Raamwerk. Elektriese Aandryfstelsels 324. Inleiding. Drywingselektroniese Skakelaars. Inleiding tot Drywingselektronika. Dr. P.J.

Size: px
Start display at page:

Download "Raamwerk. Elektriese Aandryfstelsels 324. Inleiding. Drywingselektroniese Skakelaars. Inleiding tot Drywingselektronika. Dr. P.J."

Transcription

1 Raamwerk Elektriese Aandryfstelsels 324 Inleiding tot Drywingselektronika Dr. P.J. Randewijk Universiteit Stellenbosch Dep. Elektriese & Elektroniese Ingenieurswese Aanvullende Notas 1 Inleiding 2 Drywingselektroniese Komponente 3 ineêre Omsetter 4 Geskakelde Drywingselektroniese Omsetter 5 Vier-kwadrant Werking 6 Een-kwadrant GS-GS Omsetter 7 Twee-kwadrant GS-GS Omsetter 8 Vier-kwadrant GS-GS Omsetter 9 Verliese in die halfgeleier skakelaars 10 Verliese in die borsels 11 Puls Wydte Modulasie (PWM) 12 Servobeheerder 13 Vier-kwadrant GS-WS Omsetters 14 Driefase GS na WS Omsetters 15 Uitkomste vir Drywingselektronika 1 / / 105 Inleiding Drywingselektronika is die gebruik van elektronika om die vloei van drywing/energie te beheer Dit het meestal te doen met die omsetting van n spanning van een waarde na n ander... Vir hierdie vak stel ons slegs belang in hoe drywingselektronika gebruik kan word om die spoed (en/of draaimoment) van n elektriese masjien te beheer n Drywingselektroniese omsetter word ook gewoonlik n vaste toestand omsetter genoem, aangesien dit geen bewegende dele het nie Ons gaan slegs drywingselektroniese omsetters en die hoof drywingselektroniese komponente waaruit hulle bestaan vanaf n stelsel vlak bespreek Drywingselektroniese Skakelaars n Drywingselektroniese omsetter bestaan uit verskillende drywingselektroniese halfgeleier komponente Ons gaan slegs na die volgende komponente / drywingselektroniese skakelaars kyk: diode tiristor of silikon beheerde gelykrigter (SBG) TRIAK (kan ook uit twee anti-parallelle tiristors opgebou word) hek afskakelbare tiristor ( GTO in Engels) bipolêre drywingstransistor ( BJT in Engels) metaal oksied halfgeleier veldeffek transistor ( MOSFET in Engels) geïsoleerde hek bipolêre transistor ( IGBT in Engels) Al hierdie drywingselektroniese komponent word gewoonlik as silikon skakelaars bedryf 3 / / 105

2 Drywingselektroniese Skakelaars (vervolg... ) Dit impliseer dat hulle slegs in een van twee state bedryf word, óf: AAN lyk soos n toe skakelaar, óf AF lyk soos n oop skakelaar Drywingselektroniese skakelaars word verdeel in twee hoof kategorieë: lyn-kommuteerende skakelaars en geforseerde-kommuterende skakelaars yn-kommuteerende skakelaars Die diode kan slegs stroom in een rigting gelei, van A K Skakel AAN wanneer voorgespan, v AK > 0,7 V Skakel AF wanneer die stroom deur die diode, i AK, deur nul gaan v AK Anode (A) i AK athode (K) Drywingselektroniese Skakelaars (vervolg... ) Die tiristor kan slegs stroom in een rigting gelei, van A K Skakel AAN wanneer voorgespan, v AK > 1 V en n sein aan die Hek aangelê word Skakel AF wanneer die stroom deur die tiristor, i AK, deur nul gaan Gate (G) Anode (A) i AK athode (K) Terminal 1 Die triak kan stroom in beide rigtings van T1 T2 gelei Bestaan basies uit twee tiristors in Gate (G) i 12 anti-parallel gekoppel Elke tiristor sal: Terminal 2 AAN skakel wanneer voorgespan en n sein aan die Hek aangelê word AF skakel wanneer die stroom deur die tiristor deur nul gaan 5 / / 105 Drywingselektroniese Skakelaars (vervolg... ) Geforseerde-kommuterende skakelaars Anode (A) Die hek afskakelbare tiristor ( GTO ) kan slegs stroom in een rigting gelei, i AK van A K Gate (G) Skakel AAN wanneer voorgespan, athode (K) v AK > 1 V en n sein aan die Hek aangelê word Skakel AF wanneer die stroom deur die tiristor, i AK, deur nul gaan of n negatiewe stroom puls aan die Hek aangelê word ( 1 5 tot 1 3 van die hoof K stroom) Die bipolêre transistor ( BJT ) kan slegs stroom in een rigting gelei, van E Base (B) ollector () Emitter (E) i E Drywingselektroniese Skakelaars (vervolg... ) Skakel AAN wanneer n positiewe stroom in die Basis vloei (die Basis stroom moet tussen 1 10 en 1 5 van die Kollektor stroom wees ten einde te verseker dat die transistor AAN is) Skakel AF wanneer die Basis stroom verwyder word Drain (D) Die MOSFET kan stroom in beide rigtings gelei, i.e. van D S Skakel AAN wanneer a positiewe Gate (G) spanning ( 15 V) aan die Hek verbind word Skakel AF wanneer die Hek spanning verwyder word en die lading gestoor in die GS kapasitor ontlaai het Die IGBT kan stroom slegs in een rigting gelei, van E Skakel AAN wanneer a positiewe spanning ( 15 V) aan die Hek verbind word I D Source (K) I E 7 / / 105

3 Drywingselektroniese Skakelaars (vervolg... ) Drywingselektroniese Skakelaars (vervolg... ) Skakel AF wanneer die Hek spanning verwyder word en die lading gestoor in die GS kapasitor ontlaai het HV. D. EETRI AR UPS MOTOR ONTRO Keuse van drywingselektroniese skakelaar Die keuse van watter drywingselektroniese skakelaar om te gebruik, hang af van: Die drywingsvermoë van die skakelaar i.t.v. die spannings & stroomvermoë Die spoed (frekwensie) waarteen die skakelaar AAN en AF moet skakel Op die volgende skyfie word die verskillende tipe drywingselektroniese skakelaars en hulle toepassing getoon met die skakel spoed op die x as en die drywingsvermoë op die y as APAITY (VA) 100M 10M 1M 100K 10K 1K 100 THY- RISTOR TRIA GTO WASHING MAHINE TRANSISTOR MODUES IGBTMOD MODUES AIR ONDITIONER REFRIGERATOR MIROWAVE OVEN ROBOT, WEDING MAHINE AUTOMOBIE MOSFET MOD TRI-MOD IGBT-MOD SWITHING-MODE POWER SUPPY VR, POWER SUPPY FOUDIO K OPERATION FREQUENY (Hz) 10K DISRETE MOSFET 100K 10M 9 / / 105 Drywingselektroniese Skakelaars (vervolg... ) Ideale Skakelaar Gedrag Wanneer n drywingselektroniese skakelaar AF geskakel word, lyk dit dit soos n gewone skakelaar wat OOP is Alhoewel die spanning oor die skakelaar enige waarde kan hê, sal die AF stroom deur die skakelaar nul wees. Gevolglik is die drywingsverlies in die skakelaar ook nul. V off =? I off = 0 Wanneer n drywingselektroniese skakelaar AAN geskakel word, lyk dit soos n normale skakelaar wat TOE is Alhoewel die stroom deur die skakelaar enige waarde kan hê, sal die AAN spanning oor die skakelaar nul wees. Gevolglik is die drywingsverlies in die skakelaar weereens nul. V on = 0 I on =? Drywingselektroniese Skakelaars (vervolg... ) Nie-ideale Skakelaar gedrag Die AF gedrag van n Nie-ideale Skakelaar is presies dieselfde as vir n Ideale Skakelaar Die AAN gedrag verander na gelang van die tipe skakelaar Vir diodes, tiristors, transistors en IGBTs, is die AAN spanning nie nul nie, maar gewoonlik darem kleiner as 1 V Vir MOSFETs, hang die AAN spanning af van die Drain Source AAN weerstand gemaal met die stroom deur die MOSFET V on I on =? V on = r DS I on I on =? 11 / / 105

4 ineêre Omsetter ineêre spanningsreguleerder Eenvoudige GS GS Kapper V Q I Q V Q I o = 100 V V o = 25 V = 100 V V o = 25 V Die spanningsval oor die transistor, Q, is gelyk aan: V Q = V o En die drywingsverliese in die transistor, Q, is gelyk aan: P Q = V Q I Q Die skakelaar skakel nou periodies teen n dienssiklus, D = 25% Die gemiddelde uittree spanning, V o, word nou gegee deur: V o = D Die skakelaar kan ook drywingselektroniese halfgeleier skakelaar wees, bv. n IGBT 13 / / 105 Eenvoudige GS GS Kapper Eenvoudige GS GS Kapper v o V o T = 100 V V Q v I o V o = 25 V t aan t af Dit beteken dat die gemiddelde uittree spanning V o = 25 V (dieselfde as vir die lineêre reguleerder) ook met n intree spanning van = 100 V... Die groot verskil is egter dat die drywingsverliese in die skakelaar is nou zero is... Wat beteken dat P in = P uit... Meestal is so n uittree golfvorm nie aanvaarbaar nie... Gevolglik word n filter induktor in serie met die las geskakel om die lasstroom konstant te hou... Sowel as n filter kapasitor in parallel oor die las geskakel om die lasspanning konstant te hou / / 105

5 Eenvoudige GS GS Kapper Stroom deur n induktor kan egter nie oombliklik verander nie... v = di dt Dit beteken dat sodra die skakelaar AF skakel, die spanning oor die induktor gaan neig na om die energie gestoor in die induktor te probeer ontlaai ontlaai... A.g.v. die hoë spanning wat ontstaan oor die induktor, ontlaai die induktor gewoonlik deurdat die lug iewers ioniseer en deurbreek as n vonk... Eenvoudige GS GS Kapper = 100 V V Q v I o V o = 25 V n Vryloopdiode ( free wheeling diode ) los egter die probleem opaangesien dit n stroom pad skep terwyl die skakelaar AF is... Vir die doel van ons analise kan die diode ook as n skakelaar beskou word wat beteken dat die verliese in die diode ook weglaatbaar klein is / / 105 Eenvoudige GS GS Kapper v R Eenvoudige GS GS Kapper v Q T T V o t aan t af t aan t af Die spanningsgolfvorm oor die las.w. Die spanning oor die las is sal suiwer GS wees indien n baie groot - filter gebruik word... Die spanningsgolfvorm oor die skakelaar.w. Die spanning oor die skakelaar is 0 V as die skakelaar AAN is. 19 / / 105

6 Eenvoudige GS GS Kapper Eenvoudige GS GS Kapper v D v T V o T V o t aan t af V o t aan t af Die spanningsgolfvorm oor die diode.w. Die spanning oor die diode is 0 V as die diode gelei is. Die spanning oor die diode is gelyk aan die spanning oor die las voor dat daar n - filter was... Die spanningsgolfvorm oor die induktor Kan eenvoudig met Kirchhoff bepaal word: v (t) = v D (t) v o (t) 21 / / 105 Eenvoudige GS GS Kapper i I T i Eenvoudige GS GS Kapper (vervolg... ) Ook, indien ons aanvaar dat v aan en v af konstant bly oor die skakelperiode en met: v (t) = di dt volg dat: t aan t af Die stroomgolfvorm deur die induktor Met die skakelperiode, T, as tydkonstante van die induktor, τ = R kan ons die effek van R ignoreer... ttaan t di = v (t)dt di = 1 i (t t aan ) i (t) = v aan ttaan t = v aan ttaan t t aan v (t)dt dt 23 / / 105

7 Eenvoudige GS GS Kapper (vervolg... ) of alternatiewelike met i die verandering in i Of in terme van v af : i = v t aan aan = v D T aan = ( V o )DT i = v af t af = v af (1 D) T = (V o)(1 D)T (1) (2) (3) Eenvoudige GS GS Kapper i Q I I Q t aan t af T I Die stroomgolfvorm deur die skakelaar (IGBT) 25 / / 105 Eenvoudige GS GS Kapper Eenvoudige GS GS Kapper i D T i T I I D i t aan t af i t aan t af Die stroomgolfvorm deur die diode Die stroomgolfvorm deur die filter kapasitor 27 / / 105

8 Eenvoudige GS GS Kapper Periodiese Skakeling Die drywingselektroniese skakelaar(s) skakel periodies AAN & AF sodat vir enige spanning of stroom enige plek in die stroombaan, die volgende geld sodra die stroombaan in sy bestendige toestand is: v x (t T ) = v x (t) i x (t T ) = i x (t) en Eenvoudige GS GS Kapper (vervolg... ) Vanaf die differensiaalvergelykings vir n kapasitor: i (t) = d dt v (t) v (t) = 1 i (t)dt v (t 0 T ) = v (t 0 ) 1 T t 0 i (t)dt Wat impliseer dat: 1 T i (t)dt = 0 t 0 Of anders gestel, dat die gemiddelde stroom deur n kapasitor is zero. 29 / / 105 Eenvoudige GS GS Kapper (vervolg... ) Vanaf die differensiaalvergelykings vir n induktor: Eenvoudige GS GS Kapper v (t) = d dt i (t) i (t) = 1 v (t)dt i (t 0 T ) = i (t 0 ) 1 T v (t)dt v V o T A 1 t 0 Wat impliseer dat: V o t aan t af 1 T v (t)dt = 0 t 0 Of anders gestel, dat die gemiddelde spanning oor n induktor is zero. Die volt sekondes oor n induktor is gelyk aan zero. ( V o ) D T = V o (1 D) T V o = D 31 / / 105

9 Vier-kwadrant Werking Vier-kwadrante Werking van n GS Masjien Met ω m positief en T m positief lewer die masjien meganiese drywing en werk dit as n motor dit staan as die 1 ste kwadrant bekend Met ω m positief en T m negatief absorbeer die masjien meganiese drywing en werk dit as n generator dit staan as die 4 de kwadrant bekend Met ω m negatief en T m negatief lewer die masjien meganiese drywing en werk dit as n motor dit staan as die 3 de kwadrant bekend Met ω m negatief en T m positief absorbeer die masjien meganiese drywing en werk dit as n generator dit staan as die 2 de kwadrant bekend 33 / 105 Benaderings... Vir die analise van kapper bane met n induktor, n weerstand & n Teen-EMK in serie: Aanvaar ons dat: die R tydkonstante baie as die skakelperiode, T = 1 f s stroom veranderlineêr i.e. het n saagtand form... die rimpelstroom,, is baie klein die spanning oor die ankerweerstand V RA V RA = is konstant 34 / 105 Een-kwadrant GS-GS Omsetter Een-kwadrant GS-GS Omsetter vir GS-motor beheer Een-kwadrant GS-GS Omsetter Een-kwadrant GS-GS Omsetter vir GS-motor beheer Q 1 Q 1 D 1 A 1 D 1 A 1 Vir lae spanning word daar gewoonlik van MOSFETs gebruik gemaak. Vir hoë spanning en/of drywing, word daar gewoonlik van IGBTs gebruik gemaak. 35 / / 105

10 Een-kwadrant GS-GS Omsetter Een-kwadrant GS-GS Omsetter vir GS-motor beheer I Q1 I D1 Q 1 D 1 A 1 Een-kwadrant GS-GS Omsetter (vervolg... ) Al wat belangrik is om te onthou is dat die skakelaar en die diode: (vir enkel-kwadrant werking) net stroom in EEN rigting gelei... (vir kontinue stroom) komplementêr werk... Kirchhoff se knooppunt stroomwette (K) nog steeds geld... en i Q1 (t) i D1 (t) = i A (t) Dit maak nie saak watter soort drywingselektroniese skakelaar gebruik word ten einde die stroombaan te analiseer nie I Q1 I D1 = 37 / / 105 Een-kwadrant GS-GS Omsetter (vervolg... ) Kirchhoff se spanningslus wette (KV) nog steeds geld... Twee-kwadrant GS-GS Omsetter Een-Kwadrant GS-GS Omsetter v D1 (t) v A (t) v RA (t) = 0 en of te wel V D1 V A V RA = 0 V T V RA = 0 Q 1 D 1 A 1 Die GS-motor ken net in een rigting loop. 39 / / 105

11 Twee-kwadrant GS-GS Omsetter (vervolg... ) Ten einde die rigting van rotasie om te ruil moet: óf die veld óf die ankerterminale m.b.v. n meganiese skakelaar omgeruil word. Twee-kwadrant GS-GS Omsetter Twee-Kwadrant GS-GS Omsetter Verder om die motor te rem sal daar van meganiese remme gebruik gemaak moet word, aangesien die rigting van die stroom en gevolglik die rigting van die draaimoment nie kan verander nie. Q 1 D 1 A 1.W. Drywingselektroniese skakelaars (met spesifieke verwysing na transistors & IGBTs) kan net stroom in een rigting gelei. Q 2 D 2 41 / / 105 Twee-kwadrant GS-GS Omsetter (vervolg... ) Twee-kwadrant GS-GS Omsetter M.b.v. n twee-kwadrant omsetter kan die stroom deur die GS-motor nou negatief raak ten einde die motor elektries te rem... Twee-Kwadrant GS-GS Omsetter n Negatiewe stroom veroorsaak n negatiewe draaimoment en die GS-motor werk nou as n GS-generator n Twee-kwadrant GS-GS omsetter is eintlik n kombinasie van n afkapper en n opkapper... I Q1 D 1 A 1 Q 2 I D2 Q 1 en Q 2 word komplimentêr geskakel, i.e. Q 1 is AAN vir D 100% van die tyd en Q 2 is AAN vir (1 D) 100% van die tyd 43 / / 105

12 Twee-kwadrant GS-GS Omsetter (vervolg... ) Twee-kwadrant GS-GS Omsetter Met D >, sal die stroom,, positief wees (soos getoon) Twee-Kwadrant GS-GS Omsetter Slegs Q 1 en D 2 sal stroom gelei... Die GS-motor werk nou in die 1 ste kwadrant (as n motor) aangesien: die uittree spanning positief is, en die uittree stroom ook positief is Q 1 I D1 A 1 I Q2 D 2 45 / / 105 Twee-kwadrant GS-GS Omsetter (vervolg... ) Met D <, sal die stroom,, negatief wees (soos getoon) Slegs Q 2 en D 1 sal stroom gelei... Die GS-motor werk nou in die 4 de kwadrant (as n generator) aangesien: die uittree spanning positief is, en die uittree stroom nou negatief is Twee-kwadrant GS-GS Omsetter Twee-Kwadrant GS-GS Omsetter Met Q 1 en Q 2 wat komplimentêr skakel, sal die gemiddelde uittree spanning van die twee-kwadrant GS-GS omsetter soos tussen terminale & gemeet: V t = D (21.21 ) Die gemiddelde ankerstroom van die GS-motor,, kan dus as volg bereken word: = V t (21.23 ) Dus met V t > werk die GS-motor in die 1 ste kwadrant (as n motor), en met V t < werk die GS-motor in die 4 de kwadrant (as n generator) 47 / / 105

13 Twee-kwadrant GS-GS Omsetter Twee-Kwadrant GS-GS Omsetter Twee-kwadrant GS-GS Omsetter (vervolg... ) Kirchhoff se Stroom (Knooppunt) Wet geld nog steeds, sodat: I Q1 I D2 = I Q1 D 1 Q 2 A 1 I D2 met: I Q1 = D en I D2 = (1 D) 49 / / 105 Twee-kwadrant GS-GS Omsetter Eerste Kwadrant werking Twee-kwadrant GS-GS Omsetter (vervolg... ) Kirchhoff se Spannings (us) Wet geld óók nog steeds, sodat: V t V RA V A V A = 0 Q 1 D 1 Q 2 D 2 A 1 V t V RA V A met: V t = D, V RA = V A = 0 en 51 / / 105

14 Twee-kwadrant GS-GS Omsetter Vierde Kwadrant werking Twee-kwadrant GS-GS Omsetter (vervolg... ) Kirchhoff se Stroom (Knooppunt) Wet geld nog steeds, sodat: = I Q2 I D1 Q 1 I D1 A 1 met: I Q2 = (1 D) en I Q2 D 2 I D1 = D 53 / / 105 Twee-kwadrant GS-GS Omsetter Vierde Kwadrant werking Twee-kwadrant GS-GS Omsetter (vervolg... ) Kirchhoff se Spannings (us) Wet geld óók nog steeds, sodat: Q 1 D 1 Q 2 D 2 A 1 V t V RA V A met: V A V RA V t = 0 V A = 0, V RA = V t = D en 55 / / 105

15 Voorbeeld Voorbeeld I Vir die voorbeeld is: die GS-busspanning, = 100 V die skakelfrekwensie, f = 5 khz die dienssikklus, D = 0,2 die ankerweerstand, = 2 Ω die ankerinduktansie, = 10 mh die GS-motor se teen-emk, = 30 V Gevolglik is: Die gemiddelde uittreespanning van die GS GS omsetter, V t = D = 20 V Die ankerstroom, = V t = 5 A Die GS-motor werk dus in die 4 de kwadrant Ten einde die stroomrimpel uit te werk, word die stroombaan (in sy bestendige toestand) geanaliseer Voorbeeld (vervolg... ) Dus wanneer D 1 gelei, i.e. AAN is, in die DT tyd (omdat die stroom negatief is): v A DT = t = DT f = D = V DT D f = ( )D f 80 0,2 = = 320 ma 57 / / 105 Voorbeeld (vervolg... ) en wanneer Q 2 gelei, i.e. AAN is, in die (1 D)T tyd (omdat die stroom negatief is) v A (1D)T = t = (1 D)T f = (1 D) V A (1D)T (1 D) = f = ( )(1 D) f 20 0,8 = = 320 ma Voorbeeld (vervolg... ) Voorbeeld II Vir die voorbeeld verander ons net: Die dienssikklus, D = 0,6 Gevolglik is: Die GS-busspanning, = 100 V Die dienssikklus, D = 0,6 Die gemiddelde uittreespanning van die GS-GS omsetter, V t = 60 V Met GS-motor se Teen-EMK, = 30 V Volg dat die ankerstroom, = 15 A Die GS-motor werk dus in die 1 ste kwadrant Dus sal Q 1 gelei, i.e. AAN wees, in die DT tyd en D 2 in die (1 D)T tyd 59 / / 105

16 Twee-kwadrant GS-GS Omsetter Twee-kwadrant GS-GS Omsetter (vervolg... ) Twee-Kwadrant GS-GS Omsetter Q 1 D 1 Q 2 D 2 A 1 Die motor kan egter elektries gerem word, aangesien die stroom rigting deur die motor (EN) omsetter kan omruil. Dit gebeur indien die gemiddelde uittree spanning van die omsetter, V T, laer is as die Teen-EMK,, van die motor is. Met I o negatief volg dit dat T o ook negatief sal wees. Ten einde die rigting van rotasie om te ruil moet óf die veld of die ankerterminale m.b.v. n meganiese skakelaar omgeruil word. Die GS-motor ken net in een rigting loop, aangesien die uittree spanninging van die die omsetter slegs tussen 0 & kan varieer. 61 / / 105 Vier-Kwadrant GS-GS Omsetter Vier-Kwadrant GS-GS Omsetter Vier-Kwadrant GS-GS Omsetter Vier-Kwadrant GS-GS Omsetter Q 1 D 1 Q 3 D 3 Q 1 Q 3 A 1 A 1 Q 2 D 2 Q 4 D 4 Q 2 Q 4 M.b.v. n vier-kwadrant GS-GS omsetter kan die stroom deur die GS-motor negatief raak ten einde die motor elektries te rem... EN die spanning oor die GS-motor kan negatief raak ten einde die rigting van rotasie van die motor om te ruil Q 1 en Q 4 word saam AAN geskakel vir D 100 % van die tyd, en Q 2 en Q 3 word saam AAN geskakel vir (1 D) 100 % van die tyd 63 / / 105

17 Vier-Kwadrant GS-GS Omsetter (vervolg... ) Vier-Kwadrant GS-GS Omsetter Vier-Kwadrant GS-GS Omsetter (vervolg... ) Vier-Kwadrant GS-GS Omsetter Q 1 Q 3 Q 1 Q 3 A 1 A 1 Q 2 Q 4 Q 2 Q 4 Met Q 1 en Q 4 AAN in die D T tyd en met Q 2 en Q 3 AAN in die (1 D) T tyd 65 / / 105 Vier-Kwadrant GS-GS Omsetter Vier-Kwadrant GS-GS Omsetter Gemiddelde uittree spanning van n Vier-Kwadrant GS-GS Omsetter By terminaal gemeet: Vier-Kwadrant GS-GS Omsetter Ongeag of IGBTs of MOSFETs gebruik word, sal die bestendig toestand stroombaan, vir motor werking in die 1 ste kwadrant as volg daar uitsien: V T1 By terminaal gemeet: V T1 Tussen en gemeet: = D = (1 D) V T ω m τ m V T1 = D (1 D) Dus met: = (2D 1) D = 100 % V T1 = D = 50 % V T1 = 0 D = 0 % V T1 = 67 / / 105

18 Vier-Kwadrant GS-GS Omsetter (vervolg... ) vir generator or rem werking in die 2 de kwadrant as volg daar uitsien: Vier-Kwadrant GS-GS Omsetter (vervolg... ) vir generator or rem werking in die 4 de kwadrant as volg daar uitsien: V T ω m τ m V T ω m τ m vir motor werking in die 3 de kwadrant as volg daar uitsien: Met die gemiddelde klemspanning tussen T1 en T2, slegs n funksie van D & : V T ω m τ m V T = D (1 D) 69 / / 105 Vier-Kwadrant GS-GS Omsetter (vervolg... ) n Vier-Kwadrant GS-GS omsetter is dus jou ideale servo versterker : v ref v err Gc(s) v fb v c 4 th Quad. D/D V t 1 i a T K mech m R a s a E a K m K fb s T load 1 B m sj m ω m Nie-ideale gedrag Verliese in die halfgeleier skakelaars Skakelverliese ignoreer... Geleidingsverliese diodes, transistors & IGBTs kan net stroom in een rigting gelei al is hulle HARD AAN geskakel, is die spanning óór hulle nie nul nie, maar gelyk aan n sogenaamde AAN spanning... Anode (A) v AK i AK athode (K) v E I E 71 / / 105

19 Nie-ideale gedrag (vervolg... ) die geidingsverliese (afhangende van die stroomrigting) kan dus as volg bereken word: of P D = (1 D) v AK AAN Nie-ideale gedrag (vervolg... ) MOSFETS kan stroom in beide rigtings gelei al is hulle HARD AAN geskakel, is die spanning óór hulle ook nie nul nie, maar gelyk aan die produk van die stroom wat deur hulle vloei en hulle n sogenaamde AAN weerstand... Drain (D) P Q = D v E AAN Gate (G) I D Source (K) die geidingsverliese kan dus as volg bereken word: P Q = D 2 rds AAN 73 / / 105 Uittree Spanning (V T ) met IGBTs Vir n vier-kwadrant omsetter wat van IGBTs gebruik maak, lyk die stroombaan in die: AAN tyd, of D T tyd, as volg, met die stroomrigting soos aangedui, Uittree Spanning (V T ) met IGBTs (vervolg... ) Vir n vier-kwadrant omsetter wat van IGBTs gebruik maak, lyk die stroombaan in die: AF tyd of (1 D) T tyd, as volg, met die stroomrigting soos aangedui, ve v T AAN v T AF vak ve vak die IGBTs gelei nou en die klem spanning vir die D T tyd kan as volg bereken word: die diodes gelei nou en die klem spanning vir die (1 D) T tyd kan as volg bereken word: v T AAN = 2 v E v T AF = ( 2 v AK ) 75 / / 105

20 Uittree Spanning (V T ) met IGBTs (vervolg... ) Vir n vier-kwadrant omsetter wat van IGBTs gebruik maak, kan die stroombaan ook in die: AAN tyd of D T tyd, as volg daar uitsien, met die stroomrigting soos aangedui, Uittree Spanning (V T ) met IGBTs (vervolg... ) Vir n vier-kwadrant omsetter wat van IGBTs gebruik maak, kan die stroombaan in die: AF tyd of (1 D) T tyd, ook as volg daar uitsien, met die stroomrigting soos aangedui, vak ve v T AAN v T AF vak ve die diodes gelei nou en die klem spanning vir die D T tyd kan as volg bereken word: die IGBTs gelei nou en die klem spanning vir die (1 D) T tyd kan as volg bereken word: v T AAN = 2 v AK v T AF = ( 2 v E ) 77 / / 105 Uittree Spanning (V T ) met MOSFETs Uittree Spanning (V T ) met MOSFETs (vervolg... ) Vir n vier-kwadrant omsetter wat van MOSFETs gebruik maak, lyk die stroombaan in die: AAN tyd of D T tyd, as volg, met die stroomrigting soos aangedui r DS v T AAN Die MOSFETs gelei en die klem spanning vir die D T tyd kan as volg bereken word: v T AAN = 2 r DS r DS Vir n vier-kwadrant omsetter wat van MOSFETs gebruik maak, lyk die stroombaan in die AF tyd of (1 D) T tyd, as volg, met die stroomrigting soos aangedui: V s r DS v T AF Die MOSFETs gelei en die klem spanning vir die (1 D) T tyd kan as volg bereken word: v T AF = ( 2 r DS ) r DS 79 / / 105

21 Uittree Spanning (V T ) met MOSFETs (vervolg... ) Vir n vier-kwadrant omsetter wat van MOSFETs gebruik maak, kan die stroombaan in die AAN tyd of D T tyd, ook as volg daar uitsien, met die stroomrigting soos aangedui: Uittree Spanning (V T ) met MOSFETs (vervolg... ) Vir n vier-kwadrant omsetter wat van MOSFETs gebruik maak, kan die stroombaan in die AF tyd of (1 D) T tyd, ook as volg daar uitsien, met die stroomrigting soos aangedui: r DS v T AAN r DS V s r DS v T AF r DS Die MOSFETs gelei en die klem spanning vir die D T tyd kan as volg bereken word: Die MOSFETs gelei en die klem spanning vir die (1 D) T tyd kan as volg bereken word: v T AAN = 2 r DS v T AF = ( 2 r DS ) 81 / / 105 met Borsel Verliese Indien die borselspannings, V b van die GS-masjien ook in ag geneem word, sal dit nie die gemiddelde klemspanning oor die motor nie, maar slegs die gemiddelde stroom deur die motor beïnvloed, Rimpelstroom Vir n vier-kwadrant omsetter wat van IGBTs gebruik maak, lyk die volledige stroombaan in die: AAN tyd of D T tyd, as volg, met die stroomrigting soos aangedui, V b ve V T 2 V b ω m τ m A 1 V b v A V b ve met: V T = D v T AAN (1 D) v T AF die IGBTs gelei nou en die spanning oor vir die AAN tyd kan volg bereken word: = V T 2 V b v A AAN = 2 v E 2 V b 83 / / 105

22 Rimpelstroom (vervolg... ) Vir n vier-kwadrant omsetter wat van IGBTs gebruik maak, lyk die volledige stroombaan in die: AF tyd of (1 D) T tyd, as volg, met die stroomrigting soos aangedui, A 1 V V b s vak v A V b Die diodes gelei nou en die spanning oor vir die AF tyd kan volg bereken word: vak Rimpelstroom (vervolg... ) Die stroom rimpel I o sal nou om varieer. Die stroom rimpel kan as volg uitgewerk word: netso: AAN AF = v AAN T = v AAN D T = v AF (1 D) T v A AF = 2 v AK 2 V b 85 / / 105 Rimpelstroom (vervolg... ) Vir die bestendige toestand, sal: AAN = AF = I o en V A = D v A AAN (1 D) v A AF = 0 Puls Wydte Modulasie (PWM) Fitzgerald et al Hfst Puls Wydte Modulasie (PWM) Word vermag met n Puls Wydte Modulator Dit bestaan uit n dra-golf ( carrier wave ), gewoonlik in die vorm van n saagtands- of driehoeksgolf... Inligting/modulasie-sein wat die dienssiklus verwysings sein is... D out v carr v mod i.e. 25 % Diensiklus 87 / / 105

23 Puls Wydte Modulasie (PWM) (vervolg... ) D out v carr mod i.e. 75 % Diensiklus Servobeheerder GS servomotor beheer Die verband tussen die verwysingsein en die dienssiklus is lineêr. Die verband tussen die dienssiklus en die uittreespanning is ook lineêr. n Vierkwadrant Pulse Wydte Gemoduleerde GS-GS omsetter, of Servo Versterker kan dus as n suiwer aanwins, sê, K PWM gemodelleer word, met 1 f s a R a J m Bm. T load v ref v err Gc(s) v c 4 th Quad. D/D V t 1 i a T K mech m R a s a 1 B m sj m ω m v fb E a K m K fb s 89 / / 105 Vier-kwadrant GS-WS Omsetters Fitzgerald et al Hfst 10.3 GS na 1φ WS Omsetter Q 1 D 1 Q 3 D 3 Vier-kwadrant GS-WS Omsetters (vervolg... ) n Sinusvormige uittree word verkry deur die inligtings/modulasie-sein sinusvormig te varieer teen die verlangde uittree frekwensie, met die dra-golf frekwensie wat konstant bly. E s ± E s Q 2 D 2 Q 4 D 4 Aangesien beide die uittree spanning en stroom van n vier-kwadrant GS-GS omsetter positief of negatief kan wees, kan n vier-kwadrant GS-GS omsetter dus gebruik word as n GS na 1φ WS omsetter / / 105

24 Vier-kwadrant GS-WS Omsetters (vervolg... ) Driefase GS na WS Omsetters Ten einde die harmoniek inhoud van die uittree te minimeer, word n driehoek vormige dra-golf verkies bo n saagtand vormige dra-golf. Fitzgerald et al Hfst GS na 3φ WS Omsetters Vs Z Sien ook Fitzgerald et al Fig U V W n GS na 3φ WS omsetter met Vs die GS intree en U, V & W die 3φ uittree terminale. Z Sien Fitzgerald et al Fig / 105 Driefase GS na WS Omsetters (vervolg... ) 94 / 105 Digitale Beheerders EUV Die dspi30f4011/4012 van Microchip PTPER stel die teller se periode PTMR is waar die teller se waarde gestoor word EU PTON beheer hoe die teller gaan tel, net op (saagtand-golf) of op-en-af (driehoeksgolf) en oor hoeveel dooietyd daar benodig word PD1 is n diens-siklus vir fase A en beheer die PWM1H/PWM1 uittrees EV PD2 is n diens-siklus vir fase B en beheer die PWM2H/PWM2 uittrees PD3 is n diens-siklus vir fase en beheer die PWM3H/PWM3 uittrees EW 95 / / 105

25 Digitale Beheerders Die dspi30f4011/4012 van Microchip PTPER PTMR PTON PD1 PD2 PD3 stel die teller se periode is waar die teller se waarde gestoor word beheer hoe die teller gaan tel, net op (saagtand-golf) of op-en-af (driehoeksgolf) en oor hoeveel dooietyd daar benodig word is n diens-siklus vir fase A en beheer die PWM1H/PWM1 uittrees is n diens-siklus vir fase B en beheer die PWM2H/PWM2 uittrees is n diens-siklus vir fase en beheer die PWM3H/PWM3 uittrees Verstelbare Spoed Drywe (VSDs) Fitzgerald et al Hfst 11.2 & 11.3 Verstelbare Spoed Dryf (VSDs) In vorige lesings het ons al gekyk na: Drywingselektroniese beheer van driefase induksiemasjiene Volts-per-Hertz beheer van n driefase induksiemasjien Draaimoment-Spoed kenkrommes vir V/Hz beheer Regeneratiewe/Dinamiese Remming m.b.v. V/Hz beheer Die ding / black box wat hiervoor gebruik word, staan bekend as n Verstelbare Spoed Dryf of Variable Speed Drive of VSD vir kort. die hart van n VSD is n GS na 3φ WS Omsetter 97 / / 105 Verstelbare Spoed Drywe (VSDs) (vervolg... ) Verstelbare Spoed Drywe (VSDs) (vervolg... ) (i) (ii) (iii) B B 2 U V W B.g. is die skematiese blokdiagram van n Danfoss VT R F302 AutomationDrive n VSD bestaan uit die volgende basiese dele: (i) Driefase (unidireksionele) gelykrigter (ii) Rem-kapper (iii) GS na 3φ WS (bidireksionele) omsetter 99 / / 105

26 Verstelbare Spoed Drywe (VSDs) (vervolg... ) Verstelbare Spoed Drywe (VSDs) (vervolg... ) Fitzgerald et al Hfst & (Veld georienteerde) Draaimoment Beheer Verskillende gevorderde beheertegnieke bestaan waarmee die spoed en/of draaimoment van n driefase induksiemotor beheer kan word Al hierdie beheertegnieke pas basiese vektor beheer toe en word in die dq-vlak gedoen sien Bylaag f s f Basis VV plus Ramp f Motormodel I 0 θ0 Mains ~ Voltage vector generator (no load) θ Rectifier U f U θ xy ab f U θ U D = 3~ Switching logic T Interver Motor I SX0 I SY0 f oad compensator θ U comp p PWM-ASI Slip compensation I SX I SY xy ab 2 3 I u Iv Iw Fig Basis of VV plus control 101 / / 105 Uitkomste vir die lesing Jy moet nou die volgende oor drywingselektronika verstaan: weet hoe werk n diode vanuit n stelsels vlak. weet wat die verskil tussen die volgende drywingselektroniese skakelaars is: MOSFET IGBT weet wat die voordeel van n drywingselektroniese omsetter is in vergelyking met n lineêre omsetter... weet hoe werk n (enkel-kwadrant) afkapper. weet hoe hoe die golfvorms in n afkapper lyk, met spesifieke verwysing na die spanning óór en stroom déúr elke skakelaar die spanning óór en stroom déúr elke diode die spanning óór en stroom déúr die (anker-) induktor Uitkomste vir die lesing (vervolg... ) weet hoe spoedbeheer m.b.v. n enkel-kwadrant afkapper d.m.v. klemspanningsbeheer gedoen kan word. weet wat met die kwadrante van werking bedoel word. vir n gegewe kwadrant, weet of die GS-masjien as n motor of generator werk. weet hoe werk n twee-kwadrant GS-GS omsetter weet hoe hoe die golfvorms in n twee-kwadrant GS-GS omsetter lyk, met spesifieke verwysing na die spanning óór en stroom déúr elke skakelaar die spanning óór en stroom déúr elke diode die spanning óór en stroom déúr die (anker-) induktor weet hoe spoed-/rembeheer m.b.v. n twee-kwadrant GS-GS omsetter gedoen kan word. weet hoe werk n vier-kwadrant GS-GS omsetter weet hoe hoe die golfvorms in n vier-kwadrant GS-GS omsetter lyk, met spesifieke verwysing na die spanning óór en stroom déúr elke skakelaar 103 / / 105

27 Uitkomste vir die lesing (vervolg... ) die spanning óór en stroom déúr elke diode die spanning óór en stroom déúr die (anker-) induktor weet hoe spoed-/rembeheer m.b.v. n vier-kwadrant GS-GS omsetter gedoen kan word. weet hoe om die gemiddelde strome & spannings vir GS-aandryfstelsel uit te werk. weet hoe om die geleidingsverliese in n twee-kwadrant GS-GS omsetter uit te werk. weet hoe om die gemiddelde strome & spannings vir GS-aandryfstelsel uit te werk indien die AAN spannings of AAN weerstand van die IGBTs of MOSFETs in ag geneem word. 105 / 105

Elektriese Aandryfstelsels 324

Elektriese Aandryfstelsels 324 Elektriese Aandryfstelsels 324 Inleiding tot Drywingselektronika Dr. P.J. Randewijk Universiteit Stellenbosch Dep. Elektriese & Elektroniese Ingenieurswese Aanvullende Notas 1 / 105 Raamwerk 1 Inleiding

More information

Examination Copyright reserved. Eksamen Kopiereg voorbehou. Module EBN122 Elektrisiteit en Elektronika 13 November 2009

Examination Copyright reserved. Eksamen Kopiereg voorbehou. Module EBN122 Elektrisiteit en Elektronika 13 November 2009 Departement Elektriese, Elektroniese en Rekenaar-Ingenieurswese Eksamen Kopiereg voorbehou Module EBN Elektrisiteit en Elektronika 3 November 009 Department of Electrical, Electronic and Computer Engineering

More information

Semester Test 1. Semestertoets 1. Module EIR221 Elektriese Ingenieurswese 20 Augustus Module EIR221 Electrical Engineering 20 August 2010

Semester Test 1. Semestertoets 1. Module EIR221 Elektriese Ingenieurswese 20 Augustus Module EIR221 Electrical Engineering 20 August 2010 Departement Elektriese, Elektroniese en Rekenaar-Ingenieurswese Semestertoets 1 Kopiereg voorbehou Module EIR221 Elektriese Ingenieurswese 20 Augustus 2010 Department of Electrical, Electronic and Computer

More information

Kwadratiese rye - Graad 11

Kwadratiese rye - Graad 11 OpenStax-CNX module: m38240 1 Kwadratiese rye - Graad 11 Wiehan Agenbag Free High School Science Texts Project Based on Quadratic Sequences - Grade 11 by Rory Adams Free High School Science Texts Project

More information

Graad 12: Rye en Reekse

Graad 12: Rye en Reekse Graad 1: Rye en Reekse Opgestel vir LitNet deur Jeanne-Mari du Plessis In hierdie inligtingstuk gaan ons kyk na: 1. Rekenkundige rye. Meetkundige rye 3. Rekenkundige reekse 4. Meetkundige reekse 5. Sigma-notasie

More information

Oplos van kwadratiese vergelykings: die vind van die vergelyking *

Oplos van kwadratiese vergelykings: die vind van die vergelyking * OpenStax-CNX module: m39143 1 Oplos van kwadratiese vergelykings: die vind van die vergelyking * Free High School Science Texts Project Based on Solving quadratic equations: nding the equation by Free

More information

Initials & Surname / Voorletters & Van :...

Initials & Surname / Voorletters & Van :... UNIVERSITY OF PRETORIA / UNIVERSITEIT VAN PRETORIA Dept. of Electrical, Electronic & Computer Eng. / Dept. Elektriese, Elektroniese & Rekenaar-Ing. EIR 221 - NOVEMBER 2012 EXAM PART A1 / EKSAMEN DEEL A1

More information

UNIVERSITEIT VAN PRETORIA / UNIVERSITY OF PRETORIA WTW263 NUMERIESE METODES WTW263 NUMERICAL METHODS EKSAMEN / EXAMINATION

UNIVERSITEIT VAN PRETORIA / UNIVERSITY OF PRETORIA WTW263 NUMERIESE METODES WTW263 NUMERICAL METHODS EKSAMEN / EXAMINATION VAN/SURNAME : UNIVERSITEIT VAN PRETORIA / UNIVERSITY OF PRETORIA VOORNAME/FIRST NAMES : WTW26 NUMERIESE METODES WTW26 NUMERICAL METHODS EKSAMEN / EXAMINATION STUDENTENOMMER/STUDENT NUMBER : HANDTEKENING/SIGNATURE

More information

UNIVERSITEIT VAN PRETORIA / UNIVERSITY OF PRETORIA DEPT WISKUNDE EN TOEGEPASTE WISKUNDE DEPT OF MATHEMATICS AND APPLIED MATHEMATICS

UNIVERSITEIT VAN PRETORIA / UNIVERSITY OF PRETORIA DEPT WISKUNDE EN TOEGEPASTE WISKUNDE DEPT OF MATHEMATICS AND APPLIED MATHEMATICS UNIVERSITEIT VAN PRETORIA / UNIVERSITY OF PRETORIA DEPT WISKUNDE EN TOEGEPASTE WISKUNDE DEPT OF MATHEMATICS AND APPLIED MATHEMATICS VAN/SURNAME: VOORNAME/FIRST NAMES: WTW 218 - CALCULUS SEMESTERTOETS /

More information

Huiswerk Hoofstuk 22 Elektriese velde Homework Chapter 22 Electric fields

Huiswerk Hoofstuk 22 Elektriese velde Homework Chapter 22 Electric fields 1 Huiswerk Hoofstuk Elektriese velde Homework Chapter Electric fields 8 th / 8 ste HRW 1, 5, 7, 10 (0), 43, 45, 47, 53 9 th / 9 de HRW (9.6 10 18 N left, 30 N/C), 3, 8 (0), 11, 39, 41, 47, 49 Elektriese

More information

TW 214 TOETS 2 - VOORBEREIDING 2018 TEST 2 - PREPARATION

TW 214 TOETS 2 - VOORBEREIDING 2018 TEST 2 - PREPARATION TW 214 TOETS 2 - VOORBEREIDING 2018 TEST 2 - PREPARATION Die toets gaan oor die volgende onderwerpe: REFLEKSIES (GEKROMDE SPIEËLS) DETERMINANTE EIEWAARDES EN EIEWAARDE-ONTBINDING (A = SΛS 1 ) STELSELS

More information

FAKULTEIT INGENIEURSWESE FACULTY OF ENGINEERING. Volpunte: Full marks: Instruksies / Instructions

FAKULTEIT INGENIEURSWESE FACULTY OF ENGINEERING. Volpunte: Full marks: Instruksies / Instructions FAKULTEIT INGENIEURSWESE FACULTY OF ENGINEERING Elektrotegniek 143 Electro-techniques 143 Tydsduur: Duration Eksaminatore: Prof H C Reader Prof J B de Swardt Mnr P-J Randewijk 1.5 h 1 Beantwoord al die

More information

Hoofstuk 29 Magnetiese Velde a.g.v Elektriese Strome

Hoofstuk 29 Magnetiese Velde a.g.v Elektriese Strome Hoofstuk 29 Magnetiese Velde a.g.v Elektriese Strome Nadat hierdie hoofstuk afghandel is, moet die student: Magnetiese veld as gevolg van n stroom kan bereken; Die regterhandreëls kan neerskryf en toepas;

More information

Department of Mathematics and Applied Mathematics Departement Wiskunde en Toegepaste Wiskunde

Department of Mathematics and Applied Mathematics Departement Wiskunde en Toegepaste Wiskunde Department of Mathematics and Applied Mathematics Departement Wiskunde en Toegepaste Wiskunde GRADES 10 AND 11 GRADE 10 EN 11 30 July 3 Aug 2018 30 Julie 3 Aug 2018 TIME: 2 HOURS TYD: 2 URE 2012 OUTEURSREG

More information

JUNE 2005 TYD/TIME: 90 min PUNTE / MARKS: 50 VAN/SURNAME: VOORNAME/FIRST NAMES: STUDENTENOMMER/STUDENT NUMBER:

JUNE 2005 TYD/TIME: 90 min PUNTE / MARKS: 50 VAN/SURNAME: VOORNAME/FIRST NAMES: STUDENTENOMMER/STUDENT NUMBER: UNIVERSITEIT VAN PRETORIA / UNIVERSITY OF PRETORIA DEPT WISKUNDE EN TOEGEPASTE WISKUNDE DEPT OF MATHEMATICS AND APPLIED MATHEMATICS WTW 63 - NUMERIESE METHODE / NUMERICAL METHODS EKSAMEN / EXAMINATION

More information

Elektriese Stroomvloei. n Elektriese stroom bestaan uit die beweging van elektrone in n metaalgeleier.

Elektriese Stroomvloei. n Elektriese stroom bestaan uit die beweging van elektrone in n metaalgeleier. Elektriese Stroomvloei n Elektriese stroom bestaan uit die beweging van elektrone in n metaalgeleier. As jy nou die kraan oopdraai, vloei die water aan die onder kant uit. Dit gebeur omdat daar n druk-verskil

More information

VAN/SURNAME: VOORNAME/FIRST NAMES: STUDENTENOMMER/STUDENT NUMBER: Totaal / Total:

VAN/SURNAME: VOORNAME/FIRST NAMES: STUDENTENOMMER/STUDENT NUMBER: Totaal / Total: UNIVERSITEIT VAN PRETORIA / UNIVERSITY OF PRETORIA DEPARTMENT OF MATHEMATICS AND APPLIED MATHEMATICS DEPARTEMENT WISKUNDE EN TOEGEPASTE WISKUNDE WTW 15 - WISKUNDIGE MODELLERING / MATHEMATICAL MODELLING

More information

VAN / SURNAME: VOORNAME / FIRST NAMES: STUDENTENOMMER / STUDENT NUMBER: FOONNO. GEDURENDE EKSAMENPERIODE / PHONE NO. DURING EXAM PERIOD:

VAN / SURNAME: VOORNAME / FIRST NAMES: STUDENTENOMMER / STUDENT NUMBER: FOONNO. GEDURENDE EKSAMENPERIODE / PHONE NO. DURING EXAM PERIOD: UNIVERSITEIT VAN PRETORIA / UNIVERSITY OF PRETORIA DEPT WISKUNDE EN TOEGEPASTE WISKUNDE DEPT OF MATHEMATICS AND APPLIED MATHEMATICS WTW 220 - ANALISE / ANALYSIS EKSAMEN / EXAM 12 November 2012 TYD/TIME:

More information

Module ELX May 2009

Module ELX May 2009 Departement Elektriese, Elektroniese en Rekenaar-Ingenieurswese Eksamenvraestel Kopiereg voorbehou Module ELX 311 27 Mei 2009 Department of Electrical, Electronic and Computer Engineering Examination Question

More information

EXAMINATION / EKSAMEN 17 JUNE/JUNIE 2011 AT / OM 12:00 Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q6 TOTAL

EXAMINATION / EKSAMEN 17 JUNE/JUNIE 2011 AT / OM 12:00 Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q6 TOTAL UNIVERSITY OF PRETORIA / UNIVERSITEIT VAN PRETORIA FACULTY OF NATURAL AND AGRICULTURAL SCIENCES / FAKULTEIT NATUUR- EN LANDBOUWETENSKAPPE DEPARTMENT OF MATHEMATICS AND APPLIED MATHEMATICS / DEPARTEMENT

More information

NATIONAL SENIOR CERTIFICATE/NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT GRADE/GRAAD 10

NATIONAL SENIOR CERTIFICATE/NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT GRADE/GRAAD 10 NATIONAL SENIOR CERTIFICATE/NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT GRADE/GRAAD 10 TECHNICAL SCIENCES: PHYSICS (P1)/ TEGNIESE WETENSKAPPE: FISIKA (V1) EXEMPLAR/MODEL 2016 MARKS/PUNTE: 150 This memorandum consists

More information

November 2005 TYD/TIME: 90 min PUNTE / MARKS: 35 VAN/SURNAME: VOORNAME/FIRST NAMES: STUDENTENOMMER/STUDENT NUMBER: HANDTEKENING/SIGNATURE:

November 2005 TYD/TIME: 90 min PUNTE / MARKS: 35 VAN/SURNAME: VOORNAME/FIRST NAMES: STUDENTENOMMER/STUDENT NUMBER: HANDTEKENING/SIGNATURE: UNIVERSITEIT VAN PRETORIA / UNIVERSITY OF PRETORIA DEPT WISKUNDE EN TOEGEPASTE WISKUNDE DEPT OF MATHEMATICS AND APPLIED MATHEMATICS WTW 263 - NUMERIESE METODES / NUMERICAL METHODS EKSAMEN / EXAMINATION

More information

GRADE 11 - FINAL ROUND QUESTIONS GRAAD 11 - FINALE RONDTE VRAE

GRADE 11 - FINAL ROUND QUESTIONS GRAAD 11 - FINALE RONDTE VRAE GR 11 - FINL ROUN QUSTIONS - 007 GR 11 - FINL RONT VR - 007 1 QUSTION/ VRG 1 Three persons, Mr. X, Ms. Y, and Mr. Z, went fishing. Mr. X caught NO fish, Ms. Y caught five fish, and Mr. Z caught three fish

More information

Eksterne eksaminator / External examiner: Dr. P Ntumba Interne eksaminatore / Internal examiners: Prof. I Broere, Prof. JE vd Berg, Dr.

Eksterne eksaminator / External examiner: Dr. P Ntumba Interne eksaminatore / Internal examiners: Prof. I Broere, Prof. JE vd Berg, Dr. VAN / SURNAME: UNIVERSITEIT VAN PRETORIA / UNIVERSITY OF PRETORIA FAKULTEIT NATUUR- EN LANDBOUWETENSKAPPE / FACULTY OF NATURAL AND AGRICULTURAL SCIENCES DEPARTEMENT WISKUNDE EN TOEGEPASTE WISKUNDE / DEPARTMENT

More information

WTW 158 : CALCULUS EKSAMEN / EXAMINATION Eksterne eksaminator / External examiner: Me/Ms R Möller

WTW 158 : CALCULUS EKSAMEN / EXAMINATION Eksterne eksaminator / External examiner: Me/Ms R Möller Outeursreg voorbehou UNIVERSITEIT VAN PRETORIA Departement Wiskunde en Toegepaste Wiskunde Copyright reserved UNIVERSITY OF PRETORIA Department of Mathematics and Applied Maths Junie / June 005 Maksimum

More information

Department of Mathematics and Applied Mathematics Departement Wiskunde en Toegepaste Wiskunde

Department of Mathematics and Applied Mathematics Departement Wiskunde en Toegepaste Wiskunde Department of Mathematics and Applied Mathematics Departement Wiskunde en Toegepaste Wiskunde GRADES 10 AND 11 GRADE 10 EN 11 31 July 5 Aug 2017 31 July 5 Aug 2017 TIME: 2 HOURS TYD: 2 URE 2012 OUTEURSREG

More information

Department of Mathematics and Applied Mathematics Departement Wiskunde en Toegepaste Wiskunde

Department of Mathematics and Applied Mathematics Departement Wiskunde en Toegepaste Wiskunde Department of Mathematics and Applied Mathematics Departement Wiskunde en Toegepaste Wiskunde GRADES 0 AND GRADE 0 EN AUGUST 206 AUGUSTUS 206 TIME: 2 HOURS TYD: 2 URE 202 OUTEURSREG VOORBEHOU, UNIVERSITEIT

More information

[1a] 1, 3 [1b] 1, 0 [1c] 1, 3 en / and 1, 5 [1d] 1, 0 en / and 1, 0 [1e] Geen van hierdie / None of these

[1a] 1, 3 [1b] 1, 0 [1c] 1, 3 en / and 1, 5 [1d] 1, 0 en / and 1, 0 [1e] Geen van hierdie / None of these AFDELING A : MEERVOUDIGE KEUSE VRAE. 20 PUNTE Beantwoord vrae 1 tot 10 op die MERKLEESVORM se KANT 2. Indien kant 1 gebruik word sal dit nie nagesien word nie. Gebruik n sagte potlood. Jy mag nie verkeerde

More information

MATHEMATICS GRADE 10 TASK 1 INVESTIGATION Marks: 55

MATHEMATICS GRADE 10 TASK 1 INVESTIGATION Marks: 55 WISKUNDE GRAAD 10 TAAK 1 ONDERSOEK Punte: 55 MATHEMATICS GRADE 10 TASK 1 INVESTIGATION Marks: 55 INSTRUKSIES: 1. Die taak moet ingehandig word op 2 Maart 2015. 2. Beantwoord al die vrae. 3. Slegs vrae

More information

3. (d) None of these / Geen van hierdie

3. (d) None of these / Geen van hierdie SECTION A (24 marks) / AFDELING A (24 punte) The questions in Section A must be completed on SIDE 2 of the optical reader form in SOFT PENCIL. First circle your answers on this paper and then transfer

More information

Question 1. The van der Waals equation of state is given by the equation: a

Question 1. The van der Waals equation of state is given by the equation: a Kopiereg voorbehou Universiteit van retoria University of retoria Copyright reserved Departement Chemiese Ingenieurswese Department of Chemical Engineering CHEMICAL ENGINEERING CIR EKSAMEN Volpunte: Tydsduur:

More information

CAMI EDUCATION. Graad 12 Vraestel I : Rekord eksamen Punte. Lees die volgende instruksies noukeurig deur voordat die vrae beantwoord word:

CAMI EDUCATION. Graad 12 Vraestel I : Rekord eksamen Punte. Lees die volgende instruksies noukeurig deur voordat die vrae beantwoord word: CAMI Education (Pty) Ltd Reg. No. 1996/017609/07 CAMI House Fir Drive, Northcliff P.O. Bo 160 CRESTA, 118 Tel: +7 (11) 476-00 Fa : 086 601 4400 web: www.camiweb.com e-mail: info@camiweb.com CAMI EDUCATION

More information

WTW 263 NUMERIESE METODES / NUMERICAL METHODS

WTW 263 NUMERIESE METODES / NUMERICAL METHODS UNIVERSITEIT VAN PRETORIA / UNIVERSITY OF PRETORIA FAKULTEIT NATUUR- EN LANDBOUWETENSKAPPE / FACULTY OF NATURAL AND AGRICULTURAL SCIENCES DEPARTEMENT WISKUNDE EN TOEGEPASTE WISKUNDE DEPARTMENT OF MATHEMATICS

More information

NATIONAL SENIOR CERTIFICATE/ NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT

NATIONAL SENIOR CERTIFICATE/ NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT - NATIONAL SENIOR CERTIFICATE/ NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT GRADE/GRAAD 10 PHYSICAL SCIENCES: CHEMISTRY (P2) FISIESE WETENSKAPPE: CHEMIE (V2) NOVEMBER 2016 MEMORANDUM MARKS/PUNTE: 150 This memorandum consists

More information

FAKULTEIT INGENIEURSWESE FACULTY OF ENGINEERING

FAKULTEIT INGENIEURSWESE FACULTY OF ENGINEERING FAKULTEIT INGENIEURSWESE FACULTY OF ENGINEERING Vakkursus / Subject course: Toegepaste Wiskunde B264 Applied Mathematics B264 Tweede Eksamen: Desember 2010 Second Examination: December 2010 Volpunte /

More information

GRADE/GRAAD 11 NOVEMBER 2018 TECHNICAL SCIENCES P1 TEGNIESE WETENSKAPPE V1 MARKING GUIDELINE/NASIENRIGLYN

GRADE/GRAAD 11 NOVEMBER 2018 TECHNICAL SCIENCES P1 TEGNIESE WETENSKAPPE V1 MARKING GUIDELINE/NASIENRIGLYN NATIONAL SENIOR CERTIFICATE/ NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT GRADE/GRAAD 11 NOVEMBER 2018 TECHNICAL SCIENCES P1 TEGNIESE WETENSKAPPE V1 MARKING GUIDELINE/NASIENRIGLYN MARKS/PUNTE: 150 This marking guideline

More information

EXAMINATION / EKSAMEN 19 JUNE/JUNIE 2013 AT / OM 08:00

EXAMINATION / EKSAMEN 19 JUNE/JUNIE 2013 AT / OM 08:00 UNIVERSITY OF PRETORIA / UNIVERSITEIT VAN PRETORIA FACULTY OF NATURAL AND AGRICULTURAL SCIENCES / FAKULTEIT NATUUR- EN LANDBOUWETENSKAPPE DEPARTMENT OF MATHEMATICS AND APPLIED MATHEMATICS / DEPARTEMENT

More information

Funksies en Verwantskappe

Funksies en Verwantskappe UITDRUKKINGS Funksies en Verwantskappe n funksie is n verhouding tussen waardes Elke inset waarde het n spesifieke uitset waarde a) Bereken die -waardes (uitset) b) Bereken die -waarde (inset) Die vloeidiagram

More information

EKSAMEN / EXAMINATION Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 TOTAL. 2. No pencil work or any work in red ink will be marked.

EKSAMEN / EXAMINATION Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 TOTAL. 2. No pencil work or any work in red ink will be marked. 0 UNIVERSITEIT VAN PRETORIA / UNIVERSITY OF PRETORIA FAKULTEIT NATUUR- EN LANDBOUWETENSKAPPE / FACULTY OF NATURAL AND AGRICULTURAL SCIENCES DEPARTEMENT WISKUNDE EN TOEGEPASTE WISKUNDE DEPARTMENT OF MATHEMATICS

More information

NATIONAL SENIOR CERTIFICATE GRADE 12

NATIONAL SENIOR CERTIFICATE GRADE 12 NATIONAL SENIOR CERTIFICATE GRADE 1 PHYSICAL SCIENCES: PHYSICS (P1) FISIESE WETENSKAPPE: FISIKA (Vr1) SEPTEMBER 015 MEMORANDUM MARKS: 150 TIME: 3 hours This memorandum consists of 10 pages. Physical Sciences/P1

More information

VAN / SURNAME: VOORNAME / FIRST NAMES: STUDENTENOMMER / STUDENT NUMBER: HANDTEKENING / SIGNATURE: TELEFOON / TELEPHONE:

VAN / SURNAME: VOORNAME / FIRST NAMES: STUDENTENOMMER / STUDENT NUMBER: HANDTEKENING / SIGNATURE: TELEFOON / TELEPHONE: UNIVERSITEIT VAN PRETORIA / UNIVERSITY OF PRETORIA FAKULTEIT NATUUR- EN LANDBOUWETENSKAPPE / FACULTY OF NATURAL AND AGRICULTURAL SCIENCES DEPARTEMENT WISKUNDE EN TOEGEPASTE WISKUNDE DEPARTMENT OF MATHEMATICS

More information

GRADE 9 - FINAL ROUND QUESTIONS GRAAD 9 - FINALE RONDTE VRAE

GRADE 9 - FINAL ROUND QUESTIONS GRAAD 9 - FINALE RONDTE VRAE GRADE 9 - FINAL ROUND QUESTIONS - 009 GRAAD 9 - FINALE RONDTE VRAE - 009 QUESTION/ VRAAG Find the final value if an amount of R7500 is increased by 5% and then decreased by 0%. Bepaal die finale waarde

More information

NATIONAL SENIOR CERTIFICATE NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT GRADE/GRAAD 12

NATIONAL SENIOR CERTIFICATE NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT GRADE/GRAAD 12 NATIONAL SENIOR CERTIFICATE NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT GRADE/GRAAD 12 PHYSICAL SCIENCES: PHYSICS (P1) FISIESE WETENSKAPPE: FISIKA (V1) NOVEMBER 2012 MEMORANDUM MARKS/PUNTE: 150 This memorandum consists

More information

SEMESTERTOETS 1 / SEMESTER TEST 1

SEMESTERTOETS 1 / SEMESTER TEST 1 UNIVERSITEIT VAN PRETORIA / UNIVERSITY OF PRETORIA FAKULTEIT NATUUR- EN LANDBOUWETENSKAPPE / FACULTY OF NATURAL AND AGRICULTURAL SCIENCES DEPARTEMENT WISKUNDE EN TOEGEPASTE WISKUNDE DEPARTMENT OF MATHEMATICS

More information

Huiswerk Hoofstuk 23 Chapter 23 Homework

Huiswerk Hoofstuk 23 Chapter 23 Homework Huiswerk Hoofstuk 23 Chapter 23 Homework 8 th / 8ste HRW 1, 2(-72 N m 2 /C, 24 N m 2 /C, -16 N m 2 /C,, -48 N m 2 /C), 6, 11, 17, 18( 8. µc,12 µc,-5.3 µc), 22 (, 5.99 1 3 N/C), 27, 29, 35, 34, 37, 46(2.2

More information

LIMPOPO DEPARTEMENT VAN ONDERWYS LIMPOPO DEPARTMENT OF EDUCATION- LAERSKOOL WARMBAD

LIMPOPO DEPARTEMENT VAN ONDERWYS LIMPOPO DEPARTMENT OF EDUCATION- LAERSKOOL WARMBAD LIMPOPO DEPARTEMENT VAN ONDERWYS LIMPOPO DEPARTMENT OF EDUCATION- LAERSKOOL WARMBAD NSTRUKSIES: kryf jou naam en van op elke antwoordblad en jou nommer SUMMATIEWE ASSESSERING SUMMATIVE ASSESSMENT. Voltooi

More information

HOëRSKOOL STRAND WISKUNDE NOVEMBER 2016 GRAAD 11 VRAESTEL 2

HOëRSKOOL STRAND WISKUNDE NOVEMBER 2016 GRAAD 11 VRAESTEL 2 HOëRSKOOL STRAND WISKUNDE NOVEMBER 2016 TOTAAL: 150 Eksaminator: P. Olivier GRAAD 11 VRAESTEL 2 TYD: 3UUR Moderator: E. Loedolff INSTRUKSIES: 1. Hierdie vraestel bestaan uit 8 bladsye en n DIAGRAMBLAD

More information

NATIONAL SENIOR CERTIFICATE NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT GRADE/GRAAD 12

NATIONAL SENIOR CERTIFICATE NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT GRADE/GRAAD 12 NATIONAL SENIOR CERTIICATE NASIONALE SENIOR SERTIIKAAT GRADE/GRAAD 1 PHYSICAL SCIENCES: PHYSICS (P1) ISIESE WETENSKAPPE: ISIKA (V1) EXEMPLAR 014 MODEL 014 MEMORANDUM MARKS/PUNTE: 150 This memorandum consists

More information

Studentenommer: Student number: Volpunte: Full marks: 160 Open / closed book: Oopboek / toeboek: 21 Punt: Mark: BELANGRIK- IMPORTANT

Studentenommer: Student number: Volpunte: Full marks: 160 Open / closed book: Oopboek / toeboek: 21 Punt: Mark: BELANGRIK- IMPORTANT Departement Elektriese, Elektroniese en Rekenaar-Ingenieurswese Department of Electrical, Electronic and Computer Engineering Eksamen Invulvraestel Kopiereg voorbehou Vakkursus ERS220 20 November 2007

More information

NATIONAL SENIOR CERTIFICATE GRADE 11

NATIONAL SENIOR CERTIFICATE GRADE 11 NATIONAL SENIOR CERTIFICATE GRADE 11 PHYSICAL SCIENCES: PHYSICS (P1) NOVEMBER MEMORANDUM MARKS: 150 This memorandum consists of 12 pages. Physical Science P1/Memo 2 LimpopoDoE/November QUESTION 1 / VRAAG

More information

NATIONAL SENIOR CERTIFICATE/ NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT GRADE/GRAAD 10

NATIONAL SENIOR CERTIFICATE/ NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT GRADE/GRAAD 10 NATIONAL SENIOR CERTIFICATE/ NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT GRADE/GRAAD 10 PHYSICAL SCIENCES: PHYSICS (P1) FISIESE WETENSKAPPE: FISIKA (V1) NOVEMBER 2017 MARKING GUIDELINES/NASIENRIGLYNE MARKS/PUNTE: 150

More information

MEMORANDUM PHYSICAL SCIENCE/FISIESE WETENSKAPPE SEPTEMBER 2018 CW PLC COMMON PAPER 1 QUESTION A (2) 1.2 A (2) 1.3 C (2) 1.4 D (2) 1.

MEMORANDUM PHYSICAL SCIENCE/FISIESE WETENSKAPPE SEPTEMBER 2018 CW PLC COMMON PAPER 1 QUESTION A (2) 1.2 A (2) 1.3 C (2) 1.4 D (2) 1. 1 MEMORANDUM PHYSICAL SCIENCE/FISIESE WETENSKAPPE SEPTEMBER 2018 CW PLC COMMON PAPER 1 QUESTION 1 1.1 A 1.2 A 1.3 C 1.4 D 1.5 D 1.6 A 1.7 B 1.8 B 1.9 D 1.10 D [20] 2 QUESTION 2 21. 2.1.1 When a resultant/net

More information

a b

a b GRDE - FIRST ROUND QUESTIONS - 0 GRD - EERSTE RONDTE VRE - 0 QUESTION/ VRG s a decimal number, 3,% is equal to: s n desimale breuk, word 3,% geskryf as: 0,03 B 0,3 C 3, D 3, E 3 QUESTION/ VRG a63 67 73

More information

UNIVERSITEIT VAN PRETORIA / UNIVERSITY OF PRETORIA DEPT WISKUNDE EN TOEGEPASTE WISKUNDE DEPT OF MATHEMATICS AND APPLIED MATHEMATICS

UNIVERSITEIT VAN PRETORIA / UNIVERSITY OF PRETORIA DEPT WISKUNDE EN TOEGEPASTE WISKUNDE DEPT OF MATHEMATICS AND APPLIED MATHEMATICS UNIVERSITEIT VAN PRETORIA / UNIVERSITY OF PRETORIA DEPT WISKUNDE EN TOEGEPASTE WISKUNDE DEPT OF MATHEMATICS AND APPLIED MATHEMATICS WTW 211 : LINEÊRE ALGEBRA / LINEAR ALGEBRA SEMESTERTOETS 1 / SEMESTER

More information

Generalised density function estimation using moments and the characteristic function

Generalised density function estimation using moments and the characteristic function Generalised density function estimation using moments and the characteristic function Gerhard Esterhuizen Thesis presented in partial fulfilment of the requirements for the degree of Master of Science

More information

NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT GRAAD 10

NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT GRAAD 10 NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT GRAAD 10 WISKUNDE V MODEL 01 MEMORANDUM PUNTE: 100 Hierdie memorandum bestaan uit 10 bladsye. Wiskunde/V DBE/01 LET WEL: Indien 'n kandidaat 'n vraag TWEEKEER beantwoord, sien

More information

GRADE 11 - FINAL ROUND QUESTIONS GRAAD 11 - FINALE RONDTE VRAE

GRADE 11 - FINAL ROUND QUESTIONS GRAAD 11 - FINALE RONDTE VRAE GRE - FINL ROUN QUESTIONS - 9 GR - FINLE RONTE VRE - 9 QUESTION/ VRG 6 Which of the following is not a factor of x? 6 Watter een van die volgende is nie 'n faktor van x nie? x + x x + x + x+ E x QUESTION/

More information

UNIVERSITY OF PRETORIA

UNIVERSITY OF PRETORIA UNIVERSITY OF PRETORIA FACULTY OF ENGINEERING, BUILT ENVIRONMENT AND INFORMATION TECHNOLOGY Student Number: Name: Surname: Email: Contact Number: Signature: Subject: MPR212: Programming and Date Processing

More information

Eksperiment ROT: Rotation Kinematics. Experiment ROT: Rotation Kinematics

Eksperiment ROT: Rotation Kinematics. Experiment ROT: Rotation Kinematics Experiment ROT: Rotation Kinematics Introduction: In this experiment you will investigate the rotation of a disc slowed down by friction. Eksperiment ROT: Rotation Kinematics Inleiding: In hierdie eksperiment

More information

ELEKTRIESE TEGNOLOGIE

ELEKTRIESE TEGNOLOGIE NATIONAL SENIOR CERTIFICATE GRAAD 10 ELEKTRIESE TEGNOLOGIE MEI JUNIE 2015 PUNTE: 150 TYD: 2 ure Hierdie vraestel bestaan uit 7 bladsye. 2 INSTRUKSIES: 1. Hierdie vraestel bestaan uit VYF vrae. 2. Beantwoord

More information

3. How many gadgets must he make and sell to make a profit of R1000?

3. How many gadgets must he make and sell to make a profit of R1000? The Entrepreneur An entrepreneur starts a new business. He manufactures gadgets at a cost of 4x + 200 rands and then sells them for 5,50x rands, where x is the number of gadgets produced. Profit = Income

More information

Eksamen Invulvraestel Kopiereg voorbehou. Exam Fill in paper Copyright reserved. Linear Systems ELI November 2010

Eksamen Invulvraestel Kopiereg voorbehou. Exam Fill in paper Copyright reserved. Linear Systems ELI November 2010 Departement Elektriese, Elektroniese en Rekenaar-Ingenieurswese Eksamen Invulvraestel Kopiereg voorbehou Lineêre Stelsels ELI0 4 November 010 Department of Electrical, Electronic and Computer Engineering

More information

GRADE/GRAAD 11 NOVEMBER 2018

GRADE/GRAAD 11 NOVEMBER 2018 NATIONAL SENIOR CERTIFICATE/ NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT GRADE/GRAAD 11 NOVEMBER 2018 TECHNICAL SCIENCES P2/TEGNIESE WETENSKAPPE V2 MARKING GUIDELINE/NASIENRIGLYN MARKS/PUNTE: 150 This marking guideline

More information

WTW 158 : CALCULUS EKSAMEN / EXAMINATION Eksterne eksaminator / External examiner: Prof NFJ van Rensburg

WTW 158 : CALCULUS EKSAMEN / EXAMINATION Eksterne eksaminator / External examiner: Prof NFJ van Rensburg Outeursreg voorbehou UNIVERSITEIT VAN PRETORIA Departement Wiskunde en Toegepaste Wiskunde Copyright reserved UNIVERSITY OF PRETORIA Department of Mathematics and Applied Maths 4 Junie / June 00 Punte

More information

GRADE 9 - FIRST ROUND QUESTIONS GRAAD 9 - EERSTE RONDTE VRAE

GRADE 9 - FIRST ROUND QUESTIONS GRAAD 9 - EERSTE RONDTE VRAE GRADE 9 - FIRST ROUND QUESTIONS - 009 GRAAD 9 - EERSTE RONDTE VRAE - 009 QUESTION/ VRAAG On Saturday, a store gives a discount of 0% on a computer valued at R9 000. On Monday, the store decides to add

More information

GRAAD 11 NOVEMBER 2012 WISKUNDIGE GELETTERDHEID V1 MEMORANDUM

GRAAD 11 NOVEMBER 2012 WISKUNDIGE GELETTERDHEID V1 MEMORANDUM Province of the EASTERN CAPE EDUCATION NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT GRAAD 11 NOVEMBER 2012 WISKUNDIGE GELETTERDHEID V1 MEMORANDUM MARKS: 100 SIMBOOL A CA C J M MA P R RT/RG S SF O VERDUIDELIKING Akkuraatheid

More information

Universiteit Stellenbosch / Stellenbosch University Toegepaste Wiskunde / Applied Mathematics B252 Assessering 1 / Assessment 1:

Universiteit Stellenbosch / Stellenbosch University Toegepaste Wiskunde / Applied Mathematics B252 Assessering 1 / Assessment 1: Universiteit Stellenbosch / Stellenbosch University Toegepaste Wiskunde / Applied Mathematics B252 Assessering 1 / Assessment 1: 2017-09-01 STUDENTENOMMER / STUDENT NUMBER NEEM KENNIS VAN DIE INLIGTING

More information

NATIONAL SENIOR CERTIFICATE GRADE 10 MATHEMATICS P3 PREPARATORY EXAMINATION 2008 NOVEMBER 2008

NATIONAL SENIOR CERTIFICATE GRADE 10 MATHEMATICS P3 PREPARATORY EXAMINATION 2008 NOVEMBER 2008 NATIONAL SENIOR CERTIFICATE GRADE 0 MATHEMATICS P3 PREPARATORY EXAMINATION 008 NOVEMBER 008 MARKS: 00 TIME: hours This question paper consists of pages and 4 diagram sheets. Mathematics/P DoE/Preparatory

More information

VAN / SURNAME: VOORNAME / FIRST NAMES: STUDENTENOMMER / STUDENT NUMBER: HANDTEKENING / SIGNATURE: SEL NR / CELL NO:

VAN / SURNAME: VOORNAME / FIRST NAMES: STUDENTENOMMER / STUDENT NUMBER: HANDTEKENING / SIGNATURE: SEL NR / CELL NO: UNIVERSITEIT VAN PRETORIA / UNIVERSITY OF PRETORIA FAKULTEIT NATUUR- EN LANDBOUWETENSKAPPE / FACULTY OF NATURAL AND AGRICULTURAL SCIENCES DEPARTEMENT WISKUNDE EN TOEGEPASTE WISKUNDE / DEPARTMENT OF MATHEMATICS

More information

NATIONAL SENIOR CERTIFICATE NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT GRADE/GRAAD 12 JUNE/JUNIE 2018 MATHEMATICS P1/WISKUNDE V1 MARKING GUIDELINE/NASIENRIGLYN

NATIONAL SENIOR CERTIFICATE NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT GRADE/GRAAD 12 JUNE/JUNIE 2018 MATHEMATICS P1/WISKUNDE V1 MARKING GUIDELINE/NASIENRIGLYN NATIONAL SENIOR CERTIFICATE NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT GRADE/GRAAD JUNE/JUNIE 08 MATHEMATICS P/WISKUNDE V MARKING GUIDELINE/NASIENRIGLYN MARKS/PUNTE: 50 This marking guideline consists of 5 pages./ Hierdie

More information

Funksies en grafieke - Graad 10 *

Funksies en grafieke - Graad 10 * OpenStax-CNX module: m38475 1 Funksies en grafieke - Graad 10 * Thinus Ras Free High School Science Texts Project Based on Functions and graphs - Grade 10 by Free High School Science Texts Project Heather

More information

y =3x2 y 2 x 5 siny x y =6xy2 5x 4 siny

y =3x2 y 2 x 5 siny x y =6xy2 5x 4 siny Skeibare PDVs/ Separable PDEs SLIDE 1/9 Parsiële afgeleides f ( x, y) Partial derivatives y f y x f x Voorbeeld/Example:f(x,y)=x 2 y 3 +x 5 cosy f x =2xy3 +5x 4 cosy; f y =3x2 y 2 x 5 siny 2 f x 2=2y3

More information

Die Wonderwerke van Jesus

Die Wonderwerke van Jesus Bybel vir Kinders bied aan Die Wonderwerke van Jesus Geskryf deur: Edward Hughes Ge-illustreer: Byron Unger; Lazarus Aangepas deur: E. Frischbutter; Sarah S. Vertaal deur: Yvette Brits Vervaardig deur:

More information

CHM 215 Eksamen / Examination

CHM 215 Eksamen / Examination CHM 215 Eksamen / Examination Fakulteit Natuur- & Landbouwetenskappe Departement Chemie 09/06/2009 Tyd / Time: 150 min Punte / Marks: 100 (+2) INTERNE EKSAMINATRE / INTERNAL EXAMINERS: EKSTERNE EKSAMINATRE

More information

PHYSICAL SCIENCES P1 (PHYSICS) FISIESE WETENSKAPPE V1 (FISIKA)

PHYSICAL SCIENCES P1 (PHYSICS) FISIESE WETENSKAPPE V1 (FISIKA) PREPARATORY EXAMINATION VOORBEREIDENDE EKSAMEN GRADE 1/GRAAD 1 PHYSICAL SCIENCES P1 (PHYSICS) FISIESE WETENSKAPPE V1 (FISIKA) SEPTEMBER 016 MEMORANDUM MARKS/PUNTE: 150 This memorandum consists of 14 pages.

More information

NATIONAL SENIOR CERTIFICATE/ NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT GRADE/GRAAD 11

NATIONAL SENIOR CERTIFICATE/ NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT GRADE/GRAAD 11 NATIONAL SENIOR CERTIFICATE/ NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT GRADE/GRAAD 11 PHYSICAL SCIENCES: PHYSICS (P1) FISIESE WETENSKAPPE: FISIKA (V1) NOVEMBER 2017 MARKING GUIDELINES/NASIENRIGLYNE MARKS/PUNTE: 150

More information

JAKKALS ROEP KURSUS JUNE 2016

JAKKALS ROEP KURSUS JUNE 2016 JAKKALS ROEP KURSUS JUNE 2016 Thanks guys for a great time, it was a blast, thanks kindly for the references also, I am glad I could teach you methods that work. We had such good response I never even

More information

Eksamen Invulvraestel Kopiereg voorbehou. Examination Fill in paper Copyright reserved. Vakkursus ERS November 2008

Eksamen Invulvraestel Kopiereg voorbehou. Examination Fill in paper Copyright reserved. Vakkursus ERS November 2008 Departement Elektriese, Elektroniese en Rekenaar-Ingenieurswese Department of Electrical, Electronic and Computer Engineering Eksamen Invulvraestel Kopiereg voorbehou Vakkursus ERS220 22 November 2008

More information

17 Teorie van Berekening

17 Teorie van Berekening 17 Teorie van Berekening 17.1 Foundations of Computer Science Cengage Learning Doel Nadat hierdie hoofstuk bestudeer is sal jy kan: Beskryf die Simple Language programmeertaal en definiëer basiese stellings.

More information

+ + SEPTEMBER 2016 MATHEMATICS PAPER 1 / WISKUNDE VRAESTEL 1 MEMORANDUM

+ + SEPTEMBER 2016 MATHEMATICS PAPER 1 / WISKUNDE VRAESTEL 1 MEMORANDUM SEPTEMBER 016 MATHEMATICS PAPER 1 / WISKUNDE VRAESTEL 1 MEMORANDUM NOTE: If a candidate answers a question TWICE, mark only the first one. Consistent accuracy applies in ALL aspects of the marking memorandum.

More information

GRAAD 12 SEPTEMBER 2012 WISKUNDE V3 MEMORANDUM

GRAAD 12 SEPTEMBER 2012 WISKUNDE V3 MEMORANDUM Province of the EASTERN CAPE EDUCATION NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT GRAAD SEPTEMBER 0 WISKUNDE V3 MEMORANDUM PUNTE: 00 Hierdie memorandum bestaan uit 3 bladsye. WISKUNDE V3 (SEPTEMBER 0) VRAAG. ; 4; 0;

More information

NATIONAL SENIOR CERTIFICATE/ NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT

NATIONAL SENIOR CERTIFICATE/ NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT NATIONAL SENIOR CERTIFICATE/ NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT GRADE/GRAAD 12 PHYSICAL SCIENCES: PHYSICS (P1) FISIESE WETENSKAPPE: FISIKA (V1) SEPTEMBER 2017 MARKS/PUNTE: 150 This memorandum consists of 19

More information

NATIONAL SENIOR CERTIFICATE/ NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT GRADE/GRAAD 10 PHYSICAL SCIENCES: PHYSICS (P1) FISIESE WETENSKAPPE: FISIKA (V1) NOVEMBER 2015 MEMORANDUM MARKS/PUNTE: 150 This memorandum consists

More information

Punte: Intern Marks: Internal WTW 168 : CALCULUS. EKSAMEN / EXAMINATION Eksterne eksaminator / External examiner: Me / Ms R Möller

Punte: Intern Marks: Internal WTW 168 : CALCULUS. EKSAMEN / EXAMINATION Eksterne eksaminator / External examiner: Me / Ms R Möller Outeursreg voorbehou UNIVERSITEIT VAN PRETORIA Departement Wiskunde en Toegepaste Wiskunde Copright reserved UNIVERSITY OF PRETORIA Department of Mathematics and Applied Maths November 005 Punte / Marks:35

More information

NATIONAL SENIOR CERTIFICATE GRADE 12 GRAAD 12

NATIONAL SENIOR CERTIFICATE GRADE 12 GRAAD 12 NATIONAL SENIOR CERTIFICATE GRADE 12 GRAAD 12 PHYSICAL SCIENCES: PHYSICS (P1) FISIESE WETENSKAPPE: FISIKA (V1) SEPTEMBER 2018 MARKING GUIDELINES / MEMORANDUM MARKS/ TOTAAL: 150 TIME/TYD: 3 hours / ure

More information

WTW 161 : ALGEBRA. EKSAMEN / EXAMINATION Eksterne eksaminator / External examiner: Dr F Theron

WTW 161 : ALGEBRA. EKSAMEN / EXAMINATION Eksterne eksaminator / External examiner: Dr F Theron Outeursreg voorbehou UNIVERSITEIT VAN PRETORIA Departement Wiskunde en Toegepaste Wiskunde Copyright reserved UNIVERSITY OF PRETORIA Department of Mathematics and Applied Maths November 006 Maks Punte

More information

IDEMPOTENTE VOORTBRINGERS VAN MATRIKSALGEBRAS. Magdaleen Marais

IDEMPOTENTE VOORTBRINGERS VAN MATRIKSALGEBRAS. Magdaleen Marais IDEMPOTENTE VOORTBRINGERS VAN MATRIKSALGEBRAS Magdaleen Marais IDEMPOTENTE VOORTBRINGERS VAN MATRIKSALGEBRAS MAGDALEEN SUZANNE MARAIS Tesis ingelewer ter gedeeltelike voldoening aan die graad van Magister

More information

CMY 117 SEMESTERTOETS 2 / SEMESTER TEST 2

CMY 117 SEMESTERTOETS 2 / SEMESTER TEST 2 DEPARTEMENT CHEMIE DEPARTMENT OF CHEMISTRY CMY 117 SEMESTERTOETS 2 / SEMESTER TEST 2 DATUM / DATE: 13 May / Mei 2013 PUNTE / MARKS: 100 TYD / TIME: 3 ure / hours Afdeling A / Section A: 40 Afdeling B /

More information

DEPRESSIE101. panic attacks - inside the brain TALKING about anxiety attacks. hanteer angstigheid beter snellers vir 'n paniekaanval

DEPRESSIE101. panic attacks - inside the brain TALKING about anxiety attacks. hanteer angstigheid beter snellers vir 'n paniekaanval 9 A P R I L 2 0 1 8 U I T G A W E 2 5 DEPRESSIE101 panic attacks - inside the brain TALKING about anxiety attacks hanteer angstigheid beter snellers vir 'n paniekaanval PANIC ATTACKS: INSIDE THE BRAIN

More information

OpenStax-CNX module: m Meetkunde: Meting * basis loodregte hoogte. Figure 1. Figure 2

OpenStax-CNX module: m Meetkunde: Meting * basis loodregte hoogte. Figure 1. Figure 2 OpenStax-CNX module: m39681 1 Meetkunde: Meting * Free High School Science Texts Project This work is produced by OpenStax-CNX and licensed under the Creative Commons Attribution License 3.0 1 Meting 1.1

More information

CMY 127 EKSAMEN / EXAMINATION

CMY 127 EKSAMEN / EXAMINATION DEPARTEMENT CHEMIE DEPARTMENT OF CHEMISTRY CMY 127 EKSAMEN / EXAMINATION DATUM / DATE: 20 November 2012 EKSAMINATORE: Prof. WJ Schoeman EXAMINERS: Prof. M Potgieter TYD / TIME: 3 ure / hours Prof. R Vleggaar

More information

Question / Vraag 1: [12]

Question / Vraag 1: [12] 1 Question / Vraag 1: [12] The following questions are multiple choice questions. There is only one correct answer from the choices given. Select the correct option by marking the option with a cross (X).

More information

DR. J ROSSOUW Pro In9

DR. J ROSSOUW Pro In9 THE PROBABILITY OF OCCURRENCE AND THE INTENSITY OF TROPICAL CYCLONES ALONG THE SOUTHERN AFRICAN EAST COAST by COSUS ROSSOUW Thesis prepared as part of the requirements For the degree Master in 5ngineering

More information

Semester Test 1 Semestertoets 1 FSK March 2011 / 16 Maart Time 2½ hours Max. Total 85 Marks Max Tyd 2½ ure Maks. Totaal 85 punte Maks

Semester Test 1 Semestertoets 1 FSK March 2011 / 16 Maart Time 2½ hours Max. Total 85 Marks Max Tyd 2½ ure Maks. Totaal 85 punte Maks Physics Department Fisika Departement Semester Test 1 Semestertoets 1 FSK116 16 March 011 / 16 Maart 011 Surname and initials Van en voorletters Signature Handtekening MEMO Student number Studentenommer

More information

n Voorbeeld vir die L A TEX-pakket ORiONafr.sty

n Voorbeeld vir die L A TEX-pakket ORiONafr.sty Operations Research Society of South Africa Voorlegging vir publikasie in ORiON Operasionele Navorsingsvereniging van Suid-Afrika n Voorbeeld vir die L A TEX-pakket ORiONafr.sty Identiteite van outeurs

More information

NATIONAL SENIOR CERTIFICATE NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT GRADE/GRAAD 12

NATIONAL SENIOR CERTIFICATE NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT GRADE/GRAAD 12 NATIONAL SENIOR CERTIFICATE NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT GRADE/GRAAD 1 PHYSICAL SCIENCES: PHYSICS (P1) FISIESE WETENSKAPPE: FISIKA (V1) NOVEMBER 017 MARKING GUIDELINES/NASIENRIGLYNE MARKS/PUNTE: 150 These

More information

Graad 4 NWT-afbakening 15 November Afrika, Noord-Amerika, Suid-Amerika, Asië, Europa, Australië, Antarktika

Graad 4 NWT-afbakening 15 November Afrika, Noord-Amerika, Suid-Amerika, Asië, Europa, Australië, Antarktika Graad 4 NWT-afbakening 15 November 2018 1. Noem die 3 hoofkenmerke van die Aarde. Land, water en lug 2. Wat is n kontinent? Groot areas land op die oppervlak van die Aarde. 3. Noem die 7 vastelande. Afrika,

More information

GRADE/GRAAD 12 SEPTEMBER 2018 TECHNICAL SCIENCES P2 TEGNIESE WETENSKAPPE V2 MARKING GUIDELINE/NASIENRIGLYN

GRADE/GRAAD 12 SEPTEMBER 2018 TECHNICAL SCIENCES P2 TEGNIESE WETENSKAPPE V2 MARKING GUIDELINE/NASIENRIGLYN NATIONAL SENIOR CERTIFICATE NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT GRADE/GRAAD 1 SEPTEMBER 018 TECHNICAL SCIENCES P TEGNIESE WETENSKAPPE V MARKING GUIDELINE/NASIENRIGLYN MARKS:/PUNTE: 150 This marking guideline

More information

UNIVERSITY OF PRETORIA / UNIVERSITEIT VAN PRETORIA DEPT WISKUNDE EN TOEGEPASTE WISKUNDE DEPT OF MATHEMATICS AND APPLIED MATHEMATICS

UNIVERSITY OF PRETORIA / UNIVERSITEIT VAN PRETORIA DEPT WISKUNDE EN TOEGEPASTE WISKUNDE DEPT OF MATHEMATICS AND APPLIED MATHEMATICS UNIVERSITY OF PRETORIA / UNIVERSITEIT VAN PRETORIA DEPT WISKUNDE EN TOEGEPASTE WISKUNDE DEPT OF MATHEMATICS AND APPLIED MATHEMATICS WTW 285 DISCRETE STRUCTURES DISKRETE STRUKTURE EXAMINATION EKSAMEN Internal

More information

NATIONAL SENIOR CERTIFICATE NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT GRADE/GRAAD 12

NATIONAL SENIOR CERTIFICATE NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT GRADE/GRAAD 12 NATIONAL SENIOR CERTIFICATE NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT GRADE/GRAAD 12 PHYSICAL SCIENCES: CHEMISTRY (P2) FISIESE WETENSKAPPE: CHEMIE (V2) SEPTEMBER 2018 MEMORANDUM MARKS/PUNTE: 150 This memorandum consists

More information