MULTIVERZUM I TOPOLOGIJA VREMENA

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Size: px
Start display at page:

Download "MULTIVERZUM I TOPOLOGIJA VREMENA"

Transcription

1 THEORIA 1 BIBLID : (2013) : 56 : p DOI: /THEO J Originalni naučni rad Original Scientific Paper Vladimir Jevtić MULTIVERZUM I TOPOLOGIJA VREMENA APSTRAKT: Savremene kosmološke teorije kao što su teorija večne haotične inflacije ili novi model branskog univerzuma, koji predstavlja implikaciju savremene teorije struna, povlače egzistenciju skupa aktualnih univerzuma koji čine tzv. multiverzum i čija je eventualna egzistencija naročito relevantna za filozofiju vremena. U ovom radu bavićemo se problemom topologije vremena u multiverzumu. Pokazaćemo da bi topologija vremena u multiverzumu, čiji bi pojedinačni univerzumi bili generisani putem večne haotične inflacije, bila nestandardna i da bi za njen opis poslužio model razgranatog vremena. Osim toga, pokazaćemo da bi eventualno postojanje Kerovih rotirajućih crnih rupa takođe predstavljalo nužan i dovoljan uslov razgranate topologije vremena u jednom takvom multiverzumu. KLJUČNE REČI: Teorijski modeli univerzuma, teorija inflacije, multiverzum, razgranata topologija vremena, Kerove crne rupe. 1. Teorijska i ontološka opravdanost savremenog koncepta multiverzuma Savremene kosmološke teorije impliciraju da naš univerzum predstavlja samo jedan od elemenata čitavog skupa aktualnih univerzuma. Taj skup čini beskonačan ili konačan ali ogroman broj univerzuma od kojih ne bi svi podjednako bili pogodni za život. 1 Multiverzum kao teorijski koncept objašnjava tzv. fina podešavanja kosmoloških parametara bez potrebe pozivanja na bilo kakvo teleološko ili teološko objašnjenje vrednosti fizičkih parametara univerzuma u kome živimo. Takođe, ontološka opravdanost koncepta multiverzuma odnosi se na to da vakuum u M teoriji nije jedinstven, već da predstavlja potpuno ravnopravne načine razbijanja početne simetrije sila u kom smislu bismo imali ogroman broj regiona u kome je došlo do razbijanja simetrije. Multiverzum kao koncept ima značajnu ulogu u filozofiji nauke a naročito u filozofiji vremena jer pred nas postavlja nove koncepte nestandardne topologije vremena kao što ćemo videti u nastavku teksta. 1 I navedena teza važi za svaki mogući oblik života koji ne mora nužno biti baziran na ugljeniku.

2 48 Vladimir Jevtić 2. Teorijski modeli univerzuma i implikacije po topologiju vremena Teorija relativnosti implicira da živimo u prostor vremenskom kontinuumu u kome su prostor i vreme neraskidivo povezani. Opšta teorija relativnosti povlači da svako telo koje poseduje masu deformiše prostor vremenski kontinuum. Časovnik sporije otkucava na površini naše planete nego recimo u njenoj orbiti. Ovo je posledica činjenice da gravitacija ne samo da deformiše okolni prostor, već izaziva i dilataciju vremena. Savremena nauka, eksperimenti kao i kosmološke teorije potpuno su odbacile sliku u kojoj vreme i prostor predstavljaju apsolutne entitete po sebi. Naprotiv, prostor i vreme čine neraskidivo tkanje univerzuma koje je podložno deformacijama u slučaju prostora i dilatacijama u slučaju vremena koje počiva u osnovi brojnih paradoksa kao što je slavni paradoks blizanaca. Teorija Velikog praska implicira da je prostor vreme nastalo u Velikom prasku. Ovo nužno povlači da nema vremena pre Velikog praska što podrazumeva da živimo u univerzumu koji se odlikuje nestandardnom topologijom koja podrazumeva da je vreme nastalo u jednom trenutku, pre oko 13,7 milijardi godina, ali ovo takođe povlači i da vreme predstavlja linearni kontinuum. Naravno, sasvim je legitimno pozvati se na mogućnost kvantizacije vremena i tvrditi da samo vreme ne predstavlja linearni kontinuum, ali time ne bismo izbegli hipotezu da je samo vreme ipak imalo početak u jednom trenutku. Ovo znači da naš univerzum postoji u samo jednoj vremenskoj grani i da ne dolazi do grananja prostorvremenskih realnosti bez obzira na pomenutu mogućnost kvantizacije samog vremena. Da li će sada vreme imati kraj, zavisi od toga u kom modelu univerzuma živimo, jer svako razmatranje prirode vremena mora da uključi i osobine prostora, odnosno prirode našeg univerzuma. Pošto se ovaj rad bavi pitanjem topologije vremena neophodno je prethodno pristupiti analizi različitih kosmoloških modela jer od pomenutih modela takođe zavisi i topologija vremena u univerzumu. Videćemo da svi ovi modeli povlače tzv. nestandardnu topologiju vremena koja bi se odlikovala početkom koji bi predstavljao sam trenutak velikog praska. Međutim, iako svi ovi modeli podrazumevaju da je kosmos imao početak u vremenu, oni se razlikuju po pitanju toga da li vreme ima i svoj kraj. Videćemo da je ovo upravo implikacija tzv. zatvorenog modela kosmosa. Budućnost našeg univerzuma zavisi od tri parametra, odnosno od vrednosti gustine materije (Ω), Hablove konstante koja određuje stopu širenja svemira (H) kao i od kosmološke konstante, odnosno od negativne energije vakuma, koja predstavlja podvrstu jednog opštijeg pojma naime, tzv. tamne energije koja uzrokuje širenje prostora u našem kosmosu (λ). Na osnovu ovih vrednosti predložena su tri modela kosmosa koji su predstavljeni na slici.

3 Multiverzum i topologija vremena 49 Različiti modeli univerzuma koji se međusobno razlikuju u pogledu geometrije prostora. Prvi model sa geometrijom sfere predstavlja tzv. zatvoreni univerzum u kome je vrednost gustine materije veća od 1, Ω>1. Drugi model, koji je predstavljen u vidu zakrivljene geometrije sedla, jeste univerzum otvorenog tipa u kome će prostor pod dejstvom kosmološke konstante λ, nastaviti da se večno širi. Vrednost gustine materije u ovom tipu univerzuma manja je od 1, Ω<1. Treći model predstavlja geometriju ravnog univerzuma u kome je vrednost gustine materije tačno 1, Ω=1. Prema ovom modelu ekspanzija prostora će se večno usporavati ali kosmološka konstanta nikada neće dostići vrednost koja je tačno nula, što znači da će univerzum ovog tipa večno usporavati širenje. Nedavna osmatranja kosmičkog pozadinskog zračenja kao i proračuni gustine materije u kosmosu upućuju na to da mi živimo u ovom tipu univerzuma. Prostor u prvom modelu se odlikuje pozitivnom zakrivljenošću i u njemu zbir uglova u trouglu je veći od 180º. U drugom modelu, prostor poseduje negativnu zakrivljenost tako da je zbir uglova manji od 180º. Konačno, treći model predstavlja nultu zakrivljenost prostora u kojoj zbir uglova iznosi tačno 180º. 1. H, Hablova konstanta, koja je ime dobila po Edvinu Hablu koji je prvi odredio stopu širenja našeg univerzuma, predstavlja stopu širenja svemira. 2. Ω, Omega predstavlja vrednost gustine materije u univerzumu. Ova vrednost se odnosi i na tamnu materiju čija priroda nam još uvek nije poznata.

4 50 Vladimir Jevtić 3. λ, Lambda predstavlja kosmološku konstantu ili energiju vakuma koja izaziva ekspanziju prostora, odnosno tzv. tamnu energiju sa čijom prirodom još uvek nismo dovoljno upoznati. Proračun ovih vrednosti nam može dati model univerzuma u kome živimo, takođe i konačna sudbina univerzuma zavisi od ovih modela. Naime, tzv. zatvoreni model, koji ima geometriju sfere, podrazumeva da mi živimo na trodimenzionalnoj zakrivljenoj površini sfere plus dimenzija vremena. 2 Širenje ovog tipa univerzuma će se nakon određenog vremena zaustaviti, jer je vrednost gustine materije u ovom modelu veća od 1. Pojednostavljeno, materija je svojim privlačnim gravitacionim dejstvom zakrivila prostor vreme u sferu koja je konačna. Nakon što se širenje univerzuma zaustavi, započeće njegovo sažimanje koje će na kraju dovesti do toga da sva materija i energija ovog modela bude sabijena u početni singularitet iz koga je po teoriji velikog praska univerzum i nastao. Da li će ovo sažimanje pritom izazvati novo širenje koje bi predstavljalo novi ciklus, ostaje otvoreno pitanje koje bi takođe moglo imati implikacije po topologiju vremena. Vreme bi u slučaju zatvorenog modela i samo bilo zatvoreno. Ono bi se okončalo u novom velikom sažimanju, što je implicirano teorijom velikog praska, nezavisno od toga da li bi nakon tog kraja sledio hipotetički novi početak. U ovom slučaju, topologija vremena bi nalikovala topologiji duži jer bi imala početak i kraj, ali bi i dalje predstavljala linearni kontinuum. U otvorenom i ravnom modelu univerzuma (ova dva modela bi imala istu topologiju poluprave tj, vreme bi počelo u velikom prasku ali se nikada ne bi okončalo u velikom sažimanju koje bi predstavljalo kraj vremena u univerzumu zatvorenog tipa) i samo vreme bi bilo otvoreno. Ovo znači da bi vreme bilo beskonačno jer u ovim modelima u univerzumu nema dovoljno materije koja bi zaustavila širenje kosmosa i na kraju prouzrokovala njegovo sažimanje koje bi na kraju okončalo i samo vreme u početnom singularitetu. Veoma je važno da primetimo da navedeni modeli kosmosa uprkos tome što podrazumevaju nestandardnu topologiju vremena koja se odlikuje početkom i/ili krajem predstavljaju linearne topološke modele. U nastavku ćemo videti da multiverzum odstupa i od ove slike i da u slučaju mnoštva univerzuma trebamo prihvatiti tezu da je i samo vreme razgranato što sledi iz Ajnštajnove teorije u kojoj prostor i vreme čine nerazdvojivi kontinuum. Egzistencija multiverzuma bi podrazumevala vreme koje bi zapravo imalo beskonačno mnogo početaka. 2 Ostavićemo sada po strani teorijske modele koji povlače da se više dimenzije nalaze unutar sfere po kojima bi naš univerzum predstavljao određeni vid holograma koji je redukovan na manji broj dimenzija. Isto tako za naše razmatranje nisu relevantni modeli koji podrazumevaju kompleksnu i višestruko povezanu topologiju svemira.

5 Multiverzum i topologija vremena Multiverzum i razgranata topologija vremena Implikacija teorije večne haotične inflacije 3 glasi da se veliki prasak, koji predstavlja trenutak u kome je usled kvantnih fluktacija u tzv. kvantnoj peni došlo do nasumične inflacije jedne oblasti, nije dogodio samo jednom. Odatle pak sledi da postoji multiverzum koji se sastoji od pojedinačnih univerzuma od kojih je svaki nastao u velikom prasku, a iz teorije opšte relativnosti sledi da svaki univerzum koji čini dati multiverzum ili superverzum, čini jedinstveni prostorvremenski kontunuum. U tom slučaju, ukoliko bi se navedena teorija pokazala kao relevantna, onda bi nužan i dovoljan uslov razgranate topologije vremena predstavljala činjenica da pojedinačni univerzumi imaju zajednički početak tj. da predstavljaju regione koji su zajedno prošli kroz period inflacije bez obzira što bi se kasnije njihova evolucija odvijala na zaseban način. U svom radu 4 Alan Gut je pokazao da model multiverzuma koji se nalazi u stanju večne inflacije treba da ima beskonačnu budućnost ali da teorija nije u stanju da objasni početak multiverzuma u smislu da je potrebna sasvim nova fizika koja bi opisala granične uslove koji su vladali na početku. Međutim, ovo pitanje bi, čini se, moglo da se reši ukoliko postuliramo da je topologija vremena u multiverzumu razgranata bez jednog tačno određenog početka. U tom slučaju trebalo bi da odbacimo koncept linearnog vremenskog kontinuuma. Naime, naveli smo da Ajnštajnova teorija implicira prostor vremenski kontinuum koji povlači da se topologijom vremena ne možemo baviti nezavisno od toga koji smo kosmološki model usvojili. Osim toga, teorijski model multiverzuma u saglasnosti je sa većinom kosmoloških teorija, ali on takođe i nudi zanimljiva predviđanja i objašnjenja. Ukoliko sada prihvatimo egzistenciju jednog ovakvog skupa univerzuma, čini se da takođe moramo da prihvatimo i razgranatu topologiju vremena koja bi predstavljala jednu nestandardnu sliku u kojoj vreme ne predstavlja linearni kontinuum, već poseduje beskonačan broj početaka, što implicira teorija večne inflacije, jer sa nastankom svakog novog univerzuma nastaje i nova istorija s obzirom da prostor i vreme predstavljaju neodvojivu celinu. U nastavku ćemo pokušati da dodatno potkrepimo ovu tvrdnju. Klasična i intuitivna slika koju imamo o vremenu, nezavisno od implikacija naučnih teorija, podrazumeva da je vreme beskonačno, odnosno da nema početka isto tako kao što nema ni kraja. Takva standardna slika mogla bi da se opiše linearnom topologijom, odnosno topologijom prave koja nema početak ni kraj. Ova intuitivna slika je međutim u saglasnosti sa teorijama večnog stanja univerzuma koje pak nisu u saglasnosti sa našim opažanjem. Pomenuti modeli večnog stanja, za 3 Vidi: Linde A.D. Eternally existing self-reproducing chaotic inflationary universe, aug Physics Letters, Vol N o 4. 4 Vidi: Guth Alan, Eternal inflation and its implications, feb arxiv:hep-th/ v1

6 52 Vladimir Jevtić razliku od opšte prihvaćene teorije velikog praska, ne uključuju trenutak u kome je nastalo samo prostor vreme. Međutim ove teorije su odbačene zahvaljujući Edvinu Hablu koji je otkrio činjenicu da se kosmos širi kao i Rodžeru Penrouzu i Stiven Hokingu koji su matematičkim putem potvrdili da živimo u kosmosu koji se može opisati modelom toplog velikog praska Aleksandra Fridmana i Žorža Lemetra. U slučaju modela koji je opisan putem teorije velikog praska moramo da prihvatimo tezu da je vreme imalo početak u jednom trenutku, što pak povlači da je topologija vremena u našem univerzumu takva da u geometrijskom smislu odgovara polupravi, jer smo ranije već pomenuli da najnovija osmatranja upućuju na to da mi živimo u univerzumu koji će nastaviti sa ekspanzijom iz čega sledi da vreme neće imati kraj. Međutim, ono što je važno za naše razmatranje jeste činjenica da ukoliko uzmemo u obzir implikacije savremenih kosmoloških teorija, kao što je teorija večne haotične inflacije, mi zapravo živimo u kosmosu koji predstavlja samo jedan element čitavog skupa pojedinačnih univerzuma. Pokušaćemo da pokažemo da egzistencija multiverzuma podrazumeva razgranatu topologiju vremena. Videćemo da se topologija linearnog tipa po samoj definiciji prostor vremenskog kontinuuma ne može primeniti na multiverzum. Pretpostavimo sada da je naš univerzum samo jedan element mnogo većeg, možda beskonačnog skupa koji predstavlja multiverzum. Možemo da postavimo pitanje kakva će biti topologija tih pojedinačnih kosmosa? Mi još uvek možemo da tvrdimo da će topologija pojedinih univerzuma biti linearna a da li će ona biti otvorena ili zatvorena to pak zavisi od vrednosti pomenutih parametara koji po teoriji haotične inflacije mogu i moraju varirati. Suština je u tome da svaki univerzum predstavlja kontinuum po sebi. Iz ovoga ne bi smo mogli da tvrdimo da je topologija vremena u multiverzumu razgranata prosto zato što ako pojedinačni univerzumi ne bi bili kauzalno povezani mi bi smo imali puki skup pojedinačnih univerzuma čija bi topologija bila linearna odnosno: neka su E1, E2, E3, E4 En različiti kosmosi koji se ne nalaze u kauzalnom odnosu. Iz ovoga ne sledi da konjukcija ovih univerzuma implicira multiverzum koji se odlikuje nestandardnom, razgranatom topologijom vremena, već samo sledi skup međusobno potpuno kauzalno odvojenih kosmosa koji se odlikuju linearnom topologijom, odnosno El1 El2, El3, El4 Eln, čine multiverzum MEln gde Eln predstavlja pojedinačni univerzum koji se odlikuje linearnom topologijom. Nužni i dovoljan uslov da pomenuti pojedinačni univerzumi čine multiverzum čija bi topologija vremena u celosti gledano bila razgranata jeste da pomenuti univerzumi budu u uzročno posledičnoj vezi, odnosno da imaju jednu zajedničku tačku u svojoj istoriji. Ovaj trenutak predstavljao bi trenutak njihove nasumične geneze iz matičnog prostor-vremena, čiji su regioni zahvaljujuću kvantnim fluktuacijama energije vakuma, kako to implicira teorija večne haotične inflacije, prošli kroz stadijum eksponencijalnog širenja dok nisu dostigli dimenzije poput našeg

7 Multiverzum i topologija vremena 53 kosmosa. Naravno zavisno od vrednosti gornjih parametara, poput energije vakuma ili gustine materije neki univerzumi bi se urušili u sebe i pre nego što bi se u njima stvorili uslovi za kondenzovanje materije iz koje će kasnije nastati zvezde i galaksije. Mi dakle, živimo u jednom takvom univerzumu koji bi mogao da predstavlja tzv. arhipelag nastanjivosti. Ukoliko prihvatimo egzistenciju teorijskih entiteta poput Ajnštajn-Rozenovih mostova koji bi eventualno povezali ne samo udaljene regione našeg kosmosa, već i posebne univerzume koji čine dati skup onda bi smo mogli da zastupamo tezu da se pojedinačni univerzumi nalaze u kauzalnom odnosu što bi nas dodatno obavezalo da prihvatimo i nestandardnu razgranatu topologiju vremena u multiverzumu koja podrazumeva račvanje različitih prostorno vremenskih kontinuuma koji bi predstavljali zasebne univerzume. Ovo bi mogli da predstavimo u vidu sledećeg silogizma: I. Postoji skup pojedinačnih univerzuma od kojih je svaki nastao u jednom velikom prasku II. Svaki univerzum datog skupa čini prostor vremenski kontinuum III. Postoje entiteti koji kauzalno povezuju date univerzume skupa IV. Topologija vremena takvog skupa jeste razgranata Ovo ima veliki značaj za filozofiju vremena jer povlači jednu nestandardnu topologiju vremena koja bi važila ukoliko živimo u univerzumu koji je samo deo jednog mnogo većeg multiverzuma, a što je čini se implikacija većine savremenih kosmoloških teorija. S druge strane, ova teza nas ne bi obavezala da isto tvrdimo i za pojedinačne članove datog skupa jer bi pojedini univerzumi i dalje mogli da se odlikuju linearnom topologijom koja bi mogla da uključi sva tri gore navedena modela u zavisnosti od vrednosti pojedinih fizičkih parametara. Npr. određeni članovi datog multiverzuma bi mogli da imaju zatvoreno vreme, ukoliko njihova vrednost za (Ω) iznosi: Ω>1, ali takva topologija ne bi mogla da se primeni i na čitav skup različitih univerzuma. Naravno, postoji problem koji je oličen u veoma spekulativnom karakteru treće premise jer Kerove rotirajuće crne rupe predstavljaju samo matematičke entitete čija realna egzistencija nije potvrđena ali to logički ne isključuje mogućnost da bi takvi entiteti u budućnosti mogli da se otkriju. Naime, novozelandski fizičar i matematičar Roj Ker (Roy Kerr) postulirao je postojanje tzv. rotirajućih crnih rupa koje bi posledično omogučile putovanje do udaljenih regiona našeg ili drugih univerzuma poput tzv. svemirskih crvotočina koje predviđa i Ajnštajnova teorija opšte relativnosti. 5 5 Zapanjujuće svojstvo takve crne rupe da ukoliko bi ste upali u Kerovu crnu rupu, ne bi ste bili smrskani. Umesto toga, bili biste usisani kroz Ajnštajn-Rozenov most koji vodi do paralelnog univerzuma Kaku Michio, Parallel Worlds. Doubleday. New York, London, Toronto, Sydney, Auckland str. 121.

8 54 Vladimir Jevtić Na budućim opservacijama je da dokažu ili opovrgnu postojanje navedenih entiteta što u svakom slučaju potvrđuje njihov naučni karakter. 6 Međutim da bi smo imali model razgranate topologije vremena ne moramo čak ni postulirati crvotočine jer je nužan uslov da bi smo imali razgranatu topologiju vremena, upravo kao što smo rekli, jedna zajednička tačka u prošlosti koja bi bila zajednička za sve pojedinačne univerzume, bez obzira da li se oni nalaze u kauzalnoj vezi putem crnih rupa ili ne. Tako da su za uvođenje pojma razgranate topologije vremena sasvim dovoljne i implikacije teorije večne haotične inflacije, kao što je predstavljeno na slici, na kojoj od tačke razdvajanja međusobni univerzumi više nisu u kauzalnom odnosu. Razgranata topologija vremena 6 Ovo nalikuje teoriji o tzv. Kosmičkoj prirodnoj selekciji kanadskog teorijskog fizičara Li smolina (Lee Smolin), koja je u nekim aspektima, naročito u pogledu toga da crne rupe predstavljaju mostove do alternativnih univerzuma, veoma slična teoriji Nikodema Poplavskog fizičara sa Univerziteta Indijana. Na ovom mestu je dovoljno reći da i Smolin u svojoj teoriji podrazumeva postojanje multiverzuma koji nije nastao putem večne inflacije već su elementi datog skupa nastali putem crnih rupa koje nužno moraju omogućiti prenos informacija kako bi njegova teorija o prirodnoj selekciji bila održiva. Da li je moguće da se iza horizonta događaja crne rupe nalazi početak drugog univerzuma? Ovaj region koji se uvećava može nastati upravo kao naš univerzum. On može u početnom periodu proći kroz period inflacije i može postati veoma veliki. Ukoliko su uslovi u njemu pogodni onda se mogu formirati galaksije i zvezde, tako da tokom vremena taj novi univerzum može postati kopija našeg sveta. Nakon veoma dugog perioda, postoji mogućnost evolucije inteligentnih bića, koji bi osvrnuvši se na svoju prošlost mogli da poveruju da žive u univerzumu koji je nastao iz tačke beskonačne gustine, pre koje nije bilo vremena. Ali u stvarnosti oni bi živeli u novom područiju prostora i vremena koji je stvoren u eksploziji koja je sledila nakon kolapsa masivne zvezde koji je stvorio crnu rupu u našem svemiru. Vidi: Smolin Lee, Cosmological natural selection, The Life of The Cosmos, Oxford University Press, New York, str. 9 i 10.

9 Multiverzum i topologija vremena 55 Maks Tegmark (Max Tegmark) je u članku koji je objavljen u časopisu Scientific American 7 izložio model multiverzuma u kome protok vremena ne bi bio realan. Naime, ovaj matematički dobro zasnovan model podrazumeva da se razlika između mnoštva univerzuma, koji su inače potpuno identični po pitanju zakona fizike, sastoji samo u sadržaju svesti posmatrača koji su u svim univerzumima takođe identični. Ovaj model implicira da se svaki mogući događaj već dogodio ali u različitim univerzumima a da vreme samo uspostavlja odnos u kome jedan događaj sledi nakon drugog. To implicira da je svaka promena iluzija i da paralelni univerzumi podrazumevaju statične prostor vremenske instance među kojima je odnos sledovanja uspostavljan putem vremena. Ovo podrazumeva ne samo da tok vremena postoji jedino u oku posmatrača, već da su se svi mogući događaji već desili. Ukoliko je to slučaj, onda bi smo čini se živeli u jednom determinisanom univerzumu u kome svesna odluka ne bi imala značaj jer se svaki mogući ishod već dogodio. Šta više, ne vidi se na koji način bi mi mogli i dalje da govorimo o slobodnom izboru je će se svaki ishod neizbežno dogoditi bez obzira šta mi odlučili. Izgleda da ovu čudnu teoriju, koja se, moramo priznati čini veoma neplauzibilnom, možemo da uskladimo sa našom intuicijom jedino ukoliko se pozovemo na razgranatu topologiju vremena. Čini se da je naš model multiverzuma koji se odlikuje razgranatom topologijom jednostavniji i prihvatljiviji od ovog modela jer ne isključuje protok vremena u pojedinačnim članovima datog skupa. U tom slučaju svaki posebni univerzum bi predstavljao nezavisnu linearnu vremensku granu koja ne bi podrazumevala da su se svi mogući događaji već desili u različitim instancama jedinstvenog vremena koje bi se odlikovalo linearnom topologijom. 8 Teorija multiverzuma u eksplanatornom smislu rešava brojne probleme počevši od antropičkih koincidencija pa do poznatih paradoksa u filozofiji vremena koji su vezani za putovanje kroz vreme. 9 Ipak, većina filozofa ima teškoća u prihvatanju teorije o multiverzumu iako je ona implikacija većine savremenih kosmoloških teorija. Postoji ogroman epistemološki problem koji se tiče opservacije paralelnih 7 Evolucija talasne talasne funkcije odgovara večnom sledovanju od jednog od ovih stanja do drugog. Sada ste u univerzumu A, u onom u kome čitate ovu rečenicu. Sada ste u univerzumu B, u kome čitate ovu drugu rečenicu. Drugim rečima, univerzum B sadrži posmatrača koji je identičan posmatraču u univerzumu A, osim dodatnog sećanja. U svakoj instanci postoje sva moguća stanja, tako da protok vremena može postojati jedino u oko posmatrača. Tegmark Max, Scientific American. Maj, Više o modelu tzv. blok univerzuma, vidi: Tegmark Max, Parallel Universes, Scientific American. Maj, Najpozantiji paradoks koji se tiče putovanja kroz vreme jeste tzv. Paradoks dede koji podrazumeva nemogućnost povratka u prošlost i ubistva sopstvenog dede pre nego što je vaš otac i začet. Teorija multiverzuma lako izlazi na kraj sa ovim paradoksom jer ukoliko putujemo kroz vreme mi istovremeno napuštamo našu prostorvremensku granu tak oda posledice naših postupaka ne utiču na naše prostorvreme.

10 56 Vladimir Jevtić univerzuma koji bi predstavljali zasebne prostorvremenske grane. Osim toga, ne vidi se da ćemo u budućnosti u opšte biti u stanju da jedan multiverzum opišemo budućom fundamentalnom naučnom teorijom s obzirom da su različite prostor vremenske grane međusobno potpuno različite u pogledu temeljnih zakona fizike. Osim toga, budućnost će možda pokazati da postoji mogućnost da stupimo u neki vid interakcije sa različitim univerzumima. Pod interakcijom podrazumevamo mogućnost eksperimentalne potvrde ili neki vid opservacije putem hipotetičkih Ajnštajn-Rozenovih mostova odnosno tzv. svemirskih crvotočina, koje smo pomenuli i koje takođe predstavljaju jednu od implikacija Ajnštajnove teorije relativnosti. 10 U svemiru je postojanje crnih rupa, koje bi u načelu mogle da predstavljaju mostove do takvih univerzuma, dokazano indirektnim putem na osnovu osmatranja emisija x zračenja ili gravitacionih efekata na obližnju materiju i svetlost. Naravno, tip crnih rupa, koje bi predstavljale svemirske crvotočine, predstavlja samo matematički model koji još uvek nigde nije otkriven u svemiru, međutim, ovaj model pokazuje da u načelu nije nemoguće da ćemo jednog dana biti u prilici da putem sondi koje bi eventualno bile poslate kroz hipotetićki Ajnštajn-Rozenov most opazimo i druge univerzume koji čine pomenuti multiverzum. Sve ovo nam govori da možda drugi univerzumi neće večno biti skriveni od nas ili od neke druge napredne rase koja bi makar u načelu mogla da ih opazi na pomenuti način, kao što takođe postoji mogućnost da u budućnosti u labaratoriji budemo u stanju da opazimo efekte pomenutih univerzuma. Osim toga, u kosmologiji i fizici čestica se spekuliše o mogućnosti da će eksperimenti koji će biti sprovedeni u LHC akceleratoru otkriti sasvim novu fiziku koja bi potvrdila teorije koje impliciraju postojanje multiverzuma. Vladimir Jevtić Beograd Literatura Arsenijević Miloš, Vreme i vremena, Dereta. Beograd Bostrom Nick, Anthropic Bias: Observation Selection Effects in Science and Philosophy. Routledge. New York & London Guth Alan, Eternal inflation and its implications, feb arxiv:hep-th/ v1 Dugić Miroljub, Ćirković M. Milan and Raković Dejan, On a possible metatheory of consciousness, dec arxiv:quant-ph/ v1. 10 Danas, kosmolozi spekulišu da se Ajnštajn-Rozenov most može ponašati poput kapije koja povezuje dva univerzuma. Kaku Michio, Parallel Worlds, Doubleday. New York, London, Toronto, Sydney, Auckland str. 119.

11 Multiverzum i topologija vremena 57 Carter Brandon, Anthropic Principle in Cosmology, Contribution to Colloquium Cosmology: Facts and Problems (Collège de France, June 2004 ) : gr-qc/ v June Kaku Michio, Parallel Worlds. Doubleday. New York, London, Toronto, Sydney, Auckland Tegmark Max, Parallel Universes, Scientific American. Maj, Hoking Stiven, Kosmos u orahovoj ljusci, Informatika, Beograd, Linde A.D. Eternally existing self-reproducing chaotic inflationary universe, aug Physics Letters B, Vol N o 4. Smolin vs Susskind The Anthropic Principle The Third Culture http// 3rd.cultures/ Smolin Lee, Scientific Alternatives to The Anthropic Principle, arxiv: hep-th/ v1. Smolin Lee, Cosmological Natural Selection, The Life of The Cosmos Oxford University Press, New York, Poplawski J. Nikodem, Radial motion into an Einstein-Rosen Bridge, Physics Letters B, Vol Vladimir Jevtić Multiverse and Topology of Time (Summary) Modern cosmological theories like theory of eternal chaotic inflation or cosmological model of brane universe, which represent implication of modern string theory, imply existence of ensemble of actual universes which create so-called multivers. Implication of this theories are of the great importance for philosophy of time. This paper concern topology of time in context of existence of the multiverse. We will show that topology of time in such multiverse, whose particular universes would be generated due to eternal chaotic inflation, should be non-standard and that in the case of existence of multiverse only model which include topology of brenching time should be acceptable like real description of multiverse. Moreover, we will show that, the existence of hypothetical entities like Kerr`s rotating black holes, also represent necessary and sufficient condition of branching spacetime in such multiverse. KEY WORDS: Theorethical models of universe, Inflation theory, multiverse, branching time, Kerr`s black holes.

Red veze za benzen. Slika 1.

Red veze za benzen. Slika 1. Red veze za benzen Benzen C 6 H 6 je aromatično ciklično jedinjenje. Njegove dve rezonantne forme (ili Kekuléove structure), prema teoriji valentne veze (VB) prikazuju se uobičajeno kao na slici 1 a),

More information

TEORIJA SKUPOVA Zadaci

TEORIJA SKUPOVA Zadaci TEORIJA SKUPOVA Zadai LOGIKA 1 I. godina 1. Zapišite simbolima: ( x nije element skupa S (b) d je član skupa S () F je podskup slupa S (d) Skup S sadrži skup R 2. Neka je S { x;2x 6} = = i neka je b =

More information

ZANIMLJIV NAČIN IZRAČUNAVANJA NEKIH GRANIČNIH VRIJEDNOSTI FUNKCIJA. Šefket Arslanagić, Sarajevo, BiH

ZANIMLJIV NAČIN IZRAČUNAVANJA NEKIH GRANIČNIH VRIJEDNOSTI FUNKCIJA. Šefket Arslanagić, Sarajevo, BiH MAT-KOL (Banja Luka) XXIII ()(7), -7 http://wwwimviblorg/dmbl/dmblhtm DOI: 75/МК7A ISSN 5-6969 (o) ISSN 986-588 (o) ZANIMLJIV NAČIN IZRAČUNAVANJA NEKIH GRANIČNIH VRIJEDNOSTI FUNKCIJA Šefket Arslanagić,

More information

FIZIKALNA KOZMOLOGIJA VII. VRLO RANI SVEMIR & INFLACIJA

FIZIKALNA KOZMOLOGIJA VII. VRLO RANI SVEMIR & INFLACIJA FIZIKALNA KOZMOLOGIJA VII. VRLO RANI SVEMIR & INFLACIJA KOZMIČKI SAT ranog svemira Ekstra zračenje u mjerenju CMB Usporedba s rezultatima LEP-a Usporedba CMB i neutrina Vj.: Pozadinsko zračenje neutrina

More information

Slika 1. Slika 2. Da ne bismo stalno izbacivali elemente iz skupa, mi ćemo napraviti još jedan niz markirano, gde će

Slika 1. Slika 2. Da ne bismo stalno izbacivali elemente iz skupa, mi ćemo napraviti još jedan niz markirano, gde će Permutacije Zadatak. U vreći se nalazi n loptica različitih boja. Iz vreće izvlačimo redom jednu po jednu lopticu i stavljamo jednu pored druge. Koliko različitih redosleda boja možemo da dobijemo? Primer

More information

Projektovanje paralelnih algoritama II

Projektovanje paralelnih algoritama II Projektovanje paralelnih algoritama II Primeri paralelnih algoritama, I deo Paralelni algoritmi za množenje matrica 1 Algoritmi za množenje matrica Ovde su data tri paralelna algoritma: Direktan algoritam

More information

Fajl koji je korišćen može se naći na

Fajl koji je korišćen može se naći na Machine learning Tumačenje matrice konfuzije i podataka Fajl koji je korišćen može se naći na http://www.technologyforge.net/datasets/. Fajl se odnosi na pečurke (Edible mushrooms). Svaka instanca je definisana

More information

KLASIFIKACIJA NAIVNI BAJES. NIKOLA MILIKIĆ URL:

KLASIFIKACIJA NAIVNI BAJES. NIKOLA MILIKIĆ   URL: KLASIFIKACIJA NAIVNI BAJES NIKOLA MILIKIĆ EMAIL: nikola.milikic@fon.bg.ac.rs URL: http://nikola.milikic.info ŠTA JE KLASIFIKACIJA? Zadatak određivanja klase kojoj neka instanca pripada instanca je opisana

More information

Mathcad sa algoritmima

Mathcad sa algoritmima P R I M J E R I P R I M J E R I Mathcad sa algoritmima NAREDBE - elementarne obrade - sekvence Primjer 1 Napraviti algoritam za sabiranje dva broja. NAREDBE - elementarne obrade - sekvence Primjer 1 POČETAK

More information

Algoritam za množenje ulančanih matrica. Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek

Algoritam za množenje ulančanih matrica. Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek Algoritam za množenje ulančanih matrica Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek O problemu (1) Neka je A 1, A 2,, A n niz ulančanih matrica duljine n N, gdje su dimenzije matrice

More information

PRIPADNOST RJEŠENJA KVADRATNE JEDNAČINE DANOM INTERVALU

PRIPADNOST RJEŠENJA KVADRATNE JEDNAČINE DANOM INTERVALU MAT KOL Banja Luka) ISSN 0354 6969 p) ISSN 1986 58 o) Vol. XXI )015) 105 115 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm PRIPADNOST RJEŠENJA KVADRATNE JEDNAČINE DANOM INTERVALU Bernadin Ibrahimpašić 1 Senka Ibrahimpašić

More information

Programiranje u realnom vremenu Bojan Furlan

Programiranje u realnom vremenu Bojan Furlan Programiranje u realnom vremenu Bojan Furlan Tri procesa sa D = T imaju sledeće karakteristike: Proces T C a 3 1 b 6 2 c 18 5 (a) Pokazati kako se može konstruisati ciklično izvršavanje ovih procesa. (b)

More information

Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral

Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral Sadržaj 1 Metrički prostori 3 1.1 Primeri metričkih prostora................. 3 1.2 Konvergencija nizova i osobine skupova...................... 12 1.3 Kantorov

More information

Asian Journal of Science and Technology Vol. 4, Issue 08, pp , August, 2013 RESEARCH ARTICLE

Asian Journal of Science and Technology Vol. 4, Issue 08, pp , August, 2013 RESEARCH ARTICLE Available Online at http://www.journalajst.com ASIAN JOURNAL OF SCIENCE AND TECHNOLOGY ISSN: 0976-3376 Asian Journal of Science and Technology Vol. 4, Issue 08, pp.037-041, August, 2013 RESEARCH ARTICLE

More information

Uvod u analizu (M3-02) 05., 07. i 12. XI dr Nenad Teofanov. principle) ili Dirihleov princip (engl. Dirichlet box principle).

Uvod u analizu (M3-02) 05., 07. i 12. XI dr Nenad Teofanov. principle) ili Dirihleov princip (engl. Dirichlet box principle). Uvod u analizu (M-0) 0., 07. i. XI 0. dr Nenad Teofanov. Kardinalni broj skupa R U ovom predavanju se razmatra veličina skupa realnih brojeva. Jasno, taj skup ima beskonačno mnogo elemenata. Pokazaće se,

More information

Geometrijski smisao rješenja sustava od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice

Geometrijski smisao rješenja sustava od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice Osječki matematički list 6(2006), 79 84 79 Geometrijski smisao rješenja sustava od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice Zlatko Udovičić Sažetak. Geometrijski smisao rješenja sustava od dvije linearne

More information

Iskazna logika 1. Matematička logika u računarstvu. oktobar 2012

Iskazna logika 1. Matematička logika u računarstvu. oktobar 2012 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia oktobar 2012 Iskazi, istinitost, veznici Intuitivno, iskaz je rečenica koja je ima tačno jednu jednu

More information

Početni uslovi: kosmološka inflacija, 2. deo

Početni uslovi: kosmološka inflacija, 2. deo Početni uslovi: kosmološka inflacija, 2. deo 25. 09.. Problemi klasične kosmologije Zašto je univerzum na velikoj skali homogen i izotropan? (problem horizonta) Zašto je univerzum na velikoj skali toliko

More information

Zadatci sa ciklusima. Zadatak1: Sastaviti progra koji određuje z ir prvih prirod ih rojeva.

Zadatci sa ciklusima. Zadatak1: Sastaviti progra koji određuje z ir prvih prirod ih rojeva. Zadatci sa ciklusima Zadatak1: Sastaviti progra koji određuje z ir prvih prirod ih rojeva. StrToIntDef(tekst,broj) - funkcija kojom se tekst pretvara u ceo broj s tim da je uvedena automatska kontrola

More information

DISTRIBUIRANI ALGORITMI I SISTEMI

DISTRIBUIRANI ALGORITMI I SISTEMI Postavka 7: međusobno isključivanje sa read/write promenljivama 1 DISTRIBUIRANI ALGORITMI I SISTEMI Iz kursa CSCE 668 Proleće 2014 Autor izvorne prezentacije: Prof. Jennifer Welch Read/Write deljene promenljive

More information

Metode praćenja planova

Metode praćenja planova Metode praćenja planova Klasična metoda praćenja Suvremene metode praćenja gantogram mrežni dijagram Metoda vrednovanja funkcionalnosti sustava Gantogram VREMENSKO TRAJANJE AKTIVNOSTI A K T I V N O S T

More information

O aksiomu izbora, cipelama i čarapama

O aksiomu izbora, cipelama i čarapama O aksiomu izbora, cipelama i čarapama Aksiom izbora može se izreći u raznim ekvivalentnim formama. Dokazi ekvivalencije aksioma izbora npr. sa Zornovom lemom, ili pak sa Zermelovim teoremom o dobrom uredaju,

More information

MAHOV PRINCIP. Bojan Arbutina student astrofizike Matematičkog fakulteta u Beogradu

MAHOV PRINCIP. Bojan Arbutina student astrofizike Matematičkog fakulteta u Beogradu MAHOV PRINCIP Bojan Arbutina student astrofizike Matematičkog fakulteta u Beogradu ISTORIJA Fizika, i nauka uopšte, dostigla je danas takve razmere da je običnom čoveku nemoguće da prati njene savremene

More information

DYNAMIC HEAT TRANSFER IN WALLS: LIMITATIONS OF HEAT FLUX METERS

DYNAMIC HEAT TRANSFER IN WALLS: LIMITATIONS OF HEAT FLUX METERS DYNAMI EAT TRANFER IN WALL: LIMITATION OF EAT FLUX METER DINAMIČKI PRENO TOPLOTE U ZIDOVIMA: OGRANIČENJA MERAČA TOPLOTNOG PROTOKA (TOPLOTNOG FLUKA) 1 I. Naveros a, b,. Ghiaus a a ETIL UMR58, INA-Lyon,

More information

BROJEVNE KONGRUENCIJE

BROJEVNE KONGRUENCIJE UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Vojko Nestorović BROJEVNE KONGRUENCIJE - MASTER RAD - Mentor, dr Siniša Crvenković Novi Sad, 2011. Sadržaj Predgovor...............................

More information

Uvod u relacione baze podataka

Uvod u relacione baze podataka Uvod u relacione baze podataka Ana Spasić 2. čas 1 Mala studentska baza dosije (indeks, ime, prezime, datum rodjenja, mesto rodjenja, datum upisa) predmet (id predmeta, sifra, naziv, bodovi) ispitni rok

More information

UNSTABILITY OF FOOD PRODUCTION PER CAPITA AND POPULATION: ASIA. Vesna Jablanović 1

UNSTABILITY OF FOOD PRODUCTION PER CAPITA AND POPULATION: ASIA. Vesna Jablanović 1 Journal of Agricultural Sciences Vol. 48, No, 003 Pages 7-3 UDC: 330.54:330.368 Original scientific paper UNSTABILITY OF FOOD PRODUCTION PER CAPITA AND POPULATION: ASIA Vesna Jablanović Abstract: The basic

More information

Konstrukcija i analiza algoritama

Konstrukcija i analiza algoritama Konstrukcija i analiza algoritama 27. februar 207 Matematička indukcija Princip matematičke indukcije: Da bi za svako n N važilo tvrdjenje T (n) dovoljno je pokazati: bazu indukcije: tvrdjenje T () induktivni

More information

O homomorfizam-homogenim geometrijama ranga 2

O homomorfizam-homogenim geometrijama ranga 2 UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODN0-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Eva Jungael O homomorfzam-homogenm geometrjama ranga 2 -završn rad- Nov Sad, oktoar 2009 Predgovor Za strukturu

More information

ON SPACE AND TIME IN QUANTUM COSMOLOGY UDC

ON SPACE AND TIME IN QUANTUM COSMOLOGY UDC FACTA UNIVERSITATIS Series: Physics, Chemistry and Technology Vol. 2, N o 4, 2002, pp. 173-182 ON SPACE AND TIME IN QUANTUM COSMOLOGY UDC 530.1.140.8 Ljubiša Nešić 1, Stojan Obradović 2 1 Department of

More information

AN EXPERIMENTAL METHOD FOR DETERMINATION OF NATURAL CIRCULAR FREQUENCY OF HELICAL TORSIONAL SPRINGS UDC:

AN EXPERIMENTAL METHOD FOR DETERMINATION OF NATURAL CIRCULAR FREQUENCY OF HELICAL TORSIONAL SPRINGS UDC: UNIVERSITY OF NIŠ The scientific journal FACTA UNIVERSITATIS Series: Mechanical Engineering Vol.1, N o 5, 1998 pp. 547-554 Editor of series: Nenad Radojković, e-mail: radojkovic@ni.ac.yu Address: Univerzitetski

More information

ANALYSIS OF INFLUENCE OF PARAMETERS ON TRANSFER FUNCTIONS OF APERIODIC MECHANISMS UDC Života Živković, Miloš Milošević, Ivan Ivanov

ANALYSIS OF INFLUENCE OF PARAMETERS ON TRANSFER FUNCTIONS OF APERIODIC MECHANISMS UDC Života Živković, Miloš Milošević, Ivan Ivanov UNIVERSITY OF NIŠ The scientific journal FACTA UNIVERSITATIS Series: Mechanical Engineering Vol.1, N o 6, 1999 pp. 675-681 Editor of series: Nenad Radojković, e-mail: radojkovic@ni.ac.yu Address: Univerzitetski

More information

MUSICAL COMPOSITION AND ELEMENTARY EXCITATIONS OF THE ENVIRONMENT

MUSICAL COMPOSITION AND ELEMENTARY EXCITATIONS OF THE ENVIRONMENT Interdisciplinary Description of Complex Systems (-2), 22-28, 2003 MUSICAL COMPOSITION AND ELEMENTARY EXCITATIONS OF THE ENVIRONMENT Mirna Grgec-Pajić, Josip Stepanić 2 and Damir Pajić 3, * c/o Institute

More information

Osobine metode rezolucije: zaustavlja se, pouzdanost i kompletnost. Iskazna logika 4

Osobine metode rezolucije: zaustavlja se, pouzdanost i kompletnost. Iskazna logika 4 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Rezolucija 1 Metod rezolucije je postupak za dokazivanje da li je neka iskazna (ili

More information

Klase neograničenih operatora

Klase neograničenih operatora Univerzitet u Nišu Prirodno- matematički fakultet Departman za matematiku Klase neograničenih operatora Master rad Mentor: Prof. dr. Dragan Đorđević Student: Milena Nikolić Niš,. Sadržaj Predgovor...2

More information

APPLICATION OF THOMAS-FERMI MODEL TO FULLERENE MOLECULE AND NANOTUBE UDC 547. Yuri Kornyushin

APPLICATION OF THOMAS-FERMI MODEL TO FULLERENE MOLECULE AND NANOTUBE UDC 547. Yuri Kornyushin FACTA UNIVERSITATIS Series: Physics, Chemistry and Technology Vol. 5, N o 1, 2007, pp. 11-18 DOI: 10.2298/FUPCT0701011K APPLICATION OF THOMAS-FERMI MODEL TO FULLERENE MOLECULE AND NANOTUBE UDC 547 Yuri

More information

Konstrukcija i analiza algoritama

Konstrukcija i analiza algoritama Konstrukcija i analiza algoritama 27. februar 2017 1 Pravila zaključivanja i tehnike dokazivanja u iskaznoj i predikatskoj logici 1 1.1 Iskazna logika Pravila zaključivanja za iskaznu logiku: 1. DODAVANJE

More information

Rešenja zadataka za vežbu na relacionoj algebri i relacionom računu

Rešenja zadataka za vežbu na relacionoj algebri i relacionom računu Rešenja zadataka za vežbu na relacionoj algebri i relacionom računu 1. Izdvojiti ime i prezime studenata koji su rođeni u Beogradu. (DOSIJE WHERE MESTO_RODJENJA='Beograd')[IME, PREZIME] where mesto_rodjenja='beograd'

More information

DESIGN AND CALCULATION OF RING SPRINGS AS SPRING ELEMENTS OF THE WAGON BUFFER UDC : Jovan Nešović

DESIGN AND CALCULATION OF RING SPRINGS AS SPRING ELEMENTS OF THE WAGON BUFFER UDC : Jovan Nešović FACTA UNIVERSITATIS Series: Mechanical Engineering Vol.1, N o 9, 2002, pp. 1127-1133 DESIGN AND CALCULATION OF RING SPRINGS AS SPRING ELEMENTS OF THE WAGON BUFFER UDC 62-272.43:623.435 Jovan Nešović Faculty

More information

AIR CURTAINS VAZDU[NE ZAVESE V H

AIR CURTAINS VAZDU[NE ZAVESE V H AIR CURTAINS V 15.000 H 21.000 KLIMA Co. 2 KLIMA Co. Flow and system stress should be known factors in air flow. The flow is gas quantity flowing through the system during given time unit and is measured

More information

Ksenija Doroslovački KOMBINATORIKA INTERPRETIRANA FUNKCIJAMA I NJIHOVIM OSOBINAMA MASTER RAD. NOVI SAD jun 2008

Ksenija Doroslovački KOMBINATORIKA INTERPRETIRANA FUNKCIJAMA I NJIHOVIM OSOBINAMA MASTER RAD. NOVI SAD jun 2008 1 Ksenija Doroslovački KOMBINATORIKA INTERPRETIRANA FUNKCIJAMA I NJIHOVIM OSOBINAMA MASTER RAD NOVI SAD jun 2008 2 Sadržaj 1 UVOD 5 2 FUNKCIJE 11 3 KLASIČNI KOMBINATORNI OBJEKTI 17 4 NEKI NEKLASIČNI KOMBINATORNI

More information

Kristina Popadić. Analiza preživljavanja sa primenama u zdravstvenom osiguranju - master rad -

Kristina Popadić. Analiza preživljavanja sa primenama u zdravstvenom osiguranju - master rad - UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Kristina Popadić Analiza preživljavanja sa primenama u zdravstvenom osiguranju - master rad - Mentor: prof.

More information

Neke klase maksimalnih hiperklonova

Neke klase maksimalnih hiperklonova UNIVERZITET U NOVOM SDU PRIRODNO-MTEMTIČKI FKULTET DERRTMN Z MTEMTIKU I INFORMTIKU Jelena Čolić Neke klase maksimalnih hiperklonova - završni rad - MENTOR: Prof. dr Rozalija Madaras-Siladi Novi Sad, 2012.

More information

VREMENSKE SERIJE U FINANSIJAMA: ARCH I GARCH

VREMENSKE SERIJE U FINANSIJAMA: ARCH I GARCH UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Zoranka Desnica VREMENSKE SERIJE U FINANSIJAMA: ARCH I GARCH -završni rad - Novi Sad, oktobar 009. PREDGOVOR

More information

Fraktali - konačno u beskonačnom

Fraktali - konačno u beskonačnom Prirodno-Matematički fakultet, Niš. dexterofnis@gmail.com www.pmf.ni.ac.rs/dexter Nauk nije bauk, 2011 Sadržaj predavanja 1 Sadržaj predavanja 1 2 Sadržaj predavanja 1 2 3 Box-Counting dimenzija Hausdorfova

More information

Formule za udaljenost točke do pravca u ravnini, u smislu lp - udaljenosti math.e Vol 28.

Formule za udaljenost točke do pravca u ravnini, u smislu lp - udaljenosti math.e Vol 28. 1 math.e Hrvatski matematički elektronički časopis Formule za udaljenost točke do pravca u ravnini, u smislu lp - udaljenosti Banachovi prostori Funkcija udaljenosti obrada podataka optimizacija Aleksandra

More information

UOPŠTENI INVERZI, FAKTORI USLOVLJENOSTI I PERTURBACIJE

UOPŠTENI INVERZI, FAKTORI USLOVLJENOSTI I PERTURBACIJE UNIVERZITET U NIŠU PRIRODNO MATEMATIČKI FAKULTET ODSEK ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Dijana Mosić UOPŠTENI INVERZI, FAKTORI USLOVLJENOSTI I PERTURBACIJE Doktorska disertacija Mentor Prof. dr Dragan Djordjević

More information

Funkcijske jednadºbe

Funkcijske jednadºbe MEMO pripreme 2015. Marin Petkovi, 9. 6. 2015. Funkcijske jednadºbe Uvod i osnovne ideje U ovom predavanju obradit emo neke poznate funkcijske jednadºbe i osnovne ideje rje²avanja takvih jednadºbi. Uobi

More information

AKSIOME TEORIJE SKUPOVA

AKSIOME TEORIJE SKUPOVA MAT-KOL (Banja Luka) ISSN 0354/6969 XV(1)(2009), 17-25 AKSIOME TEORIJE SKUPOVA Duško Bogdanić 1, Bojan Nikolić 2 i Daniel A. Romano 2 Sažetak: Postoji više od jedne mogućnosti aksiomatizacije teorije skupova.

More information

6 th INTERNATIONAL CONFERENCE

6 th INTERNATIONAL CONFERENCE 6 th INTERNATIONAL CONFERENCE Contemporary achievements in civil engineering 20. April 2018. Subotica, SERBIA ABSOLUTE MOVEMENTS OF LARGE DAMS ANALYSIS BY REGRESSION METHOD UTILIZATION Žarko Nestorović

More information

THEORIA 3 UDK 1 TRI PARADOKSA

THEORIA 3 UDK 1 TRI PARADOKSA THEORIA 3 UDK 1 BIBLID 0351 2274 : (2009) : 52 : p. 5-16 Originalni naučni rad Original Scientific Paper Vladan Đorđević TRI PARADOKSA APSTRAKT: Mada na prvi pogled izgleda da tri paradoksa kojima ću se

More information

Linearno uređena topologija

Linearno uređena topologija Univerzitet u Novom Sadu Prirodno-matematički fakultet Departman za matematiku i informatiku Aleksandar Janjoš Linearno uređena topologija Master rad Mentor: Dr Aleksandar Pavlović 2017, Novi Sad Sadržaj

More information

MREŽNI DIJAGRAMI Planiranje

MREŽNI DIJAGRAMI Planiranje MREŽNI DIJAGRAMI Planiranje 1 Mrežno planiranje se zasniva na grafičkom prikazivanju aktivnosti usmerenim dužima. Dužina duži nema značenja, a sa dijagrama se vidi međuzavisnost aktivnosti. U mrežnom planiranju

More information

Krive u prostoru Minkovskog

Krive u prostoru Minkovskog UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Maja Jolić Krive u prostoru Minkovskog - master rad - Mentor: dr Sanja Konjik Novi Sad, 2016 Predgovor Na vratima

More information

APPROPRIATENESS OF GENETIC ALGORITHM USE FOR DISASSEMBLY SEQUENCE OPTIMIZATION

APPROPRIATENESS OF GENETIC ALGORITHM USE FOR DISASSEMBLY SEQUENCE OPTIMIZATION JPE (2015) Vol.18 (2) Šebo, J. Original Scientific Paper APPROPRIATENESS OF GENETIC ALGORITHM USE FOR DISASSEMBLY SEQUENCE OPTIMIZATION Received: 17 July 2015 / Accepted: 25 Septembre 2015 Abstract: One

More information

BLAST-INDUCED DAMAGE AND ITS IMPACT ON STRUCTURAL STABILITY OF UNDERGROUND EXCAVATIONS UTICAJ MINIRANJA NA STRUKTURNU STABILNOST PODZEMNIH PROSTORIJA

BLAST-INDUCED DAMAGE AND ITS IMPACT ON STRUCTURAL STABILITY OF UNDERGROUND EXCAVATIONS UTICAJ MINIRANJA NA STRUKTURNU STABILNOST PODZEMNIH PROSTORIJA UNDERGROUND MINING ENGINEERING 29 (2016) 33-42 UDK 62 UNIVERSITY OF BELGRADE - FACULTY OF MINING AND GEOLOGY YU ISSN 03542904 Original scientific paper BLAST-INDUCED DAMAGE AND ITS IMPACT ON STRUCTURAL

More information

POOPĆENJE KLASIČNIH TEOREMA ZATVARANJA PONCELETOVOG TIPA

POOPĆENJE KLASIČNIH TEOREMA ZATVARANJA PONCELETOVOG TIPA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Petra Zubak POOPĆENJE KLASIČNIH TEOREMA ZATVARANJA PONCELETOVOG TIPA Diplomski rad Voditelj rada: prof. dr. sc. Juraj Šiftar

More information

ANALYTICAL AND NUMERICAL PREDICTION OF SPRINGBACK IN SHEET METAL BENDING

ANALYTICAL AND NUMERICAL PREDICTION OF SPRINGBACK IN SHEET METAL BENDING ANALYTICAL AND NUMERICAL PREDICTION OF SPRINGBACK IN SHEET METAL BENDING Slota Ján, Jurčišin Miroslav Department of Technologies and Materials, Faculty of Mechanical Engineering, Technical University of

More information

Hamiltonovi grafovi i digrafovi

Hamiltonovi grafovi i digrafovi UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Slobodan Nogavica Hamiltonovi grafovi i digrafovi Master rad Novi Sad, 2016 Sadržaj Predgovor...2 Glava 1. Uvod...3

More information

INVESTIGATION OF UPSETTING OF CYLINDER BY CONICAL DIES

INVESTIGATION OF UPSETTING OF CYLINDER BY CONICAL DIES INVESTIGATION OF UPSETTING OF CYLINDER BY CONICAL DIES D. Vilotic 1, M. Plancak M 1, A. Bramley 2 and F. Osman 2 1 University of Novi Sad, Yugoslavia; 2 University of Bath, England ABSTRACT Process of

More information

Matematika (PITUP) Prof.dr.sc. Blaženka Divjak. Matematika (PITUP) FOI, Varaždin

Matematika (PITUP) Prof.dr.sc. Blaženka Divjak. Matematika (PITUP) FOI, Varaždin Matematika (PITUP) FOI, Varaždin Dio II Bez obzira kako nam se neki teorem činio korektnim, ne možemo biti sigurni da ne krije neku nesavršenost sve dok se nam ne čini prekrasnim G. Boole The moving power

More information

Neke primene teorije fazi skupova i fazi logike u procesiranju slika

Neke primene teorije fazi skupova i fazi logike u procesiranju slika Univerzitet u Beogradu Matematički fakultet Neke primene teorije fazi skupova i fazi logike u procesiranju slika - Master rad - Nebojša Perić 1024/2013 Beograd, 2014. 2 Mentor: Članovi komisije: Datum

More information

PRELIMINARY COMMUNICATION Influence of chloride ions on the open circuit potentials of chromium in deaerated sulfuric acid solutions

PRELIMINARY COMMUNICATION Influence of chloride ions on the open circuit potentials of chromium in deaerated sulfuric acid solutions J. Serb. Chem. Soc. 71 (11) 1187 1194 (2006) UDC 54 71'131:546.76:620.193:546.226 325 JSCS 3512 Preliminary communication PRELIMINARY COMMUNICATION Influence of chloride ions on the open circuit potentials

More information

O PORIJEKLU I BUDUĆNOSTI SVEMIRA Josip Planinić, Osijek

O PORIJEKLU I BUDUĆNOSTI SVEMIRA Josip Planinić, Osijek O PORIJEKLU I BUDUĆNOSTI SVEMIRA Josip Planinić, Osijek UDK:113 523.53 Stručni članak Primljeno 11/1999 Niente di piu organizzato di cio che l'amore ordina e nulla di piu libero di cio che ramore unisce.

More information

U člnaku se nastoji na jednostavan i sažet način bez ulaženja u egzaktne i formalizirane dokaze postići slijedeće:

U člnaku se nastoji na jednostavan i sažet način bez ulaženja u egzaktne i formalizirane dokaze postići slijedeće: Mr Ratimir Kvaternik Fakultet organizacije i informatike V a r a ž d i n UDK 681.142.2 Prethodno saopćenje O D R E D J I V A N J E R A D N O G S K U P A S T R A N I C A U člnaku se nastoji na jednostavan

More information

Prsten cijelih brojeva

Prsten cijelih brojeva SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ODJEL ZA MATEMATIKU Marijana Pravdić Prsten cijelih brojeva Diplomski rad Osijek, 2017. SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ODJEL ZA MATEMATIKU

More information

A SPECTRAL ATLAS OF λ BOOTIS STARS

A SPECTRAL ATLAS OF λ BOOTIS STARS Serb. Astron. J. 188 (2014), 75-84 UDC 524.3 355.3 DOI: 10.2298/SAJ1488075P Professional paper A SPECTRAL ATLAS OF λ BOOTIS STARS E. Paunzen 1 and U. Heiter 2 1 Department of Theoretical Physics and Astrophysics,

More information

MAGNETIC FIELD OF ELECTRICAL RADIANT HEATING SYSTEM

MAGNETIC FIELD OF ELECTRICAL RADIANT HEATING SYSTEM UDK 537.612:697.27 DOI: 10.7562/SE2017.7.02.03 Original article www.safety.ni.ac.rs MIODRAG MILUTINOV 1 ANAMARIJA JUHAS 2 NEDA PEKARIĆ-NAĐ 3 1,2,3 University of Novi Sad, Faculty of Technical Sciences,

More information

MATHEMATICAL ANALYSIS OF PERFORMANCE OF A VIBRATORY BOWL FEEDER FOR FEEDING BOTTLE CAPS

MATHEMATICAL ANALYSIS OF PERFORMANCE OF A VIBRATORY BOWL FEEDER FOR FEEDING BOTTLE CAPS http://doi.org/10.24867/jpe-2018-02-055 JPE (2018) Vol.21 (2) Choudhary, M., Narang, R., Khanna, P. Original Scientific Paper MATHEMATICAL ANALYSIS OF PERFORMANCE OF A VIBRATORY BOWL FEEDER FOR FEEDING

More information

Banach Tarskijev paradoks

Banach Tarskijev paradoks Banach Tarskijev paradoks Matija Bašić Sažetak Banach Tarskijev paradoks je teorem koji kaže da su bilo koje dvije kugle u R 3 jednakorastavljive, u smislu da postoje particije tih kugli u jednak broj

More information

Ariana Trstenjak Kvadratne forme

Ariana Trstenjak Kvadratne forme Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Ariana Trstenjak Kvadratne forme Završni rad Osijek, 014. Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera

More information

Nilpotentni operatori i matrice

Nilpotentni operatori i matrice Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Nikolina Romić Nilpotentni operatori i matrice Završni rad Osijek, 2016. Sveučilište J. J. Strossmayera

More information

Velimir Abramovic: KOLIKO IMA BESKONACNOSTI U MATEMATICI? (Iz Osnovi Nauke o Vremenu )

Velimir Abramovic:   KOLIKO IMA BESKONACNOSTI U MATEMATICI? (Iz Osnovi Nauke o Vremenu ) Velimir Abramovic: www.n01a.org KOLIKO IMA BESKONACNOSTI U MATEMATICI? (Iz Osnovi Nauke o Vremenu ) Citajuci Kantorov Argument dijagonalizacijom shvatio sam da se u njemu nista ne sme podrazumevati, vec

More information

Ivan Soldo. Sažetak. U članku se analiziraju različiti načini množenja matrica. Svaki od njih ilustriran je primjerom.

Ivan Soldo. Sažetak. U članku se analiziraju različiti načini množenja matrica. Svaki od njih ilustriran je primjerom. Osječki matematički list 5(005), 8 Različiti načini množenja matrica Ivan Soldo Sažetak U članku se analiziraju različiti načini množenja matrica Svaki od njih ilustriran je primjerom Ključne riječi: linearni

More information

Karakterizacija problema zadovoljenja uslova širine 1

Karakterizacija problema zadovoljenja uslova širine 1 UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Aleksandar Prokić Karakterizacija problema zadovoljenja uslova širine 1 -master rad- Mentor: dr Petar Marković

More information

Turingovi strojevi Opis Turingovog stroja Odluµcivost logike prvog reda. Lipanj Odluµcivost i izraµcunljivost

Turingovi strojevi Opis Turingovog stroja Odluµcivost logike prvog reda. Lipanj Odluµcivost i izraµcunljivost Odluµcivost logike prvog reda B. µ Zarnić Lipanj 2008. Uvod Turingovi strojevi Logika prvoga reda je pouzdana. Logika prvog reda je potpuna. Γ `LPR K ) Γ j= SPR K Γ j= SPR K ) Γ `LPR K Prema tome, ako

More information

ZANIMLJIVI ALGEBARSKI ZADACI SA BROJEM 2013 (Interesting algebraic problems with number 2013)

ZANIMLJIVI ALGEBARSKI ZADACI SA BROJEM 2013 (Interesting algebraic problems with number 2013) MAT-KOL (Banja Luka) ISSN 0354-6969 (p), ISSN 1986-5228 (o) Vol. XIX (3)(2013), 35-44 ZANIMLJIVI ALGEBARSKI ZADACI SA BROJEM 2013 (Interesting algebraic problems with number 2013) Nenad O. Vesi 1 Du²an

More information

UNIVERZITET U NIŠU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET. mr Dragan Stevanović NEKE KOMPOZICIJE GRAFOVA I GRAFOVI SA CELOBROJNIM SPEKTROM

UNIVERZITET U NIŠU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET. mr Dragan Stevanović NEKE KOMPOZICIJE GRAFOVA I GRAFOVI SA CELOBROJNIM SPEKTROM UNIVERZITET U NIŠU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET mr Dragan Stevanović NEKE KOMPOZICIJE GRAFOVA I GRAFOVI SA CELOBROJNIM SPEKTROM doktorska disertacija Niš, 1999. Za Sanju Sadržaj Predgovor vii I NEPS

More information

PROBLEM FENOMENALNE SVESTI U SAVREMENOJ FILOZOFIJI DUHA

PROBLEM FENOMENALNE SVESTI U SAVREMENOJ FILOZOFIJI DUHA Arhe IX, 17/2012 UDK 13.121 Originalni naučni rad Original Scientific Article IZABELA HUBER 1 Beč PROBLEM FENOMENALNE SVESTI U SAVREMENOJ FILOZOFIJI DUHA Sažetak: Pojmovi fenomenalna svest (Ned Blok) i

More information

Harmonijski brojevi. Uvod

Harmonijski brojevi. Uvod MATEMATIKA Harmonijski brojevi Darko Žubrinić, Zagreb Beskonačno! Niti koje drugo pitanje nije nikada toliko duboko dirnulo duh čovjeka. David Hilbert (862. 943.) Uvod U ovom članku opisat ćemo jedan pomalo

More information

PRECIPITATION FORECAST USING STATISTICAL APPROACHES UDC 55:311.3

PRECIPITATION FORECAST USING STATISTICAL APPROACHES UDC 55:311.3 FACTA UNIVERSITATIS Series: Working and Living Environmental Protection Vol. 10, N o 1, 2013, pp. 79-91 PRECIPITATION FORECAST USING STATISTICAL APPROACHES UDC 55:311.3 Mladjen Ćurić 1, Stanimir Ţivanović

More information

Realizam, vjerojatnost i najbolje objašnjenje*

Realizam, vjerojatnost i najbolje objašnjenje* Prolegomena 12 (2) 2013: 223 243 Realizam, vjerojatnost i najbolje objašnjenje* DUŠAN DOŽUDIĆ Sveučilište u Zagrebu, Hrvatski studiji, Borongajska 83d, 10 000 Zagreb, Hrvatska ddozudic@hrstud.hr IZVORNI

More information

FIZIČKI PRAKTIKUM 3 SMJER: PROFESOR FIZIKE MJERENJE MALIH OTPORA

FIZIČKI PRAKTIKUM 3 SMJER: PROFESOR FIZIKE MJERENJE MALIH OTPORA FIZIČKI PRAKTIKUM 3 SMJER: PROFESOR FIZIKE MJERENJE MALIH OTPORA PROFESOR FIZIKE FP3 1 ZADACI 1. Mjerenjem geometrijskih dimenzija i otpora bakrene šipke odredite otpornost bakra. Napomena: Izmjerite V

More information

ANALYSIS OF THE RELIABILITY OF THE "ALTERNATOR- ALTERNATOR BELT" SYSTEM

ANALYSIS OF THE RELIABILITY OF THE ALTERNATOR- ALTERNATOR BELT SYSTEM I. Mavrin, D. Kovacevic, B. Makovic: Analysis of the Reliability of the "Alternator- Alternator Belt" System IVAN MAVRIN, D.Sc. DRAZEN KOVACEVIC, B.Eng. BRANKO MAKOVIC, B.Eng. Fakultet prometnih znanosti,

More information

UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIČKI FAKULTET

UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIČKI FAKULTET UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIČKI FAKULTET MASTER RAD SUFIKSNI NIZ Mentor: Student: Prof. dr Miodrag Živković Slaviša Božović 1014/2011. Beograd, 2015. UVOD... 1 1. OSNOVNI POJMOVI I DEFINICIJE... 2 1.1.

More information

Standard Parallel and Secant Parallel in Azimuthal Projections

Standard Parallel and Secant Parallel in Azimuthal Projections Original Scientific Paper Received: 24-1 1-201 7 Accepted: 06-01 -201 8 Standard Parallel and Secant Parallel in Azimuthal Projections Miljenko LAPAI NE University of Zagreb, Faculty of Geodesy, Kačićeva

More information

AKSIOM IZBORA I EKVIVALENCIJE

AKSIOM IZBORA I EKVIVALENCIJE Sveučilište J.J. Strossmayera Odjel za matematiku Preddiplomski sveučilišni studij matematike Igor Sušić AKSIOM IZBORA I EKVIVALENCIJE Završni rad Osijek, 2013. Sveučilište J.J. Strossmayera Odjel za matematiku

More information

KONDICIONALI, KONTEKST I ZNANJE

KONDICIONALI, KONTEKST I ZNANJE UNIVERZITET U BEOGRADU FILOZOFSKI FAKULTET Jelena J. Ostojić KONDICIONALI, KONTEKST I ZNANJE doktorska disertacija Beograd, 2015 UNIVERSITY OF BELGRADE FACULTY OF PHILOSOPHY Jelena J. Ostojić CONDITIONALS,

More information

Đuro Koruga Centar za Molekularne mašine, Mašinski fakultet Univerziteta u Beogradu

Đuro Koruga Centar za Molekularne mašine, Mašinski fakultet Univerziteta u Beogradu Svest - Religija - Društvo: Na pragu novog humanizma? 22.04.1997. ECPD okrugli sto, D. Raković & Đ. Koruga, eds., str. 57-79 Beograd DIMENZIJA N=0 KAO ISHODIŠTE MISAONIH SISTEMA Đuro Koruga Centar za Molekularne

More information

U X. 1. Multivarijantna statistička analiza 1

U X. 1. Multivarijantna statistička analiza 1 . Multivarijantna statistička analiza Standardizovana (normalizovana) vrednost obeležja Normalizovano odstupanje je mera varijacije koja pokazuje algebarsko odstupanje jedne vrednosti obeležja od aritmetičke

More information

A NEW THREE-DIMENSIONAL CHAOTIC SYSTEM WITHOUT EQUILIBRIUM POINTS, ITS DYNAMICAL ANALYSES AND ELECTRONIC CIRCUIT APPLICATION

A NEW THREE-DIMENSIONAL CHAOTIC SYSTEM WITHOUT EQUILIBRIUM POINTS, ITS DYNAMICAL ANALYSES AND ELECTRONIC CIRCUIT APPLICATION A. Akgul, I. Pehlivan Novi trodimenzijski kaotični sustav bez točaka ekvilibrija, njegove dinamičke analize i primjena elektroničkih krugova ISSN 1-61 (Print), ISSN 1848-69 (Online) DOI: 1.179/TV-1411194

More information

NIPP. Implementing rules for metadata. Ivica Skender NSDI Working group for technical standards.

NIPP. Implementing rules for metadata. Ivica Skender NSDI Working group for technical standards. Implementing rules for metadata Ivica Skender NSDI Working group for technical standards ivica.skender@gisdata.com Content Working group for technical standards INSPIRE Metadata implementing rule Review

More information

NAPREDNI FIZIČKI PRAKTIKUM 1 studij Matematika i fizika; smjer nastavnički MJERENJE MALIH OTPORA

NAPREDNI FIZIČKI PRAKTIKUM 1 studij Matematika i fizika; smjer nastavnički MJERENJE MALIH OTPORA NAPREDNI FIZIČKI PRAKTIKUM 1 studij Matematika i fizika; smjer nastavnički MJERENJE MALIH OTPORA studij Matematika i fizika; smjer nastavnički NFP 1 1 ZADACI 1. Mjerenjem geometrijskih dimenzija i otpora

More information

Karakteri konačnih Abelovih grupa

Karakteri konačnih Abelovih grupa Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Matija Klarić Karakteri konačnih Abelovih grupa Završni rad Osijek, 2015. Sveučilište J. J. Strossmayera

More information

Dr. Željko Jurić: Matematička logika i teorija izračunljivosti Radna skripta za istoimeni kurs na Elektrotehničkom fakultetu u Sarajevu.

Dr. Željko Jurić: Matematička logika i teorija izračunljivosti Radna skripta za istoimeni kurs na Elektrotehničkom fakultetu u Sarajevu. Dr. Željko Jurić: Matematička logika i teorija izračunljivosti Radna skripta za istoimeni kurs na Elektrotehničkom fakultetu u Sarajevu (akademska godina 2015/16) Funkcijske relacije i funkcije (preslikavanja)

More information

Didaktički aspekti matematičkog modeliranja

Didaktički aspekti matematičkog modeliranja Univerzitet u Novom Sadu Prirodno - matematički fakultet Departman za matematiku i informatiku Silvia Šoš Didaktički aspekti matematičkog modeliranja - master rad - Mentor: Prof. dr Arpad Takači Novi Sad,

More information

Proces Drella i Yana i potraga za te²kim esticama na hadronskim sudariva ima

Proces Drella i Yana i potraga za te²kim esticama na hadronskim sudariva ima Proces Drella i Yana i potraga za te²kim esticama na hadronskim sudariva ima Mentor: izv. prof. dr. sc. Kre²imir Kumeri ki Prirodoslovno-matemati ki fakultet, Fizi ki odsjek Sveu ili²te u Zagrebu velja

More information

Philippe Jodin. Original scientific paper UDC: :519.6 Paper received:

Philippe Jodin. Original scientific paper UDC: :519.6 Paper received: The paper was presented at the Tenth Meeting New Trends in Fatigue and Fracture (NTF0) Metz, France, 30 August September, 00 Philippe Jodin APPLICATION OF NUMERICAL METHODS TO MIXED MODES FRACTURE MECHANICS

More information

THE BOUNDARY VALUES OF THE PUNCH DIAMETER IN THE TECHNOLOGY OF THE OPENING MANUFACTURE BY PUNCHING UDC

THE BOUNDARY VALUES OF THE PUNCH DIAMETER IN THE TECHNOLOGY OF THE OPENING MANUFACTURE BY PUNCHING UDC FACTA UNIVERSITATIS Series: Mechanical Engineering Vol.1, N o 7, 2000, pp. 887-891 THE BOUNDARY VALUES OF THE PUNCH DIAMETER IN THE TECHNOLOGY OF THE OPENING MANUFACTURE BY PUNCHING UDC 621.962 621.744.52

More information

UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU

UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Ivan Marinković Klasifikacija H-matrica metodom skaliranja i njena primena u odred ivanju oblasti konvergencije

More information