Katedra za računarsku tehniku i informatiku

Size: px
Start display at page:

Download "Katedra za računarsku tehniku i informatiku"

Transcription

1 Katedra za računarsku tehniku i informatiku lgoritmi i strukture podataka Milo V. Tomaševi ević Odsek za softversko inženjerstvo [SI]

2 lgoritmi i strukture podataka Jedan element strukture može biti u vezi sa više od dva druga elementa višedimenzionalnost Vrste struktura stabla grafovi Operacije Memorijska reprezentacija ulančana (češće) sekvencijalna

3 Stabla Konačan, neprazan skup elemenata - čvorova postoji poseban čvor - koren ostali čvorovi se mogu razdvojiti u disjunktne podskupove koji su stabla - podstabla nivo C D nivo E F G H I nivo 2 J K L nivo 3 Koreno stablo Stabla Definicije i terminologija

4 grane čvorovi Terminologija stepen (ulazni, izlazni) neterminalni i terminalni (listovi) otac, sinovi, braća predak, potomak put, dužina puta nivo, visina (dubina) šuma Stabla Definicije i terminologija

5 stabla slična ekvivalentna uređena poziciona Definicije interna dužina puta - PI eksterna dužina puta - PE interni čvorovi n max =(m h+ -)/(m -) eksterni čvorovi e = n(m -) + Stabla Definicije i terminologija

6 Interni i eksterni čvorovi C C D E F D E F G G a) b) Stabla Definicije i terminologija

7 a) Predstavljanje stabla E J F C G H I K L lternativne grafičke predstave: D b) E C D F G H I J K L ugneždeni skupovi identacija Stabla Predstavljanje stabala

8 Ulančana ana reprezentacija D E F G C fleksibilna za proizvoljne topologije neefikasno korišćenje prostora ponekad i pokazivač na oca Stabla Predstavljanje stabala

9 Ulančana ana reprezentacija C C D E D F G E F G jedna ulančana lista za sinove svakog čvora efikasnije korišćenje prostora Stabla Predstavljanje stabala

10 Sekvencijalna reprezentacija 2 3 C V C D E F G D 5 E 7 6 F 7 G Za čvor k u vektoru: otac - (k + m 2)/m = (k -)/m sinovi - m(k -) +2, m(k -) +3,..., mk + Stabla Predstavljanje stabala

11 inarna stabla Konačan skup čvorova koji je ili prazan ili se sastoji od korena sa dva posebna podstabla (levim i desnim) koja su, takođe, binarna stabla Različito od uređenog stabla sa m=2! PE = PI + 2n : PI =, PE =2 n : PE(n) = PI (n) + 2n n+:pe(n + ) = PE(n) - k + 2(k + ) = PE(n) + k +2 = PI(n) + 2n + k + 2 = PI(n + ) + 2(n + ) Stabla inarna stabla

12 Vrste binarnb inarnihih stabala Puno stablo svi čvorovi grananja imaju stepen 2 n = n2 + n =2n2 + Stabla inarna stabla

13 Vrste binarnb inarnihih stabala a) kompletno stablo b) skoro kompletno stablo 8 9 Stabla inarna stabla

14 Vrste binarnb inarnihih stabala broj čvorova n max = 2 h+ visina h min = log (n + ) - vektorska reprezentacija, za čvor i otac i/2 levi sin 2i, 2i n desni sin 2i+, 2i + n nivo nivo nivo 2 nivo Stabla inarna stabla

15 Minimizacija interne dužine puta lgoritmi i strukture podataka Najgori slučaj degenerisano stablo -jedan čvor po nivou PI = n(n )/2 ~ O(n 2 ) Prosečan slučaj O(n n) Najbolji slučaj čvorovi što bliže koranu PI min = = logn O(n logn) svi listovi na dva susedna nivoa Stabla Minimizacija dužine puta

16 Težins inska eksterna dužina puta lgoritmi i strukture podataka Eksternim čvorovima pridružene težine w Težinska eksterna dužina puta PWE = w i l i Stabla Minimizacija dužine puta

17 Huffman-ov algoritam lgoritmi i strukture podataka HUFFMN(W, e) for i = to e do z = GETNODE w(z) = W[i] PQ-INSERT(H, z) end_for for i = to e - do z = GETNODE x = PQ-MIN-DELETE(H) y = PQ-MIN-DELETE(H) w(z) = w(x)+w(y) left(z) = x right(z) = y PQ-INSERT(H, z) end_for return z ~ O(e loge) Stabla Minimizacija dužine puta

18 Huffman-ov algoritam Primena Huffman-ovi kodovi E:4 :6 D:7 F: C:3 :42 D:7 F: a) C:3 :42 E:4 b) :6 7 C:3 :42 27 C:3 :42 E:4 :6 D:7 F: 7 c) E:4 :6 D:7 F: d) Stabla Minimizacija dužine puta

19 Huffman-ov algoritam : C:3 : C:3 E:4 :6 D:7 F: 7 e) E:4 :6 D:7 F: f) Simboli C D E F Verovatnoće Kodovi Stabla Minimizacija dužine puta

20 Huffman-ov algoritam lternativno rešenje sa stablom veće visine : C:3 F: 7 D:7 E:4 :6 Stabla Minimizacija dužine puta

21 Operacije sa binarnim stablom lgoritmi i strukture podataka E H F I D E H F I G G a) b) Umetanje čvora D C D E F Umetanje čvora C G H I c) Stabla Operacije umetanja i brisanja

22 Obilazak binarnog stabla Rekurzivne realizacije obilazaka PREORDER(root) if (root nil) then P(root) PREORDER(left(root)) PREORDER(right(root)) end_if POSTORDER(root) if (root nil) then POSTORDER(left(root)) POSTORDER(right(root)) P(root) end_if INORDER(root) if (root nil) then INORDER(left(root)) P(root) INORDER(right(root)) end_if Stabla Operacije obilaska

23 Preorder lgoritmi i strukture podataka PREORDER-I(root) PUSH(S, root) while (not STCK-EMPTY(S)) do next = POP(S) while (next nil) do P(next) if (right(next) nil) then PUSH(S, right(next)) end_if next = left(next) end_while end_while O(n) S C CE CE C C C F I I next D nil E G nil C nil F H nil I nil posećeni čvor D E G C F H I preorder poredak D DE DEG DEGC DEGCF DEGCFH DEGCFHI Stabla Operacije obilaska

24 Postorder lgoritmi i strukture podataka POSTORDER-I(root) next = root while (next nil) do PUSH(S, next) next =left(next) end_while while (not STCK-EMPTY(S)) do next = POP(S) if (next > ) then PUSH(S, -next) next = right(next) while (next nil) do PUSH(S, next) next = left(next) end_while else next = - next ~ O(n) P(next) end_if end_while Stabla Operacije obilaska

25 Obilazak po nivoima lgoritmi i strukture podataka LEVEL-ORDER(root) next = root INSERT(Q, next) while (not QUEUE-EMPTY(Q)) do next = DELETE(Q) P(next) if (left(next) nil) then INSERT(Q, left(next)) end_if if (right(next) nil) then INSERT(Q, right(next)) end_if end_while ~ O(n) lgoritam slične strukture i za preorder! Stabla Operacije obilaska

26 Povezana binarna stabla Problemi efikasniji obilazak određivanje prethodnika i sledbenika za proizvoljno zadati čvor neiskorišćeni pokazivači (n+ više od 5%) Povezana (threaded) binarna stabla strukturni pokazivači veze po izabranom načinu obilaska Stabla Povezana binarna stabla

27 Povezana binarna stabla D E F C G H I lf = pokazivač na levo podstablo lf = veza na prethodnika rf = pokazivač na desno podstablo rf = veza na sledbenika Stabla Povezana binarna stabla

28 Povezana binarna stabla Nalaženje sledbenika zadatog čvora po inorderu INSUCC(x) s = right(x) if (rf(x) = ) then while (lf(s) = ) do s = left(s) end_while end_if return s INORDER-THR(root) next = root while (lf(next) = ) do next = left(next) end_while repeat P(next) next = INSUCC(next) until next = nil Obilazak povezanog stabla po inorderu Stabla Povezana binarna stabla

29 Povezana binarna stabla INSERT-RT(x, y) right(y) = right(x) rf(y) = rf(x) left(y) = x lf(y) = right(x) = y rf(x) = if (rf(y) = ) then s = INSUCC(y) left(s) = y end_if Umetanje u povezano stablo X V Z a) b) X Y V Z Stabla Povezana binarna stabla

30 Stabla višeg stepena Problem u stablima stepena m > 2 neefikasno korišćenje prostora u ulančanoj reprezentaciji neiskorišćeni pokazivači n(m-)+ iskorišćeni pokazivači n- Rešenje odgovarajuće binarno stablo iste semantike binarna relacija najlevlji sin desni brat svi sinovi istog oca u ulančanoj listi Stabla Stabla višeg stepena

31 Stabla višeg stepena a) C D E F G H I J b) C D E F G H I J Stabla Stabla višeg stepena

32 Stabla višeg stepena CON-M2IN(P) m = INPUT(P) root = b = GETNODE info(b) = info(m) PUSH(S, (level(m), b)) Konverzija m-arnog stabla u odgovarajuće binarno stablo while (m = INPUT(P)) do b = GETNODE info(b) = info(m) pred_level = level(top(s)) pred_addr = addr(top(s)) if (level(m) > pred_level) then left(pred_addr) = b else while (pred_level > level(m)) do POP(S) pred_level = level(top(s)) pred_addr = addr(top(s)) end_while right(pred_addr) = b POP(S) end_if PUSH(S, (level(m), b)) end_while return root Stabla Stabla višeg stepena

33 Stabla višeg stepena Tekući čvor,, 2,E 2,F,C 2,G,D 2,H 2,I 2,J,,,,,C,,C 2,G,,D S,, 2,E,, 2,F,,D 2,H,,D 2,I,,D 2,J Pokazivač left () = left () = E right (E) = F right () = C left (C) = G right (C) = D left (D) = H right (H) = I right (I) = J Stabla Stabla višeg stepena

34 Predstavljanje aritmetičkih izraza lgoritmi i strukture podataka inarno stablo predstavlja aritmetički izraz čvorovi grananja unarni i binarni operatori listovi -operandi (+/C)(D-E) *+C/D * * / / D E C D C a) b) Stabla Primene stabala

35 Predstavljanje aritmetičkih izraza lgoritmi i strukture podataka Obilazak stabla preorder daje prefiksni izraz postorder dajepostfiksni izraz inorder daje infiksni izraz (ako nema zagrada!) Izračunavanje izraza predstavljenog stablom CLC-EXP(r) case (info(r)) of op add:return(clc-exp(left(r)) + CLC-EXP(right(r)) op sub:return(clc-exp(left(r)) - CLC-EXP(right(r))... operand:return(vl(right(r))) end_case Stabla Primene stabala

36 Modeliranje proizvoljnih nelinearnih relacija Graf G je par skupova (V, E) V (čvorovi) - konačan neprazan skup E (grane) - binarne relacije između čvorova grana (u, v) incidentna na čvorovima G G a) 3 5 b) Definicije i terminologija

37 Terminologija Usmereni, neusmereni i mešoviti grafovi Susednost čvorova Ulazni i izlazni stepen čvora Petlje i paralelne grane Prosti graf, multigraf, hipergraf, podgraf Težinski graf Put, prost put, dostižnost Definicije i terminologija

38 Terminologija Ciklus, ciklični i aciklični grafovi Kompletni, gusti i retki grafovi ipartitni graf Povezani graf, povezane komponente Slobodno stablo acikličan, povezan, neusmeren graf Definicije i terminologija

39 Matrična reprezentacija Matrica susednosti a[i, j] = a[i, j] = ako (i, j) E ako (i, j) E a[i, j] = w(i, j) za težinske grafove = = a) b) Predstavljanje grafova

40 Ulančana ana reprezentacija Liste susednosti vektor zaglavlja ulančane liste suseda element liste odgovara grani L L b) a) Predstavljanje grafova

41 Ulančana ana reprezentacija Inverzne liste susednosti lista za čvor sadrži sve čvorove kojima je sused pogodno za izračunavanje ulaznog stepena IL Multiliste element koji predstavlja granu ulančan u dve liste identifikacija oba čvora i dva pokazivača Predstavljanje grafova

42 usmereni neusmereni Predstavljanje grafova Prostorna složenost matrica n 2 n(n + )/2 liste (netežinski) n + 2e n + 4e liste (težinski) n + 3e n + 6e Matrična reprezentacija pogodnija za dinamičku promenu broja grana za direktan pristup grani Ulančana reprezentacija pogodnija za dinamičku promenu broja čvorova za određivanje suseda Predstavljanje grafova

43 Obilazak grafa Svi čvorovi se posete samo jednom u nekom linearnom poretku Poredak zavisi od izbora početnog čvora ko se ne posete svi zbog nedostižnosti, nastavlja se sa nekim od neposećenih Na čvor se može naići više puta, ali samo prvi put se poseti Osnovni algoritmi zasnovani na susednosti: obilazak po širini (FS) obilazak po dubini (DFS) Obilazak grafa

44 Obilazak grafa po širini Strategija algoritma poseti početni čvor poseti njegove susede poseti njihove neposećene susede istim redom,... Posete u talasima, po nivoima iste udaljenosti Koristi se neprioritetni red za čekanje i vektor posećenosti Vremenska složenost O(n 2 ) za matričnu reprezentaciju O(max(n, e)) za ulančanu reprezentaciju Obilazak grafa

45 Obilazak grafa po širini FS(G, v) for i = to n do visit [i] = false end_for visit [v] = true INSERT(Q, v) while (not QUEUE-EMPTY(Q)) do v = DELETE(Q) for { u : (v, u) E} do if (not visit [u]) then visit [u] = true INSERT(Q, u) end_if end_for end_while Obilazak grafa

46 Obilazak grafa po širini C D l = l = C D CD C D E CDE E F G l = 2 D E F CDEF E F G CDEFG H I J l = 3 F G I CDEFGI G I CDEFGI I H J CDEFGIHJ Obilazak grafa

47 Obilazak grafa po dubini Strategija algoritma poseti početni čvor poseti jednog njegovog suseda poseti jednog neposećenog suseda prethodnog ako ga nema, vraća se do poslednjeg prethodnika koji ima neposećenog suseda Slično preorderu kod stabla Vremenska složenost O(n 2 ) za matričnu reprezentaciju O(max(n, e)) za ulančanu reprezentaciju Obilazak grafa

48 Obilazak grafa po dubini Rekurzivna realizacija DFS-VISIT(v) visit [v] = true for { u, (v, u) E } do if (not visit [u]) then DFS-VISIT(u) end_if end_for DFS(G, v) for i = to n do visit [i] = false end_for DFS-VISIT(v) Može i iterativna realizacija korišćenjem steka Obilazak grafa

49 Obilazak grafa po dubini Primer /4 2/3 8/9 C / G EDFCG D E F 4/5 3/6 7/2 Obilazak grafa

50 Primene obilaska grafa Određivanje najkraćeg rastojanja između dva čvora (i i j) u netežinskom grafu rastojanje do j jednako broju nivoa l[j] FS se startuje od polaznog čvora i (l[i] = ) pri poseti nekog čvora u preko drugog čvora v postavi se njegov nivo na l[u] = l[v] + kad se poseti čvor j rastojanje je nađeno kao minimalni broj grana od čvora i Provera cikličnosti postojanje poprečnih ili povratnih grana Obilazak grafa

51 Primene obilaska grafa Određivanje povezanih komponenata u neusmerenom grafu CONN-COMP(G) n_cc = for i = to n do visit[i] = false end_for for i = to n do if (not (visit[i]) then n_cc = n_cc + DFS-VISIT(i) CC(n_cc) end_if end_for Obilazak grafa

52 Primene obilazaka grafa /6 2/5 3/2 4/7 H 3/ 4 G C F D E 9/ 8/ 5/6 a) C D H CD H G F E GF E b) c) Obilazak grafa

53 Obuhvatna stabla Obuhvatno stablo ST = (U, E') neusmerenog, povezanog grafa G = (V, E) sadrži sve čvorove grafa, U = V sadrži određen broj grana, E' E, tako da su svi čvorovi povezani, ali da nema ciklusa a) b) c) d) Obuhvatna stabla

54 Obuhvatna stabla Obuhvatno stablo slobodno stablo Za nepovezan graf obuhvatna šuma ST i = (V i, E i ) Generiše se pomoću algoritama obilaska FS ili DFS na početku E' prazan skup kada se dođe do neposećenog čvora u, dolazna grana (v, u) se uključi u stablo (E' = E' + {(v, u)} u then delu algoritma roj grana u obuhvatnom stablu - n - Primene Obuhvatna stabla

55 Obuhvatna stabla lgoritmi i strukture podataka D E F C G D E F C G H H FS stablo a) b) C DFS stablo D E F G H c) Obuhvatna stabla

56 Minimalna obuhvatna stabla Cena obuhvatnog stabla w(u, v) U V - U (u, v) E' MST obuhvatno stablo čija je cena minimalna ko je U V iako je (u, v) grana najmanje težine takva da je u U i v (V U), onda postoji MST koje sadrži (u, v) v u x y Obuhvatna stabla

57 Prim-ov algoritam Inkrementalno gradi MST počevši od polaznog čvora dodajući po jednu granu i jedan čvor ira granu najmanje težine od onih koje povezuju čvorove koji su već uključeni u MST i čvorove koji još nisu uključeni PRIM(G, s) U = {s} E' = while (U V) do find (u, v) min {w(u, v) : (u U) and (v (V- U)) } U = U + {v} E' = E' + {(u, v)} end_while MST = (U, E') Obuhvatna stabla

58 a) 9 Prim-ov algoritam E E C F c) 9 C 6 D d) F D b) 9 9 E E C 8 6 C F 6 F 6 5 D D e) 9 E 2 6 C F 6 5 D f) E 6 C F 6 5 D 8 8 Obuhvatna stabla

59 Kruskal-ov algoritam KRUSKL(G) E' = for each (u, v) E do PQ-INSERT(PQ, w(u, v)) end_for num = while (num < n - ) do w(u,v) = PQ-MIN-DELETE(PQ) if ((u T i ) and (v T j ) and (i j)) then E' = E' + {(u, v)} T k = T i + T j num = num + end_if end_while MST = (V, E') Obuhvatna stabla

60 Kruskal-ov algoritam Polazi od šume nepovezanih čvorova - podstabala Inkrementalno dodaje po jednu granu ira granu koja: ima najmanju težinu od preostalih, neuključenih ne zatvara ciklus Završava kada se uključi n - grana Vremenska složenost - O(e log e) Obuhvatna stabla

61 Kruskal-ov algoritam 9 E E C 8 C 4 F F D D (D,F)+ a) b) (,D)- (C,F) + E E C C F F D D (,F) + (,C)- (E,F) + c) d) E 6 C F 6 5 D (,)+ E 6 C F 6 5 D e) 8 f) Obuhvatna stabla

62 Određivanje dostižnosti Matrica puta (dostižnosti) P p[i, j] = ako postoji put od i do j p[i, j] = ako ne postoji put od i do j a[i, k]a[k, j] = ako postoji put od i do j preko k a (2) ij = a[i, k]a[k, j] - broj puteva dužine 2 od i do j (2) = 2 a (3) ij = a[i, k] (2) a[k, j] - broj puteva dužine 3 od i do j (3) = 3,..., (m),... Određivanje dostižnosti

63 Određivanje dostižnosti lgoritam za određivanje matrice puta Naći (n) = + (2) (n) = n Članovi matrice puta P se određuju kao: p[i, j] = ako je b[i, j] (n) > p[i, j] = ako je b[i, j] (n) = Optimizacije: u prostoru -matrica bitova u vremenu or i and umesto * i + Vremenska složenost - O(n 4 ) Određivanje dostižnosti

64 Warshall-ov algoritam WRSHLL() P = for k = to n do for i = to n do for j = to n do p[i, j] = p[i, j] or (p[i, k] and p[k, j]) end_for end_for end_for if (p[i, k] = ) then for j = to n do p[i, j] = p[i, j] or p[k, j] end_for end_if Određivanje dostižnosti

65 Složenost: Warshall-ov algoritam vremenska - O(n 3 ) prostorna - O(n 2 ) U neusmerenom grafu može lakše: naći povezane komponente prostorna - O(n 2 ) p[i, j] = p[j, i] = za sve parove i i j u istoj povezanoj komponenti p[i, j] = p[j, i] = za sve parove i i j u različitim povezanim komponentama vremenska složenost - O(n 2 ) Određivanje dostižnosti

66 Najkraća a rastojanja G = (V, E) usmereni težinski graf w(i, j) -težina grane od i do j w(p k ) = w(i, j) dužina puta od do k Najkraće rastojanje između čvorova i i j je: d(i, j) = min{w(p)} po svim putevima od i do j ako j nije dostižan iz i p ij p i p jk v v i v j v k p' ij Određivanje najkraćih rastojanja

67 Najkraća a rastojanja Grane mogu imati i negativne težine Nisu dozvoljeni ciklusi sa negativnom težinom E 2 C D -9 3 F 2 G Određivanje najkraćih rastojanja

68 Floyd-ov ov algoritam Najkraća rastojanja i putevi između svih parova čvorova Ulaz matrica težina W w[i, j] = w[i, j] =w(i, j) w[i, j] = ako je i = j ako je i j i (i, j) E ako je i j i (i, j) E Izlaz matrica najkraćih rastojanja D i matrica prethodnika T Inicijalizacija matrice prethodnika T t[i, j] = ako je i = j ili w[i, j] = t[i, j] =i ako je i j ili w[i, j] < Određivanje najkraćih rastojanja

69 Floyd-ov ov algoritam lgoritmi i strukture podataka p ik (k-) i k p ij (k) p kj (k-) j FLOYD(W) D = W for k = to n do for i = to n do for j = to n do if (d[i, j] > d[i, k] + d[k, j]) then t[i, j] = t[k, j] d[i, j] = d[i, k] + d[k, j] end_if end_for end_for end_for Princip relaksacije ~ O(n 3 ) Određivanje najkraćih rastojanja

70 Floyd-ov ov algoritam Rekonstrukcija puta PTH(i, j) if (i = j) then PRINT(i) return else if (t[i, j] = ) then PRINT(Nema puta između i i j) else PTH(i, t[i, j]) PRINT(j) end_if end_if Određivanje najkraćih rastojanja

71 lgoritmi i strukture podataka Floyd Floyd-ov algoritam ov algoritam D () = T () = D (2) = T (2) = D (3) = T (3) = T () = D () = Određivanje najkraćih rastojanja

72 Floyd-ov ov algoritam Primena određivanje središta grafa ecc(v) = max {d[i, v] : i V } -ekscentričnost čvora min {ecc(v), v V } -središte Određivanje središta: naći matricu najkraćih rastojanja D naći maksimume kolona naći minimume od ovih maksimuma čvor koji odgovara minimumu -središte Određivanje najkraćih rastojanja

73 Dijkstra-in in algoritam Najkraća rastojanja i putevi između jednog čvora () i svih ostalih Ne dozvoljava negativne težine grana Ulaz matrica težina grana W Izlaz vektor najkraćih rastojanja D i vektor prethodnika T Inicijalizacija: vektora D sa prvom vrstom matrice W vektora T (t[i, j] = ako je w[, i] < ) Određivanje najkraćih rastojanja

74 Dijkstra-in in algoritam DIJKSTR(W) S = {} for i = 2 to n do d [i] = w [, i] if (w [, i] ) then t [i] = else t [i] = end_if end_for for k = to n - do find min {d [i] : i (V S) } S = S + {i} for each j (V S) do if (d [i] + w [i, j] < d [j]) then d [j] = d [i] + w [i, j] t [j] = i end_if end_for end_for Određivanje najkraćih rastojanja

75 Dijkstra-in in algoritam Rekonstrukcija puta od čvora do i PTH(i) if (i = ) then PRINT() return else if (t [i ] = ) then PRINT(Nema puta do i ) else PTH(t [i ]) PRINT(i) end_if end_if Određivanje najkraćih rastojanja

76 5 Dijkstra-in in algoritam d[i] - 3, ,2, ,2,4, ,2,4,3, t[i] Određivanje najkraćih rastojanja

77 Dijkstra-in in algoritam Dokaz korektnosti: korektnost postupka relaksacije korektnost određivanja najkraćeg rastojanja S x p xj v j S x v d[i] v p ix v i v i Određivanje najkraćih rastojanja

78 Dijkstra-in in algoritam Vremenska složenost: za matricu susednosti - O(n 2 ) za liste susednosti - O(e + n log n) lgoritam se može iskoristiti i za određivanje: najkraćih rastojanja između svih parova čvorova najkraćeg rastojanja između dva čvora ellman-ford algoritam ako su dozvoljene i grane sa negativnom težinom Određivanje najkraćih rastojanja

79 Protok u grafovima Problem optimizacije protoka u distributivnom sistemu Protočni graf težinski, usmereni graf: protok f(u, v) i kapacitet grane c(u, v) izvor S i odredištet neograničenog kapaciteta Ograničenje kapaciteta f(u, v) c(u, v) za sve (u, v) E Simetrija f(u, v) = -f(v, u) za sve (u, v) E Održanje protoka: f(u, v) = za sve u V, osim za S i T f(s, v) = f(u, T) za S i T Protok u grafovima

80 Maksimizacija protoka Određivanje najvećeg protoka od S do T koji protočni graf G = (V, E) može da propusti uz data ograničenja Polazi se od nultih početnih protoka grana Iterativno se traži put povećanog protoka Protok u grafovima

81 Maksimizacija protoka S 2/ 5/ 7/ 5/ 2/ 3/ T S 5/5 7/5 5/5 3/ T a) b) 2/2 5/5 S 7/3 T 5/5 3/2 c) Protok u grafovima

82 Maksimizacija protoka Rezidualni kapacitet grane cf(u, v) = c(u, v) - f(u, v) Rezidualni graf G f = (V, E f ) E f = { (u,v) : u, v V, cf(u, v) > } U početku rezidualni graf isti kao protočni Rezidualni graf može da sadrži i grane kojih nema u protočnom (e f 2e) Traži se put povećanog protoka od S do T u G f Rezidualni kapacitet puta cf(p) = min {cf(u, v) : (u,v) p } Protok u grafovima

83 Maksimizacija protoka Rezidualni graf S 2 5 T S 4 3 T a) b) Protok u grafovima

84 Maksimizacija protoka FORD-FULKERSON (G) for each (u,v) E do f(u,v) = f(v,u) = end_for while exists p(s, T) in G f do cf(p) = min {cf(u, v) : (u,v) p} for each (u, v) p do f(u, v) = f(u, v) + cf(p) f(v, u) = - f(u, v) end_for end_while Protok u grafovima

85 Maksimizacija protoka lgoritmi i strukture podataka 6 S 3 a) D C 2 4 T 6/2 S / c) 3/7 2/2 4/7 7/7 D C 2/9 4/ T 4 S e) D C 9 4 T 2/2 D 2/2 D 2/2 D 6/2 2/2 6/2 2/9 6/4 2/9 S / 7/ T S / 7/7 T S /2 7/7 T 3/ 4/ 3/ 4/4 3/9 4/4 b) 4/ C d) 4/ C f) 4/ C Protok u grafovima

86 Maksimizacija protoka Vremenska složenost zavisi od načina traženja puta povećanog protoka ko se traži preko obilaskom po širini ili dubini, gornja granica O(ef max ) F/ F/ F/F F/F S / T S / T F/ F/ F/F F/F a) b) Edmonds-Karp-ov algoritam traži put od S do T sa najmanjim brojem grana po FS - O(en 2 ) Protok u grafovima

87 Maksimizacija protoka Generalizacija : više izvora S,..., S m više odredišta T,, T n Superizvor S i superodredište T c(s, S i ) = i =,, m c(t i, T) = i =,, n Primeni se Ford-Fulkerson-ov algoritam Protok u grafovima

88 Uparivanje grafa Problemi uparivanja dva skupa jedan na jedan ipartitni neusmereni graf G = (V, E): V = V + V2 (u, v) E (u V v V2) (u V2 v V) Upareni skup grana podskup grana M tako da je za svaki čvor grafa najviše jedna grana iz M incidentna na njemu Maksimalni upareni skup upareni skup sa najviše grana Protok u grafovima

89 Uparivanje grafa Određivanje maksimalnog uparenog skupa se svodi na maksimizaciju protoka Za bipartitni graf G = (V, E) definiše se protočni graf G' = (V', E ) V' = V + {S} + {T} E' = {(S, u) : u V } + E + {(v, T) : v V2} c(u,v) = za sve (u, v) E' Na G' se primeni Ford-Fulkerson-ov algoritam Grane (u, v) E po kojima teče protok ulaze u maksimalni upareni skup grana f max = min (n, n2) ~ O(n e) Protok u grafovima

90 Uparivanje grafa lgoritmi i strukture podataka 2 C 3 S 2 C 3 T D 4 D 4 a) b) 2 2 S T S T C 3 C 3 D 4 D 4 c) d) Protok u grafovima

91 Topološko sortiranje Modeliranje složenih projekata usmerenim acikličnim grafovima Usmereni aciklični graf G = (V, E): čvorovi - događaji grane - aktivnosti Topološki poredak linearni poredak čvorova tako da se, za svaku granu (u, v) E, čvor u pojavljuje ispred čvora v Topološko sortiranje

92 Topološko sortiranje TOP-SORT(G) = V = E for i = to n do find u : d in (u) = T[i] = u = {u} for all v, (u, v) do = -{(u, v)} end_for end_for Vremenska složenost: za matricu susednosti - O(n 2 ) za liste susednosti - O(e + n ) Topološko sortiranje

93 Topološko sortiranje lgoritmi i strukture podataka C E D F C E D F C E D F E D F a) b) C C D c) d) E F F C D E F C D E C D E e) f) F g) Topološko sortiranje

94 Određivanje kritičnog puta Težina grane trajanje aktivnosti Čvor događaj uslovljen završetkom svih aktivnosti simuliranih ulaznim granama, pa mogu početi aktivnosti simulirane izlaznim granama Kritični put put najveće dužine od početnog do završnog čvora Najranije vreme početka izlaznih aktivnosti EST[i] = max{est[j] + w(j, i) : j P(i) } Najkasnije vreme početka izlaznih aktivnosti LST[i] = min{lst[j] - w(i, j) : j S(i) } Određivanje kritičnog puta

95 Određivanje kritičnog puta CRITICL-PTH(G) TOP-SORT(G) for u = to n do i = T[u] for each j P(i) do EST[i] = max{est[j] + w(j, i) } end_for end_for LST[n] = EST[n] for u = n downto do i = T[u] for each j S(i) do LST[i] = min{est[j] - w(i, j) } end_for end_for for i = to n do L[i] = LST[i] EST[i] end_for ~ O(e + n) Određivanje kritičnog puta

96 Određivanje kritičnog puta a 2 =3 a =5 i a 5 =6 a 4 =9 2 EST a 6 =7 a 3 =2 5 4 a 8 =4 LST a 9 =5 a 7 =8 6 L ktivnost a a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 l Određivanje kritičnog puta

U ovom dijelu upoznat ćemo strukturu podataka stablo, uvesti osnovnu terminologiju, implementaciju i algoritme nad tom strukturom.

U ovom dijelu upoznat ćemo strukturu podataka stablo, uvesti osnovnu terminologiju, implementaciju i algoritme nad tom strukturom. POGLAVLJE Stabla U ovom dijelu upoznat ćemo strukturu podataka stablo, uvesti osnovnu terminologiju, implementaciju i algoritme nad tom strukturom..1 Stabla Stabla su vrlo fleksibilna nelinearna struktura

More information

Projektovanje paralelnih algoritama II

Projektovanje paralelnih algoritama II Projektovanje paralelnih algoritama II Primeri paralelnih algoritama, I deo Paralelni algoritmi za množenje matrica 1 Algoritmi za množenje matrica Ovde su data tri paralelna algoritma: Direktan algoritam

More information

Grafovi. Osnovni algoritmi sa grafovima. Predstavljanje grafova

Grafovi. Osnovni algoritmi sa grafovima. Predstavljanje grafova Grafovi Osnovni algoritmi sa grafovima U ovom poglavlju će biti predstavljene metode predstavljanja i pretraživanja grafova. Pretraživanja grafa podrazumeva sistematično kretanje vezama grafa, tako da

More information

Red veze za benzen. Slika 1.

Red veze za benzen. Slika 1. Red veze za benzen Benzen C 6 H 6 je aromatično ciklično jedinjenje. Njegove dve rezonantne forme (ili Kekuléove structure), prema teoriji valentne veze (VB) prikazuju se uobičajeno kao na slici 1 a),

More information

TEORIJA SKUPOVA Zadaci

TEORIJA SKUPOVA Zadaci TEORIJA SKUPOVA Zadai LOGIKA 1 I. godina 1. Zapišite simbolima: ( x nije element skupa S (b) d je član skupa S () F je podskup slupa S (d) Skup S sadrži skup R 2. Neka je S { x;2x 6} = = i neka je b =

More information

An Algorithm for Computation of Bond Contributions of the Wiener Index

An Algorithm for Computation of Bond Contributions of the Wiener Index CROATICA CHEMICA ACTA CCACAA68 (1) 99-103 (1995) ISSN 0011-1643 CCA-2215 Original Scientific Paper An Algorithm for Computation of Bond Contributions of the Wiener Index Istvan Lukouits Central Research

More information

Osobine metode rezolucije: zaustavlja se, pouzdanost i kompletnost. Iskazna logika 4

Osobine metode rezolucije: zaustavlja se, pouzdanost i kompletnost. Iskazna logika 4 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Rezolucija 1 Metod rezolucije je postupak za dokazivanje da li je neka iskazna (ili

More information

Katedra za računarsku tehniku i informatiku

Katedra za računarsku tehniku i informatiku Katedra za računarsku tehniku i informatiku Algoritmi i strukture podataka 2 Milo V. Tomaševi ević Odsek za softversko inženjerstvo [SI] I II Sadržaj aj Linearne strukture podataka Nelinearne strukture

More information

Hamiltonovi grafovi i digrafovi

Hamiltonovi grafovi i digrafovi UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Slobodan Nogavica Hamiltonovi grafovi i digrafovi Master rad Novi Sad, 2016 Sadržaj Predgovor...2 Glava 1. Uvod...3

More information

Linearne strukture podataka. Nelinearne strukture podataka

Linearne strukture podataka. Nelinearne strukture podataka Katedra za računarsku tehniku i informatiku Algoritmi i strukture podataka 2 Milo V. Tomašević Odsek za softversko inženjerstvo [SI] I II Sadržaj Linearne strukture podataka Nelinearne strukture podataka

More information

Uvod u relacione baze podataka

Uvod u relacione baze podataka Uvod u relacione baze podataka Ana Spasić 2. čas 1 Mala studentska baza dosije (indeks, ime, prezime, datum rodjenja, mesto rodjenja, datum upisa) predmet (id predmeta, sifra, naziv, bodovi) ispitni rok

More information

KLASIFIKACIJA NAIVNI BAJES. NIKOLA MILIKIĆ URL:

KLASIFIKACIJA NAIVNI BAJES. NIKOLA MILIKIĆ   URL: KLASIFIKACIJA NAIVNI BAJES NIKOLA MILIKIĆ EMAIL: nikola.milikic@fon.bg.ac.rs URL: http://nikola.milikic.info ŠTA JE KLASIFIKACIJA? Zadatak određivanja klase kojoj neka instanca pripada instanca je opisana

More information

DISTRIBUIRANI ALGORITMI I SISTEMI

DISTRIBUIRANI ALGORITMI I SISTEMI Postavka 7: međusobno isključivanje sa read/write promenljivama 1 DISTRIBUIRANI ALGORITMI I SISTEMI Iz kursa CSCE 668 Proleće 2014 Autor izvorne prezentacije: Prof. Jennifer Welch Read/Write deljene promenljive

More information

Slika 1. Slika 2. Da ne bismo stalno izbacivali elemente iz skupa, mi ćemo napraviti još jedan niz markirano, gde će

Slika 1. Slika 2. Da ne bismo stalno izbacivali elemente iz skupa, mi ćemo napraviti još jedan niz markirano, gde će Permutacije Zadatak. U vreći se nalazi n loptica različitih boja. Iz vreće izvlačimo redom jednu po jednu lopticu i stavljamo jednu pored druge. Koliko različitih redosleda boja možemo da dobijemo? Primer

More information

Dekartov proizvod grafova

Dekartov proizvod grafova UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO - MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Marijana Petričević Jović Dekartov proizvod grafova Master rad Mentor: Prof. dr Ivica Bošnjak Novi Sad, 2017

More information

Algoritam za množenje ulančanih matrica. Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek

Algoritam za množenje ulančanih matrica. Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek Algoritam za množenje ulančanih matrica Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek O problemu (1) Neka je A 1, A 2,, A n niz ulančanih matrica duljine n N, gdje su dimenzije matrice

More information

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Drumska vozila Uputstvo za izradu vučnog proračuna motornog vozila. 1. Ulazni podaci IZVOR:

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Drumska vozila Uputstvo za izradu vučnog proračuna motornog vozila. 1. Ulazni podaci IZVOR: 1. Ulazni podaci IZVOR: WWW.CARTODAY.COM 1. Ulazni podaci Masa / težina vozila Osovinske reakcije Raspodela težine napred / nazad Dimenzije pneumatika Čeona površina Koeficijent otpora vazduha Brzinska

More information

PRIMJENA USMJERENIH HIPERGRAFOVA ZA PREDSTAVLJANJE FUNKCIONALNIH ZAVISNOSTI U RELACIONIM MODELIMA

PRIMJENA USMJERENIH HIPERGRAFOVA ZA PREDSTAVLJANJE FUNKCIONALNIH ZAVISNOSTI U RELACIONIM MODELIMA MAT-KOL (Banja Luka) ISSN 0354-6969 (p), ISSN 1986-5228 (o) Vol. XXII (1)(2016), 61-69 www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm PRIMJENA USMJERENIH HIPERGRAFOVA ZA PREDSTAVLJANJE FUNKCIONALNIH ZAVISNOSTI U RELACIONIM

More information

Data Structures and and Algorithm Xiaoqing Zheng

Data Structures and and Algorithm Xiaoqing Zheng Data Structures and Algorithm Xiaoqing Zheng zhengxq@fudan.edu.cn Representations of undirected graph 1 2 1 2 5 / 5 4 3 2 3 4 5 1 3 4 / 2 4 / 2 5 3 / 4 1 / Adjacency-list representation of graph G = (V,

More information

MREŽNI DIJAGRAMI Planiranje

MREŽNI DIJAGRAMI Planiranje MREŽNI DIJAGRAMI Planiranje 1 Mrežno planiranje se zasniva na grafičkom prikazivanju aktivnosti usmerenim dužima. Dužina duži nema značenja, a sa dijagrama se vidi međuzavisnost aktivnosti. U mrežnom planiranju

More information

UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIČKI FAKULTET

UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIČKI FAKULTET UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIČKI FAKULTET MASTER RAD SUFIKSNI NIZ Mentor: Student: Prof. dr Miodrag Živković Slaviša Božović 1014/2011. Beograd, 2015. UVOD... 1 1. OSNOVNI POJMOVI I DEFINICIJE... 2 1.1.

More information

O GLATKIM GRAFOVIMA KOMPATIBILNIM SA TEJLOROVIM OPERACIJAMA

O GLATKIM GRAFOVIMA KOMPATIBILNIM SA TEJLOROVIM OPERACIJAMA UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Vlado Uljarević O GLATKIM GRAFOVIMA KOMPATIBILNIM SA TEJLOROVIM OPERACIJAMA -master teza- Novi Sad, 2014 Sadržaj

More information

UNIVERZITET U NIŠU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET. mr Dragan Stevanović NEKE KOMPOZICIJE GRAFOVA I GRAFOVI SA CELOBROJNIM SPEKTROM

UNIVERZITET U NIŠU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET. mr Dragan Stevanović NEKE KOMPOZICIJE GRAFOVA I GRAFOVI SA CELOBROJNIM SPEKTROM UNIVERZITET U NIŠU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET mr Dragan Stevanović NEKE KOMPOZICIJE GRAFOVA I GRAFOVI SA CELOBROJNIM SPEKTROM doktorska disertacija Niš, 1999. Za Sanju Sadržaj Predgovor vii I NEPS

More information

Metode praćenja planova

Metode praćenja planova Metode praćenja planova Klasična metoda praćenja Suvremene metode praćenja gantogram mrežni dijagram Metoda vrednovanja funkcionalnosti sustava Gantogram VREMENSKO TRAJANJE AKTIVNOSTI A K T I V N O S T

More information

A L A BA M A L A W R E V IE W

A L A BA M A L A W R E V IE W A L A BA M A L A W R E V IE W Volume 52 Fall 2000 Number 1 B E F O R E D I S A B I L I T Y C I V I L R I G HT S : C I V I L W A R P E N S I O N S A N D TH E P O L I T I C S O F D I S A B I L I T Y I N

More information

Algorithms Booklet. 1 Graph Searching. 1.1 Breadth First Search

Algorithms Booklet. 1 Graph Searching. 1.1 Breadth First Search Algorithms Booklet 2010 Note: in all algorithms, unless stated otherwise, the input graph G is represented by adjacency lists. 1 Graph Searching 1.1 Breadth First Search Algorithm 1: BFS(G, s) Input: G

More information

Algoritmi za pronalaºenje minimalnog pokrivaju eg stabla

Algoritmi za pronalaºenje minimalnog pokrivaju eg stabla UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIƒKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Evelin Kurta Algoritmi za pronalaºenje minimalnog pokrivaju eg stabla Master rad Mentor: prof. dr Maja Pech

More information

Rešenja zadataka za vežbu na relacionoj algebri i relacionom računu

Rešenja zadataka za vežbu na relacionoj algebri i relacionom računu Rešenja zadataka za vežbu na relacionoj algebri i relacionom računu 1. Izdvojiti ime i prezime studenata koji su rođeni u Beogradu. (DOSIJE WHERE MESTO_RODJENJA='Beograd')[IME, PREZIME] where mesto_rodjenja='beograd'

More information

Mathcad sa algoritmima

Mathcad sa algoritmima P R I M J E R I P R I M J E R I Mathcad sa algoritmima NAREDBE - elementarne obrade - sekvence Primjer 1 Napraviti algoritam za sabiranje dva broja. NAREDBE - elementarne obrade - sekvence Primjer 1 POČETAK

More information

Algoritam za odre divanje ukupnog poravnanja dva grafa poravnanja parcijalnog ure daja

Algoritam za odre divanje ukupnog poravnanja dva grafa poravnanja parcijalnog ure daja SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET ELEKTROTEHNIKE I RAČUNARSTVA ZAVRŠNI RAD br. 000 Algoritam za odre divanje ukupnog poravnanja dva grafa poravnanja parcijalnog ure daja Mislav Bradač Zagreb, lipanj 2017.

More information

necessita d'interrogare il cielo

necessita d'interrogare il cielo gigi nei necessia d'inegae i cie cic pe sax span s inuie a dispiegaa fma dea uce < affeandi ves i cen dea uce isnane " sienzi dei padi sie veic dei' anima 5 J i f H 5 f AL J) i ) L '3 J J "' U J J ö'

More information

Iskazna logika 1. Matematička logika u računarstvu. oktobar 2012

Iskazna logika 1. Matematička logika u računarstvu. oktobar 2012 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia oktobar 2012 Iskazi, istinitost, veznici Intuitivno, iskaz je rečenica koja je ima tačno jednu jednu

More information

10 Max-Flow Min-Cut Flows and Capacitated Graphs 10 MAX-FLOW MIN-CUT

10 Max-Flow Min-Cut Flows and Capacitated Graphs 10 MAX-FLOW MIN-CUT 10 Max-Flow Min-Cut 10.1 Flows and Capacitated Graphs Previously, we considered weighted graphs. In this setting, it was natural to thinking about minimizing the weight of a given path. In fact, we considered

More information

AIR CURTAINS VAZDU[NE ZAVESE V H

AIR CURTAINS VAZDU[NE ZAVESE V H AIR CURTAINS V 15.000 H 21.000 KLIMA Co. 2 KLIMA Co. Flow and system stress should be known factors in air flow. The flow is gas quantity flowing through the system during given time unit and is measured

More information

Ivan Soldo. Sažetak. U članku se analiziraju različiti načini množenja matrica. Svaki od njih ilustriran je primjerom.

Ivan Soldo. Sažetak. U članku se analiziraju različiti načini množenja matrica. Svaki od njih ilustriran je primjerom. Osječki matematički list 5(005), 8 Različiti načini množenja matrica Ivan Soldo Sažetak U članku se analiziraju različiti načini množenja matrica Svaki od njih ilustriran je primjerom Ključne riječi: linearni

More information

NEURONSKE MREŽE 1. predavanje

NEURONSKE MREŽE 1. predavanje NEURONSKE MREŽE 1. predavanje dr Zoran Ševarac sevarac@gmail.com FON, 2014. CILJ PREDAVANJA I VEŽBI IZ NEURONSKIH MREŽA Upoznavanje sa tehnologijom - osnovni pojmovi i modeli NM Mogućnosti i primena NM

More information

APPROPRIATENESS OF GENETIC ALGORITHM USE FOR DISASSEMBLY SEQUENCE OPTIMIZATION

APPROPRIATENESS OF GENETIC ALGORITHM USE FOR DISASSEMBLY SEQUENCE OPTIMIZATION JPE (2015) Vol.18 (2) Šebo, J. Original Scientific Paper APPROPRIATENESS OF GENETIC ALGORITHM USE FOR DISASSEMBLY SEQUENCE OPTIMIZATION Received: 17 July 2015 / Accepted: 25 Septembre 2015 Abstract: One

More information

DYNAMIC HEAT TRANSFER IN WALLS: LIMITATIONS OF HEAT FLUX METERS

DYNAMIC HEAT TRANSFER IN WALLS: LIMITATIONS OF HEAT FLUX METERS DYNAMI EAT TRANFER IN WALL: LIMITATION OF EAT FLUX METER DINAMIČKI PRENO TOPLOTE U ZIDOVIMA: OGRANIČENJA MERAČA TOPLOTNOG PROTOKA (TOPLOTNOG FLUKA) 1 I. Naveros a, b,. Ghiaus a a ETIL UMR58, INA-Lyon,

More information

Oracle Spatial Koordinatni sustavi, projekcije i transformacije. Dalibor Kušić, mag. ing. listopad 2010.

Oracle Spatial Koordinatni sustavi, projekcije i transformacije. Dalibor Kušić, mag. ing. listopad 2010. Oracle Spatial Koordinatni sustavi, projekcije i transformacije Dalibor Kušić, mag. ing. listopad 2010. Pregled Uvod Koordinatni sustavi Transformacije Projekcije Modeliranje 00:25 Oracle Spatial 2 Uvod

More information

T h e C S E T I P r o j e c t

T h e C S E T I P r o j e c t T h e P r o j e c t T H E P R O J E C T T A B L E O F C O N T E N T S A r t i c l e P a g e C o m p r e h e n s i v e A s s es s m e n t o f t h e U F O / E T I P h e n o m e n o n M a y 1 9 9 1 1 E T

More information

Konstrukcija i analiza algoritama

Konstrukcija i analiza algoritama Konstrukcija i analiza algoritama 27. februar 207 Matematička indukcija Princip matematičke indukcije: Da bi za svako n N važilo tvrdjenje T (n) dovoljno je pokazati: bazu indukcije: tvrdjenje T () induktivni

More information

SINTAKSNA I ALGORITAMSKA NOTACIJA

SINTAKSNA I ALGORITAMSKA NOTACIJA B-1 Prilog B SINTAKSNA I ALGORITAMSKA NOTACIJA B-2 B.1 Sintaksna notacija sa zagradama U osnovi svake sintaksne notacije nalaze se slede}i elementi: sintaksni pojam: leksi~ka konstrukcija koja se defini{e;

More information

Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku. Odjel za matematiku. David Komesarović. Mooreovi grafovi. Diplomski rad. Osijek, 2017.

Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku. Odjel za matematiku. David Komesarović. Mooreovi grafovi. Diplomski rad. Osijek, 2017. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku David Komesarović Mooreovi grafovi Diplomski rad Osijek, 2017. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički

More information

Hamiltonov ciklus i Eulerova tura

Hamiltonov ciklus i Eulerova tura Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Maja Ivić Hamiltonov ciklus i Eulerova tura Završni rad Osijek, 2009. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku

More information

PRIMENA FAZI LOGIKE ZA REŠAVANJE NP-TEŠKIH PROBLEMA RUTIRANJA VOZILA I

PRIMENA FAZI LOGIKE ZA REŠAVANJE NP-TEŠKIH PROBLEMA RUTIRANJA VOZILA I UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIČKI FAKULTET Nina Radojičić PRIMENA FAZI LOGIKE ZA REŠAVANJE NP-TEŠKIH PROBLEMA RUTIRANJA VOZILA I METODAMA LOKACIJE RESURSA RAČUNARSKE INTELIGENCIJE doktorska disertacija

More information

Zadatci sa ciklusima. Zadatak1: Sastaviti progra koji određuje z ir prvih prirod ih rojeva.

Zadatci sa ciklusima. Zadatak1: Sastaviti progra koji određuje z ir prvih prirod ih rojeva. Zadatci sa ciklusima Zadatak1: Sastaviti progra koji određuje z ir prvih prirod ih rojeva. StrToIntDef(tekst,broj) - funkcija kojom se tekst pretvara u ceo broj s tim da je uvedena automatska kontrola

More information

Mehurasto sortiranje Brzo sortiranje Sortiranje učešljavanjem Sortiranje umetanjem. Overviev Problemi pretraživanja Heš tabele.

Mehurasto sortiranje Brzo sortiranje Sortiranje učešljavanjem Sortiranje umetanjem. Overviev Problemi pretraživanja Heš tabele. Bubble sort Razmotrimo još jedan vrlo popularan algoritam sortiranja podataka, vrlo sličan prethodnom algoritmu. Algoritam je poznat pod nazivom Bubble sort algoritam (algoritam mehurastog sortiranja),

More information

Mostovi Kaliningrada nekad i sada

Mostovi Kaliningrada nekad i sada Osječki matematički list 7(2007), 33 38 33 Mostovi Kaliningrada nekad i sada Matej Kopić, Antoaneta Klobučar Sažetak.U ovom radu su najprije dane stvarne situacije oko Kalingradskih mostova kroz povijest.

More information

6. PROGRAMSKE STRUKTURE STRUKTUIRANOG PROGRAMIRANJA

6. PROGRAMSKE STRUKTURE STRUKTUIRANOG PROGRAMIRANJA 6. PROGRAMSKE STRUKTURE STRUKTUIRANOG PROGRAMIRANJA U programiranju često postoji potreba da se redoslijed izvršavanja naredbi uslovi prethodno dobivenim međurezultatima u toku izvršavanja programa. Na

More information

CS 6301 PROGRAMMING AND DATA STRUCTURE II Dept of CSE/IT UNIT V GRAPHS

CS 6301 PROGRAMMING AND DATA STRUCTURE II Dept of CSE/IT UNIT V GRAPHS UNIT V GRAPHS Representation of Graphs Breadth-first search Depth-first search Topological sort Minimum Spanning Trees Kruskal and Prim algorithm Shortest path algorithm Dijkstra s algorithm Bellman-Ford

More information

Shortest Path Algorithms

Shortest Path Algorithms Shortest Path Algorithms Andreas Klappenecker [based on slides by Prof. Welch] 1 Single Source Shortest Path 2 Single Source Shortest Path Given: a directed or undirected graph G = (V,E) a source node

More information

Primjena optimizacije kolonijom mrava na rješavanje problema trgovačkog putnika

Primjena optimizacije kolonijom mrava na rješavanje problema trgovačkog putnika Fakultet elektrotehnike i računarstva Zavod za elektroniku, mikroelektroniku, računalne i inteligentne sustave Primjena optimizacije kolonijom mrava na rješavanje problema trgovačkog putnika Seminarski

More information

Transformatori. 10/2 Uvod. Jednofazni transformatori. Sigurnosni, rastavni, upravlja ki i

Transformatori. 10/2 Uvod. Jednofazni transformatori. Sigurnosni, rastavni, upravlja ki i Transformatori /2 Uvod Jednofazni transformatori Sigurnosni, rastavni, upravlja ki i mrežni transformatori 4AM, 4AT /4 Sigurnosni (mrežni transformatori) i upravlja ki transformatori 4AM /5 Rastavni, upravlja

More information

Sortiranje podataka. Ključne riječi: algoritmi za sortiranje, merge-sort, rekurzivni algoritmi. Data sorting

Sortiranje podataka. Ključne riječi: algoritmi za sortiranje, merge-sort, rekurzivni algoritmi. Data sorting Osječki matematički list 5(2005), 21 28 21 STUDENTSKA RUBRIKA Sortiranje podataka Alfonzo Baumgartner Stjepan Poljak Sažetak. Ovaj rad prikazuje jedno od rješenja problema sortiranja podataka u jednodimenzionalnom

More information

1 Review for Lecture 2 MaxFlow

1 Review for Lecture 2 MaxFlow Comp 260: Advanced Algorithms Tufts University, Spring 2009 Prof. Lenore Cowen Scribe: Wanyu Wang Lecture 13: Back to MaxFlow/Edmonds-Karp 1 Review for Lecture 2 MaxFlow A flow network showing flow and

More information

THE GRACE MESSENGER

THE GRACE MESSENGER G Ev L C 1326 S 26 S O, NE 68105-2380 402-341-7730 E: @. W S:.. Lk Fk :.fk./ R Sv Rqd Dd M REGULAR SUNDAY EVENTS 9:30.. C Ed 11:00.. W Sv P - Rv. D. D D. Lk Ed/C Sy - Bd S O - C Jffy Sx - A Lz L V C -

More information

Neke klase maksimalnih hiperklonova

Neke klase maksimalnih hiperklonova UNIVERZITET U NOVOM SDU PRIRODNO-MTEMTIČKI FKULTET DERRTMN Z MTEMTIKU I INFORMTIKU Jelena Čolić Neke klase maksimalnih hiperklonova - završni rad - MENTOR: Prof. dr Rozalija Madaras-Siladi Novi Sad, 2012.

More information

CSE 431/531: Analysis of Algorithms. Dynamic Programming. Lecturer: Shi Li. Department of Computer Science and Engineering University at Buffalo

CSE 431/531: Analysis of Algorithms. Dynamic Programming. Lecturer: Shi Li. Department of Computer Science and Engineering University at Buffalo CSE 431/531: Analysis of Algorithms Dynamic Programming Lecturer: Shi Li Department of Computer Science and Engineering University at Buffalo Paradigms for Designing Algorithms Greedy algorithm Make a

More information

Nekoliko kombinatornih dokaza

Nekoliko kombinatornih dokaza MAT-KOL (Banja Luka) ISSN 0354-6969 (p), ISSN 1986-5228 (o) http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm Vol. XXII (2)(2016), 141-147 Nekoliko kombinatornih dokaza Duško Jojić Prirodno-matematički fakultet, Univerzitet

More information

P a g e 5 1 of R e p o r t P B 4 / 0 9

P a g e 5 1 of R e p o r t P B 4 / 0 9 P a g e 5 1 of R e p o r t P B 4 / 0 9 J A R T a l s o c o n c l u d e d t h a t a l t h o u g h t h e i n t e n t o f N e l s o n s r e h a b i l i t a t i o n p l a n i s t o e n h a n c e c o n n e

More information

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike. Sortiranje u linearnom vremenu

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike. Sortiranje u linearnom vremenu Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike Tibor Pejić Sortiranje u linearnom vremenu Diplomski rad Osijek, 2011. Sveučilište J.

More information

Konstekstno slobodne gramatike

Konstekstno slobodne gramatike Konstekstno slobodne gramatike Vežbe 07 - PPJ Nemanja Mićović nemanja_micovic@matfbgacrs Matematički fakultet, Univerzitet u Beogradu 4 decembar 2017 Sadržaj Konstekstno slobodne gramatike Rečenična forma

More information

Grilled it ems are prepared over real mesquit e wood CREATE A COMBO STEAKS. Onion Brewski Sirloin * Our signature USDA Choice 12 oz. Sirloin.

Grilled it ems are prepared over real mesquit e wood CREATE A COMBO STEAKS. Onion Brewski Sirloin * Our signature USDA Choice 12 oz. Sirloin. TT & L Gl v l q T l q TK v i f i ' i i T K L G ' T G!? Ti 10 (Pik 3) -F- L P ki - ik T ffl i zzll ik Fi Pikl x i f l $3 (li 2) i f i i i - i f i jlñ i 84 6 - f ki i Fi 6 T i ffl i 10 -i i fi & i i ffl

More information

PREPORUKE I STANDARDI U OBLASTI SPOLJAŠNJEG OSVJETLJENJA SA PRAKTIČNOM PRIMJENOM KROZ PRIMJERE PROJEKATA I IZVEDENIH INSTALACIJA SA LED TEHNOLOGIJOM

PREPORUKE I STANDARDI U OBLASTI SPOLJAŠNJEG OSVJETLJENJA SA PRAKTIČNOM PRIMJENOM KROZ PRIMJERE PROJEKATA I IZVEDENIH INSTALACIJA SA LED TEHNOLOGIJOM PREPORUKE I STANDARDI U OBLASTI SPOLJAŠNJEG OSVJETLJENJA SA PRAKTIČNOM PRIMJENOM KROZ PRIMJERE PROJEKATA I IZVEDENIH INSTALACIJA SA LED TEHNOLOGIJOM ANA DRNDAREVIĆ, dipl.inž.el. (Minel -Schréder- Beograd)

More information

Karakterizacija problema zadovoljenja uslova širine 1

Karakterizacija problema zadovoljenja uslova širine 1 UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Aleksandar Prokić Karakterizacija problema zadovoljenja uslova širine 1 -master rad- Mentor: dr Petar Marković

More information

A multidimensional generalization of the Steinhaus theorem

A multidimensional generalization of the Steinhaus theorem Mathematical Communications 2(1997, 129 133 129 A multidimensional generalization of the Steinhaus theorem Miljenko Crnjac Abstract. Steinhaus has shown that the subset of R of the form A + B = {a + b

More information

LINEARNI MODELI STATISTIČKI PRAKTIKUM 2 2. VJEŽBE

LINEARNI MODELI STATISTIČKI PRAKTIKUM 2 2. VJEŽBE LINEARNI MODELI STATISTIČKI PRAKTIKUM 2 2. VJEŽBE Linearni model Promatramo jednodimenzionalni linearni model. Y = β 0 + p β k x k + ε k=1 x 1, x 2,..., x p - varijable poticaja (kontrolirane) ε - sl.

More information

Modified Zagreb M 2 Index Comparison with the Randi} Connectivity Index for Benzenoid Systems

Modified Zagreb M 2 Index Comparison with the Randi} Connectivity Index for Benzenoid Systems CROATICA CHEMICA ACTA CCACAA 7 (2) 83 87 (2003) ISSN-00-3 CCA-2870 Note Modified Zagreb M 2 Index Comparison with the Randi} Connectivity Index for Benzenoid Systems Damir Vuki~evi} a, * and Nenad Trinajsti}

More information

Projektovanje paralelnih algoritama I. Uvod Osnove dinamičke paralelizacije

Projektovanje paralelnih algoritama I. Uvod Osnove dinamičke paralelizacije Projektovanje paralelnih algoritama I Uvod Osnove dinamičke paralelizacije 1 Uvod PLATFORMA ZA DINAMIČKU PARALELIZACIJU Omogućava specificiranje paralelizma u aplikaciji Bez brige o komunikacionim protokolima,

More information

Years. Marketing without a plan is like navigating a maze; the solution is unclear.

Years. Marketing without a plan is like navigating a maze; the solution is unclear. F Q 2018 E Mk l lk z; l l Mk El M C C 1995 O Y O S P R j lk q D C Dl Off P W H S P W Sl M Y Pl Cl El M Cl FIRST QUARTER 2018 E El M & D I C/O Jff P RGD S C D M Sl 57 G S Alx ON K0C 1A0 C Tl: 6134821159

More information

Summary Modeling of nonlinear reactive electronic circuits using artificial neural networks

Summary Modeling of nonlinear reactive electronic circuits using artificial neural networks Summary Modeling of nonlinear reactive electronic circuits using artificial neural networks The problem of modeling of electronic components and circuits has been interesting since the first component

More information

RTPR Sampler Program

RTPR Sampler Program P Sl P i H B v N Ahi kd f hl qi N hk F N F N S F N Bkffi F N lid Si F $99.95 Sl Pk Giv 365 bhi Ad w will hw hw h $99.95 il b dd Z P Sl P i H B v Hih wd A Sihfwd i Pl wih f di v : B ii 1 i 6.25% 2d i 2.5%

More information

Trade Patterns, Production networks, and Trade and employment in the Asia-US region

Trade Patterns, Production networks, and Trade and employment in the Asia-US region Trade Patterns, Production networks, and Trade and employment in the Asia-U region atoshi Inomata Institute of Developing Economies ETRO Development of cross-national production linkages, 1985-2005 1985

More information

CS 1501 Recitation. Xiang Xiao

CS 1501 Recitation. Xiang Xiao CS 1501 Recitation Xiang Xiao Network Flow A flow network G=(V,E): a directed graph, where each edge (u,v) E has a nonnegative capacity c(u,v)>=0. If (u,v) E, we assume that c(u,v)=0. two distinct vertices

More information

Graphs with the Same Detour Matrix

Graphs with the Same Detour Matrix CROATICA CHEMICA ACTA CCACAA 71 (1) 53 68 (1998) ISSN-0011-1643 CCA-2477 Original Scientific Paper Graphs with the Same Detour Matrix Milan Randi}, a Luz M. DeAlba, a and Frank E. Harris b a Department

More information

Dr. Željko Jurić: Matematička logika i teorija izračunljivosti Radna skripta za istoimeni kurs na Elektrotehničkom fakultetu u Sarajevu.

Dr. Željko Jurić: Matematička logika i teorija izračunljivosti Radna skripta za istoimeni kurs na Elektrotehničkom fakultetu u Sarajevu. Dr. Željko Jurić: Matematička logika i teorija izračunljivosti Radna skripta za istoimeni kurs na Elektrotehničkom fakultetu u Sarajevu (akademska godina 2015/16) Funkcijske relacije i funkcije (preslikavanja)

More information

PRECIPITATION FORECAST USING STATISTICAL APPROACHES UDC 55:311.3

PRECIPITATION FORECAST USING STATISTICAL APPROACHES UDC 55:311.3 FACTA UNIVERSITATIS Series: Working and Living Environmental Protection Vol. 10, N o 1, 2013, pp. 79-91 PRECIPITATION FORECAST USING STATISTICAL APPROACHES UDC 55:311.3 Mladjen Ćurić 1, Stanimir Ţivanović

More information

24. Balkanska matematiqka olimpijada

24. Balkanska matematiqka olimpijada 4. Balkanska matematika olimpijada Rodos, Gka 8. apil 007 1. U konveksnom etvoouglu ABCD vaжi AB = BC = CD, dijagonale AC i BD su azliite duжine i seku se u taki E. Dokazati da je AE = DE ako i samo ako

More information

Formalni postupci u oblikovanju računalnih sustava

Formalni postupci u oblikovanju računalnih sustava Formalni postupci u oblikovanju računalnih sustava Auditorne vježbe BDD - Dijagrami binarnog odlučivanja III Edgar Pek Zavod za elektroniku, mikroelektroniku, računalne i inteligentne sustave Fakultet

More information

Simetrične matrice, kvadratne forme i matrične norme

Simetrične matrice, kvadratne forme i matrične norme Sveučilište JJStrossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Martina Dorić Simetrične matrice, kvadratne forme i matrične norme Završni rad Osijek, 2014 Sveučilište

More information

Ksenija Doroslovački KOMBINATORIKA INTERPRETIRANA FUNKCIJAMA I NJIHOVIM OSOBINAMA MASTER RAD. NOVI SAD jun 2008

Ksenija Doroslovački KOMBINATORIKA INTERPRETIRANA FUNKCIJAMA I NJIHOVIM OSOBINAMA MASTER RAD. NOVI SAD jun 2008 1 Ksenija Doroslovački KOMBINATORIKA INTERPRETIRANA FUNKCIJAMA I NJIHOVIM OSOBINAMA MASTER RAD NOVI SAD jun 2008 2 Sadržaj 1 UVOD 5 2 FUNKCIJE 11 3 KLASIČNI KOMBINATORNI OBJEKTI 17 4 NEKI NEKLASIČNI KOMBINATORNI

More information

NIPP. Implementing rules for metadata. Ivica Skender NSDI Working group for technical standards.

NIPP. Implementing rules for metadata. Ivica Skender NSDI Working group for technical standards. Implementing rules for metadata Ivica Skender NSDI Working group for technical standards ivica.skender@gisdata.com Content Working group for technical standards INSPIRE Metadata implementing rule Review

More information

Đorđe Đorđević, Dušan Petković, Darko Živković. University of Niš, The Faculty of Civil Engineering and Architecture, Serbia

Đorđe Đorđević, Dušan Petković, Darko Živković. University of Niš, The Faculty of Civil Engineering and Architecture, Serbia FACTA UNIVERSITATIS Series: Architecture and Civil Engineering Vol. 6, N o 2, 2008, pp. 207-220 DOI:10.2298/FUACE0802207D THE APPLIANCE OF INTERVAL CALCULUS IN ESTIMATION OF PLATE DEFLECTION BY SOLVING

More information

CMPS 6610 Fall 2018 Shortest Paths Carola Wenk

CMPS 6610 Fall 2018 Shortest Paths Carola Wenk CMPS 6610 Fall 018 Shortest Paths Carola Wenk Slides courtesy of Charles Leiserson with changes and additions by Carola Wenk Paths in graphs Consider a digraph G = (V, E) with an edge-weight function w

More information

Data Structures and and Algorithm Xiaoqing Zheng

Data Structures and and Algorithm Xiaoqing Zheng Data Structures and Algorithm Xiaoqing Zheng zhengxq@fudan.edu.cn Trees (max heap) 1 16 2 3 14 10 4 5 6 7 8 7 9 3 8 9 10 2 4 1 PARENT(i) return i /2 LEFT(i) return 2i RIGHT(i) return 2i +1 16 14 10 8 7

More information

CS 4407 Algorithms Lecture: Shortest Path Algorithms

CS 4407 Algorithms Lecture: Shortest Path Algorithms CS 440 Algorithms Lecture: Shortest Path Algorithms Prof. Gregory Provan Department of Computer Science University College Cork 1 Outline Shortest Path Problem General Lemmas and Theorems. Algorithms Bellman-Ford

More information

Linearno uređena topologija

Linearno uređena topologija Univerzitet u Novom Sadu Prirodno-matematički fakultet Departman za matematiku i informatiku Aleksandar Janjoš Linearno uređena topologija Master rad Mentor: Dr Aleksandar Pavlović 2017, Novi Sad Sadržaj

More information

Neke primene teorije fazi skupova i fazi logike u procesiranju slika

Neke primene teorije fazi skupova i fazi logike u procesiranju slika Univerzitet u Beogradu Matematički fakultet Neke primene teorije fazi skupova i fazi logike u procesiranju slika - Master rad - Nebojša Perić 1024/2013 Beograd, 2014. 2 Mentor: Članovi komisije: Datum

More information

1.1 Algoritmi. 2 Uvod

1.1 Algoritmi. 2 Uvod GLAVA 1 Uvod Realizacija velikih računarskih sistema je vrlo složen zadatak iz mnogih razloga. Jedan od njih je da veliki programski projekti zahtevaju koordinisani trud timova stručnjaka različitog profila.

More information

Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Diplomski studij matematike. Planarni grafovi. Diplomski rad. Osijek, 2013.

Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Diplomski studij matematike. Planarni grafovi. Diplomski rad. Osijek, 2013. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Diplomski studij matematike Marina Križić Planarni grafovi Diplomski rad Osijek, 2013. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku

More information

Metode rješavanja kvadratičnog problema pridruživanja

Metode rješavanja kvadratičnog problema pridruživanja SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET ELEKTROTEHNIKE I RAČUNARSTVA MAGISTARSKI RAD Metode rješavanja kvadratičnog problema pridruživanja Dipl. ing. Zvonimir Vanjak Mentor: Prof.dr. Damir Kalpić . Sadržaj. SADRŽAJ...2

More information

Types of Networks. Internet Telephone Cell Highways Rail Electrical Power Water Sewer Gas

Types of Networks. Internet Telephone Cell Highways Rail Electrical Power Water Sewer Gas Flow Networks Network Flows 2 Types of Networks Internet Telephone Cell Highways Rail Electrical Power Water Sewer Gas 3 Maximum Flow Problem How can we maximize the flow in a network from a source or

More information

Uvod u analizu (M3-02) 05., 07. i 12. XI dr Nenad Teofanov. principle) ili Dirihleov princip (engl. Dirichlet box principle).

Uvod u analizu (M3-02) 05., 07. i 12. XI dr Nenad Teofanov. principle) ili Dirihleov princip (engl. Dirichlet box principle). Uvod u analizu (M-0) 0., 07. i. XI 0. dr Nenad Teofanov. Kardinalni broj skupa R U ovom predavanju se razmatra veličina skupa realnih brojeva. Jasno, taj skup ima beskonačno mnogo elemenata. Pokazaće se,

More information

AKSIOM IZBORA I EKVIVALENCIJE

AKSIOM IZBORA I EKVIVALENCIJE Sveučilište J.J. Strossmayera Odjel za matematiku Preddiplomski sveučilišni studij matematike Igor Sušić AKSIOM IZBORA I EKVIVALENCIJE Završni rad Osijek, 2013. Sveučilište J.J. Strossmayera Odjel za matematiku

More information

PLANIRANJE SAOBRAĆAJA - Izvod iz vježbi -II dio-

PLANIRANJE SAOBRAĆAJA - Izvod iz vježbi -II dio- PLANIRANJE SAOBRAĆAJA - Izvod iz vježbi -II dio- Predmetni nastavnik: Doc. dr. Valentina Basarić, dipl.ing.saobr. Viši asistent: MSc Slavko Davidović, dipl.ing.saobr. jun, 2016 1 Zadatak 1 Jedinstveni

More information

Algorithms: Lecture 12. Chalmers University of Technology

Algorithms: Lecture 12. Chalmers University of Technology Algorithms: Lecture 1 Chalmers University of Technology Today s Topics Shortest Paths Network Flow Algorithms Shortest Path in a Graph Shortest Path Problem Shortest path network. Directed graph G = (V,

More information

Preliminaries. Graphs. E : set of edges (arcs) (Undirected) Graph : (i, j) = (j, i) (edges) V = {1, 2, 3, 4, 5}, E = {(1, 3), (3, 2), (2, 4)}

Preliminaries. Graphs. E : set of edges (arcs) (Undirected) Graph : (i, j) = (j, i) (edges) V = {1, 2, 3, 4, 5}, E = {(1, 3), (3, 2), (2, 4)} Preliminaries Graphs G = (V, E), V : set of vertices E : set of edges (arcs) (Undirected) Graph : (i, j) = (j, i) (edges) 1 2 3 5 4 V = {1, 2, 3, 4, 5}, E = {(1, 3), (3, 2), (2, 4)} 1 Directed Graph (Digraph)

More information

Karakteri konačnih Abelovih grupa

Karakteri konačnih Abelovih grupa Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Matija Klarić Karakteri konačnih Abelovih grupa Završni rad Osijek, 2015. Sveučilište J. J. Strossmayera

More information