruiți simetricul imagiii F față de latura di dreapta a dreptughiului î care este îscrisă imagiea F. Obțiem o imagie ouă, F, îscrisă îtr-u pătrat. Cotiuăm: simetricul lui F față de baza pătratului este F4 (îscrisă îtr-u dreptughi), iar simetricul lui F4 față de latura di dreapta a dreptughiului este F5 (îscrisă îtr-u pătrat) etc. 46

147 Realizați motivul decorative F7. PALINDROAME (ALT FEL DE SIMETRIE) 6. Traducere di limba egleză a euțului MADAM, I m ADAM este Doamă, eu sut Adam. a) Scrieți acest euț pe o foaie cu pătrățele, după modelul următor. M A D A M, M A D A M b) Eceptâd virgula și apostroful, figura are o aă de simetrie. c) Verificați supoziția voastră, decupâd dreptughiul după liia puctată, făcâd plierea dreptughiului î două și aalizâd dacă suprapuerea literelor este eactă. d) Eistă o literă care strică simetria. Care este aceasta? e) Citiți euțul de la dreapta la stâga, literă cu literă. Costatați că euțul rămâe același dacă este citit de-a-doaselea. Euțurile de acest tip sut cuoscute sub deumirea de palidroame. Eemple: - Numere prime palidroame:, 5,,99, ; - Pătrate perfecte palidroame:, 484, ; - Cuvite palidroame: pop, civic, rotor, ; - Date: 0..0 (0 oiembrie 00); - Fraze (î egl.): RED RUM, SIR, IS MURDER. Î biologie, palidroamele joacă u rol importat î structura cromozomului y, defiitoriu petru seul bărbătesc. (Cromozomul, costruit di substațe practice și di acizi, este o compoet a celulei, cu orgaizare și fucție proprie de autoreproducere a iformației ereditare). Cromozom 47

148 Astroomia și matematica Simio Dragoș, Liceul Tehologic Petrache Poearu, Bălcești,Vâlcea Profesor îdrumător: Mihai Cristia Matematica și astroomia au fost strâs legate îcă de la îceputurile lor. Uul ditre fodatorii matematicii, Pitagora di Samos, a teoretizat despre sferele la care este atașată fiecare plaeta. Claudius Ptolemeu, î secolul al doilea, a dezvoltat u model matematic geocetric al sistemului solar, care a fost folosit pâă î timpurile lui Columb. Coperic a fost u matematicia și astroom care a dezvoltat modelul heliocetric al sistemului solar. Î secolul al 7-lea, Johaes Kepler a studiat orbita plaetei di puct de vedere matematic, î timp ce Isaac Newto a descoperit legile gravitației și a descris mișcăriile plaetelor î raport cu ce descoperise Kepler aterior. Ecuațiile lui Newto sut îcă utilizate petru calcularea forțelor gravitațioale. Cum este folosită matematica î astroomia actulă? Astroomii folosesc matematica tot timpul. Spre eemplu ea este folosită este atuci câd e uităm la obiectele de pe cer, cu u telescop. Camera foto este atașată uui telescop și îregistrează, practic, o serie de umere; aceste cifre ar putea să corespudă diferitelor obiecte de pe cer. Petru a putea îțelege iformațiile pe care aceste umere coți, trebuie să utilizăm matematica și statistici petru a le iterpreta. 48

149 O altă modalitate pe care astroomii folosesc matematica este atuci câd euță și testează teorii petru legile fizice care guverează obiectele di cer. Teoriile costau î formule care se leagă diferite catități ître ele. Petru a putea testa aceste teorii și petru a le folosi î realizarea de predicții cu privire la ceea ce se observa pe cer, astroomii au evoie să folosească matematica petru a maipula ecuațiile. Matematica este utilizată î astroomie petru a calcula rutele petru sateliți, rachete și sode spațiale. Î plus, matematica este utilizată î sistemul de pozițioare globală, petru trasmiterea mesajelor atuci câd datele sut comprimate și petru codificarea imagiilor și modelarea elemetelor ecesare costruirii de ave spațiale. 49

150 Ca u eemplu moder astroauții folosesc matematica petru a direcțioa o capsulă de trasfer care se deplasează cu o viteză de 7500 mile pe oră, la o stație spațială petru o îtâlire. Calculele matematice complee trebuie să fie efectuate, astfel îcât cele două obiecte care se deplasează cu viteză mare se pot îtâli la u momet dat, fără a-și provoca daue reciproc. Istrumetele matematice modere, cum ar fi aaliza de eroare și pricipiul maimului ajută la optimizarea traiectoriilor avelor. Bibliografia:

151 Rezolvarea uor ecuaţii cu ajutorul Teoremei lui Lagrage Apostol Iuliaa, Cioagă Laura Colegiul Spiru Haret Ploieşti Îdrumător:Profesor Io Badea S-a ăscut pe 5 iauarie 76 la Torio şi a decedat la data de 0 aprilie 8 la Paris. A fost u matematicia şi astroom de origie italiaă, care a adus umeroase cotribuţii î matematică şi mecaică. Este cosiderat cel mai mare matematicia al secolului al XVIIIlea. Napoleo l-a supraumit pe acesta piramida gradioasă a ştiiţelor matematice, iar î aul 808 l-a decorat cu Legiuea de Ooare, deveid cote al Imperiului. Joseph Louis Lagrage Şi-a publicat primele sale lucrări î domeiul ecuaţiilor difereţiale şi al calculului difereţial la catedra de matematică a Şcolii Regale de Artilerie, di Torio. Acestor lucrări le-au urmat umeroase articole şi cărţi î domeii variate precum: algebra, calculul ifiitezimal, teoria probabilităţilor şi a umerelor,,mecaica teoretică şi cea a fluidelor, astroomie, cartografie etc. Publicarea cărţii Mecaică aalitică, reprezită puctul culmiat al mucii sale î domeiul mecaicii teoretice şi al aalizei matematice. Îcepâd cu aul 79, participă la lucrările Comisiei de Măsuri şi Greutăţi, fiid uul ditre păriţii Sistemului Metric şi al adoptării diviziuii î sistem zecimal al uităţilor de măsură. A fost primul profesor de aaliză matematică la Şcoli Politehice. Teorema lui Lagrage (Teorema creşterilor fiite) Fie, - fucţie Rolle pe [a,b] (f cotiuă pe [a,b], f derivabilă pe (a,b)) atuci eistă u puct c di itervalul (a,b), petru care f(b) f(a)= (b-a)f (c) 5

152 Demostraţie Egalitatea f(b) f(a)= (b-a)f (c) reprezită Teorema lui Lagrage. Se cosideră fucţia g: [a,b], g()=f() k, k. g cotiuă pe [a,b] (difereţă de fucţii cotiue) g derivabilă pe (a,b) (difereţă de fucţii derivabile) g ()=f () k. Se determiă umărul real k di ceriţa g(a)=g(b) câd k(a-b)=f(b)-f(a). Acum fucţiei g i se poate aplica Teorema lui Rolle, deci eistă c (a,b) a.i. g (c)=0, adică f (c)(b-a)=f(b)-f(a). Aplicaţie Fie umerele reale 0<a<b<c<d cu b-a=d-c si fucţia. Rezolvaţi î ecuaţia: ( ) + ( ) = ( ) + ( ) Soluţie:Ecuaţia este echivaletă cu: ( ) - ( ) = ( ) ( ). Cosiderăm fucţia g:(0, ), g(t)= ( ). Fucţia g este derivabilă şi g (t)= ( ) ( ). Restricţiile fucţiei g la itervalele [a,b] si [c,d] sut fucţii Rolle. Aplicâd teorema lui Lagrage acestor restricţii obţiem că ( ) є (a,b) astfel îcât g(b)-g(a)=g ( )(b-a) si ( ) є (c,d) astfel îcât g(d)-g(c)=g ( )(d-c). Dar g(b)-g(a)= ( ) - ( ) ; g(d)-g(c)= ( ) - ( ). Deci ecuaţia iiţială este echivaletă cu: ( ) ( ) (b-a)= ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) (d-c) ( ) ( )]= ( )=0 () sau ( ) ( ) ( ) ( ). / ( ) ( ) () deci soluţiile ecuaţiei iiţiale sut soluţiile ecuaţiilor () si (). Particularizări. Folosid teorema lui Lagrage să se determie rădăciile ecuaţiei. Rezolvare. Dacă se scrie ecuaţia sub forma, atuci se sugerează cosiderarea fucţiei ( ), căreia i se aplică formula lui Lagrage pe itervalele, -,, -.Deci eistă ( ) ( ) astfel îcât şi respectiv. Ecuaţia se scrie: ( ) De aici sau cu soluţia. Rezolvaţi i ecuaţia : Rezolvare: Această ecuaţie este echivaletă cu: 5

153 Fie ( ) ( ) derivabila pe (0, ) si ( ) ( ) Restricţiile fucţiei f la itervalele [0,0] şi respectiv [009,00] sut fucţii Rolle, deci coform teoremei lui Lagrage obţiem că eistă ( ) astfel îcât ( ) şi ( ) astfel îcât ( ). Deci ecuaţia iiţială devie: ( ) =( ) ( )( ) cu soluţiile sau. / cu soluţiile = s Bibliografie: Mircea Gaga-Maual petru clasa a XI a - Editura MATHPRESS,Bucureşti 007 Colecţia revistei Gazeta Matematică 5

154 Mihai Georgiaa, Școala Gimazială Tichilești, prof. Moraru Aa Luiza Teorema lui Pitagora Teorema lui Pitagora: Îtr-u triughi dreptughic, suma pătratelor lugimilor catetelor este egală cu pătratul lugimii ipoteuzei. B D A C Demostrație: ABC dreptughic î A AD BC Se aplică de două ori teorema catetei î Se aduă cele două relații: ABC și rezultă AB BD BC și AC DC BC. AB AC BD BC CD BC AB AC BC ( BD DC) AB AC BC. Diferite demostrații ale teoremei lui Pitagora Pri simplitatea ei și gradul mare de aplicatibilitate, Teorema lui Pitagora a fasciat de-a lugul mileiilor u umai pe geometrii de profesie, ci și persoae de cele mai variate ocupații. S-au dat peste 000 de demostraţii. Î cele ce urmeaza sut prezetate câteva di aceste demostraţii: I Demostrație dată de Pitagora B D 54

155 A ADC BAC AC CD ACD ACB BC AC ADC BAC AC CD BC C () ADB BAC AB BD ABC ABD BC AB DBA ABC AB BD BC () () și () AB AC BD BC CD BC AB AC BC ( BD DC) AB AC BC. II Demostrație făcută de Euclid I H A J E B D C F K G ABC m 0 ( ( A) 90 ) HEBA, BFGC, IACJ pătrate AK BC; AK FG AK BC { D}; AK FG { K} () S S deoarece BDKF ABF () S S deoarece EHAB EBC S S ABF EBC FK FB ( d(a, BF) = d(k, BF)) și SBDKF EB AB AB ( d(c, BE) = d(a, BE)) și KF FB. SEHAB AB. 55

156 EBA FBD EBC ABF ABD ABD [ EB] [ BA] EBC ABF SEBC S [ BC] [ BF] ABF () (); () și () SBDKF SEHAB. Aalog se demostrează că SKDCG SCAIJ. SBCGF SBDKF SKDCG S S S BC AB AC BCGF EHAB CAIJ. III Demostrație dată de Leoardo da Vici E D A A ( b c) C c b B B a C AB = c; AC = b; BC = a; DB ' AC ; EC ' DB '; AA' EC '; ABC A' EB C ' DE B' CD SBCDE 4SABC SAB' C ' A' S AB' C ' A' AB ' ( b c) a ( b c) bc b c BC AB AC. bc S ABC 56

157 Triughiul lui Pascal Buză Ada-Mihaela & Pașcalău Adelia Valetia Colegiul Tehic Io Micu Profesor coordoator: Badea Brigitte Blaise Pascal (6-66) a fost u mare matematicia, fizicia și filozof fracez care proveea ditr-o familie cu preocupări î domeiul știițific și î special î domeiul matematicii, tatăl său fiid de asemeea u matematicia taletat. Î jurul aului 64 Blaise Pascal a costruit prima mașiă mecaică de calcul, fiid astfel u precursor al ivetatorilor calculatoarelor modere. Ua ditre realizările sale cele mai cuoscute este costruirea faimosului triughi care îi poartă umele și care apare mețioat petru prima dată î lucrarea Asupra uui triughi aritmetic apărută î 654. De-a lugul timpului mai mulți matematiciei au studiat proprietățile triughiului lui Pascal costatâd că aceasta modelează u umăr foarte mare de situații. Ditre umeroasele proprietăți ale acestui triughi am rețiut câteva care i s-au părut iteresate și pe care vi le prezetăm î această lucrare. Costrucția triughiului lui Pascal Dacă orgaizăm triughiul sub forma uui triughi dreptughic atuci pe ua ditre catete și pe ipoteuză vom scrie pe fiecare poziție umărul. Î acest fel î vârful de sus al triughiului (cosiderat liia 0 î orgaizarea triughiului) e apare umărul iar pe următoarea liie, liia îtâi, e apar două umere.îcepâd cu liia a doua fiecare umăr di iteriorul triughiului se calculează după următoarea regulă: umărul de pe poziția i di liia este egal cu suma umerelor de pe pozițiile i și i- di liia -. Observăm ca această costrucție poate cotiua la ifiit (figura ). Î altă arajare aceeași costrucție se poate prezeta sub forma uui triughi isoscel cu cele două laturi cogruete completate cu umărul pe toate pozițiile (figura ) Observăm că î triughiul lui Pascal regăsim coeficieţii biomiali biomului lui Newto ( ). Proprietăți ) Suma râdurilor di dezvoltarea 57

158 Suma umerelor care formează fiecare râd al triughiului este egală cu dublul sumei râdului precedet, reprezetâd astfel puterile lui. Adică: = 0 + = = + + = 4 = = 8 = = 6 = 4 (ş.a.m.d.) ) Numere prime Dacă primul elemet ditr-u râd este u umăr prim (umărul al fiecărui râd este cosiderat pri coveţie elemetul de rag zero), atuci toate umerele ce compu acel râd sut divizibile cu acel umăr prim. De eemplu î râdul 7: Numerele şi 5 sut divizibile cu 7. Î râdul : Numerele 55, 65, 0 şi 46 sut divizibile cu. ) Puterile lui Dacă cosiderăm fiecare râd a fi u sigur umăr, atuci acesta va reprezeta puterile lui. De la râdul al cicilea îcolo, ude vom avea umere formate di mai multe cifre, vom adua umărul de pe poziţia precedetă cu prima cifră a umărului şi tot aşa pâă câd acestea se termiă. Eemplu: = 0 = = = 464 = = (5+)(0+)05 = 605 = = (6+)(5+)(0+)56= 7756 = 6 4) Matrice de tip Pascal Dacă ditr-u triughi al lui Pascal orgaizat ca î figura, luăm câte elemete pe fiecare ditre cele două laturi ale triughiului isoscel și formăm u pătrat atuci putem araja elemetele respective îtr-o matrice umită matrice de tip Pascal. De eemplu petru = 4 obțiem: A =

159 Geeralizâd, o matrice Pascal este de forma =( ) ude =, ude i,j {, }. Dacă defiim matricele =( ), ude C i j 0, i < j i j i j atuci obțiem o matrice triughiulară de tip Pascal ca de eemplu: L = Petru acest tip de matrice Pascal are loc relația de recureță = +. De asemeea observăm că = ude este traspusa matricei. Deoarece det( ) = det( ) = ( ) =, vom avea iversa matricei defiită astfel: = ( ( ) ). 5) Formula tg() Se poate observa o legătură ître elemetele triughiului lui Pascal și coeficieții care apar î dezvoltarea formulei tg(), legătură care e poate ajuta să memorăm mai multe di formule de acest tip, după cum reiese di tabelul următor: tg() Coeficieții tg = tg tg = tg = 4 tg 4 = 5 tg 5 = tg tg tg tg tg tg tg tg tg 4 tg tg tg 5 tg tg

Numere prime. O selecţie de probleme pentru gimnaziu

Numere prime. O selecţie de probleme pentru gimnaziu Numere prime O selecţie de probleme petru gimaziu Adria Zaoschi Colegiul Natioal "Costache Negruzzi" Iasi (Clasa a V-a) Determiați submulțimea B a mulțimii A 0,,,, 49, 50, formată di toate elemetele lui

More information

Laborator 4. Rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale în Matlab

Laborator 4. Rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale în Matlab Laborator 4. Rezolvarea ecuaţiilor difereţiale î Matlab Bibliografie. G. Aastassiou, I. Iata, Itelliget Routies: Solvig Mathematical Aalsis with Matlab, Mathcad, Mathematica ad Maple, Spriger, 03.. I.

More information

Teoria probabilit¼aţilor şi statistic¼a matematic¼a

Teoria probabilit¼aţilor şi statistic¼a matematic¼a Teoria probabilit¼aţilor şi statistic¼a matematic¼a B¼arb¼acioru Iuliaa Carme CURSUL 7 Cursul 7 2 Cupris 1 Legea umerelor mari 5 1.1 Geeralit¼aţi............................... 5 1.2 Iegalitatea lui Cebîşev........................

More information

Test de Departajare pentru MofM 2014 (Bucureşti) Enunţuri & Soluţii

Test de Departajare pentru MofM 2014 (Bucureşti) Enunţuri & Soluţii Test de Departajare petru MofM 04 Bucureşti Euţuri & Soluţii Problem. Give + distict real umbers i the iterval [0,], prove there exist two of them a b, such that ab a b < Solutio. Idex the umbers 0 a 0

More information

Soluţii juniori., unde 1, 2

Soluţii juniori., unde 1, 2 Soluţii juniori Problema 1 Se consideră suma S x1x x3x4... x015 x016 Este posibil să avem S 016? Răspuns: Da., unde 1,,..., 016 3, 3 Termenii sumei sunt de forma 3 3 1, x x x. 3 5 6 sau Cristian Lazăr

More information

Barem de notare clasa a V-a

Barem de notare clasa a V-a Barem de notare clasa a V-a Problema1. Determinați mulțimile A și B, formate din numere naturale, știind că îndeplinesc simultan condițiile: a) A B,5,6 ; b) B A 0,7 ; c) card AB 3; d) suma elementelor

More information

Ecuatii si inecuatii de gradul al doilea si reductibile la gradul al doilea. Ecuatii de gradul al doilea

Ecuatii si inecuatii de gradul al doilea si reductibile la gradul al doilea. Ecuatii de gradul al doilea Ecuatii si inecuatii de gradul al doilea si reductibile la gradul al doilea Ecuatia de forma Ecuatii de gradul al doilea a + b + c = 0, (1) unde a, b, c R, a 0, - variabila, se numeste ecuatie de gradul

More information

ON THE QUATERNARY QUADRATIC DIOPHANTINE EQUATIONS (II) NICOLAE BRATU 1 ADINA CRETAN 2

ON THE QUATERNARY QUADRATIC DIOPHANTINE EQUATIONS (II) NICOLAE BRATU 1 ADINA CRETAN 2 ON THE QUATERNARY QUADRATIC DIOPHANTINE EQUATIONS (II) NICOLAE BRATU 1 ADINA CRETAN ABSTRACT This paper has been updated and completed thanks to suggestions and critics coming from Dr. Mike Hirschhorn,

More information

1.3. OPERAŢII CU NUMERE NEZECIMALE

1.3. OPERAŢII CU NUMERE NEZECIMALE 1.3. OPERAŢII CU NUMERE NEZECIMALE 1.3.1 OPERAŢII CU NUMERE BINARE A. ADUNAREA NUMERELOR BINARE Reguli de bază: 0 + 0 = 0 transport 0 0 + 1 = 1 transport 0 1 + 0 = 1 transport 0 1 + 1 = 0 transport 1 Pentru

More information

Solution by Nicuşor Zlota, Traian Vuia Technical College, Focşani, Romania

Solution by Nicuşor Zlota, Traian Vuia Technical College, Focşani, Romania Revista Virtuala Ifo MateTehic ISSN 069-7988 ISSN-L 069-7988 Probleme rouse sre rezolvare Nicusor Zlota, Focsai 08.Prove that C, j N,where the fiboacci, F F F 0 F F, F 0, F + = + + = = = 0 + j + j 09.Let

More information

S.S.M.ROMÂNIA - Filiala Mehedinți 2016 SOCIETATEA DE ȘTIINȚE MATEMATICE DIN ROMÂNIA. Filiala Mehedinți REVISTA DE MATEMATICĂ MEHEDINȚEANĂ R.M.M.

S.S.M.ROMÂNIA - Filiala Mehedinți 2016 SOCIETATEA DE ȘTIINȚE MATEMATICE DIN ROMÂNIA. Filiala Mehedinți REVISTA DE MATEMATICĂ MEHEDINȚEANĂ R.M.M. SOCIETATEA DE ȘTIINȚE MATEMATICE DIN ROMÂNIA Filiala Mehediți REVISTA DE MATEMATICĂ MEHEDINȚEANĂ R.M.M. Nr.6-06 REVISTA DE MATEMATICĂ MEHEDINȚEANĂ NR. 6 SOCIETATEA DE ȘTIINȚE MATEMATICE DIN ROMÂNIA Filiala

More information

IMAR Problema 1. Fie P un punct situat în interiorul unui triunghi ABC. Dreapta AP intersectează

IMAR Problema 1. Fie P un punct situat în interiorul unui triunghi ABC. Dreapta AP intersectează IMAR 017 Problema 1 Fie P u puct situat î iteriorul uui triughi ABC Dreapta AP itersectează latura BC î puctul D ; dreapta BP itersectează latura CA î puctul E ; iar dreapta CP itersectează latura AB î

More information

FORMULELE LUI STIRLING, WALLIS, GAUSS ŞI APLICAŢII

FORMULELE LUI STIRLING, WALLIS, GAUSS ŞI APLICAŢII DIDACTICA MATHEMATICA, Vol. 34), pp. 53 67 FORMULELE LUI STIRLING, WALLIS, GAUSS ŞI APLICAŢII Eugenia Duca, Emilia Copaciu şi Dorel I. Duca Abstract. In this paper are presented the Wallis, Stirling, Gauss

More information

DE LA TEOREMA FAN MINIMAX LA ECHILIBRUL NASH FROM FAN MINIMAX THEOREM TO NASH EQUILIBRIUM

DE LA TEOREMA FAN MINIMAX LA ECHILIBRUL NASH FROM FAN MINIMAX THEOREM TO NASH EQUILIBRIUM Doctorad Bogda-Coreliu BIOLAN Uiversitatea di Bucureşti DE LA TEOREMA FAN MINIMAX LA ECHILIBRUL NASH FROM FAN MINIMAX THEOREM TO NASH EQUILIBRIUM Abstract. We show that i a abstract covex space (E, D;

More information

O V E R V I E W. This study suggests grouping of numbers that do not divide the number

O V E R V I E W. This study suggests grouping of numbers that do not divide the number MSCN(2010) : 11A99 Author : Barar Stelian Liviu Adress : Israel e-mail : stelibarar@yahoo.com O V E R V I E W This study suggests grouping of numbers that do not divide the number 3 and/or 5 in eight collumns.

More information

Procedeu de demonstrare a unor inegalităţi bazat pe inegalitatea lui Schur

Procedeu de demonstrare a unor inegalităţi bazat pe inegalitatea lui Schur Procedeu de demonstrare a unor inegalităţi bazat pe inegalitatea lui Schur Andi Gabriel BROJBEANU Abstract. A method for establishing certain inequalities is proposed and applied. It is based upon inequalities

More information

RECREAŢ II MATEMATICE

RECREAŢ II MATEMATICE Aul IX, Nr. 1 Iauarie Iuie 007 RECREAŢ II MATEMATICE REVISTĂ DE MATEMATICĂ PENTRU ELEVI Ş I PROFESORI e iπ = 1 Asociaţ ia Recreaţ ii Matematice IAŞ I - 007 Semificaţia formulei de pe copertă: iπ Îtr-o

More information

Teorema Reziduurilor şi Bucuria Integralelor Reale Prezentare de Alexandru Negrescu

Teorema Reziduurilor şi Bucuria Integralelor Reale Prezentare de Alexandru Negrescu Teorema Reiduurilor şi Bucuria Integralelor Reale Preentare de Alexandru Negrescu Integrale cu funcţii raţionale ce depind de sint şi cost u notaţia e it, avem: cost sint i ( + ( dt d i, iar integrarea

More information

Prof univ dr. Sever Spânulescu - LUCRARI DE LABORATOR

Prof univ dr. Sever Spânulescu - LUCRARI DE LABORATOR UNIVERSITATEA HYPERION Facultatea de Stiițe Exacte și Igierești Prof uiv dr. Sever Spâulescu CALCUL NUMERIC - LUCRARI DE LABORATOR Lucrarea de laborator. Rezolvarea sistemelor de ecuatii liiare pri metode

More information

Divizibilitate în mulțimea numerelor naturale/întregi

Divizibilitate în mulțimea numerelor naturale/întregi Divizibilitate în mulțimea numerelor naturale/întregi Teorema îmărţirii cu rest în mulțimea numerelor naturale Fie a, b, b 0. Atunci există q, r astfel încât a=bq+r, cu 0 r < b. În lus, q şi r sunt unic

More information

MATEMATICI SPECIALE PENTRU INGINERI

MATEMATICI SPECIALE PENTRU INGINERI DAN LASCU MATEMATICI SPECIALE PENTRU INGINERI TEORIE CUPRINS PREFAÞÃ 4 FUNCÞII COMPLEXE 5 Numere complee 5 Itroducere Forma algebricã Forma trigoometricã a umerelor complee 5 7 Elemete de topologie î corpul

More information

Curs Teorema Limită Centrală Enunţ

Curs Teorema Limită Centrală Enunţ Curs 9 Teorema Limiă Cerală 9 Teorema Limiă Cerală 9 Euţ Teorema Limiă Cerală TLC) ese ua dire cele mai imporae eoreme di eoria probabiliăţilor Iuiiv, orema afirmă că suma uui umăr mare de v a idepedee,

More information

Lucrarea de laborator nr. 8

Lucrarea de laborator nr. 8 Metode Numerice Lucrarea de laborator r. 8 I. Scopul lucrării Metoda Newto II. Coţiutul lucrării 1. Metoda tagetei 2. Metoda Newto cazul m-dimesioal III. Prezetarea lucrării III.1. Metoda tagetei Metoda

More information

2. METODA GRADIENTULUI CONJUGAT PENTRU REZOLVAREA SISTEMELOR ALGEBRICE LINIARE

2. METODA GRADIENTULUI CONJUGAT PENTRU REZOLVAREA SISTEMELOR ALGEBRICE LINIARE MEOD GRDIENULUI CONJUG PENRU REZOLVRE SISEMELOR LGEBRICE LINIRE Neculai drei Research Istitute for Iformatics Ceter for dvaced Modelig ad Optimizatio 8- verescu veue Bucharest Romaia E-mail: adrei@iciro

More information

Cristalul cu N atomi = un sistem de N oscilatori de amplitudini mici;

Cristalul cu N atomi = un sistem de N oscilatori de amplitudini mici; Curs 8 Caldura specifica a retelei Cristalul cu N atomi = un sistem de N oscilatori de amplitudini mici; pentru tratarea cuantica, se inlocuieste tratamentul clasic al oscilatorilor cuplati, cu cel cuantic

More information

PLANIFICAREA TEMELOR LA GRUPELE DE EXCELENȚĂ DISCIPLINA MATEMATICĂ AN ȘCOLAR

PLANIFICAREA TEMELOR LA GRUPELE DE EXCELENȚĂ DISCIPLINA MATEMATICĂ AN ȘCOLAR PLANIFICAREA TEMELOR LA GRUPELE DE EXCELENȚĂ DISCIPLINA MATEMATICĂ AN ȘCOLAR 0-0 Grupa V. Matematică Profesor coordonator: Aldescu Alina.0.0 Operatii in N-Teorema impartirii cu rest 0..0 Patrate perfecte,cuburi

More information

CATAVASII LA NAȘTEREA DOMNULUI DUMNEZEU ȘI MÂNTUITORULUI NOSTRU, IISUS HRISTOS. CÂNTAREA I-A. Ήχος Πα. to os se e e na aș te e e slă ă ă vi i i i i

CATAVASII LA NAȘTEREA DOMNULUI DUMNEZEU ȘI MÂNTUITORULUI NOSTRU, IISUS HRISTOS. CÂNTAREA I-A. Ήχος Πα. to os se e e na aș te e e slă ă ă vi i i i i CATAVASII LA NAȘTEREA DOMNULUI DUMNEZEU ȘI MÂNTUITORULUI NOSTRU, IISUS HRISTOS. CÂNTAREA I-A Ήχος α H ris to os s n ș t slă ă ă vi i i i i ți'l Hris to o os di in c ru u uri, în tâm pi i n ți i'l Hris

More information

Manual Limba Germana

Manual Limba Germana Manual Limba Germana If you are searched for the book Manual limba germana in pdf format, in that case you come on to loyal site. We furnish utter variation of this ebook in txt, doc, epub, DjVu, PDF formats.

More information

Teoreme de Analiză Matematică - I (teorema Weierstrass-Bolzano) 1

Teoreme de Analiză Matematică - I (teorema Weierstrass-Bolzano) 1 Educaţia Matematică Vol. 3, Nr. 1-2 (2007), 79-84 Teoreme de Analiză Matematică - I (teorema Weierstrass-Bolzano) 1 Silviu Crăciunaş, Petrică Dicu, Mioara Boncuţ Abstract In this paper we propose a Weierstrass

More information

Probleme rezolvate. Lăcrimioara GRAMA, Corneliu RUSU, Prelucrarea numerică a semnalelor aplicații și probleme, Ed. U.T.PRESS, Cluj-Napoca, 2008.

Probleme rezolvate. Lăcrimioara GRAMA, Corneliu RUSU, Prelucrarea numerică a semnalelor aplicații și probleme, Ed. U.T.PRESS, Cluj-Napoca, 2008. Probleme reolvate Lăcrimioara GRAMA, Coreliu RUSU, Prelucrarea umerică a semalelor aplicații și probleme, Ed UTPRESS, Clu-Napoca, 008 Capitolul Semale și secvețe Problema Geerarea uei expoețiale complexe:

More information

PENTRU CERCURILE DE ELEVI

PENTRU CERCURILE DE ELEVI M.Opincariu, M.Stroe, Despre matrice şi determinanţi de ordinul doi 559 Demonstraţie. Aplicăm Propoziţia 3.5. pentru funcţia: g :[a 1,a ] (0, ), g(x) =1. Bibliografie [1]R.P.BoasJr.,M.B.Marcus,Generalizations

More information

Lucrarea de laborator nr. 11

Lucrarea de laborator nr. 11 Metode Nuerce - Lucrarea de laborator 11 Lucrarea de laborator r. 11 I. Scopul lucrăr Aproxarea î ede pr etoda celor a c pătrate II. Coţutul lucrăr 1. Metoda celor a c pătrate. Procedur MAPLE ş exeple

More information

Habilitation Thesis. Periodic solutions of differential systems: existence, stability and bifurcations

Habilitation Thesis. Periodic solutions of differential systems: existence, stability and bifurcations UNIVERSITATEA BABEŞ BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Habilitation Thesis Mathematics presented by Adriana Buică Periodic solutions of differential systems: existence, stability

More information

Inegalităţi de tip Chebyshev-Grüss pentru operatorii Bernstein-Euler-Jacobi

Inegalităţi de tip Chebyshev-Grüss pentru operatorii Bernstein-Euler-Jacobi Iegalităţi de tip Chebyshev-Grüss petru operatorii Berstei-Euler-Jacobi arxiv:1506.08166v1 [math.ca] 26 Ju 2015 Heier Goska, Maria-Daiela Rusu, Elea-Doria Stăilă Abstract The classical form of Grüss iequality

More information

UNITATEA DE ÎNVĂȚARE 3 Analiza algoritmilor

UNITATEA DE ÎNVĂȚARE 3 Analiza algoritmilor UNITATEA DE ÎNVĂȚARE 3 Analiza algoritmilor Obiective urmărite: La sfârşitul parcurgerii acestei UI, studenţii vor 1.1 cunoaște conceptul de eficienta a unui algoritm vor cunoaste si inţelege modalitatile

More information

Probleme de numărare: combinări, aranjamente, permutări de Manuela Prajea 1)

Probleme de numărare: combinări, aranjamente, permutări de Manuela Prajea 1) Probleme de umărare: combăr, arajamete, permutăr de Mauela Prajea 1) Lecța se adresează î prmul râd elevlor de gmazu care focuseaza cocursurle de matematcă hgh-level ș d acest motv se îcepe expuerea de

More information

Legi de distribuţie (principalele distribuţii de probabilitate) Tudor Drugan

Legi de distribuţie (principalele distribuţii de probabilitate) Tudor Drugan Legi de distribuţie (principalele distribuţii de probabilitate) Tudor Drugan Introducere In general distribuţiile variabilelor aleatoare definite pe o populaţie, care face obiectul unui studiu, nu se cunosc.

More information

Gradul de comutativitate al grupurilor finite 1

Gradul de comutativitate al grupurilor finite 1 Gradul de comutativitate al grupurilor finite Marius TĂRNĂUCEANU Abstract The commutativity degree of a group is one of the most important probabilistic aspects of finite group theory In this survey we

More information

Rădăcina pătrată a unei matrici reale de ordinul 2

Rădăcina pătrată a unei matrici reale de ordinul 2 Rădăcina pătrată a unei matrici reale de ordinul Mircea Crasmareanu Mai 19, 017 ( a c Actorii acestei poveşti: matricile A = M b d (R. PROBLEMA STUDIATĂ: Există B M (R aşa încât: B = A? O astfel de matrice

More information

DanielaMANEA. x n +a 1. EdituraParalela45

DanielaMANEA. x n +a 1. EdituraParalela45 DanielaMANEA REZOLVAREA ECUAŢILORALGEBRICE DEGRAD SUPERIOR n +a n- + +a n =0 EdituraParalela45 Daniela Manea REZOLVAREA ECUAŢIILOR ALGEBRICE DE GRAD SUPERIOR Referent ştiinţific: lectunivdr Eduard Asadurian

More information

APLICAŢII ALE FORMULELOR LUI NEWTON PENTRU POLINOAME SIMETRICE

APLICAŢII ALE FORMULELOR LUI NEWTON PENTRU POLINOAME SIMETRICE DIDACTICA MATHEMATICA, Vol. 33(2015), pp. 27 37 APLICAŢII ALE FORMULELOR LUI NEWTON PENTRU POLINOAME SIMETRICE Cristina-Aida Coman Abstract. In this paper we present some applications of Newton s formulae

More information

ARTICOLE ŞI NOTE MATEMATICE

ARTICOLE ŞI NOTE MATEMATICE S. Rădulescu, M. Drăgan, I. V. Maftei, On W. J. Blundon s inequality 3 ARTICOLE ŞI NOTE MATEMATICE SOME CONSEQUENCES OF W.J.BLUNDON S INEQUALITY Sorin Rădulescu 1), Marius Drăgan 2), I.V.Maftei 3) Abstract.

More information

Matematici speciale Seminar 12

Matematici speciale Seminar 12 Matematici speciale Semiar 1 Mai 017 ii Statistica este arta de a miti pri itermediul cifrelor. Wilhelm Stekel 1 Notiui de statistica Datele di dreapta arata temperaturile de racire ale uei cesti de cafea,

More information

LUCRAREA NR Reprezentarea sistemelor liniare și invariante în timp 2. Răspunsul sistemelor la semnale de intrare

LUCRAREA NR Reprezentarea sistemelor liniare și invariante în timp 2. Răspunsul sistemelor la semnale de intrare Semale și iteme eoria itemelor LUCRAREA NR. 3. Reprezetarea itemelor liiare și ivariate î timp. Răpuul itemelor la emale de itrare. Reprezetarea itemelor liiare și ivariate î timp U item cotiuu, diamic,

More information

Cautand originea masei (Cautand bosonul Higgs) Adrian Buzatu. Departmentul de Fizica & Astronomie Universitatea din Glagsow, Regatul Unit

Cautand originea masei (Cautand bosonul Higgs) Adrian Buzatu. Departmentul de Fizica & Astronomie Universitatea din Glagsow, Regatul Unit Cautand originea masei (Cautand bosonul Higgs) Adrian Buzatu Departmentul de Fizica & Astronomie Universitatea din Glagsow, Regatul Unit De la mare la mic 2 Universul ca o prajitura Tava: spatiu-timp Ingrediente:

More information

Avem 6 tipuri de simboluri in logica predicatelor:

Avem 6 tipuri de simboluri in logica predicatelor: Semantica Avem 6 tipuri de simboluri in logica predicatelor: Predicate: p, q, r,, p1, q2 etc. Constante: a, b, c,, z, a1, b4,, ion, mihai, labus etc. Variabile: x, y, z, x1, y1, z4 etc. Conective:,,,,

More information

Derivarea integralei şi integrarea derivatei

Derivarea integralei şi integrarea derivatei Derivre iegrlei şi iegrre erivei Dorim să evieţiem ici fpul că iegrre şi erivre fucţiilor rele su operţii iverse, îr-u ses cre urmeză fi preciz. Icepem pri remii formul Leibiz-Newo peru fucţii f : I R

More information

Autor: Instituţia: Coordonator

Autor: Instituţia: Coordonator Aplicaţii ale numerelor complexe în geometrie, utilizând Geogebra Mathematics consists in proving the most obvious thing in the least obvious way George Polya Autor: Instituţia: Coordonator ştiinţific:

More information

A GENERALIZATION OF A CLASSICAL MONTE CARLO ALGORITHM TO ESTIMATE π

A GENERALIZATION OF A CLASSICAL MONTE CARLO ALGORITHM TO ESTIMATE π U.P.B. Sci. Bull., Series A, Vol. 68, No., 6 A GENERALIZATION OF A CLASSICAL MONTE CARLO ALGORITHM TO ESTIMATE π S.C. ŞTEFĂNESCU Algoritmul Monte Carlo clasic A1 estimeazează valoarea numărului π bazându-se

More information

UNIVERSITATEA POLITEHNICA TIMIŞOARA Facultatea de Electronică şi Telecomunicaţii DORINA ISAR

UNIVERSITATEA POLITEHNICA TIMIŞOARA Facultatea de Electronică şi Telecomunicaţii DORINA ISAR UNIVERSITATEA POLITEHNICA TIMIŞOARA Facultatea de Electroică şi Telecomuicaţii DORINA ISAR ÎMUNĂTĂŢIREA RAPORTULUI SEMNAL PE ZGOMOT ÎN SISTEMELE DE TELECOMUNICAŢII Teză de doctorat Coducător ştiiţific

More information

PROBLEME DIVERSE lecţie susţinută la lotul de 13 de Andrei ECKSTEIN Bucureşti, 25 mai 2015

PROBLEME DIVERSE lecţie susţinută la lotul de 13 de Andrei ECKSTEIN Bucureşti, 25 mai 2015 PROBLEME DIVERSE lecţie susţinută la lotul de 13 de Andrei ECKSTEIN Bucureşti, 5 mai 015 I. SUBSTITUŢIA TAIWANEZĂ 1. Fie a, b, c > 0 astfel încât a bc, b ca şi c ab. Determinaţi valoarea maximă a expresiei

More information

INEGALITĂŢI DE TIP HARNACK ŞI SOLUŢII POZITIVE MULTIPLE PENTRU PROBLEME NELINIARE

INEGALITĂŢI DE TIP HARNACK ŞI SOLUŢII POZITIVE MULTIPLE PENTRU PROBLEME NELINIARE UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA ŞCOALA DOCTORALĂ DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ INEGALITĂŢI DE TIP HARNACK ŞI SOLUŢII POZITIVE MULTIPLE PENTRU PROBLEME NELINIARE Rezumatul tezei de doctorat Doctorand:

More information

UNIVERSITATEA DIN ORADEA FACULTATEA DE ŞTIINŢE PROGRAMUL

UNIVERSITATEA DIN ORADEA FACULTATEA DE ŞTIINŢE PROGRAMUL UNIVERSITATEA DIN ORADEA FACULTATEA DE ŞTIINŢE PROGRAMUL SESIUNII NAŢIONALE DE COMUNICĂRI ŞTIINŢIFICE A STUDENŢILOR ŞI A CADRELOR DIDACTICE DIN ÎNVĂŢĂMÂNTUL PREUNIVERSITAR 1 Department of Mathematics and

More information

COMPARATIVE DISCUSSION ABOUT THE DETERMINING METHODS OF THE STRESSES IN PLANE SLABS

COMPARATIVE DISCUSSION ABOUT THE DETERMINING METHODS OF THE STRESSES IN PLANE SLABS 74 COMPARATIVE DISCUSSION ABOUT THE DETERMINING METHODS OF THE STRESSES IN PLANE SLABS Codrin PRECUPANU 3, Dan PRECUPANU,, Ștefan OPREA Correspondent Member of Technical Sciences Academy Gh. Asachi Technical

More information

TWO BOUNDARY ELEMENT APPROACHES FOR THE COMPRESSIBLE FLUID FLOW AROUND A NON-LIFTING BODY

TWO BOUNDARY ELEMENT APPROACHES FOR THE COMPRESSIBLE FLUID FLOW AROUND A NON-LIFTING BODY U.P.B. Sci. Bull., Series A, Vol. 7, Iss., 9 ISSN 3-77 TWO BOUNDARY ELEMENT APPROACHES FOR THE COMPRESSIBLE FLUID FLOW AROUND A NON-LIFTING BODY Luminiţa GRECU, Gabriela DEMIAN, Mihai DEMIAN 3 În lucrare

More information

Statistică Aplicată. Iulian Stoleriu

Statistică Aplicată. Iulian Stoleriu 32 Statistică Aplicată Iulia Stoleriu Copyright 2017 Iulia Stoleriu Cupris 1 Elemete itroductive de Statistică............................ 11 1.1 Populaţie statistică 11 1.2 Variabile aleatoare 13 1.3

More information

Counties of Romania List

Counties of Romania List O P A Romanian PSK Award eria de diplome Romanian PSK Award a fost conceputa de clubul European de PSK (EPC) la data de 22 mai 009. Scopul fiind de a stimula activitatea PSK cu statii de radioamatori din

More information

MATEMATICĂ 3 PROBLEME DE REFLECŢIE

MATEMATICĂ 3 PROBLEME DE REFLECŢIE Recapitulare din liceu MATEMATIĂ 3 ANALIZĂ OMPLEXĂ PROBLEME DE REFLEŢIE. Scrieţi numerele următoare sub forma a + bi, unde a, b R: a) 3i + i ; b) i + i ;. Reolvaţi în ecuaţiile: ( + i)( i) c) ( + i)(4

More information

Sisteme cu logica fuzzy

Sisteme cu logica fuzzy Sisteme cu logica fuzzy 1/15 Sisteme cu logica fuzzy Mamdani Fie un sistem cu logică fuzzy Mamdani două intrări x şi y ieşire z x y SLF Structura z 2/15 Sisteme cu logica fuzzy Mamdani Baza de reguli R

More information

Common Fixed Points for Multifunctions Satisfying a Polynomial Inequality

Common Fixed Points for Multifunctions Satisfying a Polynomial Inequality BULETINUL Uiversităţii Petrol Gaze di Ploieşti Vol LXII No /00 60-65 Seria Mateatică - Iforatică - Fizică Coo Fixed Poits for Multifuctios Satisfyig a Polyoial Iequality Alexadru Petcu Uiversitatea Petrol-Gaze

More information

Non-Archimedian Fields. Topological Properties of Z p, Q p (p-adics Numbers)

Non-Archimedian Fields. Topological Properties of Z p, Q p (p-adics Numbers) BULETINUL Uiversităţii Petrol Gaze di Ploieşti Vol. LVIII No. 2/2006 43-48 Seria Matematică - Iformatică - Fizică No-Archimedia Fields. Toological Proerties of Z, Q (-adics Numbers) Mureşa Alexe Căli Uiversitatea

More information

P a g e 5 1 of R e p o r t P B 4 / 0 9

P a g e 5 1 of R e p o r t P B 4 / 0 9 P a g e 5 1 of R e p o r t P B 4 / 0 9 J A R T a l s o c o n c l u d e d t h a t a l t h o u g h t h e i n t e n t o f N e l s o n s r e h a b i l i t a t i o n p l a n i s t o e n h a n c e c o n n e

More information

Despre AGC cuasigrupuri V. Izbaș

Despre AGC cuasigrupuri V. Izbaș Despre AGC cuasigrupuri V Izbaș 1 Introducere Se ştie că grupurile au apărut în matematică ca grupuri de automorfisme Rolul automorfismelor este remarcabil şi bine cunoscut La studierea diverselor structuri

More information

Programarea Dinamica. (si alte chestii adiacente) Andrei Olariu

Programarea Dinamica. (si alte chestii adiacente) Andrei Olariu Programarea Dinamica (si alte chestii adiacente) Andrei Olariu andrei@olariu.org Despre mine - Absolvent FMI UniBuc - Doctorand in prelucrarea limbajului natural, in special in mediul online (Twitter)

More information

Subiecte geometrie licenta matematica-informatica 4 ani

Subiecte geometrie licenta matematica-informatica 4 ani Class: Date: Subiecte geometrie licenta matematica-informatica 4 ani Multiple Choice Identify the letter of the choice that best completes the statement or answers the question. 1. Complementara unui subspatiu

More information

Structura matematicii (II)

Structura matematicii (II) Structura matematicii (II) Oana Constantinescu Contents 1 Notiuni - denitii 1 2 Propozitii adevarate: axiome si teoreme 5 2.1 Elemente de logica.......................... 5 2.2 Teoreme................................

More information

Pentru clasa a X-a Ştiinţele naturii-sem II

Pentru clasa a X-a Ştiinţele naturii-sem II Pentru clasa a X-a Ştiinţele naturii-sem II Reprezentarea algoritmilor. Pseudocod. Principiile programării structurate. Structuri de bază: structura liniară structura alternativă structura repetitivă Algoritmi

More information

Utilizarea limbajului SQL pentru cereri OLAP. Mihaela Muntean 2015

Utilizarea limbajului SQL pentru cereri OLAP. Mihaela Muntean 2015 Utilizarea limbajului SQL pentru cereri OLAP Mihaela Muntean 2015 Cuprins Implementarea operatiilor OLAP de baza in SQL -traditional: Rollup Slice Dice Pivotare SQL-2008 Optiunea ROLLUP Optiunea CUBE,

More information

TEZA DE DOCTORAT. Contributii la implementarea managementului fiabilitatii si mentenabilitatii in proiectarea instalatiilor

TEZA DE DOCTORAT. Contributii la implementarea managementului fiabilitatii si mentenabilitatii in proiectarea instalatiilor MINISTERUL EDUCTIEI, CERCETRII, TINERETULUI SI SPORTULUI UNIVERSITTE TEHNIC DE CONSTRUCTII BUCURESTI FCULTTE DE INGINERIE INSTLTIILOR TEZ DE DOCTORT Cotributii la implemetarea maagemetului fiabilitatii

More information

Utilizarea claselor de echivalenta in analiza asistata de calculator a sistemelor cu evenimente discrete

Utilizarea claselor de echivalenta in analiza asistata de calculator a sistemelor cu evenimente discrete 72 Utilizarea claselor de echivalenta in analiza asistata de calculator a sistemelor cu evenimente discrete Conf.dr. Alexandru TERTISCO, ing. Alexandru BOICEA Facultatea de Automatica si Calculatoare,

More information

THE BEHAVIOUR OF ELASTOMERIC BEARINGS UNDER LOAD COMBINATIONS

THE BEHAVIOUR OF ELASTOMERIC BEARINGS UNDER LOAD COMBINATIONS BULETINUL INSTITUTULUI POLITEHNIC DIN IAŞI Publicat de Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi Tomul LX (LXIV), Fasc. 3, 2014 Secţia CONSTRUCŢII. ARHITECTURĂ THE BEHAVIOUR OF ELASTOMERIC BEARINGS

More information

THE TRANSLATION PLANES OF ORDER 49 AND THEIR AUTOMORPHISM GROUPS

THE TRANSLATION PLANES OF ORDER 49 AND THEIR AUTOMORPHISM GROUPS MATHEMATICS OF COMPUTATION Volume 67, Number 223, July 1998, Pages 1207 1224 S 0025-5718(98)00961-2 THE TRANSLATION PLANES OF ORDER 49 AND THEIR AUTOMORPHISM GROUPS C. CHARNES AND U. DEMPWOLFF Abstract.

More information

ROMANIAN MATHEMATICAL SOCIETY

ROMANIAN MATHEMATICAL SOCIETY ROMANIAN MATHEMATICAL SOCIETY Mehedinți Branch ROMANIAN MATHEMATICAL MAGAZINE R.M.M. Nr.20-2018 1 ROMANIAN MATHEMATICAL MAGAZINE NR. 20 ROMANIAN MATHEMATICAL SOCIETY Mehedinți Branch DANIEL SITARU-ROMANIA

More information

LUCRAREA nr. 5: Analiza în domeniul timp a elementelor unui sistem de reglare automată. Sistemul de ordinul 2

LUCRAREA nr. 5: Analiza în domeniul timp a elementelor unui sistem de reglare automată. Sistemul de ordinul 2 LUCRAREA r. 5: Aaliza î domiul timp a lmtlor uui sim d rglar automată. Simul d ordiul. Scopul lucrării S va fac aaliza comportării î timp a simului liiar d ordiul pri dtrmiara variaţii mărimii d işir a

More information

LUCRARE DE LICENTA. Aplicatie grafica pentru controlul unui pendul dublu neliniar. Cuprins: Absolvent. Alexandru Stefan.

LUCRARE DE LICENTA. Aplicatie grafica pentru controlul unui pendul dublu neliniar. Cuprins: Absolvent. Alexandru Stefan. LUCRARE DE LICENTA Aplicatie grafica petru cotrolul uui pedul dublu eliiar Absolvet Alexadru Stefa Coordoator Asist.Ig. Dr. Valeti Taasa Bucuresti, 2013 Cupris: 1 Capitolul 1: Itroducere... 4 Capitolul

More information

Teoreme de compresie-extensie de tip Krasnoselskii şi aplicaţii (Rezumatul tezei de doctorat)

Teoreme de compresie-extensie de tip Krasnoselskii şi aplicaţii (Rezumatul tezei de doctorat) Teoreme de compresie-extensie de tip Krasnoselskii şi aplicaţii (Rezumatul tezei de doctorat) Sorin Monel Budişan Coordonator ştiinţi c: Prof. dr. Radu Precup Cuprins Introducere 1 1 Generaliz¼ari ale

More information

Nonlinear Vibrations of Elastic Beams

Nonlinear Vibrations of Elastic Beams Acta Technica Napocensis: Civil Engineering & Architecture Vol. 56, No. 1, (2013) Journal homepage: http://constructii.utcluj.ro/actacivileng Nonlinear Vibrations of Elastic Beams Iacob Borş 1, Tudor Milchiş

More information

FINITE ELEMENT ANALYSIS OF FRICTIONAL CONTACTS

FINITE ELEMENT ANALYSIS OF FRICTIONAL CONTACTS BULETINUL INSTITUTULUI POLITEHNIC DIN IAŞI Publicat de Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi Tomul LIV (LVIII), Fasc. 3, 2011 Secţia CONSTRUCŢII. ARHITECTURĂ FINITE ELEMENT ANALYSIS OF FRICTIONAL

More information

Raport de Cercetare APLICAII ALE FILTRELOR NELINIARE ÎN IDENTIFICAREA I COMPENSAREA NELINIARITILOR NEDORITE CAPITOLUL I

Raport de Cercetare APLICAII ALE FILTRELOR NELINIARE ÎN IDENTIFICAREA I COMPENSAREA NELINIARITILOR NEDORITE CAPITOLUL I Raport de Cercetare Grat: CNCSIS 57 Tema Autori: Georgeta Budura, Coria Botoca Uiversitatea: Politeica Timioara APLICAII ALE FILTRELOR NELINIARE ÎN IDENTIFICAREA I COMPENSAREA NELINIARITILOR NEDORITE INTRODUCERE.

More information

A L A BA M A L A W R E V IE W

A L A BA M A L A W R E V IE W A L A BA M A L A W R E V IE W Volume 52 Fall 2000 Number 1 B E F O R E D I S A B I L I T Y C I V I L R I G HT S : C I V I L W A R P E N S I O N S A N D TH E P O L I T I C S O F D I S A B I L I T Y I N

More information

Dynamic Response of Beams on Elastic Foundation with Axial Load

Dynamic Response of Beams on Elastic Foundation with Axial Load Acta Technica Napocensis: Civil Engineering & Architecture Vol. 56, No. 1, (2013) Journal homepage: http://constructii.utcluj.ro/actacivileng Dynamic Response of Beams on Elastic Foundation with Axial

More information

MINISTRY OF FOREIGN AFFAIRS Directorate Public Diplomacy, Cultural and Scientific. Tel: Fax:

MINISTRY OF FOREIGN AFFAIRS Directorate Public Diplomacy, Cultural and Scientific. Tel: Fax: MINISTRY OF FOREIGN AFFAIRS Directorate Public Diplomacy, Cultural and Scientific Tel: +40 21 319 68 83 Fax: +40 21 311 25 16 e-mail: ddpcs@mae.ro ANNEX 3 Romanian State Universities According to www.edu.ro

More information

ANOVA IN THE EDUCATIONAL PROCESS

ANOVA IN THE EDUCATIONAL PROCESS U.P.B. Sci. Bull., Series C, Vol. 70, No. 3, 008 ISSN 454-34 ANOVA IN THE EDUCATIONAL PROCESS Mihaela Florentina MATEI Analiza dispersiei, ANOVA, reprezintă una din metodele statistice, dintre cele mai

More information

FINDING THE TRACES OF A GIVEN PLANE: ANALYTICALLY AND THROUGH GRAPHICAL CONSTRUCTIONS

FINDING THE TRACES OF A GIVEN PLANE: ANALYTICALLY AND THROUGH GRAPHICAL CONSTRUCTIONS BULETINUL INSTITUTULUI POLITEHNI DIN IŞI Publicat de Universitatea Tehnică Gheorghe sachi din Iaşi Tomul LVII (LXI), Fasc. 3, 20 Secţia ONSTRUŢII DE MŞINI FINDING THE TRES OF GIVEN PLNE: NLYTILLY ND THROUGH

More information

ANALYTICAL AND GRAPHICAL SOLUTIONS TO PROBLEMS IN DESCRIPTIVE GEOMETRY INVOLVING PLANES AND LINES

ANALYTICAL AND GRAPHICAL SOLUTIONS TO PROBLEMS IN DESCRIPTIVE GEOMETRY INVOLVING PLANES AND LINES ULETINUL INSTITUTULUI POLITENI DIN IŞI Publicat de Uniersitatea Tenică George saci din Iaşi Tomul LVII (LXI) Fasc 3 0 Secţia ONSTRUŢII DE MŞINI NLYTIL ND GRPIL SOLUTIONS TO PROLEMS IN DESRIPTIVE GEOMETRY

More information

A METHOD TO SOLVE THE DIOPHANTINE EQUATION ax 2 by 2 c 0

A METHOD TO SOLVE THE DIOPHANTINE EQUATION ax 2 by 2 c 0 A METHOD TO SOLVE THE DIOPHANTINE EQUATION ax by c Floreti Smaradache, Ph D Associate Professor Chair of Departmet of Math & Scieces Uiversity of New Mexico College Road Gallup, NM 87, USA E-mail:smarad@um.edu

More information

Curriculum Vitae. Site:

Curriculum Vitae. Site: Universitatea Ovidius Constanţa Facultatea de Matematica si Informatica Bd.Mamaia no.68, Constanţa Tel./Fax: +40 241 618070 E-mail: cflaut@univ-ovidius.ro cristina_flaut@yahoo.com Site: www.univ-ovidius.ro/math

More information

Curriculum Vitae. INFORMAŢII PERSONALE Mortici Cristinel Adresă PROFESIONALĂ EDUCAŢIE ŞI FORMARE

Curriculum Vitae. INFORMAŢII PERSONALE Mortici Cristinel Adresă PROFESIONALĂ EDUCAŢIE ŞI FORMARE Curriculum Vitae INFORMAŢII PERSONALE Nume Mortici Cristinel Adresă Strada 8 Martie, Bloc D7A, ap. 13, cod 130056, Târgovişte, România Telefon/Fax 0722-727627 / 0040245-213382 E-mail cmortici@valahia.ro,

More information

Reactoare chimice cu curgere piston (ideala) (Plug Flow Reactor PFR) cu amestecare completa (Mixed Flow Reactor MFR) de tip batch (autoclava)

Reactoare chimice cu curgere piston (ideala) (Plug Flow Reactor PFR) cu amestecare completa (Mixed Flow Reactor MFR) de tip batch (autoclava) Reactoare chimice cu curgere piston (ideala) (Plug Flow Reactor PFR) cu amestecare completa (Mied Flow Reactor MFR) de tip batch (autoclava) Reactorul cu curgere ideala Toate particulele se deplaseaza

More information

METODOLOGIE DE CALCUL A PIERDERILOR DE PUTERE SI ENERGIE ELECTRICA IN LINIILE DE JOASA TENSIUNE CU SARCINI ECHIDISTANT REPARTIZATE

METODOLOGIE DE CALCUL A PIERDERILOR DE PUTERE SI ENERGIE ELECTRICA IN LINIILE DE JOASA TENSIUNE CU SARCINI ECHIDISTANT REPARTIZATE METODOLOGE DE ALUL A PERDERLOR DE PUTERE S ENERGE ELETRA N LNLE DE JOASA TENSUNE U SARN EHDSTANT REPARTZATE POWER, ATVE ELETR ENERGY LOSSES ALULATON AT A LOW VOLTAGE DSTRUTON LNE WTH EQUDSTANT DTRUTED

More information

Solutions for May. 3 x + 7 = 4 x x +

Solutions for May. 3 x + 7 = 4 x x + Solutios for May 493. Prove that there is a atural umber with the followig characteristics: a) it is a multiple of 007; b) the first four digits i its decimal represetatio are 009; c) the last four digits

More information

2D AND 3D PROCESSING OF THE INTERDEPENDENCE BETWEEN THE COMFORT MAIN INDICATORS

2D AND 3D PROCESSING OF THE INTERDEPENDENCE BETWEEN THE COMFORT MAIN INDICATORS BULETINUL INSTITUTULUI POLITEHNIC DIN IAŞI Publicat de Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi Tomul LVII (LXI), Fasc. 1, 2011 SecŃia TEXTILE. PIELĂRIE 2D AND 3D PROCESSING OF THE INTERDEPENDENCE

More information

Parts Manual. EPIC II Critical Care Bed REF 2031

Parts Manual. EPIC II Critical Care Bed REF 2031 EPIC II Critical Care Bed REF 2031 Parts Manual For parts or technical assistance call: USA: 1-800-327-0770 2013/05 B.0 2031-109-006 REV B www.stryker.com Table of Contents English Product Labels... 4

More information

Arhitectura sistemelor de calcul

Arhitectura sistemelor de calcul Arhitectura sistemelor de calcul - Prelegerea 1 - Evoluția sistemelor de calcul Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Istoricul evolutiei calculatoarelor

More information

ON THE LAGRANGE COMPLEX INTERPOLATION

ON THE LAGRANGE COMPLEX INTERPOLATION U.P.B. Sci. Bull., Series A, Vol. 72, Iss. 2, 200 ISSN 223-7027 ON HE LAGRANGE COMPLEX INERPOLAION Adria NEAGOE I lucrare prez uele rezultate legate de erpolarea Lagrage î domeiul complex ( cor. prop.

More information

ELECTRONIC TECHNIQUES IN TIMING MEASUREMENTS FOR NUCLEAR STRUCTURE

ELECTRONIC TECHNIQUES IN TIMING MEASUREMENTS FOR NUCLEAR STRUCTURE U.P.B. Sci. Bull., Series A, Vol. 70, Iss. 4, 2008 ISSN 1223-7027 ELECTRONIC TECHNIQUES IN TIMING MEASUREMENTS FOR NUCLEAR STRUCTURE Dan Gabriel GHIŢĂ 1 Prezenta lucrare descrie în detaliu două metode

More information

SZEGO S THEOREM STARTING FROM JENSEN S THEOREM

SZEGO S THEOREM STARTING FROM JENSEN S THEOREM UPB Sci Bull, Series A, Vol 7, No 3, 8 ISSN 3-77 SZEGO S THEOREM STARTING FROM JENSEN S THEOREM Cǎli Alexe MUREŞAN Mai îtâi vo itroduce Teorea lui Jese şi uele coseciţe ale sale petru deteriarea uǎrului

More information

ASPECTS REGARDING NUMERICAL MODELING OF INDUCTIVE HEATING PROCESS FOR LOW VOLTAGE ELECTRICAL CABLES

ASPECTS REGARDING NUMERICAL MODELING OF INDUCTIVE HEATING PROCESS FOR LOW VOLTAGE ELECTRICAL CABLES U.P.B. Sci. Bull., Series C, Vol. 72, Iss. 3, 2010 ISSN 1454-234x ASPECTS REGARDING NUMERICAL MODELING OF INDUCTIVE HEATING PROCESS FOR LOW VOLTAGE ELECTRICAL CABLES Costel PĂUN 1 În această lucrare se

More information

1. Some solutions to some problems from Octogon Mathematical Magazine pag. 2 Neculai Stanciu, Titu Zvonaru

1. Some solutions to some problems from Octogon Mathematical Magazine pag. 2 Neculai Stanciu, Titu Zvonaru revist@mteiforo Some solutios to some prolems from Octogo Mthemticl Mgie pg Neculi Stciu, Titu Zvoru Numere celere II pg George Flori Șer Cum rătăm că două drepte sut prlelepg 5 Mihel Molodeț Mtemtic,

More information

Reactoare chimice cu curgere piston (ideala) cu amestecare completa de tip batch (autoclava)

Reactoare chimice cu curgere piston (ideala) cu amestecare completa de tip batch (autoclava) Reactoare chimice cu curgere piston (ideala) cu amestecare completa de tip batch (autoclava) Reactorul cu curgere ideala Toate particulele se deplaseaza intr-o directie de-a lungul reactorului, precum

More information