UNIVERSITATEA POLITEHNICA TIMIŞOARA Facultatea de Electronică şi Telecomunicaţii DORINA ISAR

Size: px
Start display at page:

Download "UNIVERSITATEA POLITEHNICA TIMIŞOARA Facultatea de Electronică şi Telecomunicaţii DORINA ISAR"

Transcription

1 UNIVERSITATEA POLITEHNICA TIMIŞOARA Facultatea de Electroică şi Telecomuicaţii DORINA ISAR ÎMUNĂTĂŢIREA RAPORTULUI SEMNAL PE ZGOMOT ÎN SISTEMELE DE TELECOMUNICAŢII Teză de doctorat Coducător ştiiţific Prof. dr. ig. IOAN NAFORNIŢĂ Timişoara 998

2 PREFAŢĂ Aceastã tezã a fost realizatã î cadrul colectivului codus de domul profesor doctor igier IOAN NAFORNIŢÃ, ale cãrui calitãţi ştiiţifice şi pedagogice au cotribuit î mare mãsurã la defiitivarea prezetei teze. Alegerea acestei teme s-a cocretizat la propuerea domului profesor doctor igier IOAN NAFORNIŢÃ, faţã de care doctoradul îşi exprimã îtreaga sa recuoştiţã. Autoarea tezei mulţumeşte domiei sale petru îdemuri şi sfaturi, exigeţã, solicitudie şi dispoibilitate, maifestate pe îtreaga perioadã de pregãtire a tezei. Dotoradul mulţumeşte î mod deosebit profesorilor refereţi, doamei profesor doctor igier ADELAIDA MATEESCU, domului profesor doctor igier VIOREL POPESCU, domului profesor doctor igier ALEXANDRU ŞERĂNESCU, domului profesor doctor igier ALIMPIE IGNEA, petru buãvoiţa de a fi acceptat sã parcurgã lucrarea şi petru aprecierile şi recomadãrile fãcute. Ditre colegi, autoarea mulţumeşte î mod deosebit domului şef lucrãri Tibor Asztalos petru ajutorul oferit la elaborarea primelor programe şi soţului, cofereţiar doctor igier Alexadru Isar, petru umeroasele discuţii costructive avute pe tema tezei. Autoarea este recuoscãtoare tuturor colegilor care pri amabilitate, prieteie şi competeţã ştiiţificã au îcurajat realizarea prezetei teze. Multe mulţumiri sut adresate soţului, pãriţilor, socrilor şi fiicei petru sprijiul moral şi ajutorul oferit cu dragoste, fãrã de care fializarea acestei teze la aceastã datã u ar fi fost posibilã. Autoarea este recuoscãtoare tuturor profesorilor di Facultatea de Electroicã şi Telecomuicaţii di cadrul Uiversitãţii Politehica di Timişoara, pe care i-a avut ca dascãli şi care au cotribuit la formarea sa ştiiţificã.

3 STRUCTURA ŞI CONŢINUTUL LUCRĂRII Î telecomuicaţii, procesul de trasport al iformaţiei este ieret afectat de semale edorite suprapuse peste semalul util. Î marea majoritate a cazurilor aceastã suprapuere este de tip aditiv. Perturbaţiile sut semale aleatoare ce apar fie datoritã uor cauze aturale (perturbaţii electrice atmosferice, propagarea uor ude acustice), sau ca urmare a activitãţii omeeşti (semale trazitorii pe liiile de alimetare, impulsuri parazite proveite de la motoare electrice, etc). Astfel de perturbaţii afecteazã semalele de tip Radar, semalele ce se vehiculeazã pe cablurile de trasmisie submariã, trasmiterea iformaţiei pe caale de comuicaţie.... O altã deumire petru perturbaţii este aceea de zgomote. Îtotdeaua la itrarea uui receptor este prezet u amestec de semal util şi zgomot. Petru aprecierea părţilor de semal util şi de zgomot di cadrul semalului de la itrarea receptorului se foloseşte aşa-umitul raport semal pe zgomot, RSZ. Această mărime reprezită raportul ditre puterea semalului util şi puterea zgomotului care compu semalul de la itrarea î receptor. Trebuie afirmat că şi î cazul sistemelor pur umerice se utilizează oţiuea de RSZ. Î acest caz zgomotul este asociat cu distorsiuile produse de sistemul de prelucrare cosiderat. Î cazul î care RSZ este mic este ecesară creşterea sa petru o buă separare a semalului util de zgomot, codiţie ecesară petru extragerea di semalul util a iformaţiei pe care o poartă. Iatã de ce lucrarea de faţã este dedicatã studiului metodelor de creştere a raportului semal pe zgomot care se utilizeazã sau s-ar putea utiliza î sistemele de telecomuicaţii. Se îcearcã o prezetare sistematicã şi uitarã a acestor tehici. Metodele de îmbuătăţire a raportului semal pe zgomot prezetate sut exemplificate sugestiv. Nu se isistã asupra rezultatelor experimetale ce se pot obţie folosid aceste tehici şi ici asupra metodelor de costrucţie a sistemelor ecesare implemetării acestor tehici, dar sut citate de fiecare dată lucrări care prezitã aceste aspecte. Nici aplicaţiile practice ale rezultatelor obţiute u fac obiectul acestei teze. Scopul lucrării de faţă este doar aaliza metodelor de îmbuătăţire a RSZ pri prisma teoriei prelucrării semalelor. Sistemele resposabile petru îmbuătăţirea raportului semal pe zgomot trebuie să se comporte selectiv, elăsâd să treacă zgomotul şi lăsâd să treacă semalul util. Acesta este motivul petru care se folosesc de obicei filtre (sisteme cu comportare selectivă î domeiul frecveţă). Aceste filtre pot fi sisteme liiare ivariate î timp, sisteme liiare variate î timp sau sisteme eliiare. Amestecul

4 ditre semalul util şi zgomot poate fi aditiv, multiplicativ sau de altă atură. De obicei î studiul sistemelor de telecomuicaţii se utilizează modelul aditiv. Avâd î vedere facilităţile de calcul ale modelului de semal de tip zgomot alb (de badã limitată sau u), se va folosi petru zgomot, prepoderet, acest model. U alt model utilizat, datoritã frecvetei sale apariţii î practicã, este cel al zgomotului î impulsuri. Î capitolul sut trecute î revistã, succit, pricipalele tehici de îmbuãtãţire a raportului semal pe zgomot cuoscute. Î capitolul sut prezetate câteva cosiderete asupra metodelor de îmbuãtãţire a raportului semal pe zgomot pri filtrare liiarã. Se isistã asupra oţiuii de badã echivaletã de zgomot atât petru filtre aalogice cât şi petru filtre umerice. Se prezitã o ouã clasã de filtre umerice al cãror rãspus î frecveţã este o fucţie periodicã de perioadã diferitã de şi se studiazã calitãţile de îmbuãtãţire a RSZ a acestor filtre. Se studiazã şi cazul sistemelor liiare cu parametrii variabili î timp di puctul de vedere al creşterii RSZ. Î capitolul 3 se itroduce î mod atural trasformarea udişoarã discretã di perspectiva teoriei codãrii î subbezi. Se prezitã legãtura ditre trasformarea udişoarã discretã şi teoria seriilor de udişoare. Capitolul 4 este dedicat metodelor de îmbuãtãţire a raportului semal pe zgomot bazate pe utilizarea trasformãrii udişoarã discretã. Au fost alese metodele de îmbuătăţire a raportului semal pe zgomot bazate pe folosirea fucţiior udişoară deoarece acestea reprezită cele mai spectaculoase aplicaţii ale teoriei fucţiilor udişoară care se dezvoltă î prezet. Există umeroase laboratoare î lume ai căror cercetători îcearcă să utilizeze teoria fucţiilor udişoară î domeiul telecomuicaţiilor. Se face compresie cu fucţii udişoară, codare cu fucţii udişoară, trasmisie multirezoluţie şi bieîţeles îmbuătăţirea raportului semal pe zgomot. Poate că pricipalul avataj al metodelor de îmbuătăţire a raportului semal pe zgomot bazate pe fucţii udişoară asupra altor metode de îmbuătăţire a raportului semal pe zgomot (cum sut de exemplu cele bazate pe filtrarea adaptivă) este viteza de calcul sporită. U alt avataj este că metodele bazate pe utilizarea fucţiilor udişoară realizează î mod itrisec şi o compresie, ceea ce este deosebit de util, ţiâd seama de caracterul foarte redudat al semalelor de telecomuicaţii (vorbire, imagii). Î acest capitol este evideţiată proprietatea de decorelare pe care o are trasformarea udişoară discretă. Pe baza acestei proprietăţi, zgomotul care perturbă aditiv semalul util devie î domeiul 3

5 trasformatei udişoară discretă u zgomot alb. De aceea î domeiul acestei trasformate poate fi utilizată oricare ditre tehicile de extragere a semalului util di zgomot alb. Se itroduce u ou filtru eliiar adaptiv utilizat î domeiul trasformatei udişoară discretă. Se aalizează modul î care afectează acest sistem caracteristicile statistice ale semalelor de la itrarea sa. Î capitolul 5 se prezită rezultatele experimeale obţiute aplicâd metoda de creştere a raportului semal pe zgomot care a fost elaborată î capitolul aterior. Se verifică şi se dovedeşte eficieţa utilizării metodei propuse î trasmisii umerice şi la Radar folosid semale sitetizate. Metoda a fost verificată şi utilizâd semale reale, preluate de la u echipamet de testare a calităţii materialelor textile. Aceste semale au fost obţiute de la Uiversitatea di Reims Champage-Ardee. Rezultatele aplicării metodei propuse î această lucrare sut comparate cu rezultatele obţiute aplicâd alte metode modere de creştere a raportului semal pe zgomot (separare de surse). Atât petru sitetizarea semalelor utile şi a celor patru tipuri de zgomote cât şi petru simularea metodei adaptive de îmbuătăţire a RSZ au fost elaborate cici programe complexe de simulare î limbajul C. Ultimul capitol este dedicat prezetării cocluzilor şi cotribuţiilor persoale. Evidet chestiuea tratată va evolua î viitor dar au fost depuse eforturi ca prezetarea făcută să evideţieze majoritatea rezultatelor cuoscute la ora actuală. Lucrarea are 79 de pagii. Pe parcursul său sut citate 4 referiţe bibliografice. 4

6 CAPITOLUL. INTRODUCERE Uul ditre dezideratele fudametale î telecomuicaţii este trasmiterea la o distaţă cât mai mare a iformaţiei care să poată fi recepţioată corect. Dar iformaţia este trasportată cu ajutorul semalelor. Î procesul de trasport al iformaţiei apar ieret semale edorite suprapuse peste semalul util, care afectează coţiutul iformaţioal al semalelor utile (cele care poartă iformaţia). O altã deumire petru semalele edorite este aceea de zgomote. Îtotdeaua la itrarea uui receptor este prezet u amestec de semal util şi zgomot. Petru aprecierea părţilor de semal util şi de zgomot di cadrul semalului de la itrarea receptorului se foloseşte aşa-umitul raport semal pe zgomot, RSZ. Această mărime reprezită raportul ditre puterea semalului util şi puterea zgomotului care compu semalul de la itrarea î receptor. Raportul semal pe zgomot este u idice global al calităţii semalului de la itrarea receptorului. Este vorba de uul ditre primii idici globali utilizaţi î telecomuicaţii şi este specific trasmisiilor aalogice. Î prezet se folosesc tot mai mult sisteme de trasmisie mixte care îglobează atât subsisteme aalogice cât şi subsisteme umerice. Î cazul trasmisiilor umerice se realizează o protecţie suplimetară la perturbaţii folosid tehicile de codare. Eficieţa acestei protecţii este apreciată cu ajutorul uui alt idice global, defiit ca raportul ditre umărul biţilor eroaţi şi umărul total de biţi, ER. Î prezet se obişuieşte ca u sistem de telecomuicaţii să fie caracterizat de depedeţa idicelui ER de la ieşire de raportul RSZ de la itrare. Iată de ce şi î cazul acestor sisteme este importată oţiuea de raport semal pe zgomot. Trebuie afirmat că şi î cazul sistemelor pur umerice se utilizează oţiuea de RSZ. Î acest caz zgomotul este asociat cu distorsiuile produse de sistemul de prelucrare cosiderat [Cla.,Mec. 85], [Duv. 9], [Ed. Ver. 9], [Naf.,Cam.,Isa. 95], [Wec. 89]. Astfel, RSZ are toate calităţile uui idice global : simplitate, uiversalitate, uşuriţă de calcul,... dar şi toate defectele uui astfel de idice, ditre care cel mai mare este că u caracterizeazã î ici u fel coţiutul iformaţioal al semalului util. Oricum, î cazul î care RSZ este mic este ecesară creşterea sa petru o buă separare a semalului util de zgomot, codiţie ecesară petru extragerea di semalul util a iformaţiei pe care o poartă. 5

7 Sistemele resposabile petru îmbuătăţirea raportului semal pe zgomot trebuie să se comporte selectiv, elăsâd să treacă zgomotul şi lăsâd să treacă semalul util. Acesta este motivul petru care se folosesc de obicei filtre (sisteme cu comportare selectivă î domeiul frecveţă). Aceste filtre pot fi sisteme liiare ivariate î timp, sisteme liiare variate î timp sau sisteme eliiare. Amestecul ditre semalul util şi zgomot poate fi aditiv, multiplicativ sau de altă atură. De obicei î studiul sistemelor de telecomuicaţii se utilizează modelul aditiv. Avâd î vedere facilităţile de calcul ale modelului de semal de tip zgomot alb (de badã limitată sau u), se va folosi petru zgomot, prepoderet, acest model. Tehicile de îmbuătăţire a raportului semal pe zgomot prezetate vor fi exemplificate sugestiv. Nu se va isista asupra rezultatelor experimetale ce se pot obţie folosid aceste tehici şi ici asupra metodelor de costrucţie a sistemelor ecesare implemetării acestor tehici, dar vor fi citate de fiecare dată lucrări (cu predilecţie persoale) care prezitã aceste aspecte. Nici aplicaţiile practice ale rezultatelor obţiute u fac obiectul acestei teze. Scopul lucrării de faţă este doar aaliza metodelor de îmbuătăţire a RSZ pri prisma teoriei prelucrării semalelor. Orice sistem aalogic de telecomuicaţii coţie câteva filtre aalogice. Aceste sisteme sut idispesabile î costrucţia modulatoarelor, multiplexoarelor, sistemelor de eşatioare, demodulatoarelor etc. Chiar şi î cazul sistemelor mixte (aalogice şi umerice) utilizarea uor filtre aalogice este idispesabilă, mai ales petru costrucţia iterfeţelor aalogice (filtre atialiasig, filtre de recostrucţie ). Fie semalul x(t), obţiut pri perturbarea aditivă cu zgomot alb de badă limitată, (t), a semalului util, s(t). Se cosideră că bada zgomotului este şi că desitatea sa spectrală de putere este N. RSZ petru semalul x(t) este defiit cu relaţia : Ps RSZi P ude cu P s am otat puterea semalului util iar cu P puterea zgomotului. După cum se vede defiiţia este valabilă petru semale s(t) de eergie ifiită dar de putere fiită. Îmbuătăţirea raportului semal pe zgomot, poate fi realizată pri filtrarea semalului x(t). Astfel, la ieşirea filtrului se obţie semalul y(t) exprimat cu relaţia : y(t) u(t) + (t) 6

8 ude u(t) reprezită răspusul filtrului cosiderat la semalul util s(t) iar (t) reprezită răspusul aceluiaşi sistem dar la semalul aleator (t). RSZ la ieşirea filtrului este : u RSZ P P Îmbuătăţirea raportului semal pe zgomot se poate aprecia pri valoarea parametrului χ defiit astfel : χ RSZ RSZ (.) i Admiţâd că filtrul este ales î aşa fel îcât : Pu Ps (.) valoarea îmbuătăţirii raportului semal pe zgomot este : χ Pu P Desitatea spectrală de putere a semalului este legată de desitatea spectrală de putere a semalului, coform relaţiei [Spã. 87] : Φ ω) H( Φ ude cu H(ω) s-a otat răspusul î frecveţă al filtrului cosiderat. Deci: Φ ( ω) N H( ω) Rezultã valorile petru puterea semalului aleator de la itrare : N Φ ω ω ω N P ( ) d d şi puterea semalului aleator de la ieşire : N P N ω ω ω ω H( ) d H( ) d Îmbuătăţirea raportului semal pe zgomot este deci : χ H( ω) dω Deoarece χ este adimesioal, rezultă că umitorul membrului drept al ultimei relaţii are dimesiue de frecveţă. De aceea el poartă umele de badă echivaletă de zgomot a filtrului cu răspusul î frecveţă H(ω). Deci filtrul cu răspusul î frecveţă H(ω) trebuie proiectat î aşa fel îcât bada de trecere a filtrului să coţiă bada semalului util s(t) (pri urmare aceasta trebuie să fie cuoscută) şi să aibă o badă echivaletă de zgomot cât mai mică. Se observă astfel importaţa cuoaşterii bezii echivalete de zgomot a filtrelor aalogice. (.3) (.4) (.5) 7

9 Se pue problema determiării răspusului la impuls h(t) al acelui sistem care maximizează RSZ la ieşirea sa la mometul T câd la itrarea sa este adus semalul : x(t) s(t) + (t) ude (t) este u zgomot staţioar cu desitate spectrală de putere Φ (ω). Avâd î vedere euţul problemei, RSZ trebuie redefiit î aşa fel îcât el sã deviă o fucţie de timp. Se va cosidera că semalul s(t) este de eergie fiită. Petru semalul y(t) : y(t) u(t) + (t) de la ieşirea filtrului cu răspusul la impuls h(t), se defieşte cu formula: u(t) RSZ P Petru puterea semalului aleator de la ieşire vom avea : P H( ) ω Φ ( ω)dω - Expresia semalului util de la ieşire fiid : u(t) s(t) h(t) s( τ) h(t - τ)dτ valoarea lui u(t) la mometul T este : - u(t) s( τ) h(t τ)dτ - sau, pe baza trasformării Fourier iverse : u(t) H( ω) S( ω) e - De aceea : u(t) iar expresia RSZ la ieşire devie : RSZ - jωt H( ω) S( ω) e H( ω) Φ dω jωt H( ω) S( ω) e - - dω jωt ( ω) dω dω Este biecuoscută iegalitatea lui Schwartz : (.6) 8

10 Fie : * A( ω) ( ω) d ω A( ω) d ω ( ω) d ω * [ ] A( ω) H( ω) Φ ( ω) ( ω ) S( ω) e Ultima iegalitate devie : jωt [ Φ ( ω) ] j T H( )S( ) e d H( ) ( ) d - ω ω ω ω ω Φ ω ω - - S( ω) dω Φ ( ω) Folosid această iegalitate, petru relaţia (.6) avem : S( ω) RSZ dω - Φ ( ω) S-a obţiut î acest mod valoarea maximă a RSZ la ieşirea filtrului cu răspus la impuls h(t), la mometul T, petru semalul de itrare s(t). După cum se ştie, semul egal î iegalitatea lui Schwartz se obţie petru : A( ω) K ( ω) ude K este o costată. Această relaţie se mai scrie : Deci : H( ω ) Φ [ ] * jωt ( ω) K ( ω) e [ ( ω) ] S K S ( ω) e H( ω) * ( Φ ( ω) ) jωt * [ Φ ] adică : jωt jωt - K S ( ω) e H( ω) K S ( ω) e Φ ( ω) Φ ( ω) S-a obţiut astfel răspusul î frecveţă al filtrului care maximizează RSZ al semalului y(t) la mometul T, cu excepţia uei costate multiplicative. După cum se vede, acest răspus î frecveţă depide de spectrul semalului determiist s(t) de la itrare şi de desitatea spectrală de putere a zgomotului (t) de la itrare. Cuoscâd deci aceste caracteristici ale semalului de itrare se poate determia răspusul î frecveţă H(ω). Sistemul cu acest răspus î frecveţă se umeşte filtru adaptat la semalul x(t). (.7) 9

11 Î cotiuare se determiă răspusul î frecveţă al uui filtru adaptat la u semal cu compoeta aleatoare zgomot alb, avâd desitatea spectrală de putere N : Φ ( ω) Rezultă : H( ω ) N K N S ( ω) e jωt K h(t) s(t t) N Răspusul acestui sistem la semalul s(t) este : K K u(t) h(t) s(t) s( τ) s(t t + τ) dτ R s(t T) N - N şi deci proporţioal cu autocorelaţia semalului s(t). Deci : K u(t) R s() u(t),( ) t R { T} N Valoarea maximă a RSZ devie î acest caz : E RSZ max S( ω) dω N - N (.8) ude cu E s-a otat eergia semalului s(t). Depedeţa de timp a RSZ este î acest caz : K N R s (t T) R s (t T) RSZ N E K N S( ω) N dω - Dacă petru costata K se alege valoarea N, expresia răspusului î frecveţă al filtrului adaptat devie : jωt H( ω ) S ( ω) e iar răspusul la impuls al acestui filtru este : h(t) s(t T) Petru ca filtrul adaptat să se poată costrui este ecesar ca el să fie cauzal. Avem astfel : h() t, t < u(t), t < (.9) Acceptâd că durata semalului determiist de itrare este t : s(t), t [,t ] şi ţiâd seama că R s (t) se obţie ca şi rezultat al covoluţiei ître s(t) şi s(-t), care au suporturile [, t ] şi [ -t, ], rezultă că suportul lui R s (t) este [ -t, t ]. De aceea suportul lui u(t) este: [ -t +T, t +T ]. Tiâd seama de codiţia (.9) rezultă că :

12 t + T > t < T Deci se pot costrui filtre adaptate doar petru semale de durată limitată iar mometul la care se maximizează RSZ u poate apare decât după termiarea semalului s(t). Această costatare exclude utilizarea filtrelor adaptate î aplicaţiile de timp real. Motivul expus mai sus implică de obicei ca filtrele adaptate să u poată fi costruite exact, dar pot fi costruite filtre ale căror caracteristici să aproximeze caracteristicile filtrelor adaptate. Filtrele adaptate se utilizează î costrucţia detectoarelor optimale. Î cotiuare se va demostra că filtrele adaptate pot fi utilizate şi î scopul separării î domeiul timp a uor semale diferite deoarece îmbuătăţesc rezoluţia temporală a capacităţii de separare a două impulsuri apropiate. Fără filtrare adaptată această rezoluţie este aproximativ egală cu durata t a primului impuls. După filtrarea adaptată, avâd u semal de tip impuls cu durata t, rezoluţia temporală este determiată de durata autocorelaţiei impulsului τ, care, coform [Cou. 84], este ivers proporţioală cu bada efectivă a semalului, otatã cu τ. Este clar că petru semale de badă largă este valabilă relaţia: <t τ Deci folosid filtrarea adaptată se poate îmbuătăţi rezoluţia temporală cosiderată, cu atât mai mult cu cât semalul cosiderat este de badă mai largă. Este de exemplu cazul semalelor de tip "chirp" sau al celor pseudoaleatoare. Semalul de tip "chirp" stă la baza aplicaţiilor di radiolocaţie. Calculul valorii maxime a RSZ la ieşirea uui filtru adaptat la semal "chirp" este prezetat î [Isa. 95]. U exemplu de semal des îtâlit î telecomuicaţii este semalul dreptughiular. Petru determiarea uui filtru adaptat la impuls dreptughiular cosiderăm expresia aalitică a impulsului dreptughiular avâd o durată t : t σ + t σ s(t) A t t Eergia sa este : E A t Răspusul la impuls al filtrului adaptat la acest semal este petru, K : h(t) A σt t + t σt t t

13 Dar acesta este răspusul la impuls al uui itegrator ideal care poate fi aproximat pritr-u filtru trece jos RC de ordiul I, cu răspusul î frecveţă : H( ω) + jωrc avâd răspusul la impuls h(t) dat de relaţia : h(t) RC e RC σ ( t) Răspusul idicial al aceluiaşi sistem este : t r(t) - e RC σ(t) De aceea răspusul filtrului RC trece jos de ordiul I la semalul s(t) este: t t u(t) A r t + r t Se observă că mometul la care u(t) este maxim este Tt /, valoarea la acest momet fiid : t u(t) A r(t ) A e RC De aceea : t u(t) A e RC Calculãm valoarea puterii zgomotului la ieşirea itegratorului RC : P + R C N d N du ω ω RC + u - N RC arctg u t - N RC Deci valoarea maximă a RSZ la ieşirea itegratorului RC rezultã : - - t - t RC RC A e RCA e RSZ N N RC Valoarea maximă a RSZ la ieşirea filtrului adaptat la dreptughi este coform relaţiei (.8) :

14 E A t RSZ max N N Deci, fãcâd raportul ître îmbuãtãţirea RSZ la ieşirea itegratorului şi îmbuãtãţirea RSZ la ieşirea filtrului adaptat, avem : RSZ RSZ max RCA e N t RC t RC e RC t Coform calculelor prezetate î [Isa. 95], petru valoarea : t 5, RC se obţie valoarea maximã a acestui raport : RSZ,5 ( e ),86 RSZ max,5 cu alte cuvite, aproximarea filtrului adaptat la dreptughi pritr-u filtru trece jos de ordiul I cu costata de timp de,5 ori mai mică decât durata dreptughiului coduce la o scădere a valorii maxime a RSZ la ieşire de doar,88 d. N A t OSERVATII O. De obicei problema zgomotului colorat, care perturbă semalul de itrare, poate fi redusă la problema mai simplă a zgomotului alb pri prefiltrarea semalului de prelucrat x(t) cu u filtru de albire. Costrucţia uor astfel de filtre este prezetată de exemplu î [Wha. 7]. O. Deşi, î geeral, filtrele adaptate sut erealizabile, ele pot fi bie aproximate cu filtre fizic realizabile. O3. Pricipala aplicaţie a filtrelor adaptate este î detecţia optimală a semalelor de formă cuoscută, perturbate aditiv. Acest lucru se datorează faptului că la mometul T se poate lua relativ uşor decizia referitoare la prezeţa semalului s(t) la itrare, deoarece RSZ la ieşire este maxim şi rezoluţia temporală la ieşire este superioarã celei de la itrare (durata efectivă a semalului u(t) este iferioară celei a semalului s(t)). O4. Di păcate forma semalului u(t) u este de loc asemăătoare formei semalului s(t). Î aplicaţiile î care se doreşte să u se afecteze forma semalului trebuiesc folosite altfel de filtre (Wieer, Kalma sau ucy). 3

15 O5. Alte modalităţi de îmbuătăţire a RSZ se bazează pe calculul fucţiei de corelaţie sau a "cepstrului" semalului x(t) [Spă. 87] sau pe utilizarea itercorelatoarelor sicroe (amplificatoare sicroe) [Cou. 84]. Ua ditre tediţele cele mai modere î prelucrarea semalelor este îlocuirea sistemelor aalogice cu sisteme digitale. Sistemul aalogic este îlocuit cu sistemul realizat pri coectarea î cascadă a uui covertor aalog umeric cu u filtru digital şi cu u covertor umeric aalogic. Semalul de prelucrat este eşatioat obţiâdu-se secveţa de la itrarea filtrului umeric. Pri creşterea RSZ (ca urmare a filtrării digitale) a semalului î timp discret se obţie o creştere a RSZ a semalului de la ieşirea covertorului umeric aalogic. Erorile specifice coversiei aalog umerice (eroare de eşatioare, eroare de cuatizare) pot fi privite ca şi zgomot suplimetar care afectează aditiv semalul util. Evidet că şi acestea pot fi dimiuate pri filtrare digitală. Cosiderâd problema îmbuătăţirii RSZ petru semalele î timp discret pri filtrare umerică liiară, fie semalul : x[] s[] + [] ude s[] este u semal determiist de putere fiită iar [] este u zgomot alb de badă limitată şi de desitate spectrală de putere N. Pri filtrarea semalului x[] cu sistemul cu răspus la impuls h[] se obţie semalul y[] : ude : Φ y[] u[] + [] u[] s[] h[] ( Ω) Φ ( Ω) H( Ω) [el. 9], [Cou. 84], [DeS.,Isa. 93], [Naf.,Câm.,Isa. 95]. La itrarea filtrului avem RSZ dat de relaţia : RSZ i P P s u iar la ieşire avem : 4

16 RSZ P u P îmbuătăţirea RSZ fiid : χ RSZ RSZ i P P u s P P u Dacă filtrul este proiectat astfel îcât : atuci îmbuătăţirea RSZ este : P u P s χ P P Dar : P P N dω N - N N H( Ω) dω - - H( Ω) dω de aceea : χ No - N - H( Ω) dω H( Ω) dω Numitorul membrului drept poartă umele de badă echivaletă de zgomot a sistemului cu răspusul î frecveţă H(Ω). Similar cu cosideraţiile prezetate petru u filtru adaptat la u semalul aalogic, î [Isa. 95] este rezolvată problema răspusului la impuls h[] al sistemului care maximizează RSZ de la ieşirea sa, la mometul N, câd la itrare avem u zgomot staţioar suprapus aditiv peste semalul util. Cosiderâd petru zgomot u semal aleator cu desitatea spectrală de 5

17 putere Φ (Ω), valoarea maximă a RSZ la ieşirea filtrului cu răspus la impuls h[] este : RSZ S( Ω) d Φ ( Ω) Ω Petru răspusul î frecveţă al filtrului care maximizează RSZ al semalului de la itrare la mometul N vom avea : Dacă avem zgomot alb : * [ ] H( Ω) K S ( Ω) e j N Φ ( Ω) Ω Φ ( Ω) N răspusul î frecveţă al uui filtru adaptat la u semal cu compoetă aleatoare de tip zgomot alb este : K H N S * e ( Ω) ( Ω) j Ω N Alegâd petru costata K valoarea N, expresia răspusului î frecveţă al filtrului adaptat devie : H( Ω) S ( Ω) e j Ω N iar răspusul la impuls al acestui filtru este : h[] s[ N] Se cuosc umeroase exemple de filtre adaptate la semale î timp discret. O parte di acestea sut prezetate î [Ku. 86], [Opp.,Sch. 75] sau [DeS.,Isa. 9]. 6

18 CAPITOLUL. ÎMUNÃTÃŢIREA RSZ PRIN 7

19 FILTRARE LINIARÃ Di cele prezetate î primul capitol se deduce importaţa cuoaşterii bezii echivalete de zgomot a filtrelor... O ouă modalitate de estimare a bezii echivalete de zgomot a uor filtre trece jos realizabile Î cotiuare se cosideră că semalul s (t) este de badã limitată şi că spectrul său are o valoare eulă la ω (adicã avem u semal de tip "trece jos"). Î acest caz H(ω) trebuie să caracterizeze u filtru trece jos. După cum se ştie cel mai frecvet se utilizeazã filtre trece jos de tip utterworth, Cebîşev sau essel. Răspusul î frecveţă al uui filtru de tip utterworth, cu pulsaţia de tăiere de rad/s, de ordiul, are proprietatea : H( ω ) + ω (.) Î cotiuare se va aprecia bada echivaletă de zgomot a uor filtre de tip utterworth de diferite ordie. Petru relaţia (.) devie : H ( ω ) + ω ada echivaletă de zgomot a filtrului cu acest rãspus î frecveţă este : dω z H( ω) dω arctgω + ω - - Î această relaţie s-a cosiderat că semalul (t) este u zgomot alb de badă elimitată. Î ipotezele capitolului aterior (semalul (t) zgomot alb de badă limitată, ), s-ar fi obţiut : dω arctg ω + ω z arctg 8

20 Petru, relaţia (.) devie : + ) ( H 4 ω ω Î aceastã relaţie membrul drept se poate scrie : + ω ω + ω ω ω ω ω ω + ω ω ω + ada echivaletă de zgomot a filtrului cu acest răspus î frecveţă este : + + d + + d - - z ω ω ω ω ω ω ω + + d d ω ω ω ω ω ω ω Prima itegrală di membrul drept se poate calcula astfel : + d + + d ) ( + d ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω Î cotiuare, se calculeazã pe râd : 4 4 l l )d ( ω + ω ω + ω ω ω 9

21 şi : + ω ω + ω ω arctg arctg arctg d Se deduce aalog : arctg + arctg + + d - + ω ω ω Ultima itegrală di relaţia de calcul petru z se descompue î modul următor : + + d + + )d ( + + d ω ω ω ω ω ω ω + ω ω ω ω petru care avem : 4 4 l l )d ( ω + + ω ω + + ω ω ω + Îlocuid toate aceste rezultate î relaţia de calcul a bezii echivalete de zgomot, forma fialã petru aceasta este : + arctg + arctg l z Dacã se cosiderã cã (t) este zgomot alb de badã elimitatã, atuci :

22 z - dω + ω 4 + arctg lim + 4 l arctg + Se observă astfel că dacă se creşte ordiul filtrului de la la, bada sa echivaletă de zgomot scade de ori. Fără îdoială că poate fi crescut î cotiuare dar itegralele care trebuiesc calculate coduc la calcule mult mai laborioase. De aceea î cotiuare se prezită işte margii (superioară şi iferioară) petru bezile echivalete de zgomot ale filtrelor utterworth de diferite ordie. Petru valori exacte, obţiute pri itegrare, se poate cosulta articolul [Naf. 9]. Î figura.a) este prezetată caracteristica de modul a răspusului î frecveţă a uui filtru utteworth de ordiul. Î figura. b). este prezetat graficul fucţiei H( ω). Curbele otate cu II di cele două figuri reprezită caracte-risticile reale iar curbele otate cu I sut caracteristicile asimptotice. Curbele otate cu III au fost obţiute trasâd paralele la caracteristicile asimptotice pri puctul (,- 3d) î cazul figurii.a) şi pri puctul (, -6d) î cazul figurii.b). Observâd figura.a) se poate scrie :, ω log HI ( ω ) logω, ω > (.) sau : log H( ω ) log HI ( ω) log H( ω ) log H ( ω) I Dar pe baza relaţiei (.), se poate scrie: log H ( ω) I, 4 logω, ω ω > astfel că log H I ( ω) reprezită tocmai curba I di figura.b). log H(ω) log H(ω)

23 [d] log ω [d] log ω I II - 3 III I II III - 6 a). b). Figura. a). Caracteristica de modul a răspusului î frecveţă a uui filtru utterworth de ordiul ; b). caracteristica log H( ω ) petru u filtru utterworth de ordiul. Trecâd de la coordoatele logaritmice la coordoate liiare, costatăm :, ω HI ( ω) - ω, ω > (.3) H( ω ) HI ( ω) (.4) Graficele acestor fucţii sut prezetate î figura.. Pe baza relaţiilor (.3) şi (.4) se poate scrie : z care petru > devie : z ( dω + - H ( ω) ω I dω H ( ω) dω ) + ω - I dω +

24 S-a obţiut astfel că margiea superioară a bezii echivalete de zgomot a uui filtru trece jos utterworth de ordiul are expresia : z sup 4 + H(ω) I II III - ω Figura.. O majorată, I şi o miorată, III, petru caracteristica H( ω ), otată cu II Dacã se cosiderã cazul î care ((t) este zgomot alb de badă elimitată), atuci : zsup 4 Reveid la figura.a) otãm cu H III (ω) caracteristica de modul a rãspusului î frecveţă a uui filtru utterworth de ordi ideal care mioreazã caracteristica de modul H(ω) petru filtrul real. Se observã di figurã cã putem scrie atât : 3

25 3, log HIII ( ω) logω 3, ω ω > cât şi : log H( ω ) log HIII( ω) sau : log H( ω ) log H III ( ω) Î aceastã ultimã relaţie, coform otaţiei di relaţia (.), avem : log H III ( ω) 6, 4 logω 6, ω ω > Se costatã astfel cã log H III ( ω ) reprezitã tocmai curba III di figura.b). Trecâd de la coordoatele logaritmice la coordoate liiare, petru ultima relaţie obţiem :, ( ) HIII ω - ω, ω ω > Se mai observã cã : H III ( ω ) HI ( ω) Membrul stâg al acestei relaţii reprezitã curba III iar membrul drept - curba I di figura.. Deci : şi pri urmare : H( ω ) HIII( ω) 4

26 z - H III ( ω) dω z S-a obţiut astfel şi margiea iferioarã a bezii echivalete de zgomot a uui filtru trece jos utterworth de ordiul : sup z if 4 + Câd expresia margiii iferioare devie : S-a demostrat aşadar cã : z z if z - if z sup Trecâd la limitã î aceastã relaţie petru, se obţie : z Valoarea relativ mare a lui z if aratã cã utilizarea filtrãrii liiare u coduce la rezultate remercabile atuci câd RSZ al semalului de prelucrat este mic. De aceea î aceste situaţii se recomadã utilizarea filtrelor eliiare [Aa.,Ve. 89], [Isa.,Isa. 9]. OSERVAŢII O. Dacã pulsaţia de tãiere a filtrului utterworth ar fi fost ω (ω diferit de ) atuci s-ar fi obţiut : H( ω ) ω + ω 5

27 z arctg ω ω ω ω ω + ω + ω ω + + ω ω ω ω ω ω arctg l z Aceste relaţii pot fi obţiute şi pri particularizãrile şi respectiv î relaţia (8) di [Naf. 9]. z d d s + + ω ω ω ω ω ω ω ω + z i + + ω ω ω S(ω) N 4 6 ω M ω T T T H(ω) A 6

28 ω U(ω) φ (ω) 4 6 ω T T T Figura.3. Îmbuãtãţirea raportului semal pe zgomot petru u semal periodic, pri filtrare. O. Caracteristicile asimptotice depid doar de ordiul filtrului şi u de tipul de aproximare utilizat. De aceea margiea z s este aceeaşi şi petru filtrele de tip essel. Se poate determia şi petru acest tip de aproximaţie o margie iferioarã petru bada de zgomot, umai cã expresia acestei va fi diferitã de z i deoarece itersecţia caracteristicii reale (curba II di figura.a)), î cazul aproximãrii de tip essel u mai are coordoatele (, -3d), ci depide de ordiul filtrului. Metoda propusã ar putea fi utilizatã şi î cazul aproximãrii de tip Cebîşev chiar dacă, î acest caz, caracteristica realã (curba II di figura.a)) oscileazã î jurul caracteristicii asimptotice (curba I) î bada de trecere. Avâd î vedere îsã cã amplitudiea oscilaţiilor este micã, metoda propusã coduce la rezultate bue. O3. Metoda de estimare a bezii echivalete de zgomot poate fi geeralizatã cu uşuriţã şi petru cazul filtrelor de tip trece sus, trece badã sau opreşte badã, pri trasformări de variabilă. O4. O categorie de semale determiiste de putere fiitã este cea formatã di semale periodice. Î figura.3 se prezitã u exemplu de îmbuătãţire a raportului semal pe zgomot al uui semal periodic, pri filtrare. Se observã cã, î exemplul cosiderat, relaţia (.) este satisfãcutã. De asemeea avem determiată puterea semalului aleator de la itrare coform relaţiei (.3) : P N şi puterea semalului aleator de la ieşire corespuzãtor relaţiei (.4) : P iar raportul semal pe zgomot este : N ω M 7

29 χ 3 N N ω M ω M Existã o categorie de filtre aalogice, filtrele trasversale, pri a cãror utilizare raportul semal pe zgomot poate fi îmbuãtãţit şi mai mult. U exemplu este prezetat î figura.4. Cosiderâd cã semalul x(t) este acelaşi ca şi î cazul exemplului di figura.3, petru tipul de filtru di figura.4, se obţie : χ 4 N N C C Figura.4. U exemplu de utilizare a filtrelor trasversale petru îmbuãtãţirea raportului semal pe zgomot î cazul semalelor periodice. Deoarece aria haşuratã î figura.4 (de valoare C) este iferioarã ariei dreptughiului de bazã şi îãlţime, se poate scrie C < şi deci χ χ ( petru ω ) 4 > 3 M.. Utilizarea filtrelor trasversale petru prelucrarea semalelor periodice Dupã cum s-a vãzut î ultima observaţie di paragraful precedet, î cazul semalelor periodice filtrele trasversale sut 8

30 superioare filtrelor clasice, di puct de vedere al îmbuãtãţirii raportului semal pe zgomot. Î figura.5 se prezitã schema bloc a uui filtru trasversal aalogic. x(t) τ τ τ a a a a - a a x(t) a x(t-τ) a x(t-τ) + y(t) Figura.5. Schema bloc a uui filtru trasversal. Se cuoaşte legãtura ditre semalele de itrare şi de ieşire: y(t) a x(t) + ax(t τ) + a x(t τ) a x(t τ) Luâd trasformata Fourier î cei doi membrii ai acestei relaţii, se obţie: j ωτ j ω τ Y( ω) a X( ω) + a e X( ω) a e X( ω) Deci rãspusul î frecveţã al filtrului trasversal aalogic este : Y( ω) X( ω) H T ( ω) a e - j ω + τ τ H T ω + τ şi se observã cã rãspusul î frecveţã al uui filtru aalogic trasversal este o fucţie periodicã (ceea ce justificã şi graficele di figura.4). Dacã se impue codiţia : a +,, 9

31 sistemul obţiut se umeşte mediator aalogic şi are rãspusul î frecveţã : sau : H T ( jω( + ) τ j( ωτ) e ω) e + jωτ + e jω τ H T ( ω) e + τ si ( +) ω τ si ω (.5) Fãcâd otaţia : se observã cã : x ωτ H T τ + [( + )x ] lim si si x x Astfel spectrul de amplitudii al semalelor periodice, de perioadã τ, este eafectat de prelucrarea acestor semale cu mediatorul aalogic. Î cazul î care la itrarea uui astfel de sistem este adus u zgomot alb (t), de badã limitatã şi care are media ulã, la ieşirea acestui sistem se obţie u semal aleator staţioar şi ergodic, (t). Media acestuia se calculeazã ţiâd seama cã operatorul de mediere statisticã E{ } este liiar. Rezultã : E{ (t)} E + (t - τ ) + E { (t - τ} şi petru cã (t) este staţioar avem î cotiuare : E{ (t)} + 3

32 Dispersia semalului (t) este : E { (t)} E + (t- τ ) E (t τ) + (t τ) ( +) l, l ( +) (t lτ) E{ (t - τ)} + E{ (t - τ) (t - τ)} (.6) ( +) ϕ (ω) N ω Figura.6. Desitatea spectralã de putere a uui zgomot alb de badã limitatã. Dar : E { (t - τ) } σ R () P Î figura.6 se prezitã desitatea spectralã de putere, ϕ, a semalului (t). Autocorelaţia acestui semal aleator este : 3

33 R (t) N ) e d N d(e N jt jt e N j j ω t t j t j t ω ω ω e e jt j t N j si t N t jt t N si t si t Se costatã cã : R ( ) Z {} (.7) Î cazul î care bada zgomotului alb,, este u multiplu îtreg al pulsaţiei ω τ, coform relaţiei (.3) se obţie : E{ (t- ) (t-l )}R ((l-) )R (l-) τ τ τ ω R (l-)p Deci, dacã se respectã codiţia : p ω, p Z {} (.8) atuci relaţia (.6) devie : P E{ t P () } + (.9) Pri urmare se poate afirma cã, dacã la itrarea uui mediator aalogic se aduce semalul x(t) : x(t) s(t) +(t) ude s(t) este u semal periodic de perioadã τ si (t) u zgomot alb de badã limitatã,, şi se respectã codiţia (.8), atuci la ieşirea mediatorului se obţie u semal y(t) : y(t) u(t) + (t) cu P s P u şi o îmbuãtãţire a raportului semal pe zgomot de : sau, folosid relaţia (.9) : χ P P 3

34 χ + (.) Se costatã cã îmbuãtãţirea raportului semal pe zgomot obţiutã astfel este egalã cu umãrul liiilor de îtârziere ale filtrului trasversal folosit. OSERVAŢII O. Avâd î vedere cã p di codiţia (.8) poate fi orice umãr îtreg eul, aceastã codiţie u este prea restrictivã. O. Relaţia (.) aratã cã îmbuãtãţirea raportului semal pe zgomot itrodusã cu metoda descrisã poate fi oricât de mare, pricipala limitare fiid impusã de complexitatea sistemului de filtrare obţiut. O3. Caracteristica de fazã a mediatorului aalogic (relaţia (.5)) este liiarã pe porţiui. Deci o datã cu creşterea ordiului filtrului trasversal va creşte şi îtârzierea itrodusã de acesta. O4. Costrucţia uor sisteme de acest tip este dificilã datoritã dificultãţii cu care se costruiesc liiile de îtârziere aalogice. De obicei filtrele trasversale aalogice se costruiesc cu ajutorul filtrelor trasversale umerice [Naf., Isa. 9] sau cu ajutorul dispozitivelor de trasfer de sarciã [Eze.,Je. 9]. iiile de îtârziere pot fi realizate şi cu ajutorul filtrelor trece tot. O5. Filtrul trasversal este ua di structurile de bazã folosite î costrucţia sistemelor cu parametrii variabili î timp, ca de exemplu a filtrelor adaptive. Aceastã observaţie este importatã deoarece ici u semal îtâlit î telecomuicaţii u este pur periodic. Multe semale cvasistaţioare (folosite frecvet î telecomuicaţii) pot fi privite îsã ca o succesiue de semale periodice pe porţiui. Raportul semal pe zgomot î aceste cazuri poate fi crescut pri utilizarea uor filtre trasversale cu parametrii variabili î timp. O6. Performaţa specificatã de relaţia (.) este atisã doar dacã zgomotul care trebuie îlãturat este alb. De îdatã ce aceastã codiţie u mai este îdepliitã performaţele filtrului trasversal devi mai slabe. O7. Este evidet cã, petru costrucţia filtrului trasversal este ecesarã cuoaşterea perioadei semalului s(t), τ. Di pãcate aceastã mãrime u este îtotdeaua cuoscutã. Î aceste cazuri poate fi utilizatã detecţia sicroã..3. ezi echivalete de zgomot ale uor filtre umerice Î [Isa. 95] s-au calculat bezile echivalete de zgomot petru câteva filtre umerice cu rãspus fiit la impuls (RFI) de diferite ordie. Î aceeaşi referiţã bibliograficã s-au propus şi etape de proiectare a filtrelor RFI şi s-au fãcut aprecieri asupra bezilor echivalete de zgomot petru u filtru umeric cu rãspus ifiit la impuls (RII). Î 33

35 cotiuare se prezitã doar calculele petru bezile echivalete de zgomot petru filtrele umerice RFI de ordiul N şi petru filtrul RII de ordiul I..3.. Filtru RFI de ordiul N Ecuaţia cu difereţe fiite care descrie fucţioarea uui filtru RFI de ordiul N este cuoscutã ca fiid : y[] ax[] + ax[ ] a Nx[ N] Rãspusul î frecveţã al acestui sistem va fi : adicã : jω jnω N H( Ω) a + a e a e H( Ω) a + a cos Ω a cos N Ω j(a si Ω a sin Ω) şi avem î cotiuare : N N H( Ω) (a + a cos Ω a cos N Ω) + (a si Ω +...+a sin Ω) N N ceea ce se mai poate scrie şi sub forma : N N H( Ω) a ( Ω) a ( ) + cos si Ω (.) Calculãm separat cele douã sume : N a cos( Ω) a cos ( Ω) aalcos( Ω) cos( lω) N N + l, l N a si a + ( Ω ) si ( Ω ) lsi( Ω) si( N N N N l, l a a lω ) 34

36 şi, reveid la relaţia (.), avem : sau : N H( Ω) a ( si Ω + cos Ω ) + N N [ cos( Ω) cos( Ω) si( Ω) si( Ω )] + a a l + l l, l l N N N lcos l, l H( Ω) a + a a (-l) Ω (.) Codiţia de egalitate a puterilor semalelor determiiste de la itrarea şi ieşirea filtrului umeric se scrie : sau, ţiâd cot de (.) : adicã : Dar : N H( Ω) S( Ω) d Ω S( Ω) dω N N a S( Ω) d Ω+ a a l cos ( - l) Ω S( Ω) d Ω P ' l, l - N N N R ss[] a + aa l l, l cos[( - l) Ω]S( Ω) d Ω R ss [] s 35

37 De aceea : S( Ω) e S( Ω) cos[( - l) Ω]dΩ dω + S( Ω) { R [ l] + R [ l ] } R [ l] ss j(-l) Ω ss ss e j(-l) Ω dω N a R ss [] + N N l, l a a l R ss [ - l] R ss [] (.3) sau : este : a R [] a a R [ - l] N N N ss l, l ada echivaletã de zgomot a filtrului RFI de ordiul N l ss N N N l, l H( Ω) d Ω a + a a cos ( - l) Ω dω l Dar : cos( - l) d Ω Ω d[ si( - l) Ω] si [( l) Ω] ; l -l l şi reveid la relaţia aterioarã : N H( Ω) d Ω a şi deci îmbuãtãţirea RSZ este datã de : 36

38 χ N N a (.4) Rezultã cã filtrul de ordiul N trebuie proiectat î aşa fel îcât sã se miimizeze suma pãtratelor coeficieţilor cu costrâgerea datã de relaţia (.3). U caz particular iteresat este cel î care : a şi a N sut diferiţi de şi a petru N-. Î aceastã situaţie : H( Ω) a + a cosn Ω ja sin Ω o N N N N H( Ω) a + a + a a cosnω şi î acest caz, corespuzãtor relaţiei (.3) : ( ) a a R [] a a R [N] N ss N ss iar relaţia (.4) devie : χ N a + a N Algoritmul de proiectare al filtrului este urmãtorul :. Se calculeazã R ss [], R ss [N] şi R N R ss [N]/R ss [].. Se alege valoarea lui χ N doritã, î itervalul : < χ N < R N + 3. Valorile coeficieţilor a şi a N vor fi : R N + χn RN - χn + ± R N χn R N χn a, N OSERVAŢII O. Acest algoritm u se poate aplica î cazul semalelor s[] la care R ss [N]. O. Problema optimizãrii filtrului RFI de ordi N este ua de extreme cu legãturi. Îtr-adevãr, trebuie miimizatã fucţioala : F(a ) N a cu respectarea relaţiei (.3). Codiţia de miim a fucţioalei fiid : F(a ) N a a ua ditre codiţiile care meritã sã fie verificatã î proiectarea filtrului este : 37

39 N a O3. ada echivaletã de zgomot a uui filtru RIF de ordiul N cu coeficieţi a, N este deci : ZN N a (.5).3.. Filtru RII fiite : U filtru RII de ordiul I este descris de ecuaţia cu difereţe Rãspusul sãu î frecveţã este : De aceea se poate scrie : bu[] + bu[ ] a s[] + as[ - ] H( ) a + a Ω e b +b e jω jω H( Ω) a b + a + b + a + b a b cosω cosω Se obţie petru bada echivaletã de zgomot : zrii H( Ω) dω a b + a + b + a a cosω dω + b b cosω Fãcâd substituţia : Ω tg t se obţie: 38

40 zrii a b a b t t a + a b + b + a a + b b t dt + Cu otaţiile : a +a a a ; b +b b b si a a α β b b γ expresia bezii echivalete de zgomot devie : γ zrii Petru aceasta se face descompuerea : t + α t + β dt +t t + α ( t + β )( + t ) β β α t + β + α β t + şi deci : zrii γ β β α dt α dt + t + β β t + adicã : γ zrii β α ( β ) d t β + t + β β α β arctg t () γ β α ( β ) β + α β ( β α )( β ) + γ ββ ( ) 39

41 Deci bada echivaletã de zgomot a uui filtru RII de ordiul I este : γ zrii ( β+ α ) ( +) Se pot calcula, î acelaşi fel, bezile echivalete de zgomot şi petru filtre RII de ordi superior. Astfel de filtre se utilizeazã î costrucţia modulatoarelor sau a demodulatoarelor umerice, a multiplexoarelor umerice, a codoarelor î subbezi, etc. Studiul acestor filtre se justificã şi petru cã ele pot fi utilizate drept filtre prototip petru filtrele digitale adaptive. ββ.4. Filtre umerice echivalete filtrelor aalogice trasversale Î paragraful. s-a prezetat modul î care se poate îmbuãtãţi RSZ î cazul semalelor periodice, aalogice, perturbate aditiv de zgomot alb. Au fost defiite filtrele trasversale aalogice. Pricipala proprietate a acestor sisteme este periodicitatea rãspusului lor î frecveţã. Datoritã acestei proprietãţi ele pot fi proiectate î aşa fel îcât rãspusul lor î frecveţã sã aibã maxime la pulsaţiile armoicelor semalului util s(t). Şi spectrul semalului periodic î timp discret este discret. De aceea şi î cazul semalelor periodice î timp discret este utilã folosirea uor filtre umerice cu rãspus î frecveţã periodic, de perioadã iferioarã lui. Î cotiuare se prezitã modul î care pot fi costruite filtre cu rãspusul î frecveţã periodic de perioadã / N. Fie sistemul di figura.7. x[] y[] Figura.7. Sistem de supraeşatioare. Legãtura ditre semalele x[] şi y[] este : y[] x,, petru M i rest 4

42 Se calculeazã legãtura ditre trasformatele Fourier î timp discret ale semalelor x[] şi y[] : Y( Ω) jω jpω y[]e y[p]e + p p y[p +]e j(p+ ) Ω sau : Y( Ω) p x[p]e jpω X(Ω) Trebuie meţioat faptul cã semalul y[] se obţie pri itercalarea a câte uui zero ître eşatioaele succesive ale semalului x[]. U exemplu petru geerarea semalului y[] porid de la semalul x[] este prezetat î figura.8. Deci itercalâd zerouri ître eşatioaele rãspusului la impuls a uui filtru cu rãspus î frecveţã H(Ω) se obţie rãspusul la impuls al uui sistem cu rãspusul î frecveţã H(Ω). Figura.8. Exemplu de supraeşatioare. Î cotiuare se aalizeazã sistemul obţiut pri coectarea î cascadã a douã sisteme de tipul celui di figura.7, sistem care este prezetat î figura.9. 4

43 x[] y[] z[] Figura.9. Coectarea î cascadã a sistemelor de supraeşatioare. Se costatã cã : y, z[], petru M i rest Dar : x, y[], petru M i rest De aceea : x, z[] 4, petru M4 i rest Legătura ditre trasformatele Fourier î timp discret ale secveţelor x[] şi z[] este : Z( Ω ) z[]e jω p z[4p]e j4pω + p z[4p +]e j(4p+ ) Ω + + p z[4p + ]e j(4p+ ) Ω + p z[4p + 3]e j(4p+ ) Ω p x[p]e j4pω X(4Ω) 4

44 Deci itercalâd câte trei zerouri ître eşatioaele succesive ale rãspusului la impuls al uui filtru cu rãspusul î frecveţã H(Ω) se obţie rãspusul la impuls al uui filtru cu rãspusul î frecveţã H(4Ω). Dar fucţia H(Ω) este periodicã de perioadã / iar fucţia H(4Ω) este periodicã de perioadã /4. De aceea se poate afirma cã itercalâd N - zerouri ître eşatioaele succesive ale rãspusului la impuls ale uui filtru umeric cu rãspusul î frecveţã H(Ω) se obţie rãspusul la impuls al uui sistem cu rãspusul î frecveţã H( N Ω), care este o fucţie periodicã de perioadã / N. OSERVAŢIE. ezile echivalete de zgomot ale sistemelor cu rãspusurile î frecveţã H(Ω),H(Ω),...,H( N Ω) sut idetice. Îtradevãr : z - H( Ω) dω H( Ω) dω - H( Ω) dω H * (u) H(u) du + du H(-u) du + H(u) - H(u) H(u) du du + du H(u) H(u) du z du - H( N Ω) dω N N N H(u) du N N N ( + ) H(u) du Dar : H(u) H(u - ),( ) Z Fãcâd î ultima itegralã schimbarea de variabilã v u -, se obţie : 43

45 ( +) H(u) du H(v) dv z De aceea : - N H( Ω) dω N N z z (.6) Sã cosiderãm î cotiuare cã trebuie prelucrat, petru a i se îmbuãtãţi RSZ, semalul x[] : x[] s[] + [] Î aceastã ultimã relaţie s[] este u semal periodic î timp discret de perioadã M. Semalul s[] are u spectru discret, armoicele sale fiid distaţate cu /M ître ele. Sã presupuem cã semalul s[] este de badã limitatã, pulsaţia maximã î spectrul sãu fiid P (/M). Se poate costrui u filtru umeric al cãrui rãspus î frecveţã sã aibã maxime la pulsaţiile (/M), Z. Fie, î acest scop, filtrul umeric trece jos cu rãspusul î frecveţã H(Ω). Se costruieşte sistemul cu rãspusul î frecveţã H(MΩ). Se costatã cã la pulsaţiile (/M) valoarea rãspusului î frecveţã al acestui filtru este : H M M H ( ) H() adicã maximã. Fie aceastã valoare egalã cu. Se costatã faptul cã toate armoicele semalului s[] trec ealterate pri filtrul cu rãspus î frecveţã H(MΩ). Notâd cu y[] semalul obţiut pri prelucrarea semalului x[] şi acceptâd cã acesta este de forma : y[] u[] + [] se costatã cã dacã semalul s[], periodic de perioadã M, este prelucrat cu sistemul cu rãspus î frecveţã H(MΩ) atuci : P u P s iar dacã semalul s[] este prelucrat cu sistemul cu rãspus î frecveţã H(Ω) atuci : 44

46 P u < P s deoarece aumite armoici ale semalului s[] sut ateuate de acest sistem. De aceea, î cazul sistemului cu rãspus î frecveţã H(Ω) avem: RSZ RSZ i P P u P P s P P u s H( Ω) dω < H( Ω) dω Î cazul sistemului cu rãspus î frecveţã H(MΩ), utilizâd relaţia (.6), avem : RSZ RSZ i Pu Pu P P M s M s HM d M ( Ω) Ω H( Ω) dω H( Ω) dω Deoarece : RSZ RSZ RSZ > RSZ i M i se costatã superioritatea sistemului cu rãspus î frecveţã H(MΩ) asupra celui cu rãspusul î frecveţã H(Ω), la prelucrarea semalelor periodice de perioadã M, di puct de vedere al îmbuãtãţirii raportului semal pe zgomot, RSZ. Sã cosiderãm î cotiuare ca exemplu semalul : s[] cos 8 cos + + cos 4 Trasformata Fourier î timp discret a acestui semal este : jω jω jω S( Ω) cos e + cos e + cos e 8 4 Petru cã avem urmãtoarea pereche Fourier : cos M rezultã : cos e M jω e j Ω M + e j Ω M 45

47 e + e M cos + M j M j Ω Ω Se cuoaşte cã dezvoltarea î serie Fourier a distribuţiei δ (t) este : jt (t) e δ Îlocuid t cu Ω M ultima relaţie devie : - M j e M Ω Ω δ iar petru t luâd valoarea + Ω M se obţie : e M + M j - Ω Ω δ De aceea : + Ω δ Ω δ M + M M cos iar trasformata Fourier î timp discret a semalului s(t) este : Ω δ Ω δ + + Ω + δ Ω δ Ω δ Ω δ Ω ) S( Puterea acestui semal este : P s Trasformata Fourier a rãspusului sistemului cu rãspusul î frecveţã H(Ω) la semalul s[] este : + Ω δ + Ω δ + + Ω δ + Ω δ + + Ω δ + Ω δ Ω Ω Ω H H H 4 4 H H 8 8 H ) H( ) S( ) U( 46

48 + 8 + e 8 e 8 H 8 H jarg 8 H jarg + Ω δ Ω δ e 4 e 4 H 4 H jarg 4 H jarg + Ω δ Ω δ + + Ω δ Ω δ + + e e H H jarg H jarg Expresia semalului u[], rezultat di filtrarea lui s[], devie : u[] H 8 8 arg H 8 +H arg H H arg H cos cos cos Puterea semalului de ieşire este : + + u H 4 H 8 H P (.7) Sã cosiderãm cã sistemul cu rãspus î frecveţã H(Ω) este u filtru de mediere cu rãspusul la impuls : rest i, M, M h[] Ω Ω Ω Ω j jm M j e - e - M e M ) H( si M si e e M j jm Ω Ω Ω Ω Deci : 47

49 si M si e M ) H( j(m-) Ω Ω Ω Ω Petru M 5 se obţie : si 5 si e 5 ) H( j7 Ω Ω Ω Ω De aceea : 6 si 6 5 si e 5 8 H 8 7 j 8 si 8 5 si e 5 4 H 4 7 j 4 si 4 5 si e 5 H 7 j Astfel :.66 H ;,66 4 H ;,3 8 H şi pri urmare avem, coform relaţiei (.7), P u 4,6-3. Trasformata Fourier a rãspusului sistemului cu rãspus î frecveţã H(6Ω) la semalul s[] este : ) + H( 8 ) H( ) )H(6 S( ) U( Ω δ Ω δ Ω Ω Ω ) 4 + H( 4 ) H(4 + Ω δ Ω δ + ) 8 + H( ) H(8 + Ω δ Ω δ H() Ω δ Ω δ Ω δ Ω δ Ω δ Ω δ

50 Expresia semalului u[] este : u[] cos + cos + cos 8 4 iar puterea sa este P u 3/. ada echivaletã de zgomot a filtrului cu rãspus î frecveţã H(Ω) este, coform observaţiei O3 di paragraful aterior, egalã cu : M z M M Ţiâd cot cã valoarea lui M s-a cosiderat de 5, rezultã z /5. Cosiderâd desitatea spectralã de putere a zgomotului [], N se obţie petru raportul semal pe zgomot, RSZ al semalului x[] : RSZ i 3,5 La ieşirea sistemului cu rãspus î frecveţã H(Ω) vom avea urmãtorul RSZ : RSZ 4, ,,435 3 Deci sistemul cu rãspus î frecveţã H(Ω) u îmbuãtãţeşte raportul semal pe zgomot. Petru ieşirea sistemului cu rãspus î frecveţã H(6Ω), RSZ este : 3 RSZ 45 4,37 3 iar îmbuãtãţirea RSZ realizatã cu acest filtru datã de raportul : χ RSZ RSZ 4,37,5 i 94,47 Rãspusul la impuls al acestui filtru este prezetat î figura.. 49

51 Figura.. Rãspusul la impuls al uui filtru umeric "echivalet" cu u mediator aalogic aluecãtor. OSERVAŢII O. Filtrele di acest paragraf au fost umite echivalete cu filtre trasversale aalogice avâd î vedere cã pot fi utilizate (la fel ca şi filtrele aalogice amitite) la prelucrarea semalelor umerice periodice. Cele douã categorii de filtre se umesc echivalete deoarece ambele au rãspusuri î frecveţã periodice (cele umerice cu perioadã multiplu al lui ). O. Deşi durata rãspusului î frecveţã H( N Ω) este de N ori mai mare decât durata rãspusului la impuls a filtrului prototip H(Ω), umãrul coeficieţilor euli ai celor douã sisteme este acelaşi. De accea se poate afirma cã u apar complicaţii prea mari de calcul pri folosirea filtrelor propuse. O3. Procedeul de geerare al sistemului cu rãspusul î frecveţã H( N Ω) poartã umele de supraeşatioare deoarece rãspusul la impuls al filtrului cu rãspusul î frecveţã H( N Ω) poate fi privit ca fiid obţiut pri eşatioarea cu o frecveţã de N ori mai mare decât frecveţa de eşatioare folositã petru obţierea rãspusului la impuls al sistemului cu rãspusul î frecveţã H(Ω). O4. Iserarea de zerouri este utilizatã şi petru costrucţia filtrelor cojugate î oglidã (Quadratur Mirror Filter) folosite î codarea subbadã [Mal. 94], [Ku. 84], [as.,chi.,cho. 95], [lu.,us. 98], [ol.,hla.,fei. 96], [Kla.,Hol.,Flo. 97]. O5. Sistemul folosit ca exemplu la sfârşitul acestui paragraf se umeşte mediator umeric aluecãtor [DeS.,Isa. 9], [Asz. 93]. Exemple de semale umerice utilizate î telecomuicaţii se gãsesc î [Opp. 76]. O6. Alte proprietãţi ale filtrelor prezetate î acest paragraf sut demostrate î [Isa. 95()]..5. Utilizarea sistemelor liiare, variabile î timp, la îmbuãtãţirea RSZ 5

52 Toate metodele de îmbuãtãţire a raportului semal pe zgomot prezetate pâã acum se bazau pe utilizarea uor sisteme liiare şi ivariate î timp. De asemeea, semalul util era de fiecare datã cosiderat u semal determiist staţioar [Spã. 87]. Orice semal determiist este caracterizat de o familie de parametri. De exemplu, semalele armoice care au forma x(t) A cos ( ω t + ϕ ) se caracterizeazã pri familia de parametri ( A, ω t, ϕ ). Dacã aceşti parametri sut işte costate, semalul determiist este staţioar. Dacã uii ditre aceşti parametri sut variabili î timp, semalul determiist caracterizat astfel este uul estaţioar. Dacã ei sut let variabili î timp atuci acesta poate fi privit ca o succesiue de semale staţioare. U astfel de semal se umeşte cvasistaţioar. Petru fiecare semal di succesiuea amititã mai sus existã u filtru adaptat, caracterizat de aumiţi parametri. Dacã existã u filtru ai cãrui parametri sã poatã lua pe râd aceste valori el poate fi cosiderat drept u filtru adaptat la semalul estaţioar cosiderat. U astfel de filtru poate fi costruit pri comada parametrilor uui filtru comadat. Î prezet se utilizeazã tot mai mult filtrele comadate, fiid dispoibilã o gamã largã de astfel de dispozitive. Î geeral este vorba despre sisteme aalogice comadate umeric. O alterativã de costrucţie a acestor sisteme este bazatã pe tehologia capacitãţilor comutate [Mat.,ªer. 87]..5.. Filtre cu urmãrire Î cazul î care se foloseşte u filtru comadat avâd u sigur parametru reglabil şi aume frecveţa cetralã sau de tãiere, se obţie u filtru comadat î frecveţã. Dacã frecveţa cetralã a filtrului este î permaeţã egalã cu frecveţa istataee a semalulului de la itrare atuci filtrul comadat se umeşte filtru cu urmãrire. Petru aceste filtre se demostreazã uele proprietãţi î [Isa. 93]. Ua ditre ele este urmãtoarea : "Î bada de urmãrire modulul rãspusului î frecveţã al uui filtru trece badã cu urmãrire de ordiul este maxim." Coform acestei proprietãţi caracteristica globalã de frecveţã a uui filtru cu urmãrire este ideticã cu caracteristica de modul a filtrului adaptat la semalul "chirp" dacã este respectatã codiţia (.5). S-a demostrat î acest mod cã filtrul cu urmãrire este u filtru adaptat la semalul "chirp". De aceea îmbuãtãţirea raportului semal pe zgomot realizatã de u filtru cu urmãrire care prelucreazã u semal de tip "chirp" perturbat aditiv de zgomot alb este cea prezetatã î [Isa 95]. 5

53 Remarcabil petru u astfel de filtru este faptul cã el coservã la ieşire forma semalului determiist de la itrare dacã acesta este uul modulat î frecveţã cu purtãtor siusoidal. Astfel de filtre sut descrise î [Isa. 95]. O aplicaţie a uor astfel de filtre este prezetatã î [Isa.,Isa.,Asz.'94]. O altã modalitate de costrucţie a filtrelor cu urmãrire este bazatã pe simularea uui filtru aalogic pritr-u filtru umeric, pri itercalarea acestuia ître u CAN şi u CNA. Urmãrirea frecveţei istataee a compoetei determiiste a semalului de filtrat este realizatã pri eşatioarea adaptivã a semalului de itrare. Procedeul este descris î [Naf.,Isa. 9]. O realizare practicã a uui astfel de filtru este prezetatã î [Naf.,Isa. 9]. Sistemele descrise î acest paragraf ar putea fi utilizate î comuicaţiile cu spectru distribuit deoarece bezile lor de trecere pot fi poziţioate î diferite zoe, la diferite momete de timp..5.. Filtre adaptive Î 959 Widrow şi Hoff la Uiversitatea di Staford au ivetat algoritmul LMS [Wid. 75], [Wid.,Ste. 85]. Apoi Roseblatt a costruit Perceptroul sãu la Laboratorul Aeroautic Corell. Aizerma şi colegii sãi de la Laboratorul de Automaticã şi Telemecaicã di Moscova au costruit o maşiã de cãutare a valorii miime a gradietului. Î Marea ritaie, Gabor a dezvoltat primele filtre adaptive. Î deceiul şapte muca la sistemele adaptive s-a itesificat. O aplicaţie comercialã importatã a filtrãrii adaptive î comuicaţiile umerice este datoratã lui Lucy de la Laboratoarele ell. Î aul 965 u sistem de aulare adaptivã a zgomotului a fost realizat la Uiversitatea Staford Coceptul de aulare adaptivã a zgomotului Petru sistemul di figura., se cosiderã cã zgomotul este ecorelat cu semalul s dar corelat cu zgomotul. Pri filtrarea zgomotului 5

54 Figura.. O metodã de aulare adaptivã a zgomotului. se obţie semalul y care este asemããtor zgomotului s + - y. Se cosiderã cã filtrul adaptiv folosit î sistemul di figura. este realizat cu algoritmul LMS. Ca şi semal de eroare se foloseşte semalul s + - y. Se presupue cã semalele s,, şi y sut staţioare şi de valoare medie ulã. De asemeea se presupue cã s u este corelat cu sau şi cã şi sut corelate. Ridicâd la pãtrat relaţia : ε s + y (.8) se obţie : ε s + ( y) + s( y) Luâd media statisticã î ambii membrii ai ultimei relaţii, se obţie : { ε } E{s } + E{( y) } + E{s( y)} (.9) E Deoarece itercorelaţia semalelor s şi este ulă se poate afirma acelaşi lucru şi despre semalele s şi y şi deci : E{ ε } E{s } + E {( y) } Pri miimizarea erorii medii pãtratice de la ieşire (adicã termeul E{ε }), termeul E{s } u este afectat. De aceea : 53

55 E mi { ε } E {s } + E mi {( y) } Deoarece semalul y de la ieşirea filtrului adaptiv este geerat astfel îcât mãrimea E{( - y) } sã fie miimizatã, se poate afirma cã acest semal reprezitã o aproximare de eroare medie pãtraticã miimã a semalului. Dar, coform relaţiei (.8): y ε s De aceea se poate afirma cã semalul ε reprezitã aproximarea de eroare medie pãtraticã miimã a semalului s. Î geeral semalul ε va fi suma ditre semalul s şi u aumit zgomot ( - y). Miimizâd ε se miimizeazã E{( - y ) } adicã puterea zgomotului de la ieşirea sistemului global, î timp ce semalul s de la ieşire îşi coservã puterea. De aceea se poate afirma cã raportul semal pe zgomot este miimizat la ieşirea sistemului global. Pe baza relaţiei (.9) se costatã cã valoarea miimã a puterii de la ieşire E mi (ε ) este E{s }. Aceastã valoare este atisã atuci câd E{( - y ) }. Aceastã codiţie este îdepliitã câd : ε s a.p.t. si y a.p.t. Î acest caz miimizarea puterii semalului de la ieşire face ca semalul de la ieşire sã u mai coţiã deloc zgomot. Dacã itercorelaţia semalelor s + şi este zero, semalele y şi s + vor fi ecorelate şi va avea loc relaţia : sau : Îsã : E{ ε } E{[(s + + E{y } E{[( s E mi{ ε } E E ) y ] } E {(s + mi mi )y ]} E {(s + {y } + E{(s + {y } ) ) ) } + } + E{y } } 54

56 Aceastã codiţie este îdepliitã dacã ieşirea iltrului adaptiv di structura sistemului di figura. se auleazã. Aceasta se poate realiza pri aularea tuturor poderilor acestui filtru adaptiv. Deci, ici î cazul î care zgomotul u este corelat cu semalul s +, supresorul de zgomot u îrãutãţeşte raportul semal pe zgomot al semalului s + (dar ici u-l îmbuãtãţeşte). Aceste cosiderete pot fi extise şi petru cazul câd semalele de itrare şi de referiţã coţi pe lâgã zgomotele şi şi alte zgomote, suprapuse aditiv şi ecorelate ître ele şi ici cu semalele s, sau. La fel se aalizeazã şi cazul câd şi sut determiiste şi u aleatoare. Pâã acum u s-a specificat imic despre tipul filtrului adaptiv folosit. Î cotiuare se va cosidera cã este vorba despre u filtru adaptiv bazat pe u prototip de tip filtru trasversal. Schema acestui filtru adaptiv este prezetatã şi î figura.. Figura.. Schema bloc a filtrului adaptiv di structura supresorului de ecou. Î fucţioarea filtrului adaptiv se deosebesc douã etape. Prima este etapa de îvãţare î care coeficieţii filtrului caracterizat de W(z) se modificã petru a miimiza mãrimea E{ε }. Cea de-a doua etapã este caracterizatã de valori costate ale coeficieţilor filtrului. Acum acesta este u sistem liiar ivariat î timp (u filtru trasversal) cu fucţia de trasfer W * (z). Î aceastã situaţie : E{ ε } şi deci : De aceea se poate scrie : y d a.p.t. Φ Φ xd (z) xx (z)w (z) 55

57 Pri urmare fucţia de trasfer a filtrului adaptiv este (petru a doua etapã de fucţioare) : Φ xd (z) W (z) Φ xx (z) (.) Î figura.3. se prezitã o formã puţi mai detaliatã a schemei di figura.. Se costatã cã : sau folosid otaţia : u h + m ; h + m Figura.3. Supresor de zgomot cu filtru trasversal adaptiv. avem : u + m Se costatã cã m şi m u sut corelate ître ele şi ici cu sau s. De asemeea se pãstreazã celelalte ipoteze referitoare la ecorelarea semalelor s, şi. Coform figurii.3 se poate scrie : Î acelaşi timp : ϕ xx d s + + m x u + m [] E{x[] x[ + ]} E { (u[] + m [] ) ( u[ + ] + m [ + ] )} E{u u } + E{u m } + E{m u } + E{m m } 56

58 ϕ ϕ uu + mm Reveid, putem scrie : Φ xx (z) Φuu (z) + Φmm (z) ude vom folosi relaţia : Φ uu (z) Φ (z) H(z) şi avem relaţia petru trasformata Z a autocorelaţiei semalului x[] : Φ xx (z) Φ (z) H(z) + Φmm (z) (.) iar petru trasformata Z a itercorelaţiei ditre x[] şi d[] avem: Φ xd (z) Z{ ϕ xd []} Aalog relaţiei petru fucţia de autocorelaţie scriem şi cea petru fucţia de itercorelaţie ître semalele x[] şi d[] : ϕ [] E{x d } E{(u + m ) (s + + m xd { u s } + E{ u } + E{ u m } + E{ m s }+ E { m } + E{ m m } ϕ [ ] + E + + Ultima egalitate a rezultat observâd cã termeii : E{u s }, E{u m }, E u { m s } E{m }, E{m m + + } )} sut uli. Îsã : ϕ u v [ ] u ude cu u v s-a otat semalul obţiut pri reflectarea semalului u[] : u v [] u[ ] 57

59 Coform acestei otaţii rezultã : u v ( h ) v v h v şi reveid la relaţia care defieşte pe ϕ u [] avem : ϕ u [] ( v h v ) v v h v ϕ [] h v [] Aplicâd trasformata Z petru ϕ xd [] rezultă : Φ (z) xd Φ (z) Z{h v []} relaţie î care îlocuim trasformata Z a lui h v [] : h v [] p h v [p]z p p h[ p]z p l h[l]z l H(z ) ude am fãcut substituţia p - l, obţiâd astfel forma fialã a trasformatei Z a fucţiei de itercorelaţie ître x[] şi d[] : Φ (z) Φ (z) H(z ) (.) xd Pe baza relaţiilor (.), (.) şi (.) se poate scrie : W (z) Φ Φ (z) (z) H(z) H(z + Φ ) mm (z) (.3) Aceasta este expresia fucţiei de trasfer a filtrului adaptiv di structura supresorului de zgomot. Î cazul î care zgomotul m este idetic ul expresia (.3) devie : W Φ (z) Φ (z) H(z ) (z) H(z) H(z) H(z ) H(z ) H(z) Deci filtrul adaptiv poate fi utilizat şi petru caracterizarea caalului pri care se propagã zgomotul spre itrarea de referiţã a supresorului de zgomot. Defiid raportul semal pe zgomot ca fiid raport al desitãţilor spectrale de putere ale semalului util şi zgomotului se obţie : 58

60 Φss (z) Φss (z) RSZi (z) Φdd (z) Φ (z) + Φ Φss (z) RSZ(z) Φ (z) mm (z) ude cu s-a otat zgomotul de la ieşire. Îmbuãtãţirea raportului semal pe zgomot este deci : χ RSZ(z) Φ RSZ (z) Φ i ss (z) (z) Φ (z) + Φ Φ (z) ss mm (z) Φ (z) + Φ Φ (z) mm (z) (.4) Zgomotul este alcãtuit di trei compoete : prima datoratã lui m care se suprapue direct la ieşire, a doua datoratã lui m care se suprapue la ieşire pri itermediul sistemului cu fucţia de trasfer -W * (z) şi a treia datoratã lui care se propagã spre ieşire pri itermediul sistemului "echivalet" cu fucţia de trasfer -H(z)W * (z). Di acest motiv se poate scrie : Φ (z) Φ m m (z) + Φm m (z) W (z) + Φ (z) H(z)W (z) (.5) Fãcâd otaţiile : Φm m (z) A(z) Φ (z) (.6) Φ (z) (.7) Φ (z) H(z) mm (z) relaţia (.) va fi : 59

61 W (z) Φ mm (z) (z) H(z) Φm (z) m H(z) (z) H(z) ( ) H z + Φ mm (z) adicã : W Φm (z) m H (z) (z) Φ (z) m m (z) [ (z) + ] H(z) [ (z) + ] (.8) Cu aceleaşi otaţii se poate scrie şi : Φ (z) Φ A(z) Φ mm (z) + (z) + A(z) Φ H(z) (z) (z) + Φ mm (z) (z) + (z) (z) + Φ + Φ (z) + Φ (z) (z) (z) Φ (z)( (z)) ( + (z) )( + (z)) (z) + (z) + Deci : Φ (z) Φ (z) ( z) A(z) Φ (z) + (z) + (.9) De aceea expresia îmbuãtãţirii raportului semal pe zgomot este : χ( z) Φ [ + ] [ Az ( ) + ][ + z ( )] Φ ( z) A( z) z ( ) Azz ( ) ( ) + Az ( ) + z ( ) ( z) A( z) + + z ( ) (.3) Existã trei cazuri particulare semificative : Cazul I. A(z) este eglijabil. Î acest caz se obţie : 6

62 χ( z) + şi deci modulul lui χ(z) este suprauitar. Cazul II. (z) este eglijabil. Vom avea : χ( z) + z ( ) z ( ) Az ( ) Az ( ) şi î acest caz avâd loc o îmbuãtãţire a raportului semal pe zgomot. Cazul III. A(z) şi (z) sut eglijabile. De data aceasta : χ( z) Az ( ) + z ( ) îmbuãtãţirea RSZ fiid şi î acest caz evidetã. Dacã zgomotele cuplate pe cele douã itrãri, m şi m sut idetic ule, atuci A(z) (z) şi îmbuãtãţirea raportului semal pe zgomot este ifiitã, deci la ieşire s-ar obţie chiar semalul util s[]. Performaţele sistemului sut îsă limitate şi î acest caz deoarece î calculele prezetate u s-a ţiut seama de lugimea fiită a răspusului la impuls a uui filtru realizabil şi ici de zgomotul produs de estimarea gradietului, specific algoritmului adaptiv folosit. Pâă aici u s-a ţiut cot de faptul că şi o parte di semalul s[] s-ar putea regăsi la itrarea de referiţă a supresorului de zgomot. Acest caz este aalizat î [Wid.,Ste. 85]. Î aceeaşi referiţă bibliografică sut prezetate câteva aplicaţii î telecomuicaţii, cum ar fi : suprimarea ecourilor î telefoia la mare distaţă sau aularea iterfereţelor lobilor laterali ai ateelor. Î cotiuare se pue problema aulării iterfereţelor periodice. Există umeroase situaţii câd u semal util de badă largă este perturbat de iterfereţe periodice şi u există u semal de referiţă, separat de semalul util dispoibil. Dimiuarea efectului acestor iterfereţe poate fi realizată cu ajutorul sistemului di figura.4. Îtârzierea aleasă, s, trebuie să fie suficiet de mare petru ca fracţiuea semalului de badă largă de la itrarea de referiţă să fie decorelată de fracţiuea semalului de badă largă de la itrare. De asemeea valoarea lui s trebuie să fie superioară îtârzierii totale itrodusă de supresorul de ecou. 6

63 Performaţele uui astfel de supresor adaptiv de zgomot sut prezetate î [Wid., 85]. Figura.4. Supresor de zgomot periodic. Sistemul di figura.4 poate fi folosit şi petru cazul î care semalul util este periodic şi iterfereţa este de badă largă. U exemplu î acest ses este prezetat î aceeeaşi referiţă bibliografică precum şi î [Wid. 75]. Câteva aplicaţii ale filtrelor adaptive î telecomuicaţii : - detectarea uei siusoide de frecveţă ecuoscută îecată î zgomot, - receptor de cod multifrecveţă, - codare MIC difereţială, - multiplexare î frecveţă - modemuri, - supresoare de ecou, sut prezetate î [el. 9]. De asemeea îmbuătăţirea raportului semal pe zgomot petru semalele utile modulate î frecveţă, de tip chirp, utilizâd filtrarea adaptivă (folosid algoritmi LMS sau RLS) este aalizată î [Mac. 89], [Mar.,Mac. 87]. Filtrele digitale prezetate î acest paragraf sut de tipul cu răspus fiit la impuls. O preocupare moderă î teoria prelucrării adaptive a semalelor este îlocuirea filtrelor adaptive cu răspus fiit la impuls cu filtre adaptive cu răspus ifiit la impuls. Aceasta oferă avataje de calcul î implemetarea filtrelor adaptive. Descrierea acestor filtre adaptive este făcută î [Mac. 89]. Î [el. 89] şi [Gim.,Mat. 97] sut prezetate şi alte aplicaţii ale filtrării adaptive î telecomuicaţii : - ateuarea sau amplificarea aumitor compoete spectrale, - codarea difereţială adaptivă, - egalizarea şi idetificare caalelor de telecomuicaţii, 6

64 - decovoluţie adaptivă, - prelucrarea adaptivă a semalelor RADAR, - atee adaptive. O altă preocupare de actualitate î cadrul teoriei prelucrării adaptive a semalelor este utilizarea sistemelor adaptive la prelucrarea semalelor bidimesioale. Majoritatea rezultatelor obţiute petru semale moodimesioale pot fi geeralizate şi petru semale bidimesioale. Aceste geeralizări sut prezetate îtr-u mod uitar î lucrarea [Mal. 94]. ieîţeles că semalele de prelucrat sut de această dată imagii. Î această referiţă bibliografică se tratează problema îmbuătăţirii RSZ î cazul prelucrării imagiilor. Prelucrarea semalelor bazatã pe algoritmi adaptivi are îsã u mare dezavataj şi aume faptul cã ecesitã u volum foarte mare de calcul [uc. 75]. Acesta este motivul petru care se au î vedere şi alte metode de prelucrare. Ua ditre ele este utilizarea diferitelor trasformãri ortogoale asociate cu metode de filtrare î domeiul trasformatei. Î acest scop, î capitolele urmãtoare se prezitã trasformarea udişoarã discretã ( discrete wavelet trasform sau trasformée e odelettes discretes ) şi metode (ditre care ua origialã) de filtrare eliiarã î domeiul trasformatei. CAPITOLUL 3. TRANSFORMAREA UNDIŞOARÃ DISCRETÃ Î acest capitol se itroduce trasformarea udişoarã discretã î mod atural, di perspectiva teoriei prelucrãrii semalelor. Î acest scop se trec î revistã tehicile de codare subbadã şi teoria seriilor de 63

65 udişoare. Se prezitã atât trasformarea udişoarã discretã clasicã cât şi variate mai modere ale acesteia, di puctul de vedere al teoriei reprezetărilor timp-frecveţă [ar.,ols. 96], [oa.,o Sh.,Ar. 9], [oa. 9], [oa.,rei. 9], [oa., O Sh. 94], [Che., Do.,Sau. 95], [Cou. 95], [Fla. 93], [For. 9], [Hla.,ou. 9], [Qia.,Che. 96]. Î trasmiterea iformaţiei se utilizează tehicile de codare subbadă, făcâdu-se umeroase cercetări î domeiul teoriei bacurilor de filtre umerice. Rezultate remarcabile sut prezetate î [Vai. 93], [Opp.,Lim 88], [el. 9]. Î cotiuare se prezitã costrucţia bacurilor de filtre cu structurã arborescetã. 3.. Codare subbadã cu structurã arborescetã Se cosiderã sistemul di figura 3..b). Figura 3.. a) Simbol petru u decimator; b) schema uui codor cu douã subbezi. Rãspusurile î frecveţã ale filtrelor umerice cu rãspusurile la impuls h[] şi g[] sut prezetate î figura 3.. Figura 3.. Rãspusurile î frecveţã ale filtrelor di figura

66 Se calculeazã trasformatele Z ale semalelor s[] şi d[]. Î acest scop se costatã cã : U(z) X(z) H(z) ; V(z) X(z) G(z) Coform defiiţiei trasformatei Z : S(z) s[]z u[]z U(z) u[]z u[]z + u[ + ]z ( ) U( z) u[]z u[ + ]z + ( ) şi se observã cã putem scrie : [ ] U(z) + U( z) u[]z u[] z S(z ) ( ) Reveid la expresia lui S(z) : z + U z U S(z) (3.) sau : S(z) X z H z +X z H z (3.) Î mod aalog se demostreazã cã : D(z) X z G z +X z G z (3.3) Petru a calcula spectrele semalelor s[] şi d[] se foloseşte otaţia simplificatã: 65

67 Ω ( ) Xz ( ) Xe j î relaţiile (3.) şi (3.3), obţiâdu-se : S( Ω ) X Ω H Ω + X Ω + H Ω + D( ) X Ω G Ω Ω Ω Ω + X + G + Fie, de exemplu, spectrul X(Ω) cel trasat î figura 3.3. Figura 3.3. U exemplu de spectru de semal de itrare. 3.4 şi 3.5. Spectrele semalelor s[] şi d[] sut prezetate î figurile Figura 3.4. Spectrul semalului s[]. 66

68 Figura 3.5. Spectrul semalului d[]. Se costatã cã spectrul S(Ω) este asemeea cu spectrul X(Ω) î bada [ - /, / ]. Se costatã cã porţiuea di spectrul D(Ω) î bada [ -, - ] [, ] este asemeea cu spectrul X(Ω) î bada [ -, ] - [ - /, / ]. Figura 3.6. Structura arborescetã de codare î subbezi. Se poate deci afirma cã semalul x[] a fost codat î douã subbezi, compoetele sale de joasã frecveţã regãsidu-se î semalul s[] iar compoetele sale de îaltã frecveţã, î semalul d[]. Petru a creşte umãrul de subbezi se poate utiliza o structurã arborescetã aşa cum se vede î figura 3.6. Se calculeazã trasformatele Z ale semalelor s [] şi d [], M. Se observã ( coform figurii 3.) cã : şi astfel se poate scrie : s [] s[] ; d [] d[] 67

69 S (z) S z H z S z H z + D (z) S z G z S z G z + Figura 3.7. Spectrul semalului s []. Figura 3.8. Spectrul semalului d []. Cotiuâd exemplul cosiderat aterior, spectrele semalelor s [] şi d [] iau forma di figura 3.7 şi 3.8. Se costatã cã spectrul S (Ω) este asemeea cu spectrul X(Ω) di bada [ -/4, /4 ] şi cã spectrul D (Ω) este asemeea cu spectrul X(Ω) di bada [- /, / ] - [ -/4, /4 ]. 68

70 Figura 3.9. Corespodeţa ditre spectrul X(Ω) şi spectrele S (Ω), D (Ω),. Procedâd similar se costatã cã spectrul S M (Ω) este asemeea cu spectrul X(Ω) di bada [ -/ M, / M ] şi cã spectrul D M (Ω) este asemeea cu spectrul X(Ω) di bada [ - /( M- ), /( M- ) ] - [ -/ M, / M ]. Cu alte cuvite fâşii di bada spectrului X(Ω) au fost puse î corespodeţã cu semalele s [] şi d []. Aceastã corespodeţã este evideţiatã î figura 3.9. Se costatã cã folosid sistemul di figura 3.6, bada spectrului semalului x[] este divizatã î octave. Se poate deci afirma cã sistemul cu structurã arborescetã di figura 3.6 este îtr-adevãr u codor î subbezi. Î cotiuare se aalizeazã operaţia de decodare. 3.. Decodarea î urma codãrii subbadã Se pue problema refacerii semalului x[] porid de la semalele s[] şi d[]. Se cosiderã î acest scop sistemul di figura 3. b). Figura 3.. a) Iterpolator şi defiiţia semalului de 69

71 la ieşirea sa; b) sistem de decodare corespuzãtor celui di figura 3.. Se calculeazã trasformata Z a semalului b[] (figura 3. a).) pe baza trasformatei Z a semalului a[] : α(z) α[]z ( + ) β(z) β[]z β[]z + β[ + ]z ( ) α[]z α z astfel îcât se pot scrie trasformatele Z petru celelalte semale ce apar î sistemul de codare : U (z) S(z ) ; U (z) D(z ); sau, ţiâd seama de relaţiile (3.) şi (3.3) : [ ] Y(z) H(z) X(z)H(z) + X( z)h( z) + [ X(z)G(z) + X( z)g( z) ] + G(z) (3.4) Pe baza acestei relaţii se determiã spectrul semalului y[] : [ ] Y( Ω) H( Ω) X( Ω) H( Ω) + X( Ω+ ) H( Ω+ ) + [ X( ) G( ) + X( + ) G( + ) ] + G( Ω) Ω Ω Ω Ω (3.5) Dacã se folosesc filtrele cu rãspusurile î frecveţã cu caracteristicile de modul di figura 3. atuci sut valabile relaţiile : Pe baza acestor relaţii, (3.5) devie : H( Ω)H( Ω+ ) G( Ω)G( Ω + ) H ( Ω)+G ( Ω ) 7

72 Y( Ω) X( Ω )H ( Ω ) + X( Ω)G ( Ω) [ ] X( ) H ( ) G Ω Ω ( Ω ) + X ( Ω) (3.6) Figura 3.. Schema uui decodor petru semale codate î subbezi. Deci, cu excepţia uei costate (egalã cu /), semalele x[] şi y[] sut idetice. Se spue cã sistemul de decodare di figura 3. este cu recostrucţie perfectã. De aceea sistemul di figura 3. poate fi utilizat petru recostrucţia perfectã a semalului prelucrat de sistemul di figura 3.6, î ipoteza cã se folosesc filtrele ideale cu rãspusurile î frecveţã di figura 3.. OSERVAŢII O. O aalizã similarã poate fi fãcutã şi petru cazul î care iterpolarea şi decimarea u se fac folosid costata ci o alta, de exemplu, P, P N. I acest caz u se va mai obţie o descompuere î octave a bezii a semalului u[] ci î subbezi a cãror lãţime va descreşte cu puteri ale lui P. O. Petru structurile care utilizeazã arbori simetrici se poate face o aalizã similarã. O3. Pricipala limitare a sistemelor de codare şi decodare î subbezi cu structurã arborescetã prezetate pâã acum este cã filtrele cu rãspusurile î frecveţã di figura 3. u sut realizabile. I cotiuare se vor determia clase de filtre realizabile care permit codarea î subbezi, cu structurã arborescetã şi cu recostrucţie perfectã. 7

73 3.3. Codarea subbadã cu recostrucţie perfectã folosid sisteme cu structurã arborescetã cu filtre realizabile Se cosiderã î cotiuare cã h[] şi g[] sut filtre realizabile. U sistem, echivalet celui di figura 3., destiat recostrucţiei perfecte, este prezetat î figura 3.. Figura 3.. Sistemul de recostrucţie corespuzãtor uui codor î douã subbezi. Coform acestei figuri rezultã cã semalul de la ieşirea decodorului este o variatã îtârziatã cu d a semalului de la itrare. Trebuiesc determiate rãspusurile la impuls h r [] şi g r [] precum şi codiţiile pe care trebuie sã le îdeplieascã rãspusurile la impuls h[] şi g[] petru ca la ieşirea sistemului di figura 3. sã se poatã obţie semalul x[-d]. Î acest scop se rescrie relaţia (3.4) : z d X(z) Hr (z) + G r (z) [ X(z)H(z) + X( z)h( z) ] [ X(z)G(z) + X( z)g( z) ] + (3.7) sau, regrupâd î membrul drept : d z X(z)X(z) [ r + r ] H (z)h(z) G(z)G (z) + [ H r(z)h( z) G( z)g r(z) ] + X( z) + Aceastã ecuaţie este satisfãcutã şi de soluţiile sistemului de ecuaţii : H r (z)h(z) + G(z)G (z) z r d H( z)hr (z) + G( z)gr (z) 7

74 Î cotiuare se rezolvã acest sistem, cosiderâdu-se cuoscute trasformatele z otate cu H(z) şi G(z). Determiatul sistemului este : H(z) G(z) H(z)G( z) H( z)g(z) H( z) G( z) Determiaţii corespuzãtori celor douã ecuoscute sut de forma: H r z d G(z) G( z) z d G( z) Deci soluţiile sut date de relaţiile urmãtoare : H G r r (z) (z) d z G( z) H(z)G( z) H( z)g(z) d z H( z) H(z)G( z) H( z)g(z) (3.8) (3.9) Evidet, o codiţie care trebuie impusã filtrelor di structura codorului este ca ecuaţia : H(z)G( z) H( z)g(z) (3.) sã u aibã ici o rãdãciã diferitã de rãdãciile ecuaţiei : d z De aceea o codiţie potrivitã petru filtrele cu rãspusurile la impuls h[] şi g[] ar fi : H(z)G( d z) H( z)g(z) z (3.) Î acest caz relaţiile (3.8) şi (3.9) devi : H r (z) G(z) (3.) (z) G r H( z) (3.3) 73

75 Deci rãspusurile î frecveţã ale filtrelor de recostrucţie depid de rãspusurile î frecveţã ale filtrelor di structura codorului coform relaţiilor : H ( ) G( + ) r Ω Ω (3.4) G ( ) H( Ω + ) (3.5) r Ω iar rãspusurile î frecveţã ale filtrelor di structura codorului satisfac : H( jωd Ω )G( Ω + ) H( Ω + )G( Ω) e (3.6) H r (z) şi G r (z) sut fucţiile de trasfer ale filtrelor itroduse de Esteba şi Galad [Smi.,ar. 86] sub umele de "Quadrature Mirror Filters", QMF. OSERVAŢIE : Relaţia corespuzãtoare lui (3.) î domeiul timp este : h[]g[ ][( ) ( ) ] δ[ d] Îtr-adevãr : Fie : G( z) H( z) g[]( ) g'[] ( ) h[]( ) g[] z - z - h'[] ( ) g[] atuci : H(z)G( z) h[] g'[] H( z)g(z) h '[] g[] d [ ] z δ d 74

76 şi privitor la relaţia (3.) vom putea scrie : adicã : h[] g'[] h'[] g[] δ[ d] ( h[]g'[ ] h'[]g[ ] ) δ[ d] sau, reveid la otaţiile iiţiale : (h[]( ) g[ ] ( ) h[]g[ ]) δ[ d] Ultima relaţie poate fi restrâsã sub forma urmãtoare : h[]g[ ]{( ) ( ) } δ[ d] (3.7) Petru valori pare a lui aceastã relaţie devie : δ [ d] rezultâd astfel ecesitatea ca d sã fie u umãr atural impar. S-a demostrat aşadar cã î urma folosirii filtrelor QMF se poate realiza o recostrucţie perfectã utilizâd o codare î douã subbezi, dacã filtrele de recostrucţie îdepliesc codiţiile (3.) şi (3.3) iar filtrele de sitezã (cele cu rãspusurile la impuls h[] şi g[]) îdepliesc codiţia (3.) î care valoarea lui d trebuie sã fie imparã. Relaţia (3.6) este geeralã. Ea u furizeazã iformaţii despre modul î care se proiecteazã filtrele de sitezã. Smith şi arwell au determiat o clasã de filtre de sitezã [Smi.,ar. 86]. Este vorba despre clasa filtrelor "cojugate quadratur filters", CQF. Ei au propus urmãtoarea legãturã ître rãspusurile î frecveţã ale filtrelor de sitezã, presupuse ca fiid cu rãspusuri la impuls reale : jωd G( Ω) e H ( Ω + ) (3.8) Folosid aceastã codiţie membrul drept al relaţiei (3.6) devie : 75

77 H( Ω )G( Ω + ) H( Ω + )G( Ω) j( Ω+) d jωd H( Ω)[e H ( Ω) ] + H( Ω + )[e H e j - jωd { H( Ω) + H( Ω + ) } e ( Ω+) d d ( ) ( Ω + ) ] Astfel relaţia (3.6) devie, petru d impar : H( Ω) + H( Ω+ ) (3.9) Î acest caz rãspusurile î frecveţã ale filtrelor de recostrucţie devi : H r G r jωd ( Ω) e H ( Ω) (3.) ( Ω ) H( Ω + ) (3.) COMENTARII. Fie : Se costatã cã : h'[] ( ) h[] h[] ' H( Ω + ) Relaţia corespuzãroare relaţiei (3.9) î domeiul timp este, coform relaţiei Wieer - Hici : R hh [] + R [] δ[] (3.) h h De aceea se poate afirma cã, di puctul de vedere al proiectãrii filtrelor di structura codorului, respectiv a decodorului, relaţia (3.9) este mai avatajoasã decât relaţia (3.6).. Cuoscâdu-se avatajele de implemetare ale filtrelor RFI î comparaţie cu filtrele RII, î cotiuare se vor presupue ca fiid de tip RFI atât filtrele de sitezã cât şi cele de aalizã. Dacã filtrul cu rãspus la impuls h[] este cauzal atuci trasformata sa Fourier î timp discret este : 76

78 H( Ω) L h[]e jω iar trasformata sa Z este : H(z) L h[]z ude L reprezitã lugimea rãspusului la impuls petru filtrul cosiderat. De aceea, admiţâd cã h[] sut umere reale : şi : H H ( Ω ) ( Ω + ) L L h[]e ( ) jω h[]e jω Coform relaţiei (3.8) rezultã cã rãspusul î frecveţã al celuilalt filtru de sitezã va fi : G( Ω) e L jωd ( ) h[]e jω L ( ) h[]e jω( d) Petru ca acest rãspus î frecveţã sã corespudã uui filtru cauzal este ecesar ca petru orice cupris ître şi L- (iclusiv capetele) sã fie îdepliitã codiţia : d < şi deci îtârzierea d trebuie sã satisfacã codiţia : d > L (3.) Dacã se respectã aceastã codiţie atuci cele douã filtre de sitezã sut ambele cauzale. Rezultã cã valoarea miimã a lui d este : L d mi (3.3) 77

79 Petru a putea recostrui cu îtârziere miimã este deci ecesar ca sã se foloseascã filtre de sitezã de lugime imparã. Pe baza relaţiilor (3.) şi (3.) se costatã cã dacã este respectatã codiţia (3.3) atuci şi filtrele de recostrucţie sut cauzale. 3. Toate cele patru filtre (cu rãspusurile î frecveţã H(Ω), G(Ω), H r (Ω) şi G r (Ω)) au aceeaşi lugime. Cu modificãri miore schema poate fucţioa cu filtre de aalizã de o aumitã lugime şi cu filtre de sitezã de altã lugime [Coh. 9], [Rio. 93] Metode de proiectare a filtrelor CQF Se face otaţia : sau : F(z) H(z)H(z ) F( Ω) H( Ω)H ( Ω) H( Ω) (3.5) Codiţia (3.) devie : F( Ω) + F( Ω + ) (3.6) Se proiecteazã sistemul cu rãspus î frecveţã F(Ω) pe baza relaţiei (3.6). Apoi se deduce H(Ω) pe baza relaţiei (3.5) şi î fial se deduc G(Ω), H r (Ω) şi G r (Ω). Î [Smi.,ar. 86] sut prezetate mai multe exemple de rãspusuri î frecveţã H(Ω) obţiute pa baza metodei de proiectare descrise. Clasa acestor filtre poate fi restrâsã dacã se impu codiţii suplimetare. De exemplu se poate impue : - codiţia de fazã liiarã (simetria rãspusului la impuls), - codiţia de lugime miimã a rãspusului la impuls, - codiţia ca expresiile eşatioaelor rãspusului la impuls sã fie cât mai simple. Toate aceste codiţii sut foarte importate atuci câd se pue problema codãrii î mai multe subbezi deoarece favorizeazã stabilitatea umericã a algoritmilor care implemeteazã sistemele di figurile 3. şi 3.6. Aceastã stabilitate este asiguratã dacã filtrele îdepliesc o aumită codiţie de regularitate [Rio. 93], [Dau. 88], [Dau. 9]. Codiţia de regularitate este partea care leagă teoria sistemelor de codare subbadă de teoria udişoarelor. 78

80 3.5. Legãtura ditre sistemele de codare î subbezi şi teoria seriilor de udişoare Teoria seriilor de udişoare dezvoltatã î [Mey. 9], [Dau. 88], [Dau. 9], [Mal. 94] are ca scop costrucţia uor oi baze Riesz ale spaţiului L (R). Se poreşte de la defiiţia aalizei multirezoluţie. DEFINITIA. se umeşte aalizã multirezoluţie a spaţiului L (R), mulţimea de subspaţii Hilbert îchise {V m } m Z care satisfac proprietãţile : 79

81 i).... V m+ V m V m-... m Z U ii). V L ( R), V {} m Z m I m m Z m iii). f( x) V, f( x) V m iv). ϕ V, astfel îcât mulţimea { ϕ m, (x) } { -m/ ϕ( -m x - ) } Z sã formeze o bazã Riesz a lui V m petru orice m. Sut prezetate umeroase exemple de aalizã multirezoluţie î [Mey. 9], [Aa.,Had. 9], [Dau. 88], [Mal. 89], [Mal. 94]. Fucţia ϕ(x) se umeşte fucţie de scalare. Numeroase exemple de fucţii de scalare se gãsesc î lucrãrile deja citate. Coform [Mey. 9], [Mal. 94] orice bazã Riesz poate fi trasformatã îtr-o bazã ortoormalã. Se va cosidera î cotiuare cã mulţimea {ϕ(x-) } Z este o bazã ortoormalã a spaţiului V. TEOREMA. Î ipoteza cã {ϕ(x-)} Z este o bazã ortoormalã a spaţiului V, mulţimea {ϕ m, (x)} Z este o bazã ortoormalã a spaţiului V m. DEMONSTRATIE. Î primul râd se demostreazã cã fucţiile ϕ m, (x), Z sut ortoormale. Î acest scop se calculeazã produsul scalar : ϕ m, (x), ϕ m,l (x) m ϕ( m -m Fãcâd schimbarea de variabilã : se obţie : m ϕ( -m x - ) x ) ϕ ( m x u -m m ϕ ( x l)dx -m x l)dx ϕ (x), ϕ (x) ϕ(u ) ϕ (u l) du ϕ(u ) ϕ (u l)du m, m,l m rezultã cã : Tiâd seama de ortogoalitatea mulţimii {ϕ(x-)} Z ϕ (x), ϕ l (x) δ[ m, m, şi pri urmare mulţimea {ϕ m, (x)} Z este ortoormalã. l] 8

82 Se demostreazã completitudiea mulţimii {ϕ m, (x)} Z. Î acest scop se cosiderã o fucţie oarecare f(x) di V. Descompuerea acesteia î baza {ϕ(x-)} Z este : f(x) f(x), ϕ(x ) ϕ(x ) (3.7) Dar fucţia f( -m x) V m coform proprietãţii iii) a aalizei multirezoluţie. De aceea fãcâd î (3.6) schimbarea de variabilã : se obţie : x m u m m m m f( u) f( u), ϕ( u ) ϕ( u ) (3.8) Aceastã relaţie aratã cã orice elemet di V m (fiid de forma f( -m x) ude f(x) este î V ) se poate exprima ca o combiaţie liiarã de elemete ale mulţimii {ϕ m, (x)} Z. Deci aceastã mulţime este completã. Rezultã cã ea este o bazã ortoormalã a spaţiului V m. Descompuerea fucţiei ϕ,m (x) î baza {ϕ(x-)} Z este : ϕ (x) ϕ (x), ϕ(x ) ϕ(x ) (3.9),, Îsã : ϕ (x), ϕ(x ) ϕ( x ) ϕ (x ) dx, Cu schimbarea de variabilã - x- - µ se obţie : ϕ (x), ϕ(x - ) ϕ( µ ) ϕ ( µ + ) du, Se face otaţia : şi reveid la relaţia (3.9) avem : ϕ, (x), ϕ(x ) h [ ] (3.3) 8

83 ϕ, * ϕ (3.3) (x) h [ - ] [x - ] Î cotiuare se determiã proiecţiile uei fucţii f (x) di V pe spaţiile V,..., V M, adicã fucţiile f (x),..., f M (x) : f (x) f(x), ϕ, (x) ϕ (x) (3.3) Coeficieţii acestei dezvoltãri se oteazã cu s [] şi sut daţi de : s [] f(x), ϕ Folosid otaţia : se obţie :, (x) f(x),, h[ ] f(x), ϕ[x ] * h [ ] ϕ[x ] f(x), ϕ(x ) s[] (3.33) s[] s[] h[ ] (3.34) Coeficieţii acestei dezvoltãri se oteazã cu s [] şi sut daţi de : s [] f(x), ϕ, (x) f(x) ϕ, (x)dx (3.35) Dar, reveid la defiiţia, petru m, avem : ϕ, (x) ϕ( x ) ϕ, ( x ) ϕ( ( x) ) (3.36) Fãcâd î relaţia (3.3) schimbarea de variabilã : x u 8

84 se obţie : ϕ, ( sau, pe baza relaţiei (3.36) : u) h [ ] ϕ( u ) ϕ *, (u) h [ ] ϕ, (u) (3.37) Procedâd aalog se poate demostra cã petru orice m pozitiv este valabilã relaţia : ϕ m, (x) * h [ ] ϕ (x) (3.38) m, Îlocuid relaţia (3.37) î relaţia (3.35) se obţie : s [] f (x) * h [ ] ϕ h[ ] f (x), ϕ,, (x) (x) dx (3.39) şi astfel se poate scrie : s [] s[]h[ ] (3.4) Se poate demostra pri recureţã cã : s m [] sm []h[ ] (3.4) petru orice m pozitiv. Aalizâd membrul drept al relaţiei (3.4) se costatã cã : s []s [ p] h[p] (3.4) m m p Cu alte cuvite coeficieţii dezvoltãrilor proiecţiilor semalului f (t) pe douã subspaţii succesive V m- şi V m, adicã s m- [] şi s m [] se pot 83

85 determia pri filtrare cu filtrul cu rãspus la impuls h[] şi pri decimare. Fãcâd otaţia : s[] x[] rezultã cã secveţele s m [], m M pot fi obţiute folosid sistemul di figura 3.. Aceasta este legãtura ditre sistemele de codare î subbezi şi teoria seriilor de udişoare care reprezitã subiectul acestui paragraf. OSERVATII. O. Se calculeazã trasformata Fourier î cei doi membrii ai relaţiei (3.3) : I { ϕ (x)} ϕˆ ( ω) I ϕ( x ) ( ω) ϕ( x ),, Fãcâd schimbarea de variabilã - x - u se obţie : ω + { (x)} j (u ) ϕ( u) e du ϕ( u) I ϕ, e jω ϕ jωu jω ( u) e du e ϕˆ ( ω) e jωu e jω e jωx du dx Deci : jω ϕˆ, ( ω) e ϕˆ (ω) şi relaţia (3.3) devie : adicã : ˆ ϕ(ω) (h [ ]e - jω(-) ϕˆ ( ω) ϕˆ (ω) (h v [ ]e - jω(-) ϕˆ ( ω) (3.43) 84

86 ude am fãcut otaţia : h v [m] h[ m] Se face schimbarea de variabilã -p : v jω( ) v jωp h [ ]e p h [p]e (3.44) Î cotiuare, dacã facem otaţia : relaţia (3.43) devie : v jωp h [p]e m( ω) (3.45) p ϕ ˆ (ω) m( ω) ϕˆ ( ω) (3.46) Se observã cã m (ω) are semificaţia de trasformatã Fourier î timp discret a secveţei h v* [p], de variabilã ω. Î relaţia (3.46) se face schimbarea de variabilã ω u şi avem : u u ϕˆ (u) m ϕˆ Folosid relaţiile (3.46) şi (3.47) se obţie : ω ω ϕˆ (ω) m ( ω)m ϕˆ (3.47) (3.48) Procedâd iterativ se poate demostra cã : ω ϕˆ ( ω) m ϕˆ ( ) p (3.49) p Dar fucţia de scalare reprezitã de obicei rãspusul la impuls al uui filtru trece jos. De aceea : 85

87 şi relaţia (3.49) devie : ϕˆ (), m (), * h [p] p p ω ϕˆ ( ω) m p (3.5) Î coseciţã, î ipoteza cã produsul di membrul drept coverge, rezultã cã ultima relaţie poate fi folositã petru costrucţia uei fucţii de scalare. Covergeţa produsului di membrul drept este asiguratã de satisfacerea codiţiei de regularitate amititã aterior (paragraful 3..4.). Deci mecaismul de costrucţie al uei fucţii de scalare este urmãtorul : a). Se alege u rãspus la impuls de filtru trece jos h[]. b). Se costruieşte secveţa h v* []. c). Se calculeazã m (ω) pe baza relaţiei (3.45). d). Se calculeazã ϕ(ω) pe baza relaţiei (3.5). [el.,wa. 97],[Chu. 98],[Chu. 9()], [Gop.,ur. 9], [Ram.,Vet.,Her. 96]. O. Î [Dau. 88] se prezitã o modalitate graficã de costrucţie a fucţiei de scalare bazatã pe utilizarea sistemului di figura 3.. Pe baza acestui grafic se poate aprecia cu uşuriţã regularitatea fucţiei de scalare putâdu-se decide rapid dacã rãspusul la impuls h[] a fost bie ales. O3. Î [Rio. 93] se prezitã coceptul de aalizã multirezoluţie petru spaţiul Hilbert al semalelor î timp discret de eergie fiitã, l (Z). Alte geeralizãri sut prezetate î [Cha. 96], [Com.,Pes. 96], [Ha. 96], [Hla.,Koz. 9], [Isa.,Isa. 93], [Isa. 93], [Isa.,Isa. 97], [Jaw.,Swe. 95], [Kri.,ro. 96], [Leb.,Vet. 97], [Lem.,Mal. 93], [Mal. 9], [Mal. 9]. Î legãturã cu aaliza multirezoluţie itrodusã pri defiiţia se poate defii complemetul ortogoal al lui V m î V m-, W m : V V W m Şirul de subspaţii {W m } m Z astfel defiite reprezitã o descompuere ortogoalã a spaţiului Hilbert al semalelor de eergie fiitã L (R), [Dau. 89]. m m DEFINITIA : Şirul de subspaţii Hilbert îchise {W m } m Z este o descompuere ortogoalã a lui L (R) dacã sut îdepliite codiţiile : 86

88 i). m p > W m W p ii). V L ( R) U m Z m [Cri. 65]. Î legãturã cu descompuerile ortogoale ale lui L (R) se poate demostra urmãtoarea teoremã : TEOREMA. Î W existã o fucţie Ψ(x) astfel îcât : i) mulţimea {Ψ(x-)} Z sã fie o bazã ortoormalã a lui W ; ii) mulţimea {Ψ m, (x) -m/ Ψ( -m x-)} Z sã fie o bazã ortoormalã a lui W m petru orice m di Z. DEMONSTRATIE : V V W O bazã ortoormalã a lui V - este mulţimea {ϕ -, (x)} Z, coform teoremei. Aceasta trebuie sã se poatã obţie pri cocatearea bazei ortoormale {ϕ(x-)} Z a lui V cu o bazã ortoormalã di W. Oricare ar fi semalul f - (x) di V - el se poate exprima î forma : f (x) f(x) + e(x) ude f (x) reprezitã proiecţia ortogoalã a lui f - (x) pe V iar e (x) proiecţia lui f - (x) pe W (eroarea de aproximare a lui f - (x) pri f (x)). Î cotiuare se costruieşte fucţia Ψ(x). Petru m relaţia (3.4) devie :, (x) h [ ] ϕ, (3.5) ϕ (x) Deoarece fucţia Ψ(x) este î W (W V - ), şi ea trebuie sã se poatã exprima ca şi o combiaţie liiarã a elemetelor mulţimii {ϕ -, (x)} Z. Pri aalogie cu (3.5) sã cosiderãm cã :, (u) g [ ] ϕ, (3.5) ψ (u) ude g[] reprezitã rãspusul la impuls al filtrului cu rãspusul î frecveţã dat de relaţia (3.8). Se calculelazã produsul scalar : 87

89 ψ, (x), ψ,m (x) g [ ] g [ ] ϕ l, g[ l] ϕ (x),, (x), ϕ g [ ]g[ ] l g [ l] ϕ,l (x),l (x) (3.53) Luâd trasformata Fourier î timp discret iversã î relaţia (3.8) se obţie : g[] ( ) şi pri urmare relaţia (3.5) devie : d h[d ] (3.54) ψ, ψ (x) h [d + ]h[d m + ] (3.55),, Se cuoaşte cã : ( x), ϕ, m (x) δ[ m] (3.56) ϕ, şi calculâd membrul stâg al acestei relaţii, pe baza lui (3.5), se obţie : ϕ, (x), ϕ, m (x) h [ ]h[ m ] (3.57) sau, fãcâd schimbarea de variabilã p - - d, se poate scrie : p h [p + d]h[p m + d] δ[m ] (3.58) Folosid relaţiile (3.55) şi (3.58) rezultã cã : Ψ ( x), Ψ ( x ) δ [ m ] (3.59),, m S-a demostrat aşadar cã mulţimea {Ψ, (x) } Z este ortoormalã. OSERVATII : O. S-au demostrat î acelaşi timp relaţiile : 88

90 [ ] [ ] [ ] g g m δ m (3.6) [ ] [ ] [ ] h h m δ m (3.6) care sut utile petru descrierea comportãrii î domeiul timp a filtrelor cu rãspusurile î frecveţã H(Ω) şi G(Ω). Î cotiuare se verificã faptul cã fucţiile ψ, (x) costruite astfel u aparţi lui V. Petru aceasta se calculeazã produsul scalar : Ψ, (x), ϕ,m (x) g [ ] g [ ] l g [ ] ϕ l h[m l], h[m l] ϕ (x),, l g[ ] (x), ϕ h [m l] ϕ.l l (x).l (x) h [m l] ude am folosit relaţiile (3.5) şi (3.5). Se calculeazã suma di membrul drept petru schimbarea de variabilã m-p şi avem : g[ ]h [m ] h [ p] g[( m) + p] R [ ( m) ] p ude cu R h*g [q] s-a otat itercorelaţia secveţelor h * şi g. Dar petru R hg [q] putem scrie : R [q] H( Ω)G ( Ω ) hg h g R hg [q] H Ω G Ω H G + Ω + Ω + sau, ţiâd seama de relaţia (3.8) : şi astfel va rezulta : R g [q] h * (x), ϕ (x) m, Z Ψ,, m 89

91 Deci fucţiile ψ, (x) sut ortogoale pe V. S-a demostrat cã mulţimea {ψ, (x) } Z este ortoormalã î spaţiul W. O. Se determiã legãtura î domeiul frecveţã corespuzãtoare relaţiei (3.5). Î acest scop se calculeazã trasformatele Fourier ale celor doi membri ai relaţiei (3.5) : I Ψ(x )} g [ ] I ϕ(x ) { sau : jω ˆ e Ψ( ω) g [ ] I ϕ { (x ) } ude, fãcâd schimbarea de variabilã x-u, se obţie : I{ ϕ(x )} - şi reveid la relaţia aterioarã : - u+ jω ϕ(x )e jωx ω dx du j ϕ(u)e e ω ϕˆ e jω Ψˆ ( ω) g [ ]e ω - j ϕˆ ω de ude rezultã relaţia petru trasformata Fourier a lui ψ(x) : Cu otaţia : Ψ( ω) ω ˆ j ( ) g [ ]e ω ϕˆ ultima relaţie devie : ω m g v* [p]e ω j p (3.6) 9

92 ˆ ω ( ) m ˆ ω Ψ ω ϕ (3.63) care este o relaţie aalogã celei otate (3.47). Fucţia ψ(x) poartã umele de udişoarã mamã iar fucţiile ψ m, (x) se umesc udişoare. Tiâd seama de relaţia (3.49), (3.63) devie : ω ω Ψˆ ( ω) m m p (3.64) p Aceastã relaţie permite costrucţia uei udişoare mamã porid de la u aumit rãspus de tipul h[]. O. Se observã similitudiea ditre relaţiile (3.45) şi (3.6). Fucţia de scalare se costruieşte cu ajutorul filtrului cu rãspusul la impuls h[] iar udişoara mamã cu ajutorul filtrului cu rãspusul la impuls g[]. Completitudiea mulţimii {Ψ, (x)} Z este demostratã î [Mey. 9]. Se poate deci afirma cã mulţimea {Ψ, (x)} Z este o bazã ortoormalã a spaţiului W. Afirmaţia i) a teoremei este deci verificatã. Demostraţia petru verificarea afirmaţiei ii) este practic ideticã cu demostraţia teoremei. Î cotiuare se stabileşte legãtura ître proiecţiile uui semal f(x) di V pe subspaţii succesive V m-, W m. Î acest scop se calculeazã produsul scalar : Coform relaţiei (3.5) se poate scrie : Ψ şi astfel relaţia (3.65) va fi : Ψ, (x), ϕ(x l) (3.65), (x) g [ ] ϕ, Ψ, ( x, ) ϕ(x-l) g[ ] ϕ, ( x), ϕ, l( x) g[ l] Vom putea scrie astfel : Ψ, (x) g [ l] ϕ(x l (x) l) 9

93 şi : e (x) e (x), Ψ (x), Ψ, Aplicâd teorema proiecţiei (Riesz), obţiem : e (x), Ψ (x) f(x), Ψ (x) s [ ] ϕ ( x ), Ψ (x) (x),,, s() Ψ, (x), ϕ ( x ) s[ g ] [ ] Deci coeficieţii dezvoltãrii semalului e (x) î baza {ψ, (x)} Z sut : s [ ] g[ ] îsã petru aceşti coeficieţi am fãcut otaţia d [] î figura 3., deci : d [ ] s [ ] g[ ] Procedâd pri recureţã se poate demostra cã : dm[ ] sm[ ] g[ ] f( x), Ψ m, ( x) (3.66) Cu alte cuvite coeficieţii dezvoltãrilor proiecţiilor semalului f(x) di V pe douã subspaţii succesive V m- şi W m, s m- [] şi d m [] se pot determia pri filtrare cu u filtru cu rãspusul la impuls g[] şi pri decimare. Se costatã cã petru m,m, secveţele d m [] pot fi obţiute folosid sistemul di figura 3.. OSERVATII : O. Î lucrarea sa [Dau. 88] Igrid Daubechies determiã toate rãspusurile la impuls de filtre RIF, h[] şi g[] care satisfac o aumitã codiţie de regularitate. Alte codiţii de regularitate sut prezetate î [Rio. 93()], [Do.,Joh. 9], [Fro. 9], [Kov.,Vet. 93], [Mal. 9]. Aceste rãspusuri la impuls sut tabelate şi sut clasificate dupã lugimea lor. De exemplu filtrul DAU este uul cu lugimea rãspusului la impuls egalã cu 4. Dezavatajul major al acestor filtre este cã u au caracteristici de fazã liiare. Cu cât lugimea filtrelor creşte, cu atât erorile de rotujire ale coeficieţilor sut mai îsemate. 9

94 O. Dacã se abadoeazã ipoteza de ortoormalitate a mulţimii {ϕ(x-) } Z, cosiderâdu-se cã aceasta este doar o bazã Riesz, atuci teoria prezetatã î acest paragraf poate fi geeralizatã. Aceastã geeralizare a fost fãcutã î lucrãrile [Coh.,Dau.,Fea. 9] respectiv [Coh. 9] obţiâduse clasa udişoarelor biortogoale cu suport compact. Filtrele corespuzãtoare sut tot de tip FIR dar de aceastã datã filtrele de recostrucţie au lugime diferitã de filtrele de sitezã. Ele pot fi filtre cu fazã liiarã. Numeroase exemple de rãspusuri la impuls de filtre di acestã clasã sut prezetate î lucrãrile citate. O3. Avatajul abordãrii bazate pe utilizarea udişoarelor ortoormale asupra celei bazate pe udişoare biortogoale este prezetat î cotiuare. Folosid otaţiile utilizate pâã aici, putem scrie : M f(x) fm (x) + e m m (x) Astfel : f M (x),f f M M (x),f (x) + f f f (x) M M M (x), (x) f (x) + M M m M (x) + m e m e m + Re f M m (x) + f M e m (x) + M (x), (x),f M m (x), M m e e M m M m m (x) + (x),f e m M (x) + M m (x) e M m (x) + + m (x) e M m M m e e (x) m (x) (x), M m e m (x) Î aceastã relaţie, deoarece avem : f (x) e (x), m M M m va rezulta şi : f (x) e (x), m M M M m m iar î ceea ce priveşte orma lui f (x) putem scrie: 93

95 M M f ( x) f ( x) + e ( x) apoi, folosid proprietãţi ale produsului scalar : M M M e () x e (), x e () x e (), x e () x l l l M M e ( x), e ( x) e ( x) M M l l Reveid, se poate spue cã am demostrat cã : M l M M f ( x) f ( x) + e ( x) (3.67) Pe baza relaţiei lui Parseval se poate scrie relaţia î timp discret echivaletã relaţiei (3.67). Aceasta este : M M s [ ] s [ ] + d [ ] Relaţiile (3.67) şi (3.68) u sut valabile î cazul udişoarelor biortogoale. De aceea se poate afirma cã este de preferat sã se utilizeze udişoarele ortogoale atuci câd sut ecesare aproximãri de eroare medie pãtraticã miimã. O4. Teoria expusã poate fi geeralizatã şi petru codoare î subbezi cu structurã arborescetã simetricã. Aceastã geeralizare este fãcutã î [Coi.,Wic. 93]. O5. Teoria expusã poate fi geeralizatã şi petru codoare î subbezi care utilizeazã decimatoare şi iterpolatoare cu costate M diferite de [Coh. 9] [DeS.,Iu.,Aub. 94]. O6. O altã direcţie de dezvoltare a codoarelor î subbezi este cea bazatã pe utilizarea filtrelor de aalizã şi sitezã RII, [Vet. 9], sau a celor variabile î timp [ar.,sod.,nay. 94]. O7. Relaţia (3.3) reprezită o teoremă de eşatioare geeralizată [Duf.,Sch. 5], [Jer. 87], [Lim.,Opp. 88], [Mal. 89()], [Naf.,Isa.,Isa. 93] Trasformarea udişoarã discretã TUD (3.68) 94

96 Î paragraful aterior s-a stabilit legãtura ditre seriile de udişoare şi tehica codãrii î subbezi. Cu ajutorul sistemului di figura 3. poate fi itrodusã oţiuea de trasformare udişoarã discretã. Acest sistem trasformã secveţa x[] î secveţele s M [] şi d [] d [],...,d M []. Fie y[] secveţa obţiutã pri cocatearea acestor secveţe : y[] {s M[],d [],...,d M[] } Operaţia : x[] y[] poartã umele de trasformare udişoarã discretã ( TUD ). Operaţia : y[] x[] care poate fi implemetatã de sistemul di figura 3.6 poartã umele de trasformare udişoarã discretã iversã (TUDI). Se poate demostra cã TUD este liiarã şi ortogoalã. Î cotiuare se prezitã pe u exemplu algoritmul de calcul al TUD [Mat.,Rad.,Sta. 96], [Nay.,ar.,Smi. 9()], [Pap.,Hla.,ou. 93], [Rio,Duh. 9], [She. 9], [Sim.,Rie.,Sch.,Nas. 97] [Sad.,Nay,ar. 94], [Sri.,Jam. 95], [Swe.,Pie. 93], [Swe. 94] [Swe. 94()] [Swe. 96]. Fie X vectorul secveţei de itrare : s[] 8 s[ 7] XS M s[] Se cosiderã cã lugimea filtrelor h[] şi g[] este 4. Primul pas al algoritmului este descris de relaţia : YM X ude matricea M este datã de relaţia : h[] h[] h[] h[3] h[3] h[] h[] h[] M h[] h[3] h[] h[] Se costatã cã se obţie : h[] h[3] h[] h[] h[] h[] h[] h[3] h[3] h[] h[] h[] h[] h[] h[] h[3] h[3] h[] h[] h[] 95

97 T Y [s[4] d[4]s[3] d[3]s[] d[]s[] d[] ] Pri permutãri rezultã : ( ) T Y [s [4] s [ 3] s [] s [] d [4] d [ 3 ] d [] d []] care este u vector obţiut pri cocatearea secveţelor s [] şi d []. Separâd aceste secveţe se obţi vectorii : ( ) ( ) T X [s [4] s [ 3 ] s [] s []] T X [d [4] d [ 3 ] d [] d []] Fie M matricea obţiutã pri restrâgerea matricii M la sfertul sãu di stâga sus : h[] h[] h[] h[3] h[3] h[] h[] h[] M h[] h[] h[3] h[] Cel de-al doilea pas al algoritmului este descris de relaţia : Y MX şi rezultatul este : T Y [s [ ] d [ ] s [ ] d []] Î mod aalog rezultã pri permutãri : ( ) T Y [s [ ] s [ ] d [ ]d []] ude dacã separãm secveţele s [] şi d [] obţiem : ( ) T X [s [ ] s [ ]] şi ( ) T X [d [ ]d []] Acum, cu ajutorul vectorilor X, X şi X se costruieşte vectorul Y : T Y T T T ( X ) ( X ) ( X ) Aceastã relaţie reprezitã rezultatul aplicãrii trasformãrii udişoarã discrete vectorului X [Pre.,Teu.,Vet.,Fla. 95]. Aalizâd umãrul de operaţii efectuate se costatã cã petru primul pas al algoritmului au fost ecesare 3 de îmulţiri şi cã petru al doilea pas al algoritmului au fost ecesare 6 îmulţiri, î total 68. Dacã vectorul X ar fi avut N elemete atuci s-ar fi efectuat u umãr de îmulţiri de ordiul 4N [Rio.,Vet. 9]. Dacã s-ar fi folosit filtre de lugime L atuci acest umãr ar fi fost LN. Petru N suficiet de mare se costatã cã umãrul de îmulţiri ecesare este iferior lui N log N, adicã trasformarea udişoarã discretã poate fi efectuatã mai rapid decât FFT a aceleiaşi secveţe. Acesta este motivul 96

98 petru care aceastã trasformare se mai umeşte şi trasformarea udişoarã rapidã. Petru calculul trasformãrii iverse trebuie aplicate operaţiile descrise aterior î ordie iversã. ieîţeles î locul matricilor M, M,... trebuiesc folosite matricile M T, M T, etc. Ca orice trasformare, care se aplicã uei secveţe de duratã fiitã, şi acestã trasformare prezită erori la limitele itervalului de timp cosiderat. Petru primele eşatioae ale secveţei x[], filtrele h[] şi g[] îcã u sut î regim permaet iar, la termiarea secveţei x[], filtrele folosite u sut îcã relaxate [e.,teo. 93], [or. 96], [Cod. 94], [Dau 93]. Petru dimiuarea acestor erori, sut prezetate diferite metode î [Rio. 93], [Coh. 9], [Abr.,Fla. 94]. Dacã se doreşte realizarea uei TUD pe blocuri atuci, petru dimiuarea erorilor provocate de problemele de la margiile blocurilor, se poate aplica ua di metodele deumite "overlap ad add" sau "overlap ad save" [Opp.,Sch. 86]. Trasformarea TUD este caracterizatã de câţiva parametri. Uul ditre aceştia este expresia rãspusului la impuls h[]. Coform [Asz.,Isa. 94] acesta trebuie corelat cu forma semalului x[]. Î cazul î care semalul x[] variazã rapid este preferabil sã se utilizeze u filtru cu rãspus la impuls mai scurt. Existã aplicaţii î care este ecesar ca rãspusul la impuls h[] sã se modifice pe parcursul calculului trasformatei TUD [Coi.,Wic. 93], [Dau. 9], [Do.,Joh. 9], [Gop.,ur.95], [Her.,Kov.,Vet. 95], [Isa. 94], [Kov.,Vet. 95], [Lem. 9], [Nag.,Ie. 96], [Pho.,Kim.,Vai.,As. 95], [Tol.,Hol.,Kal. 95], [Vai. 93()], [Wic. 96], [Yao.,Cha. 94], [Zha.,Des.,Pe. 96]. U alt parametru al trasformãrii este costata M (umitã rezoluţie). Î exemplul dat petru descrierea algoritmului de calcul al trasformãrii s-a folosit petru M valoarea sa maximã posibilã. Nu este îsã ecesar ca lugimea secveţei s M [] di structura vectorului Y sã fie miimã (adicã ). Existã aplicaţii î care lugimea secveţei s M [] di structura vectorului Y este mai mare [Coi., Wic.'93]. Î sfârşit, u ultim parametru al TUD este lugimea secveţei de itrare, N. Aceasta trebuie sã fie de obicei o putere a lui. Petru o alegere coveabilã este posibil sã avem evoie de o trasformare pe blocuri [Asz. 96]. Pe lâgă utilizarea sa la îmbuătăţirea RSZ, trasformarea udişoară discretă mai are şi alte aplicaţii. Câteva ditre acestea sut prezetate î: [Asz. 97], [Cal., Dau.,Swe., Yeo. 96], [Che., Do. 94], [Cho., Wil. 89], [Coh., Dau. 93], [Do. 9 ()], [Do. 93()], [Do., Joh. 93], [Do. 93 (3)], [Do. 94], [Do., Joh. 94 ()] şi [Do. 95]. CAPITOLUL 4. ÎMUNÃTÃŢIREA RAPORTULUI SEMNAL PE ZGOMOT PRIN UTILIZAREA TRANSFORMÃRII UNDIŞOARÃ DISCRETÃ 97

99 Folosirea TUD î îmbuãtãţirea RSZ este o tehicã foarte moderã. Î ultimii ai s-au imagiat diverse aplicaţii î aceastã direcţie. Pricipalele referiţe bibliografice petru utilizarea acestei tehici sut [Coi.,Wic. 93], [Mou. 94], [Cam.,Mas. 94], [Do.,Joh. 9], [Do.,Joh. 9()], [Do. 93()], [Joh. 93]. Î cotiuare se presupue cã x(t) x u (t) + (t), ude xu(t) este compoeta utilã a semalului de prelucrat iar (t) este compoeta sa perturbatoare. O primã problemã este efectul aplicãrii TUD semalului x(t). Petru îceput acesta va fi cosiderat u semal aleator şi ergodic. 4.. Aaliza statisticã a coeficieţilor TUD ai uui semal aleator, staţioar şi ergodic Pri proiecţie ortogoalã a semalului (t) pe spaţiile W m, m M se obţi semale de eergie fiitã. Coeficieţii d m [] sut, coform relaţiei (3.66) : d [] (t), (t) m Ψ m, Produsele scalare au ses petru udişoare cu suport compact. Se poate observa cã aceşti coeficieţi reprezitã u semal aleator î timp discret. Se calculeazã autocorelaţia statisticã a acestui semal : R d m [ l] E{dm[] dm[l]} E{ (t), Ψm, (t) (t), Ψml, (t) } E (t) Ψm, (t)dt (u) Ψml, (u)du E (t ) ( u ) Ψm, (t) Ψml, (u)dtdu R Coform teoremei lui Fubii operatorul de mediere comutã cu cel de itegrare şi obţiem : { } Rd [ l ] E ( t ) ( u ) Ψm(t) ml(u)dtdu m, Ψ, R Î itegrat se recuoaşte ca factor autocorelaţia statisticã a semalului aleator (t). Se poate deci scrie : Rd [ l ] R [ t u ] m (t) ml(u)dtdu m Ψ, Ψ, R 98

100 ude, avâd î vedere cã : R[ t u ] Ψml, (u)du R ( t ) Ψ ml, (u) R rezultã : ( ) Rd [ l ] R ( t ) Ψml(t) m(t)d m, Ψ, t R Aplicâd relaţia lui Parseval se obţie : R d m [ l] ( Rˆ ( ω) Ψˆ ( ω) ) Ψˆ ( ω ω m, m, )d R Îsã : Ψˆ m, ( ω) m e m jω l Ψˆ ( m ω) şi astfel ultima relaţie devie : R d m [ l] R Rˆ m(l) m ω ( ω) Ψˆ m j ( ω) e dω Vom face schimbarea de variabilã m ω u şi reveim : m ( ) Rd [ l ] ^ ^ ju l R u ( u ) ( ) e d m Ψ u R sau : R d m [ l] p (p+ ) Rˆ (p) m ( u) ˆ ju(l) Ψ(u) e du O ouã schimbare de variabilã : Ω u - p e coduce la : R d m [ l] p Rˆ m ( Ω + ) Ψˆ j( Ω+ p)(l) ( p ) ( Ω + p) e dω 99

101 sau : R d m [ l] p Rˆ m ( Ω + ) Ψˆ j( Ω+ p)(l) ( p ) ( Ω + p) e dω Avâd î vedere cã membrul drept reprezitã o trasformare Fourier î timp discret iversã se poate scrie : m ( ( Ω + p) ) d [ l] Rˆ ˆ Ψ( Ω + p) p R m (4.) Deci desitatea spectralã de putere a semalului aleator d m [] depide de desitatea spectralã de putere a semalului (t) pri relaţia (4.). Deoarece, coform acestei relaţii, autocorelaţia secveţei d m [] depide doar de difereţa mometelor (-l) putem afirma cã şi semalul d m [] este staţioar. OSERVATII : O. Dacã semalul (t) este u zgomot alb atuci R (ω), ω R şi relaţia (4.) devie : d [ l] Ψˆ ( Ω + p) p R m (4.3) Î cotiuare se calculeazã suma di membrul drept al acestei relaţii. Î acest scop se poreşte de la proprietatea de ortogoalitate a mulţimii {Ψ(x-) } Z : Ψ(x), Ψ(x ) δ[] Pe baza relaţiei lui Parseval se obţie : - jω Ψˆ ( ω),e Ψˆ ( ω ) δ[] adicã : Ψˆ ( ω) e jω dω δ[]

102 sau : p (p+ ) (p) Ψˆ ( ω) e jω dω δ[] Dacã se face schimbarea de variabilã ω-pu se obţie : ju p Ψˆ (u + p) e du δ[] (4.4) Membrul stâg al ultimei relaţii reprezitã cel de-al -lea coeficiet al descompuerii î serie Fourier a uei fucţii periodice de perioadã. Relaţia (4.4.) aratã cã aceastã fucţie are doar u sigur coeficiet Fourier eul şi aume acela cu idicele (adicã compoeta cotiuã). Rezultã cã fucţia cosideratã este costatã. Avâd î vedere cã petru relaţia (4.4) devie : p Ψˆ (u + p) du rezultã cã valoarea acestei costate este. S-a demostrat î acest mod cã : p Ψˆ (u + p) (4.5) Î coseciţã relaţia (4.3) devie : Rd m [ l] Astfel dacã semalul (t) este u zgomot alb atuci şi semalul d m [] este u zgomot alb î timp discret. Deci la fiecare iteraţie a TUD (idiferet de m) se obţie tot u zgomot alb. Rezultã cã TUD u coloreazã eşatioaele semalului x[] (de la itrarea sa) deşi sut fãcute umeroase filtrãri ale acestuia. O. O formulã aaloagã relaţiei (4.) poate fi demostratã şi î cazul semalelor s m [], m M. Aceasta este :

103 R m m ( ( Ω + p) ) ϕˆ ( Ω + p s [ l] ) p Rˆ (4.6) Demostraţia este ideticã cu cea petru relaţia (4.). Acest rezultat, petru m, este prezetat şi î [Coh. 9]. O3. Dacã î relaţiile (4.) şi (4.6) se trece la limitã petru m, atuci se costatã cã autocorelaţia semalului î timp discret (s[m] respectiv d[m]) tide la : L Rˆ p ( ) αˆ ( Ω + p) ude α poate fi ϕ sau Ψ. Avâd î vedere cã şi petru ϕ se poate demostra o relaţie ideticã cu (4.5), putem scrie : L Rˆ Cu alte cuvite, idiferet de tipul zgomotului (t), coeficieţii s m [] şi d m [] tid asimptotic spre zgomot alb î timp discret. Aceastã proprietate este fudametalã deoarece rezultã cã sistemul de implemetare al TUD poate fi privit ca u filtru de albire. De aceea se poate utiliza oricare ditre metodele de creştere a RSZ î cazul perturbaţiilor de tip zgomot alb, dacã se lucreazã î domeiul trasformatei. O4. S-a demostrat cã : lim m ( ) { []d [l]} δ[ l] E d m Dar dacã se oteazã cu c[] coeficieţii trasformãrii Karhue - Loeve a semalului (t), atuci: m E{c[]c[l] } δ [ l] Astfel se poate afirma cã idiferet de udişoara cu suport compact folositã, TUD tide asimptotic la trasformarea Karhue - Loeve. Acest rezultat justificã utilizarea TUD î compresii de date, [Dau.,Swe. 95], [De.,Jaw.,Pet.,Swe. 93], [Do. 9], [Gre. 96], [Dum. 96], [Fro. 95], [Gag.,Li. 94], [Isa. 95].

104 Î cotiuare se calculeazã mediile şi dispersiile semalelor aleatoare s m [m] şi d m [], m M. Astfel petru semalul d m [] : E{d []} E{ (t), Ψ (t) } E{ (t) Ψ (t)dt} m m, sau, aplicâd di ou teorema lui Fubii : - m, E{d []} E{(t)} Ψ (t)dt M Ψ (t)dt m - m, m, - ude cu M s-a otat media semalului aleator (t). Ultima relaţie se mai poate scrie : Dar : şi, reveid : Ψˆ E{d m, m ( ω) []} M m e jω m Ψ ˆ m m, () Ψˆ ( m ω) E{d []} M ˆ m Ψ () (4.7) Aplicâd îsã relaţia (3.63) di capitolul precedet : Ψ ˆ () m () ˆ () m () ϕ o formã echivaletã a relaţiei (3.9) este : ude : Utilizâd şi relaţiile (3.45) şi (3.6) : H( Ω) + G( Ω) (4.8) h H( Ω) si g G( Ω ) 3

105 v h [] m( Ω) v si g [] m( Ω) vom putea scrie : Relaţia (4.8) se va scrie, petru Ω : m Puâd ω î relaţia (3.46) : şi pe baza relaţiei (4.9) vom obţie : m ( Ω) H ( Ω) m ( Ω)G ( Ω) ( ) + m ( ) (4.9) m() m ( ) ; g [p] (4.) p şi deci : ˆΨ () Î fial, relaţia (4.7) se scrie : E{d m []}, m M (4.) S-a demostrat cã toate semalele aleatoare d m [] sut de medie ulã idiferet de m. Acest lucru era de aşteptat avâd î vedere cã aceşti coeficieţi sut obţiuţi pri folosirea filtrelor cu rãspusurile la impuls g[] (care sut filtre trece sus). Î cotiuare se calculeazã dispersiile acestor semale. Avâd î vedere cã media lor este ulã, se obţie : sau, pe baza relaţiei (4.) : m E{d []} R [] d m 4

106 E{d m []} R Rˆ ( m u) Ψˆ (u) du (4.) Aceasta este relaţia care exprimã dispersiile semalelor d m [] pe baza desitãţii spectrale de putere a semalului aleator (t). OSERVATII : O. Dispersiile semalelor aleatoare d m [] pot fi miimizate pri alegerea judicioasã a udişoarei mamã Ψ(t) (î acord cu desitatea spectralã de putere R (ω)). O. Dacã (t) este u zgomot alb de medie ulã şi dispersie σ atuci : şi : E{d m []} σ p (p +) (p-) Rˆ Ψˆ (u) ( ω ) σ σ du p Ψˆ (u + p) du σ Deci î cazul î care (t) este u zgomot alb de medie ulã şi dispersie σ atuci semalele aleatoare d m [] sut tot de tip zgomot alb î timp discret de medie ulã şi dispersie σ. La aceeaşi cocluzie se ajuge şi î [Ama.,Vuz. 94], [Ama.,Vuz. 97], [Ama.,Vuz. 97()], [Ama.,Vuz. 97()], [Ama.,Vuz. 97(3)]. O3. Petru m relaţia (4.) devie : E{d m []} Rˆ () (4.3) Aceastã relaţie descrie comportarea asimptoticã a dispersiilor semalelor aleatoare d m []. Î cotiuare se determiã mometele de ordiul I şi II ale semalelor aleatoare s m [] : E{ s m[] } E { (t), ϕm, (t) } E (t) ϕm, (t)dt - adicã : 5

107 E{s []} E{(t)} ϕ (t)dt M ϕ (t)dt m - m, m, - ude cu M s-a otat media semalului aleator (t). Ultima relaţie se mai poate pue sub forma : Deoarece se poate scrie : vom avea : ϕˆ E{s m, m ( ω) []} M m e ϕ ˆ jω m, m () ϕˆ ( m m m[]} M ˆ () M m ω) E{s ϕ (4.4) Deci media semalelor s m [] creşte cu creşterea lui m. Dispersiile acestor semale sut : E{s m Petru autocorelaţie avem : []} R s m [] E {s m []} R m [] s R Rˆ ( m u) ϕˆ (u) du şi obţiem : E{s m []} R Rˆ ( m u) ϕˆ (u) du m M (4.5) Dacã semalul este de medie ulã atuci : E{s m []} R Rˆ ( m u) ϕˆ (u) du (4.6) 6

108 OSERVATII : O. Dispersiile semalelor aleatoare s m [] pot fi miimizate pri alegerea judicioasã a fucţiei de scalare ϕ(t) (î acord cu desitatea spectralã de putere R (ω)). O. Dacã (t) este u zgomot alb de medie ulã şi dispersie σ atuci şi : Rˆ ( ω ) σ E{s m []} σ p (p+) (p-) ϕˆ (u) du σ p ϕˆ (u + p) du σ Deci î cazul î care (t) este u zgomot alb de medie ulã şi dispersie σ atuci semalele aleatoare s m [] sut tot de tip zgomot alb î timp discret de medie ulã şi dispersie σ. O3. Petru m relaţia (4.6) devie : E{s m []} Rˆ Aceastã relaţie descrie comportarea asimptoticã a dispersiilor semalelor aleatoare s m []. O4. Codiţia : E{(t)} previe divergeţa şirurilor E{s m []} şi E{s m []} câd m. O5. Dacã (t) este u semal aleator şi staţioar de medie ulã atuci secveţele s m [] şi d m [] coverg asimptotic (petru m ) la semale aleatoare de tip zgomot alb de medie ulã şi dispersie R (). Aceastã observaţie justificã ideea de extrapolare a tehicilor de îmbuãtãţire a RSZ î domeiul TUD, petru semale perturbate aditiv cu zgomot alb, prezetate î [Isa. 95()]. O aaliză asemăătoare este prezetată î [Pas.,Gay. 95] () 7

109 4.. Filtrarea adaptivã eliiarã î domeiul trasformatei Ua ditre tehicile de filtrare adaptivã eliiarã î domeiul trasformatei a fost itrodusã de Dooho [Do. 9], [Do. 93] sub umele de "wavelet shriage". La baza acestei metode stã trasformarea eliiarã : d m ( [i] s) [i] sg{d [i]} d (4.7) m ude s reprezitã u prag proporţioal cu dispersia zgomotului (t). Se observã cã este vorba despre o filtrare adaptivã, parametrul s depizâd de semalul (t), pri itermediul dispersiei acestuia. Se costatã cã operatorul defiit de relaţia (4.7) este uul eliiar. Avâd î vedere cã: m x[] x [] + [] u şi cã TUD este liiarã, rezultã cã : d m [] d m [] + d m [] x u Figura 4.. Trasformarea fucţioalã descrisã de relaţia (4.7). 8

110 Aplicarea relaţiei (4.6) coeficieţilor d m [] are ca efect scãderea valorii acestora. De aici vie şi deumirea metodei "wavelet shriage". Di efericire sut afectaţi şi coeficieţii d mxu []. Coform referiţelor bibliografice deja citate, metoda propusã este eficietã elimiâd aproape complet zgomotul dar distorsioâd şi semalul util. De aceea aceastã metodã se aplicã doar î cazul semalelor x(t) cu raport semal pe zgomot mare (atuci câd s este eglijabil î comparaţie cu d mxu []). Î cotiuare se aalizeazã metoda propusã. Relaţia (4.7) descrie schimbarea de variabilã aleatoare: y sgx ( x -s) Aceastã trasformare fucţioalã este reprezetatã grafic î figura 4.. Notăm cu X variabila aleatoare care descrie comportarea statisticã a semalului d m [i] la mometul fixat i. Cosiderâd cã semalele d m [i] sut de tip zgomot alb (presupuere justificatã î paragraful aterior) rezultã cã variabila aleatoare X este distribuitã gaussia (avâd media şi dispersia σ ). -s s Figura 4.. Desitãţile de probabilitate ale variabilelor aleatoare X şi Y. Aplicâd variabilei aleatoare X trasformarea fucţioalã descrisã î figura 4. se obţie variabila aleatoare Y. Se determiã p Y (y) î fucţie de desitatea de probabilitate a variabilei aleatoare X, p X (x). Coform figurii 4. rezultã : 9

111 p (y) Y p (x ) dy dx X X + p ( x ) dy dx ude : şi : x (, ); y x dy dx + s x, y (-,s ) y s ; x (, ); y x s x y + s; dy dx,y ( s,,) De aceea se poate scrie : p (y) p (y s )σ(s y) + p (y + s) σ (y + s) Y X X Î figura 4. sut prezetate cele douã desitãţi de probabilitate p X (x) şi p Y (y). Se costatã faptul cã fucţia p Y (y) este parã. Media acestei variabile aleatoare este : m y p (y) dy Y - fiid itegrala pe u iterval simetric a uei fucţii impare. Î cotiuare se determiã valoarea dispersiei variabilei aleatoare Y, pe baza dispersiei variabilei aleatoare X, σ. σ Y Y - y [ p (y s) σ(s y) + p (y + s) σ(y + s) ] s X y p σ X Y - y p Y (y s) dy + (y) dy X s y p X (y + s) dy dy (4.8)

112 Se calculeazã cele douã itegrale : s X - I y p (y s) dy Se face schimbarea de variabilã y-s u şi avem : X - - I (u+s) p (u) du u p (u) du + + s u p (u) du + s p (u) du - X - X X (4.9) Dar : - u p X (u) du σ si - p X (u) du F X () ude cu F X (x) s-a otat fucţia de repartiţie a variabilei aleatoare X. Deci relaţia (4.9) devie : I + s u p X(u) du + s σ - (4.) Urmeazã calculul lui : I s y p (y + s) dy Se face schimbarea de variabilã y + s u şi avem : I (us) p (u) du u p (u) du X X s u p (u) du + s p (u) du X σ s u p (u) du + s X X X

113 Deoarece fucţia p X (x) este parã, cu schimbarea de variabilã u - v va rezulta : X X - - şi astfel I devie : u p (u) du v p ( v) dv v p (v) dv I σ +s u p (u) du + s X (4.) - Pe baza relaţiilor (4. ) şi (4. ) petru relaţia (4.8) avem : X σ Y I + I σ + 4s up (u) du + s - X (4.) Î cotiuare se calculeazã itegrala di membrul drept al relaţiei (4.) : I 3 σ σ De aceea se obţie : - - u p X de (u) du u σ σy σ 4s σ σ - σ e σ + s u e u σ u σ du σ (4.3) loc relaţia : Trebuie determiatã mulţimea valorilor lui s petru care are σ σ (4.4) Y < σ Y σ σ σ 4σ s s 4sσ /

114 Figura 4.3. Mulţimea valorilor lui s petru care metoda "wavelet shriage" este eficietã. Petru aceste valori, pri aplicarea trasformãrii (4.7) se obţie u ou semal aleator (descris de variabila aleatoare Y la mometul i) a cãrui putere este iferioarã puterii semalului d m [] şi deci metoda propusã este eficietã. Codiţiile (4.3) şi (4.4) coduc la relaţia : s 4s σ < Soluţiile acestei iegalitãţi sut localizate ca î figura 4.3. S-a demostrat î acest fel cã valoarea miimã a deviaţiei stadard a variabilei aleatoare Y este : σ Y mi σ,6 σ (4.5) şi cã aceastã valoare este obţiutã petru u prag s de valoare,797 σ. Î coseciţã, aplicâd trasformarea di relaţia (4.7) semalelor aleatoare d m [i] se obţi oi semale aleatoare de putere (dispersie) iferioarã celor iiţiale. De aceea se poate afirma cã metoda propusã îlãturã o parte di zgomotul coţiut î semalele d m [i]. De aceea î referiţele bibliografice deja citate este utilizat termeul "deoisig". Coform relaţiei (4.5), cea mai mare reducere posibilã a puterii de zgomot, obteabilã aplicâd metoda propusã este de : σ Y mi σ (,6 ) σ σ,36 De aceea, î cel mai fericit caz, se poate vorbi de o îmbuãtãţire a RSZ de,77 ori. Astfel, metoda propusã u poate coduce la rezultate remarcabile decât î cazul uor semale care au deja RSZ destul de mare. Referitor la distorsioarea semalului d m [] se poate afirma cã acele eşatioae care au valori mari (mult mai mari decât s) u sut afectate de metoda propusã dar cã acele eşatioae care au valori apropiate de s sut puteric afectate de metoda propusã. 3

115 Avâd î vedere cã alegerea pragului s depide de dispersia zgomotului (t), σ, rezultã cã "wavelet shriage" este o metodã de filtrare eliiarã adaptivã î domeiul TUD. Este clar cã aplicarea relaţiei (4.7) presupue u volum de calcul mult iferior celui solicitat de algoritmul LMS [Isa. 94()], [Isa. 94()] sau de filtrarea Wieer multicaal [Naf. 95], [ov.,mar.,qua. 94], [Che.,Li. 94], [Shy. 9]. O altã metodã de filtrare eliiarã î domeiul TUD este propusã de Mouli î [Mou. 94]. Aceastã metodã se bazeazã pe o detecţie de prag. Trasformarea care stã la baza acestei metode este: dm[], i dm[] i > s d m[i], i rest Raţioâd ca mai sus se cosiderã variabila aleatoare X distribuitã gaussia cu media ulã şi dispersia σ. Aceasta este trasformatã cu ajutorul relaţiei : (4.6) y x, x > s, x s (4.7) î variabila aleatoare Y. Se face caracterizarea statisticã a acestei variabile aleatoare. Trasformarea (4.7) este reprezetatã grafic î figura 4.4. Se observã cã y este o fucţie strict mootoã de x pe itervalele (-, -s) şi (s, ). Di pãcate aceastã fucţie u este iversabilã, de aceea eputâdu-se determia p Y (y) pe baza lui p X (x), folosid relaţia : p (y) Y p (x ) X dy dx Î cotiuare se determiã p Y (y) pe baza fucţiei de repartiţie a variabilei aleatoare Y, F Y (y): F Y (y) P( Y y) y s -s 4 s x

116 Figura 4.4. Reprezetarea graficã a trasformãrii descrise de relaţia (4.7). Pe itervalul (-, -s) variabilele X şi Y sut idetice. De aceea : F (y) P( Y y) F (y), y (, s) Y Pe itervalul [- s, ) variabila aleatoare Y este idetic ulã şi deci F (y) P{ Y s } F ( s), y [ s,) Y Pe itervalul [, s) variabila aleatoare Y este idetic ulã şi se poate deci scrie : F (y) P( Y s) F (s), y [,s) Y Pe itervalul [s, ) variabilele X şi Y sut idetice. De aceea : F (y) P( X y) F (y), y [s, ) Y Î coseciţã, fucţia de repartiţie a variabilei aleatoare Y are graficul di figura 4.5. X X X X F Y ( y) F x ( y) F x ( s) -s 5 / Fx ( s) s y

117 Figura 4.5. Graficul fucţiei de repartiţie a variabilei aleatoare Y. Îtrucât desitatea de probabilitate se poate obţie pe baza derivãrii fucţiei de repartiţie, operâd î sesul distribuţiilor, petru p Y (y) se obţie graficul di figura 4.6. p Y ( y) F x ( y) [ F ( s) F ( s) ] δ( y) x x y -s s Figura 4.6. Desitatea de probabilitate a variabilei aleatoare Y. Deci : p Y(y) p X(y) σ( y s) + (F x(s) - F x( s) ) δ(y) + + p (y) σ(y s) (4.8) X Se determiã media m Y a variabilei aleatoare Y : m Y yp Y dy Deoarece : 6

118 y P Y (y) yp X (y) σ ( y s) + y p X (y) σ(y s) vom avea : s m Y ypydy yp X( y) dy + yp X ( y) dy (4.9) relaţia (4.9) deveid : s Y - X s m y p (y) dy y p (y) dy deoarece cele douã itegrale sut ule fiid itegrale de fucţii impare pe itervale simetrice. Î cotiuare se calculeazã dispersia variabilei aleatoare Y. σ sau : Y s y p y Y p Y (y) dy (y) dy + s y s p y Y p Y (y) dy + (y) dy s y s s p y Y s p Y X (y) (y) dy σy σ y p X(y) dy dy + s s y s p y Y p Y (y) dy Calculãm ultima itegralã : y s s s y p X(y) dy y e dy yd e σ σ σ σ s y y s ye e dy y σ σ (y) dy s y s σ se e dy σ σ σ σ 7

119 s y s s σ σ σ se + σ σ σ + σ ( ) e dy se FX (s) FX () σ s σ + se σ σ FX () s Reveid avem : σ s Y σ σ σ σ X se F s + () Î figura 4.7 se prezitã depedeţa de s a difereţei relaţia : σ s Y σ Y σ datã de σ σ σ σ X se F s () (4.3) σ Y σ s σ Figura 4.7. Depedeţa de s a difereţei σy σ. Aalizâd figura 4.7 şi relaţia (4.3) se costatã faptul cã, oricare ar fi s pozitiv, σ Y σ <, ceea ce dovedeşte cã metoda propusã realizeazã o îmbuãtãţire a RSZ, idiferet de pragul folosit. Se observã de asemeea cã : σ Y s σ relaţie care cofirmã justeţea calculului fãcut, coform figurilor 4.4, 4.5 şi 4.6. Se mai costatã cã : σy σ σ s σ Y Cu alte cuvite, descreşte cu creşterea lui s ître σ (petru s) şi (petru s ). Deci pe baza acestei metode zgomotul dm[i] ar putea fi redus oricât de mult. Di pãcate o datã cu creşterea lui s sut elimiate şi eşatioaele utile di semalele d m [i], metoda producâd distorsiui ale 8

120 pãrţii utile a semalului de prelucrat. Petru valori mici ale lui s aceste distorsiui sut esemificative, cea mai buã dovadã fiid aceea cã aceastã metodã este ua ditre cele care se folosesc petru compresia semalelor î domeiul TUD [Isa.,Asz. 94], [Asz., Isa. 94], [Nar.,Lou.,Les.,Dar. 96], [Nas.,Sap.,Saw. 97], [Nay.,ar.,Smi. 9], [Ode.,ur. 96]. Este util de determiat pragul s î scopul maximizãrii RSZ de la ieşirile celor douã filtre propuse. Notâd cu x[i] eşatioaele de semal util de la itrarea filtrului eliiar şi cu y[i] eşatioaele de semal util de la ieşire se costatã cã : E i N i x i ; E e N i y i ; RSZ Dar, petru metoda "wavelet shriage" : sau, cu otaţia : E e N i x N i s x i S i i N i E σ x N i i + s ; RSZ e E σ vom avea : Ee Ei s SN + s De aceea, î cazul acestei metode : RSZ E i s S + N s e 4 σ s + s σ Se costatã cã petru maximizarea acestei fucţioale dupã parametrul s este ecesarã cuoaşterea valorilor E i şi S N-, adicã este ecesarã cuoaşterea expresiei aalitice a lui x[]. Rezultã cã petru cazul geeral valoarea optimã a pragului s poate fi fixatã adaptiv, avâd ca şi criteriu de adaptare maximizarea lui RSZ. Cocluzia este valabilã şi petru cea de-a doua metodã de filtrare eliiarã propusã. Î coseciţã este de dorit ca eşatioaele d m [i] sã fie tratate diferit î fucţie de valoarea lor. Cele mici ar fi util sã fie prelucrate cu metoda bazatã pe detecţia de prag iar cele mari sã fie prelucrate pe baza metodei "wavelet shriage". De aceea î [Isa.,Asz.,Isa. 95] se propue trasformarea : d [i] m, petru d m[ i] < s sg { dm[ i] }( dm[ i] s), petru dm[ i] s e Y (4.3) 9

121 Î aceeaşi lucrare se prezitã rezultate experimetale obţiute pe baza aplicãrii metodei de îmbuãtãţire a RSZ pri filtrare eliiarã î domeiul TUD, descrisã de relaţia (4.3). Se costatã cã metoda este valabilã petru o mare diversitate de semale utile, cã zgomotul este aproape complet îlãturat şi cã semalele utile u sut prea distorsioate. Prezetarea detaliată a rezultatelor experimetale privid aplicarea metodei descrisă de relaţia (4.3) la diverse semale este subiectul capitolului următor., petru d m[ i] < s d m[i] sg { dm[ i] }( dm[ i] s), petru dm[ i] s 4.3. Aaliza oii metode de filtrare î domeiul trasformatei Fie X variabila aleatoare de la itrare. Folosid estimatorul propus se obţie variabila aleatoare Y. Aceastã trasformare este prezetatã î figura 4.8. (4.3) y -s s x Figura 4.8. Trasformarea propusã. Legãtura ditre fucţiile de repartiţie ale celor douã variabile aleatoare este, aşa cum se aratã î [Isa.,Asz.,Isa. 95] : F Y ( y) F ( y s) σ( y) + F ( y + s) σ( y) X Derivâd aceastã relaţie se obţie legãtura ditre desitãţile de probabilitate corespuzãtoare : p Y ( y) p ( y s) σ( y) + ( F ( s) F ( s) ) δ( y) + p ( y + s) σ( y) X X Di acest motiv valoarea medie a variabilei aleatoare Y are valoarea: X X X

122 m Y ( y) yp dy Y Î cotiuare se calculeazã dispersia acestei variabile aleatoare. σ Y y p X ( y s) dy + y p ( y + s) X dy Dar: s s u y p X p X ( y s) dy ( u + s) p ( u) s ( u) du + s up ( u) du + s F ( s) X X X şi: y p X ( ) ( y + s) dy u p ( u) du sup ( u) du + s F ( s) s X s X X Deci: σ Y s u p X ( ) ( u) du 4sup ( u) du + s F ( s) + F ( s) s X X X Presupuâd cã X este o variabilã aleatoare gaussiaã, avâd desitatea de probabilitate p X (x), primul terme al membrului drept al ultimei relaţii are valoarea : şi: s u p X σ ( ) X σ ( u) du s e X + σ F () s s up Î acest caz expresia dispersiei devie : X s X ( u) du σ p ( s) X X X

123 σ Y s ( F () s ) sσ p ( s) + σ F ( s) X X X X ( ) Î figura 4.9 este prezetatã fucţia de repartiţie a variabilei aleatoare Y iar î figura 4. desitatea de probabilitate a acestei variabile aleatoare. Î figura 4. este prezetatã depedeţa dispersiei variabilei aleatoare Y de valoarea pragului s. X Figura 4.9. Fucţia de repartiţie a variabilei aleatoare Y. Figura 4.. Desitatea de probabilitate a variabilei aleatoare Y.

124 Figura 4.. Depedeţa dispersiei variabilei aleatoare Y de valoarea pragului s. Aalizâd ultima figurã se costatã cã petru orice valoare a pragului s dispersia semalului de la ieşire este iferioarã dispersiei semalului de la itrare. Cu alte cuvite, oricare ar fi puterea zgomotului care perturbã aditiv semalul util, de prelucrat, la ieşire se obţie u semal util perturbat aditiv cu u zgomot cu o putere mai micã. Evidet reducerea puterii zgomotului este cu atât mai importatã cu cât se foloseşte u prag de valoare mai mare. Petru o valoare suficiet de mare a pragului zgomotul perturbator poate fi practic rejectat. Se costatã cã u existã o valoare optimã a pragului (care sã coducã la miimizarea puterii zgomotului de la ieşire) aşa ca î cazul filtrului de tip wavelet shriage (prezetat la îceputul acestui paragraf). Mai degrabã, acest al treilea filtru eliiar (care se mai umeşte şi filtru de tipul soft thresholdig ) are o comportare mai apropiatã de cea a filtrului propus de Mouli (care mai poartã şi umele de filtru de tipul hard thresholdig ), permiţâd prelucrarea uor semale cu raport semal pe zgomot mult mai mic decât î cazul filtrului de tip wavelet shriage. Di efericire odatã cu creşterea valorii pragului şi î cazul acestui al treilea filtru cresc şi distorsiuile semalului util de la ieşire. De aceea, î cotiuare, petru aprecierea ultimului estimator propus se aalizeazã îmbuãtãţirea raportului semal pe zgomot pe care o poate realiza acest filtru eliiar. Aceastã aalizã este realizatã î coformitate cu [Isa. 97]. Semalul de la itrarea filtrului de tipul soft thresholdig este de forma: x x z [ ] [ ] [ ] u + ude z x [] este u zgomot staţioar cu puterea. Dacã semalele xu[ ] şi zx[ ] sut ecorelate atuci se poate scrie : P P + P x x x u x σ x Raportul semal pe zgomot la itrare este egal cu : 3

125 RSZ i P σ xu Semalul de la ieşirea filtrului este de forma : y y z iar RSZ la ieşire va fi : X [ ] [ ] [ ] RSZ u + e Îmbuãtãţirea raportului semal pe zgomot realizatã de filtrul de tip soft thresholdig este : χ RSZ RSZ e i Fãcâd ipoteza cã şi semalul util şi zgomotul de la ieşire sut decorelate, ultima relaţie devie : χ P P y x σ σ Puterile semalelor de la itrare şi de la ieşire, P x şi P y, pot fi calculate deoarece aceste semale sut accesibile mãsurãrii. Puterea zgomotului de la itrare poate fi mãsuratã î abseţa semalului util de itrare iar puterea zgomotului de la ieşire poate fi calculatã folosid formula dedusã mai sus petru orice valoare a pragului s. Deci îmbuãtãţirea raportului semal pe zgomot χ este o fucţioalã de valoarea pragului s. Existã posibilitatea ca aceastã fucţioalã sã aibã o valoare miimã petru o aumitã valoare a pragului s. Relaţia itrareieşire petru filtrul de tip soft-thresholdig poate fi pusã î forma : P σ P σ y yu Y yu Y Y X σ σ σ P X Y X xu [ ] s, x[ ] [ ] + s, x[ ], x[ ] x > s, y [ ] x < s, < s Puterea semalului de la ieşirea acestui filtru este : P Y N (y N [ ] ) ( x[ ] s) + ( x[ ] + s) N S-a otat cu N umãrul de eşatioae a cãror valoare este superioarã lui s şi cu N umãrul de eşatioae di semalul de ieşire a cãror valoare este mai micã decât -s. Expresia puterii de la ieşire devie : 4

126 P y N x N [ ] + x [ ] N N + s x[ ] x[ ] + ( N + N ) s Dacã valoarea pragului s este suficiet de micã se pot face aproximãrile : şi : N x N [ ] + x [ ] Px P x + σ X N x N [ ] x[ ] x[ ] + N otâd aceastã ultimã expresie cu α. Se poate scrie, de asemeea : N + N βn cu < β < Iatã de ce puterea semalului de la ieşire poate fi calculatã cu formula : P P + sα + βns y x Icluzâd şi distorsiuea semalului util de la ieşire î categoria perturbaţiilor, raportul semal pe zgomot la ieşire poate fi calculat cu formula : Px P u x u RSZe P y Px βns + αs + σ u Valoarea maximã a acestui raport se obţie atuci câd umitorul sãu este miim. Aceastã situaţie apare atuci câd pragul ia valoarea optimã s datã de relaţia : α s βn u X Dacã sut satisfãcute ipotezele fãcute, atuci existã o valoare optimã a pragului petru maximizarea raportului semal pe zgomot la ieşire, î cazul filtrului de tip soft-thresholdig. Di efericire aceastã valoare optimã este dificil de calculat îaitea efectuãrii filtrãrii deoarece costatele α, β, şi N au valori care depid de forma de udã a semalului util de la itrare precum şi de tipul de zgomot de la itrare. De aceea a fost coceput u algoritm adaptiv petru alegerea pragului care maximizeazã raportul semal pe zgomot de la ieşirea filtrului de tip soft-thresholdig. Acest algoritm reprezitã subiectul articolului [Isa. 97]. 5

127 Etapele sale sut urmãtoarele:. Se calculeazã trasformata udişoarã discretã a semalului achiziţioat.. Se presupue cuoscutã puterea semalului util de la itrarea filtrului de tip soft thresholdig. Aceastã ipotezã este î acord cu formularea problemei îmbuãtãţirii raportului semal pe zgomot î telecomuicaţii (se cuoaşte puterea emiţãtorului dar u se cuoaşte puterea zgomotului care se suprapue peste semalul util î caalul de telecomuicaţii). 3. Se calculeazã raportul semal pe zgomot la itrare. 4. Se efectueazã filtrarea cu filtrul de tip soft-thresholdig utilizâd o valoare micã petru prag. 5. Se calculeazã raportul semal pe zgomot la ieşire. Se determiã îmbuãtãţirea raportului semal pe zgomot realizatã. Se memoreazã semalul de ieşire obţiut precum şi valoarea îmbuãtãţirii raportului semal pe zgomot. 6. Se repetã etapa aterioarã folosid aceeaşi valoare (micã) petru prag. La itrarea filtrului este coectat de aceastã datã semalul obţiut la ieşire î iteraţia aterioarã. Se memoreazã oul semal de ieşire precum şi oua valoare obţiutã petru îmbuãtãţirea raportului semal pe zgomot. Aceasta se calculeazã pe baza valorii raportului semal pe zgomot de la itrare calculatã î etapa. 7. Se repetã etapa aterioarã atât timp cât valoarea raportului semal pe zgomot creşte de la iteraţie la iteraţie. Algoritmul se îcheie de îdatã ce valoarea raportului semal pe zgomot obţiutã î etapa curetã este mai micã decât valoarea aceluiaşi parametru obţiutã î etapa aterioarã. Semalul de ieşire va fi cel memorat la sfârşitul etapei aterioare. Valoarea raportului semal pe zgomot va fi de asemeea cea îregistratã la sfârşitul etapei aterioare. 8. Se calculeazã trasformata udişoarã iversã a semalului obţiut la sfârşitul etapei aterioare. Î acest mod se obţie semalul rezultat al prelucrãrii dedicate îmbuãtãţirii raportului semal pe zgomot. Metoda propusã poate fi îcã optimizatã, pri selectarea acelei trasformãri udişoarã discretã care se potriveşte cel mai bie cu semalul util de prelucrat. Uele cosiderete pe care se poate baza o astfel de optimizare sut prezetate î [Isa. 97] şi î [or.,isa. 97]. Alte lucrări pe această temă care merită să fie amitite sut: [At.,Gre.,Nas. 95], [uc.,do. 95], [uc.,do. 96], [Chi., Kol.,Cul. 96], [Coh.,d Al. 95], [Coh.,Kov. 96], [Coi.,Sai. 96], [Gao. 97], [Gao. 97()], [Gao. 97()], [Hil., Ogd. 97], [Kol. 96], [La.,Guo.,Ode.,ur., Wel. 95], [Nas. 94] şi [Pes., Ade., Pes., Hel. 96]. Alte filtre eliiare iteresate petru prelucrarea î domeiul TUD sut prezetate î [Pit.,Ve. 86()] şi î [Pit.,Ve. 86()]. 6

128 CAPITOLUL 5. REZULTATE EXPERIMENTALE Acest capitol este dedicat simulărilor metodei adaptive de îmbuătăţire a raportului semal pe zgomot propusă la sfârşitul capitolului aterior. Aceste simulări au fost realizate cu ajutorul uor programe scrise î C dedicate acestui scop. 5.. Programe de simulare coţiâd metoda adaptivă petru îmbuătăţirea raportului semal pe zgomot Fucţiile acestor programe sut:. Geerarea uor semale determiiste, care sut semalele utile de la itrarea sistemului de îmbuătăţire a raportului semal pe zgomot.. Geerarea uor semale aleatoare, adică a zgomotelor care perturbă aditiv semalele utile la itrarea î sistem. 3. Îsumarea celor două tipuri de semale geerate aterior. 4. Aplicarea algoritmului adaptiv descris la sfârşitul capitolului aterior. Se afişează raportul semal pe zgomot la itrare, raportul semal pe zgomot la ieşire obţiut după ultima iteraţie şi îmbuătăţirea raportului semal pe zgomot obţiută. Petru fucţioarea corectă a acestui program este ecesară specificarea udişoarei mamă pe baza căreia se doreşte calculul trasformărilor udişoară discretă directă şi iversă. Există şi posibilitatea evideţierii distorsiuilor pe care le-a suferit semalul util î procesul de prelucrare. 5. Idetificarea deviaţiilor diferiţilor parametri ai semalului util apărute î procesul de prelucrare. Î cotiuare se va prezeta fiecare ditre aceste fucţii.. Semalele utile care pot fi geerate cu programele care costituie subiectul acestui capitol sut prezetate î figurile 5., 5., 5.3, 5.4 şi

129 Figura 5.. Semal siusoidal. Figura 5.. Semal modulat î frecveţã. Figura 5.3. Tre de impulsuri dreptughiulare. Figura 5.4. Tre de impulsuri gaussiee. Figura 5.5. Tre de impulsuri de tip sius cardial. Parametrii tuturor acestor semale pot fi modificaţi pri program coform tabelului. Tipul semalului siusoidal modulat î frecveţã Dreptughiular gaussia sius cardial Parametrii care pot fi modificaţi amplitudie, frecveţã amplitudie, frecveţã purtãtoare, frecveţã modulatoare. Modulaţia de frecveţã este liiarã. amplitudie, frecveţã, factor de umplere, polaritate poziţie, amplitudie, formã poziţie, amplitudie, formã Tabelul. Parametrii semalelor utile care pot fi modificaţi folosid programul de geerare propus. 9

130 Fiecare ditre aceste semale este caracteristic petru o aumitã aplicaţie di domeiul telecomuicaţiilor. De exemplu semalul siusoidal poate fi asociat cu modulaţia de fazã, semalul modulat î frecveţã apare frecvet î radiolocaţie, semalul de tip tre de impulsuri dreptughiulare apare î comuicaţiile de date î bada de bazã, semalul de tip tre de impulsuri gaussiee apare î comuicaţiile de date fãrã iterfereţã itersimbol iar semalul de tip tre de impulsuri de tip sius cardial apare î comuicaţiile de date cu iterfereţã itersimbol. Se poate afirma de asemeea cã fiecare di semalele di tabelul descrie câte o clasã de semale destul de largã. Aceste clase se difereţiazã ître ele pri regularitatea elemetelor lor, pri umãrul lor de parametrii, etc.. Câte o realizare a semalelor aleatoare care pot fi geerate cu ajutorul acestui program este prezetatã î figurile 5.6, 5.7, 5.8 şi 5.9. Figura 5.6. Semal aleator de tip zgomot alb gaussia. Figura 5.7. Semal aleator de tip zgomot uiform. Figura 5.8. Semal aleator de tip impuls. Figura 5.9. Semal aleator de tip salve de impulsuri. 3

131 Parametrii tuturor acestor semale pot fi modificaţi pri program coform tabelului. Tipul semalului Zgomot alb Zgomot uiform Tre de impulsuri Salve de impulsuri Parametrii care pot fi modificaţi Dispersia. Valoarea medie este ulã. Dispersia Dispersia. Numãrul de impulsuri. Dispersia. Numãrul de salve. Lugimea uei salve. Tabelul. Parametrii semalelor aleatoare perturbatoare care pot fi modificaţi folosid programul de geerare propus. Aceste semale aleatoare modeleazã majoritatea tipurilor de zgomot care pot apãrea îtr-u caal de telecomuicaţii. Modelul de tip zgomot alb este cel mai des utilizat. Prezeţa zgomotului alb este ieretã fucţioãrii oricãrui dispozitiv electroic. Zgomotele de tip tre de impulsuri respectiv salve de impulsuri apar de asemeea frecvet î practicã [Tsi.,Ni. 97]. Este vorba mai ales de situaţiile î care semalul util este perturbat îcã de la sursã (de exemplu o covorbire telefoicã este perturbatã de zgomotul de fod datorat trecerii uui camio pri veciãtatea cabiei telefoice). 3. Î figurile 5., 5., 5. şi 5.3 sut prezetate exemple de perturbare aditivã a semalelor utile di figurile 5., 5., 5.3 şi 5.4 cu semalele perturbatoare di figurile 5.6, 5.7, 5.8 şi 5.9. Figura 5.. Semal siusoidal perturbat aditiv de zgomot alb. 3

132 Figura 5.. Semal modulat î frecveţã perturbat aditiv cu zgomot uiform. Figura 5.. Tre de impulsuri dreptughiulare perturbat aditiv cu zgomot de tip tre de impulsuri. 3

133 Figura 5.3. Tre de impulsuri gaussiee perturbat aditiv de zgomot î salve de impulsuri. 4. Î figurile 5.4, 5.5, 5.6 şi 5.7 se prezitã rezulatele aplicãrii metodei adaptive de îmbuãtãţire a raportului semal pe zgomot, propusã î aceastã lucrare, petru semalele di figurile 5., 5., 5. şi 5.3. Figura 5.4. Rezultatul aplicãrii metodei asupra semalului di figura

134 Figura 5.5. Rezultatul aplicãrii metodei adaptive de îmbuãtãţire a raportului semal pe zgomot semalului di figura 5.. Figura 5.6. Semalul obţiut î urma aplicãrii metodei adaptive de îmbuãtãţire a raportului semal pe zgomot semalului di figura

135 Figura 5.7. Semalul obţiut î urma aplicãrii metodei adaptive de îmbuãtãţire a raportului semal pe zgomot semalului di figura 5.3. Aalizâd ultimele patru figuri se costatã cã deşi semalele de prelucrat (prezetate î figurile 5., 5., 5., 5.3) aveau rapoarte semal pe zgomot destul de mici (î special semalele di figurile 5. şi 5.3) totuşi zgomotul a fost complet elimiat. De aceea metoda de îmbuãtãţire a raportului semal pe zgomot bazatã pe trasformarea udişoarã discretã directã, filtrare cu filtru de tipul soft-thresholdig şi trasformare udişoarã discretã iversã este îtâlitã î literatura sub deumirea de-oisig. Pe baza figurii 5.4 se poate afirma cã semalul siusoidal a fost recuperat di zgomot aproape perfect. Aalizâd figura 5.5 se costatã cã şi semalul modulat î frecveţã a fost bie curãţat de zgomot dar cã metoda folositã a itrodus o distorsiue de tipul modulaţie parazitã de amplitudie. Totuşi trebuie remarcat cã poziţia trecerilor pri zero ale semalului util u a fost afectatã aproape de loc de prelucrarea efectuatã. Pe baza figurii 5.6 se poate afirma cã metoda de de-oisig utilizatã u afecteazã prea mult froturile semalului dreptughiular. Aceastã comportare este remarcabilã petru o metodã de creştere a raportului semal pe zgomot care dã rezultate bue şi î cazul semalelor etede (cum este de exemplu semalul siusoidal prezetat aterior). Se poate remarca şi î acest caz distorsiuea de amplitudie de tipul modulaţie de amplitudie parazitã care afecteazã palierele semalului dreptughiular. Aceastã modulaţie parazitã de amplitudie poate fi mult dimiuatã dacã se foloseşte o trasformare udişoarã discretã directã ivariatã la traslaţii [Coi.,Do. 95]. 35

136 Aalizâd figura 5.7 se costatã cã metoda propusã fucţioeazã şi î cazul uor semale perturbate ites de zgomot. Deşi (aşa cum se vede î figura 5.3) cel de-al doilea impuls gaussia este practic complet acoperit de zgomot totuşi acesta este corect recuperat. De asemeea trebuie remarcatã distorsiuea a ivelului de zero care se maifestã î partea di stâga a figurii 5.7. Petru o apreciere obiectivã a distorsiuilor de amplitudie itroduse de metoda adaptivã de de-oisig care costituie subiectul cetral al acestei lucrãri se prezitã î cotiuare î figurile 5.8, 5.9 şi 5. erorile de recostrucţie (difereţele de amplitudie ditre semalele utile di structura semalelor de la itrare şi semalele obţiute la ieşire) corespuzãtoare simulãrilor cu rezultatele di figurile 5.4, 5.5 şi 5.6. Se costatã valabilitatea cocluziilor prezetate mai sus. Petru semalul de itrare di figura 5., avâd semalul recostituit di figura 5.4, se costatã cã valoarea maximã a distorsiuii apare la trecerea pri zero a semalului siusoidal şi cã ea reprezitã 5% di amplitudiea semalului util de la itrare (figura 5.8). Figura 5.8. Distorsiuea de amplitudie a semalului siusoidal î urma extragerii sale di zgomot alb. 36

137 Figura 5.9. Distorsiuea de amplitudie a semalului modulat î frecveţã î urma extragerii sale di zgomot uiform. Petru eroarea de amplitudie prezetatã î figura 5.9, deşi valoarea maximã a distorsiuii reprezitã 4% di amplitudiea semalului util de la itrare totuşi şi î acest caz îmbuãtãţirea raportului semal pe zgomot este acceptabilã. Figura 5.. Distorsiuea de amplitudie a semalului dreptughiular î urma extragerii sale di zgomot î impulsuri. 37

138 Pe baza graficului di figura 5. se costatã prezeţa distorsiuii de tipul modulaţie parazitã de amplitudie pe palierele semalului dreptughiular. De asemeea se remarcã bua localizare a froturilor semalului prelucrat î structura semalului rezultat. 5. Au fost cocepute câteva programe petru a se putea aprecia mãsura î care diferiţi parametrii ai semalelor utile de la itrare au fost afectaţi de metoda de îmbuãtãţire a raportului semal pe zgomot propusã. Chiar dacã la semalele recostituite sut prezete erori (ierete la orice recostrucţie), î uele aplicaţii u este ecesarã cuoaşterea cu precizie a ivelului semalului. Cosider cã metoda este eficace petru : - iterpretarea corectã a ivelelor logice petru semalele îtâlite î trasmisii de date, - determiarea trecerilor pri zero ale semalului util de tip siusoidal sau modulat î frecveţã. A. Astfel s-a avut î vedere faptul cã la o trasmisie umericã va cota iterpretarea corectã a biţilor de iformaţie utilã. Simulâd u trasfer de date umerice, avem de fapt o succesiue de ivele de tesiue corespuzãtoare ivelelor logice. O alteraţã de logic şi logic este prezetatã î figura 5.. Perturbaţiile care pot apare pe u caal de comuicaţie sut de obicei de tip aditiv, semalul edorit putâd fi de tip zgomot alb (figura 5.6), semal aleator cu distribuţie uiformã (figura 5.7), semal aleator de tip impuls (figura 5.8) sau chiar semal aleator de tip salve de impulsuri (figura 5.9) [Tsi.,Ni. 98] Figura 5.. Semalul util folosit î simulare. Aceste perturbaţii, dacã u sut îlãturate sau cel puţi dimiuate, pot da aştere la iterpretãri eroate ale ivelelor logice care poartã iformaţia utilã. Metoda propusã este eficietã petru dimiuarea cosiderabilã a perturbaţiilor de orice tip. Exemple cu realizãri ale semalelor aleatoare 38

139 perturbatoare suprapuse aditiv peste semalul util precum şi semalele rezultate î urma prelucrãrii sut prezetate î figura 5., semalul util rãmââd cel di figura 5.. a). Semal util cu zgomot cu distributie ormalã cu u RSZ i şi semalul recostituit. b). Semal util cu zgomot alb (distribuţie gaussiaã) cu u RSZ i şi semalul recostituit. 39

140 c). Semal util cu zgomot î impuls şi semalul recostituit. d). Semal util cu zgomot î salve de impulsuri şi semalul recostituit. Figura 5.. a). - d). Diferite perturbaţii cu semale aleatoare ale semalului util prezetat î figura 5. precum şi semalele rezultate î urma prelucrãrii. 4

141 Petru o trasmisie de date iterpretarea ivelelor de tesiue, la recepţie, se face eşatioâd liia de date. Î practicã semalul recepţioat se eşatioeazã î fucţie de poziţia bitului de start, fiid permisã o abatere de ± % faţã de aceastã poziţie. Î cotiuare se aalizeazã efectul utilizãrii metodei de de-oisig la trasmisia de date. Se presupue cã sistemul de de-oisig este coectat la itrarea blocului de decizie di structura receptorului. Am realizat u program scris î limbaj C care determiã puctele de eşatioare astfel : - se determiã mijlocul primei semiperioade a semalului util, - se determiã perioada semalului util, - porid de la puctul corespuzãtor mijlocului semiperioadei semalului util, cu o frevveţã rezultatã di valoarea perioadei semalului util, se determia puctele de eşatioare, - î puctele astfel determiate se verificã valoarea semalului recostituit, - se comparã aceste valori ale semalului recostituit cu valorile pe care le are semalul util î puctele respective, - se stabileşte u prag de decizie, petru logic şi uul petru logic, - dacã valoarea semalului recostituit, îtr-u puct de eşatioare, este icorectã, se îregistreazã îtr-u fişier de tip text atât valoarea eroatã cât şi cumularea erorilor rezultate petru.. de verificãri. S-au geerat 5. de realizãri idepedete suprapuse aditiv peste acelaşi semal util prezetat î figura 5., pe fiecare realizare fãcâdu-se 4 de determiãri. Observâd realizãrile prezetate î figura 5., a), b), c) şi d) se poate observa cã metoda propusã îlãturã perturbaţiile, rezultatul fiid u semal determiist. Acesta este o recostrucţie a semalului util, la care îsã froturile au fost afectate. Petru iterpretarea ivelelor logice u sut îsã probleme. Cosiderâd ca scop iterpretarea corectã a lui logic şi logic, se observã cã erorile cele mai frecvete care pot apare datoritã modulaţiei parazite î amplitudie sut î cazul perturbaţiilor de tip zgomot alb (figura 5. b)). Di acest motiv verificãrile care s-au fãcut au fost petru acest tip de perturbaţie. Parametrul care a fost luat î cosiderare a fost RSZ. Astfel s-au obţiut rezultate experimetale care pu î evideţã erorile petru.. de verificãri, geerâd semale de itrare cu RSZ, RSZ3 şi RSZ 4. Erorile care au rezultat sut îregistrate î fişiere, cocluziile fiid urmãtoarele : - la RSZ i avem 379 erori/.. verificãri, adicã o valoare a ratei erorilor sub 4-3 ; - la RSZ i 3 avem 43 erori/.. verificãri, adicã o valoare a ratei erorilor sub 5-4 ; - la RSZ i 4 avem 3 erori/.. verificãri, adicã o valoare a ratei erorilor de 3-5. La aplicarea metodei petru u RSZ i 5, dupã.. verificãri, u s-a mai îregistrat ici o eroare. 4

142 Comparaţia cu erorile determiate î [Li.,Sim. 73], petru diverse metode clasice de trasmitere a datelor, este prezetatã î tabelul 3: RSZ Eroare maximã, prezetatã î literaturã Eroarea metodei Propuse RSZ, RSZ RSZ 4, Tabelul 3. Comparaţie ître erorile obţiute pri aplicarea metodei propuse cu cele prezetate î literaturã. Î cazul î care u s-ar prelucra semalul perturbat, petru u RSZ, rezultã o medie a ratei erorilor avâd valoarea de Î cazul semalelor modulate î frecveţã am cosirerat drept semal util u cirp prezetat î figura 5.3. Am luat î cosiderare cele 4 tipuri de zgomote eumerate î tabelul, iar figura 5.4 prezitã semalul util afectat de perturbaţii, î fiecare caz apãrâd şi forma semalului recostituit rezultat di aplicarea metodei propuse. Figura 5.3. Semal modulat î frecveţã utilizat drept semal util. Î cotiuare se prezitã modul î care poate fi estimatã frecveţa istataee a semalului util pe baza valorilor eşatioaelor semalului perturbat aditiv de zgomot. Frecveţa istataee se estimeazã cu ajutorul metodei trecerilor pri zero [oa.,rei. 9]. După cum se observă di figura 5.4 trecerile pri zero ale semalului util sut puteric afectate de zgomotul perturbator. De aceea estimarea frecveţei istataee a semalului modulat î frecveţă, pe baza metodei amitite, petru semalele prezetate î figura 5.4, coduce la erori iacceptabil de mari. 4

143 a). Semal cirp cu zgomot gaussia avâd RSZ i,7. b). Semal cirp cu zgomot uiform, avâd RSZ i,37. 43

144 c). Semal cirp cu suprapueri de tip impuls. d). Cirp cu salve de impulsuri. Figura 5.4. a). - d).. Diferite perturbaţii cu semale aleatoare ale semalului util prezetat î figura 5.3 precum şi semalele rezultate î urma prelucrãrii. 44

145 Dupã prelucrarea semalelor afectate de zgomot cu metoda de deoisig propusă î această lucrare, am determiat erorile care apar la determiarea perioadei istataee a fiecãrui semal î parte. U program dedicat acestui scop determiã : - perioada istataee (figura 5.5) a semalului util, eafectat de perturbaţii, di figura 5.3; - calculeazã perioada istataee a semalului prelucrat cu metoda propusã, petru fiecare realizare, umãrul total de realizãri fiid de 6; perioada istataee petru o realizare este prezetatã î figura 5.6; - calculeazã variaţia î timp a erorii relative de estimare a perioadei istataee petru fiecare caz di cele 6 realizãri; u exemplu petru o realizare este prezetat î figura 5.7; - calculeazã variaţia î timp a mediei aritmetice a erorilor relative de estimare a perioadei istataee (figura 5.8). Figura 5.5. Variaţia temporalã a perioadei istataee a semalului de test prezetat î figura Ua ditre estimatele variaţiei î timp a perioadei corespuzãtoare semalului recostituit cu ajutorul metodei de de-oisig propusă. 45

146 Figura 5.7. Variaţia î timp a erorii itermediare de estimare petru semalul recostituit cu ajutorul metodei de de-oisig propusă. Figura 5.8. Variaţia î timp a erorii medii de estimare a perioadei istataee bazatã pe metoda de de-oisig propusă. Media a fost efectuatã pe 6 realizãri ale semalului recostituit. Aceastã eroare medie s-a calculat ca şi medie aritmeticã a erorilor itermediare de determiare a perioadei istataee a 6 realizãri ale semalului recostituit. Eroarea maximã rezultatã este de 4 %. Aceastã valoare este iferioarã valorii erorii de estimare a perioadei istataee obţiutã î cazul aceluiaşi semal util perturbat la fel, raportatã î [Isa. 93()]. Calitãţile acestei metode de estimare a perioadei istataee se recomadã î aplicaţii de geul celor de prelucrare a semalului de tip Radar. 46

147 5.. O comparaţie a programului prezetat cu alte programe de de-oisig Wave Lab este o bibliotecă de subrutie MATLA petru aaliza cu fucţii udişoară, pachete de fucţii udişoară şi cu algoritmul "matchig pursuit". Maualul de utilizare "About Wave Lab" poate fi trasferat pri ftp de la adresa: ftp://playfair.staford.edu/pub/wavelab. Această bibliotecă este utilizată î activitatea didactică la uiversităţile ereley şi Staford. Istalarea bibliotecii şi modul de porire al colecţiei de subrutie sut descrise î maualul de utilizare citat mai devreme. U alt documet care îsoţeşte programul WaveLab este [uc.,che.,dar.,joh.,sca. 95]. Î acest material sut prezetate structurile de date î care sut orgaizate semalele de aalizat şi rezultatele obţiute î cadrul produsului soft WaveLab. Poate că cel mai util documet petru caracterizarea programului WaveLab este [uc.,do. 95]. Î acest raport este prezetată o listă cu pricipalele fucţii ale bibliotecii WaveLab. Î cotiuare se vor prezeta câteva ditre aceste fucţii, mai iteresate petru lucrarea de faţă.. Trasformarea udişoară cotiuă CWT calculează reprezetarea de tipul trasformare udişoară cotiuă, Image CWT afişează imagiea rezultatului obţiut î subrutia aterioară, WTMM idetifică mărimile reprezetării aterioare, Image WTMM uild Sel Map. Structuri de date A. Citirea datelor rowse Image Afişează imagiea care coţie rezultatul aterior, Reprezită rezultatul aplicării operatorului morfologic "schelet" imagiii Image CWT. - caută fişierul Image Datasets, Image Fig - fişierul de imagii obţiut aplicâd rowse Image, Read Image - îcarcă u fişier di directorul Image Datasets, Read Sigal - îcarcă u fişier di directorul Sigal Datasets. Geerarea datelor Mae rowia - geerează u semal care descrie mişcarea rowiaă a uei particule, Mae Fractal - geerează semale fractale, Mae Sigal - geerează u semal, Mae d Sigal - geerează o imagie, Maediag - geerează o imagie descrisă pritr-o matrice diagoală, Există liste de semale şi imagii, deja sitetizate care pot fi direct apelate. 3. Îmbuătăţirea raportului semal/zgomot (RSZ) dacă semalul perturbator este zgomot alb : 47

148 WaveShri WPDe Noise CPDe Noise - - îmbuătăţirea RSZ pri detecţie de prag î domeiul trasformării udişoară discretă ortogoală sau biortogoală, - îmbuătăţirea RSZ pri detecţie de prag î domeiul trasformării udişoară discretă bazată pe pachete de fucţii udişoară. Pachetul se alege pri căutarea celei mai bue baze, îmbuătăţirea RSZ pri detecţie de prag î domeiul trasformării udişoară discretă bazată pe pachete de fucţii udişoară cosiusoidale. Pachetul se alege pri căutarea celei mai bue baze. Î figura 5.9 este prezetat u semal (locs) care poate fi geerat cu ajutorul programului WaveLab. Figura 5.9. Semalul locs. Î figura 5.3 este prezetată o variată perturbată aditiv cu zgomot alb a aceluiaşi semal. Figura 5.3. Semalul locs perturbat aditiv de zgomot alb. 48

149 Figura 5.3. Trasformatele udişoară discrete ale semalelor de diaitea şi de dupã aplicarea procedurii de de-oisig. Figura 5.3. Efectul aplicãrii procedurii de de-oisig. Î figura 5.3 sut prezetate trasformările udişoară discrete directe ale semalelor iiţial (di figura 5.3) şi a semalului obţiut după 49

150 aplicarea procedurii de îmbuătăţire a raportului semal/zgomot ( de-oisig ). S-au folosit fucţiile udişoară de tip Haar. Î figura 5.3 sut prezetate pe lâgă semalele di figurile 5.9 şi 5.3 semalul obţiut î urma aplicării procedurii " de-oisig" precum şi eroarea de recostrucţie. Î sfârşit î figura 5.33 sut prezetate desităţile spectrale de eergie ale semalelor di figura 5.3 respectiv a semalului recostruit. Desitatea spectralã de putere : semal cu zgomot (egru), dupã de-oisig (gri) Figura Desitãţile spectrale de eergie ale semalelor de diaite şi de dupã aplicarea procedurii de-oisig. 4. Trasformări udişoară ortogoale Trasformări : FWT_PO - Trasformare udişoară discretă ortogoală. Problemele la margii sut rezolvate pri periodizare, IWT_PO - Trasformare udişoară discretă ortogoală iversă. Problemele la margii sut rezolvate pri periodizare, ITWT_PO - Trasformare udişoară discretă ortogoală iversă petru semale bidimesioale. Filtre de geerare a fucţiilor udişoară : Mae ON Filter - geerează filtrele de costrucţie a fucţiilor udişoară de tip Daubechies, Coiflets, Di această prezetare succită se costată limitările tool-box-ului WaveLab î comparaţie cu programul prezetat î paragraful aterior. Acestea sut: 5

151 . Fiid u program uiversal tool-box-ul u se pretează foarte bie la utilizare î îmbuătăţirea raportului semal pe zgomot î telecomuicaţii. Metoda de de-oisig prezetată u este adaptivă.. Această metodă poate fi aplicată doar dacă semalul perturbator este de tip zgomot alb gaussia. Petru a se putea aplica această metodă de de-oisig este ecesară cuoaşterea puterii zgomotului care perturbă aditiv semalul de prelucrat (pragul trebuie ales proporţioal cu valoarea puterii zgomotului). 3. Tool-box-ul u fucţioează decât î prezeţa programului MATLA. 4. Îmbuătăţirea raportului semal pe zgomot realizată pri utilizarea tool-boxului u este mai mare decât cea care se obţie câd se utilizează metoda adaptivă propusă î această lucrare. 5. Timpul de calcul ecesar programului care implemetează metoda adaptivă (program prezetat î paragraful aterior este iferior timpului de calcul al oricărei fucţii de de-oisig di cadrul tool-box-ului Comparaţie a metodei propuse cu alte metode de îmbuãtãţire a raportului semal pe zgomot Î acest paragraf se face o comparaţie ître metoda de de-oisig adaptiv itrodusã î aceastã lucrare şi o metodã de îmbuãtãţire a raportului semal pe zgomot bazatã pe filtrarea liiarã adaptivã. Problema este prezetatã î [Hue.,Nuz.,il. 97]. Este vorba despre reducerea zgomotului care afecteazã semalele recepţioate de douã fotodetectoare. Acestea reprezitã amestecuri istataee a douã semale determiiste umite surse şi ale uor semale perturbatoare de tip zgomot alb gaussia. Semalele determiiste sut compuse di câte u semal siusoidal cu frecveţa de Hz şi di câte u semal perturbator cu frecveţa de Hz. Primul captor (capt ) recepţioeazã î pricipal iflueţa sursei şi mai puţi zgomotul. Cel de al doilea fotodetector (capt ) recepţioeazã cu prepodereţă zgomotul. Se vor aaliza douã situaţii: atuci câd zgomotul alb este ites respectiv atuci câd zgomotul alb care perturbã semalul sursã este mai puţi ites. Prima situaţie este prezetatã î figura 5.34 iar cea de a doua î figura Aceste grafice au fost deseate pe baza uor fişiere de date obţiute î urma uei colaborări cu Uiversitatea di Reims Champage-Ardee. 5

152 Amplitudie (V). Primul captor Capt Amplitudie (V) Timp (ms). Cel de al doilea captor Capt Timp (ms) Figura Semalele achiziţioate de cele douã captoare î primul caz. A mplitudie (V) Captor. Capt A m p litudie ( V ) Captor Timp (ms) Capt Timp (ms) Figura Semalele captate de cele douã captoare î cel de al doilea caz. Semalele de la cele douã captoare sut prelucrate cu u algoritm de separare de surse care furizeazã douã semale de ieşire: sursa refãcutã (sursa estimatã ) şi zgomotul (sursa estimatã ). S-au folosit fişierele de date care descriu deseele di figurile 5.36 şi Î cotiuare se prezitã rezultatele obţiute folosid aceastã metodã de creştere a raportului semal pe zgomot î cele douã situaţii prezetate mai sus. 5

153 Figura Rezultatul prelucrării semalelor di figura 5.34 cu metoda de separare a surselor. A m p litudie relativă Sursa estimată A mplitudie relativă Sursa estimată Timp (ms) Timp (ms) Figura Rezultatele aplicãrii metodei de separare a surselor î cazul semalelor di figura Î figura 5.38 se prezitã rezultatul prelucrãrii semalului capt di figura 5.34 cu metoda de de-oisig adaptiv propusã î lucrarea de faţã. 53

154 Figura Rezultatul prelucrãrii uei pãrţi a semalului capt (reprezetatã î partea de sus a imagiii) cu metoda de de-oisig adaptiv propusã î lucrarea de faţã. Figura O porţiue di semalul capt di figura 5.34 (sus) şi rezultatul prelucrãrii sale cu metoda de de-oisig adaptivã propusã î lucrarea de faţã. Î figura 5.39 este prezetat rezultatul prelucrãrii semalului capt cu metoda de de-oisig adaptiv propusã î lucrarea de faţã. 54

Laborator 4. Rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale în Matlab

Laborator 4. Rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale în Matlab Laborator 4. Rezolvarea ecuaţiilor difereţiale î Matlab Bibliografie. G. Aastassiou, I. Iata, Itelliget Routies: Solvig Mathematical Aalsis with Matlab, Mathcad, Mathematica ad Maple, Spriger, 03.. I.

More information

Probleme rezolvate. Lăcrimioara GRAMA, Corneliu RUSU, Prelucrarea numerică a semnalelor aplicații și probleme, Ed. U.T.PRESS, Cluj-Napoca, 2008.

Probleme rezolvate. Lăcrimioara GRAMA, Corneliu RUSU, Prelucrarea numerică a semnalelor aplicații și probleme, Ed. U.T.PRESS, Cluj-Napoca, 2008. Probleme reolvate Lăcrimioara GRAMA, Coreliu RUSU, Prelucrarea umerică a semalelor aplicații și probleme, Ed UTPRESS, Clu-Napoca, 008 Capitolul Semale și secvețe Problema Geerarea uei expoețiale complexe:

More information

Teoria probabilit¼aţilor şi statistic¼a matematic¼a

Teoria probabilit¼aţilor şi statistic¼a matematic¼a Teoria probabilit¼aţilor şi statistic¼a matematic¼a B¼arb¼acioru Iuliaa Carme CURSUL 7 Cursul 7 2 Cupris 1 Legea umerelor mari 5 1.1 Geeralit¼aţi............................... 5 1.2 Iegalitatea lui Cebîşev........................

More information

Numere prime. O selecţie de probleme pentru gimnaziu

Numere prime. O selecţie de probleme pentru gimnaziu Numere prime O selecţie de probleme petru gimaziu Adria Zaoschi Colegiul Natioal "Costache Negruzzi" Iasi (Clasa a V-a) Determiați submulțimea B a mulțimii A 0,,,, 49, 50, formată di toate elemetele lui

More information

1.3. OPERAŢII CU NUMERE NEZECIMALE

1.3. OPERAŢII CU NUMERE NEZECIMALE 1.3. OPERAŢII CU NUMERE NEZECIMALE 1.3.1 OPERAŢII CU NUMERE BINARE A. ADUNAREA NUMERELOR BINARE Reguli de bază: 0 + 0 = 0 transport 0 0 + 1 = 1 transport 0 1 + 0 = 1 transport 0 1 + 1 = 0 transport 1 Pentru

More information

LUCRAREA nr. 5: Analiza în domeniul timp a elementelor unui sistem de reglare automată. Sistemul de ordinul 2

LUCRAREA nr. 5: Analiza în domeniul timp a elementelor unui sistem de reglare automată. Sistemul de ordinul 2 LUCRAREA r. 5: Aaliza î domiul timp a lmtlor uui sim d rglar automată. Simul d ordiul. Scopul lucrării S va fac aaliza comportării î timp a simului liiar d ordiul pri dtrmiara variaţii mărimii d işir a

More information

Raport de Cercetare APLICAII ALE FILTRELOR NELINIARE ÎN IDENTIFICAREA I COMPENSAREA NELINIARITILOR NEDORITE CAPITOLUL I

Raport de Cercetare APLICAII ALE FILTRELOR NELINIARE ÎN IDENTIFICAREA I COMPENSAREA NELINIARITILOR NEDORITE CAPITOLUL I Raport de Cercetare Grat: CNCSIS 57 Tema Autori: Georgeta Budura, Coria Botoca Uiversitatea: Politeica Timioara APLICAII ALE FILTRELOR NELINIARE ÎN IDENTIFICAREA I COMPENSAREA NELINIARITILOR NEDORITE INTRODUCERE.

More information

Prof univ dr. Sever Spânulescu - LUCRARI DE LABORATOR

Prof univ dr. Sever Spânulescu - LUCRARI DE LABORATOR UNIVERSITATEA HYPERION Facultatea de Stiițe Exacte și Igierești Prof uiv dr. Sever Spâulescu CALCUL NUMERIC - LUCRARI DE LABORATOR Lucrarea de laborator. Rezolvarea sistemelor de ecuatii liiare pri metode

More information

Sisteme cu logica fuzzy

Sisteme cu logica fuzzy Sisteme cu logica fuzzy 1/15 Sisteme cu logica fuzzy Mamdani Fie un sistem cu logică fuzzy Mamdani două intrări x şi y ieşire z x y SLF Structura z 2/15 Sisteme cu logica fuzzy Mamdani Baza de reguli R

More information

Soluţii juniori., unde 1, 2

Soluţii juniori., unde 1, 2 Soluţii juniori Problema 1 Se consideră suma S x1x x3x4... x015 x016 Este posibil să avem S 016? Răspuns: Da., unde 1,,..., 016 3, 3 Termenii sumei sunt de forma 3 3 1, x x x. 3 5 6 sau Cristian Lazăr

More information

O V E R V I E W. This study suggests grouping of numbers that do not divide the number

O V E R V I E W. This study suggests grouping of numbers that do not divide the number MSCN(2010) : 11A99 Author : Barar Stelian Liviu Adress : Israel e-mail : stelibarar@yahoo.com O V E R V I E W This study suggests grouping of numbers that do not divide the number 3 and/or 5 in eight collumns.

More information

Test de Departajare pentru MofM 2014 (Bucureşti) Enunţuri & Soluţii

Test de Departajare pentru MofM 2014 (Bucureşti) Enunţuri & Soluţii Test de Departajare petru MofM 04 Bucureşti Euţuri & Soluţii Problem. Give + distict real umbers i the iterval [0,], prove there exist two of them a b, such that ab a b < Solutio. Idex the umbers 0 a 0

More information

Teorema Reziduurilor şi Bucuria Integralelor Reale Prezentare de Alexandru Negrescu

Teorema Reziduurilor şi Bucuria Integralelor Reale Prezentare de Alexandru Negrescu Teorema Reiduurilor şi Bucuria Integralelor Reale Preentare de Alexandru Negrescu Integrale cu funcţii raţionale ce depind de sint şi cost u notaţia e it, avem: cost sint i ( + ( dt d i, iar integrarea

More information

Lucrarea de laborator nr. 8

Lucrarea de laborator nr. 8 Metode Numerice Lucrarea de laborator r. 8 I. Scopul lucrării Metoda Newto II. Coţiutul lucrării 1. Metoda tagetei 2. Metoda Newto cazul m-dimesioal III. Prezetarea lucrării III.1. Metoda tagetei Metoda

More information

LUCRAREA NR Reprezentarea sistemelor liniare și invariante în timp 2. Răspunsul sistemelor la semnale de intrare

LUCRAREA NR Reprezentarea sistemelor liniare și invariante în timp 2. Răspunsul sistemelor la semnale de intrare Semale și iteme eoria itemelor LUCRAREA NR. 3. Reprezetarea itemelor liiare și ivariate î timp. Răpuul itemelor la emale de itrare. Reprezetarea itemelor liiare și ivariate î timp U item cotiuu, diamic,

More information

Habilitation Thesis. Periodic solutions of differential systems: existence, stability and bifurcations

Habilitation Thesis. Periodic solutions of differential systems: existence, stability and bifurcations UNIVERSITATEA BABEŞ BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Habilitation Thesis Mathematics presented by Adriana Buică Periodic solutions of differential systems: existence, stability

More information

IMAR Problema 1. Fie P un punct situat în interiorul unui triunghi ABC. Dreapta AP intersectează

IMAR Problema 1. Fie P un punct situat în interiorul unui triunghi ABC. Dreapta AP intersectează IMAR 017 Problema 1 Fie P u puct situat î iteriorul uui triughi ABC Dreapta AP itersectează latura BC î puctul D ; dreapta BP itersectează latura CA î puctul E ; iar dreapta CP itersectează latura AB î

More information

Cristalul cu N atomi = un sistem de N oscilatori de amplitudini mici;

Cristalul cu N atomi = un sistem de N oscilatori de amplitudini mici; Curs 8 Caldura specifica a retelei Cristalul cu N atomi = un sistem de N oscilatori de amplitudini mici; pentru tratarea cuantica, se inlocuieste tratamentul clasic al oscilatorilor cuplati, cu cel cuantic

More information

GENERATOARE DE SEMNAL DIGITALE

GENERATOARE DE SEMNAL DIGITALE Technical University of Iasi, Romania Faculty of Electronics and Telecommunications Signals, Circuits and Systems laboratory Prof. Victor Grigoras Cuprins Clasificarea generatoarelor Filtre reursive la

More information

Ecuatii si inecuatii de gradul al doilea si reductibile la gradul al doilea. Ecuatii de gradul al doilea

Ecuatii si inecuatii de gradul al doilea si reductibile la gradul al doilea. Ecuatii de gradul al doilea Ecuatii si inecuatii de gradul al doilea si reductibile la gradul al doilea Ecuatia de forma Ecuatii de gradul al doilea a + b + c = 0, (1) unde a, b, c R, a 0, - variabila, se numeste ecuatie de gradul

More information

TEZA DE DOCTORAT. Contributii la implementarea managementului fiabilitatii si mentenabilitatii in proiectarea instalatiilor

TEZA DE DOCTORAT. Contributii la implementarea managementului fiabilitatii si mentenabilitatii in proiectarea instalatiilor MINISTERUL EDUCTIEI, CERCETRII, TINERETULUI SI SPORTULUI UNIVERSITTE TEHNIC DE CONSTRUCTII BUCURESTI FCULTTE DE INGINERIE INSTLTIILOR TEZ DE DOCTORT Cotributii la implemetarea maagemetului fiabilitatii

More information

ON THE QUATERNARY QUADRATIC DIOPHANTINE EQUATIONS (II) NICOLAE BRATU 1 ADINA CRETAN 2

ON THE QUATERNARY QUADRATIC DIOPHANTINE EQUATIONS (II) NICOLAE BRATU 1 ADINA CRETAN 2 ON THE QUATERNARY QUADRATIC DIOPHANTINE EQUATIONS (II) NICOLAE BRATU 1 ADINA CRETAN ABSTRACT This paper has been updated and completed thanks to suggestions and critics coming from Dr. Mike Hirschhorn,

More information

2. METODA GRADIENTULUI CONJUGAT PENTRU REZOLVAREA SISTEMELOR ALGEBRICE LINIARE

2. METODA GRADIENTULUI CONJUGAT PENTRU REZOLVAREA SISTEMELOR ALGEBRICE LINIARE MEOD GRDIENULUI CONJUG PENRU REZOLVRE SISEMELOR LGEBRICE LINIRE Neculai drei Research Istitute for Iformatics Ceter for dvaced Modelig ad Optimizatio 8- verescu veue Bucharest Romaia E-mail: adrei@iciro

More information

A GENERALIZATION OF A CLASSICAL MONTE CARLO ALGORITHM TO ESTIMATE π

A GENERALIZATION OF A CLASSICAL MONTE CARLO ALGORITHM TO ESTIMATE π U.P.B. Sci. Bull., Series A, Vol. 68, No., 6 A GENERALIZATION OF A CLASSICAL MONTE CARLO ALGORITHM TO ESTIMATE π S.C. ŞTEFĂNESCU Algoritmul Monte Carlo clasic A1 estimeazează valoarea numărului π bazându-se

More information

Solution by Nicuşor Zlota, Traian Vuia Technical College, Focşani, Romania

Solution by Nicuşor Zlota, Traian Vuia Technical College, Focşani, Romania Revista Virtuala Ifo MateTehic ISSN 069-7988 ISSN-L 069-7988 Probleme rouse sre rezolvare Nicusor Zlota, Focsai 08.Prove that C, j N,where the fiboacci, F F F 0 F F, F 0, F + = + + = = = 0 + j + j 09.Let

More information

FORMULELE LUI STIRLING, WALLIS, GAUSS ŞI APLICAŢII

FORMULELE LUI STIRLING, WALLIS, GAUSS ŞI APLICAŢII DIDACTICA MATHEMATICA, Vol. 34), pp. 53 67 FORMULELE LUI STIRLING, WALLIS, GAUSS ŞI APLICAŢII Eugenia Duca, Emilia Copaciu şi Dorel I. Duca Abstract. In this paper are presented the Wallis, Stirling, Gauss

More information

GIDD PENTRU CALCULUL CONSUMULUI DE CA.LOURA AL CONSTRUCTIILOR DOTATE CU ' A SISTEME PASIVE DE INCALZIRE SO LARA INDICATIV GP

GIDD PENTRU CALCULUL CONSUMULUI DE CA.LOURA AL CONSTRUCTIILOR DOTATE CU ' A SISTEME PASIVE DE INCALZIRE SO LARA INDICATIV GP , GIDD PENTRU CALCULUL CONSUMULUI DE CA.LOURA AL CONSTRUCTIILOR DOTATE CU ' A SISTEME PASIVE DE INCALZIRE SO LARA INDICATIV GP 017-96 95 Ghid pentru calculul consumului de caldura al cladirilor dotate

More information

Elemente de teoria erorilor si incertitudinilor Calcule statistice si modele de aproximare

Elemente de teoria erorilor si incertitudinilor Calcule statistice si modele de aproximare Elemete de teoria erorilor si icertitudiilor Calcule statistice si modele de aproximare Să măsurăm ce se poate măsura şi să facem măsurabil ceea ce u se poate măsura îcă. Galileo Galilei. Itroducere î

More information

DE LA TEOREMA FAN MINIMAX LA ECHILIBRUL NASH FROM FAN MINIMAX THEOREM TO NASH EQUILIBRIUM

DE LA TEOREMA FAN MINIMAX LA ECHILIBRUL NASH FROM FAN MINIMAX THEOREM TO NASH EQUILIBRIUM Doctorad Bogda-Coreliu BIOLAN Uiversitatea di Bucureşti DE LA TEOREMA FAN MINIMAX LA ECHILIBRUL NASH FROM FAN MINIMAX THEOREM TO NASH EQUILIBRIUM Abstract. We show that i a abstract covex space (E, D;

More information

Procedeu de demonstrare a unor inegalităţi bazat pe inegalitatea lui Schur

Procedeu de demonstrare a unor inegalităţi bazat pe inegalitatea lui Schur Procedeu de demonstrare a unor inegalităţi bazat pe inegalitatea lui Schur Andi Gabriel BROJBEANU Abstract. A method for establishing certain inequalities is proposed and applied. It is based upon inequalities

More information

Curs Teorema Limită Centrală Enunţ

Curs Teorema Limită Centrală Enunţ Curs 9 Teorema Limiă Cerală 9 Teorema Limiă Cerală 9 Euţ Teorema Limiă Cerală TLC) ese ua dire cele mai imporae eoreme di eoria probabiliăţilor Iuiiv, orema afirmă că suma uui umăr mare de v a idepedee,

More information

SIMULAREA DECIZIEI FINANCIARE

SIMULAREA DECIZIEI FINANCIARE SIMULAREA DECIZIEI FINANCIARE Conf. univ. dr. Nicolae BÂRSAN-PIPU T5.1 TEMA 5 DISTRIBUŢII DISCRETE T5. Cuprins T5.3 5.1 Variabile aleatoare discrete 5. Distribuţia de probabilitate a unei variabile aleatoare

More information

COMPARATIVE DISCUSSION ABOUT THE DETERMINING METHODS OF THE STRESSES IN PLANE SLABS

COMPARATIVE DISCUSSION ABOUT THE DETERMINING METHODS OF THE STRESSES IN PLANE SLABS 74 COMPARATIVE DISCUSSION ABOUT THE DETERMINING METHODS OF THE STRESSES IN PLANE SLABS Codrin PRECUPANU 3, Dan PRECUPANU,, Ștefan OPREA Correspondent Member of Technical Sciences Academy Gh. Asachi Technical

More information

LABORATORY 4 INFINITE IMPULSE RESPONSE FILTERS

LABORATORY 4 INFINITE IMPULSE RESPONSE FILTERS LABORATORY 4 IFIITE IMPULSE RESPOSE FILTERS 4.. Introduction (For more theoretical details, please see the lecture notes) Filtrele cu răspuns infinit la impuls (RII) se dovedesc în anumite aplicaţii mai

More information

Statistică Aplicată. Iulian Stoleriu

Statistică Aplicată. Iulian Stoleriu 32 Statistică Aplicată Iulia Stoleriu Copyright 2017 Iulia Stoleriu Cupris 1 Elemete itroductive de Statistică............................ 11 1.1 Populaţie statistică 11 1.2 Variabile aleatoare 13 1.3

More information

Gradul de comutativitate al grupurilor finite 1

Gradul de comutativitate al grupurilor finite 1 Gradul de comutativitate al grupurilor finite Marius TĂRNĂUCEANU Abstract The commutativity degree of a group is one of the most important probabilistic aspects of finite group theory In this survey we

More information

Sisteme cu logica fuzzy cu mai multe intrari (MISO)

Sisteme cu logica fuzzy cu mai multe intrari (MISO) Sisteme cu logica fuzzy cu mai multe intrari (MISO) Structura unui sistem cu logică fuzzy MISO Structura unui SLF cu 2 intrari Fie un sistem cu logică fuzzy Mamdani două intrări x şi y ieşire z x y SLF

More information

UNITATEA DE ÎNVĂȚARE 3 Analiza algoritmilor

UNITATEA DE ÎNVĂȚARE 3 Analiza algoritmilor UNITATEA DE ÎNVĂȚARE 3 Analiza algoritmilor Obiective urmărite: La sfârşitul parcurgerii acestei UI, studenţii vor 1.1 cunoaște conceptul de eficienta a unui algoritm vor cunoaste si inţelege modalitatile

More information

LABORATOR DE ETALONARE A DISPOZITIVELOR DE MASURARE CURENTI MARI

LABORATOR DE ETALONARE A DISPOZITIVELOR DE MASURARE CURENTI MARI The First teratioal Proficiecy Testig Coferece Siaia, Româia 11 th 13 th October, 2007 LABORATOR DE ETALONARE A DSPOZTVELOR DE MASURARE CURENT MAR Adrei Mariescu, Coreliu Chiciu, Horia oescu, Costati lica,

More information

Inegalităţi de tip Chebyshev-Grüss pentru operatorii Bernstein-Euler-Jacobi

Inegalităţi de tip Chebyshev-Grüss pentru operatorii Bernstein-Euler-Jacobi Iegalităţi de tip Chebyshev-Grüss petru operatorii Berstei-Euler-Jacobi arxiv:1506.08166v1 [math.ca] 26 Ju 2015 Heier Goska, Maria-Daiela Rusu, Elea-Doria Stăilă Abstract The classical form of Grüss iequality

More information

MATEMATICI SPECIALE PENTRU INGINERI

MATEMATICI SPECIALE PENTRU INGINERI DAN LASCU MATEMATICI SPECIALE PENTRU INGINERI TEORIE CUPRINS PREFAÞÃ 4 FUNCÞII COMPLEXE 5 Numere complee 5 Itroducere Forma algebricã Forma trigoometricã a umerelor complee 5 7 Elemete de topologie î corpul

More information

Utilizarea claselor de echivalenta in analiza asistata de calculator a sistemelor cu evenimente discrete

Utilizarea claselor de echivalenta in analiza asistata de calculator a sistemelor cu evenimente discrete 72 Utilizarea claselor de echivalenta in analiza asistata de calculator a sistemelor cu evenimente discrete Conf.dr. Alexandru TERTISCO, ing. Alexandru BOICEA Facultatea de Automatica si Calculatoare,

More information

LUCRARE DE LICENTA. Aplicatie grafica pentru controlul unui pendul dublu neliniar. Cuprins: Absolvent. Alexandru Stefan.

LUCRARE DE LICENTA. Aplicatie grafica pentru controlul unui pendul dublu neliniar. Cuprins: Absolvent. Alexandru Stefan. LUCRARE DE LICENTA Aplicatie grafica petru cotrolul uui pedul dublu eliiar Absolvet Alexadru Stefa Coordoator Asist.Ig. Dr. Valeti Taasa Bucuresti, 2013 Cupris: 1 Capitolul 1: Itroducere... 4 Capitolul

More information

2D AND 3D PROCESSING OF THE INTERDEPENDENCE BETWEEN THE COMFORT MAIN INDICATORS

2D AND 3D PROCESSING OF THE INTERDEPENDENCE BETWEEN THE COMFORT MAIN INDICATORS BULETINUL INSTITUTULUI POLITEHNIC DIN IAŞI Publicat de Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi Tomul LVII (LXI), Fasc. 1, 2011 SecŃia TEXTILE. PIELĂRIE 2D AND 3D PROCESSING OF THE INTERDEPENDENCE

More information

Matematici speciale Seminar 12

Matematici speciale Seminar 12 Matematici speciale Semiar 1 Mai 017 ii Statistica este arta de a miti pri itermediul cifrelor. Wilhelm Stekel 1 Notiui de statistica Datele di dreapta arata temperaturile de racire ale uei cesti de cafea,

More information

Barem de notare clasa a V-a

Barem de notare clasa a V-a Barem de notare clasa a V-a Problema1. Determinați mulțimile A și B, formate din numere naturale, știind că îndeplinesc simultan condițiile: a) A B,5,6 ; b) B A 0,7 ; c) card AB 3; d) suma elementelor

More information

ON THE ASYMPTOTIC BEHAVIOR OF DYNAMICAL SYSTEMS AND APPLICATIONS

ON THE ASYMPTOTIC BEHAVIOR OF DYNAMICAL SYSTEMS AND APPLICATIONS WEST UNIVERSITY OF TIMIŞOARA FACULTY OF MATHEMATICS AND COMPUTER SCIENCE ON THE ASYMPTOTIC BEHAVIOR OF DYNAMICAL SYSTEMS AND APPLICATIONS Habilitation Thesis Author: BOGDAN SASU Timişoara, 2013 Table of

More information

INEGALITĂŢI DE TIP HARNACK ŞI SOLUŢII POZITIVE MULTIPLE PENTRU PROBLEME NELINIARE

INEGALITĂŢI DE TIP HARNACK ŞI SOLUŢII POZITIVE MULTIPLE PENTRU PROBLEME NELINIARE UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA ŞCOALA DOCTORALĂ DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ INEGALITĂŢI DE TIP HARNACK ŞI SOLUŢII POZITIVE MULTIPLE PENTRU PROBLEME NELINIARE Rezumatul tezei de doctorat Doctorand:

More information

Lucrarea de laborator nr. 11

Lucrarea de laborator nr. 11 Metode Nuerce - Lucrarea de laborator 11 Lucrarea de laborator r. 11 I. Scopul lucrăr Aproxarea î ede pr etoda celor a c pătrate II. Coţutul lucrăr 1. Metoda celor a c pătrate. Procedur MAPLE ş exeple

More information

Universitatea Politehnica Bucureşti Facultatea de Automatică şi Calculatoare Departamentul de Automatică şi Ingineria Sistemelor

Universitatea Politehnica Bucureşti Facultatea de Automatică şi Calculatoare Departamentul de Automatică şi Ingineria Sistemelor Universitatea Politehnica Bucureşti Facultatea de Automatică şi Calculatoare Departamentul de Automatică şi Ingineria Sistemelor TEZĂ DE ABILITARE Metode de Descreştere pe Coordonate pentru Optimizare

More information

Divizibilitate în mulțimea numerelor naturale/întregi

Divizibilitate în mulțimea numerelor naturale/întregi Divizibilitate în mulțimea numerelor naturale/întregi Teorema îmărţirii cu rest în mulțimea numerelor naturale Fie a, b, b 0. Atunci există q, r astfel încât a=bq+r, cu 0 r < b. În lus, q şi r sunt unic

More information

Reactoare chimice cu curgere piston (ideala) cu amestecare completa de tip batch (autoclava)

Reactoare chimice cu curgere piston (ideala) cu amestecare completa de tip batch (autoclava) Reactoare chimice cu curgere piston (ideala) cu amestecare completa de tip batch (autoclava) Reactorul cu curgere ideala Toate particulele se deplaseaza intr-o directie de-a lungul reactorului, precum

More information

Reactoare chimice cu curgere piston (ideala) (Plug Flow Reactor PFR) cu amestecare completa (Mixed Flow Reactor MFR) de tip batch (autoclava)

Reactoare chimice cu curgere piston (ideala) (Plug Flow Reactor PFR) cu amestecare completa (Mixed Flow Reactor MFR) de tip batch (autoclava) Reactoare chimice cu curgere piston (ideala) (Plug Flow Reactor PFR) cu amestecare completa (Mied Flow Reactor MFR) de tip batch (autoclava) Reactorul cu curgere ideala Toate particulele se deplaseaza

More information

METODOLOGIE DE CALCUL A PIERDERILOR DE PUTERE SI ENERGIE ELECTRICA IN LINIILE DE JOASA TENSIUNE CU SARCINI ECHIDISTANT REPARTIZATE

METODOLOGIE DE CALCUL A PIERDERILOR DE PUTERE SI ENERGIE ELECTRICA IN LINIILE DE JOASA TENSIUNE CU SARCINI ECHIDISTANT REPARTIZATE METODOLOGE DE ALUL A PERDERLOR DE PUTERE S ENERGE ELETRA N LNLE DE JOASA TENSUNE U SARN EHDSTANT REPARTZATE POWER, ATVE ELETR ENERGY LOSSES ALULATON AT A LOW VOLTAGE DSTRUTON LNE WTH EQUDSTANT DTRUTED

More information

Legi de distribuţie (principalele distribuţii de probabilitate) Tudor Drugan

Legi de distribuţie (principalele distribuţii de probabilitate) Tudor Drugan Legi de distribuţie (principalele distribuţii de probabilitate) Tudor Drugan Introducere In general distribuţiile variabilelor aleatoare definite pe o populaţie, care face obiectul unui studiu, nu se cunosc.

More information

Rezolvarea ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii diferenţiale ordinare (II)

Rezolvarea ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii diferenţiale ordinare (II) Rezolvarea ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii diferenţiale ordinare (II) Metode multipas Prof.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică Suport didactic pentru disciplina

More information

Modelarea traficului in cadrul retelelor de radiotelefonie mobila

Modelarea traficului in cadrul retelelor de radiotelefonie mobila Modelarea traficului in cadrul retelelor de radiotelefonie mobila Alocarea resurselor radio in cadrul retelelor GSM/GPRS este importanta intrucat acestea sunt proiectate sa transmita trafic mixt: oce ate:

More information

Pentru clasa a X-a Ştiinţele naturii-sem II

Pentru clasa a X-a Ştiinţele naturii-sem II Pentru clasa a X-a Ştiinţele naturii-sem II Reprezentarea algoritmilor. Pseudocod. Principiile programării structurate. Structuri de bază: structura liniară structura alternativă structura repetitivă Algoritmi

More information

Rădăcina pătrată a unei matrici reale de ordinul 2

Rădăcina pătrată a unei matrici reale de ordinul 2 Rădăcina pătrată a unei matrici reale de ordinul Mircea Crasmareanu Mai 19, 017 ( a c Actorii acestei poveşti: matricile A = M b d (R. PROBLEMA STUDIATĂ: Există B M (R aşa încât: B = A? O astfel de matrice

More information

Cercet¼ari operaţionale

Cercet¼ari operaţionale Cercet¼ari operaţionale B¼arb¼acioru Iuliana Carmen CURSUL 9 Cursul 9 Cuprins Programare liniar¼a 5.1 Modelul matematic al unei probleme de programare liniar¼a.................... 5. Forme de prezentare

More information

S.S.M.ROMÂNIA - Filiala Mehedinți 2016 SOCIETATEA DE ȘTIINȚE MATEMATICE DIN ROMÂNIA. Filiala Mehedinți REVISTA DE MATEMATICĂ MEHEDINȚEANĂ R.M.M.

S.S.M.ROMÂNIA - Filiala Mehedinți 2016 SOCIETATEA DE ȘTIINȚE MATEMATICE DIN ROMÂNIA. Filiala Mehedinți REVISTA DE MATEMATICĂ MEHEDINȚEANĂ R.M.M. SOCIETATEA DE ȘTIINȚE MATEMATICE DIN ROMÂNIA Filiala Mehediți REVISTA DE MATEMATICĂ MEHEDINȚEANĂ R.M.M. Nr.6-06 REVISTA DE MATEMATICĂ MEHEDINȚEANĂ NR. 6 SOCIETATEA DE ȘTIINȚE MATEMATICE DIN ROMÂNIA Filiala

More information

Teoreme de Analiză Matematică - I (teorema Weierstrass-Bolzano) 1

Teoreme de Analiză Matematică - I (teorema Weierstrass-Bolzano) 1 Educaţia Matematică Vol. 3, Nr. 1-2 (2007), 79-84 Teoreme de Analiză Matematică - I (teorema Weierstrass-Bolzano) 1 Silviu Crăciunaş, Petrică Dicu, Mioara Boncuţ Abstract In this paper we propose a Weierstrass

More information

APLICAŢII ALE FORMULELOR LUI NEWTON PENTRU POLINOAME SIMETRICE

APLICAŢII ALE FORMULELOR LUI NEWTON PENTRU POLINOAME SIMETRICE DIDACTICA MATHEMATICA, Vol. 33(2015), pp. 27 37 APLICAŢII ALE FORMULELOR LUI NEWTON PENTRU POLINOAME SIMETRICE Cristina-Aida Coman Abstract. In this paper we present some applications of Newton s formulae

More information

din oxidul de zinc, utilizat în hrana animalelor

din oxidul de zinc, utilizat în hrana animalelor Aalele IBNA vol. 3, 007 5 di oxidul de zic, utilizat î hraa aimalelor Arabela Utea 1, Mariaa Ropota 1, Mariaa Ioescu, V. Ioescu, Rodica Diaa Criste 1 1 Istitutul Natioal de Cercetare-Dezvoltare petru Biologie

More information

Teoreme de compresie-extensie de tip Krasnoselskii şi aplicaţii (Rezumatul tezei de doctorat)

Teoreme de compresie-extensie de tip Krasnoselskii şi aplicaţii (Rezumatul tezei de doctorat) Teoreme de compresie-extensie de tip Krasnoselskii şi aplicaţii (Rezumatul tezei de doctorat) Sorin Monel Budişan Coordonator ştiinţi c: Prof. dr. Radu Precup Cuprins Introducere 1 1 Generaliz¼ari ale

More information

Agricultural Engineering

Agricultural Engineering THE DETERMINATION OF QUALITY CHARACTERISTICS FOR THE WORKING PROCESS OF INDENTED CYLINDER SEPARATORS AS FUNCTIONS OF PROCESS PARAMETERS OF THESE EQUIPMENTS / DETERMINAREA CARACTERISTICILOR CALITATIVE ALE

More information

Inteligenta Artificiala

Inteligenta Artificiala Inteligenta Artificiala Universitatea Politehnica Bucuresti Anul universitar 2010-2011 Adina Magda Florea http://turing.cs.pub.ro/ia_10 si curs.cs.pub.ro 1 Curs nr. 4 Cautare cu actiuni nedeterministe

More information

METODE DE PROIECTARE A REGULATOARELOR FUZZY CU DINAMICĂ DESTINATE REGLĂRII TENSIUNII GENERATOARELOR SINCRONE

METODE DE PROIECTARE A REGULATOARELOR FUZZY CU DINAMICĂ DESTINATE REGLĂRII TENSIUNII GENERATOARELOR SINCRONE METODE DE PROIECTARE A REGULATOARELOR FUZZY CU DINAMICĂ DESTINATE REGLĂRII TENSIUNII GENERATOARELOR SINCRONE DESIGN METHODS FOR FUZZY CONTROLLERS WITH DYNAMICS FOR SYNCHRONOUS GENERATORS VOLTAGE CONTROL

More information

Utilizarea limbajului SQL pentru cereri OLAP. Mihaela Muntean 2015

Utilizarea limbajului SQL pentru cereri OLAP. Mihaela Muntean 2015 Utilizarea limbajului SQL pentru cereri OLAP Mihaela Muntean 2015 Cuprins Implementarea operatiilor OLAP de baza in SQL -traditional: Rollup Slice Dice Pivotare SQL-2008 Optiunea ROLLUP Optiunea CUBE,

More information

U.P.B. Sci. Bull., Series A, Vol. 74, Iss. 3, 2012 ISSN SCALAR OPERATORS. Mariana ZAMFIR 1, Ioan BACALU 2

U.P.B. Sci. Bull., Series A, Vol. 74, Iss. 3, 2012 ISSN SCALAR OPERATORS. Mariana ZAMFIR 1, Ioan BACALU 2 U.P.B. ci. Bull., eries A, Vol. 74, Iss. 3, 212 IN 1223-727 A CALAR OPERATOR Mariana ZAMFIR 1, Ioan BACALU 2 În această lucrare studiem o clasă nouă de operatori numiţi -scalari. Aceştia apar în mod natural,

More information

THE INFLUENCE OF SOME CHARACTERISTICS OF RANITIDINE HYDROCHLORIDE ON THE FORMING AND PREPARATION OF THE TABLETS

THE INFLUENCE OF SOME CHARACTERISTICS OF RANITIDINE HYDROCHLORIDE ON THE FORMING AND PREPARATION OF THE TABLETS FARMACIA, 2012, Vol. 60, 4 517 THE INFLUENCE OF SOME CHARACTERISTICS OF RANITIDINE HYDROCHLORIDE ON THE FORMING AND PREPARATION OF THE TABLETS POSTOLACHE LILIANA* 1,2, ONUŢĂ ALEXANDRU-EVLAMPIE 2,3 1 Faculty

More information

Curs 6. Discrete Event Simulation

Curs 6. Discrete Event Simulation Curs 6 Discrete Event Simulation C6 ~ 12.04.2017 1/43 In discrete-event simulation, the operation of a system is represented as a chronological sequence of events. Each event occurs at an instant in time

More information

2. Finite Impulse Response Filters (FIR)

2. Finite Impulse Response Filters (FIR) ..3.3aximum error minimizing method. Finite Imule Reone Filter (FIR)..3 aximum error minimizing method he zero hae tranfer function N H a' n con tye n N H b n con n tye ' the lat relation can be exreed

More information

D 1. drd. ing.cristian Mieilă, prof. dr. ing Tudor Căsăndroiu - UPB

D 1. drd. ing.cristian Mieilă, prof. dr. ing Tudor Căsăndroiu - UPB ASPECTS REGARDING INFLUENCE OF GEOMETRICAL SHAPE OF ORIFICES ABOUT SEEDS GRAVIMETRIC FLOW RATE / ASPECTE PRIVIND INFLUENŢA FORMEI GEOMETRICE A ORIFICIILOR ASUPRA DEBITULUI DE CURGERE GRAVIMETRIC AL SEMINŢELOR

More information

Arhitectura sistemelor de calcul

Arhitectura sistemelor de calcul Arhitectura sistemelor de calcul - Prelegerea 1 - Evoluția sistemelor de calcul Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Istoricul evolutiei calculatoarelor

More information

QUASIGRUPURI AUTOORTOGONALE: CONEXIUNI CU PARATOPIILE UNOR SISTEME ORTOGONALE

QUASIGRUPURI AUTOORTOGONALE: CONEXIUNI CU PARATOPIILE UNOR SISTEME ORTOGONALE INSTITUTUL DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ AL ACADEMIEI DE ŞTIINŢE A MOLDOVEI Cu titlu de manuscris C.Z.U.: 512.548 CEBAN DINA QUASIGRUPURI AUTOORTOGONALE: CONEXIUNI CU PARATOPIILE UNOR SISTEME ORTOGONALE

More information

PRELUCRARI PE IMAGINI BINARE (ALB/NEGRU)

PRELUCRARI PE IMAGINI BINARE (ALB/NEGRU) PRELUCRRI PE IMGINI BINRE (LB/NEGRU) Imagine binara? 2 nuante: alb ( 0 ) pixelii de fond ( I(x,y)= 255 pt. imagini indexate cu 8 biti/pixel ) negru ( 1 ) pixelii apartinand obiectelor ( I(x,y)= 0 pt. imagini

More information

Modelling the Steady State Characteristic of ph Neutralization Process: a Neuro-Fuzzy Approach

Modelling the Steady State Characteristic of ph Neutralization Process: a Neuro-Fuzzy Approach BULETINUL Universităţii Petrol Gaze din Ploieşti Vol. LXVII No. 2/2015 79 84 Seria Tehnică Modelling the Steady State Characteristic of ph Neutralization Process: a Neuro-Fuzzy Approach Gabriel Rădulescu

More information

FINITE ELEMENT ANALYSIS OF FRICTIONAL CONTACTS

FINITE ELEMENT ANALYSIS OF FRICTIONAL CONTACTS BULETINUL INSTITUTULUI POLITEHNIC DIN IAŞI Publicat de Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi Tomul LIV (LVIII), Fasc. 3, 2011 Secţia CONSTRUCŢII. ARHITECTURĂ FINITE ELEMENT ANALYSIS OF FRICTIONAL

More information

OPTIMAL OBSERVABILITY OF PMU'S USING ANALYTIC HIERARCHY PROCESS (AHP) METHOD

OPTIMAL OBSERVABILITY OF PMU'S USING ANALYTIC HIERARCHY PROCESS (AHP) METHOD U.P.B. Sci. Bull., Series C, Vol. 73, Iss. 4, 2011 ISSN 1454-234x OPTIMAL OBSERVABILITY OF PMU'S USING ANALYTIC HIERARCHY PROCESS (AHP) METHOD Sebastian ANGHELESCU 1, Gianfranco CHICCO 2 Lucrarea propune

More information

LIGHTNING MVP System

LIGHTNING MVP System LIGHTNING MVP System Lightning MVP System Control (HACCP+SSOP) Swab-uri pentru lichide si pentru Suprafete Accesorii ph Temperatura Condutivitate Monitorizare ATP Prin Bioluminescenta Cel mai complet si

More information

Figura 7.12 Multiscopul: schema bloc simplificată a părţii specifice osciloscopului hibrid. U Y CS S/T-H ADC MD DAC TC

Figura 7.12 Multiscopul: schema bloc simplificată a părţii specifice osciloscopului hibrid. U Y CS S/T-H ADC MD DAC TC 7-7 7.3.3 OSCILOSCOPUL HIBRID CE GP-IB ADC Frecvenţmetru Fazmetru Generator de caractere X Y Z Elemente de comandă şi reglaj Figura 7.1 Multiscopul: schema bloc simplificată a părţii specifice osciloscopului

More information

P-Q THEORY AND APPARENT T POWER CALCULATION FOR ACTIVE FILTERING

P-Q THEORY AND APPARENT T POWER CALCULATION FOR ACTIVE FILTERING P-Q THEORY AND APPARENT T POWER CALCULATION FOR ACTIVE FILTERING Alexandru BITOLEANU University of Craiova Mihaela POPESCU University of Craiova Vlad SURU University of Craiova REZUMAT. Lucrarea sugereaza

More information

UNIVERSITATEA OVIDIUS CONSTANÞA FACULTATEA DE MATEMATICÃ ªI INFORMATICÃ TEZÃ DE DOCTORAT PROF. UNIV. DR. DAN D. PASCALI DOCTORAND IRINA A.

UNIVERSITATEA OVIDIUS CONSTANÞA FACULTATEA DE MATEMATICÃ ªI INFORMATICÃ TEZÃ DE DOCTORAT PROF. UNIV. DR. DAN D. PASCALI DOCTORAND IRINA A. UNIVERSITATEA OVIDIUS CONSTANÞA FACULTATEA DE MATEMATICÃ ªI INFORMATICÃ TEZÃ DE DOCTORAT CONDUCÃTOR ªTIINÞIFIC PROF. UNIV. DR. DAN D. PASCALI DOCTORAND IRINA A. LECA CONSTANÞA 9 UNIVERSITATEA OVIDIUS CONSTANÞA

More information

CATAVASII LA NAȘTEREA DOMNULUI DUMNEZEU ȘI MÂNTUITORULUI NOSTRU, IISUS HRISTOS. CÂNTAREA I-A. Ήχος Πα. to os se e e na aș te e e slă ă ă vi i i i i

CATAVASII LA NAȘTEREA DOMNULUI DUMNEZEU ȘI MÂNTUITORULUI NOSTRU, IISUS HRISTOS. CÂNTAREA I-A. Ήχος Πα. to os se e e na aș te e e slă ă ă vi i i i i CATAVASII LA NAȘTEREA DOMNULUI DUMNEZEU ȘI MÂNTUITORULUI NOSTRU, IISUS HRISTOS. CÂNTAREA I-A Ήχος α H ris to os s n ș t slă ă ă vi i i i i ți'l Hris to o os di in c ru u uri, în tâm pi i n ți i'l Hris

More information

Mugur Acu OPERATORUL INTEGRAL LIBERA-PASCU ŞI PROPRIETĂŢILE ACESTUIA CU PRIVIRE LA FUNCŢIILE UNIFORM STELATE, CONVEXE, APROAPE CONVEXE ŞI

Mugur Acu OPERATORUL INTEGRAL LIBERA-PASCU ŞI PROPRIETĂŢILE ACESTUIA CU PRIVIRE LA FUNCŢIILE UNIFORM STELATE, CONVEXE, APROAPE CONVEXE ŞI Mugur Acu OPERATORUL INTEGRAL LIBERA-PASCU ŞI PROPRIETĂŢILE ACESTUIA CU PRIVIRE LA FUNCŢIILE UNIFORM STELATE, CONVEXE, APROAPE CONVEXE ŞI α-uniform CONVEXE Editura Universităţii Lucian Blaga din Sibiu

More information

Programarea Dinamica. (si alte chestii adiacente) Andrei Olariu

Programarea Dinamica. (si alte chestii adiacente) Andrei Olariu Programarea Dinamica (si alte chestii adiacente) Andrei Olariu andrei@olariu.org Despre mine - Absolvent FMI UniBuc - Doctorand in prelucrarea limbajului natural, in special in mediul online (Twitter)

More information

SYNCHRONIZATION AND CONTROL IN THE DYNAMICS OF DOUBLE LAYER CHARGE STRUCTURES. AUTONOMOUS STOCHASTIC RESONANCE

SYNCHRONIZATION AND CONTROL IN THE DYNAMICS OF DOUBLE LAYER CHARGE STRUCTURES. AUTONOMOUS STOCHASTIC RESONANCE U.P.B. Sci. Bull., Series A, Vol. 69, No. 3,2007 ISSN 1454-2331 SYNCHRONIZATION AND CONTROL IN THE DYNAMICS OF DOUBLE LAYER CHARGE STRUCTURES. AUTONOMOUS STOCHASTIC RESONANCE Cristina STAN 1, Constantin

More information

STRUCTURAL INTENSITY METHOD APPLIED TO STUDY OF VIBRATIONS DAMPING / METODA INTENSIMETRIEI STUCTURALE APLICATĂ LA STUDIUL AMORTIZĂRII VIBRAŢIILOR

STRUCTURAL INTENSITY METHOD APPLIED TO STUDY OF VIBRATIONS DAMPING / METODA INTENSIMETRIEI STUCTURALE APLICATĂ LA STUDIUL AMORTIZĂRII VIBRAŢIILOR Vol.48, No. / 06 STRUCTURAL INTENSITY METHOD APPLIED TO STUDY OF VIBRATIONS DAMPING / METODA INTENSIMETRIEI STUCTURALE APLICATĂ LA STUDIUL AMORTIZĂRII VIBRAŢIILOR Assoc. Prof. Ph.D. Eng. Carp-Ciocârdia

More information

ON THE ANALYSIS OF RECURRENCE CHARACTERISTICS OF VARIABLE ACTIONS

ON THE ANALYSIS OF RECURRENCE CHARACTERISTICS OF VARIABLE ACTIONS ON THE ANALYSIS O RECURRENCE CHARACTERISTICS O VARIABLE ACTIONS Horea SANDI *) ABSTRACT The paper is devoted to some methodological problems raised by the analysis of hazards due to variable actions having

More information

Rezultate în Teoria Punctului Fix şi Procese Iterative cu Aplicaţii

Rezultate în Teoria Punctului Fix şi Procese Iterative cu Aplicaţii Rezultate în Teoria Punctului Fix şi Procese Iterative cu Aplicaţii Asist. drd. Adrian Sorinel Ghiura Departamentul de Matematică & Informatică Universitatea Politehnica din Bucureşti REZUMATUL TEZEI DE

More information

Chapter 4 The Fourier Series and Fourier Transform

Chapter 4 The Fourier Series and Fourier Transform Chapter 4 The Fourier Series and Fourier Transform Fourier Series Representation of Periodic Signals Let x(t) be a CT periodic signal with period T, i.e., xt ( + T) = xt ( ), t R Example: the rectangular

More information

RECREAŢ II MATEMATICE

RECREAŢ II MATEMATICE Aul IX, Nr. 1 Iauarie Iuie 007 RECREAŢ II MATEMATICE REVISTĂ DE MATEMATICĂ PENTRU ELEVI Ş I PROFESORI e iπ = 1 Asociaţ ia Recreaţ ii Matematice IAŞ I - 007 Semificaţia formulei de pe copertă: iπ Îtr-o

More information

CURS 11: Programare dinamică - II - Algoritmica - Curs 12 1

CURS 11: Programare dinamică - II - Algoritmica - Curs 12 1 CURS 11: Programare dinamică - II - Algoritmica - Curs 12 1 Structura Ce este programarea dinamică? Aplicație: problema discretă a rucsacului Funcții de memorie (memoizare) Aplicație: înmulțirea optimală

More information

POLAR CHARACTERISTIC OF ENERGETIC INTENSITY EMITTED BY AN ANISOTROPIC THERMAL SOURCE IRREGULARLY SHAPED

POLAR CHARACTERISTIC OF ENERGETIC INTENSITY EMITTED BY AN ANISOTROPIC THERMAL SOURCE IRREGULARLY SHAPED Annals of the Academ of Romanian Scientists Series on Science and Technolog of nformation SSN 066-856 Volume 1, Number 1/008 43 POLAR CHARACTERSTC OF ENERGETC NTENSTY EMTTED BY AN ANSOTROPC THERMAL SOURCE

More information

ASPECTS REGARDING NUMERICAL MODELING OF INDUCTIVE HEATING PROCESS FOR LOW VOLTAGE ELECTRICAL CABLES

ASPECTS REGARDING NUMERICAL MODELING OF INDUCTIVE HEATING PROCESS FOR LOW VOLTAGE ELECTRICAL CABLES U.P.B. Sci. Bull., Series C, Vol. 72, Iss. 3, 2010 ISSN 1454-234x ASPECTS REGARDING NUMERICAL MODELING OF INDUCTIVE HEATING PROCESS FOR LOW VOLTAGE ELECTRICAL CABLES Costel PĂUN 1 În această lucrare se

More information

AN APPROACH TO THE NONLINEAR LOCAL PROBLEMS IN MECHANICAL STRUCTURES

AN APPROACH TO THE NONLINEAR LOCAL PROBLEMS IN MECHANICAL STRUCTURES U.P.B. Sci. Bull., Series D, Vol. 74, Iss. 3, 2012 ISSN 1454-2358 AN APPROACH TO THE NONLINEAR LOCAL PROBLEMS IN MECHANICAL STRUCTURES Marius-Alexandru GROZEA 1, Anton HADĂR 2 Acest articol prezintă o

More information

Alte rezultate din teoria codurilor

Alte rezultate din teoria codurilor Prelegerea 20 Alte rezultate din teoria codurilor 20.1 Coduri aritmetice Construcţiile oferite de teoria codurilor pot fi utilizate şi în alte domenii decât în cele clasice, de transmitere şi recepţie

More information

Definiţie. Pr(X a) - probabilitatea ca X să ia valoarea a ; Pr(a X b) - probabilitatea ca X să ia o valoare în intervalul a,b.

Definiţie. Pr(X a) - probabilitatea ca X să ia valoarea a ; Pr(a X b) - probabilitatea ca X să ia o valoare în intervalul a,b. Variabile aleatoare Definiţie Se numeşte variabilă aleatoare pe un spaţiu fundamental E şi se notează prin X, o funcţie definită pe E cu valori în mulţimea numerelor reale. Unei variabile aleatoare X i

More information

array a[0..n-1] a[0] = v0,..., a[n-1] = vn-1

array a[0..n-1] a[0] = v0,..., a[n-1] = vn-1 Curs 5 - Agenda sortare interna buble sort sortare prin insertie sortare pri selectie naiva sistematica ( heap sort ) sortare prin interclasare ( merge sort ) sortare rapida ( quick sort ) cautare in liste

More information