UNIVERZA NA PRIMORSKEM PEDAGOŠKA FAKULTETA DIPLOMSKO DELO BARBARA TAVČAR

Transcription

1 UNIVERZA NA PRIMORSKEM PEDAGOŠKA FAKULTETA DIPLOMSKO DELO BARBARA TAVČAR KOPER 2013

2 UNIVERZA NA PRIMORSKEM PEDAGOŠKA FAKULTETA Univerzitetni študijski program Matematika in računalništvo Diplomsko delo ANALIZA DOSEŽKOV NA TEKMOVANJU MEDNARODNI MATEMATIČNI KENGURU Barbara Tavčar Koper 2013 Mentor: doc. dr. Darjo Felda

3 ZAHVALA Hvala vsem, ki so pripomogli, da je bila moja študijska pot uspešna in da je nisem prekinila. Posebna zahvala gre mojim staršem in partnerju, ki so me podpirali skozi vsa leta študija. Za vso ustrežljivost in pomoč pri izdelavi diplomske naloge bi se posebej zahvalila svojemu mentorju doc. dr. Darju Feldi ter Nataši Olenik in celotnemu kolektivu Osnovne šole Antona Žnideršiča Ilirska Bistrica. Vsem ostalim, ki sem jih pozabila izrecno omeniti, se opravičujem ter obenem zahvaljujem za njihov delež pri ustvarjanju te diplomske naloge.

4 IZJAVA O AVTORSTVU Podpisana Barbara Tavčar študentka študijskega programa Matematika in računalništvo izjavljam, da je diplomsko delo z naslovom Analiza dosežkov na tekmovanju Mednarodni matematični Kenguru rezultat lastnega raziskovalnega dela, so rezultati korektno navedeni in nisem kršil/a pravic intelektualne lastnine drugih. Podpis: V Kopru, dne

5 POVZETEK V diplomski nalogi sem skušala ugotoviti, ali sta dosežek na tekmovanju Mednarodni matematični Kenguru in učna snov, ki je obravnavana v tekočem šolskem letu, povezana. V teoretičnem delu diplomskega dela sem opisala, kako poteka preverjanje in ocenjevanje znanja v devetletni osnovni šoli: v prvem obdobju z opisnimi, v drugem in tretjem obdobju pa s številčnimi ocenami. Učitelj matematike mora namreč obravnavati snov in dosegati učne cilje, ki so določeni v učnem načrtu. Ali so ti doseženi, pa preverja s pisnimi preizkusi in ustnim preverjanjem. Tekmovanje Mednarodni matematični Kenguru je prostovoljno tekmovanje, saj se nanj prijavijo tisti učenci, ki to sami želijo. Sestavljeno in izvedeno je po standardnih postopkih, saj vsi učenci ob istem času in v enakih pogojih rešujejo enake naloge, katerih kriteriji ocenjevanja so enotni. Glavni cilj tekmovanja Mednarodni matematični Kenguru je približati matematiko mladim, jim pokazati, da ni nujno suhoparna in težka, ter jih spodbuditi k raziskovanju matematičnih izzivov. Cilj tekmovanja je tudi primerjanje znanja med učenci na področju matematike, širjenje in poglabljanje matematičnih znanj ter odkrivanje in spodbujanje za matematiko nadarjenih učencev. Raziskava v empiričnem delu diplomskega dela zajema 7247 učencev 8. razreda in 6538 učencev 9. razreda devetletne osnovne šole, ki so se udeležili tekmovanja Mednarodni matematični Kenguru, na katerega se sicer niso posebej pripravljali. Analizirala sem njihove dosežke in jih primerjala z učnimi cilji, ki so opredeljeni v učnem načrtu tekočega šolskega leta. Ugotovila sem, da dosežki na tekmovanju Mednarodni matematični Kenguru in učni cilji, ki so opredeljeni v učnem načrtu, med seboj niso povezani. Naloge, ki jih rešujejo tekmovalci na tekmovanju, so sestavljene tako, da učencem predstavljajo izziv, in niso neposredno vezane na obravnavano šolsko snov. KLJUČNE BESEDE Preverjanje in ocenjevanje znanja, pisni preizkus znanja, elementi pisnega preizkusa, sestavljanje pisnega preizkusa pri matematiki, tekmovanje Mednarodni matematični Kenguru, primerjava dosežka na tekmovanju z učnimi cilji, ki so opredeljeni v učnem načrtu tekočega šolskega leta.

6 SUMMARY In the thesis I have tried to determine whether the achievement of the competition Mednarodni matematični Kenguru (International Mathematics Kangaroo) and curriculum of the undergoing school year, are related. In the theoretical part of the thesis, I described the process of reviewing and assessing acquired knowledge in a nine-year primary school. In the first semester assessment and grading is carried out with descriptive grades. In the second and third semester it is done with numerical grades. Mednarodni matematični Kenguru contest is voluntary competition. Students apply to compete, which choose to do so. The competition is assembled and applied according to standard procedures, as all students are confronted with the same tasks at the same time and under the same conditions. The main objective of the Mednarodni matematični Kenguru competition is to bring mathematics to young people, show them that math is not necessarily dull and hard. The aim of the competition is also to compare knowledge among students in mathematics, to expand and deepen mathematical knowledge and to discover and encourage talented students in mathematics. Research in the empirical part of the thesis includes 7247 students from 8th class and 6538 students from 9th class of primary school, who attended the Mednarodni matematični Kenguru competition on 18/03/2010. Students had no specific preparation for the Mednarodni matematični Kenguru competition. I have analyzed their achievements and compared them with the learning objectives identified in the curriculum for the ongoing school year. I found out that the achievements of the Mednarodni matematični Kenguru competition and learning objectives that are defined in the curriculum are not connected. The tasks handled by the competitors at the Mednarodni matematični Kenguru competition are structured in such a way to present a challenge to students and they are not directly related to the present curriculum. KEY WORDS Testing and evalution of knowledge, written test of knowledge, elements of written test of knowledge, assembly of written test of knowledge in mathematics, International Mathematical Contest Kangaroo, comparison of performance to compete with the learning objectives identified in the curriculum of the current school year

7 KAZALO VSEBINE 1 UVOD VRSTE ZNANJA Konceptualno znanje Proceduralno znanje Problemsko znanje PREVERJANJE IN OCENJEVANJE ZNANJA Definiciji pojmov preverjanje in ocenjevanje Preverjanje in ocenjevanje v OŠ Preverjanje in ocenjevanje pri predmetu Matematika PISNI PREIZKUS PRI MATEMATIKI Elementi pisnega preizkusa Učni cilji Področje spremljanja Taksonomske ravni Standardi znanja Sestavljanje pisnega preizkusa Vrednotenje dosežkov pisnega preizkusa TEKMOVANJE MEDNARODNI MATEMATIČNI KENGURU Začetki Mednarodnega matematičnega Kenguruja Slovenija na tekmovanju Mednarodni matematični Kenguru Pravila tekmovanja Mednarodni matematični Kenguru Cilji tekmovanja Ravni tekmovanja in tekmovalne kategorije Priprava nalog Razlike med pisnimi preizkusi v razredu in zunanjimi preizkusi UČNI NAČRT Katalog znanja...20

8 6.1.1 Osmi razred Deveti razred OPREDELITEV RAZISKOVALNEGA PROBLEMA Namen raziskave Metodologija dela Vzorec raziskave Raziskovalne metode Merski instrumenti Postopek zbiranja in pridobivanja podatkov Postopek obdelave podatkov Hipoteze Splošna hipoteza Specifične hipoteze OSNOVNI STATISTIČNI PODATKI Tekmovanje Mednarodni matematični Kenguru Izhodišča tekmovanja Mednarodni matematični Kenguru Osnovni podatki za Slovenijo ANALIZA DOSEŽKOV TEKMOVANJA MEDNARODNI MATEMATIČNI KENGURU PO NALOGAH Težavnost glede na vsebinska področja Aritmetika in algebra Geometrija in merjenje Obdelava podatkov OVREDNOTENJE HIPOTEZ SKLEP...83 LITERATURA IN VIRI...85

9 KAZALO PRILOG Priloga 1: Pola Mednarodnega matematičnega Kenguruja z dne KAZALO GRAFOV Graf 1: Število tekmovalcev iz Slovenije...16 Graf 2: Odstotek učencev, ki so pravilno odgovorili na 1. nalogo...30 Graf 3: Odstotek učencev, ki so pravilno odgovorili na 2. nalogo...32 Graf 4: Odstotek učencev, ki so pravilno odgovorili na 3. nalogo...34 Graf 5: Odstotek učencev, ki so pravilno odgovorili na 4. nalogo...36 Graf 6: Odstotek učencev, ki so pravilno odgovorili na 5. nalogo...38 Graf 7: Odstotek učencev, ki so pravilno odgovorili na 6. nalogo...40 Graf 8: Odstotek učencev, ki so pravilno odgovorili na 7. nalogo...42 Graf 9: Odstotek učencev, ki so pravilno odgovorili na 8. nalogo...44 Graf 10: Odstotek učencev, ki so pravilno odgovorili pri 9. nalogi...46 Graf 11: Odstotek učencev, ki so pravilno odgovorili na 10. nalogo...48 Graf 12: Odstotek učencev, ki so pravilno odgovorili na 11. nalogo...50 Graf 13: Odstotek učencev, ki so pravilno odgovorili na 12. nalogo...52 Graf 14: Odstotek učencev, ki so pravilno odgovorili na 13. nalogo...54 Graf 15: Odstotek učencev, ki so pravilno odgovorili na 14. nalogo...56 Graf 16: Odstotek učencev, ki so pravilno odgovorili na 15. nalogo...58 Graf 17: Odstotek učencev, ki so pravilno odgovorili na 16. nalogo...60 Graf 18: Odstotek učencev, ki so pravilno odgovorili na 17. nalogo...62 Graf 19: Odstotek učencev, ki so pravilno odgovorili na 18. nalogo...64 Graf 20: Odstotek učencev, ki so pravilno odgovorili na 19. nalogo...66 Graf 21: Odstotek učencev, ki so pravilno odgovorili na 20. nalogo...68 Graf 22: Odstotek učencev, ki so pravilno odgovorili na 21. nalogo...70 Graf 23: Odstotek učencev, ki so pravilno odgovorili na 22. nalogo...72 Graf 24: Odstotek učencev, ki so pravilno odgovorili na 23. nalogo...74 Graf 25: Odstotek učencev, ki so pravilno odgovorili na 24. nalogo...76 Graf 26: Odstotki pravilno rešenih nalog s področja geometrije in merjenja...78 Graf 27: Odstotki pravilno rešenih nalog s področja aritmetike in algebre...79 Graf 28: Odstotki pravilno rešenih nalog glede na kognitivna področja...80 Graf 29: Odstotki pravilno rešenih nalog, katerih vsebina je obravnavana v 8. razredu...81

10 Graf 30: Primerjava rezultatov 8. in 9. razreda...82 KAZALO SLIK Slika 1: Srečanje delegatov Kenguru brez meja v Parizu...12 Slika 2: Sprejem delegatov pri županu Pariza...13 Slika 3: Zmagovalci natečaja...14 Slika 4: Zmagovalci natečaja pred gradom Loire...14 Slika 5: Prejem priznanja...15 KAZALO TABEL Tabela 1: Gagnejeva taksonomska lestvica... 6 Tabela 2: Preoblikovanje odstotkov v oceno v 8. in 9. razredu po nivojih...11 Tabela 3: Minimalni, temeljni in zahtevnejši standardi znanja v 8. razredu...20 Tabela 4: Minimalni, temeljni in zahtevnejši standardi znanja v 9. razredu...22 Tabela 5: Shema preizkusa...27 Tabela 6: Tipi nalog in vrednotenje...27 Tabela 7: Sestava preizkusa glede na taksonomske ravni (Gagnejeva lestvica)...28 Tabela 8: Vsebinska razdelitev preizkusa...28

11

12 1 UVOD»S tem, kaj ocenjujemo, kako vrednotimo in kako izrazimo rezultate, pošiljamo učencem jasno sporočilo o tem, česa se je vredno učiti, kako naj se učijo, kateri vidiki kakovosti so najvažnejši in kako dobre dosežke od njih pričakujemo«(mcbridge 1998). Preverjanje in ocenjevanje znanja je sestavni del učnega procesa, s katerim pridobimo povratne informacije, ki so v korist tako učiteljem kot učencem in staršem. Učitelji ugotovijo, ali je njihov način poučevanja uspešen, oblikovalci kurikulov pa dobre in slabe strani izobraževalnih programov. Učencem in staršem povratna informacija o ocenjevanju in preverjanju znanja daje dodatno motivacijo. Staršem pove, na katerih področjih je otrok bolj uspešen in ga lahko tako dodatno vzpodbujajo, ali pa jim pove, na katerih področjih otrok potrebuje dodatno pomoč. Vse te informacije pa so verodostojne le, če je ugotavljanje znanja zanesljivo in veljavno. Učitelj znanje ugotavlja s pisnimi preizkusi znanja in ustnim spraševanjem. Za vsak pisni preizkus, ki ga sestavi, mora biti prepričan, da je primeren za ugotavljanje želenega znanja. Učitelj se pri presojanju primernosti pisnega preizkusa ali vprašanj ne sme zadovoljiti le z občutkom, da je»v redu«. V diplomski nalogi bom spregovorila o tem, kako naj bi učitelji preverjali usvojenost učnih ciljev pri matematiki, na kaj morajo biti pozorni in na kaj morajo paziti pri sestavljanju pisnega preizkusa ter čim si lahko pomagajo, in o tem, kako vrednotimo pisni preizkus. V osnovni šoli potekajo tudi razna tekmovanja s področja matematike. Vsa so prostovoljna in tekmovanje Matematični mednarodni Kenguru ni izjema. Udeležijo se ga lahko vsi učenci celotne devetletne osnovne šole in učenci srednjih šol. V nadaljevanju bomo izvedeli, kako je tekmovanje Mednarodni matematični kenguru sestavljeno in kdo ga sestavlja. Povedala bom tudi, zakaj se vedno več učencev udeležuje tega tekmovanja in kakšni so njegovi cilji. Tako kot pisni preizkusi, ki jih sestavijo učitelji, tudi tekmovalni preizkusi preverjajo in ocenjujejo usvojenost ciljev in standardov znanja iz učnega načrta. Torej bi morali učenci naloge, katerih učna snov je obravnavana v tekočem šolskem letu, rešiti bolje. Ali res velja, da učenci naloge, katerih snov je še sveža, rešijo bolje? Ali morebiti bolje rešijo naloge, katerih snov so obravnavali v lanskem šolskem letu, in ali to pomeni, da je bila snov dovolj utrjena? To so vprašanja, na katera bom poskušala odgovoriti v nadaljevanju diplomske naloge. 1

13 2 VRSTE ZNANJA 2.1 Konceptualno znanje Osnovno znanje vključuje poznavanje pojmov in dejstev ter priklic znanja. Konceptualno znanje pa je razumevanje pojmov in dejstev. Obsega poznavanje dejstev, oblikovanje in strukturiranje pojmov (simboli, imena, dejstva, primeri, povezave) (Mešinović 2008: 16). Elementi konceptualnega znanja so: pojem (prepoznavanje, primer, protiprimer, opis); predstava (model, prikazi, drugo); terminologija in simbolika (prepoznavanje, tolmačenje, uporaba); definicije in dejstva (prepoznavanje, uporaba); pravila in izreki (prepoznavanje, uporaba); druga znanja (podobnost/analogija, razlikovanje, integracija). 2.2 Proceduralno znanje Proceduralno znanje obsega poznavanje in učinkovito obvladovanje algoritmov in procedur. Delimo ga na: rutinsko (proceduralno) znanje: tj.izvajanje rutinskih postopkov,uporaba pravil in obrazcev, reševanje preprostih nesestavljenih nalog z malo podatki, kompleksno (proceduralno) znanje: tj. uporaba kompleksnih postopkov, poznavanje in učinkovito obvladovanje algoritmov in procedur (metod, postopkov), izbira in izvedba algoritmov in procedur; uporaba (ne priklic) pravil, zakonov, postopkov, reševanje sestavljenih nalog z več podatki. Elementi proceduralnega znanja so: poznavanje in učinkovito obvladovanje algoritmov in procedur (metod, postopkov); uporaba (ne priklic) pravil, zakonov, postopkov; izbira in izvedba postopka, pri čemer je potrebno utemeljiti oz. preveriti izbiro in postopek izvesti. 2

14 2.3 Problemsko znanje Problemsko znanje je uporaba znanja v novih situacijah. Gre za uporabo kombinacij več pravil in pojmov pri soočenju z novo situacijo, oz. za sposobnost uporabe konceptualnega in proceduralnega znanja. S problemskim znanjem so povezani pojmi odkrivanje, raziskovanje in preiskovanje. Naloge, pri katerih vemo, katero proceduro uporabiti, ne preverjajo problemskega znanja. 3 PREVERJANJE IN OCENJEVANJE ZNANJA Pri poučevanju, utrjevanju in preverjanju znanj se je potrebno opirati na učne cilje:kaj naj bi se učenci naučili in, katere veščine in spretnosti naj bi usvojili. Učne cilje (znanje, veščine, spretnosti) sistematizirajo različne taksonomije, ki so namenjene postavljanju ciljev. Učili naj bi vse kot celoto, pri preverjanju pa moramo paziti, da so vse taksonomske stopnje preverjene in dosežene. 3.1 Definiciji pojmov preverjanje in ocenjevanje V Pravilniku o preverjanju in ocenjevanju znanja ter napredovanju učencev v osnovni šoli (Ur.l. RS, št. 29/1996)tretji člen opredeljuje preverjanje in ocenjevanje znanja na naslednji način: S preverjanjem znanja se zbirajo informacije o tem, kako učenec dosega cilje oziroma standarde znanja iz učnih načrtov, in ni namenjeno ocenjevanju znanja. Doseganje ciljev oziroma standardov znanja se preverja pred, med in ob koncu obravnave novih vsebin iz učnih načrtov. Ocenjevanje znanja je ugotavljanje in vrednotenje, v kolikšni meri učenec dosega cilje oziroma standarde znanja, ter se opravi po obravnavi novih vsebin iz učnih načrtov in po preverjanju znanja. 3.2 Preverjanje in ocenjevanje v OŠ V osnovni šoli se izobraževanje deli na prvo (od 1. do 3. razreda), drugo (od 4. do 6. razreda) in tretje (od 7. do 9. razreda) vzgojno - izobraževalno obdobje. V prvem izobraževalnem obdobju se učenčevo znanje ocenjuje z opisnimi ocenami. Učitelj namreč z besedami pove, kako učenec napreduje glede na opredeljene cilje, oz. izrazi, katere standarde znanja iz učnega načrta je učenec usvojil. 3

15 V drugem in tretjem izobraževalnem obdobju pa se znanje ocenjuje s številčnimi ocenami, in sicer od 1 do 5. Zaključno oceno iz posameznega predmeta učitelj oblikuje ob koncu šolskega leta. Medtem ko v prvem izobraževalnem obdobju pri vseh predmetih oblikuje opisno zaključno oceno,pa v drugem in tretjem izobraževalnem obdobju oblikuje številčno zaključno oceno Preverjanje in ocenjevanje pri predmetu Matematika Ocenjevanje znanja je ugotavljanje in vrednotenje doseženega znanja po tem, ko je bila snov posredovana in utrjena. Z ocenjevanjem je preverjeno, kako so jo učenci razumeli in usvojili. Sistematično preverjanje in ocenjevanje je natančno, objektivno, informativno in javno. Pri matematiki se preverjajo in ocenjujejo pisni preizkusi in ustni odgovori. Ustno preverjanje mora biti sprotno, njegov namen pa je ugotavljanje razumevanja obravnavane snovi in procedur ter ugotavljanje problemskih znanj. Pri ustnem preverjanju lahko učitelj učencem pomaga s krajšimi vprašanji, s katerimi jih usmerjajo. V šolskem letu morajo učenci pisati štiri šolske (pisne) naloge. V 8. in 9. razredu pri matematiki poteka nivojski pouk na treh različnih zahtevnostnih ravneh. Na prvi zahtevnostni ravni, kjer se dosegajo minimalni zahtevnostni standardi znanja, je najvišja ocena dobro (3). Na drugi zahtevnostni ravni, kjer se poleg minimalnih standardov znanja dosegajo še temeljni standardi znanja, je najvišja ocena prav dobro (4). Na tretji zahtevnosti ravni, kjer se poleg minimalnih in temeljnih standardov znanja dosegajo še zahtevnejši standardi znanja, je najvišja ocena odlično (5). 4

16 4 PISNI PREIZKUS PRI MATEMATIKI Pisni preizkus je najpogostejši način za pridobivanje informacij o tem, koliko učenci znajo. Informacije, pridobljene s pisnim preizkusom, učitelju omogočajo sprejemanje odločitev o učnem procesu, učencem pa povedo, koliko in kaj znajo ter kaj je pri matematiki pomembno, česa in kako se je potrebno učiti. Pri sestavljanju pisnega preizkusa mora biti učitelj pozoren na objektivnost, zanesljivost, veljavnost. Naloga učitelja je ugotoviti, kako dobro je učenec usvojil matematično znanje, ki se deli na vsebinsko področje, kognitivno raven in zahtevnosti znanj. Pisni preizkus mora biti usklajen s testi drugih učiteljev, da učenec za podobno znanje, ki ga je izkazal, prejme podobno oceno. 4.1 Elementi pisnega preizkusa Pri sestavljanju pisnega preizkusa, ki preverja znanje celotnega ocenjevalnega sklopa, mora učitelj paziti na štiri elemente, tj. na: učne cilje; področje spremljanja; taksonomske ravni; standarde znanja Učni cilji»učni cilji, ki vključujejo vzgojno in izobraževalno komponento, so sestavni del splošnega učnega planiranja in najpomembnejši regulator pouka. «(Strmčnik 2001: 203). V učnih ciljih so opredeljena znanja, ki naj bi jih učenci usvojili pri pouku matematike. Poznamo več ciljev: dolgoročne, srednjeročne in kratkoročne; nekateri so usmerjeni v procesna znanja, drugi v bolj vsebinska. Pri pouku matematike so učni cilji v učnem načrtu opredeljeni za vse učence enako, ne glede na nivojsko skupino, ki jo učenec obiskuje. Pri pouku se obravnava vse učne cilje, pri preverjanju in ocenjevanju pa le izbrane. 5

17 4.1.2 Področje spremljanja Področje spremljanja opredeljuje vidike znanja, na katere moramo biti pri preverjanju in ocenjevanju pozorni. Navadno spremljamo, kako uspešno je učenec usvojil posamezne ravni zahtevnosti znanja, torej kognitivne ravni znanja. Področja, ki jih spremljamo, so: procesno in problemsko znanje; uporaba matematičnega jezika; razumevanje pojmov in izvajanje postopkov Taksonomske ravni»taksonomija govori o klasifikaciji učnih ciljev glede na različne stopnje zahtevnosti, prikazuje hierarhično razvrstitev vedenja od preprostega do kompleksnega od konkretnega do abstraktnega.«(izdelovanje interaktivnih vaj 2012). Vendar določevanje taksonomskih stopenj ni enostransko določeno,saj taksonomske stopnje niso enako uporabne za vsa predmetna področja. Pri matematiki se uporablja Gagnejeva taksonomija znanja, omeniti pa je treba tudi Bloomovo taksonomijo znanja in Marzanovo klasifikacijo. Gagnejevo taksonomijo znanj uporabljamo v didaktiki matematike po zgledu večine evropskih držav se je v slovenskem šolstvu pri preverjanju in ocenjevanju začela uveljavljati v zadnjih letih, ki je prikazana v Tabeli 1: Tabela 1: Gagnejeva taksonomska lestvica Osnovna in konceptualna znanja temeljna znanja in vedenja: poznavanje pojmov in dejstev ter priklic znanja konceptualna znanja: razumevanje pojmov in dejstev Proceduralna znanja rutinska proceduralna znanja: izvajanje rutinskih postopkov, uporaba pravil in obrazcev kompleksna proceduralna znanja: uporaba kompleksnih postopkov, izbira in izvedba algoritmov in procedur, uporaba 6

18 pravil in zakonov, postopkov Problemska znanja strategije reševanja problemov aplikativna znanja (Gagne1985) Bloomova taksonomija učne cilje s kognitivnega ali spoznavnega področja razvršča v šest kategorij: poznavanje, razumevanje, uporaba, analiza, sinteza, vrednotenje: Poznavanje se kaže kot prepoznava, priklic, obnova dejstev, podatkov, definicij, simbolov gre za to, da vidimo, ali smo si zapomnili, ne pa nujno razumeli. Ta tip znanja lahko preverjamo s testi dopolnjevanja in izbire ali pa z direktnim povpraševanjem (definicije); Za razumevanje znanj je značilno opisovanje, pojasnjevanje bistva s svojimi besedami. Je prevajanje iz ene simbolične oblike v drugo. Razumevanje posreduje tri miselne operacije: prevajanje, interpretacijo in ekstrapolacijo. Pri prevajanju gre za to, da učenec lahko neko sporočilo izrazi z drugimi besedami ali pa ga prevede v kakšno drugo obliko (npr. z besedami predstavi ali prebere graf). Pri interpretaciji učenec pravilno dojame poglavitne ideje in razume njihov medsebojni odnos (npr. sklepanje o zvezah med posameznimi spremenljivkami na grafu), medtem ko se ekstrapolacija nanaša na učenčevo sposobnost presojanja in napovedovanja učinkov, posledic ali dogodkov ter sklepanja o posledicah na osnovi danega sporočila (npr. ob grafu sklep,kakšne bi bile posledice opisane situacije na kaj drugega); pri uporab igre za aplikacijo znanja v novih situacijah,tj. za samostojno reševanje problemsko zastavljenih nalog ter, napovedovanje učinkov in posledic; analiza zajema razčlenjevanje gradiva in posameznih elementov tega gradiva na njegove sestavne dele,ter primerjanje in ugotavljanje odnosov med temi deli. Bloom loči tri vrste analize, ki so:analiza 7

19 elementov sporočila,analiza odnosov med elementi oz. deli sporočila in analiza organizacijskih principov; sinteza, v okviru katere učitelj ne prenaša znanja, temveč le animira, vodi povezovanje delov v novo celoto, izpeljava posplošitev in zaključkov. Učenci načrtujejo strategijo in še nepoznane problemske situacije interpretirajo samostojno. Odgovori, ki jih podajo,so tako novi, enkratni; vrednotenje ali evalvacija je presoja idej, argumentov, rešitev, izdelkov, materialov, in metod v skladu z nameni in po različnih kriterijih. Kriteriji so lahko notranji: zajemajo presojanje ali vrednotenje gradiva glede na logično natančnost, doslednost in druge notranje kriterije, ali pa zunanji: zajemajo presojanje učnega gradiva glede na izbrane ali spominske kriterije. Marzanova klasifikacija znanja deli na vsebinska in procesna (Rutar Ilc,2003: 19). Vsebinska znanja so specifična za vsak predmet posebej, procesna pa so vsem predmetom skupna. Do vsebin naj bi učenci prihajali s pomočjo miselnih procesov in veščin v procesu (eksperimentiranje, odkrivanje, ).Je manj operativna,področje znanja pa deli na 3 sisteme, ki so povezani z znanjem,obravnavanim pri pouku: 1.self system: to je sistem nadzora, ki ga imamo nad samim seboj, in v okviru katerega pogledamo, kakšen odnos in predstavo o lastni učinkovitosti ima učenec ali učitelj; 2.meta-kognitivni sistem: izraz pomeni kognicija o kogniciji. Razmišljamo namreč o tem,kako razmišljamo: najprej tako učitelj kot učenec določita svoje cilje, potem pa opazujeta, kaj in kako znata, in razmislita o tem. 3.kognitivni sistem: gre za priklic znanje iz spomina. Kognitivne spretnosti so:razumevanje, analiza in uporaba Standardi znanja Standardi znanja, ki so opredeljeni v učnem načrtu, so namenjeni preverjanju in ocenjevanju znanja, omogočajo pa, da se ocene pri matematiki lahko primerjajo. Poznamo minimalne, temeljne in zahtevnejše standarde. Minimalni standardi so dosežki praviloma vseh učencev na določeni razvojni stopnji in izhajajo iz ciljev preverjanja in ocenjevanja. Učenec, ki jih doseže, naj bi bil 8

20 pozitivno ocenjen. Ravnanje v primerih, ko vsi minimalni standardi niso doseženi, je stvar presoje učitelja. Temeljni standardi so povezani z najpomembnejšimi matematičnimi znanji. Učiteljeva naloga je, da vsi učenci temeljne standarde dosežejo v čim večji meri. Zahtevnejši standardi opisujejo nivo znanj, ki jih predvidoma doseže le del učencev (Učni načrt: program osnovnošolskega izobraževanja. Matematika 2006: 80). Od temeljnih standardov so zahtevnejši po obsegu in globini znanja. 4.2 Sestavljanje pisnega preizkusa Pri sestavljanju pisnih preizkusov mora biti učitelj strokovno usposobljen. Vložiti mora veliko naporov, saj mora upoštevati veliko različnih dejavnikov. Prvi dejavnik, ki naj bi ga pisni preizkus preverjal, je vsebina. Običajno skuša učitelj vprašanja sestaviti tako, da zavzame vsa vsebinska vprašanja določenega vsebinskega sklopa, ki ga je pred tem poučeval. Pri tem je treba ločiti temeljno znanje in podrobnosti, ki jih učenci znajo samo pri preverjanju znanja, kasneje pa jih pozabijo. Za temeljna znanja bi lahko šteli tista znanja, ki se v nadaljnjem šolanju sistematično nadgrajujejo. Nadgradnja pa pomeni, da lahko povečujemo zahtevnost in obsežnost. Zgled za preverjanje podrobnosti je npr. naloga, ki sprašuje, koliko je vsota notranjih kotov pri enakokrakem trikotniku. Zgled za preverjanje temeljnega znanja pa je npr. naloga, s katero preverjamo razumevanje pojma trikotnik (Skribe Dimec 2004). Drugi dejavnik je raznolikost tipov nalog. Raznolikost načinov reševanja naj bi prispevala k učenčevi večji motivaciji. Poznamo več vrst nalog (Izdelovanje interaktivnih vaj 2012): 1. naloge alternativnega tipa so naloge, ki so najpogosteje sestavljene iz vprašanja in dveh podanih odgovorov: da ali ne, pravilno ali napačno, resnica ali neresnica; 2. naloge izbirnega tipa zahtevajo, da med več možnimi odgovori ali alternativami izberemo en sam odgovor. Ta oblika nalog se najpogosteje uporablja v praksi; 3. naloge dopolnjevanja in kratkih odgovorov so v bistvu enake, razlikujejo se le po obliki. Če je vprašanje postavljeno v obliki nedokončanega stavka, gre za tip dopolnjevanja, če pa je v obliki dokončanega stavka z vprašajem na koncu, gre za tip kratkega odgovora. Za razliko od nalog izbirnega tipa zahtevajo reprodukcijo znanja, ne zgolj prepoznavanje, in so zato ustrezno težje; 9

21 4. naloge povezovanja in urejanja so naloge, ki od učenca zahtevajo, da med seboj poveže različne pojme, npr. pisatelje in njihova dela. Pri povezovanju mora učenec za vsako nalogo v prvem stolpcu poiskati ustrezni odgovor v drugem stolpcu. Naloge urejanja pa zahtevajo, da učenec podatke v stolpcu razvrsti po določenem vrstnem redu; 5. naloge pojasnjevanja in interpretiranja so naloge, ki od učenca zahtevajo, da podaja daljše odgovore, opisuje slike, grafikone ipd.; 6. naloge esejskega tipa zahtevajo obsežnejše odgovore. Tretji dejavnik je raven zahtevnosti znanja, ki jih posamezne naloge preverjajo. Glavni razlog, da v pisnih preizkusih prevladujejo naloge, ki preverjajo poznavanje dejstev (reprodukcijo znanja), je ta, da imajo le redki učitelji pri sestavljanju pisnega preizkusa v mislih različne ravni zahtevnosti znanja. Ko sestavljamo posamezno nalogo in razmišljamo, kakšno znanje posamezna naloga preverja, si najlažje pomagamo s taksonomijami, ki opredeljujejo znanje. Pri nas je najbolj uveljavljena Bloomova taksonomija, ki v 6 hierarhičnih stopnjah opredeljuje ravni kognitivnih ciljev(poznavanje, razumevanje, uporaba, analiza, sinteza, vrednotenje)(skribe Dimec 2004). Smiselno jo je uporabljati za konceptualno znanje, ni pa uporabna za preostale vidike znanja. Kadar želimo preverjati proceduralno znanje (spoznavne procese in postopke oz. sposobnosti in spretnosti), je najbolje, da sami jasno določimo, katere postopke bomo s kakšno nalogo preverjali (Skribe Dimec2004).Širšo opredelitev znanja s poudarkom na raznovrstnih miselnih procesih ponuja tudi Marzanova klasifikacija (Rutar Ilc2003). 4.3 Vrednotenje dosežkov pisnega preizkusa Pisni preizkus, ki je ustrezno izdelan, nudi kakovostne in verodostojne povratne informacije o učenčevem znanju. Te je potrebno izraziti glede na številsko mersko lestvico, ki ji učitelj priredi dano številsko oceno glede na določeno število točk. 10

22 Tabela 2: Preoblikovanje odstotkov v oceno v 8. in 9. razredu po nivojih % OCENA nivo nivo nivo 0 39,9 0 39,9 0 44, , , , , , ,

23 5 TEKMOVANJE MEDNARODNI MATEMATIČNI KENGURU 5.1 Začetki Mednarodnega matematičnega Kenguruja V zgodnjih 80. Letih 20. stoletja je učitelj matematike iz Sydneyja Peter O'Holloram izumil nov način igre v avstralskih šolah: vprašalnik izbirnega tipa, ki ga je popravljal računalnik, tako da je lahko sodelovalo na tisoče učencev hkrati. To je bil velik uspeh za»australian mathematic national contest«. Leta 1991 sta se francoska učitelja Andre Deledicq in Jean Pierre Boudine odločila, da v poklon avstralskim prijateljem začneta konkurenco v Franciji z imenom Kenguru. V prvi izdaji je sodelovalo mladincev/učencev. Odkar je bilo tekmovanje oz. konkurenca odprta za učence kot tudi za višje študente, jima je sledilo 21 evropskih držav pod imenom Kenguru brez meja. Junija 1993 je upravni odbor francoskega Kenguruja sklical evropsko srečanje v Parizu. Povabljeni so bili tudi številni organizatorji matematičnih tekmovanj iz drugih evropskih držav, ki so bili navdušeni nad vedno večjim številom udeležencev v evropski konkurenci Kenguru ( leta '91, leta '92, leta '93). Sedem držav Belorusija, Madžarska, Nizozemska, Poljska, Romunija, Rusija in Španija - se je odločilo, da sprejme sistem;maja 1994 je bil to velik uspeh za vse države. Junija 1994 se je v Strasbourgu na zasedanju Evropskega sveta generalna skupščina delegatov 10 evropskih držav odločila ustanoviti Kenguru brez meja in sodelovati z izvoljenim odborom 6 članov ter s pravnim statutom, registriranim v Parizu17. januarja Na začetku te globalizacijske pobude je Francija podala tehnično in finančno pomoč do srečanja v Parizu (januar 1995) in v Eindhovnu na Nizozemskem (december 1995). Slika 1: Srečanje delegatov Kenguru brez meja v Parizu. (Kangorou sans Frontieres 2012) 12

24 V Eindhovnu (december 1995) je bilo tekmovanje na kadetski ravni (13-14 let) enako v vseh državah; ista tekmovalna tehnika (vprašanja izbirnega tipa), isti dan tekmovanja, isti urnik tekmovanja, enaka nagrada za vsakega udeleženca. Toda vsaka država ima svojo organizacijo in svoje lastne ocene, zato ni bila mogoča primerjava doseženih rezultatov med državami, kar velja še danes. Na začetku leta 1996 so vse državne članice sodelovale pri praktični organizaciji, imenovani Letna skupščina, na nivoju, ki je sorazmeren s številom udeležencev. V Torunu na Poljskem (november 1996) je bilo odločeno, da bo bila konkurenca subjektov na vseh ravneh enaka v vseh državah. V Budimpešti (oktober 1997) je 21 sodelujočih držav sprejelo končne predpise, ki opredeljujejo natančno finančno sodelovanje in pravila, ki jih morajo upoštevati vse države, če želijo postati članice tekmovanja. Od leta 1995 letne generalne skupščine združenja potekajo v vedno drugi državi, in sicer oktobra ali novembra. Leta 2003 so tako potekali Dnevi v Parizu, v okviru katerih so delegati Kenguruja brez meja na sprejemu pri županu v mestni hiši v imenu ministrstva za šolstvo, ki je dogodek podprl, pozdravili starešino»general Inspections for Mathematics«(Slika 2). Slika 2: Sprejem delegatov pri županu Pariza (Kangorou sans Frontieres 2012) Teme tekmovanj so za vsako leto vnaprej določene oz. izbrane. Dokumenti in nagrade se izmenjujejo med državami, poletni tabori pa so redni in načrtovani.vsako poletje se tako na tisoče zmagovalcev natečaja zbere na privlačnih srečanjih oz. počitnicah, npr. v Carpetesu, ali pa obiščejo gradove Loire ali gradove ob obalah Mer Noire oz. Blatno jezero (Slika 3, Slika 4). 13

25 Slika 3: Zmagovalci natečaja (Kangorou sans Frontieres 2012) Slika 4: Zmagovalci natečaja pred gradom Loire (Kangorou sans Frontieres 2012) Brez ločitve svojih publikacij je bila Kenguru-ju leta 1994 podeljena D'Alembert nagrada, ki jo je francoski»mathematic Society«podelil za najboljše delo generalizacije in širjenja matematike. Poleg tega je bil Kenguruna mednarodnem simpoziju za poučevanje matematike v Kopenhagnu, ki je potekal julija 2004, odlikovan za pomemben prispevek k pedagoški matematiki. Ob tej priložnosti je Andre Deledicq 6. Julija 2004 od profesorja Hymana Bassa, predsednika CIEM-a, prejel nagrado erdos(slika 5), ki jo vsaki dve leti podeli Svetovna zveza nacionalnih matematičnih tekmovanj(ali tekmovanj za matematiko)(kangorou sans Frontieres 2012). 14

26 Slika 5: Prejem priznanja (Kangorou sans Frontieres 2012) 15

27 5.1.1 Slovenija na tekmovanju Mednarodni matematični Kenguru Slovenija se je ostalim državam na tekmovanju Mednarodni matematični Kenguru prvič pridružila leta Na spodnjem grafu je prikazano število tekmovalcev iz Slovenije, ki so se tekmovanja udeležili od leta 1997 pa do danes. Graf 1: Število tekmovalcev iz Slovenije (Kangorou sans Frontieres 2012 ) 5.2 Pravila tekmovanja Mednarodni matematični Kenguru Pravila tekmovanja so (DMFA Slovenije 2012): 1. sodelovanje učencev na tekmovanju je prostovoljno; 2. državnega tekmovanja se lahko udeležijo učenci sedmega, osmega in devetega razreda, glede na dosežke področnega tekmovanja; 3. tekmovanje na šolski ravni traja skladno z navodili za posamezno tekmovalno kategorijo, na področni in državni ravni pa 90 minut; 4. državno tekmovanje se izvede na šolah gostiteljicah po posameznih področjih za državo tekmovanje v prostorih, ki jih določi organizator tekmovanja; 5. tekmovalci rešujejo naloge samostojno; 6. na področnem in državnem tekmovanju je obvezno šifriranje izdelkov. 16

28 5.3 Cilji tekmovanja Cilji tekmovanja so (DMFA Slovenije 2012): širjenje znanja in poglabljanje že osvojenih znanj tudi nad zahtevnostjo rednega programa na področju matematike za OŠ; primerjanje znanja med učenci na področju matematike; popularizacija matematike; spodbujanje in odkrivanje za matematiko nadarjenih učencev; motivacija za nadaljnje poglabljanje znanja s področja matematike; spodbujanje druženja mladih iz različnih šol in okolij. 5.4 Ravni tekmovanja in tekmovalne kategorije Tekmovanje poteka na treh ravneh. Gre namreč za: šolsko tekmovanje; področno tekmovanje; državno tekmovanje; Šolsko tekmovanje poteka v devetih tekmovalnih kategorijah, določenih glede na razred, ki ga tekmovalec obiskuje. Področno in državno tekmovanje potekata v treh tekmovalnih kategorijah, določenih glede na razred, ki ga tekmovalec obiskuje. Tekmovalec na vseh ravneh tekmuje v isti tekmovalni kategoriji (DMFA Slovenije 2012). 5.5 Priprava nalog Tekmovalne naloge in rešitve nalog s točkovnikom za šolsko tekmovanje pripravi Komisija za tekmovanje Mednarodni matematični Kenguru, za področno in državno tekmovanje pa državna tekmovalna komisija. Recenzijo nalog opravi predsednik državne tekmovalne komisije oz. s strani predsednika pooblaščeni člani državne tekmovalne komisije, ki niso sodelovali pri pripravi nalog. 17

29 Tekmovalne naloge morajo biti prevedene v domači jezik in lektorirane. Na vseh ravneh tekmovanja tekmovalci naloge rešujejo v pisni obliki. Tekmovalna komisija je odgovorna za tajnost tekmovalnih nalog od začetka reševanja nalog in anonimnost dosežkov vseh tekmovalcev do objave (DMFA Slovenije 2012). 5.6 Objava rezultatov Objava dosežkov tekmovanja poteka v dveh fazah: rezultati tekmovanja, ki vsebujejo ime in priimek tekmovalca (na šolskem tekmovanju) oz. šifro tekmovalca (na področnem in državnem tekmovanju) ter število doseženih točk po nalogah, morajo biti objavljeni najkasneje v treh dneh po izvedbi tekmovanja. Ti rezultati niso javni ter so z osebnim geslom dostopni pooblaščenim osebam sodelujočih šol. V tej fazi ima vsak tekmovalec pravico do vpogleda v svoj rezultat pri svojem mentorju; po zaključeni obravnavi ugovorov na vrednotenje in najkasneje 7 dni po zaključenem tekmovanju mora pristojna tekmovalna komisija objaviti končne rezultate, ki vsebujejo ime in priimek tekmovalca, doseženo mesto tekmovalca, ime in priimek mentorja, tekmovalno skupino, naziv šole in kraj, doseženo število točk po nalogah, morebitno doseženo priznanje oz. nagrade in morebitno informacijo o uvrstitvi na naslednjo raven tekmovanja. Ti rezultati niso javni ter so z osebnim geslom dostopni pooblaščenim osebam sodelujočih šol. V tej fazi ima vsak tekmovalec pravico do vpogleda v končne rezultate vseh tekmovalcev v svoji tekmovalni kategoriji na ustrezni ravni tekmovanja pri svojem mentorju. Na šoli morajo biti javno objavljena imena tekmovalcev, ki so se uvrstili na naslednjo raven tekmovanja. Dosežki z državnega tekmovanja, ki vsebujejo ime in priimek tekmovalca, doseženo mesto tekmovalca, ime in priimek mentorja, tekmovalno skupino, naziv šole in kraj, doseženo priznanje ali nagrado, morajo biti po razglasitvi objavljeni na spletnih straneh Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije. Objavijo se le dosežki tistih tekmovalcev, ki so na državnem tekmovanju prijeli priznanje ali nagrado (DMFA Slovenije 2012). 18

30 5.7 Razlike med pisnimi preizkusi v razredu in zunanjimi preizkusi Sestavljanje preizkusov znanja v razredu in zunanjih preizkusov poteka na podoben način. Pri obeh izhajamo iz ciljev, ki so opredeljeni v učnem načrtu, i določamo taksonomsko ter zahtevnostno raven, toda kljub temu se razlikujeta v mnogih pogledih. Preizkusi v razredu, ki jih sestavljajo učitelji, so neformalni, medtem ko je zunanje preverjanje formalno. Preizkus v razredu od učitelja zahteva, da ga napiše sam, oblikuje navodila in ga oceni. Pri zunanjem preizkusu navodila dajo nadzorni učitelji, sestavijo ga usposobljeni učitelji, ocenijo pa ga zunanji ocenjevalci. Vsak učitelj si pogoje za izvajanje preizkusa določi sam, medtem ko morajo imeti učenci pri zunanjem preizkusu enake pogoje za opravljanje preizkusa. Pri preizkusih v razredu je čas izvajanja različen, pri zunanjih preizkusih pa je čas izvajanja vnaprej določen in ga morajo upoštevati vsi. Pri preizkusih v razredu se rezultati med seboj ne upoštevajo, pri zunanjih preizkusih pa se primerjajo na celotni populaciji. Pri preizkusih v razredu je učenčeva končna ocena sestavljena iz ocen več preizkusov, ustnega preverjanja in drugih dejavnikov, pri zunanjem preizkusu pa učenec dobi končno oceno na podlagi enega preizkusa. 19

31 6 UČNI NAČRT 6.1 Katalog znanja Osmi razred razredu. Tabela 3 prikazuje minimalne, temeljne in zahtevnejše standarde znanja v 8. Tabela 3: Minimalni, temeljni in zahtevnejši standardi znanja v 8. razredu MINIMALNI STANDARDI ZNANJA 1. Učenec prepozna pravilni večkotnik. Poljubnemu večkotniku označi oglišča, stranice, notranje kote, diagonale. 2. Izračuna obseg in ploščino kroga. 3. V pravokotnem trikotniku, kvadratu in pravokotniku prepozna ter uporabi Pitagorov izrek. 4. Opiše in skicira kocko, kvader ter s pomočjo obrazcev izračuna površino, plašč in prostornino kocke ter kvadra. 5. Računa s celimi in racionalnimi števili, izračuna vrednost preprostega številskega TEMELJNI STANDARDI ZNANJA 1. Učenec opiše večkotnik, nariše pravilni večkotnik (n = 3, 4, 6), računa ploščino večkotniku. 2. Krogu in njegovim delom izračuna obseg in ploščino. Naloge so lahko tudi indirektne. 3. V likih prepozna in uporabi Pitagorov izrek. Reši preproste besedilne naloge z uporabo Pitagorovega izreka. 4. Kocki in kvadru izračuna površino, plašč ter prostornino. V telesih prepozna in uporabi Pitagorov izrek. 5. Racionalna števila uredi po velikosti in jih upodobi na številski premici. Določi ZAHTEVNEJŠI STANDARDI ZNANJA 1. Učenec zna s premislekom ugotoviti število diagonal večkotnika. 2. Izračuna obseg in ploščino lika, omejenega z daljicami in deli krožnice. 3. Prepozna in uporabi Pitagorov izrek v enakokrakem trapezu ter deltoidu. 4. Reši indirektne naloge in naloge s presekom. 5. Ugotavlja odnose med množicami N, Z, Q, R. Oblikuje zaporedja celih števil. Reši neenačbo v množici celih števil. Izračuna vrednost izraza z več oklepaji. 6. Racionalizira 20

32 izraza (brez oklepajev) s celimi in racionalnimi števili. 6. Izračuna vrednost potence, kvadrat in kvadratni koren racionalnega števila. 7. Izračuna produkt in količnik potenc z enakimi osnovami. 8. Na številski osi upodobi točko z dano koordinato. 9. V koordinatni ravnini nariše točko in odčita njeni koordinati. Opiše odvisnost dveh količin, reši preproste besedilne naloge premega sorazmerja (tudi procentni račun). 10. V izrazih s spremenljivkami sešteje podobne člene; zmnoži preproste izraze s spremenljivkami,npr. 3a 2b, 3 x (2y + 5), (y - 2)(3 y + 4). 11. Reši enačbe oblike x + a = b, x a = b, kjer sta a in b racionalni števili. nasprotno in absolutno vrednost racionalnega števila. Izračuna vrednost številskega izraza z racionalnimi števili. Izračuna vrednost potence in vrednost preprostih številskih izrazov, kjer nastopajo potence. 6. Oceni in izračuna kvadrat ter kvadratni koren racionalnega števila. 7. Računa s potencami. 8. Na številski premici upodobi točke, ki ustrezajo dani neenačbi. 9. Odvisnost dveh količin prikaže s tabelo in z grafom. Reši naloge premega in obratnega sorazmerja. 10. Poenostavi preproste izraze s spremenljivkami. 11. Reši preproste enačbe in neenačbe. imenovalec, delno koreni. 7. Poenostavi zahtevnejše izraze, reši besedilne naloge. 8. Reši zahtevnejše enačbe. (Učni načrt: program osnovnošolskega izobraževanja. Matematika 2006: 82) 21

33 6.1.2 Deveti razred razredu. Tabela 4 prikazuje minimalne, temeljne in zahtevnejše standarde znanja v 9. Tabela 4: Minimalni, temeljni in zahtevnejši standardi znanja v 9. razredu MINIMALNI STANDARDI ZNANJA 1. Učenec na modelu opiše medsebojno lego geometrijskih elementov v prostoru. 2. Zapiše in poenostavi razmerje dveh daljic ter daljico razdeli v danem razmerju. 3. Opiše ob modelu prizmo, valj, piramido in stožec. Izračuna površino, prostornino in plašč omenjenih teles. 4. Izračuna produkt vsote in razlike dveh členov, kvadrat dvočlenika ter v izrazu izpostavi skupni faktor. 5. Reši preproste linearne enačbe brez in z oklepaji ter s preprostimi ulomki. 6. Izračuna neznani člen sorazmerja. 7. Nariše graf po točkah in bere graf. TEMELJNI STANDARDI ZNANJA 1. Učenec medsebojno lego geometrijskih elementov zapiše simbolično. 2. Sorazmerje dolžin daljic uporablja za iskanje neznane dolžine računsko in grafično. 3. Skicira geometrijska telesa in nariše mreže geometrijskih teles. Reši direktne in preproste indirektne naloge v povezavi z geometrijskimi telesi. V telesih prepozna in uporabi Pitagorov izrek. 4. Poenostavi preproste izraze s spremenljivkami. Razstavi izraze na faktorje. 5. Reši linearne enačbe in preproste besedilne naloge. 6. Reši naloge z uporabo sorazmerja. 7. Odvisnost dveh količin zapiše simbolično (z obrazcem) in jo prikaže s ZAHTEVNEJŠI STANDARDI ZNANJA 1. Učenec prepozna podobne like, uporabi definicijo podobnih trikotnikov in reši nalogo z uporabo podobnosti (podobni trikotniki). 2. V telesih prepozna preseke in reši preproste naloge. Glede na dane podatke naloge samostojno izpelje obrazce in nalogo reši. Pozna valj in stožec kot vrtenini ter s tem povezane naloge z vrteninami. 3. Poenostavi zahtevnejši izraz. Besedilno nalogo izrazi z linearno enačbo in jo reši. Reši preproste razcepne enačbe. 4. Reši in obravnava linearno enačbo s parametri. Reši zahtevnejše linearne enačbe z ulomki in 22

34 8. Naloge premega sorazmerja reši s sklepanjem,s sorazmerjem. 9. Zapiše enačbo linearne funkcije pri danih koeficientih in nariše graf. 10. Pozna in uporablja osnovne načine zbiranja podatkov ter njihovega predstavljanja. tabelo ter z grafom. 8. Pozna in uporabi enačbi premega in obratnega sorazmerja. 9. Pozna pomen koeficientov pri linearni funkciji in to uporablja v konkretnih nalogah. Zapiše enačbo premice in iz grafa razbere presečišče(i) z obema koordinatnima osema. Določi lego točke glede na premico. 10. Uporablja primerne načine zbiranja podatkov; zbrane podatke predstavlja s primernimi diagrami. oklepaji. 5. Uporablja zapis f(x). 6. Izračuna ničlo linearne funkcije, presečišči premice z obema koordinatnima osema in računsko preveri lego točke glede na premico. 7. Kritično razmišlja o orodjih za zbiranje podatkov in o načinih njihove predstavitve. (Učni načrt: program osnovnošolskega izobraževanja. Matematika 2006: 83) 23

35 7 OPREDELITEV RAZISKOVALNEGA PROBLEMA 7.1 Namen raziskave V devetletni osnovni šoli moramo znanje iz učnega načrta preverjati in ocenjevati sprotno. Sprotno preverjanje in ocenjevanje znanja je namenjeno predvsem temu, da se snov utrdi in da dobijo tako učitelji kot učenci in starši povratno informacijo o napredovanju posameznega učenca. Glavni namen moje raziskave je ugotoviti, ali lahko rezultate, pridobljene na tekmovanju Mednarodni matematični Kenguru, primerjamo s snovjo, ki je obravnavana v šoli v tekočem šolskem letu. 7.2 Metodologija dela Vzorec raziskave V vzorec raziskovalnega dela sem zajela 7247 učencev 8. razreda in 6538 učencev 9. razreda devetletne osnovne šole v Sloveniji, ki so sodelovali na tekmovanju Mednarodni matematični Kenguru Raziskovalne metode V empiričnem delu diplomskega dela sem uporabila naslednje metode raziskovanja: metodo analize podatkov; metodo primerjanja; statistično obdelavo podatkov. 24

36 7.2.3 Merski instrumenti Do ugotovitev v empiričnem delu diplomskega dela sem prišla s pomočjo tekmovanja Mednarodni matematični Kenguru, ki je potekal Preizkus vsebuje 24 nalog Postopek zbiranja in pridobivanja podatkov Rezultate tekmovanja Mednarodni matematični Kenguru sem pridobila na spletni strani Naloge tekmovanja sem dobila od učiteljice matematike iz obalno-kraške osnovne šole Postopek obdelave podatkov Pred analizo tekmovanja Mednarodni matematični Kenguru sem postavila hipoteze. Pri vsaki nalogi sem s pomočjo doseženih točk ugotovila, katere cilje so dosegli učenci. Grafično sem prikazala število učencev, ki so pravilno ali nepravilno odgovorili na posamezno nalogo, in izračunala indeks težavnosti, ki nam pove težavnost preizkusa oz. stopnjo pravilno rešene naloge. Naloga z indeksom težavnosti pod 0,3 je zelo težka, nad 0,7 pa zelo lahka. Cilje sem razvrstila tudi na vsebinska področja in jih analizirala. Preverila sem hipoteze in ugotovitve prikazala na stolpčnem oz. kolobarnem diagramu. 25

37 7.3 Hipoteze Splošna hipoteza Uspeh učencev na tekmovanju Mednarodni matematični Kenguru je povezan s snovjo, obravnavano v tekočem šolskem letu in opredeljeno v učnem načrtu Specifične hipoteze H1: Na tekmovanju Mednarodni matematični Kenguru učenci naloge s področja geometrije in merjenja rešujejo najslabše. H2: Na tekmovanju Mednarodni matematični Kenguru učenci naloge s področja aritmetike in algebre rešujejo najbolje. H3: Na tekmovanju Mednarodni matematični Kenguru učenci naloge, ki zajemajo kognitivno področje reševanja in raziskovanja problemov, rešujejo bolje. H4: Na tekmovanju Mednarodni matematični Kenguru učenci 8. razreda naloge, katerih vsebina je obravnavana v 8. razredu po učnem načrtu devetletne osnovne šole, rešujejo bolje. H5: Na tekmovanju Mednarodni matematični Kenguru učenci 8. razreda naloge rešujejo boljše kot učenci 9. razreda devetletne osnovne šole. 26

38 8 OSNOVNI STATISTIČNI PODATKI 8.1 Tekmovanje Mednarodni matematični Kenguru Izhodišča tekmovanja Mednarodni matematični Kenguru Predmetna komisija je pred pripravo preizkusa opredelila strukturo preizkusa: čas reševanja, število nalog, vsebinska področja in razmerje med taksonomskimi ravnmi nalog glede na Gagnejevo taksonomijo znanja. Tabela 5: Shema preizkusa OPIS PREDVIDENI ČAS DELEŽ V SKUPNEM ŠTEVILU TOČK PREIZKUS Do 24. nalog 90 minut 100% Tabela 6: Tipi nalog in vrednotenje TIPI NALOG DELEŽ NALOG VREDNOTENJE Naloge izbirnega tipa: povezovanja in urejanja 100% Naloge so ovrednotene s točkami od 3 do 5 točk. Vsak tekmovalec ima začetnih 24 točk. Točkovanje nalog sledi naslednjim pravilom: za pravilen odgovor se prizna toliko točk, kot je naloga vredna; za nepravilen odgovor se odbije 1/4 točk, kot je naloga vredna; za neodgovarjanje ali obkroženih več odgovorov se prizna 0 točk; da bi se izognili morebitnemu negativnemu končnemu dosežku, se tekmovalcem v vsaki kategoriji prizna ustrezno število začetnih točk; 27

39 od 1. do 8. naloge: za pravilen odgovor se tekmovalcu prizna 3 točke, za nepravilen odgovor pa se tekmovalcu odbije 0,75 točk; od 9. do 16. naloge: za pravilen odgovor se tekmovalcu prizna 4 točke, za nepravilen odgovor pa se tekmovalcu odbije 1 točka; od 17. do 24. naloge: za pravilen odgovor se tekmovalcu prizna 5 točk, za nepravilen odgovor pa se tekmovalcu odbije 1,25 točk. Tabela 7: Sestava preizkusa glede na taksonomske ravni (Gagnejeva lestvica) RAVNI ZAHTEVANEGA ZNANJA DELEŽ 1. Poznavanje in razumevanje pojmov in dejstev 37,5 % 2. Izvajanje rutinskih postopkov 45,8 % 3. Uporaba kompleksnih postopkov 8,3 % 4. Reševanje in raziskovanje problemov 58,3 % Tabela 8: Vsebinska razdelitev preizkusa ARITMETIKA IN GEOMETRIJA IN PODATKI ALGEBRA MERJENJE 33,3 % 54,2 % 12,5 % Osnovni podatki za Slovenijo Na tekmovanju Mednarodni matematični Kenguru je sodelovalo 7247 učencev 8. razreda in 6538 učencev 9. razreda devetletne osnovne šole. Vseh tekmovalcev je bilo

40 9 ANALIZA DOSEŽKOV TEKMOVANJA MEDNARODNI MATEMATIČNI KENGURU PO NALOGAH Število učencev iz 8. razreda in 9. razreda devetletne osnovne šole, ki so sodelovali na Mednarodnem tekmovanju Kenguru, je bilo naloga: Tekmovanje Mednarodni matematični Kenguru, ki traja 1 h in 30 min, se je začelo ob Točno na sredi tekmovanja je v učilnico priletela čebela. Koliko je bila ura, ko se je to zgodilo? (A) (B) (C)13.35 (D)13.45 (E)14.20 Pravilni odgovor: C. Cilji: uporabljati standardne enote za čas in poznati pomen njihove uporabe (praktično merjenje). Področje: geometrija in merjenje. Sklop: merjenje časa. Kognitivno področje: izvajanje rutinskih postopkov. Razred obravnave po učnem načrtu: 5. razred. Na prvo vprašanje je pravilno odgovorilo 6046 učencev 8. razreda (83,43 %) in 5115 učencev 9. razreda (87,23 %). 29

41 Graf 2: Odstotek učencev, ki so pravilno odgovorili na 1. nalogo razred 9. razred Indeks težavnosti je 0,81, kar nam pove, da je bila naloga zelo lahka in da tekmovalci niso imeli večjih težav. 30

42 2. naloga: Če črko 2-krat prezrcalimo, dobimo v spodnjem desnem kotu (glej levo sliko). Kaj dobimo v spodnjem desnem kotu, če 2 krat na enak način prezrcalimo črko (glej desno sliko)? Pravilni odgovor: C. Cilji: prepoznati osnovne transformacije (zrcaljenje) in njihove lastnosti; narisati zrcalno sliko črke čez premico. Področje: geometrija in merjenje. Sklop: transformacije. Kognitivno področje: izvajanje rutinskih postopkov. Razred obravnave po učnem načrtu: 7. razred Na drugo vprašanje je pravilno odgovorilo 6158 učencev 8. razreda (84,97 %) in 5109 učencev 9. razreda (87,15 %). 31

43 Graf 3: Odstotek učencev, ki so pravilno odgovorili na 2. nalogo razred 9. razred 20 0 Indeks težavnosti je 0,82, kar nam pove, da je bila naloga zelo lahka in da tekmovalci niso imeli večjih težav. 32

44 3. naloga: Koliko je vrednost izraza ? (A) 389 (B) 394 (C) 396 (D) 404 (E) 405 Pravilni odgovor: D. Cilji: uporabiti računske zakone; izračunati vrednost številskega izraza; oceniti rezultat in izračunati natančno vrednost. Področje: aritmetika in algebra. Sklop: naravna števila, računske operacije, lastnosti operacij, izrazi. Kognitivno področje: izvajanje rutinskih postopkov. Razred obravnave po učnem načrtu: 6. razred. Na 3. vprašanje je pravilno odgovorilo 6303 učencev 8. razreda (86,97 %) in 5770 učencev 9. razreda (88,25 %). 33

45 Graf 4: Odstotek učencev, ki so pravilno odgovorili na 3. nalogo razred 9. razred 20 0 Indeks težavnosti je 0,87, kar nam pove, da je bila naloga zelo lahka in da tekmovalci niso imeli večjih težav. 34

46 4. naloga: Miha in Klara živita v isti stolpnici. Klara živi 12 nadstropij nad Mihom. Nekega dne je šel Miha po stopnicah obiskat Klaro. Na ½ poti je bil v 8. nadstropju. V katerem nadstropju živi Klara? (A) 12. (B) 14. (C) 16. (D) 20. (E) 24. Pravilni odgovor:b. Cilji: rešiti preproste besedilne naloge. Področje: aritmetika in algebra. Sklop: naravna števila, računske operacije, lastnosti operacij, izrazi. Kognitivno področje: izvajanje rutinskih postopkov; reševanje in raziskovanje problemov. Razred obravnave po učnem načrtu: 6. razred. Na 4. vprašanje je pravilno odgovorilo 3170 učencev 8. razreda (43,74 %) in 3409 učencev 9. razreda (52,14 %). 35

47 Graf 5: Odstotek učencev, ki so pravilno odgovorili na 4. nalogo razred 9. razred 20 0 Indeks težavnosti je 0,48.Menim, da so imeli učenci največ težav pri uporabi ustrezne strategije pri reševanju besedilne naloge. 36

48 5. naloga: Koliko simetral ima figura s kenguruji (glej sliko)? (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 4 (E) Več kot 4. Pravilni odgovor: C. Cilji: prepoznati osnovne transformacije; poznati pojem simetrale; prepoznati in poiskati osno simetrične množice točk in jim določiti simetrale. Področje: geometrija in merjenje. Sklop: transformacije. Kognitivno področje: izvajanje rutinskih postopkov. Razred obravnave po učnem načrtu: 7. razred. Na 5. vprašanje je pravilno odgovorilo 4215 učencev 8. razreda (58,16 %) in 3653 učencev 9. razreda (55,87 %). 37

49 Graf 6: Odstotek učencev, ki so pravilno odgovorili na 5. nalogo razred 9. razred Indeks težavnosti je 0,57. Menim, da učenci uspešno prepoznajo osnovno transformacijo, nekaj težav pa imajo pri prepoznavi osno simetričnih množic točk in določitvi njihovih simetral. 38

50 6. naloga: Matic je v prazno škatlo v obliki kocke zložil 8 enako velikih igralnih kock in škatlo zaprl. Igralne kocke so škatlo povsem napolnile. Koliko igralnih kock je bilo na dnu škatle? (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5 Pravilni odgovor: D. Cilji: izračunati obseg in ploščino pravokotnika in kvadrata z uporabo obrazcev in ju uporabljati pri izračunu prostornine kocke in kvadra; s premislekom ugotoviti neznano količino iz preprostega obrazca z geometrijsko vsebino. Področje: geometrija in merjenje. Sklop: geometrijske oblike in merjenje. Kognitivno področje: poznavanje in razumevanje pojmov in dejstev; reševanje in raziskovanje problemov. Razred obravnave po učnem načrtu: 8. razred. Na 6. vprašanje je pravilno odgovorilo 6167 učencev 8. razreda (85,10 %) in 5706 učencev 9. razreda (87,27 %). 39

51 Graf 7: Odstotek učencev, ki so pravilno odgovorili na 6. nalogo razred 9. razred Indeks težavnosti je 0,86, kar nam pove, da je bila naloga zelo lahka. Menim, da učenci niso imeli večjih težav. 40

52 7. naloga: Vrednost katerega izraza je enaka obsegu lika na sliki, ki ima vsaki 2 sosednji stranici pravokotni? (A) (B) (C) (D) (E) Pravilni odgovor: E. Cilji: poznati pojem večkotnika; uporabljati osnovne strategije za določanje obsega večkotnika. Področje: geometrija in merjenje. Sklop: geometrijske oblike. Kognitivno področje: poznavanje in razumevanje pojmov in dejstev. Razred obravnave po učnem načrtu: 8. razred. Na 7. vprašanje je pravilno odgovorilo 3838 učencev 8. razreda (52,96 %) in 4415 učencev 9. razreda (67,53 %). 41

53 Graf 8: Odstotek učencev, ki so pravilno odgovorili na 7. nalogo razred 9. razred Indeks težavnosti je 0,60, kar nam pove, da je bila naloga dokaj lahka. Menim, da so imeli učenci največ težav pri uporabi strategije za določanje obsega večkotnika. 42

54 8. naloga: V kvadratni škatli je 7 enako velikih pravokotnih ploščic (glej sliko). Najmanj koliko ploščic moramo premakniti, ne da bi jih dvignili iz škatle, da bo v škatli prostor še za 1 enako veliko pravokotno ploščico? (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5 Pravilni odgovor: C. Cilji: poznati pojem kvadrata in pravokotnika in njune osnovne lastnosti; rešiti problemsko nalogo, povezano z vsakdanjim življenjem, in zavzeti kritičen odnos do rezultata. Področje: geometrija in merjenje. Sklop: geometrijske oblike. Kognitivno področje: uporaba kompleksnih postopkov; reševanje in raziskovanje problemov. Razred obravnave po učnem načrtu: 7. razred. Na 8. vprašanje je pravilno odgovorilo 4914 učencev 8. razreda (67,81 %) in 4810 učencev 9. razreda (73,57 %). 43

55 Graf 9: Odstotek učencev, ki so pravilno odgovorili na 8. nalogo razred 9. razred Indeks težavnosti je 0,70, kar nam pove, da je bila naloga zelo lahka in učenci niso imeli večjih težav. 44

56 9. naloga: Polno natovorjen trajekt lahko hkrati pelje 10 osebnih avtomobilov ali 6 tovornjakov. V torek je trajekt peljal 5-krat, vsakič je bil polno natovorjen, vsakič je peljal zgolj osebne avtomobile ali zgolj tovornjake, prepeljal pa je 42 vozil. Koliko osebnih avtomobilov je v torek prepeljal trajekt? (A) 10 (B) 12 (C) 20 (D) 22 (E) 30 Pravilni odgovor: E. Cilji: rešiti preproste besedilne naloge; rešiti problemsko nalogo, povezano z vsakdanjim življenjem, in zavzeti kritičen odnos do rezultata. Področje: aritmetika in algebra. Sklop: naravna števila, računske operacije, lastnosti operacij, izrazi. Kognitivno področje: izvajanje rutinskih postopkov; reševanje in raziskovanje problemov. Razred obravnave po učnem načrtu: 6. razred. Na 9. vprašanje je pravilno odgovorilo 5389 učencev 8. razreda (74,36 %) in 5183 učencev 9. razreda (79,29 %). 45

57 Graf 10: Odstotek učencev, ki so pravilno odgovorili pri 9. nalogi razred 9. razred Indeks težavnosti je 0,77, kar nam pove, da je bila naloga zelo lahka. Učenci niso imeli večjih težav. 46

58 10. naloga: Manca je narisala 6 oglišč pravilnega šestkotnika (glej sliko). Nato je z ravnimi črtami povezala nekaj oglišč, tako da je nastal geometrijski lik. Katerega izmed naštetih likov Manca ni mogla narisati? (A) trapeza (B) pravokotnega trikotnika (C) kvadrata (D) deltoida (E) topokotnega trikotnika Pravilni odgovor: C. Cilji: poznati pojem trikotnika, štirikotnika, večkotnika in njihove lastnosti. Področje: geometrija in merjenje. Sklop: geometrijske oblike. Kognitivno področje: poznavanje in razumevanje pojmov in dejstev. Razred obravnave po učnem načrtu: 7. razred in 8. razred. Na 10. vprašanje je pravilno odgovorilo 4623 učencev 8. razreda (63,79 %) in 4516 učencev 9. razreda (69,07 %). 47

59 Graf 11: Odstotek učencev, ki so pravilno odgovorili na 10. nalogo razred 9. razred Indeks težavnosti je 0,66, kar nam pove, da je bila naloga dokaj lahka. Menim, da so imeli učenci največ težav pri prepoznavi večkotnikov in njihovih lastnosti. 48

60 11. naloga: Jernej je napisal 7 zaporednih naravnih števil. Ugotovil je, da je vsota 3 najmanjših napisanih števil 33. Koliko je vsota 3 največjih števil, ki jih je napisal Jernej? (A) 37 (B) 39 (C) 42 (D) 45 (E) 48 Pravilni odgovor: D. Cilji: oblikovati zaporedja naravnih števil. Področje: aritmetika in algebra. Sklop: naravna števila. Kognitivno področje: poznavanje in razumevanje pojmov; uporaba kompleksnih postopkov. Razred obravnave po učnem načrtu: 7. razred. Na 11. vprašanje je pravilno odgovorilo 4078 učencev 8. razreda (56,27 %) in 4397 učencev 9. razreda (67,25 %). 49

61 Graf 12: Odstotek učencev, ki so pravilno odgovorili na 11. nalogo razred 9. razred Indeks težavnosti je 0,61, kar nam pove, da je naloga dokaj lahka. Menim, da so imeli učenci največ težav pri oblikovanju danega zaporedja. 50

62 12. naloga: Časopis Dnevne novice ima 60 strani. Časopis pripravijo tako, da položijo enega na drugega 15 velikih na obeh straneh potiskanih listov papirja in jih nato vse skupaj prepognejo na polovici. Na vsakem listu papirja so 4 strani časopisa, na primer, na spodnjem velikem listu papirja so strani 1, 2, 59, 60. Nekega dne je stroj položil enega na drugega samo 14 velikih listov papirja. Tiskar je ugotovil, da v časopisu manjka 7.stran. Katere 3 strani so še manjkale v časopisu? (A) 8., 9. in 10. (B)8., 42. in 43. (C)8., 48. in 49. (D)8., 52. in 53. (E)8., 53. in 54. Pravilni odgovor: E. Cilji: oblikovati zaporedje naravnih števil; v množici naravnih števil nadaljevati dano zaporedje. Področje: aritmetika in algebra. Sklop: naravna števila. Kognitivno področje: izvajanje rutinskih in kompleksnih postopkov; reševanje in raziskovanje problema. Razred obravnave po učnem načrtu: 7. razred. Na 12. vprašanje je pravilno odgovorilo 3454 učencev 8. razreda (47,66 %) in 3834 učencev 9. razreda (58,64 %). 51

63 Graf 13: Odstotek učencev, ki so pravilno odgovorili na 12. nalogo razred 9. razred Indeks težavnosti je 0,53. Menim, da so imeli učenci največ težav v množici celih števil nadaljevati dano zaporedje. 52

64 13. naloga: Mravlja Anja je hodila po črtah preglednice na naslednji način: pot je začela in končala v točki A, šla je čez vse odebeljene dele črt, točka A je bila edina točka, v kateri je bila 2-krat (glej sliko). Najmanj koliko kvadratnih polj preglednice je znotraj poti, po kateri je hodila mravlja Anja? (A) 8 (B) 9 (C) 10 (D) 11 (E) 13 Pravilni odgovor: A. Cilji: usvojiti pojem orientacije; označiti oglišča danega lika v zahtevani orientaciji. Področje: geometrija in merjenje. Sklop: geometrijske oblike. Kognitivno področje: reševanje in razumevanje pojmov in dejstev. Razred obravnave po učnem načrtu: 7. razred. Na 13. vprašanje je pravilno odgovorilo 2225 učencev 8. razreda (30,70 %) in 2345 učencev 9. razreda (35,87 %). 53

65 Graf 14: Odstotek učencev, ki so pravilno odgovorili na 13. nalogo razred 9. razred Indeks težavnosti je 0,33. Menim, da so imeli učenci največ težav pri označbi oglišča danega lika v zahtevani orientaciji. 54

66 14. naloga: Če preštejemo točke, ki so razporejene v mreži velikosti 4x4, na 2 načina, vidimo, da je = 4 4 (glej sliko). Koliko je ? (A) (B) (C) (D) (E) Pravilni odgovor: B. Cilji: znati nadaljevati dano zaporedje ali ga oblikovati. Področje: aritmetika in algebra. Sklop: realna števila. Kognitivno področje: poznavanje in razumevanje pojmov in dejstev; izvajanje rutinskih postopkov. Razred obravnave po učnem načrtu: 8. razred. Na 14. vprašanje je pravilno odgovorilo 4496 učencev 8. razreda (62,04 %) in 4630 učencev 9. razreda (70,82 %). 55

67 Graf 15: Odstotek učencev, ki so pravilno odgovorili na 14. nalogo razred 9. razred Indeks težavnosti je 0,66, kar nam pove, da je naloga dokaj lahka. Menim, da so imeli učenci največ težav pri oblikovanju danega zaporedja. 56

68 15. naloga: Koliko dobimo, če od vsote prvih 100 sodih naravnih števil odštejemo vsoto prvih 100 lihih naravnih števil? (A) 0 (B) 50 (C) 100 (D) (E) Pravilni odgovor: C. Cilji: v množici naravnih števil nadaljevati dano zaporedje ali ga oblikovati; oceniti rezultat in izračunati natančno vrednost. Področje: aritmetika in algebra. Sklop: naravna števila. Kognitivno področje: poznavanje pojmov in dejstev; izvajanje rutinskih postopkov. Razred obravnave po učnem načrtu: 7. razred. Na 15. vprašanje je pravilno odgovorilo 1574 učencev 8. razreda (21,72 %) in 1654 učencev 9. razreda (25,30 %). 57

69 Graf 16: Odstotek učencev, ki so pravilno odgovorili na 15. nalogo razred 9. razred Indeks težavnosti je 0,23. Naloga je bila učencem pretežka. Menim, da večina učencev ni znala oblikovati danega zaporedja. 58

70 16. naloga: Na vsako polje preglednice 4x4 je položena igralna karta (glej sliko). Alen lahko v 1 potezi zamenja katerikoli 2 karti. Najmanj koliko potez mora narediti Alen, da bodo v vsaki vrstici in v vsakem stolpcu karte s 4 različnimi znaki? (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5 Pravilni odgovor: B. Cilji: usvojiti pojem orientacije. Področje: geometrija in merjenje. Sklop: geometrijske oblike. Kognitivno področje: reševanje in raziskovanje problemov; poznavanje in razumevanje pojmov. Razred obravnave po učnem načrtu: 7. razred. Na 16. vprašanje je pravilno odgovorilo 2025 učencev 8. razreda (27,94 %) in 1918 učencev 9. razreda (29,34 %). 59

71 Graf 17: Odstotek učencev, ki so pravilno odgovorili na 16. nalogo razred 9. razred Indeks težavnosti je 0,29, kar nam pove, da je bila naloga učencem pretežka. Menim, da večina učencev ni znala izbrati pravilne strategije reševanja. 60

72 17. naloga: Kolikšen del kvadrata je pobarvan (glej sliko)? (A) 1/3 (B) 1/4 (C) 1/5 (D) 3/8 (E) 2/9 Pravilni odgovor: A. Cilji: uporabljati osnovne strategije za določanje obsega in ploščine večkotnika (npr. uporaba obrazca, merjenje, razbitje na trikotnike). Področje: geometrija in merjenje. Sklop: geometrijske oblike. Kognitivno področje: reševanje in raziskovanje problemov. Razred obravnave po učnem načrtu: 8. razred. Na 17. vprašanje je pravilno odgovorilo 3206 učencev 8. razreda (44,24 %) in 3332 učencev 9. razreda (50,96 %). 61

73 Graf 18: Odstotek učencev, ki so pravilno odgovorili na 17. nalogo razred 9. razred Indeks težavnosti je 0,47. Menim, da so imeli učenci največ težav pri razbitju na trikotnike. 62

74 18. naloga: V piceriji Neapelj sta na vsaki pici paradižnik in sir. Naročiš lahko pico brez dodatkov ali pico z 1 ali 2 izmed 4 dodatkov: gobe, šunka, olive, jajce. pico lahko pripravijo v 3 različnih velikostih. Koliko različnih pic lahko naročiš v piceriji Neapelj? (A) 21 (B) 30 (C) 33 (D) 39 (E) 51 Pravilni odgovor: C. Cilji: predstaviti preprosto kombinatorično situacijo in jo analizirati s kombinatoričnim drevesom. Področje: druge vsebine, obdelava podatkov. Sklop:predstavitve podatkov. Kognitivno področje: reševanje in raziskovanje problemov. Razred obravnave po učnem načrtu:7.razred. Na 18. vprašanje je pravilno odgovorilo 2481 učencev 8. razreda (34,23 %) in 2701 učencev 9. razreda (41,31 %). 63

75 Graf 19: Odstotek učencev, ki so pravilno odgovorili na 18. nalogo razred 9. razred Indeks težavnosti je 0,38. Menim, da so imeli učenci največ težav pri izdelavi kombinatoričnega drevesa in pri štetju kombinatoričnih situacij. 64

76 19. naloga: Kristina je 3 enake kocke zlepila skupaj (glej sliko). Skupno število pik na nasprotnih ploskvah vsake kocke je 7. Koliko je vsota pik na ploskvah, ki so zlepljene skupaj? (A) 12 (B) 13 (C) 14 (D) 15 (E) 16 Pravilni odgovor: C. Cilji:predstaviti preprosto kombinatorično situacijo in jo analizirati s kombinatoričnim drevesom. Področje: druge vsebine, obdelava podatkov. Sklop: predstavitve podatkov. Kognitivno področje: reševanje in raziskovanje problemov. Razred obravnave po učnem načrtu: 7. razred. Na 19. vprašanje je pravilno odgovorilo 3222 učencev 8. razreda (44,46 %) in 3182 učencev 9. razreda (48,67 %). 65

77 Graf 20: Odstotek učencev, ki so pravilno odgovorili na 19. nalogo razred 9. razred Indeks težavnosti je 0,46. Menim, da so imeli učenci največ težav pri izdelavi kombinatoričnega drevesa in pri štetju kombinatoričnih situacij. 66

78 20. naloga: Zlatar Zlatko dela verižice iz enako velikih okroglih členov (glej sliko). Koliko milimetrov je dolga verižica iz 5 členov? (A) 15 (B) 16 (C) 17,5 (D) 19 (E) 20 Pravilni odgovor: B. Cilji: meriti s standardnimi enotami; oceniti dolžino. Področje: geometrija in merjenje. Sklop: merjenje. Kognitivno področje: izvajanje rutinskih postopkov; reševanje in raziskovanje problemov. Razred obravnave po učnem načrtu: 6. razred. Na 20. vprašanje je pravilno odgovorilo 2171 učencev 8. razreda (29,96 %) in 2475 učencev 9. razreda (37,86 %). 67

79 Graf 21: Odstotek učencev, ki so pravilno odgovorili na 20. nalogo razred 9. razred Indeks težavnosti je 0,34. Menim, da večina učencev ni znala izbrati pravilne strategije reševanja. Tukaj bi lahko izpostavila tudi problem časa reševanja nalog. Menim, da je učencem zmanjkalo časa, da bi lahko rešili nalogo. 68

80 21. naloga: Otroci so s pomočjo izštevanke KEN-GU-RU-NI-VEČ-TU določili, kdo bo dobil zadnji kos Larine rojstnodnevne torte. Lara, Nika, Manca, Ines in Aljaž so se po vrsti v smeri urinega kazalca postavili v krog. Lara je določila otroka, pri katerem so začeli izštevati v smeri urinega kazalca. Otrok, pri katerem se je končala izštevanka z zlogom TU, je stopil iz kroga. Preostali so nadaljevali, dokler ni ostal samo še Aljaž. Koga je za začetek izštevanja določila Lara? (A) Laro (B) Niko (C) Manco (D) Ines (E) Aljaža Pravilni odgovor: B. Cilji: znati oblikovati in nadaljevati zaporedje. Področje: aritmetika in algebra. Sklop: naravna števila. Kognitivno področje: reševanje in raziskovanje problemov. Razred obravnave po učnem načrtu: 8. razred. Na 21. vprašanje je pravilno odgovorilo 3536 učencev 8. razreda (48,79 %) in 3723 učencev 9. razreda (56,94 %). 69

81 Graf 22: Odstotek učencev, ki so pravilno odgovorili na 21. nalogo razred 9. razred Indeks težavnosti je 0,53. Menim, da učenci uspešno oblikujejo zaporedje, nekaj težav pa imajo pri nadaljevanju danega zaporedja. Tukaj bi lahko izpostavila tudi problem časa reševanja nalog. Menim, da je učencem zmanjkalo časa, da bi lahko rešili nalogo. 70

82 22. naloga: V štirikotniku ABCD velja IADI = IBCI, CAD = 50, DCA= 65 in ACB = 70 (glej sliko). Koliko stopinj meri kot CBA? (A) 50 (B) 55 (C) 60 (D) 65 (E)Nemogoče je določiti. Pravilni odgovor: B. Cilji: poznati vsoto notranjih kotov ter to uporabiti v preprostih nalogah; poznati odnose med notranjimi koti trikotnika in stranicami trikotnika ter to uporabiti v nalogah. Področje: geometrija in merjenje. Sklop: geometrijske oblike. Kognitivno področje: poznavanje in razumevanje pojmov in dejstev. Razred obravnave po učnem načrtu: 7. razred. Na 22. vprašanje je pravilno odgovorilo 1768 učencev 8. razreda (24,40 %) in 1883 učencev 9. razreda (28,80 %). 71

83 Graf 23: Odstotek učencev, ki so pravilno odgovorili na 22. nalogo razred 9. razred Indeks težavnosti je 0,26. Naloga je bila učencem pretežka. Menim, da večina učencev ne pozna vsote notranjih kotov in jo posledično ne znajo uporabiti v preprostih nalogah. Tukaj bi lahko izpostavila tudi problem časa reševanja nalog. Menim, da je učencem zmanjkalo časa, da bi lahko rešili nalogo. 72

84 23. naloga: Robi je ovil vrvico okrog ploščatega kosa lesa in ga nato položil na mizo (glej sliko). Jana je Robijev kos lesa potisnila z mize, da je z drugo stranjo padel na tla. Na kateri izmed spodnjih slik je lahko Robijev kos lesa? Pravilni odgovor: B. Cilji:predstaviti preprosto logično situacijo in jo analizirati. Področje: druge vsebine, obdelava podatkov. Sklop: predstavitve podatkov. Kognitivno področje:raziskovanje in reševanje problemov. Razred obravnave po učnem načrtu: 7. razred. Na 23. vprašanje je pravilno odgovorilo 2465 učencev 8. razreda (34,01 %) in 2620 učencev 9. razreda (40,07 %). 73

85 Graf 24: Odstotek učencev, ki so pravilno odgovorili na 23. nalogo razred 9. razred Indeks težavnosti je 0,37. Menim, da so imeli učenci največ težav pri izbiri pravilne strategije reševanja. Tukaj bi lahko izpostavila tudi problem časa reševanja nalog. Menim, da je učencem zmanjkalo časa, da bi lahko rešili nalogo. 74

86 24. naloga: Tomaž je papirnat trak 3-krat prepognil na polovici. Ko ga je na koncu ponovno razgrnil, se je videlo, kako je bil trak prepognjen. Na kateri izmed spodnjih slik ne more biti Tomaževega traku? Pravilni odgovor: D. Cilji: poznati osnovne transformacije(zrcaljenje) in njihove lastnosti. Področje: geometrija in merjenje. Sklop: transformacije. Kognitivno področje: izvajanje rutinskih postopkov; reševanje in raziskovanje problemov. Razred obravnave po učnem načrtu: 7. razred. Na 24. vprašanje je pravilno odgovorilo 1442 učencev 8. razreda (19,90 %) in 1483 učencev 9. razreda (22,68 %). 75

87 Graf 25: Odstotek učencev, ki so pravilno odgovorili na 24. nalogo razred 9. razred 20 0 Indeks težavnosti je 0,21, kar nam pove, da je bila naloga učencem pretežka. Menim, da večina učencev problema ni razumela. Tukaj bi lahko izpostavila tudi problem časa reševanja nalog. Menim, da je učencem zmanjkalo časa, da bi lahko rešili nalogo. 76

88 9.1 Težavnost glede na vsebinska področja Aritmetika in algebra Indeks težavnosti pri aritmetičnih in algebrskih nalogah je 0,58. Učenci so zelo uspešni pri računanju vrednosti številskega izraza, pri reševanju preprostih besedilnih nalog ter pri oblikovanju in nadaljevanju danega zaporedja. Najmanj uspešni so pri reševanju naloge, kjer je treba v množici naravnih števil nadaljevati dano zaporedje in izračunati natančno vrednost (15. naloga) Geometrija in merjenje Indeks težavnosti pri geometrijskih nalogah je 0,53. Učenci so zelo uspešni pri uporabi standardne enote za čas, pri prepoznavanju osnovnih transformacij in pri risanju zrcalne slike čez premico, pri računanju prostornine, pri poznavanju pojmov trikotnika, večkotnika in njihovih lastnosti ter pri uporabljanju osnovne strategije za določanje obsega večkotnika. Malo manj so uspešni pri poznavanju pojma simetrale in pri prepoznavanju osno simetrične množice točk in določitvi njenih simetral. Najmanj uspešni so pri reševanju nalog, kjer je treba prepoznati osnovno transformacijo (zrcaljenje) in poznati njene lastnosti (24. naloga) Obdelava podatkov Indeks težavnosti pri obdelavi podatkov je 0,40. Učenci uspešno predstavijo preprosto kombinatorično situacijo in jo analizirajo. Nekoliko slabše rešujejo naloge, kjer je treba predstaviti preprosto logično situacijo in jo analizirati. 77

89 10 OVREDNOTENJE HIPOTEZ H1: Na tekmovanju Mednarodni matematični Kenguru učenci naloge s področja geometrije in merjenja rešujejo najslabše. Graf 26: Odstotki pravilno rešenih nalog s področja geometrije in merjenja Odstotne točke (%) Aritmetika in algebra Geometrija in merjenje Obdelava podatkov Tekmovalci so v povprečju rešili pravilno 58,8 % nalog s področja aritmetike in algebre, 54,1 % nalog s področja geometrije in merjenja ter 40,5 % nalog s področja obdelave podatkov. Naloge s področja geometrije in merjenja so tekmovalci reševali slabše kot naloge s področja aritmetike in algebre, vendar so jih v primerjavi z obdelavo podatkov reševali boljše. Hipoteze, da učenci naloge s področja geometrije in merjenja rešujejo najslabše, ne morem potrditi, saj so učenci naloge s področja obdelave podatkov rešili za 13,6 % slabše. 78

90 H2: Na tekmovanju Mednarodni matematični Kenguru učenci naloge s področja aritmetike in algebre rešujejo najbolje. Graf 27: Odstotki pravilno rešenih nalog s področja aritmetike in algebre Odstotne točke (%) Aritmetika in algebra Geometrija in merjenje Obdelava podatkov Tekmovalci so v povprečju rešili pravilno 58,8 % nalog s področja aritmetike in algebre, 54,1 % nalog s področja geometrije in merjenja ter 40,5 % nalog s področja obdelave podatkov. Torej so učenci naloge s področja aritmetike in algebre rešili najbolje zato lahko hipotezo potrdim. 79

91 H3: Na tekmovanju Mednarodni matematični Kenguru učenci naloge, ki zajemajo kognitivno področje reševanja in raziskovanja problemov, rešujejo bolje. Graf 28: Odstotki pravilno rešenih nalog glede na kognitivna področja Odstotne točke (%) 100,00% 90,00% 80,00% 70,00% 60,00% 50,00% 40,00% 30,00% 20,00% 10,00% 0,00% Poznavanje in razumevanje pojmov Izvajanje rutinskih postopkov Uporaba kompleksnih postopkov Reševanje in raziskovanje problemov Tekmovalci so v povprečju rešili pravilno 50,3 % s področja poznavanja in razumevanja pojmov in dejstev, 58,1 s področja izvajanja rutinskih postopkov, 61,9 % s področja uporabe kompleksnih postopkov in 49,3 % s področja reševanja in razumevanja problemov. Iz grafa je razvidno, da so učenci naloge s kognitivnega področja reševanja in raziskovanja problemov reševali najslabše, zato hipoteze ne morem potrditi. 80

92 H4: Na tekmovanju Mednarodni matematični Kenguru učenci8. razreda naloge, katerih vsebina je obravnavana v 8. razredu po učnem načrtu devetletne osnovne šole, rešujejo bolje. Graf 29: Odstotki pravilno rešenih nalog, katerih vsebina je obravnavana v 8. razredu Odstotne točke (%) 100,00% 90,00% 80,00% 70,00% 60,00% 50,00% 40,00% 30,00% 20,00% 10,00% 0,00% 8. razred 9. razred V povprečju so učenci 8. razreda rešili pravilno 59,5 %, 9. razreda pa 67,1 % nalog, katerih vsebina je bila po učnem načrtu obravnavana v 8. razredu devetletne osnovne šole. Iz grafa je razvidno, da so učenci 9. razreda bolje reševali naloge kot učenci 8. razreda, zato moram hipotezo ovreči. 81