Dalles. Introduction à l élasticité. Structures en béton II. Dr O. Burdet. ENAC Section de génie civil IS-BETON Laboratoire de construction en béton

Transcription

1 Dalles Introduction à l élasticité

2 Le gauchissement : près de l appui Fig. 7.35

3 Le gauchissement: bande de champ Fig. 7.35

4 Le gauchissement : visualisation Fig. 7.35

5 On pourrait éviter la torsion Fig. 7.37

6 Dalles Théorie de l élasticité

7 Equation différentielle des dalles Etablie par Lagrange Hpothèses de base: Dalles élancées (l/h > 5) Dalles isotropes homogènes Pas de déformation du feuillet moen dans son plan Les sections planes restent planes Les contraintes normales sont négligées Fig. 7.5

8 Elément infinitésimal de dalle d d Fig. 7.6

9 Equilibre d un élément de dalle d m d v d m d z v d m d d q( m d dm ) d m d ( m dm ) d ( m dm ) d ( m dm ) d ( v dv ) d ( m dm ) d ( v dv ) d Fig. 7.6

10 m Equilibre autour de m v = 0 v d z m d m d Fig. 7.6 m m d m m d v v d

11 Equilibre autour de m d z m v d m v = 0 m Fig. 7.6 m m d v v d m m d

12 Equilibre vertical z = 0 q v v Fig. 7.6 v d d v v v d d v v

13 Equilibre d un élément infinitésimal de dalle = 0 v m m = 0 v m m = 0 q v v Fig. 7.6 q m m m = Eq. 7.

14 Déformation d un élément de dalle Etablie par Lagrange Hpothèses de base: Dalles élancées (l/h > 5) Dalles isotropes homogènes Pas de déformation du feuillet moen dans son plan Les sections planes restent planes Les contraintes normales sont négligées Fig. 7.5

15 Déformation dans un plan parallèle au feuillet moen γ = γ γ Fig. 7.7 = u v

16 Répartition des contraintes σ = σ h,ma / z Fig. 7.8

17 Moments en fonction de la déformée m w w = B ν w w m = B ν m = B ( 1 ν ) w avec B = 3 E h 1 ν ( 1 ) Eq. 7.9

18 Equation de Lagrange (1811) w w w q = B Eq. 7.10

19 Grille de poutres sans torsion w w = q B Fig. 7.37

20 Conditions de bord w w w = q B Tab Tpe de condition cinématique statique (déplacements connus) (efforts connus) appui simple w = 0 m = 0 encastrement total w = 0, w n = 0 encastrement élastique w = 0 w n proportionnel à m m proportionnel à w n bord libre m = 0, r = 0

21 Résolution de l équation de Lagrange w(,) = m n a mn sin mπ a sin nπ b w (, ) qa 1 αm tanhαm = π D m coshα m= 135,,,... m cosh α b m α m coshα m αm sinh b b sin mπ a avec α m mπb = a a b On peut le faire avec Ecel! b Fig. 7.11

22 Moments dalle rectangulaire Diagramme Distribution transversale des moments m à = M qa Distribution Diagramme des moments m à = a/ a a/ 0 a/ a 3a/ a 3a a Distribution Diagramme des moments m à = M qa b = a b = a b = 1.5 Diagramme a Distribution transversale des moments m à = a/ b = 3 a b = a Fig. 7.1

23 Isolignes des déformations

24 Vue 3D des déformations

25 Vue 3D des déformations

26 Isolignes des moments m

27 Isolignes des moments m

28 Isolignes des moments de torsion m

29 Moments élastiques (ν = 0.17)

30 Soulèvement des coins a) coins libres de se soulever b) coins ancrés Fig. 7.1

31 Efforts dans les coins Fig. 7.15

32 Torsion pure dans les coins de dalles A R a a m - m réaction répartie r m - m a A a) moments dans l'angle d'une dalle simplement appuée et ancrée b) moments dans l'angle d'une dalle sur quatre colonnes Fig. 7.17

33 Réactions d appui Fig. 7.13

34 Dalle encastrée sur son pourtour Fig. 7.18

35 Etat de contraintes dans un coin σ α d dz τ α ds dz α dz z τ d dz τ d dz σ d dz σ d dz d d Fig. 7.19

36 Moments principau m T m m m m 1 m m α m Figs. 7.0 et 7.1

37 Trajectoires des moments principau

38 Comparaison dalle-poutre (1) Dalle Poutre h h b z w z w w(, ) w()

39 Comparaison dalle-poutre () m m m B w h w ν = B w w ν = = m = B ( 1 ν ) w b h M = B B = EI I = M M 0 = 0 d w d bh 1 3

40 Comparaison dalle-poutre (3) h h b w w w = q B w = q B 3 3 EI h bh B = I = B = EI I = 1 ν 1 1