TRAGANJE ZA POČETKOM SVEMIRA. Ivan Tadić, Split

Save this PDF as:

Size: px
Start display at page:

Download "TRAGANJE ZA POČETKOM SVEMIRA. Ivan Tadić, Split"

Transcription

1 TRAGANJE ZA POČETKOM SVEMIRA Ivan Tadić, Split UDK: 113 (091) Izvorni znanstveni rad Primljeno 2/2008. Sažetak Polazi se od kratkoga pregleda traganja za početkom i počelom svega u grčkoj filozofiji. Potom se raspravlja: o Platonovoj misli o nastanku svemira, o Aristotelovu poimanju vremena i vječnosti svijeta, Augustinovu poimanju vremena i nastanka svijeta, o misli sv. Tome Akvinskoga o vječnosti svijeta i Kantovoj antinomiji o vječnosti odnosno o početku svijeta i o Kantovu pokušaju rješenja te poteškoće u sustavu transcendentalnoga idealizma. Završava se kratkim osvrtom o kozmologijskomu shvaćanju početka svemira. Ključne riječi: traganje, početak, počelo, svemir, vječnost svijeta, vrijeme, kozmologija, Bog. UVOD Pitanje o početku svemira zanimalo je filozofiju, 1 teologiju i kozmologiju od početaka zapadne misli do danas. O tomu svjedoče brojne teološke, filozofske i kozmološke rasprave. Filozofija je postavljala pitanje o početku i/ili o vječnosti svijeta i tražila i nudila različite odgovore. I suvremena kozmologija traga za početkom svemira. Pogledajmo, ukratko, kako je filozofija pokušavala riješiti zagonetku početka svemira od početaka zapadne misli i što suvremena kozmologija kaže o tomu. 1. PREDSOKRATOVSKA MISAO O POČELIMA I POČETCIMA Prva filozofijska traganja za počelom svega susrećemo na početku zapadne filozofske misli, kod miletskih odnosno jonskih 1 Ovo je tekst predavanja koje sam u skraćenu obliku održao 27. rujna na međunarodnomu znanstvenom skupu Znanost, religija, filozofija, koji se održao u Cresu od 25. do 27. rujna u okviru Dana Frane Petrića. 234

2 Crkva u svijetu, 43 (2008), br. 2, filozofa. Tales je smatrao da je počelo ( ) 2 svega voda, 3 Anaksimandar je smatrao to nečim beskonačnim ili neograničenim ( ), 4 Anaksimen da je to nešto određeno, a to je zrak. 5 Za Heraklita, koji je istaknuo prolaznost svega, tvrdeći da se ne može dvaput ući u istu rijeku, 6 počelo svega je vatra. 7 Pitagorovci su držali da je počelo svega broj odnosno ono od čega su brojevi bili sastavljeni. Smatrali su da je cijelo nebo sklad i broj, kozmos ( ), a ne kaos ( ). 8 Za razliku od Heraklita, koji je naglasio promjenljivost svega, Parmenid je u svomu spjevu O prirodi ( ) istaknuo radikalnu razliku između bitka i nebitka, tvrdeći: bitak jest a nebitka nema, 9 nije nastao i neuništiv je, nije bio niti će biti, nego čitav je, jedan, neprekidan. 10 Ne može nastati, jer bi tada morao nastati od bitka ili od nebitka. Od nebitka ne može nastati, jer nebitak nije, a od bitka također ne može nastati, jer bi već bio, pa ne bi mogao nastati. Zbog tih istih razloga, ne može se ni uništiti. 11 Dakle, Parmenidov bitak nema počelo ni početak, nije bio i ne će biti, nego je. Pluralisti uvode više elemenata. Empedoklo u svomu spjevu O prirodi ( ) tvrdi da nešto ne može nastati što nije prije bilo, ni posve nestati ono što je, 12 i da nešto ne može postati 2 Aristotel, govoreći o počelima bića kod prvih mislitelja, piše da je počelo bićâ ono od čega su sva bića, te od čega prvo nastaju i u što se na kraju raspadaju, čemu bivstvo preostaje dok se mijenja u trpnostima. Aristotel, Metafizika, A 3, 983 b 8-10 (hrv. prijevod: Hrvatska sveučilišna naklada, Zagreb, 1992., str. 8.). U nastavku ćemo u zagrade stavljati brojeve stranica ovoga izdanja odakle navodimo tekst hrvatskoga prijevoda Tomislava Ladana. 3 Usp. Aristotel, Metafizika, A 3, 983 b 20-21; H. Diels W. Kranz, Die Fragmente der Vorsokratiker, 11 A 12., prema izdanju: Weidmann, Dublin Zürich, U nastavku ćemo ovo izvorno djelo označiti skraćeno: H. Diels W. Kranz, Die Fragmente, a u zagrade ćemo stavljati broj sveska i stranice izdanja prema kojemu navodimo tekst hrvatskoga prijevoda: H. Diels, Predsokratovci. Fragmenti, Naprijed, Zagreb, I. i II. svezak. 4 Usp. H. Diels W. Kranz, Die Fragmente, 12 A 9. 5 Usp. H. Diels W. Kranz, Die Fragmente, 13 A 5 i 6. 6 Usp. H. Diels W. Kranz, Die Fragmente, 22 B Usp. H. Diels W. Kranz, Die Fragmente, 22 B Usp. Aristotel, Metafizika, A 5, 985 b 23 i slj.; H. Diels W. Kranz, Die Fragmente, 58 B 4. 9 H. Diels W. Kranz, Die Fragmente, 28 B 2 (sv. I., str. 208.). 10 Usp. H. Diels W. Kranz, Die Fragmente, 28 B Usp. G. Reale, Storia della filosofia antica. I. Dalle origini a Socrate, Vita e pensiero, Milano, , str Usp. H. Diels W. Kranz, Die Fragmente, 31 B

3 Ivan Tadić, Traganje za početkom svemira od onoga čega uopće nema. 13 Međutim, on rođenje i umiranje označava kao miješanje i rastavljanje četiriju elemenata: vatre, vode, zraka i zemlje. 14 Te elemente Empedoklo naziva imenima božanstava, da bi označio njihovu vječnost. Oni nisu nastali, neuništivi i nepromjenljivi su i oni su korijeni svega. Tako nastaje pojam elementa kao nečega što je prvotno i kakvoćno nepromjenljivo, sposobno samo prostorno i mehanički sjediniti se i odvojiti. 15 Ljubav i Mržnja, koje su, prema Empedoklu, uvijek i nemaju početak svoga postanka, sjedinjuju odnosno razdvajaju te elemente i tako nastaje i rastvara se svijet i stvari u svijetu. Anaksagori nisu bila dovoljna samo četiri elementa, zato on uvodi beskonačno mnogo klica ili sjemena svega. To su homeomerije ( ), koje su neograničene mnoštvom i malenošću, beskonačno su djeljive i sve se nalaze u svakoj stvari. 16 On tvrdi: O postajanju i propadanju Heleni nemaju ispravno mišljenje, jer nijedna stvar ne nastaje i ne propada, nego se od postojećih stvari sastavlja i opet rastavlja. I tako bi postajanje ispravno morali nazivati sastavljanje, a propadanje rastavljanje. 17 Anaksagora tvrdi da je sve u svemu, jer je samo tako mogao riješiti poteškoću Parmenidove filozofije, primjerice: Kako može od ne-vlasi nastati vlas i meso od ne-mesa?. 18 Uvodi Um (N ), koji je nešto neograničeno i nezavisno, i nije pomiješan ni s jednom stvari, nego je sam, samostalan, za sebe. ( ) On je naime najnježnija od svih stvari i najčistija, i posjeduje potpuno znanje o svemu i ima najveću moć; i bića koja imaju dušu, i veća i manja, nad svima njima vlada um. ( ) I kakvo je trebalo biti i kakvo bijaše ono što sada više nije, i sve što sada postoji i kakvo će biti, sve je rasporedio um, pa i ovu vrtnju koju sada izvode zvijezde, Sunce, Mjesec, zrak i eter, koji se odvajaju. 19 Prema Anaksagori sve su stvari bile zajedno i mirovale neograničeno vrijeme, a onda im je Um dao gibanje i tako je nastao svijet Usp. H. Diels W. Kranz, Die Fragmente, 31 B Usp. H. Diels W. Kranz, Die Fragmente, 31 B 6, 8 i Usp. G. Reale, nav. dj., str Usp. H. Diels W. Kranz, Die Fragmente, 59 B H. Diels W. Kranz, Die Fragmente, 59 B 17 (sv. II., str. 43.). 18 H. Diels W. Kranz, Die Fragmente, 59 B 10 (sv. II., str. 41.). 19 H. Diels W. Kranz, Die Fragmente, 59 B 12 (sv. II., str. 42.). 20 Usp. H. Diels W. Kranz, Die Fragmente, 59 A 64; Aristotel, Fizika, VIII ( ) 1, 250 b

4 Crkva u svijetu, 43 (2008), br. 2, Posljednji pokušaj razrješavanja elejskih aporija u okviru predsokratovske filozofske misli učinili su atomisti: Leukip i Demokrit, koji su kao počela postavili puninu, atom ( ), nazvan bićem, koji je nedjeljiv, i kojih ima beskonačno mnogo i vječno se kreću, i prazninu, nazvanu nebićem, koja dijeli atome i u kojoj se oni gibaju. Smatrali su da ima beskrajno mnogo svjetova. Ti svjetovi, prema Leukipu, nastaju ovako: Mnoga tjelesa, svakovrsna po obliku, odvajajući se od beskrajnoga, kreću se u velikom praznom prostoru, a sakupljena stvaraju vrtlog, u kojem se sudaraju i kruže svakovrsno, pa se posebno odjeljuju slična tjelesa sa sličnima. Kad zbog svojeg mnoštva nisu više u ravnoteži pa se ne mogu dalje kretati u krugu, ona lagana tjelesa odlaze u vanjski prazan prostor kao da prolaze kroz sito, a ostala tjelesa ostaju zajedno i ispreplećući se međusobno se sudaraju i stvaraju prvotni kuglasti sistem. 21 Diogen Laerćanin u svomu djelu Životi i misli znamenitih filozofa (IX, ) ( ) ovako opisuje Demokritovo učenje o nastanku svjetova: Svjetovi su beskrajni, rođeni i propadljivi. Ništa ne nastaje iz nebića i ništa u nebiće ne propada. A atomi su beskrajni s obzirom na veličinu i mnoštvo i kreću se u vrtlogu po svemiru pa tako stvaraju sve složeno: vatru, vodu, zrak i zemlju. Jer i to su sastavi iz nekih atoma, a ti se zbog svoje čvrstoće ne daju ni rastavljati ni mijenjati. Sunce i Mjesec sastavljeni su od takvih glatkih i okruglih atoma jednako kao i duša, koja je isto što i um. ( ) Sve se zbiva po nužnosti, a uzrok postanka svega jest kretanje u vrtlogu, koje on naziva nužnošću. 22 Premda atom kod Abderićana ne znači isto kao i atom u suvremenoj fizici, ipak je zanimljivo što su oni nastanak svijeta pokušali tumačiti pomoću gibanja atoma. Mogu se razlikovati tri gibanja atoma: prvotno predkozmičko gibanje, koje se odvijalo u svim smjerovima, potom vrtložno gibanje, koje je uzrok oblikovanja svijeta, i treće gibanje, ono koje se odvija nakon što je svijet oblikovan. 23 Aristotel se ne slaže s onima, misleći na Demokrita, koji postanak neba i svih svjetova pripisuju slučaju, jer da je po slučaju nastao vrtlog i gibanje, koje je izvršilo razdiobu i postavilo svemir u ovaj poredak, a s druge strane tvrde da živa bića ne postoje niti nastaju slučajem, nego da im je uzrok um, priroda 21 H. Diels W. Kranz, Die Fragmente, 67 A 1 (sv. II., str. 72.). 22 H. Diels W. Kranz, Die Fragmente, 68 A 1 (sv. II., str. 86.). 23 Usp. G. Reale, nav. dj., str

5 Ivan Tadić, Traganje za početkom svemira ili nešto slično. 24 Međutim, u raspravi o vremenu, slaže se s Demokritom, koji je dokazivao kako je nemoguće da su sve stvari nastale, budući da je vrijeme nenastalo, 25 jer ono nema početak, a ne slaže se s Platonom, koji je jedini tvrdio, kaže Aristotel, da je vrijeme nastalo zajedno sa svijetom PLATONOVA I ARISTOTELOVA MISAO O POČETKU SVIJETA Platon opisuje nastanak odnosno uređenje svemira ili neba u Timeju. 27 On razlikuje: ono što je vječno, a to je uzor koji je Demiurg promatrao kada je oblikovao svemir; ono što je nastalo i vidljivo, a to je odraz vječnoga uzora; i prihvatilište ( ) svega onoga što nastaje odnosno prostor ( ), 28 jer sve što je, tvrdi Platon, mora nužno biti na nekomu mjestu i zauzimati neki prostor, a ono što nije ni na zemlji ni na nekomu mjestu na nebu, nije ništa. 29 Svemir je nastao kao mješavina sastavljanja od nužnosti 30 i uma. To nastajanje obuhvaća uređenje tijela i duše svemira. Iznesimo ukratko glavne misli o tomu. Postavlja se najprije pitanje: je li svijet uvijek bio ili je on nastao? Svijet je nastao, jer je vidljiv, opipljiv i ima tijelo, kao i sve drugo osjetilno. Ono što je nastalo, nastalo je nužno pomoću nekoga uzroka. Platon priznaje da je teško otkriti Tvorca svijeta, 24 Usp. Aristotel, Fizika, II (B) 4, 196 a b Aristotel, Fizika, VIII ( )1, 251 b (hrv. prijevod: Hrvatska sveučilišna naklada, Zagreb, 1992., str. 167.). U nastavku ćemo u zagrade stavljati brojeve stranica ovoga izdanja odakle navodimo tekst hrvatskoga prijevoda Tomislava Ladana. 26 Usp. isto. 27 Usp. Platon, Timej, 27 c 40 d. 28 Neki su prihvatilište shvatili u analognomu smislu Aristotelove materije ( ), a drugi su smatrali da Platon prihvatilište ne shvaća kao ono od čega nego kao ono u čemu su stvari nastale. O značenju pojma prihvatilišta usp. G. Reale, Per una nuova interpretazione di Platone. Rilettura della metafisica dei grandi dialoghi alla luce delle Dottrine non scritte, Vita e Pensiero, Milano, , str ; F. M. Cornford, Plato s Cosmology. The Timaeus of Plato, Hackett Publishing Company, Indianapolis Cambridge, 1997 (pretisak), str Usp. Platon, Timej, 52 b. 30 Nužnost o kojoj Platon govori u Timeju (48 a) znači ono što je slučajno, nesvrhovito ali to nije apsolutna slučajnost, nego nešto što ipak ima neku mogućnost ili sposobnost primiti neki red od uma. Usp. G. Reale, Per una nuova interpretazione..., str

6 Crkva u svijetu, 43 (2008), br. 2, pa ako se i otkrije ne može ga se svima objaviti. Bog, želeći da sve bude dobro, uzeo je sve što se kretalo bez sklada i reda, doveo je sve u red, stavljajući um u dušu a dušu u tijelo svemira. Za razliku od atomista, koji su tvrdili da svjetova ima beskrajno mnogo, Platon tvrdi da ne postoje dva a ni bezbroj svjetova, nego je ovaj svijet, po svomu postanku, jedan. 31 Platon pokušava shvatiti i objasniti prirodu vatre, vode, zraka i zemlje prije nastanka svemira, jer nitko do sada, tvrdi on, nije objasnio njihov postanak. Oni su tada imali neke tragove svoje prirode, ali su se nalazili u nekakvu stanju nereda. Bog ih je najprije oblikovao pomoću oblika i brojeva i sastavio ih kao najljepša i najbolja, koliko se to moglo. 32 Vatra, zemlja, voda i zrak su tijela, a tijela imaju obujam, a obujam ima površinu, a svaka površina koja ima ravne rubove sastoji se od trokuta. Svi trokuti potječu od dvaju, od kojih svaki ima po jedan pravi kut i dva oštra. Od ta dva trokuta jednakokračni može imati samo jedan oblik (prirodu) a onaj drugi može ih imati beskonačno. Platon izabire najljepšega od njih, a to je onaj koji, kada se udvostruči, dobije se jednakostranični trokut, odnosno kojemu je kvadrat veće stranice (katete) uvijek jednak utrostručenomu kvadratu manje stranice. Od tih šest manjih, najljepših raznostraničnih trokuta, oblikuje se istostranični trokut. Od toga trokuta nastaju vatra, voda i zrak, a od jednakokračnoga nastaje zemlja. Platon vatri pridaje oblik piramide (tetraedra), koji se dobije oblikovanjem četiriju istostraničnih odnosno dvadeset četiriju manjih raznostraničnih trokuta; zraku pridaje oblik oktaedra, koji se dobije od osam istostraničnih trokuta, odnosno od četrdeset osam manjih raznostraničnih trokuta; vodi pridaje oblik ikosaedra, koji se dobije od dvadeset istostraničnih odnosno stotinu dvadeset manjih raznostraničnih trokuta; zemlji pridaje oblik kocke (heksaedra), koja nastaje najprije spajanjem onih četiriju istokračnih trokuta, od kojih nastaje kvadrat, pa od tih šest kvadrata, odnosno od dvadeset četiriju istokračnih trokuta, oblikuje se kocka. Platon tvrdi da postoji još jedan, peti, oblik, a to je dodekaedar, koji je sastavljen od dvanaest stranica, koje su pravilni peterokuti i koji se ne mogu oblikovati ni od jednoga od onih dvaju trokuta. Taj je oblik Bog, tvrdi Platon, upotrijebio za svemir Usp. Platon, Timej, 28 b 31 b. 32 Usp. Platon, Timej, 48 b 53 b. 33 Usp. Platon, Timej, 53 c 55 c. G. Reale, Per una nuova interpretazione..., str

7 Ivan Tadić, Traganje za početkom svemira U opisivanju uređenja tijela svemira, Platon polazi od tvrdnje da ono što je nastalo mora biti tjelesno, a to znači vidljivo i opipljivo. Bez vatre ne može nastati ništa vidljivo, ni išta opipljivo bez nečega tvrda, a ništa tvrda bez zemlje. Zato je, kaže Platon, Bog počeo sastavljati tijelo svemira od vatre i zemlje. Između vatre i zemlje postavio je vodu i zrak, koliko god se moglo u istomu međusobnomu omjeru, tako da ono što je vatra prema zraku, bude zrak prema vodi, a ono što je zrak prema vodi, bude voda prema zemlji. Tako ih je međusobno povezao i sastavio opipljivo i vidljivo tijelo svemira. Svemir je sastavio od sve vatre, svega zraka, sve zemlje i vode i dao mu oblik kugle, koja u sebi obuhvaća sve moguće likove, i zavrtio ga u krug, isključivši mu drugih šest kretanja. 34 Svemir, kao živo biće, prema Platonu, ima osim tijela i dušu, koja gospodari tijelom. Bog je najprije sastavio: posredno Biće od nedjeljivoga i djeljivoga Bića, posredno Isto od nedjeljivoga i djeljivoga Istoga i posredno Različito od nedjeljivoga i djeljivoga Različitoga, pa je, od posrednoga Bića, posrednoga Istoga i posrednoga Različitoga, oblikovao dušu prije nego tijelo svijeta. Zato je ona, s obzirom na postanak i vrlinu, starija od tijela. 35 Sa svijetom je nastalo i vrijeme, koje je, prema Platonu, nekakva pokretna slika vječnosti, koja protječe u skladu s brojem. Za vječnost se može ispravno reći samo da je, a ta pokretna slika vječnosti u sebi uključuje bilo je i bit će. Taj se brojevni odnos određuje danima, noćima, mjesecima i godinama, kojih nije bilo prije svijeta odnosno prije nastanka Sunca, Mjeseca i drugih nebeskih tijela, čije kružno gibanje određuje te vremenske brojeve. 36 Vidimo da je Platon pokušao napraviti neku rekonstrukciju oblikovanja svemira pomoću matematike odnosno geometrije. Iznio je misao o početku svemira i to pomoću matematičke strukture. Bertrand Russell to Platonovo uređenje svemira naziva geometrijskim ili matematičkim atomizmom. 37 Platonova je poglavita zasluga u tomu što je s nastankom svijeta povezao i nastanak vremena, što je važno za suvremenu kozmologiju. I drugi su vidovi Platonova Timeja zanimljivi suvremenim fizičarima 34 Usp. Platon, Timej, 31 b 34 a. 35 Usp. Platon, Timej, 35 a; G. Reale, Per una nuova interpretazione..., str Usp. Platon, Timej, 37 d 38 d. 37 Usp. B. Russell, Mudrost Zapada, Mladost, Zagreb, , str

8 Crkva u svijetu, 43 (2008), br. 2, i kozmolozima. 38 Tako Werner Heisenberg neka shvaćanja antičke filozofije vidi blizima onima u suvremenoj prirodnoj znanosti i u prvomu trenutku može se činiti da su grčki filozofi svojom intuicijom došli do istih ili makar sličnih spoznaja do kojih se došlo, nakon više stoljeća naporna rada, pokusima i matematikom. Međutim, on naglašava da ipak postoje velike razlike između moderne prirodne znanosti i grčke filozofije, a jedna od najvažnijih sastoji se upravo u empirijskom stavu moderne prirodne znanosti. ( ) Kada npr. Platon kaže da su najmanje čestice ognja tetraedri, nije lako vidjeti što on stvarno pod tim misli. Pripada li oblik tetraedra samo simbolički elementu ognja ili se najmanje čestice ognja ponašaju mehanički kao kruti tetraedar ili otprilike kao elastični tetraedar i kojim se silama oni mogu rastaviti na trokute o kojima govori Platon? Moderna prirodna znanost morala bi napokon uvijek pitati kako se može eksperimentalno odlučiti da su atomi ognja tetraedri, a ne možda nešto drugo, npr. kocke. 39 Ako imamo u vidu ono što Timej u svomu metafizičkomu uvodu kaže Sokratu da se ne čudi ako ne bude mogao upotrijebiti odgovarajuća i točna obrazloženja nastanka svemira, jer je to vjerojatno pripovijedanje, 40 kao što je sva spoznaja koja se u Platonovoj filozofiji odnosi na osjetilni svijet, koji ima glavnu značajku nastajanja, onda se u takvu govoru o nastanku svijeta ne može ni očekivati provjeravanje ispravnosti te tvrdnje pomoću pokusa, za čim suvremena prirodna znanost teži. Za razliku od Platona, Aristotel smatra da je vrijeme vječno. Vrijeme nije kretanje, ali ga nema bez kretanja i promjene. Značajke kretanja i vremena su prije i poslije. Kada zamijetimo prije i 38 Spomenimo Heisenbergovu kratku raspravu Platons Vorstellungen von den kleinsten Bausteinen der Materie und der Elementarteilchen der modernen Physik, iz godine, u kojoj on nalazi sličnosti između Platonove odnosno grčke kozmologije i moderne atomske fizike. U modernoj atomskoj fizici umjesto zemlje, vode, zraka i vatre dolaze važne osnovne čestice tvari: protoni, neutroni, elektroni i druge čestice. Osim toga Platon govori o zraku, vodi, vatri, koji mogu prelaziti jedni u druge, kao što i moderna fizika govori o česticama koje prelaze jedne u druge. Sličnost između Platona i moderne atomske fizike Heisenberg vidi i u matematičkim oblicima koji su u pozadini Platonove kozmologije i moderne atomske fizike, premda su današnji matematički oblici, kojima se pokušavaju prikazati osnovne čestice, zamršeniji nego bilo koji geometrijski oblici kod Grka. Usp. Fritz Hollwich (hrsg.), Im Umkreis der Kunst. Eine Festschrift für Emil Preetorius, Im Insel Verlag, Wiesbaden, 1954., str O suvremenoj kozmologiji i razumijevanju Timeja usp. T. Petković, Uvod u modernu kozmologiju i filozofiju, Gradska knjižnica Juraj Šižgorić, Šibenik Element, Zagreb, , str W. Heisenberg, Fizika i filozofija, KruZak, Zagreb, 1997., str Usp. Platon, Timej, 29 c - d. 241

9 Ivan Tadić, Traganje za početkom svemira poslije, tada kažemo kako biva vrijeme. Vrijeme je broj kretanja naprama prije i poslije. 41 Osim prije i poslije, vrijeme u sebi uključuje i sada, koje je završetak prošloga a početak budućega vremena. Ono spaja odnosno razgraničuje prošlo i buduće vrijeme, pa po tome sada vrijeme je neprekidno, ali ono se i dijeli prema sada. 42 Nemoguće je, tvrdi on, a ne može se ni zamisliti vrijeme niti ono može postojati bez sada, a budući da je sada svršetak prošloga i početak budućega, uvijek mora postojati vrijeme. A uz to, kako će bivati prije i poslije, ako ne bude vremena? Ili pak i samo vrijeme, ako nema kretanja? Ako je vrijeme broj kretanja, ili je i samo neko kretanje, onda ako je vrijeme vječno, nužno biva vječno i kretanje. 43 Ne slaže se s Anaksagorom, koji je smatrao da su sve stvari bile zajedno i mirovale neograničeno vrijeme, a onda da im je Um dao gibanje, jer da nešto neograničeno vrijeme miruje, a zatim se jednom pokrene, te da u tome nema nikakve razlike zašto li je radije sada negoli prije, kao što je opet i bez ikakva poretka, nikako ne može više biti djelo naravi. 44 On isključuje pretpostavku nekoga vremena, u kojemu se ništa ne bi kretalo, pa je prema tomu i kretanje vječno kao i vrijeme. Budući da nema gibanja bez onoga što se giba, a nebeska se tijela gibaju kružnim neprekidnim kretanjem, dakle, svijet se vječno giba, odnosno on je vječan, kao i onaj koji sve to pokreće, jer budući je nužno da se pokretano pokreće od nekoga, i nužno je da prvotno pokretalo bude po sebi nepokretno, te da se vječno kretanje pokreće od nečega vječnoga i ono jedno od jednoga. 45 Nepokretni pokretač je Bog, koji misli ono što je najbolje, a to znači sebe sama i život je u njemu prisutan; jer djelatnost uma je život, a On je ta djelatnost, i Njegova djelatnost po sebi život je najbolji i vječni. Stoga kažemo da je Bog živ, vječan, najbolji, tako te su život i vrijeme neprekidno i vječno prisutni u Bogu. Jer to jest Bog. 46 Dakle, za Aristotela svijet nije bezbožan iako je taj svijet vječan. Štoviše, njegova je fizika upućena na metafiziku, jer vječnost svijeta odnosno vječno gibanje uključuje i Boga, kao onoga koji vječno pokreće a sâm je nepokretan. Tako Aristotel pomoću vremena i gibanja povezuje svoju fiziku i metafiziku. 41 Aristotel, Fizika, IV ( ), 11, 219 b 1 2. (str. 92.). 42 Aristotel, Fizika, IV ( ), 11, 220 a 5. (str. 94.). 43 Aristotel, Fizika, VIII ( ), 1, 251 b (str. 167.). 44 Aristotel, Fizika, VIII ( ), 1, 252 a (str. 168.). 45 Aristotel, Metafizika, XII ( ), 8, 1073 a (str. 255.). 46 Aristotel, Metafizika, XII ( ), 7, 1072 b (str. 253.). 242

10 Crkva u svijetu, 43 (2008), br. 2, Možemo reći da su Platon i Aristotel tim svojim tvrdnjama utrli putove dvama filozofijskim pravcima s dvjema suprotnim tvrdnjama: svijet je nastao i svijet je vječan. 3. SV. AUGUSTIN I SV. TOMA AKVINSKI Za razliku od Platona, koji nije poznavao pojam stvaranja ni iz čega, sv. Augustin tvrdi da je Bog stvorio svijet, uključujući i onu tvar koju Sveto pismo naziva nevidljivom i neuređenom zemljom i mračnim bezdanom, 47 i vrijeme sa svijetom ili svijet s vremenom, a ne u vremenu. 48 U jedanaestoj knjizi Ispovijesti razlaže pitanje koje se obično postavlja: Što je radio Bog prije nego je stvorio nebo i zemlju? Ako je naime mirovao kažu i nije radio ništa, zašto nije tako ostao uvijek i dalje kao što se uvijek prije ustezao od svakoga djela? Ako je naime ikakav novi pokret nastao u Bogu i nova volja da sazda stvorenje kojega nikada prije nije bio sazdao, kako to može biti prava vječnost gdje se rađa volja koje prije nije bilo? ( ) Ako je pak Božja volja uvijek bila da postoji stvorenje, zašto nije i stvorenje vječno. 49 On ne odgovara na to postavljeno pitanje onako kako mu neki znanstvenici 50 pogrješno pripisuju, nego ovako: Ne odgovaram onako kako se priča da je netko šaljivo izmičući teškom pitanju odgovorio Spremao je pakao onima koji istražuju tako visoke stvari! Drugo je vidjeti, a drugo zbijati šalu. Zato ja ne odgovaram tako. Radije bih odgovorio: Ne znam, kad nešto ne znam, nego tako da bude ismijan onaj koji je postavio visoka pitanja, a pohvaljen onaj koji je lažno odgovorio. Nego kažem da si ti, Bože naš, Stvoritelj svega stvorenja, pa ako se pod imenom neba i zemlje razumijeva sve stvorenje, 47 Usp. Augustinus, Confessionum libri tredecim, XII, 22, 31. (hrv. prijevod: KS, Zagreb, , str U nastavku ćemo izvorno djelo označiti kraticom Confess., a u zagrade stavljati brojeve stranica ovoga izdanja odakle navodimo tekst hrvatskoga prijevoda Stjepana Hosua. 48 Usp. Augustinus, De civitate Dei, XI, Augustinus, Confess., XI, 10, 12. (str. 260.). 50 Arno Penzias, primjerice, tvrdi, da je Augustin, kada su mu postavili pitanje: Što je Bog radio prije nego je stvorio svijet? odgovorio: Stvorio je pakao za one koji postavljaju slična pitanja. A. Penzias, L origine dell universo. Un segnale che ha cambiato la visione del mondo, Di Renzo Editore, Roma, 2006., str. 21. Iz izvornoga se Augustinova teksta vidi da je takva tvrdnja posve suprotna stavu sv. Augustina. 243

11 Ivan Tadić, Traganje za početkom svemira smiono kažem: Prije nego je Bog stvorio nebo i zemlju, nije radio ništa. Ako je naime nešto radio, što je to bilo ako ne stvorenje? 51 Budući da je Bog stvorio i vrijeme, pa nije moglo prolaziti vrijeme prije nego ga je Bog stvorio, zato kaže: Ako pak prije neba i zemlje nije bilo nikakva vremena, zašto se pita što si tada radio? Jer nije bilo nikakva tada dok nije bilo nikakva vremena. 52 Dakle, prije stvaranja nije bilo vremena i vrijeme počinje stvaranjem. 53 Bog je vječan i on je prije svih vremenâ, ali nije prije njih u vremenu, jer inače ne bi bio prije svih vremenâ. Bog je u početku poznavao i stvorio nebo i zemlju, a da se u njemu nisu promijenili njegovo znanje ni djelovanje. Neka dakle uvide da ne može postojati nikakvo vrijeme bez stvorenja i neka prestanu govoriti takve gluposti. Neka upru pogled i na ono što je pred njima, i neka shvate da si ti prije svih vremena vječni Stvoritelj svih vremena i da nijedno vrijeme nije s tobom suvječno, i nijedno stvorenje, ako i ima koje stvorenje iznad vremenâ. 54 Augustin tvrdi da svako stvorenje ima početak, a vrijeme je također stvorenje, pa i ono ima početak, pa zbog toga nije suvječno sa Stvoriteljem. 55 Vidimo da ono što Aristotel nije mogao riješiti drukčije nego zaključiti da je vrijeme vječno, jer svako sada uključuje neko prije, a prije je značajka vremena, Augustin to rješava Božjom vječnošću, premda priznaje da zna što je vrijeme ako ga nitko ne pita, međutim, ako bi to htio nekomu razjasniti, onda ne zna. Ipak zna kad ne bi ništa prolazilo, da ne bi bilo prošloga vremena, i kad ne bi ništa dolazilo, da ne bi bilo budućega vremena, i kad ne bi ništa postojalo, da ne bi bilo sadašnjega vremena. 56 Glavna značajka vremena je prolaznost trenutaka koji se ne mogu odvijati zajedno, jer nijedno vrijeme nije cijelo u sadašnjosti, a i sadašnje vrijeme prelazi u prošlost, jer ako ne bi prelazilo u prošlost, ne bi više bilo vrijeme nego vječnost. Glavna je značajka vječnosti da nema prošlosti ni budućnosti. U njoj ništa ne prolazi nego je sve sadanje i ona određuje buduća i prošla vremena. 57 Dakle, glavna razlika između vremena i vječnosti je kakvoćne 51 Augustinus, Confess., XI, 12, 14. (str ). 52 Augustinus, Confess., XI, 13, 15. (str. 262.). 53 Usp. Augustinus, De Genesi ad litteram libri duodecim, V, 5, Augustinus, Confess., XI, 30, 40. (str. 278.). 55 Usp. Augustinus, De Genesi ad litteram imperfectus liber, 3, Augustinus, Confess., XI, 14, 17. (str., 263.). 57 Usp. Augustinus, Confess., XI, 11, 13. i 14,

12 Crkva u svijetu, 43 (2008), br. 2, i metafizičke, a ne kolikoćne naravi. 58 Vječnost je apsolutno nepromjenljiva. Ona je značajka Boga, stvoritelja slobodâ i vremenâ, 59 a vrijeme je promjenljivo, što je značajka stvorenja. Zato vrijeme ne može biti suvječno s Bogom. Sv. Augustin koristeći formalnu analogiju između prostora i vremena, koja je bila nepoznata Aristotelovoj i novoplatonovskoj filozofiji, odbacuje i mišljenje onih koji tvrde da je svijet vječan. 60 O vječnosti ili početku svijeta raspravljali su i srednjovjekovni teolozi i filozofi. Prije nego što iznesemo misli i stavove sv. Tome Akvinskoga, spomenimo da su neki mislitelji njegova doba, primjerice, Vilim iz Auxerrea, Vilim iz Auvergnea, Aleksandar Haleški i sv. Bonaventura, smatrali da se može dokazati da svijet nije vječan. 61 Tako sv. Bonaventura tvrdi da reći da je svijet vječan i da su sve stvari ni iz čega učinjene, posve je protivno istini i razumu, jer u sebi uključuje očito protuslovlje. 62 S druge strane, latinski averoisti, kao Siger Brabantski i Boecije iz Dacije, zastupali su da je svijet vječan, čije je tvrdnje, god., osudio pariški biskup Tempier. 63 I sv. Toma, u Izlaganju o Apostolskom vjerovanju, tvrdi: Valja odbaciti i zabludu onih koji pretpostavljaju da je svijet od vječnosti, 64 a na drugomu mjestu: Isto tako griješe oni koji iz nekih promjena u sadašnjem razvijenom stanju svijeta žele dokazati da je njegov vremenski početak nužan, odnosno nemoguć. 65 Poteškoća, pred kojom se nalazio sv. Toma nije bila utvrditi ima li svijet vremenski početak ili nema, jer, prema Svetomu pismu, svijet nije vječan, nego utvrditi je li ta istina vjere i istina razuma, 58 L. Alici, Tempo ed eternità, u: A. Agostino, La Città di Dio, Rusconi, Milano, , str J. Guitton, Le Temps et l Eternité chez Plotin et saint Augustin, Paris, 1933., str Usp. J Guitton, nav. dj., str Budući da je svijet nastao stvaranjem, čime počinje i vrijeme, Augustin smatra, da svijet nije suvječan s Bogom. Usp. Augustinus, De Genesi contra Manichaeas libri duo, I, 2, Usp. E. Bertola, Tommaso d Aquino e il problema dell eternità del mondo, u: Rivista di filosofia neoscolastica LXVI (1974.), str Usp. S. Bonaventurae, Commentarii in quattuor Libros Sententiarum Petri Lombardi, II, d. I, q. 1, a Usp. T. Vereš, Iskonski mislilac, Dominikanska naklada Istina, Zagreb, 1978., str Sv. Toma Akvinski, Izlaganje o Apostolskom vjerovanju, u: Isti, Stožeri kršćanske vjere, Symposion, Split, 1981., str T. de Aquino, Scriptum super Libros Sententiarum Magistri Petri Lombardi Episcopi Parisiensis, II, d. 1, q. 1, a. 5 co. (hrv. prijevod prema: T. Vereš, Iskonski mislilac, Dominikanska naklada Istina, Zagreb, 1978., str. 96.). 245

13 Ivan Tadić, Traganje za početkom svemira a to znači razumski dokazljiva. 66 U djelu Summa Theologiae on tvrdi da samo vjerom možemo držati da svijet nije vječan odnosno da ima početak, ali se to ne može dokazati. 67 Gledano sa stajališta vjere odnosno teologije, kojoj je uporište Objava, svijet nije vječan odnosno ima početak u vremenu, a što se tiče filozofije, kojoj je uporište razum odnosno um, na to se pitanje ne može sigurno odgovoriti, unatoč tomu što filozofi priznaju i dokazuju uzročnu zavisnost svijeta o Bogu. Iz toga se vidi da je stav sv. Tome Akvinskoga, što se tiče početka ili vječnosti svijeta, posebno zanimljiv i poseban u povijesti filozofske i teološke misli. 68 U raspravi De aeternitate mundi, on kaže da ako se tvrdi da svijet oduvijek postoji i da ga Bog nije stvorio bila bi to strahovita zabluda ne samo s vjerskog stajališta nego i prema filozofima koji priznaju i dokazuju da sve što postoji, na bilo koji način, nužno zavisi uzročno od onog bića koje najpotpunije i najistinskije ima bitak. 69 On tvrdi da je Bog mogao učiniti da oduvijek postoji ono što je učinio i nije nužno da on trajanjem prethodi svomu učinku, pa zaključuje, i u tomu je ta njegova zanimljivost, da nema pojmovnoga proturječja u tvrdnji da je Bog nešto stvorio, a ipak to oduvijek postoji. 70 Opus Thomisticum obuhvaća rasprave o vječnosti svijeta i na drugim mjestima osim gore spomenutih, 71 što pokazuje koliko je to zaokupljalo Akvinčevu misao. Da bi se makar donekle dobio uvid u te njegove rasprave, izdvojit ćemo neke dokaze iz njegova djela Summa contra Gentiles Usp. E. Bertola, nav. čl., str Usp. T. de Aquino, Summa Theologiae, I, q. 46., a Usp. T. Vereš, nav. dj., str T. de Aquino, De aeternitate mundi, 1 (hrv. prijevod: T. Akvinski, Izabrano djelo, Globus, 1981., str. 101.). U nastavku ćemo u zagrade stavljati broj stranice ovoga izdanja odakle navodimo tekst hrvatskoga prijevoda Tome Vereša. 70 T. de Aquino, De aeternitate mundi, 8 (str. 107.). 71 Ovdje spominjemo sljedeće rasprave: Scriptum super Libros Sententiarum Magistri Petri Lombardi Episcopi Parisiensis, II, d. 1, q. 1, a. 2.; Questio Disputata De Potentia Dei, q. III, a. 1; Questiones Quodlibetales III i XII. Sv. Toma je god., za Božić i Uskrs, držao predavanja o vječnosti svijeta na Sveučilištu u Parizu. Pelster drži da je Q. Quod. XII napisana god , u Napulju, a Natali, Glorieux, Mandonnet i Gorce drže da je napisana god., Synave i Paschate, god., u Parizu. Usp. S. Thomae Aquinatis, Questiones Quodlibetales, a cura di R. Spiazzi, Marietti, Romae, , str. IX. 72 Usp. T. de Aquino, Summa contra Gentiles, II, c (hrv. prijevod: T. Akvinski, Summa protiv pogana, KS, Zagreb, 1993., str ). U nastavku 246

14 Crkva u svijetu, 43 (2008), br. 2, U tomu djelu, nakon što je pokazao da nije nužno da su stvorene stvari postojale odvijeka (poglavlje 31.), on iznosi različite razloge, najprije onih koji hoće dokazati vječnost svijeta, koji su uzeti sa strane Božje (poglavlje 32.), sa strane stvorova (poglavlje 33.) i sa strane same tvorbe 73 (poglavlje 34.). Donosi rješidbu tih razloga (poglavlja ) i na koncu donosi i razloge kojima neki nastoje pokazati da svijet nije vječan i suprotstavlja im proturazloge (poglavlje 38.). Izdvojimo drugi, četvrti i peti razlog, koji su uzeti sa strane Božje, a kojima se želi pokazati vječnost svijeta, i pogledajmo kako te razloge rješava sv. Toma. Drugi razlog: Učinak, proizlazi od djelatelja na temelju njegove djelatnosti. Ali Božja je djelatnost vječna; inače bi od djelatelja u mogućnosti postao djelatelj u zbiljnosti, te bi trebalo da bude izveden u zbiljnost od nekog prvotnijeg djelatelja, što je nemoguće. Dakle, stvari od Boga stvorene bile su od vječnosti. 74 Taj razlog sv. Toma razrješava tvrdeći da nije nužno da učinak iskonskoga djelatelja bude vječan kao i njegova djelatnost, jer se učinak uma i volje ostvaruje onako kako i kada odredi um i zapovjedi volja. 75 Četvrti razlog posvješćuje poteškoću koju smo vidjeli kod sv. Augustina. Izdvajamo njegov bitni tekst: Što god Bog sada hoće da bude, to je od vječnosti htio da bude; ne može mu, doista, nadoći novi pokret volje. ( ) Prema tome čini se nužnim da je stvorenje od vječnosti proizveo u bitak. 76 Sv. Toma odgovara da je u vlasti Božje volje ne samo da učinak bude nego i da bude tada, a to znači da je stvorenje tada počelo postojati kada ga je Bog od vječnosti rasporedio. 77 Misao o kojoj raspravlja peti razlog već smo nakratko susreli kod Aristotela. Umni djelatelj daje prednost jednomu pred drugim zbog toga što je jedno izvrsnije od drugoga. Izvan svih stvorova nema ničega osim Božje vječnosti. Između nebića i nebića nema nikakve razlike, kao što se u ništavilu i u vječnosti ne razlikuju trenutci tako da bi se u jednomu trenutku moralo nešto dogoditi ćemo u zagrade stavljati broj stranice ovoga izdanja odakle navodimo tekst hrvatskoga prijevoda Augustina Pavlovića. 73 Ova tri izraza u navodnicima u izvornomu tekstu glase: ex parte Dei acceptae, sumptae ex parte creaturarum i ex parte factionis. 74 T. de Aquino, Summa contra Gentiles, II, c. 32 (str. 481.). 75 Usp. isto, II, c Isto, II, c. 32 (str. 481.). 77 Usp. isto, II., c

15 Ivan Tadić, Traganje za početkom svemira radije nego u drugomu. Prema tomu, Božja se volja jednako odnosi kroz cijelu vječnost na tvorbu stvorenja, pa je njegova volja ili da stvorenje nikada ne nastane ili da uvijek bude. Budući da stvorenja jesu, prvo je isključeno, pa se čini da je stvorenje uvijek bilo. 78 Sv. Toma smatra da prije početka svega stvorenja ne treba pretpostavljati neko trajanje s različitim vremenskim trenutcima, jer je Bog u bitak proizveo zajedno stvorenje i vrijeme, a ništavilo nema trajanja. Ni Božja vječnost, koja nema dijelova, ne uključuje u sebi prije i poslije. Zato ne treba tražiti razloge početka svega stvorenoga na temelju promišljanja zašto bi se taj početak radije dogodio u jednomu nego u drugomu trenutku, kada tih trenutaka odnosno vremena, prije stvorenja, nije bilo. 79 Navedimo dva razloga, peti i šesti, kojima se dokazuje vječnost svijeta, koji su uzeti sa strane stvorova, i njihovu rješidbu. Ako je vrijeme vječno, i gibanje treba biti vječno, budući da je ono, prema Aristotelovoj definiciji, broj gibanja. Sada, bez čega se ne može pojmiti vrijeme, uvijek je konac protekloga i početak budućega. Bilo koji zadani sada ima prije sebe prijašnje vrijeme i nijedan sada ne može biti prvi. Prema tomu vječna su i bića, koja su podložna gibanju, odnosno svijet je vječan. U šestomu se razlogu ističe da ako vrijeme nije bilo uvijek, onda njegov nebitak treba pripustiti prije njegova bitka, a prije ne može postojati, ako nema vremena, pa je vrijeme vječno. 80 U rješidbi tih poteškoća sv. Toma kaže da taj razlog više pretpostavlja negoli dokazuje, jer onaj koji pretpostavlja da gibanje nije vječno može reći da je prvi trenutak početak budućega, a ne svršetak protekloga. I ono prije, o kojemu se govori kada se kaže prije nego je vremena bilo, ne označava neki dio vremena u zbilji nego u mašti odnosno neki zamišljeni prije. 81 Sv. Toma je u Sumi protiv pogana mnogo manje raspravljao o razlozima kojima neki nastoje pokazati da svijet nije vječan, koji, prema njemu, imaju neku vjerojatnost, a ne zaključuju po nužnosti. Zato ih on samo spominje i ne daje im veliku važnost, kako se ne bi učinilo da katolička vjera počiva na nevrijednim razlozima, a ne radije na najpouzdanijem Božjemu nauku Usp. isto, II., c Usp. isto, II., c Usp. isto, II., c Usp. isto, II., c Usp. isto, II., c

16 Crkva u svijetu, 43 (2008), br. 2, Iznesimo prvi, treći i peti razlog protiv vječnosti svijeta i odgovore na njih. Budući da je dokazano da je Bog uzrok svih stvari, pa prema tomu uzrok trajanjem treba prethoditi onomu što nastaje djelatnošću uzroka. Na ovaj razlog prigovorili su oni koji zagovaraju da je svijet vječan, kaže Akvinac, da se to može tvrditi za djelatelje koji nešto rade gibanjem, a kod djelatelja koji djeluju u trenutku, to nije nužno. 83 Treći razlog glasi: Beskonačno se ne može prijeći. A kad bi svijet bio vječan, već bi beskonačno bilo prijeđeno; jer što je proteklo, to je prijeđeno, a ako je svijet bio uvijek, prijeđen je beskonačan broj dana ili sunčevih kružnih gibanja. 84 Sv. Tomi taj razlog nije uvjerljiv, jer beskonačnost ne postoji istodobno u zbilji, a može postojati u postupnosti. Peti razlog: Slijedi da se u nizu tvornih uzroka može ići u beskraj, ako je uvijek bilo rađanja, a to se mora priznati ako svijet oduvijek postoji; jer sinu je uzrok otac, njemu pak drugi, i tako u beskraj. 85 Na ovaj razlog, koji, prema sv. Tomi, također nije uvjerljiv, on kaže da je nemoguće ići u beskraj u nizu uzroka koji istodobno djeluju, međutim, u nizu uzroka koji ne djeluju istodobno, to nije nemoguće, prema onima koji pretpostavljaju trajno nastajanje. 86 Iz toga se vidi da je sv. Toma htio pokazati da nisu nepobitni filozofijski dokazi ni onih koji tvrde da je svijet vječan, a ni onih koji tvrde da ima vremenski početak. Kao da je sv. Toma, tim svojim stavom, pripremio put Kantovoj prvoj antinomiji. 4. KANTOV POKUŠAJ RJEŠENJA ANTINOMIJE POČETKA ILI VJEČNOSTI SVIJETA U KRITICI ČISTOGA UMA Immanuel Kant se u svomu djelu Kritik der reinen Vernunft, točnije rečeno u transcendentalnoj dijalektici, bavio vječnošću odnosno početkom svijeta i to uriječio kao prvi spor transcendentalnih ideja, u prvu antinomiju. Tvrdnja (teza) te 83 Usp. isto. 84 Isto, (str. 505.). 85 Isto. 86 Isto, (str. 507.). 249

17 Ivan Tadić, Traganje za početkom svemira antinomije glasi: svijet ima početak u vremenu, a s obzirom na prostor također je ograničen granicama, 87 a protutvrdnja (antiteza): Svijet nema početka i granica u prostoru, nego je beskonačan kako u pogledu vremena, tako i prostora. 88 Zanimljivo je da on tvrdnju i protutvrdnju ne dokazuje izravno nego tvrdnju polazeći od protutvrdnje, a protutvrdnju polazeći od tvrdnje. U raspravi Prolegomena zu einer jeden künftigen Metaphysik die als Wissenschaft wird auftreten können Kant tvrdi da se teza kao i antiteza može dokazati s pomoću jednako očigledno jasnih i nepobitnih dokaza (za ispravnost svih tih dokaza ja jamčim). 89 Kant pokušava razriješiti tu antinomiju u sustavu svoga transcendentalnog idealizma. Štoviše, antinomija može služiti, drži on, kao neizravni dokaz transcendentalnoga idealizma. Da bismo bolje razumjeli rješenje, koje Kant nudi, kažimo da on razlikuje analitičku i dijalektičku opoziciju. Kod analitičke opozicije, ako je neispravan prvi sud, primjerice, sud: svijet je beskonačan, mora biti ispravan drugi, primjerice, sud svijet nije beskonačan, međutim, kod dijalektičke opozicije, primjerice, sud: svijet je beskonačan i sud: svijet je konačan, oba suda mogu biti neispravna. Ako se ta dva suda smatraju međusobno kontradiktorno oprječna, onda se, tvrdi Kant prihvaća da je svijet (čitavi niz pojava) stvar sama o sebi. ( ) No ako oduzmem ovu pretpostavku ili ovaj transcendentalni privid i ako poričem da je on sama stvar o sebi, onda se kontradiktorno proturječje obiju tvrdnja preobražava samo u dijalektičko proturječje, a budući da svijet i ne egzistira sam o sebi (nezavisno od regresivnoga niza mojih predodžbi), on ne egzistira ni kao o sebi beskonačno ni kao o sebi konačno cijelo. On se samo može naći u empirijskome regresu niza, a nikako sam za sebe. Ako je stoga taj niz neprestano uvjetovan, onda on nikada nije sasvim dan, a svijet prema tome 87 I. Kant, Kritik der reinen Vernunft, B 454, A 426 (hrv. prijevod: Kritika čistoga uma, Nakladni zavod Matice hrvatske, Zagreb, 1984., str. 209.). U nastavku ćemo Kritik der reinen Vernunft pisati skraćenicom: K. r. V., a u zagradama hrvatski prijevod skraćenicom: K. č. u. i odgovarajućim stranicama toga prijevoda Viktora D. Sonnenfelda. 88 K. r. V., B 455, A 427 (K. č. u., str. 209.). 89 Prolegomena zu einer jeden künftigen Metaphysik die als Wissenschaft wird auftreten können, 52 (hrv. prijevod: Prolegomena za svaku buduću metafiziku, u: I. Kant, Dvije rasprave, Matica hrvatska, Zagreb, 1953., str. 98.). U nastavku izvorno ćemo djelo, na njemačkomu jeziku, pisati skraćenicom: Prolegomena, a u zagradama stranice hrvatskoga prijevoda Viktora D. Sonnenfelda. 250

18 Crkva u svijetu, 43 (2008), br. 2, nije neuvjetovano cijelo, dakle i ne egzistira kao takvo, ni s beskonačnom, ni s konačnom veličinom. 90 Antinomija se dokida tako što se pokazuje da je ona samo dijalektična i proturječje privida, koji proizlazi odatle što se ideja totaliteta, koja vrijedi samo kao uvjet stvari o sebi, primijenila na pojave koje egzistiraju jedino u predodžbi i ukoliko sačinjavaju niz, u sukcesivnome regresu, ali inače nigdje, 91 tvrdi Kant. U temelju tvrdnje kao i protutvrdnje te antinomije stoji, prema Kantu, protuslovan pojam osjetilnoga svijeta postojećega u sebi, a on tvrdi da je osjetilni svijet samo skup pojava, kojega bitak i veza opstoji samo u predodžbi, naime u iskustvu, jer osjetilni svijet nije stvar o sebi, nego je samo vrsta predodžbe. 92 Ne može se odgovoriti na pitanje o vremenskoj beskonačnosti ili konačnosti svijeta, jer nemoguće je iskustvo o beskonačnomu vremenu a ni iskustvo o ograničenosti svijeta praznim vremenom. To su samo ideje, a ne pojmovi. 93 Dakle, prema Kantu, svijet, ni svjetski niz uvjeta prema uvjetovanomu ne može nikada biti dan sav nego samo pomoću regresa, koji se sastoji samo u određivanju veličine, a ne daje određen pojam o veličini, koja bi bila beskonačna ili konačna, odnosno taj regres ne ide u beskonačnost kao danu nego u neodređenu daljinu. To znači da taj regres u nizu svjetskih pojava, kao određenje veličine svijeta, ne ide in infinitum, jer bi to pretpostavilo beskonačnu veličinu svijeta, niti in finitum, jer je apsolutna granica iskustveno nemoguća, nego in indefinitum, a to znači neodredivo daleko. Dakle, taj regres ima pravilo da od svakoga člana niza kao uvjetovanoga, uvijek moramo ići k još daljemu i da nigdje ne prekinemo proširivanje moguće iskustvene primjene svoga razuma, što je pravi i jedini posao uma kod njegovih načela. 94 Prema Kantu, taj svjetski niz ne može biti ni veći ni manji nego mogući iskustveni regres, na kojemu se temelji njegov pojam. Budući da regres ne može dati određenu beskonačnost ni određenu konačnost, prema tomu veličinu svijeta ne možemo 90 K. r. V., B 532, A 504 (K. č. u., str ). 91 K. r. V., B 534, A 506 (K. č. u., str. 241.). 92 Prolegomena, 52 c (str ). 93 Usp. Prolegomena, 52 c. 94 K. r. V., B 545, A 517 (K. č. u., str ). 251

19 Ivan Tadić, Traganje za početkom svemira prihvatiti ni kao konačnu ni kao beskonačnu, jer regres, kojim se ta veličina predočuje, ne dopušta ni jednu ni drugu mogućnost. 95 Iz ovoga vidimo da Kant nije razriješio postavljenu antinomiju, ako se njezina pitanja odnose na svijet u sebi a ne na svijet kao skup fenomena. Kant priznaje postojanje predmeta izvan nas, o kojima ništa ne znamo. 96 Tako je Kant kozmološko pitanje o vremenskomu početku svijeta preoblikovao u pitanje o fenomenima odnosno o iskustvenomu regresu i idejama, čime nije riješio prvu antinomiju odnosno spor o vječnosti ili početku svijeta. 5. TRAGANJE ZA POČETKOM SVIJETA U SUVREMENOJ KOZMOLOGIJI I suvremena kozmologija pokušava spoznati početak i razvitak svemira. Postoje različite teorije o postanku svemira. Ovdje ćemo ukratko razmotriti samo ono što se odnosi na pitanje o početku svemira kako ga prikazuje teorija standardnoga modela odnosno Velikoga praska, bez izlaganja pojedinosti o samomu razvitku svemira. Iznesimo ukratko neke misli i podatke koji povezuju početak svemira s Velikim praskom. Godine belgijski katolički svećenik, matematičar i astronom, profesor na Sveučilištu u Louvainu, Georges Lemaître, kojega neki smatraju ocem teorije Velikoga praska, 97 iznio je misao o prostoru koji se širi, što je bilo neko posredno rješenje između Einsteinova i de Sitterova modela, a god. pretpostavku o prvotnomu atomu (l hypothèse de l atome primitif) od kojega je 95 Usp. K. r. V., B 547, A 519 (K. č. u., str. 246.), bilješka. 96 Kant tvrdi: Nama su stvari dane kao predmeti naših osjetila, koji se nalaze izvan nas, ali o tom, što su te stvari same o sebi, ne znamo mi ništa, nego spoznajemo samo njihove pojave, t. j. predodžbe, koje one u nama proizvode, kad aficiraju naša osjetila. Prema tome ja na svaki način priznajem, da izvan nas ima tjelesa, t. j. stvari, koje mi, premda nama posve nepoznate po onome, što su same o sebi, poznajemo po predodžbama, koje nam pribavlja njihov utjecaj na našu osjetilnost i kojima dajemo naziv tijela. Ova riječ znači dakle samo pojavu onoga nepoznatoga, ali zato ništa manje zbiljskoga predmeta. Prolegomena 13, Anmerkung II (str. 44.). 97 Usp. B. Parker, La creazione. La storia dell origine e dell evoluzione dell universo, Frassinelli, Varese, 1991., str. 57.; D. Lambert, Znanost i teologija. Oblici dijaloga, KS, Zagreb, 2003., str. 78. Usp. D. Lambert, Le figure del dialogo scienza-teologia: ostacoli e prospettive, u: R. Martìnez J. J. Sanguineti (a cura di), Dio e la natura, Armando, Roma, 2002., str , ovdje str

20 Crkva u svijetu, 43 (2008), br. 2, nastao svemir. 98 Taj atom-svemir (l atome univers) razbio se na djeliće. Razvitak svemira uspoređuje s vatrometom. Prostor je počeo s prvotnim atomom a početak prostora značio je i početak vremena. Obzorje prostora i vremena počinje od nule. 99 Dakle, prostor i vrijeme počinju s prvotnim atomom odnosno sa svijetom. Edwin Hubble je god. otkrio da je spektar galaktika pomaknut prema crvenomu, što znači da se sve one međusobno udaljuju. Taj je pomak razmjeran udaljenosti galaktika odnosno što je neka galaktika od nas udaljenija to se od nas brže udaljuje. To je značilo da svemir nije statičan nego da se širi. Otkriće širenja svemira Stephen Hawking naziva jednom od najvećih intelektualnih revolucija dvadesetoga stoljeća. 100 Ako se galaktike ubrzano udaljuju jedna od druge, to znači da su nekada morale biti mnogo bliže, odnosno sve su u prošlosti morale biti zajedno, pa se tako izračunava starost odnosno nastanak svemira. 101 Godine Robert W. Wilson i Arno Penzias počeli su, kako piše Penzias, mjeriti radio valove koji su dolazili od naše galaktike Mlječnoga puta. Utvrdili su da se za vrijeme opažanja javljao neočekivani pozadinski radio šum, koji je bio nepromjenljiv, bez obzira na usmjerenost antene, što im se činilo da je izvor toga šuma izvan galaktike. Tada su Robert H. Dicke, P. G. Rolle, D. T. Wilkinson, a potom P. J. E. Peebles istraživali zaostalo zračenje, pod pretpostavkom da je teorija Velikoga praska točna. Surađujući s Penziasom i Wilsonom, shvatili su da je taj šum, čiji je izvor bio izvan galaktike, bio gotovo sigurno zaostalo kozmičko pozadinsko mikrovalno zračenje temperature 2,726 stupnjeva Kelvina. 102 Sve to upućuje na to da je svemir nastao. Prema standardnomu modelu Velikoga toplinskog praska, a prema najnovijim podatcima, nastao je prije 13,7 milijardi godina. Znanstvenici pokušavaju istražiti razvitak i spoznati početak svemira. Taj početak odnosno razdoblje od početka pa do Planckova vremena, a to je oko 5, sekunde, 103 ostaje osobiti izazov, jer u Velikomu prasku, 98 Usp. F. Gonseth, Préface, u: G. Lemaître, L hypothèse de l atome primitif. Essai de cosmogonie, Éditions du Griffon, Neuchatel, 1946., str Usp. G. Lemaître, L hypothèse de l atome primitif. Essai de cosmogonie, Éditions du Griffon, Neuchatel, 1946., str S. Hawking, Kratka povijest vremena. Od Velikog praska do crnih jama, Izvori, Zagreb, 1996., str Usp. S. Weinberg, Prve tri minute. Suvremeni pogled na početak svemira, Izvori, Zagreb, 1998., str Usp. A. Penzias, nav. dj., str Usp. T. Petković, nav. dj., str

TEORIJA SKUPOVA Zadaci

TEORIJA SKUPOVA Zadaci TEORIJA SKUPOVA Zadai LOGIKA 1 I. godina 1. Zapišite simbolima: ( x nije element skupa S (b) d je član skupa S () F je podskup slupa S (d) Skup S sadrži skup R 2. Neka je S { x;2x 6} = = i neka je b =

More information

ZANIMLJIV NAČIN IZRAČUNAVANJA NEKIH GRANIČNIH VRIJEDNOSTI FUNKCIJA. Šefket Arslanagić, Sarajevo, BiH

ZANIMLJIV NAČIN IZRAČUNAVANJA NEKIH GRANIČNIH VRIJEDNOSTI FUNKCIJA. Šefket Arslanagić, Sarajevo, BiH MAT-KOL (Banja Luka) XXIII ()(7), -7 http://wwwimviblorg/dmbl/dmblhtm DOI: 75/МК7A ISSN 5-6969 (o) ISSN 986-588 (o) ZANIMLJIV NAČIN IZRAČUNAVANJA NEKIH GRANIČNIH VRIJEDNOSTI FUNKCIJA Šefket Arslanagić,

More information

FIZIKALNA KOZMOLOGIJA VII. VRLO RANI SVEMIR & INFLACIJA

FIZIKALNA KOZMOLOGIJA VII. VRLO RANI SVEMIR & INFLACIJA FIZIKALNA KOZMOLOGIJA VII. VRLO RANI SVEMIR & INFLACIJA KOZMIČKI SAT ranog svemira Ekstra zračenje u mjerenju CMB Usporedba s rezultatima LEP-a Usporedba CMB i neutrina Vj.: Pozadinsko zračenje neutrina

More information

Algoritam za množenje ulančanih matrica. Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek

Algoritam za množenje ulančanih matrica. Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek Algoritam za množenje ulančanih matrica Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek O problemu (1) Neka je A 1, A 2,, A n niz ulančanih matrica duljine n N, gdje su dimenzije matrice

More information

Red veze za benzen. Slika 1.

Red veze za benzen. Slika 1. Red veze za benzen Benzen C 6 H 6 je aromatično ciklično jedinjenje. Njegove dve rezonantne forme (ili Kekuléove structure), prema teoriji valentne veze (VB) prikazuju se uobičajeno kao na slici 1 a),

More information

Uvod u relacione baze podataka

Uvod u relacione baze podataka Uvod u relacione baze podataka Ana Spasić 2. čas 1 Mala studentska baza dosije (indeks, ime, prezime, datum rodjenja, mesto rodjenja, datum upisa) predmet (id predmeta, sifra, naziv, bodovi) ispitni rok

More information

Metode praćenja planova

Metode praćenja planova Metode praćenja planova Klasična metoda praćenja Suvremene metode praćenja gantogram mrežni dijagram Metoda vrednovanja funkcionalnosti sustava Gantogram VREMENSKO TRAJANJE AKTIVNOSTI A K T I V N O S T

More information

PRIPADNOST RJEŠENJA KVADRATNE JEDNAČINE DANOM INTERVALU

PRIPADNOST RJEŠENJA KVADRATNE JEDNAČINE DANOM INTERVALU MAT KOL Banja Luka) ISSN 0354 6969 p) ISSN 1986 58 o) Vol. XXI )015) 105 115 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm PRIPADNOST RJEŠENJA KVADRATNE JEDNAČINE DANOM INTERVALU Bernadin Ibrahimpašić 1 Senka Ibrahimpašić

More information

Bergsonovo poimanje Einsteinove teorije relativnosti

Bergsonovo poimanje Einsteinove teorije relativnosti Izvorni članak UDK 165.24: 53/Bergson, Einstein Primljeno 19. 03. 2006. Ivan Tadić Sveučilište u Splitu, Katolički bogoslovni fakultet, Zrinsko-Frankopanska 19, HR-21000 Split ivan.tadic@st.t-com.hr Bergsonovo

More information

Fajl koji je korišćen može se naći na

Fajl koji je korišćen može se naći na Machine learning Tumačenje matrice konfuzije i podataka Fajl koji je korišćen može se naći na http://www.technologyforge.net/datasets/. Fajl se odnosi na pečurke (Edible mushrooms). Svaka instanca je definisana

More information

Mathcad sa algoritmima

Mathcad sa algoritmima P R I M J E R I P R I M J E R I Mathcad sa algoritmima NAREDBE - elementarne obrade - sekvence Primjer 1 Napraviti algoritam za sabiranje dva broja. NAREDBE - elementarne obrade - sekvence Primjer 1 POČETAK

More information

Geometrijski smisao rješenja sustava od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice

Geometrijski smisao rješenja sustava od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice Osječki matematički list 6(2006), 79 84 79 Geometrijski smisao rješenja sustava od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice Zlatko Udovičić Sažetak. Geometrijski smisao rješenja sustava od dvije linearne

More information

Projektovanje paralelnih algoritama II

Projektovanje paralelnih algoritama II Projektovanje paralelnih algoritama II Primeri paralelnih algoritama, I deo Paralelni algoritmi za množenje matrica 1 Algoritmi za množenje matrica Ovde su data tri paralelna algoritma: Direktan algoritam

More information

Filozofski fakultet u Sarajevu ANAKSIMANDAR DAMIR MARIĆ

Filozofski fakultet u Sarajevu ANAKSIMANDAR DAMIR MARIĆ Filozofski fakultet u Sarajevu ANAKSIMANDAR DAMIR MARIĆ Sarajevo, 2014 Prof. dr. Damir Marić ANAKSIMANDAR Urednik: Prof. dr. Salih Fočo Recenzenti: Dr. Samir Arnautović, redovni profesor Dr. Asim Mujkić,

More information

Slika 1. Slika 2. Da ne bismo stalno izbacivali elemente iz skupa, mi ćemo napraviti još jedan niz markirano, gde će

Slika 1. Slika 2. Da ne bismo stalno izbacivali elemente iz skupa, mi ćemo napraviti još jedan niz markirano, gde će Permutacije Zadatak. U vreći se nalazi n loptica različitih boja. Iz vreće izvlačimo redom jednu po jednu lopticu i stavljamo jednu pored druge. Koliko različitih redosleda boja možemo da dobijemo? Primer

More information

Realizam, vjerojatnost i najbolje objašnjenje*

Realizam, vjerojatnost i najbolje objašnjenje* Prolegomena 12 (2) 2013: 223 243 Realizam, vjerojatnost i najbolje objašnjenje* DUŠAN DOŽUDIĆ Sveučilište u Zagrebu, Hrvatski studiji, Borongajska 83d, 10 000 Zagreb, Hrvatska ddozudic@hrstud.hr IZVORNI

More information

Rešenja zadataka za vežbu na relacionoj algebri i relacionom računu

Rešenja zadataka za vežbu na relacionoj algebri i relacionom računu Rešenja zadataka za vežbu na relacionoj algebri i relacionom računu 1. Izdvojiti ime i prezime studenata koji su rođeni u Beogradu. (DOSIJE WHERE MESTO_RODJENJA='Beograd')[IME, PREZIME] where mesto_rodjenja='beograd'

More information

Zadatci sa ciklusima. Zadatak1: Sastaviti progra koji određuje z ir prvih prirod ih rojeva.

Zadatci sa ciklusima. Zadatak1: Sastaviti progra koji određuje z ir prvih prirod ih rojeva. Zadatci sa ciklusima Zadatak1: Sastaviti progra koji određuje z ir prvih prirod ih rojeva. StrToIntDef(tekst,broj) - funkcija kojom se tekst pretvara u ceo broj s tim da je uvedena automatska kontrola

More information

Matrice traga nula math.e Vol. 26. math.e. Hrvatski matematički elektronički časopis. Matrice traga nula. komutator linearna algebra. Sažetak.

Matrice traga nula math.e Vol. 26. math.e. Hrvatski matematički elektronički časopis. Matrice traga nula. komutator linearna algebra. Sažetak. 1 math.e Hrvatski matematički elektronički časopis komutator linearna algebra Marijana Kožul i Rajna Rajić Matrice traga nula marijana55@gmail.com, rajna.rajic@rgn.hr Rudarsko-geološko-naftni fakultet,

More information

Osobine metode rezolucije: zaustavlja se, pouzdanost i kompletnost. Iskazna logika 4

Osobine metode rezolucije: zaustavlja se, pouzdanost i kompletnost. Iskazna logika 4 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Rezolucija 1 Metod rezolucije je postupak za dokazivanje da li je neka iskazna (ili

More information

Uvod u analizu (M3-02) 05., 07. i 12. XI dr Nenad Teofanov. principle) ili Dirihleov princip (engl. Dirichlet box principle).

Uvod u analizu (M3-02) 05., 07. i 12. XI dr Nenad Teofanov. principle) ili Dirihleov princip (engl. Dirichlet box principle). Uvod u analizu (M-0) 0., 07. i. XI 0. dr Nenad Teofanov. Kardinalni broj skupa R U ovom predavanju se razmatra veličina skupa realnih brojeva. Jasno, taj skup ima beskonačno mnogo elemenata. Pokazaće se,

More information

KLASIFIKACIJA NAIVNI BAJES. NIKOLA MILIKIĆ URL:

KLASIFIKACIJA NAIVNI BAJES. NIKOLA MILIKIĆ   URL: KLASIFIKACIJA NAIVNI BAJES NIKOLA MILIKIĆ EMAIL: nikola.milikic@fon.bg.ac.rs URL: http://nikola.milikic.info ŠTA JE KLASIFIKACIJA? Zadatak određivanja klase kojoj neka instanca pripada instanca je opisana

More information

NIZOVI I REDOVI FUNKCIJA

NIZOVI I REDOVI FUNKCIJA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Danijela Piškor NIZOVI I REDOVI FUNKCIJA Diplomski rad Voditelj rada: izv. prof. dr. sc. Ljiljana Arambašić Zagreb, rujan 206.

More information

Fibonaccijev brojevni sustav

Fibonaccijev brojevni sustav Fibonaccijev brojevni sustav Ljerka Jukić asistentica Odjela za matematiku Sveučilišta u Osijeku, ljukic@mathos.hr Helena Velić studentica Odjela za matematiku Sveučilišta u Osijeku, hvelic@mathos.hr Sažetak

More information

Metode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda

Metode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda Osječki matematički list 10(2010), 31 42 31 STUDENTSKA RUBRIKA Metode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda Damira Keček Sažetak U članku su opisane metode izračunavanja determinanti matrica n-tog

More information

Funkcijske jednadºbe

Funkcijske jednadºbe MEMO pripreme 2015. Marin Petkovi, 9. 6. 2015. Funkcijske jednadºbe Uvod i osnovne ideje U ovom predavanju obradit emo neke poznate funkcijske jednadºbe i osnovne ideje rje²avanja takvih jednadºbi. Uobi

More information

Mersenneovi i savršeni brojevi

Mersenneovi i savršeni brojevi Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Diplomski studij matematike Ana Maslać Mersenneovi i savršeni brojevi Diplomski rad Osijek, 2012. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel

More information

Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral

Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral Sadržaj 1 Metrički prostori 3 1.1 Primeri metričkih prostora................. 3 1.2 Konvergencija nizova i osobine skupova...................... 12 1.3 Kantorov

More information

Ariana Trstenjak Kvadratne forme

Ariana Trstenjak Kvadratne forme Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Ariana Trstenjak Kvadratne forme Završni rad Osijek, 014. Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera

More information

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku DIOFANTSKE JEDNADŽBE

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku DIOFANTSKE JEDNADŽBE Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Violeta Ivšić DIOFANTSKE JEDNADŽBE Završni rad Osijek, 2016. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Violeta Ivšić DIOFANTSKE

More information

HRVATSKA MATEMATIČKA OLIMPIJADA

HRVATSKA MATEMATIČKA OLIMPIJADA HRVATSKA MATEMATIČKA OLIMPIJADA prvi dan 5. svibnja 01. Zadatak 1. Dani su pozitivni realni brojevi x, y i z takvi da je x + y + z = 18xyz. nejednakost x x + yz + 1 + y y + xz + 1 + z z + xy + 1 1. Dokaži

More information

O aksiomu izbora, cipelama i čarapama

O aksiomu izbora, cipelama i čarapama O aksiomu izbora, cipelama i čarapama Aksiom izbora može se izreći u raznim ekvivalentnim formama. Dokazi ekvivalencije aksioma izbora npr. sa Zornovom lemom, ili pak sa Zermelovim teoremom o dobrom uredaju,

More information

Zanimljive rekurzije

Zanimljive rekurzije Zanimljive rekurzije Dragana Jankov Maširević i Jelena Jankov Riječ dvije o rekurzijama Rekurzija je metoda definiranja funkcije na način da se najprije definira nekoliko jednostavnih, osnovnih slučajeva,

More information

AKSIOM IZBORA I EKVIVALENCIJE

AKSIOM IZBORA I EKVIVALENCIJE Sveučilište J.J. Strossmayera Odjel za matematiku Preddiplomski sveučilišni studij matematike Igor Sušić AKSIOM IZBORA I EKVIVALENCIJE Završni rad Osijek, 2013. Sveučilište J.J. Strossmayera Odjel za matematiku

More information

Pitagorine trojke. Uvod

Pitagorine trojke. Uvod Pitagorine trojke Uvod Ivan Soldo 1, Ivana Vuksanović 2 Pitagora, grčki filozof i znanstvenik, često se prikazuje kao prvi pravi matematičar. Ro - den je na grčkom otoku Samosu, kao sin bogatog i zaslužnog

More information

Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku. Sveučilišni preddiplomski studij matematike

Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku. Sveučilišni preddiplomski studij matematike Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Lorena Škalac Fermatova metoda beskonačnog spusta Završni rad Osijek, 014. Sveučilište J.J.Strossmayera

More information

Šime Šuljić. Funkcije. Zadavanje funkcije i područje definicije. š2004š 1

Šime Šuljić. Funkcije. Zadavanje funkcije i područje definicije. š2004š 1 Šime Šuljić Funkcije Zadavanje funkcije i područje definicije š2004š 1 Iz povijesti Dvojica Francuza, Pierre de Fermat i Rene Descartes, posebno su zadužila matematiku unijevši ideju koordinatne metode

More information

MUSICAL COMPOSITION AND ELEMENTARY EXCITATIONS OF THE ENVIRONMENT

MUSICAL COMPOSITION AND ELEMENTARY EXCITATIONS OF THE ENVIRONMENT Interdisciplinary Description of Complex Systems (-2), 22-28, 2003 MUSICAL COMPOSITION AND ELEMENTARY EXCITATIONS OF THE ENVIRONMENT Mirna Grgec-Pajić, Josip Stepanić 2 and Damir Pajić 3, * c/o Institute

More information

ATOMSKA APSORP SORPCIJSKA TROSKOP

ATOMSKA APSORP SORPCIJSKA TROSKOP ATOMSKA APSORP SORPCIJSKA SPEKTROS TROSKOP OPIJA Written by Bette Kreuz Produced by Ruth Dusenbery University of Michigan-Dearborn 2000 Apsorpcija i emisija svjetlosti Fizika svjetlosti Spectroskopija

More information

Prsten cijelih brojeva

Prsten cijelih brojeva SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ODJEL ZA MATEMATIKU Marijana Pravdić Prsten cijelih brojeva Diplomski rad Osijek, 2017. SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ODJEL ZA MATEMATIKU

More information

Konstrukcija i analiza algoritama

Konstrukcija i analiza algoritama Konstrukcija i analiza algoritama 27. februar 207 Matematička indukcija Princip matematičke indukcije: Da bi za svako n N važilo tvrdjenje T (n) dovoljno je pokazati: bazu indukcije: tvrdjenje T () induktivni

More information

pretraživanje teksta Knuth-Morris-Pratt algoritam

pretraživanje teksta Knuth-Morris-Pratt algoritam pretraživanje teksta Knuth-Morris-Pratt algoritam Jelena Držaić Oblikovanje i analiza algoritama Mentor: Prof.dr.sc Saša Singer 18. siječnja 2016. 18. siječnja 2016. 1 / 48 Sadržaj 1 Uvod 2 Pretraživanje

More information

Turingovi strojevi Opis Turingovog stroja Odluµcivost logike prvog reda. Lipanj Odluµcivost i izraµcunljivost

Turingovi strojevi Opis Turingovog stroja Odluµcivost logike prvog reda. Lipanj Odluµcivost i izraµcunljivost Odluµcivost logike prvog reda B. µ Zarnić Lipanj 2008. Uvod Turingovi strojevi Logika prvoga reda je pouzdana. Logika prvog reda je potpuna. Γ `LPR K ) Γ j= SPR K Γ j= SPR K ) Γ `LPR K Prema tome, ako

More information

Šta je to matematika i ko su ti matematičari? 1

Šta je to matematika i ko su ti matematičari? 1 MAT-KOL (Banja Luka), Matematički kolokvijum XIV(2)(2008), 43-63 Šta je to matematika i ko su ti matematičari? 1 Daniel A. Romano Odsjek za matematiku i informatiku, Univerzitet u Banjoj Luci e-mail: bato49@hotmail.com

More information

O PORIJEKLU I BUDUĆNOSTI SVEMIRA Josip Planinić, Osijek

O PORIJEKLU I BUDUĆNOSTI SVEMIRA Josip Planinić, Osijek O PORIJEKLU I BUDUĆNOSTI SVEMIRA Josip Planinić, Osijek UDK:113 523.53 Stručni članak Primljeno 11/1999 Niente di piu organizzato di cio che l'amore ordina e nulla di piu libero di cio che ramore unisce.

More information

Mirela Nogolica Norme Završni rad

Mirela Nogolica Norme Završni rad Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Mirela Nogolica Norme Završni rad Osijek, 2014. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za

More information

Nilpotentni operatori i matrice

Nilpotentni operatori i matrice Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Nikolina Romić Nilpotentni operatori i matrice Završni rad Osijek, 2016. Sveučilište J. J. Strossmayera

More information

Formule za udaljenost točke do pravca u ravnini, u smislu lp - udaljenosti math.e Vol 28.

Formule za udaljenost točke do pravca u ravnini, u smislu lp - udaljenosti math.e Vol 28. 1 math.e Hrvatski matematički elektronički časopis Formule za udaljenost točke do pravca u ravnini, u smislu lp - udaljenosti Banachovi prostori Funkcija udaljenosti obrada podataka optimizacija Aleksandra

More information

KVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU 1

KVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU 1 MAT KOL (Banja Luka) ISSN 0354 6969 (p), ISSN 1986 5228 (o) Vol. XXII (1)(2016), 5 19 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm KVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU

More information

Jasna Kellner. snake. bee. mole. owl. branch. birds. bear. leaves. forest den. tree. sun. badger. butterfly

Jasna Kellner. snake. bee. mole. owl. branch. birds. bear. leaves. forest den. tree. sun. badger. butterfly From the list of words below, fill in the blank boxes below each picture. 1 jazavac 5 lišće 9 proljeće 13 stablo 17 šuma 2 krtica 6 medvjed 10 ptice 14 sunce 18 med 3 lastavica 7 pećina 11 snijeg 15 životinje

More information

Matematika (PITUP) Prof.dr.sc. Blaženka Divjak. Matematika (PITUP) FOI, Varaždin

Matematika (PITUP) Prof.dr.sc. Blaženka Divjak. Matematika (PITUP) FOI, Varaždin Matematika (PITUP) FOI, Varaždin Dio II Bez obzira kako nam se neki teorem činio korektnim, ne možemo biti sigurni da ne krije neku nesavršenost sve dok se nam ne čini prekrasnim G. Boole The moving power

More information

Jasna Kellner. snowman. twigs 5 snowflakes. snow. carrot. nose. hands school. hat. ice. head. mountain. window

Jasna Kellner. snowman. twigs 5 snowflakes. snow. carrot. nose. hands school. hat. ice. head. mountain. window From the list of words below, fill in the blank boxes below each picture. 1 planina 5 grančice 9 kula 13 nos 17 kuća 21 skije 25 zima 2 saonice 6 grude 10 led 14 peć 18 škola 22 vrat 26 rukavice 3 djeca

More information

Konstrukcija i analiza algoritama

Konstrukcija i analiza algoritama Konstrukcija i analiza algoritama 27. februar 2017 1 Pravila zaključivanja i tehnike dokazivanja u iskaznoj i predikatskoj logici 1 1.1 Iskazna logika Pravila zaključivanja za iskaznu logiku: 1. DODAVANJE

More information

Iskazna logika 1. Matematička logika u računarstvu. oktobar 2012

Iskazna logika 1. Matematička logika u računarstvu. oktobar 2012 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia oktobar 2012 Iskazi, istinitost, veznici Intuitivno, iskaz je rečenica koja je ima tačno jednu jednu

More information

Oracle Spatial Koordinatni sustavi, projekcije i transformacije. Dalibor Kušić, mag. ing. listopad 2010.

Oracle Spatial Koordinatni sustavi, projekcije i transformacije. Dalibor Kušić, mag. ing. listopad 2010. Oracle Spatial Koordinatni sustavi, projekcije i transformacije Dalibor Kušić, mag. ing. listopad 2010. Pregled Uvod Koordinatni sustavi Transformacije Projekcije Modeliranje 00:25 Oracle Spatial 2 Uvod

More information

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike. Sortiranje u linearnom vremenu

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike. Sortiranje u linearnom vremenu Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike Tibor Pejić Sortiranje u linearnom vremenu Diplomski rad Osijek, 2011. Sveučilište J.

More information

Krivulja središta i krivulja fokusa u pramenu konika. konika zadanom pomoću dviju dvostrukih točaka u izotropnoj ravnini

Krivulja središta i krivulja fokusa u pramenu konika. konika zadanom pomoću dviju dvostrukih točaka u izotropnoj ravnini Stručni rad Prihvaćeno 18.02.2002. MILJENKO LAPAINE Krivulja središta i krivulja fokusa u pramenu konika zadanom pomoću dviju dvostrukih točaka u izotropnoj ravnini Krivulja središta i krivulja fokusa

More information

EXPERIMENTAL ANALYSIS OF THE STRENGTH OF A POLYMER PRODUCED FROM RECYCLED MATERIAL

EXPERIMENTAL ANALYSIS OF THE STRENGTH OF A POLYMER PRODUCED FROM RECYCLED MATERIAL A. Jurić et al. EXPERIMENTAL ANALYSIS OF THE STRENGTH OF A POLYMER PRODUCED FROM RECYCLED MATERIAL Aleksandar Jurić, Tihomir Štefić, Zlatko Arbanas ISSN 10-651 UDC/UDK 60.17.1/.:678.74..017 Preliminary

More information

ZANIMLJIVI ALGEBARSKI ZADACI SA BROJEM 2013 (Interesting algebraic problems with number 2013)

ZANIMLJIVI ALGEBARSKI ZADACI SA BROJEM 2013 (Interesting algebraic problems with number 2013) MAT-KOL (Banja Luka) ISSN 0354-6969 (p), ISSN 1986-5228 (o) Vol. XIX (3)(2013), 35-44 ZANIMLJIVI ALGEBARSKI ZADACI SA BROJEM 2013 (Interesting algebraic problems with number 2013) Nenad O. Vesi 1 Du²an

More information

BROJEVNE KONGRUENCIJE

BROJEVNE KONGRUENCIJE UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Vojko Nestorović BROJEVNE KONGRUENCIJE - MASTER RAD - Mentor, dr Siniša Crvenković Novi Sad, 2011. Sadržaj Predgovor...............................

More information

FEUERBACHOVA TOČKA. Maja Mihalic PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad. Voditelj rada: doc. dr. sc.

FEUERBACHOVA TOČKA. Maja Mihalic PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad. Voditelj rada: doc. dr. sc. SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Maja Mihalic FEUERBACHOVA TOČKA Diplomski rad Voditelj rada: doc. dr. sc. Mea Bombardelli Zagreb, srpanj, 2015. Ovaj diplomski

More information

STATISTICAL ANALYSIS OF WET AND DRY SPELLS IN CROATIA BY THE BINARY DARMA (1,1) MODEL

STATISTICAL ANALYSIS OF WET AND DRY SPELLS IN CROATIA BY THE BINARY DARMA (1,1) MODEL Hrvatski meteoroloπki Ëasopis Croatian Meteorological Journal, 4, 2006., 43 5. UDK: 55.577.22 Stručni rad STATISTICAL ANALYSIS OF WET AND DRY SPELLS IN CROATIA BY THE BINARY DARMA (,) MODEL Statistička

More information

POOPĆENJE KLASIČNIH TEOREMA ZATVARANJA PONCELETOVOG TIPA

POOPĆENJE KLASIČNIH TEOREMA ZATVARANJA PONCELETOVOG TIPA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Petra Zubak POOPĆENJE KLASIČNIH TEOREMA ZATVARANJA PONCELETOVOG TIPA Diplomski rad Voditelj rada: prof. dr. sc. Juraj Šiftar

More information

Pellova jednadžba. Pell s equation

Pellova jednadžba. Pell s equation Osječki matematički list 8(2008), 29 36 29 STUDENTSKA RUBRIKA Pellova jednadžba Ivona Mandić Ivan Soldo Sažetak. Članak sadrži riješene primjere i probleme koji se svode na analizu skupa rješenja Pellove

More information

NAPREDNI FIZIČKI PRAKTIKUM 1 studij Matematika i fizika; smjer nastavnički MJERENJE MALIH OTPORA

NAPREDNI FIZIČKI PRAKTIKUM 1 studij Matematika i fizika; smjer nastavnički MJERENJE MALIH OTPORA NAPREDNI FIZIČKI PRAKTIKUM 1 studij Matematika i fizika; smjer nastavnički MJERENJE MALIH OTPORA studij Matematika i fizika; smjer nastavnički NFP 1 1 ZADACI 1. Mjerenjem geometrijskih dimenzija i otpora

More information

Modified Zagreb M 2 Index Comparison with the Randi} Connectivity Index for Benzenoid Systems

Modified Zagreb M 2 Index Comparison with the Randi} Connectivity Index for Benzenoid Systems CROATICA CHEMICA ACTA CCACAA 7 (2) 83 87 (2003) ISSN-00-3 CCA-2870 Note Modified Zagreb M 2 Index Comparison with the Randi} Connectivity Index for Benzenoid Systems Damir Vuki~evi} a, * and Nenad Trinajsti}

More information

A B A B. Logičke operacije koje još često upotrebljavamo su implikacija ( ) i ekvivalencija A B A B A B

A B A B. Logičke operacije koje još često upotrebljavamo su implikacija ( ) i ekvivalencija A B A B A B 1 MATEMATIČKI SUDOVI Jedan od osnovnih oblika mišljenja su pojmovi. Oni ne dolaze odvojeno, nego se na odredeni način vezuju i tvore sudove. Sud (izjava, izreka, iskaz) je suvisla deklarativna rečenica

More information

ZEYNEP CAN. 1 Introduction. KoG Z. Can, Ö. Gelişgen, R. Kaya: On the Metrics Induced by Icosidodecahedron...

ZEYNEP CAN. 1 Introduction. KoG Z. Can, Ö. Gelişgen, R. Kaya: On the Metrics Induced by Icosidodecahedron... KoG 19 015 Z. Can Ö. Gelişgen R. Kaya: On the Metrics Induced by Icosidodecahedron... Original scientific paper Accepted 11. 5. 015. ZEYNEP CAN ÖZCAN GELIŞGEN RÜSTEM KAYA On the Metrics Induced by Icosidodecahedron

More information

Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku

Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Valentina Volmut Ortogonalni polinomi Diplomski rad Osijek, 2016. Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku

More information

Položaj nultočaka polinoma

Položaj nultočaka polinoma Osječki matematički list 4 (204), 05-6 Položaj nultočaka polinoma Mandalena Pranjić Rajna Rajić Sažetak Prema Rolleovom teoremu, bilo koji segment čiji su krajevi međusobno različite realne nultočke polinoma

More information

Aerosols Protocol. Protokol: aerosoli. prema originalnoj GLOBE prezentaciji pripremila M. Grčić rujan 2007.

Aerosols Protocol. Protokol: aerosoli. prema originalnoj GLOBE prezentaciji pripremila M. Grčić rujan 2007. Protokol: aerosoli prema originalnoj GLOBE prezentaciji pripremila M. Grčić rujan 2007. Ciljevi pružiti okvir za istraživanje i mjerenje korištenjem znanstvenih sadržaja Pružiti potrebne znanstvene činjenice

More information

Banach Tarskijev paradoks

Banach Tarskijev paradoks Banach Tarskijev paradoks Matija Bašić Sažetak Banach Tarskijev paradoks je teorem koji kaže da su bilo koje dvije kugle u R 3 jednakorastavljive, u smislu da postoje particije tih kugli u jednak broj

More information

Harmonijski brojevi. Uvod

Harmonijski brojevi. Uvod MATEMATIKA Harmonijski brojevi Darko Žubrinić, Zagreb Beskonačno! Niti koje drugo pitanje nije nikada toliko duboko dirnulo duh čovjeka. David Hilbert (862. 943.) Uvod U ovom članku opisat ćemo jedan pomalo

More information

Dr. Željko Jurić: Matematička logika i teorija izračunljivosti Radna skripta za istoimeni kurs na Elektrotehničkom fakultetu u Sarajevu.

Dr. Željko Jurić: Matematička logika i teorija izračunljivosti Radna skripta za istoimeni kurs na Elektrotehničkom fakultetu u Sarajevu. Dr. Željko Jurić: Matematička logika i teorija izračunljivosti Radna skripta za istoimeni kurs na Elektrotehničkom fakultetu u Sarajevu (akademska godina 2015/16) Funkcijske relacije i funkcije (preslikavanja)

More information

BLISKE OPREČNOSTI: KANT I MILL

BLISKE OPREČNOSTI: KANT I MILL BLISKE OPREČNOSTI: KANT I MILL 1. Reorijentacija Naša priča počinje u osamnaestom stoljeću, s Immanuelom Kantom. Bilo je, naravno, značajne filozofske aktivnosti još u antici nakon Aristotela i u srednjem

More information

NIPP. Implementing rules for metadata. Ivica Skender NSDI Working group for technical standards.

NIPP. Implementing rules for metadata. Ivica Skender NSDI Working group for technical standards. Implementing rules for metadata Ivica Skender NSDI Working group for technical standards ivica.skender@gisdata.com Content Working group for technical standards INSPIRE Metadata implementing rule Review

More information

U čemu je snaga suvremene algebre?

U čemu je snaga suvremene algebre? 1 / 33 U čemu je snaga suvremene algebre? Dr Ivan Tomašić Queen Mary, University of London SŠ Mate Blažina Labin 2014 2 / 33 Pitagorine trojke Teorem Postoje cijeli brojevi x, y i z koji zadovoljavaju:

More information

Mostovi Kaliningrada nekad i sada

Mostovi Kaliningrada nekad i sada Osječki matematički list 7(2007), 33 38 33 Mostovi Kaliningrada nekad i sada Matej Kopić, Antoaneta Klobučar Sažetak.U ovom radu su najprije dane stvarne situacije oko Kalingradskih mostova kroz povijest.

More information

BROWNOV MOST I KOLMOGOROV-SMIRNOVLJEVA STATISTIKA

BROWNOV MOST I KOLMOGOROV-SMIRNOVLJEVA STATISTIKA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Nikolina Blažević BROWNOV MOST I KOLMOGOROV-SMIRNOVLJEVA STATISTIKA Diplomski rad Zagreb, veljača 2016. Voditelj rada: doc. dr.

More information

TEMPERATURE TRANSFORMATIONS IN RELATIVISTIC THERMODYNAMICS. I. DERADO a and E. FERRARI b. Received 9 November 1999; Accepted 10 April 2000

TEMPERATURE TRANSFORMATIONS IN RELATIVISTIC THERMODYNAMICS. I. DERADO a and E. FERRARI b. Received 9 November 1999; Accepted 10 April 2000 ISSN1330 0008 CODEN FIZAE4 TEMPERATURE TRANSFORMATIONS IN RELATIVISTIC THERMODYNAMICS I. DERADO a and E. FERRARI b a Max-Planck-Institut für Physik, München, Germany b Dipartimento di Fisica, Università

More information

Teorem o reziduumima i primjene. Završni rad

Teorem o reziduumima i primjene. Završni rad Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Matej Petrinović Teorem o reziduumima i primjene Završni rad Osijek, 207. Sveučilište J. J. Strossmayera

More information

Kvaternioni i kvaternionsko rješenje kvadratne jednadžbe

Kvaternioni i kvaternionsko rješenje kvadratne jednadžbe Kvaternioni i kvaternionsko rješenje 1 Uvod Kvaternioni i kvaternionsko rješenje kvadratne jednadžbe Željko Zrno 1 i Neven Jurić Što je matematika? Na što prvo čovjeka asocira riječ matematika? Matematika

More information

DYNAMIC HEAT TRANSFER IN WALLS: LIMITATIONS OF HEAT FLUX METERS

DYNAMIC HEAT TRANSFER IN WALLS: LIMITATIONS OF HEAT FLUX METERS DYNAMI EAT TRANFER IN WALL: LIMITATION OF EAT FLUX METER DINAMIČKI PRENO TOPLOTE U ZIDOVIMA: OGRANIČENJA MERAČA TOPLOTNOG PROTOKA (TOPLOTNOG FLUKA) 1 I. Naveros a, b,. Ghiaus a a ETIL UMR58, INA-Lyon,

More information

BAZNI OKVIRI I RIESZOVE BAZE HILBERTOVIH PROSTORA

BAZNI OKVIRI I RIESZOVE BAZE HILBERTOVIH PROSTORA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Neven Trgovec BAZNI OKVIRI I RIESZOVE BAZE HILBERTOVIH PROSTORA Diplomski rad Voditelj rada: prof. dr. sc. Damir Bakić Zagreb,

More information

DISTRIBUIRANI ALGORITMI I SISTEMI

DISTRIBUIRANI ALGORITMI I SISTEMI Postavka 7: međusobno isključivanje sa read/write promenljivama 1 DISTRIBUIRANI ALGORITMI I SISTEMI Iz kursa CSCE 668 Proleće 2014 Autor izvorne prezentacije: Prof. Jennifer Welch Read/Write deljene promenljive

More information

Termodinamika. FIZIKA PSS-GRAD 29. studenog Copyright 2015 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

Termodinamika. FIZIKA PSS-GRAD 29. studenog Copyright 2015 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved. Termodinamika FIZIKA PSS-GRAD 29. studenog 2017. 15.1 Thermodynamic Systems and Their Surroundings Thermodynamics is the branch of physics that is built upon the fundamental laws that heat and work obey.

More information

JE LI LAMARKIZAM JOŠ ŽIV? Ivan Kešina, Split

JE LI LAMARKIZAM JOŠ ŽIV? Ivan Kešina, Split JE LI LAMARKIZAM JOŠ ŽIV? Ivan Kešina, Split UDK: 591-05 Lamarck, J. B. 575.8 141.155 Pregledni znanstveni rad Primljeno 3/2007. Sažetak Kao što prirodne znanosti općenito, a među njima genetika i molekularna

More information

Erdös-Mordellova nejednakost

Erdös-Mordellova nejednakost Sveu ili²te J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Dino Duman i Erdös-Mordellova nejednakost Diplomski rad Osijek, 015. Sveu ili²te J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Dino Duman

More information

KAUZALNOST I DETERMINIZAM U DEKARTOVOJ FILOZOFIJI

KAUZALNOST I DETERMINIZAM U DEKARTOVOJ FILOZOFIJI Arhe IX, 17/2012 UDK 2-423.44 : 1 Descartes R. 122 : 1 Descartes R. Originalni naučni rad Original Scientific Article ZORAN DIMIĆ 1 Filozofski fakultet, Univerzitet u Nišu KAUZALNOST I DETERMINIZAM U DEKARTOVOJ

More information

NEKE VARIJANTE PITAGORINOG TEOREMA

NEKE VARIJANTE PITAGORINOG TEOREMA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Lina Rajković NEKE VARIJANTE PITAGORINOG TEOREMA Diplomski rad Voditelj rada: Prof. dr. sc. Mirko Primc Zagreb, veljača, 2017.

More information

Vrijednost prosudbe i hermeneutički kmg

Vrijednost prosudbe i hermeneutički kmg Martinović, L, Ontički red u opisima Hennana..., Prilozi 37-38 (1993), str. 9-30 9 antički RED U OPISIMA HERMANA DALMATINA * IVICA MARTINOVIĆ (Institut za filozofiju, Zagreb) UDK 14 Herman Dalmatin Izvorni

More information

Velimir Abramovic: KOLIKO IMA BESKONACNOSTI U MATEMATICI? (Iz Osnovi Nauke o Vremenu )

Velimir Abramovic:   KOLIKO IMA BESKONACNOSTI U MATEMATICI? (Iz Osnovi Nauke o Vremenu ) Velimir Abramovic: www.n01a.org KOLIKO IMA BESKONACNOSTI U MATEMATICI? (Iz Osnovi Nauke o Vremenu ) Citajuci Kantorov Argument dijagonalizacijom shvatio sam da se u njemu nista ne sme podrazumevati, vec

More information

Asian Journal of Science and Technology Vol. 4, Issue 08, pp , August, 2013 RESEARCH ARTICLE

Asian Journal of Science and Technology Vol. 4, Issue 08, pp , August, 2013 RESEARCH ARTICLE Available Online at http://www.journalajst.com ASIAN JOURNAL OF SCIENCE AND TECHNOLOGY ISSN: 0976-3376 Asian Journal of Science and Technology Vol. 4, Issue 08, pp.037-041, August, 2013 RESEARCH ARTICLE

More information

OSNOVE GEOMETRIJE. Branko µcervar, Goran Erceg, Ivan LekiĆ 2013./2014.

OSNOVE GEOMETRIJE. Branko µcervar, Goran Erceg, Ivan LekiĆ 2013./2014. OSNOVE GEOMETRIJE Branko µcervar, Goran Erceg, Ivan LekiĆ 2013./2014. i ii Sadrµzaj PREDGOVOR OZNAKE v vii 1 POVIJESNI PREGLED 1 1.1 EUKLID I NJEGOVI ELEMENTI................ 1 1.2 SADRµZAJ PRVE KNJIGE

More information

U člnaku se nastoji na jednostavan i sažet način bez ulaženja u egzaktne i formalizirane dokaze postići slijedeće:

U člnaku se nastoji na jednostavan i sažet način bez ulaženja u egzaktne i formalizirane dokaze postići slijedeće: Mr Ratimir Kvaternik Fakultet organizacije i informatike V a r a ž d i n UDK 681.142.2 Prethodno saopćenje O D R E D J I V A N J E R A D N O G S K U P A S T R A N I C A U člnaku se nastoji na jednostavan

More information

Fraktali - konačno u beskonačnom

Fraktali - konačno u beskonačnom Prirodno-Matematički fakultet, Niš. dexterofnis@gmail.com www.pmf.ni.ac.rs/dexter Nauk nije bauk, 2011 Sadržaj predavanja 1 Sadržaj predavanja 1 2 Sadržaj predavanja 1 2 3 Box-Counting dimenzija Hausdorfova

More information

Simetrične matrice, kvadratne forme i matrične norme

Simetrične matrice, kvadratne forme i matrične norme Sveučilište JJStrossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Martina Dorić Simetrične matrice, kvadratne forme i matrične norme Završni rad Osijek, 2014 Sveučilište

More information

MREŽNI DIJAGRAMI Planiranje

MREŽNI DIJAGRAMI Planiranje MREŽNI DIJAGRAMI Planiranje 1 Mrežno planiranje se zasniva na grafičkom prikazivanju aktivnosti usmerenim dužima. Dužina duži nema značenja, a sa dijagrama se vidi međuzavisnost aktivnosti. U mrežnom planiranju

More information

Ksenija Doroslovački KOMBINATORIKA INTERPRETIRANA FUNKCIJAMA I NJIHOVIM OSOBINAMA MASTER RAD. NOVI SAD jun 2008

Ksenija Doroslovački KOMBINATORIKA INTERPRETIRANA FUNKCIJAMA I NJIHOVIM OSOBINAMA MASTER RAD. NOVI SAD jun 2008 1 Ksenija Doroslovački KOMBINATORIKA INTERPRETIRANA FUNKCIJAMA I NJIHOVIM OSOBINAMA MASTER RAD NOVI SAD jun 2008 2 Sadržaj 1 UVOD 5 2 FUNKCIJE 11 3 KLASIČNI KOMBINATORNI OBJEKTI 17 4 NEKI NEKLASIČNI KOMBINATORNI

More information