Optimiranje nosilnih konstrukcij

Transcription

1 Univerza v Ljubljani Fakulteta za strojništvo KKTS Katedra za konstruiranje in transportne sisteme LASOK Laboratorij za transportne naprave in sisteme ter nosilne strojne konstrukcije Optimiranje nosilnih konstrukcij 1 Univerza v Ljubljani - Fakulteta za strojništvo KKTS - LASOK Optimiranje nosilnih konstrukcij doc.dr. Boris Jerman, univ.dipl.inž.str. Govorilne ure: pisarna: FS telefon: 01/ boris.jerman@fs.uni-lj.si (Tema/Subject: ONK -...) Soavtor gradiva: i.prof.dr. Janez Kramar, univ.dipl.inž.str. 1

2 Univerza v Ljubljani - Fakulteta za strojništvo KKTS - LASOK Optimiranje nosilnih konstrukcij Obseg predmeta (5 ECTS): predavanja: 30 ur; seminar: 0 ur; vaje: 30 ur. Obveznosti: inskripcija/frekvenca (prisotnost); teorija: izpit/kolokvij (pozitivno > 50%); vaje: delo na vajah/domače delo/seminarska naloga (po skupinah). Vsak se mora sam prijaviti/odjaviti na/z izpit/a. 3 Univerza v Ljubljani - Fakulteta za strojništvo KKTS - LASOK Optimiranje nosilnih konstrukcij Gradivo za študente (prosojnice s predavanj): Gradivo FS Optimiranje nosilnih konstrukcij (RR). Geslo za odpiranje študijskega gradiva! 4 2

3 Univerza v Ljubljani - Fakulteta za strojništvo KKTS - LASOK Optimiranje nosilnih konstrukcij LITERATURA 1. Jasbir S. Arora: Introduction to OPTIMUM DESIGN; Second edition; Elsevier Academic Press, Amsterdam,..., Jasbir S. Arora: Introduction to OPTIMUM DESIGN; McGraw-Hill Book Company, New York,..., Singiresu S. Rao: Engineering Optimization, Theory and Practise; John Wiley & Sons, New York,..., JozsefFarkas, Karoly Jarmai: Analysis and Optimum Design of Metal Structures; Balkema, Rotterdam; Univerza v Ljubljani - Fakulteta za strojništvo KKTS - LASOK Optimiranje nosilnih konstrukcij LITERATURA 5. Y.M. Xie and G.P.Steven: Evolutionary Structural Optimization; Springer- Verlag A.A. Seireg, J. Rodriguez: Optimizing the Shape of Mechanical Elements and Structures; Marcel Dekker; Helical Springs; Engineering Design Guides; prepared by The Spring Research Association; Oxford University Press, Dubbel Taschenbuch fiir den Maschinenbau, 15. Auflage; Springer- Verlag,

4 Univerza v Ljubljani - Fakulteta za strojništvo KKTS - LASOK Optimiranje nosilnih konstrukcij Osnovni cilj predmeta: približati metode optimiranja inženirski praksi. Obravnavani so praktični primeri: - ki jih je mogoče matematično korektno popisati - in je njihovo reševanje relativno enostavno. V teoretskem smislu je snov naslonjena na literaturo Arora: Introduction to optimum desig [1], obseg pa prilagojen razpoložljivemu številu ur. Predstavljeni so tudi ustrezni pripadajoči postopki konstruiranja. 7 Uvod Strojništvo (samostojno ali interdisciplinarno) pokriva široko paleto izdelkov kot so: orodja, stroji, naprave (tudi transportne), vozila: cestna, tirnična, plovila: vodna, zračna, vesoljska, medicinski aparati in naprave, inštrumenti, gradbeni elementi, procesna oprema, pretvorniki energije, elementi informatike,

5 V želji po konkurenčnejših izdelkih ( kvaliteta, cena, masa,...) se stalno razvija tudi inženirska optimizacija izdelkov - iskanje najboljšega rezultata ob danih okoliščinah. Pri snovanju, izdelavi in vzdrževanju inženirskega izdelka ali tehniškega sistema se je potrebno neprestano odločati o: tehniških vidikih estetskih, ekonomskih, ergonomskih, varnostnih,... vidikih. Skrajni cilj takih odločitev je minimizirati nastopajoče stroške ali maksimirati dobiček. Večina odločitev je vezanih na merljive veličine (zvezne ali diskretne), katerih učinek je možno izraziti v matematični obliki. 9 Ožje področje: Razvoja novega serijskega izdelka Niz prepletenih aktivnosti: zasnova, razne analize, (sprememba zasnove), (ponovne analize), konstruiranje, izdelava prototipa, preskušanje, sprememba detajlov ali sprememba zasnove, ponovne analize, popravek prototipa ali nov prototip, ponovno preskušanje,... ki vsebuje tudi elemente optimiranja. Nove generacije obstoječega serijskega izdelka morajo imeti vse boljše funkcionalne lastnosti, ob hkratnih poenostavitvah (pocenitvah). Spet je potrebno optimiranje. 10 5

6 Ožje področje: razvoja individualnega izdelka Individualno snovanje: izdelek za znanega kupca (naročilo), brez prototipa, v tekmi s konkurenco se uporablja optimizacijske postopke. Vrste optimiranja pri snovanju izdelka: klasično snovanje: k optimumu po intuiciji postopoma; matematično podprto optimalno snovanje: k optimumu z analitičnimi in numeričnimi matematičnimi sredstvi iterativno; interaktivno optimalno snovanje: k optimumu izmenično intuitivno in z matematičnimi sredstvi 11 Cenilna (ciljna) funkcija (angl.: cost function) V procesu razvoja je potrebno izdelek presojati (zgolj tehnično ali tudi ekonomsko,...). Presoja se lahko vrši s tehtanjem: enega ali več merljivih parametrov. 12 6

7 Cenilna (ciljna) funkcija (angl.: cost function) Primeri merljivih parametrov: izpolnjevanje funkcionalnih zahtev; količina vgrajenega gradiva (maso); lastna cena izdelka (cena gradiva, energije, dela,...); stroški izdelka v življenjski dobi (nabavna cena + cena obratovanja + cena vzdrževanja); raba energije (npr. pogonske enote); izguba toplote skozi stene; torne izgube; izkoristek. 13 Cenilna (ciljna) funkcija (angl.: cost function) Za presojo se ustvari cenilno funkcijo, ki zajame vse opazovane parametre z ustreznimi utežmi (ponderji) glede na njihovo pomembnost za določen cilj. Upoštevani parametri morajo biti zapisani z ustreznimi matematičnimi izrazi. Nosilne konstrukcije se optimira predvsem glede na: funkcionalnost, maso, lastno ceno, stroške v življenjski dobi. 14 7

8 Konstrukcijske spremenljivke (design variables) Vsaka konstrukcija vsebuje eno ali več komponent. Vsaka komponenta je lahko (glede na zasnovo) popisana z več spremenljivkami, ki enoznačno določajo njeno obliko. Poleg popisa oblike ima lahko tudi druge spremenljivke, npr. vrsta gradiva ali vrsta polizdelka. 15 Konstrukcijske spremenljivke (design variables) Spremenljivke so lahko: zvezne spremenljivke (geometrijske mere); nezvezne (diskretne) spremenljivke: število ojačilnih reber, vrsta gradiva, način izdelave,.... Vse navedene spremenljivke, ki enoznačno popišejo potrebne lastnosti konstrukcije v procesu optimiranja, so konstrukcijske spremenljivke. 16 8

9 Konstrukcijske spremenljivke (design variables) Isto komponento lahko enoznačno popišemo z različnimi nizi konstrukcijskih spremenljivk: Opredelitev oblike prečnega preseka pravokotne cevi: a) s spremenljivkami b, d in t, b) s spremenljivkami b sr, d sr in t. 17 Konstrukcijske omejitve in zahteve (design constraints) Vsak izdelek mora izpolniti niz zahtev in se podvreči mnogim omejitvam. Omejitve se uvršča v več skupin: I) Glede na matematično formo: Enakostne omejitve - ena ali več konstrukcijskih spremenljivk povezanih v enakostni pogoj (=). Neenakostne omejitve - ena ali več konstrukcijskih spremenljivk povezanih v neenakostni kriterij (<, ) (večina inženirskih nalog ima več neenakostnih omejitev). 18 9

10 Konstrukcijske omejitve in zahteve (design constraints) II) Glede na linearnost: Linearne omejitve - konstrukcijske spremenljivke nastopajo v linearni povezavi. Nelinearne omejitve - konstrukcijske spremenljivke nastopajo v nelinearni povezavi. 19 Konstrukcijske omejitve in zahteve (design constraints) III) Glede na eksplicitnost: Eksplicitna omejitev - posamezna konstr. sprem. v omejitvenem smislu ni funkcijsko povezana z drugimi. Implicitna omejitev konstr. spremenljivke so v omejitvenem smislu funkcijsko implicitno povezane. Vsaka konstrukcijska omejitev lahko zelo vpliva na položaj in velikost optimuma, zato je potrebno njeno uporabo dobro pretehtati in utemeljiti

11 Sprejemljiva izvedba (feasible design)... nekega izdelka, konstrukcije ali sistema... je tista izvedba,... ki izpolnjuje vse postavljene zahteve (pogoje) in omejitve. Če izvedba ne izpolnjuje ene ali večih zahtev oz. omejitev je to nesprejemljiva izvedba (unfeasible design). 21 Dovoljeno območje (feasible region)... konstrukcijskih rešitev... obsega vse nabore konstrukcijskih spremenljivk,... kjer so izpolnjene vse zahteve (vsi pogoji) in vse omejitve. Dovoljeno območje: je toliko dimenzionalno, kolikor je neodvisnih konstrukcijskih spremenljivk. je omejeno z enakostnimi pogoji in neenakostnimi omejitvami

12 Dovoljeno območje (feasible region) Primer optimizacijske naloge z eno neenakostno omejitvijo: ki določa dov. obm. kot obod in ploščino kroga s polmerom: Opredelitev optimizacijske naloge (formulation of an optimizing problem) ima zelo pomembno mesto v optimizacijskem procesu. potrebna je jasna in celovita besedilna opredelitev. potrebna je prevedba v matematično govorico: cenilna funkcija, enakostni pogoji, neenakostne omejitve

13 Primer 1: Konstrukcija izolacije kroglastega rezervoarja Besedilna opredelitev: Izbrati je potrebno optimalno debelino izolacije, ki bo minimizirala stroške vzdrževanja ohlajenosti vsebine rezervoarja, ki so sestavljeni iz stroškov namestitve izolacije ter stroškov obratovanja hladilne naprave. Upošteva naj se čas obratovanja 10 let in 5 % letno obrestno mero za vložena finančna sredstva. Polmer kroglastega rezervoarja r je znan. 25 Matematična opredelitev: 4... površina kroglastega rezervoarja; t... debelina izolacije t << r... realna predpostavka c 1 ( /m 3 )... cena na enoto volumna nameščene izolacije Prvi strošek je strošek namestitve izolacije:

14 Drugi strošek so toplotne izgube (izguba hladu) skozi izolacijo. Θ [K]... temperaturna razlika λ... toplotna prevodnost t [m]... debelina izolacije c 2 [ /kwh]... cena za enoto energije Toplotni tok skozi steno ob predpostavki t << r je: Letni strošek zaradi toplotnih izgub so: 27 Tretji strošek je obratovalni strošek hladilne naprave: toplotne izgube skozi izolacijo (več, kot se je izgubi), amortizacija ter strošek vzdrževanja hladilne naprave. c 3 [ /kwh]... dodaten strošek na kwh* nadoknadene energije. *... (kwh = 3,6 MJ) 28 14

15 T=10 [let]... celotna življenjska doba rezervoarja. (T = 10 let 365 dni/leto 24 h/dan = h) o=0... obrestna mera - zaradi enostavnosti je časovni vpliv na vrednost denarja zanemarjen. Celoten strošek obratovanja znaša (cenilna funkcija): a b 29 Izgleda, kot da naloga nima nobenih pogojev in omejitev, vendar lahko hitro ugotovimo, da dodatna omejitev obstaja: debelina izolacije: t 0; oziroma: Ker brez izolacije ohladitev vsebine rezervoarja na želeno temperaturo sploh ni možna, je realna omejitev: t > 0; oziroma: Ker zelo tenkih izolativnih slojev ni mogoče izdelovati in nameščati, je dejanska omejitev: t t min. Zaradi prostorske stiske se pogosto pojavlja tudi omejitev debeline izolacije navzgor, kar ima običajno velik vpliv na lego optimalne točke. Tedaj obstaja še dodatna omejitev: t t max

16 Rešitev je pri konkretnih podatkih enostavna: + + 0, ± 4 2 pri pogoju:, in/ali pri pogoju:, 31 Primer 1b: Konstrukcija izolacije kroglastega rezervoarja Podano inženirsko nalogo je mogoče obravnavati tudi v zahtevnejši obliki, ki je uporabna tudi za večje debeline izolacije, kjer ne velja več predpostavka: t << r Strošek namestitve izolacije se lahko zapiše s točnejšim zapisom volumna izolacije: 32 16

17 Primer 1b: Konstrukcija izolacije kroglastega rezervoarja Toplotne izgube se zapiše z obrazcem, ki upošteva debelostenskost izolacije in oba prestopnostna koeficienta: α... koeficient prestopa toplote z medija na steno posode, α... koeficient prestopa toplote z izolacije na okoliški zrak, λ... koeficient toplotne prevodnosti izolacije,... notranji premer izolacije = zunanji prem. rezervoarja = const.,... zunanji premer izolacije = spremenljivka, ki se jo išče. 33 Primer 2: Konstrukcija pločevinke za pivo prostornine 400 cm 3 Besedilna opredelitev: Optimirati je potrebno dimenzije pločevinke valjaste oblike, katere dimezije so zaradi uporabnosti omejene na: Globoki vlek drago orodje. Velike serije cena orodja se lahko zanemari. O rentabilnosti odloča predvsem poraba pločevine Optimira naj se poraba pločevine debelina pločevine je znana poraba premo sorazmerna s površino pločevinke

18 Matematična opredelitev: Konstrukcijski spremenljivki: višina pločevinke h [mm], premer pločevinke d [mm]. Cenilna funkcija (površina valja): 35 Neenakostni omejitvi: Enakostni pogoj: Enakostni pogoj povezuje konstrukcijski spremenljivki h in d poenostavitev cenilne funkcije: 36 18

19 Cenilna funkcija sedaj vsebuje le še eno konstrukcijsko spremenljivko: Kandidatne točko za optimum se dobi z odvodom: od koder sledi: ter iz enačbe za višino: Kandidatna točka je tik ob meji, vendar znotraj dovoljenega področja konstrukcijskih spremenljivk: 37 Primer 3: Iskanje minimalnih stroškov izdelave Besedilna opredelitev: Izdeluje se N=100 izdelkov/dan. Sestavljajo se iz Z A =8 komponent A, Z B =5 komp. B in Z C =15 komp. C. Za komp. A je potrebnih 5 vijakov ali kovic, za B 6 vijakov ali kovic in za C trije vijaki ali kovice. Cena in vgradnja enega vijaka stane pri komp. A V A =0,70, pri komp. B V B =1,0 in pri komp. C V C =0,60 in ene kovice pri komp. A K A =0,60, pri komp. B KB=0,80 in pri komp. C K C =1,0. Zmogljivost delavnice je N V =6000 vgrajenih vijakov in N K =8000 vgrajenih kovic na dan. Koliko komp. naj bo vijačenih in koliko kovičenih, da so stroški najmanjši? 38 19

20 Primer 3: Iskanje minimalnih stroškov izdelave Matematična opredelitev: Konstrukcijske spremenljivke: x 1 število vijačenih komponent A na dan x 2 število kovičenih komponent A na dan x 3 število vijačenih komponent B na dan x 4 število kovičenih komponent B na dan x 5 število vijačenih komponent C na dan x 6 število kovičenih komponent C na dan 39 Primer 3: Iskanje minimalnih stroškov izdelave Matematična opredelitev: Cenilna funkcija (cena izdelave komponent na dan): Omejitve glede na dnevno potrebo po komponentah: 40 20

21 Primer 3: Iskanje minimalnih stroškov izdelave Matematična opredelitev: Omejitvi, ki izvirata iz zmogljivosti za vijačenje in kovičenje: Vse konstrukcijske spremenljivke morajo biti nenegativne (torej pozitivne ali enake nič): 41 Primer 3b: Iskanje minimalnih stroškov izdelave Pristop z drugega zornega kota. Pojavi se estetska omejitev, da kupce motijo mešane vijačene in kovičene komponente v istem izdelku. Zaradi tega se postavi novo zahtevo, da so komponente samo kovičene ali samo vijačene. V takem primeru zadostujeta samo dve konstrukcijski spremenljivki: x 1 število izdelkov na dan z vijačenimi komponentami; x 2 število izdelkov na dan s kovičenimi komponentami

22 Primer 3b: Iskanje minimalnih stroškov izdelave Cenilna funkcija (cena izdelave komponent na dan): Enakostna omejitev: Omejitvi, ki izvirata iz zmogljivosti za vijačenje in kovičenje: 43 Primer 3b: Iskanje minimalnih stroškov izdelave oziroma: in Obe konstrukcijski spremenljivki morata biti nenegativni: kar drži. Kaj pa enakostna omejitev? 44 22

23 Primer 3b: Iskanje minimalnih stroškov izdelave Kaj pa enakostna omejitev (pogoj)? 52,17 69,57 121, Enakostno omejitev ni izpolnjena, zato dobljena rešitev ne leži v dovoljenem območju. Enakostno omejitev se uporabi za iskanje drugih kandidatnih točk za optimum: za izračun pripadajoče druge konstrukcijske spremenljivke ob znani (zaokroženi navzdol) prvi: Primer 3b: Iskanje minimalnih stroškov izdelave Optimum je na eni od mej ali pa imamo lahko izjemoma isto rešitev povsod v intervalu: Optimum je na gornji meji vijačenih izdelkov: 52 52,17; 48 69,

24 Primer 4: Steber iz cevi okroglega preseka Besedilna opredelitev: Dimenzionirati je potrebno steber višine h iz krožne valjaste cevi polmerov r n in r z, ki je v tla vpet momentno skoraj popolnoma togo, obremenjen s tlačno silo F na vrhu stebra. Kriterij je najmanjšo porabo gradiva. Gradivo ima dopustno napetost s dop in gostoto r. 47 Primer 4: Steber iz cevi okroglega preseka Opombe: uklonska dolžina za momentno popolnoma togo (konzolno) vpetje bi bila: 2 ; uklonska dolžina za obravnavani primer je: =2,2 ; kadar se za dimenzioniranje uporabi neposredno Eulerjev obrazec in se pričakuje relativna vitkost več kot 1, mora biti faktor varnosti najmanj 2,5 (Krautov strojniški priročnik) 2,5, zato se pri optimiranju uporabi npr.: =2,

25 Primer 4: Steber iz cevi okroglega preseka Matematična opredelitev: Konstrukcijski spremenljivki: - notranji (r n ) in zunanji (r z ) polmer cevi. Pomembni statični vrednosti sta: - prerez cevi: - upogibni vztrajnostni moment: 49 Primer 4: Steber iz cevi okroglega preseka Cenilna funkcija: masa cevi, Brez upoštevanja vpetišča se jo zapiše: Neenakostne omejitve: - geometrijska zahteva: - kriterij za čisto tlačno trdnost:

26 Primer 4: Steber iz cevi okroglega preseka Neenakostne omejitve: kriterij za centrično uklonsko trdnost: - kriterij za lokalno izbočitveno trdnost: Enakostnih pogojev v tem primeru ni