Umjetna inteligencija
|
|
- Alan Foster
- 6 years ago
- Views:
Transcription
1 Umjetna inteligencija Algoritmi iterativnog poboljšanja i lokalnog pretraživanja Tomislav Šmuc, Oct-10 Algoritmi lokalnog pretraživanja 1
2 Algoritmi Hill-Climbing Simulirano kaljenje Genetski algoritmi 13-Oct-10 Algoritmi lokalnog pretraživanja 2
3 Algoritmi lokalnog pretraživanja Kod mnogih problema pretraživanja prostora ili optimizacijskih problema: put do rješenja je irelevantan, cilj je istovremeno i željeno rješenje (realni primjeri: tzv. routing problemi, logistika, optimiranje rasporeda, itd...) prostor stanja - jednak je skupu svih kompletnih konfiguracija; opis bilo kojeg stanja sam po sebi sadrži sve informacije nužne za nekakvo rješenje opis stanja definira vrijednost rješenja! Opis: raspored stvari, redoslijed aktivnosti, vrijednosti (n) varijabli... U tim slučajevima možemo koristiti algoritme lokalnog pretraživanja: - kod tih algoritama dovoljno je da pamtimo samo trenutno stanje (ili jedan manji broj stanja) i nastojimo ga iterativno popravljati. 13-Oct-10 Algoritmi lokalnog pretraživanja 3
4 Algoritmi lokalnog pretraživanja Korisna vizualizacija: krajolik s brdima i dolinama stanja su točke u tom prostoru u realnim problemima - tražimo ili najviše brdo ili najnižu dolinu; nekad smo prisiljeni zadovoljiti se sa zaravnima (!?) F(n) funkcija cilja globalni maksimum lokalni maksimum Trenutno stanje Prostor stanja 13-Oct-10 Algoritmi lokalnog pretraživanja 4
5 Algoritmi lokalnog pretraživanja eng. Hill Climbing HC - Metoda uspona na vrh - HC - poput metode pretraživanja u dubinu s tim da se širi onaj čvor koji je najpogodniji prema vrijednosti heurističke funkcije, dok se sve informacije o ostalim čvorovima brišu! Napomena: - HC zemljopisna analogija koja se odnosi na maksimiziranje vrijednosti. - u realnim problemima često se radi o minimizaciji. U tom slučaju deepest hole search (metoda najdublje rupe?) bi bio bolji naziv. Važno - dobar izbor heurističke funkcije! 13-Oct-10 Algoritmi lokalnog pretraživanja 5
6 Usmjerena pretraživanja HC je pohlepna metoda (engl. Greedy search) Nedostaci HC: brežuljak / udolina - lokalni ekstrem slijedni čvorovi (djeca) imaju lošije vrijednosti heurističke funkcije od roditelja hrbat nekoliko susjednih čvorova ima veće/manje e/manje vrijednosti nego slijedni čvorovi zaravan svi slijedni čvorovi imaju iste vrijednosti, rješenje: slučajan skok Posljedice pohlepnosti : - obično algoritam zaglavi u lokalnom max ili min! Pitanje: Kako tome doskočiti?! 13-Oct-10 Algoritmi lokalnog pretraživanja 6
7 Simulirano napuštanje (kaljenje) Simulated annealing N. Metropolis, A.W. Rosenbluth, M.N. Rosenbluth. A.H. Teller and E. Teller, "Equation of State Calculations by Fast Computing Machines," J. Chem. Phys. 21 (1953) Monte Carlo simulacija velik broj sasvim slučajnih pokušaja Metropolis Monte Carlo simulacija koja je srednja energija sustava na temperaturi T? Parametri/varijable algoritma T temperatura sustava N broj slučajnih pokušaja A sum zbroj svojstava stanja tokom simulacije <A(T)> - očekivana vrijednost fizikalnog svojstva sustava na temperaturi T S0 - početno stanje sustava, S1 novo stanje sustava ε energija stanja 13-Oct-10 Algoritmi lokalnog pretraživanja 7
8 Simulirano napuštanje (kaljenje) Simulated annealing Algoritam MMCS N=0, A sum =0, T, S0, N max 1. Slučajnim promjenama sustava generiraj novo stanje - S1 2. Izračunaj i usporedi energije ε 0 = ε(s0) i ε 1 = ε (S1) te napravi: Ako ε 1 ε 0 (novo stanje je povoljnije (energetski) od prethodnog) S0 S1; A sum =A sum + a 1 ε 1 > ε 0 (staro stanje je povoljnije (energetski) od novog, ali prijelaz u novo stanje zavisi od (ε 1 - ε 0 )/kt) ako [rand() < e -(ε 1 - ε 0 )/kt onda inače S0 S1; A sum =A sum + a 1 S0 S0; A sum =A sum + a 0 3. N=N+1. Nastavi simulaciju novim korakom 1 13-Oct-10 Algoritmi lokalnog pretraživanja 8
9 Simulirano napuštanje (kaljenje) Simulated annealing Algoritam MMCS Nakon N max koraka: <A>=A sum /N max To je ustvari aproksimacija Boltzmann-ove distribucije, za bilo koje fizikalno svojstvo na temperaturi T! <A(T)>=SUM(a i *e (- ε i /kt) ) / SUM (e (- ε i /kt) ) A sum /N max Aproksimacija je praktički točna ako: za N max promjene stanja u MC simulaciji trebaju biti fino ugođene! 13-Oct-10 Algoritmi lokalnog pretraživanja 9
10 Simulirano napuštanje (kaljenje) Simulated annealing Kirkpatrick & co (1983) MMCS može biti iskorištena za optimizaciju! Razlike u odnosu na MMCS: Umjesto fizikalnih svojstava na nekoj T: Zanima nas struktura najboljeg rješenja! Energija => Funkcija cilja koju optimiramo kt je vezano uz landscape funkcije cilja Moramo pamtiti konfiguraciju koja daje najbolju vrijednost funkcije cilja bez obzira na trenutnu konfiguraciju rješenja! Zašto? 13-Oct-10 Algoritmi lokalnog pretraživanja 10
11 Simulirano napuštanje (kaljenje) Simulated annealing -SA SA je probabilistička adaptacija Hill Climbing algoritma! Algoritam iskače iz lokalnih minimuma na višim temperaturama. SA za T >> 0 F(n) funkcija cilja SA za T ~ 0 Prostor stanja 13-Oct-10 Algoritmi lokalnog pretraživanja 11
12 Simulirano napuštanje (kaljenje) Simulated annealing - SA SA u praksi: - Metropolisov kriterij e -(ε 1 - ε 0 )/kt je vrlo jednostavno implementirati - Finese su u: generiranju novog stanja iz trenutnog ( pametni operatori rekombinacije iz GA priče mogu poslužiti. No, koji?) određivanju početne temperature T 0 i tzv. krivulje hlađenja (en. cooling schedule) 13-Oct-10 Algoritmi lokalnog pretraživanja 12
13 Primjer problema Primjer problema N-kraljica Staviti N kraljica na tabli (NxN) tako da se međusobno ne tuku (naravno prema šahovskim pravilima) N=4 13-Oct-10 Algoritmi lokalnog pretraživanja 13
14 N-kraljica Neka je h(n) broj parova kraljica koji se međusobno tuku (direktno ali i indirektno) Koliki je h? Koliki je maksimalni h za n-kraljica? Kako bi izgledao SA algoritam za N-kraljica? 13-Oct-10 Algoritmi lokalnog pretraživanja 14
15 Evolucijski i genetski algoritmi - Biološki inspirirana heuristika (populacija jedinki -kromosoma): A) Umjesto jednog trenutnog rješenja imamo populaciju trenutno važećih rješenja (jedinki) B) Koristimo operatore inspirirane prirodnom reprodukcijom (rekombinacija, mutacija) C) Koristimo prirodnu selekciju kao mehanizam preživljavanja jedinki (Darwin - survival of the fittest ) D) Izvršavamo A)-C) veći broj generacija pamtimo najbolje rješenje odnosno ako znamo koji rezultat je ciljni (N-kraljica npr.) prekidamo pretraživanje kada smo došli do cilja! 13-Oct-10 Algoritmi lokalnog pretraživanja 15
16 Evolucijski i genetski algoritmi Roditelj-1 Roditelj-2 Reprodukcija: - rekombinacija jedinki (en. Crossover) Dijete-1 Dijete-2 13-Oct-10 Algoritmi lokalnog pretraživanja 16
17 Evolucijski i genetski algoritmi Dijete-1 Mutacija: - mala promjena na jedinki (u prirodi i rijetka!) Mutirano dijete Oct-10 Algoritmi lokalnog pretraživanja 17
18 Evolucijski i genetski algoritmi... f 1 f 2 f 3 f 4 f Generacija i (n komada) Rekombinacija + mutacija n... Djeca generacije i (2n komada) f 1 f 2 f 3 f 4 f 2n Selekcija Nova generacija i+1 (n komada)... f 1 f 2 f 3 f 4 f n 13-Oct-10 Algoritmi lokalnog pretraživanja 18
19 Jednostavni GA pseudo kod GA(Fitness, n,r,m, e bsf,f(e best )) ) Fitness: evaluacija funkcije cilja n veličina populacije r dio populacije koji treba zamijeniti rekombinacijom m učestalost mutacije e bsf best so far rješenje P <- generiraj inicijalnu populaciju (at random) Evaluiraj svakog člana populacije e i P (fitness(e i )=f(e i )) Dok nije zadovoljen STOP-kriterij Inicijalizacija: Kreiraj novu populaciju P S 1. Selekcija: Probabilistički odredi (1-r)*n članova koji se automatski dodaju P S. Vjerojatnost za odabir člana e i iz P: Pr(e i )=f(e i )/(sum i=1,n (f(e i )) 2. Rekombinacija: Probabilistički odredi r*n/2 parova članova iz P prema Pr (e i ). Za svaki par (e i,e j ) napravi 2 djeteta koristeći operator rekombinacije. Dodaj svu djecu u P S 3. Mutacija: Odaberi m-ti dio članova P at random. Svaki od odabranih mutiraj (binarni kod - promijeni jedan bit!) 4. Zamijeni: P<-P S 5. Evaluiraj: za svaki e i P (fitness(e i )=f(e i )) Rješenje: Vrati najbolji (BSF-e bsf,f(e bsf )) iz zadnje populacije P 13-Oct-10 Algoritmi lokalnog pretraživanja 19
20 Komponente GA Prvo - definicija problema Potom: Reprezentacija - kodiranje rješenja (geni, kromosomi) Inicijalizacijska procedura (stvaranje prve populacije rješenja) Selekcija (reprodukcija) Genetski operatori (mutacija, rekombinacija/križanje) Evaluacijska funkcija (ocjena jedinke u okolišu) Kriteriji zaustavljanja algoritma 13-Oct-10 Algoritmi lokalnog pretraživanja 20
21 Reprezentacija Empirijski principi Koristimo kodiranje što je moguće bliže prirodnoj reprezentaciji Na osnovu reprezentacije stvaramo genetske operatore Ako je moguće osiguramo da svi stvoreni genotipovi predstavljaju dozvoljena rješenja Ako je moguće genetski operatori bi trebali osiguravati dozovoljena rješenja 13-Oct-10 Algoritmi lokalnog pretraživanja 21
22 Reprezentacija rješenja (en. encoding) Moguće reprezentacije Niz bitova ( ) Realni brojevi ( ) Permutacije elemenata (G1 G3 G17... G12 G5) Liste (R1 R2 R3... R22 R23) Dijelovi rač. programa (u genetskom programiranju)... Neka druga struktura podataka Oct-10 Algoritmi lokalnog pretraživanja 22
23 Inicijalizacija Slučajno generirane jedinke rješenja, ili - Prethodno spremljena populacija - Skup rješenja generiran ručno (ekspert) - Skup rješenja generiran nekim drugim algoritmom 13-Oct-10 Algoritmi lokalnog pretraživanja 23
24 Selekcija Darwin - survival of the fittest Svrha: Fokusiranje pretraživanja u dijelovima prostora u kojima evaluacijska funkcija postiže bolje vrijednosti Oprez: Treba naći mjeru između istraživanja prostora i brže konvergencije u prostoru rješenja (opasnost od prebrze konvergencije lokalni optimum) 13-Oct-10 Algoritmi lokalnog pretraživanja 24
25 Selekcija proporcionalna vrijednosti funkcije cilja Holland kao optimalna ravnoteža između istraživanja prostora (exploration) i konvergencije (exploitation) Nedostatak Super-jedinke mogu izazvati (preranu) konvergenciju p( i) f = = npop i= 1 f f i f i, 13-Oct-10 Algoritmi lokalnog pretraživanja 25
26 Selekcija prema rang listi Bazirano na sortiranju jedinki prema vrijednosti funkcije cilja Vjerojatnost za selekciju i-te jedinke u rangu: 1 i p( i) = β 2( β 1),1 2 1 β 0.08 n n β očekivani broj izbora najbolje jedinke kod n izbora β 2, n=20 β 1, n=20 13-Oct-10 Algoritmi lokalnog pretraživanja 26
27 Rekombinacija (en. crossover) Svrha Kombinira dijelove rješenja dobrih roditelja da bi nastala još bolja djeca Rezultat Omogućava kretanje rješenja u smjeru povoljnih dijelova prostora rješenja 13-Oct-10 Algoritmi lokalnog pretraživanja 27
28 Mutacija Svrha: simuliranje efekata grešaka u prirodnim organizmima koji nastaju kod dupliciranja (s malom vjerojatnosti) Rezultat: Dodatno kretanje u prostoru rješenja Mogući popravak ili vraćanje izgubljene informacije u populaciju 13-Oct-10 Algoritmi lokalnog pretraživanja 28
29 Evaluacija (en. fitness function) Osnovna pravila Rješenje je dobro koliko je dobra evaluacijska funkcija. Rješenja koja su blizu prema vrijednosti funkcije cilja trebala bi biti blizu i prema izgledu kodiranih rješenja (npr. Prema svom binarnom genotipu) 13-Oct-10 Algoritmi lokalnog pretraživanja 29
30 Algoritmi lokalnog pretraživanja Približna pravila za evolucijske/genetske algoritme: Rekombinacija i mutacija se dešavaju s određenom vjerojatnosti (p x ~ 1 i p m << 1) Odabir (selekcija) roditelja za rekombinaciju: f (i) > f(j) => p x (i) > p x (j) Odabir jedinke za mutaciju u principu slučajan (Selekcija) za slijedeću generaciju: generacijski princip: novih p x djece i (1-p x ) roditelja steady state GA: novo dijete zamjenjuje trenutno najgoru jedinku u populaciji Svaki problem zahtijeva u principu posebnu: a) konstrukciju kromosoma b) operatora rekombinacije i mutacije (podsjeća li to na ono o čemu smo prije čuli?) 13-Oct-10 Algoritmi lokalnog pretraživanja 30
31 Kriteriji zaustavljanja Primjeri Unaprijed određen broj generacija ili CPU Rješenje zadovoljava neki unaprijed zadan limit Nema poboljšanja kroz niz generacija (NoImp>Nmax) 13-Oct-10 Algoritmi lokalnog pretraživanja 31
32 GA Reprezentacija rješenja Klasični pristup Fenotip = rješenje Npr. rješenje: n - cjelobrojnih parametara p i genotip: Binarno kodiranje p i -> b i (0/1) 3 slučaja A) p i {0,1,2,3...2^(N-1)} B) p i {K, K+1,..., K+2^(N-1) } C) p i {0,1,2,... K-1} A) p i - može direktno biti kodiran binarno B) (p i K) može direktno biti kodiran binarno C) Više rješenja 13-Oct-10 Algoritmi lokalnog pretraživanja 32
33 GA Reprezentacija rješenja C) Moguće rješenje clipping N bit =log(k)+1; kodiraj binarno 0<=p<=K-2 (pre) ostali N-bit stringovi kodiraju samo p=k-1 Primjer: p i {0,1,2,... 6} N=log(7)+1=3 p i genotip ; Oct-10 Algoritmi lokalnog pretraživanja 33
34 GA Reprezentacija rješenja Problem s binarnom reprezentacijom: Bliski brojevi imaju drastično različitu binarnu reprezentaciju (razlikuju se u velikom broju bitova!) To je loše za GA zašto? 13-Oct-10 Algoritmi lokalnog pretraživanja 34
35 Genetski algoritmi tipovi operatora Operatori rekombinacije 13-Oct-10 Algoritmi lokalnog pretraživanja 35
36 Genetski algoritmi tipovi operatora Operatori rekombinacije 13-Oct-10 Algoritmi lokalnog pretraživanja 36
37 Genetski algoritmi tipovi operatora Operatori rekombinacije 13-Oct-10 Algoritmi lokalnog pretraživanja 37
38 Genetski algoritmi tipovi operatora Mutacija 13-Oct-10 Algoritmi lokalnog pretraživanja 38
39 Operatori rekombinacije i realni problemi Realni problemi: - Binarna reprezentacija nije uvijek najbolja ili ostvariva - Prikazani operatori rekombinacije se rijetko koriste u generičkom obliku - U realnim problemima kromosomi kodiraju stanja koja moraju zadovoljavati određena ograničenja TSP Traveling salesmen problem A problem in graph theory requiring the most efficient (i.e., least total distance) Hamiltonian circuit a salesman can take through each of cities. No general method of solution is known, and the problem is NP-hard. 13-Oct-10 Algoritmi lokalnog pretraživanja 39
40 TSP Koji put je najkraći, a obuhvaća sve gradove? TSP crossover problem - u jednom kromosomu jedan grad se može pojaviti samo jednom: - ni jedan od prethodno navedenih operatora ne bi mogao garantirati korektan put nakon rekombinacije! Stoga specijalni operatori za TSP (2-opt, k-opt, PMX, CX) 13-Oct-10 Algoritmi lokalnog pretraživanja 40
41 TSP primjer operatora rekombinacije P1- jedan od mogućih puteva 13-Oct-10 Algoritmi lokalnog pretraživanja 41
42 TSP PMX za GA P1, P2 dvije moguće instance puteva u grafu - roditelji odabrani za rekombinaciju u našem genetskom algoritmu 13-Oct-10 Algoritmi lokalnog pretraživanja 42
43 TSP PMX za GA Partially Mapped Crossover (PMX): (Xover =Crossover) choose a subsequence of a tour from one parent and preserve the order and position of as many cities as possible from the other parent Primjer ( predstavlja točke rekombinacije - 2 point X-over) p1 = ( ) p2 = ( ) Djeca: c1 = (x x x x x) c2 = (x x x x x) Točke rekombinacije određuju i mapiranje xxx se nasljeđuje od roditelja, a dijelovi 1876 i 5467 zamjenjuju mjesta! 1 5, 8 4, 7 6, Oct-10 Algoritmi lokalnog pretraživanja 43
44 TSP PMX za GA Točke rekombinacije određuju i mapiranje xxx se nasljeđuje od roditelja, a dijelovi 1876 i 4567 zamjenjuju mjesta! 1 5, 8 4, 7 6, 6 7. p1 = ( ) p2 = ( ) Sad nastupa tricky part. Moramo dopuniti c1 i c2 s preostalim gradovima no tako da nema ponavljanja! Potom ostavimo gradove koji nisu u konfliktu na mjestima koje su imali u p1 i p2, (2,3,9 za c1(p1) i (2,9,3 za c2(p2)): c1 = (x x 9) c2 = (x x ) U zadnjem koraku koristimo mapiranja iz 1. koraka, tj 1 5, 8 4 c1 = ( ) c2 = ( ). 13-Oct-10 Algoritmi lokalnog pretraživanja 44
45 TSP mutacija Kako izgleda operator mutacije? Napomena: Mutacija izaziva (bi trebala izazivati!) male promjene! c1 = ( ) c1m = ( ) 13-Oct-10 Algoritmi lokalnog pretraživanja 45
46 Kako (zašto) funkcionira genetski algoritam - shema teorem 13-Oct-10 Algoritmi lokalnog pretraživanja 46
47 Zašto GA funkcioniraju? - Shema teorem teoretski pogled koji objašnjava zašto GA predstavljaju efikasnu proceduru za pretraživanje prostora stanja - Koristit ćemo binarnu reprezentaciju 13-Oct-10 Algoritmi lokalnog pretraživanja 47
48 Shema {0,1,#} uz 0,1 - # wild card simbol, ili don t care simbol Shema je uzorak koji je karakterističan za određen broj kromosoma Primjer: Shema [1#1#] pokriva slijedeće kromosome: [1010], [1011], [1110] i [1111] 13-Oct-10 Algoritmi lokalnog pretraživanja 48
49 Red sheme Red sheme S - o(s) je određen brojem fiksiranih pozicija u kromosomu (0 ili 1) Za S 1 = [0#1#1#], o(s 1 ) = 3 Za S 2 = [1#1010], o(s 2 ) = 5 Pokazat će se da je red sheme koristan za određivanje vjerojatnosti preživljavanja sheme uslijed mutacija. 2 l-o(s) broj različitih kromosoma koji odgovaraju shemi S (u principu samo neki od njih se nalaze u konkretnoj populaciji) 13-Oct-10 Algoritmi lokalnog pretraživanja 49
50 Duljina sheme (en. defining length) Duljina sheme S - δ(s) jest udaljenost od prve do zadnje fiksne pozicije Za S 1 = [01#1#], δ(s 1 ) = 4 1 = 3 Za S 2 = [#1#1010], δ(s 2 ) = 7 2 = 5 Pokazat će se da je red sheme koristan za određivanje vjerojatnosti preživljavanja sheme uslijed rekombinacije 13-Oct-10 Algoritmi lokalnog pretraživanja 50
51 Oznake m(s,t) - broj jedinki u populaciji koji pripadaju određenoj shemi S u generaciji t f S (t) prosječna vrijednost funkcije cilja jedinki koje pripadaju shemi S u generaciji t f (t) prosječna vrijednost funkcije cilja svih jedinki populacije u generaciji t 13-Oct-10 Algoritmi lokalnog pretraživanja 51
52 Efekt selekcije Pod proporcionalnom selekcijom očekivani broj jedinki koji pripada shemi S u generaciji t+1 m (S,t+1) = m (S,t) * ( f S (t)/f (t) ) Uz pretpostavku da shema S ostaje iznad prosječnom uz neku konstantu c, 0 c, (t.j., f S (t) = f (t) + c f (t) ), onda vrjiedi: S m (S,t) = m (S,0) (1 + c) t Tumačenje: iznad prosječna shema dobiva eksponencijalno povećavajući broj jedinki u slijedećoj generaciji 13-Oct-10 Algoritmi lokalnog pretraživanja 52
53 Efekt rekombinacije Vjerojatnost da će shema preživjeti rekombinaciju uz S ( S = l) je p s (S) 1 p c (δ(s)/(l 1)) Kombinirani efekt selekcije i rekombinacije je: m (S,t+1) m (S,t) ( f S (t)/f (t) ) [1 - p c (δ(s)/(l 1))] Iznad prosječne sheme, s kratkim definirajućim duljinama biti će selektirane uz eksponencijalno povećavajuću vjerojatnost. 13-Oct-10 Algoritmi lokalnog pretraživanja 53
54 Efekt mutacije Vjerojatnost da shema S preživi mutaciju je: p s (S) = (1 p m ) o(s) Kako je uobičajeno p m << 1, ova se vjerojatnost može aproksimirati: p s (S) 1 p m o(s) Konačno, kombinirani efekti selekcije, rekombinacije i mutacije se mogu sažeti u: m (S,t+1) m (S,t) ( f S (t)/f (t) ) [1 - p c (δ(s)/(l 1)) -p m o(s)] Building block hipoteza Genetski algoritam predstavlja proces traženja blizu-optimalnog rješenja kombiniranjem kratkih, iznad-prosječnih (po vrijednosti funckije cilja) shema niskog reda, koje još nazivamo gradbenim blokovima (en. building blocks) 13-Oct-10 Algoritmi lokalnog pretraživanja 54
55 Building Block Hipoteza Kako se boriti protiv nezgodnih funkcija cilja: Pitanje: - drukčije kodiranje rješenja - novi genetski operatori (npr. inverzija) Što je u slučaju kodiranja problema sa cjelobrojnim/kontinuiranim varijablama u binarnu reprezentaciju problematično Što je Gray coding? 13-Oct-10 Algoritmi lokalnog pretraživanja 55
Sveučilište u Zagrebu Fakultet prometnih znanosti Diplomski studij. Umjetna inteligencija - Genetski algoritmi 47895/47816 UMINTELI HG/
Sveučilište u Zagrebu Fakultet prometnih znanosti Diplomski studij Umjetna inteligencija - Genetski algoritmi 47895/47816 UMINTELI HG/2008-2009 Genetski algoritam Postupak stohastičkog pretraživanja prostora
More informationGenetski algoritam Što ako trebamo pretražiti potpuni prostor stanja koji je toliko velik (možda i beskonačan) da je to neizvedivo u realnom vremenu?
Pretraživanje prostora stanja 2. GA, SA Vježbe iz umjetne inteligencije Matko Bošnjak, 2010 Genetski algoritam Što ako trebamo pretražiti potpuni prostor stanja koji je toliko velik (možda i beskonačan)
More informationTEORIJA SKUPOVA Zadaci
TEORIJA SKUPOVA Zadai LOGIKA 1 I. godina 1. Zapišite simbolima: ( x nije element skupa S (b) d je član skupa S () F je podskup slupa S (d) Skup S sadrži skup R 2. Neka je S { x;2x 6} = = i neka je b =
More informationAlgoritam za množenje ulančanih matrica. Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek
Algoritam za množenje ulančanih matrica Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek O problemu (1) Neka je A 1, A 2,, A n niz ulančanih matrica duljine n N, gdje su dimenzije matrice
More informationFajl koji je korišćen može se naći na
Machine learning Tumačenje matrice konfuzije i podataka Fajl koji je korišćen može se naći na http://www.technologyforge.net/datasets/. Fajl se odnosi na pečurke (Edible mushrooms). Svaka instanca je definisana
More informationProjektovanje paralelnih algoritama II
Projektovanje paralelnih algoritama II Primeri paralelnih algoritama, I deo Paralelni algoritmi za množenje matrica 1 Algoritmi za množenje matrica Ovde su data tri paralelna algoritma: Direktan algoritam
More informationMathcad sa algoritmima
P R I M J E R I P R I M J E R I Mathcad sa algoritmima NAREDBE - elementarne obrade - sekvence Primjer 1 Napraviti algoritam za sabiranje dva broja. NAREDBE - elementarne obrade - sekvence Primjer 1 POČETAK
More informationSlika 1. Slika 2. Da ne bismo stalno izbacivali elemente iz skupa, mi ćemo napraviti još jedan niz markirano, gde će
Permutacije Zadatak. U vreći se nalazi n loptica različitih boja. Iz vreće izvlačimo redom jednu po jednu lopticu i stavljamo jednu pored druge. Koliko različitih redosleda boja možemo da dobijemo? Primer
More informationDiferencijska evolucija
SVEUČILIŠTE U ZAREBU FAKULTET ELEKTROTEHNIKE I RAČUNARSTVA PROJEKT Diferencijska evolucija Zoran Dodlek, 0036429614 Voditelj: doc. dr. sc. Marin olub Zagreb, prosinac, 2008. Sadržaj 1. Uvod...1 1.1 Primjene
More informationPRIPADNOST RJEŠENJA KVADRATNE JEDNAČINE DANOM INTERVALU
MAT KOL Banja Luka) ISSN 0354 6969 p) ISSN 1986 58 o) Vol. XXI )015) 105 115 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm PRIPADNOST RJEŠENJA KVADRATNE JEDNAČINE DANOM INTERVALU Bernadin Ibrahimpašić 1 Senka Ibrahimpašić
More informationLINEARNI MODELI STATISTIČKI PRAKTIKUM 2 2. VJEŽBE
LINEARNI MODELI STATISTIČKI PRAKTIKUM 2 2. VJEŽBE Linearni model Promatramo jednodimenzionalni linearni model. Y = β 0 + p β k x k + ε k=1 x 1, x 2,..., x p - varijable poticaja (kontrolirane) ε - sl.
More informationKVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU 1
MAT KOL (Banja Luka) ISSN 0354 6969 (p), ISSN 1986 5228 (o) Vol. XXII (1)(2016), 5 19 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm KVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU
More informationStrojno učenje 3 (II dio) Struktura metoda/algoritama strojnog učenja. Tomislav Šmuc
Strojno učenje 3 (II dio) Struktura metoda/algoritama strojnog učenja Tomislav Šmuc PMF, Zagreb, 2013 Sastavnice (nadziranog) problema učenja Osnovni pojmovi Ulazni vektor varijabli (engl. attributes,
More informationEvolucijski algoritmi
Evolucijski algoritmi nove smjernice, novi izazovi Marin Golub Umjetna inteligencija (AI) Računalna inteligencija (Computational intelligence - CI) DE (Differential Evolution) CA (Cultural Algorithms)
More informationKLASIFIKACIJA NAIVNI BAJES. NIKOLA MILIKIĆ URL:
KLASIFIKACIJA NAIVNI BAJES NIKOLA MILIKIĆ EMAIL: nikola.milikic@fon.bg.ac.rs URL: http://nikola.milikic.info ŠTA JE KLASIFIKACIJA? Zadatak određivanja klase kojoj neka instanca pripada instanca je opisana
More informationRed veze za benzen. Slika 1.
Red veze za benzen Benzen C 6 H 6 je aromatično ciklično jedinjenje. Njegove dve rezonantne forme (ili Kekuléove structure), prema teoriji valentne veze (VB) prikazuju se uobičajeno kao na slici 1 a),
More informationZANIMLJIV NAČIN IZRAČUNAVANJA NEKIH GRANIČNIH VRIJEDNOSTI FUNKCIJA. Šefket Arslanagić, Sarajevo, BiH
MAT-KOL (Banja Luka) XXIII ()(7), -7 http://wwwimviblorg/dmbl/dmblhtm DOI: 75/МК7A ISSN 5-6969 (o) ISSN 986-588 (o) ZANIMLJIV NAČIN IZRAČUNAVANJA NEKIH GRANIČNIH VRIJEDNOSTI FUNKCIJA Šefket Arslanagić,
More informationOsobine metode rezolucije: zaustavlja se, pouzdanost i kompletnost. Iskazna logika 4
Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Rezolucija 1 Metod rezolucije je postupak za dokazivanje da li je neka iskazna (ili
More informationUvod u relacione baze podataka
Uvod u relacione baze podataka Ana Spasić 2. čas 1 Mala studentska baza dosije (indeks, ime, prezime, datum rodjenja, mesto rodjenja, datum upisa) predmet (id predmeta, sifra, naziv, bodovi) ispitni rok
More informationTermodinamika. FIZIKA PSS-GRAD 29. studenog Copyright 2015 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
Termodinamika FIZIKA PSS-GRAD 29. studenog 2017. 15.1 Thermodynamic Systems and Their Surroundings Thermodynamics is the branch of physics that is built upon the fundamental laws that heat and work obey.
More informationSVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET KEMIJSKOG INŽENJERSTVA I TEHNOLOGIJE SVEUČILIŠNI STUDIJ KEMIJSKOG INŽENJERSTVA I TEHNOLOGIJE.
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET KEMIJSKOG INŽENJERSTVA I TEHNOLOGIJE SVEUČILIŠNI STUDIJ KEMIJSKOG INŽENJERSTVA I TEHNOLOGIJE Dubravka Maretić D I P L O M S K I R A D Zagreb, rujan 2004. SVEUČILIŠTE U ZAGREBU
More informationPARALELNI ALGORITMI ZA PROBLEM GRUPIRANJA PODATAKA
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Anto Čabraja PARALELNI ALGORITMI ZA PROBLEM GRUPIRANJA PODATAKA Diplomski rad Voditelj rada: doc. dr. sc. Goranka Nogo Zagreb,
More informationR JE Š A V A N JE P R O B L E M A R A S P O R E Đ IV A N JA AKTIVNOSTI PROJEKATA EVOLUCIJSKIM ALGORITMIMA
S V E U Č IL IŠ T E U Z A G R E B U F A K U LTE T E LE K TR O TE H N IK E I R A Č U N A R S TV A DIPLOMSKI RAD br. 1626 R JE Š A V A N JE P R O B L E M A R A S P O R E Đ IV A N JA AKTIVNOSTI PROJEKATA
More informationpretraživanje teksta Knuth-Morris-Pratt algoritam
pretraživanje teksta Knuth-Morris-Pratt algoritam Jelena Držaić Oblikovanje i analiza algoritama Mentor: Prof.dr.sc Saša Singer 18. siječnja 2016. 18. siječnja 2016. 1 / 48 Sadržaj 1 Uvod 2 Pretraživanje
More informationPORAVNANJE VIŠE NIZOVA. Neven Grubelić PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Neven Grubelić PORAVNANJE VIŠE NIZOVA Diplomski rad Voditelj rada: izv. prof. dr. sc. Saša Singer Zagreb, studeni, 2015. Ovaj
More informationMetode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda
Osječki matematički list 10(2010), 31 42 31 STUDENTSKA RUBRIKA Metode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda Damira Keček Sažetak U članku su opisane metode izračunavanja determinanti matrica n-tog
More informationNelder Meadova metoda: lokalna metoda direktne bezuvjetne optimizacije
Osječki matematički list (2), 131-143 Nelder Meadova metoda: lokalna metoda direktne bezuvjetne optimizacije Lucijana Grgić, Kristian Sabo Sažetak U radu je opisana poznata Nelder Meadova metoda, koja
More informationMetoda parcijalnih najmanjih kvadrata: Regresijski model
Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek Tamara Sente Metoda parcijalnih najmanjih kvadrata: Regresijski model Diplomski rad Voditelj rada: Izv.prof.dr.sc. Miljenko Huzak
More informationOracle Spatial Koordinatni sustavi, projekcije i transformacije. Dalibor Kušić, mag. ing. listopad 2010.
Oracle Spatial Koordinatni sustavi, projekcije i transformacije Dalibor Kušić, mag. ing. listopad 2010. Pregled Uvod Koordinatni sustavi Transformacije Projekcije Modeliranje 00:25 Oracle Spatial 2 Uvod
More informationPrimjena optimizacije kolonijom mrava na rješavanje problema trgovačkog putnika
Fakultet elektrotehnike i računarstva Zavod za elektroniku, mikroelektroniku, računalne i inteligentne sustave Primjena optimizacije kolonijom mrava na rješavanje problema trgovačkog putnika Seminarski
More informationFIZIKALNA KOZMOLOGIJA VII. VRLO RANI SVEMIR & INFLACIJA
FIZIKALNA KOZMOLOGIJA VII. VRLO RANI SVEMIR & INFLACIJA KOZMIČKI SAT ranog svemira Ekstra zračenje u mjerenju CMB Usporedba s rezultatima LEP-a Usporedba CMB i neutrina Vj.: Pozadinsko zračenje neutrina
More informationAriana Trstenjak Kvadratne forme
Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Ariana Trstenjak Kvadratne forme Završni rad Osijek, 014. Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera
More informationUniverzitet u Beogradu Matematički fakultet. Nina Radojičić REŠAVANJE NEKIH NP-TEŠKIH PROBLEMA DISKRETNE OPTIMIZACIJE. Master rad
Univerzitet u Beogradu Matematički fakultet Nina Radojičić REŠAVANJE NEKIH NP-TEŠKIH PROBLEMA DISKRETNE OPTIMIZACIJE Master rad B e o g r a d 2 0 1 1. 2 Mentor: Doc. dr Miroslav Marić Matematički fakultet
More information~ HEURISTIKE ~ Složen problem se često ne može rešiti tačno, zato koristimo približno rešenje!
~ HEURISTIKE ~ Složen problem se često ne može rešiti tačno, zato koristimo približno rešenje! Heuristika je jedan vid rešavanja složenih problema. Umesto da se izlistaju sva rešenja nekog problema i među
More informationUniverzitet u Beogradu. Rešavanje problema optimalnog planiranja bežičnih meš mreža primenom metaheurističkih metoda
Univerzitet u Beogradu Matematički fakultet Master rad Rešavanje problema optimalnog planiranja bežičnih meš mreža primenom metaheurističkih metoda Student: Lazar Mrkela Mentor: dr Zorica Stanimirović
More informationIvan Soldo. Sažetak. U članku se analiziraju različiti načini množenja matrica. Svaki od njih ilustriran je primjerom.
Osječki matematički list 5(005), 8 Različiti načini množenja matrica Ivan Soldo Sažetak U članku se analiziraju različiti načini množenja matrica Svaki od njih ilustriran je primjerom Ključne riječi: linearni
More informationAPPROPRIATENESS OF GENETIC ALGORITHM USE FOR DISASSEMBLY SEQUENCE OPTIMIZATION
JPE (2015) Vol.18 (2) Šebo, J. Original Scientific Paper APPROPRIATENESS OF GENETIC ALGORITHM USE FOR DISASSEMBLY SEQUENCE OPTIMIZATION Received: 17 July 2015 / Accepted: 25 Septembre 2015 Abstract: One
More informationMehurasto sortiranje Brzo sortiranje Sortiranje učešljavanjem Sortiranje umetanjem. Overviev Problemi pretraživanja Heš tabele.
Bubble sort Razmotrimo još jedan vrlo popularan algoritam sortiranja podataka, vrlo sličan prethodnom algoritmu. Algoritam je poznat pod nazivom Bubble sort algoritam (algoritam mehurastog sortiranja),
More informationRešenja zadataka za vežbu na relacionoj algebri i relacionom računu
Rešenja zadataka za vežbu na relacionoj algebri i relacionom računu 1. Izdvojiti ime i prezime studenata koji su rođeni u Beogradu. (DOSIJE WHERE MESTO_RODJENJA='Beograd')[IME, PREZIME] where mesto_rodjenja='beograd'
More informationKRITERIJI KOMPLEKSNOSTI ZA K-MEANS ALGORITAM
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Stela Šeperić KRITERIJI KOMPLEKSNOSTI ZA K-MEANS ALGORITAM Diplomski rad Voditelj rada: doc.dr.sc. Pavle Goldstein Zagreb, Srpanj
More informationSimulated Annealing. Local Search. Cost function. Solution space
Simulated Annealing Hill climbing Simulated Annealing Local Search Cost function? Solution space Annealing Annealing is a thermal process for obtaining low energy states of a solid in a heat bath. The
More informationNeprekidan slučajan vektor
Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Ana Leko Neprekidan slučajan vektor Završni rad Osijek, 3 Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel
More informationMetode praćenja planova
Metode praćenja planova Klasična metoda praćenja Suvremene metode praćenja gantogram mrežni dijagram Metoda vrednovanja funkcionalnosti sustava Gantogram VREMENSKO TRAJANJE AKTIVNOSTI A K T I V N O S T
More informationStrojno učenje. Metoda potpornih vektora (SVM Support Vector Machines) Tomislav Šmuc
Strojno učenje Metoda potpornih vektora (SVM Support Vector Machines) Tomislav Šmuc Generativni i diskriminativni modeli Diskriminativni Generativni (Učenje linije koja razdvaja klase) Učenje modela za
More information5. Simulated Annealing 5.1 Basic Concepts. Fall 2010 Instructor: Dr. Masoud Yaghini
5. Simulated Annealing 5.1 Basic Concepts Fall 2010 Instructor: Dr. Masoud Yaghini Outline Introduction Real Annealing and Simulated Annealing Metropolis Algorithm Template of SA A Simple Example References
More informationMetode rješavanja kvadratičnog problema pridruživanja
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET ELEKTROTEHNIKE I RAČUNARSTVA MAGISTARSKI RAD Metode rješavanja kvadratičnog problema pridruživanja Dipl. ing. Zvonimir Vanjak Mentor: Prof.dr. Damir Kalpić . Sadržaj. SADRŽAJ...2
More informationStrojno učenje. Ansambli modela. Tomislav Šmuc
Strojno učenje Ansambli modela Tomislav Šmuc Literatura 2 Dekompozicija prediktivne pogreške: Pristranost i varijanca modela Skup za učenje je T slučajno uzorkovan => predikcija ŷ slučajna varijabla p
More informationQuasi-Newtonove metode
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Milan Milinčević Quasi-Newtonove metode Završni rad Osijek, 2016. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Milan Milinčević
More informationMatematika i statistika
Klasteri 1 Strojarski fakultet u Slavonskom Brodu Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku 1 Uvod Matematika i statistika II. Grupiranje podataka: klasteri R. Scitovski, M. Benšić, K. Sabo Definicija 1.
More informationGeometrijski smisao rješenja sustava od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice
Osječki matematički list 6(2006), 79 84 79 Geometrijski smisao rješenja sustava od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice Zlatko Udovičić Sažetak. Geometrijski smisao rješenja sustava od dvije linearne
More informationMatrice traga nula math.e Vol. 26. math.e. Hrvatski matematički elektronički časopis. Matrice traga nula. komutator linearna algebra. Sažetak.
1 math.e Hrvatski matematički elektronički časopis komutator linearna algebra Marijana Kožul i Rajna Rajić Matrice traga nula marijana55@gmail.com, rajna.rajic@rgn.hr Rudarsko-geološko-naftni fakultet,
More informationStrojno učenje. Metoda potpornih vektora (SVM Support Vector Machines) Tomislav Šmuc
Strojno učenje Metoda potpornih vektora (SVM Support Vector Machines) Tomislav Šmuc Generativni i diskriminativni modeli Diskriminativni Generativni (Učenje linije koja razdvaja klase) Učenje modela za
More informationŠime Šuljić. Funkcije. Zadavanje funkcije i područje definicije. š2004š 1
Šime Šuljić Funkcije Zadavanje funkcije i područje definicije š2004š 1 Iz povijesti Dvojica Francuza, Pierre de Fermat i Rene Descartes, posebno su zadužila matematiku unijevši ideju koordinatne metode
More informationDISTRIBUIRANI ALGORITMI I SISTEMI
Postavka 7: međusobno isključivanje sa read/write promenljivama 1 DISTRIBUIRANI ALGORITMI I SISTEMI Iz kursa CSCE 668 Proleće 2014 Autor izvorne prezentacije: Prof. Jennifer Welch Read/Write deljene promenljive
More informationALGORITAM FAKTORIZACIJE GNFS
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET ELEKTROTEHNIKE I RAČUNARSTVA ALGORITAM FAKTORIZACIJE GNFS Ivan Fratrić Seminar iz predmeta Sigurnost računalnih sustava ZAGREB, Sažetak Faktorizacija brojeva jedan je od
More informationFormule za udaljenost točke do pravca u ravnini, u smislu lp - udaljenosti math.e Vol 28.
1 math.e Hrvatski matematički elektronički časopis Formule za udaljenost točke do pravca u ravnini, u smislu lp - udaljenosti Banachovi prostori Funkcija udaljenosti obrada podataka optimizacija Aleksandra
More informationMatematika (PITUP) Prof.dr.sc. Blaženka Divjak. Matematika (PITUP) FOI, Varaždin
Matematika (PITUP) FOI, Varaždin Dio II Bez obzira kako nam se neki teorem činio korektnim, ne možemo biti sigurni da ne krije neku nesavršenost sve dok se nam ne čini prekrasnim G. Boole The moving power
More informationMaja Antolović Algoritmi u teoriji brojeva
Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Maja Antolović Algoritmi u teoriji brojeva Završni rad Osijek, 2017. Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel
More informationINVESTIGATION OF UPSETTING OF CYLINDER BY CONICAL DIES
INVESTIGATION OF UPSETTING OF CYLINDER BY CONICAL DIES D. Vilotic 1, M. Plancak M 1, A. Bramley 2 and F. Osman 2 1 University of Novi Sad, Yugoslavia; 2 University of Bath, England ABSTRACT Process of
More informationDYNAMIC HEAT TRANSFER IN WALLS: LIMITATIONS OF HEAT FLUX METERS
DYNAMI EAT TRANFER IN WALL: LIMITATION OF EAT FLUX METER DINAMIČKI PRENO TOPLOTE U ZIDOVIMA: OGRANIČENJA MERAČA TOPLOTNOG PROTOKA (TOPLOTNOG FLUKA) 1 I. Naveros a, b,. Ghiaus a a ETIL UMR58, INA-Lyon,
More informationSveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Mateja Dumić Cjelobrojno linearno programiranje i primjene Diplomski rad Osijek, 2014. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku
More informationANALYTICAL AND NUMERICAL PREDICTION OF SPRINGBACK IN SHEET METAL BENDING
ANALYTICAL AND NUMERICAL PREDICTION OF SPRINGBACK IN SHEET METAL BENDING Slota Ján, Jurčišin Miroslav Department of Technologies and Materials, Faculty of Mechanical Engineering, Technical University of
More informationIvana Keršek Wright - Fisherov model. Diplomski rad
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Ivana Keršek Wright - Fisherov model Diplomski rad Mentor: prof. dr. sc. Mirta Benšić Komentor: dr. sc. Nenad Šuvak Osijek, 2011. SADRŽAJ i
More informationMetrički prostori i Riman-Stiltjesov integral
Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral Sadržaj 1 Metrički prostori 3 1.1 Primeri metričkih prostora................. 3 1.2 Konvergencija nizova i osobine skupova...................... 12 1.3 Kantorov
More informationTuringovi strojevi Opis Turingovog stroja Odluµcivost logike prvog reda. Lipanj Odluµcivost i izraµcunljivost
Odluµcivost logike prvog reda B. µ Zarnić Lipanj 2008. Uvod Turingovi strojevi Logika prvoga reda je pouzdana. Logika prvog reda je potpuna. Γ `LPR K ) Γ j= SPR K Γ j= SPR K ) Γ `LPR K Prema tome, ako
More informationSveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku DIOFANTSKE JEDNADŽBE
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Violeta Ivšić DIOFANTSKE JEDNADŽBE Završni rad Osijek, 2016. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Violeta Ivšić DIOFANTSKE
More informationNIPP. Implementing rules for metadata. Ivica Skender NSDI Working group for technical standards.
Implementing rules for metadata Ivica Skender NSDI Working group for technical standards ivica.skender@gisdata.com Content Working group for technical standards INSPIRE Metadata implementing rule Review
More informationNilpotentni operatori i matrice
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Nikolina Romić Nilpotentni operatori i matrice Završni rad Osijek, 2016. Sveučilište J. J. Strossmayera
More informationAn Algorithm for Computation of Bond Contributions of the Wiener Index
CROATICA CHEMICA ACTA CCACAA68 (1) 99-103 (1995) ISSN 0011-1643 CCA-2215 Original Scientific Paper An Algorithm for Computation of Bond Contributions of the Wiener Index Istvan Lukouits Central Research
More informationUniverzitet u Beogradu
Univerzitet u Beogradu Matematički fakultet Rešavanje problema rasporedivanja poslova u višefaznoj proizvodnji sa paralelnim mašinama primenom hibridnih metaheurističkih metoda Master rad Student: Dušan
More informationKonstrukcija i analiza algoritama
Konstrukcija i analiza algoritama 27. februar 207 Matematička indukcija Princip matematičke indukcije: Da bi za svako n N važilo tvrdjenje T (n) dovoljno je pokazati: bazu indukcije: tvrdjenje T () induktivni
More informationO aksiomu izbora, cipelama i čarapama
O aksiomu izbora, cipelama i čarapama Aksiom izbora može se izreći u raznim ekvivalentnim formama. Dokazi ekvivalencije aksioma izbora npr. sa Zornovom lemom, ili pak sa Zermelovim teoremom o dobrom uredaju,
More informationSveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike. Sortiranje u linearnom vremenu
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike Tibor Pejić Sortiranje u linearnom vremenu Diplomski rad Osijek, 2011. Sveučilište J.
More informationNIZOVI I REDOVI FUNKCIJA
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Danijela Piškor NIZOVI I REDOVI FUNKCIJA Diplomski rad Voditelj rada: izv. prof. dr. sc. Ljiljana Arambašić Zagreb, rujan 206.
More informationPREGLED PARAMETARA ZA AUTOMATSKO KREIRANJE RASPOREDA NASTAVE
10 th International Scientific Conference on Production Engineering DEVELOPMENT AND MODERNIZATION OF PRODUCTION PREGLED PARAMETARA ZA AUTOMATSKO KREIRANJE RASPOREDA NASTAVE Eldin Okanović, Evresa Gračanin
More informationThe Frequency of Appearance of Some Teratological Modifications in X1 Generation of Groundnut
The Frequency ORIGINAL of Appearance SCIENTIFIC of Some PAPER Teratological Modifications in X1 Generation of Groundnut The Frequency of Appearance of Some Teratological Modifications in X1 Generation
More informationGENERALIZIRANI LINEARNI MODELI. PROPENSITY SCORE MATCHING.
GENERALIZIRANI LINEARNI MODELI. PROPENSITY SCORE MATCHING. STATISTIƒKI PRAKTIKUM 2 11. VJEšBE GLM ine ²iroku klasu linearnih modela koja obuhva a modele s specijalnim strukturama gre²aka kategorijskim
More informationZanimljive rekurzije
Zanimljive rekurzije Dragana Jankov Maširević i Jelena Jankov Riječ dvije o rekurzijama Rekurzija je metoda definiranja funkcije na način da se najprije definira nekoliko jednostavnih, osnovnih slučajeva,
More informationStrojno učenje 3 (I dio) Evaluacija modela. Tomislav Šmuc
Strojno učenje 3 (I dio) Evaluacija modela Tomislav Šmuc Pregled i. Greške (stvarna; T - na osnovu uzorka primjera) ii. Resampling metode procjene greške iii. Usporedba modela ili algoritama (na istim
More informationREVIEW OF GAMMA FUNCTIONS IN ACCUMULATED FATIGUE DAMAGE ASSESSMENT OF SHIP STRUCTURES
Joško PAUNOV, Faculty of Mechanical Engineering and Naval Architecture, University of Zagreb, Ivana Lučića 5, H-10000 Zagreb, Croatia, jparunov@fsb.hr Maro ĆOAK, Faculty of Mechanical Engineering and Naval
More informationKsenija Doroslovački KOMBINATORIKA INTERPRETIRANA FUNKCIJAMA I NJIHOVIM OSOBINAMA MASTER RAD. NOVI SAD jun 2008
1 Ksenija Doroslovački KOMBINATORIKA INTERPRETIRANA FUNKCIJAMA I NJIHOVIM OSOBINAMA MASTER RAD NOVI SAD jun 2008 2 Sadržaj 1 UVOD 5 2 FUNKCIJE 11 3 KLASIČNI KOMBINATORNI OBJEKTI 17 4 NEKI NEKLASIČNI KOMBINATORNI
More informationAsocijativna polja POGLAVLJE Ključevi kao cijeli brojevi
POGLAVLJE 7 Asocijativna polja U ovom poglavlju promotrit ćemo poopćenje strukture podataka polja. Upoznali smo se s činjenicom da se elementima polja efikasno pristupa poznavajući cjelobrojni indeks određenog
More informationFibonaccijev brojevni sustav
Fibonaccijev brojevni sustav Ljerka Jukić asistentica Odjela za matematiku Sveučilišta u Osijeku, ljukic@mathos.hr Helena Velić studentica Odjela za matematiku Sveučilišta u Osijeku, hvelic@mathos.hr Sažetak
More informationSOUND SOURCE INFLUENCE TO THE ROOM ACOUSTICS QUALITY MEASUREMENT
ISSN 1330-3651 (Print), ISSN 1848-6339 (Online) DOI: 10.17559/TV-20150324110051 SOUND SOURCE INFLUENCE TO THE ROOM ACOUSTICS QUALITY MEASUREMENT Siniša Fajt, Miljenko Krhen, Marin Milković Original scientific
More informationRešavanje problema uspostavljanja uslužnih objekata primenom heurističkih metoda
Univerzitet u Beogradu Matematički fakultet Miloš Jordanski Rešavanje problema uspostavljanja uslužnih objekata primenom heurističkih metoda master rad Beograd 2014. Mentor: dr Miroslav Marić Matematički
More informationCLINICAL. Neodoljiva ponuda iz Ivoclar Vivadenta PROLJEĆE LJETO. Ponuda traje od: ili do isteka zaliha
CLINICAL 2017 Ponuda traje od: 01.02.2017. 31.08.2017. Neodoljiva ponuda iz Ivoclar Vivadenta PROLJEĆE LJETO ili do isteka zaliha OptraGate Pakiranje bez rizika 39% 1 OptraGate Regular Trial Refill (688376)
More informationHornerov algoritam i primjene
Osječki matematički list 7(2007), 99 106 99 STUDENTSKA RUBRIKA Hornerov algoritam i primjene Zoran Tomljanović Sažetak. U ovom članku obrad uje se Hornerov algoritam za efikasno računanje vrijednosti polinoma
More informationLinearno programiranje i primjene
Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Rebeka Čordaš Linearno programiranje i primjene Diplomski rad Osijek, 2014. Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Rebeka
More informationSimetrične matrice, kvadratne forme i matrične norme
Sveučilište JJStrossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Martina Dorić Simetrične matrice, kvadratne forme i matrične norme Završni rad Osijek, 2014 Sveučilište
More informationANALYSIS OF THE RELIABILITY OF THE "ALTERNATOR- ALTERNATOR BELT" SYSTEM
I. Mavrin, D. Kovacevic, B. Makovic: Analysis of the Reliability of the "Alternator- Alternator Belt" System IVAN MAVRIN, D.Sc. DRAZEN KOVACEVIC, B.Eng. BRANKO MAKOVIC, B.Eng. Fakultet prometnih znanosti,
More informationU ovom dijelu upoznat ćemo strukturu podataka stablo, uvesti osnovnu terminologiju, implementaciju i algoritme nad tom strukturom.
POGLAVLJE Stabla U ovom dijelu upoznat ćemo strukturu podataka stablo, uvesti osnovnu terminologiju, implementaciju i algoritme nad tom strukturom..1 Stabla Stabla su vrlo fleksibilna nelinearna struktura
More informationGrupiranje podataka u skupine 1 Rudolf Scitovski, Odjela za matematiku, Sveučilište u Osijeku 2
Klaster analiza 1 U tekstu vjerojatno ima pogrešaka. Ako ih uočite, molim da mi to javite Grupiranje podataka u skupine 1 Rudolf Scitovski, Odjela za matematiku, Sveučilište u Osijeku 2 1 Formulacija problema
More informationUnit 1A: Computational Complexity
Unit 1A: Computational Complexity Course contents: Computational complexity NP-completeness Algorithmic Paradigms Readings Chapters 3, 4, and 5 Unit 1A 1 O: Upper Bounding Function Def: f(n)= O(g(n)) if
More informationBROJEVNE KONGRUENCIJE
UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Vojko Nestorović BROJEVNE KONGRUENCIJE - MASTER RAD - Mentor, dr Siniša Crvenković Novi Sad, 2011. Sadržaj Predgovor...............................
More informationBREEDING AND GENETIC PROPERTIES OF THE MAIZE VARIETY UZBEKSKA BELA
UDC 575: 633.15 Original scientific paper BREEDING AND GENETIC PROPERTIES OF THE MAIZE VARIETY UZBEKSKA BELA Lazar KOJIC 1 and Dillyara AJGOZINA 2 1 Maize Research Institute, Zemun Polje, Belgrade, Serbia
More informationPDF hosted at the Radboud Repository of the Radboud University Nijmegen
PDF hosted at the Radboud Repository of the Radboud University Nijmegen The following full text is a publisher's version. For additional information about this publication click this link. http://hdl.handle.net/2066/141872
More informationEVOLUTIVNI ALGORITAM ZA UPRAVLJANJE VIŠEAGENTSKIM ROBOTSKIM SUSTAVOM
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE EVOLUTIVNI ALGORITAM ZA UPRAVLJANJE VIŠEAGENTSKIM ROBOTSKIM SUSTAVOM DOKTORSKI RAD PETAR ĆURKOVIĆ ZAGREB, 2010. SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET
More informationMostovi Kaliningrada nekad i sada
Osječki matematički list 7(2007), 33 38 33 Mostovi Kaliningrada nekad i sada Matej Kopić, Antoaneta Klobučar Sažetak.U ovom radu su najprije dane stvarne situacije oko Kalingradskih mostova kroz povijest.
More informationKontrolni uređaji s vremenskom odgodom za rasvjetu i klimu
KOTROI SKOPOVI ZA RASVJETU I KIMA UREĐAJE Kontrolni i s vremenskom odgodom za rasvjetu i klimu Modularni dizajn, slobodna izmjena konfiguracije Sigurno. iski napon V Efikasno čuvanje energije Sigurnost.
More informationAlgoritam za odre divanje ukupnog poravnanja dva grafa poravnanja parcijalnog ure daja
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET ELEKTROTEHNIKE I RAČUNARSTVA ZAVRŠNI RAD br. 000 Algoritam za odre divanje ukupnog poravnanja dva grafa poravnanja parcijalnog ure daja Mislav Bradač Zagreb, lipanj 2017.
More information