Research Article On Simultaneous Approximation of Modified Baskakov-Durrmeyer Operators

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1 Iteatioal Joual of Aalysis Volue 215, Aticle ID 85395, 1 pages Reseach Aticle O Siultaeous Appoxiatio of Modified Baskakov-Dueye Opeatos Pashatkua G. Patel 1,2 ad Vishu Naaya Misha 1,3 1 Depatet of Applied Matheatics ad Huaities, Sada Vallabhbhai Natioal Istitute of Techology, Ichchhaath Mahadev Duas Road, Suat, Gujaat 395 7, Idia 2 Depatet of Matheatics, St. Xavie College, Ahedabad, Gujaat 38 9, Idia 3 L Awadh Pui Coloy Beigaj, Phase-III, Opposite-Idustial Taiig Istitute I.T.I.), Ayodhya Mai Road, Faizabad, Utta Padesh 224 1, Idia Coespodece should be addessed to Pashatkua G. Patel; pashat225@gail.co Received 22 July 215; Accepted 1 Septebe 215 Acadeic Edito: Yig Hu Copyight 215 P. G. Patel ad V. N. Misha. This is a ope access aticle distibuted ude the Ceative Coos Attibutio Licese, which peits uesticted use, distibutio, ad epoductio i ay ediu, povided the oigial wok is popely cited. We discuss popeties of odified Baskakov-Dueye-Stacu BDS) opeatos with paaete γ>. We copute the oets of these odified opeatos. Also, we establish poitwise covegece, Vooovskaja type asyptotic foula, ad a eo estiatio i tes of secod ode odificatio of cotiuity of the fuctio fo the opeatos B,β,γ f, x). 1. Itoductio Fo x [,), γ >, β,adf C[,), we coside a cetai itegal type geealized Baskakov opeatos as B,β,γ f t),x) whee p,k,γ x) +p,,γ x) f +β ) b,k,γ t) f +β )dt W,γ x, t) f +β )dt, k Γ/γ+k) Γ k+1) Γ/γ) γx) 1 + γx), /γ)+k 1) b,k,γ t) γγ/γ+k+1) k 1 Γ k) Γ/γ+1) γt) 1 + γt), /γ)+k+1 W,γ x, t) p,k,γ x) b,k,γ t) +1+γx) /γ δ t), δt) beig the Diac delta fuctio. The opeatos defied by 1) ae the geealizatio of the itegal odificatio of well-kow Baskakov opeatos havig weight fuctio of soe beta basis fuctio. As a special case, that is, γ 1,theopeatos1)educetothe opeatos vey ecetly studied i [1, 2]. Ivese esults of sae type of opeatos wee established i [3]. Also, if β, the opeatos 1) educe to the opeatos ecetly studied i [4] ad if βad γ1,theopeatos1)educetothe opeatos studied i [5]. The q-aalog of the opeatos 1) is discussed i [6]. We efe to soe of the ipotat papes o theecetdevelopetosiilatypeoftheopeatos[7 9]. 2)

2 2 Iteatioal Joual of Aalysis The peset a pape that deals with the study of siultaeous appoxiatio fo the opeatos B,β,γ. 2. Moets ad Recuece Relatios Lea 1. If oe defies the cetal oets, fo evey N, as μ,,γ x) B,β,γ t x),x) +p,,γ x) +β x), b,k,γ t) +β x) dt the μ,,γ x) 1, μ,1,γ x) βx)/+β),adfo>γ; oe has the followig ecuece elatio: γ) + β) μ,+1,γ x) x1+γx) {μ 1),,γ x) +μ, 1,γ x)} +{+ 2 x 2γ ) +β)x)} μ,,γ x) + {γ + β) +β x) 2 μ, 1,γ x). +β x)} Fo the ecuece elatio, it ca be easily veified that, fo all x [,),oehasμ,,γ x) O [+1)/2] ),whee[] deotes the itegal pat of. Poof. Takig deivative of the above,,,γ x) p,k,γ x) μ 1) 1 b,k,γ t) +β x) dt p,,γ x) +β x) 1 + p 1),k,γ x) b,k,γ t) +β x) dt + p 1),,γ x) +β x) μ, 1,γ x) + p 1),k,γ x) b,k,γ t) +β x) dt + p 1),,γ x) +β x), 3) 4) x1+γx){μ 1),,γ x) +μ, 1,γ x)} x1+γx)p 1),k,γ x) b,k,γ t) +β x) dt+x1+γx),,γ x) +β x). p 1) Usig x1 + γx)p 1),k,γ x) k x)p,k,γx),weget x1+γx){μ 1),,γ x) +μ, 1,γ x)} k x) p,k,γ x) b,k,γ t) +β x) dt + x) p,,γ x) +β x) kp,k,γ x) b,k,γ t) +β x) dt xμ,,γ x) : I xμ,,γ x). We ca wite I as I{ +β x) +β x) {k 1) +2γ)t}b,k,γ t) dt + dt} + { + 2γ) tb,k,γ t) +β x) dt} : I 1 +I 2 say). b,k,γ t) p,k,γ x) To estiate I 2 usig t + β)/){)/ + β) x) / + β) x)},wehave I 2 + 2γ) + β) { p,k,γ x) +1 b,k,γ t) +β x) x) dt +β b,k,γ t) +β x) dt} 5) 6) 7)

3 Iteatioal Joual of Aalysis 3 + 2γ) + β) { p,k,γ x) +1 b,k,γ t) +β x) dt + p,,γ x) +β x) +1 +β x) { +p,,γ x) +β x) }} + 2γ) + β) μ,,γ x)}. b,k,γ t) +β x) dt {μ,+1,γ x) +β x) Next, to estiate I 1 usig the equality, {k 1) + 2γ)t}b,k,γ t) t1 + γt)b 1),k,γ t),wehave I 1 { + +γ : J 1 +J 2 say). tb 1) +,k,γ t) t +β x) dt b,k,γ t) +β x) dt} t 2 b 1) +,k,γ t) t +β x) dt Agai puttig t + β)/){)/ + β) x) / + β) x)},weget J 1 +β { p,k,γ x) b 1) +1 +,k,γ t) t +β x) + dt + +β x) b 1) +,k,γ t) t +β x) dt} b,k,γ t) +β x) dt. 8) 9) 1) Now, itegatig by pats, we get J 1 +1) p,k,γ x) b,k,γ t) +β x) + +1) { dt + +β x) 1 b,k,γ t) +β x) dt b,k,γ t) +β x) dt b,k,γ t) +β x) dt +p,,γ x) +β x) }+ +β x) { +p,,γ x) 1 +β x) }+ 1 b,k,γ t) +β x) dt p,k,γ x) b,k,γ t) +β x) dt + p,,γ x) +β x), J 1 μ,,γ x) + +β x)μ, 1,γ x). 11) Poceedig i the siila ae, we obtai the estiate J 2 as J 2 γ+β)+2) μ,+1,γ x) + β) +1) +2γ +β x)μ,,γ x) γ + β) Cobiig 6) 12), we get +β x) 2 μ, 1,γ x). x1+γx){μ 1),,γ x) +μ, 1,γ x)} μ,,γ x) + +β x)μ, 1,γ x) γ+β)+2) + β) +1) μ,+1,γ x) +2γ +β x) 12)

4 4 Iteatioal Joual of Aalysis μ,,γ x) γ + β) μ, 1,γ x) xμ,,γ x) +β x) 2 Lea 4 see [1]). The polyoials Q i,j,,γ x) exist idepedet of ad k such that {x 1 + γx) }D [p,k,γ x)] + +2γ)+β) {μ,+1,γ x) i k x) j Q i,j,,γ x) p,k,γ x), i,j 17) Hece, +β x)μ,,γ x)}. 13) whee D d dx. Lea 5. If f is ties diffeetiable o [, ), suchthat f 1) Ot υ ), υ>as t,thefo 1, 2, 3,... ad >υ+γoe has γ)+β)μ,+1,γ x) x1+γx){μ 1),,γ x) +μ, 1,γ x)}+{+ 2 x 2γ ) +β)x)}μ,,γ x) +{γ+β) 2 +β x) +β x)}μ, 1,γ x). 14) B,β,γ )) f, x) Γ/γ+)Γ/γ +1) + β) Γ/γ+1)Γ/γ) k Poof. Fist p +γ,k,γ x) b γ,k+,γ t) f ) +β )dt. B,β,γ )1) f, x) 18) This copletes the poof of Lea 1. Reak 2 see [1]). Fo N {},if theth ode oet is defied as U,,γ x) k p,k,γ x) k x), 15) p 1),k,γ x) Now, usig the idetities b,k,γ t) f +β )dt 1+γx) /γ 1 f +β ). 19) the U,,γ x) 1, U,1,γ x), adu,+1,γ x) x1 + γx)u 1),,γ x) + U, 1,γx)). Cosequetly, fo all x [,),wehaveu,,γ x) O [+1)/2] ). Reak 3. It is easily veified fo Lea 1 that fo each x [, ) B,β,γ t,x) Γ/γ+)Γ/γ +1) + β) Γ/γ+1)Γ/γ) x + 1 Γ/γ+ 1)Γ/γ +1) + β) Γ/γ+1)Γ/γ) + γ +1)}x 1 { 1) + 1) 2 Γ/γ+ 2)Γ/γ +2) + β) Γ/γ+1)Γ/γ) 2) + /γ +2) }x 2 +O 2 ). 2 { 16) p 1),k,γ x) {p +γ,k 1,γ x) p +γ,k,γ x)}, b 1),k,γ x) +γ){b +γ,k 1,γ x) b +γ,k,γ x)}, fo k 1,wehave B,β,γ )1) f, x) {p +γ,k 1,γ x) p +γ,k,γ x)} b,k,γ t) f +β )dt 1+γx) /γ 1 f +β )p +γ,,γ x) b +γ,1,γ t) f +β )dt 1+γx) /γ 1 f +β )+ p +γ,k,γ x) {b,k+1,γ t) b,k,γ t)}f +β )dt, 2)

5 Iteatioal Joual of Aalysis 5 B,β,γ )1) f, x) 1 + γx) /γ 1 + γ) 1 + γt) /γ 2 f +β )dt + p +γ,k,γ x) 1 + b1) γ,k+1,γ t))ft +β )dt 1+γx) /γ 1 f +β ). 21) Itegatig by pats, we get,γ )1) f, x) 1 + γx) /γ 1 f +β ) B,β γx) /γ 1 +β 1 + γt) /γ 1 f 1) +β )dt+ +β p +γ,k,γ x) b γ,k+1,γ t) f 1) +β )dt 1+γx) /γ 1 f +β ), B,β,γ )1) f, x) +β k p +γ,k,γ x) b γ,k+1,γ t) f 1) +β )dt. 22) Thus the esult is tue fo 1.Wepovetheesultby iductio ethod. Suppose that the esult is tue fo i; the B,β,γ )i) f, x) i Γ/γ+i)Γ/γ i+1) + β) i Γ/γ+1)Γ/γ) k p +γi,k,γ x) Thus, usig the idetities 2), we have B,β,γ )i+1) f, x) b γi,k+i,γ t) f i) +β )dt. i Γ/γ+i)Γ/γ i+1) + β) i Γ/γ+1)Γ/γ) { γ +i) {p +γi+1),k 1,γ x) p +γi+1),k,γ x)} b γi,k+i,γ t) 23) f i) +β )dt γ +i)1+γx) /γ i 1 b γi,i,γ t) f i) +β )} i Γ /γ + i + 1) Γ /γ i + 1) + β) i p +γi+1),,γ x) Γ/γ+1)Γ/γ) b γi,1+i,γ t) f i) +β )dt i Γ/γ+i+1)Γ/γ i+1) + β) i p +γi+1),,γ x) Γ/γ+1)Γ/γ) b γi,i,γ t) f i) +β )dt + i Γ/γ+i+1)Γ/γ i+1) + β) i Γ/γ+1)Γ/γ) {b γi,k+i+1,γ t) b γi,k+i,γ t)} f i) +β )dt} { p +γi+1),k,γ x) i Γ /γ + i + 1) Γ /γ i + 1) + β) i p +γi+1),,γ x) Γ/γ+1)Γ/γ) 1 /γ i b1) γi 1),1+i,γ t))fi) + i Γ/γ+i+1)Γ/γ i+1) + β) i Γ/γ+1)Γ/γ) 1 /γ i b1) γi 1),k+i+1,γ t))fi) Itegatig by pats, we obtai +β )dt p +γi+1),k,γ x) +β )dt. 24) B,β,γ )i+1) f, x) i+1 Γ/γ+i+1)Γ/γ i+1) + β) i+1 Γ/γ+1)Γ/γ) k p +γi+1),k,γ x) b γi 1),k+i+1,γ t) f i+1) +β )dt. This copletes the poof of Lea Diect Theoes 25) This sectio deals with the diect esults; we establish hee poitwise appoxiatio, asyptotic foula, ad eo estiatio i siultaeous appoxiatio.

6 6 Iteatioal Joual of Aalysis We deote C μ [, ) {f C[, ) : ft) Mt μ fo soe M>,μ>},adtheo μ o the class C μ [, ) is defied as f μ sup t< ft) t μ. It ca be easily veified that the opeatos B,β,γ f, x) ae well defied fo f C μ [, ). Theoe 6. Let f C μ [, ) ad let f ) existatapoit x, ).Theoehas li B,β,γ )) f, x) f ) x). 26) Poof. By Taylo s expasio of f,we have f t) i f i) x) whee εt, x) as t x.hece, B,β,γ )) f, x) i t x) i +εt, x)t x), 27) f i) x) B,β,γ )) t x) i,x) +B,β,γ )) ε t, x)t x),x) : R 1 +R 2. 28) Fist, to estiate R 1, usig bioial expasio of t + )/ + β) x) i ad Reak 3, we have R 1 i f i) x) f) x)! i j i j ) x)i j B,β,γ )) t j,x) { Γ /γ + ) Γ /γ + 1) + β) Γ/γ+1)Γ/γ)!} f ) x) { Γ/γ+)Γ/γ +1) + β) Γ/γ+1)Γ/γ) } 29) The secod te i the above expessio teds to zeo as. Siceεt, x) as t x fo give ε>, thee exists a δ, 1) such that εt, x) < ε wheeve < t x <δ. If τ>ax{μ, }, wheeτ is ay itege, the we ca fid a costat M 3 >,suchthat εt, x))/ + β) x) M 3 )/ + β) x τ fo t x δ. Theefoe, R 2 M 3 i,j i k k x j p,k,γ x) {ε b,k,γ x) t x <δ +β x dt τ + b,k,γ t) t x δ +β x dt} : R 3 +R 4. 31) Applyig the Cauchy-Schwaz iequality fo itegatio ad suatio, espectively, we obtai R 3 εm 3 i,j { i { k x) 2j p,k,γ x)} 2 b,k,γ t) +β x) dt}. 32) Usig Reak 2 ad Lea 1, we get R 3 εo /2 )O /2 ) ε O1). Agai usig the Cauchy-Schwaz iequality ad Lea 1, we get R 4 M 4 i k x j p,k,γ x) i,j τ b,k,γ t) t x δ +β x dt M 4 i i,j f ) x) as. Next, applyig Lea 4, we obtai R 2 R 2 i,j W ) +,γ t, x) ε t, x) t +β x) dt, i Q i,j,,γ x) {x 1 + γx)} k x j p,k,γ x) b,k,γ t) ε t, x) +β x dt + Γ/γ++2) Γ/γ) +β x. 1 + γx) /γ ε, x) 3) k x j p,k,γ x) { b,k,γ t) dt} t x δ 2τ { b,k,γ t) t x δ +β x) dt} M 4 { i,j i { k x) 2j p,k,γ x)} 2τ b,k,γ t) +β x) dt} i O j/2 )O τ/2 )O τ)/2 )o1). i,j 33) Collectig the estiatio of R 1 R 4,wegettheequiedesult.

7 Iteatioal Joual of Aalysis 7 Theoe 7. Let f C μ [, ). Iff +2) exists at a poit x, ),the li {B,β,γ )) f, x) f ) x)} γ 1) β) f ) x) +{γ1+2x) + βx}f +1) x) +x1+γx)f +2) x). Poof. Usig Taylo s expasio of f,we have f t) +2 i f i) x) 34) t x) i +εt, x)t x) +2, 35) whee εt, x) as t xad εt, x) Ot x) μ ), t fo μ>. Applyig Lea 1, we have + +1) Γ /γ + ) Γ /γ ) + β) +1 Γ/γ+1)Γ/γ) { + γ )}!} + f+2) x) +2)! +1)+2) 2 x 2 Γ /γ + ) Γ /γ + 1) + β)! x +2) Γ/γ+1)Γ/γ) { +1 Γ/γ++1)Γ/γ ) + β) +1 Γ/γ+1)Γ/γ) +1)!x + +1) Γ /γ + ) Γ /γ ) + β) +1 Γ/γ+1)Γ/γ) { + )}!} γ {B,β,γ )) f, x) f ) x)} +2 f i) x) { B,β,γ i )) t x) i,x) f ) x)} +{B,β,γ )) ε t, x)t x) +2,x)} : E 1 +E 2. Fist, we have E 1 +2 i f i) x) i j i j ) x)i j B,β,γ )) t j,x) f ) x) f) x) {B,β,γ! )) t,x)!} + f+1) x) {+1) x) B,β,γ +1)! )) t,x) +B,β,γ )) t +1,x)}+ f+2) x) +2)! { +2)+1) x 2 B,β,γ 2 )) t,x)++2) x) B,β,γ )) t +1,x)+B,β,γ )) t +2,x)} f ) x) { Γ /γ + ) Γ /γ + 1) + β) Γ/γ+1)Γ/γ) 1} + f+1) x) +1)! {+1) x) Γ/γ+)Γ/γ +1) + β) Γ/γ+1)Γ/γ)! + +1 Γ/γ++1)Γ/γ ) + β) +1 Γ/γ+1)Γ/γ) +1)!x 36) + +2 Γ/γ++2)Γ/γ 1) + β) +2 Γ/γ+1)Γ/γ) +2)! x ) +1 Γ/γ++1)Γ/γ 1) + β) +2 Γ/γ+1)Γ/γ) +1) + γ 1)}+1)!x + +1)+2) Γ/γ+)Γ/γ ) + β) Γ/γ+1)Γ/γ) + /γ ) }!). 2 { { 37) Now, the coefficiets of f ) x), f +1) x),adf +2) x) i the above expessio ted to γ 1) β), γ1+2x)+ βx, ad x1 + γx), espectively, which follows by usig iductio hypothesis o ad takig the liit as.hece,i ode to pove 34), it is sufficiet to show that E 2 as, which follows alog the lies of the poof of Theoe 6 ad by usig Reak 2 ad Leas 1 ad 4. Reak 8. Paticula case β was discussed i Theoe 4.1 i [4], which says that the coefficiet of f +1) x) coveges to 1 + 2γx) but it coveges to γ1 + 2x) ad we get this by puttig βi the above theoe. Defiitio 9. The th ode odulus of cotiuity ω f, δ, [a, b]) fo a fuctio cotiuous o [a, b] is defied by ω f, δ, [a, b]) 38) sup { Δ h f x) : h δ; x,x+h [a, b]}. Fo 1, ω f, δ) is usual odulus of cotiuity.

8 8 Iteatioal Joual of Aalysis Theoe 1. Let f C μ [, ) fo soe μ>ad <a< a 1 <b 1 <b<.the,fo sufficietly lage, oe has B,β,γ )) f, ) f ) C[a 1,b 1 ] M 1 ω 2 f ),,[a 1,b 1 ]) + M 2 1 f μ, 39) whee M 1 M 1 ) ad M 2 M 2, f). Poof. Let us assue that < a < a 1 < b 1 < b <. Fo sufficietly sall η >, we defie the fuctio f η,2 coespodig to f C μ [a, b] ad t [a 1,b 1 ] as follows: η/2 f η,2 t) η 2 f t) Δ 2 h f t)) dt 1dt 2, 4) η/2 whee h t 1 +t 2 )/2 ad Δ 2 h isthesecododefowad diffeece opeato with step legth h. Fo f C[a, b], the fuctios f η,2 aekowasthestekloveaofode2, which satisfy the followig popeties [11]: a) f η,2 has cotiuous deivatives up to ode 2 ove [a 1,b 1 ]. b) f ) η,2 C[a 1,b 1 ] M 1 η ω 2 f, η, [a, b]), 1, 2. c) f f η,2 C[a1,b 1 ] M 2 ω 2 f, η, [a, b]). d) f η,2 C[a1,b 1 ] M 3 f μ, whee M i, i1,2,3, ae cetai costats which ae diffeet i each occuece ad ae idepedet of f ad η. We ca wite by lieaity popeties of B,β,γ, B,β,γ )) f, ) f ) C[a 1,b 1 ] Theefoe, by applyig popeties c) ad d) of the fuctio f η,2,weobtai P 2 M 7 1 { f μ +δ 2 ω 2 f ),μ,[a, b])}. 45) Fially we will estiate P 1,choosiga, b satisfyig the coditios <a<a <a 1 <b 1 <b <b<.supposeħt) deotes the chaacteistic fuctio of the iteval [a,b ]. The P 1 B,β,γ )) ħ t) f t) f η,2 t)),) C[a1,b 1 ] + B,β,γ )) 1 ħt)) f t) f η,2 t)),) C[a1,b 1 ] : P 4 +P 5. By Lea 5, we have Hece, B,β,γ )) ħ t) f t) f η,2 t)),x) Γ/γ+)Γ/γ +1) + β) Γ/γ+1)Γ/γ) b γ,k+,γ t) ħ t) f ) +β ) f) η,2 k + t )) dt. +β p +γ,k,γ x) 46) 47) B,β,γ ) ħ t) f t) f η,2 t)),) C[a1,b 1 ] 48) M 8 f) f ) η,2 C[a.,b ] B,β,γ )) f f η,2,) C[a1,b 1 ] + B,β,γ )) f η,2,) f ) η,2 C[a 1,b 1 ] + f) f ) η,2 C[a 1,b 1 ] : P 1 +P 2 +P 3. 41) Now, fo x [a 1,b 1 ] ad t [, ) \ [a,b ],wechoosea δ>satisfyig )/ + β) x δ. Theefoe, by Lea 4 ad the Cauchy-Schwaz iequality, we have I B,β,γ )) 1 ħt)) f t) f η,2 t)),x), Sice f ) η,2 f) ) η,2 t), bypopetyc)ofthefuctiof η,2, we get P 3 M 4 ω 2 f ),η,[a, b]). 42) Next, o a applicatio of Theoe 7, it follows that P 2 M i fi) η,2 C[a,b]. 43) Usig the itepolatio popety due to Goldbeg ad Mei [12], fo each j,+1,+2,itfollowsthat fi) η,2 C[a,b] M 6 { f η,2 C[a,b] + f+2) η,2 }. 44) C[a,b] I i i,j Q i,j,,γ x) {x 1 + γx)} p,k,γ x) k x j b,k,γ t)1 ħt)) + ft +β ) f η,2 +β ) dt + Γ/γ+) Γ/γ) 1 + γx) /γ 1 ħ)) f +β ) f η,2 +β ). 49)

9 Iteatioal Joual of Aalysis 9 Fo sufficietly lage, the secod te teds to zeo. Thus, I M 9 f μ t x δ i,j i p,k,γ x) k x j b,k,γ t) dt M 9 f μ δ 2 p,k,γ x) k x j i i,j b,k,γ t) dt) 4 b,k,γ t) +β x) dt) M 9 f μ δ 2 i i,j p,k,γ x) k x 2j ) 4 b,k,γ t) +β x) dt). p,k,γ x) Hece, by usig Reak 2 ad Lea 1, we have 5) I M 1 f μ δ 2 O i+j/2) ) ) M 11 q f μ, 51) whee q /2). Nowchoosig>satisfyig q 1, we obtai I M 11 1 f μ. Theefoe, by popety c) of the fuctio f η,2 t),weget P 1 M 8 f) f ) η,2 C[a,b ] + M 11 1 f μ M 12 ω 2 f ),η,[a, b])+ M 11 1 f μ. 52) Choosig η, the theoe follows. Reak 11. I the last decade the applicatios of q-calculus i appoxiatio theoy ae oe of the ai aeas of eseach. I 28, Gupta [13] itoduced q-dueye opeatos whose appoxiatio popeties wee studied i [14]. Moe wok i this diectio ca be see i [15 17]. A Dueye type q-aalogue of the B,β,γ f, x) is itoduced as follows: B,β,γ,q f, x) p q,k,γ x) /A +p q,,γ x) f [] q +β ), q k b q,k,γ t) f[] q t+ [] q +β )d qt 53) whee /A p q,k,γ x) Γ /2 q /γ + k) qk2 Γ q k+1) Γ q /γ) qγx) k 1 + qγx) /γ)+k q b q,k,γ x) /2 Γ q /γ+k+1) γqk2 Γ q k) Γ q /γ + 1) f x) d q x1 q) γt) k γt) /γ)+k+1 q f q,, A ) q, A >. A 54) Notatiosusedi53)cabefoudi[18].Fotheopeatos 53), oe ca study thei appoxiatio popeties based o q-iteges. Coflict of Iteests The authos declae that thee is o coflict of iteests egadig the publicatio of this eseach aticle. Ackowledgets The authos would like to expess thei deep gatitude to the aoyous leaed efeees) ad the edito fo thei valuable suggestios ad costuctive coets, which esulted i the subsequet ipoveet of this eseach aticle. Refeeces [1] V. Gupta, D. K. Vea, ad P. N. Agawal, Siultaeous appoxiatio by cetai Baskakov-Dueye-Stacu opeatos, Joual of the Egyptia Matheatical Society, vol. 2, o. 3,pp ,212. [2] D.K.Vea,V.Gupta,adP.N.Agawal, Soeappoxiatio popeties of Baskakov-Dueye-Stacu opeatos, Applied Matheatics ad Coputatio, vol.218,o.11,pp , 212. [3] V. N. Misha, K. Khati, L. N. Misha, ad Deepala, Ivese esult i siultaeous appoxiatio by Baskakov-Dueye- Stacu opeatos, Joual of Iequalities ad Applicatios, vol. 213, aticle 586, 11 pages, 213. [4] V. Gupta, Appoxiatio fo odified Baskakov Dueye type opeatos, Rocky Moutai Joual of Matheatics,vol.39, o.3,pp ,29. [5]V.Gupta,M.A.Noo,M.S.Beiwal,adM.K.Gupta, O siultaeous appoxiatio fo cetai Baskakov Dueye type opeatos, Joual of Iequalities i Pue ad Applied Matheatics,vol.7,o.4,aticle125,26. [6] V. N. Misha ad P. Patel, Appoxiatio popeties of q-baskakov-dueye-stacu opeatos, Matheatical Scieces,vol.7,o.1,aticle38,12pages,213.

10 1 Iteatioal Joual of Aalysis [7] P. Patel ad V. N. Misha, Appoxiatio popeties of cetai suatio itegal type opeatos, Deostatio Matheatica,vol.48,o.1,pp.77 9,215. [8] V.N.Misha,H.H.Kha,K.Khati,adL.N.Misha, Hypegeoetic epesetatio fo Baskakov-Dueye-Stacu type opeatos, Bulleti of Matheatical Aalysis ad Applicatios, vol. 5, o. 3, pp , 213. [9] V.N.Misha,K.Khati,adL.N.Misha, Osiultaeous appoxiatio fo Baskakov Dueye-Stacu type opeatos, JoualofUltaScietistofPhysicalScieces, vol. 24, o. 3, pp , 212. [1] W. Li, The vooovskaja type expasio foula of the odified Baskakov-Beta opeatos, JoualofBaojiCollegeofAtsad Sciece Natual Sciece Editio),vol.2,aticle4,25. [11] G. Feud ad V. Popov, O appoxiatio by splie fuctios, i Poceedigs of the Cofeece o Costuctive Theoy Fuctio, Budapest, Hugay, [12] S. Goldbeg ad A. Mei, Miiu oduli of odiay diffeetial opeatos, Poceedigs of the Lodo Matheatical Society,vol.23,o.3,pp.1 15,1971. [13] V. Gupta, Soe appoxatio popeties of q-dueye opeatos, Applied Matheatics ad Coputatio, vol.197,o.1, pp ,28. [14] A. Aal ad V. Gupta, O the Dueye type odificatio of the q-baskakov type opeatos, Noliea Aalysis: Theoy, Methods & Applicatios,vol.72,o.3-4,pp ,21. [15] G. M. Phillips, Bestei polyoials based o the q-iteges, Aals of Nueical Matheatics, vol.4,o.1 4,pp , [16] S. Ostovska, O the Lupaş q-aalogue of the Bestei opeato, The Rocky Moutai Joual of Matheatics,vol.36,o. 5, pp , 26. [17] V. N. Misha ad P. Patel, O geealized itegal Bestei opeatos based o q-iteges, Applied Matheatics ad Coputatio,vol.242,pp ,214. [18] V. Kac ad P. Cheug, Quatu Calculus, Uivesitext, Spige,NewYok,NY,USA,22.

11 Advaces i Opeatios Reseach Volue 214 Advaces i Decisio Scieces Volue 214 Joual of Applied Matheatics Algeba Volue 214 Joual of Pobability ad Statistics Volue 214 The Scietific Wold Joual Volue 214 Iteatioal Joual of Diffeetial Equatios Volue 214 Volue 214 Subit you auscipts at Iteatioal Joual of Advaces i Cobiatoics Matheatical Physics Volue 214 Joual of Coplex Aalysis Volue 214 Iteatioal Joual of Matheatics ad Matheatical Scieces Matheatical Pobles i Egieeig Joual of Matheatics Volue Volue 214 Volue Volue 214 Discete Matheatics Joual of Volue Discete Dyaics i Natue ad Society Joual of Fuctio Spaces Abstact ad Applied Aalysis Volue Volue Volue 214 Iteatioal Joual of Joual of Stochastic Aalysis Optiizatio Volue 214 Volue 214