Akcijska logika dreves izvajanj z operatorjem unless

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Size: px
Start display at page:

Download "Akcijska logika dreves izvajanj z operatorjem unless"

Transcription

1 Univerza v Mariboru Fakulteta za elektrotehniko, računalništvo in informatiko Robert Meolic Akcijska logika dreves izvajanj z operatorjem unless Doktorska disertacija Maribor, september 2005

2 Avtor: Naslov: Naslov v angleščini: Ključne besede: Robert Meolic Akcijska logika dreves izvajanj z operatorjem unless Action computation tree logic with unless operator UDK: (043.3) Število izvodov: 10 Obdelava besedila: Obdelava slik: Razmnoževanje: formalne metode verifikacije sistemov, preverjanje modela, temporalna logika, CTL, ACTL, ACTLW, diagnostika, priča, protiprimer, avtomat prič in protiprimerov, problem medsebojnega izključevanja Robert Meolic Robert Meolic Laboratorij za mikroračunalniške sisteme, Fakulteta za elektrotehniko, računalništvo in informatiko, Maribor Kraj in datum: Maribor, september 2005

3 Na Univerzi v Mariboru, Fakulteti za elektrotehniko, računalništvo in informatiko, je mag. Robert Meolic, univ. dipl. inž. rač. dne 16. septembra 2005 uspešno zagovarjal doktorsko disertacijo z naslovom Akcijska logika dreves izvajanj z operatorjem unless pred komisijo v sestavi: 1. red. prof. dr. Igor Tičar predsednik 2. izr. prof. dr. Tatjana Kapus, mentorica članica 3. red. prof. dr. Zmago Brezočnik član 4. Prof. Alessandro Fantechi, Univerza v Firencah član

4

5 vii Posveˇceno staršema, ki sta mi vedno stala ob strani in Marku, da bi našel eno od sreˇcnih poti skozi ˇzivljenje!

6 viii

7 ix Zahvala Zahvaljujem se mentorici izr. prof. dr. Tatjani Kapus, ki spremlja moje raziskovalno delo od samega začetka in ki je s svojim znanjem in trudom pripomogla, da je ta doktorska disertacija bogatejša, celovitejša in tudi lepša, kot bi bila sicer. Še posebej hvala za vsa strokovna vprašanja, predloge, pripombe in številne razgovore, v katerih se je kalila vsebina pričujočega dela. Iskrena hvala tudi za obilno pomoč in podporo skozi vse obdobje podiplomskega študija, še posebej za zares skrbne jezikovne preglede slovenskih in angleških besedil. Zahvaljujem se vodji Laboratorija za mikroračunalniške sisteme red. prof. dr. Zmagu Brezočniku in vodji Inštituta za elektroniko red. prof. dr. Bogomirju Horvatu, da sta med mojim podiplomskim študijem skrbela za to, da sem lahko bil zaposlen na Fakulteti za elektrotehniko, računalništvo in informatiko v Mariboru, da sem lahko sodeloval, se preizkušal in se izpopolnjeval v raznih oblikah strokovnih in znanstvenih dejavnosti in da sem kdaj pa kdaj zaradi postavljenih izzivov naredil tudi več, kot sem bil dolžan narediti. Njuni dobri nameni, spodbude in vložen trud so gotovo vplivali na moje delo. Zahvaljujem se Prof. Alessandru Fantechiju iz Dipartimento di Sistemi e Informatica na Univerzi v Firencah za sodelovanje na strokovnem področju, še posebej med mojim trimesečnim gostovanjem v Italiji. Sodelovanje z njim je pomembno prispevalo k mojemu razumevanju tematike nastajajoče doktorske disertacije in mi hkrati omogočilo, da sem dodal zelo atraktivno poglavje o avtomatih prič in protiprimerov. Vsem članom komisije za oceno doktorske disertacije se še posebej zahvaljujem za skrbni pregled pričujočega dela ter za vse zelo koristne pripombe in predloge.

8 x

9 xi UDK: (043.3) Ključne besede: formalne metode verifikacije sistemov, preverjanje modela, temporalna logika, CTL, ACTL, ACTLW, diagnostika, priča, protiprimer, avtomat prič in protiprimerov, problem medsebojnega izključevanja Akcijska logika dreves izvajanj z operatorjem unless Povzetek Doktorska disertacija definira in raziskuje akcijsko logiko dreves izvajanj z operatorjem unless (ACTLW). ACTLW je izjavna temporalna logika razvejanega časa. Izhaja iz logike ACTL, ki je bila vpeljana leta 1990 in je ena od uveljavljenih temporalnih logik za izražanje lastnosti modelov, ki temeljijo na dogodkih. ACTLW je fleksibilnejša od ACTL, saj ne vsiljuje uporabe notranjega dogodka τ pri izražanju lastnosti. ACTLW je tudi nekoliko izraznejša od ACTL, saj vsebuje temporalni operator unless (W), katerega pomena v ACTL ni možno v celoti izraziti. Nasprotno pa lahko vse formule ACTL izrazimo z uporabo operatorjev ACTLW. ACTLW omogoča učinkovito izvedbo preverjanja modelov s podobnimi algoritmi kot pri preverjanju modela s CTL, kar je pomembna izboljšava glede na logiko ACTL. Doktorska disertacija podaja definicijo logike ACTLW, izpeljave vseh standardnih temporalnih operatorjev in algoritme za globalno preverjanje modela z ACTLW s simboličnim računanjem. Predstavljeni so tudi algoritmi za tvorjenje diagnostike pri AC- TLW, za tvorjenje linearnih prič in protiprimerov pri ACTLW ter za tvorjenje avtomatov prič in protiprimerov pri ACTLW. Doktorska disertacija je v celoto zaokrožena z vzorci formul ACTLW in dvema večjima praktičnima primeroma: verifikacijo več različnih algoritmov za medsebojno izključevanje in verifikacijo dveh asinhronih vezij za porazdeljeno medsebojno izključevanje.

10 xii

11 xiii UDK: (043.3) Keywords: formal methods of system verification, model checking, temporal logic, CTL, ACTL, ACTLW, diagnostics, witness, counterexample, witness and counterexample automaton, mutual-exclusion problem Action computation tree logic with unless operator Abstract This thesis defines and studies action computation tree logic with unless operator (ACTLW). ACTLW is a propositional branching-time temporal logic. It is derived from logic ACTL, which was introduced in 1990 and which is one of established temporal logics for expressing properties of action-based models. ACTLW is more flexible than ACTL, because it does not impose the usage of silent action τ in expressing of the properties. ACTLW has also a slightly greater expressive power than ACTL, because it contains temporal operator unless (W), whose meaning cannot be fully covered in ACTL. As opposite, all ACTL formulae can be expressed using ACTLW operators. ACTLW enables efficient implementation of model checking by using similar algorithms to those used for CTL model checking, which is a significant advantage in comparison to logic ACTL. The thesis gives a definition of logic ACTLW, derivations of all standard temporal operators, and algorithms for global ACTLW model checking using symbolic methods. Moreover, algorithms for generation of diagnostics for ACTLW, for generation of linear witnesses and counterexamples for ACTLW, and for generation of witness and counterexample automata for ACTLW are presented. The thesis is accomplished with patterns of ACTLW formulae and two larger practical examples: a verification of several different mutual-exclusion algorithms and a verification of two asynchronous distributed mutual-exclusion circuits.

12 xiv

13 Vsebina Kazalo slik Kazalo definicij Kazalo primerov xix xxiii xxv 1 Uvod Predstavitev problema Vsebina doktorske disertacije Izvirni znanstveni prispevki doktorske disertacije Temporalne logike CTL, ACTL in ACTLW Teoretične osnove Negibna točka Model Temporalna logika Kripkejeva struktura in CTL Označeni sistem prehajanja stanj in ACTL Temporalna logika ACTLW Preslikave med logikami CTL, ACTL in ACTLW Vzorci formul za CTL, ACTL in ACTLW Vzorci prisotnosti in odsotnosti Vzorci za izražanje obstoja Vzorci za izražanje obstoja prednikov Vzorci za izražanje obstoja odziva Vzorci za izražanje trajanja Preizkus vzorcev formul ACTLW in ACTL Vpeljava zagatnih stanj v LTS xv

14 xvi VSEBINA 3 Preverjanje modela z ACTLW Teoretične osnove Preklopna algebra in logične funkcije Simbolične metode Preverjanje modela Simbolično preverjanje modela z ACTLW Izvedba z operatorji EEU, EEW, AAU in AAW Razreševanje operatorja EEU Razreševanje operatorja EEW Razreševanje operatorja AAU Razreševanje operatorja AAW Izvedba z operatorji EEU, EEG, AAW in AAF Razreševanje operatorja EEG Razreševanja negacije operatorja AAW Razreševanje negacije operatorja AAF Vpeljava zagatnih stanj v LTS Diagnostika ter priče in protiprimeri pri ACTLW Teoretične osnove Diagnostične poti pri ACTLW Tvorjenje diagnostične poti za operator EEU Tvorjenje diagnostične poti za operator EEG Tvorjenje diagnostične poti za operator AAW Tvorjenje diagnostične poti za operator AAF Tvorjenje diagnostičnih poti za druge operatorje ACTLW Vpeljava zagatnih stanj v LTS Diagnostika za ACTLW Linearne priče in protiprimeri za ACTLW Avtomati prič in protiprimerov za ACTLW Praktični primeri Orodje za verifikacijo sistemov EST Kratka predstavitev orodja Specifikacija modelov Preverjanje modela z ACTL in ACTLW Verifikacija algoritmov za medsebojno izključevanje Dekkerjev algoritem

15 VSEBINA xvii Hymanov algoritem Lamportov pekarniški algoritem Petersonov algoritem Rezultati verifikacije Verifikacija asinhronih vezij za medsebojno izključevanje Kratek uvod v načrtovanje asinhronih vezij Modeliranje asinhronih vezij z LTS-ji Odkrivanje hazardov z uporabo preverjanja modela Asinhrona vezja za porazdeljeno medsebojno izključevanje Rezultati verifikacije Zaključek 135 Literatura 139 A Najmanjša zadostna množica operatorjev za CTL 147 B Pretvorba formul ACTLW v formule ACTL 151 B.1 Pretvorba formul z operatorjem EEU B.2 Pretvorba formul z operatorjem AAU B.3 Pretvorba formul z operatorjem EEW B.4 Pretvorba formul z operatorjem AAW B.5 Pretvorba formul ACTLW z izpeljanimi operatorji B.6 Pretvorba okrajšanih formul ACTLW Življenjepis 161 Bibliografija 163

16 xviii VSEBINA

17 Kazalo slik 2.1 Kripkejeva struktura in del pripadajočega drevesa izvajanj Pot v označenem sistemu prehajanja stanj Pomen temporalnih operatorjev pri ACTLW Shematski prikaz preslikave lts2ks strong Shematski prikaz preslikave ks2lts strong LTS za preizkus vzorcev formul ACTLW in ACTL Rezultati preizkusa vzorcev formul ACTLW in ACTL Shematski prikaz uporabe simboličnih metod Osnovni algoritem za razreševanje operatorja EEU Učinkovit algoritem za razreševanje operatorja EEU Osnovni algoritem za razreševanje operatorja EEW Učinkovit algoritem za razreševanje operatorja EEW Osnovni algoritem za razreševanje operatorja AAU Osnovni algoritem za razreševanje operatorja AAW Učinkovit algoritem za razreševanje operatorja EEG Učinkovit algoritem za razreševanje negacije operatorja AAW Učinkovit algoritem za razreševanje negacije operatorja AAF Razreševanje operatorja EEW v LTS-jih, ki vsebujejo zagatna stanja Razreševanje operatorja AAU v LTS-jih, ki vsebujejo zagatna stanja Razreševanje operatorja EEG v LTS-jih, ki vsebujejo zagatna stanja Razreševanje negacije operatorja AAF, ki vsebujejo zagatna stanja Tvorjenje diagnostične poti za operator EEU Algoritem za odkrivanje cikla pri operatorju EEG Tvorjenje cikla pri operatorju EEG Tvorjenje diagnostične poti za operator AAW Algoritem za odkrivanje cikla pri operatorju AAF xix

18 xx KAZALO SLIK 4.6 Tvorjenje cikla pri operatorju AAF Primer drevesa podformul LTS, za katerega tvorimo enostavno diagnostiko Drevo podformul, če diagnostična pot za EEW nima cikla Drevo podformul, ko pri EEW izberemo diagnostično pot s ciklom Drevo podformul med tvorjenjem praktične priče Algoritem za tvorjenje avtomatov prič in protiprimerov (1. del) Algoritem za tvorjenje avtomatov prič in protiprimerov (2. del) Algoritem za tvorjenje avtomatov prič in protiprimerov (3. del) Algoritem za tvorjenje avtomatov prič in protiprimerov (4. del) Preprost LTS in avtomata prič za dve preprosti formuli ACTLW Dopolnitev algoritma za tvorjenje avtomata prič in protiprimerov Avtomati prič in protiprimerov za formule ACTL Specifikacija modela z LTS-jem Specifikacija modela s procesno algebro CCS Specifikacija BNF za formule ACTL in ACTLW LTS-ji, s katerimi predstavimo in obdelujemo spremenljivke Dekkerjev algoritem za medsebojno izključevanje Model procesa P1 v Dekkerjevem algoritmu Hymanov algoritem za medsebojno izključevanje Model procesa P1 v Hymanovem algoritmu Lamportov pekarniški algoritem za medsebojno izključevanje Modela procesov P1 in P2 v Lamportovem pekarniškem algoritmu Ben-Arijeva različica pekarniškega algoritma Modela procesov P1 in P2 v Ben-Arijevi različici pekarniškega algoritma Pekarniški algoritem iz projekta STeP Modela procesov P1 in P2 v pekarniškem algoritmu iz projekta STeP Petersonov algoritem za medsebojno izključevanje Model procesa P1 v Petersonovem algoritmu Velikost modelov algoritmov za medsebojno izključevanje Rezultati verifikacije algoritmov za medsebojno izključevanje Diagnostika in protiprimer za Hymanov algoritem Diagnostika in protiprimer za pekarniški algoritem iz projekta STeP Izvedba elementa C z osnovnimi vrati Vezje z oscilirajočim izhodom Statični hazard

19 KAZALO SLIK xxi 5.24 Dinamični hazard Prehodni hazard Hazard stanja Model vezja za dvovhodna vrata AND Model vezja za element C Model vezja za element FORK Model vezja za flip-flop RS Model vezja za element ME Model vezja za element ME z zapornim signalom z Model vezja z oscilirajočim izhodom Vezje z odstranljivim logičnim hazardom Vezje z neodstranljivim logičnim hazardom Model vezja s statičnim hazardom s slike Model vezja z dinamičnim hazardom s slike Model vezja s prehodnim hazardom s slike Model vezja s hazardom stanja s slike Celica DME, ki jo je predlagal A.J. Martin Celica DME, ki jo je predlagal K.L. McMillan Delovanje vezja DME, sestavljenega iz dveh Martinovih celic DME Delovanje vezja DME, sestavljenega iz dveh McMillanovih celic DME Velikost modelov vezij pri verifikaciji asinhronih vezij DME Število hazardov v celicah DME Statični hazard pri signalu RR v McMillanovi celici DME Del avtomata prič, ki razlaga obstoj statičnih hazardov pri signalu UA v Martinovi celici DME

20 xxii KAZALO SLIK

21 Kazalo definicij 2.1 Kripkejeva struktura Drevo izvajanj Logika dreves izvajanj Označeni sistem prehajanja stanj Akcijska logika dreves izvajanj Akcijska logika dreves izvajanj z operatorjem unless Preslikava lts2ks strong Preslikava ks2lts strong Preslikava actlw2ctl Preslikava ctl2actlw Preslikava actl2actlw Normalna oblika formule dogodka Preslikava actlw2actl Neposredno vrednotenje formul ACTL v zagatnih stanjih Posredno vrednotenje formul ACTL v zagatnih stanjih Vrednotenje formul ACTLW v zagatnih stanjih Preverjanje modela z ACTLW Kodiran LTS Diagnostična pot za operatorje ACTLW Diagnostična pot za operatorja EEW in AAU v LTS-ju z zagatnimi stanji Linearna priča in protiprimer pri ACTLW Trivialna linearna priča in protiprimer Zaporedje dogodkov, ki potrjuje oz. zavrača veljavnost formule ACTLW Praktična priča in protiprimer pri ACTLW Končni avtomat Avtomat prič in protiprimerov za ACTLW xxiii

22 xxiv KAZALO DEFINICIJ

23 Kazalo primerov Pomen nekaterih osnovnih formul ACTL Preizkus vzorcev formul ACTLW in ACTL Neposredno in posredno vrednotenje formul ACTL v zagatnih stanjih Tvorjenje enostavne diagnostike Linearne priče Tvorjenje praktične priče in protiprimera Tvorjenje avtomata prič Avtomati prič in protiprimerov za formule ACTL Verifikacija algoritmov za medsebojno izključevanje Verifikacija asinhronih vezij za medsebojno izključevanje xxv

24 xxvi KAZALO PRIMEROV

25 Poglavje 1 Uvod 1.1 Predstavitev problema Logično sklepanje je eden od osnovnih znanstvenih principov, ki so ga poznale in uporabljale že najzgodnejše civilizacije. Sodobna družba spoštljivo odkriva dela starogrških in drugih filozofov, ki jasno izpričujejo, da sklepi, dobljeni s pomočjo logičnega razmišljanja, brezpogojno držijo vsaj tako dolgo, dokler se ne spremenijo predpostavke, iz katerih so bili izpeljani. Moderen človek, vajen hitro spreminjajočega se sveta in nestanovitnega življenja, je ob takih tisočletnih resnicah upravičeno osupel in čuti neizmerno željo po njihovem odkrivanju. Hkrati pa si želi, da bi lahko tako trdne sklepe sprejel tudi na drugih področjih svojega življenja, npr. glede pravilnosti delovanja raznih strojev in naprav, od katerih je vedno bolj odvisen. Logika je interdisciplinarna veda. Kot vsa ostala znanost ima svoje korenine v filozofiji starega veka. Po izoblikovanju specifičnih znanstvenih ved je našla svoje mesto v vsaki od njih, še posebej močno pa se je razvijala v okviru matematike in sodobne filozofije v zadnjem stoletju prejšnjega tisočletja. Značilno je, da je med logiko v filozofiji in logiko v matematiki precejšen razkorak. Medtem ko filozofi razmišljajo predvsem o logičnih problemih in o moči različnih logičnih sistemov, se matematiki posvečajo predvsem notaciji in logičnemu računanju. Velik prelom se je v logiki zgodil s pojavom računalništva. Računalnik je determinističen stroj. Logični problemi so rešljivi z računalnikom le, če jih lahko predstavimo in izračunamo v okviru omejenega logičnega sistema, za katerega za vse njegove operacije obstajajo računalniški algoritmi. Pojav računalnikov je spodbudil konvergenco filozofskih in matematičnih pristopov, kot rezultat pa so nastali številni logični sistemi, ki črpajo ideje od filozofov, notacijo in strukturo pa od matematikov. 1

26 2 1 Uvod Obsežno inženirsko področje dela, v katerem se je uveljavila uporaba logik, je računalniško podprto snovanje sistemov. Poznamo več življenjskih ciklov snovanja sistemov, ki pa so vsi sestavljeni iz podobnih korakov. Sistem začnemo snovati tako, da podamo specifikacijo zahtev sistema. Specifikacija zahtev sistema je opis željenega obnašanja sistema in se običajno nanaša predvsem na to, kako naj sistem komunicira z okolico. Na podlagi specifikacije zahtev tvorimo specifikacijo zasnove sistema, ki bolj ali manj podrobno opisuje, kakšna bo zgradba sistema. Specifikacija zasnove sistema oz. njena abstrakcija služi kot model sistema v postopku dokazovanja skladnosti specifikacije zahtev in specifikacije zasnove, kar imenujemo formalna verifikacija. Poleg formalne verifikacije je pomembna tudi simulacija, s katero preizkušamo, kako bo sistem deloval. Za simulacijo potrebujemo izvedljivo specifikacijo zasnove sistema. Po uspešni formalni verifikaciji in/ali simulaciji sistema sledi izvedba sistema. Pravilnost zasnove sistema ne zagotavlja pravilnosti obnašanja izvedenega sistema, zato izvedeni sistem testiramo. Testiranje sistema je eksperimentalno izvajanje izvedenega sistema, pri katerem se preveri, ali izvedeni sistem ustreza specifikaciji zahtev. Cilj snovanja sistemov je pravilen sistem, kar pa je možno le, če uporabimo pravilno zasnovo sistema. S simulacijo le težko dokažemo odsotnost napak, saj bi morali simulirati vsa možna izvajanja sistema, kar pa v praksi ni mogoče. Formalna verifikacija je tako edina zanesljiva metoda preverjanja pravilnosti zasnove sistema. Še posebej je pomembna na področju snovanja elektronske, računalniške in telekomunikacijske opreme, ki postaja z leti vedno bolj kompleksna. Obenem imajo ti izdelki tudi zelo veliko tržišče, pa naj gre za vezja VLSI ali za komunikacijske protokole. Odkrita napaka v sistemu, ki se že na široko uporablja po svetu, se lahko odraža v veliki materialni škodi in hkrati izgubi zaupanja kupcev. Postavi pa se vprašanje, ali praktične sisteme v vsej njihovi kompleksnosti sploh znamo in zmoremo formalno verificirati. Razvoj metod formalne verifikacije se je začel konec 70-ih let [27, 38, 67, 82]. K razvoju je v veliki meri pripomogel hiter razvoj računalniške opreme, ki omogoča izvedbo zahtevnih algoritmov. Pomembna je iznajdba podatkovne strukture binarni odloˇcitveni graf (BDD) in algoritmov s simboličnim računanjem, pri katerih ni potrebno eksplicitno predstaviti vseh dosegljivih stanj sistema [1, 5, 11, 15, 16, 18, 44, 59, 60, 69, 76]. Najpomembnejši dejavnik, ki vzpodbuja nadaljnji razvoj, je kompleksnost sistemov, ki zelo presega zmožnosti človekovega celovitega razumevanja in je zato formalna verifikacija pri njihovem snovanju enostavno nujna. Ena od bolj učinkovitih metod formalne verifikacije sistema je preverjanje modela [24, 42, 45, 57], pri katerem specifikacijo zahtev podamo v obliki formul temporalne logike

27 1.1 Predstavitev problema 3 [17, 46, 61]. S preverjanjem modela preverimo, ali je struktura, ki predstavlja model sistema, hkrati tudi model logičnih formul. Preverjanje modelov je zelo primerna in uspešna metoda formalne verifikacije v inženirskih in industrijskih okoljih. Uporabljamo jo lahko neposredno za verifikacijo zasnove sistemov ali posredno za generiranje testnih primerov [19]. Preverjanje modelov v splošnem omogoča generiranje prič in protiprimerov, s katerimi potrdimo oz. ovržemo, da dana formula v danem stanju drži in s tem formalno pokažemo, zakaj sistem ima oz. nima zahtevane lastnosti [23, 39, 47, 78]. Najboljše rezultate dobimo, če metodo preverjanja modelov kombiniramo z drugimi metodami, npr. s preverjanjem ekvivalence modelov [6, 26, 37]. V realnih okoljih se srečujemo z zelo velikimi sistemi, ki pa jih lahko uspešno obvladujemo npr. s tehniko abstrakcije [22, 36], s katero zmanjšujemo modele ter iz specifikacije zasnove izluščimo tisti del, ki ga želimo verificirati. Izvedba preverjanja modela je v veliki meri odvisna od tega, kakšne vrste je model, ki predstavlja zasnovo sistema. Tako kot v računalništvu poznamo različne vrste programskih jezikov (proceduralne, objektno orientirane, logične, funkcijske...), obstaja tudi več vrst formalizmov za podajanje modelov. V grobem jih lahko razdelimo na tiste, ki poudarjajo stanja (npr. od 6.30 do 7.00 se peljem v službo, od 7.00 do sem v službi itd.) in tiste, ki poudarjajo dogodke (npr. ob 6.30 sem odpeljal od doma, ob 7.00 sem prispel v službo, ob grem domov itd.) Temporalna logika, s katero podamo specifikacijo zahtev, mora biti skladna s formalizmom, ki je uporabljen v modelu. Za modele, ki temeljijo na stanjih, sta se uveljavili temporalni logiki LTL in CTL [20, 30, 53, 77]. Bolj pestro je pri modelih, ki temeljijo na dogodkih. Leta 1985 sta M. Hennessy in R. Milner vpeljala preprosto procesno logiko, ki je danes znana kot Hennessy-Milnerjeva logika (HML) [43]. Njuno delo je leta 1989 razširil C. Stirling in predlagal svojo varianto HML-ja [80]. Leta 1990 sta R. De Nicola in F. Vaandrager definirala HMLU, ki je razširitev HML-ja z operatorjem until [72]. Ista avtorja sta istega leta svojo logiko tudi razširila in vpeljala akcijsko logiko dreves izvajanj (ACTL) [32, 70, 71], ki sta jo označila kot izpeljanko CTL-ja. Kljub navedbam o podobnosti sta skladnja in semantika formul ACTL in CTL toliko vsaksebi, da ne moremo učinkovito uporabljati analogije niti pri algoritmih za izvedbo formalne verifikacije niti pri izražanju lastnosti. ACTL je uspešno integrirana v kar nekaj orodjih, npr. v orodju Severo [34], CADP toolbox [35, 54, 55] in JACK [3, 8, 10, 33]. Pomembna temporalna logika, ki vsebuje pojem dogodka, je tudi modalni µ-račun, ki ga je leta 1983 vpeljal D. Kozen [2, 12, 40, 48]. Modalni µ-račun je izrazno močnejši od vseh naštetih logik, vendar pa ravno zaradi velike izrazne moči ne omogoča učinkovitega preverjanja modela. Dober kompromis med izrazno močjo in možnostjo učinkovitega preverjanja modela je µ-actl [31].

28 4 1 Uvod 1.2 Vsebina doktorske disertacije Izhodišče te doktorske disertacije je vprašanje, ali obstaja logika, ki elegantno združuje lastnosti logik CTL in ACTL in omogoča učinkovito preverjanje modela, vključno s tvorjenjem diagnostike, prič in protiprimerov. Kot odgovor definiramo in raziščemo novo logiko ACTLW, ki izpolnjuje ta pričakovanja. Poglavje 2 se začne s teoretičnimi osnovami, ki so potrebne za razumevanje temporalnih logik. Na kratko so predstavljene negibne točke, modeli in temporalne logike. Sledi razdelek o Kripkejevi strukturi in logiki CTL. Pri CTL je uporabljena definicija, ki vsebuje temporalni operator dosledni until. Ta definicija omogoča najbolj nazorno primerjavo z logikama ACTL in ACTLW, predstavljenima v nadaljevanju. Nato so podane najpomembnejše ekvivalence, ki veljajo v CTL, razdelek pa se zaključi z opredelitvijo operatorjev CTL z izrazi z negibno točko. Sledi razdelek, v katerem so predstavljeni označeni sistemi prehajanja stanj in logika ACTL. Razdelek 2.4 je najpomembnejši razdelek v tej doktorski disertaciji. Podaja definicijo logike ACTLW. ACTLW je izjavna temporalna logika razvejanega časa, ki je izpeljana iz logik CTL in ACTL, namenjena pa je izražanju lastnosti modelov, ki vsebujejo dogodke. Podane so ekvivalence, ki veljajo v ACTLW, in opredelitev operatorjev ACTLW z izrazi z negibno točko. Naslednji razdelek je posvečen preslikavam med logikami CTL, ACTL in ACTLW, nato pa so za vse tri logike podani vzorci formul. V zadnjem razdelku poglavja 2 je definicija logike ACTLW razširjena tako, da omogoča tudi preverjanje modelov z zagatnimi stanji. Poglavje 3 govori o preverjanju modela z logiko ACTLW. Osredotočeno je na globalno preverjanje modela z ACTLW s simboličnimi metodami. Opisana sta dva različna pristopa k preverjanju modela z ACTLW. Prvi temelji na razreševanju operatorjev EEU, EEW, AAU in AAW, drugi pa na razreševanju operatorjev EEU, EEG, AAW in AAF. Izvedba sledi podani teoriji, zato so najprej predstavljeni algoritmi za modele brez zagatnih stanj, v zadnjem razdelku pa so nato dopolnjeni tako, da omogočajo preverjanje modela z zagatnimi stanji. Poglavje 4 predstavlja tvorjenje diagnostike pri ACTLW, tvorjenje linearnih prič in protiprimerov pri ACTLW in tvorjenje avtomatov prič in protiprimerov za ACTLW. Izvedba je oprta na definicijo diagnostičnih poti za opeatorje ACTLW ter definicijo praktičnih prič in protiprimerov za ACTLW. Poglavje 5 se začne s kratko predstavitvijo našega orodja za formalno verifikacijo EST. Nato sta podana dva večja primera preverjanja modela z ACTLW. Oba sta povezana s praktičnim problemom medsebojnega izključevanja, za katerega v literaturi obstajajo številne

29 1.3 Izvirni znanstveni prispevki doktorske disertacije 5 pravilne, pa tudi nekatere napačne rešitve. V doktorski disertaciji je najprej verificirana programska rešitev, torej algoritmi za medsebojno izključevanje, nato pa še dve asinhroni vezji za porazdeljeno medsebojno izključevanje. V slednjem primeru je nekoliko bolj podrobno predstavljen postopek načrtovanja in modeliranja asinhronih vezij. V kratkem zaključku v poglavju 6 strnemo najpomembnejše ugotovitve doktorske disertacije. Sledi seznam uporabljene literature in dva dodatka. V prvem podajamo dokaz izreka o najmanjši zadostni množici operatorjev za CTL, v drugem pa podrobno obravnavamo pretvorbo formul ACTLW v formule ACTL. 1.3 Izvirni znanstveni prispevki doktorske disertacije Doktorska disertacija vsebuje več izvirnih znanstvenih prispevkov, ki jih lahko kategoriziramo v tri skupine. 1. Definicija nove temporalne logike ACTLW Formalno smo definirali novo temporalno logiko ACTLW, ki je namenjena izražanju lastnosti modelov, ki temeljijo na dogodkih. Pokazali smo, da je ACTLW fleksibilnejša in tudi izraznejša od ACTL, ki sta jo leta 1990 vpeljala R. De Nicola in F. Vaandrager. Podali smo preslikave iz CTL v ACTLW, iz ACTLW v CTL in iz ACTL v ACTLW. Predstavili smo vzorce formul ACTLW, ki omogočajo učinkovito uporabo te logike v inženirskih okoljih. Osnovno definicijo logike smo razširili tako, da zajame tudi modele z zagatnimi stanji. 2. Izvedba preverjanja modela z ACTLW Opisali smo globalno preverjanje modela z ACTLW z uporabo simboličnih metod. Podali smo rešitev, ki temelji na razreševanju operatorjev EEU, EEW, AAU in AAW, in tudi rešitev, ki temelji na razreševanju operatorjev EEU, EEG, AAW in AAF. 3. Tvorjenje diagnostike ter prič in protiprimerov pri ACTLW Vpeljali smo pojem diagnostične poti za ACTLW. Podali smo postopek za tvorjenje diagnostike pri ACTLW, postopek za tvorjenje linearnih prič in protiprimerov pri ACTLW ter postopek za tvorjenje avtomatov prič in protiprimerov pri ACTLW.

30 6 1 Uvod

31 Poglavje 2 Temporalne logike CTL, ACTL in ACTLW 2.1 Teoretične osnove Negibna točka Relacija R je delno urejena, če je refleksivna ( a. ara), antisimetrična ( a, b. (arb bra) = a = b) in tranzitivna ( a, b, c. arb brc = arc). Naj bo množica A delno urejena z relacijo. Če v A obstaja tak element a min, za katerega velja b A. a min b, potem je a min najmanjši element v množici A. Če v A obstaja tak element a max, za katerega velja b A. b a max, potem je a max najveˇcji element v množici A. Imejmo množico A, ki je delno urejena z relacijo, in naj bo f : A A funkcija, ki preslikuje elemente množice A med seboj. Velja: 1. f je monotono narašˇcajoˇca, če za vsak a, b A velja a b = f(a) f(b). 2. f je monotono padajoˇca, če za vsak a, b A velja a b = f(b) f(a). 3. f je monotona, če je f monotono naraščajoča ali monotono padajoča. 4. Element a A je negibna toˇcka funkcije f, če velja a = f(a). Naj bo F ix(a) množica vseh negibnih točk funkcije f : A A. Če v množici F ix(a) obstaja najmanjši element, ga imenujemo najmanjša negibna toˇcka. Najmanjšo negibno točko funkcije f : A A označimo kot lfp A Z. f(z). 7

32 8 2 Temporalne logike CTL, ACTL in ACTLW Če v množici F ix(a) obstaja največji element, ga imenujemo najveˇcja negibna toˇcka. Največjo negibno točko funkcije f : A A označimo kot gfp A Z. f(z). Imejmo množico A, ki je delno urejena z relacijo, in funkcijo f : A A. Vpeljimo relacijo, za katero velja a b b a, in kompozicijo n funkcij f, ki jo zapišemo kot f n (a) = (f f... f)(a). Dokažemo lahko naslednje izreke: 1. Če je f monotono naraščajoča, potem za vsak a A velja: a f(a) f 2 (a)... Če je f monotono padajoča, potem za vsak a A velja: a f(a) f 2 (a) Če velja f i+1 (a) = f i (a), potem je f i (a) negibna točka funkcije f. 3. Če je A končna in f monotona, potem a A i. f i+1 (a) = f i (a). 4. Če je A množica, v kateri obstaja najmanjši element a min, če je f monotona funkcija in če je f i (a min ) negibna točka funkcije f, potem je f i (a min ) najmanjša negibna točka funkcije f. 5. Če je A množica, v kateri obstaja največji element a max, če je f monotona funkcija in če je f i (a max ) negibna točka funkcije f, potem je f i (a max ) največja negibna točka funkcije f. Kot poseben primer računanja negibne točke vzemimo funkcijo, ki med seboj preslikuje podmnožice dane množice. Imejmo končno množico U in množico množic S = 2 U, ki je delno urejena z relacijo. Za funkcijo f : S S velja: 1. Če je f monotona funkcija, potem obstaja vsaj ena negibna točka funkcije f. 2. Če je f monotona funkcija, potem obstajata najmanjša in največja negibna točka funkcije f. Najmanjša negibna točka funkcije f je enaka preseku, največja negibna točka funkcije f pa uniji vseh negibnih točk funkcije f. 3. Če je f monotona in f i ( ) negibna točka funkcije f, potem je f i ( ) najmanjša negibna točka funkcije f. 4. Če je f monotona in f i (U) negibna točka funkcije f, potem je f i (U) največja negibna točka funkcije f.

33 2.1 Teoretiˇcne osnove Model Model sistema je abstraktna predstavitev sistema, ki opisuje njegovo obnašanje skozi čas. V doktorski disertaciji nas zanimajo predvsem modeli sistemov s soˇcasnostjo. Sistemi s sočasnostjo so vsi taki sistemi, ki so zgrajeni iz več v prostoru ločenih delov, ki se izvajajo sočasno in med izvajanjem med seboj komunicirajo. Komunikacija se lahko odvija s pomočjo pošiljanja sporočil, skupnih spremenljivk ali pa s sinhronim izvajanjem določenih dogodkov [30, 49]. Sistem s sočasnostjo okolica dojema kot celoto, npr. telefonsko omrežje je za načrtovalce in vzdrževalce sistem s sočasnostjo, sestavljen iz terminalnih naprav in central (v širšem pomenu besede), za uporabnike pa je celota, ki ponuja določene storitve. Pomemben problem pri obdelavi sistemov s sočasnostjo je, kako na osnovi modelov posameznih elementov sistema tvoriti en sam model, ki predstavlja celoten sistem, kar imenujemo sestavljanje modelov. Modeli sistemov s sočasnostjo so strukture, sestavljene iz vozlišč, ki jih imenujemo stanja, in usmerjenih povezav med njimi, ki jih imenujemo prehodi. Množico vseh stanj modela imenujemo prostor stanj. Prehajanje med stanji modela imenujemo izvajanje modela. Vsako izvajanje modela ustreza nekemu izvajanju sistema, seveda pa zaradi abstrakcije vsak prehod modela ponazarja manjši ali večji del izvajanja sistema. Vsakemu izvajanju modela pripišemo scenarij izvajanja, ki opisuje, kako sta se med izvajanjem obnašala model in njegova okolica. V splošnem nas zanimajo vsi možni scenariji v sistemu, lahko pa se omejimo le na nekatere izmed njih, npr. z vpeljavo poštenostnih omejitev [30]. Če se model ob istem obnašanju okolice vedno obnaša na enak način, potem je model deterministiˇcen, v nasprotnem primeru pa je model nedeterministiˇcen. Obnašanje modela je skupek veličin, katerih pojav, prisotnost oz. vrednost lahko opazujemo. Glede na to, kaj so opazovane veličine, ločimo modele, ki temeljijo na stanjih, modele, ki temeljijo na dogodkih in kombinirane modele. V modelih, ki temeljijo na stanjih, so opazovane veličine lastnosti posameznih stanj. V modelih, ki temeljijo na dogodkih, so opazovane veličine lastnosti posameznih prehodov. Kombinirani modeli so kombinacija teh dveh pristopov. Primeri struktur, ki pogosto služijo kot model, ki temelji na stanjih, so končni avtomat, končni avtomat stanj in Kripkejeva struktura. Primer strukture, ki pogosto služi kot model, ki temelji na dogodkih, je označen sistem prehajanja stanj. Da lahko modele obdelujemo avtomatično z računalnikom, moramo iz tehničnih vzrokov (omejen pomnilnik) ponavadi zahtevati, da ima model končno število stanj, končno število prehodov in končno število veličin, ki jih opazujemo, pri čemer ima vsaka veličina tudi končno zalogo vrednosti. Zaradi teh predpostavk je potrebno pri interpretaciji rezultatov, dobljenih na osnovi modela, upoštevati, do kolikšne mere uporabljeni model verodostojno predstavlja pravi sistem.

34 10 2 Temporalne logike CTL, ACTL in ACTLW Temporalna logika Temporalne logike so zgrajene nad izjavno logiko. Slovnico izjavne logike sestavljajo simboli, ki označujejo atomarne izjave, simboli za logične operatorje (,, in drugi) ter oklepaji. Vsaka atomarna izjava je bodisi pravilna bodisi nepravilna. Pomen logičnih operatorjev je definiran s pravilnostnimi tabelami, tako da: izjava p je pravilna, če in samo če izjava p ni pravilna, izjava p q je pravilna, če in samo če sta izjavi p in q obe pravilni, izjava p q je pravilna, če in samo če je pravilna izjava p ali izjava q ali pa obe, itd. Izjavna logika omogoča sklepanje o veljavnosti sestavljenih izjav na osnovi poznavanja veljavnosti atomarnih izjav. Sestavljeno izjavo ovrednotimo tako, da jo izpeljemo iz atomarnih izjav s pomočjo aksiomov in izrekov. Filozofi so najbolj priročne izreke poimenovali z latinskimi imeni, npr. modus ponens ( (p (p = q)) = q) in modus tollens ( ( q (p = q)) = p). Sestavljeno izjavo lahko ovrednotimo tudi tako, da zgradimo njeno pravilnostno tabelo oz. strukturo, ki inducira pravilnostno tabelo. Ena od nadgradenj izjavne logike so modalne logike, pri katerih je veljavnost atomarnih izjav odvisna od sveta, v katerih jih interpretiramo. Tako je lahko neka izjava pravilna v vseh možnih svetovih, v nobenem ali pa le v nekaterih od njih. Če privzamemo, da so različni svetovi pravzaprav isti svet, v katerem pa se veljavnost izjav skozi čas spreminja, dobimo temporalne logike [30, 81]. V temporalnih logikah slovnico izjavne logike dopolnimo s temporalni operatorji, ki izražajo, kako je z veljavnostjo izjave skozi čas, npr. izjava je v prihodnosti vsaj enkrat pravilna, izjava je v prihodnosti ves čas pravilna itd. Če privzamemo razvejan tok časa, potem moramo v temporalno logiko dodati tudi kvantifikatorje poti, s katerimi izrazimo, na katere poti skozi čas se dana temporalna formula nanaša, npr. na vsaj eno pot, na vse poti, na poti z določeno lastnostjo itd. Temporalni operatorji se običajno nanašajo na prihodnost, lahko pa vpeljemo tudi temporalne operatorje, ki se nanašajo na veljavnost izjav v preteklosti. Temporalne logike so se po letu 1977, ko je bila v [74] predstavljena njihova uporabnost pri sklepanju o pravilnosti računalniških programov, zelo uveljavile na področju formalne verifikacije sistemov. Pomemben mejnik pri njihovi uporabi je vpeljava avtomatičnega preverjanja veljavnosti temporalnih formul v dani končni strukturi, kar imenujemo preverjanje modela [21, 24]. Primeri temporalnih logik, ki omogočajo učinkovito preverjanje modela, so linearna temporalna logika (LTL), logika dreves izvajanj (CTL) in akcijska logika dreves izvajanj (ACTL). Razen teh so dandanes na področju formalne verifikacije sistemov priljubljene tudi Hennessy-Milnerjeva logika (HML), modalni µ-račun, temporalna logika akcij (TLA) in razne razširitve omenjenih logik z vpeljavo realnega časa.

35 2.2 Kripkejeva struktura in CTL 2.2 Kripkejeva struktura in CTL 11 Kripkejeva struktura je nedeterminističen model, v katerem so stanja označena z atomarnimi izjavami. Uporabljamo je v povezavi s formalizmi, ki temeljijo na stanjih. V disertaciji za Kripkejevo strukturo zahtevamo, da ima natanko eno začetno stanje in totalno prehajalno relacijo. V splošnem to ni nujno. Definicija 2.1 (Kripkejeva struktura) Kripkejeva struktura (KS) je petorka K = (S, AP, L, D, s 0 ), kjer je S množica stanj, AP je neprazna množica atomarnih izjav, L : S 2 AP je označevalna funkcija, ki vsakemu stanju priredi množico atomarnih izjav, veljavnih v tistem stanju, D S S je totalna prehajalna relacija, s 0 S pa je začetno stanje. Če sta množica stanj in množica atomarnih izjav v KS končna, potem je to konˇcna KS. Element (s, s ) D predstavlja prehod iz stanja s v stanje s. Če obstaja prehod (s, s ) D, potem je stanje s naslednik stanja s, stanje s pa prednik stanja s. Ker je D totalna relacija, ima vsako stanje v KS vsaj enega naslednika. Z oznako D(s) označimo množico vseh naslednikov stanja s. Pot π v KS je tâko končno ali neskončno zaporedje stanj v KS p 0, p 1,..., da za vsaki dve zaporedni stanji p i in p i+1 na poti velja (p i, p i+1 ) D. Neskončno pot v KS imenujemo polna pot v KS. Posamezna stanja na poti π označimo z oznako π(i). Pri tem je π(0) prvo stanje na poti π in π(i+1) je stanje na poti π, ki je takoj za stanjem π(i). Definicija 2.2 (Drevo izvajanj) Drevo izvajanj je KS z neskončnim številom stanj, v kateri začetno stanje s 0 nima prednikov, vsa druga stanja s s 0 pa imajo natanko enega prednika. Za vsako KS K = (S, AP, L, D, s 0 ) obstaja pripadajoˇce drevo izvajanj ct(k) = (S, AP, L, D, s 0 ), katerega množica stanj je izomorfna množici končnih poti v K. Zgradimo ga lahko na naslednji način [30]: S vsebuje vse končne poti v K, ki se začnejo v njenem začetnem stanju, s 0 je pot, ki vsebuje le začetno stanje s 0, (π, π ) D, če in samo če π =p 0,..., p n, π = p 0,..., p n, p n+1, (p n, p n+1 ) D in za vsako pot π = p 0,..., p n v K velja L (π) = L(p n ). Primer KS in del pripadajočega drevesa izvajanj sta prikazana na sliki 2.1.

36 12 2 Temporalne logike CTL, ACTL in ACTLW a) p b) p q p, q q q p, q p, q q q p, q q q p, q Slika 2.1: Kripkejeva struktura in del pripadajočega drevesa izvajanj Logika dreves izvajanj (CTL) [21] je izjavna temporalna logika razvejanega časa. Abeceda CTL sestoji iz simbolov za atomarne izjave, Boolovih operatorjev, temporalnih operatorjev in kvantifikatorjev poti. V CTL pred vsakim temporalnim operatorjem stoji kvantifikator poti in skupaj ju imenujemo operator CTL. Ker operatorji CTL vedno vsebujejo kvantifikator poti, spadajo med temporalne operatorje povsod razvejanega ˇcasa. CTL je navadno definirana z operatorjema next in nedosledni until kot osnovnima temporalnima operatorjema. Za primerjavo z logikama ACTL in ACTLW pa je najbolj primerna definicija, ki uporablja temporalni operator dosledni until [30]. Definicija 2.3 (Logika dreves izvajanj) Naj bo K = (S, AP, L, D, s 0 ) Kripkejeva struktura. Skladnja CTL nad K je definirana z naslednjo slovnico, kjer je λ AP atomarna izjava, E in A sta kvantifikatorja poti, U > pa temporalni operator dosledni until: ϕ ::= λ ϕ ϕ ϕ E γ A γ γ ::= ϕ U > ϕ Zadoščenje formule stanja ϕ v stanju s (s = K ϕ) in formule poti γ na polni poti π (π = K γ) je induktivno definirano z naslednjimi pravili: s = K λ če in samo če λ L(s); s = K ϕ če in samo če s = K ϕ; s = K ϕ ϕ če in samo če s = K ϕ ali s = K ϕ ; s = K E γ če in samo če obstaja taka polna pot π v K, da je π(0)=s in π = K γ; s = K A γ če in samo če za vse polne poti π v K: π(0) = s = π = K γ; π = K ϕ U > ϕ če in samo če obstaja tak i 1, da je π(i) = K ϕ in za vse 1 j i 1: π(j) = K ϕ. Za lažje izražanje uporabljamo true v pomenu λ λ, kjer je λ poljubno izbrana atomarna izjava, in false, ki pomeni true. Uporabljamo tudi razne Boolove operatorje, na primer ϕ ϕ pomeni ( ϕ ϕ ). Če s = K ϕ, pravimo, da ϕ velja v stanju s. Ko je KS

37 2.2 Kripkejeva struktura in CTL 13 razvidna iz sobesedila, pišemo s = ϕ namesto s = K ϕ. Formula CTL ϕ velja v dani KS K (pišemo K = ϕ), če in samo če ϕ velja v začetnem stanju K. Formula CTL velja v KS natanko takrat, ko velja v njej pripadajočem drevesu izvajanj. Vpeljemo lahko naslednje uporabne operatorje CTL: EX ϕ E[false U > ϕ] EF > ϕ E[true U > ϕ] EG > ϕ A[true U > ϕ] E[ϕ W > ϕ ] A[ ϕ U > ( ϕ ϕ )] AX ϕ E[false U > ϕ] AF > ϕ A[true U > ϕ] AG > ϕ E[true U > ϕ] A[ϕ W > ϕ ] E[ ϕ U > ( ϕ ϕ )] Predstavljene operatorje CTL imenujemo dosledni temporalni operatorji, ker obravnavajo le tiste dele poti, ki so dosledno v prihodnosti. Pri CTL se bolj pogosto uporabljajo nedosledni temporalni operatorji, ki upoštevajo sedanjost in ki jih lahko vpeljemo takole: EF ϕ ϕ EF > ϕ EG ϕ ϕ EG > ϕ E[ϕ U ϕ ] ϕ (ϕ E[ϕ U > ϕ ]) E[ϕ W ϕ ] ϕ (ϕ E[ϕ W > ϕ ]) AF ϕ ϕ AF > ϕ AG ϕ ϕ AG > ϕ A[ϕ U ϕ ] ϕ (ϕ A[ϕ U > ϕ ]) A[ϕ W ϕ ] ϕ (ϕ A[ϕ W > ϕ ]) Dosledni in nedosledni operatorji CTL se razlikujejo samo v obravnavi prvega stanja na poti, ki ga dosledni operatorji CTL ignorirajo. Na primer, formula AG > q velja v KS na sliki 2.1, medtem ko formula AG q v tej KS ne velja. Izrek 2.1 (Ekvivalence med formulami CTL z razliˇcnimi operatorji) E[false U > ϕ] = E[false W > ϕ] = EX ϕ = AX ϕ A[false U > ϕ] = A[false W > ϕ] = AX ϕ = EX ϕ E[true U > ϕ] = A[ ϕ W > false] = EF > ϕ = AG > ϕ A[true U > ϕ] = E[ ϕ W > false] = AF > ϕ = EG > ϕ E[ϕ U > ϕ ] = A[ ϕ W > ( ϕ ϕ )] A[ϕ U > ϕ ] = E[ ϕ W > ( ϕ ϕ )] E[ϕ W > ϕ ] = E[ϕ U > ϕ ] EG > ϕ = A[ ϕ W > ( ϕ ϕ )] AF > ϕ A[ϕ U > ϕ ] = A[ϕ W > ϕ ] AF > ϕ = E[ ϕ U > ( ϕ ϕ )] EG > ϕ Dokaz. Ekvivalence sledijo neposredno iz definicije operatorjev CTL. Izrek 2.2 (Najmanjˇsa zadostna mnoˇzica operatorjev za CTL) Če uporabljamo le nedosledne operatorje, ima najmanjša zadostna množica operatorjev za CTL 3 elemente. Eden med njimi mora biti EX ali AX, eden mora biti EG, AF, EW ali AU, eden pa mora biti EU ali AW. Če vzamemo v obzir tudi dosledne operatorje, sta za izražavo vseh ostalih dovolj dva operatorja, ker lahko EX in AX v tem primeru izpeljemo iz drugih. Dokaz. Dokaz, ki se zgleduje po [53], je v dodatku A.

38 14 2 Temporalne logike CTL, ACTL in ACTLW Izrek 2.3 (Krajˇsanje formul CTL, ki vsebujejo iste podformule) E[(ϕ ϕ ) U > ϕ ] = E[(ϕ ϕ ) U > ϕ ] = E[ϕ U > ϕ ] A[(ϕ ϕ ) U > ϕ ] = A[(ϕ ϕ ) U > ϕ ] = A[ϕ U > ϕ ] E[(ϕ ϕ ) U > (ϕ ϕ )] = E[ϕ U > (ϕ ϕ )] A[(ϕ ϕ ) U > (ϕ ϕ )] = A[ϕ U > (ϕ ϕ )] E[(ϕ ϕ ) U > (ϕ ϕ )] = E[ϕ U > (ϕ ϕ )] A[(ϕ ϕ ) U > (ϕ ϕ )] = A[ϕ U > (ϕ ϕ )] Dokaz. Ekvivalence sledijo neposredno iz definicije operatorjev CTL. Vse ekvivalence so veljavne tudi v primeru, da temporalni operator U > zamenjamo z operatorjem W > oz. z nedoslednim operatorjem U ali W. Izrek 2.4 (Opredelitev operatorjev CTL z izrazi z negibno toˇcko) Naj bo K = (S, AP, L, D, s 0 ) Kripkejeva struktura, P S in T S S. Označimo z oznako /ϕ/ K množico stanj p v K, za katera velja p = K ϕ, z oznako /P / K pa množico prehodov (p, p ) v K, za katere velja p P. Nadalje, naj bosta Φ in Φ taki funkciji 2 S S 2 S nad K, da velja p Φ (T ), če in samo če p S. (p, p ) D (p, p ) T, ter p Φ (T ), če in samo če p S. (p, p ) D = (p, p ) T. Potem lahko operatorje CTL opredelimo z naslednjimi izrazi z negibno točko: /EX ϕ/ K = Φ ( //ϕ/ K / K ) /EF > ϕ/ K = /EX(ϕ EF > ϕ)/ K = lfp Z. Φ ( //ϕ/ K / K /Z / K ) /EG > ϕ/ K = /EX(ϕ EG > ϕ)/ K = gfp Z. Φ ( //ϕ/ K / K /Z / K ) /E[ϕ U > ϕ ]/ K = /EX(ϕ (ϕ E[ϕ U > ϕ ]))/ K = lfp Z. Φ ( //ϕ / K / K //ϕ/ K Z / K ) /E[ϕ W > ϕ ]/ K = /EX(ϕ (ϕ E[ϕ W > ϕ ]))/ K = gfp Z. Φ ( //ϕ / K / K //ϕ/ K Z / K ) /AX ϕ/ K = Φ ( //ϕ/ K / K ) /AF > ϕ/ K = /AX(ϕ AF > ϕ)/ K = lfp Z. Φ ( //ϕ/ K / K /Z / K ) /AG > ϕ/ K = /AX(ϕ AG > ϕ)/ K = gfp Z. Φ ( //ϕ/ K / K /Z / K ) /A[ϕ U > ϕ ]/ K = /AX(ϕ (ϕ A[ϕ U > ϕ ]))/ K = lfp Z. Φ ( //ϕ / K / K //ϕ/ K Z / K ) /A[ϕ W > ϕ ]/ K = /AX(ϕ (ϕ A[ϕ W > ϕ ]))/ K = gfp Z. Φ ( //ϕ / K / K //ϕ/ K Z / K ) Dokaz. Opredelitev sledi iz definicije operatorjev CTL. Glej npr. [30].

39 2.3 Oznaˇceni sistem prehajanja stanj in ACTL Označeni sistem prehajanja stanj in ACTL Označeni sistem prehajanja stanj je nedeterminističen model, v katerem so prehodi označeni z dogodki. Uporabljamo ga v povezavi s formalizmi, ki temeljijo na dogodkih. Definicija 2.4 (Oznaˇceni sistem prehajanja stanj) Oznaˇceni sistem prehajanja stanj (LTS) je četvorka M = (S, Act, D, s 0 ), kjer je S množica stanj, Act množica zunanjih dogodkov (notranji dogodek τ ni v Act), D S Act {τ} S prehajalna relacija in s 0 S začetno stanje. Če sta množica stanj in množica zunanjih dogodkov v LTS-ju končna, potem je to konˇcni LTS. Trojica (s, a, s ) D predstavlja prehod iz stanja s v stanje s, ki je označen z dogodkom a. Če (s, a, s ) D, potem je stanje s a-naslednik ali preprosto naslednik stanja s, stanje s pa prednik stanja s. Prehod, ki se začne in konča v istem stanju, imenujemo zanka. Z A τ označimo množico A {τ}, z D A (s) označimo množico naslednikov stanja s, ki so dosegljiva s prehodom, označenim z dogodkom iz množice A, z DA τ (s) pa na kratko zapišemo množico D A (s) D {τ} (s). Stanje brez naslednikov imenujemo zagatno stanje. Pot π v LTS-ju je tâko končno ali neskončno izmenično zaporedje stanj in dogodkov p 0, a 1, p 1, a 2, p 2,... v LTS-ju, ki se začne in konča v stanju in za vsaki dve zaporedni stanji p i in p i+1 na poti velja (p i, a i+1, p i+1 ) D. Dogodek a i in prehod (p i 1, a i, p i ) sta i-ti dogodek in i-ti prehod na tej poti. Stanja na poti π označujemo kot π(i). Pri tem je π(0) prvo stanje na poti π in π(i+1) je stanje na poti π, ki je takoj za stanjem π(i) (slika 2.2). a 1 a 2 a 3 π(0) π(1) π(2)... Slika 2.2: Pot v označenem sistemu prehajanja stanj Končno pot, ki se konča v stanju brez naslednikov, imenujemo konˇcna polna pot v LTS-ju. Končno polno pot z enim samim stanjem in brez dogodkov imenujemo prazna pot. Končno polno pot z vsaj enim dogodkom, ki se začne in konča v istem stanju, imenujemo cikel. Zaporedje dogodkov na poti π označimo z act(π). Število dogodkov na končni poti π označimo z len(π). Stanje, v katerem se začne tâka neskončna pot, na kateri so vsi dogodki notranji dogodki τ, imenujemo divergentno stanje. Nad LTS-ji so definirane nekatere pomembne ekvivalenčne relacije, na primer stroga opazovalna ekvivalenca, šibka opazovalna ekvivalenca in vejitvena opazovalna ekvivalenca [32, 72].

Reševanje problemov in algoritmi

Reševanje problemov in algoritmi Reševanje problemov in algoritmi Vhod Algoritem Izhod Kaj bomo spoznali Zgodovina algoritmov. Primeri algoritmov. Algoritmi in programi. Kaj je algoritem? Algoritem je postopek, kako korak za korakom rešimo

More information

AKSIOMATSKA KONSTRUKCIJA NARAVNIH

AKSIOMATSKA KONSTRUKCIJA NARAVNIH UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA Poučevanje: Predmetno poučevanje ŠPELA ZOBAVNIK AKSIOMATSKA KONSTRUKCIJA NARAVNIH ŠTEVIL MAGISTRSKO DELO LJUBLJANA, 2016 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA

More information

UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO. Oddelek za matematiko in računalništvo DIPLOMSKO DELO.

UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO. Oddelek za matematiko in računalništvo DIPLOMSKO DELO. UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za matematiko in računalništvo DIPLOMSKO DELO Sabina Skornšek Maribor, 2012 UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO

More information

Matematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta

Matematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta Matematika 1 Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta 15. december 2010 Poglavje 3 Funkcije 3.1 Osnovni pojmi Preslikavam v množico R ali C običajno pravimo funkcije v prvem primeru realne, v drugem

More information

Hipohamiltonovi grafi

Hipohamiltonovi grafi Hipohamiltonovi grafi Marko Čmrlec, Bor Grošelj Simić Mentor(ica): Vesna Iršič Matematično raziskovalno srečanje 1. avgust 016 1 Uvod V marsovskem klubu je želel predsednik prirediti večerjo za svoje člane.

More information

Sekvenčna preklopna vezja

Sekvenčna preklopna vezja - Sekvenčna preklopna vezja (delovna verzija 5..27) Prosojnica št. 7- Primer vezja s povratno povezavo Osnovni pomnilni element je izveden s kaskadno vezavo invertorjev Osnovni element: invertor (INV)

More information

UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE. Verjetnostni algoritmi za testiranje praštevilskosti

UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE. Verjetnostni algoritmi za testiranje praštevilskosti UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE Zaključna naloga Verjetnostni algoritmi za testiranje praštevilskosti (Algorithms for testing primality) Ime in

More information

Iskanje najcenejše poti v grafih preko polkolobarjev

Iskanje najcenejše poti v grafih preko polkolobarjev Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko Veronika Horvat Iskanje najcenejše poti v grafih preko polkolobarjev DIPLOMSKO DELO VISOKOŠOLSKI STROKOVNI ŠTUDIJSKI PROGRAM PRVE STOPNJE

More information

OPTIMIRANJE IZDELOVALNIH PROCESOV

OPTIMIRANJE IZDELOVALNIH PROCESOV OPTIMIRANJE IZDELOVALNIH PROCESOV asist. Damir GRGURAŠ, mag. inž. str izr. prof. dr. Davorin KRAMAR damir.grguras@fs.uni-lj.si Namen vaje: Ugotoviti/določiti optimalne parametre pri struženju za dosego

More information

POLDIREKTNI PRODUKT GRUP

POLDIREKTNI PRODUKT GRUP UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA LUCIJA ŽNIDARIČ POLDIREKTNI PRODUKT GRUP DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA 2014 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA Univerzitetni študijski program 1. stopnje: Dvopredmetni

More information

NIKJER-NIČELNI PRETOKI

NIKJER-NIČELNI PRETOKI UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA ALJA ŠUBIC NIKJER-NIČELNI PRETOKI DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 2016 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA Dvopredmetni učitelj: matematika - računalništvo ALJA

More information

Problem umetnostne galerije

Problem umetnostne galerije Problem umetnostne galerije Marko Kandič 17. september 2006 Za začetek si oglejmo naslednji primer. Recimo, da imamo v galeriji polno vrednih slik in nočemo, da bi jih kdo ukradel. Seveda si želimo, da

More information

OA07 ANNEX 4: SCOPE OF ACCREDITATION IN CALIBRATION

OA07 ANNEX 4: SCOPE OF ACCREDITATION IN CALIBRATION OA07 ANNEX 4: SCOPE OF ACCREDITATION IN CALIBRATION Table of contents 1 TECHNICAL FIELDS... 2 2 PRESENTING THE SCOPE OF A CALIBRATION LABOORATORY... 2 3 CONSIDERING CHANGES TO SCOPES... 6 4 CHANGES WITH

More information

Računalnik iz domin. Škafar, Maja Šafarič, Nina Sangawa Hmeljak Mentor: Vid Kocijan

Računalnik iz domin. Škafar, Maja Šafarič, Nina Sangawa Hmeljak Mentor: Vid Kocijan Računalnik iz domin Primož Škafar, Maja Šafarič, Nina Sangawa Hmeljak Mentor: Vid Kocijan Povzetek Naša naloga je bila ugotoviti kako sestaviti računalnik (Turingov stroj) iz domin in logičnih izrazov.

More information

ENERGY AND MASS SPECTROSCOPY OF IONS AND NEUTRALS IN COLD PLASMA

ENERGY AND MASS SPECTROSCOPY OF IONS AND NEUTRALS IN COLD PLASMA UDK621.3:(53+54+621 +66), ISSN0352-9045 Informaclje MIDEM 3~(~UU8)4, Ljubljana ENERGY AND MASS SPECTROSCOPY OF IONS AND NEUTRALS IN COLD PLASMA Marijan Macek 1,2* Miha Cekada 2 1 University of Ljubljana,

More information

Matej Mislej HOMOMORFIZMI RAVNINSKIH GRAFOV Z VELIKIM NOTRANJIM OBSEGOM

Matej Mislej HOMOMORFIZMI RAVNINSKIH GRAFOV Z VELIKIM NOTRANJIM OBSEGOM UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Matematika - uporabna smer (UNI) Matej Mislej HOMOMORFIZMI RAVNINSKIH GRAFOV Z VELIKIM NOTRANJIM OBSEGOM Diplomsko delo Ljubljana, 2006 Zahvala Zahvaljujem

More information

NEODLOČLJIVI PROBLEMI V TEORIJI IZRAČUNLJIVOSTI

NEODLOČLJIVI PROBLEMI V TEORIJI IZRAČUNLJIVOSTI UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA LUKA VIKTOR ROGAČ NEODLOČLJIVI PROBLEMI V TEORIJI IZRAČUNLJIVOSTI MAGISTRSKO DELO LJUBLJANA, 2017 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA POUČEVANJE, PREDMETNO

More information

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA POLONA ŠENKINC REŠEVANJE LINEARNIH DIFERENCIALNIH ENAČB DRUGEGA REDA S POMOČJO POTENČNIH VRST DIPLOMSKO DELO

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA POLONA ŠENKINC REŠEVANJE LINEARNIH DIFERENCIALNIH ENAČB DRUGEGA REDA S POMOČJO POTENČNIH VRST DIPLOMSKO DELO UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA POLONA ŠENKINC REŠEVANJE LINEARNIH DIFERENCIALNIH ENAČB DRUGEGA REDA S POMOČJO POTENČNIH VRST DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 2016 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA

More information

TOPLJENEC ASOCIIRA LE V VODNI FAZI

TOPLJENEC ASOCIIRA LE V VODNI FAZI TOPLJENEC ASOCIIRA LE V VODNI FAZI V primeru asociacij molekul topljenca v vodni ali organski fazi eksperimentalno določeni navidezni porazdelitveni koeficient (P n ) v odvisnosti od koncentracije ni konstanten.

More information

UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO. Oddelek za matematiko in računalništvo MAGISTRSKA NALOGA. Tina Lešnik

UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO. Oddelek za matematiko in računalništvo MAGISTRSKA NALOGA. Tina Lešnik UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za matematiko in računalništvo MAGISTRSKA NALOGA Tina Lešnik Maribor, 2014 UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO

More information

Primerjava metod aproksimativnega sklepanja pri izolaciji napak - simulacijska študija

Primerjava metod aproksimativnega sklepanja pri izolaciji napak - simulacijska študija Elektrotehniški vestnik 69(2): 120 127, 2002 Electrotechnical Review, Ljubljana, Slovenija Primerjava metod aproksimativnega sklepanja pri izolaciji napak - simulacijska študija Andrej Rakar, D- ani Juričić

More information

Attempt to prepare seasonal weather outlook for Slovenia

Attempt to prepare seasonal weather outlook for Slovenia Attempt to prepare seasonal weather outlook for Slovenia Main available sources (ECMWF, EUROSIP, IRI, CPC.NCEP.NOAA,..) Two parameters (T and RR anomally) Textual information ( Met Office like ) Issued

More information

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA SAŠO ZUPANEC MAX-PLUS ALGEBRA DIPLOMSKO DELO

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA SAŠO ZUPANEC MAX-PLUS ALGEBRA DIPLOMSKO DELO UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA SAŠO ZUPANEC MAX-PLUS ALGEBRA DIPLOMSKO DELO Ljubljana, 2013 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA ODDELEK ZA MATEMATIKO IN RAČUNALNIŠTVO SAŠO ZUPANEC Mentor:

More information

Computation Tree Logic

Computation Tree Logic Computation Tree Logic Computation tree logic (CTL) is a branching-time logic that includes the propositional connectives as well as temporal connectives AX, EX, AU, EU, AG, EG, AF, and EF. The syntax

More information

Miha Drole. Sintaksna analiza rahlo kontekstno odvisnih jezikov

Miha Drole. Sintaksna analiza rahlo kontekstno odvisnih jezikov UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA RAČUNALNIŠTVO IN INFORMATIKO Miha Drole Sintaksna analiza rahlo kontekstno odvisnih jezikov DIPLOMSKO DELO NA UNIVERZITETNEM ŠTUDIJU Mentor: prof. dr. Igor Kononenko Ljubljana,

More information

Neli Blagus. Iterativni funkcijski sistemi in konstrukcija fraktalov

Neli Blagus. Iterativni funkcijski sistemi in konstrukcija fraktalov UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA RAČUNALNIŠTVO IN INFORMATIKO Neli Blagus Iterativni funkcijski sistemi in konstrukcija fraktalov DIPLOMSKO DELO NA INTERDISCIPLINARNEM UNIVERZITETNEM ŠTUDIJU Mentorica:

More information

Cveto Trampuž PRIMERJAVA ANALIZE VEČRAZSEŽNIH TABEL Z RAZLIČNIMI MODELI REGRESIJSKE ANALIZE DIHOTOMNIH SPREMENLJIVK

Cveto Trampuž PRIMERJAVA ANALIZE VEČRAZSEŽNIH TABEL Z RAZLIČNIMI MODELI REGRESIJSKE ANALIZE DIHOTOMNIH SPREMENLJIVK Cveto Trampuž PRIMERJAVA ANALIZE VEČRAZSEŽNIH TABEL Z RAZLIČNIMI MODELI REGRESIJSKE ANALIZE DIHOTOMNIH SPREMENLJIVK POVZETEK. Namen tega dela je prikazati osnove razlik, ki lahko nastanejo pri interpretaciji

More information

Computing the steady-state response of nonlinear circuits by means of the ǫ-algorithm

Computing the steady-state response of nonlinear circuits by means of the ǫ-algorithm Elektrotehniški vestnik XX(Y): 6, YEAR Electrotechnical Review, Ljubljana, Slovenija Computing the steady-state response of nonlinear circuits by means of the ǫ-algorithm Borut Wagner, Árpád Bűrmen, Janez

More information

R V P 2 Predavanje 05

R V P 2 Predavanje 05 R V P 2 Predavanje 05 Kreiranje programskih modulov - Scripts RVP2 Kreiranje programskih modulov 1/44 Programski moduli -Scripts Možnosti: Omogočajo: Izvajanje ukazov Izvajanje logičnih operacij Ob določenih

More information

ENAČBA STANJA VODE IN VODNE PARE

ENAČBA STANJA VODE IN VODNE PARE ENAČBA STANJA VODE IN VODNE PARE SEMINARSKA NALOGA PRI PREDMETU JEDRSKA TEHNIKA IN ENERGETIKA TAMARA STOJANOV MENTOR: IZRED. PROF. DR. IZTOK TISELJ NOVEMBER 2011 Enačba stanja idealni plin: pv = RT p tlak,

More information

SLIKE CANTORJEVE PAHLJAµCE

SLIKE CANTORJEVE PAHLJAµCE UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za matematiko in raµcunalništvo Diplomsko delo SLIKE CANTORJEVE PAHLJAµCE Mentor: dr. Iztok Baniµc docent Kandidatka: Anja Belošević

More information

Formalni sistem in mehka logika za analizo digitalne slike: osnovni koncept

Formalni sistem in mehka logika za analizo digitalne slike: osnovni koncept Elektrotehniški vestnik 69(2): 143 150, 2002 Electrotechnical Review, Ljubljana, Slovenija Formalni sistem in mehka logika za analizo digitalne slike: osnovni koncept Andrej Košir, Jurij Tasič Fakulteta

More information

A L A BA M A L A W R E V IE W

A L A BA M A L A W R E V IE W A L A BA M A L A W R E V IE W Volume 52 Fall 2000 Number 1 B E F O R E D I S A B I L I T Y C I V I L R I G HT S : C I V I L W A R P E N S I O N S A N D TH E P O L I T I C S O F D I S A B I L I T Y I N

More information

UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE. Kvadratne forme nad končnimi obsegi

UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE. Kvadratne forme nad končnimi obsegi UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE Zaključna naloga Kvadratne forme nad končnimi obsegi (Quadratic Forms over Finite Fields) Ime in priimek: Borut

More information

Jernej Azarija. Štetje vpetih dreves v grafih

Jernej Azarija. Štetje vpetih dreves v grafih UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA RAČUNALNIŠTVO IN INFORMATIKO FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Jernej Azarija Štetje vpetih dreves v grafih DIPLOMSKO DELO NA INTERDISCIPLINARNEM UNIVERZITETNEM ŠTUDIJU

More information

USING SIMULATED SPECTRA TO TEST THE EFFICIENCY OF SPECTRAL PROCESSING SOFTWARE IN REDUCING THE NOISE IN AUGER ELECTRON SPECTRA

USING SIMULATED SPECTRA TO TEST THE EFFICIENCY OF SPECTRAL PROCESSING SOFTWARE IN REDUCING THE NOISE IN AUGER ELECTRON SPECTRA UDK 543.428.2:544.171.7 ISSN 1580-2949 Original scientific article/izvirni znanstveni ~lanek MTAEC9, 49(3)435(2015) B. PONIKU et al.: USING SIMULATED SPECTRA TO TEST THE EFFICIENCY... USING SIMULATED SPECTRA

More information

TEORIJA GRAFOV IN LOGISTIKA

TEORIJA GRAFOV IN LOGISTIKA TEORIJA GRAFOV IN LOGISTIKA Maja Fošner in Tomaž Kramberger Univerza v Mariboru Fakulteta za logistiko Mariborska cesta 2 3000 Celje Slovenija maja.fosner@uni-mb.si tomaz.kramberger@uni-mb.si Povzetek

More information

Eulerjevi in Hamiltonovi grafi

Eulerjevi in Hamiltonovi grafi Eulerjevi in Hamiltonovi grafi Bojan Možina 30. december 006 1 Eulerjevi grafi Štirje deli mesta Königsberg v Prusiji so bili povezani s sedmimi mostovi (glej levi del slike 1). Zdaj se Königsberg imenuje

More information

UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE. Simetrije cirkulantnih grafov

UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE. Simetrije cirkulantnih grafov UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE Magistrsko delo Simetrije cirkulantnih grafov (Symmetry of circulant graphs) Ime in priimek: Maruša Saksida Študijski

More information

Miha Troha. Robotsko učenje in planiranje potiskanja predmetov

Miha Troha. Robotsko učenje in planiranje potiskanja predmetov UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA RAČUNALNIŠTVO IN INFORMATIKO Miha Troha Robotsko učenje in planiranje potiskanja predmetov DIPLOMSKO DELO NA UNIVERZITETNEM ŠTUDIJU Mentor: prof. dr. Ivan Bratko Ljubljana,

More information

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA LUKA VIKTOR ROGAČ KONČNI AVTOMATI DIPLOMSKO DELO

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA LUKA VIKTOR ROGAČ KONČNI AVTOMATI DIPLOMSKO DELO UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA LUKA VIKTOR ROGAČ KONČNI AVTOMATI DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 2015 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA Univerzitetni študijski program 1. stopnje: Dvopredmetni

More information

FRAKTALNA DIMENZIJA. Fakulteta za matematiko in fiziko Univerza v Ljubljani

FRAKTALNA DIMENZIJA. Fakulteta za matematiko in fiziko Univerza v Ljubljani FRAKTALNA DIMENZIJA VESNA IRŠIČ Fakulteta za matematiko in fiziko Univerza v Ljubljani PACS: 07.50.Hp, 01.65.+g V članku je predstavljen zgodovinski razvoj teorije fraktalov in natančen opis primerov,

More information

JERNEJ TONEJC. Fakulteta za matematiko in fiziko

JERNEJ TONEJC. Fakulteta za matematiko in fiziko . ARITMETIKA DVOJIŠKIH KONČNIH OBSEGOV JERNEJ TONEJC Fakulteta za matematiko in fiziko Math. Subj. Class. (2010): 11T{06, 22, 55, 71}, 12E{05, 20, 30}, 68R05 V članku predstavimo končne obsege in aritmetiko

More information

Modeling and Control of Instabilities in Combustion Processes Modeliranje in upravljanje nestabilnosti v procesih zgorevanja

Modeling and Control of Instabilities in Combustion Processes Modeliranje in upravljanje nestabilnosti v procesih zgorevanja Izvirni znanstveni članek TEHNIKA - nestabilni termoakustični procesi zgorevanja Datum prejema: 30. julij 2014 ANALI PAZU 4/ 2014/ 1: 34-40 www.anali-pazu.si Modeling and Control of Instabilities in Combustion

More information

Grafi, igre in še kaj

Grafi, igre in še kaj Grafi, igre in še kaj Martin Milanič martin.milanic@upr.si Inštitut Andrej Marušič Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije Univerza na Primorskem, Koper Matematika je kul 2016,

More information

OPTIMIZACIJSKE METODE skripta v pripravi

OPTIMIZACIJSKE METODE skripta v pripravi OPTIMIZACIJSKE METODE skripta v pripravi Vladimir Batagelj Ljubljana 17. december 2003 2 Kazalo Predgovor 5 1 Optimizacijske naloge 7 1.1 Osnovni pojmi........................... 7 1.2 Primeri optimizacijskih

More information

Minimizacija učne množice pri učenju odločitvenih dreves

Minimizacija učne množice pri učenju odločitvenih dreves Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko Ivan Štajduhar Minimizacija učne množice pri učenju odločitvenih dreves Diplomska naloga Mentor: prof. dr. Ivan Bratko Ljubljana, 2001 Izjava

More information

DOMINACIJSKO TEVILO GRAFA

DOMINACIJSKO TEVILO GRAFA UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGO KA FAKULTETA tudijski program: MATEMATIKA in RAƒUNALNI TVO DOMINACIJSKO TEVILO GRAFA DIPLOMSKO DELO Mentor: doc. dr. Primoº parl Kandidatka: Neja Zub i Ljubljana, maj, 2011

More information

Simulation of multilayer coating growth in an industrial magnetron sputtering system

Simulation of multilayer coating growth in an industrial magnetron sputtering system RMZ Materials and Geoenvironment, Vol. 57, No. 3, pp. 317 330, 2010 317 Simulation of multilayer coating growth in an industrial magnetron sputtering system Simulacija rasti večplastnih prevlek v industrijski

More information

UČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS (leto / year 2017/18) Predmet: Analiza 3 Course title: Analysis 3. Študijska smer Study field ECTS

UČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS (leto / year 2017/18) Predmet: Analiza 3 Course title: Analysis 3. Študijska smer Study field ECTS UČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS (leto / year 2017/18) Predmet: Analiza 3 Course title: Analysis 3 Študijski program in stopnja Study programme and level Univerzitetni študijski program Matematika

More information

UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE. O neeksaknotsti eksaktnega binomskega intervala zaupanja

UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE. O neeksaknotsti eksaktnega binomskega intervala zaupanja UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE Zaključna naloga (Final project paper) O neeksaknotsti eksaktnega binomskega intervala zaupanja (On the inexactness

More information

UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE. Kromatično število in kromatični indeks grafa

UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE. Kromatično število in kromatični indeks grafa UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE Magistrsko delo Kromatično število in kromatični indeks grafa (The chromatic number and the chromatic index of

More information

DELOVANJA GRUP IN BLOKI NEPRIMITIVNOSTI

DELOVANJA GRUP IN BLOKI NEPRIMITIVNOSTI UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA DEJAN KREJIĆ DELOVANJA GRUP IN BLOKI NEPRIMITIVNOSTI DIPLOMSKO DELO Ljubljana, 2015 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA Dvopredmetni učitelj: matematika -

More information

Optimizacija razporeditve preizkušanja in vzdrževanja varnostne opreme na podlagi najmanjšega tveganja

Optimizacija razporeditve preizkušanja in vzdrževanja varnostne opreme na podlagi najmanjšega tveganja Elektrotehniški vestnik 70(1-2): 22 26, 2003 Electrotechnical Review, Ljubljana, Slovenija Optimizacija razporeditve preizkušanja in vzdrževanja varnostne opreme na podlagi najmanjšega tveganja Marko Čepin

More information

SVM = Support Vector Machine = Metoda podpornih vektorjev

SVM = Support Vector Machine = Metoda podpornih vektorjev Uvod 2/60 SVM = Support Vector Machine = Metoda podpornih vektorjev Vapnik in Lerner 1963 (generalized portrait) jedra: Aronszajn 1950; Aizerman 1964; Wahba 1990, Poggio in Girosi 1990 Boser, Guyon in

More information

Calculation of stress-strain dependence from tensile tests at high temperatures using final shapes of specimen s contours

Calculation of stress-strain dependence from tensile tests at high temperatures using final shapes of specimen s contours RMZ Materials and Geoenvironment, Vol. 59, No. 4, pp. 331 346, 2012 331 Calculation of stress-strain dependence from tensile tests at high temperatures using final shapes of specimen s contours Določitev

More information

MODELIRANJE IN SIMULACIJA TER NJUNA UPORABA V MEDICINI IN FARMACIJI

MODELIRANJE IN SIMULACIJA TER NJUNA UPORABA V MEDICINI IN FARMACIJI Zdrav Vestn 28; 77: 57 71 57 Pregledni prispevek/review article MODELIRANJE IN SIMULACIJA TER NJUNA UPORABA V MEDICINI IN FARMACIJI USAGE OF MODELLING AND SIMULATION IN MEDICINE AND PHARMACY Maja Atanasijević-Kunc

More information

Makroekonomija 1: 4. vaje. Igor Feketija

Makroekonomija 1: 4. vaje. Igor Feketija Makroekonomija 1: 4. vaje Igor Feketija Teorija agregatnega povpraševanja AD = C + I + G + nx padajoča krivulja AD (v modelu AS-AD) učinek ponudbe denarja premiki vzdolž krivulje in premiki krivulje mikro

More information

Multipla korelacija in regresija. Multipla regresija, multipla korelacija, statistično zaključevanje o multiplem R

Multipla korelacija in regresija. Multipla regresija, multipla korelacija, statistično zaključevanje o multiplem R Multipla koelacia in egesia Multipla egesia, multipla koelacia, statistično zaklučevane o multiplem Multipla egesia osnovni model in ačunane paametov Z multiplo egesio napoveduemo vednost kiteia (odvisne

More information

Verifikacija napovedi padavin

Verifikacija napovedi padavin Oddelek za Meteorologijo Seminar: 4. letnik - univerzitetni program Verifikacija napovedi padavin Avtor: Matic Šavli Mentor: doc. dr. Nedjeljka Žagar 26. februar 2012 Povzetek Pojem verifikacije je v meteorologiji

More information

INTELLIGENTNI SISTEMI Mehka Logika

INTELLIGENTNI SISTEMI Mehka Logika INTELLIGENTNI SISTEMI Mehka Logika MEHKA LOGIKA (FUZZY LOGIC) 2011/12 Jurij F. Tasič Emil Plesnik 2011/12 1 Splošna definicija Mehka logika - Fuzzy Logic; 1965 Lotfi Zadeh, Berkely Nadgradnja konvencionalne

More information

MAT063 and MAT065 FINAL EXAM REVIEW FORM 1R x

MAT063 and MAT065 FINAL EXAM REVIEW FORM 1R x Page NEW YORK CITY COLLEGE OF TECHNOLOGY of the City University of New York R DEPARTMENT OF MATHEMATICS Revised Spring 0 W. Colucci, D. DeSantis, and P. Deraney. Updated Fall 0 S. Singh MAT06 and MAT06

More information

Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko. Oddelek za fiziko. Seminar - 3. letnik, I. stopnja. Kvantni računalniki. Avtor: Tomaž Čegovnik

Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko. Oddelek za fiziko. Seminar - 3. letnik, I. stopnja. Kvantni računalniki. Avtor: Tomaž Čegovnik Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko Oddelek za fiziko Seminar - 3. letnik, I. stopnja Kvantni računalniki Avtor: Tomaž Čegovnik Mentor: prof. dr. Anton Ramšak Ljubljana, marec 01 Povzetek

More information

JEDRSKA URA JAN JURKOVIČ. Fakulteta za matematiko in fiziko Univerza v Ljubljani

JEDRSKA URA JAN JURKOVIČ. Fakulteta za matematiko in fiziko Univerza v Ljubljani JEDRSKA URA JAN JURKOVIČ Fakulteta za matematiko in fiziko Univerza v Ljubljani Natančnost časa postaja vse bolj uporabna in pomembna, zato se rojevajo novi načini merjenja časa. Do danes najbolj natančnih

More information

Ana Mlinar Fulereni. Delo diplomskega seminarja. Mentor: izred. prof. dr. Riste Škrekovski

Ana Mlinar Fulereni. Delo diplomskega seminarja. Mentor: izred. prof. dr. Riste Škrekovski UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Matematika 1. stopnja Ana Mlinar Fulereni Delo diplomskega seminarja Mentor: izred. prof. dr. Riste Škrekovski Ljubljana, 2011 Kazalo 1. Uvod 4 2.

More information

SIMETRIČNI BICIRKULANTI

SIMETRIČNI BICIRKULANTI UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA GORAZD VASILJEVIĆ SIMETRIČNI BICIRKULANTI DIPLOMSKO DELO Ljubljana, 2014 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA Dvopredmetni učitelj: matematika - računalništvo

More information

Dejan Petelin. Sprotno učenje modelov na podlagi Gaussovih procesov

Dejan Petelin. Sprotno učenje modelov na podlagi Gaussovih procesov UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA RAČUNALNIŠTVO IN INFORMATIKO Dejan Petelin Sprotno učenje modelov na podlagi Gaussovih procesov DIPLOMSKO DELO NA UNIVERZITETNEM ŠTUDIJU Mentor: doc. dr. Janez Demšar

More information

APLIKACIJA ZA DELO Z GRAFI

APLIKACIJA ZA DELO Z GRAFI UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA Študijski program: MATEMATIKA IN RAČUNALNIŠTVO APLIKACIJA ZA DELO Z GRAFI DIPLOMSKO DELO Mentor: doc. dr. Primož Šparl Kandidat: Luka Jurković Somentor: asist.

More information

Fakulteta za matematiko in fiziko Univerza v Ljubljani. Seminar. Kvantni računalniki. Avtor: Matjaž Gregorič. Mentor: prof. N.S.

Fakulteta za matematiko in fiziko Univerza v Ljubljani. Seminar. Kvantni računalniki. Avtor: Matjaž Gregorič. Mentor: prof. N.S. Fakulteta za matematiko in fiziko Univerza v Ljubljani Seminar Kvantni računalniki Avtor: Matjaž Gregorič Mentor: prof. N.S. Mankoč Borštnik Ljubljana, november 7 Povzetek V seminarju so predstavljene

More information

Hibridizacija požrešnih algoritmov in hitrega urejanja

Hibridizacija požrešnih algoritmov in hitrega urejanja Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko Nina Vehovec Hibridizacija požrešnih algoritmov in hitrega urejanja DIPLOMSKO DELO INTERDISCIPLINARNI UNIVERZITETNI ŠTUDIJSKI PROGRAM PRVE

More information

USING THE DIRECTION OF THE SHOULDER S ROTATION ANGLE AS AN ABSCISSA AXIS IN COMPARATIVE SHOT PUT ANALYSIS. Matej Supej* Milan Čoh

USING THE DIRECTION OF THE SHOULDER S ROTATION ANGLE AS AN ABSCISSA AXIS IN COMPARATIVE SHOT PUT ANALYSIS. Matej Supej* Milan Čoh Kinesiologia Slovenica, 14, 3, 5 14 (28) Faculty of Sport, University of Ljubljana, ISSN 1318-2269 5 Matej Supej* Milan Čoh USING THE DIRECTION OF THE SHOULDER S ROTATION ANGLE AS AN ABSCISSA AXIS IN COMPARATIVE

More information

The consequences of quantum computing

The consequences of quantum computing University of Ljubljana Faculty of Computer and Information Science Kokan Malenko The consequences of quantum computing BACHELOR S THESIS UNDERGRADUATE UNIVERSITY STUDY PROGRAM COMPUTER SCIENCE AND MATHEMATICS

More information

UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO ODDELEK ZA MATEMATIKO

UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO ODDELEK ZA MATEMATIKO UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO ODDELEK ZA MATEMATIKO Rok Erman BARVANJA RAVNINSKIH IN SORODNIH DRUŽIN GRAFOV Doktorska disertacija MENTOR: prof. dr. Riste Škrekovski Ljubljana,

More information

Preprečevanje neizvedljivosti urnikov pri metahevrističnem razvrščanju proizvodnih procesov

Preprečevanje neizvedljivosti urnikov pri metahevrističnem razvrščanju proizvodnih procesov Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko Boštjan Murovec Preprečevanje neizvedljivosti urnikov pri metahevrističnem razvrščanju proizvodnih procesov Doktorska disertacija Mentor: prof. dr. Peter

More information

Verifying Time Complexity of Turing Machines

Verifying Time Complexity of Turing Machines UNIVERSITY OF LJUBLJANA FACULTY OF MATHEMATICS AND PHYSICS DEPARTMENT OF MATHEMATICS David Gajser Verifying Time Complexity of Turing Machines Doctoral dissertation Advisor: izred. prof. dr. Sergio Cabello

More information

Uvod v odkrivanje znanj iz podatkov (zapiski predavatelja, samo za interno uporabo)

Uvod v odkrivanje znanj iz podatkov (zapiski predavatelja, samo za interno uporabo) Uvod v odkrivanje znanj iz podatkov (zapiski predavatelja, samo za interno uporabo) Blaž Zupan 29. julij 2017 Kazalo 1 Odkrivanje skupin 7 1.1 Primer podatkov.................................. 7 1.2 Nekaj

More information

UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE

UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE Zaključna naloga (Final project paper) Grafi struktur proteinov: Uporaba teorije grafov za analizo makromolekulskih

More information

SISTEMSKA INFORMATIKA IN LOGISTIKA. predmet izbirnega modula študijskega programa 2. stopnje smer Avtomatika in informatika

SISTEMSKA INFORMATIKA IN LOGISTIKA. predmet izbirnega modula študijskega programa 2. stopnje smer Avtomatika in informatika SISTEMSKA INFORMATIKA IN LOGISTIKA predmet izbirnega modula študijskega programa 2. stopnje smer Avtomatika in informatika izr. prof. dr. Gašper Mušič Cilji izbirnega modula Predstavitev problematike vodenja

More information

UČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS (leto / year 2017/18) Predmet: Optimizacija 1 Course title: Optimization 1. Študijska smer Study field

UČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS (leto / year 2017/18) Predmet: Optimizacija 1 Course title: Optimization 1. Študijska smer Study field UČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS (leto / year 2017/18) Predmet: Optimizacija 1 Course title: Optimization 1 Študijski program in stopnja Study programme and level Univerzitetni študijski program Matematika

More information

matematika + biologija = sistemska biologija? Prof. Dr. Kristina Gruden Prof. Dr. Aleš Belič Doc. DDr. Jure Ačimovič

matematika + biologija = sistemska biologija? Prof. Dr. Kristina Gruden Prof. Dr. Aleš Belič Doc. DDr. Jure Ačimovič matematika + biologija = sistemska biologija? Prof. Dr. Kristina Gruden Prof. Dr. Aleš Belič Doc. DDr. Jure Ačimovič Kaj je sistemska biologija? > Razumevanje delovanja organizmov sistemska biologija =

More information

Preverjanje optimiziranosti spletnih strani

Preverjanje optimiziranosti spletnih strani UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA RAČUNALNIŠTVO IN INFORMATIKO Boštjan Hozjan Preverjanje optimiziranosti spletnih strani DIPLOMSKO DELO NA UNIVERZITETNEM ŠTUDIJU Ljubljana, 2016 UNIVERZA V LJUBLJANI

More information

UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA ELEKTROTEHNIKO, RAČUNALNIŠTVO IN INFORMATIKO. Filip Urh DINAMIČNI PARALELIZEM NA GPE.

UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA ELEKTROTEHNIKO, RAČUNALNIŠTVO IN INFORMATIKO. Filip Urh DINAMIČNI PARALELIZEM NA GPE. UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA ELEKTROTEHNIKO, RAČUNALNIŠTVO IN INFORMATIKO Filip Urh DINAMIČNI PARALELIZEM NA GPE Diplomsko delo Maribor, september 2015 DINAMIČNI PARALELIZEM NA GPE Diplomsko delo

More information

Verodostojnost in kvaliteta spletno dostopnih informacij

Verodostojnost in kvaliteta spletno dostopnih informacij Univerza v Ljubljani Filozofska fakulteta Oddelek za bibliotekarstvo, informacijsko znanost in knjigarstvo Verodostojnost in kvaliteta spletno dostopnih informacij Mentor: dr. Jure Dimec Lea Očko Katja

More information

MICROWAVE PLASMAS AT ATMOSPHERIC PRESSURE: NEW THEORETICAL DEVELOPMENTS AND APPLICATIONS IN SURFACE SCIENCE

MICROWAVE PLASMAS AT ATMOSPHERIC PRESSURE: NEW THEORETICAL DEVELOPMENTS AND APPLICATIONS IN SURFACE SCIENCE UDK621.3:(53+54+621 +66), ISSN0352-9045 Informacije MIDEM 38(2008)4, Ljubljana MICROWAVE PLASMAS AT ATMOSPHERIC PRESSURE: NEW THEORETICAL DEVELOPMENTS AND APPLICATIONS IN SURFACE SCIENCE T. 8elmonte*,

More information

Linearna regresija. Poglavje 4

Linearna regresija. Poglavje 4 Poglavje 4 Linearna regresija Vinkove rezultate iz kemije so založili. Enostavno, komisija je izgubila izpitne pole. Rešitev: Vinko bo kemijo pisal še enkrat. Ampak, ne more, je ravno odšel na trening

More information

Hadamardove matrike in misija Mariner 9

Hadamardove matrike in misija Mariner 9 Hadamardove matrike in misija Mariner 9 Aleksandar Jurišić, 25. avgust, 2009 J. Hadamard (1865-1963) je bil eden izmed pomembnejših matematikov na prehodu iz 19. v 20. stoletje. Njegova najpomembnejša

More information

Analogna elektronska vezja. Uvodna vaja

Analogna elektronska vezja. Uvodna vaja Analogna elektronska vezja Uvodna vaja Povzetek Namen uvodne vaje je, da študenti spoznajo orodja, ki jih bojo uporabljali pri laboratorijskih vajah predmeta Analogna elektronska vezja in sicer: podatkovne

More information

UČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS. Študijska smer Study field. Samost. delo Individ. work Klinične vaje work

UČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS. Študijska smer Study field. Samost. delo Individ. work Klinične vaje work Predmet: Course title: UČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS Statistika Statistics Študijski program in stopnja Study programme and level Univerzitetni študijski program Matematika First cycle academic

More information

UČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS Predmet: Analiza 1 Course title: Analysis 1. Študijska smer Study field. Samost. delo Individ.

UČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS Predmet: Analiza 1 Course title: Analysis 1. Študijska smer Study field. Samost. delo Individ. UČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS Predmet: Analiza 1 Course title: Analysis 1 Študijski program in stopnja Study programme and level Univerzitetni študijski program Finančna matematika First cycle

More information

MODEL CHECKING. Arie Gurfinkel

MODEL CHECKING. Arie Gurfinkel 1 MODEL CHECKING Arie Gurfinkel 2 Overview Kripke structures as models of computation CTL, LTL and property patterns CTL model-checking and counterexample generation State of the Art Model-Checkers 3 SW/HW

More information

modeli regresijske analize nominalnih spremenljivk

modeli regresijske analize nominalnih spremenljivk modeli regresijske analize nominalnih spremenljivk Cveto Trampuž An Illustrative Comparison Logit Analysis with Dummy Variable Regression Analysis. Two different regression models in which the dependent

More information

Univerza na Primorskem. Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije. Zaznavanje gibov. Zaključna naloga

Univerza na Primorskem. Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije. Zaznavanje gibov. Zaključna naloga Univerza na Primorskem Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije Boštjan Markežič Zaznavanje gibov Zaključna naloga Koper, september 2011 Mentor: doc. dr. Peter Rogelj Kazalo Slovarček

More information

Izbrana poglavja iz velikih omreºij 1. Zbornik seminarskih nalog iz velikih omreºij

Izbrana poglavja iz velikih omreºij 1. Zbornik seminarskih nalog iz velikih omreºij Izbrana poglavja iz velikih omreºij 1 Zbornik seminarskih nalog iz velikih omreºij Ljubljana, 2015 CIP Kataloºni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjiºnica, Ljubljana 123.45(678)(9.012.3) Izbrana

More information

Topološka obdelava slik

Topološka obdelava slik Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko Fakulteta za matematiko in fiziko Matjaž Cerar Topološka obdelava slik DIPLOMSKO DELO UNIVERZITETNI INTERDISCIPLINARNI ŠTUDIJ RAČUNALNIŠTVA

More information

Domen Perc. Implementacija in eksperimentalna analiza tehnike razvrščanja podatkov s konsenzom

Domen Perc. Implementacija in eksperimentalna analiza tehnike razvrščanja podatkov s konsenzom UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA RAČUNALNIŠTVO IN INFORMATIKO Domen Perc Implementacija in eksperimentalna analiza tehnike razvrščanja podatkov s konsenzom DIPLOMSKO DELO NA UNIVERZITETNEM ŠTUDIJU Mentor:

More information

UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO. Oddelek za matematiko in računalništvo DIPLOMSKO DELO. Gregor Ambrož

UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO. Oddelek za matematiko in računalništvo DIPLOMSKO DELO. Gregor Ambrož UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za matematiko in računalništvo DIPLOMSKO DELO Gregor Ambrož Maribor, 2010 UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO

More information

I) Simplifying fractions: x x. 1) 1 1 y x. 1 1 x 1. 4 x. 13x. x y xy. x 2. Factoring: 10) 13) 12) III) Solving: x 9 Prime (using only) 11)

I) Simplifying fractions: x x. 1) 1 1 y x. 1 1 x 1. 4 x. 13x. x y xy. x 2. Factoring: 10) 13) 12) III) Solving: x 9 Prime (using only) 11) AP Calculus Summer Packet Answer Key Reminders:. This is not an assignment.. This will not be collected.. You WILL be assessed on these skills at various times throughout the course.. You are epected to

More information

Iterativne metode podprostorov 2010/2011 Domače naloge

Iterativne metode podprostorov 2010/2011 Domače naloge Iterativne metode podprostorov 2010/2011 Domače naloge Naloge so razdeljene v 6 skupin. Za pozitivno oceno morate rešiti toliko nalog, da bo končna vsota za pozitivno oceno vsaj 8 točk oz. vsaj 10 točk

More information

Mary Agnes SERVATIUS Izomorfni Cayleyevi grafi nad neizomorfnimi grupami (Isomorphic Cayley Graphs on Non-Isomorphic Groups)

Mary Agnes SERVATIUS Izomorfni Cayleyevi grafi nad neizomorfnimi grupami (Isomorphic Cayley Graphs on Non-Isomorphic Groups) UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE Matematične znanosti Študijski program 2. stopnje Mary Agnes SERVATIUS Izomorfni Cayleyevi grafi nad neizomorfnimi

More information

UMESTITEV EKOLOŠKIH RAZISKAV MED OSTALE VRSTE RAZISKAV

UMESTITEV EKOLOŠKIH RAZISKAV MED OSTALE VRSTE RAZISKAV EKOLOŠKE RAZISKAVE UMESTITEV EKOLOŠKIH RAZISKAV MED OSTALE VRSTE RAZISKAV EPIDEMIOLOŠKE OPAZOVALNE RAZISKAVE NA AGREGIRANIH PODATKIH EKOLOŠKE RAZISKAVE populacija POPULACIJSKE EKSPERIMENTALNE RAZISKAVE

More information