R.B.I.S.B. (R.O. DSIM) P.Y प II - वणर न त मक स व प - स ख यक

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1 आर.ब.आई.एस.ब. (अन स ध न अ धक र स.स.. व.) P.Y. - 3 R.B.I.S.B. (R.O. DSIM) P.Y प II - वणर न त मक स व प - स ख यक PAPER II DESCRIPTIVE TYPE ON STATISTICS (अ धकतम अ क ) (अव ध 3 घ ट ) (Maximum Mars ) (Duratio 3 Hours) अन द श: () प म छ ह ख ड ह उम म दव र कस ख ड म स द स ज य द क च न व न करत ए कन ह प च क उ र द सकत ह य द उम म दव र न प च स ज य द क उ र दए ह त उ र दए गए क म न स र क वल पहल प च क म ल य कन कय ज एग तथ श ष उ र क अनद ख कर दय ज एग () त य क खन ड क क उ र अलग उ र प स तक /अन प रक (सप ल म ट स) पर दय ज न च हए अन य शब द म, त य क उम म दव र क उ रप स तक क अल व कम स कम स 4 अन प रक (सप ल म ट स) क आवश यकत रह ग (3) अन प रक ल ट न स प वर उ रप स तक क स थ स ल कर (4) त य ल क अ क ह (5) उ र हद अथव अ ज म लख ज ए तथ प सभ क उ र क वल एक ह भ ष म दए ज ए अ शत: अ ज तथ अ शत: हद म लख गई उ र प स तक क म ल य कन नह कय ज एग (6) त य क क उ र नए प पर दय ज न च हए तथ क स ख य श षर पर ब ओर क ह शए म लख ज न च हए (7) एक ह क सभ भ ग क उ र एक स थ लख द सर शब द म एक ह क व भ भ ग क उ र क ब च म कस अन य क उ र न लख (8) न म, र ल न. तथ अन य व य उ र प स तक म क वल नध र रत स थ न पर ह लख तथ इन ह उ र प स तक और अन प रक पर अन य कह भ न लख (9) उम म दव र उ र लखन क लए क वल न ल अथव क ल स य ह व ल प न/ ब लप इन ट प न क य ग कर () उम म दव र क क ई भ स दभर प स तक ए, प प स तक, ग णत य ट बल, इ ज नय रग ट बलम अथव अन य उपकरण अथव स च र उपकरण (स लफ न स हत) नह दय ज ए ग और न ह उन ह उनक इस त म ल क अन म त द ज एग, यह तक क व उन ह अपन प स रख भ नह सक ग इस नयम क उल ल घन करन पर द ड दय ज सकत ह न न- म बल इल क ट नक क लक य ल टर क य ग क अन म त ह () समस त क क यर (रफ वकर ) उ र प स तक क अ तम 3 य 4 प पर कय ज न च हए () उ र क म ल य कन ख य म तकर, स क ष त तथ स प त क आध र पर कय ज एग (3) अस प लख ई क लए अ क क ट ज ए ग

2 ख ड A : स भ वत एव प र तदश. (अ) N सम ह क जनस ख य म स सम ह क SRSWOR म, प रत य क M घटक व ल, Y, क अन भनत आकलक प र प त कर (जनस ख य औसत प र त घटक ) उसक प रसरण भ प र प त कर. प र प त प रसरण क अन भनत आकलक बत ए. नम न ल खत आ कड़ 5 सम ह क जनस ख य म स 5 सम ह क य द च छक नम न ह, प रत य क म द क र मक भ ख ड (plot) ह. Y क म ल य नम न ध न क ख त क त र ह. (areas of sample paddy fields). सम ह (cluster) त र (Area) प र त भ ख ड म ध न क ख त क औसत त र क आकलन उसक प रसरण क स थ कर.. (अ) Strog Law of Large Numbers (SLLN) क ब र म बत ए. यह सध द कर क स वत त र य द च छक क प रत य क अन क रम { }, एक सम न प रबध द प रसरण क स थ चरवस त SLLN क प लन करत ह. इस ब त क पर ण कर क क य Strog Law of Large Numbers (SLLN) स वत त र और एक सम न वणटन य द च छक च र वस त ओ क अन क रम {, }, स म न य स भ व यत सघन क यर क स थ सहमत ह. f ( x) = 7 8 x x otherwise 3 (अ) नम न ल खत क प रभ षत कर. (i) स भ वत म अ भसरण (Covergece) (ii) r th mea म अ भसरण (covergece) य द (iii) अ त न श चत अ भसरण p और g नर तर क यर ह, यह दश र य क g( ) p g( )

3 {, } स म न य सघन क यर क स थ iid य द च छक चर वस त ओ क अन क रम ह, f दश र य क ( x) = ( + 5) p 4, जह x > otherwise नम न म ध य (sample mea) ह. ख ड B: र ख य प र तर प और अथर स ख यक 4 (अ) बह वध सम श रयन म अवश य स त ष ट द न व ल म न यत ओ क स पष ट कर. स प त म बत ए क म न यत ओ क उल ल घन क क स र क ज सकत ह. म न ल जए सम श रयन model (observatio). y β + x + e β = और अवल कन (i) यह स बत कर क regressio sum of squares = β ( ) x i x ˆ. (ii) अवल कन क आ कड़ दश र त ह क : ( y ˆ ) i y = i, y i = 63.3, y i = x = 39 i, x i = 39 और y म घन त मक सहस ब ध म नत ह ए प र चल (parameters) β और β क आकलन कर. 5 (अ) उपच र क प रभ व क सम नत क पर ण क लए प रसरण model क एक म ग य वश ल षण (oe way aalysis) क ववरण यह ध य न म रखत ह ए द क i th उपच र पर, observatio, तथ पर ण प र क रय क प र प त कर. ANOVA ट बल लख. i =,,,. म न यत ओ क स पष ट कर च र जनस ख य ओ म स 6 टप प णय (observatios) क य द च छक नम न चय नत कए गए. ANOVA ट बल क भ ग न च दय गय ह. 3

4 वचरण क स त र त d.f. Squares क ज ड़ Squares क F (Source of Variatio) ज ड़ क औसत अ भ क रय (Treatmets) त र ट (Error) क ल (Total) - 5 सम चत d.f. क स थ, स थर क 5% क स तर पर F क म ल य =.76. (i) अ वध यम न म ल य क भरकर ट बल क प र कर. (ii) स थर क 5% स तर पर आपक नष कषर क य ह? 6 (अ) (i) स चक क क ब र म आप क य ज नत ह? इसक प रय जन क य ह? (ii) समय उलट व तथ ग णक उलट व (time reversal & factor reversal) क पर ण क क य आवश यकत ए ह? यह दश र य क Fisher s ideal idex umber स द न पर ण ह सकत ह. नम न ल खत आ कड़ क प रय ग करत ह ए Fisher price idex umber क प रक लत (compute) करत ह ए इस ब त क सत य पत कर क इसस {6 (अ)} म उल ल खत द न पर ण स त षजनक ढ ग स ह सकत ह. पद थर (Commodity) आध र वषर (Base year) वतर म न वषर (Curret year) म ल य म त र म ल य म त र P Q R S ख ड C : स ख यक नष कषर 7 (अ) म न ल जए T, g( θ ) क UMVUE ह तथ v, O क अन भनत आकलक (ubiased estimator) ह. तब यह सध द क जए क T, UMVUE क वल उस स थ त म ह, य द ( θ ) S और E ( V ) < क लए म ज द ह. E ( V T ) = θ Θ. म न ल जए क द सर स थ त क सभ अन भनत आकलक (ubiased estimators) 4

5 (i) म न ल जए,,..., be (uow) P[ ] कर. iid rvs with N ( µ,σ ), µ और σ अ त जह क ई व स त वक स ख य ह, क UMVUE पत (ii) म न ल जए क,...,, be iid rvs with discreet uiform. f ( = x) = N ; ; x =,... N, otherwise N N e क UMVUE क पत लग ए. 8 (अ) (i) म न ल जए क,,..., θ क MLE क पत लग ए. U, θ Θ. are iid rvs with ( θ, θ ) θ 3 θ = 3 (ii) म न ल जए P ( = ) =, P( = ) P ( = ) = θ, P ( = ) नम न ल खत आ कड़ स θ क mle क पत लग ए. -, -, -, -,,,,, -,. म न ल जए क,..., θ = 3, be iid rvs with ( θ,) क लए भट ट च यर ब उण ड (Bhattacharya boud) प र प त कर. 9 (अ) म न ल जए,,..., तथ,..., Y Y B(, p ) H = : p p क स थ क रमश:, जह तथ g θ = θ, θ N. ( ) Θ B, p तथ Y are iid rvs. ( ) अ त ह, H : p > p क स मन क पर ण क लए Neyma Structure Test क पत लग ए. द शहर (म बई तथ दल ल ) क प रव र क य द च छक नम न स यह पत चल क उनक स प त हक च कत स खच नम न न स र ह. म बई () : दल ल (Y) : Wald-Wolfowitz ru test क प रय ग करत ह ए यह सत य पत कर क α =.5, य द द न जनस ख य ओ म एक ह प रक र क वतरण (uderlyig distributios) ह. For α 5 %, C = 6 [ ] = α 5

6 ख ड D: प रस भ त य प र क रय ए (अ) एक स दर सक क क ब र ब र उछ ल गय, जसक प रण म Y, Y, Y,... आय. ज क य, प रत य क आ ध स भ वत क स थ., क लए म न ल जए = Y + Y, th ( ) म यह स ख य एक और स भ वत क लए अ भव य क त (expressio) क पत लग ए. P P th ब र उछ ल ह. प रत य क [ = ], P[ =, = ], P[ = = ], P[ =, = ], [ =, =, = ], P[ = =, = ] क य, क Marov Property ह? न य य चत ठहर ए. (i) एक अन त रम स भ वत matrix p द गन Stochastic ह त ह, य द प रत य क क लम क ज ड़ एक क बर बर ह त ह. य द ऐस Marov Chai क कम od m+ नह कय ज सकत, ज स म यक (aperiodic) नह ह तथ जसम states ह, बत त ह क स मत स भ वत (limitig probabilities) m + क द व र द ज त ह. (ii) म न ल जए स दर सक क क प रथम flips म प य गई heads क स ख य N ह तथ, N mod 5, तब lim P [ N, 5 क ग ण क म ह.] (अ) द ज आर A और B, सकक क एक क ब द एक स वत त र र पस ह न व ल उछ ल पर द व लग त ह. जसम head दखन क स भ वन p ह. य द सक क क head ऊपर ह त ह त ज आर A, ज आर B स एक र पय ज तत ह. और य द सक क क tail ऊपर ह त ह त ज आर B, ज आर A स एक र पय ज तत ह. इस प रक र द ज आ रय क प स एक न श चत म त र म र पय रहत ह, म न ल जए N. यह ख ल द न म स कस भ ज आर क क ग ल ह न पर र क ज त ह. इस Marov Chai क र पम व णर त कर. तथ इसक statioery distributio क पत लग ए. क य यह Limit distributio ह? म न ल जए एक स ध र ख क ऊपर,, 3, 4 च न हत कय ज त ह. म न ल, Marov Chai ह जसक द हन ओर ज न क स भ वन /3 ह तथ ब य ओर ज न क स भ वन /3 ह. इसम यह शतर ह क य द, स ब य ओर ज न क क शश करत ह य 4 स द हन ओर ज त ह, त वह र क ज त ह. यह पत कर क Marov Chai प रत य क प इ ट पर कतन समय बत त ह. 6

7 ट इम स रज म ड ल क Y t = a Yt a Yt + et, क द व र दश र य ज त ह. e जह t एक सफ़ द oise process ह जसक प रसरण σ ह. (i) ए क म ल य क नध र रन कर जसक लए process statioery ह. (ii) auto covariaces υ for क प रण म नक ल. (iii) यह बत ए क auto covariaces क क यर क υ = Aa + B a क र प म लख ज सकत ह. A तथ B क क छ म ल य क लए आपक costats a तथ σ क र पम स पष ट करन ह ग. अत: यह दख य क ऑट correlatio ρ [ + ( a ) ( + a )] a - ρ = =,,,.. (iv) ऊपर दए गए A R () process क र प म uderlyig time series क म ड ल क र प म पर ण क लए, पर ण प र क रय बत ए. ख ड E: बह वचर वश ल षण 3 (अ) ल बक ण य ग णक प र तम न (orthogoal factor model) क उसक सभ म न यत ओ क स थ ववरण द तथ नम न ल खत शब द क प रभ षत कर. (i) ग णक भरण (Factor loadig) (ii) व शष ट प रसरण (Specific variace) (iii) स म द यकत (Commuality) ग णक आवतर न (Factor Rotatio) क ब र म स प त म स पष ट कर. नम न ल खत सहप रसरण (covariace) matrix क लए एक factor model क म नत ह ए loadig matrix L तथ व शष ट प रसरण (specific variaces) प र प त कर. इसक लए प रम ख घटक प र क रय (pricipal compoet method) क प रय ग कर. = 5 प रथम घटक द व र बत ए गए अन र प क ल प रसरण क अन प त क प र प त कर. 4 (अ) प र म णक सहस ब ध (caoical correlatios) तथ प र म णक वचरण (कन नकल variates) क प रभ षत कर. यह दश र य क प रथम प र म णक सहस ब ध म ट रक स ρ. क कस भ प र व ष ट क absolute value स बड़ ह, 7

8 ρ ρ जह ρ = ρ ρ () p Vector ( ) = () p+ q q क सहस ब ध म ट रक स ह. नम न ल खत वभक त सहस ब ध म ट रक स क लए प रथम प र म णक सहस ब ध तथ उसक सहय ग प र म णक वच र ज ड़ (associated caoical variate pair) प र प त कर. 3 3 ρ = (अ) म न ल जए p, p, द बह चर जनस ख यओ π ad π क प वर स भ वन ओ क दश र त ह तथ f( x), f ( x) उनक स भ वत सघन क यर क दश र त ह. उस वग करण नयम क प र प त कर ज Total probability of misclassificatio (TPM) क कम कर सक. त क, जब f i, p-variate ormal mea vector µ i ( i =, ) पत लग ए. म न ल जए क = 3 तथ स म न य प रसरण म ट रक स ह तब न य नतम TPM नयम क तथ = observatios, द radom vectors तथ, पर कए ज त ह, जनक प स bivariate ormal distributio क स भ वन, स म न य covariace म ट रक स क स थ ह पर त स भवत: प रथक औसत व क टर µ तथ µ ह. नम न औसत व क टसर नम न न स र ह : तथ pooled covariace matrix क वपर त ह, =, = S p = (i) H : µ µ क स मन अन म न (hypothesis) H : µ = µ कर. (ii) Mahalaobis sample distace D. प र प त कर. (iii) वग करण क लए न य नतम TPM नयम प र प त कर. (iv) Observatio = (..44) स π or π. 8 क पर ण

9 ख ड F: स ख य त मक वश ल षण तथ क प य टर तकन क 6 (अ) य द () एकघ त (liear equatios) क पद ध त क स न नकरण (Approximatio) ह, त यह बत ए क Gauss-Seideliteratio प र क रय क प रय ग करत ह ए क अगल स न नकरण (ext approximatio) (+), (+) = x () + v () द व र प र पत कय ज सकत ह, जह v() = (D + L) r(); r() = b A () और ड वकरण भ ग (Diagoal part), L, A क नचल त रक ण य भ ग. =,,. इस प र क रय क प रय ग करत ह ए नम न ल खत सम करण पद ध त (system of equatios) क लए () प र प त कर. x x =7 x + x x 3 = x +x 3 = प र र म भक स न नकरण (approximatio) () = [ ] क र प म ल. Newto-Cotesवग र क रन स त र (quadrature formula) क प रण म नक ल. b a = f (x)dx = λ f (x ) तथ आ तरगणन (Iterpolatio) प र क रय क प रय ग करत ह ए नम न ल खत form म Simpso s rule क प रण म नक ल b b a f (x)dx = [f (a) + 4 f ((a + b) / ) + f ] a 6 अत: नम न प णर स ख यक क म ल य कन कर. x dx cos( x) 7 (अ) (i) अग रस रत अ तर प रच लक (forward differece operator) क प रभ षत कर तथ यह प रम णत कर क (a) logf (x) = log(+ f(x) ), f(x) ah si (ax + b) = (si ) ah + π si[ax + b + ( )] 9

10 (ii) Iterval of differecig beig uity, नम न ल खत क म ल य कन कर. (अ) ( +3)( E+) (3x +x+) E 3 x 3 x क म ल य क लए f() =4, f() = 5, f(7) =5, f(8) =4 क र प म दए गए ह. ल गर ग क आ तर गणन स त र (Lagrage s iterpolatio formula) क प रय ग करत ह ए f(6) क म ल य तथ x क म ल य, जसक लए f(x) अ धकतम य न य नतम ह, क पत लग ए. 8 (अ) नम न ल खत प रश न क जव ब द. (i) न टव क ग म TCP/IP स दभर म ड ल क व य ख य कर. (ii) स पकर (स च र म ध यम) क य ह? Poit to poit स पकर तथ प रस र स पकर क व य ख य कर. नम न ल खत प रश न क उत तर द. (i) Relatioal Database Maagemet System म relatio क आप क य अथर नक लत ह. रल शन स व शष ट attribute colum तथ tuples क चयन क प र क रय क स पष ट कर. (ii) सचर क 4 क र प म ल कर नम न ल खत स ख य ओ क लए Biary Search Techique क स पष ट कर., 8, 4, 3, 35, 38, 4, 45, 5.

11 आर.ब.आई.एस.ब. (अन स ध न अ धक र स.स.प र. व.) P.Y.3 R.B.I.S.B. ( R.O. DSIM) P.Y.3 PAPER II DESCRIPTIVE TYPE ON STATISTICS (Maximum Mars ) (Duratio 3 Hours) Istructios : () The questio paper cosists of six sectios. The cadidate may attempt ay five questios selectig ot more tha two from ay sectio. I case the cadidate aswers more tha five questios, oly the first five questios i the chroological order of questio umbers aswered will be evaluated ad the rest of the aswers igored. () QUESTIONS FROM EACH SECTION SHOULD BE ANSWERED ON SEPARATE ANSWER- SCRIPT/SUPPLEMENTS. I other words, a cadidate may require/use miimum to 4 supplemets, i additio to Aswer script. (3) Supplemet should be attached to the aswer script, before returig. (4) Each questio carries mars. (5) Aswers must be writte either i Eglish or i Hidi. However, all the questios should be aswered i oe laguage oly. Aswer-boos writte partly i Eglish ad partly i Hidi will ot be evaluated. (6) Each questio should be aswered o ew page ad the questio umber must be writte o the top i left margi. (7) The aswers of parts of the same questio, if ay, should be writte together. I other words, the aswer of aother questios should ot be writte i-betwee the Parts of a questio. (8) The Name, Roll No. ad other etries should be writte i the aswer-scripts at the specified places oly ad these should ot be writte aywhere else i the aswer script ad supplemets. (9) Cadidate should use oly Blue or Blac i pe/ballpoit pe to write the aswers. () No referece boos, Text boos, Mathematical tables, Egieerig tables, other istrumets or commuicatio devices (icludig cellphoes) will be supplied or allowed to be used or eve allowed to be ept with the cadidates. Violatio of this rule may lead to pealties. Use of o-programmable electroic calculator is permitted. () ALL ROUGH WORK MUST BE DONE IN THE LAST THREE OR FOUR PAGES OF THE ANSWER SCRIPT. () Aswers will be evaluated o the basis of logic, brevity ad clarity i expositio. (3) Mars will be deducted for illegible had-writig.

12 A: Probability ad Samplig. (a) I a SRSWOR of clusters from a populatio of N clusters each cotaiig M elemets, obtai a ubiased estimator of Y (populatio mea per elemet ). Also obtai its variace. State the ubiased estimator of the variace obtaied. The followig data relates to a radom sample of 5 clusters from a populatio of 5 clusters each cosistig of cosecutive plots. The value of y are the areas of sample paddy fields. Cluster Area Estimate the average area uder paddy per field together with its variace.. (a) State the strog law of large umbers (SLLN). Show that every sequece { } of idepedet radom variables with uiformly bouded variaces obeys SLLN. Examie whether the strog law of large umbers hold for the sequece {, } of idepedet ad idetically distributed radom variables with a commo probability desity fuctio. 7x ( ) 8 x f x = otherwise 3. (a) Defie i) Covergece i probability (ii) Covergece i r th mea (iii) almost sure covergece. If p {, } p ad g is cotiuous fuctio show that g( ) g( ) is a sequece of iid radom variables with a commo desity fuctio 6 5, x > f ( x) = 6 ( + 5) otherwise 5 Show that p where is the sample mea. 4 B: Liear Models ad Ecoomic Statistics 4. (a) State the assumptios that must be satisfied i multiple regressio. Briefly state how to chec violatio of assumptios.

13 Assume regressio model y = β + βx + e ad observatios. (i) Prove that regressio sum of squares = ˆ β ( ) x i x (ii) Data o observatios gives: ( y ˆ ) i yi = y = 63.3, i y = 43.49, i x i = 39 x = 39, i Estimate parameters β ad β assumig positive correlatio betwee x ad var ˆ β ad coefficiet of determiatio. y. Fid ( ) 5. (a) Describe oe way aalysis of variace model for testig equality of treatmet effects, there beig i observatios o the i th treatmet; i =,,,. State the assumptios ad obtai testig procedure. Write ANOVA table. A radom sample of 6 observatios was selected from each of four populatios. Part of ANOVA table is give below. Source of d.f. Sum of Mea sum F Variatio squares of squares Treatmets Error Total - 5 Value of F at 5% level of sigificace with appropriate d.f. =.76. (i) (ii) Fill i the missig values ad complete the table. What is your coclusio at 5% level of sigificace? 6. (a) (i) What do you mea by a idex umber? What purpose does it serve? (ii) What are the requiremets of time reversal ad factor reversal tests? Show that Fisher s ideal idex umber satisfies both the tests. Usig the followig data compute Fisher s price idex umber ad verify that it satisfies both the tests metioed i (a). Commodity Base year Curret year Price Quatity Price Quatity P Q R S C: Statistical Iferece 7 (a) Let g θ ad V be the ubiased estimator of. The prove that T is UMVUE if ad oly if E ( V T ) = θ Θ. Assume that secod momet exist for all ubiased estimators of g ( θ ) ad E ( V ) <. T be the UMVUE of ( ) 3

14 (i) Let,,..., be iid rvs with N ( µ,σ ) Fid the UMVUE of P[ ] (ii) Let,..., f ( = x) = N Fid UMVUE of, µ ad σ are uow., where is some real umber., be iid rvs with discrete uiform. N e 8. (a) (i) Let,,..., ; ; x =,... N, otherwise N are iid rvs with ( θ, θ ) θ θ (ii) Let P ( = ) =, P( = ) = 3 3 θ P ( = ) = θ, P ( = ) = 3 Fid the mle of θ from the followig data -, -, -, -,,,,, -,. Let,,..., g θ = θ, θ be iid rvs with N ( θ,) ( ) Θ U, θ Θ. Fid MLE of θ.. Obtai Bhattacharya boud for 9. (a) Let,,... ad Y, Y,..., Y are iid rvs with B (, p ) ad B (, p ) respectively, where ad are ow. Fid Neyma Structure test for testig H : p = p agaist H : p > p. A radom sample of households selected from two cities (Mumbai ad Delhi), revealed that their weely medical expeses were as uder: Mumbai () : Delhi (Y) : Usig the Wald-Wolfowitz ru test, verify at α =. 5, if the two populatio have the same uderlyig distributios. For α 5 %, C = 6 [ ] = α D: Stochastic Processes (a) A fair coi is tossed repeatedly with results Y, Y, Y,... that are or with probability half each. For let = Y + Y be the umber of oe s i the th th ( ) ad tosses. Fid the expressio for each of the probabilities. P[ = ], P[ =, = ], P[ = = ], P[ =, = ], P[ =, =, = ], P[ = =, = ] Whether has a Marov Property? Justify. 4

15 (i) A trasitio probability matrix P is said to be doubly stochastic if the sum over each colum equals oe. If such a Marov Chai is irreducible, aperiodic ad cosists of m+ states show that limitig probabilities are give by m +. (ii) Let coi ad N be the umber of heads observed i the first flips of a fair equal to N mod 5, fid lim P [ N is multiple of 5] (a) Two gamblers A ad B bet o successive idepedet tosses of a coi that lads heads up with probability p. If the coi turs up heads gambler A wis a Rupee from Gambler B ad if the coi turs up tails gambler B wis a Rupee from Gambler A. Thus the total umber of Rupees amog the two gambler stays fixed say N. The game stops as soo as either gambler is ruied. Describe this as a Marov Chai ad foud its statioary distributio. Is it the limit distributio? Cosider the poits,,3,4 mared o a straight lie. Let be the Marov Chai that moves to the right with probability 3 ad to the left with probability 3 ad subject to the coditio that if tries to go the left from or to the right from 4 it stays there. Fid the limitig amout of time the chai speds at each poit. A time series model is specified by Y t = a Yt a Yt + et. where et is a white oise process with variace σ. (i) Determie the values of a for which the process is statioary. (ii) Derive the auto covariaces υ for (iii) Show that the autocovariace fuctio ca be writte i the form υ = Aa + B a for some values of A ad B which you should specify i terms of the costats a ad σ. Hece show that autocorrelatio ρ ρ [ ( ) ( )] = + a + a a =,,,.. (iv) Give a testig procedure for testig whether uderlyig Time series ca be modeled as AR() process give above. E: Multivariate Aalysis 3 (a) Describe a orthogoal factor model with all its assumptio ad explai the followig terms (i) Factor loadig (ii) specific variace (iii) commuality. Explai i brief what is factor rotatio. For the followig covariace matrix, obtai the loadig matrix L ad specific variaces assumig oe factor model ad usig pricipal compoet method. = 5 Obtai the proportio of total variace explaied by first factor. 5

16 4 (a) Defie caoical correlatios ad the caoical variates. Show that the first caoical correlatio is larger tha the absolute value of ay etry i the matrix () ρ. ρ ρ p ρ = is a correlatio matrix of vector. ρ ρ = () ( p+ q) q Obtai first caoical correlatio ad its associated caoical variate pair for the followig partitioed correlatio matrix. 3 3 ρ = (a) Let π ad π ad f( x), f ( x) deote their probability desity fuctios. Obtai the classificatio rule that miimizes (TPM) total probability of misclassificatio. Hece derive miimum TPM rule whe f i is p-variate ormal with mea vector µ i =, ad commo variace matrix. i ( ) Suppose that = 3 ad = observatios are made o two radom vectors ad which are assumed to have bivariate ormal distributio with a commo covariace matrix but possibly differet mea vectors µ ad µ. The sample mea vectors ad iverse of a pooled covariace matrix are as follows: =, = S p = (i) Test the hypothesis H : µ = µ agaist H : µ µ. (ii) Obtai the Mahalaobis sample distace D. (iii) Obtai the miimum TPM rule for classificatio. (iv) Classify the observatio = (..44) to π or π. F: Numerical Aalysis ad Basic Computer Techiques 6. (a) If () is the approximatio to the solutio of the system of liear equatios A = b, the show that the ext approximatio (+) of usig Gauss-Seidel iteratio method is obtaied by (+) = x () + v (), where v () = (D + L) r(); r() = b A () ad D the diagoal part, L the lower triagular part of A. =,,. 6

17 Usig this method obtai () for the followig system of equatios x x =7 x + x x 3 = Tae iitial approximatio as () = [ ] x +x 3 = Derive the Newto-Cotes Quadrature formula b a = f (x)dx = λ f (x ) ad deduce the Simpso's rule i the form b b a f (x)dx = [f (a) + 4 f ((a + b) / ) + f ] a 6 usig method of iterpolatio. Hece evaluate the followig itegral x dx cos( x) 7 (a) (i) Defie forward differece operator ad prove that (a) f(x) logf (x) = log(+ ), f(x) ah ah + π si (ax + b) = (si ) si[ax + b + ( )] (ii) Evaluate the followig, iterval of differecig beig uity: (a) ( +3)( E+) (3x +x+) E 3 x 3 The followig values of the fuctio f(x) for values of x are give as f() =4, f() = 5, f(7) =5, f(8) =4. Fid the value of f(6) ad also the value of x for which f(x) is maximum or miimum usig Lagrage s iterpolatio formula. 8 (a) Aswer the followig questios: (i) Explai TCP/IP referece model i etworig. (ii) What is a li (trasmissio media)? Explai poit-to-poit li ad broadcast li. Aswer the followig questios: (i) What do you uderstad by a relatio i Relatioal Database Maagemet System? Explai how to select specific attribute colums ad tuples from a relatio. (ii) Explai Biary search techique for the followig umbers by taig search. ey as 4:, 8, 4, 3, 35, 38, 4, 45, 5. 7

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