Formalni sistem in mehka logika za analizo digitalne slike: osnovni koncept
|
|
- Theresa Jenkins
- 5 years ago
- Views:
Transcription
1 Elektrotehniški vestnik 69(2): , 2002 Electrotechnical Review, Ljubljana, Slovenija Formalni sistem in mehka logika za analizo digitalne slike: osnovni koncept Andrej Košir, Jurij Tasič Fakulteta za elektrotehniko, Tržaška 25, 1000 Ljubljana E-pošta: Povzetek. Analiza scene digitalne slike je pomemben sestavni del komunikacije stroja z njegovim okoljem. Poleg tega se obdelava slikovne informacije vedno pogosteje uporablja v multimedijskih in spletnih sistemih pri avtomatizaciji in personalizaciji uporabniških vmesnikov ter razvrščanju in shranjevanju slikovnih podatkov. V članku predstavljamo pristop k analizi scene digitalne slike na podlagi formalnega sistema kot ga pozna matematična logika. Formalni sistem ponuja teoretični okvir za analizo vsebine digitalne slike, različne teoretične izsledke in napotke pri načrtovanju postavitve predlaganih postopkov v izbranem programskem jeziku. Osnovna ideja je v predpostavki, da obstaja hierarhična zgradba zapletenosti objektov digitalne slike in da je preprostejše objekte mogoče učinkovito zajeti in jih nato kombinirati v zapletenejše objekte te iste slike. Pri tem predpostavljamo tudi, da je omenjeno kombiniranje objektov mogoče opisati s primernimi transformacijskimi pravili. Postopek manipulacije z objekti slike temelji na analizi razmer na sliki, tj. identifikacijo karakterističnih lastnosti preprostih objektov in z vnaprej znanimi dejstvi o sceni, ki jo prinaša digitalna slika. S predlaganimi postopki je mogoče zajemati topološke in geometrijske lastnosti objektov digitalne slike. Za potrebe logične analize, ki jo predlagani postopek zajema, vpeljemo mehko logiko. S tem dosežemo večjo učinkovitost in robustnost predlaganega sistema. Pri reševanju konkretne naloge mehka logika ponuja neprimerno boljše možnosti za končno nastavitev delovanja. Razpoznava objektov digitalne slike je del predlaganega postopka analize scene. Za ilustracijo postopkov je predstavljen preprost primer analize scene digitalne slike. Dodajamo tudi kratke opombe k postavitvi predlaganega sistema v programskem jeziku C++. Smernice za nadaljnje so vključene v zaključne pripombe. Ključne besede: analiza digitalne slike, formalni sistem, razpoznava objektov Digital image analysis based on a formal system Extended abstract. In this paper, a new approach to the digital image scene analysis is presented. In order to provide for a flexible theoretical background for digital image data acquisition, image object recombinig and image scene analysis, a formal system is introduced. To enable implementation of a formal system in a context of digital image analysis, a formal language and predicate calculus are also introduced. The basic idea behind it is that simple parts of complex objects can be efficiently recognized and then step by step recombined back to complex objects. During this process of recombining, an analysis of object features and relations among them can be obtained. To allow for a feasible image scene analysis, a local image information should be coded so that global information of an image can be reconstructed later. It was established that formal logic does not assure sufficient robustness of object recombiantion processes. In order to express transformation rules more accurately, fuzzy logic was introduced and applied. Digital image feature detection and object recognition can be seen as a part of the scene analysis. Formalization of the object classification using a formal language scene analysis is given. A computer implementation of a formal system suitable for Prejet 7. februar, 2002 Odobren 20. marec, 2002 digital image analysis is briefly presented. Simple examples of a digital image scene analysis are given. The paper ends with conclusion and plans for further work. Key words: digital image analysis, formal system, object recognition 1 Uvod Pri načrtovanju algoritmov za razpoznavo objektov digitalne slike in analizo scene digitalne slike srečujemo zelo različne pristope, glej [3], [1] in [10]. Splošno uporabnih metod analize digitalne slike ne poznamo, obstajajo pa različni sorazmerno učinkoviti postopki za reševanje specifičnih problemov tega področja. Analiza digitalne slike z razpoznavo objektov je nepogrešljiv sestavni del komunikacije stroja z njegovim okoljem v primeru, ko pridobivanje podatkov o okolju poteka tudi prek slikovnih in videopodatkov.
2 144 Formalni sistem in mehka logika za analizo digitalne slike: osnovni koncept Učinkovitejša analiza vsebine slike omogoča večjo stopnjo avtomatizacije postopkov, ki vključujejo računalniški vid. Poleg tega lahko postopke analize vsebine slike s pridom uporabimo tudi pri zgoščevanju slikovnih informacij za specifična področja, kar je pomembno tako za prenos kot shranjevanje le-teh. Analiza vsebine digitalne slike je tudi sestavni del postopkov obdelave in shranjevanja slikovnih in videopodatkov z uporabo podatkovnih baz. Prav slednje je z razmahom medmrežja in integracijo domače elektronske opreme postalo ozko grlo pri avtomatizaciji in personalizaciji multimedijskih podatkov. V članku predstavljamo koncept reševanja nalog analize digitalne slike v okviru formalnega sestava, kot je definiran v kontekstu matematične logike, glej [7]. Formalni sestav daje formalni okvir za označevanje objektov, zapis postopkov manipulacije z objekti in analize odnosov med objekti. Osnovna ideja je v predpostavki, da je mogoče kompleksne objekte digitalne slike predstaviti z naborom preprostejših objektov in karakterističnih lastnosti, ki ga sestavljajo. Tako razgradnjo nato uporabimo tudi pri pridobivanju specifičnih informacij objekta in analizi odnosov med posameznimi objekti. Omenjeni pristop temelji na naslednjih predpostavkah: kompleksne objekte je mogoče razgraditi na preprostejše podobjekte; zapletene objekte je mogoče sestaviti iz preprostejših objektov po danih transformacijskih pravilih; omenjena transformacijska pravila znamo poiskati in jih predstaviti v okviru formalnega sestava. Jasno je, da te predpostavke niso vedno v celoti izpolnjene. Težavam se poskušamo izogniti na različne načine, na splošno pa težave z zapisom transformacijskih pravil ožajo področje uporabe predstavljenih postopkov. V postopku analize digitalne slike objekte razdelimo na objekte različnih nivojev. Množico objektov k- tega nivoja označimo z B(k). Če za objekt slike izberemo kvadrat, so ravne črte objekti nivoja, prav tako so posamezne točke objekti nižjega nivoja. S tem dobimo hierarhično zgradbo objektov, katerega osnovni princip prikazuje slika 1. Slika 1. Hierarhija objektov Figure 1. Hierarchy of objects Objekte, ki jih neposredno razpoznavamo na digitalni sliki, imenujemo objekti vhodnega nivoja, označimo jih z oznako B(0). Te objekte s transformacijskimi pravili kombiniramo v objekte višjega nivoja in postopek kombinacije v objekte višjega nivoja rekurzivno ponavljamo. Transformacijska pravila predstavimo s funkcijskimi znaki formalnega sestava, natančna definicija sledi. V preprostem ilustrativnem primeru, ki ga prinaša slika 1, so objekti vhodnega nivoja B(0) točke. Točke so naprej kombinirane v ravne črte, ki sestavljajo objekte prvega nivoja B(1). V naslednjem koraku so črte kombinirane v kvadrat, ki je edini objekt drugega nivoja B(2). Če je naloga analize slike ilustriranega primera prepoznava geometrijskih likov, je razpoznan kvadrat. Če pa je objekt kvadrat sestavni del zapletenejšega objekta, postopek kombinacije objektov na višje nivoje B(k), k>2, nadaljujemo dokler ni izpolnjen ustavitveni pogoj. Tipični ustavitveni pogoji so prepoznava predpisanega objekta, identifikacija predpisane lastnosti, vnaprej predpisano največje število nivojev objektov in drugi. e ta preprost primer kaže, da je predlagani postopek rekurzivne narave in to je glavni razlog, da ga obravnavamo v okviru formalnih sistemov, glej [15]. Ker je identiteta objekta odvisna tudi od konteksta, v katerem se le-ta nahaja, je pri analizi scene potrebna globalna obravnava informacije. Npr. bitna slika roba ima zelo omejeno uporabnost, ker je zapisana lokalno. Eden glavnih razlogov za vpeljavo formalnega sistema je prav globalni zapis informacije digitalne slike. Analizo scene digitalne slike lahko vidimo kot izločanje pomembne informacije na objektih na sliki. Znano je, da posamezna slika vsebuje ogromno količino informacij, katerih večina je za razpoznavo objektov in analizo scene nepomembna. Analiza scene zahteva tak zapis globalne informacije o sliki, ki omogoča njeno nadaljnjo obdelavo. Pomembna je izbira takega zapisa, ki omogoča izražanje pravil za obdelavo informacije in določanje karakterističnih vsebin. Menimo, da je to mogoče doseči z uvedbo formalnega sestava. V kontekstu formalnega sistema je razpoznava objektov digitalne slike del analize scene. Formalni sistem vključuje predikatni račun, v okviru katerega postavljamo sistemu za analizo scene posamezna vprašanja o razmerah na sliki. Med njimi so tudi poizvedbe o eksistenci posameznih objektov. Analiza scene s formalnim sestavom je v grobem opisu sestavljena iz naslednjih korakov, katerih podrobnosti bomo pojasnili v nadaljevanju. 1. Določitev področja uporabe: Določimo osnovni nabor simbolov, v okviru katerega analiziramo digitalno sliko. Imenujemo ga abeceda, označimo pa z A. Za elemente abecede, ki jih imenujemo simboli, izberemo osnovne gradnike slike, iz katerih kasneje sestavljamo kompleksnejše objekte. Izmed elementov slovnice sestavimo objekte vhodnega nivoja B(0). 2. Izbira funkcij za zajem objektov vhodnega nivoja: Objekti vhodnega nivoja so lahko le simboli
3 Košir, Tasič 145 slovnice. Zajete objekte kasneje s pomočjo transformacijskih pravil sestavljamo v kompleksnejše objekte, tj. objekte višjega nivoja. 3. Določitev transformacijskih pravil: Predstavimo jih s funkcijskimi znaki. Uporabljeni so pri sestavljanju kompleksnih objektov. Označimo jih z oznako R. 4. Vzpostavitev predikatnega računa: Predikate, ki jih predstavimo z mehkimi formulami formalnega sestava, izberemo glede na specifične zahteve naloge analize digitalne slike. Množico predikatov označimo s P. 5. Vzpostavitev formalnega sestava: S pomočjo abecede A, transformacijskih pravil R in predikatov P zgradimo formalni sestav za reševanje konkretne naloge analize digitalne slike. 6. Izvedba analize: (a) predobdelava slike in zajem objektov vhodnega nivoja; (b) uporaba transformacijskih pravil, s katerimi objekte vhodnega nivoja sesetavljamo v kompleksnejše objekte; (c) analiza scene (in razpoznava objektov) v okviru predikatnega računa. S predstavitvijo samega postopka uporabe želimo prispevati k razumevanju podrobnosti definicije formalnega sestava, ki ga uvajamo v naslednjem poglavju. Razvojna stopnja omenjenega pristopa je v zgodnji fazi, tako da ne navajamo primerjav z obstoječimi metodami. 2 Mehka logika e preprosti primeri uporabe formalnega sistema pri analizi digitalne slike kažejo, da funkcijskih znakov, ki predstavljajo pravila kombiniranja objektov slike, ni ugodno predstavljati le v okviru kombinatorične manipulacije s simboli. Funkcijskim znakom formalnega sistema dodamo še predikate, na podlagi katerih nato algoritem za kombinacijo objektov izbere končno obliko transformacijskega pravila. Rezultat transformacije je tako poleg vhodnih objektov odvisen tudi od pripadajočega predikata. Za ilustracijo spet izberemo poenostavljen primer vhodnih objektov, ki sta točki digitalne slike T 1 in T 2. Eno od transformacijskih pravil ju sestavi v daljico [T 1,T 2 ], ki ima točki T 1 in T 2 za začetek in konec. Pripadajoč predikat je P =[d(t 1,T 2 ) <d max ], kjer je d razdalja med točkama (metrika), d max pa vnaprej predpisana razdalja. Rezultat tega transformacijskega pravila je daljica [T 1,T 2 ] le, če je evaluacija predikata P resnična, tj. točki nista oddaljeni za več kot predpisana razdalja d max. V nasprotnem primeru je rezultat transformacijskega pravila prazna množica. Izkaže se, da je izražnje transformacijskih pravil za kombinacijo objektov digitalne slike na podlagi klasične logike pregrobo in ne dosega zahtevane robustnosti. V posameznih primerih sistem ali kombinira nezdružljive objekte ali pa zavrača kombiniranje združljivih objektov. Da bi odpravili ali vsaj omilili omenjeno težavo, namesto klasične logike vpeljemo mehko logiko. Objektom digitalne slike, ki jih predstavimo s simboli formalnega sestava, priredimo pripadnost µ, splošnejša predstavitev sledi v poglavju 2. S tem množico objektov slike izbranega tipa spremenimo v mehko množico, glej [2], [8] in [16]. Vsakemu objektu ob vpeljavi (razpoznava neposredno na sliki ali rezultat kombinacije objektov nižjega nivoja) priredimo pripadnost µ. Ta je odvisna od različnih pogojev ob vpeljavi tega objekta. Objekte s pripadnostjo µ =0 izločimo iz nadaljnje obravnave. Kot smo že omenili, uporaba mehke logike omogoča boljši nadzor nad rekurzivno gradnjo objektov slike. Na drugi strani pa vpeljava mehke logike v določenih primerih prinese povečano prostorsko zahtevnost predlaganih algoritmov za analizo digitalne slike. Tako je zato, ker shranjujemo tudi objekte s pripadnostjo µ<1. Posledično sepoveča tudi računska zahtevnost manipulacije z objekti. Rešitev te težave je v skrbni izbiri t- norme T in predikatov, evaluacija katerih odloča o rezultatih transformacijskih pravil. Natamčnejša prestavitev sledi v 2. poglavju. 2.1 Mehka logika in mehko sklepanje Podajamo le osnovne definicije in opombe, več najdemo med drugim v [2] in [8]. Eden od načinov določanja klasičnih podmnožic univerzalne množice X je karakteristična funkcija množice. Množici A X je dana s svojo karakteristično funkcijo χ A (x) = { 1, x A; 0, x A, velja namreč A = {x X; χ A (x) =1}. Mehka množica je posplošitev klasične množice. Pri tem karakteristično funkcijo, ki slika v dvoelementno množico {0, 1} razširimo na funkcijo pripadnost µ, ki slika v interval [0, 1]. Definicija 2.1 Mehka množica A X univerzalne množice X je množica, dana s pripadnostjo µ A : X [0, 1]. Za poljuben x X je pripadnost predikata [x A] dana z [[x A]] := µ A (x). Predstavitev predikata kot formule formalnega sestava prinaša 3. poglavje. Kot smo že omenili, je klasična množica A množica s pripadnostjo karakteristična funkcija χ A.
4 146 Formalni sistem in mehka logika za analizo digitalne slike: osnovni koncept Logične operatorje in pravila sklepanja mehke logike vpeljemo glede na vlogo, ki jo imajo v klasični logiki. V okviru mehke logike je opis logičnih operatorjev dan s pripadajočimi funkcijami pripadnosti. Izkaže se, da obstaja več smiselnih definicij pripadnosti za konjunkcijo in disjunkcijo. Imenujemo jih t- norme in t-konorme. S pomočjo teh nato opišemo še preostale gradnike mehke logike, kot bomo videli v nadaljevanju. Definicija 2.2 Binarna operacija T : [0, 1] [0, 1] [0, 1] je t-norma, če je asociativna in komutativna nepadajoča za vsak argument posebej za realno število 1 velja T (u, 1) = u za vse u [0, 1]. V uporabi je več t-norm, glej [8], omenimo le primer posplošene t-norme T G (u, v) := min{u, v}. Definicija 2.3 Preslikava S :[0, 1] [0, 1] [0, 1] je t-konorma, če je asociativna in komutativna nepadajoča za vsak argument posebej za realno število 0 velja S(u, 0) = u za vse u [0, 1]. Zgled t-konorme je posplošena t-konorma, dana z S G (u, v) := max{u, v}. Po zgledu de Morganovega pravila za konjunkcijo in disjunkcijo lahko poljubni t-normi T priredimo t- konormo, ki je dana z S T (u, v) :=1 T (1 u, 1 v). Pripadnost implikacije v mehki logiki prestavimo s Ψ- operatorjem. Vezan je na izbrano t-normo. Definicija 2.4 Ψ-operator za t-normo T je preslikava ϕ T : [0, 1] [0, 1] [0, 1], za katero pri poljubnih u, v [0, 1] velja u w ϕ T (u, v) ϕ T (u, w); T (u, ϕ T (u, v)) v; u ϕ T (u, T (u, v)). Zgornja definicija ima neposredno intuitivno podlago v lastnostih implikacije v klasični logiki. Izkaže se, da za vsako t-normo T obstaja enolično določen Ψ-operator ϕ T, dan s predpisom ϕ T (u, v) := sup{w; T (u, w) v}, glej [2]. Ker je t-norm več in vsaki pripada Ψ-operator, v mehki logiki poznamo več različnih pripadnosti za implikacijo, tj. več različnih implikacij. t-normi T in njej pripadajoč Φ-operator ϕ T priredimo negacijo, ki je preslikava n T : [0, 1] [0, 1], danas predpisom n T (u) :=ϕ T (u, 0). S tem smo na podlagi izbrane t-norme T vpeljali pripadnosti za negacijo T, konjunkcijo T, disjunkcijo T in implikacijo T. Glede na razširitev pripadnosti formule formalnega sestava [[.]] so s tem omenjeni mehki logični operatorji, dani na poljubni formuli formalnega sestava; glej definicijo 2.5. Formalno vpeljavo formule formalnega sistema najdemo v 3. poglavju. Vloga kvantifikatorjev in v mehki logiki je sorodna vlogi v klasični logiki. Pripadnost obeh kvantifikarjev bomo opisali skupaj z opisom pripadnosti formule. Vrednotenje resničnosti formul v mehki logiki prevzame pripadnost formule, označimo jo z [[.]]. V skladu z njenim pomenom jo imenujemo tudi stopnja resničnosti formule. Podamo jo na atomarnih formulah formalnega sestava, glej poglavje 3.1, in jo nato razširimo na poljubno formulo. Definicija 2.5 Pripadnost množice formul formalnega sistema U pri izbrani t-normi T, njej pripadajoči t- konormi S T in Ψ-operatorju ϕ T je preslikava [[.]] : U [0, 1], (1) dana na atomarnih formulah formalnega sestava in razširjena z naslednjimi pravili: H, H 1,H 2 U, [[ T H)]] = n T ([[H ] ]), [[H 1 T H 2 ]] = T ([[H 1 ]], [[H 2 ]]), [[H 1 T H 2 ]] = S T ([[H 1 ]], [[H 2 ]]), [[H 1 T H 2 ]] = ϕ T ([[H 1 ]], [[H 2 ]]), [[ xh(x)]] = inf r X [[Zr x H(x)]], [[ xh(x)]] = sup r X [[Zr x H(x)]]. Oznaka H(x) pomeni formulo, ki vključuje prosto spremenljivko x, Z x r H(x) pa formulo H(x) po zamenjavi proste spremenljivke x s termom r. Z X smo že v uvodu označili univerzalno množico. Pripadnost formule [[H]] daje merilo njene logične veljavnosti. Definicija 2.6 Formula H je logično pravilna s pripadnostjo µ, če pri poljubnih vrednostih prostih spremenljivk velja [[H]] µ. (2) Tedaj označimo = µ H. Za vzpostavitev mehke logike, s katero nadzorujemo postopke manipulacije z objekti digitalne slike, izberemo primerno t-normo T, njej priredimo t-konormo ϕ T in njej enolično prirejeni Ψ-operator ϕ T. S pomočjo dobljenih gradnikov mehka logika zavzame klasično logiko formalnega sistema.
5 Košir, Tasič Formalni sestav Formalni sestav vpeljemo z namenom, da bi formalizirali zapis objektov slike, njihovega sestavljanja v kompleksnejše objekte ter zapis logičnih znakov in predikatov. Postopki analize slike v okviru formalnega sestava imajo rekurzivno naravo. S formalizacijo omogočimo uporabo nekaterih teoretičnih rezultatov zelo obširne in bogate teorije matematične logike in rekurzivnih sistemov. Prav tako lahko formalizacijo s pridom uporabimo tudi pri samem programiranju postopkov za analizo digitalne slike, kjer je izbira primernih podatkovnih struktur in algoritmov še posebej pomembna. Formalni jezik, ki je del formalnega sestava, smo pri obdelavi digitalnih slik že srečali, vendarle v nekoliko drugačnem pristopu; glej [6]. V tem primeru so bili simboli abecede jezika posamezni slikovni elementi. V literaturi najdemo nekatere znane pristope k analizi digitalne slike z rekombinacijo gradnikov slike. Taki so med drugim jezik za opis slik (Picture description language), glej [4] in λ-račun, glej [17]. Kot smo že omenili, formalni sestav prinaša primeren okvir za označevanje osnovnih gradnikov slike in zapis njihovega sestavljanja v zapletene objekte. Za analizo odnosov med objekti vpeljemo predikate in funkcijske znake. 3.1 Definicija formalnega sestava z mehko logiko V tem podpoglavju navajamo definicijo formalnega sestava z nekaterimi pripombami. Izkazalo se je, da je primerno izbrati formalni sestav I. reda, ki daje primeren okvir za analizo digitalne slike, glej [12]. V podrobnosti ne zahajamo, te bralec lahko najde še v [15] in [7]. Iz že navedenih razlogov, glej uvod v poglavje 2, klasično logiko formalnega sestava nadomestimo z mehko logiko. V ta namen za celoten članek izberemo t-normo T, glej definicijo 2.2 poglavja 2. Osnova formalnega sestava je množica znakov (simbolov) A, ki jo imenujemo abeceda. Glede vloge simbolov v okviru analize digitalne slike glej poglavje 4. Nize znakov iz abecede imenujemo izrazi. Nekatere simbole in izraze posebej odlikujemo, prav tako natančneje določimo pravila za tvorbo novih izrazov in pravila logičnega sklepanja. V ta namen nad abecedo A zgradimo jezik J in teorijo T, ki sestavljata formalni sestav F =(J, T ). Definicija 3.1 Jezik J = J (F) formalnega sestava F je štirica J =(A, I, U, V), kjerjea abeceda, I A množica izrazov, U I množica formul in V I množica termov. Pred natančnejšim opisom jezika in teorije definirajmo še teorijo formalnega sestava, ki se tudi opira na sam jezik sestava. Definicija 3.2 Teorija T = T (F) formalnega sestava F je par T =(P, S), kjer je P Umnožica aksiomov, S pa množica pravil sklepanja. Množica aksiomov je množica odlikovanih formul jezika J. Pravilo sklepanja s S je pravilo, ki iz k formul zgradi novo formulo jezika, s : U... U U. Łtevilo formul k, ki nastopajo kot argumenti pravila sklepanja, se imenuje mestnost pravila sklepanja s. Na tem mestu že lahko definiramo formalni sestav. Definicija 3.3 Formalni sestav F je urejen par (J, T ), kjer je J jezik in T teorija. Označimo J = J (F) in T = T (F). Formalni sestav F dopolnimo do formalnega sestava I. reda tako, da naprej razdelamo simbole njegove abecede A, določimo izraze, formule in terme njegovega jezika J ter določimo njegovo teorijo. Simbole abecede A razdelimo na logične znake: { T, T,, (, ),...}; individualne spremenljivke: {x, y, z}; individualne konstante: a, b, c,...; predikate: P (k),q (l),...; funkcijske znake: f (k),g (l),... Logični znaki imajo vlogo, kot jo poznamo v matematični logiki, glej [12]. Individualne spremenljivke in individualne konstante so določene z definicijo konkretnega formalnega sestava I. reda, enako velja za predikate in formule. Predikat P (k) je k mestni predikat, njegovo vlogo tudi poznamo iz matematične logike, glej [12]. f (k) je k- mestni funkcijski znak, s katerim opisujemo tvorbo novih formul formalnega sestava. Nekateri izrazi, sestavljeni iz simbolov abecede, so termi in formule. Na podlagi zgornje razdelitve določimo formule U in terme V formalnega sestava F. Izraz je term, če je individualna konstanta ali individualna spremenljivka; oblike f (k) (v 1,...,v k ),kjerjef (k) funkcijski znak in so v 1,...,v k termi. Izraz je formula, če je atomarna formula P (k) (v 1,...,v k ), kjer je P (k) predikat in so v 1,...,v k termi; oblike u ali u T v, kjer sta u in v formuli; oblike xv, kjer sta x individualna spremenljivka in v formula. Določimo še teorijo T formalnega sestava I. reda, ki služi za formalizacijo logičnega sklepanja. Sestavlja najširši okvir, ki še zagotavlja smiselno logično analizo.
6 148 Formalni sistem in mehka logika za analizo digitalne slike: osnovni koncept Aksiome delimo na logične, ki so skupni vsem formalnim sestavom I. reda, in na zunajlogične, ki jih po potrebi določimo pri konkretni definiciji teorije. Logični aksiomi formalnega sestava, ki ga tu predstavljamo, se enaki logičnim aksiomom teorije I. reda, glej [12]. Da bi se izognili zapletom, s tem zaključimo predstavitev formalnega sestava. Več najdemo med drugim tudi v [7]. V nadaljevanju bomo predstavili preprost formalni sestav, s katerim ilustriramo analizo vsebine digitalne slike na podlagi formalnega sestava. Za vodilo služi postavitev formalnega sestava v programskem jeziku, ki naj omogoča učinkovito reševanje problemov analize digitalne slike. Glavni problem računalniške postavitve ustreznega formalnega sestava sta algoritem za vrednotenje funkcijskih znakov in predikatov, tj. izvajanje transformacijskih pravil, s katerimi (pod)objekte slike sestavljamo v kompleksnejše objekte. Postopek izvajanja transformacijskih pravil vključuje tudi vrednotenje mehkih predikatov. Ker je simbolov (objektov slike), ki so zajeti v procesiranju, sorazmerno veliko (nekaj 100), je kritična tudi računska zahtevnost omenjenih algoritmov. Obvladljivo računsko in prostorsko zahtevnost postopka pri reševanju konkretnih nalog dosežemo s primerno izbiro predikatov in izbiro pripadnosti atomarnim formulam. 4 Primer formalnega sestava za analizo digitalne slike Za demonstracijo analize digitalne slike smo izbrali kar se da preprost primer. Gre za analizo slike, ki je posnetek stanja igre ťrivvrstoˇ. Sistem, postavljen v programskem jeziku C++, prebere sliko trenutnega stanja igre in na podlagi zajema in analize objektov odgovarja na vprašanja, kot npr., ali je igra že končana, kdo je zmagovalec ipd. Poleg tega lahko analiziramo različne lastnosti objektov slike, kot npr. geometrijska razmerja itd. Za celovito predstavitev podatkovnih struktur v programskem jeziku na tem mestu primanjkuje prostora. Elemente slike shranjujemo v strukturo tipa GraphicElt[ObjectId, {x...}, µ], kjer je ObjectId tip objekta, npr. Dot za točko, Line za črto, itd, {x...} je množica parametrov in µ je pripadnost objekta izbranemu razredu objektov. Ob vpeljavi določimo osnovne gradnike formalnega sestava, glej poglavje 3. Individualne spremenljivke: { Dot, Line, Curve, Cross, Circle }, Funkcijski znaki: {f (2) (Dot, Dot) = Line, g (2) (Dot, Line) = Line,...}, Predikati: {P (1) 1 (A) = [A = Cross, µ], P (1) 2 (A) = [A = Circle,µ], Q (3) (C 1,C 2,C 3 ) = [C 1,C 2,C 3 so v vrsti,µ],...} Navedli smo le nekatere predikate in nekatere funkcijske znake. Vsi simboli so opremljenimi še s pripadnostmi, na katerih temelji analiza z mehko logiko. Analiza scene slike poteka igre tri v vrsto poteka po naslednjih korakih: 1. Zajem slikovnih elementov sivinske slike v množico objektov vhodnega nivoja B(0). Format objektov je GraphicElt[Dot, {x, y}, µ]. Za pripadnost izberemo vrednosti glede na zanesljivost zajema objekta, ki je odvisna od sivinskega nivoja slikovnega elementa na mestu (x, y). Množica objektov vhodnega nivoja B(0) je v tem primeru množica točk, zajetih neposredno na analizirani sliki; 2. Izvajanje transformacij na objektih s pomočjo funkcijskih znakov. Pri tem se podmnožice točk transformirajo v črte, te pa v križce Cross in krožce Circle. Transformacije potekajo tako dolgo, dokler vmnožico obravnavanih objektov transformacijska pravila še vnašajo spremembe, tj. obstajajo mehki predikati s pripadnostjo nad predpisano vrednostjo. S tem po k korakih kombinacije simbolov (objektov) dobimo množico objektov končnega nivoja B(k). Ta vsebuje točke, ki se niso vključile v kompleksnejše objekte (črte, krivulje,...), črte, ki se niso vključile v kompleksnejše objekte, krivulje in kot najbolj kompleksne objekte tudi križce tipa GraphicsElt[Cross, {x...}, µ] in krožce tipa GraphicElt[Circle,{x...},µ]. Pri izvajanju transformacijskih pravil evaluiramo mehke predikate, tj. izračunavamo pripadnosti pripadajočih mehkih predikatov, podanih z mehkimi formulami H. Za izbrano pripadnost µ torej preverjamo = µ H. Pri evaluaciji predikata P izračunamo razdaljo med točkama, ki sta argumenta predikata, dobljeno vrednost primerjamo s predpisano razdaljo d max in na podlagi pripadnosti µ 1, µ 2, µ 3 in izbrani pripadnosti µ ovrednotimo resničnost izjave = µ P. 3. Analiza scene zajete slike poteka na podlagi izvajanja predikatov formalnega sestava. Primeri nalog, ki jih postavljamo v obliki predikatov, so: ugotavljanje števila križcev in krožcev, na podlagi katerega nato določimo število korakov igre in kateri igralec je na potezi; preverjanje lege razpoznanih križcev in krožcev; če vsaj trije objekti istega tipa (križci ali krožci) ležijo v ravni vrsti, je pripadajoči igralec že zmagovalec. V resnejših uporabah so objekti vhodnega nivoja bolj zapleteni objekti, kot je slikovni element. e na vhodnem nivoju želimo zajeti bolj zapletene objekte, dokler je to mogoče opraviti dovolj hitro in dovolj zanesljivo. V tem demonstracijskem primeru bi npr. lahko zajeli križce in krožce že kot objekte vhodnega nivoja.
7 Košir, Tasič 149 Analiza scene na podlagi že pridobljene množice objektov končnega nivoja B(k) poteka zelo učinkovito. Gre le za sprehod po množici objektov tipa GraphicElt[ObjectId, {x...}, µ], pri čemer program preverja in primerja oznake objektov ObjectId in računa s koordinatami {x...}. Razpoznava objektov je v tej fazi analize le še prepisovanje oznak objektov ObjectId. Postavitev formalnega sistema v programski jezik je programersko precej zahtevna naloga. Izbrali smo programski jezik C ++, ki se je pri tem dobro obnesel. Izkazalo se je, da je mogoče transformacijska pravila (funkcijske znake) in vrednotenje predikatov izvajati z isto proceduro. Osnovno vodilo načrtovanja podatkovnih struktur in algoritmov formalnega sestava je bila sama definicija formalnega sestava. Funkcionalnosti programskega jezika C ++, kot so polimorfnost, rekurzivnost in dedovanje objektov, ustrezajo rekurzivni naravi formalnega sestava in omogočajo učinkovito postavitev postopkov manipulacije s simboli in evaluacije logičnih formul. Izvajanje transformacijskih pravil (izračun funkcij formalnega sistema) je računsko najzahtevnejši del predlaganega postopka. Izkaže se, da so računske zahtevnosti postopkov kombinatoričnih funkcij eksponentne. S primerno postavitvijo postopkov v izbranem programskem jeziku je mogoče doseči sprejemljive čase izvajanja. Algoritmične napotke mehkega sklepanja daje delo [9]. Analiza predstavljenega primera igre ťri v vrstoňa osebnem računalniku tipično zahteva nekaj sekund. 5 Sklep V članku smo predstavili pristop k analizi scene digitalne slike na podlagi formalnega sestava. Kot demonstracijski zgled navajamo preprost primer analize razmer na sliki v poteku igre ťri v vrstoˇ. Glavne prednosti predlaganega pristopa so možnosti globalnega zapisa informacije in zato tudi globalne analize scene, ki jo prinaša digitalna slika. Ker pristop omogoča tudi razpoznavo objektov v več nivojih, glej poglavje 1, lahko v specifičnih primerih uporabe dosežemo tudi večjo učinkovitost same razpoznave objektov. S predlaganim sistemom je mogoče načrtovati kompletno reševanje dane naloge analize digitalne slike, poleg tega ga lahko uporabimo v kombinaciji z drugimi postopki analize. Glavna težava tega pristopa je v iskanju transformacijskih pravil (funkcijskih znakov), ki v primeru danega področja uporabe omogočajo učinkovito sestavljanje zajetih preprostih objektov v kompleksnejše objekte slike. Kot je znano iz teorije rekurzivnih sistemov, lahko neustrezna izbira transformacijskih pravil vodi do izvajanja neskončne zanke. Ker gre za predstavitev osnovnega koncepta in je testiranje programske postavitve postopkov v zgodnji fazi, ne predstavljamo primerjav z drugimi metodami. Pomembna naloga nadaljnjega dela je razdelava postopkov za iskanje primernih transformacijskih pravil. Z nadaljnjo teoretično razdelavo in s praktičnimi izkušnjami načrtovanja formalnih sistemov želimo oblikovati smernice za sestavo transformacijskih pravil, ki ustrezajo zahtevam reševanja specifičnih problemov. Pri tem je potreba upoštevati tudi prostorsko in računsko zahtevnost postopkov izvajanja transformacijskih pravil. V ta namen potrebujemo oceno števila simbolov, ki se pojavijo na izbranem nivoju obravnave. Nadaljnje delo se kaže tudi v kombinaciji znanih postopkov za razpoznavo objektov vhodnega nivoja s predlaganim pristopom, s čimer bi dosegli učinkovitejšo analizo scene digitalne slike. Pri tem je ključnega pomena izbira postopkov predobdelave analizirane slike, predvsem primerne segmentacije slike. Pristop analize mirne slike s formalnim sestavom je mogoče posplošiti tudi na obdelavo videopodatkov. V tem primeru za simbole formalnega sistema izberemo tridimenzionalne objekte, ki jih določata obe prostorski in ena časovna dimezija. 6 Literatura [1] Y. S. Abu-Mostafa, D. Psaltis, Recognitiove Aspects of Moment Invariants, IEEE Transaction on Pattern Analysis and Machine Inteligence, Vol. Pami 6, No. 6, November [2] H. Bandemer, Fuzzy sets, fuzzy logic, fuzzy methods, John Wiley & Sons, [3] S. Banks, Signal Processing, Image Processing and Pattern Recognition, Prentice Hall, New York, [4] K. Chan, D. Yeung, Recognizing on-line handwritten alphanumeric characters through flexible structural matching, Pattern Recognition, Vol 32., pp , [5] K. Culik, J. Kari, Finite-State Transformations of Images, Computer and Graphics, Vol. 21, pp , [6] K. Culik, V. Valenta, Finite Automata Based Compression of Bi-level and Simple Color Images, Computer and Graphics, Vol. 21, pp 61-68, [7] H. B. Curry, Fundations of Mathematical Logic, McGraw- Hill, USA, [8] M. Gavalec, Fuzzy sets and fuzzy reasoning, Application of Modern Mathematical Methods, Založba FE in FRI, [9] C. J. Kim, An Algorithmic approach for fuzzy Inference, IEEE Transaction on Fuzzy Systems, vol. 5, No. 4, November [10] A. Malaviya, L. Peters, Fuzzy handwriting description language: FOHDEL, Pattern Recognition, Vol 33., pp , 2000.
8 [11] J. F. Martinez-Trinidad, A. Guzman-Arenas, The logical combinatorical approach to pattern recognition, Pattern Recognition, Vol 34., pp , [12] N. Prijatelj, Osnove matematične logike, Društvo matematikov, fizikov in astronomov Republike Slovenije, [13] G. E. Revesz, Introduction to Formal Languages, McGraw-Hill, Singapore, [14] G. Rozenberg, A. Salomaa, Handbook of Formal Languages, Springer-Verlang, Berlin, Vol. 1, Vol. 2, Vol. 3, [15] R. M. Smullyan, Theory of Formal Systems, Princeton University Press, New Jersey, [16] J. Virant, Čas v mehkih sistemih, Didakta, Radovljica, [17] D. Wang, Studies on the Semantics of Pictures, ILLC Dissertation Series , Amsterdam, Andrej Košir je diplomiral leta 1993 na Fakulteti za naravoslovje in tehnologijo, Oddelek za matematiko in mehaniko, kjer je leta 1996 tudi magistriral. Doktoriral je leta 1999 na Fakulteti za elektrotehniko Univerze v Ljubljani. Zaposlen je kot asistent na Fakulteti za elektrotehniko. Področje njegovega raziskovalnega dela sega v postopke digitalne obdelave slik s podporo formalnih sistemov, statističnih metod in uporabe naravnih algoritmov. Jurij Tasič je diplomiral leta 1971, magistriral leta 1973 in doktoriral leta 1977 na Fakulteti za elektrotehniko Univerze v Ljubljani. Je redni profesor na Fakulteti za elektrotehniko Univerze v Ljubljani in predstojnik Laboratorija za digitalno obdelavo signalov. Ožja področja njegovega raziskovalnega dela so digitalna obdelava podatkov, obdelava slik, adaptivni sistemi, paralelne strukture in telekomunikacije. Sodeluje na številnih aplikativnih projektih doma in v tujini.
Reševanje problemov in algoritmi
Reševanje problemov in algoritmi Vhod Algoritem Izhod Kaj bomo spoznali Zgodovina algoritmov. Primeri algoritmov. Algoritmi in programi. Kaj je algoritem? Algoritem je postopek, kako korak za korakom rešimo
More informationUČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS Predmet: Analiza 1 Course title: Analysis 1. Študijska smer Study field. Samost. delo Individ.
UČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS Predmet: Analiza 1 Course title: Analysis 1 Študijski program in stopnja Study programme and level Univerzitetni študijski program Finančna matematika First cycle
More informationINTELLIGENTNI SISTEMI Mehka Logika
INTELLIGENTNI SISTEMI Mehka Logika MEHKA LOGIKA (FUZZY LOGIC) 2011/12 Jurij F. Tasič Emil Plesnik 2011/12 1 Splošna definicija Mehka logika - Fuzzy Logic; 1965 Lotfi Zadeh, Berkely Nadgradnja konvencionalne
More informationAKSIOMATSKA KONSTRUKCIJA NARAVNIH
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA Poučevanje: Predmetno poučevanje ŠPELA ZOBAVNIK AKSIOMATSKA KONSTRUKCIJA NARAVNIH ŠTEVIL MAGISTRSKO DELO LJUBLJANA, 2016 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA
More informationRačunalnik iz domin. Škafar, Maja Šafarič, Nina Sangawa Hmeljak Mentor: Vid Kocijan
Računalnik iz domin Primož Škafar, Maja Šafarič, Nina Sangawa Hmeljak Mentor: Vid Kocijan Povzetek Naša naloga je bila ugotoviti kako sestaviti računalnik (Turingov stroj) iz domin in logičnih izrazov.
More informationTOPLJENEC ASOCIIRA LE V VODNI FAZI
TOPLJENEC ASOCIIRA LE V VODNI FAZI V primeru asociacij molekul topljenca v vodni ali organski fazi eksperimentalno določeni navidezni porazdelitveni koeficient (P n ) v odvisnosti od koncentracije ni konstanten.
More informationUČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS (leto / year 2017/18) Predmet: Analiza 3 Course title: Analysis 3. Študijska smer Study field ECTS
UČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS (leto / year 2017/18) Predmet: Analiza 3 Course title: Analysis 3 Študijski program in stopnja Study programme and level Univerzitetni študijski program Matematika
More informationOPTIMIRANJE IZDELOVALNIH PROCESOV
OPTIMIRANJE IZDELOVALNIH PROCESOV asist. Damir GRGURAŠ, mag. inž. str izr. prof. dr. Davorin KRAMAR damir.grguras@fs.uni-lj.si Namen vaje: Ugotoviti/določiti optimalne parametre pri struženju za dosego
More informationUSING SIMULATED SPECTRA TO TEST THE EFFICIENCY OF SPECTRAL PROCESSING SOFTWARE IN REDUCING THE NOISE IN AUGER ELECTRON SPECTRA
UDK 543.428.2:544.171.7 ISSN 1580-2949 Original scientific article/izvirni znanstveni ~lanek MTAEC9, 49(3)435(2015) B. PONIKU et al.: USING SIMULATED SPECTRA TO TEST THE EFFICIENCY... USING SIMULATED SPECTRA
More informationTopološka obdelava slik
Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko Fakulteta za matematiko in fiziko Matjaž Cerar Topološka obdelava slik DIPLOMSKO DELO UNIVERZITETNI INTERDISCIPLINARNI ŠTUDIJ RAČUNALNIŠTVA
More informationVrednotenje gibov in kretenj roke kot vhodne naprave za komunikacijo človek stroj v navideznih okoljih
Elektrotehniški vestnik 71(1-2): 13 19, 2004 Electrotechnical Review, Ljubljana, Slovenija Vrednotenje gibov in kretenj roke kot vhodne naprave za komunikacijo človek stroj v navideznih okoljih Peter Rulić,
More informationPrimerjava metod aproksimativnega sklepanja pri izolaciji napak - simulacijska študija
Elektrotehniški vestnik 69(2): 120 127, 2002 Electrotechnical Review, Ljubljana, Slovenija Primerjava metod aproksimativnega sklepanja pri izolaciji napak - simulacijska študija Andrej Rakar, D- ani Juričić
More informationInteligentni sistem vodenja proizvodne linije gumijevih profilov
Inteligentni sistem vodenja proizvodne linije gumijevih profilov Andrej Dobnikar, Uroš Lotrič, Branko Šter, Mira Trebar Univerza v Ljubljani, Fakulteta za računalništvo in informatiko Tržaška cesta 25,
More informationZgoščevanje podatkov
Zgoščevanje podatkov Pojem zgoščevanje podatkov vključuje tehnike kodiranja, ki omogočajo skrajšan zapis neke datoteke. Poznan program za zgoščevanje datotek je WinZip. Podatke je smiselno zgostiti v primeru
More informationComputing the steady-state response of nonlinear circuits by means of the ǫ-algorithm
Elektrotehniški vestnik XX(Y): 6, YEAR Electrotechnical Review, Ljubljana, Slovenija Computing the steady-state response of nonlinear circuits by means of the ǫ-algorithm Borut Wagner, Árpád Bűrmen, Janez
More informationFRAKTALNA DIMENZIJA. Fakulteta za matematiko in fiziko Univerza v Ljubljani
FRAKTALNA DIMENZIJA VESNA IRŠIČ Fakulteta za matematiko in fiziko Univerza v Ljubljani PACS: 07.50.Hp, 01.65.+g V članku je predstavljen zgodovinski razvoj teorije fraktalov in natančen opis primerov,
More informationR V P 2 Predavanje 05
R V P 2 Predavanje 05 Kreiranje programskih modulov - Scripts RVP2 Kreiranje programskih modulov 1/44 Programski moduli -Scripts Možnosti: Omogočajo: Izvajanje ukazov Izvajanje logičnih operacij Ob določenih
More informationUNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA POLONA ŠENKINC REŠEVANJE LINEARNIH DIFERENCIALNIH ENAČB DRUGEGA REDA S POMOČJO POTENČNIH VRST DIPLOMSKO DELO
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA POLONA ŠENKINC REŠEVANJE LINEARNIH DIFERENCIALNIH ENAČB DRUGEGA REDA S POMOČJO POTENČNIH VRST DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 2016 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA
More informationVsebina Od problema do načrta programa 1. del
Vsebina Od problema do načrta programa 1. del Osnovne strategije iskanja rešitev problema Načini opisovanja rešitev problema Osnovni gradniki rešitve problema Primeri Napišite postopek za kuhanje kave
More informationUČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS (leto / year 2017/18) Parcialne diferencialne enačbe Partial differential equations. Študijska smer Study field
Predmet: Course title: UČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS (leto / year 2017/18) Parcialne diferencialne enačbe Partial differential equations Študijski program in stopnja Study programme and level Magistrski
More informationUČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS. Študijska smer Study field. Samost. delo Individ. work Klinične vaje work
Predmet: Course title: UČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS Statistika Statistics Študijski program in stopnja Study programme and level Univerzitetni študijski program Matematika First cycle academic
More informationPOLDIREKTNI PRODUKT GRUP
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA LUCIJA ŽNIDARIČ POLDIREKTNI PRODUKT GRUP DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA 2014 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA Univerzitetni študijski program 1. stopnje: Dvopredmetni
More informationUNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO. Oddelek za matematiko in računalništvo DIPLOMSKO DELO.
UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za matematiko in računalništvo DIPLOMSKO DELO Sabina Skornšek Maribor, 2012 UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO
More informationŠtudijska smer Study field. Samost. delo Individ. work Klinične vaje work. Vaje / Tutorial: Slovensko/Slovene
UČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS Predmet: Matematika 2 Course title: Mathematics 2 Študijski program in stopnja Study programme and level Univerzitetni študijski program 1.stopnje Fizika First cycle
More informationŠtudijska smer Study field. Samost. delo Individ. work Klinične vaje work. Vaje / Tutorial: Slovensko/Slovene
UČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS Predmet: Kvantna mehanika Course title: Quantum mechanics Študijski program in stopnja Study programme and level Univerzitetni študijski program 1.stopnje Fizika First
More informationMiha Troha. Robotsko učenje in planiranje potiskanja predmetov
UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA RAČUNALNIŠTVO IN INFORMATIKO Miha Troha Robotsko učenje in planiranje potiskanja predmetov DIPLOMSKO DELO NA UNIVERZITETNEM ŠTUDIJU Mentor: prof. dr. Ivan Bratko Ljubljana,
More informationENAČBA STANJA VODE IN VODNE PARE
ENAČBA STANJA VODE IN VODNE PARE SEMINARSKA NALOGA PRI PREDMETU JEDRSKA TEHNIKA IN ENERGETIKA TAMARA STOJANOV MENTOR: IZRED. PROF. DR. IZTOK TISELJ NOVEMBER 2011 Enačba stanja idealni plin: pv = RT p tlak,
More informationUNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA SAŠO ZUPANEC MAX-PLUS ALGEBRA DIPLOMSKO DELO
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA SAŠO ZUPANEC MAX-PLUS ALGEBRA DIPLOMSKO DELO Ljubljana, 2013 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA ODDELEK ZA MATEMATIKO IN RAČUNALNIŠTVO SAŠO ZUPANEC Mentor:
More informationOA07 ANNEX 4: SCOPE OF ACCREDITATION IN CALIBRATION
OA07 ANNEX 4: SCOPE OF ACCREDITATION IN CALIBRATION Table of contents 1 TECHNICAL FIELDS... 2 2 PRESENTING THE SCOPE OF A CALIBRATION LABOORATORY... 2 3 CONSIDERING CHANGES TO SCOPES... 6 4 CHANGES WITH
More informationUČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS. Študijska smer Study field. Samost. delo Individ. work Klinične vaje work
Predmet: Course title: UČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS Teorija grafov Graph theory Študijski program in stopnja Study programme and level Magistrski študijski program Matematika Master's study
More informationIskanje najcenejše poti v grafih preko polkolobarjev
Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko Veronika Horvat Iskanje najcenejše poti v grafih preko polkolobarjev DIPLOMSKO DELO VISOKOŠOLSKI STROKOVNI ŠTUDIJSKI PROGRAM PRVE STOPNJE
More informationMICROWAVE PLASMAS AT ATMOSPHERIC PRESSURE: NEW THEORETICAL DEVELOPMENTS AND APPLICATIONS IN SURFACE SCIENCE
UDK621.3:(53+54+621 +66), ISSN0352-9045 Informacije MIDEM 38(2008)4, Ljubljana MICROWAVE PLASMAS AT ATMOSPHERIC PRESSURE: NEW THEORETICAL DEVELOPMENTS AND APPLICATIONS IN SURFACE SCIENCE T. 8elmonte*,
More informationNIKJER-NIČELNI PRETOKI
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA ALJA ŠUBIC NIKJER-NIČELNI PRETOKI DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 2016 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA Dvopredmetni učitelj: matematika - računalništvo ALJA
More informationUNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE
UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE Zaključna naloga (Final project paper) Grafi struktur proteinov: Uporaba teorije grafov za analizo makromolekulskih
More informationProblem umetnostne galerije
Problem umetnostne galerije Marko Kandič 17. september 2006 Za začetek si oglejmo naslednji primer. Recimo, da imamo v galeriji polno vrednih slik in nočemo, da bi jih kdo ukradel. Seveda si želimo, da
More informationVerifying Time Complexity of Turing Machines
UNIVERSITY OF LJUBLJANA FACULTY OF MATHEMATICS AND PHYSICS DEPARTMENT OF MATHEMATICS David Gajser Verifying Time Complexity of Turing Machines Doctoral dissertation Advisor: izred. prof. dr. Sergio Cabello
More informationNEODLOČLJIVI PROBLEMI V TEORIJI IZRAČUNLJIVOSTI
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA LUKA VIKTOR ROGAČ NEODLOČLJIVI PROBLEMI V TEORIJI IZRAČUNLJIVOSTI MAGISTRSKO DELO LJUBLJANA, 2017 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA POUČEVANJE, PREDMETNO
More informationUNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO. Oddelek za matematiko in računalništvo MAGISTRSKA NALOGA. Tina Lešnik
UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za matematiko in računalništvo MAGISTRSKA NALOGA Tina Lešnik Maribor, 2014 UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO
More informationZaznavanje napak in spremljanje čiščenja odpadnih voda na podlagi mehkega modela
ELEKTROTEHNIŠKI VESTNIK 78(3): 42 46, 2 EXISTING SEPARATE ENGLISH EDITION Zaznavanje napak in spremljanje čiščenja odpadnih voda na podlagi mehkega modela Dejan Dovžan, Vito Logar 2, Nadja Hvala 3, Igor
More informationMatematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta
Matematika 1 Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta 15. december 2010 Poglavje 3 Funkcije 3.1 Osnovni pojmi Preslikavam v množico R ali C običajno pravimo funkcije v prvem primeru realne, v drugem
More informationAkcijska logika dreves izvajanj z operatorjem unless
Univerza v Mariboru Fakulteta za elektrotehniko, računalništvo in informatiko Robert Meolic Akcijska logika dreves izvajanj z operatorjem unless Doktorska disertacija Maribor, september 2005 Avtor: Naslov:
More informationDesigning Global Behavior in Multi-Agent Systems Using Evolutionary Computation
ELEKTROTEHNIŠKI VESTNIK 8(5): 234-239, 23 ORIGINL SCIENTIFIC PPER Designing Global Behavior in Multi-gent Systems Using Evolutionary Computation Marko Privošnik University of Ljubljana, Faculty of Computer
More informationUČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS
UČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS (leto / year 2017/18) Predmet: Izbrana poglavja iz diskretne matematike 1 Course title: Topics in discrete mathematics 1 Študijski program in stopnja Study programme
More informationTEORIJA GRAFOV IN LOGISTIKA
TEORIJA GRAFOV IN LOGISTIKA Maja Fošner in Tomaž Kramberger Univerza v Mariboru Fakulteta za logistiko Mariborska cesta 2 3000 Celje Slovenija maja.fosner@uni-mb.si tomaz.kramberger@uni-mb.si Povzetek
More informationDomen Perc. Implementacija in eksperimentalna analiza tehnike razvrščanja podatkov s konsenzom
UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA RAČUNALNIŠTVO IN INFORMATIKO Domen Perc Implementacija in eksperimentalna analiza tehnike razvrščanja podatkov s konsenzom DIPLOMSKO DELO NA UNIVERZITETNEM ŠTUDIJU Mentor:
More informationUNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA LUKA VIKTOR ROGAČ KONČNI AVTOMATI DIPLOMSKO DELO
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA LUKA VIKTOR ROGAČ KONČNI AVTOMATI DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 2015 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA Univerzitetni študijski program 1. stopnje: Dvopredmetni
More informationRazpoznavanje znakov prstne abecede na osnovi računalniškega vida
Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko Grega Kres Razpoznavanje znakov prstne abecede na osnovi računalniškega vida diplomsko delo na visokošolskem strokovnem študiju doc. dr. Iztok
More informationUČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS (leto / year 2017/18) Diferencialne enačbe. Študijska smer Study field ECTS
Predmet: Course title: UČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS (leto / year 2017/18) Diferencialne enačbe Differential equations Študijski program in stopnja Study programme and level Visokošolski strokovni
More informationAttempt to prepare seasonal weather outlook for Slovenia
Attempt to prepare seasonal weather outlook for Slovenia Main available sources (ECMWF, EUROSIP, IRI, CPC.NCEP.NOAA,..) Two parameters (T and RR anomally) Textual information ( Met Office like ) Issued
More informationMODELIRANJE IN SIMULACIJA TER NJUNA UPORABA V MEDICINI IN FARMACIJI
Zdrav Vestn 28; 77: 57 71 57 Pregledni prispevek/review article MODELIRANJE IN SIMULACIJA TER NJUNA UPORABA V MEDICINI IN FARMACIJI USAGE OF MODELLING AND SIMULATION IN MEDICINE AND PHARMACY Maja Atanasijević-Kunc
More informationStiskanje slik z algoritmi po vzorih iz narave
Stiskanje slik z algoritmi po vzorih iz narave Gregor Jurgec Univerza v Mariboru Fakulteta za elektrotehniko, računalništvo in informatiko Smetanova 17, Maribor gregor.jurgec@gmail.com Iztok Fister Univerza
More informationCveto Trampuž PRIMERJAVA ANALIZE VEČRAZSEŽNIH TABEL Z RAZLIČNIMI MODELI REGRESIJSKE ANALIZE DIHOTOMNIH SPREMENLJIVK
Cveto Trampuž PRIMERJAVA ANALIZE VEČRAZSEŽNIH TABEL Z RAZLIČNIMI MODELI REGRESIJSKE ANALIZE DIHOTOMNIH SPREMENLJIVK POVZETEK. Namen tega dela je prikazati osnove razlik, ki lahko nastanejo pri interpretaciji
More informationJernej Azarija. Štetje vpetih dreves v grafih
UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA RAČUNALNIŠTVO IN INFORMATIKO FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Jernej Azarija Štetje vpetih dreves v grafih DIPLOMSKO DELO NA INTERDISCIPLINARNEM UNIVERZITETNEM ŠTUDIJU
More informationMinistrstvo za infrastrukturo in prostor Geodetska uprava Republike Slovenije TOPO & INSPIRE WORKSHOP
Ministrstvo za infrastrukturo in prostor Geodetska uprava Republike Slovenije TOPO & INSPIRE WORKSHOP Ljubljana, 5. februar 2014 VSEBINA DELAVNICE DAY 1 Wednesday FEBRUARY 5 th 2014 9.00 10.30 PLENARY
More informationUČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS Numerical linear algebra. Študijska smer Study field. Samost. delo Individ. work Klinične vaje work
Predmet: Course title: UČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS Numerična linearna algebra Numerical linear algebra Študijski program in stopnja Study programme and level Univerzitetni študijski program Matematika
More informationIvan Pucelj: RIMSKE ŠTEVILKE IN RAČUNANJE Z NJIMI. List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje ISSN 0351-6652 Letnik 12 (1984/1985) Številka 3 Strani 110 119 Ivan Pucelj: RIMSKE ŠTEVILKE IN RAČUNANJE Z NJIMI Ključne besede: matematika.
More informationAPLIKACIJA ZA DELO Z GRAFI
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA Študijski program: MATEMATIKA IN RAČUNALNIŠTVO APLIKACIJA ZA DELO Z GRAFI DIPLOMSKO DELO Mentor: doc. dr. Primož Šparl Kandidat: Luka Jurković Somentor: asist.
More informationENERGY AND MASS SPECTROSCOPY OF IONS AND NEUTRALS IN COLD PLASMA
UDK621.3:(53+54+621 +66), ISSN0352-9045 Informaclje MIDEM 3~(~UU8)4, Ljubljana ENERGY AND MASS SPECTROSCOPY OF IONS AND NEUTRALS IN COLD PLASMA Marijan Macek 1,2* Miha Cekada 2 1 University of Ljubljana,
More informationMinimizacija učne množice pri učenju odločitvenih dreves
Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko Ivan Štajduhar Minimizacija učne množice pri učenju odločitvenih dreves Diplomska naloga Mentor: prof. dr. Ivan Bratko Ljubljana, 2001 Izjava
More informationNeli Blagus. Iterativni funkcijski sistemi in konstrukcija fraktalov
UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA RAČUNALNIŠTVO IN INFORMATIKO Neli Blagus Iterativni funkcijski sistemi in konstrukcija fraktalov DIPLOMSKO DELO NA INTERDISCIPLINARNEM UNIVERZITETNEM ŠTUDIJU Mentorica:
More informationMECHANICAL EFFICIENCY, WORK AND HEAT OUTPUT IN RUNNING UPHILL OR DOWNHILL
original scientific article UDC: 796.4 received: 2011-05-03 MECHANICAL EFFICIENCY, WORK AND HEAT OUTPUT IN RUNNING UPHILL OR DOWNHILL Pietro Enrico DI PRAMPERO University of Udine, Department of Biomedical
More information2 Zaznavanje registrske tablice
Razpoznavanje avtomobilskih registrskih tablic z uporabo nevronskih mrež Matej Kseneman doc. dr. Peter Planinšič, mag. Tomaž Romih, doc. dr. Dušan Gleich (mentorji) Univerza v Mariboru, Laboratorij za
More informationUNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE. Simetrije cirkulantnih grafov
UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE Magistrsko delo Simetrije cirkulantnih grafov (Symmetry of circulant graphs) Ime in priimek: Maruša Saksida Študijski
More informationDejan Petelin. Sprotno učenje modelov na podlagi Gaussovih procesov
UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA RAČUNALNIŠTVO IN INFORMATIKO Dejan Petelin Sprotno učenje modelov na podlagi Gaussovih procesov DIPLOMSKO DELO NA UNIVERZITETNEM ŠTUDIJU Mentor: doc. dr. Janez Demšar
More informationSimulacija dinamičnih sistemov s pomočjo osnovnih funkcij orodij MATLAB in Simulink
Laboratorijske vaje Računalniška simulacija 2012/13 1. laboratorijska vaja Simulacija dinamičnih sistemov s pomočjo osnovnih funkcij orodij MATLAB in Simulink Pri tej laboratorijski vaji boste spoznali
More informationDIFFERENTIAL EQUATIONS, DIFFERENCE EQUATIONS AND FUZZY LOGIC IN CONTROL OF DYNAMIC SYSTEMS
JET Volume 9 (016) p.p. 39-54 Issue, August 016 Typology of article 1.01 www.fe.um.si/en/jet.html DIFFERENTIAL EQUATIONS, DIFFERENCE EQUATIONS AND FUZZY LOGIC IN CONTROL OF DYNAMIC SYSTEMS DIFERENCIALNE
More informationUNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE. Kvadratne forme nad končnimi obsegi
UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE Zaključna naloga Kvadratne forme nad končnimi obsegi (Quadratic Forms over Finite Fields) Ime in priimek: Borut
More informationUNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE. O neeksaknotsti eksaktnega binomskega intervala zaupanja
UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE Zaključna naloga (Final project paper) O neeksaknotsti eksaktnega binomskega intervala zaupanja (On the inexactness
More informationDELOVANJA GRUP IN BLOKI NEPRIMITIVNOSTI
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA DEJAN KREJIĆ DELOVANJA GRUP IN BLOKI NEPRIMITIVNOSTI DIPLOMSKO DELO Ljubljana, 2015 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA Dvopredmetni učitelj: matematika -
More informationUNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE. Verjetnostni algoritmi za testiranje praštevilskosti
UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE Zaključna naloga Verjetnostni algoritmi za testiranje praštevilskosti (Algorithms for testing primality) Ime in
More informationUNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE
UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE Zaključna naloga Uporaba logistične regresije za napovedovanje razreda, ko je število enot v preučevanih razredih
More informationPrimerjalna analiza metode neposredne regulacije toka
Elektrotehniški vestnik 70(4): 172 177, 2003 Electrotechnical Review, Ljubljana, Slovenija Primerjalna analiza metode neposredne regulacije toka Vanja Ambrožič, David Nedeljković Fakulteta za elektrotehniko,
More informationarxiv: v1 [cs.dm] 21 Dec 2016
UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE arxiv:1612.07113v1 [cs.dm] 21 Dec 2016 Zaključna naloga (Final project paper) Odčitljivost digrafov in dvodelnih
More informationSimulation System Design
Simulation System Design Hossein Arsham 1, Miroljub Kljajić 2 1 University of Baltimore, Baltimore, MD, 21201, USA, harsham@ubalt.edu 2 University of Maribor, Faculty of Organizational Sciences, Kidričeva
More informationUPORABA MEHKE LOGIKE ZA MODELIRANJE BIOLOŠKIH SISTEMOV NA PRIMERU SIGNALNE POTI MAPK
UPORABA MEHKE LOGIKE ZA MODELIRANJE BIOLOŠKIH SISTEMOV NA PRIMERU SIGNALNE POTI MAPK Lidija Magdevska Delo je pripravljeno v skladu s Pravilnikom o podeljevanju Prešernovih nagrad študentom, pod mentorstvom
More informationUNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE. Kromatično število in kromatični indeks grafa
UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE Magistrsko delo Kromatično število in kromatični indeks grafa (The chromatic number and the chromatic index of
More informationUČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS (leto / year 2016/17) Diferencialne enačbe. Študijska smer Study field ECTS
Predmet: Course title: UČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS (leto / year 2016/17) Diferencialne enačbe Differential equations Študijski program in stopnja Study programme and level Visokošolski strokovni
More informationHipohamiltonovi grafi
Hipohamiltonovi grafi Marko Čmrlec, Bor Grošelj Simić Mentor(ica): Vesna Iršič Matematično raziskovalno srečanje 1. avgust 016 1 Uvod V marsovskem klubu je želel predsednik prirediti večerjo za svoje člane.
More informationmodeli regresijske analize nominalnih spremenljivk
modeli regresijske analize nominalnih spremenljivk Cveto Trampuž An Illustrative Comparison Logit Analysis with Dummy Variable Regression Analysis. Two different regression models in which the dependent
More informationUvod v odkrivanje znanj iz podatkov (zapiski predavatelja, samo za interno uporabo)
Uvod v odkrivanje znanj iz podatkov (zapiski predavatelja, samo za interno uporabo) Blaž Zupan 29. julij 2017 Kazalo 1 Odkrivanje skupin 7 1.1 Primer podatkov.................................. 7 1.2 Nekaj
More informationHadamardove matrike in misija Mariner 9
Hadamardove matrike in misija Mariner 9 Aleksandar Jurišić, 25. avgust, 2009 J. Hadamard (1865-1963) je bil eden izmed pomembnejših matematikov na prehodu iz 19. v 20. stoletje. Njegova najpomembnejša
More informationCalculation of stress-strain dependence from tensile tests at high temperatures using final shapes of specimen s contours
RMZ Materials and Geoenvironment, Vol. 59, No. 4, pp. 331 346, 2012 331 Calculation of stress-strain dependence from tensile tests at high temperatures using final shapes of specimen s contours Določitev
More informationOPTIMIZACIJSKE METODE skripta v pripravi
OPTIMIZACIJSKE METODE skripta v pripravi Vladimir Batagelj Ljubljana 17. december 2003 2 Kazalo Predgovor 5 1 Optimizacijske naloge 7 1.1 Osnovni pojmi........................... 7 1.2 Primeri optimizacijskih
More informationTEORIJA SKUPOVA Zadaci
TEORIJA SKUPOVA Zadai LOGIKA 1 I. godina 1. Zapišite simbolima: ( x nije element skupa S (b) d je član skupa S () F je podskup slupa S (d) Skup S sadrži skup R 2. Neka je S { x;2x 6} = = i neka je b =
More informationMultipla korelacija in regresija. Multipla regresija, multipla korelacija, statistično zaključevanje o multiplem R
Multipla koelacia in egesia Multipla egesia, multipla koelacia, statistično zaklučevane o multiplem Multipla egesia osnovni model in ačunane paametov Z multiplo egesio napoveduemo vednost kiteia (odvisne
More informationUNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA SARA BREZEC HAUSDORFFOV PARADOKS DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 2016 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA DVOPREDMETNI UČITELJ MATEMATIKA-FIZIKA SARA BREZEC mentor:
More informationLISREL. Mels, G. (2006). LISREL for Windows: Getting Started Guide. Lincolnwood, IL: Scientific Software International, Inc.
LISREL Mels, G. (2006). LISREL for Windows: Getting Started Guide. Lincolnwood, IL: Scientific Software International, Inc. LISREL: Structural Equation Modeling, Multilevel Structural Equation Modeling,
More informationLinearna regresija. Poglavje 4
Poglavje 4 Linearna regresija Vinkove rezultate iz kemije so založili. Enostavno, komisija je izgubila izpitne pole. Rešitev: Vinko bo kemijo pisal še enkrat. Ampak, ne more, je ravno odšel na trening
More informationStatistika 2 z računalniško analizo podatkov. Neizpolnjevanje predpostavk regresijskega modela
Statistika 2 z računalniško analizo podatkov Neizpolnjevanje predpostavk regresijskega modela 1 Predpostavke regresijskega modela (ponovitev) V regresijskem modelu navadno privzamemo naslednje pogoje:
More informationUČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS (leto / year 2017/18) Predmet: Optimizacija 1 Course title: Optimization 1. Študijska smer Study field
UČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS (leto / year 2017/18) Predmet: Optimizacija 1 Course title: Optimization 1 Študijski program in stopnja Study programme and level Univerzitetni študijski program Matematika
More informationSamo-nastavljivo vodenje z DMC-jem in proporcionalnim regulatorjem
Samo-nastavljivo vodenje z DMC-jem in proporcionalnim Matija Arh, Igor Škrjanc Fakulteta za elektrotehniko, Univerza v Ljubljani Tržaška cesta 25, 1000 Ljubjana matija.arh@fe.uni-lj.si, igor.skrjanc@fe.uni-lj.si
More informationPreverjanje optimiziranosti spletnih strani
UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA RAČUNALNIŠTVO IN INFORMATIKO Boštjan Hozjan Preverjanje optimiziranosti spletnih strani DIPLOMSKO DELO NA UNIVERZITETNEM ŠTUDIJU Ljubljana, 2016 UNIVERZA V LJUBLJANI
More informationSimulation of multilayer coating growth in an industrial magnetron sputtering system
RMZ Materials and Geoenvironment, Vol. 57, No. 3, pp. 317 330, 2010 317 Simulation of multilayer coating growth in an industrial magnetron sputtering system Simulacija rasti večplastnih prevlek v industrijski
More informationUniverza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko. Oddelek za fiziko. Seminar - 3. letnik, I. stopnja. Kvantni računalniki. Avtor: Tomaž Čegovnik
Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko Oddelek za fiziko Seminar - 3. letnik, I. stopnja Kvantni računalniki Avtor: Tomaž Čegovnik Mentor: prof. dr. Anton Ramšak Ljubljana, marec 01 Povzetek
More informationMetode rangiranja spletnih strani
UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA DRUŽBENE VEDE David Primc Metode rangiranja spletnih strani Diplomsko delo Ljubljana, 2015 UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA DRUŽBENE VEDE David Primc Mentor: doc. dr.
More informationVAJE 2: Opisna statistika
VAJE : Opisna statistika Na računalniških vajah se za urejanje in prikazovanje statističnih podatkov uporabi statistični programski paket SPSS in podatkovna datoteka podatki.sav. NALOGE: 1. Analiza vzorčnih
More informationJERNEJ TONEJC. Fakulteta za matematiko in fiziko
. ARITMETIKA DVOJIŠKIH KONČNIH OBSEGOV JERNEJ TONEJC Fakulteta za matematiko in fiziko Math. Subj. Class. (2010): 11T{06, 22, 55, 71}, 12E{05, 20, 30}, 68R05 V članku predstavimo končne obsege in aritmetiko
More informationOPTIMIZACIJA Z ROJEM DELCEV
UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA ORGANIZACIJSKE VEDE Smer: organizacijska informatika OPTIMIZACIJA Z ROJEM DELCEV Mentor: doc. dr. Igor Bernik Kandidat: Matjaž Lipovšek Kranj, december 2005 Izjava: "Študent
More informationActa Chim. Slov. 2003, 50,
771 IMPACT OF STRUCTURED PACKING ON BUBBE COUMN MASS TRANSFER CHARACTERISTICS EVAUATION. Part 3. Sensitivity of ADM Volumetric Mass Transfer Coefficient evaluation Ana akota Faculty of Chemistry and Chemical
More informationUSING THE DIRECTION OF THE SHOULDER S ROTATION ANGLE AS AN ABSCISSA AXIS IN COMPARATIVE SHOT PUT ANALYSIS. Matej Supej* Milan Čoh
Kinesiologia Slovenica, 14, 3, 5 14 (28) Faculty of Sport, University of Ljubljana, ISSN 1318-2269 5 Matej Supej* Milan Čoh USING THE DIRECTION OF THE SHOULDER S ROTATION ANGLE AS AN ABSCISSA AXIS IN COMPARATIVE
More information