Elemente de teoria erorilor si incertitudinilor Calcule statistice si modele de aproximare

Transcription

1 Elemete de teoria erorilor si icertitudiilor Calcule statistice si modele de aproximare Să măsurăm ce se poate măsura şi să facem măsurabil ceea ce u se poate măsura îcă. Galileo Galilei. Itroducere î teoria erorilor: erori de măsurare si reprezetare, distribuţia erorilor, parametri caracteristici, propagarea erorilor. Calcule statistice: idicatori statistici, corelaţii ître seturi de măsurători, modele de corelaţie empirice şi teoretice Geeralitati despre erori, icertitudii si aproximari I ses larg cuvatul eroare iseama greseala, icertitudie, esigurata, etc. Pri greseala itelegem u fapt realizat de om i activitatea profesioala, sociala, ecoomica, etc. privid u ratioamet gresit, o metoda aplicata gresit, u istrumet utilizat gresit, o atitudie ce cotrazice regulile morale, sociale sau legistative, eitelegeri ale uor otiui, termei sau cocepte di limbajul stiitific, ecoomic, social, etc. Pri icertitudie se itelege lipsa de certitudie, idoiala asupra uor ratioamete, calcule, sau experimete, iar i domeiul social poate reprezeta starea uei persoae lipsite de sigurata, de hotarare. I doate domeiile exista icertitudii, de exemplu i domeiul stiitific s-au dezvoltat diverse teorii care cotroleaza icertitudiile: logica matematica bivaleta (cu valori: true, false; logica propozitiilor, logica predicatelor, logica relatiilor) ofera metode si tehici certe (logica matematica are aplicatii i electrotehica-studiul schemelor cu relee, al schemelor electroice-, i ciberetica-teoria automatelor, tehica programarii-, i eurofiziologie-modelarea sistemelor euroale-, ligvistica - ligvistica matematica, etc.); sistemele de calcul folosesc limbajul biar petru procesarea iformatiilor; petru rezolvarea diverselor probleme complexe a fost ecesara coceperea uor teorii de logica matematica trivalete si cu mai multe valori (primele sisteme de logica polivaleta au fost costruite de J. Lukasiewicz (90), E. Post (9) si de Grigore C. Moisil (963)); Î limbajul de maipulare a datelor SQL (Structured Query Laguage), o stare de adevăr TRUE petru o expresie (de exemplu îtr-o clauză WHERE) iiţializează o acţiue pe u râd (returează u râd), î timp ce o stare de adevăr UNKNOWN sau FALSE u face acest lucru. Î acest fel, logica trivaletă este implemetată î SQL, şi se comportă ca logică bivaletă petru utilizatorul SQL; limbajul Prolog (programare i logica), limbaj al Iteligetei artificiale este coceput si elaborat avad la baza logica de ordiul I (cuatificatorii oricare( ) si exista ( ) opereaza doar asupra variabilelor). teoria logicii si multimilor fuzzy (suport petru studiul icertitudiii si impreciziei; aplicatii i aaliza feomeelor si proceselor, fiabilitatea sistemelor, uzura produselor, gradul de utilizare a produselor sau masiilor, procesarea imagiilor, etc.). Icompletitudiea uei iformaţii/date se exprimă pe două scări: scara icertitudiii se referă la îcrederea care i se acordă iformaţiei (dacă sursa de iformaţie, istrumetul de măsură sau expertul sut siguri, demi de îcredere, iformaţia este certă), scara impreciziei se referă la coţiutul

2 iformaţioal (iformaţia este precisă dacă mulţimea valorilor specificate î euţul corespuzător este o valoare uică). Există feomee si procese î care gradualitatea şi ambiguitatea joacă u rol importat (imprecizie u este de tip aleator). Problema iseama faptul de a putea aprecia î ce măsură u obiect dat aparţie uei clase ale cărei margii u pot fi precizate clar. Clasa de obiecte are grade de aparteeţă cotiue. O astfel de mulţime este caracterizată de o fucţie de aparteeţă ce atribuie fiecărui obiect u grad de aparteeţă ître 0 şi. Sut cuoscute exemple de oamei de stiita di matematica, fizica, chimie, etc. ce au facut greseli i cercetarile/teoriile lor (exista cazuri cad s-au facut descoperiri stiitifice i mod itamplator, de ex. razele X, Peicilia, Viagra, etc.): exemple relevate petru matematica sut prezetate i Alexadru Froda (894973), Eroare şi paradox î matematică, Editura Eciclopedică Româă, 97. sute de lucrari stiitifice sut retrase i fiecare a, di cauza documetarilor superficiale, plagiatului sau aalizelor gresite; de exemplu: Apedicita se tratează cu atibiotice. The Joural of Gastroitestial Surgery a publicat î 009 u studiu al uor cercetători idiei care susțieau că atibioticele sut o metodă mai sigură decât îdepărtarea chirurgicală a apedicelui. Ei au fost cotestați de chirurgi italiei, iar studiul a fost retras di publica ție pe motiv de plagiat. (Sursa: LiveSciece); ivetii atribuite gresit - Coceptul de computer desktop-"oficial": Microsoft (pri Widows), real: Xerox PARC; Razele X- Ivetator "oficial": Thomas Ediso, real: Wilhelm Rotge; Becul- Ivetator "oficial": Thomas Ediso, real: Sir Humphry Davy; Radioul- Ivetator "oficial": Guglielmo Marcoi, real: Nikola Tesla (Sursa: Aaliza datelor experimetale: Tipuri de erori I Chimie si Fizica (precum si i alte stiite igieresti), metodele folosite la masurarea parametrilor (marimi fizice sau chimice) sut î geeral precise. Totusi, î timpul masuratorilor pot itervei diferiti factori perturbatori care geereaza aparitia erorilor de masurare. Petru determiarea marimilor fizice sau chimice se folosesc istrumete de masura, care au o aumita precizie. Nici o masuratoare u este absoluta. Masurâd de mai multe ori aceeasi marime fizica, î aceleasi coditii, cu aceleasi mijloace, se poate observa ca rezultatele obtiute sut diferite. Diferetele ce apar depid de costructia istrumetelor de masura, de observator, sau de alti factori perturbatori. Acuratetea uui experimet arata cât de aproape este rezultatul masuratorii de valoarea adevarata. Pri urmare, acuratetea este o masura a corectitudiii rezultatelor obtiute pri masurare si pri calcul. Precizia uui experimet este o masura a exactitatii determiarii rezultatelor. Procedurile de observare statistica i aaliza feomeelor si proceselor pot fi afectate de erori. Prelucrarea statistica a datelor experimetale pri calculele matematice ce urmeaza a fi efectuate cu datele respective, cotribuie cu o aumita catitate de erori. De aceea, specialistii stiu ca atât erorile de observare statistica cât si cele de calcul, vor afecta rezultatele obtiute di prelucrarea si iterpretarea datelor experimetale. De aceea, e

3 propuem sa examiam î acest capitol atât sursele de erori cât si modul î care acestea iflueteaza rezultatele fiale. TIPURI DE ERORI ERORI EXPERIMENTALE ERORI GROSOLANE ERORI SISTEMATICE ERORI ALEATOARE ERORI DE CALCUL NUMERIC ERORI INERENTE ERORI DE METODA ERORI DE ROTUNJIRE Figura 4. Tipuri de erori Erorile se clasifica i doua mari categorii:. erori experimetale efectuarea masuratorilor pot produce erori care au aceeasi marime, câd procesul de masurare se efectueaza î coditii idetice, sau erori care au marimi variabile, variatia acestora fiid supusa uei aumite legi de variatie; erorile de masurare se clasifica î: - erori grosolae (greseli): pot provei di aplicarea uor metode de calcul iexacte, di citiri eroate, di eatetia sau lipsa de istruire a persoalului; aceste erori trebuie elimiate si refacute masuratorile; - erori sistematice: pot provei di cauza uor caracteristici costructive ale aparatelor, icorectei etaloari sau uzurii; pot fi erori produse de metoda de masurare sau erori produse de factori exteri (erori de iflueta), deosebit de greu de evaluat pri calcule, deoarece u îtotdeaua pot fi cuoscute cauzele si legile de variatie î timp a coditiilor de mediu (temperatura, presiuea, umiditatea, câmpuri magetice, radiatii, etc.) ; - erori aleatoare (accidetale, îtâmplatoare): pot provei ca urmare diversitatii proceselor si feomeelor precum si a iteractiuilor experimetului cu alte procese si feomee ce se desfasoara simulta; u este posibila depistarea si îlaturarea lor, efectul global fiid producerea uor erori aleatorii ievitabile ce u pot fi îlaturate di rezultatele masuratorilor;. erori de calcul umeric - iterpretarea matematica a datelor reprezita totalitatea operatiilor matematice ce trebuie efectuate petru obtierea uui aumit rezultat, î vederea caruia au fost efectuate masurarile respective. Î timpul efectuarii acestor calcule, pot itervei aumite erori ce se vor adauga la erorile experimetale, si astfel valoarea masurata sa se abata si mai mult fata de marimea adevarata; se distig urmatoarele categorii de erori de calcul: 3

4 - erori ierete: pot provei ca urmare a folosirii aproximative a uor valori proveite di masuratori, a utilizarii i calcule a umerelelor iratioale (, e, ) sau ca urmare a calculelor aproximative (serii umerice) oferite de calculatoarele umerice; trebuie specificat faptul ca multe valori ale uor fuctii obisuite (si, cos, lg, etc.) sut obtiute pri calculul aproximativ al valorii uor serii umerice; - erori de metoda: aaliza si iterpretarea datelor experimetale depid de experieta specialistilor care efectueaza prelucrarea datelor experimetale; matematica si i special aaliza umerica ofera o multitudie de metode si tehici de rezolvare a problemelor i acest caz; uele di aceste metode sut mai eficiete sau u petru u aumit caz, de aceea, alegerea metodei este foarte importata petru rezultatul fial care se doreste a fi obtiut cu o aumita eroare de aproximare; de remarcat este faptul ca determiarea solutiilor se realizeaza pri procese iterative, umarul de iteratii determiad eroarea de aproximare; erori de rotujire: aceste erori sut ievitabile deoarece depid de posibilitatile limitate de reprezetare a umerelor î memoria calculatoarele umerice; orice calculator, idiferet cat de performat este costruit, poate reprezeta umerele cu u umar redus de cifre semificative, depizâd de lugimea cuvâtului de memorie (umarul de biti: 3 sau 46) utilizat la stocarea uui umar; calculatoarele actuale ofera calcule petru umerele reale cu maxim 7 cifre semificative î simpla precizie, si cu maxim 5 cifre semificative î dubla precizie. Termei si cocepte despre erori Eroarea reala este defiita ca difereta ditre valoarea reala (corecta) a uei marimi y si valoarea masurata (aproximativa) y ' a marimii, adica y y y '. I cazul i care y ' < y, marimea respectiva este aproximata pri lipsa, altfel aproximatia este pri exces sau adaos. Eroarea absoluta - ueori u se cuoaste semul erorii y y y ', de aceea se foloseste otiuea de eroare absoluta care este defiita pri relatia y y y '. Eroarea relativa se defieste ca raportul ditre eroarea absoluta si valoarea absoluta a marimii exacte, adica Eroarea relativa se poate exprima si î procete, adica. Eroarea absoluta limita i cazul i care valoarea marimii y u este cuoscuta, se itroduce otiuea de eroare absoluta limita y corespuzatoare valorii aproximative y ' ; valoarea acestei erori reprezita cel mai mic umar pozitiv care 4

5 cotie ua sau mai multe cifre semificative, ales î asa fel, îcât sa putem fi siguri ca eroarea absoluta comisa, î cazul respectiv, u depaseste acest umar; pri urmare avem urmatoarea relatie y y y ' y, adica y ' y y y ' y, ceea ce iseama ca valoarea y este aproximata pri lipsa, respectiv adoaos. Icertitudie de masurare ( ) reprezita itervalul î care se estimeaza, cu o aumita probabilitate, ca se afla valoarea adevarata a marimii y; Eroarea covetioala - Î realitate valoarea adevarata a uei marimi u poate fi cuoscuta, de aceea este ecesar sa se adopte o valoare de referita, care are u caracter covetioal. Se defieste astfel eroarea covetioala ca difereta ditre valoarea masurata si valoarea de referita y cov admisa adica y cov y cov y '. y O y' y y cov Figura 5. Erori de masurare Erori de truchiere si erori de rotujire Metodele umerice oferite de aaliza matematica impreua cu implemetarea algoritmilor eficieti di domeiul iformaticii sut utilizate cu succes la multe probleme complexe di toate domeiile stiitifice, tehice, ecoomice, etc. Cu toate acestea, trebuie sa se cuoasca corect gradul de precizie privid obtierea solutiilor i aceste rezolvari de probleme. Am vazut mai sus ca varietatea si combiarea diverselor erori (de masurare, de calcul, de aproximare, de rotujire, etc.) pot sa coduca la rezultate ce u raspud exigetelor practice. Acest lucru este si mai complicat cad i diverse situatii (la fizica, chimie, etc.) trebuie sa se realizeze calcule cu valori foarte mari, dar si cu zecimale foarte multe care depasesc performata calculatoarelor actuale (de exemplu aritmetica modala). Calculele matematice si operatiile implemetate i algoritmii de calcul petru calculatoarele umerice utilizeaza aproximarea cu serii umerice si dezvoltarea fuctiilor aalitice pri descompuere de tip Taylor si de tip Mac-Lauri. Dezvoltarile i serii umerice se utilizeaza la obtierea rezultatelor cu mai multe zecimale exacte, si aume se tie seama de precizia dorita 0-p, ude p reprezita umarul de zecimale exacte. De exemplu, petru calculul valorii l cu p= zecimale exacte, folosid dezvoltarea i serie alterata, l ( ) i i i 5

6 trebuie sa se calculze suma seriei paa la =99 (truchiere de rag 99). I practica, exista alte reprezetari care sut mai eficiete decat cazul =99, si aume truchierea se realizeaza la u rag mai mic. Ex.: Calculul valorii si() cu eroarea 0-7 este Folosid programul Excel se obtie valoarea , cu 9 zecimale exacte si valoarea , cu 5 zecimale exacte. Programul EXCEL ofera petru calcule si reprezetarea valorilor reale urmatoarele formate: Number decimal places, de exemplu cu p= zecimale exacte; Scietific forma expoetiala xe m, ude m reprezita expoetul lui 0, adica x0 m, de exemplu E+0; Fractio forma fractioala de diverse tipuri, de exemplu 345 /3. Figura 6. Fereastra Format Cells O fuctie reala f : I R derivabila de o ifiitate de ori i x0 I R este aalitica i puctul x0 daca exista relatia f (i) (x0) f (x) f (x0) (x x0)i, i! i petru x ( x0, x0 ) I, ude 0 este u umar real dat. Orice fuctie aalitica se descompue i poliomul Taylor de ordiul si i restul seriei Taylor de ordiul, adica f ( x) T ( x) R ( x), ude f (i) (x0) T(x) f (x0) (x x0)i, si restul de la ragul (+) i! i 6

7 f (i) (x0) R(x) (x x0)i. i! i Restul seriei Taylor de ordiul se poate reprezeta sub forma Lagrage, adica R ( x) f ( ) ( x x0 ), ude ( x0, x) sau ( x, x0 ). ( )! Fuctiile elemetare (si, cos, l, etc.) sut fuctii reale aalitice ce au proprietatea ca restul seriei lui Taylor tide la 0. Mai jos sut exemple de dezvoltari de tip Mac-Lauri petru x0 0. Reprezetarea i virgula mobila a umerelor reale Calculatoarele actuale utilizeaza reprezetarea i virgula mobila a umerelor reale. Daca b este o baza de umeratie (se presupue umar par) si p este o precizie (umar de cifre semificative), atuci reprezetarea uui umar real i virgula mobila are urmatoarea forma: ck E )b, cu cifrele semificative c k 0,,..., b, k 0,,..., p, E k k b p (c0 fiid expoetul margiit E mi E E max. Tabelul de mai jos exemplifica cei patru parametri (baza, precizia, valorile limita ale expoetului) ce caracterizeaza reprezetarea î virgula mobila î diverse sisteme(ieeeistitute of Electrical ad Electroics Egieers): Sistem reprezetare Baza b Precizia p E max E mi IEEE sigle-precissio IEEE double-precissio Cray Calculator HP Maiframe IBM Tabelul. (Ref.: 7

8 Reprezetarea i virgula mobila i forma ormalizata este reprezetarea uui umar y sub forma y f b E, b f, ude f reprezita matisa, iar E expoetul. Reprezetarea ormalizata a umerelor reale are urmatoarele avataje: reprezetarea fiecarui umar este uica; u se pierd cifre petru reprezetarea primele zerourilor de la dreapta virgulei; î sistemul biar (baza b =) prima cifra poate sa u mai fie stocata (deoarece este îtotdeaua ). U umar real cu mai multe cifre semificative este rotujit la umarul de cifre maxim. Acest lucru se realizeaza pri rotujirea matisei. Alte rotujiri se efectueaza î decursul operatiilor. Aproximarea uui umar real cu cele doua forme de reprezetare se umeste tehica de rotujire ce itroduce eroarea de rotujire. Exista mai multe modalitati de rotujire: truchiere (rotujire pri taiere) se reti primele p cifre di reprezetarea ormalizata; rotujire la cel mai apropiat i virgula mobila (rotujire la par) forma i virgula mobila este cel mai apropiat umar de umarul aproximat. Rotujirea la par determia o acuratete mai mare a reprezetarii. Acuratetea sistemului î virgula mobila este caracterizata de asa-umita precizie a masiii mach. Daca regula de rotujire este truchierea, atuci mach p rotujirea la par atuci mach. b b p, iar daca regula de rotujire este Cazuri speciale: coceperea de metode si algoritmi oi Exemplul : Puterile mari ale lui. Exista cazuri i (i chimie, fizica, etc.) i care trebuie sa se lucreze i calcule cu umere foarte mari. I acest caz, trebuie sa se cuoasca foarte bie limitele oferite de calculatoare privid reprezetarea umerelor si modul de calcul petru toate operatiile. Pe laga teoriie (aritmetica modala) ce se ocupa de aceste aspecte, exista diverse implemetari de algoritmi petru astfel de situatii. U alt exemplu este lucrul cu tablouri foarte mari de date (tablouri de tip masive). I acest caz este vorba de matricele rare. Matricele rare îşi găsesc aplicabilitatea î modelarea uor procese biologice, eoroale, de atură idustrială, ecoomică, tehică, socială, etc. a) Utilizarea programului Excel. (Puterile k, k > 30). Petru k > 30 să se determie umărul cifrelor şi cifrele puterii k (de exemplu, să se verifice ca 00 are 3 de cifre şi 00 = , iar 000 are 30 cifre). 8

9 Evidet, problema ar fi simpla (fără ses) dacă s-ar rezolva pritr-o sigură istrucţiue scrisa itr-u limbaj de programare. Acest lucru se poate realiza doar dacă ar exista restricţia k < 3. Ţiâd seama de reprezetarea tipului iteger î memoria iteră a calculatorului, astazi microprocesoarele şi limbajele de programare pot stoca/reprezeta o valoare îtreagă doar pe 4 bytes (3 biţi). Pri urmare 3- = este cea mai mare valoare îtreagă pe care o poate stoca. Este ecesar să cocepem u algoritm petru calculul puterilor k, k>30. Vom lua i cosideratie următorul tabel (geerat pritr-u simplu program, sau folosid facilităţile uor programe de calcul, de exemplu programul Excel iclus î pachetul Microsoft Office, vers ; vers. 00 ofera precizie mai mare) : K k Folosid programul Excel (ce oferă fucţia Power şi operaţia de putere ^ ) se poate costata că 36= (dacă se utilizează petru celule formatul Geeral ) este puterea maximă ce se poate calcula, şi 49= (dacă se utilizează petru celule formatul Number cu 0 zecimale) este puterea maximă ce se poate calcula. K= K = EROARE.37439E E E+.0995E Corect Rezultate eroate!

10 De la k=50 rezultatele sut eroate (versiuea Excel 00 ofera precizie mai mare i acest caz), si aume se poate observa ca ultimele cifre di dreapta sut eroate: ptr. k=50, prima cifra di dreapta, ptr. k=5, ultimele cifre, s.a.m.d. Rezultate corecte calculate cu Web.0 scietific calculator ( 50= si 5 = b) Utilizarea Web.0 scietific calculator: Astazi, u este evoie sa se apeleze frecvet la algoritmi de calcul care sa utilizeze u limbaj de programare (C++, Java, Visual Basic, etc.), deoarece paa i prezet s-a dezvoltat foarte mult piata sistemelor de programe specializate ce ofera programe eficiete si comode petru a fi utilizate de elevi, studeti, specialisti. De altfel, dezvoltarea tehologiilor Web si a sistemului Iteret, a facut posibila aparitia uui umar foarte mare de astfel de programe specializate.u astfel de program este oferit de site-ul ce ofera u Web.0 Scietific Calculator. Rezultate obtiute pri utilizarea acestui program: 00= = Figura 7. Observatie: programul lucreaza cu 4 zecimale exacte! 0

11 = , e = (reprezetare cu 4 zecimale exacte) Se poate utiliza la obtierea diverselor calcule matematice si igieresti (cu utilizarea uitatilor de masura: Uits), rezolvarea de ecuatii (Solve), operatii cu matrice (Matrix), reprezetarea grafica a fuctiilor (Plot), etc., Exemplul : Reprezetarea grafica a fuctiilor I fuctie de metoda utilizate, de programul specializat si fuctie de complexitatea uei fuctii pot aparea erori frecvete i astfel de situatii. Aceste erori pot aparea i primul rad di cauza eitelegerii otiuilor matematice despre fuctii sau ca urmare a uei slabe experiete i acest tip de probleme. Vom exemplifica pritr-u simplu exemplu. Sa presupuem ca trebuie sa se reprezite grafic fuctia f(x) = x*si (x), ude x apartie itervalului [-50,50]. Evidet fuctia este o compuere de fuctii, o dreapta si o siusoida. Metoda matematica ivatata de elevi la liceu u este chiar comoda i acest caz. Nici u se recomada se se utilizeze procedura rezultata di metoda matematica. Nici studetul de aul I u se gadeste mai iaite la metoda matematica. Stie si ituieste ca sut foarte multe programe care ofera posibilitatea reprezetarii grafice a fuctiilor. Probleme este aceea a alegerii uui astfel de program tiad seama de liceta de utilizare si fuctiile acelui produs software. Majoritatea programelor stiitifice (D si 3D) ofera aceasta posibilitate. a) cazul programului Excel Petru testarea modului de a utiliza programul Excel i cazul reprezetarii grafice a fuctiilor, codideram exemplu doar petru futia g(x)=si(x) pe itervalul [-50,50]. La activitatile practice de Laborator am avut posibilitatea i ultimii ai sa realizez u sodaj i acest caz. S-a dovedit faptul ca di 0 de studeti, au fost cazuri cad ici u studet u a obtiut rezultatul corect, dar au fost cazuri cad doar uul sau doi au obtiut rezultatul corect. Acest lucru dovedeste ca itelegerea otiuilor, coceptelor si relatiilor itre diversi termei lasa de dorit la multi studeti di aul I. Probabil cauzele sut i ivatamatul geeral si mediu cu multa teorie si cuostite multiple, fara activitati demostrative si practice care sa determie obtierea uor competete utile, importate si oportue. Tot petru u test sa cosidaram ca graficul trebuie obtiut pe itervalul [0,30]. Primul lucru care se realizeaza rapid si fara sa se ituiasca eroarea, se S e rie s geereaza valorile aturale, , 3,..., 30 petru argumetul x. Evidet ca va rezulta graficul uei liii poligoale si u graficul real al fuctiei si(x).

12 Eroarea provie de la faptul ca trebuie sa se realizeze discretizarea itervalului (tabelarea fuctie cu u pas cat mai mic p= 0-, 0-, etc. ce are legatura cu fuctia studiata; trebuie sa cuprida covexitatile si cacavitatile graficului). I cazul fuctiei si(x) este suficieta discretizarea cu pasul p= 0 -, dar tabelarea va produce 0x50 = 500 pucte pe axa pozitiva si tot atatea pe axa egativa. Acum, daca se tie seama ca mai iaite, trebuie sa se geereze tabelarea fuctiei, se poate trece la realizarea graficului f(x) = x*si (x), pe itervalul [-50,50]. Va rezulta graficul corect ce este mai fidel si mai realist. Tabelarea fuctiei vs. Discretizare-Calculul itegral vs. Rezolutia suportului grafic Sistemul de diviziui (proces de discretizare) di calculul itegral este aalog rezoluţiei (matricea de pixeli; u pixel este uitatea grafică idivizibilă a uui display grafic) oferite de u display grafic (CRT sau LCD). Această structură de pixeli reprezită î iformatică, ceea ce reprezită calculul itegral î aaliza matematică (Newto, Riema, Darboux, Leibiz etc.). Cu cat rezolutia este mai mare cu atat reprezetarea este de bua calitate. Mai jos este rezolutia oferita de u ecra grafic. Display Properties Scree Resolutio: Less-800 x 600 pixels, More-680x050 pixels. Odată cu apariţia display-ului grafic (Graphic Display), î aul 953, s-a trecut la o ouă etapă î dezvoltarea şi răspâdirea calculatorului. Utilizarea bit-ului pri orgaizarea eficietă a memoriei calculatorului, u oferea ici hardware, ici software posibilitatea de modelare spaţială a ieşirilor (OUTPUT). Reprezetările grafice folosid caractere (umerice sau alfaumerice) u era o soluţie care să realizeze o reprezetare fidelă a obiectelor reale. Suportul hardware fiid ivetat, î perioada au fost evoie de cercetări şi experimete, modele, algoritmi si programe care să foloseacă

13 apriderea uui pixel (uitatea grafică idivizibilă oferită de u display grafic) ce oferea şi culoare, dar mai ales o structură de reprezetare grafică. Atuci s-a ăscut Grafica pe calculator: trasarea uui segmet de dreaptă (algoritmul Breseham), trasarea cercului şi elipsei, trasarea şi aproximarea curbelor, algoritmi de clippig (decupare) (algoritmul Cohe Sutherlad, algoritmul Suitherlad-Hodgma, algoritmul WeilerAtherto), tehici de vizualizare D şi 3D, modele de ilumiare şi reflexie, modele de tip rastru, modele vectoriale, tehici de textură. Astfel, s-au pus bazele petru soluţii itegrate software şi hardware petru proiectare, aaliză şi producţie asistată de calculator (CAD/CAM/CAE) - Computer Aided Desig. După aul 990, s-au obţiut rezultate deosebite î domeiul modelării şi simulării obiectelor di lumea reală, atât pri elaborarea de tehici şi algoritmi specifici, cât pri apariţia produselor software care să sprijie acest domeiu. Astfel, Realitatea Virtuală (Virtual Reality) este u ou domeiu al Iformaticii ce are u impact deosebit î utilizarea calculatorului pe scară largă şi petru o mare diversitate de teme. b) cazul programului Web.0 scietific calculator Se itroduce comada: plot(x*si(x),x= ) si se obtie imediat graficul corect. Figura 8. Graficul folosid Web.0 scietific calculator Exemplul 3: Problema lui Gauss. U vas coţie 000 litri ditr-u lichid cu o cocetraţie de 80 % alcool. Î fiecare zi se scot di vas 5 litri şi se îlocuiesc cu alţi 3

14 litri ditr-u lichid a cărui cocetraţie î alcool este de umai 40 %. După câte zile cocetraţia lichidului di vas ajuge la 50 %? I cele ce urmeaza vom aborda 3 variate de rezolvari petru aceasta problema petru a evidetia atat evolutia metodelor si tehicilor de rezolvare (teorii si metode umerice), cat si obstacole i utilizarea diverselor metode (de exemplu, problema propagarii erorilor i calcule) :. Modelarea matematica-metoda matematica modelarea matematica va reprezeta o ecuatie futioala ce se poate aborda ca o ecuatie cu diferete fiit de oriul I eomogea;. Algoritm de calcul-program itr-u limbaj de programare coceperea procesului de calcul ce realizeaza u proces iterativ al operatiilor petru rezolvarea problemei; 3. Rezolvare cu programul EXCEL se vor utiliza faciltatile programului Excel si forma algoritmica oferita de metoda algorimica. Modelarea matematica si Metoda algoritmica. Problema este prezetată î [], euţul ei, aparet este al uei probleme simple, dar iteresată di puctul de vedere a rezolvării ei, deoarece problema a fost meţioată la vremea respectivă chiar de GAUSS. Î [] apare rezolvarea problemei cu calculatorul. Rezolvarea problemei u este evidetă, după cum se va vedea î cele ce urmează. Di puct de vedere matematic, rezolvarea ecesită oţiui şi cocepte de matematică superioară di domeiul ecuaţiilor fucţioale, şi aume a ecuaţiilor cu difereţe fiite de ordiul I eomogee. Î două articole ştiiţifice, problema a fost rezolvată de către W. LOREY ( 935 ) şi A. WALTHER ( 936 ). Di puct de vedere umeric, rezolvarea problemei ecesită cuoaşterea metodelor umerice specifice rezolvării ecuaţiilor cu difereţe fiite. De altfel, W. LOREY a şi utilizat o maşiă de calcul petru rezolvarea umerică a uui ecuaţii cu difereţe fiite, aceasta deoarece a sesizat faptul că soluţia se obţie după u umăr cosiderabil de iteraţii. Di puct de vedere iformatic, rezolvarea va fi simplă deoarece u se va utiliza modelul matematic (ecuaţia fucţioală) obţiut di modelarea aalitică a problemei, ci u proces de calcul care simulează operaţiile şi stările uor locaţii de memorie (acesta este de fapt algoritmul care codifică rezolvarea problemei), şi care implemetat îtr-u limbaj de programare (de exemplu C sau Pascal) va rezolva problema î cazul geeral. Petru a face comparaţia ditre soluţia algoritmică obţiută petru calculator şi soluţia aalitică, prezetăm succit rezolvarea dată de A. WALTHER. Vom cosidera problema î cazul geeral, de accea vom face următoarele otaţii : a - catitatea de lichid (î litri) coţiută iiţial î vas; b - catitatea de lichid ce se scoate zilic di vas; 4

15 c - catitatea de lichid ce se adaugă zilic î vas; y0 - catitatea de alcool pe litru (cocetraţia de alcool) mometul iiţial; a lichidului di vas la yp - catitatea de alcool pe litru a lichidului ce se adaugă; yf - catitatea de alcool pe litru a lichidului di vas, la mometul fial; x - umărul de zile (operaţii de îlocuire a lichidului); y(x) - catitatea de alcool pe litru a lichidului di vas după x operaţii de îlocuire a lichidului. Ecuaţia fucţioală (ecuaţia cu difereţe fiite) petru determiarea fucţiei y(x), se obţie exprimâd catitatea totală de alcool di vas după x zile, î două moduri : i) ( a - bx + cx ) y(x) ii) ( a - bx + c(x-) ) y(x-) + c yp, ude cazul ii) se obţie aduâd catitatea de alcool di lichidul rămas î vas după (x-) zile, di care s-au scot b litri, cu catitatea de alcool a celor c litri care se adaugă. Pri urmare, se obţie următoarea ecuaţie fucţioală: () ( a - bx + cx ) y(x) - ( a - bx + c(x-) ) y(x-) = c yp, ecuaţie cu difereţe fiite de ordiul I eomogeă. Rezolvarea acestei ecuaţii este prezetă î [], soluţia geerală fiid ude este fucţia lui Euler dată de relaţia: Î cazul particular a=000, b=5, c=, y0=0.8, yp=0.4, y(x) este u poliom de gradul IV : 5

16 de ude, pri aproximare se deduce că y(94) = , y(95) = , pri urmare după x=95 zile se ajuge la cocetraţia de 0.5. Metoda algoritmica- proces de calcul si program Î cazul rezolvării algoritmice, vom abadoa metoda obţierii ecuaţiei fucţioale şi rezolvarea ei aalitică sau umerică, şi vom cocepe algoritmul ce realizează procesul de calcul geerat de ceriţele problemei. Pe lâgă variabilele x, a, b, c, yp, yf cu semificaţiile prezetate mai sus, vom utiliza şi următoarele variabile: z - catitatea de alcool di vas la u momet dat ; t - catitatea de lichid di vas la u momet dat ; y0 - cocetraţia de alcool di vas la u momet dat. Algoritmul î limbaj pseudo-cod este urmatorul : algorithm Gauss; it x; float a,b,c,y0,yp,yf,z,t; begi // mai read a,b,c ; //liquid quatities read y0,yp,yf; //cocetratios // iitializatios x ; z (a-b)*y0+c*yp; t a-b+c while yf < z/t do begi x x+; y0 z/t; //cocetratio z (t-b)*y0+c*yp; t t-b+c; ed write x; // solutio ed Pri execuţia algoritmului/programului de mai sus (i limbaj de programare C, Pascal, etc.), petru valorile b=5, c=, y0 (iiţial) = 0.8, yp= 0.4, yf = 0.5 se obţi următoarele rezultate : a = 000, yf = a = 5000, yf = a = 0000, yf = a = 00000, yf = , , , , x(days) = 95 x(days) = 488 x(days) = 976 x(days) = 9763 Referite 6

17 [] GABRIEL SUDAN, Câteva probleme matematice iteresate, Biblioteca SSM, Editura Tehică, Bucureşti, 969. [] MARIN VLADA, O problemă a lui K.F. Gauss rezolvată cu calculatorul, Gazeta Matematică, r. 5/995. Rezolvare cu programul EXCEL Petru a realiza i Excel calculul iterativ di algoritmul de mai sus vom itroduce mai iaite, i celulele corespuzatoare valorile datelor cuoscute: a b c.000 y yp yf Calculul iterativ si valorile parametrilor/variabilelor acestui calcul trebuie sa fie implemetate itr-u tabel de forma: x 0 3 ycuret z t Deoarece i algorimul de calcul precedet variabila y0 este folosita si petru cocetraţia de alcool di vas la u momet iitial, dar si petru cocetraţia de alcool di vas la u momet curect, vo itroduce variabila - ycuret = cocetraţia de alcool di vas la u momet curect. Di aceste motive, trebuie sa implemetam i Excel u calcul iterativ de forma: while yf < z/t do begi x x+; ycuret z/t; //cocetratio z (t-b)*ycuret+c*yp; t t-b+c; ed Trebuie sa se realizeze urmatoarele etape (capul de tabel este pe radul 6):. se geereaza cu Edit Fill valorile petru variabila (umar de zile) x: pe coloaa A corespuzatoare acesteia, si aume pe radurile 7-07;. se itroduc valorile petru starea iitiala (x=0), adica petru ycuret, i B7 valoare 0.800, petru z i C7 formula =A$4*D$4, iar petru t, i celula D7, valoarea 000; 3. se itroduc formulele petru prima iteratie (x=) tiad seama de calcul iterativ de mai sus (a se vedea imagiea capturata di programul Excel), si aume, 7

18 petru ycuret, B8= =C7/D7 petru z, C8 =(D7-B$4)*B8+C$4*E$4 petru t, D8 =D7-B$4+C$4 4. se geereaza formulele (pri Copy sub Excel) petru iteratiile x=..00, adica se selecteaza domeiul de celule B8:D8, se elibereaza butoul de mouse, dupa care se aduce cursorul cruce (mare) al mouse-lui catre coltul dreapta-jos al cadrului ce a selectat domeiul de celule, determiad aparitia cursorului de cruce mica; dupa aceea se apasa butoul staga si se trage paa la radul 07 (x=00), realizaduse astfel calcule corespuzatoare petru cele 3 coloae di tabel.. - Figura 9. Problema lui Gauss folosid Excel Valorile geerate de calculul iterativ sut prezetate i cotiuare. Cocluzia este ca solutia i acest caz este x= 95, adica idetica cu solutia determiata pri algoriumul/programul precedet. x ycuret z t

19

20 Solutia corecta!

21 CONCLUZII. Di aaliza celor 3 rezolvari ale problemei lui Gauss se poate exprima cocluzia ca metoda matematica (rezolvarea uei ecuatii fuctioale) este laborioasa si icomoda, iar metoda algoritmica sustiuta de u program scris itr-u limbaj de programare este cea mai comoda si eficieta. De asemeea, rezolvarea folosid facilitatile programului Excel este comoda si eficieta, i primul petru ca se bazeaza pe procesul de calcul iterativ di metoda algoritmica. Icoveietele (elimiate i cazul programului scris itru limbaj de programare) apar atuci cad i vas catitatea de lichid este foarte mare (5000, 0000, etc.), caz i care tabelul de calcul ecesita dimesiui mari. Mai jos vom exemplifica pritr-o situatie modul i care propagarea erorilor pot deatura obtierea rezultatului corect i cazul acestei probleme. Exemplu privid propagarea erorilor. Petru catitatea de lichid de 000, umarul de iteratii este cosiderabil (x=95, solutia) si pot determia procesul de propagare a erorilor. Formula variabilei/parametrului z di algoritmul de calcul, utilizeaza valoarea cocetratiei de la pasul precedet z (t-b)*ycuret + c*yp. Vom modifica formula astfel ca sa se utilizeze valoare cocetratiei la mometul curet, adica formula C8 = (D7-B$4)*B8+C$4*E$4 va fi modificata astfel: C8 = (D7-B$4)*B7+C$4*E$4. I urma refacerii calculelor obtiem rezultatele de mai jos: X ycuret z t Rezultate eroate! Solutia, i acest caz are valoare mai mare decat valoarea corecta. Iflueta propagarii erorilor a determiat obtierea uor rezultate eroate.

22 Idicatori statistici Idicatorii statistici sut defiiţi petru a surpride (a aaliza) variaţii de maifestare a uor valori masurate petru feomee si procese si care ecesită elaborarea uor metodologii şi tehici de rafiare, trasformare şi aplicare a uor operaţii speciale de calcul petru obţierea uor determiări catitativ-umerice. Idicatorul statistic, î forma sa geerală, este expresia umerică a maifestărilor uor feomee, procese, activităţi sau categorii ecoomice şi sociale, delimitate î timp, spaţiu. Petru cuoaşterea proceselor si feomeelor, idicatorii statistici îdepliesc mai multe fucţii şi aume: de măsurare; de comparare; de aaliză sau de siteză; de estimare; de verificare a ipotezelor şi/sau de testare a semificaţiei parametrilor utilizaţi. Idicatorii statistici se pot grupa î: Idicatori primari (mărimi absolute) exprimă direct valori iitiale (masuratori) petru obiectivele cercetate; se pot obţie pri îregistrarea directă, cetralizarea datelor sau pri îsumarea parţială sau totală a datelor idividuale; prezită o capacitate relativ limitată de descriere a feomeului/procesului aalizat, şi u permite realizarea uor aprecieri calitative; Idicatori derivaţi se obţi pri prelucrarea idicatorilor primari şi fac posibilă aaliza aspectelor calitative ale feomeelor şi proceselor aalizate (ex: mărimi relative, mărimi medii, idicatori ai variaţiei, idici, idicatori ai corelaţiei, etc). Idicatorii tediţei cetrale Î geeral, idicatorii tediţei cetrale se determiă î geeral ca idicatori medii sau idicatori de poziţie (ai localizării), î fucţie de atura caracteristicilor urmărite î colectivitatea ivestigată, de scopul ivestigaţiei. Sut multe situaţiile câd tediţa cetrală se caracterizează pritr-u aumit tip de medie (aritmetică, armoică, pătratică, geometrică), dar şi situaţii de utilizare a idicatorilor sitetici de poziţie (localizare: modul, cuatile). Diverse tipuri de medii ale valorilor primare: Media aritmetica - Î ses statistic, media aritmetică a valorilor idividuale (x, x,, x) ale variabilei / parametrului X = (x, x,, x) reprezită acea valoare x care s-ar fi îregistrat dacă toţi factorii de iflueţă ar fi acţioat costat (cu aceeaşi itesitate) la ivelul fiecărei valori masurare/îregistrare. Pri urmare, xi x x... x i, sau x, si avem mi xi x max xi. x i i Media poderată - Îtr-o colectivitate statistică, suficiet de mare ( mare), ude de obicei, multe valori prezită o aumită frecveţă de apariţie, media aritmetică se calculează ca o medie poderată:

23 i i fi. i Media armoică - Media armoică este folosită umai î aumite situaţii, şi aume atuci câd valorile/seturile de date sut alcătuite di valori exprimate sub formă de rapoarte, cum ar fi preţurile vitezele (î mp/h), preţurile (î u.m./kg), sau productivitatea (produse/oră-om). Media armoică se defieşte ca valoare iversă a mediei aritmetice a iverselor valorilor elemetelor idividuale îregistrate; relaţia de calcul a mediei armoice simple a şirului de valori X = (x, x,, x) este următoarea: ; ma i x i Petru o serie de distribuţii de frecveţe media armoică poderată se calculează x fx i, ude fi reprezită frecveţa valorii x i, şi avem ma după relaţia: f i i, fi i x i Media geometrică - Media geometrică este o mărime specializată folosită petru a calcula media creşterilor procetuale (media creşterilor procetuale a salariilor sau preţurilor buurilor). Media geometrică reprezită acea valoare a caracteristicii observate care dacă ar îlocui fiecare valoare idividuală di serie produsul acestora u s-ar modifica, adică m g xi i Idicatori de poziţie Idicatorii de poziţie calculează si se idetifică î cadrul uui set de valori cu câte o variată reală, care posedă o aume proprietate, coform căreia respectiva variată oferă o iformaţie satisfăcătoare despre setul de valori studiat: Mediaa (Media)- Me, aceasta reprezită valoarea cetrală a uei serii de date arajate crescător sau descrescător, si are proprietatea ca imparte seria i grupuri egale, astfel icat jumatate di valori sut mai mici decat mediaa si jumatate sut mai mari decat mediaa. Este cuartila de mijloc, cuartilele fiid valori care impart seria i 4 grupe, sau este percetila de mijloc, percetilele fiid valori care impart seria i 0 grupe egale. Petru o serie cu umar impar de valori, valorile seriei sut i ordie crescatoare si valoarea care imparte seria i doua parti egale este mediaa. Valoarea de mijloc a uei distribuţii, este defiită drept cel mai mic umăr astfel îcât jumătate ditre valori să u fie mai mari decât el. Cu alte cuvite, jumătate ditre valori sut mai mici sau egale cu 3

24 mediaa, jumătate sut mai mari decât mediaa. De remarcat că, deşi este utilizat î geeral ca u idicator de tediţă cetrală, mediaa oferă mai degrabă iformaţii asupra repartizării observaţiilor (idicator de împrăştiere). De regulă, mediaa este raportată împreuă cu quartilele distribuţiei î aşa-zisa rezumare pri cici valori. Dacă x, x,..., x sut valorile observate, mediaa este calculată, după ordoarea crescătoare a valorilor, x() <= x()<=... <= x(), pri. Este de otat că mediaa realizează miimul sumei abaterilor absolute ale valorilor distribuţiei de la u puct fixat: xi m este miimă i petru m egală cu mediaa distribuţiei (î cazul uui umăr par de valori, mediaa aşa cum a fost defiită u este sigura valoare cu această proprietate). Fucţie Excel: MEDIAN(umber,umber,...) Number, umber,... are to 30 umbers for which you wat the media. Exemplu: Media (8,9,0,,,3,4,5,6,7,8,9,30,3,3)=5 (r. impar de valori) si Media (8,9,0,,,3,4,5,6,7,8,9,30,3) = 4.5 Modulul (Mode) valoarea modala, adica domiata uei variabile ce reprezită valoarea care îregistrează cea mai mare frecveţă de apariţie. Valoarea modală se utilizează ca idicator al tediţei cetrale atuci câd media u se poate calcula sau u are ses să fie calculată.valoarea mod este cea mai frecvetă valoare ditr-o mulţime de valori. Grafic, ditr-o histogramă, o valoare mod este idetificată pritr-u maxim relativ. O distribuţie poate avea astfel mai multe valori mod (distribuţii uimodale, bimodale, etc.). Fucţie Excel: MODE (umber,umber,...) 4

25 Number, umber,... are to 30 argumets for which you wat to calculate the mode. You ca also use a sigle array or a referece to a array istead of argumets separated by commas. : Exemplu: Mode (8,9,0,,,0,4,0,6,7,0,9,30,3,3)=0, Mode (8,9,0,8,,8,4,5,6,7,8,9,30,3) = 8 Î Excel, fucţiile corespuzătoare acestor parametri media arimetica, mediaa si modulul, sut: AVERAGE, MEDIAN, MODE. Idicatori ai împrăştierii (variaţiei) Amplitudie (Rage) sau idice de dispersie (Dispersio idexes) - este defiită ca xmax xmi, ude xmax şi xmi sut valorile extreme ale uui set de umere observate. Oferă o imagie a raspadirii datelor, depedetă îsă de umărul de valori observate. Cu cât se măsoară mai multe elemete, cu atât şasa de a observa valori mai depărtate creşte, deci şasa de a obţie o amplitudie mai mare. Abaterea medie (Mea Deviatio) deviatia sau abaterea medie reprezita media abaterilor valorilor idividuale fata de valoarea medie: DM ( x x x ) i Abaterea stadard (Stadard Deviatio SD) este radicalul mediei pătratice a abaterilor datelor faţă de medie şi se calculează cu formula: x s X i i x (i Excel este fuctia STDEV sau STDEVP). Variaţa (Variace) sau dispersia este pătratul abaterii medii pătratice, V x x (i Excel este fuctia VAR sau VARP). Itervalul de cofideta (Cofidece iterval) iterval de icredere (umar de valori i itervalul de icredere) petru estimarea uui parametru (ex. media, dispersia, etc) i cazul uei distributii ormale Gauss: a) x x cu probabilitate de 0.68 b) x x cu probabilitate de c) x x 3 cu probabilitate de I Excel exista fuctia CONFIDENCE(alpha,stadard_dev,size), Alpha is the sigificace level used to compute the cofidece level. The cofidece level equals 00*( - alpha)%, or i other words, a alpha of 0.05 idicates a 95 5

26 percet cofidece level. Stadard_dev is the populatio stadard deviatio for the data rage ad is assumed to be kow. Size is the sample size. Distribuţia şi propagarea erorilor. Estimarea erorilor Erorile aleatoare (accidetale) produc efecte asupra preciziei datelor si rezultatelor. Acestea u sut corelate si afecteaza valorile observate (masuratorile) si se cosidera ca petru masuratori de volum foarte mare ( tide catre ifiit) aceste erori sut realizari (sut distribuite) ale uei variabile aleatoare ormale (distributia ormala Gauss) X. Proprietatea importata a aceste distributii de probabilitati este aceea ca valorile observate (masurate) se distribuie aleator la staga si la dreapta fata de valoarea medie, adica satisface legea desitatii de probabilitate Gauss (umita si clopotul lui Gauss), distributia ormala stadard N(0,), avad media 0 si dispersia : f (x) h e ( h x ), x (, ), h (precizia), si lim f (x) lim f (x) 0. Mai jos este graficul desitatii de probabilitate pe itervalul x x [-,] realizat (pasul discretizarii/diviziuii p=0.) cu programul Excel. Desitatea de probabilitate a erorilor f(x). y f(x) x Figura 0. Graficul folosid Excel 6

27 Petru o valoare data x (, ), coform defiiţiei fucţiei de repartiţie, probabilitatea ca X < x este data de relatia: x F(x) = P ( X < x ) = f (u)du, adica reprezita aria de sub curba ormală stadard delimitată de - şi x. f(x) max f (x) f ( ) x (, ) = % aria % aria % aria Figura. Erorile aleatoare: Distributia probabilitatilor si relatia cu fuctia de repartitie Distribuţie ormală (Normal Distributio - ND) Desitatea de probabilitate Gauss Pri defiiţie, o variabila aleatoare. X are o repartiţie ormală cu parametrii şi dacă desitatea sa de probabilitate este 7

28 , f ( x ) dx, max f ( x ) f ( ) x (, ) Se demostrează că şi este media, respectiv dispersia, variabila aleatoare X. Coform defiiţiei fucţiei de repartiţie, şi se poate demostra că petru orice a b, probabilitatea ca a < (X-m)/s < b este P(a < (X-m)/s < b) = aria de sub curba ormală stadard delimitată de x = a şi x = b formulă care permite calcularea probabilităţilor asociate cu repartiţia ormală doar cuoscâd probabilităţile asociate repartiţiei ormale stadard. Notaţia uzuală este X~N(, ). Petru distribuţia ormală stadard se obţie X~N(0,). I EXCEL exista fuctia: NORMDIST(x,mea,stadard_dev,cu mulative) - X is the value for which you wat the distributio. - Mea is the arithmetic mea of the distributio. Stadard_dev is the stadard deviatio of the distributio. - Cumulative is a logical value that determies the form of the fuctio. If cumulative is TRUE, NORMDIST returs the cumulative distributio fuctio; if FALSE, it returs the probability mass fuctio. The equatio for the ormal desity fuctio (cumulative = FALSE) is: Whe cumulative = TRUE, the formula is the itegral from egative ifiity to x of the give formula. 8

29 Este remarcat faptul ca petru o curba a distributiei erorilor cu o medie data si cu diverse dispersii, şi 3 crescatoare. atuci cele trei curbe au baza crescatoare asa cum se vede i figura urmatoare: Figura. Curbele distributiei petru diverse dispersii crescatoare,, 3 Modelul teoretic al distributiei erorilor (curba lui Gauss: distributia ormala stadard) se refera la u umar ifiit de masuratori petru valorile masurate (observate). I practica, umarul observatiilor este fiit, si ueori acest umar este mic asa cum este cazul domeiilor chimie, fizica, etc. Sa presupuem ca se fac masuratori petru marimea Y. Daca se repeta masurarea marimii Y i coditii idetice se costata ca valorile masurate difera itre ele, si atat petru u umar foarte mare de masuratori (teoretic ifiit), cat si petru u uma mic de masuratori (fiit) se obti doua siruri (seturi) disticte de valori masurate. Daca petru ambele seturi de valori masurate se reprezita grafic frecvetele de aparitie (distributia probabilitatilor) a valorii masurate i fuctie de valorile masurate, se obti doua curbe diferite (a se vedea figura de mai jos). Vom ota: Yr = valoarea adevarata (reala, corecta) a marimii Y; m = media valorilor masurate petru u umar ifiit de masuratori Y = media valorilor masurate petru u umar mic (fiit) de masuratori Eroarea sitematica (obiectiva) este data de difereta ditre media valorilor masurate petru u umar ifiit de masuratori si valoarea adevarata a marimii Y, adica m - Yr. Eroarea aleatoare (accidetala) ) este data de difereta ditre media valorilor masurate 9

30 petru u umar fiit de masuratori si media valorilor masurate petru u umar ifiit de masuratori, adica Y - m. Figura 3. Erori de masurare sistematice si aleatoare (Sursa: M. Miro, L. Miro, Masurari electrice si electroice, Brasov, 003, Propagarea erorilor Atuci câd u rezultat experimetal depide de uul sau mai multe masuratori esigure, este ecesar să se aalizeze propagarea erorilor (icertitudiile: propagatio of error or propagatio of ucertaity) acestor măsurători î rezultat fial al cercetarii (experimetului). I ses statistic, daca X este o variabila aleatoare data ce are o distributie cuoscuta a erorilor si asupra ei actioeaza u sistem de prelucrare (experimet system), se doreste sa sa cuoasca propagarea erorilor (distributia erorilor) petru variabila aleatoare rezultat Y: (iput) X SISTEM (experimet system) Y (Output) Trebuie sa se determie distributia fuctiei de iesire petru variabila Y, adica Y = f(x), ude f este cuoscuta si distributia erorilor petru varaiabila aleatoare X este cuoscuta. 30

31 Presupuem ca variabila X (iput) este ormal distribuita N( x, x) cu media x si abaterea stadar x si se doreste sa se determie cum se propaga itervalul cu probabilitatea 68% [ x - x, x + x ] pri sistemul de prelucrarea i rezultatul fial, adica i variabila iar Y (output). Daca f este o fuctie complexa, di figura urmatoare se poate observa ca aceste iterval depide de aceasta fuctie sa determie o aumita distributie a erorilor petru rezultatul fial Y. I cazul ormal distribuit petry Y, avem otatia N ( y, y). Figura 4. Propagarea erorilor petru cazul eliiar al rezultatului Petru cazul geeral cad avem varaibila aleatoaea la itrare (iput) X, X,... X, avem urmatoarea schema geerala: Figura 5. Schema geerala petru itrari I acest caz avem Y = f (X, X,... X), ude X, X,... X sut variabile aleatore de itrare (iput) avad distributia ormala N( i, i), ude i,,...,. I acest caz, reprezetarea lui Y sub forma dezvoltatii i serie Tayloy de ordiul I (se utilizeaza doar deriva de ordiul I)) i puctul (,,..., ) este 3

32 Daca petru medie utilizam otatia di statistica (probabilitati), E (. ), atuci avem urmatoarele calcule:, cu otatiile Vom presupue ca fuctia f este liiara si astfel Y este o variabila aleatore distribuita ormal N( y, y) cu media y si abaterea stadar y. sa calculam y si y : adica si daca vom cosidera ca variabilele aleatoare X, X,... X sut idepedete, atuci covariata ij este zero si avem Petru exemplificare vom da cateva exemple de operatii asupra itrarilor. Calculul erorii rezultatului fial va fi aalilat i cele ce urmeaza. Iput: a, b, c obtiute di masuratori directe cu erorile sa, sb, sc Output: rezultatul fial x, cu eroarea sx 3

33 Nr. crt. Rezultatul fial x=a+b-c x = a * b/c 3 x = abc Propagarea erorilor Tabelul. Propagarea erorilor De exemplu, se poate calcula eroarea la etaloul de curet pe baza legii lui Ohm, sau i geeral la masurarea idirecta a curetului, pri masurarea caderii de tesiue pe o rezisteta etalo. I Chimie si Fizica sut diverse formule de calcul petru care trebuie sa se calculeze eroarea. Aaliza datelor experimetale. Modele matematice si statistice I cercetare si i aaliza datelor experimetale di diverse domeii stiitifice trebuie sa se realizeze proceduri de calcul si modele care sa coduca la cocluzii privid iterpretarea masuratorilor, calculelor si rezultatelor modelelor teoretice sau empirice (aproximative). Presupuem ca trebuie sa se studieze variabila Y (depedeta) i fuctie de variabila X (idepedeta), adica depedeta Y = f(x), de exemple daca X reprezita parametrul temperatura, iar Y parametrul presiue. I acest caz variabila Y se exprima ca o fuctie de o sigura variabila. Cosiderăm că s-au determiat perechi de valori (xi,yi), i=,, corespuzătoare celor două variabile petru care se doreste să se studieze asocierea şi relaţia ditre ele. O primă apreciere asupra distribuţiei comue o vom avea dacă realizăm diagrama de împrăştiere a valorilor, de fapt reprezetarea îtr-u sistem de axe XOY petru puctele avâd coordoatele (x, y). Aaliza vizuală a orgaizării şi formei orului de pucte obţiut poate oferi idicii importate asupra relaţiei ditre variabile. Datele vor susţie ipoteza asocierii ître variabile dacă forma orului de pucte se apropie de o curbă data cu expresie aalitica cuoscuta. Astfel, se pot aprecia asocieri liiare, curbiliii, etc. Dacă î orul de pucte u se poate distige o tediţă, se va spue că variabilele u sut corelate. Diversitatea priceselor si feomeelor studiate determia obtierea uei mari diversitati de tedite: liiare si eliiare (curbiliii). Î figuririle următoare sut ilustrate câteva tediţe ale acestor asocieri. 33

34 Y Y a) asociere liiara pozitiva X Y X b) asociere liiara egativa Y X c) fara (u exista) asociere X d) asociere eliiara (curbiliie) Figura 6. Diferite tipuri de asociere petru variabilel X si Y Petru a sitetiza (estima) modul î care schimbările variabilei Y sut asociate cu schimbările variabilei X, se utilizeaza metoda matematică "metoda celor mai mici pătrate - MCMMP" (coceputa de Legedre, 806). Aplicată î cazurile a) si b), asocierea ditre X şi Y este reprezetată pritr-o dreaptă trasată pritre puctele diagramei de împrăştiere. Dreapta estimată (dreapta de regresie) este "cea mai buă" î sesul că exprimă cel mai cetral drum pritre pucte: liia petru care suma pătratelor distaţelor (pe verticală) ditre pucte şi dreaptă este miimă. Y f(x) = ax + b X Figura 7. Dreapta de regresie i cazul a) 34

35 Distaţele yi f(xi), i=,, sut cosiderate ca erori (reziduuri) itre valorile masurate si valorile estimate. Dreapta de regresie f(x) = ax + b realizează valoarea miimă a pătratelor erorilor (parametri dreptei a si b urmeaza a fi determiati pri MCMMP), S [ y i f ( xi )] i î sesul că orice altă dreaptă produce o sumă de pătrate mai mare. Este de amitit că o proprietate a mediei aritmetice este aceea că suma pătratelor difereţelor de la medie are o valoare miimă. Astfel se poate spue că după cum media reprezită puctul de echilibru petru o distribuţie uivariată de scoruri, la fel dreapta de regresie reprezită puctul de echilibru îtr-o distribuţie bivariată. Utilitatea dreptei de regresiei este aceea că serveşte ca bază petru predicţia valorilor lui Y asociate valorilor lui X. I cazul asocierii eliiare (curbiliie), curba care estimeaza asocierea ditre varabilele Y si X va fi exprimata pri itermediul uor parametri ce urmeaza a fi determiati pri MCMMP. I practica, i fuctie de atura datelor experimetale si procesul aalizat trebuie sa se determie evolutia procesului pe baza datelor experimetale. Aceasta este reprezetata si estimata de modele matematice date de fuctii liiare sau eliiare (curbe). Modelele matematice (liiare sau eliiare) ce estimeaza evolutia proceselor sau feomeelor sut exprimate de: Modele teoretice - acestea se bazeaza pe diverse legi si pricipii ale domeiului teoretic; sut modele ratioale ce se determia pri fuctii si legi obtiute pri ratioamete teoretice ce exprima fuctii si ecuatii ale uor teorii studiate i domeiul respectiv: chimie, fizica, biologie, etc. Modele empirice (de aproximare) - acestea au la baza u suport teoretic petru a utiliza observatii (masuratori) empirice ale uor parametri ce defiesc procesele si feomeele i vederea realizarii de calcule si aproximari (fitare) ale datelor. Modele teoretice Exemple. a) Legea desitatii de probabilitate Gauss privid distributia erorilor de masurare (umita si clopotul lui Gauss), distributia ormala stadard N(0,), avad media 0 si dispersia : f (x) h e ( h x ), x (, ), h (precizia), si limf (x) limf (x) 0. x x b) Exemplu di chemical kietics (teoria starii de trazitie 'trasitio state theory' ) ecuatia Eyrig Polayi (935) ce descrie depedeţa de temperatură a ratei de reacţie itr-o reactie bimoleculara. Pricipiile teoriei starii de trazitie: există u echilibru termodiamic ître starea de trazitie şi starea de reactaţi î partea de sus a barierei de eergie; rata de reactie chimica este proporţioală cu cocetraţia de particule î stare de 35

36 traziţie de îaltă eergie. Modelul dat de ecuaţia Eyrig este folosit î studiul gazelor pri reacţii codesate şi mixte (Sursa: Peter Keusch, Uiversity of Regesburg, ude variabila depedeta k este fuctie de temperatura T si de parametri S (etropia de activare), H (etalpia de activare) si kb = Boltzma's costat [ J K - ] T = absolute temperature i degrees Kelvi [ K ] h = Pak costat [ J s ] R = Uiversal Gas Costat = [ J mol - K - ] S = activatio etropy [ J mol - K - ] H = activatio ethalpy [ kj mol - ] Observatii: is give by statistical thermodyamics, k is kow as a uiversal rate costat for a trasitio state. G = free activatio ethalpy [kj mol -] (Gibbs eergy), G is also described by the Legedre trasformatio of the Gibb's free eergy fuctio. G poate fi cosiderată a fi forţa motrice a uei reacţii chimice, ce determiă spotaeitatea de reacţie: reacţia este spotaă (< 0), sistem i echilibru (= 0), reacţia u este spotaa (> 0). Pri logaritmare, ecuaţia Eyrig se trasforma itr-u model liiar: Modele empirice (de aproximare) Exemple. a) Ecuaţia Arrheius ecuaţia se poat aplica umai la cietica reacţiilor de gaz si se bazează pe observaţia empirică a faptului că o reacţie se desfăşoară cu o creştere a ratei de reacţie la o temperatură mai ridicată: k A e Ea RT, ude A factor si Ea este eergia de activare. (forma liiara) 36

37 b) Legea lui Beer (Spectrofotometrie): A = ε L C, ude A este absortia, ε este catitate este de absorbţie molară, L este lugimea de udă a lumiii folosite la măsurare, iar C este C este cocetraţia aalitului (Sursa: David N. Blauch, Beer's Law: Figura 8. Virtual Chemistry Experimets by David N. Blauch Coeficietul de corelaţie (Correlatio coefficiet) Coeficietul de corelaţie (Pearso) este o măsură a asocierii liiare ditre două variabile, cu alte cuvite a gradului î care reprezetarea bivariată sub forma uei diagrame de împrăştiere se apropie de o dreaptă. Notâd cu X şi Y cele două variabile şi cu xi, yi, i=,,, valorile variabilelor, formula de calcul este 37

38 . Coeficietul de corelaţie ia valori î [,+] cu semificaţia de asociere pozitivă/egativă după semul coeficietului şi de lipsă de asociere petru rxy = 0. Exercitiu. Petru u set de date ce reprezita valorile a doua variabile aleatoare X şi Y vom calcula i trei moduri coeficietul de corelatie rxy : a) folosid fuctia CORREL (X,Y) di Excel, b) folosid Excel petru calculele directe ale formulei de mai sus, si c) folosid covariata COVAR (X,Y) di Excel. X Variata a) Variata b) Variata c) Corelatia (X,Y) Y Medie X 3.8 Valori idetice! Medie Y

39 Suma C Numarator Suma D 3 Numitor Suma E A B C D E A X X ; B Y Y ; C A B ; D A ; E B I cazul a) se apeleaza fuctia CORREL(Array,Array), ude Array, Array sut, respectiv, zoele care coţi valorile celor două variabile (trebuie să aibă, evidet, acelaşi umăr de valori), adica X si Y. Mai jos este fereastra oferita pri apelul fuctiei CORREL. Se va idica, pe rad fiecare argumet i parte: X si Y. Rezultatul obtiut este urmatorul: rxy = I cazul b) trebui sa se realizeze calculul direct, adica este evoie sa se utilizeze 5 vectori A, B, C, D, E defiiti tiad seama de expresia dio formula coeficietului de corelatie rxy. Deasupra tabelului de mai sus i care se calculeaza cei 5 vectori se calculeaza valorile itermediare di structura expresiei coeficietului de corelatie si se va obtie acelasi rezultat rxy =

40 A B C=A*B, C=A, D=B Figura 9. Fereasta oferita de fuctia CORREL Cazul c). Calculul coeficietul de corelaţie al celor doi vectori de date se poate exprima si folosid formula de mai jos: rxy Cov ( X, Y ), S X SY ude Cov(X,Y) este covariata celor doi vectori X si Y, iar SX, SY sut abaterile stadard x petru X, respectiv Y. Avem: S X i i x y si S Y i i y.. Covariaţa (Covariace) Coeficietul de covariaţa este o măsură a asocierii liiare ditre două variabile X si Y, x Cov X, Y i x yi y, ude x şi y reprezită mediile vectorilor X şi Y. Calculul covariaţei folosid fucţia statistică di Excel, se face pri apelul fuctiei 40 i

41 COVAR(Array,Array), ude Array, Array sut, respectiv, zoele care coţi valorile celor două variabile (trebuie să aibă, evidet, acelaşi umăr de valori), adica X si Y. Petru calculul abaterilor stadard SX, SY se apeleaza fuctia STDEVP(umber, umber,...), umber, umber,... are to 30 umber argumets correspodig to a populatio. You ca also use a sigle array or a referece to a array istead of argumets separated by commas. I acest fel, si i cazul c) se va obtie acelasi rezultat rxy = Petru diverse probleme complexe ce ecesita aumite calcule statistice, trebuie sa se cuoasca si sa se iteleaga semificatia termeilor si calculelor statistice corespuzatoare si apoi sa se utilizeze istrumetele statistice (Aalysis ToolPak, Aalysis ToolPak VBA, Solver Add-i, etc.) oferite de programul Excel. Acest lucru este valabil si i cazul problemelor ce ecesita rezolvarea ecuatiilor si a sistemelor. Trebuie sa se utilizeze meiul Tools Add-Is (va aparea submeiul Data Aalysis i meiul Tools): 4

42 Despre programul Microsof Office Excel (versiuea ) I comparatie cu versiueea Microsoft Office Excel versiuea ce ofera petru o foaie de calcul (sheet) dimesiue 65536R x 56 C (liii si coloae: se actioeaza simulta tastele <CTRL>+ < >, respectiv <CTRL>+ < >) si extesia petru fisierul output (rigistru, ageda work) este data de.xls, oua versiue

43 ofera petru o foaie de calcul (sheet) cu dimesiuea mult mai mare R x 6384C si extesia sub forma..xlsx. Referitor la formatul acestei extesii, trebuie sa facem observatia ca i practica, u utilizator care lucreaza cu versiuea veche Excel si deschide u fisier cu acest format, trebuie sa se asigure ca i versiuea oua Excel este eaparat ecesar sa se salveze petru versiuea Excel Meiu: File, Edit, View, Isert, Format, Tools, Data, Widow Cotrol: File Meiu: Porire, Aspect pagia, Formule, Data, Revizuire, Vizualizare Dimesiue foaie de calcul Figura 30. Meiurile pricipale petru versiuile Excel si MeiulPORNIRE Meiul INSERARE 43

44 Meiul FORMULE: Fiaciar, Logica, Text, Date, Cautare si referite., Matematica si trigoometrie, Alte fuctii (Statistica, Igierie, Cub, Iformatii) Meiul DATE Fuctii: Matematica si trigoometrie Figura 3. Cetrul de Cotrol: File 44

45 Regresia liiară (Regressio, Liear Regressio) Date fiid valorile observate petru două variabile aleatoare X şi Y, fie acestea (xi,yi), i=,,, pri fucţie de regresie se va îţelege acea fucţie Y = f(x) care aproximează cel mai bie setul de date observate. De regulă, criteriul ales este dat de metoda celor mai mici pătrate (MCMMP), adică acea fucţie f petru care se miimizează suma patratelor erorilor itre valorile masurate si cele estimate (procedeu de fitare), adica suma S [ yi f (xi )] i Dacă f este o fucţie liiară, atuci se obţie regresia liiară, reprezetată grafic pritr-o dreaptă (dreapta de regresie). Dreapta de regresie, împreuă cu abaterile stadard ale variabilelor X şi Y, sau cu coeficietul de corelaţie, pot costitui o rezumare rezoabilă a distribuţiei comue a celor două variabile X si Y. Adecvaţa modelului liiar este mai buă atuci câd diagrama de împrăştiere are formă de elipsă. Metoda celor mai mici pătrate (MCMMP) Depedeţa fucţioală a uei variabile aleatoare Y (depedetă-efect) faţă de altă variabilă X (idepedetă-cauză) poate fi studiată empiric, pe cale experimetală, efectuîdu-se o serie de măsurători asupra variabilei Y petru diferite valori ale variabilei X. Rezultatele se pot prezeta sub formă de tabel sau grafic. Problema care apare î acest caz este de a găsi reprezetarea aalitică a depedeţei fucţioale căutate (procedeu de fitare), adică de a alege o expresie (formulă sau model matematic) care să descrie rezultatele experimetului pritr-u model matematic. Formula se alege ditr-o mulţime de formule determiate, de exemplu: y = ax + b (dreapta), y = ax + bx + c (parabola), y = aebx + c (expoetiala), y = a + b si( ωt + φ ) (siusoida). Pi urmare, problema costă î a determia parametrii a, b, c, etc. î timp ce formula (expresia aalitică) este cuoscută diaite, ca urmare a uor cosiderete teoretice sau după forma prezetării grafice a datelor, î mod empiric. Să cosiderăm, cazul geeral câd avem p parametri, si astfel vom ota depedeţa fucţioală pri y = f(x; a0, a,..., ap) Parametri a0, a,..., ap u se pot determia exact pe baza valorilor empirice y, y,...,y ale fucţiei, deoarece acestea di urmă coţi erori aleatoare. Problema reprezită obţierea uei estimari "suficiet de bue". 45

46 Formularea problemei Dacă toate măsurătorile valorilor varabilei Y sut y, y,...,y, atuci estimaţiile parametrilor a0, a,..., ap se determiă di codiţia ca suma pătratelor abaterilor valorilor măsurate yk de la cele calculate f(xk; a0, a,..., a) să ia valoarea miimă, adică sa fie miimă expresia S [yk f (xk ;a0, a,...,ap )] k. Cosideraţia formulată se păstrează şi î geeral, petru determiarea parametrilor uei fucţii de mai multe variabile (, 3, etc.), adica o variabila depedeta (efect) si mai multe variabile idepedete (cauze). De exemplu, petru variabila Z (efect) ce depide de două variabile idepedete (cauze) X şi Y, adică Z=f(X,Y), estimaţiile parametrilor a0, a,..., ap se determiă di codiţia ca expresia S [ z k f ( x k, y k ; a 0, a,..., a p )] k să fie miimă. Determiarea valorilor parametrilor a0, a,..., ap, se face pri aplicarea codiţiilor de obtiere a valorii miime i derivatele partiale ale fucţiei S cosiderată î variabilele a0, a,..., ap, adică fucţia cu p variabile S(a0, a,..., ap). Obţierea acestor valori îseamă rezolvarea sistemului de p ecuaţii cu p ecuoscute. S S S 0, 0,, 0. a0 a ap Dreapta de regresie Î cazul modelului liiar (cel mai simplu) se studiază umai două variabile X (cauza), Y(efect) şi se doreşte găsirea depedeţei Y = f(x), ude f(x) = ax + b este o depedeta liiara (fuctie de gradul I) cu p= parametri a si b. Î urma celor probe (masuratori, observatii) se cuosc datele (xi,yi), i=,..., şi trebuie să se determie coeficieţii a şi b astfel îcât suma S y i (ax i b) i să fie miimă. Codiţiile de obţiere a parametrilor a şi b sut: S a 0, ceea ce coduce la sistemul de ecuatii cu ecuoscute: S 0 b y (ax b) ( x ) 0 x y ax bx i 0 i i i i i i i i i i y (ax b) 0 y ax b 0 i i i i i i i i 46

47 Se otează: x i y i Sxy x i Sxx i i x i Sx i y i i Sy si sistemul de ecuaţii devie: S xy as xx bs x 0. Se obţi urmatoarele expresii petru cei doi parametri a si b: S y as x b 0 S x S y S xy a şi b S y as x (S x ) S xx Cei doi parametri ai fucţiei model f(x) = ax + b reprezită: a - pata dreptei de regresie, adică a=tg(α), ude α este ughiul ditre graficul fucţiei f si axa OX (absciselor); b - valoarea pe axa OX ude graficul fucţiei f itersectează axa OY (ordoatelor). Trebuie să facem observaţia că idiferet de gradul de împrăştiere al puctelor, îtotdeaua se poate găsi o dreaptă de regresie, dar î cazul uei dispersii mari aceasta devie iutilă. De aceea u studiu prelimiar al distribuţiei puctelor (orul de pucte) se impue cu ecesitate. Calitatea uei drepte de regresie poate fi aalizată după coeficietul de determiare R (R-squared value o chart, pătratul coeficietului de corelaţie multiplă) ce are valori i itervalul [0,] si se calculează cu relaţia: R [ y i i f ( xi )] [ E ( f ( x)) f ( x )] i i, ude E ( f ( x)) f ( xi ). i O valoare petru acest coeficiet are semificaţia că fucţia model f explică îtreaga variabilitate (depedetă) a lui y, iar valoarea 0 că u există ici o relaţie liiară ître variabila Y şi variabila X. O valoare de 0.5 a lui R poate fi iterpretată î sesul că aproximativ 50% di variaţia variabilei Y poate fi determiata de către variabila idepedetă X. EXEMPLE Exemplul. Folosid programul Excel sa se determie drepta de regresie petru doua variabile X si Y (de exemplu, i cadrul uui proces electric: variabila itesitate I(mA) si variabila Tesiue U(mV) ce depide deaceasta) si sa se obtia calitatea aproximarii (fitarii) pri calculul coeficietul de determiare R. Itr-o foaie de calcul Excel presupuem ca apar valorile masurate petru variabilele X si Y. Petru obtierea dreptei de regresie si a coeficietului de determiare R, trebuie sa se parcurga urmatorii pasi: 47

48 Pasul. Reprezetarea orului de pucte (diagrama de imprastiere) petru variabilele X si Y. Petru acest lucru trebuie sa se selecteze valorile aflate i cele coloae ale celor variabile, se actioeaza Isert Chart si se alege tipul de grafic XY (Scatter) (Stadard Types), de ude di cele 5 variate de grafice se opteaza petru prima variata (Scatter-Compares pairs of values); se parcurg etapele petru a geera graficul respectiv, si care apare mai jos; Dreapta de regresie Y Y X 48

49 Pasul. Determiarea si reprezetarea dreptei de regresie. Se selecteaza graficul obtiut la pasul (orul de pucte) si se actioeaza Chart Add Tredlie de ude se alege tipul Liear (Stadard Types), Eticheta Add Tredlie Optios este prezetată î figura următoare şi permite defiirea altor atribute ale liiei de tred: Display equatio o chart marcarea boxei de cotrol are efectul trecerii pe grafic a ecuaţiei estimate, Display R-squared value o chart este utilă petru afişarea coeficietului de determiare R (pătratul coeficietului de corelaţie multiplă). 49