MATEMATICI SPECIALE PENTRU INGINERI

Transcription

1 DAN LASCU MATEMATICI SPECIALE PENTRU INGINERI TEORIE

2 CUPRINS PREFAÞÃ 4 FUNCÞII COMPLEXE 5 Numere complee 5 Itroducere Forma algebricã Forma trigoometricã a umerelor complee 5 7 Elemete de topologie î corpul umerelor complee 3 Fucþii complee de o variabilã realã 3 Defiiþii Limitã Cotiuitate 3 Derivabilitate Difereþiabilitate 33 Itegrala Riema Primitive 3 4 Fucþii complee de o variabilã compleã 4 4 Defiiþie Limitã Cotiuitate 4 Fucþii olomorfe Fucþii armoice Coseciþe ale relaþiilor Cauchy Riema 8 6 Reguli de calcul petru derivatele fucþiilor moogee 7 Itegrala curbiliie î comple Defiiþie Proprietãþi 8 Teorema lui Cauchy 4 9 Formula itegralã a lui Cauchy 6 ªiruri ºi serii de umere complee 9 ªiruri ºi serii de fucþii î comple 3 ªiruri de fucþii Serii de fucþii 3 Serii de puteri 3 Serii Lauret Pucte sigulare ale fucþiilor olomorfe 39 3 Teorema reziduurilor 4 4 Aplicaþii ale teoremei reziduurilor la calculul uor itegrale reale 4 Itegrale de tipul I P Q d 44 44

3 4 Itegrale de tipul I R si cos d 46 TEORIA CÂMPURILOR 5 Itroducere 5 Ecuaþii cu derivate parþiale de ordiul îtâi liiare ºi omogee 5 3 Ecuaþii cu derivate parþiale de ordiul îtâi cvasiliiare 54 4 Câmp scalar Câmp vectorial 56 5 Fluul ºi circulaþia 64 6 Formule itegrale 69 6 Formula flu divergeþã (a lui Gauss Ostrogradsi) 6 Formula lui Stoes 7 Câmpuri particulare importate Câmpuri irotaþioale 7 Câmpuri soleoidale 73 Câmpuri biscalare SERII FOURIER INTEGRALA FOURIER TRANSFORMATA FOURIER TRANSFORMATA LAPLACE 77 3 Serii Fourier 77 3 Forma compleã a seriilor Fourier 8 33 Itegrala Fourier Forma compleã a itegralei Fourier 33 Forma realã a itegralei Fourier Trasformata Fourier Trasformata Laplace Defiiþii Eemple 35 Proprietãþi ale trasformatei Laplace 353 Eemple 354 Itegrarea ecuaþiilor difereþiale liiare cu coeficieþi costaþi 355 Itegrarea sistemelor de ecuaþiilor difereþiale liiare cu coeficieþi costaþi 356 Rezolvarea uor ecuaþii itegrale 357 Rezolvarea uor ecuaþii itegro difereþiale 4 ECUAÞIILE FIZICE MATEMATICE

4 4 Ecuaþii cu derivate parþiale de ordiul al doilea 6 4 EDP cvasiliiare de ordiul al doilea Forma caoicã 7 4 EDP cvasiliiare 7 4 Reducerea la forma caoicã 43 Ecuaþii liiare ºi omogee î raport cu derivate parþiale de ordiul al doilea cu coeficieþi costaþi 43 Coarda fiitã Metoda separãrii variabilelor (D Beroulli ºi JFourier) 6 44 Ecuaþia propagãrii cãldurii 9 45 Problema lui Dirichlet petru cerc 5 FUNCÞII SPECIALE 8 5 FUNCÞII SPECIALE 8 5 Polioame Legedre 8 5 Polioame Cebâºev Polioame Hermite Polioame Laguerre 4 55 Fucþii Bessel 46 BIBLIOGRAFIE 5 3

5 PREFAÞÃ Matematica apare î toate domeiile igiereºti ºi este eseþial ca absolveþii uei facultãþi tehice sã îþeleagã cât mai multe cocepte ºi sã îveþe sã le aplice cu succes î problemele de igierie Matematica î iterdepedeþã cu alte disciplie: fizica chimia tehologia iformatica ecoomia biologia medicia ºtiiþele umae ocupã astãzi o poziþie importatã î lumea ºtiiþificã ºi î ecoomia moderã Matematica are u rol eseþial î dezvoltarea istrumetelor de modelare folosite de aproape toate discipliele ºi este omiprezetã î societatea cotemporaã hipertehologizatã (de eemplu aritmetica este aplicatã î metodele de codare ºi criptare ecuaþiile cu derivate parþiale - î progozele meteo calculul probabilitãþilor ºi statistica - î fiaþe aaliza Fourier ºi calculul operaþioal - î mecaica udelor electrotehicã) Numeroase profesii presupu cuoºtiþe de matematicã Ne îtrebãm care este rolul matematicii î acest cotet Emauel Kat spuea cã o ºtiiþã coþie atâta ºtiiþã câtã matematicã coþie î ea Nimic mai adevãrat ºi î cazul de faþã! Oare se pot acorda premii Nobel î ecoomie fizicã chimie fãrã ca teoria euþatã sã aibã o fudametare matematicã o modelare ºtiiþificã sub formã algoritmicã riguroasã? Cartea de faþã cupride îtr-o formã accesibilã cât mai multor studeþi oþiuile de matematicã igiereascã pe care autorul le predã studeþilor di aul al II-lea de la Academia Navalã Mircea cel Bãtrâ Costaþa Deºi se adreseazã î special studeþilor de la facultãþile cu profil tehic cartea poate fi utilã ºi î pregãtirea studeþilor di îvãþãmâtul ecoomic sau a celor de la facultatea de matematicã Doriþa autorului este ca lucrarea sã fie de u real ajutor studeþilor î strãduiþele lor de îþelegere ºi îsuºire a cuoºtiþelor de Matematici speciale Cartea este structuratã î 5 capitole coþiâd umeroase eemple rezolvate care acoperã programa aaliticã a cursului de Matematici speciale August DL 4

6 FUNCÞII COMPLEXE Numere complee Itroducere Forma algebricã Mulþimea umerelor complee a apãrut di ecesitatea etiderii mulþimii umerelor reale astfel ca orice ecuaþie de gradul al doilea sã aibã soluþii î oua mulþime Fie produsul cartezia al perechilor ordoate y de umere reale adicã Pe mulþimea y y se defiesc douã operaþii algebrice itere aduarea ºi îmulþirea astfel: y y y y y y y y y y () () Aºadar pri mulþimea a umerelor complee vom îþelege tripletul Mulþimea îzestratã cu cele douã operaþii are o structurã de corp comutativ Elemetele corpului se umesc umere complee U elemet al corpului se va ota pri z z z y cu y Elemetele eutre ale corpului sut ºi (3) Elemetul z y (4) este opusul elemetului z iar y z (5) y y este iversul lui z ºi se oteazã z Numãrul comple a fost otat de Euler cu i ºi se umeºte uitatea imagiarã Avem Aºadar petru orice z y avem z y y de ude pri idetificarea ºi y y i (6) se obþie scrierea uzualã a umerelor complee z iy (7) Deci u umãr comple z se poate scrie î mod uic î forma (7) ude y Epresia (7) se umeºte forma algebricã a umãrului comple z y Defii Dacã z iy este u umãr comple cu y atuci se umeºte partea realã a lui z ºi se oteazã cu Re z ; y se umeºte partea imagiarã a lui z ºi se oteazã cu Im z ; z iy se umeºte cojugatul lui z ; 5

7 z y se umeºte modulul lui z Defiiþia Fie z iy Dacã atuci spuem cã z este pur imagiar Defiiþia 3 (Egalitatea) Numerele complee z iy ºi z iy sut egale dacã ºi y y Deci z z dacã Re z Re z ºi Im z Im z Defiiþia 4 (Operaþiile aritmetice) Dacã z iy ºi z iy atuci z z iy iy i y y ; z z iy iy y y i y y ; z z iy iy i y y ; z iy y y y y i sau y z iy y y Eemplul 5 Dacã z 4i ºi z 3 8i atuci sã se gãseascã z z ºi z z Soluþie Avem: z z 4i 3 8i i i ºi z z 4i 3 8i 6 6i i 3i i 38 4i Eemplul 6 Dacã z 3i ºi z 9i atuci sã se gãseascã modulele lui z ºi z Soluþie z 3 3 z 9 9 Propoziþia 7 Dacã z z z sut umere complee oarecare atuci Re z z z Im z z z ; i z z z z z z z z ; z z z z z z z z ; z z z z z z z ; z z z z iy z z y ; z z z z z z z z ; z z ; z z z z z z z z ; z z y y ude z iy ºi z iy Eemplul 8 Dacã z 3i ºi z 4 6i atuci sã se gãseascã Soluþie z z z z z z z ; z z z z z z 6 z z

8 z i i i i i i i z i i i i Eemplul 9 Dacã z 3i atuci sã se gãseascã iversul sãu Solu Di z Aºadar z z obþiem cã z Deci z z 3i 3i z 3i z i z 3 3 i Forma trigoometricã a umerelor complee Î calculul cu umere complee este foarte utilã scrierea acestora sub formã trigoometricã U umãr comple z iy poate fi privit ca u vector î plaul Oy al cãrui puct iiþial este origiea puctul fial fiid puctul y Di triughiul dreptughic OMP di figura alãturatã avem: r cos ºi y r si Aºadar umãrul comple z iy se poate scrie sub forma: z r cos ir si deci z r cos isi (8) care reprezitã forma trigoometricã a umãrului comple z Tot di figura alãturatã se observã cã r poate fi iterpretat ca fiid distaþa de la origie la puctul y deci r este modulul lui z adicã r z (9) Ughiul al îcliaþiei vectorului z care este mãsurat îtotdeaua î radiai de la aa realã pozitivã este pozitiv câd este mãsurat î ses trigoometric ºi egativ câd este mãsurat ivers trigoometric Ughiul se umeºte argumet al lui z ºi se oteazã cu Arg z U argumet al uui umãr comple z trebuie sã verifice ecuaþiile y cos si () r r Deoarece cos ºi si sut fucþii periodice avâd perioada rezultã cã Arg z u este uic Cu alte cuvite dacã este u argumet al lui z atuci ºi ughiurile 4 sut argumete ale lui z Î practicã petru a gãsi ughiul vom utiliza formula: y tg () Eemplul Dacã z 3 i atuci sã se gãseascã forma sa trigoometricã 7

9 Soluþie Deoarece 3 ºi y avem r z avem tg 3 deci 3 4 Cum y 3 Deoarece puctul 3 se aflã î cadraul al III-lea 6 7 Aºadar forma trigoometricã a lui z este z cos i si 6 6 Defiiþia Vom umi argumet pricipal al lui z z ºi îl vom ota cu arg z valoarea atuci ughiului care se aflã î itervalul Aºadar Arg z reprezitã o mulþime de valori ºi aume Arg z arg z () iar arg z este uic arg z (3) Forma trigoometricã a umerelor complee este etrem de utilã la îmulþirea ºi împãrþirea a douã umere trigoometrice Eemplul Dacã z i ºi z 3 i atuci sã se gãseascã arg z ºi arg z Soluþie Deoarece z i avem ºi y Deci tg de ude Di (3) rezultã cã arg z Di eemplul avem cã Di 6 5 (3) rezultã cã arg z 6 6 Propoziþia 3 Fie z r cos i si z r cos i si ºi z r cos i si ude ºi sut orice argumete ale lui z ºi z respectiv Atuci z z rr cos i si z r cos i si z z r z r cos i si (4) (5) (6) z r cos i si (7) z Arg z z Argz Argz Arg Argz Argz (8) z Defiiþia 4 Spuem cã u umãr w este rãdãcia de ordiul a uui umãr comple eul z dacã w z ude este u îtreg pozitiv z Eemplul 5 Dacã z i ºi z 3 i atuci sã se gãseascã arg z z ºi arg z 8

10 5 ºi arg z Avem 6 z i 3 z z i 3 i 3i ºi i z 3 i 4 4 Soluþie Dupã cum am vãzut mai sus arg z Di (8) avem z ºi Arg 6 3 z 6 3 Eemplul 6 Dacã z 3 i atuci sã se calculeze z Soluþie Î eemplul am obþiut cã z cos i si Aplicâd (6) ºi 3 obþiem z 3 3 i 3 cos3 i si 3 i si 8 cos cos 3 i si 3 8 i 8i Remarcã 7 Dacã luãm r atuci di relaþia (6) se obþie formula lui de Moivre cos i si cos i si Folosid formula lui Euler ei cos i si obþiem forma epoeþialã a lui z : z rei Tot cu ajutorul formulei lui Euler obþiem ºi epresia e z e iy e cos y i si y Arg z z cu r 3 i atuci sã se calculeze z 3 3 Soluþie Cum ºi y avem ºi r Di formula lui de Moivre avem 6 (9) () () () Eemplul 8 Dacã z 3 i cos3 i si 3 cos 3 i si cos i si i Eemplul 9 Sã se gãseascã rãdãciile cubice ale lui z i Soluþie Petru a gãsi aceste rãdãcii va trebui sã rezolvãm ecuaþia w3 i Deoarece umãrul comple z i are forma trigoometricã z cos i si cos utilizâd (7) obþiem: w cos i si

11 Deci cele trei rãdãcii sut 3 i si i i si i w cos i si i w cos Eemplul Sã se gãseascã rãdãciile de ordiul patru ale lui z i Soluþie Î acest caz avem: r Di (7) cu 4 obþiem: 4 w 4 cos 4 i si Deci cele patru rãdãcii sut: w 4 cos i si i si w 4 cos i si w 4 cos i si 3 w 4 cos 6 6 w cos Elemete de topologie î corpul umerelor complee Defiiþia Aplicaþia d : defiitã pri d z z z z z z () se umeºte metricã sau distaþã pe mulþimea Defiiþia Se umeºte disc deschis cu cetrul î puctul a ºi de razã r mulþimea: a r z z a r () Pri disc îchis cu cetrul î puctul a ºi de razã r vom îþelege mulþimea: a r z z a r Defiiþia 3 Se umeºte cerc cu cetrul î a ºi de razã r mulþimea: S a r z z a r (3) (4) Defiiþia 4 O mulþime V V se umeºte veciãtate a puctului z dacã eistã discul z r astfel îcât z r V Defiiþia 5 Puctul z este puct iterior mulþimii E dacã z E ºi eistã o veciãtate V a puctului z coþiutã î E adicã z V E

12 Mulþimea puctelor iterioare mulþimii E se oteazã cu E sau It E ºi se umeºte iteriorul lui E Mulþimea E se umeºte deschisã dacã orice puct al sãu este puct iterior Defiiþia 6 Puctul z este u puct aderet mulþimii E dacã î orice veciãtate V a puctului z eistã cel puþi u puct al mulþimii E adicã V E Mulþimea puctelor aderete mulþimii E se umeºte îchiderea mulþimii E ºi se oteazã cu E Dacã E E atuci E este mulþime îchisã Defiiþia 7 Puctul z este u puct de acumulare petru mulþimea E dacã î orice veciãtate V a sa eistã cel puþi u puct z E cu z z adicã V \ z E Mulþimea puctelor de acumulare ale lui E se umeºte derivata mulþimii E ºi se oteazã pri E Defiiþia 8 Puctul z este u puct frotierã al lui E dacã î orice veciãtate a lui z eistã pucte z z care aparþi lui E ºi pucte z z care u aparþi lui E Mulþimea puctelor frotierã ale lui E se umeºte frotiera mulþimii E ºi se oteazã pri Fr E sau E Defiiþia 9 Dacã cel puþi uul di umerele Re z y Im z este ifiit vom scrie z ºi vom spue cã reprezitã puctul de la ifiit al plaului comple Defiiþia O mulþime E este mãrgiitã dacã eistã discul r astfel îcât E r Î caz cotrar mulþimea este emãrgiitã Defiiþia O mulþime mãrgiitã ºi îchisã se umeºte mulþime compactã Defiiþia O mulþime E se umeºte mulþime coeã dacã oricare ar fi descompuerea E E E ude E E E E cel puþi ua di mulþimile E ºi E are u puct de acumulare î cealaltã Defiiþia 3 O mulþime deschisã ºi coeã se umeºte domeiu Observaþia 4 O mulþime deschisã este coeã dacã ºi umai dacã oricare douã pucte ale sale pot fi uite pritr-o liie poligoalã coþiutã î acea mulþime Defiiþia 5 U domeiu D se umeºte simplu coe dacã petru orice curbã simplã îchisã coþiutã î D iteriorul curbei este iclus î domeiul D U domeiu care u este simplu coe se umeºte domeiu multiplu coe Observaþia 6 Pri itroducerea uor frotiere oi umite tãieturi domeiul devie simplu coe Ordiul de coeiue al uui domeiu multiplu coe se obþie adãugâd o uitate la umãrul de tãieturi ecesare ºi suficiete petru ca domeiul sã deviã simplu coe 3 Fucþii complee de o variabilã realã 3 Defiiþii Limitã Cotiuitate Defiiþia 3 Vom umi fucþie compleã de variabilã realã aplicaþia f : E sau f t t iy t t ude t Re f t ºi y t Im f t (3) Defiiþia 3 Spuem cã u umãr comple l este limita fucþiei f t î puctul t E ºi scriem lim f t l dacã petru orice eistã u umãr astfel îcât oricare ar fi t t t E t t cu t t rezultã f t l

13 Observaþia 33 Avem lim f t l lim t Re l ºi lim y t Im l t t t t t t Defiiþia 34 Spuem cã fucþia compleã f t este cotiuã î puctul t E dacã petru orice eistã u umãr astfel îcât oricare ar fi t E cu proprietatea t t rezultã cã f t f t Observaþia 35 Dacã t E E atuci f t este cotiuã î puctul t lim f t f t t t Propoziþia 36 Codiþia ecesarã ºi suficietã petru ca fucþia compleã f t t iy t sã fie cotiuã î puctul t E este ca fucþiile reale t ºi y t sã fie cotiue î t 3 Derivabilitate Difereþiabilitate Fie f : E ºi t E E Defiiþia 37 Spuem cã fucþia compleã f t este derivabilã î puctul t dacã eistã ºi este fiitã limita: f t f t lim (3) t t t t Valoarea acestei limite se oteazã cu f t sau puctul t E df t dt ºi se umeºte derivata fucþiei f î Propoziþia 38 Codiþia ecesarã ºi suficietã ca o fucþie compleã f t sã fie derivabilã îtr-u puct este ca fucþiile reale t ºi y t sã fie derivabile î acel puct Se poate scrie: f t f t t t y t y t i t E \ t t t t t t t de ude trecâd la limitã câd t t obþiem: f t t iy t (33) Observaþia 39 Meþioãm cã regulile de derivare petru fucþii reale se pãstreazã ºi î cazul fucþiilor complee de variabilã realã Fie f t o fucþie compleã derivabilã pe E Defiiþia 3 Se umeºte difereþiala lui f î puctul t E urmãtorul umãr comple df t f t dt dt t t (34) Ultima relaþie se mai poate scrie ºi astfel: df t d t idy t (35) ude d t t dt ºi dy t y t dt Observaþia 3 Regulile de difereþiere cuoscute petru sumã produs ºi cât se pãstreazã ºi petru fucþiile complee de variabilã realã

14 33 Itegrala Riema Primitive Defiiþia itegralei Riema petru fucþiile complee de variabilã realã este aaloagã cu cea datã petru fucþiile reale Fie fucþia compleã f t t a b Defiiþia 3 Se umeºte diviziue a t t ti t a b astfel îcât: itervalului a b orice submulþime t a t t t t t b Defiiþia 33 Se umeºte orma diviziuii umãrul real: ma t t (36) (37) Defiiþia 34 Se umeºte suma Riema asociatã fucþiei complee f diviziuii ºi puctelor itermediare i ºi se oteazã cu f i umãrul comple avâd epresia: f i f i i i (38) i Defiiþia 35 Spuem cã fucþia compleã f este itegrabilã Riema pe a b dacã eistã u umãr comple I astfel îcât petru orice eistã cu proprietatea cã oricare ar fi diviziuea cu ºi oricare ar fi puctele itermediare avem f t dt b Numãrul I se oteazã cu f I (39) ºi se umeºte itegrala Riema a fucþiei f t pe itervalul a b Î cazul î care itegrala eistã vom scrie a I f t dt lim f b (3) Propoziþia 36 Fucþia compleã f t este itegrabilã Riema pe a b dacã ºi umai dacã a fucþiile reale t ºi y t sut itegrabile pe a b ude t Re f t ºi y t Im f t De asemeea avem cã b f t dt t dt i y t dt b b (3) Defiiþia 37 Spuem cã fucþia compleã F t t a b se umeºte primitiva fucþiei a a a complee f t pe itervalul a b dacã F t este derivabilã pe a b ºi F t f t t a b (3) Observaþia 38 Dacã f t are o primitivã F t atuci f t are o ifiitate de primitive ºi aume mulþimea F t C t a b C Defiiþia 39 Mulþimea tuturor primitivelor fucþiei f t pe a b se oteazã cu umeºte itegrala edefiitã a fucþiei f t Deci f t dt F t C t a b 3 f t dt ºi se (33)

15 Observaþia 3 Î particular dacã fucþia f este cotiuã pe a b atuci fucþia compleã f d t este primitivã petru fucþia f pe a b ºi F t f t t a b Teorema 3 (Formula Leibiz Newto) Dacã f t este o fucþie itegrabilã pe a b ºi a F t este o primitivã a lui f t pe a b atuci f t dt F t b b a F b F a (34) a 4 Fucþii complee de o variabilã compleã 4 Defiiþie Limitã Cotiuitate Defiiþia 4 Se umeºte fucþie compleã de variabilã compleã o aplicaþie f : E Observaþia 4 Fucþia f poate fi privitã fie ca o fucþie de variabila z iy E fie ca fucþie de variabilele ºi y cu y E Aºadar f se poate scrie sub forma f z f iy u y iv y ude u y Re f z ºi v y Im f z (4) Observaþia 43 Defiiþia lui f z este echivaletã cu defiirea simultaã a douã fucþii reale u ºi v de variabile reale ºi y deci putem cosidera f z ca fiid o fucþie vectorialã de o variabilã vectorialã defiitã pe E cu valori î Observaþia 44 Limita ºi cotiuitatea uei fucþii complee f z îtr-u puct z se reduc la limita ºi cotiuitatea fucþiei vectoriale f y î puctul y oþiui studiate la capitolul Fucþii vectoriale de variabilã vectorialã de la aalizã matematicã di aul I Propoziþia 45 Fie f : E ºi z E Fucþia f z are limitã î z dacã ºi umai dacã fucþiile u y ºi v y au limitã î acest puct ºi î caz afirmativ: lim f z lim u y i lim v y z z z z z z (4) Propoziþia 46 Codiþia ecesarã ºi suficietã petru ca fucþia f z sã fie cotiuã î puctul z E este ca fucþiile reale u ºi v sã fie cotiue î acest puct Observaþia 47 Dacã z E E atuci f z este cotiuã î z dacã ºi umai dacã lim f z f z z z Eemplul 48 Sã se studieze eisteþa limitei î origie a fucþiei f : datã pri Re z f z z Soluþie Observãm cã y \ f y y 4

16 Cosiderãm douã ºiruri di \ y y y ºi pri y Cele douã ºiruri au aceeaºi limitã ºi aume Deoarece f y iar f y rezultã cã u eistã limita î origie a fucþiei f Eemplul 49 Sã se studieze cotiuitatea î origie a fucþiei f : datã pri Im z f z z Soluþie Observãm cã y y \ f f z y Vom arãta cã y lim f y y Fie Cãutãm astfel îcât y cu y rezultã Petru orice y sut adevãrate iegalitãþile y y y y y y Î cocluzie alegâd are loc relaþia de mai sus deci fucþia datã este cotiuã î origie 4 Fucþii olomorfe Defiiþia 4 Fie D u domeiu z D ºi f : D Spuem cã fucþia f z este derivabilã î z (sau moogeã î z ) dacã eistã ºi este fiitã limita raportului f z f z câd z z z z z D \ z (43) Limita dacã eistã se oteazã cu f z ºi se umeºte derivata compleã a lui f î z Defiiþia 4 Fucþia f : D este olomorfã (sau aaliticã) î D dacã f este moogeã î orice puct z di D Defiiþia 4 O fucþie olomorfã pe se umeºte fucþie îtreagã 5

17 Teorema 43 (Teorema Cauchy Riema) Fucþia f : D f u iv este moogeã î z D dacã ºi umai dacã fucþiile u y ºi v y sut difereþiabile î z ºi derivatele lor parþiale verificã î puctul z relaþiile Cauchy Riema: u v y (44) u v y Î acest caz avem: u v u v f z y i y y i y (45) i y y Eemplul 44 Sã se determie puctele di î care fucþiile urmãtoare sut moogee ºi sã se calculeze derivatele lor î acele pucte: a) f z z ; b) f z z ; z c) f z e ; d) f z z z ; z e) f z z z z z z z Solu a) Observãm cã fucþia se mai scrie Deci dacã u Re f ºi v Im f atuci f z iy y iy u y y v y y Pri calcul avem: u u v v y y y y Cum derivatele parþiale eistã ºi sut cotiue iar codiþiile Cauchy Riema sut verificate î orice puct rezultã cã fucþia f este moogeã î orice puct Derivate ei este: u v f z y i y iy z b) Deoarece fucþiile u y Re f z ºi v y Im f z y u verificã codiþiile Cauchy Riema î iciu puct rezultã cã fucþia u este moogeã î iciu puct di c) Fucþia f se mai scrie astfel: Deci dacã u Re f ºi v Im f atuci iy cos si f z e e y i y 6

18 u y e cos y v y e si y Pri calcul direct se obþi epresiile: u u v e cos y v e si y e si y e cos y y y Cum derivatele parþiale eistã ºi sut cotiue iar codiþiile Cauchy Riema sut verificate î orice puct rezultã cã fucþia f este moogeã î orice puct Derivata ei este: u v z f z y i y e cos y ie si y e d) Se observã cã fucþia f se mai poate scrie astfel: iy f z y deci u y y y y v y y Derivatele parþiale de ordiul îtâi u y u y v y y y y y v y y y sut cotiue î orice puct cu ecepþia lui z Observãm cã relaþiile Cauchy Riema sut verificate î orice puct \ Derivata ei este: e) Observãm cã z Deci fucþia f este olomorfã î u v y y y i f z y i y i y y y Notâd cu u Re f ºi v Im f gãsim: 4 3 f y y i y y y u y y v y 4y 3 y Calculâd derivatele parþiale ºi verificâd codiþiile Cauchy Riema obþiem: 4 3 y 4 y de ude rezultã ºi Derivata î acest puct este: y Aºadar fucþia f este moogeã doar î puctul u v f i y 7

19 5 Fucþii armoice Coseciþe ale relaþiilor Cauchy Riema Defiiþia 5 Fucþia u : D D mulþime deschisã u C D se umeºte armoicã u u î orice puct di D y Propoziþia 5 Fie fucþia f : D f u iv olomorfã î D iar u v C D Atuci u ºi v sut fucþii armoice pe D Demostraþie Fucþia f fiid olomorfã î D sut verificate relaþiile Cauchy Riema Derivâd aceste relaþii î raport cu obþiem u v y u v y y dacã u Di egalitatea derivatelor mite v v u u ºi (teorema lui Schwarz) rezultã u y y y Aalog se aratã v Observaþia 53 Î cotiuare vom arãta cã dacã avem o fucþie armoicã putem determia o fucþie olomorfã care sã admitã ca parte realã sau imagiarã fucþia datã Coseciþa 54 Fie u o fucþie armoicã defiitã pe u domeiu D Atuci eistã fucþia armoicã v astfel îcât f u iv sã fie olomorfã î D Demostraþie Partea realã ºi imagiarã a uei fucþii olomorfe trebuie sã verifice relaþiile Cauchy Riema (44) Folosid aceste relaþii difereþiala fucþiei v este v v u u dv d dy d dy (5) y y Î partea dreaptã a egalitãþii avem o difereþialã totalã eactã deoarece y O u u adicã u armoicã Deci v se poate y eprima pritr-o itegralã curbiliie idepedetã de drum itegralã ce determiã fucþia v î afara uei costate aditive u u Avem v y d dy Deci y AM M y A y u u adicã y y B y u u t y dt t dt y y v y y (5) Coseciþa 55 Fie v o fucþie armoicã defiitã pe u domeiu D Atuci eistã fucþia armoicã u astfel îcât f u iv sã fie olomorfã î D Demostraþie Aalog ca mai sus avem 8

20 u u v v du d dy d dy (53) y y Deoarece v armoicã î partea dreaptã a egalitãþii avem o difereþialã totalã eactã Deci u se poate eprima pritr-o itegralã curbiliie idepedetã de drum itegralã ce determiã fucþia u î afara uei costate aditive Avem v v u y d dy y AM Deci v v u y t y dt t dt y (54) y Eemplul 56 Sã se determie fucþia olomorfã f u iv ºtiid cã a) u y e cos ºi f ; b) v y e si y ºi f ; c) u y y ºi f ; 3 d) u y 3y y ºi e) v y e si y y ºi f ; f Solu a) Observãm cã petru orice y avem: Cum petru orice y avem: u e u e y cos y si y u y u e cos y u e cos y y u y atuci u este o fucþie armoicã pe Aplicâd coseciþa 54 rezultã cã eistã fucþia v astfel îcât f u iv sã fie olomorfã î Aplicâd formula (5) avem: y t t v y e si y dt e costdt si y e dt e costdt y y e si y e si y e si y C ude C este o costatã arbitrarã realã Deci Cum f atuci f cos si f y e y i e y C ic deci C Aºadar cos si cos si f y e y ie y e y i y e z b) Pri calcul direct obþiem cã petru orice y : v e si y v e si y y 9

21 Cum petru orice y avem: v e y cos y v v e si y y v y atuci v este o fucþie armoicã pe Aplicâd coseciþa 55 rezultã cã eistã fucþia u astfel îcât f u iv sã fie olomorfã î Aplicâd formula (54) avem: y t t u y e cos y dt e si tdt cos y e dt e sitdt y y cos cos cos e y e y e y C ude C este o costatã arbitrarã realã Rezultã cã: f y e cos y C ie si y Di codiþia f gãsim cã C Aºadar fucþia olomorfã f este: z f y e cos y ie si y e c) Verificãm dacã u este fucþie armoicã adicã dacã u Avem: u u u u y y y deci u u u Folosid coseciþa 54 avem: y y v y y dt dt y y y y y y C y ude C este o costatã arbitrarã realã Rezultã: f y y i y C Di codiþia f gãsim cã C Aºadar fucþia olomorfã f este: f y y iy iy z d) Verificãm dacã u este fucþie armoicã adicã dacã u Avem: u 3 3y u u u 6y 6 6 y y deci u u u 6 6 Folosid coseciþa 54 avem: y y 3 3 y v y 6ty dt 3 3t dt 3 y y 3 y y 3 y y C ude C este o costatã arbitrarã realã Rezultã: Di codiþia f y y y i y y C f gãsim cã C Aºadar fucþia olomorfã f este: f y y y i y y y

22 e) Verificãm dacã v este fucþie armoicã adicã dacã v Avem: v v v v e si y e si y e cos y e si y y y deci u u u Folosid coseciþa 55 avem: y u y e cos y dt e si tdt e cos y e cos y e cos y C t y y ude C este o costatã arbitrarã realã Rezultã: f y e cos y C i e si y y Di codiþia f gãsim cã C Aºadar fucþia olomorfã f este: f y e cos y i e si y y e z z 6 Reguli de calcul petru derivatele fucþiilor moogee Propoziþia 6 a) Dacã f ºi g sut moogee îtr-u puct z D atuci fucþiile f g ºi f g sut moogee î z ºi avem relaþiile: f g z f z g z f g z f z g z f z g z b) Î codiþiile de mai sus dacã g z fucþia (6) (6) f este moogeã î z ºi derivata sa este datã g de epresia f z g z f z g z f (63) z g z g Propoziþia 6 Dacã f este moogeã îtr-u puct z D ºi este costatã atuci fucþia f este moogeã î z ºi derivata sa este f z f z (64) Observaþia 63 Orice costatã derivatã este zero adicã Propoziþia 64 Dacã f este moogeã î puctul z D iar g este moogeã î puctul f z atuci fucþia compusã F z g f z este moogeã î z ºi derivata ei este F z g f z f z Observaþia 65 Regula derivãrii fucþiei putere rãmâe valabilã: z z Observaþia 66 Di relaþiile (65) ºi (66) rezultã formula: f z f z f z (65) (66) (67)

23 Eemplul 67 Sã se deriveze fucþiile moogee: a) f z 3 z 4 5 z 3 z ; b) f z z ; 4z c) f z iz 3 z 5 Soluþie Folosid regulile de mai sus obþiem: a) f z 3 4 z z z 3 5 z ; b) f z z 4 z z 4 4 z 4z z 4 z ; 4 4 c) f z 5 iz 3 z iz 3 z 5 iz 3 z i z 3 7 Itegrala curbiliie î comple Defiiþie Proprietãþi Fie curba C de ecuaþii parametrice reale t y y t t a b sau de ecuaþie parametricã compleã z z t t a b cu z t t iy t Defiiþia 7 Curba C : z t t iy t t a b se umeºte curbã îchisã dacã puctul iiþial z a coicide cu puctul termial z b adicã z a z b Defiiþia 7 Curba C : z t t iy t t a b se umeºte curbã simplã dacã petru orice t t a b cu t t avem z t z t adicã dacã u se autoitersecteazã Defiiþia 73 Curba C : z t t iy t t a b se umeºte curbã etedã dacã derivata sa z t t a b este cotiuã ºi z t t a b Defiiþia 74 Curba C : z t t iy t t a b se umeºte curbã etedã pe porþiui (sau drum sau cotur) dacã derivata sa z t este cotiuã pe porþiui Defiiþia 75 Fie curba etedã C : z t t iy t t a b ºi f z o fucþie compleã cotiuã pe C Itegrala fucþiei f z se defieºte pri egalitatea f z dz f z t z t dt b C (7) a Observaþia 76 Fie f z u y iv y o fucþie compleã cotiuã pe curba etedã C : z t t iy t t a b Dacã otãm u u t y t ºi v v t y t d t dt ºi dy y t dt avem C f z dz f z t z t dt u iv d idy b b a a

24 ud vdy i udy vd b b (7) Propoziþia 77 (Liiaritate) Dacã f z ºi g z sut fucþii cotiue pe curba etedã C ºi douã costate atuci a a f z g z dz f z dz g z dz (73) Propoziþia 78 (Aditivitate î raport cu drumul) Fie curba etedã C : z t t iy t C C C t a b ºi C ºi C restricþiile curbei C la subitervalele a c ºi c b a c b Dacã f z este o fucþie cotiuã pe C atuci (74) f z dz f z dz f z dz C C C C Propoziþia 79 (Evaluarea modulului itegralei) Fie C o curbã etedã cu lugimea L ºi f z o fucþie cotiuã pe C cu f z M pe C Atuci f z dz f z dz M L C C (75) Eemplul 7 Sã se calculeze itegrala I zdz ude este pãtratul ABCD parcurs î sesul A B C D A vârfurile fiid A i B i C i D i Soluþie Observãm cã fucþia f z z este cotiuã pe mulþimea ºi cã avem egalitatea I AB zdz BC zdz CD zdz DA zdz Ecuaþiile parametrice ale acestor patru segmete sut: t t t deci z t t i iar z t AB : y t t t deci z t it iar z t i BC : y t t t t t deci z t t i iar z t CD : y t t t deci z t it iar z t i DA : y t t Aplicâd defiiþia itegralei obþiem: I I Deci I 8i zdz zdz AB CD t i dt i t i dt i I I DA 3 BC zdz zdz it i dt i it idt i

25 Eemplul 7 Sã se calculeze itegralele curbiliii î comple: a) I z dz ; b) I z r zdz ; z r c) I zdz ude este sfertul de elipsã y cupris î primul cadra a b Soluþie a) Fie z t reit t parametrizarea cercului z r Deci dz r ieit dt Coform formulei de calcul (7) avem: I i t it r e rie dt ir e Petru avem: i t I Petru avem: dt ir cos t i si t dt z r z dz z r z dz i dt i I Se observã cã valoarea acestei itegrale este idepedetã de raza cercului b) Cu aceeaºi parametrizare a cercului ca î eemplul precedet avem: I z r zdz it it re ire dt ir dt ir c) Sfertul de elipsã di primul cadra are ecuaþiile parametrice: a cos t t y b si t Folosid formula (7) itegrala devie: I zdz iy d idy iy d idy d ydy i yd dy a b Observaþia 7 Se poate observa cã rezultatul obþiut la puctul a) poate fi geeralizat Astfel I z a dz i z a r a b si t cos tdt i ab cos t si t dt 8 Teorema lui Cauchy Teorema 8 (Teorema lui Cauchy petru domeii simplu coee) Dacã f este olomorfã î domeiul simplu coe D atuci f z dz C oricare ar fi C curbã etedã pe porþiui simplã îchisã coþiutã î D 4 (8)

26 Demostraþie Î ipoteza suplimetarã cã derivata lui f sã fie o fucþie cotiuã î D (deci f C D ) demostraþia este o coseciþã imediatã a formulei lui Gree ºi a ecuaþiilor Cauchy Riema Reamitim formula lui Gree: Q P C Pd Qdy y ddy ude este domeiul avâd frotierã curba simplã îchisã ºi etedã pe porþiui C iar P ºi Q P Q sut fucþii cotiue pe astfel îcât ºi eistã ºi sut cotiue pe y u v u v Acum deoarece f z u y iv y are derivata cotiuã rezultã cã ºi y y sut cotiue Dupã cum arãtat ºi mai sus î relaþia (7) avem f z dz u y d v y dy i v y d u y dy C C C Deci aplicâd formula lui Gree itegralelor di membrul di dreapta obþiem v u u v C f z dz y ddy i y ddy Cum f este o fucþie olomorfã î D fucþiile reale u ºi v verificã relaþiile Cauchy Riema: u v u v ºi î orice puct di D Aºadar cele douã itegrale sut ule ºi demostraþia y y este completã dz Eemplul 8 Sã se calculeze I C z ude C este elipsa 4 y 5 Soluþie Fucþia raþioalã f z este olomorfã î orice puct cu ecepþia lui z Dar z puctul z u este puct iterior elipsei C Deci di teorema de mai sus avem: dz I z C Eemplul 83 Sã se calculeze I Soluþie Itegrala se mai scrie z e z si z dz z I z zdz e z si zdz z Parametrizarea cercului z este z t e dt t Aplicâd formula (7) avem: it z zdz it it e ie dt 4i dt 8i Fucþia e si z este olomorfã î iteriorul cercului z deci z Aºadar I 8 i z e z si zdz 5

27 Teorema 84 (Teorema lui Cauchy petru domeii multiplu coee) Fie D u domeiu multiplu coe cu ordiul de coeiue delimitat de curbele C C C ude C C C sut eterioare ître ele ºi iterioare uei curbe C (vezi figura alãturatã petru cazul ) Dacã f z este olomorfã î domeiul D atuci C Eemplul 85 Sã se calculeze I Soluþie Fucþia f z Deci f z dz f z dz C (8) dz z z este olomorfã pe \ Aºadar avem u domeiu dublu coe z I dz z z Coform observaþiei 7 I i z r dz r z 9 Formula itegralã a lui Cauchy Teorema 9 (Formula itegralã a lui Cauchy) Fie f z o fucþie olomorfã îtr-u domeiu simplu coe D care coþie curba simplã îchisã C Dacã z este u puct oarecare iterior lui C atuci f z f z dz (9) i C z z Observaþia 9 Formula itegralã a lui Cauchy eprimã faptul cã dacã o fucþie este olomorfã î iteriorul uei curbe simple îchise ºi pe curbã atuci valorile fucþiei î iteriorul curbei sut complet determiate de valorile ei pe curbã Teorema 93 (Formulele itegrale ale lui Cauchy petru derivate) Fie f z o fucþie olomorfã îtr-u domeiu simplu coe D care coþie curba simplã îchisã C Dacã z este u puct oarecare iterior lui C atuci derivatele fucþiei f z de toate ordiele eistã ºi au urmãtoarea reprezetare itegralã: f z! f z dz (9) i C z z Eemplul 94 Sã se calculeze itegrala I C3 : z Soluþie Avem: z z ez C 6 3 dz ude C : z C : z 4 4

28 ez I C z z 3 dz if i ude f z ez z 3 ez z z dz i f ei ude f z e I 3! z C z I 3 I I i e Eemplul 95 Sã se calculeze: I si z dz z z z 5 Soluþie Se observã cã sigurul puct î care se auleazã umitorul situat î cercul z este Fucþia f z si z este olomorfã î iteriorul cercului z ºi pe cercul z Aplicâd z 5 formula itegralã a lui Cauchy obþiem: f z si z f dz dz i z i z z z z 5 si 8 i Deci I i f i 5 4 z 3cos z Eemplul 96 Sã se calculeze: I dz z 3 z Soluþie Fucþia f z z 3cos z este olomorfã î iteriorul ºi pe cercul z 3 Calculãm f Cum f z 3si z rezultã cã f 3 4 Aplicâd formula itegralã a lui Cauchy petru f obþiem: f z f dz z 3 z Deci I i f 8 i z Eemplul 97 Sã se calculeze: I 4 dz z iz 3 z Soluþie Puctele î care fucþia de sub itegralã u este olomorfã sut z ºi z i dar umai z se gãseºte î iteriorul z Fucþia de sub itegralã se mai scrie 7

29 ºi idetificãm z Deci z z z i z iz z z f z Avem: z i i 4i f z z i z i ºi f z Calculãm f z 3 f z f z z z z! f z dz dz dz i i z i z z i z z z Aºadar i I i f i i 4i 4 Eemplul 98 Sã se calculeze itegralele: z a) I dz z z i ; b) z 9 C z e I dz ude C este curba simplã îchisã care coþie puctul z z i 3 sãu; c) I z z dz 9 zi 4 i î iteriorul Solu a) Puctele î care se auleazã umitorul sut: z 3 z 3 ºi z3 i dar umai z z ºi z se aflã î iteriorul cercului z Fucþia f z este olomorfã î iteriorul 9 z cercului z ºi pe cercul z Aplicâd formula lui Cauchy obþiem: i I if i i 5 Deci z f i 9 z dz i z i z b) Aplicãm formula itegralã a lui Cauchy petru fucþia! f z f z dz i C z z Astfel z i 3 f z e e z i I dz ie i C z ºi obþiem: 8

30 c) Rãdãciile umitorului sut z 3i ºi z 3i dar umai z se aflã î iteriorul cercului z i 4 (vezi figura alãturatã) Aplicâm formula itegralã a lui Cauchy petru fucþia f z z care este o fucþie olomorfã z 3i î iteriorul ºi pe cercul z i 4 obþiem: z I dz z 9 z i 4 Deci I i z i 4 z z 3i dz if 3i i 3i z 3i 6i ªiruri ºi serii de umere complee Defiiþia Se umeºte ºir de umere complee o fucþie f : f z Vom ota ºirul defiit mai sus: z sau z sau z Observaþia Dacã z este u ºir de umere complee atuci petru orice umãrul z poate fi reprezetat sub forma z iy Aºadar ºirului de umere complee corespud douã ºiruri de umere reale ºi y z îi Defiiþia 3 Spuem cã z este u ºir mãrgiit dacã eistã o costatã C astfel îcât z C Defiiþia 4 Spuem cã z este u ºir coverget dacã eistã u z astfel îcât lim z z adicã petru orice eistã u rag astfel îcât z z petru orice Propoziþia 5 ªirul de umere complee z cu z iy este coverget dacã ºi umai dacã ºirurile ºi y sut covergete Î plus lim z lim i lim y Defiiþia 6 Spuem cã z este u ºir Cauchy (fudametal) dacã petru orice eistã u rag astfel îcât z p z petru orice ºi orice p * Propoziþia 7 ªirul z este ºir Cauchy dacã ºi umai dacã ºi y sut ºiruri Cauchy Eemplul 8 Sã se studieze covergeþa ºirurilor de umere complee cu termeul geeral: a) z i ; b) z i ; Soluþie a) Observãm cã ºi y Deoarece ºirurile ºi y sut covergete rezultã cã ºirul z este coverget Mai mult lim lim y deci lim z i 9

31 b) Observãm cã ºi y este diverget Defiiþia 9 Fie z z Deoarece ºirul este diverget rezultã cã ºirul z u ºir de umere complee Seria de umere complee z z z este covergetã ºi are suma s dacã ºirul sumelor parþiale s ude s z z z este coverget ºi are limita s Observaþia Dacã z iy atuci seria de umere complee poate fi scrisã z i y Propoziþia Fie seria de umere complee z a) Seria z i y este covergetã dacã ºi umai dacã seriile de umere complee covergete z b) Seria are suma s dacã ºi umai dacã seriile ude s s is y ºi Propoziþia (Codiþia ecesarã de covergeþã) Dacã seria lim z Defiiþia 3 Spuem cã seria de umere complee z z ºi y sut au sumele s ºi s respectiv z este covergetã atuci este absolut covergetã dacã seria este covergetã Defiiþia 4 Spuem cã seria de umere complee z este covergetã iar z z este semi covergetã dacã seria este divergetã Propoziþia 5 Dacã o serie de umere complee este absolut covergetã atuci seria este ºi covergetã Observaþia 6 Petru studiul covergeþei absolute a seriilor de umere complee se utilizeazã criteriile de covergeþã petru serii cu termei pozitivi Petru studiul aturii seriilor de umere complee pot fi utilizate criteriile de covergeþã petru seriile de umere reale Eemplul 7 Sã se studieze covergeþa seriilor de umere complee: a) i ; b) i ; 3

32 c) i ; d) i Solu a) Seriei de umere complee i îi ataºãm seriile de umere reale ºi Deoarece cele douã serii de umere reale sut covergete rezultã cã seria de umere complee i este covergetã b) Seriei de umere complee i îi ataºãm seriile umerice reale ºi Deoarece seria de umere reale este divergetã rezultã cã seria de umere complee i este divergetã c) Facem otaþia z i Observãm cã petru orice z Deoarece seria este covergetã rezultã cã seria de umere complee i este absolut covergetã d) Facem otaþia seria z i Deoarece seria z este divergetã rezultã cã i u este absolut covergetã Pe de altã parte seriei de umere complee îi ataºãm seriile de umere reale ºi y î care ºi y Deoarece cele douã serii de umere reale sut covergete rezultã cã seria de umere complee i este covergetã i 3

33 ªiruri ºi serii de fucþii î comple ªiruri de fucþii f Fie z E ºirul u ºir de fucþii complee defiite pe mulþimea E f : E Petru orice f z este u ºir umeric care poate fi coverget sau diverget Fie A mulþimea f z puctelor z E î care covergeþã a ºirului f Defiiþia U ºir de fucþii este coverget mulþime care se umeºte mulþimea de f coverge puctual la o fucþie f pe mulþimea A (coverge simplu pe A ) dacã z A ºi N z astfel îcât petru N z sã avem f z f z Fucþia limitã este defiitã de lim f z f z z A Defiiþia Dacã î defiiþia precedetã umãrul N depide umai de u ºi de z vom spue cã ºirul f este uiform coverget pe A cãtre f adicã: U ºir de fucþii f pe mulþimea A dacã coverge uiform la o fucþie f N astfel îcât petru N sã avem f z f z z A Serii de fucþii Defiiþia 3 Fie E ºi f u ºir de fucþii f : E Seria otatã proprietatea cã petru fiecare z E seria serie de fucþii complee pe mulþimea E f Defiiþia 4 Seria f z f care are este o serie de umere complee se umeºte este covergetã puctual î puctul z E cãtre f dacã ºirul sumelor parþiale s s f f coverge puctual î z E cãtre f f Defiiþia 5 Seria este uiform covergetã pe mulþimea E E cãtre f f : E dacã ºirul sumelor parþiale s coverge uiform pe E cãtre f Defiiþia 6 Seria f este absolut covergetã dacã seria Propoziþia 7 (Criteriul lui Weierstrass) Dacã ºi a f f f este covergetã este o serie de fucþii pe mulþimea E este o serie de umere pozitive astfel îcât f z a ºi z E atuci seria este uiform covergetã pe mulþimea E 3

34 Eemplul 8 Sã se studieze covergeþa seriei de fucþii D z : z ºi f : D f z Soluþie Observãm cã f z f z z Deoarece seria coform criteriului lui Weierstrass rezultã cã seria de fucþii f pe mulþimea D ude este covergetã este uiform covergetã pe mulþimea D 3 Serii de puteri Defiiþia 9 Se umeºte serie de puteri o serie de forma: c z a c c z a c z a () ude a z c Petru a seria de puteri () devie c z c c z c z () Defiiþia Fie f : E o fucþie olomorfã ºi a E u puct arbitrar Seria f a (3) z a! se umeºte seria Taylor a fucþiei f î jurul puctului a Teorema Dacã f : E este olomorfã î E ºi a E atuci f se poate reprezeta î orice disc di E z a R pri seria Taylor f z f a z a! Observaþia Di (9) ºi (4) rezultã cã f z c dz i z a (4) Observaþia 3 Seria Taylor î jurul puctului a f z f! z se umeºte seria MacLauri Eemplul 4 Serii MacLauri importate: z z z ez!!! 3 5 z z z si z z 3! 5!! 33 (5) (6) (7)

35 cos z z z4 z! 4!! (8) Propoziþia 5 (Teorema lui Abel) Petru orice serie de puteri () eistã u uic umãr R umit razã de covergeþã care are urmãtoarele proprietãþi: i) petru orice z cu z R seria de puteri () este absolut covergetã; ii) petru orice z cu z R seria de puteri () este divergetã; iii) petru orice z cu z r R seria de puteri () este uiform covergetã Defiiþia 6 Discul deschis z : z R se umeºte discul de covergeþã al seriei de puteri Observaþia 7 Teorema lui Abel u dã icio idicaþie cu privire la atura seriei î puctele cercului z R Di acest motiv atura seriei î aceste pucte se va studia separat folosid criteriile de covergeþã cuoscute Ca ºi î cazul seriilor de puteri reale raza de covergeþã se determiã coform urmãtoarei teoreme Teorema 8 (Teorema Cauchy Hadamard) Fie seria de puteri () ºi R raza sa de covergeþã L L i) Dacã lim c L atuci R L L L L c ii) Dacã lim L atuci R L ; c L z Eemplul 9 Sã se studieze atura seriei de puteri Soluþie Aplicâd formula de mai sus gãsim cã raza de covergeþã este R lim ºi este o serie covergetã (criteriul lui Leibiz petru serii alterate) Petru z seria devie ºi este o serie covergetã (serie armoicã geeralizatã Petru z seria devie ) Deci seria de puteri di euþ este covergetã petru z Eemplul Sã se studieze atura seriei de puteri Soluþie Calculãm raza de covergeþã ºi gãsim 34 z

36 R lim Î puctul z seria devie devie ºi este o serie divergetã ºi este o serie covergetã iar î puctul z seria! z Eemplul Sã se studieze atura seriei de puteri Soluþie Calculãm raza de covergeþã ºi gãsim R lim!! Deci seria este covergetã umai petru z Eemplul Sã se studieze atura seriei de puteri Soluþie Aplicâd teorema Cauchy Hadamard avem: z L lim a lim deci R Cu alte cuvite seria coverge î orice puct z Eemplul 3 Sã se studieze atura seriei de puteri Soluþie Idetificâd c!! z i avem: lim c lim c Deci raza de covergeþã este R Aºadar seria de puteri î jurul puctului a i este covergetã absolut petru orice z adicã petru z i 6 5 Eemplul 4 Sã se studieze atura seriei de puteri 6 Soluþie Idetificâd c avem: 5 z i lim c lim Deci raza de covergeþã este: R z i Aºadar seria de puteri este absolut covergetã petru 3 3 Eemplul 5 Sã se dezvolte î serie MacLauri fucþia f z 35 z

37 Soluþie Seria MacLauri a fucþiei este f z f z deci putem calcula coeficieþii! folosid aceastã formulã Î acest caz vom evita aceastã metodã ºi vom face apel la câteva cuoºtiþe cuoscute Astfel ºtim cã petru z avem: z z z3 z Difereþiid terme cu terme aceastã relaþie obþiem: d d d d d 3 z z z dz z dz dz dz dz adicã z z z 3 z Raza de covergeþã a acestei serii de puteri este R Eemplul 6 Sã se dezvolte î serie Taylor fucþia f z î jurul puctului a i z Soluþie Vom folosi ºi aici seria geometricã de mai sus Astfel z z z i i i z i i i i Aºadar dezvoltarea î serie Taylor a fucþiei a lui î jurul puctului a i este: z 3 z i z i z i z i z i i i i i i sau 3 z i z i z i 3 4 z i i i i 3 Serii Lauret Defiiþia 7 O epresie de forma c z a se umeºte serie Lauret Observaþia 8 Seria Lauret geeralizeazã oþiuea de serie de puteri Observaþia 9 Epresia di (9) se mai poate scrie c c z a c z a c z a c z a z a Defiiþia 3 Seria c z a se umeºte partea pricipalã a seriei Lauret 36 (9)

38 Defiiþia 3 Seria c z a se umeºte partea îtreagã sau tayloriaã a seriei Lauret Teorema 3 (Teorema lui Lauret) Dacã o fucþie f z este olomorfã îtr-o coroaã circularã R z a R (vezi figura alãturatã) atuci f z are reprezetarea î serie Lauret f z a c z a R z a R () Coeficieþii c sut uic determiaþi de epresia c R R f z d i a () ude este cercul a r cu R r R Eemplul 33 Sã se dezvolte î serie de puteri î jurul puctelor ºi fucþia z 3z f z 3 z z z Soluþie Fucþia di euþ se mai scrie astfel: f z z z z ªtim cã au loc egalitãþile z z z 3 z z z z z z z 3 z z z Di ultima egalitate deducem cã z z z z Puctul z este u puct î care fucþia f este moogeã Fucþia f are urmãtoarea dezvoltare î serie Taylor î jurul puctului z î domeiul simplu coe z : z : f z z Pe de altã parte z z z z z Vom obþie o dezvoltare î serie Lauret î jurul puctului z î domeiul : z : z a cãrei parte pricipalã este z z 37

39 f z z z z z 3z 3 îtr-o serie de puteri î domeiul z 3 z z D z : z ºi apoi î domeiul E z : z Eemplul 34 Sã se dezvolte fucþia f z Soluþie Fucþia di euþ se mai scrie astfel: 7 z z 3z f z 3 z z z z z z sau f z 7 z z z 5 5 z z Astfel di ultima relaþie rezultã cã: z 7 f z z D 5 z 5 z z z sau 7 z f z z D z 5 z Î cel de-al doilea caz domeiul este simplu coe Dezvoltarea î serie Taylor a fucþiei f este: z 7 z E z z 5 5 8z Eemplul 35 Sã se dezvolte fucþia f z î serie Lauret î domeiul z z f z D z : z Soluþie Fucþia f se rescrie astfel : 8z 9 z z z z Deci seria Lauret a fucþiei f pe domeiul D este: f z 9 9 z 9 z 9 z3 z z Eemplul 36 Sã se dezvolte fucþia f z î serie Lauret î domeiul z z f z D z : z Soluþie Domeiul D di euþ este reprezetat î figura alãturatã Fucþia f se rescrie astfel: f z f z f z z z Acum 38

40 f z z z z 3 z z z 3 z z z 3 4 z Seria este covergetã petru adicã z Mai departe 3 z z z z z z z 3 z 3 4 z z z z f z serie covergetã petru adicã z z Aºadar petru fucþia di euþ avem: f z z petru z 4 z 3 z z z z 3 z 4 3 Pucte sigulare ale fucþiilor olomorfe Fie D u domeiu di ºi f : D o fucþie compleã Defiiþia Spuem cã puctul a D este u puct ordiar petru f dacã eistã o veciãtate a sa î care f este olomorfã Defiiþia Puctele care u sut pucte ordiare se umesc pucte sigulare ale fucþiei adicã: Spuem cã puctul a D este u puct sigular al fucþiei f dacã î orice veciãtate a sa se gãsesc atât pucte î care f este olomorfã cât ºi pucte î care f sau u este olomorfã sau u este defiitã Defiiþia 3 Spuem cã puctul a D este u puct sigular izolat al fucþiei f dacã eistã o veciãtate V a sa astfel îcât f este olomorfã pe V \ a Defiiþia 4 Spuem cã puctul sigular izolat a D este pol simplu al fucþiei f dacã eistã ºi este ifiitã limita: lim f z z a Defiiþia 5 Spuem cã puctul a D este u pol de ordi al fucþiei f dacã a este u puct sigular petru fucþia f ºi are loc relaþia: 39

41 f z z z a z D \ a ude : D a este o fucþie petru care a este u puct ordiar ºi a Defiiþia 6 Spuem cã puctul a D este u puct sigular eseþial al fucþiei f : D \ a dacã a este u puct sigular izolat petru f ºi u eistã lim f z a Defiiþia 7 (Puctul de la ifiit) Fucþia : defiitã pri z este o bijecþie z Prelugim aceastã fucþie ataºâd lui z u puct uic care se oteazã ºi se umeºte puctul de la ifiit Mulþimea se umeºte plaul comple etis Mulþimea z : z r este veciãtate a puctului Puctul z este u puct ordiar (respectiv sigular) petru o fucþie f dacã puctul z este puct ordiar (respectiv sigular de aceeaºi aturã) petru fucþia g z f z Eemplul 8 Sã se studieze atura puctului de la ifiit ºi sigularitãþile di mulþimea petru fucþiile urmãtoare: a) f z z ; b) f z c) f z z i z z z d) f z e z 3 ; z 5 z 4 ; z Soluþie a) Deoarece puctul z este u pol de ordi petru fucþia g z f z z rezultã cã puctul z este pol de ordi petru fucþia f b) Puctul z este pol simplu iar puctul z este pol triplu Deoarece puctul z este iz puct ordiar petru fucþia g z f z 3 rezultã cã puctul z este puct ordiar 3 z z petru fucþia f c) Puctul z este pol de ordi 5 puctul z i este pol dublu iar puctul z i este de asemeea pol dublu Puctul z este pol dublu petru f d) Puctul z este puct sigular izolat petru fucþia g z f e z Pe de altã parte z g z e Rezultã cã y y y i si cos y y lim g lim e iar 4

42 Deoarece u eistã z lim g z lim g lim e rezultã cã puctul z este puct sigular eseþial petru fucþia g Î cocluzie z este puct sigular eseþial petru fucþia f Eemplul 9 Sã se rezolve î mulþimea umerelor complee ecuaþia: si z Solu Ecuaþia devie iz iz e e i sau iz iz e e i adicã iz iz e ie iz Notâd e u ultima relaþie devie: u iu cu soluþiile iz Relaþia e 99 u 99 i i este echivaletã cu relaþia cos si 99 y e i i de ude se obþie sistemul: y e cos y e si 99 Di cea de-a doua ecuaþie a sistemului rezultã cã si Deoarece di prima ecuaþie cos rezultã cã si ºi mai departe cã De asemeea di cea de-a doua ecuaþie gãsim cã y l 99 Aºadar am obþiut o primã familie de soluþii ºi aume: z l 99 i iz Î mod aalog di relaþia e 99 i gãsim z l 99 i Observãm cã putem scrie familia tuturor soluþiilor sub forma z l 99 i 4

43 3 Teorema reziduurilor Defiiþia 3 Fie a u puct sigular izolat al fucþiei olomorfe f Se umeºte reziduul fucþiei f î a ºi se oteazã rez f a coeficietul lui z a a fucþiei f î z a r : di dezvoltarea î serie Lauret rez f a c adicã rez f a f z dz i Propoziþia 3 Dacã z a este u pol de ordi atuci: rez f a lim z a f z! z a Propoziþia 33 Dacã z a este u pol simplu al lui f iar f f z g z h z (3) (3) este o fucþie raþioalã cu g ºi h fucþii olomorfe îtr-o veciãtate a lui a g a h a ºi h a a atuci: rez f a g a h a (33) Teorema 34 (Teorema reziduurilor) Fie f o fucþie olomorfã îtr-u domeiu simplu coe D ºi C o curbã simplã îchisã ºi etedã pe porþiui coþiutã î D Dacã î iteriorul domeiului mãrgiit de curba C fucþia f are u umãr fiit de pucte sigulare izolate a a atuci: C f z dz i rez f a (34) Demostraþie Petru fiecare puct a vom cosidera u cerc C cu cetrul î a ºi cu raza suficiet de micã astfel ca î iteriorul lui C sã u se mai afle altã sigularitate a lui f diferitã de a ºi astfel îcât cercurile C C sã u aibã pucte comue ºi sã fie coþiute î iteriorul mãrgiit de curba C Di teorema lui Cauchy petru domeii multiplu coee rezultã: f z dz f z dz f z dz f z dz (35) C C C Deoarece di relaþia (3) avem: C f z dz i rez f a C pri îlocuire î (35) obþiem: C f z dz i rez f a Eemplul 35 Sã se calculeze itegrala: ei z I dz ude C : z C z 4

44 ei z Petru aceasta rezolvãm ecuaþia z z Aceasta are rãdãciile z i ºi z i Se observã cã ambii poli ai fucþiei se aflã î iteriorul Soluþie Determiãm polii fucþiei f z cercului z Di teorema reziduurilor obþiem: I i rez f z rez f z Petru calculul reziduurilor fucþiei f î puctele z i ºi respectiv z i vom aplica formula di (33) Astfel avem: ei z e ei z e rez f i ºi rez f i z z i i z z i i Aºadar I e e Eemplul 36 Sã se calculeze itegrala: I Soluþie Sigurul pol al fucþiei f z z z 3 dz z z z 3 care se aflã î iteriorul cercului z este z Aplicâd teorema reziduurilor avem: dz I irez f i i i 4 z z z 3 Eemplul 37 Sã se calculeze itegrala: z 6 dz z 4 z i I Soluþie Numitorul se descompue astfel: z 4 z i z i Se observã astfel cã fucþia z 6 are polii simpli z i ºi z i Deoarece umai polul z i se aflã î z 4 iteriorul cercului z i di teorema reziduurilor rezultã cã: f z I Dar z 6 dz i rez f i z 4 z i rez f i lim z i z i Deci I i Eemplul 38 Sã se calculeze itegrala: I z 6 6 4i 3 i i z i z i 4i 3 i 3 i i ez z 4 5 z 3 dz z 43

45 Solu Deoarece umitorul se mai poate scrie: z 4 5z 3 z 3 z 5 rezultã cã fucþia z e f z are polul simplu z ºi polul triplu z dar umai z se aflã î z 5z iteriorul cercului z Di formulele (34) ºi (3) rezultã: z z e 3 e I dz i rez 4 3 f i lim z 3 z 5z! z z z 5 z z z 8z 7 e 7 i lim i z 3 z Aplicaþii ale teoremei reziduurilor la calculul uor itegrale reale Lema 4 (Jorda) Dacã f este cotiuã î eteriorul uui cerc cu cetrul î a eceptâd evetual puctul de la ifiit ºi dacã lim z a f z atuci f za u arc de cerc cu cetrul î a ºi de razã R P 4 Itegrale de tipul I Q d ude P ºi Q sut polioame cu Q poliomului P ude z Deci sut polii fucþiei z R lim z dz ude este R ºi grq grp ude grp reprezitã gradul P z Fie f z Itegrãm fucþia f pe curba C formatã di Q z segmetul R R de pe aa realã ºi semicercul C R di semiplaul superior cu raza aleasã astfel îcât î iteriorul lui C sã fie toþi polii fucþiei care se gãsesc î semiplaul y Coform teoremei reziduurilor avem: f zdz i rez f z (4) C f z cu Im z Dar R f zdz f zdz f z dz (4) C R CR f zdz f zdz i rez f z (43) R Trecâd la limitã dupã R î ultima relaþie obþiem: CR 44

46 R lim R R Dar lim R R f z dz R f z dz lim R CR f z dz lim i rez f z R f d I Cum grq grp rezultã cã Deci di lema 4 avem cã: lim R (44) lim zf z lim z f z dz Aºadar relaþia (44) devie: z zp z Q z CR I i rez f z cu Im z (45) Eemplul 4 Utilizâd teorema reziduurilor sã se calculeze urmãtoarea itegralã: d I 4 Soluþie Vom aplica formula di relaþia (45) Petru aceasta trebuie sã gãsim polii fucþiei f z 4 cu partea imagiarã mai mare decât zero Rezolvâd ecuaþia z 4 gãsim z rãdãciile 3 3 z cos i si i z cos i si i z3 cos i si i z3 cos i si i Ditre aceºti poli umai z ºi z au partea imagiarã mai mare decât zero Deci I i rez f z rez f z Calculãm cele douã reziduuri aplicâd formula di (33) Avem: rez f z z i 4 cos i si 4 4 rez f z z i 4 cos i si 4 4 Aºadar I i i i Eemplul 43 Utilizâd teorema reziduurilor sã se calculeze itegrala: d I 9 Soluþie Fie f z z z 9 Cum z z 9 z i z i z 3i z 3i rezultã cã polii fucþiei sut: z i z i z3 3i ºi z4 3i Alegem doar polii cu partea imagiarã mai mare decât zero adicã: z i ºi z3 3i Aplicâd formula (45) avem cã: 45

47 I i rez f i rez f 3i i 6i 48i Eemplul 44 Utilizâd teorema reziduurilor sã se calculeze itegrala: d I Solu Fie f z z 4 4 Observãm cã fucþia f are polii simpli z Aplicâd formula (45) obþiem: I i rez f i Aplicâd formula (3) petru calculul reziduului uui pol multiplu obþiem: rez f i lim z i lim z i zi ! zi z 3! z i z i lim lim lim zi ! zi 6 zi z i z i 6 z i lim zi z i i 3i 5 5 Deci I i 3i 6 i ºi z i 4 Itegrale de tipul si cos I R d ude R este o fucþie raþioalã de si ºi cos i Efectuâd schimbarea de variabilã z e z Di formula lui Euler avem câd parcurge itervalul z descrie cercul i e cos isi ºi i e cos i si i Di aceste formule obþiem epresiile lui si ºi cos î fucþie de e ºi aume: i i i i cos e e ºi si e e i Deci cos z z ºi si z i z (46) i Pri difereþierea relaþiei z e rezultã: d dz (47) iz Pri îlocuire itegrala devie: 46

48 I dz R z z i z z iz z R z dz i rez R a z ude a sut polii lui R care se aflã î iteriorul cercului z Eemplul 45 Utilizâd teorema reziduurilor sã se calculeze itegrala: cos I d 5 4si Soluþie Facem schimbarea de variabilã z ei Di cele de mai sus rezultã: z z z z dz I dz iz z z z 5iz z 5 4 z z i z z i Fucþia f z are polii z z i ºi z3 Ditre aceºtia doar z ºi z z 5iz z3 se aflã î iteriorul cercului z Deci I f z dz i rez f z rez f z z Calculâd reziduurile obþiem: rez f 3 i 3 4i rez f 4 Aºadar 3 4i I i 3 4 Eemplul 46 Utilizâd teorema reziduurilor sã se calculeze itegrala: d I cos Soluþie Facâd schimbarea de variabilã z ei avem cos z deci: z d dz 4 z I dz z iz i z z 4 z z cos z z Fucþia f z are polii z 3 ºi z 3 dar doar z 3 se z 4 z aflã î iteriorul cercului z Deci z z z 4z dz i rez f z Dar 47

49 deci z rez f z i dz i z 4z Aºadar 4 i 4 I i Eemplul 47 Utilizâd teorema reziduurilor sã se calculeze itegrala: cos I d a a cos a Solu Sã cosiderãm ºi itegrala J Ne propuem sã calculãm valoarea epresiei I si d a cos a ij Avem: cos isi cos isi I ij d d a cos a a cos a i z e avem: Facâd schimbarea de variabilã cos z i e cos isi ºi d dz z iz Astfel cos isi z dz z I ij d dz a cos a iz i z z z az a z a a z a z Observãm cã fucþia f z are polii simpli z az a ºi z a dar umai z a a puctul z se aflã î iteriorul cercului z Aplicâd teorema reziduurilor avem cã: a z dz i rez f az a z a a z ºi folosid formula (33) obþiem: Aºadar z a dz i z az a z a a 48

50 de ude a I ij i i a a a I a a ºi J 49

51 CUPRINS TEORIA CÂMPURILOR 5 Itroducere 5 Ecuaþii cu derivate parþiale de ordiul îtâi liiare ºi omogee 5 3 Ecuaþii cu derivate parþiale de ordiul îtâi cvasiliiare 54 4 Câmp scalar Câmp vectorial 56 5 Fluul ºi circulaþia 64 6 Formule itegrale 69 6 Formula flu divergeþã (a lui Gauss Ostrogradsi) 6 Formula lui Stoes 7 Câmpuri particulare importate Câmpuri irotaþioale 7 Câmpuri soleoidale 73 Câmpuri biscalare

52 TEORIA CÂMPURILOR Itroducere Petru îceput vom reamiti câteva oþiui geerale despre sistemele simetrice Defiiþia U sistem de ecuaþii difereþiale de ordiul îtâi se umeºte sistem simetric dacã are forma d d d () P P P ude fucþiile P u se auleazã simulta petru D Soluþia geeralã a sistemului () este de forma F C F C F C () ude F F F sut cotiue cu derivatele parþiale de ordiul îtâi cotiue î D Orice relaþie F C se umeºte itegralã primã Di cele de mai sus rezultã cã dacã se cuosc itegrale ale sistemului () se cuoaºte soluþia geeralã a sistemului () Di () avem egalitatea d d d d d d (3) P P P P P P ude sut fucþii arbitrare cotiue î D Defiiþia U sistem de fucþii cotiue î D care îdepliesc codiþiile d d d d P P P petru orice D se umeºte o combiaþie itegrabilã a sistemului () î D Fucþia C a cãrei difereþialã totalã î D este d d d este o itegralã primã a sistemului () Dacã se determiã combiaþii itegrabile disticte se obþi itegrale prime care dau soluþia geeralã a sistemului () sub forma () Eemplul 3 Folosid metoda combiaþiilor itegrabile sã se determie soluþia sistemului: d d d3 3 3 Soluþie Sistemul dat poate fi scris sub forma d d d3 d d d3 d d 3 d3 3 3 De aici rezultã cã d d d3 ºi d d 3 d3 Soluþia geeralã va fi formatã di douã itegrale prime: 3 C ºi 3 C 5

53 Eemplul 4 Sã se rezolve sistemul simetric: d dy dz y z y z z y Soluþie Avem: d dy dz d dy dz d dy dz y z y z y z z y ºi pri itegrare obþiem: y z C yz C Eemplul 5 Sã se rezolve sistemul simetric: d dy dz y z Soluþie Di prima ºi ultima fracþie obþiem prima itegralã primã: arctg arctgz C iar di primele douã: d dy adicã l l y C y deci a doua itegralã primã este: y C Ecuaþii cu derivate parþiale de ordiul îtâi liiare ºi omogee Defiiþia O relaþie de forma u u u P P P () cu P cotiue ºi care u se auleazã simulta îtr-u domeiu D se umeºte ecuaþie cu derivate parþiale de ordiul îtâi liiarã ºi omogeã dacã se cere sã se determie fucþia u u avâd derivatele parþiale de ordiul îtâi cotiue care verificã relaþia () Defiiþia Sistemul simetric d d d () P P P defiit î D se umeºte sistem caracteristic al ecuaþiei cu derivate parþiale () Observaþia 3 Problema itegrãrii ecuaþiei cu derivate parþiale () se reduce la problema itegrãrii sistemului caracteristic () aºa dupã cum reiese di urmãtoarea teoremã Teorema 4 Dacã C este o itegralã primã a sistemului caracteristic () atuci fucþia u este o soluþie a ecuaþiei cu derivate parþiale () Demostraþie Itegrala primã C are difereþiala ulã de-a lugul uei curbe itegrale a sistemului () d d d (3) 5

54 Îsã de-a lugul uei curbe itegrale difereþialele d d d sut proporþioale cu P P P coform relaþiilor () Aºadar egalitatea (3) mai poate fi scrisã ºi sub forma P P P (4) petru orice situat pe o curbã itegralã a sistemului () Egalitatea (4) fiid adevãratã petru orice costatã C este adevãratã petru orice curbã itegralã a sistemului () situatã î D Pri urmare u este o soluþie a ecuaþiei cu derivate parþiale () Teorema 5 Fie ecuaþia cu derivate parþiale () ºi fie itegrale prime (idepedete) ale sistemului caracteristic () C Fucþia u datã de u este o soluþie a ecuaþiei cu derivate parþiale () ude este o fucþie arbitrarã C Eemplul 6 Sã se determie soluþia geeralã a ecuaþiei: u u y y Soluþie Sistemul caracteristic corespuzãtor acestei ecuaþii este: d dy y care are itegrala primã y C deci soluþia geeralã a ecuaþiei este u y y ude este o fucþie arbitrarã C Eemplul 7 Sã se determie soluþia geeralã a ecuaþiei: u u u y y y z Soluþie Sistemul caracteristic corespuzãtor este d dy dz y y d dy d dy dy dz Di adicã rezultã itegrala primã y C Di a doua egalitate ºi y y y y þiâd cot de prima itegralã obþiem y 3 3 yz C Aºadar soluþia geeralã a ecuaþiei este u y y y 3 3yz ude este o fucþie arbitrarã C Eemplul 8 Sã se determie soluþia geeralã a ecuaþiei: u u y y Soluþie Sistemul caracteristic corespuzãtor este: d dy y Di primele douã rezultã: 53 y u z z zdz y

55 l l y C adicã C y Amplificâd cu prima fracþie ºi cu y a doua fracþie avem: d ydy d ydy zdz y y y de ude d y Deci a doua itegralã primã este: zdz y y z C 3 Ecuaþii cu derivate parþiale de ordiul îtâi cvasiliiare Defiiþia 3 O relaþie de forma P u u u P u P u (3) cu P u cotiue ºi care u se auleazã simulta îtr-u domeiu D se umeºte ecuaþie cu derivate parþiale de ordiul îtâi cvasiliiarã dacã se cere sã se determie fucþia u u avâd derivatele parþiale de ordiul îtâi cotiue care verificã relaþia (3) Petru determiarea soluþiilor uei ecuaþii cu derivate parþiale cvasiliiare (3) se procedeazã astfel: i) se scrie sistemul caracteristic corespuzãtor ecuaþiei (3) adicã: d d d du (3) P P P P ii) folosid metoda combiaþiilor itegrabile se determiã cele itegrale prime: F C (33) iii) soluþia geeralã a ecuaþiei cvasiliiare (3) este datã sub forma implicitã de relaþia: F F F C (34) Eemplul 3 Sã se determie soluþia geeralã a ecuaþiei cu derivate parþiale: u u y y y u y Soluþie Sistemul caracteristic corespuzãtor este d dy du y y y u 54

56 d dy d dy Di adicã rezultã itegrala primã y C Petru a doua itegralã y y y primã procedãm î felul urmãtor: yd dy yd dy yd dy du y y y y y y y u Deci d dy du y u ºi pri itegrare obþiem a doua itegralã primã: y C u Aºadar soluþia geeralã a ecuaþiei este: y y u ude este o fucþie arbitrarã C Eemplul 33 Sã se determie soluþia geeralã a ecuaþiei cu derivate parþiale: z z y 3 6 y y Solu Sistemul caracteristic corespuzãtor ecuaþiei cvasiliiare di euþ este: d dy dz y 3 6 y Di prima egalitate rezultã: deci obþiem itegrala primã: Di prima ºi ultima fracþie obþiem: adicã cea de-a doua itegralã primã: 3 d ydy 3 y C 3 d dz Soluþia geeralã a ecuaþiei este fucþia z ude este o fucþie arbitrarã C 3 z C z y datã implicit de ecuaþia: 3 3 y z Eemplul 34 Sã se determie suprafaþa datã de ecuaþia: z z z yz z y y care coþie curba : y z y 55

57 Soluþie Vom gãsi mai îtâi curbele caracteristice adicã soluþiile sistemul simetric: d dy dz z yz z y Di primele douã rapoarte rezultã imediat cã: y C Amplificâd prima fracþie cu a doua cu y ºi a treia cu z obþiem: d ydy zdz d ydy zdz 3 3 z y z z z y z z z y z deci d y z d z z y z adicã Aºadar a doua itegralã primã este: d d y z y z y z C Petru a gãsi suprafaþa care trece pri curba formãm sistemul y C y z C y z y Elimiâd ecuoscutele y z se obþie codiþia de compatibilitate C C care coduce la y z y 4 Câmp scalar Câmp vectorial Defiiþia 4 Fie D 3 u domeiu Se umeºte câmp scalar o fucþie : D Observaþia 4 Petru valoarea câmpului î puctului P D scriem P sau y z dacã y z reprezitã coordoatele puctului P Defiiþia 43 Se umeºte suprafaþã de ivel a câmpului scalar mulþimea tuturor puctelor di D î care ia aceeaºi valoare Ecuaþia uei suprafeþe de ivel este î geeral: y z C iar ecuaþia uei suprafeþe de ivel care coþie puctul P y z D este: 56 (4)

58 y z y z (4) Porid ditr-u puct P al suprafeþei de ivel P P ºi deplasâd puctul P el va descrie u arc de curbã P P despre care presupuem cã admite o tagetã determiatã î puctul P Fie s versorul acestei tagete: s cos i cos j cos Defiiþia 44 Se umeºte derivatã a câmpului scalar pe direcþia versorului s urmãtoarea limitã: P P ot d lim (43) lp P l P P d s P ude l P P reprezitã lugimea arcului P P Teorema 45 Dacã C D atuci eistã derivata câmpului dupã direcþia s epresia acesteia fiid: d cos cos cos (44) y z ds ude toate derivatele sut calculate î puctul P Observaþia 46 Relaþia (44) se umeºte epresia carteziaã a derivatei câmpului scalar dupã direcþia s Teorema 47 Dacã este ormala la suprafaþa de ivel S a câmpului scalar C D î puctul P iar este ughiul ditre ormala ºi o direcþie s atuci: d d cos (45) ds d ude derivatele sut cosiderate î puctul P Eemplul 48 Se cosiderã câmpul scalar y z 3 3 y 6 yz i) Sã se afle valoarea câmpului î puctul A ºi suprafaþa de ivel care trece pri A ii) Sã se determie derivatele fucþiei î puctul A dupã direcþiile aelor de coordoate ºi dupã direcþia AB ude B 4 3 Soluþie i) A Ecuaþia suprafeþei de ivel care trece pri y z adicã 3 y 6 yz ii) Direcþiile aelor de coordoate au versorii i j deci: 3 d cos 6 6 yz di A A A 6 d 6 y 6 z A 6 cos y A d j A d cos z 6 y A 6 d A A 57 A este

59 Vectorul AB este AB 3i j 3 cu orma AB Aºadar direcþia s a 3 vectorului AB este s AB Deci cosiusurile directoare ale direcþiei sut: cos cos cos 9 9 d 6 Aºadar cos cos cos A y A z A 9 ds A Defiiþia 49 Fie u câmp scalar C D Se umeºte gradietul câmpului scalar î puctul P D vectorul: grad i j (46) y z ude derivatele parþiale sut calculate î puctul P Defiiþia 4 Fucþia al cãrui gradiet este v grad se umeºte fucþia de forþã a vectorului v iar fucþia se umeºte poteþialul vectorului v Eemplul 4 Câmpul vectorial v y z 3 i yz 3 j 3 y z este câmp de poteþial deoarece v grad ude y z y z 3 Teorema 4 Derivata uui câmp scalar C D dupã o direcþie s este egalã cu proiecþia gradietului pe acea direcþie adicã: d s grad (47) ds Vectorul grad are direcþia ºi sesul ormalei la suprafaþa de ivel î puctul cosiderat ºi d modulul egal cu adicã: d d grad (48) d Eemplul 43 Se cosiderã câmpul scalar y z y z i) Sã se afle calculeze grad i j ii) Sã se calculeze derivata câmpului scalar dupã direcþia vectorului s î puctul 3 3 Soluþie i) Coform defiiþiei 49 avem: grad i j i y j z y z ii) Di teorema 4 avem: d s grad i j i 4 j 6 d s

60 Proprietãþi de calcul ale gradietului i) Fie ºi douã câmpuri scalare di C D ºi a o costatã Atuci îtr-u puct di D avem: grad grad grad grad a grad a a grad grad grad grad grad grad grad ii) Dacã F C D atuci gradf F grad iii) Fie r OP este vectorul de poziþie al lui P y z ºi r este modulul sãu adicã: r i y j z r y z Avem: r grad r d grad d r r ude d r di dy j dz Defiiþia 44 Fie D 3 u domeiu Se umeºte câmp vectorial pe domeiul D o fucþie vectorialã v : D 3 v P v y z i v y z j v3 y z P y z D (49) Defiiþia 45 Se umeºte liie de câmp o curbã C di D care are proprietatea cã î fiecare puct P al sãu vectorul v P este taget curbei Observaþia 46 Direcþia tagetei la curbã este datã de d r Codiþia ca v sã fie taget curbei este echivaletã cu codiþia de coliiaritate a vectorilor v ºi d r adicã produsul lor vectorial sã fie ul: v dr (4) Ecuaþia (4) se umeºte ecuaþia vectorialã a liiilor de câmp Deci cei doi vectori au compoetele proporþioale adicã d d d3 (4) v v v3 Sistemul (4) are itegralele prime: F y z C (4) F y z C care reprezitã forma implicitã a ecuaþiilor liiilor de câmp Defiiþia 47 Se umeºte suprafaþã de câmp o suprafaþã geeratã de liiile de câmp Ecuaþia uei suprafeþe de câmp este de forma: F y z F y z (43) sau C C ude C ºi C sut costatele di epresia itegralelor prime legãtura fiid stabilitã pri codiþii suplimetare (de eemplu suprafaþa sã treacã pritr-o curbã care u este liie de câmp) Eemplul 48 Sã se determie liiile de câmp ale câmpului vectorial defiit de vectorii: 59

61 v y z i 4 z y j yz Soluþie Liiile de câmp ale câmpului vectorial v sut date de urmãtorul sistem de ecuaþii difereþiale (sistem simetric): d dy dz y z 4 z y yz Aplicãm metoda combiaþiilor itegrabile Astfel amplificâd prima fracþie cu y a doua cu ºi a treia cu z obþiem: yd dy zdz yd dy zdz d y d z y z y 4 z y yz 4 z Deci prima ecuaþie a liiilor de câmp este: y z C Apoi amplificâd prima fracþie cu a doua cu z ºi a treia cu y obþiem: d zdy ydz d zdy ydz d d yz y 4 z 4 z y z y z y deci cea de-a doua ecuaþie a liiilor de câmp este: yz C Eemplul 49 Sã se determie liiile de câmp ale câmpului vectorial: v z y i zy j y ºi apoi sã se gãseascã suprafeþele de câmp care coþi curba: y : z Soluþie Liiile de câmp ale lui v sut soluþiile sistemului simetric: d dy dz z y zy y Formãm combiaþii liiare î acest sistem î vederea obþierii uei rezolvãri simple: d y d dy dz z y zy y z y y adicã d y dz z y echivalet cu y d y z dz Itegrâd obþiem prima ecuaþie a liiilor de câmp: y z C Folosid acelaºi raþioamet avem: d y d dy dz z y zy y z y y adicã 6

62 d y z sau ºi itegrâd obþiem: dz y y d y z dz y z C Petru a determia suprafeþele de câmp formãm urmãtorul sistem: y z C y z C y z Elimiâd ecuoscutele y z se obþie codiþia de compatibilitate: C C care coduce la adicã y z y z y z Defiiþia 4 Se umeºte derivatã a câmpului vectorial v pe direcþia versorului s îtr-u puct P D vectorul obþiut pri limita: d v ot v P v P (44) l lim PP lp P d s P ude l P P este lugimea arcului P P iar tageta î P la acest arc de curbã are direcþia s Propoziþia 4 Fie v este u câmp vectorial de clasã C D ºi fie direcþia s cos i cos j cos Atuci eistã derivata câmpului vectorial v dupã direcþia s epresia acesteia fiid: d v dv dv dv3 i j (45) ds ds ds ds sau dv v v v cos cos cos (46) y z ds Eemplul 4 Sã se calculeze derivata câmpului vectorial v y z i yz j y dupã direcþia vectorului u i j dv dv dv Soluþie Vom aplica formula di relaþia (45) Petru a calcula ºi 3 vom aplica du du du formula di (47) Astfel 6

63 dv u gradv i j zi j z du dv v yz u gradv i j i z j y z y du dv v3 y 3 u gradv3 i j i y j 4 y du Defiiþia 43 Fie v P v y z i v y z j v3 y z u câmp vectorial de clasã C D Se umeºte divergeþa câmpului vectorial v ºi se oteazã div v scalarul (fucþia scalarã): v v v div v 3 (47) y z v y z Defiiþia 44 Se umeºte rotorul câmpului vectorial de clasã C D v P v y z i v y z j v3 y z vectorul otat cu simbolul rot v a cãrui epresie aaliticã î coordoate carteziee este: i j rot v (48) y z v v v3 determiat simbolic care se dezvoltã dupã elemetele primei liii obþiâdu-se: v v v v v v rot v 3 i 3 j (49) z z y y Observaþia 45 (Iterpretarea fizicã a divergeþei) Divergeþa este u operator care mãsoarã cât de mult u câmp vectorial iese di sau itrã îtr-u puct Petru u câmp vectorial care reprezitã viteza de epadare a aerului atuci câd acesta este îcãlzit divergeþa câmpului de viteze are o valoare pozitivã deoarece aerul se dilatã Dacã aerul se rãceºte ºi se cotractã divergeþa este egativã Observaþia 46 (Iterpretarea fizicã a rotorului) Rotorul este u operator vectorial care scoate î evideþã rata de rotaþie a uui câmp vectorial adicã direcþia aei de rotaþie ºi magitudiea rotaþiei Observaþia 47 Dacã itroducem operatorul abla al lui Hamilto care are caracter difereþial ºi vectorial ºi a cãrui epresie aaliticã este: i j (4) y z atuci deducem urmãtoarele formule: grad i j (4) y z div v i j v i v j v3 v y z rot v i j v i v j v3 v y z 6 (4) (43)

64 Proprietãþi de calcul ale divergeþei ºi rotorului a) Fie u ºi v douã câmpuri vectoriale de clasã C D iar u câmp scalar de clasã C D Î puctul curet di D au loc urmãtoarele relaþii: i) div u v div u div v ; ii) rot u v rot u rot v ; iii) div v v grad div v ; iv) rot v rot v v grad ; v) div u v v rot u u rot v ; du dv vi) rot u v u div v v div u dv du b) Dacã r este vectorul de poziþie r i y j z ºi a este u vector costat atuci avem: i) div a ; iv) rot a ; ii) div r 3 ; v) rot r ; iii) div a r ; vi) rot a r a Observaþia 48 Dacã este u câmp de clasã C D iar v este u câmp vectorial de clasã C D atuci au ses urmãtoarele cici combiaþii: grad div v div grad div rot v rot grad ºi rot rot v Propoziþia 49 Dacã este u câmp scalar de clasã C D ºi v este u câmp vectorial de clasã v atuci au loc relaþiile: div rot v (44) rot grad (45) div grad rot rot v grad div v v ude este operatorul lui Laplace (46) (47) y z (48) Eemplul 43 Se dau câmpurile: v yz 3 i y y 3 j z z 3 w yz y i yz yz j 3y z Sã se calculeze grad div v ºi rot rot w Soluþie Folosim defiiþiile gradietului divergeþei ºi rotorului date mai sus Avem: div v yz 3 y 3 y z 3 z deci 63

65 ºi grad div v 6 z i 6 y z j 6 z y rot w 3 y yz i y z j yz z y deci rot rot w zi 5 Fluul ºi circulaþia Fie o suprafaþã coþiutã î domeiul D 3 î care este defiit câmpul vectorial v ºi fie versorul ormalei la suprafaþa orietat î ses pozitiv Defiiþia 5 Se umeºte fluul vectorului v pri suprafaþa mãrimea: v d (5) Faþã de reperul cartezia ortogoal avem: v cos v cos v3 cos d vdydz v dzd v3 ddy (5) ude cos i cos j cos Observaþia 5 Petru o suprafaþã îchisã ormala o vom cosidera totdeaua dirijatã spre eteriorul domeiului Observaþia 53 Fluul reprezitã difereþa ditre catitatea de fluid ieºitã di suprafaþa care delimiteazã u volum ºi cea iiþialã î uitatea de timp Fluul reprezitã catitatea de fluid produsã de volumul î uitatea de timp deci este productivitatea volumului Eemplul 54 U fluid oarecare curge î spaþiu cu viteza v 3 i 3 y j z Sã se gãseascã fluul total al fluidului pri suprafaþa superioarã a paraboloidului S : z 9 y situatã î semiplaul superior z Soluþie Folosid defiiþia 5 avem de calculat urmãtoarea itegrala de suprafaþã: v d S ude este versorul ormalei la suprafaþa S : F y z F y z ude F y z y z 9 Deci i y j 4 4 y Aºadar 64

66 cos cos 4 4y Aplicâd formula de calcul obþiem: 3 y 4 4 v cos v cos v cos d S y cos 4 4y 6 6y z d S 4 4y 4 4y 4 4y Dar di ecuaþia suprafeþei si di defiiþia elemetului de suprafaþa avem: d 4 4y ddy y ude D este proiecþia suprafeþei pe plaul Oy : D D y : y 9 Îlocuid î epresia de mai sus avem 6 6y 9 y 4 4y ddy 5 5y 9ddy D 4 4y D Itegrala dublã o calculãm folosid trecerea la coordoatele polare r ºi t ude: r cost r y 3 t r sit Avâd î vedere cã jacobiaul trasformãrii care se utilizeazã la schimbarea de variabile de mai sus este egal cu r ºi folosid formula schimbãrii de variabile î itegrala dublã obþiem: dt r 5r 9 dr Eemplul 55 Sã se calculeze fluul câmpului vectorial: 4 v i y j z pri suprafaþa eterioarã a semisferei Solu y z 9 : z Coform relaþiei (5) avem: v d v cos v cos v cos d 3 ude este versorul ormalei la suprafaþa : F y z F y z ude Deci Aºadar F y z y z 9 i y j z i y j z 3 y z 65

67 cos Îlocuid î formula de mai sus obþiem: 3 cos y 3 cos cos 3 cos z cos 3 v v v d y 4 z 5 y z d y z d Petru gãsirea elemetului de suprafaþã d folosim urmãtoarea parametrizare a sferei: 3si cos : y 3si si z 3cos Dupã cum se ºtie elemetul de suprafaþã se calculeazã cu formula ude coeficieþii E G F sut daþi de d EG F d d y z E y z G y y z z F Pri calcul obþiem cã d 9sid d Aºadar 3 D dd deci 5 9 si cos 9si si 43cos 9si D si 79si cos 7 si 79si cos d d d si d 79 si cos d Petru prima itegralã folosim formula trigoometricã ºi obþiem si 3si si si d 3 Petru a doua itegralã facem schimbarea de variabilã cos u si d 66

68 ºi obþiem si cos 5 d Aºadar Defiiþia 56 Se umeºte circulaþia vectorului v de-a lugul curbei îchise coþiute î domeiul D de defiiþie a câmpului v valoarea itegralei curbiliii: C vd r (53) C Faþã de reperul cartezia avem: C v y z d v y z dy v3 y z dz (54) C Eemplul 57 Sã se calculeze circulaþia câmpul vectorial v y i j pe frotiera domeiului D y 4 y 4 y parcursã î ses trigoometric Soluþie Fie C frotiera domeiului D parcursã î ses trigoometric Coform relaþiilor (53) (54) avem: C vd r y d dy C C Curba C este jumãtatea superioarã E a elipsei 4 y 4 completatã cu diametrul mare al sãu AB pe care ea se sprijiã ºi este parcursã î ses trigoometric (ca î figura alãturatã) Aºadar avem: C y d dy y d dy y AB E A B O E Folosid reprezetãrile parametrice ale celor douã curbe t AB : y t cos y si E : cele douã itegrale curbiliii devi: I AB y d dy 8 3 I y d dy si 3 4cos 3 d si si 3 cos3 3cos d 3 E Deci 8 C I I 3 67

69 Eemplul 58 Sã se calculeze circulaþia câmpul vectorial v i y j yz de-a lugul curbei ABCA ude A B C AC ºi AB sut segmete de dreaptã iar BC este u sfert di cercul cu cetrul î origie ºi de razã di plaul yoz Solu Fie curba ABCA reprezetatã î figura alãturatã Aplicâd defiiþia 56 avem: z C vd r d ydy yzdz vd r vdr vdr ABCA ABCA AB BC CA Dreapta AB are parametrizarea y AB : y y y z deci vd r d ydy y dy y ydy AB AB 6 Parametrizarea arcului BC este: BC : y cos t t z sit deci Fãcâd substituþia si t BC obþiem: Dreapta CA are parametrizarea deci A Aºadar C B y vd r yzdz cos t si tdt BC vd r 3 BC CA: y z CA vd r d 3 C vdr vd r vdr AB BC CA 68

70 6 Formule itegrale 6 Formula flu divergeþã (a lui Gauss Ostrogradsi) Fie u domeiu compact di 3 care are ca frotierã o suprafaþã îchisã simplã etedã sau etedã pe porþiui Versorul al ormalei eterioare îtr-u puct al suprafeþei are epresia: cos i cos j cos ude ºi sut ughiurile pe care acest versor le face cu versorii i j ai reperului Oyz Teorema 6 (Formula itegralã Gauss Ostrogradsi) Î ipotezele de mai sus dacã v este u câmp vectorial de clasã C v y z v y z i v y z j v3 y z atuci are loc: v v v3 (6) ddydz v cos v cos v cos d y z Observaþia 6 Folosid epresia divergeþei câmpului vectorial v deducem cã formula (6) se poate scrie î forma vectorialã: div v ddydz v (6) d ºi eprimã fluul pritr-o suprafaþã î direcþia ormalei eterioare pri itegrala divergeþei pe domeiul mãrgiit de acea suprafaþã Acesta este ºi motivul petru care aceastã formulã se mai umeºte ºi formula flu divergeþã Observaþia 63 (Iterpretare fizicã) Dacã v este viteza de curgere a uui fluid di domeiul pri suprafaþa care mãrgieºte domeiul î direcþia ormalei atuci fluul este itegrala proiecþiilor lui v pe ormalã Eemplul 64 Fie regiuea mãrgiitã de emisfera y z 9 z 3 ºi plaul z Sã se verifice teorema flu divergeþã dacã v y z i y j z Soluþie Calculãm mai îtâi divergeþa vectorului v ºi apoi itegrala triplã di aceasta Avem: div v 3 ºi 7 div v ddydz 3 ddydz Î ultimul calcul am folosit faptul cã itegrala triplã di membrul secud este volumul emisferei de razã R 3 care este egal cu R 3 / 3 Calculãm acum direct itegrala de suprafaþã care apare î formula flu divergeþã Observãm mai îtâi cã suprafaþa este formatã di reuiuea a douã suprafeþe: ºi ude este faþa superioarã a emisferei de razã 3 situatã deasupra plaului z iar este faþa iferioarã a porþiuii di plaul z limitatã de cercul de razã 3 cu cetrul î puctul aflat î acest pla Deci v d v d v d 69

71 ude este ormala uitarã la faþa iar este ormala uitarã la faþa : i y j z y z i j y z Aºadar v d 3 d z d 3 d 54 deoarece d aria ºi R 8 z d deoarece pe suprafaþa pe care efectuãm itegrarea z este egal cu ºi deci itegratul este ul ºi ca atare ºi rezultatul itegrãrii este ul Pri urmare v d 54 ceea ce aratã cã formula flu divergeþã se verificã 6 Formula lui Stoes Fie o suprafaþã deschisã etedã mãrgiitã de u domeiu di 3 Teorema 65 (Formula itegralã a lui Stoes) Fie suprafaþa de mai sus ºi o curbã etedã care mãrgieºte suprafaþa Dacã v este u câmp vectorial de clasã C D v y z v y z i v y z j v3 y z D fiid u domeiu di 3 care coþie suprafaþa atuci are loc formula: v y z d v y z dy v3 y z dz v v v v v v 3 cos 3 cos cos d z z y y Observaþia 66 Utilizâd epresia aaliticã a rotorului uui câmp vectorial rot v ºi þiâd cot cã difereþiala vectorului de poziþie r este d r di dy j dz deducem cã formula itegralã a lui Stoes se poate scrie î forma vectorialã: (63) vd r rot v d Observaþia 67 (Iterpretare fizicã) Formula itegralã a lui Stoes eprimatã pri (63) aratã cã circulaþia câmpului vectorial v pe frotiera a uei suprafeþe orietate este egalã cu fluul rotorului lui v pri acea suprafaþã Eemplul 68 Fie curba situatã la itersecþia cilidrului 7