Structura matematicii (II)
|
|
- Maud Parsons
- 6 years ago
- Views:
Transcription
1 Structura matematicii (II) Oana Constantinescu Contents 1 Notiuni - denitii 1 2 Propozitii adevarate: axiome si teoreme Elemente de logica Teoreme Aplicatii - exercitii si probleme 11 1 Notiuni - denitii Pentru a introduce o notiune i se indica totalitatea proprietatilor, deci continutul notiunii, sau totalitatea obiectelor reprezentate de aceea notiune, adica sfera notiunii. Continutul notiunii este format de reectarea in gandire a insusirilor esentiale comune obiectelor, fenomenelor, etc care se constituie in notiunea respectiva. Prin insusiri esentiale intelegem acele insusiri care sunt necesare si suciente determinarii unui obiect si deosebirii lui de altele. Continutul notiunii se realizeaza prin operatia de abstractizare. Constituirea sferei unei notiuni se face mai ales prin generalizare. Rareori sfera unei notiuni se poate epuiza prin enumerarea tuturor elementelor. De exemplu, notiunea de numar natural se formeaza la elevi prin exemple, prin actiuni asupra lor (numaratoare, operatii) dar in mod evident se mizeaza pe generalizarea in zone indepartate (mii, milioane) a ceea ce s-a vericat in zonele familiare (numere mici). Intre sfera si continutul unei notiuni exista o legatura inversa: cu cat continutul este mai bogat, cu atat sfera este mai restransa (exista mai putine obiecte cu un numar mare de insusiri). De exemplu, continutul notiunii de numar prim este mai bogat decat continutul notiunii de numar natural. Deci sfera notiunii de numar prim va continuta de cea a notiunii de numar natural. Ilustrarea acestor situatii se face prin diagrame Venn-Euler si prin utilizarea simbolurilor din teoria multimilor. Astfel de ilustrari sunt utile pentru xarea cunostintelor respective. Comparand notiuni cu continut diferit, putem gasi unele note esentiale comune in care caz notiunile devin comparabile (C(A) C(B) ): de exemplu poligoanele si cercurile sunt guri coplanare. Sau, este posibil sa nu existe astfel 1
2 de note esentiale comune (C(A) C(B) = S(A) S(B) = ) si in acest caz le declaram necomparabile. De exemplu poligoanele si notiunea de combinari de m luate cate n. Notiunile comparabile pot clasicate astfel: 1. cand sferele celor doua au elemente comune S(A) S(B) spunem ca notiunile sunt concordante: identice (C(A): patrulater convex cu laturile opuse respectiv paralele, C(B) : patrulater convex cu diagonalele avand mijlocul comun, evident C(A) C(B) dar S(A) = S(B) ); una subordonata alteia ( sfera notiunii numar rational este inclusa in sfera notiunii numar real, de aceea spunem ca notiunea numar rational este subordonata celei de numar real); doua notiuni cosubordonate unei a treia notiuni (S(A) S(B) S(C) : notiunile de trapez si paralelogram sunt cosubordonate notiunii de patrulater convex); incrucisate: nici una din situatiile anterioare (notiunea de patrulater circumscriptibil si cea de patrulater inscriptibil ). 2. daca sferele notiunilor sunt disjuncte S(A) S(B) = ele sunt neconcordante: contrare ( C a.i. S(C) (S(A) S(B)) =, sunt notiuni ale caror sfere nu pot armate deodata dar pot negate concomitent; triunghiul si patratul sunt notiuni contrare, caci un triunghi nu poate patrat, si nici patratul nu poate triunghi, dar exista poligoane care nu sunt nici patrate, nici triunghiuri); contradictorii( C, S(C) (S(A) S(B)), sferele acestor notiuni nu pot nici armate, nici negate concomitent, continuturile lor negandu-se reciproc; de exemplu functia continua si cea discontinua). In matematica exista cinci metode de a deni o notiune. I Printr-un sistem axiomatic semiformalizat O notiune primara a unui sistem axiomatic este initial un simbol, dar dupa introducerea axiomelor se precizeaza continutul acestei notiuni: axiomele si teoremele deduse din ea. De exemplu, notiunea de numar natural a sistemului axiomatic al lui Peano, sau notiunea de dreapta a sistemului axiomatic al lui Hilbert. II Prin gen proxim si diferenta specica Sa presupunem ca vrem sa denim o notiune N. Ea este in general conexata cu mai multe notiuni. Spunem ca o notiune N 1 este subordonata unei notiuni N 2 daca sfera notiunii N 1 este inclusa in sfera notiunii N 2. Intr-un mod intuitiv, N 1 este mai complexa decat N 2. 2
3 De exemplu, notiunea de paralelogram este subordonata celei de patrulater. Relatia de subordonare este o relatie de ordine partiala pe multimea notiunilor. Pentru a formula denitia unei notiuni N, cautam notiunile la care ea este subordonata (mai simple decat ea), si dintre ele o alegem pe cea mai apropiata in sensul subordonarii (complexitatii) de N, numita gen proxim. De exemplu, pentru paralelogram genul proxim este patrulaterul (convex). Apoi precizam notele esentiale ce se adauga la notiunea gen proxim pentru a obtine pe N, adica diferenta specica fata de genul proxim. In exemplul anterior, diferenta specica este proprietatea de a avea laturile opuse respectiv paralele. Chiar si cu acelasi gen proxim, diferenta specica se poate da in moduri diferite. De exemplu proprietatea deca diagonalele sa aiba acelasi mijloc. Alegerea notiunii gen proxim si a diferentei specice depinde de necesitati teoretice sau didactice. Se poate intampla ca diferenta specica sa contina prea multe proprietati, in sensul ca una din ele este o consecinta a celorlalte. Denitia devine supraabundenta, si e bine sa se evite acest lucru. Dar uneori, pentru a evita demonstrarea prea complicata a dependentei unor proprietati de altele, se accepta si aceasta situatie. De exemplu, pentru a deni notiunea de grup, se cere existenta elementului neutru printr-o conditie ce ar putea slabita. III Enumerarea obiectelor din sfera Aceasta este o metoda rar folosita, caci notiunile cu o sfera nita sunt destul de rare. Intalnim exemple ca: patrulaterele particulare sunt paralelogramul, trapezul si patrulaterul convex inscriptibil. IV Desfacerea notiunii pe componente De exemplu, pentru a deni notiunea de grup, armam ca este o prereche (A, ),unde A este o multime nevida (deci am precizat una din componente) iar este o lege de compozitie : A A A cu urmatoarele proprietati:... V Prin factorizare Se considera o multime A si o relatie de echivalenta ρ pe A. Pentru ecare element a A multimea elementelor din A, echivalente cu a, adica ρ[a] = {b A/aρb} se numeste clasa de echivalenta a lui a. Se constata ca orice clasa de echivalenta este nevida si este clasa de echivalenta a ecaruia dintre elementele sale. Rezulta ca, atunci cand a parcurge A, clasele de echivalenta corespunzatoare formeaza o partitie a multimii A. Fiecare element al lui A apartine exact unei multimi din aceasta partitie. Pentru partitie se foloseste notatia A/ρ si denumirea de multime factor a lui A prin relatia de echivalenta ρ. Sunt multe exemple in materia predata in timpul liceului cand se foloseste aceasta metoda. Numarul intreg apare ca un element al multimii factor al lui N N prin relatia de echivalenta (a, b)ρ(c, d) a + d = b + c. Sau vectorul liber este o clasa de echivalenta in raport cu relatia de echipolenta pe multimea 3
4 segmentelor orientate. Dar aceasta idee de factorizare este pregatita inca din gimnaziu. Paralelismul in sens larg este o relatie de echivalenta pe multimea dreptelor unui plan dat. Clasa de echivalenta corespunzatoare poarta numele de directie. Insasi notiunea de numar natural e data ca o clasa de echivalenta in raport cu relatia de echipotenta pe multimea multimilor. Primul pas dupa introducerea unei denitii este dovedirea consistentei acesteia, altfel spus trebuie vericat ca sfera notiunii denite este nevida. In general se evidentiaza obiecte ce apartin sferei notiunii respective. In cazul unor denitii prin factorizare, unele denitii ulterioare vor folosi clasele de echivalenta, deci trebuie sa se demonstreze independenta de alegerea reprezentantilor acestor clase. 4
5 2 Propozitii adevarate: axiome si teoreme 2.1 Elemente de logica Aristotel considera ca judecata este forma logica in care se xeaza reectarea raporturilor reale prin care armam sau negam ceva despre ceva. Judecata acceptata in acest sens are structura logica formata din subiect, predicat si particula de legatura (nu confundati cu notiunile similare din gramatica!). Subiectul logic este notiunea despre care se arma sau se neaga un anumit raport. Predicatul logic este notiunea care reecta insusirile armate sau negate subiectului.particulele de legatura sunt cuvintele care exprima relatiile posibile intre subiect si predicat ca: armatia, negatia, existenta, apartenenta, cauzalitatea, etc. Dupa calitate, judecatile pot amative sau negative: S P : patratul are patru laturi, S P : functia putere nu este periodica. Nu confundati judecata negativa cu negarea unei judecati! Calitatea unei judecati se refera la si este determinata de predicat. Putem clasica judecatile si in functie de cantitate, care se refera la subiect. Avem astfel judecati singulare (Numarul π este irational transcendent), particulare (unele functii numerice sunt injective), universale (toate numerele irationale in scriere zecimala au un numar innit de zecimale). Dupa natura relatiei intre subiect si predicat, judecatile pot categorice sau ipotetice. Judecatile categorice reecta legatura neconditionata dintre subiect si predicat: cubul are 12 muchii. Cele ipotetice reecta conditiile in care are loc atribuirea predicatului catre subiect: daca un triunghi are doua laturi congruente, atunci el are si doua unghiuri congruente. Cele mai des intalnite forme in predarea matematicii sunt structurile de doua judecati categorice, legate prin daca...atunci. Cea care conditioneaza se numeste antecedent, iar cea realizata conditionat se numeste consecvent. Dupa modalitate, judecatile pot : asertorice (reecta legaturile reale si certe ale lucrurilor: solutia acuatiei 2x + 1 = 0 este x = 1 2 ), sau apodictice (oglindesc apartenenta unor insusiri care nu pot lipsi obiectului: orice solutie a ecuatiei 4n 12m = 0 in N 2 este o pereche de numere naturale, cu una din componente multiplu de 3 ). Judecatile sunt reprezentate prin propozitii logice. Asupra acestora se pot efectua diferite operatii logice: negatia: p : triunghiul este un poligon convex, p : triunghiul nu este un poligon convex; conjunctia: p : paralelogramul este un patrulater particular, q : paralelogramul este un patrulater inscriptibil, p q : arma simultan ce arma p si ce arma q : paralelogramul este un patrulater particular si paralelogramul este un patrulater inscriptibil; 5
6 disjunctia: p q arma ce arma p sau ce arma q :paralelogramul este un patrulater particular sau paralelogramul este un patrulater inscriptibil; implicatia: p q : adevarul lui p atrage adevarul lui q si falsitatea lui q atrage falsitatea lui p. Realizati tabelele de adevar pestru operatiile logice anterioare! Operatiile logice prin care se evidentiaza un adevar continut implicit intr-o judecata data sau prin care deducem un adevar din alte adevaruri deja armate sau cunoscute, constituie inferente logice. Rationamentul este o succesiune de judecati cunoscute care conduc la o judecata noua. Rationamentele pot : deductive: se pleaca de la adevaruri generale si se ajunge la un adevar particular sau la un adevar cu acelasi grad de generalitate; deductia se desfasoara in planul ideilor; daca sunt respectate legile logicii, concluziile deductiei sunt certe; acest tip de rationament este specic demonstratiei matematice; insa orice sura in lantul de judecati compromite rezultatul nal; inductive: de pleaca de la particular spre general, punctul de plecare este o etapa senzoriala, receptarea unui adevar in urma unei experiente sau un adevar particular deja stabilit; concluziile inductiei sunt doar plauzibile. In matematica, ambele tipuri de rationamente: inductiv (plauzibil) si deductiv (cert) sunt necesare, ele completandu-se unul pe altul. Un studiu interesant asupra acestor tipuri de rationamente in predarea matematicii si in activitatea de cercetare este facut de G. Polya in Matematica si rationamentele plauzibile. El arma ca ne intarim cunostintele matematice prin rationamente demonstrative, insa ne sprijinim ipotezele prin rationamente plauzibile. Rationamentele demonstrative patrund stiinta in aceeasi masura ca si matematica, insa, ca atare, ele nu sunt capabile (la fel ca matematica insasi) sa ne furnizeze cunostinte esentialmente noi despre lumea inconjuratoare. Matematica expusa intr-o forma inchegata se prezinta ca o stiinta pur demonstrativa, constand numai din demonstratii. Insa in procesul de formare, matematica seamana cu toate celelalte stiinte umane aate si ele in acest proces. Trebuie sa intuiti o teorema matematica inainte de a o demonstra; trebuie sa intuiti ideea demonstratiei inainte de a o efectua in toate detaliile ei. Trebuie sa combinati observatiile si sa urmati analogiile, trebuie sa incercati si iarasi sa incercati. Rezultatul muncii de creatie a matematicianului este un rationament demonstrativ, o demonstratie; insa demonstratia se dezvaluie cu ajutorul unui rationament plauzibil, cu ajutorul unei ipoteze. Daca predarea matematicii reecta modul in care se creeaza matematica, atunci ea trebuie sa faca loc ipotezei, inferentei plauzibile. O alta forma fundamentala de rationament este silogismul. Acesta este un rationament prin care din doua judecati numite premize se obtine o alta judecata 6
7 numita concluzie. Dintre cele doua premize una este universala. Notiunile care intra in componenta silogismului se numesc termeni si se clasica in termeni majori (cu sfera cea mai mare), premisa care contine termenul major numinduse majora, si o vom nota cu P, deoarece va predicatul concluziei. Termenul cu sfera mai mica se numeste minor, iar premisa ce contine termenul minor este premisa minora, notata cu S deoarece va subiectul concluziei. Termenul intermediar (ca sfera) se va nota cu M. Schema generala a silogismului este M P S M... S P Un exemplu extrem de cunoscut este: Toti oamenii sunt muritori. Socrate este un om. Deci Socrate este muritor. Termenul intermediar M este oameni, cel minor S este Socrate iar cel major P este muritor. Exista diferite tipuri de silogisme, nu vom insista asupra lor ci doar vom da cate un exemplu. Silogismul anterior este unul categoric. Un exemplu de silogism disjunctiv este urmatorul: Discriminantul unei ecuatii de gradul al II lea, cu coecienti reali, poate negativ, nul sau pozitiv. Discriminantul (unei ecuatii date) este nul. Deci nu este nici negativ, nici pozitiv. Un exemplu de silogism ipotetic: Daca p atunci q. Daca q atunci r. Deci: daca p atunci r. Acesta este cel mai utilizat in demonstratiile matematice. (El poate formulat astfel: din armatiile (ipoteza, axioma, teorema) p rezulta armatia (concluzia, consecita) q, etc.) Nuantarea acestui tip de silogism ipotetic conduce la diferentierea: silogism ipotetic propriu-zis, in care ambele premise sunt judecati ipotetice silogism ipotetic categoric, in care una dintre premise este ipotetica, iar cealalta premisa si concluzia sunt judecati categorice; acestea din urma pot : ponens: daca p atunci q 7
8 p (e dat, exista, e adevarat)... Deci: q ( e adevarat). tollens: daca p atunci q q fals... Deci: p fals. Observati ca modul tollens este folosit in demonstratiile prin reducere la absurd. Problematica silogismelor este mult mai complexa, dar ne oprim aici, avand in vedere si faptul ca in anul I ati urmat un curs de logica matematica. 2.2 Teoreme Deoarece in cursul anterior am explicat ce reprezinta o axioma si am dat numeroase astfel de exemple, vom trata direct celalalt tip de propozitie matematica adevarata, si anume teorema. Consideratiile urmatoare sunt preluate din [1]. Teoremele matematice sunt prezentate schematic sub forma daca p atunci q, forma transcrisa logic prin p q. (1) Consideram (1) ca teorema directa. Sunt cunoscute urmatoarele denumiri pentru propozitiile derivate din cea directa: reciproca: contrara: contrara reciprocei: q p, (2) p q, (3) q p. (4) Pentru a putea formula usor aceste propozitii derivate, de multe ori e bine ca in ipoteza p sa se distinga o serie de date ce formeaza cadrul teoremei respective. Acest cadru reprezinta o conjunctura care ofera sens propozitiei concluzie, el precizeaza de obicei o conguratie. Pe langa aceasta conguratie, in cadru sunt subintelese (fara enuntare explicita) denitii ale unor notiuni prezente in q, adevaruri acceptate (axiome sau teoreme deja demonstrate), conventii de 8
9 notatie. De aceea poate este preferabil ca forma (1) a teoremei directe sa e inlocuita cu una de tipul c (p q). (5) Vom intelege prin aceasta notatie in cadrul c are loc: daca p atunci q. Exemple: 1. T. Pitagora: cadrul c : triunghiul ABC. Propozitia p :  este unghi drept. Propozitia q : a 2 = b 2 + c 2. Observam ca tot in cadru apar notatiile cunoscute pentru lungimile laturilor opuse varfurilor unui triunghi cat si defnitia unghiului drept. 2. T. Ceva: cadrul c : triunghiul ABC, punctele M, N, P situate pe dreptele BC, CA, AB dar fara ca vreunul sa coincida cu un varf al triunghiului. Tot in cadru este inclusa denitia segmentului orientat si a raportului in care un punct imparte un segment orientat dat. Propozitia p : dreptele AM, BN, CP sunt concurente. Propozitia q : MB NC P A = MC NA P B 1. Observam ca putem construi formal o reciproca de tipul c (q p). Reciproca teoremei lui Pitagora este adevarata, si o numim atunci teorema reciproca: daca in triunghiul ABC are loc a 2 = b 2 + c 2, atunci unghiul  este drept. Se pot gasi demonstratii pentru teorema reciproca independente de cea directa, dar si demonstratia prin reducere la absurd. Daca formam acelasi tip de reciproca pentru teorema lui Ceva, observam ca ea nu mai este adevarata. Deci nu orice reciproca este o teorema! Pentru a obtine o reciproca adevarata, se inlocuieste propozitia p prin propozitia p : dreptele AM, BN, CP sunt concurente sau paralele. Astfel reciproca teoremei lui Ceva este: Fie triunghiul ABC, punctele M, N, P situate pe dreptele BC, CA, AB dar fara ca vreunul sa coincida cu un varf al triunghiului. Daca MB MC NC P A NA P B = 1 atunci dreptele AM, BN, CP sunt concurente sau paralele. Contrara unei teoreme formulate prin (5) este de tipul c ( p q). Atentie! Nu negam propozitiile matematice continute in cadru. Contrara reciprocei: c ( q p). Exercitiu: precizati care sunt contrara, respectiv contrara reciprocei pentru cele doua teoreme prezentate anterior. Care din ele sunt teoreme? 9
10 O ranare a schemei (5) este des intalnita: c (p 1 p 2 q). (6) Bineinteles ca ipoteza poate contine un numar nit de conjunctii de propozitii. Exemplu: Teorema celor trei perpendiculare: cadrul c : un plan α, o dreapta d si punctele A, B, O ce satisfac restrictiile: (r 1 ) : A / α, (r 2 ) : O / d, (r 3 ) : B d, (r 4 ) : d α, (r 5 ) : O α. Propozitia p 1 : AO α, propozitia p 2 : OB d si propozitia q : AB d. Acestei teoreme directe ii putem asocia formal doua reciproce: (R1) : c (p 1 q p 2 ), (R2) : c (q p 2 p 1 ). Reciproca (R1) este aici adevarata, dar (R2) este falsa. Este acceptata insa drept reciproca a T. celor 3 perpendiculare teorema schematizata prin c (q p 2 p 3 p 1 ), unde p 3 este AO OB. Deci se accepta ca reciproca pentru (5) o teorema de tipul c (q q p), unde q este o consecinta a lui p. Exeritiu: formulati in cuvinte cele doua reciproce. La fel pentru contrara si contrarele reciprocelor. Care sunt adevarate? Un alt tip de teoreme sunt cele cu concluzie ramicata: c q 1 q 2. (7) In aceasta situatie nu am mai precizat distinct propozitia p, ea putand interpretata ca o particularizare a cadrului. Rezolvarea acestei teoreme se reduce la rezolvarea succesiva a doua teoreme: c q 1 si c q 1 q 2. Exemplu: c: Fie OBC isoscel (OB = OC) si A (OC) a.i. OA = AB = BC. Atunci au loc urmatoarele armatii: q 1 : BOC = 36 OA ; q 2 : OC = ; q 3 : sin 18 = ; q 4 : cos 36 = Exercitiu: demonstrati teorema anterioara impartind-o in patru teoreme asa cum s-a precizat mai sus. Multe teoreme se incadreaza in schema c (p q). (8) Acest tip de teorema poate gandit in mod echivalent c (p q) (q p). Cum propozitiile ce alcatuiesc concluzia teoremei de mai sus sunt reciproce una alteia, uneori este util sa se inlocuiasca una din ele cu contrara celeilalte, 10
11 folosindu-se ca orice propozitie directa este echivalenta cu contrara reciprocei. Exemple: (T1: teorema bisectoarei interioare) c : Fie ABC si D (BC). Atunci are loc p : DAB = DAC daca si numai daca q : BD DC = c b. (T2: teorema bisectoarei exterioare) c : Fie ABC cu AB AC si E BC\[BC]. Atunci p : (AE este bisectoarea exterioara a unghiului A daca si numai daca q : BE EC = c b. O metoda de obtinere de noi teoreme interesante pornind de la doua (sau mai multe) teoreme date, este juxtapunerea teoremelor. Astfel, daca sunt formulate doua teoreme T : c s si T : c s (urmariti cele doua teoreme ale bisectoarelor), se obtine o suma a acestor teoreme: c c s s. Asa se formeaza cunoscuta teorema a celor doua bisectoare. Fie c : ABC cu AB AC, D (BC) si E BC\[BC]. Daca p : (AD si (AE sunt bisectoarele interioara, respectiv exterioara a unghiului A, atunci q : BD DC = c b = BE EC. In plus q : DAE = 90. Foarte interesanta este reciproca acestei teoreme, cunoscuta drept reciproca comuna teoremelor bisectoarelor: c (q q p), unde q BD : DC = BE EC. Exercitiu: formulati aceasta reciproca in cuvinte si demonstrati-o. Ne oprim aici cu acest mic studiu privind diferitele tipuri de teoreme. Metodele de demonstrare ale acestora vor precizate in cursul urmator, dedicat strategiilor didactice de predare a matematicii. 3 Aplicatii - exercitii si probleme Problemele constituie motivul, mijlocul si scopul invatarii matematicii scolare. Motivul, deoarece acestea suscita curiozitatea elevilor si impun acomodari cu teoria ce ajuta la rezolvari. Mijlocul, deoarece studiul exclusiv al teoriei nu poate certica in ce masura aceasta a fost insusita creativ. Scopul, deoarece majoritatea elevilor invata matematica spre a avea rezultate bune la examene, in care rezolvarea de probleme este prioritara, adesea exclusiva. [2] Va recomandam cartea Cum rezolvam o problema, G. Polya, Ed, Stiintica, Problemele didactice de matematica se impart in: probleme de aplicare (a sti sa faci); 11
12 probleme de logica (a sti sa judeci); probleme de gandire euristica (a incerca sa creezi). Bineinteles ca aceasta clasicare nu este stricta, aceeasi problema poate combina abilitatile de mai sus. In [3] H. Banea propune urmatoarea schema (gandim problema de tipul I C, prin I notand ipotezele, prin rationamentele ce formeaza demonstratia, iar prin C concluziile): Cunoscute Necunoscute Denumire orientativa 1 I,, C - exercitiu doar de vericare 2 I, C exercitiu 3 I, C exercitiu, problema 4, C I problema 5 I, C problema 6 C I, problema de descoperire 7 I, C problema de creativitate 8 - I,, C creatie 1. In aceasta grupa sunt cuprinse exercitiile de tipul: sa se arate ca ecuatia 2x + 3 = 0 are solutia x = 3 2 (chiar daca toate elementele sunt date si metoda de rezolvare este cunoscuta, totusi elevul depune efort matematic pentru a rezolva acest exercitiu); 2. de exemplu rezolvari de ecuatii sau sisteme de ecuatii; aceste doua nivele sunt cele pe care toti elevii, indiferent de anitati, ar trebui sa le atinga; 3. probleme de geometrie plana, la care se da ipoteza si concluzia si elevul trebuie sa descopere demonstratia; 4. acest tip de probleme apare foarte rar, de exemplu pentru ca o functie data sa e bine denita, cum trebuie ales domeniul acesteia? sau probleme in care se cer conditii suciente pentru ca o anumita proprietate sa aiba loc; 5. sunt problemele de inceput de capitol, care incita elevii sa gaseasca metoda cat si rezultatul: inainte ca elevii sa cunoasca formula de rezolvare a ecuatiei de gradul II, apare cerinta: rezolvati ecuatia x 2 10x + 24 = 0; aici se aplica, drept strategie, problematizarea; elevii simt ca nu au suciente cunostinte pentru a aplica o teorie cunoscuta, o metoda, o regula de calcul, si incearca sa descopere singuri solutia; 6. sunt probleme analoage celor de la 4. dar mai dicile: sa se gaseasca forma unei ecuatii de gradul... astfel incat solutiile ei sa aiba proprietatea...; 7. exemplu: faceti o problema in care sa folositi regula de trei simpla; 12
13 8. aici e vorba de stimularea elevilor sa creeze singuri probleme (de exemplu pentru Gazeta Matematica); profesorul poate dirija totusi elevul pana ce acesta capata experienta. Incheiem cu enumerarea catorva aspecte in care se manifesta rolul problemelor in invatarea matematicii: prin situatia problema se anticipeaza si se provoaca introducerea teoriei; problemele intervin direct in formarea unei notiuni; prin varietatea lor, problemele delimiteaza sfera notiunii si intelegerea ei; prin rezolvarea de probleme se formeaza priceperi si deprinderi; rezolvarea problemelor asigura feed-back-ul necesar; dezvolta capacitati de investigare si creativitate; asigura legatura cu practica, caracterul interdisciplinar; unele probleme pot avea caracter ludic. References [1] R. Branzei, D. Branzei, Asupra unor tipuri de teoreme in geometrie, Caiete Metodico - Stiintice, Universitate din Timisoara, nr. 47, 1987; [2] D. Branzei, R. Branzei, Metodica Predarii Matematicii, Paralela 45, Pitesti, 2007; [3] H. Banea, Metodica Predarii Matematicii, Paralela 45, Pitesti, 1998; [4] I. Rus, D. Varna, Metodica Predarii Matematicii, Ed. Didactica si Pedagogica, Bucuresti,
Soluţii juniori., unde 1, 2
Soluţii juniori Problema 1 Se consideră suma S x1x x3x4... x015 x016 Este posibil să avem S 016? Răspuns: Da., unde 1,,..., 016 3, 3 Termenii sumei sunt de forma 3 3 1, x x x. 3 5 6 sau Cristian Lazăr
More informationBarem de notare clasa a V-a
Barem de notare clasa a V-a Problema1. Determinați mulțimile A și B, formate din numere naturale, știind că îndeplinesc simultan condițiile: a) A B,5,6 ; b) B A 0,7 ; c) card AB 3; d) suma elementelor
More informationTeoreme de Analiză Matematică - I (teorema Weierstrass-Bolzano) 1
Educaţia Matematică Vol. 3, Nr. 1-2 (2007), 79-84 Teoreme de Analiză Matematică - I (teorema Weierstrass-Bolzano) 1 Silviu Crăciunaş, Petrică Dicu, Mioara Boncuţ Abstract In this paper we propose a Weierstrass
More informationO V E R V I E W. This study suggests grouping of numbers that do not divide the number
MSCN(2010) : 11A99 Author : Barar Stelian Liviu Adress : Israel e-mail : stelibarar@yahoo.com O V E R V I E W This study suggests grouping of numbers that do not divide the number 3 and/or 5 in eight collumns.
More informationON THE QUATERNARY QUADRATIC DIOPHANTINE EQUATIONS (II) NICOLAE BRATU 1 ADINA CRETAN 2
ON THE QUATERNARY QUADRATIC DIOPHANTINE EQUATIONS (II) NICOLAE BRATU 1 ADINA CRETAN ABSTRACT This paper has been updated and completed thanks to suggestions and critics coming from Dr. Mike Hirschhorn,
More informationEcuatii si inecuatii de gradul al doilea si reductibile la gradul al doilea. Ecuatii de gradul al doilea
Ecuatii si inecuatii de gradul al doilea si reductibile la gradul al doilea Ecuatia de forma Ecuatii de gradul al doilea a + b + c = 0, (1) unde a, b, c R, a 0, - variabila, se numeste ecuatie de gradul
More informationTeorema Reziduurilor şi Bucuria Integralelor Reale Prezentare de Alexandru Negrescu
Teorema Reiduurilor şi Bucuria Integralelor Reale Preentare de Alexandru Negrescu Integrale cu funcţii raţionale ce depind de sint şi cost u notaţia e it, avem: cost sint i ( + ( dt d i, iar integrarea
More informationProcedeu de demonstrare a unor inegalităţi bazat pe inegalitatea lui Schur
Procedeu de demonstrare a unor inegalităţi bazat pe inegalitatea lui Schur Andi Gabriel BROJBEANU Abstract. A method for establishing certain inequalities is proposed and applied. It is based upon inequalities
More information1.3. OPERAŢII CU NUMERE NEZECIMALE
1.3. OPERAŢII CU NUMERE NEZECIMALE 1.3.1 OPERAŢII CU NUMERE BINARE A. ADUNAREA NUMERELOR BINARE Reguli de bază: 0 + 0 = 0 transport 0 0 + 1 = 1 transport 0 1 + 0 = 1 transport 0 1 + 1 = 0 transport 1 Pentru
More informationSisteme cu logica fuzzy
Sisteme cu logica fuzzy 1/15 Sisteme cu logica fuzzy Mamdani Fie un sistem cu logică fuzzy Mamdani două intrări x şi y ieşire z x y SLF Structura z 2/15 Sisteme cu logica fuzzy Mamdani Baza de reguli R
More informationDivizibilitate în mulțimea numerelor naturale/întregi
Divizibilitate în mulțimea numerelor naturale/întregi Teorema îmărţirii cu rest în mulțimea numerelor naturale Fie a, b, b 0. Atunci există q, r astfel încât a=bq+r, cu 0 r < b. În lus, q şi r sunt unic
More informationGradul de comutativitate al grupurilor finite 1
Gradul de comutativitate al grupurilor finite Marius TĂRNĂUCEANU Abstract The commutativity degree of a group is one of the most important probabilistic aspects of finite group theory In this survey we
More informationFORMULELE LUI STIRLING, WALLIS, GAUSS ŞI APLICAŢII
DIDACTICA MATHEMATICA, Vol. 34), pp. 53 67 FORMULELE LUI STIRLING, WALLIS, GAUSS ŞI APLICAŢII Eugenia Duca, Emilia Copaciu şi Dorel I. Duca Abstract. In this paper are presented the Wallis, Stirling, Gauss
More informationDespre AGC cuasigrupuri V. Izbaș
Despre AGC cuasigrupuri V Izbaș 1 Introducere Se ştie că grupurile au apărut în matematică ca grupuri de automorfisme Rolul automorfismelor este remarcabil şi bine cunoscut La studierea diverselor structuri
More informationUNITATEA DE ÎNVĂȚARE 3 Analiza algoritmilor
UNITATEA DE ÎNVĂȚARE 3 Analiza algoritmilor Obiective urmărite: La sfârşitul parcurgerii acestei UI, studenţii vor 1.1 cunoaște conceptul de eficienta a unui algoritm vor cunoaste si inţelege modalitatile
More informationAvem 6 tipuri de simboluri in logica predicatelor:
Semantica Avem 6 tipuri de simboluri in logica predicatelor: Predicate: p, q, r,, p1, q2 etc. Constante: a, b, c,, z, a1, b4,, ion, mihai, labus etc. Variabile: x, y, z, x1, y1, z4 etc. Conective:,,,,
More informationUtilizarea claselor de echivalenta in analiza asistata de calculator a sistemelor cu evenimente discrete
72 Utilizarea claselor de echivalenta in analiza asistata de calculator a sistemelor cu evenimente discrete Conf.dr. Alexandru TERTISCO, ing. Alexandru BOICEA Facultatea de Automatica si Calculatoare,
More informationHabilitation Thesis. Periodic solutions of differential systems: existence, stability and bifurcations
UNIVERSITATEA BABEŞ BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Habilitation Thesis Mathematics presented by Adriana Buică Periodic solutions of differential systems: existence, stability
More informationSubiecte geometrie licenta matematica-informatica 4 ani
Class: Date: Subiecte geometrie licenta matematica-informatica 4 ani Multiple Choice Identify the letter of the choice that best completes the statement or answers the question. 1. Complementara unui subspatiu
More informationPLANIFICAREA TEMELOR LA GRUPELE DE EXCELENȚĂ DISCIPLINA MATEMATICĂ AN ȘCOLAR
PLANIFICAREA TEMELOR LA GRUPELE DE EXCELENȚĂ DISCIPLINA MATEMATICĂ AN ȘCOLAR 0-0 Grupa V. Matematică Profesor coordonator: Aldescu Alina.0.0 Operatii in N-Teorema impartirii cu rest 0..0 Patrate perfecte,cuburi
More informationRădăcina pătrată a unei matrici reale de ordinul 2
Rădăcina pătrată a unei matrici reale de ordinul Mircea Crasmareanu Mai 19, 017 ( a c Actorii acestei poveşti: matricile A = M b d (R. PROBLEMA STUDIATĂ: Există B M (R aşa încât: B = A? O astfel de matrice
More informationPROBLEME DIVERSE lecţie susţinută la lotul de 13 de Andrei ECKSTEIN Bucureşti, 25 mai 2015
PROBLEME DIVERSE lecţie susţinută la lotul de 13 de Andrei ECKSTEIN Bucureşti, 5 mai 015 I. SUBSTITUŢIA TAIWANEZĂ 1. Fie a, b, c > 0 astfel încât a bc, b ca şi c ab. Determinaţi valoarea maximă a expresiei
More informationLegi de distribuţie (principalele distribuţii de probabilitate) Tudor Drugan
Legi de distribuţie (principalele distribuţii de probabilitate) Tudor Drugan Introducere In general distribuţiile variabilelor aleatoare definite pe o populaţie, care face obiectul unui studiu, nu se cunosc.
More informationUtilizarea limbajului SQL pentru cereri OLAP. Mihaela Muntean 2015
Utilizarea limbajului SQL pentru cereri OLAP Mihaela Muntean 2015 Cuprins Implementarea operatiilor OLAP de baza in SQL -traditional: Rollup Slice Dice Pivotare SQL-2008 Optiunea ROLLUP Optiunea CUBE,
More informationPENTRU CERCURILE DE ELEVI
M.Opincariu, M.Stroe, Despre matrice şi determinanţi de ordinul doi 559 Demonstraţie. Aplicăm Propoziţia 3.5. pentru funcţia: g :[a 1,a ] (0, ), g(x) =1. Bibliografie [1]R.P.BoasJr.,M.B.Marcus,Generalizations
More informationNumere prime. O selecţie de probleme pentru gimnaziu
Numere prime O selecţie de probleme petru gimaziu Adria Zaoschi Colegiul Natioal "Costache Negruzzi" Iasi (Clasa a V-a) Determiați submulțimea B a mulțimii A 0,,,, 49, 50, formată di toate elemetele lui
More informationAPLICAŢII ALE FORMULELOR LUI NEWTON PENTRU POLINOAME SIMETRICE
DIDACTICA MATHEMATICA, Vol. 33(2015), pp. 27 37 APLICAŢII ALE FORMULELOR LUI NEWTON PENTRU POLINOAME SIMETRICE Cristina-Aida Coman Abstract. In this paper we present some applications of Newton s formulae
More informationLogică avansată pentru informatică Master Anul I, Semestrul I
Logică avansată pentru informatică Master Anul I, Semestrul I 2017-2018 Laurenţiu Leuştean Pagina web: http:unibuc.ro/~lleustean/ În prezentarea acestui curs sunt folosite parţial slideurile Ioanei Leuştean
More informationSem. I, Ioana Leustean FMI, UB
LOGICA MATEMATICĂ ŞI COMPUTAŢIONALĂ Sem. I, 2017-2018 Ioana Leustean FMI, UB Ce este logica? logike tekhne = ştiinţa raţionamentelor logos = cuvînt, raţionament A deduction is speech (logos) in which,
More informationProgramarea Dinamica. (si alte chestii adiacente) Andrei Olariu
Programarea Dinamica (si alte chestii adiacente) Andrei Olariu andrei@olariu.org Despre mine - Absolvent FMI UniBuc - Doctorand in prelucrarea limbajului natural, in special in mediul online (Twitter)
More informationAutor: Instituţia: Coordonator
Aplicaţii ale numerelor complexe în geometrie, utilizând Geogebra Mathematics consists in proving the most obvious thing in the least obvious way George Polya Autor: Instituţia: Coordonator ştiinţific:
More informationRezolvarea ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii diferenţiale ordinare (II)
Rezolvarea ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii diferenţiale ordinare (II) Metode multipas Prof.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică Suport didactic pentru disciplina
More informationReactoare chimice cu curgere piston (ideala) cu amestecare completa de tip batch (autoclava)
Reactoare chimice cu curgere piston (ideala) cu amestecare completa de tip batch (autoclava) Reactorul cu curgere ideala Toate particulele se deplaseaza intr-o directie de-a lungul reactorului, precum
More informationTeoreme de compresie-extensie de tip Krasnoselskii şi aplicaţii (Rezumatul tezei de doctorat)
Teoreme de compresie-extensie de tip Krasnoselskii şi aplicaţii (Rezumatul tezei de doctorat) Sorin Monel Budişan Coordonator ştiinţi c: Prof. dr. Radu Precup Cuprins Introducere 1 1 Generaliz¼ari ale
More informationCe este logica? Aristotel (IV î.e.n.) Gottfried Wilhelm Leibniz ( ) Visul lui Leibniz. raţionament
Ce este logica? Logică Matematică şi Computaţională Anul I, Semestrul I 2017/2018 Laurenţiu Leuştean Pagina web: http://unibuc.ro/~lleustean/ În prezentarea acestui curs sunt folosite parţial slideurile
More informationAnul I, Semestrul I 2017/2018
Logică Matematică şi Computaţională Anul I, Semestrul I 2017/2018 Laurenţiu Leuştean Pagina web: http://unibuc.ro/~lleustean/ În prezentarea acestui curs sunt folosite parţial slideurile Ioanei Leuştean
More informationMugur Acu OPERATORUL INTEGRAL LIBERA-PASCU ŞI PROPRIETĂŢILE ACESTUIA CU PRIVIRE LA FUNCŢIILE UNIFORM STELATE, CONVEXE, APROAPE CONVEXE ŞI
Mugur Acu OPERATORUL INTEGRAL LIBERA-PASCU ŞI PROPRIETĂŢILE ACESTUIA CU PRIVIRE LA FUNCŢIILE UNIFORM STELATE, CONVEXE, APROAPE CONVEXE ŞI α-uniform CONVEXE Editura Universităţii Lucian Blaga din Sibiu
More informationINEGALITĂŢI DE TIP HARNACK ŞI SOLUŢII POZITIVE MULTIPLE PENTRU PROBLEME NELINIARE
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA ŞCOALA DOCTORALĂ DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ INEGALITĂŢI DE TIP HARNACK ŞI SOLUŢII POZITIVE MULTIPLE PENTRU PROBLEME NELINIARE Rezumatul tezei de doctorat Doctorand:
More informationCristalul cu N atomi = un sistem de N oscilatori de amplitudini mici;
Curs 8 Caldura specifica a retelei Cristalul cu N atomi = un sistem de N oscilatori de amplitudini mici; pentru tratarea cuantica, se inlocuieste tratamentul clasic al oscilatorilor cuplati, cu cel cuantic
More informationCâteva rezultate de algebră comutativă
Facultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Câteva rezultate de algebră comutativă Aceste note conţin noţiuni şi rezultate de algebră comutativă care sunt utilizate pe parcursul cursului.
More informationRezultate în Teoria Punctului Fix şi Procese Iterative cu Aplicaţii
Rezultate în Teoria Punctului Fix şi Procese Iterative cu Aplicaţii Asist. drd. Adrian Sorinel Ghiura Departamentul de Matematică & Informatică Universitatea Politehnica din Bucureşti REZUMATUL TEZEI DE
More informationTEOREME DE PUNCT FIX PENTRU OPERATORI CE NU INVARIAZĂ DOMENIUL DE DEFINIŢIE ŞI
Universitatea Babeş-Bolyai, Cluj-Napoca Facultatea de Matematică şi Informatică Tania Angelica Lazăr TEOREME DE PUNCT FIX PENTRU OPERATORI CE NU INVARIAZĂ DOMENIUL DE DEFINIŢIE ŞI APLICAŢII Coordonator
More informationTeoria Modelelor Master Anul I, Semestrul II 2016
Ce este logica? Teoria Modelelor Master Anul I, Semestrul II 2016 Laurenţiu Leuştean Pagina web: http:unibuc.ro/~lleustean/ În această prezentare sunt folosite parţial slideurile Ioanei Leuştean din Semestrul
More informationInteligenta Artificiala
Inteligenta Artificiala Universitatea Politehnica Bucuresti Anul universitar 2010-2011 Adina Magda Florea http://turing.cs.pub.ro/ia_10 si curs.cs.pub.ro 1 Curs nr. 4 Cautare cu actiuni nedeterministe
More informationROMANIAN MATHEMATICAL SOCIETY
ROMANIAN MATHEMATICAL SOCIETY Mehedinți Branch ROMANIAN MATHEMATICAL MAGAZINE R.M.M. Nr.20-2018 1 ROMANIAN MATHEMATICAL MAGAZINE NR. 20 ROMANIAN MATHEMATICAL SOCIETY Mehedinți Branch DANIEL SITARU-ROMANIA
More informationCOMPARATIVE DISCUSSION ABOUT THE DETERMINING METHODS OF THE STRESSES IN PLANE SLABS
74 COMPARATIVE DISCUSSION ABOUT THE DETERMINING METHODS OF THE STRESSES IN PLANE SLABS Codrin PRECUPANU 3, Dan PRECUPANU,, Ștefan OPREA Correspondent Member of Technical Sciences Academy Gh. Asachi Technical
More informationCercet¼ari operaţionale
Cercet¼ari operaţionale B¼arb¼acioru Iuliana Carmen CURSUL 9 Cursul 9 Cuprins Programare liniar¼a 5.1 Modelul matematic al unei probleme de programare liniar¼a.................... 5. Forme de prezentare
More informationSelf-Small Abelian Groups and Related Problems. (Abstract)
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI, CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Habilitation Thesis Self-Small Abelian Groups and Related Problems (Abstract) Author: Simion BREAZ 2013 Abstract Let R be
More informationSIMULAREA DECIZIEI FINANCIARE
SIMULAREA DECIZIEI FINANCIARE Conf. univ. dr. Nicolae BÂRSAN-PIPU T5.1 TEMA 5 DISTRIBUŢII DISCRETE T5. Cuprins T5.3 5.1 Variabile aleatoare discrete 5. Distribuţia de probabilitate a unei variabile aleatoare
More informationPRELUCRARI PE IMAGINI BINARE (ALB/NEGRU)
PRELUCRRI PE IMGINI BINRE (LB/NEGRU) Imagine binara? 2 nuante: alb ( 0 ) pixelii de fond ( I(x,y)= 255 pt. imagini indexate cu 8 biti/pixel ) negru ( 1 ) pixelii apartinand obiectelor ( I(x,y)= 0 pt. imagini
More informationSisteme cu logica fuzzy cu mai multe intrari (MISO)
Sisteme cu logica fuzzy cu mai multe intrari (MISO) Structura unui sistem cu logică fuzzy MISO Structura unui SLF cu 2 intrari Fie un sistem cu logică fuzzy Mamdani două intrări x şi y ieşire z x y SLF
More informationManual Limba Germana
Manual Limba Germana If you are searched for the book Manual limba germana in pdf format, in that case you come on to loyal site. We furnish utter variation of this ebook in txt, doc, epub, DjVu, PDF formats.
More informationGraduări pe algebre de matrice
UNIVERSITATEA DIN BUCUREŞTI FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ ŞCOALA DOCTORALĂ DE MATEMATICĂ Graduări pe algebre de matrice TEZĂ DE DOCTORAT REZUMAT Coordonator ştiinţific: Prof.univ.dr. Sorin Dăscălescu
More informationTest de Departajare pentru MofM 2014 (Bucureşti) Enunţuri & Soluţii
Test de Departajare petru MofM 04 Bucureşti Euţuri & Soluţii Problem. Give + distict real umbers i the iterval [0,], prove there exist two of them a b, such that ab a b < Solutio. Idex the umbers 0 a 0
More informationINCLUZIUNI OPERATORIALE PRIN TEHNICA PUNCTULUI FIX ÎN SPAŢII METRICE VECTORIALE
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ INCLUZIUNI OPERATORIALE PRIN TEHNICA PUNCTULUI FIX ÎN SPAŢII METRICE VECTORIALE REZUMATUL TEZEI DE DOCTORAT Coordonator ştiinţific
More informationPentru clasa a X-a Ştiinţele naturii-sem II
Pentru clasa a X-a Ştiinţele naturii-sem II Reprezentarea algoritmilor. Pseudocod. Principiile programării structurate. Structuri de bază: structura liniară structura alternativă structura repetitivă Algoritmi
More informationPROPRIETĂŢI GEOMETRICE ŞI ANALITICE ALE UNOR CLASE DE FUNCŢII UNIVALENTE
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ GABRIELA ROXANA ŞENDRUŢIU PROPRIETĂŢI GEOMETRICE ŞI ANALITICE ALE UNOR CLASE DE FUNCŢII UNIVALENTE Rezumatul tezei de doctorat
More informationGIDD PENTRU CALCULUL CONSUMULUI DE CA.LOURA AL CONSTRUCTIILOR DOTATE CU ' A SISTEME PASIVE DE INCALZIRE SO LARA INDICATIV GP
, GIDD PENTRU CALCULUL CONSUMULUI DE CA.LOURA AL CONSTRUCTIILOR DOTATE CU ' A SISTEME PASIVE DE INCALZIRE SO LARA INDICATIV GP 017-96 95 Ghid pentru calculul consumului de caldura al cladirilor dotate
More informationMATEMATICĂ 3 PROBLEME DE REFLECŢIE
Recapitulare din liceu MATEMATIĂ 3 ANALIZĂ OMPLEXĂ PROBLEME DE REFLEŢIE. Scrieţi numerele următoare sub forma a + bi, unde a, b R: a) 3i + i ; b) i + i ;. Reolvaţi în ecuaţiile: ( + i)( i) c) ( + i)(4
More informationAlte rezultate din teoria codurilor
Prelegerea 20 Alte rezultate din teoria codurilor 20.1 Coduri aritmetice Construcţiile oferite de teoria codurilor pot fi utilizate şi în alte domenii decât în cele clasice, de transmitere şi recepţie
More informationECUAŢII CU DERIVATE PARŢIALE ŞI EVALUAREA OPŢIUNILOR CU VOLATILITATE STOHASTICĂ
Universitatea Babeş-Bolyai, Cluj-Napoca Facultatea de Matematică şi Informatică Vasile Lucian Lazăr ECUAŢII CU DERIVATE PARŢIALE ŞI EVALUAREA OPŢIUNILOR CU VOLATILITATE STOHASTICĂ Coordonator ştiinţific
More informationDanielaMANEA. x n +a 1. EdituraParalela45
DanielaMANEA REZOLVAREA ECUAŢILORALGEBRICE DEGRAD SUPERIOR n +a n- + +a n =0 EdituraParalela45 Daniela Manea REZOLVAREA ECUAŢIILOR ALGEBRICE DE GRAD SUPERIOR Referent ştiinţific: lectunivdr Eduard Asadurian
More informationLaborator 5. Instructiuni de control logic : FOR, IF, WHILE. - Staţii de lucru care au instalat Orcad9.2. si MatLab 7.1
Laborator 5. Instructiuni de control logic : FOR, IF, WHILE. Scopul lucrarii: Scopul acestei lucrari este de a invata si intelege instructiunile de control logic, pe care, le vom folosi in realizarea unui
More informationLaborator 3. Backtracking iterativ
Programare Delphi Laborator 3 Backtracking iterativ Metoda backtracking este o strategie generală de căutare din aproape în aproape a unei soluţii dintr-o mulţime finită de posibilităţi. Problema trebuie
More informationDefiniţie. Pr(X a) - probabilitatea ca X să ia valoarea a ; Pr(a X b) - probabilitatea ca X să ia o valoare în intervalul a,b.
Variabile aleatoare Definiţie Se numeşte variabilă aleatoare pe un spaţiu fundamental E şi se notează prin X, o funcţie definită pe E cu valori în mulţimea numerelor reale. Unei variabile aleatoare X i
More informationANOVA IN THE EDUCATIONAL PROCESS
U.P.B. Sci. Bull., Series C, Vol. 70, No. 3, 008 ISSN 454-34 ANOVA IN THE EDUCATIONAL PROCESS Mihaela Florentina MATEI Analiza dispersiei, ANOVA, reprezintă una din metodele statistice, dintre cele mai
More informationProbleme pentru pregătirea concursurilor
Probleme pentru pregătirea concursurilor A. Nivel gimnazial G326. Pentru a-şi face provizii pentru iarnă, spiriduşii trebuie să culeagă ciuperci din pădure. Ciupercile cresc în 2017 poieniţe, însă în una
More informationMatematici speciale Integrarea functiilor complexe
Matematii speiale Integrarea funtiilor omplexe Martie 18 ii Be yourself, everyone else is already taken. Osar Wilde 5 Integrarea funtiilor omplexe Integrala Riemann a unei funtii u valori omplexe se defineste
More informationTeoria probabilit¼aţilor şi statistic¼a matematic¼a
Teoria probabilit¼aţilor şi statistic¼a matematic¼a B¼arb¼acioru Iuliaa Carme CURSUL 7 Cursul 7 2 Cupris 1 Legea umerelor mari 5 1.1 Geeralit¼aţi............................... 5 1.2 Iegalitatea lui Cebîşev........................
More informationLogică și structuri discrete. Marius Minea 25 septembrie 2017
Logică și structuri discrete Funcții Marius Minea marius@cs.upt.ro http://cs.upt.ro/~marius/curs/lsd/ 25 septembrie 2017 Ce cuprinde domeniul informaticii? Imagine: https://hkn.eecs.berkeley.edu/courseguides
More informationREZUMATUL TEZEI DE DOCTORAT
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CERCETĂRI DE TEORIE MORSE DISCRETĂ ŞI APLICAŢII REZUMATUL TEZEI DE DOCTORAT Conducător ştiinţific: Prof. univ. dr. DORIN ANDRICA Doctorand:
More informationArhitectura sistemelor de calcul
Arhitectura sistemelor de calcul - Prelegerea 1 - Evoluția sistemelor de calcul Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Istoricul evolutiei calculatoarelor
More informationUniversitatea Politehnica Bucureşti Facultatea de Automatică şi Calculatoare Departamentul de Automatică şi Ingineria Sistemelor
Universitatea Politehnica Bucureşti Facultatea de Automatică şi Calculatoare Departamentul de Automatică şi Ingineria Sistemelor TEZĂ DE ABILITARE Metode de Descreştere pe Coordonate pentru Optimizare
More informationCautand originea masei (Cautand bosonul Higgs) Adrian Buzatu. Departmentul de Fizica & Astronomie Universitatea din Glagsow, Regatul Unit
Cautand originea masei (Cautand bosonul Higgs) Adrian Buzatu Departmentul de Fizica & Astronomie Universitatea din Glagsow, Regatul Unit De la mare la mic 2 Universul ca o prajitura Tava: spatiu-timp Ingrediente:
More informationListe. Stive. Cozi SD 2017/2018
Liste. Stive. Cozi SD 2017/2018 Conţinut Tipurile abstracte LLin, LLinOrd, Stiva, Coada Liste liniare Implementarea cu tablouri Implementarea cu liste simplu înlănțuite Liste liniare ordonate Stive Cozi
More informationLaborator 4. Rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale în Matlab
Laborator 4. Rezolvarea ecuaţiilor difereţiale î Matlab Bibliografie. G. Aastassiou, I. Iata, Itelliget Routies: Solvig Mathematical Aalsis with Matlab, Mathcad, Mathematica ad Maple, Spriger, 03.. I.
More informationALGORITMI DE OPTIMIZARE IN INGINERIE ELECTRICA. Sef lucrari ing. Alin-Iulian DOLAN
ALGORITMI DE OPTIMIZARE IN INGINERIE ELECTRICA Sef lucrari ing. Alin-Iulian DOLAN PROBLEME DE OPTIMIZARE OPTIMIZAREA gasirea celei mai bune solutii ale unei probleme, constand in minimizarea (maximizarea)
More informationTWO BOUNDARY ELEMENT APPROACHES FOR THE COMPRESSIBLE FLUID FLOW AROUND A NON-LIFTING BODY
U.P.B. Sci. Bull., Series A, Vol. 7, Iss., 9 ISSN 3-77 TWO BOUNDARY ELEMENT APPROACHES FOR THE COMPRESSIBLE FLUID FLOW AROUND A NON-LIFTING BODY Luminiţa GRECU, Gabriela DEMIAN, Mihai DEMIAN 3 În lucrare
More informationON THE ASYMPTOTIC BEHAVIOR OF DYNAMICAL SYSTEMS AND APPLICATIONS
WEST UNIVERSITY OF TIMIŞOARA FACULTY OF MATHEMATICS AND COMPUTER SCIENCE ON THE ASYMPTOTIC BEHAVIOR OF DYNAMICAL SYSTEMS AND APPLICATIONS Habilitation Thesis Author: BOGDAN SASU Timişoara, 2013 Table of
More informationMetode clasice. Camelia Chira.
Metode clasice Camelia Chira http://users.utcluj.ro/~cchira camelia.chira@cs.utcluj.ro Am vazut deja ca... Probleme de optimizare pot fi foarte complexe SAT, TSP, NLP, etc Spatiul de cautare Clase de complexitate
More informationARTIFICIAL INTELLIGENCE
BABEŞ-BOLYAI UNIVERSITY Faculty of Computer Science and Mathematics ARTIFICIAL INTELLIGENCE Intelligent systems Rule-based systems uncertainty 2 Topics A. Short introduction in Artificial Intelligence
More informationSTRESS AND STRAIN ANALYSIS IN CONTINUUM MECHANICS WITH APPLICABILITY IN SOIL MECHANICS
BULETINUL INSTITUTULUI POLITEHNIC DIN IAŞI Publicat de Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi Volumul 63 (67), Numărul 3, 2017 Secţia CONSTRUCŢII. ARHITECTURĂ STRESS AND STRAIN ANALYSIS IN CONTINUUM
More informationCurs 6. Discrete Event Simulation
Curs 6 Discrete Event Simulation C6 ~ 12.04.2017 1/43 In discrete-event simulation, the operation of a system is represented as a chronological sequence of events. Each event occurs at an instant in time
More informationELEMENTE DE DINAMICĂ ŞI GEOMETRIE PE SPAŢII VECTORIALE POISSON
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ ELEMENTE DE DINAMICĂ ŞI GEOMETRIE PE SPAŢII VECTORIALE POISSON REZUMATUL TEZEI DE DOCTORAT Conducător ştiinţific: Prof. univ.
More informationThe 2017 Danube Competition in Mathematics, October 28 th. Problema 1. Să se găsească toate polinoamele P, cu coeficienţi întregi, care
The 017 Dnube Competition in Mthemtics, October 8 th Problem 1. ă se găsescă tote polinomele P, cu coeficienţi întregi, cre verifică relţi + b c P () + P (b) P (c), pentru orice numere întregi, b, c. Problem.
More informationQUASI-ANALYTIC SOLUTIONS OF FIRST-ORDER PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS USING THE ACCURATE ELEMENT METHOD
U.P.B. Sci. Bull., Series A, Vol. 7, Iss., 010 ISSN 13-707 QUASI-ANALYTIC SOLUTIONS OF FIRST-ORDER PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS USING THE ACCURATE ELEMENT METHOD Maty BLUMENFELD 1 O ecuaţie diferenţială
More informationarray a[0..n-1] a[0] = v0,..., a[n-1] = vn-1
Curs 5 - Agenda sortare interna buble sort sortare prin insertie sortare pri selectie naiva sistematica ( heap sort ) sortare prin interclasare ( merge sort ) sortare rapida ( quick sort ) cautare in liste
More informationProbleme actuale în studiul funcţiei zeta Igusa
Probleme actuale în studiul funcţiei zeta Igusa Denis Ibadula 1 1 This paper is supported by the Sectorial Operational Programme Human Resources Development (SOP HRD), financed from the European Social
More informationRECREAŢ II MATEMATICE REVISTĂ DE MATEMATICĂ PENTRU ELEVI Ş I PROFESORI
Anul IX, Nr. Iulie Decembrie 007 RECREAŢ II MATEMATICE REVISTĂ DE MATEMATICĂ PENTRU ELEVI Ş I PROFESORI e iπ = 1 Asociaţia Recreaţii Matematice IAŞI - 007 Semnificaţia formulei de pe copertă: iπ Într-o
More informationCOMPARATIVE STUDY OF STRUCTURAL ANALYSIS APPLIED TO AGRICULTURAL MACHINES BODIES AND ACCOMPLISHED WITH SOLID WORKS AND AUTODESK INVENTOR PROGRAMS
COMPARATIVE STUDY OF STRUCTURAL ANALYSIS APPLIED TO AGRICULTURAL MACHINES BODIES AND ACCOMPLISHED WITH SOLID WORKS AND AUTODESK INVENTOR PROGRAMS / STUDIU COMPARATIV DE ANALIZA STRUCTURALA APLICATA LA
More informationRECREAŢ II MATEMATICE
Anul VII, Nr. Iulie Decembrie 005 RECREAŢ II MATEMATICE REVISTĂ DE MATEMATICĂ PENTRU ELEVI Ş I PROFESORI 00 de ani de la introducerea distanţei între mulţimi de către Dimitrie Pompeiu e iπ = Editura Crenguţa
More informationQUASIGRUPURI AUTOORTOGONALE: CONEXIUNI CU PARATOPIILE UNOR SISTEME ORTOGONALE
INSTITUTUL DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ AL ACADEMIEI DE ŞTIINŢE A MOLDOVEI Cu titlu de manuscris C.Z.U.: 512.548 CEBAN DINA QUASIGRUPURI AUTOORTOGONALE: CONEXIUNI CU PARATOPIILE UNOR SISTEME ORTOGONALE
More informationFINDING THE TRACES OF A GIVEN PLANE: ANALYTICALLY AND THROUGH GRAPHICAL CONSTRUCTIONS
BULETINUL INSTITUTULUI POLITEHNI DIN IŞI Publicat de Universitatea Tehnică Gheorghe sachi din Iaşi Tomul LVII (LXI), Fasc. 3, 20 Secţia ONSTRUŢII DE MŞINI FINDING THE TRES OF GIVEN PLNE: NLYTILLY ND THROUGH
More informationMETODOLOGIE PRIVIND PROGRAMUL DE URMARIRE I in TIMP A COMPORTARII CONSTRUCTIILOR DIN PUNCT DE VEDERE AL CERINTELOR FUNCTIONALE
METODOLOGIE PRIVIND PROGRAMUL DE URMARIRE I in TIMP A COMPORTARII CONSTRUCTIILOR DIN PUNCT DE VEDERE AL CERINTELOR FUNCTIONALE INDICATIV MP 031-03 i! 14 215 ROJ1:rou n21,100,rojirutrqq2r,1aflt JUR3T21HIM
More informationMETODE NUMERICE: Laborator #4 Eliminare gaussiană cu pivotare totală şi scalare. Algoritmul Thomas pentru rezolvarea sistemului 3-diagonal
METODE NUMERICE: Laborator #4 Eliminare gaussiană cu pivotare totală şi scalare. Algoritmul Thomas pentru rezolvarea sistemului 3-diagonal Titulari curs: Florin Pop, George-Pantelimon Popescu Responsabil
More information2. Finite Impulse Response Filters (FIR)
..3.3aximum error minimizing method. Finite Imule Reone Filter (FIR)..3 aximum error minimizing method he zero hae tranfer function N H a' n con tye n N H b n con n tye ' the lat relation can be exreed
More informationCurs 5 ELEMENTE STRUCTURALE SOLICITATE LA RASUCIRE
Curs 5 ELEENTE STRUCTURALE SOLICITATE LA RASUCIRE Rasucirea (torsiunea), ca stare de solicitare nu apare in mod independent, ci in combinatie cu alte solicitari (ex. incovoiere cu rasucire, compresiune
More informationAN APPROACH TO THE NONLINEAR LOCAL PROBLEMS IN MECHANICAL STRUCTURES
U.P.B. Sci. Bull., Series D, Vol. 74, Iss. 3, 2012 ISSN 1454-2358 AN APPROACH TO THE NONLINEAR LOCAL PROBLEMS IN MECHANICAL STRUCTURES Marius-Alexandru GROZEA 1, Anton HADĂR 2 Acest articol prezintă o
More informationVINDECAREA BOLILOR INCURABILE PRIN METODE NATURALE BY MIKHAIL TOMBAK
VINDECAREA BOLILOR INCURABILE PRIN METODE NATURALE BY MIKHAIL TOMBAK DOWNLOAD EBOOK : VINDECAREA BOLILOR INCURABILE PRIN METODE Click link bellow and free register to download ebook: VINDECAREA BOLILOR
More information