Lucrarea de laborator nr. 8

Transcription

1 Metode Numerice Lucrarea de laborator r. 8 I. Scopul lucrării Metoda Newto II. Coţiutul lucrării 1. Metoda tagetei 2. Metoda Newto cazul m-dimesioal III. Prezetarea lucrării III.1. Metoda tagetei Metoda tagetei este utilizată petru determiarea uei rădăcii a ecuaţiei f(x) = 0. Presupuem că f este derivabilă şi că derivata u se aulează. Rădăcia ecuaţiei este determiată ca limita uui şir. Se pleacă de la u puct x 0 dat. Presupuâd că s-a costruit termeul x -1, termeul x se determiă ca fiid abscisa itersecţiei ditre tageta la graficul fucţiei î x - 1 şi axa Ox. x x -1 99

2 Mădălia Roxaa Bueci Ecuaţia tagetei î x -1 este: y f(x -1 ) = f (x -1 )(x x -1 ) Deci itersecţia cu axa Ox se află rezolvâd sistemul Î coseciţă ( x - x ) y - f(x -1 ) = f' (x -1 ) -1 y = 0 x = x -1 - f f ' ( x 1 ) ( x ) 1. Covergeţa şirului este determiată de termeul iiţial x 0 aşa cum rezultă di următoarele două exemple: Exemplul 1: x 2 x 1 x 0 100

3 Metode Numerice Exemplul 2. x 0 x 2 x 4 x 3 x 1 Următoarea teoremă stabileşte codiţii suficiete petru covergeţa metodei tagetei. Teoremă (Metoda tagetei). Fie f : [a, b] R o aplicaţie de două ori derivabilă cu f (x) 0, f (x) 0 oricare ar fi x [a, b] şi f(a)f(b)<0. Atuci ecuaţia f(x) = 0 are o uică soluţie x*. x* poate fi obţiută ca limită a şirului (x ) defiit pri: f ( x 1 ) x = x -1 -, 1 f ' x ( ) ude x 0 [a, b] este ales astfel îcât f(x 0 )f (x 0 ) > 0. Î plus, oricare ar fi > 1 au loc următoarele iegalităţi: f ( x ) x* - x m M 2m if f ' x [a,b] 2 x* - x ( x x ) ude m 1 = ( ) şi M 2 = sup f" ( x) x x [a,b] Semificaţie geometrică. Deoarece f şi f u se aulează pe [a, b], rezultă că sut fie strict pozitive fie strict egative. Cazul 1. f > 0 (f strict covexă) 1.1 f > 0 (f strict crescătoare) 1.2 f < 0 (f strict descrescătoare)

4 Mădălia Roxaa Bueci Cazul 2. f < 0 (f strict cocavă) 2.1. f > 0 (f strict crescătoare) 2.2. f < 0 (f strict descrescătoare) a x 1 x 0 b 1.1. f > 0, f > 0 a x 0 x 1 b 1.2. f > 0, f < 0 102

5 Metode Numerice a x 0 x 1 b 2.1. f < 0, f > 0 a x 1 x 0 b 2.2. f < 0, f < 0 103

6 Mădălia Roxaa Bueci Deci petru aplicarea metodei tagetei î rezolvarea ecuaţiei f(x) = 0 trebuie stabilite itervalele de mootoie şi itervalele de covexitate/cocavitate petru fucţia f. Dacă a şi b sut capetele uui astfel de iterval şi dacă f(a)f(b)<0, atuci se alege î itervalul [a, b] u puct x 0 astfel îcât f(x 0 )f (x 0 )>0. Şirul costruit ri metoda tagetei, avâd termeul iiţial x 0 coverge la uica rădăciă a ecuaţiei f(x) = 0, situată î itervalul [a, b]. Algoritm Date de itrare: f - î codiţiile 1.1,1.2,2.1 sau 2.2 x 00 - f(x 00 )f (x 00 )>0 eps eroarea (determiă codiţia de oprire a iteraţiilor) Date de ieşire: x care verifică x - x -1 2 < eps. (x este cosiderat o aproximaţie satisfăcătoare a uicei soluţii a ecuaţiei f(x)=0) 104 x0 := x00; f ( x0) x1 : = x0 - f '( x0) cât timp x 1 x 0 2 eps execută x0 := x1; f ( x0) x1 : = x0 - ; f ' x0 ( ) Prezetăm î cotiuare o variată a acestui algoritm petru cazul î care f u verifică eapărat codiţiile suficiete de covergeţă. Itroducem ca dată suplimetară de itrare umărul maxim de termei di şir ce urmează a fi calculaţi (Nmax). Codiţia de oprire se trasformă x - x -1 2 < eps sau > Nmax x0 := x00; f ( x0) x1 : = x0 - f '( x0) : = 1; cât timp ( x 1 x 0 2 eps ) şi ( Nmax) execută x0 := x1; f ( x0) x1 : = x0 - ; f '( x0) : = + 1;

7 Metode Numerice Trebuie verificat la ieşirea di ciclu dacă f(x1) 0. Petru a urmării covergeţa se poate afişa la fiecare pas difereţa ditre termeii cosecutivi cureţi. Proceduri MAPLE > mtageta := proc(f, x00, eps) local x0, x1; x0 := x00; x1 := evalf(x0 - f(x0)/d(f)(x0)); prit(x1, abs(x1 - x0)); while eps <= abs(x1 - x0) do x0 := x1; x1 := evalf(x0 - f(x0)/d(f)(x0)); prit(x1, abs(x1 - x0)) od; RETURN(x1) ed; > mtagetan := proc(f, x00, eps, Nmax) local x0, x1, ; x0 := x00; x1 := x0 - f(x0)/d(f)(x0); := 1; prit(x1, abs(x1 - x0)); while eps <= abs(x1 - x0) ad < Nmax do x0 := x1; x1 := x0 - f(x0)/d(f)(x0); prit(x1, abs(x1 - x0)); := + 1 od; prit(`numar de termei calculati`, ); RETURN(x1) ed; Exemple de utilizare a procedurilor > with(plots); > plot(exp(x)+2*x+1,x); 105

8 Mădălia Roxaa Bueci > plot(exp(x)+2*x+1,x=-2..2); > f1:=(x->exp(x)+2*x+1); f1 := x -> e x + 2 x + 1 > mtageta(f1,0.1, ); , , , , > fsolve(f1(x),x); > plot(si(x)+x-1,x,color=black); 106

9 Metode Numerice > f2:=(x->si(x)+x-1); > mtageta(f2,1.1, ); f2 := x -> si(x) + x , , , , > fsolve(f2(x),x); > mtagetan(f2,-10.1, ,10); , , , , , , , , , , Numar de termei calculati,

10 Mădălia Roxaa Bueci > f2( ); > plot(x^3-3*x^2+3*x-1,x); > plot(x^3-3*x^2+3^x-1,x=-2..2); > plot(x^3-3*x^2+3^x-1,x= ); 108

11 Metode Numerice > f3:=(x->x^3-3*x^2+3^x-1); f3 := x -> x 3-3 x > mtageta(f3,-0.2, ); , , , , , > mtageta(f3,0.6, ); , , , , , > mtageta(f3,1.2, ); , , , , , ,

12 Mădălia Roxaa Bueci > fsolve(f3(x),x); III.2. Metoda Newto cazul m-dimesioal Metoda Newto este o geeralizare a metodei tagetei prezetată î secţiuea precedetă. Este o metodă iterativă de rezolvare a uor ecuaţii de forma f(x) = 0, ude f : G R m, G R m. Metoda Newto este o metodă frecvet folosită deoarece este foarte rapid covergetă. Coveim să otăm cu x 1, x 2,, x, u şir de elemete di R m. Rezervăm idicii iferiori petru a desema compoetele uui elemet x = (x 1, x 2,,x m ) di R m. Dacă f : G R m este o fucţie difereţiabilă pe G, vom idetifica difereţiala de ordiul I a lui f î x, f (x), cu matricea f i ( x) x j 1 i, j m umită jacobiaul lui f î x. Metoda Newto costă î aproximarea soluţiei ecuaţiei cosiderate cu x, ude 110 x ( f ' ( x ) f ( x ) = x (*) iar aproximaţia iiţială x 0 G este suficiet de apropiată de soluţia ecuaţiei. sau echivalet Observaţii. 1) Amplificâd relaţia (*) cu f (x ) rezultă m j= 1 f i f ' + 1 ( x )( x x ) = f ( x ) ( x ) ( + 1 ) = ( x x f x ) x j j j i (**), i = 1,2,, m Dacă se foloseşte relaţia (*) petru determiarea lui x +1 este ecesar să se calculeze iversa matricei f (x ). Dacă se foloseşte relaţia (**), este ecesar să se rezolve u sistem liiar cu m ecuaţii, şi ecuoscutele

13 Metode Numerice k + 1 k k x = x x, k = 1,,m. Î ambele cazuri, se îlocuieşte rezolvarea sistemului eliiar pri succesivă a uor sisteme liiare. 2) Ua di dificultăţile metodei este ecesitatea determiării f i derivatelor parţiale ( x), compoetele matricei f (x) (dacă se utilizează x j MAPLE aceasta u e o dificultate majoră). O posibilitate de elimiare a acestei dificultăţi este aproximarea derivatelor parţiale pri difereţe fiite f i x j 1 j ( x) ( f ( x + h e ) f ( x) ) = ( x) ude h ij sut parametri specifici discretizării cosiderate, iar 0 h ij i ij i ij 0 e j = 1 j 0 0 sut vectorii bazei caoice. Î acest fel f (x) se îlocuieşte pri J(x) = ( ij (x)) 1 i,j m Metoda obţiută î acest caz se umeşte metoda iterativă discretă a lui Newto: x ( J( x ) f ( x ) = x. Ca şi î cazul metodei tagetei covergeţa metodei depide de alegerea aproximaţiei iiţiale. Aproximaţia iiţială tebuie luată cât mai aproape de soluţia problemei, evetual utiliyâd o altă metodă de găsire a soluţiei. Î următoarea teoremă se presupue că s-a fixat o ormă pe R m, otată, iar pe spaţiile de operatori liiari L(R m, R m ), L(R m, L(R m, R m )) se cosideră ormele operatoriale iduse. Petru x R m şi r > 0, se otează B(x,r) mulţimea: m y R, y x < r şi cu ( x, r) { } B 0 îchiderea acestei mulţimi, adică m { y R, y x r} 111

14 Mădălia Roxaa Bueci Teoremă (Metoda Newto). Fie G R m o mulţime deschisă, f : G R m o fucţie de clasă C 2, cu proprietatea că există M > 0 astfel ca f "( x) M petru orice x G. Presupuem că ecuaţia f(x) = 0 admite o soluţie z astfel îcât f (z) să fie iversabil. Atuci petru orice q (0, 1) există r, µ > 0 astfel îcât f (x) este iversabil petru orice x B(z,r), şirul (x ), defiit pri ( f ' ( x ) f ( x ) x = x rămâe î B(z,r) oricare ar fi x 0 B(z,r) şi coverge la z. Î plus, au loc următoarele relaţii 2µ 2 x z q M 2 1 M 1 x z f ( x ) x x. µ 2µ Pritre dezavatajele acestei metode se află ecesitatea calculării la fiecare pas a iversei uei matrice, f (x ), sau evetual a rezolvării uui sistem de ecuaţii liiare (aşa cum remarcam mai îaite). U alt dezavataj este localizarea teoretică a procesului iterativ îtr-o veciătate a soluţiei căutate. Metoda Newto simplificată îlătură primul icoveiet. Această variată a metodei costă î aproximarea soluţiei cu cu x, ude x 0, c G, şi x ( f '() c ) f ( x ) = x (***) Următoarea teoremă stabileşte codiţii suficiete de covergeţă a acestei metode. Teoremă (Metoda Newto simplificată). Fie G R m o mulţime deschisă, f : G R m o fucţie de clasă C 2, cu proprietatea că există M > 0 astfel ca f "( x) M petru orice x G. Presupuem că ecuaţia f(x) = 0 admite o soluţie z astfel îcât f (z) să fie iversabil. Atuci petru orice q (0, 1) există r, µ, L > 0 astfel îcât f (x) este iversabil petru orice x B(z,r), şirul (x ), defiit pri ( f '() c ) f ( x ) x = x rămâe î B(z,r) oricare ar fi x 0 B(z,r) şi coverge la z. Î plus, au loc următoarele relaţii 0 x z q x z ( ) 2 1 L + 1 x z f x x x. µ µ Metoda Newto Katorovici u localizează procesul iterativ îtr-o veciătate a soluţiei problemei. Metoda Newto Katorovici costă î aproximarea rădăciii ecuaţiei cosiderate cu cu x, ude 112

15 + 1 Metode Numerice 1 ( f ' ( x ) f ( x ) x = x (****) iar aproximaţia iiţială x 0 G satisface codiţiile di teorema următoare. Teoremă (Metoda Newto-Katorovici). Fie G R m o mulţime deschisă, f : G R m o fucţie de clasă C 2, cu proprietatea că există M > 0 astfel ca f "( x) M petru orice x G. Presupuem că există x 0 G şi există a, b >0 astfel îcât: ude r = f (x 0 0 ) este iversabilă şi ( f ' ( x ) ( f ' ( x ) f ( x ) abm < 2 1 ( x, r) B 0 G 1 am 1 2abM. b a Atuci ecuaţia f(x) = 0 are o uică soluţie z î ( x, r) este corect defiit pri ( f ' ( x ) f ( x ) B 0, şirul (x ), x = x, 0, rămâe î B(x 0,r) şi coverge la z. Î plus, are loc următoarea relaţie b x z, Proceduri MAPLE Parametrii procedurii mewto (de mai jos) sut m = dimesiuea spaţiului pe care se lucrează, i.e umărul de ecuoscute (respectiv umărul de ecuaţii) f = vectorul ce coţie compoeetele fucţiei f (se presupue că se rezolvă sistemul f(x) = 0) v = vectorul ecuoscutelor x00 = termeul iiţial di şirul defiit de (**) eps = eroarea Nmax = umărul maxim de termei di şir ce vor fi calulaţi Se calculează termei, cu verificâd ( x < eps) sau ( Nmax). x 1 113

16 114 Mădălia Roxaa Bueci Î procedura mewto apar câteva comezi pe care u le-am folosit î lucrările precedete. Comada >subs(expr1,expr2); substituie subexpresia expr1 î expresia expr2. Comada >jacobia(f,v); calculează jacobiaul lui f. Este o comadă ce apaţie pachetului lialg. Comada >orm(a,); calculează orma ( =1,2,ifiity) a vectorului (sau matricei) a. Este de asemeea o comada ce aparţie pachetului lialg. > mewto := proc(m, f, v, x00, eps, Nmax) local x1, x0, dx, b, fx, fx1,, i, j, ex, r; x0 := x00; x1 := vector(m); dx := vector(m); b := vector(m); fx := jacobia(f, v); fx1 := matrix(m, m); ex := seq(v[i] = x0[i], i = 1.. m); for i to m do for j to m do fx1[i, j] := evalf(subs(ex, fx[i, j])) od od; for i to m do b[i] := evalf(-subs(ex, f[i])) od; dx := lisolve(fx1, b, 'r'); if r <> m the prit(`metoda u se aplica`); RETURN(NULL) fi; for i to m do x1[i] := x0[i] + dx[i] od; := 1; prit(x1, orm(dx, ifiity)^2); while eps <= orm(dx, ifiity)^2 ad < Nmax do x0 := x1; ex := seq(v[i] = x0[i], i = 1.. m); for i to m do for j to m do fx1[i, j] := evalf(subs(ex, fx[i, j])) od od; for i to m do b[i] := evalf(-subs(ex, f[i])) od; dx := lisolve(fx1, b, 'r');

17 Metode Numerice if r = 0 the prit(`metoda u se aplica`); RETURN fi; for i to m do x1[i] := x0[i] + dx[i] od; := + 1; prit(x1, orm(dx, ifiity)^2) od; prit(`numar de pasi`, ); ex := seq(v[i] = x1[i], i = 1.. m); for i to m do b[i] := evalf(subs(ex, f[i])) od; prit(`valoarea fuctiei`, b); prit(`orma valorii fuctiei`, orm(b, ifiity)); RETURN(evalm(x1)) ed; Procedura mewtosimplif de mai jos poate fi folosită petru rezolvarea uui sistem pri metoda Newto simplificată. Parametrii procedurii mewtosimplif sut m = dimesiuea spaţiului pe care se lucrează, i.e umărul de ecuoscute (respectiv umărul de ecuaţii) f = vectorul ce coţie compoeetele fucţiei f (se presupue că se rezolvă sistemul f(x) = 0) v = vectorul ecuoscutelor x00 = termeul iiţial di şirul defiit de (***) c = puctul î care se evaluează iversa matricei jacobiee eps = eroarea Nmax = umărul maxim de termei di şir ce vor fi calulaţi Se calculează termei, cu verificâd ( x < eps) sau ( Nmax). x + 1 >mewtosimplif := proc(m, f, v, x00, c, eps, Nmax) local x1, x0, b, dx, fx, fx1,, i, j, ex, r; x0 := x00; x1 := vector(m); b := vector(m); dx := vector(m); fx := jacobia(f, v); fx1 := matrix(m, m); ex := seq(v[i] = c[i], i = 1.. m); for i to m do 115

18 116 Mădălia Roxaa Bueci for j to m do fx1[i, j] := evalf(subs(ex, fx[i, j])) od od; if det(fx1) = 0 the prit(`metoda u se aplica`); RETURN(NULL) fi; fx1 := iverse(fx1); ex := seq(v[i] = x0[i], i = 1.. m); for i to m do b[i] := evalf(subs(ex, f[i])) od; for i to m do dx[i] := 0; for j to m do dx[i] := dx[i] + fx1[i, j]*b[j] od od; := 1; prit(x0, orm(dx, ifiity)^2); for i to m do x1[i] := x0[i] - dx[i] od; while eps <= orm(dx, ifiity)^2 ad < Nmax do x0 := x1; ex := seq(v[i] = x0[i], i = 1.. m); for i to m do b[i] := evalf(subs(ex, f[i])) od; for i to m do dx[i] := 0; for j to m do dx[i] := dx[i] + fx1[i, j]*b[j] od od; for i to m do x1[i] := x0[i] - dx[i] od; := + 1; prit(x0, orm(dx, ifiity)^2) od; prit(`numar de pasi`, ); ex := seq(v[i] = x0[i], i = 1.. m); for i to m do b[i] := evalf(subs(ex, f[i])) od; prit(`valoarea fuctiei`, b); prit(`orma valorii fuctiei`, orm(b, ifiity)); RETURN(evalm(x0)) ed;

19 Metode Numerice Exemple de utilizare a procedurii mewto >with(lialg); > f:=vector(2,[x^2-y,x^3-5*y]); f := [x 2 - y, x 3-5 y] > mewto(2,f,[x,y],[0.1,0.1],0.0001,9); [ , ], [ , ], [ , ], [ , ], Numar de pasi, 4 Valoarea fuctiei,[ , ] orma valorii fuctiei, [ , ] > f1:=vector(2,[x^2+y^2-1,x^3-y]); f1 := [x 2 + y 2-1, x 3 - y] > mewto(2,f1,[x,y],[0.9,0.5], ,10); [ , ], [ , ], [ , ], Numar de pasi, 3 Valoarea fuctiei, [ , ] orma valorii fuctiei, [ , ] > Digits:=25; Digits := 25 >mewto(2,f1,[x,y],[ , ],10^(- 24),10); [ , ], 117

20 Mădălia Roxaa Bueci [ , ], Numar de pasi, 2 Valoarea fuctiei, [0, 0] orma valorii fuctiei, 0 [ , ] > fsolve({f1[1],f1[2]},{x,y}); {y = , x = } > Digits:=10; Digits := 10 > mewto(2,f1,[x,y],[1,1], ,10); [ , ], [ , ], [ , ], [ , ], Numar de pasi, 4 Valoarea fuctiei, [0, ] orma valorii fuctiei, [ , ] > mewto(2,f1,[x,y],[-1,1], ,10); 118 [ , ], [ , ], [ , ], [ , ], [ , ], [ , ], [ , ], [ , ], [ , ], [ , ],

21 Metode Numerice Numar de pasi, 10 Valoarea fuctiei, [ , ] orma valorii fuctiei, [ , ] > mewto(2,f1,[x,y],[1,-1], ,10); [ , ], [ , ], [ , ], [ , ], [ , ], [ , ], [ , ], [ , ], [ , ], [ , ], Numar de pasi, 10 Valoarea fuctiei, [ , ] orma valorii fuctiei, [ , ] > mewto(2,f1,[x,y],[-1,-1], ,10); [ , ], [ , ], [ , ], [ , ], Numar de pasi, 4 Valoarea fuctiei, [0, ] orma valorii fuctiei, [ , ] >f2:=vector(3,[x+x^2-2*y*z-0.1,y-y^2+3*x*z+0.2, z+z^2+2*x*y-0.3]); f2 := [x + x 2-2 y z -.1, y y x z +.2, z + z x y -.3] > mewto(3,f2,[x,y,z],[0,0,0], ,10); [.1, -.2,.3],

22 Mădălia Roxaa Bueci [ , , ], [ , , ], [ , , ], Numar de pasi, 4 Valoarea fuctiei, [ , , ] orma valorii fuctiei, [ , , ] > fsolve({f2[1],f2[2],f2[3]},{x,y,z}); >f3:=vector(2,[x+3*log[10](x)-y^2,2*x^2-x*y-5*x+1]); ( ) ( ) l x f3 := [x + 3 l 10 - y, 2 x - x y - 5 x + 1] > mewto(2,f3,[x,y],[3.4,2.2], ,10); 120 [ , ], [ , ], [ , ], Numar de pasi, 3 Valoarea fuctiei, [ , ] orma valorii fuctiei, [ , ] > f4:=vector(2,[si(x)-y-1.32, cos(y)-x+0.5]); f4 := [si(x) - y , cos(y) - x +.5] > mewto(2,f4,[x,y],[0,0], ,10); [1.5,.18], 2.25 [ , ], [ , ], [ , ], [ , ],

23 Metode Numerice Numar de pasi, 5 Valoarea fuctiei, [ , ] orma valorii fuctiei, [ , ] > mewto(2,f4,[x,y],[10,10], ,10); [ , ], [ , ], [ , ], [ , ], [ , ], [ , ], [ , ], [ , ], [ , ], Numar de pasi, 9 Valoarea fuctiei, [ , ] orma valorii fuctiei, [ , ] > fsolve({f4[1],f4[2]},{x,y}); {x = , y = } Exemple de utilizarea a procedurii mewtosimplif >with(lialg); > f1:=vector(2,[x^2+y^2-1,x^3-y]); f1 := [x 2 + y 2-1, x 3 - y] >mewtosimplif(2,f1,[x,y],[0.9,0.5],[0.9,0.5], ,10); [.9,.5], [ , ], [ , ], [ , ], Numar de pasi, 4 Valoarea fuctiei, [ , ] orma valorii fuctiei, [ , ] 121

24 Mădălia Roxaa Bueci > Digits:=25; Digits := 25 >mewtosimplif(2,f1,[x,y],[ , ],[ , ],10^(- 24),10); [ , ], [ , ], [ , ], Numar de pasi, 3 Valoarea fuctiei, [ , ] orma valorii fuctiei, [ , ] > fsolve({f1[1],f1[2]},{x,y}); > Digits:=10; 122 {x = , y = } Digits := 10 >mewtosimplif(2,f1,[x,y],[1,1],[1,1], ,10) ;

25 Metode Numerice [1, 1], [ , ], [ , ], [ , ], [ , ], [ , ], [ , ], Numar de pasi, 7 Valoarea fuctiei, [ , ] orma valorii fuctiei, [ , ] > mewtosimplif(2,f1,[x,y],[-1,1],[-1,1], ,10); [-1, 1], [ , ], [ , ], [ , ], [ , ], [ , ], [ , ], [ , ], [ , ], [ , ], Numar de pasi, 10 Valoarea fuctiei, [ , ] orma valorii fuctiei, [ , ] > mewtosimplif(2,f1,[x,y],[1,-1],[1.5,- 1], ,10); [1, -1], [ , ], [ , ], [ , ], [ , ], [ , ], [ , ], [ , ], [ , ], [ , ],

26 Mădălia Roxaa Bueci Numar de pasi, 10 Valoarea fuctiei, [ , ] orma valorii fuctiei, [ , ] >mewtosimplif(2,f1,[x,y],[-1,-1],[-1,- 1], ,10); [-1, -1], [ , ], [ , ], [ , ], [ , ], [ , ], [ , ], Numar de pasi, 7 Valoarea fuctiei, [ , ] orma valorii fuctiei, [ , ] > f2:=vector(3,[x+x^2-2*y*z-0.1,y-y^2+3*x*z+0.2, z+z^2+2*x*y-0.3]); f2 := [x + x 2-2 y z -.1, y y x z +.2, z + z x y -.3] >mewtosimplif(3,f2,[x,y,z],[0,0,0],[0,0,0], ,10); [0, 0, 0], [ , , ], [ , , ], [ , , ],

27 Metode Numerice [ , , ], [ , , ], [ , , ], [ , , ], [ , , ], [ , , ], Numar de pasi, 10 Valoarea fuctiei, [ , , ] orma valorii fuctiei, [ , , ] > fsolve({f2[1],f2[2],f2[3]},{x,y,z}); >f3:=vector(2,[x+3*log[10](x)-y^2,2*x^2-x*y-5*x+1]); ( ) ( ) l x f3 := [x + 3 l 10 - y, 2 x - x y - 5 x + 1] >mewtosimplif(2,f3,[x,y],[3.4,2.2],[3.4,2.2], ,10); [3.4, 2.2], [ , ],

28 126 Mădălia Roxaa Bueci [ , ], Numar de pasi, 3 Valoarea fuctiei, [ , ] orma valorii fuctiei, [ , ] > f4:=vector(2,[si(x)-y-1.32, cos(y)-x+0.5]); f4 := [si(x) - y , cos(y) - x +.5] >mewtosimplif(2,f4,[x,y],[0,0],[0,0], ,10); [0, 0], [ , ], [ , ], [ , ], [ , ], [ , ], [ , ], [ , ], [ , ], [ , ], Numar de pasi, 10 Valoarea fuctiei, [ , ] orma valorii fuctiei, [ , ] >mewtosimplif(2,f4,[x,y],[10,10],[10,10], , 10); [10, 10], [ , ], [ , ], [ , ], [ , ], [ , ], [ , ], [ , ], [ , ], [ , ], Numar de pasi, 10 Valoarea fuctiei, [ , ] orma valorii fuctiei, [ , ]

29 Metode Numerice > fsolve({f4[1],f4[2]},{x,y}); {x = , y = } Probleme propuse Daţi exemple de probleme rău codiţioate. Se cuoaşte că factorul de codiţioare este J 1 ( x * ) este jacobiaul lui f î x., ude x* este rădăcia ecuaţiei f(x) = 0, iar J(x*) 127

30 128 Mădălia Roxaa Bueci