Virtual Library of Faculty of Mathematics - University of Belgrade

Size: px
Start display at page:

Download "Virtual Library of Faculty of Mathematics - University of Belgrade"

Transcription

1 UNIVERZITET U BEOGRADU V PIATEEATIKI FAKULTET OENA ENTROPIJE TELEPRINTERSKOG JEZIKA I PRIMENA NA KANAL SA PRISLUKIVANJEM MAGISTARSKI RAD Mentor: DR. ZORAN IVKOVI Kandidat: MILAN RADULOVI BEOGRAD 999.

2 OENA ENTROPIJE TELEPRINTERSKOG JEZIKA I PRIMENA NA KANAL SA PRISLIiKIVANJEll

3 . TELEPRINTERSKI JEZIK

4 uvod ilj rada je da se korikenjem nau6nih metoda statistike i teorije informacija oceni entropija teleprinterskog jezika i da se poka2e kako taj i slioni rezultati mogu imati primenu u zaftiti komunikaci'nog kanala koji se prislakuje ( u literaturi poznatog kao WIRE-TAP HANNEL ). Osnovni rezultati rada su ocene entropije teleprinterskog jezika, uopftenje rezultata iz [2] i na osnovu toga odredivanje kodova koji u uslovima prislakivanja kanala euvaju tajnost sadr2aja komunikacije. Potrebna statistoka istra2ivanja sprovedena su na uzorku srpskog jezika novinarskog stila, to naizgled ovom radu daje u2i praktieni znaeaj. Medutim, op tost le2i u primenjenom metodu zaftite komunikacionog sistema i kori denim kodovima koji ne zavise od direktnog posmatranja jezika i stila. U prvoj sekciji definisaaemo pojam teleprinterskog jezika, opisati komunikacioni sistem sa kanalom za prislu kivanje u okviru koga 6emo taj jezik posmatrati. Druga sekcija daje osnovne pojmove i stavove vezane za proueavanje statistieko-informacionih karakteristika jezika, sa teti tem na entropiji kao va2nom parametru jezika i elementu izueavanja u ovom radu. U tre6oj sekciji izloien je koncept WIRE-TAP HANNEL-a za prislu ni kanal sa umom i dato uop tenje problema koje se sastoji u tome da se posmatraju i izvori sa raspodelom izlaznog niza koja nije ravnomerna raspodela.

5 uvod statistiakoj oceni entropije i drugih parametara teleprinterskog jezika govori se u aetvrtoj sekciji. Sprovedena je statistieka obrada uzorka srpskog jezika i u ovom delu rada izlo2eni su dobijeni rezultati. Peta sekcija daje obja njenje postupaka konstrukcije kodova i daje primere kodova otpornih na prislakivanje u posmatranom komunikacionom sistemu. Prilozi koji sleds vezani su za odgovarajuee sekcije obja njeni izlaganjem u tim sekcijama. Dati spisak literature sadr2i samo najva2nije radove potrebne da pruie dovoljne reference za izloienu materiju.

6 teleprinterski jezik. Teleprinterski jezik Pod teleprinterskim jezikom podrazumevaeemo prirodni jezik u pisanom obliku, kodiran odredenim teleprinterskim kodom i time zakonito transformisan u binarni niz. Takav oblik jezika prisutan je na svim teleprinterskim (telegrafskim) i teleks vezama. Intuivan saobraaj pisanib poruka zahtevao je da se postupci slanja poruka mehanizuju radi postizanja veee brzine, tajnosti i sigurnosti prenosa. Teleprinter je prvi telegrafski uredaj koji je to omogudio. Namenjen je za ruenu ili automatsku predaju, automatski prijem i tampanje pisanih poruka na daljinu (primopredajni uredaj). Mehanieke teleprinterske uredaje sve vie zamenjuju elektronski, ali se osnovni princip prenosa poruka nije promenio. Razmatranje problema prenosa kodirane informacije ima za cilj da se daju teorijski i prakti6ni rezultati primenjivi u ovoj i drugim oblastima komunikacija, u konstrukciji i primeni odgovarajudih komunikacionih uredaja. Posmatrademo fizieki uredaj - teleprinter kao jedan izvor informacija koji generi e poruke sazdane od slova, reel, redenica, pasusa, paragrafa itd., a iz odredenog skupa mogudih poruka na datom jeziku. Kako su poruke sastavljene od elemenata koji mogu biti: slova, cifre, znaci interpunkcije iii neki drugi znaci, potrebno je svakom od njih pre slanja poruke dodeliti, po jednom unapred dogovorenom postupku, odredenu

7 7 teleprinterski jezik kodnu zamenu saeinjenu od simbola kanala veze. U principu kodiranje se sastoji u korikenju dva elementarna stanja (npr. iskljueen i ukljueen napon, neizbu ena iii izbu ena rupa, itd.), koja oznaeavamo binarnim ciframa i. Svakom znaku pisane poruke dodeljujemo kodnu ree koja se sastoji od odredenog broja i rasporeda elementarnih stanja. Skup svih takvih kodnih real sa korespodentnim slovima, ciframa, znacima interpunkcije i specijalnim znacima daje odgovarajueu kodnu transformaciju, odnosno teleprinterski kod. PosmatraOemo petobitni kod dat u prilogu ) poznat pod nazivom ITT 2) kod N 2. Mogudih 5-bitnih kodnih zamena ima 2 5 =32, to je dovoljan broj da se svakom slovu, cifri specijalnom znaku dodeli kodna rea, koristedi sistem reiima slova i re2ima cifara kojim se svakoj kodnoj real dodeljuju dva znaka. Specijalnim znacima ( kolica nazad, novi red, prelaz na ) Pored 5 kodnih impulsa, pri prenosu poruka, svakoj kodnoj reei prethodi jedan bestrujni impels () koji se zove startni, a zavr ava se strujnim impulsom (), koji se zove stopni. Na taj na6in, svaki znak se sastoji od 7 impulsa. Posvetidemo pa2nju samo kodnim impulsima koji se dodeljuju slovima, ciframa, znacima interpunkcije i specijalnim znacima kao nosiocima informacije. Startni i stopni bit slu2e za sinhronizaciju predajnog i prijemnog uredaja u asinhronom telegrafskom sistemu i nisu informacioni deo poruke. Z) Medunarodni konsultativni komitet za telefoniju telegrafiju (ITT) je zvanieno telo u kome organizacije za pru2anje telekomunikacionih usluga odluauju o medusobnoj saradnji. Deo je Medunarodne telekomunikacione unije (ITU) u 2enevi i organ UN. ITT objavljuje preporuke koje nemaju moe standards, all u praksi stieu tu moo irokim prihvatanjem preporuka od strane korisnika i proizvodaea telekomunikacione opreme.

8 teleprinterski jezik slova, prelaz na cifre, razmak, vodica ) obezbeduje se korektan rad teleprintera pri prenosu poruke 3). Otkucani znak na teleprinteru moguee je izbueti na papirnu traku tako da iibaena rupa ozna6ava cifru, a neizbu ena cifru. Pored pet bitova na traci se bai jedna mania rupa za vodenje trake (vodica). Svaka rupica znaka koji se bu i pripada po jednom kodnom kanalu. Redosled kodnih kanala je odreden u odnosu na vodicu, kao to je to prikazano na slid, a znaci se nizu s leva na desno. Si. Kanali buene trake I kanal II kanal vodice III kanal IV kanal V kanal Osnovni oblik toka informacije na teleprinterskom kanalu veze je serijski tok petobitnih kodnih blokova. Imajudi u vidu postojanje navedene fizieke predstave niza kodnih bitova i paralelnog toka bitova kodnih kanala u uredaju prirodno se nameae i posmatranje binarnih nizova po kodnim kanalima. 3) Da li se kodnoj redi dodeljuje slovo iii znak cifra definisano je poslednjim pojavljivanjem specijalnog znaka prelaza na slova (A...) iii prelaza na cifre (...) u kodnom nizu koji prethodi posmatranoj kodnoj reel. Samo specijalni znaci u re2imu slova i re2imu cifara imaju isto znaaenje. Pri prelasku u re2im slova iii cifara teleprinter u njemu ostaje sve dok se odgovarajudim specijalnim znakom re2im ne promeni.

9 teleprinterski jezik Uoeimo skup A koji eine slova, znaci, i cifre, tj. svi karakteri koje kodiramo uoeenim teleprinterskim kodom ITT N 2 ( Prilog.): Funkcija kodiranja zadata tablicom je oblika : f : A --4 (Z 2 ) 5, tj. f(x)=z, )(EA, zc(z 2 ) s Z (Z ZZZZ )E (Z ) 5 Z,E Z, i=,5, Z35, card(a)=58. Tako je na primer: f(a)=(), f(b)=(),... Te kodne petorke predstavljaju slova alfabeta: ITT 32 = {,,,...,, }. Uneta re6 prirodnog jezika na izlazu teleprintera daje niz binarnih petorki i taj niz predstavlja ree teleprinterskog jezika T. Sliano tome defini emo teleprinterski jezik T i,i=,5 su2avajudi funkciju kodiranja tako da : f i : A Z 2,tj. f i (x)=z i, xea, z ia 2 = {,}, i=,5. Tako je na primer: f l (A)=(), f l (B)=(),... f 2 (A)=(), f 2 (B)=(),... f 3 (A)=(), f 3 (B)=(),... f 4 (A)=(), f 4 (B)=(),... f 5 (A)=(), f 5 (B)=(),... Skup Z 2 = {, } je alfabet jezika T i, a kodirana ree prirodnog jezika daje re6 teleprinterskog jezika T i. Time tekst jezika T i kanala kodnih zamena. Zbog toga aemo ravnopravno koristiti predstavlja podniz teksta jezika T nastao izdvajanjem i-tog

10 teleprinterski jezik termine kanal i i jezik T i jer se odnose na iste sadriaje. Oeigledno da tekst jezika T, posmatrajudi kodne petorke bitova, predstavlja samo transkripciju i malu promenu prirodnog jezika (npr. prairen je specijalnim znacima) pa zadrlava, uz male promene, osobine jeziekog niza, dok binarni jezik T i menja osobine u odnosu na prirodni jezik..2 Komunikacioni sistem bin. podaci bin. <-- KODER KANAL bitno Radi jednostavnosti proueavanja izvora i kanala komunikacionog sistema uobiaajno je izvr iti razdvajanje uticaja izvora na kanal komunikacionog sistema. To se posti2e razdvajanjem kodera i dekodera na dve prirodne celine kao 6to je to prikazano na slici 2 : Si. 2 Blok dijagram komunikacionog sistema sa razdvojenim koderom i dekoderom na dva dela Praktiana vrednost razdvajanja kodera i dekodera ( slika 2.), je da se korimenjem binarnih podataka mogu razlieiti izvori

11 teleprinterski jezik povezati na isti kanal. Takav jednostavniji prikaza komunikacionog sistema koristidemo u daljem izlaganju. Izvor i koder izvora posmatraeemo objedinjeno kao binarni izvor, a koder kanala nazivaeemo koder. Slieno tome, dekoder izvora i odredi te posmatramo objedinjeno kao binarni izlaz, a dekoder kanala nazivaoemo dekoder. Takvim predstavljanjem jasno je da teleprinter moiemo posmatrati kao diskretan binarni izvor jer generige poruke u vidu nizova od dva razlieita elektri6na signala, koje smo oznaaili binarnim ciframa i. Svaki signal koji generi e izvor nastao je pridru2ivanjem simbolu odredenog petobitnog bloka bitova. Da li de se kao razliaiti elementi posmatrati dva razliaita binarna stanja, ili 32 razliaite petobitne kombinacije iii bilo koji drugi blok bitova, zavisi od problema koji se razmatra. U svakom od tih sluaajeva defini e se odgovarajudi konaaan alfabet A izvora informacija A = { a,a 2,...,a s }, s=2 -, je{,2,3,4,5} eiji elementi ( tj. slova u irem smislu ) grade poruke kao n-alane nizove oblika : = ( x x 2...x n ). U daljim razmatranjima od interesa de nam biti samo slueajevi kada je j= (teleprinterski jezik T i ) i j=5 (teleprinterski jezik T), ali demo odredenim metodama problem svesti samo na binarni nivou, to bitno pojednostavljuje na zadatak izueavanja teleprinterskog jezika.

12 teleprinterski jezik.3 Komunikacioni sistem sa prislakivanjem Teleprinterski jezik posmatraoemo kao izvor komunikacionog sistema sa prislakivanjem 4) 'OW opfti oblik je prikazan na slici 3 : GLAVNI KANAL N Y WIRE- TAP KANAL 3. 3 Komunikacioni sistem sa prislu kivanjem "K LEGALE UESNIK NELE- GALNI aesnik Pri izgradnji ovog sistema vodilo se raeuna o zahtevu za obezbedenje informacija od prislu kivanja u fazi prenosa. To je ostvareno, u odnosu na osnovni oblik komunikacionog sistema, uno enjem dodatnih informacionih procesa kodiranja i dekodiranja. Kodirana informacija prenosi se pomoeu diskretnog kanala bez memorije, takvog da sadr2i prislu ni, tj. wire-tap (WT) kanal kao prijemnik. Kodiranje poruke omogueeno je predajnoj, a dekodiranje prijemnoj strani. Kod koji se koristi u komunikacionom sistemu 4) Taj oblik komunikacionog sistema u literaturi prvi je razmatrao A.D.Wyner u radu [].

13 teleprinterski jezik u potpunosti je poznat WT desniku. Prednost legalnog ueesnika nad njim je samo u tome to je prisloni kanal za umljen. Kako u sistemu ne postoje nikakvi tajni elementi onaj ko dizajnira koder-dekoder formira takav kod koji omogueava maksimalnu brzinu prenosa i maksimalnu neodredenost na prislanoj strani u odnosu na produkciju izvora. Znaei, cilj je da se u komunikacionom sitemu dobije maksimalna informacija za legalnog desnika, a minimalna 2a nalagainog uhsniia time ostvari odredeni nivo zaftite od prislakivanja. Sada demo dati kratak opis elemenata komunikacionog sistema sa kanalom za prislu kivanje. Izvor je definisan nizom, gde su U k sludajne promenljive koje uzimaju vrednosti iz konaanog skupa U i imaju poznatu raspodelu i entropiju H(U k )=H(U). Niz od K podataka koje emituje izvor oznadavamo K-vektorom : U K =(U,U 2,...,UK ). Glavni kanal je diskretan kanal bez memorije sa konaenim alfabetima: ulaznim X i izlaznim Y, verovatnodama prelaza P (ylx), xex, 37-EY i verovatnodeom prelaza za N-vektore : Wire - N ( Pm N) (Ylx) = H Pm (Y i k i ) i= tap kanal (WT) je diskretan kanal bez memorije sa konaenim ulaznim alfabetom Y, i konaenim izlaznim alfabetom Z i verovatnodama prelaza P w (zly), yey, zez. Koder sa parametrima (K,N) je poseban kanal sa ulaznim alfabetom UK, izlaznim alfabetom X N i verovatnodama prelaza

14 teleprinterski jezik p E (xu), ueu K, xex N. Ako su K slueajnih promenljivih izvora U K =(U,U 2'...,U K ) ulaz kodera, izlaz je slu6ajni vektor X N =(X,X 2'...,X N ). Neka su Y N i Z N respektivno izlazi kanala sa verovatnodama prelaza P (N) i P (N) ' kada je ulaz X N. MW Nelegalni desnik ocenjuje ekvivokaciju izvora pc) simbolu izvora na sledeei na6in : Dg i*hu K IZ N ). Yelieinu D uzimamo Z8 kritorijo WI mdrdeflosti koder se dizajnira tako da se ona ueini to veeom. Kada je D=K ka2emo da je ostvarena apsolutna tajnost, tj. potpuna za tita. Dekoder je preslikavanje : fp yn Neka je U K = ( = f ul (Y). Paru koder - dekoder pridru2ujemo ratu gre ke P e definisanu sa : N P e = K * k= E Nuk * uk ) Na ovaj naain imamo definisan sistem koder-dekoder koji ozna6avamo uredenom eetvorkom : ( K, N, D, P e ) Ovakav oblik komunikacionog sistema koristidemo u daijim razmatranjima. U pogledu organizacije prenosa razmotridemo serijski prenos (koristi se jedan prenosni kanal zajednieki za sve kodne kanale, a time i jedan sistem komunikacije) i paralelni prenos (koristi se 5 kanala prenosa, po jedan za svaki kodni kanal, tj. 5 paralelnih sistema komunikacije).

15 teleprinterski jezik P E (xlu), ueuk, xexn. Ako su K slaajnih promenljivih izvora U K =(,U2,...,UK ) ulaz kodera, izlazje slaajni vektor X N =(X,X 2,...,X N ). Neka su Y N i Z N respektivno izlazi kanala sa verovatno6ama prelaza P (M N) ' P MW (N) ' kada je ulaz X N. Nelegalni ueesnik ocenjuje ekvivokaciju izvora po simbolu izvora na sledeai naein : D * H( N ) Velieinu D uzimamo za kriteriium WT neodredenosti i koder se dizajnira tako da se ona ucinisto vedom. Kada je D=K ka2emo da je ostvarena apsolutna tajnost, tj. potpuna za tita. Dekoder je preslikavanje : f p : Y N -> UK (. Neka je U K = ( = f p (Y). Paru koder - dekoder pridru2ujemo ratu gre ke P e definisanu sa : N P e = K * E p(u k * u. ) k= K Na ovaj na6in imamo definisan sistem koder-dekoder koji ozna6avamo uredenom eetvorkom : ( K, N, D, P e ) Ovakav oblik komunikacionog sistema koristioemo u daljim razmatranjima. U pogledu organizacije prenosa razmotrioemo serijski prenos (koristi se jedan prenosni kanal zajednifti za sve kodne kanale, a time i jedan sistem komunikacije) i paralelni prenos (koristi se 5 kanala prenosa, po jedan za svaki kodni kanal, tj. 5 paralelnih sistema komunikacije).

16 2. ENTROPIJA JEZIK

17 entropija jezika 2.. Statistiaki model jezika Generisanje tekstova, koje produkuje izvor komunikacionog sistema, nastaje kao rezultat medusobnog dejstva vise promenljivih ( sistem, norma, uzusi jezika i dr.), zavisi od situacije u kojoj se tekst realizuje, individualnih osobina stvaraoca teksta i operatera na komunikacionom uredaju. Zbog takve kompleksnosti jezika nemoguee je konstruisati dobar mentor poruh ioji hi obuhutio sue kgraiteristih i zakonitosti jezika, Da bi se prevazigao ovaj problem vrgi se modeliranje jezika. Model jezika u svakom konkretnom slueaju omoguaava da se korigeenjem reprezentativnog uzorka i obradom na raeunaru brzo i pouzdano izdvoje potrebni elementi jezika, izuee njihove medusobne veze. entralno pitanje koje se pri tome postavlja jeste izbor reprezentativnog uzorka, obrada i intepretacija dobijenih rezultata. Izbor uzorka mora se vrgiti po principu slueajnosti, tj. mora se omoguaiti da svi elementi osnovnog skupa mogu sa jednakom verovatnaom uei u uzorak. Razli6iti naueni problemi nametnuli su potrebu izueavanja i matematiakog modeliranja izvora informacija, a time i jezika, kao izrazito va2nog izvora informacija. Matematiaki model jezika nikad nije identiean sa samim jezikom i predstavlja samo odredenu aproksimaciju prirodnog jezika, prilagodenu konkretnom problemu, 6ime je omoguaeno proueavanje onih karakteristika jezika za koje je taj model prilagoden.

18 entropija jezika P() = P(x ' x2"." x n ), E P()=, n=,2,... bele2avajuei sa F presek svih a-polja koja sadr2e sve trajektorije dobijamo treeni prostor verovatnode (, F, P ). Na taj nein, zadavanjem alfabeta A, raspodele verovatnae P i odredivanjem klase F definisan je slaajan proces kojim opisujemo jezik L. Ovako konstruisan model jezika, u vidu diskretnog izvora informacija l potite od ozneava se parom (A,P) gde je A alfabet tog izvora iii jezika, a P raspodela verovatnoae n-olanih nizova iii tekstova posmatranog jezika. Diskretni binarni izvor informacija defini emo parom (A,P) koji nine alfabet A = { a,a 2 } = {, } i raspodela verovatnoaa P n-elanih nizova koji su proizvod tog izvora Entropija iezika Definiciia Za jezik L nad alfabetom A ka2e se da poseduje svojstvo stacionarnosti (ili da je stacionaran) ako je za svako h=,,... i za svaku realizaciju ( a k a k...a k ), a k E A : 2 P( x x 2... x n ) = P( x x 2. x n. ) tj. verovatnoda odredenog teksta ne zavisi od mesta tog odseaka u sveukupnom jeziku. Polazedi od toga da jezik L sa alfabetom A posmatramo kao stacionaran diskretan izvor informacija (A,P), definisaeemo entropiju jezika i navesti neke njene osnovne osobine.

19 entropija jezika Konstrui u se razni fizieki i logino-matematiaki modeli koji predstavljaju jedno od glavnih sredstava u proueavanju raznih osobina i zakonitosti jezika. Medu svim dosad uvedenim modelima jezika znaeajno mesto zauzimaju verovatnosnostatistieki modeli, koji koriste metode teorije verovatno6e i matematoke statistike. Oni omogueuju uspano prodavanje statistieke strukture jezika 6ije poznavanje ima veliku mitien Takao plist4 vorovattow shtigtielog modelirania polazi od pretpostavke da se tekst posmatra kao slueajni proces, a jedinice teksta kao slu6ajni dogadaji. Proizvod svakog izvora informacija moiemo posmatrati kao slueajni proces. Jezik L sa alfabetom A = ( a,a 2,...,a s ), sen intepretiramo kao diskretan sluaajni proces X(t), teted, gde je D skup celih brojeva a realizacije procesa su nizovi (x t ), ted koji predstavljaju tekstove jezika L nad alfabetom A. Konstrui imo verovatnosni prostor (, F, P ), pri eemu je skup svih mogueih ishoda ={ (x t ), tee I, a elementarni dogadaji we su nizovi oblika (x t ),ted. Za fiksirano wel, proizvoljno nen i t,t 2,...,t ned defini emo realizaciju iii trajektoriju slueajnog procesa: = (x,x 2,,x n ) gde je x l = a t a t,,x n =a t Li 2 t <t 2 <...<t n a t,a t,...,a t EA. 2

20 entropija jezika Konstrui u se razni fizi6ki i logi6ko-matemati6ki modeli koji predstavljaju jedno od glavnih sredstava u prou6avanju raznih osobina i zakonitosti jezika. Medu svim dosad uvedenim modelima jezika zna6ajno mesto zauzimaju verovatnosnostatisti6ki modeli, koji koriste metode teorije verovatno6e i matematine statistike. Oni omogauju uspe no prou6avanje statistike strukture jezika 6ije poznavanje ima veliku praktienu primenu. Iakav pristup verovatnosnollstatistiekog modeliranja polazi od pretpostavke da se tekst posmatra kao sluaajni proces, a jedinice teksta kao sluaajni dogadaji. Proizvod svakog izvora informacija moiemo posmatrati kao slueajni proces. Jezik L sa alfabetom A = ( a,a 2,...,a s ), sen intepretiramo kao diskretan sluaajni proces X(t), teted, gde je D skup celih brojeva a realizacije procesa su nizovi (x t ), ted koji predstavljaju tekstove jezika L nad alfabetom A. Konstrui imo verovatnosni prostor (, F, P ), pri aemu je skup svih mogu6ih ishoda ={ (x t ), tee }, a elementarni dogadaji wie su nizovi oblika (x t ),ted. Za fiksirano we, proizvoljno nen i t,t 2,...,t ned defini emo realizaciju iii trajektoriju sluoajnog procesa: = (x,x 2,,x n ) gde je x l = a t,x = a t,,x n =a t 2 t <t 2 <...<t n, a t,a tt EA. 2 n Svakoj realizaciji pridrutujemo verovatnosnu karakteristiku P tako da je za svako fiksirano n :

21 entropija jezika Aproksimacija modela, u odnosu na realni jezik, je to Oemo pretpostaviti da sluaajni proces koji opisuje jezik ima stacionarni karakter, tj. pretpostavlja se nepromenljivost kompleksa uslova u vremenu tokom produkcije sistema. Realni tekstovi su realizacija nestacionarnog slu6ajnog procesa. Razlog tome su pdeci i zavr etci tekstova (pasusa) gde je naroena stacionarnost (npr, poznati standardni poteci teksta), a ho se vise odmiemo od pdetka osobina stacionarnosti ie sve bolja. Zbog slo2enosti primene matematiekog aparata izueavanju nestacionarnih slueajnih procesa, uzima se pretpostavka o stacionarnosti jezika, pa eemo dalje posmatrati samo stacionarni jezik i podrazumevati da je njemu odgovarajuei izvor stacionaran izvor. Definiciia 2 Stacionarni jezik L je reda m ako je m najmanji prirodan broj za koji va2i. : P(a n ia l a 2...a n _ i ) = P(a n la n _ma n _ m+* a n- ) za svaku realizaciju ( a k a k a k ) a k E A, 2 i za koju postoje navedene uslovne verovatnoee. Intuitivno je jasno, a eksperimentalno potvrdeno, da na verovatno]u slova na n-tom mestu najvi e utiee slovo na (n-)-om mestu, ne to manje slovo na (n-2)-om mestu i tako sve manje do slova na nekom (n-m-)-om mestu koje vise ne utioe na

22 entropija jezika uti6e samo n-gram (a n-m a n-m+*..a n-) Prema tome, u jeziku reda m na verovatno6u narednog slova uti6e samo m prethodnih slova. Za izvor (A,P) koji generi e jezik reda m keemo da je izvor sa veli6inom memorije m. Za poznat red jezika m l) pojednostavljeno je izra6unavanje verovatno6a n-grama jer je )P( ms2 7. )* *P( xm+3 x 3... xm+2 ). P( x n _ i lx.- x n _ 2 )P( x n x n _m x n _ i ) Ovim je pokazano da je jezik L, tj. njemu odgovarajuei izvor (A,P) potpuno odreden ako je data respodela verovatnoda tekstova du2ine m+, jer je tada odredena i raspodela tekstova bilo koje du2ine n>m+. Zna6i, sve statistiake osobine stacionarnog jezika reda m kondezuju se u strukturama xm o ). U prouaavanju jezika od znaeaja su uslovne verovatnae : P(x x 2...x n ) P(x n lx i x 2...x n _ ) =, P(x x 2...x n _ ) >. P(x l x 2...x n _ i ) Statistieke verovatno]e n-grama utvrduju se na osnovu dovoljno dugaakog uzorka tekstova. Ali, vee za tetragrame, a posebno za n-grame kada je n>5 to predstavlja nedosti2an zadatak i uz upotrebu najsavremenije raeunarske tehnike jer je praktiano ) Praktidno je te ko utvrditi red m nekog konkretnog jezika, pa se u praksi uzima vrednost koja dovoljno dobro aproksimira realno stanje (za prirodne jezike obieno se uzima m oko 3).

23 entropija jezika nemoguae dobiti potpune statistiake podatke za odgovarajuee n-grame. Zbog toga su pronadene metode za ocenu entropije jezika izvodenjem statisti6kog eksperimenta. Definiciia 3 Entropija jezika na jednu poruku du2ine n defini e se : H n H(x x 2...x n ) = - E P() log(p()) = = - E p(x x. x ) logp(x...x...x ) n n x EA Entropija Hn zavisi samo od n, alfabeta A i raspodele verovatnoea n-torki tog jezika. Ona predsavlja meru neodredenosti na jedan n-elani niz i izra2ava se u bitima na jedan niz (bit/niz). Teorema Za stacionarni jezik L, tj. stacionarni izvor (A,P) sa konaenim alfabetom i svaki prirodni broj n postoji graniena vrednost i jednaka je entropiji na slovo jezika : H = lim H(x n lx i x 2...x n _ ) < m n->m Dokaz. Polazai od nejednakosti H(IAB)sH(IB) i smene x n =, x 2...x n _ =B, x =A dobijamo H(x n lx i x 2...x n _ ) s H(x n x 2...x n _ ). Vi estrukom primenom ovog postupka imamo da je H(x n I x n- ) H(x n Ix n-2 x n- ) k k H(x n Ix x 2*..x n- ) Ovo je monotono nerastuoi niz brojeva za koji vaii za svako n: OsH(x n lx i x 2...x n _ ) s H(x n ) s H o = log s Kako je ovaj niz nerastuei i monotono ogranieen on je

24 entropija jezika Na osnovu osobine stacionarnosti prirodnog jezika neposredno sledi da je i teleprinterski jezik stacionaran. Time je omogudeno da postavimo odgovarajuee statistieke modele u obliku diskretnog izvora informacija (A,P) i teleprinterski jezik posmatramo kao proizvod takvog izvora informacija. Poznavajuei odgovarajde raspodele P, koristeei prethodne teoreme vr ieemo statistieko odredivanje potrebnih entropija teleprintargkog Za jezik T nije moguoe jednostavnim postupkom odrediti entropju jer je po svojstvima blizak prirodnom jeziku to poseduje memoriju velieine m. To znaei da na verovatnoau n-tog slova utiee m-gram koji mu prethodi : P(x n lx x 2...x n- ) = P(x n lx n-m x). Zbog toga su definisane i koriste se razne metode posrednog odredivanja entropije izvodenjem eksperimenata koji su u skladu sa pojmom entropije jezika [4]. Najpoznatiji je genonov metod i njegove varijante kojima se ocena entropoje vr i eksperimentom pogadanja slova nepoznatog teksta i naknadnom matematiekom obradom rezultata. Zbog nepodesnosti slovaanog nivoa jezika za korimenje u komunikacionom kanalu i lakog korimenja kodiranog oblika, na e interesovanje je usmereno na binarne nizove jezika. Formiranje binarnog izvora moguae je kodiranjem teksta nekim binarnim kodom. Karakteristika tih izvora, verovatnoda p o = P( u = ), odredena je iz primenjenog koda i jezika kome i pripada tekst. U na em sluaaju vr i se kodiranje tekstova

25 entropija jezika srpskog jezika ITT N 2 kodom, to odreduje karakteristike posmatranih binarnih izvora. Za razliku od jezika T, odredivanje entropije binarnih jezika T i, i =,5 mogude jednostavnijim postupkom. Razlog tome je to je kodiranjem i izdvajanjem kanala redukovan alfabet, a time i slo2ena jezieka struktura jezika T. Ako uoeimo niz slova teleprinterskog jezika T i, na osnovu utudnog postoiada moorijp Aisiog reds, ufibmo oparpiiti jezika T i reda m na m+ podnizova. Time dobijamo podnizove sastavijene od medusobno nezavisnih bitova x l,...,x n, koji imaju raspodelu verovatno6a : P(x j =a i )=P(ad=p i, j=,2,...,n, i=,. Tako separisani nizovi teleprinterskog jezika emituje slova u skiadu sa raspodelom verovatno6a (p o,p ) pa zbog toga va2i : P(x x 2...x n )=P(xP(x 2 )...P(x n ), x i EA, j=,2,...,n kao i da je : H(x ) = H(x 2 ) = = H(x n ). Na osnovu ovog dobijamo entropiju n-6anog niza : H(x x 2...x n ) = H(x ) + H(x 2 ) + + H(x n ) = nh(x ) i entropiju na slovo : H H(x...x) n H = lim =lim = H(x ) = - E p i log p i n >a) n >co =o Vrednost to entropije poklapa se sa entropijom jezika T i na poruku duiine jednog slova, to pojednostavijuje odredivanje vrednosti entropije.

26 entropija jezika Rezultati odredivanja raspodele, testiranja nezavisnosti, odredivanja entropije za posmatrane jezike prikazani su u poglavlju (4) i odgovarajueim prilozima.

27 uslov za umljenosti koder-dekoder sa parametrima k i n tako da je : k n HPIZ) d _ c 4K-c P e c gde je R rata prenosa, d ekvivokacija i P e rata grake u bitovima za legitimnog desnika. Posmatramo slueaj kad je glavni kanal bez uma P e =. Za ovakav specijalni slueaj komunikacionog sistema Winer je dokazao da je par (R,d) dopustiv akko je : d h(p)=.5.8 I p= hlpl = -p togp - -) logp OS d S, Os R S. Skup R parova (R,d) koji su dopustivi prikazan je na slici 7 za slueaj h(p)=.5 : Ft Slika 7. Oblast R dostitnih taaaka (R,d) za h(p)=.5 Oeigledno, ako je h(p)=.5 ekvivokacija d= mote se postiai za Rs.5 koristedi odgovarajuei kod jer je ispunjen uslov (). I za slueajeve h(p).5 lako se postiie apsolutna tajnost ( d= ) koristeei odgovarajuai kod rate R=.5 (na primer kod eije kodne

28 uslov za umljenosti reei aini k=- 2.- bitova vektora u i 2 2 slaajnih bitova). Naizgled za h(p)s.5 nije moguae zaftititi ulazni niz u. Sledeea teorema (osnovni rezultat iz [2]) daje uslove pod kojima je i tada moguee kodiranjem potpuno zaftiti vektor u, tj. postioi apsolutnu tajnost, koristiti (n,n-m) linearni kod : Teorema 3 Neka je s m-dimenzionalna projekcija od u : s = u P gde je P proizvoljna nxm matrica, ranga m i gde je u slueajni binarni n-vektor. Za P fiksirano, posmatramo linearni kodni skup rate R= sa funkcijom kodiranja i dekodiranja : x = u A - u = x A gde se A bira slueajno i uniformno iz skupa regularnih nxn binarnih matrica. Nad tim kodnim skupom svaka m-dimenzionalna projekcija s vektora u potpuno je za tiaena od prislakivanja: P{ A : H(SIZ) k m(-) } = -.5(n) za VA>, (2) samo ako je WT kanal dovoljno za umljen, tj. : h(p) k gde S(n) > za n-' -- M n (3) Dokaz teoreme dat je u [2] i sastoji se u dokazivanju tri leme. Taj dokaz dajemo na kraju ove sekcije (3.3) jer svojim elementima omogueava bolje razja njavanje sadr2aja i postupaka u daljem izlaganju. Pomenuli smo da se za h(p)k.5 ( ps.3 ) moie koristiti metod kojim se informativnim bitovima pridodaje skup slueajnih bitova, sa ciljem izazivanja konfuzije kod nepozvanog

29 uslov za umljenosti ueesnika. Teorema omogueuje ekonomoniji postupak: svih n bitova kodnog vektora koriste se za prenos informacije u kodiranom obliku, a za nepozvanog desnika i u tajnom obliku. U sistemu nema nepoznatih iii kriptografskih elemenata, vee je nepozvanom ueesniku onemogueava korektno dekodiranje postojanjem samo odgovarajudeg nivoa uma na prislanom kanalu. U tom sistemu komunikacije posmatramo linearne kodove sa ratom kodiranja R=, tj. posmatramo u vektore duzine n koji se kodiraju u n-vektore x. Tako, u sluaaju h(4.5 mo2emo podeliti vektor u na dva dela s i s 2 koji ee biti potpuno za tieeni na individualnoj osnovi : H(S 2) = H(S 2 IZ) =. Ako je h(p) <, tada ne mo2emo potpuno za tititi s l i s 2. Ako je pak s h(p) < 2, mole potpuno tada se u podelom na 3 dela s,s 2 i s 3 Oaigledno, prethodna teorema ukljuauje particiju vektora u kao specijalni slueaj dobijen njenom vi estrukom primenom : Posledica teoreme 3 Neka su : m-dimenzionalne projekcija od u, gde su proizvoljne nxm matrice projektovanja ( m-dimenzionalni operatori projektovanja), ranga m i gde je u sluaajni binarni n-vektor. Posmatramo linearni kodni skup rate R= sa funkcijom kodiranja i dekodiranja : x = u A - u = x A

30 uslov zatumljenosti gde se A bira slueajno i uniformno iz skupa regularnih nxn binarnih matrica. Nad tim kodnim skupom sve m-dimenzionalne projekcija s vektora u potpuno su zaftieene : i P{ A : H(S i lz) k m(-a),i=,2,...,m k- (n)= -6(n) za VA>, samo ako je WT kanal dovoljno za umljen, tj. : h(p) (3) n gde 8(n)--> za n-4m Ako je mm=n, tada npr. molemo uzeti za s prvih m bitova iz u, za s 2 drugih m bitova, itd., pri eemu su sve projekcije zaftidene na individualnoj osnovi, ako je h(p) 7. Postupak particije omogueava da se svih n bitova kodnog vektora iskoriste za prenos informacije u obliku zaftieenom od prislu kivanja. Taj postupak omogueava i re avanje problema za tite u slueaju malog uma na prislu nom kanalu, smanjivanjem dimenzije m projekcija s i. 3.2 Uslov za umljenosti i redundanca Prema teoremi 3 pretpostavlja se da je vektor u slueajan i zbog toga bez redundance. Kako vektore teleprinterskog jezika karakteri e neuniformna raspodela to je potrebno izvr iti prairenje rezultata prethodne teoreme. PosmatraOemo blok kodere, tj. takve kodere koji primaju podatke u obliku nizova jednake du2ine k: u=( u 2...uk ). Ako je broj razlieitih ulaznih simbola q, tada je M=q k razlieitih blokova du2ine k i za svaki od njih koder daje odredenu kodnu rec. Svaka kodna ree x=(x...,x ) je niz od n ulaznih slova

31 uslov za umljenosti kanala (slika 8). Broj n naziva se du2ina bloka koda. Izlaznom nizu kodera dodeljujemo broj m, a odgovarajueu kodnu ree oznaaavamo x m. Izlazni niz kanala sa umom, koji odgovara ulaznoj kodnoj reel xm,oznaeimo Neka je P n (yx m ) verovatnoaa prijema niza yr.(37,...,y n ) kad je xm preneta kodna Za diskretan kanal bez memorije to verovatnaa prenosa kanalom bite : koder k In = fl Ny.lx MO..). i= kanal sa umom Slika 8. Kodiranje kanala sa umom Ovo izlaganje dajemo u op tem obliku, a na kraju aemo razmotriti specijalni sluaaj binarnih nizova (q=2). Teorema 5 (teorema kodiranja kanala sa umom) Neka je P n (yx) verovatnoaa prenosa za diskretan kanal dodeljena nizu du2ine nz. Neka je Q n (x) verovatnoea dodeljena skupu ulaznih nizova kanala, za dati broj M2 kodnih reel y du2ine n posmatranog kodnog skupa, iz koga se kodne reel biraju nezavisno sa verovatnoaom Q n (x). Pretpostavljamo da proizvoljna poruka m, smsm ulazi u koder, uz minimalnu verovarnodu gre ke dekodiranja. Tada je srednja verovatno6a gre ke dekodiranja, po tom kodnom skupu, ogranfeena za svaki izbor p, Osps : e,m (M- )p E [ E Q n (x) P n (ylx) +P ] +P y x

32 uslov za umljenosti Dokaz teoreme dat je u [3]. Posledica teoreme 5 (za diskretan kanal bez memorije) : Ako diskretan kanal bez memorije ima: P n (ylx) = P(y n ix n ) ; ograni6en ulazni alfabet kanala sa verovatnoeama slova Q(k), k=,,...,k-; verovatnoae ulaznih nizova kanala Q n (x)= = TT Q(x n ), za svaku kodnu rec sa slovima koja se biraju i=, q e,m (M- ) P E...E [ E...E p Q(x n ) P(y n lx n =(M - =(M- ) P y y n X X n i= )P E [ E Q(x n ) P(y n Ix n ) 44) +P = { Y n X n E L E Q(k) P(jk) +P J- [ j= k= ) +) P + - Teorema 6 (objedinjena teorema kodiranja za izvor i kanal) 6.. Neka je P n (yx) uslovna verovatno6a nizova du2ine n diskretnog kanala i posmatramo kodni skup, unutar koga se M kodnih real bira nezavisno sa verovatno6om Q n (x). Verovatnode poruka, koje se kodiraju u to kodne real, oznadimo P(m)=q m, smsm. Neka je qm P(yIxm ) maksimum aposteriorne verovatno6e } n dekodiranja y is izabrano m. Ako ozna6imo sa : P e = E q m T e,m srednju verovatno6u gre ke dekodiranja po skupu poruka i po kodnom skupu, tada je za svaki izbor p, Osps : e M cl i+p E(x) pn(3,x) +p m= y x (4)

33 uslov za umljenosti je U diskretan izvor bez memorije uprokenog komunikacionog sistema sa prislakivanjem. Tada uz uslov: XH(U)<, X = imamo da je za kanal sa umom : H(U)<-h(p) i na osnovu teoreme 6.4 sledi da WT mote smanjiti ekvivokaciju, tako da H(UIZ)-4 koristki zajednieki kod izvora i kanala. Ako taj uslov nije ispunjen bite : H(U) z -h(p) (22) ili za poruke u du2ine n : H n (U) z n[-h(p)] Na osnovu uslova (22) u obliku h(p) Z H(U) i uslova (3) svaka m-dimenzionalna projekcuja s od u mote biti potpuno zaftieena ako je : h(p) Z.-7 + [ H(U)] (23) < m s nh(p) - [ n - H n (U) ] (23') Izraz n - H n (U) je redundanca (suvi nost) prisutna u poruci u i znaeajno utiae na oblik informacionog toka do WT. Otklanjajuei uticaj redundance smanjujemo maksimalnu velieinu projekcije m koja se mote potpuno za tititi. Teorema 6 omogutava prosirenje tvrdenja teoreme 3 na neslueajne nizove uz zamenu uslova (3) o trijim uslovom (23) i na taj naoin dobijamo sledeeu teoremu :

34 uslov zatumljenosti Teorema 3' Neka je s m-dimenzionalna projekcija od u : s = u P gde je P proizvoljna nxm matrica, ranga m i gde je u binarni n-vektor bez memorije. Za P fiksirano, posmatramo linearni kodni skup rate R= sa funkcijom kodiranja i dekodiranja : x = u u = x A gde se A bira slu6ajno i uniformno iz skupa regularnih nxn binarnih matrica. Nad tim kodnim skupom je m-dimenzionalna projekcija s vektora u za tieena od prislu kivanja: P{ A : H(SIZ) k (-) } = -8(n) za VA>, samo ako je WT kanal dovoljno za umljen, tj. : h(p) k -7 + [ - H(U)] (23) gde 6(n) > za n '. Oeigledna posledica i za teoremu 3' je moguenost particije vektora u, na m-dimenzionalne vektore, kori denjem skupa operatora projektovanja : P,P 2,...,P m : Posledica teoreme 3' Neka su : s.= up i=,2,...,m m-dimenzionalne projekcija od u, gde su P,P 2,...,P m proizvoljne nxm matrice projektovanja ( m-dimenzionalni operatori projektovanja), ranga m i gde je u binarni n-vektor bez memorije. Posmatramo linearni kodni skup rate R= sa funkcijom kodiranja i dekodiranja : x = u A - u = x A gde se A bira sluaajno i uniformno iz skupa regularnih nxn 37

35 uslov za umljenosti binarnih matrica. Nad tim kodnim skupom sve m-dimenzionalne projekcija s i vektora u potpuno su zaftieene : P{ A : H(S i lz) k } k-m.5 (n)=. -8(n) za VA>, samo ako je WT kanal dovoljno zatumljen, tj. : h(p) k gde 8(n) --> za n-4d. Posmafraluei raz (x r ), + [ H(U)] poseduje memoriju reda m, oeigiedno je, na osnovu definicije memorije reda m (2.2 def.2), da se izdvajanjem M podnizova du2ine k: X i x i..4 M4+, i=,,...,m- k -)M ' (24) dobijaju disjunktni podnizovi medu eijim elementima nema zavisnosti od prethodnih elemenata istog podniza, tj. nema memorije (memorija podnizova je reda m=). Minimalan broj nezavisnih podnizova, za niz sa memorijom reda m, je M=m+. Zbog jednostavnije podele i manje slo2enosti koda koji demo konstruisati u daljem izlaganju uglavnom demo koristiti minimalnu particiju niza sa memorijom reda m na m+ podnizova : X i X _ i_ + ( m+ ) X i+2 ( m+)* *OXi i. ( k-)(m+) ' i=,,...,m. (25) KoriMenjem specijalnih operatora projektovanja P i, koji ostvaruju particiju oblika (25), mogude je formirati projekcije s.= up., koje dine proizvoljni disjunktni podskupovi bitova. Na taj naain moguee je primeniti postupak za tite kodiranjem i na binarne vektore u sa memorijom reda m. Mo2emo postaviti slededu teoremu koja sledi iz prethodnog izlaganja:

36 uslov za umljenosti Teorema 4 Neka su : s.= up,, i=,2,...,m m-dimenzionalne projekcija koje 'eine M proizvoljnih disjunktnih podskupova bitova od u, gde su specijalni m - dimenzionalni operatori projektovanja ranga m i gde je u binarni n-vektor memorije najvige reda M-. Posmatramo linearni kodni skup rate R= sa funkcijom kodiranja i dekodiranja : x = u A - u = x A gde se A bira sluoajno i uniformno iz skupa regularnih nxn binarnih matrica. Nad tim kodnim skupom sve m-dimenzionalne projekcija s i vektora u potpuno su za tioene : P{ A : H(S i lz) }.--M8 (n)= -8(n) za VA>, samo ako je WT kanal dovoljno za umljen, tj. : h(p) a gde 8(n) --> za n -->4). + [ H(U)] Na osnovu Teoreme 4 formiraeemo kodova koji omoguduju zaftitu teleprinterskog jezika od prislakivanja. 3.3 Dokaz teoreme 3 Dokaz teoreme sastoji se u dokazivanju sledede tri leme:

37 uslov za umljenosti Lema Neka je H = AP, gde je P fiksirana nxm binarna matrica ranga m. Ako A biramo uniformno iz skupa nesingularnih nxn matrica, tada je H uniformno raspodeljeno na skupu svih nxm binarnih matrica ranga m. Dokaz Iako je tvrdenje leme Oigledno, dademo kompletan dokaz zbog elemenata koji 6e se koristiti u sledeeim dokazima. Dokaiimo prvo Lemu za specijalan sluai: P = o... o o... o = p * gde operator preslikavanja preslikava prvih m komponenti vektora u ( s = up ). U tom slueaju, stubci od H su prvih m stubaca od A u istom poretku ( H = AP ). Broj nesingularnih A nxn matrica je (2 n -)(2 n -2)(2 n -4)...(2 n- 2 n- ) jer postoji 2 n - izbora za prvi stubac od A ( odbacuje se -vektor ); 2 n-2 izbora za drugi stubac ( prvi izabrani stubac pripada jednodimenzionom potprostoru od 2 vektora; k-dimenzionalnom potprostoru pripada 2 k vektora); 2 n -2 2 izbora za treei stubac t prethodno izabrani stubci pripadaju dvodimenzionalnom potprostoru od 2 2 vektora);itd. Da bi matrica H bila ranga m, snail prethodnom, izbora ima : (2 n -)(2 n -2)(2 n -4)...(2 n- 2 m- ) jer su u H linearno nezavisni n-vektori. U specijalnom slueaju

38 uslov za umljenosti izbora P=P * stubci H su prvih m stubaca od A, a njihov broj je: (2 n_ 2m )(2 n_ 2m+ )...(2 n_ 2 n- ) preslikanih iz A u svako H. To je dokaz Leme za specfijalni slueaj izbora matrice P. Pretpostavimo sad da je P nxm proizvoljna matrica reanga m. Tada postoji nesingularna matrica B nxn ( detba) ), koja nije jedinstvena, tako da su prvih m stubaca matrica B i P jednaki: P = BP * Tada se familija H matrica generi6e sa H = AP = (AB)P * gde A, kao i AB, uzima vrednosti iz prostora svih nesingularnih nxn matrica. Zato su H matrice uniformno raspodeljene u prostoru svih binarnih matrica ranga m, kao za P=P *. Lema 2 Prizvoljna matrica provere H dimenzije nxm, ranga m, uniformna po svim mogaim vrednostima odreduje isti kodni skup kao i (n-m)xn generatorna matrica G, ranga n-m, uniformna po svim svojim moguaim vrednostima. Dokaz : Za datu matricu G, kod generise (n-m)-dimenzioni podprostor razapet nad redovima matrice G. Kako su redovi G n-dimenzionalni vektori to za (n,n-m) kod, zakljuaujudi kao u dokazu Leme, mogu6e je generisati razliaitih matrica G: (2 n-m-)(2 n-m -2)(2 n-m - Birajuei uniformno matrice G iz skupa svih (n-m)xn matrica sa maksimalnim rangom je ekvivalentno izboru koda uniformno iz svih (n,n-m) linearnih kodova.

39 uslov za umljenosti Slieno, izbor stubaca matrice pariteta H odreduje : (2 m -)(2 m-2)(2 m-4) (2 m-2 m- ) kodova, gde svakoj matrici H odgovara jedan (n,n-m) kod. Zbog toga je izbor H uniformno ekvivalentan uniformnom izboru (n,n-m) koda. Lema 3 Ako je (n-m)xn generatorna matrica raw n -m izabrana uniformno po svim mogueim vrednostima, u ako je H njoj pridruiena matrica provere, tada za svako A> : P{ G : H(EH) Z n(h(p)-2) } = -5(n) gde je fiksirano, h(p) < - R = i p rata greske, u bitovima, za e. Dokaz : Dokaz izvodimo u dva koraka. Prvo Oemo pokazati da ako je G izabrano uniformno iz skupa (n-m)xn matrica maksimalnog ranga tada, sa verovatnodom -8(n), kod generisan matricom G je "dobar" kod, za R < = - h(p),na BS sa ratom greske p ( <ps2 ). Tada je blok gresaka P(e) tog koda koji se koristi za korekciju gresaka : P(e) < c, c >. Primetimo da je P(e)*P e. P e je bit rata greske legitimnog Oesnika i na kanalu bez uma P e =. P(e) ima drugaeije znaaenje jer kod generisan matricom G nije korektivni za oba kanala, nego izaziva konfuziju na kanalu prislakivaaa. Ako G biramo uniformno iz skupa svih (n-m)xn matrica proizvoljnog ranga, primenom teoreme kodiranja za kodove

40 uslov za umljenosti Iz datih lema i nekoliko slededih einjenica sledi dokaz Teoreme 3 : Izbor notacije vektora m-dimenzionalne projekcije s=up je odreden time to demo s indentifikovati sa sindrom vektorom: s = up = (xa)p = x(ap) = xh. Wire-tapper prijemnik prima vektor z = x e tako da je s = ( z e )H = zh eh gde je e sa raspodelom svojstvenom binarnom simetricnom kanalu sa verovatnoaom gre ke p. Kako su z i e nezavisni, raspodela s za dato z je translacija sa raspodelom eh : H(SIZ) = H(EH). (27) Posmatramo H kao matricu pariteta za (n,n-m) linearni kod, eh kao sindrom vektor. Ako je taj linearni kod dobar korekcioni kod vaii da je : R < = -h(p) ili ekvivalentno : h(p) < - R = (28). Kako je nama cilj da onamoguoimo postojanje korekcionog svojstva, tj. informativnosti sindroma postavljamo suprotan uslov da je R a pa umesto (28) imamo pretpostavku (3) teoreme: h(p) Tada je na osnovu Leme 3 i (27) oeigledno tvrdenje (2) i vaii: I(S;Z) = H(S) - H(SIZ) = m - H(SIZ) = m - H(EH) s m - nh(p)s odakle sledi da je I(S;Z) =. Q.E.D.

41 uslov za umljenosti 3.4 Dokaz teoreme 6 Dokaz teoreme 6..: Lema: Neka je P(A ),...,P(Am ) skup verovatnaa dodeljen skupu dogadaja A l,...,am. Za verovatnoeu njihove unije va2i : P(UAm ) s E p(am T, < p s, m=,2,...,m () Dokaz leme: Jedna od osnovnih osobina verovatnoee je : co co P(VAm ) s E P(Am ) (lema o pokrivanju). () Za konaaan skup dogadaja bide : PI M A m) s f E P(Am ) (2) (3) Ako je E P(Am ) < tada stepenovanjem sa p iz (2) sledi (). m Ako bi bilo E P(Am ) Z stepenovanjem dobijamo da je [EP(Am )] P2, pa se na osnovu gornje granice verovatno6e (3) dobija (). Time je lema dokazana. zna6imo sa P(y) verovatnoeu prijema niza y na skupu kodnih real x : P(Y) = E Q n (m m )p n ( y lmm ) Tada je verovatnoaa gre ke dekodiranja : m P erm- E E Q n (x m ) P n (ylx m ) P(gre kalm,x,y) (4) x m y gde je P(gre kalm,x,y) uslovna verovatno6a gre ke dekodiranja za poruku m, dodelu odgovarajaeg kodnog niza x m poruci m i

42 uslov za umljenosti prijem niza y. Sumiranje je respektivno pa svim ulaznim i izlaznim nizovima kanala du2ine n. Za dato m, x m, y defini emo dogadaj A m za svako m'o m, kao dogadaj da se kodna. x m, izabere tako da je qm, Pn(Ylxm, ) Tada imamo za svako p, <ps : 2 qm,n(ylxm) P(gre kalm,x m,y) s P( U,Am,) s E p(a.,t), m. (5) Iz definicije Am, imamo za neko s > (4,P n (YIX.,) S P(Am,) E Q n (xm' ) E Q (xm ) - i, m (6) x :q P (ylx )4: P(ylx) m' m' n m' m n m m' g m r n kyi X Promenljiva xm, u (), je privremena promenijiva sumiranja i indeks m' moiemo ukioniti posmatrajudi promenijivu x, pa smenom (6) u (5) imamo : P(gre kalm,xm,y) q: s P n (Ylxm ) - ) [ E q: Qn (x)p n (ylx)p Smenjujudi poslednju nejednakost i oslobadajuei se privremene promenljive sumiranja x m, transformi emo verovatnodu gre ke dekodiranja (4) na sledeei na6in : P e,.. E E Q n (xm ) P n (yix m ) P(gre kalm,x m,y) s x m y ) s E E cc spqn(xm) pn(ylx.) i-sp] qsp E q: Qn ( x ) Pn ( Y x )s, y x P m E [ E q:spqn (x) p n ( y jx) - y x Dobijeni izraz smenjujemo u : P e = E q m T e,m E clisniqn(x)p n(y x) )

43 uslov za umljenosti +I) A m = j = E n(j) +p (9) Pretpostavidemo da tvrdenje (8) vei za k=k, ken : M A r = [ 4m n(j) +p ]k M= Ak. (2) m= j= Pokeimo da vei i za k=k+,pri eemu je M=A k+ m A A, A v ki,.., m +P = [ E nu ) i+p pc+ = [ E Hu) i+p p c E n(i) +p L m=.= j= j= A i I A E +p E nu) +p =(smena sa (2) ) = q m= m j= m= A INA E qin+p Prelaskom na eksponencijalni zapis dobija se (5). Dokaz teoreme 6.3. : A- Za p= je E +P =, M=A k+i A- E n(i) =, pa je oeigledno E. ()=. = Drugu osobinu funkcije E 8 (p) dobijamo odredivanjem izvoda po p to slo2ene funkcije. ae s (P) A- = E s (P) = (ln E n(i) ap i= = i=o i= P E (i) i+p ' + (AE-i ll ( p in (i) +P )) i=o +p ) i= E = = + E n(i) +P ) + pl E n(i) - n(i) i+p = = (+. E n(i i=, I A- - i+p E = (+p) = (i) +P inn(i)) + in(e I(i) + P

44 uslov za umljenosti ae s ( p) ap = ( - E n(i) ) A- E (- n(i) () + ne n(i) ) = p= = i=o i=o A- = - E R(i) (i) = H(U) i= Funkcija V()) je strogo rastda jer je aigledno E s (p)> za Ospsl (II( ). Dokaz teoreme 6.4. : Iz (5) dobijamo: Tes exp { - ne o (PA) + ke B (P) } = exp f- n(e (P,(2) - ilie s (P))) Srednja verovatno6a gre ke P ew za n co i izabrane, fiksirane Q(k) (za koje vaii EQ(k)=), ako je funkcija k E(p)=E (p,q)-xe. (p) rastaa pozitivna funkcija. Za n--k funkcija E(p)-4E (p,q) jer XE s (p)-4 pa je E(p)Z, zato to je E o (p,q)z, pz ( to sledi neposredno primenom (E P i a i ) r E P.a i r, r<, E P 4 = na drugu sumu iz E (p,q), tj. na: K- -- E Q(k) P(jk) +) za p>,a za p= oaigledno vati tvrdenje). k= Srednja verovatnoea gre ke dekodiranja mote se zapisati i u obliku sledeee granice ( [3],(5.6.5)): P es exp f-n(e (p,q) - PR) 3E o (P,Q) Oznacimo sa EO(p,Q)= ap i uocimo da je (E (p,q)-pr)i P=o=O. Funkcija E (p,q) ima osobine ([3] st.42): ae o (p,q) a 2 E ),Q) E (p,qw), ap >, ap 2 so, tpo (2)

45 uslov za umljenosti Tada je: E,;(p,Q)-R >, tj E(p,Q) > R na osnovu fundamentalne teorema ([3] st.43) da bi bilo ispunjeno max[e,(p,q)-pr]> za OsR<. p,q u Funkcija E(p) bide rastuda ako je a E( ap -._ E p (p,q)-xe:(p)>o, a to je ispunjeno jer, imajuei u vidu osobine (8), (2) i pretpostavku AH(U) < R, va2i : Elo (p,q)-8(p) k Vo (p,q)-4e:( p.o > R - XH(U) >. Q.E.D. 3.5 Dokaz teoreme 4 Na osnovu prethodnog izlaganja i dokazanih teorema sledi neposredno i dokaz teoreme 4, s tim to je ostalo samo jo da poka2emo da va2i: I(S i ;Z) =, i=,2,...,m. I(S i ;Z) = H(S i ) - H(S i lz) = = H(S i ) - ( H(S i Z) - H(Z) ) = H(S i ) - (H(ZIS i ) + H(S i ) - H(Z)) = = H(S i ) - [H(ZIXH i ) - (H(Z) - H(S i ))] = = H(S i ) - [H(ZIX)-(H(Z)-H(UP:))] s m - [nh(p)-(n - H(U))]= = m - nh(p) + (n - H(U))s, i=,m, pri eemu smo iskoristili: uslov (23'), H(Z)sn i H(ZIX)=nh(p). Poslednja jednakost va2i, bez obzira na raspodelu X, jer su X,Z ulazi i izlaz binarnog simetrienog kanala. Na osnovu prethodnog sledi da je : I(S i ;Z) =, i=,m. Q.E.D.

46 4. ENA ENTROPLIE

47 ocena entropije postaju i ostaju priblono konstantne kad du2ina tekstova neogranieeno raste. Otud je pri analizi jeziekog materijala koriken obiman materijal da bi dobijeni rezultati bili verodostojni. Pored ocena dati su i intervali poverenja parametara da bi se dobila to savr enija ocena parametra. Pri ispitivanju zakonitosti jezika dal() se do zakljaka da u okviru nekog konkretnog jezika treba razlikovati podjezike, kao to su na primer : literarni, novinski, telegrafski, tehnioki, vojni telegrafski, jezik odredene specijalnosti i dr. genon je zato uveo pojam eistog jezika za jezik odredene specijalnosti iii podrueja, a jezik u celini se naziva jezikom sme e. U na em razmatranju nije potrebno ispitivati jezik u celini, yea samo telegrafski jezik. Porto je razmatranje spu teno na nivo teleprinterskog koda za taj jezik usvojili smo, kao prikladniji, naziv teleprinterski jezik, da bi istakli uticaj postupka kodiranja teleprinterskim kodom ITT 2 u njegovom nastanku. Postupkom kodiranja fonetska i fonolaka jezieka svojstva su oslabljena i izmenjena, ali je termin jezika, za teleprinterski jezik i jezike teleprinterskih kanala, uzet da bi se imalo u vidu poreklo tih nizova, koji su od prirodnog jezika nasledili karakteristienu raspodelu i niz drugih osobina. Kao to je vea reeeno, nemoguoe je jednim modelom obuhvatiti svu raznovrsnost i bogatstvo jezika u pogledu njegovih mogudih realizacija. U tom smislu pogodna je situacija to nas interesuje odredeni podjezik (teleprinterske

48 ocena entropije komunikacije) i to na nivou koda. Time se mnogo uprokava potreban model jezika jer smo potpuno odvojeni od fonetskih i fonolakih svojstava jezika, a u statistiekom smislu takav prilaz omoguaava da se na manjim uzorcoma dobiju pouzdani rezultati za raspodele verovatno6a pojedinih obelaja. ObjasniOemo detaljno model jezika koji je koriken u ovim razmatranjima. Prva transformacija pisanog jezika u teleprinterski jezik (samo za uzorak srpskog jezika) je bigramiranje karakteristihih glasova naeg jezika: 6= Or...S 2=ZZ =SS j=lj nj=nj d=dj d2=dz. Na uzorcoma teksta srpskog i engleskog jezika, pisanim sloveano-znakovnim alfabetom A teleprinterske tastature, izvr ena je glavna transformacija postupkom kodiranja ITT kodom. Postupkom kodiranja dolazi do svodenje ulaznog alfabeta pisanog jezika od 58 znakova na 32 kodna slova ITT koda, to podrazumeva i uvodenja karakteristianih teleprinterskih znakova (specijalni znaci). Na taj naein dobija se teleprinterski jezik T blizak pisanom jeziku, a iz njega se, izdvajanjem teleprinterskih kanala, dobijaju jezici T i. Drugim reeima, posmatra se model teksta napisan pomoau alfabeta ITT N 2 koda iz priloga : ITT 32 = {,,,...,, }, a u tablici je vidljiva uspostavljena korespodencija sa alfabetom pisanog teksta. U sustini, ree je o 'gest modela na kojima je vr ena obrada teksta, jedan model za slov8ani nivo sa alfabetom ITT 32 i pet modela sa alfabetom {,} za kanale

49 ocena entropije ITT koda ( isti uzorak teksta programski je rastavljen na kanale ). Pomenute modeie posmatramo zato to su prislakivaeu dostupni samo podaci sa linije, a to su nizovi elemenata iii nizovi kanala ITT koda. Tim modelima omogueena je analiza entropijskih i drugih zakonitosti koje se manifestuju u tekstu na binarnom nivou. Istra2ivanje ima za cilj odredivanje raspodela verovatnoaa i na osnovu njih entropije kodnih elemenata jezika. Za to i dalja razmatranja, potrebna nam je raspodela verovatmea teleprinterskog jezika T data u prilozima 2 i 4. U prilogu 4 dat je pregled statistiakih verovatnoda za slova (reiim slova), znake (re2im cifara) i specijalne znake, ali je najznaeajniji stubac zbira verovatnoda p.+p j koji predstavlja raspodelu verovatnoca za 32 kodna slova teleprinterskog jezika T. Njima odgovarajuei intervali poverenja su u prilogu 4a. Pregleda statistiakih verovatnoea, za uzorak srpskog jezika sa alfabetom A, dat je u prilogu 2. Mote se uoditi da i pored prihvatanja opisanog m o dela teleprinterskog jezika, najveea te2ina prisutnosti je u sloveanom delu alfabeta. Zadr2ana je karakteristiona, izrazito neravnomerna, raspodela slova srpskog jezika (poredenje sa rezultatima priloga iz [7]). Tako je razmak najverovatniji, slede grupa slova A,E,I,O sa najveoim verovatnoeama, a zatim i sledeee grupe sa bliskim verovatnocama u okviru grupe: S,N,R,J,U,T; D,V,K,,L,M i najmanje verovatna grupa Z,P,G,B,H,F sa ostalim znacima alfabeta A. Prilog 9 pokazuje postojanje neravnomerne raspodele slova engleskog

50 56 ocena entropije jezika i odgovarajueih verovatnosnih grupa za izabrani model teleprinterskog engleskog jezika sa alfabetom E 32 = ITT 32. nog oblika i potrebe primene ovog modela jezika samo na posmatrani sistem telegrafskih komunikacija nisu od interesa neka lira razmatranja strukture i karakteristika jezika T sloveanog nivoa. Kako sloveani nivo jezika nije primenljiv na posmatrani postupak za tite kanala od prislunivanja, znaeajnije je razmatranje binarnog nivoa i odredivanje binarnih entropija (prilozi 5-8,, ). Rezultati ocene entropije po kanalima dati su u prilogu 5 i pru2aju najinteresantnije i najpotrebnije podatke. Uoeava se ujedna6enost entropija od kanala i veliko odstupanje entropije 5. kanala. To, intuitivno neoeekivano, pona anje koda izazvano je postavkom ITT koda, gde je kao kriterijum konstrukcije koda postavijena optimalnost koda, saglasno slovoanoj raspodeli, u smislu minimiziranja strujnih i mehaniekih inpulsa koji realizuju binarne. Tvorci koda su slova teleprinterskog alfabeta ITT 32, na uzorku engleskog jezika, uredili po opadajueim frekvencijama pa su im dodelili kodne zamene uredene po rastu6im Hemingovim te2inama. Tako na primer razmak=, E= i T=, kao najfrekventiji imaju kodne zamene minimalne Hemingove te2ine w=, a malo frekventno X= i Q= Hemingove teilne w=4. Postignuto je minimizovanje, to je vidljivo iz priloga i odnosa p ko i verovatnoai. Taj pozitivan efekat za verovatnoee prema p teleprintersku komunikaciju je manji u slueaju korimenja na eg

51 ocena entropije jezika (poredenje priloga 5 i ), to je i oeekivano jer su tvorci standarda kod optimizovali za engleski jezik. Poredenjem rezultata iz priloga 5 i, za srpski i engleski jezik, vidljiva je priblonost korespodentnih vrednosti raspodele i entropije samo izmedu tredeg i petog kanal. To je osobina koja je zakonita i uoaena je i za druge indoevropske jezike. Mote se videti da vall : H k > H 5, k=,2,3,4 Hmin = H 5 =.88 H max = H 3 =.. to se tiee vrednosti entropija kanala,2 i 4, ne mo2e se uoeiti neka stalnost pona anja, yea su kod razlieitih jezika vrednosti drugaeije, ali sigurno veee od.92. Iz postupka formiranja ITT koda jasno je da on nije zasnovan na nekoj zavisnosti kanala, ali postavkom svake kodne zamene uspostavlja se fiksni odnos izmedu vrednosti njenih bitova pa je to dovelo do odredenih korelacionih veza izmadu kanala (prilog 7). Vidljivo je da je stepen linearne zavisnosti izmedu teleprinterskih kanala X i Y mali, tj. R xy ls.29 i najveau vrednost dosti2e za kanale i 3 : R 3 =.29. ii Entropija jezika T, tj. niza koji nine nadoveze kodne reel, data je u prilogu 8 i. Prikaz je dat po serijama razliaite du2ine (binarni nivo), gde zbog me anja kanala i uticaja osobina jeziakog niza imamo skokovite promene entropija. Najizrazitiji "defekti" entropije su za slueajeve poklapanja serija sa kodiranim monogramima, bigramima i ostalim

52 ocena entropije n-gramima jeziekog niza ( sloveani nivo teleprinterskog jezika n= 5,, 5,...). Na taj naoin, mo2emo formirati niz vrednosti Ho, H i, H 2 entropija odgovarajdeg reda, za srpski i engleski jezik teleprinterski kodiran. U prilozima su, kao poslednji stubac, dati odgovarajai rezultati jeziekih merenja iz [9] i uoeljivo je slaganje rezultata, uz aekivanu veau entropiju teleprinterskog jezika. Pomenuli smo postojanje monogramske binarne raspodele, koja karakteri e telprinterski jezik T i, date u prilogu 5, ali nismo razmatrali raspodelu i pitanje postojanja zavisnosti medu n-gramima tih nizova. Teleprinterski jezik de biti izvor sa nezavisnim generisanjem simbola akko vazi : P(x x 2... x n ) = P(x )P(x 2 ).P(x n ), () x.e(,}, j=,2,...,n, P(x )=p. i=,2. ' Osobina nezavisnosti nije ispunjena, to jasno pokazuju raspodele n-torki, tj. serija du2ina n=2,3,4,5, date u prilozima 2. Ve6 na primeru serija du2ina 2 i verovatnode serije jasno je da postoji zavisnost sledbenika u nizu od prethodnika jer je, na primer, P() * P()P(). Preciznu potvrdu nepostojanja nezavisnosti i raspodele () sa P()=p =p, P() = p 2 = -p, daje Pirsonov X 2 test. Pirsonov X 2 test saglasnosti polazi od pretpostavke da posmatrano obele2je X ima nepoznatu funkciju raspodele F(x). Testiramo hipotezu : H o : F(x) s F o (x), x=(x x 2 x n ) na osnovu uzorka, gde je F o (x) data funkcija raspodele, 58

53 ocena entropije na em sluaaju oblika (). Koristimo x 2 statistiku : r (n -np ) 2 r n 2 koja ima asimtotski i k Ok r k k= n POk k= Ok n p raspodelu. KritiOna oblast testiranja za H o odreduje se velikim vrednostima to statistike: W : X 2 Z gde se, za dati nivo znaajnosti a, odreduje iz uslova ^ n( zu)=a, odnosno un r- ; -a Rezultati X 2 testa dati u prilozima 2 pokazuju znacajno odstupanje od kritiane vrednosti i odbacivanje hipoteze o saglasnosti sa raspodelom oblika (), a time i nepostojanje nezavisnosti bitova teleprinterskog jezika T i, tj. kanala teleprinterskog jezika T. U prilozima 3 dati su rezultati x2 testa po kanalima za podnizove oblika : X i x. x. +(m+) +2(m+) i+k(m+), i=,...,m+ ; k=,2,... za m=4, iii u razvijenom obliku to je 5 podnizova: X.. X X6 X.. +5k X 2 X 7 X 2. X2+9, n, -. podniz - 2. podniz X 3 X8 X.. X 3+5k X 4 X 9 X 4.. X 4+5k x x x.. x k - 3. podniz (2) - 4. podniz - 5. podniz. Testovi pokazuju slaganje sa hipotezom (prilozi 3), Ato govori o postojanju nezavisnosti bitova u posmatranim podnizovima. Formiranje m+ podnizova, za m=4, pokazuje da je memorija

54 ocena entropije posmatranih kanala manja iii jednaka 4. Ta6nije, za kanale 3 i 4 pokazuje se postojanje memorije reda m=3 i za ostale kanale reda m=4, ali zbog zajednieke zaftite svih pet kanala i ujednaeavanja podele uzedemo navedenu podelu kanala na 5 podnizova. Tako dobijeni podnizovi su sa nezavisnim elementima i raspodelom koja se lako odreduje, bez ove podele na podnizove, direktno iz monogramske raspodele nizova. Znaei, niz ima slo2enu raspodelu zbog postojanja uticaja jezieke zavisnosti izmedu elemenata niza, a definisani podnizovi imaju raspodelu koja odgovara monogramskoj raspodeli i polaznog niza. Praktieno kori eenje ovih i prethodnih rezultata izo2eno je u slededem poglavlju. Osnovni metod óe biti postupak particije informacionog niza kojim se pojednostavljuje zahtev za poznavanje entropije, tako da nam je potrebna samo entropija monograma. Vrednosti ocena tih entropija izdvajamo u sledeooj tabeli : jezik H(U) T T.9846 T T T T

55 ocena entropije 4.2 Statistiaka ocena entropije Zaocentiverovatrioeep i nekogdogadajak,l(ao to je poznato, uzima se relativna frekvencija f i dogadaja A i u N nezavisnih eksperimenata : i,= S i N N S i = E k - A. se realizuje k=,n k= A i se ne realizuje ocena je eentrirana, postojana i naiefikasniia za svako N. Ocena entropije neke slueajne promenijive X defini e se statistikom: S i S i (X) = - E N N log --- i= to je, u su tini, statistina ocena matematinog aekivanja slu6ajnje promenijive -log p i definisane za slu6ajnu promenljivu X : x l X 2... x X= n p p2... p n Od svih osobina ove ocene ista6i 6emo samo jednu osobinu zna6ajnu za na e izlaganje, a to je da se entropija neke slu6ajne promenljive malo menja za male promene verovatno6a. Pretpostavimo da su se u nekoj raspodeli P promenile vrednosti NN verovatno6a p i i p i tako da je : p:= p i + d, p;= p i - d pri 6emu je : p' + p!= p.+ p. J, s p' s, s p; s J Tako dobijena nova raspodela : P'=

56 ocena entropije imaae entropiju koja 6e se razlikovati od entropije raspodele P u razlici vrednosti odgovarajdih sabiraka : AH = H(P) - H(P') = ) =-p: log p: - p; log p; - (-p i log p i - p i log p i ) p.- d =dlog p i - d plog(+-37 )- p j.g( - to pokazuje da male promene verovatnoaa daju male promene utropijo AH 4 za d 4. Znaeaj ove osobine je u tome to, iako ocene p i S i N verovatno6a na osnovu uzorka uvek manje iii vise odstupaju od tih verovatno6a, to kolebanja imaju mali uticaj na ocenu entropije. Koliki je taj uticaj i kolika je preciznost ocene tog parametra odredi6emo izra6unavanjem odgovarajaih intervala poverenja. 4.3 Interval poverenja za verovatnoeu p Iako nam ocene verovatno6a nisu neposredno potrebne, zbog potpunije analize teleprinterskog jezika date su i ocene verovatno6a i njihovi intervali poverenja. Koristili smo interval poverenja za verovatno6u p sa nivoom poverenja p oblika : f z; 2 [ P' 3 2 = 2N N /Nf( -f ) + 4 z i3 N+z 2 N z o Z p / / Nf( -f ) + z 2 N+z 2 ( f + i'' 2N + ' N 4 P gde je N obim uzorka, f relativna frekvencija posmatranog

57 ocena entropije dogadaja, ()(z ) = P entropija H ima oblik sume slueajnih velieina pa njoj, po centralnoj grani6noj teoremi, pripada asimtotski normalna raspodela). 4.4 Ocena parametara za sistem slueajnih promenljivih (X,Y) Uoeimo n nezavisnih realizacija dve slueajne promenijive (X,Y ), (X,,Y ) Na osnovu tog realizovanog uzorka mogu se naei ocene za matematieko aekivanje m x=e(x) i my=e(y), disperziju D x =a 2 (X) i D =a 2 (Y) i korelacioni moment K XY koristedi statistike: X k m ; = R n = n D' = S' 2 x n,x n- ' = R xy D' Y 2 = st - n,y n- K m= = Y Ynnk X k - m' x ) 2 XY i D' x D' Y n y 2 k Y n ' K XYn = XY kk --T n " n (sredine uzorka) (popravljene disperzije uzorka) Analogno se posmatra sistem od vise slaajnih promenljivih i odreduju ocene za m i, D i, K. (i,j=,2,...,m) i odgovarajuei koeficijent korelacije R. pa bi se time dobila i korelaciona matrica na osnovu koje bi se utvrdivao stepen linearne zavisnosti u posmatranom sistemu od m slueajnih promenljivih.

58 ocena entropije 4.5 Ocena parametara za funkciju slaajnih promenljivih Neka je data funkcija Y=H(X,...,X. ) sludajnih promenljivih X,...,Xm sa matematiekim dekivanjem a i = E(X i ), disperzijom a 2 (X i ) i korelacionom matricom K ij (j>i=,2,..., ). Kako je i Y slaajna promenijiva mogu se nadi ocene parametara to slusdajne promenljive, a posebno su interesantni matematieko oaekivanje i disperzija. U tom cilju mote se primeniti metod linearizacije, koji se sastoji u tome da se funkcija Y razvije u Tejlorov red u okolini taeke a(a l,...,a. ) pa je : Y = H(a l,...,a m ) + E L (y x, - (X.-a.) + o(x-a). i= a Na ovu linearnu funkciju primenjuje se operator matemetiekog oeekivanja E i disperzije a 2 pa se dobija : E(Y) = H(a l,...,a. ) (3) a 2 (y) = E ( ax ) 2 a 2 (xi)+2 E ( ax. ) Ki. i= i a i<j la Ja i ili u slueaju nekorelisanih slueajnih promenljivih (K ij =, i*j).2 (y).= alf ) 2 2 cm ( ax a (xi) i= i a (4) Akoimamoocenezaa.ia 2 (X)(za neki broj od opa2anja) tada moiemo dobiti linearne ocene matematiekog oeekivanja i disperzije funkcije Y koristeei (3) i (4). Za preciznije ocene E(Y) i a 2 (Y) treba u Tejlorov razvoju uzeti i naredne elanove. Ako se uzme jo jedan (kvadratni) elan tada je Tejlorov razvoj funkcije Y=H(X,...,X m ) u okolini taeke a(a l,...,a. ) :

59 ocena entropije ocene za elemente korelacione matrice R., ij,i<j=,n Zamenjujuei matematieka oaekivanja i disperzije njihovim ocenama dobijamo slede6e ocene : Q 2 (H) - E(H) = - E p i i log 2 P i - 9 L (ln p i + ) 2 p i q i + N.'2 i= 2 E (ln P i + )(n P. 3 + ) R, ln2 i<i Da bi se dobile preciznije ocene popravke, zbog nelinearnosti funkciie, potrebno jg korisiti slgdgeg nanovg Teilorovog razvoja funkcije Y=H(X,...,X. ). Ako su slueajne promenljive medusobno nekorelisane, tj. R ij = a 2 (H) = 2 L P i + ) 2 PA i= Na osnovu ocena za E(H) i a 2 (H) mole se pribli2no odrediti interval poverenja za entropiju H sa nivoom poverenja p : I = { H : ( E(H) - z p/f a 2 (H), E(H) + z o/a 2 (H) ) } jer H ima oblik sume slueajnih velieina, pa prema centralnoj graninoj teoremi ima asimtotski normalnu raspodelu. 4.7 Interval poverenja za koeficiienat korelacije Da bi se dobila dobra ocena za interval poverenja koeficijenta korelacije na osnovu i nevelikog obima uzorka od n elemenata za sluaajne promenljive sa normalnom raspodelom, uvodi se slu6ajna promenljiva :

60 ocena entropije Z = In +r (5) gde je r' statistieka vrednost koeficijenta korelacije izraaunata na osnovu uzorka. Za sluaajnu promenljivu Z vaii da ima normalnu raspodelu N(E(Z),a 2 (Z)) : E(Z) = 2 +r In r a 2 (Z) - - r 2(n - ), n - 3 ' Relacija za E(Z) vei i daje pribli2nu vrednost Oekivanja i kad se r zameni sa ocenom r' za koeficijenat korelacije.tada je interval poverenja za Z : Ib ( 2 ) (m(2) - t b,/6 2() m(2) 4. t b6 2()] pa se na osnovu veze (5) izmedu r i Z odredi inverzna funkcija i odredi interval poveranja : e 2Z - e 2Z + I b (r) = (r,r 2 ) r,2 = th(m(z) t b )/ a(y-' (Z) Ocena intervala poverenja za koeficijent korelacije u slu6aju sistema od dve sluaajne promenljive mote se izvr iti i na sledeei naain: r = th(z) = SlOajna promenljiva ri y za veliko n i malo r ima pribli2no normalnu raspodelu N(-,a 2,) gde je : J. a r,= - r' 2 /7 Kako najae ae ne znamo matematioko aekivanje r', zamenjujemo ga sa rx Y ocenom dobivenom realizacijom uzorka, tako da gruba ocena za interval poverenja koeficijenta korelacije bi bila : I b (r) = (r' - tb a r " r' + t han)

61 5. KONSTRUKIJA KODOVA I PRIMERI

62 konstrukcija kodova 5. Primeri kodova otpornih na prislakivanje Ovo razmatranje obuhvata postupke zaftitnog kodiranja zasnovane na primeni teoreme 4. Za ostvarivanje zaftitnog kodiranja potrebno je konstruisati odgovarajoe linearne kodove polazeei od nekog poznatog linearnog koda. Kvalitet konstruisanog koda nije zasnovan na tome kojoj kiasi pripada osnovni kod, pa je moguee, kao osnovu, ravnopravno koristiti bilo koji linearni kod. Zbog toga, a i zbog konciznosti izlaganja, opredelili smo se za prikaz postupka kori denja kao osnove samo jedne klase lineanih kodova. Dademo primere zasnovane na klasi Hemingovih kodova, a razlog ovakvog izbora Teti u tome to su Hemingovi kodovi: - pogodni da se odredenim metodama iz njih formiraju drugi linearni kodovi, - jednostavni za kodiranje i dekodiranje, - prva i iroko poznata klasa linearnih kodova ( konstruisani su 95. godine), - iroko kori eeni za korigovanje i otkrivanje gre&aka u digitalnim telekomunikacionim i memorijskim uredajima. Binarni kod Heminga najjednostavnije se zadaje matricom provere H. Matrica H sadrii m redova i 2 m- stubaca, koje eine svi nenulti binarni vektori dutine m. Mote se dati slededa karakterizacije Hemingovih (n,k) kodova : dutina kodnih reel_ n=2m- broj informacionih bita k=2m-m-

63 konstrukcija kodova odgovarajdeg operatora projektovanja P ( s um = up ). Konstrukciju koda poeinjemo tako to izaberemo operator projektovanja P.m. Sam kod odredujemo izborom matrice A n.., koja treba da je regularna ( det(a) ) i da ispuni uslov da je H=AP dobra matrica pariteta Hemingovog koda. Najjednostavniji postupak izbora A je ako se elementi matrice biraju na slueajan na6in, eime se obezbeduje uniformni izbor iz skupa svih nxn regularnih matrica. P nxm' U ovom primer uzeeemo jednostavnu matricu projektovanja koja daje izdvajanje m=3 informaciona bita vekora u na pozicijama prve tri bita vektora: Ako je izabrana matrica : P = A=, tada je: A - = H T } G, det(a)*o. Provera H=AP pokazuje da je H dobra matrica provere Hemingovog (7,4) koda, koji je ukomponovan u formirani linearni kod definisan matricom A i funkcijom kodiranja i dekodiranja: x = u A - u = x A. Elementi pomenutog Hemingovog koda, matrica provere H i

64 konstrukcija kodova broj bita provere broj ispravljivih graaka broj kodnih vektora m=n-k t= (min. te2ina d=3) 2 k pri demu je m=2,3,4,... Vrednost ovih parametara za prvih Hemingovih kodova data je u prilogu 4. Kod Heminga, duiine n, mote se formirati i ako matricu H sadinimo tako da ns2m-. Minimalna teiina bide 3 nezavisno od izbora tih n stubaca matrice H. To znati da za svako n postoji gemin gov 64 ko]i ispravija sve poiedinahe gregke i optimalan je za binarni simetrieni kanal. PRIMER. Razmotrimo prvo jedan jednostavan primer koda du2ine n=7, zasnovanog na Hemingovom (7,4) kodu sa parametrima : du2ina kodnih reel n=7 broj informacionih bita k=4 broj bita provere m=n-k=3. Polazeai od ovog koda realizuje se kod kojim se titi m=3 bita informacionog vektora u (broj zaftidenih bitova odgovara broju korekcionih bitova polaznog koda). Metod omogudava potpunu za titu informacije, ako se vektor u formira tako da nosi samo 3 informaciona bita, preostali deo vektora dopuni pseudoslueajnim bitovima, a za tite se samo pozicije informativnih bitova. Tako formiran kod, sa parametrima (7,3), nije ekonomiaan jer je njegova rata kodiranja R= M = 3 7, a zasnovan je na direktnom korimenju teoreme 4, tako da se stiti samo m pozicija informacionih bitova postavkom

65 konstrukcija kodova generatorna matrica G, dati u sistematskom obliku, su : G H= AP = = IQ T I 3 Q T 3 (KE) a G = 4 Iz datog primera, saglasno projekciji P, vidijivo je da matrica IInstvari podmatrica matrice A, saeinjena od prva nano m=3 stupca to matrice u transponovano obliku. Generatorna matrica Hemingovog koda G kxn ( GH T = ) dobija se iz podmatrice G', koju eine prvih k=4 reda matrice A -, ogranieenim brojem elementarnih transformacija (G i G' su kombinatorno ekvivalentne (KE) i daju isti kod). Postupak dekodiranja je interesantan sa stanovifta ostvarenja zaftite vektora u. Dekodiranje mo2emo posmatrati po podmatricama dekodirajuee matrice A : u =xa=xih T ifi = IxHT ixf = IxAPixF = IsixF pa je vidljivo da ee prvih m bitova dati projekcija s = up, a u na em slueaju to su informacioni bitovi na prvih m pozicija vektora. Prislu na strana, zbog postojanja uma, nede dobiti je ispravan oblik kodnog vektora x, pa postupkom dekodiranja nede dobiti ispravnu informacionu sekvencu. Za dati primer koda, jedini kriterijum upotrebljivosti u na em komunikacionom sistemu je nivo uma na prislu nom kanalu. Prema teoremi 4, binarni simetrieni kanal je dovoljno za umljen

66 konstrukcija kodova za upotrebu konstruisanog koda ako je : h(p) k + (-H(U)) = 4+ (-H(U)) = (-H(U)), Analizu odnosa uma, entropije i parametara koda dademo posle navodenja primera pogodnih za korikenje u posmatranoj teleprinterskoj komunikaciji. Izbor projekcije P ne uti6e na kvalitet koda i mote biti diktiran potrebom ostvarivanja odredenog oblika kodiranja, kao gto je slueaj u slededim primerima sa particijom informacionog PRIMER 2. Navodimo primer konstrukcije koda du2ine n=6, zasnovanog na Hemingovom (6,3) kodu sa parametrma : du2ina kodnih re6i n=6 broj informacionih bita k=3 broj bita provere m=n-k=3. Primer nije najpogodniji sa stanovi ta istih vrednosti parametara k i m, all po to nama nije cilj posmatranja ovog Hemingovog koda kao korekcionog i odnosa njegovih parametara, jednostavnost koda poslu2iee za prikaz postupka kodiranja sa particijom vektora u. Ovde je to particija vektora u na 2 dela: u = Isls2 = lui u 2 u 3 iu 4 u 5 u 5 to znaei da ee u konstrukciji koda biti kori eena dva Hemingova koda i time ostvarena individualna za tita particija s i s 2, svaka sa zasebnim Hemingovim kodom. Time je omogueena za6tita svih bitova vektora u, to znaai da kod ima

67 konstrukcija kodova maksimalnu ekonomi6nost kad u sadrii svih n informacionih bitova. Ovaj metod konstrukcije koda zasnovan je na dvostrukoj primeni teoreme 4 i dobar je uvod za obja njenje sledeeih konstrukcija kodova sa so2enijim postupcima particije. A= Konstrukciju koda poeinjemo izborom operatora projektovanja P., i=,2. Sam kod odredujemo izborom matrice A nxn, H T H T 2, tada je: A - = i det(a)*o. koja treba da je regularna ( det(a)$ ) i da ispuni uslov da su H.:AP. dobre matrice pariteta Hemingovog koda, Najjednostavniji postupak izbora A je ako se elementi matrice biraju na slueajan naein, 'dime se obezbeduje uniformni izbor iz skupa svih nxn regularnih matrica. Odabrali smo jednostavne operatore projektovanja P i P 2, kojima se vr i podela vektora u na dva dela s i s 2, gde prvi deo Hine prvih m=3 bita vektora u, a drugi preostala 3 bita: P = Ako je izabrana matrica A : Provera H.=AP., i=,2 pokazuje da su H i dobre matrice provere Hemingovih (6,3) kodova, koji su ukomponovani u formirani P 2

68 konstrukcija kodova linearni kod definisan matricom A i funkcijom kodiranja i dekodiranja: x = u A - u = x A. Konstruisani linearni kod omogudava potpunu zaftitu informacionog vektora u, pa pretstavlja linearni kod sa parametrima (n,n). Binarni simetrieni kanal na eg komunikacionog sistema je dovoljno za umljen za upotrebu konstruisanog koda ako je : h(p) Z + (-H(U)) = + (-H(U)) =.5 + (-H(U)). Elementi korikenih Hemingovih kodova, matrice provere. H i i generatorne matrice G i, za i=,2, su : H = AP =, H 2 = AP 2 = ; G=. gde je G zajednieka generatorna matrica dva ekvivalentna koda. PRIMER 3. Za prakti6nu upotrebu i zaftitu nateg komunikacionog sistema potrebni su kodovi vede du2ine i brojnije particije. Tako za zaftitu kodnog kanala teleprinterskog jezika odgovarajudi kod je kod du2ine n=25, zasnovan na Hemingovom (25,2) kodu sa parametrma : du2ina kodnih reei n=25 broj informacionih bita k=2 broj bita provere m=5.

69 konstrukcija kodova Poznato je da za uklanjanje uticaja memorije moramo izvr iti particiju nizova teleprinterskih kanal i da smo se radi ujedna6avanja postupka kodiranja opredelili za podelu na M=5 podnizova. Prema prethodnoj konstrukciji vidljivo je da vr imo particije vektora u na delove du2ine m, pa tra2eni kod treba da zadovoljava : n = Mm, nq m. Proverom za m=,2,3,... (prilog 4) dobijamo da je za m=5 (naravno i za m > 5) zadovoljen prethodni uslov, Hemingov tj. da postoje (25,2) koji se mote koristiti za konstrukcije potrebnog koda. To je linearni particiju niza teleprinterskog (25,25) kod kojim ostvarujemo jezika na 5 podnizova oblika (4. (2)), sa nezavisnim elementima u okviru podniza. Time su ostvareni uslovi za primenu teoreme 4. U konstrukciji koda koristimo pet Hemingovih kodova ostvarujemo individualnu za titu particija s.,i=,2,3,4,5 : S = (U U ) 52 = ( 2U 7U 2U ) S3 = (u3 8 3U e2 3 ) P i, s =(uuuuu) s=(uuuuu) ' Konstrukciju koda podinjemo izborom operatora projektovanja i=,5,kojiostvarujuprojekcijes..sam kod odredujemo izborom matrice A nxn, koja treba da je regularna ( det(a)o ) i daispuniuslovdasulf.=-ap.d o b re matrice pariteta Hemingovog koda. Najjednostavniji postupak izbora A je ako se elementi matrice biraju na slueajan nain, eime se obezbeduje uniformni izbor iz skupa svih nxn regularnih matrica. Ogovarajuei operatori projektovanja P i,i=,5 su :

70 konstrukcija kodova P ' P 2 = P = 3 WM Ako je izabrana O O O O A = O O QQA ma rica A : NO P = 4 P= 5

71 konstrukcija kodova koja je regularna. Tada je njena inverzna matrica A - : o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o lollo o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o Proverall i =AP i,i=,5)candedajell.dobra matrica provere Hemingovog (25,2) koda: H = H 2 = A H 3 =

72 konstrukcija kodova H 4 = H 5 = Hemingovi (25,2) kodovi, definisani ovim matricama pariteta, ukomponovani su u formirini linearni kod definisan matricom A i funkcijom kodiranja i dekodiranja: x= A - u = x A. Konstruisani linearni kod omogudava potpunu za titu informacionog vektora u, pa pretstavlja ekonomiean kod sa parametrima (25,25). Binarni simetriani kanal na eg komunikacionog sistema je dovoljno za umljen za upotrebu konstruisanog koda ako je : h(p) k + (-H(U)) = yi + (-H(U)) =.2 + (-H(U)). Pre nego iznesemo sledeei primer daoemo jog neka obja njenja i uop tenja postupka konstrukcije koda koji daje particiju vektora u. Primetimo da su matrice P i vrlo "slione", tj da se slededa projekciona matrica dobija iz prethodne ciklienim iftom stubaca za jedan korak na niie. Uvedimo slededu oznaku za to operaciju: P i =ciksift(p i _,) iii P i =ciksift(p,i-), i=,2,...,m, gde je ciksift(*,*) oznaka operacije za ciklicno siftovanje stubaca matrice, gde je prvi argument matrica projetovanja eiji

73 konstrukcija kodova se stupci iftuju, a drugi argument broj koraka iftovanja stupca na dole. Kako su projekcione matrice koje su nama potrebne "prazne" matrice, tj. sa puno nula i malo jedinica, pogodan je i njihov zapis navodenjem samo pozicija sa jedinicom. Na primer za matricu P p =I p(,)= ; p(6,2)= ; p(,3)= ; p(6,4) ina6e p(2,5)= Uopftenje ovog zapisa i oblika pogodnih matricaprojektovanja je p.=. p(m(i-)+j,i) =, i =,m, j =,M. 3 t inaee Iz izabrane matrice A jednostavno se odraduju matrice H i imajuei u vidu da je H i =AP i. Tako se j-ti red matrice H dobija iz i-tog stubaca matrice A za koje je p(i,j)= u matrici P ovom primeru to su redom., 6.,.,6.,2.stubac matrice A, koji se preslikavaju u red matrice H. Uopfteno va2i za elemente matrice H.: H(j,k) = A( k, M(j-)+i ) i=,m ; j=,m ; k=,n. Za odredenje Hemingovih kodova koje koristimo u konstrukciji dovoljno je dati samo matricu H, ali lako se opisuje i generatorna matrica korimenih ekvivalentnih kodova: G.(j,k) = A - (j, k) i=,m ; j=,n-m ; k=,n koja je zajednidka za korimene kodne osnove u konstrukciji. Kako su za brojnije particije potrebni kodovi vede du2ine to je binarni zapis glomazan i nepregledan pa je jednostavnije koristiti heksadecimalni zapis, kao to je to u slededem. U

74 konstrukoija kodova primeru ueinjeno. Pri tom je oblik zapisa vidljiv iz slede6eg primera (u binarnim 6etvorkama teiine bitova rastu u desno) : ( ) = ( i ) = D5 9E =D59E. PRIMER 4. Za objedinjenu zaftitu svih pet kanala teleprinterskog jezika daeemo primer odgovarajudeg koda koji ima kodne reel, du2ine n=2, a zasnovan na Hemingovom parametrma : du2ina kodnih reei n=2 (2,92) kodu sa broj informacionih bita k=92 broj bita provere m=8 Konstruisani kod treba da izvr i particiju niza teleprinterskog jezika T na 5 podjezika teleprinterskih kodnih kanala i u okviru svakog kanala na 5 podniza zbog postupka uklanjanja memorije reda 4. To znaei da je potreban kod koji daje particiju na M=25 delova. Particije vektora u vr imo na delove du2ine m, pa tra2eni kod treba da zadovoljava : n = Mm, ns2m. Proverom za m=,2,3,... dobijamo da je za m=8 ( naravno i za m > 8 ) zadovoljen prethodni uslov, tj. da postoji Hemingov kod (2,92) koji se mote koristiti za konstrukcije potrebnog koda. To je linearni kod kojim ostvarujemo particiju vektora u=(u u... 2 u 2) teleprinterskog jezika T na 25 podnizova, pa su projekcija vektor u oblika :

75 konstrukcija kodova s (Un = ṉ 5 u 76 u u 26 u 5 u 76 ) ' s 2 = ( u 2 u 27 u 52 u 77 u 2 u 27 u 52 u 77 ) ' s 25 = ( u25u5u75u u 25 u 5 u 75 u2 ) Konstrukciju koda poainjemo izborom operatora projektovanja P i, i=,25, koji ostvaruju projekcije s i. Jednostavniji zapis matrica projektovanja dimenzije 2x8 je : p.4 p(m(i-)+j,i) =, i =,m, j =,M. inaee Kod odredujemo izborom matrice A 2x2 -. koja treba da je regularna ( det(a)* ) i da ispuni uslov da su H i =AP i dobre matrice pariteta Hemingovog koda. Postupak izbora A je realizovan programom datim u prilogu 5. Metod koji je kori den je pseudosludajno generisanje elemenata matrice, posle dega sledi provera da li formirana matrica zadovoljava potrebne uslove. Jedan od mogudih izbora matrice A je: 748E DO E8 F2 29 9B 4E 36 6F ED 49 BBD E 6A2 646 E3 E6A7 OE5E A9 5 BF 4 8 OA 8D 3F D3 66E 4 3DBB A6B 749 8FFF 53 5B 7E 8 A4 F2 EE 54 OB 6B7A D D D F7E7 FFD 5A 5 EA F4 78 9A BA 2 DD EEAB 47AD D OFD 82D 729 E D3 4 9 A E3 AEOA A A 2E FF B3 7E 94 F7 B E3 95 AD E D BB E 8A 7 3A 8 E5 87D F42E B2 85B F D8 F9 EE F 2 B4 E2 4F 89B 428 2A42 329A 89D4 49A D B9 9 5D E E28B 875B E E E DF4 98E3 2F D4F7 3F9 8 B 6 E2 FO 6A 9 6 6E 97A D B3 AB58 A6D B3 4 3B AA F9 DF D8 D8 4EDO 3A D D42 77 DBB B2 9A DO A A 5B 2A4F 9FEB 784B F DB F D F43 F4 22 5B D8A8 3BA 6F78 DD3D OA 4 E6 F4 5 D A A4B2 A E 9AA A BB 49B 5BD 962B B42B EFDA 9D4 8E9 OE 64 B5 8 FF D6 49 BO 28 F6E A F A A67 7F 7E D OB E8 88 F7B E8 359D 32 BDBE 7E6F 99D 8779 D9 7D F OA DD5 DEE E3F F 68 B5 7D 5B 63 OA ED A AD E7F 5536 D A F 9A A2 9 8D 46EA 82

76 konstrukcija kodova 3D6 B57D O8 D B 88 E8 B5 F3 9B 98 5D AO A 9AA 8FB 72FF D42E D9 FB BAA 92 8 F524 6A A74 2FE FE D 8 9 F2 9E A 6BE BFB B F9 F5 4 DB 34 4 Al AA 6AF7 BBBF A46 DF F4 E F 98 FE D3A A83 89 E86 D D77 82F 9F F4 2D 93 45A D5 825E 7F B 96 F BD 6 O A4 7A E D9E DAB4 6A Al DA O AF B3 F OF4A E E E6 8 6A D 6242 FOE9 78A2 4BF2 E D A4 F5 F4 FB 6A B A48 92 B4 E9E 334D 56F E B B3 78 DEA F 929 3FD EDOF 3A28 FA A3 4 2 O 5A D8 7 8AF E3AO 43D B295 B B 7B A B8B4 397A EE66 33ED B92 E2 2D E E B E2B B 788 F5 62 D AD FD E 8D B84 9OD ED 6A 93 4D E8 9E F B' 4F BD 4 l E BEA FD9 4B72 AO8E F 5A AF E 92 B5 3 B7 B F67 85 F4 6FA2 2E FB 6 A 4B A6 8 D6 E B8 AOE BD9F AEB3 336E 28 Al 4B 3 42 D9 5 AA l 9E A52 88DB DAE A D FB 4 F D6 75 AO5B F433 E BE6 3A 9B EF F3 EA F9 OA 7A E8 B9 438 A578 4A EF8B D82 55A F D8 B8 D 23 3A B 89A 3 A45 7DAE 4B9 58E D49 B 8B 2 8 A8 A8 9D 3 9 B B E DOBB 29A EF D Al 6EE8 48A A AD3B 9384 A93 7 F2 9D 57 OA O 64 7E D D 835F AA84 52E9 83B F A 27 F43 9E3 78 8F D E 9A E2 6D A6E2 8 34F8 246 E B E 7B 5 D A FDE3 DB4 F F7 9 3E D 5B69 EEB F AF 5 O 2E 8 A49 DA D 58B A 9 OE 4E A9 BF 95 7B 72 3B DEFB AE OB87 598E 4B 22 BO 9 5D F8 A 93 4E AB 46DF D875 2E D66A 4 9 A8 4 5F A2 FD B7 55 AFE E85 AF4 86B 2A39 8B63 F6 B E A5 D2 5 D2 8D58 5E8 AE94 5D8 3F3E F OD AE 5E 3A BE E A86D AF3 6D A A4 4 A244 D47A B E4 D54 BOBA 8A F5 8E 5D Fl E 7 56E2 336 B DB A495 F9 DF99 O F7 A9 2F 73 5E 54 FE 89 2E FEES OF9 85 E5E4 4 EB 7A 24 7B 87 F3 66 F A26D E698 A66F FOB6 8AB7 EB6D 6D B9 4A 9D A46 ODI 549 D EA3 E93E EE 55 FF 9D B 8 B F5D B8 58 5F6 63A FF82 OEDB 2283 Al 5B D FB 22 D3 A D4 E9 7EE6 223 E F4D E F 6 AF A F A OAF8 B77 7B7D 3E8 2 8E EE 6 AE 2D A8 F A A52 382E 5EBO 2DB5 5EF A9 ED 4 8F B D B4 42A B 4D FE4D 5A79 A7 3 F2 3E ADF 28A8 299 A2 46D 29B Al25 EDFA BA B D3 68 F E5 8D6 34E2 E7FB DE36 64DB 52 D 7F EB 8 A8 D A3 E5E 68A BO2B 68DE 3A4 873F 46 F4EB 83 F 73 7E BE 8D AD 5 O 794E 2842 EA OF35 F E37 FB A 8F 3A O 5 l BO D8 5F DDE 2F5 FF 88E 3 FF 28 D 24 8E B Al D 34F E8 D66 E4 D A4 28 OE 9 4 B DAAO

77 konstrukcija kodova 7A A28 O A7 6 2A 98 A4 6 3A27 EAB DE 823 FF2 5B B6 3F 34 A 8E 85EF 346 F DF76 B68 DO 45A F8 F8 EA 68 EA 3E 9D D3 6E OB2 E2F3 DF2 E3AB 6E27 67 BI Al 32 E E 6E D5 38 AD B 4D DBO 5A 6E2 65 DE 4A 6A D2 98 E2 DO AF FD A5 959 E D42 F DB 93 D5 9F 2D 5A 97D 8E3 A 2D2 9B3 384D 344A AE39 F 2B 97 AO 33 9D F B 5E3 AE A 5 25 la B 28 OA 2EA B6 4DOD F72 OBA7 F2BE A A El AO D3E4 BA92 82A OAO EF 7D EE5 EEF 4 7B 94 D 77 7 B E OF OBED D64 7D6 86 4A99 FA4 9A 78 5E B EE 7 8AA7 D6D 9FB3 FE B4 27 DB B 6D 88 52A4 A9 58B ODBB D OA 4 7 3B 7 55 E D7 AF3D AD67 5B 3 5B 7F A9 OD 22 A5 97 A3D 9 82A F 27D B8 ADFE 2A F F D4 OBD2 4F4 4D5 AEDD ' B79 D D 3 DD 2 OB 887 6B DNE BB6A 8D ide 5F BF B D E F D F48 74B8 FA82 4B 82 7 D5 A9 2D F8 S 55 BA5 B D DD D95F B63 OBB BA3 D292 D93D FE E3A D A42F 8 2DD OF83 6F2 5F34 5DA2 F8D8 8EB A5FE E676 F BOA EB9E FD46 93 D64 AA F49 DB3 8F 5BD DF69 6D2 6EF 27 33B D39D 745B 3F2D F D F BO6 E3A A7E5 442D B246 86ED 24 A77 864A 4BE O5 2D4B 44B 276 8E75 3E6 257B E727 66F2 34D 7B7 77FB 759 B78 A638 9F4 OF D62E 949B A28 7A4 FB8 DFD B79 DE4 AD46 O3B 426B FFE B9A 2AOB 76AB D6A7 D59 BO3B 68F2 436 B5D F82E 423 FB A B B7 O D 4 D7 337 A A4 2A 9D D8 3 DD 36 El AO B A 6B B3 BD AA 24 6 FO 2E24 A427 AE B4B A 4 D2 3 A 57 4 D ED D8 7E 3 B7 9B BA F 75D 5 5E 9D B 6A 4 6 EE 64 A B B 72 8 F BA D B7 2 O 3 EE 33 6E 58AF 3EOB 4 4DB A F F E2FB 5 2 O 6B E2 F2 6A D6 75 4A6 52 A24D DFBB ED 2 A B8 D3 3 8B F BEFF 4E l FO 77 FB FO E8 F AA B676 5 EA 4 FF OA 27 6D65 B DO B 4F 2 AE A D34 B7 E24E 97 2A E3 AD B 36 AF A8F 2699 F46F 32 E2 3 3E OA 75 3D 2F 35 89F6 579B 65 65A 9 F7 O F D3 3A B 8F4F E34 B4 E A A A 3552 E4A Al 5F EO B A7 2F F8 3 BO 9 2B F6OA 9 F6 2E EB 6E EA F A E5 OD E A 82 2D64 B D OF 3 6A A D4 DB A F F 5 46 EA 4A BB 68A4 27 E2A 73B2 B3 4F E5 9 5A D EF A 9F 5 AD Al 9F 3 BD F 48 BBF 828 A36 F6F 2 3D 89 3D F6 B8 76 A6 8F FE 37 5A 43 3F E6 2E DB E5 B38 F9 E3 B6 38 B9 OB DB E DA B F 42B4 A EE BF 77 B9 3 AA 36 DDD7 E D El D6 84 4B 54 8F A8 2E D 6 F2 53 5A 5D B FO ED 4DB D4 8F 3A F 8BA 8687 DE2B 34 BB F E2 5 D D 533D BA47 5D 5FA 82 A DA AB B E 4AB A

78 konstrukcija kodova 83A 98 8AF A 6 22 AE D9 85 BB A A55 B B9 E4BD A27 D B9 26 DA EB 4 D9 D A 282A 85EF 943A AA 8A F B 62 A8 98 EF BE B FE OA F A2 8B4 A459 D649 E6 E FO 3A 24 4A B9 8 28D 89 3D4E A O D6 3B DOB3 452 A4 82D2 27 8F3B E4 4 E 46 B 73 8F9B OODA B84 D2 52 B7BF 244D F F 2 OA EE E3 2 8D A29 D D9 4AA2 2EE3 2A AF A4 A3 EA 2D D B85B 8D D DD 285 DB64 F3 B5 D A 45 9B B BO 23F3 8E2 B BD3 36 AF A23 A2 D4 8 E B 5 3B DBA 882E ODE A324 F39D F 2 E8 B4 5 4 F3 DB E9 A OOA 22 AE OEDD E 9E 4DB BD DD 3 EB 5 E8 6 D5 9A43 9A2 EA3 22 B7 79 BFB EEBB 46 B3 5 FB 2 5 AE 9D D9 B D B93E 476 D982 9A 28 7A 5F 7 F5 9E BE2 EB8B 3B3 88 FEF4 7DDA B245 EAD9 73 A2 D8 E6 D8 E9 2E D E7 D253 3D6 A9DD E6 42 7B 3 9 D F 29 4D DD6A 946 EB4 38 DD85 89D 425E 334 4F 35 D4 38 E AD62 6A5 FBD FO 7 AF FB F7 7 D 2F OF2 AE3 3F 845 F5E 26F5 BAD9 B52F FD D6 2 8 E5 93E3 88 AA2 AEA2 OD52 7F48 8E42 7AE F2 96 B84 6DB2 25 B34 EED 4D34 FBB4 A6 7 FF 47 8D B 93 8B 448B B45 AA A2 3B3 FA DD 6D D O DAB 78F 6D2 EO7E D BF 3E 4D 2 37BB 84 28F 3B5 OD3E A B9F8 8 E A4 D7 9D 96 3 D A F27 D B3A 8A A8 8A 5D E7 B O 85 AA BA3B AA6 AF 5F9A 8838 BF D E7 39 A9 3FAO 9486 OAOD B2E6 F49 E879 DFA 862 F8 9F B DE DF2 2D A3DE 2BOB 38B 7DB8 2F F D 7 4 D 2 D23 7E FOB E88 DDB 5B 4 8F D2 6E B4 A7 E OF2D F2E8 E35 64D B B E DF DAFF 3E6 EDB4 D D 5F 2 56 O 5 D B FA 9GF B6 3F B DA A7 3AA 6A8 4A F3A E2 B7A 8D B 4D 9 D 27 5E 3E 69 8A5 483B 83B AE7 23E5 EFOO 878A B 3A 73 EF A D BAA9 898 EAB 88A 688 ABB 4B9 BE 7E 6 9 3E AA 7E D4 A2 A 82 3 E8D D43 98B D34 44FB 43F7 9 6F F F B FO 246 5E2 5D EA3B D752 9D 4E EA 9 E2 B 3 985A 48E E3 4A7 6E6 D95 O 22 9 F D6 65 D3B3 3D9 9D E5D 3A2 6D3F AA E9 E 8 6A EE 4D E4 5B A56E BD3 8A4 76F F A 4E F DF DA 373 6D8 8B A5 BE5 38D DB6E 96 3A 4 3B A 73 B E7E 422 AE AOB B55D OB DO EF BO 2 24 EF 93 3F 4D9 D48A 2E4 D23 78D3 OAEE EB27 9A5D 69 E9 D A8 A4 2 DF BA 37 FA38 94E 2E8 3A3 E325 A2DB BD3D 683D DD D D2 OB DO 25 5 F 6 E52 E88 B D57 A 3426 D73 3 F5 92 B5 6A O2 A228 2E3 B7A 2B72 27B D 83 B E 8 E FE B8 69 A E67 58E E4A4 6 A4 F D FE O D29 OD 58 4D4 2D B B2EA D7 2B E4 4D AB 8B 7F 7A B8 A44 OFA 66 5D86 6EA ABO B F89 435A 2959 OBO 65B EB24 F23 2F8 49 ED B 86 E2 55D 2E3 OD23 A69 BE92 A6 65 8A89 EE 6 D EEF2 A3 8E9D DD 85 DF2 E5 36 E F E4 4EA 37D D8 4D8

79 konstrukcija kodova A54 68DD 94D8 4D4E 3A 56 E AD 4F A3 B B 3B F D EO3 55 D45 A6EE 795 E47 E3 44 FB EE D9 55 2A F 93 B93 7 8A 5A FD5 E3F4 597 BDD D A9 2A 38 A3 55 FEE 542 F63 9D8 87D 2E BF8 AE7B B A 5E B4 EE BB76 8 EB 8 5 Fl 34 EA DBAB 5 9BE 54D E97F D3 ADEO 795 OA 73 D4 45 AO AB 2A FO 32A 2E8 5F89 A22 97B 5EBE 64FF D EO DF EE 99 D E 4B94 77 AF6 447E 2B B7 6B F 9F 49 F E 5B A22 64EA D 273 B583 F3A F9 El 2 D AB 67 D3 E3 AE BE92 4A D A 269 5B2 D F EE FE D4F F73F 3E E8A F2 O FO 97 OF 6 A D A A2 284D 849 B9D8 DDD2 BO6E 7 2 OF D D la O6A 97 73F 9A8 3E B448 B5 5 F 86 A D2D B E4 DB3B 6A23 2E D6 3A 67 E F A3 E5 ED F 78B F279 DB69 F36 OB94 B A 6D FE B B 4F5A 378 6F4A E D E 8 N98 SAAB A9 26 i;a ia Ai E 28 E99 EA/E 8A F5 63A /6 6B BF P I 64D7 746 WO 738 9F96 483E 294D AD A OAFF A63 OB8A 2 8B E D7D F7 EE AO 8D F A 58B8 Matrica A je regularna to postoji inverzna matrica A - 3E7 7FB 9DEB A 99DA 4A2 B4B ED8 A5D 43D8 3ED 4B2B 8B9 F4FD 55A 38D OBB9 F22F 8F F F FBE A43 69A DDA FA7B 9 4F3 D 6B AA39 2D95 4 F93 4D2 A98 A38 47F9 5A3 E ED3 B5 FD9 3A59 29F D DB DD 84F 249D F249 5E79 BAA EAD F EDB6 FE2E 6DO 4B E486 5EA A5E OD4A 9 A49 B599 4B AO2 ()ODE 7D4B E47 EED BB4 A F E E D9A 978 O57 A E3 433 A6A5 2B 296 8EB4 D5F 2BD 64 B FDE AD6 EOFD 3A FB F EO F2 2F 4 BB 7 2D 47 D6 9E DO BA DD FO A3 86 5D 65 8 BA BD E 84 D B 4 63 A9 F 4D BE DB 9F E3 2A 69 D 7E 7E B F 5A 4 E8 86 BF 47 AD 4A 53 F D 62 7 Fl A 2 6B E6 35 2F 96 D8 EO B 5 77 E6 B5 9 B2 A 92 B 9B ED 99 9A B 5F 3 B5 E6 5 3 A4 7 F OE 3D A 3 B OD D 54 AO F6 D 7 7E F5 E D EE BD FA FF D B2 3B F2 9D FB 4 35 A8 B7 F8OB B66D 5B BB 2B E 5EAA FA7D 78 6F 4B 4F DB8 E9FF 98 AE B F OF2 A3 E D23 62A 4 4B AS B8 3E65 5F2 6F 7D FF E2 257 B9F Al F76A A523 EO FO 2B 8 OE4F E8A A6 B 5 Fl 3DE 24B 9 5 E3 48 6A2 E92 2 5A BE AE 8E27 528A B9 7F A D33D A 7E9 4D66 BB A E6 4 D El 6B AE2 38F6 E5 EA BD 6 2EE 882 FF AE 6B 5B EB4A 68 F 7D 55 EB A A A FE 735D 8 DO 32 F 7358 D3F 9 BA DFO EO Al B2 83E4 FDA5 86 A A37 B2OF 54 2F 8 38 E79 E3F F OE 76 FB D9 B6 D BE E D69 D B265 A4OF 868 E487 D D DB4 F5FB A9A 8A7E OD84 5F2A 45A E3 82A 6E A3F 4 BA3F 49F 2D 4BDA 947 EEA 557A A E 6E2 66F 652 8F2 F D933 FDA 6DF FF D95 837E 2ED 6AD5 FFBB 9A67 E454 23D 466 6EAD 6993 D247 F389 E

80 konstrukcija kodova 5B3 BOBO EOE2 222B 7B EA 2A 33 FO 6 F7 93 9B 66BA 32 3F39 26EB F8F 4 F D8 97 5D 62 B9 2 B24B F62 B329 9B 83E9 374B 332 B72 7D A6 AO 44 4D 2 AA 2E A 5E63 ODA2 B52F 6F D B3 2 8A 6 94 D6 F5 A2 32 BE A5 33B 349 D43 3B B D78 67DD 45E A9F 9A B95 7F8 Fl 2 7D AB F D 8 2OB 474 6F6F 7DE 6F F 8B 89 8B DO D6 Al E6E5 Al2 OB33 7A67 D37 3FAE 893A 57E D9 OD F 26FA B2EE EE6 6D DD74 3AE 44DE A 9F 7B F 6 3A B6 8F8D E 9F F E 7 FE E 48 E 6F A5 A9 BF8 7B FF 74D2 F65 E22E 6BA6 B 9 9E 2A B 85 9 OB 7 5D7 B65 9EDB 7F8 OD7 BB7 829 B6EF E 36 Al 44 A 44 E375 93D 34 E84 AOD9 74B 6FB2 F5D 2 A2 BF E 99 7E 6BD DB8 4AA A4E3 2AA D39 9ED 92 8B 5B 6E B9 B6 7 El B D A2E 96 6A2D D77 ADA B OB 6F 6E 45 2B 9B 6E2F OA 4O E D 8F D8 4 FO FB E5 A3 6 4 A F E6 EBF3 29ED 77AE E D BE 7 EB 8F FA 269 B9D3 5F 6DA 7F OD7 522 E33 DA Al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

81 konstrukcija kodova 73D9 A3 45 DB F4 A9 3 8 B8 DA D F B EA8 7B BB OD 9 A F EE E4D EEE7 2ED7 B F 34 6 AE 9A 82EA 35B7 A D2 ADE 4BFD 6A2 8 7 A 3 9E B3 87 E 2B A82 3EA B948 BEEE E943 EA FF FB 2F 86 BE E 5B F 8A 477 6B9 372A DD3 6A 6E 3 DE B 9 A8 3 6 F9A 93B 8D9D FOA AE9 659D B8 F FE 4 5F A 72 7AOF 8E5 E828 B43A E AF8 2D E A8 3 9 F9 47 B7 4 92FB 4EA6 EE25 6 D8B A2F8 87A A 6 AE B9 8 A6 82E2 OFA 4AD 53DF 6F6D 786 FBD4 B58 42 B7 44 E8 A 6 A4 8B 4 78EE A3D 3AD 95A9 EF F8 6B E3 FF 24 BF 89 9 OA B D2 42D 5A39 72A FB A7BF A5ED 3 E2 OB 68 4 B 92 DA 6 78 D34 9E2 AFFA 3DBA D2ED F5BF 3D F78 F9 EO 2 52 D E32 5DDO E FEE9 79AA 7598 D6D F2 BD 54 O 39 OA 4 BE3 69D2 43BA AB DA 86E9 DD 4F 79 9 OA DD F8 57 A2 A639 AA4 94E 7A DEF 525 4A4 63F3 72 E8 5D 7 7E AO E7 El 3F F42D 49 AOF FEEF 82F 32F2 77BA 296A A5 6B 49 BD O D IF 6E4 F53 28D3 EAE A386 F 22AF OED9 E ED E BD ED 32 6 D5E 22E DD55 FA 34D 2D26 F2 857 BD 7 D4 F3 B8 A A796 E56 24D B F3 6D8 47 BF AE 5 D4 E8 7D 59 4EAF 8E49 56B5 2BD5 A5E3 7EB5 34A5 6A6 9 E6 B7 F5 6F 98 3E A5 2 D24A 25 25A 6E98 DDAB 89 6F DB88 8 F2 B4 3D B3 3A 9E 95 B3 5ED 2FF 4DA 7B E7EE 9A6 F8 E47 6A E E5 FD B2 4E 79 7E F69 A94 E D55D 224 8B 24 EO AE 5E D AF 6 5D5 B F 68B A E 8A AO E8 24E3 9A DO3 5AB B99 69DD 7AB O B DA F F A AF EF7E 5D3 9 8F E6 5A D 8 9 3E2 BD E722 8F5D F57A 549 8D9 36AB 6 93 E7 52 9E E 9 B9 D9 253D AB A8 7E6 97B F3B F8 4E 3D 94 7 A 45 4B 49 A E54 EB E7 95A E F7 OA B DB F EOB 37 5B D8DF 57B 97 E9D ED E F F EF 4667 FFB F D F36A 8E D8 2B 6 A3 6 D 5B F4 OD2A DE3 2B F5F A A 6A F EF 887 BADO 86F B55 E8D7 9AF DA7 BE8 4 BB F4 E 8F 49 EE E2 BA 5DA D5BB 34A6 2E2 F52F 87A B 7493 BO DA ED B5 BE 5 D4 O 3 5DD D759 6DE F F56 99DB O4D A BE 7B 263 5FF E A9 2FF E D 3 A4 58 A9 OA A9A 6BD F227 DO7 87 B7B F 36 9 EE 66 8E D6 5A 3F E2 5F E23 DED OEA 32F5 F394 BE69 D74B 83 A E 6E D5 5ED A62 9A BF 4B75 2FAE FOFD A78 F A 6 B 7A D83 SEAF ED 93 F88 95B5 4F F3 7F 3 A6 6 FA 4A 3 OA3 DB68 8DD2 38B BDB A6AA 9A B5AD 4D 87 FB D F FB FO B935 5 A8B FOFA FBA E7 2BA 683 2A 34 B9 9 FE B EB 3B E29 FA B84 O 7E F8 D B D98E 65FD A8 6AE DA E3 4B B E FB5 789 F74 EEE 5DE BBD F l 72 D 5D B9EA 4F6B 47BF E94 89 DF86 A 9 FO 9F 49 D6 3 8 DA F35F B2 F3AD D72D B42 9D 42 ED 5B 2F 8F B8 4 3D B B3A9 EB4F F2FF BFA B 5FA E AF DB 4E 55 AA 584B FA AA D74 EDDE 9B43 6EF F4 6D 7A 94 OA E9 B 8 88 D37 F4 5DB B9 57AB D73D A D3 OE 36 7 BF 62 A8 6B26 BA48 ABB 3F A744 45A7 9E6F A2 8A E3 99 A2 E F 9EA 9A8 A8 32BD D85 55FD D DB 92 F9 5 E9 6 E49 5BA B772 67A

82 89 konstrukcija kodova 8F8 6D E93 B6A D2 3 FB A FO 2 4AD 5DA 22B7 75AE 6DB AFEA DO6 2BA3 4 5 B F A 7 5D72 5A 3F9 8E AAEE 58BD 592F E2OF F9 B B2 9A65 93 DBD 7856 F368 EADE 2D BF5 B7 E BA 3F D7 DO F7 F A8D EE3 F4 D FF D F 59 FO 373A 86A AF B9 4OF 54FB F 3F 72 BO E9 A A FAA F559 3E7 59D4 BB26 833D BA 9 D8 2 D F 2 3A2 F8 A43 7D3A F86 A848 FD2F 7B8 DO 4D B 296A D65 B3B8 8FF8 579B 53D7 A7 3 A8 97 FD 6A D6 4E E 393D 5E8A EAB7 A27 B84 5B 2 BF AF 8F B8 DF F 7A89 DE78 2E5 O58 D39E 53FD 57B A34 93 B5 83 F2 A F F4 BFF4 977 DDDD 3EE EB28 2AAA 653F 37B D4 A EE F E F 2A 5A 826F BE5 64A7 E22B ODB8 23E 243E B E B3 AA49 8A E7B2 F795 2O AFF 227E A D8 5BA3 73 A74 29B E6B 9BB3 43A A6 84 DB E7 7E 5 44 FF6 4E8 A5A 6BAB 53D A38F A6AF B F3 2B F8 DB F6 764 FB7 E597 7E F El 2F 7B 4 49 D 4 5F 33DA 5B68 FE7 7B46 462B 46EA 765 F2 B F7 B5 99 AE EA EB 3FE DE6 3E5B E768 BB7 386 ED46 E72 7 3B 4D FO 3B 66 D EF DEE DF EB 6D 2D A D 42 3E23 ED F4 23E9 D83 59F9 7F64 l DD EA E5 OA 37 3 BO BD 52E 356E 54F A 4449 A5B A8OD 8B E8 75 3D A BAB8 5B 368 F63 8FFE D3A 549F 7E 4 BB 56 5E 89 9D F88 7A74 OD4 E9A4 26D B D F9 BF E2 76 D A6 AO 6F67 D7OD 39E2 FBAB 5B7B DDF2 7D2 3B97 5E D 97 F B D4 D OD 282 6E DAB B45 E 9 3 4A 83 8 DO B 8A5F EBD 82E5 F32 56A 38F F837 EE 23 8B AO F54 FBE AEB4 Fl OF 6 BB A 3F 636B E BBA5 332 EA9F 9DB 4AEE D E A 95B9 8DO FOAB FABD EA A 3 8 6E 3 8E A7 3 7E 73 3D4F 8877 B624 AF7 84BE 835 DB44 6FB A DF5 A EBF 9A E A D A 5 3 DA 2A 9BB8 7FA9 D66 6 E97 4BE9 2D F9A A BO 5B 25 F 4B B 25F 244 BOD 7A92 8B 79 5B B B5 3 E9 9D EB 2F47 9A2 3AE8 F37 5B 3D OE 2 2D 8B E9 56 6A OF 83 2B F9B 65D 5A A42 2E6D DDAA 9DF OE 9 34 EF 73 3A 2E F4D A BE 5D2F B45 6D D BA E 59 BB B4F8 9BD4 EF59 2F A F76 5F FA EF AF B A4 9 F8 B5 6E2B 59 5B2E 7AAE 63B 6F2 9 32DB 99 BF 38 E 67 2A E B A2 F658 75B A F5F9 6E5 95DF 7 82 DE 2A 74 OE E BF D3 D663 77A7 8D2 4A 6B42 2D6E 27F AD Al 53 4D E7 B B 2E3 D5 29A9 7D A6 6F9 9D 8A 3 E7 3 6 EE B 22 DD48 2B55 749E 3B ED BD4 6D B 78 8D A6 7D 29DE 562D 2BD 8A8D 5733 F8A F7 93F7 72 A BD 8A EF F7D E38 6AO F9B4 ODA B3 E A 5D 8 E5 7 4E 4D E995 9B8 593B 688 B8A5 4B 3 OE AF DO F6 5A B6D6 E32 69B OFE 9BA 6E35 B8 DEF OE FB 5D 4B A8 B79 23 B7 AF4 4AB7 F B2 E2 O FEB 7D2 E8D5 EA B2 5E9F 649F D Al FA 8 B8 OA 69 FD 2A 59F 3FEE E8E7 A24 6B7 7D5D B747 3B4 4A E3 2B B6 D6 B DD 92 4F E876 2A7F 778 FDB 82 DAl2 6FE D288 OF 3 AD 2 4F F A F67E 72 8BB3 9D2A E3 32F 26 44F7 EF 24 3 E 3 E7 3 BF BO BDFE 34A F2A E5OD B678 E873 FA3 A E B2 DF 52 EA E23 EF55

83 konstrukcija kodova A 6E D37 2D D4 59 F F6 B 4F OE A7 2A3E A6A 5FE 335F 9E F4 B23 5 5B 6 9A 6 8 OB 7F 82 B55 3E ADEF F48 BBD 4F D5 38 D DA 67 5F AF E9 69 B7A B8 D7A2 47F A32 A65A 4A5B 2F D A9 E4 BF 5 F 36 5D 27E F32 82D D944 FB3 7A5 OD5B FF 3 B E DD 3 4 3D6 AB9 7A3 262 FE7 EASE 2639 D F8 8F 92 EE B B 5D5 6B24 39BD A2 99 3E 82 FB BF 3 3F 5A E 5B 3B 9F45 AD3F 9B5 79 D 58 5 D5 5 EO EE B8 59 B27 DE4 54B4 8B84 ED6 E6B A B 26 AB DO 29 EF EBB 545 9A 44 67D2 839 AE F66D AB OE ED 59D 98BF 937 5BA2 EE E8 B3B B D BFAB EAAD BAD2 Proverall.:=AP i 7-,25cookazujedajell.dobra matrica provere Hemingovog (2,92) koda: H( ) F7 8F7 8F7 8F7 8 F7 8 F7 8 F7 8 F7 8 F78 F78 F78 F78 8 FFF7 8 FFF7 8 FF F7 8 FF F7 8FF F7 8FF F7 8 FFFF FFF7 8 FF FF FF F7 8FF FFFF F7 8 FF FF FF FF FF FF FF F7 8FF 8 FF FFFF FFFF FFFF FFFF H(2) 7E3 789D DA3 E9A7 6 E6 6 2 E4 4F F 66 A 4E63 F36 F B3 FEB 456 7E6 B8 BA 32 5D 9A E 6B F 4EA DE7 89 8OF D 2E7 45 l FB B9 6 9E A F4D DE D 74 4AB 553 F4DF 6 52 DA 4B F D8 89 D4F 874 A5AB 64 E F7 73 FB OA B 9D 229 8F 2BA 859 FB23 88D F6 ED 4 B 8A E5 23 E2 OE A A 86A2 BF E 8E 98 8E 48 A E 685 A 69 7E 2 BB7 D2F 7 l 42 6 BO D2A B H(3) 3885 ABED 8A FB 65 4 E6 D3 Al D D A572 9D DDF l A6 64 B4 D9 B7 OA 5D B63 D887 DB9 A OB78 8BB A 79 ED 6 BB A79 95BB 33B D47 B3BD OF 5 DE EO Fl D A OFA4 E3A D3 BA2 DF2 2 D2 EO 3F 5 F F 92B6 468 E63 B8 EE63 77 D8D B FB El 82 4D3 A2D E8B E D3 28 A44 9 Al 5 O EB 9A 64 8E A F A3 3E E 63D 996 9O3

84 konstrukcija kodova H(4) 8E4 D66A AE8 92B 92 F F OA Fl AO 5455 FBA B9 6DE F B D 8 FE 2B D B3 F 855 F8EE 8E E9 68D 3AF ODBA AA A6 73 Al 76 A 7 25 ED 658 5E5 4A7 3E A 89D4 A6 B A7 23 3D 43 EF BOFA 439D 95B E29A 9888 F85 43D A7 9E 3 OE EE F4F E7D F7 8D7B A97 OFE B E9 8 OF 8F 42 AB 89 FB 7A 338A 6D9 78F E AD E 8B2 24D B D7 F F A6 D OD B62 H(5) 49A 35B FE8D 884 9A BD 99 9F 2B 9B 6 F4 2 73D E EE F5 4E96 EFOE 3F A E4 27 AE28 A8E E72 D5A6 F84 4F2A E2 75B 2D AF 7E BF 46 OE A 6 A79 26AB AO9 52B EE88 4DB OD2F AE D5 B FD 2F DA5 A 727 FEB2 E3 E5D 43AE DB 8 FO 7A OE D 25D 458A 6 2E6 98AA 2EA B3 B3 84 7F 43 7DE B E366 E4A 28 BD A 8 D BO5D D 3E O E H(6) OAB AOF FE 3 A 2A Al BF 8F l ED6 A77B BE9 DOTE 85 6BB8 D959 2F2 E6 88 DA 9D 3B 6 BE O 55 F25B 382F 6A7 E4 E22F 3AOB 9B46 7AB2 F9 BE B D F 8 8FAB A852 DOED 549 7B83 BD95 DO DF FB BD 8A 8 BE 6 4DD5 47E8 D D6 86AF 3B 4E4 B l 63 B6 9A EE F 4A ED 425 E A5 3DE9 9D7 8EBA 7B F7 8 4B A E 6A E6EF 4D A8 B E2 5 6 A2 6 8 AAB 344 BBOO BA48 E535 4AB A B OD35 23F H(7) 762 D2 F5 AAAB 5B A5 6 A9 A D A9 94DA FE 5D86 OE6 D79A Al 96 DD BD BE 8693 EBOD 393 6F7 E7D D 9F FF 2 4D 32 6 DD3D A2D3 F39 B64B 459 B D68 96 F3 22 F AB D3 4A6B 4B 3EB7 E42E 496 9FB A DB 2B F 92 B DFF2 FE F85 E B8 3B D FD E 3DO 4A2 F379 9ADA A3 EFE AO A 42E 492 8B A B 7D 5 2 2A DOD H(8) 2E 824 5EB D EA 5 B79 2FAD 73D7 BOF 63 5A9 4BA 5D F4 99 D6 B D42 F88 B72D FD2 D67 FD D 42 F F 7 5E FA 5FD B98 8F88 9ADA E A73 9B 87 OD 9 AE OA 32 El 4 El D55 2B EEE7 E6FB FF 775D 26 F F E 56 6F BD F64 65 AOF 4D9 A3 5 8E E3 6 D A97 7F D E68 B D B B3 698A 74A A D B OA 3F 86 3A4 AOE B 52

85 konstrukcija kodova H(9) 4B 628B 566 8F88 6A 5B 58 2F DA E9 9B 9E 84 F6AD 828 6BD A47 F8F A A4 B D 9 55 D E37 E78 FF6 FA6 782E E5 3D3 87 2D E 5 32 B8 4E E9 4A F88E OF83 699F 98BE 9F2E 92B OE FB A B2 54 B BD EDE3 69 OB93 AE8 A672 E B A8 74 D A7 9AB E6 B DD BE 2 D 36 FD BD8 E28 584E E 4E 3D D D 93 64E 3E A F 8A A AO 4 9 6EOF B2F 8 38D H() 62 F535 E945 B4BB 6B 47 FB B6 A8 BA D7 5F 2 O4F 3E E E257 A755 3A9 OD4 E2 2B 45 A6 A9 7A 9 F4 B E B DBB AB5 E D7 D D BFA9 9BA4 OE ria P4 4oflc )f 9 6G It A N 8823 JOH Alf Hg N5 RA WO Al D3 g Oi 65 ) 5 62E A ; DP2 ali 4 P4 AO I DP NI 4 P4 4 4E E38 3E A 69B A F4 FO E 32E4 43B 4E2 2 82F 6DE B7 D A A44 AOF 5A H() A62 A28 572A B l 49 4 F F5 76 AO AFEO EOO 4B2F 7DFB ABO 5B36 F5 65E7 89 A3 6E 5F 4 2 6D B F35 DOBB A943 AFD F84 2B27 28AA DE 22 9E 2D EE 4 8 2E DA FDEO ODD8 E35E 2E DOE D FF D D 2A 8 D FBB8 88A A93B E 82 8D6 F95 FE 9A BD B El D A EE 3AFE 864 BO4A 5355 F3FA B3AA B OD 8E A A 2 F 6BB BF2 6A A BE A B A8A 8B H(2) D454 EEA 3EA A 83 l D3 79 EF56 8D4 6F8 DD FB D8A7 D E OA 4 F9 6 DB 42 4 D DE5A ADDE 6E A56 4A74 2F5 OD 9F 8A 99 OE F4 E3 E4 F8 F344 49B9 98B 9FA 66A8 9D F7 O F9 73 EA D5 FF F A7D2 6D4 2F D D F 8E6 6D E34 8A5 56 B4AA 579 OB4D DO 8D 6 A 56 9 AFF AA2B 4477 FF BA8 OF AB 79 AO 4D 4 3E 9 4A B92 D25 A A BO A8B 9B H(3) E5E3 9E A4E B 4E B6 35 OE B2 EB7 57B2 FA2 6FDA A28 2DB4 4 AFOA FO 92 EF E3 B E9 35F6 6A7D EB E3AE A7E F 53 E8 FF F5 896 F67 B86 F DF 7A BD OD 44 OFA 5E52 726F DA D3 3 F9 84 B9 5D BF 7 3F 8 7A3D B B3 D28 B24 E4F 968E B D BB F 2B D2 7 D26 3D 9 AO BB 26 8 D B8 4AF A8A8 OBB 5A 4 9 B4 8 OD E BO7A

86 konstrukcija kodova H(4) 5272 FF5 F9FF 52A 82 3 E6 DO 83 4 El AB 2F 298A 9DA E4ED 3D 32B E4D BA E9 Fl B DBO FB55 D44 D3 7D6 A5 5 FO D6 BF22 EA4D 8DB8 AB82 A94 A74 725E D 9A A8 8D 9 FE 8 5B B 4BE FEB 2B 37A2 D34 56E 26 D A 6 FF 96 BE 6 4 2F9 3A37 2A6 76E6 EAAE BOE 47A 7D B 356 F5BD 92EA A88D 274 D E A 4 E A2A9 B E 8 E Al EB B 2 O 64 3A4 5E 4DD5 942 H(5) 3B AB 23B 8D83 D B5 8A FE 98 2F 5 7 2A DD 9628 BD9F A23E 437 5A ABE ED 79 AB B3 58 8A FEB E565 F D63 EF68 BE B9 6B 68 2 A3 DB E D F7A AAO2 88))!EA FT 69 OD A 4 55 FF fl 544 Mi g F3 FA 98 6D q WO AM fg Acq P9 AP cd AO be AD 6 N 7P WO Dc7 7 A8 4A3B 3D OF A5 F4 D B 48 A65 53D A 4AD E AO 5 O 62 8E E3 E H(6) 553F D48 E7BF 9A B7 D8 A4 7E 5D 7A 2F 9 BO OO FO A 68D 46DD 2DF A85 788E 6A 9 6B F3 8 AO 2F 4F 2B5D AF95 8AAF D AA7 F58 483A E9 F D 5 E FE7 E244 5DB D53 9B78 ABE 856E EO 2A D A 7 3 BD2B 7D36 OEBA FOI 36 4A57 B D 5 l E F E8 3D D FBA5 4O5 7 AE DD 43 3 F9 3A EOA B22 5D8 2D4 23 2E A E7 59 9B 3 F E2A AE 3A A A 7A4 93 H(7) BE23 EB9 9B2 536E 2A El B8 EB AE El 9E D E5 E86 E89 34 E73 A345 ODF8 EOBA 7D26 29 BA EA 8D 68 OA 69 AD 38 F D928 F7AB D52 EDA D7A7 6E37 5A AF 9A E5 F ODB4 45F4 E6 5D22 FF78 22B6 3EE B3E D5 38 la E6 7 9A AD6E 8AA 6543 A43 69A 723D 62B 6D7 6D Al B 69BA 6D69 AB38 FFF4 D52B F F8 9F 23 5A D2A A 85A A2 9 D3 OE BD 8 2AF 735 4A3 2 3B25 52B A6 27 A2 5 5D DO A H(8) 448 5B7A E87 74BA 79 D F2 9 F3 D E7 77 B3F 8D 827 FDDE B2 79 B4 4 4B 9D 3 3A 4 FFF 3E 89 EEOE 33E 978 F7 6D58 DF OD 2A F3 B8 7 B82 78AD 8EE 57 2B93 ED8 93E4 7DE D9 OF A6 FE D BAB 36B 8D6 8D2 FBA2 873F 46A F D8 72 DF F AFFD 924F F27B FF 63 8E B37 68 AOA4 OB2 9D89 A A6 E A A6 E EA OE AF E 28 D4 A4 85 O

87 konstrukcija kodova H(9) A49 D875 F443 62A 9A 4E 2 Al A D9 OD8D 739F 2F35 F6ED B4 5B3 4EBF 24B E OE 9A DA A966 E5A 6F ED89 6AB8 E6 852D E22F FE 86 DA E4 6D 9 27 B2 4 D4D A5A5 EBA E6 6D2A 5 AOA8 A EE 6E 6 7A D5 98 6D 8 ADA9 4D E7 OE3 887 B9A F4 9B 96 6 F A2 3A 8 2 8D84 B2D 6E8 OE6B DB9 OF89 87A 5D Al E4 BF 9 A7 58 EA EA8 78E5 6ODE E95 28B8 OAE6 2 B OA A 97A ED 6 l 4 8 B F88 E88 H(2) D4F E E89E 3E 8B 3 B D OE 6 7D A6 4B39 7BD F FA8 8AAA FB 2 8F 39 4 F2 F6 AD D EAB D3A3 3D7B 54D 7A4 9D DE 4 9B 6F 2D55 B678 3E43 A463 NH 88E5 A EONA5N f5 fl 552 OE 2 PODO DAB 8A F B EO AO E6 O B6 29 FO 7D EA7 39 7FFD 28 DB4 335 E D DF B DAE E 49 B EF A6 84 DAE B32 84B3 5E E 63 2B A87A A8E 3 2E AE8 A A A479 3B7E 9299 F38 7D58 5E8A 8F2 79F 5EB 78E5 B6DE 3DD F O4B B5F5 9E7 AF26 2F83 5F64 A92 42 A A5 5D 8A8 A4F ABB 44 D3A D29 D 87E 46 FB6 D2 3A EF 77D O 2DA 7 283E H(2) DE EE 55 A7 6E 72 2E 7F 7E 4 B5 3 A8 49 7A D El 45 DE l B B2 H(22) 85D 6 5 l 72 E E5 B F2 5B F9 7B FF 94 2F3 B4 E D 59 7B D8 F 36 E8 D7EE AE 99 DE F9 2F D D4 6 7A D ED 25 5 D2 A3 A9 O E Al A DO 5 5 BB 3D 2 EO 5 A 3 37B2 AE4 28A4 4B F4 999 A25B 8D 872 5F7 O3 B3A8 EF3E 7F3 3EF4 EA62 F B DEO D97 42B3 D B A 6E 2D 92 DF 9B 96E8 E27E 45F2 FB E2 5 F4 7E3 4A D56 DO5E 4 2 B F8E7 FO7D F3A D5 l A A2EA D2E3 8D A 694 5E54 23B3 D7 2A D8 A B4 A86 38 DA 3 D868 5A B6 5A A762 7A3 439E 763F AE B9D 5E4 E 94A8 E 82 A424 9D8 B6 H(23) BB4 68DD 66 5F AF BO 6A DF D5 A6 45E 4E 25A E782 F6AB 8BD EA E8 46 B2 D A D B9 429D 6E 4DE A7 F El 52 B8 2D OE 2E 3 B3F E23 A3E 82BD 69 A9E9 D6 9 DD AD 6E B A DB66 9E D4 D 22 4 F7 A2 28 E63E D8F 9EO DD37 EOD2 56D 3 AF EE 3 9E 8 96 E2 3 34D B5 97E6 3D7 89A F A A6 2B A F A8 75 O6A 62F 72 E9

Projektovanje paralelnih algoritama II

Projektovanje paralelnih algoritama II Projektovanje paralelnih algoritama II Primeri paralelnih algoritama, I deo Paralelni algoritmi za množenje matrica 1 Algoritmi za množenje matrica Ovde su data tri paralelna algoritma: Direktan algoritam

More information

Slika 1. Slika 2. Da ne bismo stalno izbacivali elemente iz skupa, mi ćemo napraviti još jedan niz markirano, gde će

Slika 1. Slika 2. Da ne bismo stalno izbacivali elemente iz skupa, mi ćemo napraviti još jedan niz markirano, gde će Permutacije Zadatak. U vreći se nalazi n loptica različitih boja. Iz vreće izvlačimo redom jednu po jednu lopticu i stavljamo jednu pored druge. Koliko različitih redosleda boja možemo da dobijemo? Primer

More information

Mathcad sa algoritmima

Mathcad sa algoritmima P R I M J E R I P R I M J E R I Mathcad sa algoritmima NAREDBE - elementarne obrade - sekvence Primjer 1 Napraviti algoritam za sabiranje dva broja. NAREDBE - elementarne obrade - sekvence Primjer 1 POČETAK

More information

Uvod u relacione baze podataka

Uvod u relacione baze podataka Uvod u relacione baze podataka Ana Spasić 2. čas 1 Mala studentska baza dosije (indeks, ime, prezime, datum rodjenja, mesto rodjenja, datum upisa) predmet (id predmeta, sifra, naziv, bodovi) ispitni rok

More information

Fajl koji je korišćen može se naći na

Fajl koji je korišćen može se naći na Machine learning Tumačenje matrice konfuzije i podataka Fajl koji je korišćen može se naći na http://www.technologyforge.net/datasets/. Fajl se odnosi na pečurke (Edible mushrooms). Svaka instanca je definisana

More information

Red veze za benzen. Slika 1.

Red veze za benzen. Slika 1. Red veze za benzen Benzen C 6 H 6 je aromatično ciklično jedinjenje. Njegove dve rezonantne forme (ili Kekuléove structure), prema teoriji valentne veze (VB) prikazuju se uobičajeno kao na slici 1 a),

More information

ZANIMLJIV NAČIN IZRAČUNAVANJA NEKIH GRANIČNIH VRIJEDNOSTI FUNKCIJA. Šefket Arslanagić, Sarajevo, BiH

ZANIMLJIV NAČIN IZRAČUNAVANJA NEKIH GRANIČNIH VRIJEDNOSTI FUNKCIJA. Šefket Arslanagić, Sarajevo, BiH MAT-KOL (Banja Luka) XXIII ()(7), -7 http://wwwimviblorg/dmbl/dmblhtm DOI: 75/МК7A ISSN 5-6969 (o) ISSN 986-588 (o) ZANIMLJIV NAČIN IZRAČUNAVANJA NEKIH GRANIČNIH VRIJEDNOSTI FUNKCIJA Šefket Arslanagić,

More information

KLASIFIKACIJA NAIVNI BAJES. NIKOLA MILIKIĆ URL:

KLASIFIKACIJA NAIVNI BAJES. NIKOLA MILIKIĆ   URL: KLASIFIKACIJA NAIVNI BAJES NIKOLA MILIKIĆ EMAIL: nikola.milikic@fon.bg.ac.rs URL: http://nikola.milikic.info ŠTA JE KLASIFIKACIJA? Zadatak određivanja klase kojoj neka instanca pripada instanca je opisana

More information

Iskazna logika 1. Matematička logika u računarstvu. oktobar 2012

Iskazna logika 1. Matematička logika u računarstvu. oktobar 2012 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia oktobar 2012 Iskazi, istinitost, veznici Intuitivno, iskaz je rečenica koja je ima tačno jednu jednu

More information

P a g e 5 1 of R e p o r t P B 4 / 0 9

P a g e 5 1 of R e p o r t P B 4 / 0 9 P a g e 5 1 of R e p o r t P B 4 / 0 9 J A R T a l s o c o n c l u d e d t h a t a l t h o u g h t h e i n t e n t o f N e l s o n s r e h a b i l i t a t i o n p l a n i s t o e n h a n c e c o n n e

More information

A L A BA M A L A W R E V IE W

A L A BA M A L A W R E V IE W A L A BA M A L A W R E V IE W Volume 52 Fall 2000 Number 1 B E F O R E D I S A B I L I T Y C I V I L R I G HT S : C I V I L W A R P E N S I O N S A N D TH E P O L I T I C S O F D I S A B I L I T Y I N

More information

TEORIJA SKUPOVA Zadaci

TEORIJA SKUPOVA Zadaci TEORIJA SKUPOVA Zadai LOGIKA 1 I. godina 1. Zapišite simbolima: ( x nije element skupa S (b) d je član skupa S () F je podskup slupa S (d) Skup S sadrži skup R 2. Neka je S { x;2x 6} = = i neka je b =

More information

Analogne modulacije / Analog modulations

Analogne modulacije / Analog modulations Analogne modulacije / Analog modulations Zadatak: Na slici 1 je prikazana blok ²ema prijemnika AM-1B0 signala sa sinhronom demodulacijom. Moduli²u i signal m(t) ima spektar u opsegu ( f m f m ) i snagu

More information

PRIPADNOST RJEŠENJA KVADRATNE JEDNAČINE DANOM INTERVALU

PRIPADNOST RJEŠENJA KVADRATNE JEDNAČINE DANOM INTERVALU MAT KOL Banja Luka) ISSN 0354 6969 p) ISSN 1986 58 o) Vol. XXI )015) 105 115 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm PRIPADNOST RJEŠENJA KVADRATNE JEDNAČINE DANOM INTERVALU Bernadin Ibrahimpašić 1 Senka Ibrahimpašić

More information

ZANIMLJIVI ALGEBARSKI ZADACI SA BROJEM 2013 (Interesting algebraic problems with number 2013)

ZANIMLJIVI ALGEBARSKI ZADACI SA BROJEM 2013 (Interesting algebraic problems with number 2013) MAT-KOL (Banja Luka) ISSN 0354-6969 (p), ISSN 1986-5228 (o) Vol. XIX (3)(2013), 35-44 ZANIMLJIVI ALGEBARSKI ZADACI SA BROJEM 2013 (Interesting algebraic problems with number 2013) Nenad O. Vesi 1 Du²an

More information

Rešenja zadataka za vežbu na relacionoj algebri i relacionom računu

Rešenja zadataka za vežbu na relacionoj algebri i relacionom računu Rešenja zadataka za vežbu na relacionoj algebri i relacionom računu 1. Izdvojiti ime i prezime studenata koji su rođeni u Beogradu. (DOSIJE WHERE MESTO_RODJENJA='Beograd')[IME, PREZIME] where mesto_rodjenja='beograd'

More information

UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU

UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Ivan Marinković Klasifikacija H-matrica metodom skaliranja i njena primena u odred ivanju oblasti konvergencije

More information

Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral

Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral Sadržaj 1 Metrički prostori 3 1.1 Primeri metričkih prostora................. 3 1.2 Konvergencija nizova i osobine skupova...................... 12 1.3 Kantorov

More information

Uvod u analizu (M3-02) 05., 07. i 12. XI dr Nenad Teofanov. principle) ili Dirihleov princip (engl. Dirichlet box principle).

Uvod u analizu (M3-02) 05., 07. i 12. XI dr Nenad Teofanov. principle) ili Dirihleov princip (engl. Dirichlet box principle). Uvod u analizu (M-0) 0., 07. i. XI 0. dr Nenad Teofanov. Kardinalni broj skupa R U ovom predavanju se razmatra veličina skupa realnih brojeva. Jasno, taj skup ima beskonačno mnogo elemenata. Pokazaće se,

More information

Algoritam za množenje ulančanih matrica. Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek

Algoritam za množenje ulančanih matrica. Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek Algoritam za množenje ulančanih matrica Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek O problemu (1) Neka je A 1, A 2,, A n niz ulančanih matrica duljine n N, gdje su dimenzije matrice

More information

Osobine metode rezolucije: zaustavlja se, pouzdanost i kompletnost. Iskazna logika 4

Osobine metode rezolucije: zaustavlja se, pouzdanost i kompletnost. Iskazna logika 4 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Rezolucija 1 Metod rezolucije je postupak za dokazivanje da li je neka iskazna (ili

More information

OH BOY! Story. N a r r a t iv e a n d o bj e c t s th ea t e r Fo r a l l a g e s, fr o m th e a ge of 9

OH BOY! Story. N a r r a t iv e a n d o bj e c t s th ea t e r Fo r a l l a g e s, fr o m th e a ge of 9 OH BOY! O h Boy!, was or igin a lly cr eat ed in F r en ch an d was a m a jor s u cc ess on t h e Fr en ch st a ge f or young au di enc es. It h a s b een s een by ap pr ox i ma t ely 175,000 sp ect at

More information

Jedna familija trokoračnih postupaka šestog reda za rešavanje nelinearnih jednačina

Jedna familija trokoračnih postupaka šestog reda za rešavanje nelinearnih jednačina UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Ester Jambor Jedna familija trokoračnih postupaka šestog reda za rešavanje nelinearnih jednačina master rad

More information

ANALYSIS OF INFLUENCE OF PARAMETERS ON TRANSFER FUNCTIONS OF APERIODIC MECHANISMS UDC Života Živković, Miloš Milošević, Ivan Ivanov

ANALYSIS OF INFLUENCE OF PARAMETERS ON TRANSFER FUNCTIONS OF APERIODIC MECHANISMS UDC Života Živković, Miloš Milošević, Ivan Ivanov UNIVERSITY OF NIŠ The scientific journal FACTA UNIVERSITATIS Series: Mechanical Engineering Vol.1, N o 6, 1999 pp. 675-681 Editor of series: Nenad Radojković, e-mail: radojkovic@ni.ac.yu Address: Univerzitetski

More information

BROJEVNE KONGRUENCIJE

BROJEVNE KONGRUENCIJE UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Vojko Nestorović BROJEVNE KONGRUENCIJE - MASTER RAD - Mentor, dr Siniša Crvenković Novi Sad, 2011. Sadržaj Predgovor...............................

More information

DYNAMIC HEAT TRANSFER IN WALLS: LIMITATIONS OF HEAT FLUX METERS

DYNAMIC HEAT TRANSFER IN WALLS: LIMITATIONS OF HEAT FLUX METERS DYNAMI EAT TRANFER IN WALL: LIMITATION OF EAT FLUX METER DINAMIČKI PRENO TOPLOTE U ZIDOVIMA: OGRANIČENJA MERAČA TOPLOTNOG PROTOKA (TOPLOTNOG FLUKA) 1 I. Naveros a, b,. Ghiaus a a ETIL UMR58, INA-Lyon,

More information

T h e C S E T I P r o j e c t

T h e C S E T I P r o j e c t T h e P r o j e c t T H E P R O J E C T T A B L E O F C O N T E N T S A r t i c l e P a g e C o m p r e h e n s i v e A s s es s m e n t o f t h e U F O / E T I P h e n o m e n o n M a y 1 9 9 1 1 E T

More information

Nilpotentni operatori i matrice

Nilpotentni operatori i matrice Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Nikolina Romić Nilpotentni operatori i matrice Završni rad Osijek, 2016. Sveučilište J. J. Strossmayera

More information

Neke klase maksimalnih hiperklonova

Neke klase maksimalnih hiperklonova UNIVERZITET U NOVOM SDU PRIRODNO-MTEMTIČKI FKULTET DERRTMN Z MTEMTIKU I INFORMTIKU Jelena Čolić Neke klase maksimalnih hiperklonova - završni rad - MENTOR: Prof. dr Rozalija Madaras-Siladi Novi Sad, 2012.

More information

NIPP. Implementing rules for metadata. Ivica Skender NSDI Working group for technical standards.

NIPP. Implementing rules for metadata. Ivica Skender NSDI Working group for technical standards. Implementing rules for metadata Ivica Skender NSDI Working group for technical standards ivica.skender@gisdata.com Content Working group for technical standards INSPIRE Metadata implementing rule Review

More information

Ksenija Doroslovački KOMBINATORIKA INTERPRETIRANA FUNKCIJAMA I NJIHOVIM OSOBINAMA MASTER RAD. NOVI SAD jun 2008

Ksenija Doroslovački KOMBINATORIKA INTERPRETIRANA FUNKCIJAMA I NJIHOVIM OSOBINAMA MASTER RAD. NOVI SAD jun 2008 1 Ksenija Doroslovački KOMBINATORIKA INTERPRETIRANA FUNKCIJAMA I NJIHOVIM OSOBINAMA MASTER RAD NOVI SAD jun 2008 2 Sadržaj 1 UVOD 5 2 FUNKCIJE 11 3 KLASIČNI KOMBINATORNI OBJEKTI 17 4 NEKI NEKLASIČNI KOMBINATORNI

More information

SINTAKSNA I ALGORITAMSKA NOTACIJA

SINTAKSNA I ALGORITAMSKA NOTACIJA B-1 Prilog B SINTAKSNA I ALGORITAMSKA NOTACIJA B-2 B.1 Sintaksna notacija sa zagradama U osnovi svake sintaksne notacije nalaze se slede}i elementi: sintaksni pojam: leksi~ka konstrukcija koja se defini{e;

More information

Karakteri konačnih Abelovih grupa

Karakteri konačnih Abelovih grupa Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Matija Klarić Karakteri konačnih Abelovih grupa Završni rad Osijek, 2015. Sveučilište J. J. Strossmayera

More information

AIR CURTAINS VAZDU[NE ZAVESE V H

AIR CURTAINS VAZDU[NE ZAVESE V H AIR CURTAINS V 15.000 H 21.000 KLIMA Co. 2 KLIMA Co. Flow and system stress should be known factors in air flow. The flow is gas quantity flowing through the system during given time unit and is measured

More information

Metode praćenja planova

Metode praćenja planova Metode praćenja planova Klasična metoda praćenja Suvremene metode praćenja gantogram mrežni dijagram Metoda vrednovanja funkcionalnosti sustava Gantogram VREMENSKO TRAJANJE AKTIVNOSTI A K T I V N O S T

More information

I M P O R T A N T S A F E T Y I N S T R U C T I O N S W h e n u s i n g t h i s e l e c t r o n i c d e v i c e, b a s i c p r e c a u t i o n s s h o

I M P O R T A N T S A F E T Y I N S T R U C T I O N S W h e n u s i n g t h i s e l e c t r o n i c d e v i c e, b a s i c p r e c a u t i o n s s h o I M P O R T A N T S A F E T Y I N S T R U C T I O N S W h e n u s i n g t h i s e l e c t r o n i c d e v i c e, b a s i c p r e c a u t i o n s s h o u l d a l w a y s b e t a k e n, i n c l u d f o l

More information

Mirela Nogolica Norme Završni rad

Mirela Nogolica Norme Završni rad Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Mirela Nogolica Norme Završni rad Osijek, 2014. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za

More information

CATAVASII LA NAȘTEREA DOMNULUI DUMNEZEU ȘI MÂNTUITORULUI NOSTRU, IISUS HRISTOS. CÂNTAREA I-A. Ήχος Πα. to os se e e na aș te e e slă ă ă vi i i i i

CATAVASII LA NAȘTEREA DOMNULUI DUMNEZEU ȘI MÂNTUITORULUI NOSTRU, IISUS HRISTOS. CÂNTAREA I-A. Ήχος Πα. to os se e e na aș te e e slă ă ă vi i i i i CATAVASII LA NAȘTEREA DOMNULUI DUMNEZEU ȘI MÂNTUITORULUI NOSTRU, IISUS HRISTOS. CÂNTAREA I-A Ήχος α H ris to os s n ș t slă ă ă vi i i i i ți'l Hris to o os di in c ru u uri, în tâm pi i n ți i'l Hris

More information

UOPŠTENI INVERZI, FAKTORI USLOVLJENOSTI I PERTURBACIJE

UOPŠTENI INVERZI, FAKTORI USLOVLJENOSTI I PERTURBACIJE UNIVERZITET U NIŠU PRIRODNO MATEMATIČKI FAKULTET ODSEK ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Dijana Mosić UOPŠTENI INVERZI, FAKTORI USLOVLJENOSTI I PERTURBACIJE Doktorska disertacija Mentor Prof. dr Dragan Djordjević

More information

DISTRIBUIRANI ALGORITMI I SISTEMI

DISTRIBUIRANI ALGORITMI I SISTEMI Postavka 7: međusobno isključivanje sa read/write promenljivama 1 DISTRIBUIRANI ALGORITMI I SISTEMI Iz kursa CSCE 668 Proleće 2014 Autor izvorne prezentacije: Prof. Jennifer Welch Read/Write deljene promenljive

More information

Funkcijske jednadºbe

Funkcijske jednadºbe MEMO pripreme 2015. Marin Petkovi, 9. 6. 2015. Funkcijske jednadºbe Uvod i osnovne ideje U ovom predavanju obradit emo neke poznate funkcijske jednadºbe i osnovne ideje rje²avanja takvih jednadºbi. Uobi

More information

Geometrijski smisao rješenja sustava od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice

Geometrijski smisao rješenja sustava od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice Osječki matematički list 6(2006), 79 84 79 Geometrijski smisao rješenja sustava od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice Zlatko Udovičić Sažetak. Geometrijski smisao rješenja sustava od dvije linearne

More information

O aksiomu izbora, cipelama i čarapama

O aksiomu izbora, cipelama i čarapama O aksiomu izbora, cipelama i čarapama Aksiom izbora može se izreći u raznim ekvivalentnim formama. Dokazi ekvivalencije aksioma izbora npr. sa Zornovom lemom, ili pak sa Zermelovim teoremom o dobrom uredaju,

More information

AN EXPERIMENTAL METHOD FOR DETERMINATION OF NATURAL CIRCULAR FREQUENCY OF HELICAL TORSIONAL SPRINGS UDC:

AN EXPERIMENTAL METHOD FOR DETERMINATION OF NATURAL CIRCULAR FREQUENCY OF HELICAL TORSIONAL SPRINGS UDC: UNIVERSITY OF NIŠ The scientific journal FACTA UNIVERSITATIS Series: Mechanical Engineering Vol.1, N o 5, 1998 pp. 547-554 Editor of series: Nenad Radojković, e-mail: radojkovic@ni.ac.yu Address: Univerzitetski

More information

NIZOVI I REDOVI FUNKCIJA

NIZOVI I REDOVI FUNKCIJA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Danijela Piškor NIZOVI I REDOVI FUNKCIJA Diplomski rad Voditelj rada: izv. prof. dr. sc. Ljiljana Arambašić Zagreb, rujan 206.

More information

ANALYTICAL AND NUMERICAL PREDICTION OF SPRINGBACK IN SHEET METAL BENDING

ANALYTICAL AND NUMERICAL PREDICTION OF SPRINGBACK IN SHEET METAL BENDING ANALYTICAL AND NUMERICAL PREDICTION OF SPRINGBACK IN SHEET METAL BENDING Slota Ján, Jurčišin Miroslav Department of Technologies and Materials, Faculty of Mechanical Engineering, Technical University of

More information

Karakterizacija problema zadovoljenja uslova širine 1

Karakterizacija problema zadovoljenja uslova širine 1 UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Aleksandar Prokić Karakterizacija problema zadovoljenja uslova širine 1 -master rad- Mentor: dr Petar Marković

More information

Signal s(t) ima spektar S(f) ograničen na opseg učestanosti (0 f m ). Odabiranjem signala s(t) dobijaju se 4 signala odbiraka: δ(t kt s τ 2 ),

Signal s(t) ima spektar S(f) ograničen na opseg učestanosti (0 f m ). Odabiranjem signala s(t) dobijaju se 4 signala odbiraka: δ(t kt s τ 2 ), Signali i sistemi Signal st ima spektar Sf ograničen na opseg učestanosti 0 f m. Odabiranjem signala st dobijaju se signala odbiraka: s t = st s t = st s t = st s t = st δt k, δt k τ 0, δt k τ i δt k τ,

More information

P a g e 3 6 of R e p o r t P B 4 / 0 9

P a g e 3 6 of R e p o r t P B 4 / 0 9 P a g e 3 6 of R e p o r t P B 4 / 0 9 p r o t e c t h um a n h e a l t h a n d p r o p e r t y fr om t h e d a n g e rs i n h e r e n t i n m i n i n g o p e r a t i o n s s u c h a s a q u a r r y. J

More information

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Drumska vozila Uputstvo za izradu vučnog proračuna motornog vozila. 1. Ulazni podaci IZVOR:

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Drumska vozila Uputstvo za izradu vučnog proračuna motornog vozila. 1. Ulazni podaci IZVOR: 1. Ulazni podaci IZVOR: WWW.CARTODAY.COM 1. Ulazni podaci Masa / težina vozila Osovinske reakcije Raspodela težine napred / nazad Dimenzije pneumatika Čeona površina Koeficijent otpora vazduha Brzinska

More information

Šta je to mašinsko učenje?

Šta je to mašinsko učenje? MAŠINSKO UČENJE Šta je to mašinsko učenje? Disciplina koja omogućava računarima da uče bez eksplicitnog programiranja (Arthur Samuel 1959). 1. Generalizacija znanja na osnovu prethodnog iskustva (podataka

More information

Zadatci sa ciklusima. Zadatak1: Sastaviti progra koji određuje z ir prvih prirod ih rojeva.

Zadatci sa ciklusima. Zadatak1: Sastaviti progra koji određuje z ir prvih prirod ih rojeva. Zadatci sa ciklusima Zadatak1: Sastaviti progra koji određuje z ir prvih prirod ih rojeva. StrToIntDef(tekst,broj) - funkcija kojom se tekst pretvara u ceo broj s tim da je uvedena automatska kontrola

More information

DESIGN AND CALCULATION OF RING SPRINGS AS SPRING ELEMENTS OF THE WAGON BUFFER UDC : Jovan Nešović

DESIGN AND CALCULATION OF RING SPRINGS AS SPRING ELEMENTS OF THE WAGON BUFFER UDC : Jovan Nešović FACTA UNIVERSITATIS Series: Mechanical Engineering Vol.1, N o 9, 2002, pp. 1127-1133 DESIGN AND CALCULATION OF RING SPRINGS AS SPRING ELEMENTS OF THE WAGON BUFFER UDC 62-272.43:623.435 Jovan Nešović Faculty

More information

VELOCITY PROFILES AT THE OUTLET OF THE DIFFERENT DESIGNED DIES FOR ALUMINIUM EXTRUSION

VELOCITY PROFILES AT THE OUTLET OF THE DIFFERENT DESIGNED DIES FOR ALUMINIUM EXTRUSION VELOCITY PROFILES AT THE OUTLET OF THE DIFFERENT DESIGNED DIES FOR ALUMINIUM EXTRUSION J.Caloska, J. Lazarev, Faculty of Mechanical Engineering, University Cyril and Methodius, Skopje, Republic of Macedonia

More information

Andrea Rožnjik. VaR KAO MERA RIZIKA U OPTIMIZACIJI PORTFOLIA. - magistarska teza - Novi Sad, 2008.

Andrea Rožnjik. VaR KAO MERA RIZIKA U OPTIMIZACIJI PORTFOLIA. - magistarska teza - Novi Sad, 2008. UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Andrea Rožnjik VaR KAO MERA RIZIKA U OPTIMIZACIJI PORTFOLIA - magistarska teza - Novi Sad, 2008. Predgovor

More information

pretraživanje teksta Knuth-Morris-Pratt algoritam

pretraživanje teksta Knuth-Morris-Pratt algoritam pretraživanje teksta Knuth-Morris-Pratt algoritam Jelena Držaić Oblikovanje i analiza algoritama Mentor: Prof.dr.sc Saša Singer 18. siječnja 2016. 18. siječnja 2016. 1 / 48 Sadržaj 1 Uvod 2 Pretraživanje

More information

Fibonaccijev brojevni sustav

Fibonaccijev brojevni sustav Fibonaccijev brojevni sustav Ljerka Jukić asistentica Odjela za matematiku Sveučilišta u Osijeku, ljukic@mathos.hr Helena Velić studentica Odjela za matematiku Sveučilišta u Osijeku, hvelic@mathos.hr Sažetak

More information

UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATItICI FAKULTET

UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATItICI FAKULTET UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATItICI FAKULTET Radoi V. Bakit PRIMENA ARITMETI(KE FUNKCIJE W U TEORIJI GRUPA Magistarski rad Mentor: Prof. Dr. iarko Mijajlovie Matematidki fakultet Beograd elanovi komisije:

More information

Metoda parcijalnih najmanjih kvadrata: Regresijski model

Metoda parcijalnih najmanjih kvadrata: Regresijski model Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek Tamara Sente Metoda parcijalnih najmanjih kvadrata: Regresijski model Diplomski rad Voditelj rada: Izv.prof.dr.sc. Miljenko Huzak

More information

Trade Patterns, Production networks, and Trade and employment in the Asia-US region

Trade Patterns, Production networks, and Trade and employment in the Asia-US region Trade Patterns, Production networks, and Trade and employment in the Asia-U region atoshi Inomata Institute of Developing Economies ETRO Development of cross-national production linkages, 1985-2005 1985

More information

FIZIKALNA KOZMOLOGIJA VII. VRLO RANI SVEMIR & INFLACIJA

FIZIKALNA KOZMOLOGIJA VII. VRLO RANI SVEMIR & INFLACIJA FIZIKALNA KOZMOLOGIJA VII. VRLO RANI SVEMIR & INFLACIJA KOZMIČKI SAT ranog svemira Ekstra zračenje u mjerenju CMB Usporedba s rezultatima LEP-a Usporedba CMB i neutrina Vj.: Pozadinsko zračenje neutrina

More information

Šime Šuljić. Funkcije. Zadavanje funkcije i područje definicije. š2004š 1

Šime Šuljić. Funkcije. Zadavanje funkcije i područje definicije. š2004š 1 Šime Šuljić Funkcije Zadavanje funkcije i područje definicije š2004š 1 Iz povijesti Dvojica Francuza, Pierre de Fermat i Rene Descartes, posebno su zadužila matematiku unijevši ideju koordinatne metode

More information

Modified Zagreb M 2 Index Comparison with the Randi} Connectivity Index for Benzenoid Systems

Modified Zagreb M 2 Index Comparison with the Randi} Connectivity Index for Benzenoid Systems CROATICA CHEMICA ACTA CCACAA 7 (2) 83 87 (2003) ISSN-00-3 CCA-2870 Note Modified Zagreb M 2 Index Comparison with the Randi} Connectivity Index for Benzenoid Systems Damir Vuki~evi} a, * and Nenad Trinajsti}

More information

4-POLITOPA. Prema Štajnicovom radu iz godine skup f vektora 3 politopa dat je sa:

4-POLITOPA. Prema Štajnicovom radu iz godine skup f vektora 3 politopa dat je sa: NEKE NUMERIČKE KARAKTERISTIKE 4-POLITOPA VLADIMIR TELEBAK Prirodno-matematički fakultet Univerzitet u Banjoj Luci Ul. Mladena Stojanovića 2 Banja Luka, Republika Srpska e-pošta: vladotelebak@yahoo.com

More information

Nekoliko kombinatornih dokaza

Nekoliko kombinatornih dokaza MAT-KOL (Banja Luka) ISSN 0354-6969 (p), ISSN 1986-5228 (o) http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm Vol. XXII (2)(2016), 141-147 Nekoliko kombinatornih dokaza Duško Jojić Prirodno-matematički fakultet, Univerzitet

More information

Future Self-Guides. E,.?, :0-..-.,0 Q., 5...q ',D5', 4,] 1-}., d-'.4.., _. ZoltAn Dbrnyei Introduction. u u rt 5,4) ,-,4, a. a aci,, u 4.

Future Self-Guides. E,.?, :0-..-.,0 Q., 5...q ',D5', 4,] 1-}., d-'.4.., _. ZoltAn Dbrnyei Introduction. u u rt 5,4) ,-,4, a. a aci,, u 4. te SelfGi ZltAn Dbnyei Intdtin ; ) Q) 4 t? ) t _ 4 73 y S _ E _ p p 4 t t 4) 1_ ::_ J 1 `i () L VI O I4 " " 1 D 4 L e Q) 1 k) QJ 7 j ZS _Le t 1 ej!2 i1 L 77 7 G (4) 4 6 t (1 ;7 bb F) t f; n (i M Q) 7S

More information

Simetrične matrice, kvadratne forme i matrične norme

Simetrične matrice, kvadratne forme i matrične norme Sveučilište JJStrossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Martina Dorić Simetrične matrice, kvadratne forme i matrične norme Završni rad Osijek, 2014 Sveučilište

More information

Linearno uređena topologija

Linearno uređena topologija Univerzitet u Novom Sadu Prirodno-matematički fakultet Departman za matematiku i informatiku Aleksandar Janjoš Linearno uređena topologija Master rad Mentor: Dr Aleksandar Pavlović 2017, Novi Sad Sadržaj

More information

Programiranje u realnom vremenu Bojan Furlan

Programiranje u realnom vremenu Bojan Furlan Programiranje u realnom vremenu Bojan Furlan Tri procesa sa D = T imaju sledeće karakteristike: Proces T C a 3 1 b 6 2 c 18 5 (a) Pokazati kako se može konstruisati ciklično izvršavanje ovih procesa. (b)

More information

PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Marina Zrno KOMUTATIVNI PRSTENI. Diplomski rad. Voditelj rada: prof.dr.sc.

PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Marina Zrno KOMUTATIVNI PRSTENI. Diplomski rad. Voditelj rada: prof.dr.sc. SVEUČ ILIŠ TE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Marina Zrno KOMUTATIVNI PRSTENI Diplomski rad Voditelj rada: prof.dr.sc. Ozren Perše Zagreb, 2014 Ovaj diplomski rad obranjen

More information

UNIVERZITET U NIŠU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET. mr Dragan Stevanović NEKE KOMPOZICIJE GRAFOVA I GRAFOVI SA CELOBROJNIM SPEKTROM

UNIVERZITET U NIŠU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET. mr Dragan Stevanović NEKE KOMPOZICIJE GRAFOVA I GRAFOVI SA CELOBROJNIM SPEKTROM UNIVERZITET U NIŠU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET mr Dragan Stevanović NEKE KOMPOZICIJE GRAFOVA I GRAFOVI SA CELOBROJNIM SPEKTROM doktorska disertacija Niš, 1999. Za Sanju Sadržaj Predgovor vii I NEPS

More information

Turingovi strojevi Opis Turingovog stroja Odluµcivost logike prvog reda. Lipanj Odluµcivost i izraµcunljivost

Turingovi strojevi Opis Turingovog stroja Odluµcivost logike prvog reda. Lipanj Odluµcivost i izraµcunljivost Odluµcivost logike prvog reda B. µ Zarnić Lipanj 2008. Uvod Turingovi strojevi Logika prvoga reda je pouzdana. Logika prvog reda je potpuna. Γ `LPR K ) Γ j= SPR K Γ j= SPR K ) Γ `LPR K Prema tome, ako

More information

Oracle Spatial Koordinatni sustavi, projekcije i transformacije. Dalibor Kušić, mag. ing. listopad 2010.

Oracle Spatial Koordinatni sustavi, projekcije i transformacije. Dalibor Kušić, mag. ing. listopad 2010. Oracle Spatial Koordinatni sustavi, projekcije i transformacije Dalibor Kušić, mag. ing. listopad 2010. Pregled Uvod Koordinatni sustavi Transformacije Projekcije Modeliranje 00:25 Oracle Spatial 2 Uvod

More information

Klase neograničenih operatora

Klase neograničenih operatora Univerzitet u Nišu Prirodno- matematički fakultet Departman za matematiku Klase neograničenih operatora Master rad Mentor: Prof. dr. Dragan Đorđević Student: Milena Nikolić Niš,. Sadržaj Predgovor...2

More information

AUTOMATSKE GRUPE I STRUKTURE PREDSTAVLJIVE KONAČNIM AUTOMATIMA

AUTOMATSKE GRUPE I STRUKTURE PREDSTAVLJIVE KONAČNIM AUTOMATIMA AUTOMATSKE GRUPE I STRUKTURE PREDSTAVLJIVE KONAČNIM AUTOMATIMA master teza Autor: Atila Fešiš Mentor: dr Igor Dolinka Novi Sad, 2013. Sadržaj Predgovor iii 1 Osnovni pojmovi 1 1.1 Konačni automati i regularni

More information

THIS PAGE DECLASSIFIED IAW E

THIS PAGE DECLASSIFIED IAW E THS PAGE DECLASSFED AW E0 2958 BL K THS PAGE DECLASSFED AW E0 2958 THS PAGE DECLASSFED AW E0 2958 B L K THS PAGE DECLASSFED AW E0 2958 THS PAGE DECLASSFED AW EO 2958 THS PAGE DECLASSFED AW EO 2958 THS

More information

ANALYSIS OF THE RELIABILITY OF THE "ALTERNATOR- ALTERNATOR BELT" SYSTEM

ANALYSIS OF THE RELIABILITY OF THE ALTERNATOR- ALTERNATOR BELT SYSTEM I. Mavrin, D. Kovacevic, B. Makovic: Analysis of the Reliability of the "Alternator- Alternator Belt" System IVAN MAVRIN, D.Sc. DRAZEN KOVACEVIC, B.Eng. BRANKO MAKOVIC, B.Eng. Fakultet prometnih znanosti,

More information

Ash Wednesday. First Introit thing. * Dómi- nos. di- di- nos, tú- ré- spi- Ps. ne. Dó- mi- Sál- vum. intra-vé-runt. Gló- ri-

Ash Wednesday. First Introit thing. * Dómi- nos. di- di- nos, tú- ré- spi- Ps. ne. Dó- mi- Sál- vum. intra-vé-runt. Gló- ri- sh Wdsdy 7 gn mult- tú- st Frst Intrt thng X-áud m. ns ní- m-sr-cór- Ps. -qu Ptr - m- Sál- vum m * usqu 1 d fc á-rum sp- m-sr-t- ó- num Gló- r- Fí- l- Sp-rí- : quó-n- m ntr-vé-runt á- n-mm c * m- quó-n-

More information

Kriptologija. Savršena bezbednost

Kriptologija. Savršena bezbednost Kriptologija Savršena bezbednost Savršena bezbednost Šifarski sistem je računarski bezbedan (computationally secure) (praktično tajan) ako: Cena razbijanja šifrata prevazilazi vrednost šifrovane informacije

More information

Asian Journal of Science and Technology Vol. 4, Issue 08, pp , August, 2013 RESEARCH ARTICLE

Asian Journal of Science and Technology Vol. 4, Issue 08, pp , August, 2013 RESEARCH ARTICLE Available Online at http://www.journalajst.com ASIAN JOURNAL OF SCIENCE AND TECHNOLOGY ISSN: 0976-3376 Asian Journal of Science and Technology Vol. 4, Issue 08, pp.037-041, August, 2013 RESEARCH ARTICLE

More information

Geometric Predicates P r og r a m s need t o t es t r ela t ive p os it ions of p oint s b a s ed on t heir coor d ina t es. S im p le exa m p les ( i

Geometric Predicates P r og r a m s need t o t es t r ela t ive p os it ions of p oint s b a s ed on t heir coor d ina t es. S im p le exa m p les ( i Automatic Generation of SS tag ed Geometric PP red icates Aleksandar Nanevski, G u y B lello c h and R o b ert H arp er PSCICO project h ttp: / / w w w. cs. cm u. ed u / ~ ps ci co Geometric Predicates

More information

VREMENSKE SERIJE U FINANSIJAMA: ARCH I GARCH

VREMENSKE SERIJE U FINANSIJAMA: ARCH I GARCH UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Zoranka Desnica VREMENSKE SERIJE U FINANSIJAMA: ARCH I GARCH -završni rad - Novi Sad, oktobar 009. PREDGOVOR

More information

Algoritmi za mnoºenje i dijeljenje velikih. brojeva. Marko Pejovi UNIVERZITET CRNE GORE. Prirodno-matemati ki fakultet Podgorica. Podgorica, 2018.

Algoritmi za mnoºenje i dijeljenje velikih. brojeva. Marko Pejovi UNIVERZITET CRNE GORE. Prirodno-matemati ki fakultet Podgorica. Podgorica, 2018. UNIVERZITET CRNE GORE Prirodno-matemati ki fakultet Podgorica Marko Pejovi Algoritmi za mnoºenje i dijeljenje velikih brojeva SPECIJALISTIƒKI RAD Podgorica, 2018. UNIVERZITET CRNE GORE Prirodno-matemati

More information

HENDERSON'S APPROACH TO VARIANCE COMPONENTS ESTIMATION FOR UNBALANCED DATA UDC Vera Djordjević, Vinko Lepojević

HENDERSON'S APPROACH TO VARIANCE COMPONENTS ESTIMATION FOR UNBALANCED DATA UDC Vera Djordjević, Vinko Lepojević FACTA UNIVERSITATIS Series: Economics and Organization Vol. 2, N o 1, 2003, pp. 59-64 HENDERSON'S APPROACH TO VARIANCE COMPONENTS ESTIMATION FOR UNBALANCED DATA UDC 519.233.4 Vera Djordjević, Vinko Lepojević

More information

Sveučilište u Zagrebu Fakultet prometnih znanosti Diplomski studij. Umjetna inteligencija - Genetski algoritmi 47895/47816 UMINTELI HG/

Sveučilište u Zagrebu Fakultet prometnih znanosti Diplomski studij. Umjetna inteligencija - Genetski algoritmi 47895/47816 UMINTELI HG/ Sveučilište u Zagrebu Fakultet prometnih znanosti Diplomski studij Umjetna inteligencija - Genetski algoritmi 47895/47816 UMINTELI HG/2008-2009 Genetski algoritam Postupak stohastičkog pretraživanja prostora

More information

:,,.. ;,..,.,. 90 :.. :, , «-»,, -. : -,,, -, -., ,, -, -. - «-»:,,, ,.,.

:,,.. ;,..,.,. 90 :.. :, , «-»,, -. : -,,, -, -., ,, -, -. - «-»:,,, ,.,. .,.,. 2015 1 614.8 68.9 90 :,,.. ;,. 90.,.,. :.. :, 2015. 164. - - 280700, «-»,, -. : -,,, -, -.,. -. -. -,, -, -. - «-»:,,, -. 614.8 68.9.,.,., 2015, 2015 2 ... 5... 7 1.... 7 1.1.... 7 1.2.... 9 1.3....

More information

O GLATKIM GRAFOVIMA KOMPATIBILNIM SA TEJLOROVIM OPERACIJAMA

O GLATKIM GRAFOVIMA KOMPATIBILNIM SA TEJLOROVIM OPERACIJAMA UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Vlado Uljarević O GLATKIM GRAFOVIMA KOMPATIBILNIM SA TEJLOROVIM OPERACIJAMA -master teza- Novi Sad, 2014 Sadržaj

More information

INVESTIGATION OF UPSETTING OF CYLINDER BY CONICAL DIES

INVESTIGATION OF UPSETTING OF CYLINDER BY CONICAL DIES INVESTIGATION OF UPSETTING OF CYLINDER BY CONICAL DIES D. Vilotic 1, M. Plancak M 1, A. Bramley 2 and F. Osman 2 1 University of Novi Sad, Yugoslavia; 2 University of Bath, England ABSTRACT Process of

More information

3. Linear Systems of Algebraic Equations: Iterative Methods

3. Linear Systems of Algebraic Equations: Iterative Methods 33 Faculty of Civil Engineering Belgrade Master Study COMPUTATIONAL ENGINEERING Faculty of Civil Engineering and Architecture Niš Doctoral Study LECTURES LESSON III 3 Linear Systems of Algebraic Equations:

More information

Kristina Popadić. Analiza preživljavanja sa primenama u zdravstvenom osiguranju - master rad -

Kristina Popadić. Analiza preživljavanja sa primenama u zdravstvenom osiguranju - master rad - UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Kristina Popadić Analiza preživljavanja sa primenama u zdravstvenom osiguranju - master rad - Mentor: prof.

More information

Virtual Library of Faculty of Mathematics - University of Belgrade

Virtual Library of Faculty of Mathematics - University of Belgrade MATEMATINI FAKULTET UNIVERZITET U BEOGRADU 7om6i0 Bjelica NEPOKRETNA TANA I NEJEDNAKOTI doktorska disertacija Untverztiet u Beograda Prdredao-matematteki fainiteti MATEMATICKI FAKULTIST BBLIOTEKA 4 Drool

More information

Konstrukcija i analiza algoritama

Konstrukcija i analiza algoritama Konstrukcija i analiza algoritama 27. februar 207 Matematička indukcija Princip matematičke indukcije: Da bi za svako n N važilo tvrdjenje T (n) dovoljno je pokazati: bazu indukcije: tvrdjenje T () induktivni

More information

Krive u prostoru Minkovskog

Krive u prostoru Minkovskog UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Maja Jolić Krive u prostoru Minkovskog - master rad - Mentor: dr Sanja Konjik Novi Sad, 2016 Predgovor Na vratima

More information

Matrice traga nula math.e Vol. 26. math.e. Hrvatski matematički elektronički časopis. Matrice traga nula. komutator linearna algebra. Sažetak.

Matrice traga nula math.e Vol. 26. math.e. Hrvatski matematički elektronički časopis. Matrice traga nula. komutator linearna algebra. Sažetak. 1 math.e Hrvatski matematički elektronički časopis komutator linearna algebra Marijana Kožul i Rajna Rajić Matrice traga nula marijana55@gmail.com, rajna.rajic@rgn.hr Rudarsko-geološko-naftni fakultet,

More information

KRITERIJI KOMPLEKSNOSTI ZA K-MEANS ALGORITAM

KRITERIJI KOMPLEKSNOSTI ZA K-MEANS ALGORITAM SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Stela Šeperić KRITERIJI KOMPLEKSNOSTI ZA K-MEANS ALGORITAM Diplomski rad Voditelj rada: doc.dr.sc. Pavle Goldstein Zagreb, Srpanj

More information

MATHEMATICAL ANALYSIS OF PERFORMANCE OF A VIBRATORY BOWL FEEDER FOR FEEDING BOTTLE CAPS

MATHEMATICAL ANALYSIS OF PERFORMANCE OF A VIBRATORY BOWL FEEDER FOR FEEDING BOTTLE CAPS http://doi.org/10.24867/jpe-2018-02-055 JPE (2018) Vol.21 (2) Choudhary, M., Narang, R., Khanna, P. Original Scientific Paper MATHEMATICAL ANALYSIS OF PERFORMANCE OF A VIBRATORY BOWL FEEDER FOR FEEDING

More information

BROWNOV MOST I KOLMOGOROV-SMIRNOVLJEVA STATISTIKA

BROWNOV MOST I KOLMOGOROV-SMIRNOVLJEVA STATISTIKA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Nikolina Blažević BROWNOV MOST I KOLMOGOROV-SMIRNOVLJEVA STATISTIKA Diplomski rad Zagreb, veljača 2016. Voditelj rada: doc. dr.

More information

Metode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda

Metode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda Osječki matematički list 10(2010), 31 42 31 STUDENTSKA RUBRIKA Metode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda Damira Keček Sažetak U članku su opisane metode izračunavanja determinanti matrica n-tog

More information

LINEARNI MODELI STATISTIČKI PRAKTIKUM 2 2. VJEŽBE

LINEARNI MODELI STATISTIČKI PRAKTIKUM 2 2. VJEŽBE LINEARNI MODELI STATISTIČKI PRAKTIKUM 2 2. VJEŽBE Linearni model Promatramo jednodimenzionalni linearni model. Y = β 0 + p β k x k + ε k=1 x 1, x 2,..., x p - varijable poticaja (kontrolirane) ε - sl.

More information

Yu.G. Matvienko. The paper was presented at the Twelfth Meeting New Trends in Fatigue and Fracture (NT2F12) Brasov, Romania, May, 2012

Yu.G. Matvienko. The paper was presented at the Twelfth Meeting New Trends in Fatigue and Fracture (NT2F12) Brasov, Romania, May, 2012 Yu.G. Matvienko The paper was presented at the Twelfth Meeting New Trends in Fatigue and Fracture (NTF1) Brasov, Romania, 7 30 May, 01 CRACK TP PLASTC ZONE UNDER MODE LOADNG AND THE NON-SNGULAR T zz STRESS

More information