CINEMATICA. ( t) 1. CINEMATICA PUNCTULUI MATERIAL Traiectoria mişcării unui punct. 1. Cinematica punctului

Transcription

1 1. Cinemtic punctului CINEATICA Cinemtic este pte mecnicii ce studiă mişce sistemelo mteile (punct mteil, sistem de puncte mteile, solid igid, sisteme de copui igide) făă ţine sem de mse şi foţe. Studiul mişcăii implică legee unui sistem de efeinţă. işce unui cop în pot cu un sistem de efeinţă (epe, efeenţil) fi se numeşte mişce bsolută i în pot cu un epe mobil se numeşte mişce eltiă. Pentu mişcăile cuente din tehnică un epe legt de pământ se consideă fi. În cinemtică, tei pobleme sunt esenţile: poblem tiectoiilo, poblem iteelo, poblem cceleţiilo. 1. CINEATICA PUNCTULUI ATERIAL 1.1. Tiectoi mişcăii unui punct,, k s, ϕ,, ϕ, θ s t o(t = 0) θ ( Γ) n (N) O j ϕ i ρ (R) Fig. 1.1 işce unui punct este cunoscută dcă în oice moment t se pote detemin poiţi punctului fţă de epeul les. În genel poiţi punctului se defineşte pin ectoul de poiţie l punctului fţă de oigine O sistemului de efeinţă les c funcţie de timp (fig. 1.1): ( t) = (1.1) 9 Plese puchse 'e-pdf Conete nd Ceto' on to emoe this messge.

2 Cinemtic Pentu defini o mişce fiică elă, funcţi ectoilă (1.1) tebuie să fie continuă, unifomă şi cel puţin de două oi deibilă. În mişce, punctul ocupă difeite poiţii în spţiu. Locul geometic l poiţiilo succesie le punctului mteil în mişce se numeşte tiectoie. Ecuţi (1.1) epeintă pin ume ecuţi ectoilă tiectoiei. Vectoul de poiţie pote fi definit în genel cu jutoul tei funcţii scle numite coodontele punctului: (,, ) ; (, ϕ,) ; (,ϕ,θ). Se pot scie elţiile: = i + j + k (1.) ( cosϕ) i + ( sinϕ) j + k ( sinθ cosϕ) i + ( sinθsinϕ) j ( cosθ)k = (1.3) = + (1.4) cot : În coodonte cteiene funcţiile scle sunt: bscis, odont şi = ( t), = ( t), ( t) = (1.5) şi sunt numite ecuţiile cteiene le mişcăii su ecuţiile pmetice tiectoiei. În coodonte cilindice cele tei funcţii scle sunt: polă, unghiul pol ϕ şi cot : = t = ϕ t = t (1.6) ( ); ϕ ( ); ( ) şi sunt numite ecuţiile mişcăii în coodonte cilindice su ecuţiile pmetice le tiectoiei în coodonte cilindice. Dcă = 0 coodontele cilindice se numesc coodonte pole. În coodonte sfeice cele tei funcţii scle sunt: distnţ su polă, longitudine ϕ şi imutul θ : = ( t), ϕ = ϕ( t), ( t) =, (1.7) numite ecuţiile mişcăii în coodonte sfeice su ecuţiile pmetice le tiectoiei în coodonte sfeice. Ecuţiile mişcăii se mi numesc şi legile de mişce le punctului. Dcă este cunoscută ecuţi intinsecă tiectoiei, ( s) =, (1.8) s fiind lungime cului de cubă măsut dint-un punct iniţil 0 (coespunăto momentului t 0 =0) până l punctul (coespunăto momentului t), tunci mişce punctului pe cub (Γ) se pote defini pin funcţi sclă 10 Plese puchse 'e-pdf Conete nd Ceto' on to emoe this messge.

3 ( t) 1. Cinemtic punctului s = s (1.9) numită ecuţi oă mişcăii. Eliminând, de eemplu, pmetul t înte ecutiile (1.5) se obţin ecuţiile cteiene le tiectoiei (Γ) punctului. 1.. Vite punctului mteil (,, ) 0; f (,, ) 0 f1 = = (1.10) În figu 1. se consideă un punct mteil flt în mişce pe tiectoi (Γ). L momentul t poiţi punctului în pot cu epeul fi O este dtă de ectoul de poiţie, i l momentul t + t, t fiind un intel fote mic de timp, pin ectoul de poiţie +. Se numeşte iteă medie punctului în intelul de timp t potul dinte iţi ectoului de poiţie l punctului (deplse punctului) şi intelul de timp t. m = (1.11) t Limit căte ce tinde ite medie când intelul de timp tinde căte eo se numeşte iteă instntnee punctului coespunăto momentului t. d = lim = = (1.1) t 0 t dt s m (t) s τ τ 1(t + t) o(t = 0) + ( Γ) O Fig Plese puchse 'e-pdf Conete nd Ceto' on to emoe this messge.

4 Cinemtic Aşd ite instntnee su ite unui punct flt în mişce este eglă cu deit în pot cu timpul ectoului de poiţie. Notăm cu u esoul deplsăii ectoile şi cu τ esoul tngentei l cubă în punctul. Fie s lungime cului de cubă coespunătoe intelului t. Relti (1.1) pote fi scisă: s ds u τ sτ t lim t lim = = t 0 t t lim = 0 0 t lim 0 t t lim 0 = dt = (1.13) S- ţinut sem că pentu t fote mic cod lungime cului de cubă s. Reultă că se pote înlocui cu = sτ = τ (1.14) Obseţii: i) Vite este un ecto diijt după tngent l cubă în punctul considet, ând sensul în sensul mişcăii; ii) Sclul ectoului iteă este egl cu deit cului de cub s, pcus de punct, în pot cu timpul; iii) În sistemul intenţionl de unităţi (SI), ite se măsoă în meti pe secundă (m/s) Acceleţi punctului mteil s o (t = 0) O m (t) s + 1 (t + t) + ( Γ ) În figu 1.3 este epeentt un punct în mişce pe tiectoi (Γ). L momentul t punctul e ite, i l momentul t + t e ite +. În intelul de timp t iţi iteei este. Rpotul dinte ceştee iteei şi ceştee coespuntoe timpului t se numeşte cceleţie medie. Fig. 1.3 m = (1.15) t Limit căte ce tinde cceleţi medie când intelul de timp tinde căte eo potă numele de cceleţie instntnee coespunătoe momentului t su cceleţie coespunătoe momentului t. 1 Plese puchse 'e-pdf Conete nd Ceto' on to emoe this messge.

5 1. Cinemtic punctului = t lim = = = (1.16) 0 t t Deci cceleţi punctului l un moment dt este eglă cu deit ectoului iteă în pot cu timpul su deit de odinul doi în pot cu timpul ectoului de poiţie. În sistemul intenţionl de unităţi (SI), cceleţi se măsoă în meti pe secundă l pătt (m/s ) Componentele iteei şi ccelţiei în coodonte cteiene Se cunosc ecuţiile cteiene le mişcăii punctului în mişce pe tiectoi (Γ): t t = t (1.17) = ( ); = ( ); ( ) ( Γ ),, t O Fig. 1.4 Se cee detemine poiecţiilo iteei (, ) (,, ) pe ele epeului ctein O (fig.1.4). şi cceleţiei Confom elţiei (1.1) = (1.18) i elţiei (1.) = i + j + k (1.19) Deiăm epesi (1.19) în pot cu timpul = i + j + k + i + j + k (1.0) 13 Plese puchse 'e-pdf Conete nd Ceto' on to emoe this messge.

6 Cinemtic Întucât esoii i, j şi k sunt constnţi, deitele lo în pot cu timpul sunt nule. i = 0, j = 0, k = 0 (1.1) Reultă, = = i + j + k (1.) Pe de ltă pte, = i + j k (1.3) + Compând elţiile (1.) şi (1.3) obţinem poiecţiile su componentele scle le ectoului iteă. odulul iteei e epesi: = ; = ; = (1.4) + = = + + = + (1.5) Oiente ectoului iteă pin intemediul cosinusuilo diectoe este dtă de elţiile: cos(,o) = ; cos(,o) = ; cos(, O) = (1.6) Deiând în pot cu timpul elţi (1.) ţinând sem de (1.1) obţinem epesi nlitică cceleţiei. Compând epesi (1.7) cu = = i + j + k (1.7) = i + j k (1.8) + eultă poiecţiile su componentele scle le ectoului cceleţie pe ele epeului ctein O. = ; = ; = (1.9) odulul şi oiente ectoului cceleţie se obţin cu jutoul elţiilo Z + = = + + = +, (1.30) 14 Plese puchse 'e-pdf Conete nd Ceto' on to emoe this messge.

7 cos (, i) = ; cos(, j) = ; cos(, k) 1. Cinemtic punctului = (1.31) 1.5. Componentele iteei şi cceleţiei pe ele tiedului lui Fenet Se cunoşte ecuţi oă mişcăii punctului: ( t) s = s (1.3) Se cee detemine poiecţiilo ectoilo iteă şi cceleţie pe ele sistemului intinsec de coodonte numit tiedul lui Fenet. Tiedul lui Fenet (fig.1.5) este un sistem de efeinţă mobil ând oigine în punctul şi ele diijte stfel: - pim ă τ, diijtă după tngent l tiectoie dusă în punctul, cu sensul în sensul ceşteii cului de cubă (în sensul mişcăii); - dou ă ν, diijtă după noml pinciplă cu sensul spe centul de cubuă K; - tei ă β, numită binomlă, pependiculă pe plnul osculto τν cu sensul stfel c tiedul τνβ să fie dept. s t β β τ τ pln osculto s ν τ ( Γ) K o(t = 0) ρ ν cec de cubu Aând în edee elţi (1.14) Fig. 1.5 ν pln noml = sτ = τ (1.33) 15 Plese puchse 'e-pdf Conete nd Ceto' on to emoe this messge.

8 Cinemtic poiecţiile iteei pe ele intinseci sunt: τ = = s ; τ = 0 ; β = 0 (1.34) Deiăm în pot cu timpul elţi (1.33) Se emintesc două elţii din geometi difeenţilă: = = sτ + sτ = τ + τ (1.35) d = τ (1.36) ds d τ 1 = ν, (1.37) ds ρ unde ρ este de cubuă. dτ Pentu clcul τ = punem elţi (1.37) sub fom: dt 1 d τ = νds (1.38) ρ şi o împăţim cu dt. Reultă: d τ 1 ds 1 1 = ν su τ = ν s = ν (1.39) dt ρ dt ρ ρ Înlocuim (1.39) în (1.35) s = sτ + ν = τ + ν (1.40) ρ ρ Compând (1.40) cu epesi nlitică cceleţiei pin poiecţiile pe ele tiedului lui Fenet, = ττ + νν + β β (1.41) obţinem: odulul cceleţiei este: τ = s = s ν = = ρ = 0 β ρ (1.4) 16 Plese puchse 'e-pdf Conete nd Ceto' on to emoe this messge.

9 1. Cinemtic punctului = τ + ν, (1.43) i cosinusuile diectoe: cos (, τ) = τ ; cos(, ν) = ν ; cos(, β) = 0 (1.44) Obseţii: 1) Deoece β = 0, ectoul cceleţie este situt în plnul osculto l cubei coespunăto punctului. ) Component τ = τ τ se numeşte component intinsecă tngenţilă şi se dtoeşte iţiei sclului iteei. Dcă = constnt, tunci τ = 0 şi mişce punctului se numeşte mişce unifomă. Acceleţi tngenţilă pote să fie poitiă su negtiă după cum e celşi sens su sens cont iteei, mişce numindu-se după c cceletă, especti încetinită. 3) Component ν = ν ν se numeşte componentă intinsec nomlă şi se dtoeşte iţiei diecţiei iteei. Acceleţi ν e întotdeun sensul esoului ν, deoece măime ν = este stict poitiă. Din cestă cuă ρ ectoul este diijt în pemnenţă înspe concitte tiectoiei. Acceleţi ν = 0 în două situţii: ) tiectoi punctului este ectilinie ( ρ = ) ; b) punctul se coincide cu un punct de infleiune l cubei ( ρ = ). Sigu mişce în ce mândouă componentele sunt nule ( τ = 0, ν = 0 ) este mişce ectilinie şi unifomă Componentele iteei şi cceleţiei în coodonte cilindice şi pole În sistemul de coodonte cilindice cele tei funcţii scle ce definesc tiectoi punctului mteil în mişce sunt: ( t) ; ϕ = ϕ( t) ; ( t) = = (1.45) Consideând dte ecuţiile mişcăii (1.45) se cee detemine poiecţiilo ectoilo iteă şi cceleţie pe ele sistemului de coodonte cilindice (fig. 1.6), sistem mobil ând oigine în punctul fi O su punctul şi ele: dilă (OR su R), nomlă (ON su N) şi cotelo (O su ). Dcă mişce punctului este o mişce plnă, consideând cot =0, sistemul de coodonte cilindice se numeşte sistem de coodonte pole (fig. 1.7). 17 Plese puchse 'e-pdf Conete nd Ceto' on to emoe this messge.

10 Cinemtic Se consideă în figu 1.6 un punct mteil în mişce pe tiectoi (Γ) le cei ecuţii pmetice în coodonte cilindice sunt dte de (1.45). Se umăeşte detemine poiecţiilo iteei şi cceleţiei pe ele sistemului de efeinţă mobil RN su ORN ând esoii ρ, n şi k. i k O ϕ n j ρ n ( Γ) (R), ϕ, t n (N) Fig. 1.6 ( Γ ) (N) (N) n n n O j ρ ϕ i o(t = 0) (R), ϕ t, ( ) Fig. 1.7 Vectoul de poiţie l punctului pote fi scis nlitic: = ρ + k (1.46) 18 Plese puchse 'e-pdf Conete nd Ceto' on to emoe this messge.

11 1. Cinemtic punctului Se deieă elţi (1.46) în pot cu timpul = ρ + ρ + k + k (1.47) şi se ţine sem că deine: = şi k = 0, fiind constnt. Pin ume elţi (1.47) = ρ + ρ + k (1.48) Înte esoii ρ, n şi i, j subistă elţiile: ρ = i cosϕ + jsinϕ (1.49) n = i sinϕ + jcosϕ (1.50) Deitele cesto esoi în pot cu timpul o fi: ρ = iϕ sinϕ + jϕ cosϕ = ϕ n (1.51) n = iϕ cosϕ jϕ sinϕ = ϕ ρ (1.5) S- ţinut sem că i şi j sunt nuli întucât esoii i şi j sunt constnţi. Înlocuind (1.51) în (1.48) epesi iteei deine: = ρ + ϕ n + k (1.53) Vectoul iteă pote fi epimt nlitic pin poiecţiile sle pe ele sistemului de coodonte cilindice sub fom: = ρ + n n + k (1.54) Din compe elţiilo (1.54) şi (1.53) se obţin poiecţiile iteei în coodonte cilindice: = n = ϕ (1.55) = odulul iteei este egl cu: = + n + (1.56) Oiente ectoului iteă se detemină pin cosinusuile diectoe: 19 Plese puchse 'e-pdf Conete nd Ceto' on to emoe this messge.

12 Cinemtic cos (, ρ) = ; cos(, n) = n ; cos(, k) = (1.57) Pentu obţine poiecţiile cceleţiei pe ele epeului mobil RN se deieă în funcţie de ibil timp epesi (1.53). Deoece: = ρ + ρ + ϕ n + ϕ n + ϕ n + k + k (1.58) = ; ρ = ϕ n ; n = -ϕ ρ ; k = 0 elţi (1.58) deine: Compând (1.59) cu ( ϕ ) ρ + ( ϕ + ϕ ) n + k = (1.59) = ρ + n n + k (1.60) obţinem poiecţiile cceleţiei în coodonte cilindice: = ϕ n = ϕ + ϕ = (1.61) odulul şi oiente ectoului cceleţie sunt dte de elţiile: = + n + (1.6) cos = = (1.63) (, ρ ) ; cos(, n) = n ; cos(, k) Dcă mişce punctului e loc înt-un pln ( = 0) coodonte cilindice deine sistem de coodonte pole (fig. 1.7). Ecuţiile mişcăii sunt în cest c: ( t) ; ϕ = ϕ( t) 0 sistemul de = (1.64) Eliminând pmetul timp din ecuţiile (1.64) se obţine ecuţi = ϕ. tiectoiei în coodonte pole ( ) Plese puchse 'e-pdf Conete nd Ceto' on to emoe this messge.

13 Poiecţiile iteei şi cceleţiei sunt în cest c: 1. Cinemtic punctului = n = ϕ = ϕ n = ϕ + ϕ (1.65) (1.66) i modulele lo = ; + n = + n (1.67) 1.7. işce ciculă punctului mteil În figu 1.8 se consideă un punct mteil ce se mişcă pe o tiectoie plnă ciculă ând centul în O şi ă R. Se lege un sistem de e cteiene O şi se noteă cu ϕ unghiul dinte iniţilă O o ( O) şi O coespunătoe poiţiei punctului l momentul t. τ, (N),, ϕ s (R) t τ β ν s ε ϕ ω O o (t = 0) ν Fig. 1.8 c: Ecuţiile pmetice cteiene le tiectoiei punctului sunt în cest = R cosϕ (1.68) = R sinϕ 1 Plese puchse 'e-pdf Conete nd Ceto' on to emoe this messge.

14 Cinemtic Ecuţi oă mişcăii este de fom: În coodonte pole ecuţiile mişcăii sunt: s = Rϕ (1.69) = R = const. ϕ = ϕ( t) (1.70) Se obseă că mişce punctului este cunoscută dcă se cunoşte funcţi scl ϕ = ϕ( t) numită şi lege su ecuţi mişcăii cicule. Fiind dtă ecuţi mişcăii ϕ = ϕ( t) şi cecului se cee detemine iteei şi cceleţiei punctului. Epesiile poiecţiilo iteei şi cceletiei pe ele epeului ctein se obţin pin deie succesiă în pot cu timpul ecuţiilo (1.68) = = = = ( R sinϕ) ( R cosϕ) ϕ = ϕ = ω ϕ = ϕ = ω (1.71) = = ϕ ϕ = ϕ ϕ = ε ω = = ϕ + ϕ = ϕ ϕ = ε ω (1.7) odulul iteei este = ω + = + = ωr (1.73) i l cceleţiei 4 4 ( ε + ω )( + ) = R ε ω = + = + (1.74) S-u făcut notţiile: dϕ ω = ϕ = (1.75) dt dϕ d ϕ dω ε = ϕ = ω = = = (1.76) dt dt dt Plese puchse 'e-pdf Conete nd Ceto' on to emoe this messge.

15 1. Cinemtic punctului ăime ω ccteieă iţi unghiului ϕ în unitte de timp şi se numeşte ite unghiulă. În SI se măsoă în dini pe secundă (d/sec) su sec -1. ăime ε ccteieă iţi iteei unghiule în unitte de timp şi se numeşte cceleţie unghiulă. În SI se măsoă în dini pe secundă l pătt ( d/sec ) su sec -. Utiliând ecuţi oă mişcăii se obţin, în sistemul de e intinseci (tiedul lui Fenet), elţiile: = s = Rϕ = Rω (1.77) τ = s = = Rω = Rε ω R ν = = = ρ R R = Rω ; = τ + ν = R ε + ω (1.78) 4 În sistemul de coodonte pole em: = = 0 ; = Rω n = ϕ n = (1.79) = Rω = ϕ = 0 ω = Rω n = ϕ + ϕ = ε + 0 = Rε ; = + n = R ε + ω (1.80) 4 Consideând doi ectoi lunecătoi ω = ωk şi ε = εk, unde ω = ϕ şi ε = ϕ, situţi pe O, ectoii iteă şi cceleţie pot fi epimţi pin elţiile ectoile: ω = ; ε + ω ( ω ) = ε ω = (1.81) Dcă ite unghiulă ω = ω = o constnt mişce ciculă se numeşte mişce ciculă unifomă. Ecuţi mişcăii cicule unifome eultă din intege ecuţiei difeenţile d ϕ = ω o (1.8) dt ând condiţi iniţilă t = 0, ϕ = ϕo. Reultă ϕ =ω ot + C1. Impunând condiţi iniţilă ϕ o = ω o 0 + C1 obţinem C1 = ϕo şi c ume ecuţi mişcăii cicule unifome este: 3 Plese puchse 'e-pdf Conete nd Ceto' on to emoe this messge.

16 Cinemtic Dcă cceleţi unghiulă ϕ = ω + ϕ (1.83) o t o ε = ε = o constnt mişce se numeşte mişce ciculă unifom ită. Pentu ε o > 0 mişce ciculă este unifom cceletă i pentu ε o < 0 mişce ciculă este unifom incetinită. Ecuţi difeenţilă mişcăii este în cest c: d dt ϕ = ε o (1.84) Pin intege de două oi se obţine: ε ot ϕ = + Ct + C3 (1.85) Cele două constnte de intege eultă pin impunee condiţiilo iniţile le mişcăii l t = 0, ϕ = ϕo, ϕ =ω=ωo. În cest c ecuţi mişcăii e fom: t ϕ = ε o + ωot + ϕo (1.86) În mişce ciculă unghiul pe ce ectoul cceleţie îl fce cu O nu depinde de cecului ci numi de cceleţi unghiulă şi de ite unghiulă: τ ε tgβ = = (1.87) ν ω Dcă 0 ω = constnt, tg β = 0, tunci β = 0 şi ectoul cceleţie e sens centipet. ε = ( ) 4 Plese puchse 'e-pdf Conete nd Ceto' on to emoe this messge.